電路學第一章電路元件與基本定律

李健榮助理教授Department of Electronic Engineering

National Taipei University of Technology

本章大綱

• 定義與單位• 電荷與電流• 電壓、能量與功率• 電路元件• 被動元件與主動元件• 歐姆定律• 克希荷夫定律

Department of Electronic Engineering, NTUT2/26

定義與單位 (I)

• 電路元件是指實驗室或工廠中常見之實際元件，如：電阻器、電感器、電容器、電池、二極體、電晶體、電動機、發電機等。利用導線把元件連接起來便可得實際電路。

• 分析電路時為使所求得的數據(如：電流、電壓、功率、能量等)符合量測的意義，必須採用標準單位系統。單位系統經常採用國際單位系統(International systemof units)，簡稱 SI制。SI制的優點是導入十進位系統。

• 在 SI制中，電流的基本單位是安培 (Ampere簡寫A)、電壓的基本單位是伏特 (Volt簡寫V) 。

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定義與單位 (II)

• 下表列舉 SI制配合實際應用，常用的 10次方及其簡寫符號。

量級 字首 符號

109 十億 (Giga) G

106 百萬 (Mega) M

103 仟 (Kilo) k

10–3 毫 (Milli) m

10–6 微 (Micro) µ

10–9 奈 (Nano) n

10–12 微微 (Pico) p

Department of Electronic Engineering, NTUT4/26

電荷與電流 (I)

• 電流為單位時間 (sec)內，通過某一截面積的電荷量(C)

即 ，其單位為安培 (A)。

• 由上可得在時間 t0和 t1之間，進入某一元件的全部電荷為

dqi

dt=

( ) ( ) 1

01 0

t

T tq q t q t idt= − = ∫

元件的電流流向

A B

i 注意：所考慮的電路元件都是電中性的，即沒有正或負電荷能在元件內累積，亦即有一正 (負) 電荷流進，要有一正 (負)電荷流出。

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範例 (I)

• 例1:進入元件的全部電荷是 q = 5t2 – 8t mC，試求 t = 0 s

和 t = 2 s時之電流 i 值。

• 例2:進入一端點電流 i = 20t – 5 mA，試求 t = 1 s和 t = 4 s

之間，進入端點的全部電荷。

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電壓、能量和功率 (I)

• 電壓為移動1單位(1庫侖)電荷，從元件之一端點移至另一端點所作的功，其單位為伏特(Voltage，簡寫V)。

• 若在某元件上移動1單位電荷須作功1焦耳，代表此元件上有1 V之電壓，即1 V = 1 J/C。電壓又稱電位差或電壓降。

• 為瞭解能量是電路供給元件或由元件供給電路，必須知道元件上電壓的極性和流過元件的電流方向；若正電流進入電壓正端點，那外力必須去推動電流，即供給或釋放能量給元件，因而元件吸收能量；若正電流從正端點流出 (進入負端點)，則元件釋放能量給外接電路。

電壓極性表示法

A Bv＋ －

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電壓、能量和功率 (II)

• 考慮釋放能量到電路元件的速率時，若元件上電壓是v，一很小電荷∆q從正端點流過元件移向負端點，則元件吸收能量為∆w，即

• 若流過元件所需時間是∆t，則功的變化率或能量w的變化率(或消耗率)為

• 能量變化率即為功率p的定義，所以

w v q∆ = ⋅ ∆

0 0lim limt t

w qv

t t∆ → ∆ →

∆ ∆=∆ ∆

dw dqv v i

dt dt= = ⋅

dwp v i

dt= = ⋅ vi 單位為 (J/C), (C/S)或(J/S)，

一般定義 1 J/S為1瓦特 (Watt，簡寫W)。

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電壓、能量和功率 (III)

• 右圖的元件所吸收的功率為 p = vi，

• 欲計算在時間 t0和 t1之間，釋放到元件的能量，可積分

• 假設時間開始於t = –∞，且元件的能量為零，即

• 若在上式中t0 = –∞，則從時間開始到 t1釋放的能量為

有電壓 v、電流 i 之元件

A Bv＋ －

i

dwp v i

dt= = ⋅ ( ) ( ) ( )1

01 0

t

tw t w t v i dt− = ⋅∫

( ) 0w −∞ =

( ) ( )tw t v i dt

−∞= ⋅∫ ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1

01

t t t

tw t v i dt v i dt v i dt

−∞ −∞= ⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )1

01 0

t

tw t w t v i dt= + ⋅∫

由於電流為流入電壓之正極性，故元件吸收 vi之功率，若是電流方向相反或是電壓極性相反，則元件為對外釋放 vi功率。

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範例 (I)

