curs03_inginerie_seismica

8/14/2019 curs03_inginerie_seismica

1/21

Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/

32

2.3. Vibraii forate

Forele dinamice care pot fi aplicate structuri inginereti au diverse forme. n acest capitol vor ficonsiderate dou clase de ncrcri dinamice. Prima intre acestea reprezint ncrcrile armonicei periodice, care pot proveni spre exemplu ca urmare a unor dispozitive rotative amplasate ncldiri. Cea de-a doua categorie de ncrcri dinamice sunt cele care variaz arbitrar n timp, celede tip treapti oc.

2.3.1. Vibraii armonice neamortizate ale sistemelor SGLD

O for armonic are forma0

( ) sin p t p t = sau0

( ) cos p t p t = , unde p0 reprezint amplitudinea

forei perturbatoare, iar pulsaia acesteia, creia i corespunde perioada 2T = (vezi Figura2.18a). n cele ce urmeaz se va prezenta rspunsul unui sistem cu un singur grad de libertatedinamic sub efectul unei ncrcri de tip sinus, deoarece rspunsul la o ncrcare dinamic de tipcosinus este similar cu aceasta.

Folosind ecuaia de micare (2.6) pentru cazul unor vibraii neamortizate generate de o forperturbatoare 0( ) sin p t p t = obinem:

0 sinmu ku p t + = (2.40)

Deformaia u(t) a sistemului SGLD poate fi obinut rezolvnd ecuaia (2.40) pentru condiiile iniiale:

(0) (0)u u u u= = (2.41)

unde (0)u i (0)u sunt deplasarea, respectiv viteza n momentul n care este aplicat foradinamicp(t). Soluia particular a ecuaiei (2.40) este:

( )0

2

1( ) sin

1p n

n

pu t t

k

=

(2.42)

Soluia complementar a ecuaiei (2.40) este:

( ) cos sinc n nu t A t B t = + (2.43)soluia complet fiind suma soluiei particulare i a celei complementare:

( )0

2

1( ) cos sin sin

1n n

n

pu t A t B t t

k

= + +

(2.44)

Folosind condiiile iniiale (2.41) se obine soluia final:

( )( )

( ) ( )0 0

2 2

0 / 1( ) 0 cos sin sin

1 1

nn n

n n n

u p pu t u t t t

k k

= + +

(2.45)

rspuns tranzitoriu rspuns staionarEcuaia (2.45) este reprezentat n Figura 2.18b pentru 0.2n = , (0) 0u = , (0) /n ou p k= cu liniecontinu. Termenul din ecuaia (2.45) care include sin t reprezint soluia particular a ecuaieide micare (2.40) i este reprezentat cu linie ntrerupt.

Pe baza ecuaiei (2.45) i folosind Figura 2.18b se poate observa c deplasarea u(t) are doucomponente distincte de vibraie: termenul coninnd sin t care definete o micare oscilatorie cu frecvena perturbatoare termenii coninnd cos nt i sin nt care definesc o micare oscilatorie la frecvena proprie de

vibraie a sistemului

Prim dintre aceste componente se numete rspuns staionarsau forat, deoarece acesta sedatoreaz forei dinamice aplicate i nu este influenat de condiiile iniiale. Cea de-a douacomponent poart denumirea de rspuns tranzitoriu, care depinde de deplasarea i viteza


2/21


33

iniial, precum i de proprietile sistemului SGLD i fora perturbatoare. Rspunsul tranzitoriuexist chiari pentru (0) (0) 0u u= = , caz n care ecuaia (2.45) devine:

( )0

2

1( ) sin sin

1n

nn

pu t t t

k

=

(2.46)

Figura 2.18. Fora armonic (a); rspunsul unui sistem SGLD sub aciunea unei fore armonicepentru 0.2n = , (0) 0u = , (0) /n ou p k= (b), Chopra, 2001.

