cuasilineal

Capitulo Cuatro

Utilidad

Funcin de Utilidad

Una relacin de preferencias que es completa, reflexiva, transitiva y continua puede ser representada por una funcin de utilidad continua.

Funcin de Utilidad

Una funcin de utilidad U(x) representa una preferencasi y slo si:

x x U(x) U(x)x x U(x) > U(x)x x U(x) = U(x).

~

ffff

p

pp

p

Funcin de Utilidad

Utilidad es un concepto ordinal(como las mismas preferencias)

Si U(x) = 6 y U(y) = 2 , la cesta x esestrictamente preferida sobre la cesta y. Pero no podemos decir quex es preferida 3 veces mas que y.

Funcin de utilidad y

curvas de indiferencia

Considera las cestas (4,1), (2,3) y (2,2).

Supn (2,3) (4,1) (2,2).Asigna nmeros a estas cestas tal

que conservan el orden:p.e. U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4.

Llama estos nmeros niveles de utilidad.

p

pp

p



Una curva de indiferencia contiene las cestas igualmente preferidas.

Indiferencia mismo nivel de utilidad.

Por tanto, todas las cestas en una curva de infiferencia tienen el mismo nivel de utilidad.



U 6U 4

(2,3) (2,2) (4,1)

x1

x2 pppp

U(2,3) = 6

U(2,2) = 4 U(4,1) = 4



x1

x2

Utilidad



U 4 4 4 4

U 6 6 6 6Utilidad

x2

x1



U 6U 4U 2

x1

x2



U 6U 5U 4U 3U 2U 1

x1

x2

Utilidad


curvas de indiferenciaComparando todas las cestas nos da

todas las curvas de indiferencia, cadauna con su nivel de utilidad asignada.

La coleccin de todas las curvas de indiferencia representacompletamente las preferencias del consumidor.

Funcin de utilidad

No existe una nica funcin de utilidad que representa una relacinde preferencias.

Supn U(x1,x2) = x1x2 representa a una preferencia.

Funcin de utilidad

U(x1,x2) = x1x2, as que

U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4;

es decir, (2,3) (4,1) (2,2).pppp

Funcin de utilidad

U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).Sea V = U2.V(x1,x2) = (x1x2)2 y

V(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16as que

(2,3) (4,1) (2,2).V preserva el mismo orden y , por

tanto, representa la misma preferencia.p

pp

p

p

pp

p

Funcin de utilidad

U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).Sea W = 2U + 10.W(x1,x2) = 2x1x2+10 as que

W(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18. As que(2,3) (4,1) (2,2).

W preserva el mismo orden y , por tanto, representa la misma preferencia.

p

pp

p

p

pp

p

Funcin de utilidad

Si U es una funcin de utilidad que

representa una preferencia y f es una funcin estrictamente

creciente, entonces V = f(U) tambin es una

funcin de utilidad que representa .

~

ffff

~

ffff

Ejemplos de funciones de

utilidad y curvas de indiferencia

V(x1,x2) = x1 + x2.

Cmo son las curvas de indiferencia para esta funcin de utilidad de sustitutivos perfectos?

Sustitutivos perfectos

5

5

9

9

13

13

x1

x2x1 + x2 = 5

x1 + x2 = 9

x1 + x2 = 13

V(x1,x2) = x1 + x2.



W(x1,x2) = min{x1,x2}.

Cmo son las curvas de indiferencia para esta funcin de utilidad de complementariosperfectos?

Complementarios perfectos

x2

x1

45o

min{x1,x2} = 8

3 5 8

358

min{x1,x2} = 5min{x1,x2} = 3

W(x1,x2) = min{x1,x2}



Una funcin de utilidad de la forma U(x1,x2) = f(x1) + x2

que es lineal slo en x2 se llama cuasilineal.

P.e. U(x1,x2) = 2x11/2 + x2.

Curvas de indiferencia de

preferencias cuasilinealesx2

x1

La distancia vertical entre doscurvas es constante.



Una funcin de utilidad de la forma

U(x1,x2) = x1a x2b

con a > 0 y b > 0 se llama funcin de utilidad Cobb-Douglas.

P.e. U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (a = b = 1/2)V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b = 3)

Curvas de indiferencia

Cobb-Douglasx2

x1

Utilidad Marginal

La utilidad marginal de un bien i mide la tasa de variacin cuando la cantidad consumido del bien i esincrementada un poco, es decir

i

ix

UUM

=

Utilidad Marginal

Si U(x1,x2) = x11/2 x22 entonces

2

2/1

1

2

2

2

2

2/1

1

1

1

2

2

1

xxx

UUM

xxx

UUM

==

==

Utilidad Marginal y

Relacin Marginal de Sustitucin

La ecuacin general de una curva de indiferencia es

U(x1,x2) k, un constante.Calculando la derivada total nos da

U

xdx

U

xdx

11

22 0++++ ====

Utilidad Marginal y


U

xdx

U

xdx

11

22 0++++ ====

U

xdx

U

xdx

22

11====

Es equivalente a

Utilidad Marginal y


U

xdx

U

xdx

22

11====

Es equivalente a

Y

d x

d x

U x

U x

2

1

1

2

====

/

/.

Este es la RMS!

Utilidad Marginal y

RMS un ejemplo

Supn U(x1,x2) = x1x2. Entonces

U

xx x

U

xx x

12 2

21 1

1

1

==== ====

==== ====

( )( )

( )( )

./

/

1

2

2

1

1

2

x

x

xU

xU

xd

xdRMS ===

Asique

Utilidad Marginal y

RMS un ejemplo

1

2

x

xRMS =

RMS(1,8) = - 8/1 = -8RMS(6,6) = - 6/6 = -1.

x1

x2

8

6

1 6U = 8U = 36

U(x1,x2) = x1x2;

Relacin Marginal de Sustitucin para

funciones de utilidad cuasilineales

Funcin de utilidad cuasilinealU(x1,x2) = f(x1) + x2.

asique

U

xf x

11==== ( )

U

x21====

).(/

/1

2

1

1

2 xfxU

xU

xd

xdRMS ===


funciones de utilidad cuasilineales

RMS = - f (x1) no depende de x2 , as que la pendiente de curvas de indiferencia para funciones de utilidad cuasilineales es constanteen la recta lineal donde x1 es unaconstante.


funciones de utilidad cuasilinealesx2

x1

Cada curva es una copiavertical de las dems.

RMS esconstantecuando x1 esconstante.

RMS =- f(x1)

RMS = -f(x1)

x1 x1

Transformaciones montonas &


Aplicando una transformacinmontona a una funcin de utilidadcrea otra funcin de utilidadrepresentando la misma preferencia.

Qu pasa con la RMS cuando se aplica una transformacinmontona?



Para U(x1,x2) = x1x2 la RMS = - x2/x1.Sea V = U2; i.e. V(x1,x2) = x12x22.

Cul es la RMS para V?

que es la misma RMS que la de U!1

2

2

2

1

2

21

2

1

2

2

/

/

x

x

xx

xx

xV

xVRMS ===



Si V = f(U) donde f es una funcinestrictamente creciente, entonces

2

1

2

1

/)('

/)(

/

/

xUUf

xUUf

xV

xVRMS

==

====

U x

U x

/

/.1

2

As que la RMS no es afectada por unatransformacin montona.

cuasilineal

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