• 例3: 電路如下圖所示，進入元件A 端點的電流 i = 4 A，

求 (a)元件吸收功率 (b)在時間 t = 0 s 和 t = 4 s 間釋

放到元件的能量。

V6

+

−

A

B

(a) 吸收功率 p = vi (正電流進入正端點 )，

(b) t = 0 ~ 4 s期間釋放到元件上的能量

故吸收功率

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範例 (II)

• 例4: 一個兩端點元件吸收能量如下圖，若電壓 v(t) = cos100πt

(V)，求t = 1 ms和t = 4 ms進入正端點的電流。

At t = 1 ms:

13

10

0 2 8

w (mJ)

t (ms)

At t = 4 ms:

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電路元件-電壓源

• 電壓源（Voltage Source）電壓源可提供電路元件兩端點間之電壓，其所提供之電壓值可為常數，或是時變者。

• 以電壓極性變化分為：(a) 直流電壓源(b) 交流電壓源

• 依電源電壓值與電路元件之關係可分為：(a) 獨立電壓源(b) 相依電壓源

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直流與交流電壓源

• 直流電壓源：電源電壓的正負極性不隨時間而改變。

• 交流電壓源：電源電壓的正負極性隨時間而改變。

V

0(a)

v t( )

t

(b)0

v t( )

t

(a)

v t( )

t

(b)

v t( )

t

(c)

v t( )

t

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獨立與相依電壓源

• 獨立電壓源：獨立電壓源是兩端點元件，如電池，其在端點間維持一特定電壓，此電壓與電路上其它元件的電流或電壓完全無關。

• 相依電壓源：相依 (或被控制)電壓源其端電壓與電路上某些元件的電壓或電流有關，其電路符號如右圖 (a)；一個被電壓控制的電壓源 (VCVS)是與電路上某些電壓有關的電源，如右圖(b)；一個被電流控制的電壓源 (CCVS)是與電路上某些電流有關的電源，如右圖 (c)。

+-

(a) 時變

v t( )+

-v

(b) 定值 (a)

+-

任意網路

+-

+

-

(b) VCVS

v1 v= mv1+-

(c) CCVS

v = gi1v

i1

任意網路

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電路元件-電流源

• 電流源（Current Source）電流源可提供電路元件兩端點間之電流，其所提供之電流值可為常數，或是時變者。

• 依電流源所提供之流向可分為：(a) 直流電流源(b) 交流電流源

• 依電源電流值與電路元件之關係可分為：(a) 獨立電流源(b) 相依電流源

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直流與交流電流源

• 直流電流源：所提供的電流方向是固定值。

• 交流電流源：所提供的電流方向是交流變化者。

(a)

i(t)

I

t(b)

t

i(t)

(a)

t

i(t)

(b)

t

i(t)

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獨立與相依電流源

• 獨立電流源：提供特定電流的兩端點元件，此電流與電路上其它元件的電壓或電流完全無關。

• 相依電流源：一個相依 (或被控制) 電流源所提供的電流，與電路上某些元件的電壓或電流有關，其電路符號如右圖 (a)；一個被電壓控制的電流源 (VCCS) 其電流受到某些元件上之電壓所控制，如右圖 (b)；一個被電流控制的電流源 (CCCS) 其電流被某些元件之電流所控制如右圖

i t I( )或

獨立電流i(t) 為時變, I 為定值

+

-

(b) VCCS

v1 i = gv1

(c) CCCS(a)

i

i1任任任任意意意意網網網網路路路路

任任任任意意意意網網網網路路路路

i = bi1

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電阻器

• 電阻器（Resistor）某元件跨接於一個理想電壓源的端點間，其所產生之電流與電壓成正比，則該元件稱為電阻器(Resistor)。即 ，電阻的單位 (V/A) 稱為歐姆(Ohm)，以希臘字母 Ω表示。

• 電阻的倒數稱為電導 (Conductance)。即 ，電導的單位 (A/V) 稱為姆歐 (Mho)，或西門子 (Siemens，簡寫S)，以符號母歐或 S表示。

( ) ( )R v t i t=

1G R=

(a) 線性電阻器

0 1

v Ri=

i

R

(b) 非線性電阻器v

i

斜率＝電阻

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電容器

• 電容器(Capacitor)是由上下兩片導體以及導體中間加介質材料所構成的兩端點元件。電容器上所儲存的電荷q與其端電壓v成正比，即

• 故電容的單位為庫侖/伏特(C/V)，稱為法拉(Farad，簡寫F)。常以微法拉 微微法拉 為單位。

• 電容器中的電壓與電流v-i關係，可由 及

得到

q Cv=

6F 10 Fµ −=12F 10 Fp −=

q Cv=i dq dt=dv

i Cdt

= i

電容器的電路符號

+

−

v C

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電感器

• 電感器(Inductor)是將導線繞成線圈形狀而組成的兩端點元件。電感器上的磁通量與其電流成正比，即 ，此處為 N匝數，L 為比例常數稱為電感器的電感量，單位為亨利(Henry，簡寫H)。