Rspunsul tranzitoriu apare n Figura 2.18 ca deferena dintre rspunsul total i cel staionar.Acesta continu la infinit doar n cazul teoretic al vibraiilor neamortizate, amortizarea prezent ncazul structurilor reale ducnd la diminuarea acestuia cu timpul, motiv din care se numetetranzitoriu.

n cazul n care se neglijeaz efectul dinamic al sistemului SGLD, coninut n termenul deacceleraie din ecuaia (2.40), se obine deplasarea static a sistemului n orice moment de timp tdat:

( ) 0 sinstp

u t tk

= (2.47)

Valoarea maxim a deplasrii statice este:( ) 0

0st

pu

k= (2.48)


3/21


4/21


35

Figura 2.20. Factorul dinamic pentru deplasare i unghiul de faz pentru un sistem neamortizatexcitat de o for armonic (Chopra, 2001).

Factorul dinamic pentru deplasare Rd este egal cu raportul dintre amplitudinea u0 a deplasriidinamice (oscilatorii) i deplasarea static ( )

0stu . Expresia factorului dinamic pentru deplasare din

ecuaia (2.51) este prezentat grafic n Figura 2.20 funcie de raportul n i permite urmtoareleobservaii: pentru valori mici ale raportului n (fora dinamic variaz "lent"), factorul dinamic pentru

deplasare Rdeste doar cu puin mai mare dect 1, amplitudinea micrii dinamice fiindapropiat de deformaia static

pentru 2n > ( 2n > ), factorul dinamic pentru deplasare Rd< 1, amplitudinea micriidinamice fiind mai mic dect deformaia static

odat cu creterea raportului n peste 2 factorul dinamic pentru deplasare Rdscade,ajungnd la valoarea 0 pentru n , ceea ce implic faptul c oscilaiile datorate uneivariaii foarte rapide ale forei perturbatoare n comparaie cu pulsaia proprie a sistemului suntmici

pentru 1n ( apropiat de n ), factorul dinamic pentru deplasare Rdeste cu mult maimare dect 1, ceea ce nseamn c amplitudinea micrii dinamice este mult mai mare dectdeformaia static

Pulsaia rezonant reprezint pulsaia forei perturbatoare pentru care factorul dinamic Rd estemaxim. n cazul unui sistem neamortizat pulsaia rezonant coincide cu pulsaia proprie de vibraie

n , iar factorul dinamic pentru deplasare Rd este infinit la aceast pulsaie. Totui, micarea deoscilaie nu devine infinit imediat, ci gradual, dup cum se va vedea din cele ce urmeaz.


5/21


36

Pentru n = soluia (2.46) a ecuaiei de micare nu mai este valabil, soluia particular (2.42)nefiind valabil deoarece este parte a soluiei complementare. n acest caz soluia particular areforma:

( ) 0 cos2

p n n n

pu t t t

k = = (2.52)

iar soluia complet pentru condiii iniiale de repaus (0) (0) 0u u= = devine:

( )01

( ) cos sin2

n n n

pu t t t t

k = (2.53)

sau

( )0

( ) 1 2 2 2cos sin

2 st n n n

u t t t t

u T T T

=

(2.54)

Aceast relaie este reprezentat grafic n Figura 2.21, de unde se poate observa c timpul n careare loc o oscilaie complet este egal cu Tn. Micarea oscilatorie u(t) are maxime locale pentru

( )1/ 2 nt j T= cu valori de ( )( )0

1/ 2 , 1, 2,3...st j u j = , i minime locale pentru nt jT= cu valori de

( )0

, 1, 2, 3...st j u j = . n fiecare ciclu de oscilaie amplitudinea deplasrii crete cu valoarea:

( ) ( ) ( ) 01 0 01 j j st st p

u u u j j uk

+ = + = = (2.55)

Amplitudinea deplasrii crete la infinit, dar aceasta devine infinit doar dup un timp infinit.

Figura 2.21. Rspunsul unui sistem neamortizat sub aciunea unei fore sinusoidale cu frecvena

n = , (0) (0) 0u u= = (Chopra, 2001).

Creterea infinit a deformaiilor n cazul sistemelor neamortizate sub aciunea unei ncrcriarmonice este teoretic din dou motive. n primul rnd structurile reale au amortizare intrinsec,care va limita amplificarea la infinit a deformaiilor. n cel de-al doilea rnd, structurile reale nu auun rspuns infinit elastic, astfel nct odat cu creterea deformaiilor peste o anumit valoare,structura fie va intra n curgere plastic, rigiditatea va scdea i pulsaia proprie nu va mai fi egalcu cea perturbatoare, fie va ceda ntr-un mod fragil.


6/21


37

2.3.2. Vibraii armonice amortizate ale sistemelor SGLD

Rspunsul staionari tranzitoriu

Folosind ecuaia de micare (2.6) pentru cazul unor vibraii amortizate generate de o forperturbatoare 0( ) sin p t p t = obinem:

0

sinmu cu ku p t + + = (2.56)

Deformaia u(t) a sistemului SGLD poate fi obinut rezolvnd ecuaia (2.56) pentru condiiile iniiale:

(0) (0)u u u u= = (2.57)

unde (0)u i (0)u sunt deplasarea, respectiv viteza n momentul n care este aplicat foradinamicp(t). Soluia particular a ecuaiei (2.56) este:

( ) sin cospu t C t D t = + (2.58)

unde

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

0

2 22

0

2 22

1

1 2

2

1 2

n

n n

n

n n

p

C k

pD

k

=

+

=

+

(2.59)

Soluia complementar a ecuaiei (2.56) este identic soluia care caracterizeaz oscilaiile libereamortizate:

( )( ) cos sinntc D Du t e A t B t = + (2.60)

unde 21D n = . Soluia complet a ecuaiei (2.56) este:

( )( ) cos sin sin cosnt D Du t e A t B t C t D t

= + + + (2.61)

rspuns tranzitoriu rspuns staionar

Figura 2.22. Rspunsul unui sistem SGLD amortizat sub aciunea unei fore armonice pentru0.2n = , 0.05 = , (0) 0u = , (0) /n ou p k= (Chopra, 2001).


7/21


38

ConstanteleAi B de mai sus pot fi determinate folosind condiiile iniiale (0)u i (0)u . Similarvibraiilor forate neamortizate, rspunsul dinamic n cazul unor vibraii forate amortizate estecompus din dou componente: rspunsul tranzitoriui cel staionarsau forat.

Ecuaia (2.61) este reprezentat grafic n Figura 2.22 pentru 0.2n = , 0.05 = , (0) 0u = ,

(0) /n ou p k= . Rspunsul total este indicat printr-o linie continu, iar cel staionar printr-o linientrerupt. Diferena dintre rspunsul total i cel staionar este rspunsul tranzitoriu, care scadeexponenial cu timpul cu o rat care depinde de n i . Dup un timp rspunsul unui sistemamortizat acionat de o for perturbatoare armonic este guvernat de componenta staionar. nmare parte din cele ce urmeaz se va studia doar componenta staionar a vibraiilor forate. Se vaavea totui n vedere c este posibil ca deformaia maxim a sistemului s aib loc nainte casistemul s ating stadiul staionar.

Rspunsul pentru=n

n continuare se va examina rolul amortizrii n reducerea vibraiilor tranzitorii i n limitareavibraiilor staionare pentru cazul n care pulsaia forei perturbatoare este egal cu pulsaia propriea sistemului. Pentru n = constantele C i D din ecuaia (2.59) devin C=0 i ( )0 2stD u = .

Pentru n = i condiii iniiale de repaus, constanteleAi B din ecuaia (2.61) pot fi determinatea fi ( )

02stA u = i ( )

2

02 1stB u = . nlocuind valorile constantelorA, B, C i D n ecuaia

(2.61), aceasta devine:

( )0 2

1( ) cos sin cos

2 1

nt

st D D nu t u e t t t

= +

(2.62)

Ecuaia (2.62) este reprezentat grafic n Figura 2.23 pentru fraciunea din amortizarea critic0.05 = . Comparnd Figura 2.23 cu Figura 2.21 reprezentnd cazul vibraiilor neamortizate se

poate observa c amortizarea atenueaz micarea oscilatorie n fiecare ciclu, limitnd rspunsul la

valoarea:( )

00

2

stuu

= (2.63)

Pentru sisteme cu o amortizare mic, termenul coninnd sinus din ecuaia (2.62) este neglijabil,iar D n , astfel nct ecuaia (2.62) se simplific la:

( ) ( )01

( ) 1 cos2

nt

st nu t u e t

(2.64)

funcia nfurtoare

Variaia n timp a deplasrii urmrete forma dat de funcia cos nt , amplitudinea acesteia fiindindicat n Figura 2.23 cu linie ntrerupt.