• 根據法拉第定律知改變磁通量 會在線圈兩端產生電壓v，此為電磁感應原理，即：

N Liφ =

φ

d div N L

dt dt

φ= =

L

v−+

i

電感器的電路符號

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被動元件 (I)

• 一個元件其消耗或儲存的能量若是符合下面定義，則稱其為被動元件，否則為主動元件。

• 電阻器：其消耗的能量為

故電阻器為被動元件。

( ) ( ) ( ) ( )0

0

t tw t p t dt p t dt p t dt

−∞ −∞= = +∫ ∫ ∫ ( )

00

tp t dt= + ∫

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0t t

w t p t dt i t v t dt= = ≥∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

0 0 0 00 0

t t t t t v tw t p t dt p t dt v t i t dt i t Rdt dt

R−∞= = + = = ⋅ = ≥∫ ∫ ∫ ∫ ∫

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被動元件(II)

• 電容器：其儲存的能量為

故電容器為被動元件。

• 電感器：其儲存的能量為

故電感器亦為被動元件。

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

00 0

1

2

t t t t

C

dv tw t v t i t dt v t C dt C v t dv t Cv t

dt−∞

= = = =

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 10 0

2 2Cw t C v t v Cv t = − = ≥

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

00 0

12

t t t t

L

di tw t v t i t dt i t L dt L i t di t Li t

dt−∞

= = = =

∫ ∫ ∫

( ) ( )210

2Lw t Li t= ≥

Department of Electronic Engineering, NTUT22/26

歐姆定律 (Ohm’s Law)

• 若一個電壓 v(t) 加在一個電阻器 R兩端，並有電流 i(t) 流過R，若電壓之極性與電流之方向如下圖所示，

則 ，此即歐姆定律，由此式亦可得

或

+ −v t( )

i t( ) R

( ) ( )v t i t R= ⋅

( ) ( )v ti t

R=

( )( )

v tR

i t=

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克希荷夫電流定律 (KCL)

• 進入任何節點的電流代數和為零。其數學通式為

其中in是進入節點的第n項電流，N是進入節點的電流數目。

• 離開任何節點的電流代數和為零。其數學通式為

其中in是進入節點的第 n項電流，N是進入節點的電流數目。

• 進入任何節點的電流和= 離開這結點的電流和。

• 進入或離開任何封閉曲面(超節點)的電流代數和為零:

1

0N

nn

i=

=∑

1

0N

nn

i=

=∑

1 2 3 4 0i i i i+ + + =

i2

a

b

c

d

i1

i4

i6 i5

i8

i7

i3

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克希荷夫電壓定律 (KVL)

• 克希荷夫電壓定律(KVL)：環繞任何環路的電壓代數和 = 零

• 環繞任何環路上電壓升之和 = 電壓降之和。

1. a → b 路徑中，首先遇到＋號，故 v1 取正號。(此路徑為電壓降)2. a → c 路徑中，首先遇到＋號，故 v2 取正號。(此路徑為電壓降)3. c → d 路徑中，首先遇到＋號，故 v3 取正號。(此路徑為電壓降)4. d → c 路徑中，首先遇到－號，故 v4 取負號。(此路徑為電壓升)

因此依 KVL 可得 v1+ v2 + v3－ v4 = 0

v4 為電壓升(自電源之負端至正端為電壓升)

v3 為電壓降(自元件之正端至負端為電壓降)

v2 為電壓降(自電源之正端至負端為電壓降)

v1 為電壓降(自元件之正端至負端為電壓降)

因此依 KVL 可得 v4 = v1+ v2 + v3

+−

+ −

+−

+

−

v1

a b

d c

v2

v3

v4

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本章總結

• 本章說明了電流、電壓、能量以及功率之定義以及描述各量值之單位。

• 電壓源或電流源依其極性可分為直流電源或交流電源；而依其與電路中元件之間的關係可分為獨立電源或相依電源。

• 能提供能量者為主動元件而消耗(或儲存)能量者稱為被動元件，如電阻、電容與電感為常見的被動元件。

• 歐姆實驗定律指出了流經一電阻元件的電流與其上跨壓之間的關係。

• 克希荷夫電壓與電流定律指出了電荷不滅的電路形式。依據電路行為須遵守歐姆定律與克希荷夫定律的原則，在一定條件下則可求解電路中之未知電壓與電流。下一章將利用此兩定律來說明其他實用的電路分析定理。

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