Amplitudinea micrii staionare sub aciunea unei fore perturbatoare cu pulsaia n = i rata cucare este atins starea de micare staionar depinde foarte mult de amortizarea sistemului. Acestfapt se poate observa n Figura 2.24, n care este reprezentat ecuaia (2.62) pentru trei valori ale : 0.01, 0.05 i 0.1. Cu ct este mai mic amortizarea, cu att este mai mare numrul de oscilaiinecesare pentru a atinge o anumit proporie din amplitudinea micrii staionare u0. De exemplu,numrul de oscilaii complete necesare pentru a atinge 95% din u0 este egal cu 48 pentru = 0.01, 24 pentru = 0.02, 10 pentru = 0.05, 5 pentru = 0.1, 2 pentru = 0.2.


8/21


39

Figura 2.23. Rspunsul unui sistem amortizat cu 0.05 = sub aciunea unei fore perturbatoare

sinusoidale cu n = ; (0) (0) 0u u= = (Chopra, 2001).

Figura 2.24. Rspunsul a trei sisteme amortizat cu = 0.01, 0.05 i 0.1 sub aciunea unei fore

perturbatoare sinusoidale cu n = ; (0) (0) 0u u= = (Chopra, 2001).

Deformaia maximi unghiul de faz

Deformaiile sistemului n stadiul de vibraii staionare sunt definite de ecuaiile (2.58) i (2.59), i

pot fi rescrise sub urmtoare form:( ) ( ) ( ) ( )0 0sin sin st d u t u t u R t = = (2.65)

unde 2 20u C D= + i ( )

1tan D C = . nlocuind valorile Ci D, rezult:

( )( ) ( )

0

2 220

1

1 / 2 /

d

stn n

uR

u

= = +

(2.66)

( )

( )1

2

2 /tan

1 /

n

n

=

(2.67)

Ecuaia (2.65) este reprezentat grafic n Figura 2.25 pentru trei valori ale raportului / n i o

valoare fix a amortizrii ( 0.2 = ). n aceast figur sunt indicate valorile Rdi , precum i variaia


9/21


40

n timp a deformaiei statice, care este proporional cu fora perturbatoare p(t). Micareastaionar are aceiai perioad ca i fora perturbatoare ( 2 /T = ), dar cu defazaj de / 2 .

Figura 2.25. Rspunsul staionar al unor sisteme amortizate ( 0.2 = ) sub aciunea unei fore

perturbatoare sinusoidale cu pulsaia: / n = 0.5 (a), / n = 1 (b), / n = 2 (c), Chopra, 2001.


10/21


11/21


42

Pentru 1n ( nT T , adic fora dinamic variaz "repede"), factorul dinamic pentru

deplasare Rd tinde ctre zero odat cu creterea raportului n i este puin afectat de

valoarea amortizrii. Pentru valori ridicate ale raportului n , termenul ( )4

n domin

ecuaia (2.66), care poate fi aproximat cu:

( )

2

0

0 2 20

n

st

p

u u m

=

(2.69)ceea ce implic faptul c rspunsul este controlat de masa sistemului.

Pentru 1n (pulsaia forei perturbatoare este apropiat de pulsaia proprie de vibraie asistemului), factorul dinamic pentru deplasare Rdeste sensibil la valoarea amortizrii, i pentruvalori mici ale amortizrii poate fi mult mai mare dect 1, ceea ce nseamn c amplitudineamicrii dinamice poate fi mult mai mare dect deformaia static. Pentru 1n = ecuaia(2.66) devine:

( )0 0

02

st

n

u pu

c = = (2.70)

ceea ce implic faptul c amplitudinea micrii este controlat de amortizarea sistemului.

Unghiul de faz, care indic defazajul n timpul dintre rspunsul sistemului i fora perturbatoarevariaz cu raportul n i este reprezentat grafic n Figura 2.26. Valoarea acestuia este

examinat mai jos pentru aceleai trei regiuni ale domeniul de valori n :

Pentru valori ale raportului 1n (fora dinamic variaz "lent"), unghiul de fazeste

apropiat de 0, deplasarea sistemului fiind aproximativ n faz cu fora perturbatoare, ca nFigura 2.25a. Deplasarea sistemului i fora perturbatoare au acelai sens.

Pentru 1n (fora dinamic variaz "repede"), unghiul de fazeste apropiat de 180,deplasarea sistemului fiind n esen

defazat

de for

a perturbatoare, ca n Figura 2.25c.

Deplasarea sistemului i fora perturbatoare au sensuri opuse. Pentru 1n (pulsaia forei perturbatoare este apropiat de pulsaia proprie de vibraie a

sistemului), unghiul de fazare valoarea de 90 pentru orice valoare a lui , deplasareasistemului avnd un maximum la trecerea forei prin valoarea 0, situaie exemplificat n Figura2.25b.

Factorii dinamici

Ecuaia (2.65) reprezentnd rspunsul staionar al unui sistem amortizat sub aciunea unei foreperturbatoare armonice poate fi scris sub urmtoarea form:

( )( )

0sind

u tR tp k = (2.71)

Factorul dinamic pentru deplasareRd este egal cu raportul dintre amplitudinea u0 a deplasriidinamice (oscilatorii) i deplasarea static ( )

0stu i este dat de ecuaia (2.66).

Derivnd ecuaia (2.71) n raport cu timpul obinem urmtoarea relaie:

( )( )

0

cosvu t

R t p km

=

(2.72)

unde Rveste factorul dinamic pentru vitezi care este raportat la Rdprin ecuaia:

v d

n

R R

= (2.73)

Derivnd ecuaia (2.72) n raport cu timpul obinem urmtoarea relaie:


12/21


43

( )( )

0

sinau t

R tp m

=

(2.74)

unde Ra este factorul dinamic pentru acceleraie i care este raportat la Rdprin ecuaia:

2

a d

n

R R

=

(2.75)

Figura 2.27. Factorii dinamic pentru deplasare, vitezi acceleraie pentru un sistem amortizatexcitat de o for armonic (Chopra, 2001).

Din ecuaia (2.74) se poate observa cRa reprezint raportul dintre acceleraia sistemului dinamici acceleraia indus de forap0asupra masei m.

Factorii dinamic Rd, Rv i Ra sunt reprezentai funcie de raportul n n Figura 2.27. Se potobserva urmtoarele: Factorul dinamic pentru deplasare Rdeste egal cu 1 pentru 0n = , are valoarea maxim

pentru 1n < i tinde ctre zero pentru n Factorul dinamic pentru vitezRveste egal cu 0 pentru 0n = , are valoarea maxim pentru

1n = i tinde ctre zero pentru n


13/21


44

Factorul dinamic pentru acceleraie Ra este egal cu 0 pentru 0n = , are valoarea maxim

pentru 1n > i tinde ctre 1 pentru n

Pentru 1 2 > factorii Rdi Ra nu nregistreaz vrfuri.

Relaia simpl ntre cei trei factori dinamici:

a

v d

n n

R

R R

= = (2.76)

permite reprezentarea celor trei factori pe un singur grafic logaritmic (vezi Figura 2.28). Astfel,relaia d nR este reprezentat n mod similar cu Figura 2.27b, dar folosind o scarlogaritmic. Valorile Rdi Ra pot fi determinate de pe scrile logaritmice diagonale, diferite de scaravertical pentru Rv. Aceast reprezentare compact permite nlocuirea celor trei grafice din Figura2.27 cu unul singur (Figura 2.28).

Figura 2.28. Reprezentare folosind un grafic combinat cu patru scri logaritmice a factorilordinamici pentru deplasare, vitezi acceleraie pentru un sistem amortizat excitat de o for

armonic (Chopra, 2001).

Rspunsul la rezonan

Frecvena rezonant este definit ca i frecvena la care se nregistreaz amplitudinea maxim arspunsului n termeni de deplasare, vitez sau acceleraie. Dup cum se poate observa dinFigura 2.27 valorile maxime ale deplasrii, vitezei i acceleraiei se nregistreaz la valori puindiferite ale pulsaiei. Frecvenele (sau pulsaiile) de rezonan pot fi determinate derivnd expresiile

Rd, Rvi Ra n raport cun

i egalndu-le cu zero. Pentru 1 2 < acestea sunt:

pulsaia rezonant pentru deplasare: 21 2n

pulsaia rezonant pentru vitez: n


14/21


45

pulsaia rezonant pentru acceleraie: 21 2n

Pentru un sistem neamortizat cele trei pulsaii rezonante sunt identice i sunt egale cu pulsaiaproprie de vibraie a sistemului n . De notat faptul c pulsaiile rezonante pentru un sistem

amortizat sunt diferite de pulsaia de vibraii amortizate D . Totui, pentru valori mici aleamortizrii ( 20% < ), diferenele ntre pulsaia rezonant, cea proprie i cea amortizat sunt

minore. Valoarea factorilor dinamici corespunztor pulsaiilor rezonante ale acestora sunt:

2 2

1 1 1

22 1 2 1d v a R R R

= = =

(2.77)

Limea de band la semiputere

Limea de band la semiputere este diferena dintre valorile pulsaiilor de cele dou pri ale

pulsaiei rezonante ( )b a pentru care factorul dinamic pentru deplasri este de 1 2 ori maimic dect valoarea acestuia la rezonan. Acest concept este exemplificat n Figura 2.29.

Figura 2.29. Definiia limii de band la semiputere (Chopra, 2001).

Pentru valori mici ale lui este adevrat urmtoarea relaie:

2b a

n

= (2.78)

relaie care poate fi reformulat ca i:

2

b a

n

= sau

2

b a

n

f f

= (2.79)

unde 2f = este frecvena de vibraie. Acest rezultat permite evaluarea amortizrii uneistructuri pe baza unor ncercri de vibraii forate.


15/21


46

2.3.3. Rspunsul dinamic sub aciunea unei fore arbitrare

Rspunsul sub aciunea unui impuls unitar

O for de tip impuls este o for care are o valoare mare i acioneaz pentru o perioad foartescurt. n Figura 2.30a este reprezentat o for ( ) 1p t = de durat i care ncepe la timpul

t = . Pentru valoarea 0 fora tinde ctre , dar mrimea impulsului forei, definit ca i

integrala funcieip(t) rmne egal cu unitatea. O astfel de for pentru cazul 0 se numeteun impuls unitar.

Conform legii a 2-a a lui Newton, dac o forp acioneaz asupra unei mase m, variaia cantitiide micare (sau a impulsului punctului material) este egal cu fora aplicat:

( )d

mu pdt

= (2.80)

Figura 2.30. Un impuls unitar (a) i rspunsul sub aciunea unui impuls unitar (b), Chopra, 2001.

Pentru o mas constant aceast ecuaie devine:

mu p= (2.81)

Integrnd ambele pri n raport cu timpul obinem:

( )2

1

2 1

t

t

pdt m u u m u= = (2.82)

Integrala din partea stng a ecuaiei reprezint mrimea impulsului forei, iar produsul dintremasi vitez este cantitatea de micare (impulsul punctului material). Astfel, ecuaia (2.82) aratc mrimea impulsului este egal cu variaia cantitii de micare.

Acest rezultat este valabil i pentru sisteme cu un singur grad de liberate dinamic, atunci cndfora acioneaz pe o durat infinitezimal, deoarece nici rigiditatea i nici amortizarea nu au timps fie implicate n micare. De aceea, folosind ecuaia (2.82), un impuls unitar la timpul t = vaimprim masei m viteza:

( ) 1um

= (2.83)

iar deplasarea este egal cu zero pn n momentul acionrii impulsului:


16/21


47

( ) 0u = (2.84)

Un impuls unitar va genera vibraii libere unui sistem SGLD din cauza vitezei i deplasrii iniialedate de relaiile (2.83) i (2.84). nlocuind cele dou relaii n ecuaia (2.18) obinem rspunsul unuisistem neamortizat sub aciunea unui impuls unitar:

( ) ( ) ( )1

sin nn

h t u t t t

m

= (2.85)

n mod similar pe baza ecuaiei (2.29) obinem rspunsul unui sistem amortizat sub aciunea unuiimpuls unitar:

( ) ( ) ( ) ( )1

sinnt

D

D

h t u t e t t m

= (2.86)

Aceste funcii de rspuns la aciunea unui impuls unitar, notate cu h(t-) sunt artate n Figura2.30b.

Rspunsul sub aciunea unei fore arbitrare

O forp(t) care variaz arbitrar cu timpul poate fi reprezentat ca i o serie de impulsuriinfinitezimale (vezi Figura 2.31). Rspunsul unui sistem liniar elastic dinamic sub aciunea unuiimpuls de mrime p()d aplicat la momentul de timp este egal cu produsul dintre mrimeaimpulsului i rspunsul unui impuls unitar:

( ) ( ) ( )du t p d h t t = > (2.87)

iar rspunsul sistemului la timpul teste egal cu suma rspunsurilor tuturor impulsurilor pn n acelmoment (vezi Figura 2.31):

( ) ( ) ( )0

t

u t p h t d = (2.88)

rezultat care este cunoscut sub denumirea de integral de convoluiei este aplicabil oricruisistem dinamic.

nlocuind relaia (2.86) n ecuaia (2.88) obinem integrala Duhamel pentru un sistem SGLDamortizat:

( )

0

1( ) ( ) sin[ ( )]n

tt

D

D

u t p e t d m

= (2.89)

i pentru un sistem amortizat devine:

0

1( ) ( ) sin[ ( )]

t

n

n

u t p t d

m

= (2.90)

Ecuaia este valabil numai pentru condiii iniiale "de repaos": ( )0 0u = i ( )0 0u = . IntegralaDuhamel reprezint o metod general de determinare a rspunsului dinamic sub aciunea uneifore arbitrare p(t). Deoarece integrala de convoluie se bazeaz pe principiul suprapuneriiefectelor, integrala Duhamel este valabil numai pentru sisteme liniar elastice. Dac forap(t) esteeste o funcie simpl integrala se poate evalua analitic. Pentru ncrcri dinamice complicate saucare sunt definite numeric la valori de timp discrete, integrala Duhamel poate fi integrat numeric.


17/21


48

Figura 2.31. Demonstrarea grafic a integralei de convoluie (Chopra, 2001).

2.3.4. Rspunsul dinamic sub aciunea unei fore de tip treapti ramp

Spre deosebire de forele perturbatoare armonice, rspunsul dinamic sub aciunea unor fore de tiptreapt, rampi impuls este influenat ntr-o msur foarte mic de amortizarea sistemului. Dinaceast cauz analiza rspunsului dinamic n aceste din urm cazuri va fi demonstrat n principalpe baza vibraiilor neamortizate.

Rspunsul dinamic sub aciunea unei fore de tip treapt

O for de tip treapt este exemplificat n Figura 2.32a i este definit de urmtoarea relaie:

( ) 0 0 p t p t = (2.91)


18/21


49

Folosind integrala Duhamel (2.90) pentru rezolvarea ecuaiei de micare a unui sistem SGLDneamortizat se obine:

( ) ( ) 00

2( ) 1 cos 1 cos st n

n

p tu t u t

k T

= =

(2.92)

unde ( ) 00stu p k= este deformaia static sub aciunea foreip0.

Figura 2.32. Un sistem SGLD (a), fora de tip treapt (b), rspunsul dinamic (c), Chopra, 2001.

Deplasarea normalizat ( ) ( )0st

u t u n raport cu timpul normalizat nt T este reprezentat n Figura

2.32c. Se poate observa c sistemul oscileaz n jurul unei noi poziii de echilibru, deplasat cu( )

0stu fa de poziia iniial 0u = . Deplasarea maxim poate fi obinut egalnd derivata ecuaiei

(2.92) n raport cu timpul cu zero, ceea ce conduce la sin 0n nt = . Aceast ecuaie are soluia:

0nt j = sau 02

n

jt T= (2.93)

Deplasarea maxim corespunde unor valori impare ale lui j, n timp ce valorile pare conduc ladeplasrile minime. Amplitudinea deplasrii se obine din ecuaia (2.92) n care se nlocuiescvalorile t0din relaia (2.93):

( )0 02 stu u= (2.94)

rezultat care indic faptul c o for de tip treapt aplicat dinamic produce o deplasarea care estede dou ori mai mare dect deplasarea datorat aceleiai fore aplicat static.

Rspunsul unui sistem amortizat sub aciunea forei de tip treapt poate fi obinut substituindrelaia (2.91) n ecuaia (2.89) i evalund integrala Duhamel, ceea ce conduce la:

( )0 2

( ) 1 cos sin1

nt

st D Du t u e t t

= +

(2.95)

Rspunsul dinamic al sistemului amortizat este reprezentat n Figura 2.32 cu linii ntrerupte pentrudou valori ale fraciunii din amortizarea critic. Efectul amortizrii este o depire mai mic amicrii fa de poziia statici o descretere n timp a vibraiilor. Valoarea amortizrii controleazmrimea depirii i rata cu care scad amplitudinile vibraiilor. Dup un timp suficient de mare,vibraiile se opresc, fapt care reprezint stadiul staionar.

Rspunsul dinamic sub aciunea unei fore de tip ramp

O for de tip ramp este exemplificat n Figura 2.33a i este definit de urmtoarea relaie:

( ) 0 0r

t p t p t

t= (2.96)


19/21


50

Folosind integrala Duhamel (2.90) pentru rezolvarea ecuaiei de micare a unui sistem SGLDneamortizat se obine:

( ) ( )0 0

sin sin 2( )

2

n n n st st

r n r n r r n

t T t T t tu t u u

t t T t t T

= =

(2.97)

unde ( ) 00stu p k= este deformaia static sub aciunea foreip0.

Ecuaia (2.97) este reprezentat grafic n Figura 2.33c pentru tr/Tn=2.5, mpreun cu deformaiastatic n momentul t:

( )( )

( )0 st st

r

p t tu t u

k t= = (2.98)

Se poate observa c sistemul dinamic oscileaz cu perioada Tn fa de poziia de echilibru static.

(a) (b) (c)

Figura 2.33. Un sistem SGLD (a), fora de tip ramp (b), rspunsul dinamic i cel static (c),Chopra, 2001.

Rspunsul dinamic sub aciunea unei fore de tip treapt cu cretere finit

Deoarece n realitate o for nu poate fi aplicat instantaneu, este de interes analiza rspunsuluidinamic al unei fore care are o cretere finit tr, dar rmne constant dup atingerea acesteivalori. O astfel de for este exemplificat n Figura 2.34a:

( )( )0

0

0r r

r

p t t t t p t

p t t

=

(2.99)

Aceast excitaie are dou faze: faza de rampi faza constant.

Expresia deplasrii n faza de ramp este cea identic relaiei (2.97):

( )0

sin( ) n st r r n r

ttu t u t t t t

=

(2.100)

iar rspunsul n faza constant poate fi determinat nlocuind relaia (2.99) n ecuaia (2.90):

( ) ( )0

1( ) 1 sin sin st n n r r

n r

u t u t t t t t t

=

(2.101)


20/21


51

(a) (b)

Figura 2.34. Un sistem SGLD (a), fora de tip treapt cu cretere finit (b), Chopra, 2001.

Figura 2.35. Rspunsul dinamic i cel static al unui sistem SGLD sub aciunea unei fore tip treaptcu cretere finit (Chopra, 2001).

Deplasarea normalizat ( ) ( )0st

u t u este o funcie de timpul normalizat nt T , deoarece

( )2n nt t T = . Aceast funcie depinde doar raportul tr/Tn, deoarece ( )2n r r nt t T = i nu separatde tri Tn. Aceast ecuaie este reprezentat n Figura 2.35 pentru cteva valori ale raportului tr/Tndintre timpul de cretere a forei i perioada proprie a sistemului, mpreun cu rspunsul static

( ) ( )stu t p t k =

. Aceste rezultate permit urmtoarele observaii: n timpul creterii forei (faza de ramp) sistemul oscileaz fa de poziia de echilibru static cu

perioada proprie de vibraie Tn


21/21


Pentru zona de for constant (faza constant) sistemul se comport similar, oscilnd fa depoziia de echilibru static cu perioada proprie de vibraie Tn

Dac viteza este egal cu zero la finalul fazei de ramp ( ) 0ru t = , sistemul nu oscileaz ntimpul fazei de for constant

Pentru valori mici ale raportului tr/Tn (timpi de cretere a forei mici) rspunsul este similar cucel datorat unei fore de tip treapt (vezi Figura 2.34c)

Pentru valori mari ale raportului tr/Tn rspunsul dinamic este apropiat de poziia de echilibrustatic, ceea ce semnific un efect dinamic sczut.

Deplasarea atinge valoarea maxim n timpul fazei constante de aplicare a forei, iar coeficientuldinamic pentru deplasare are expresia:

( )

( )0

0

sin1

r n

d

st r n

t TuR

u t T

= = (2.102)

Coeficientul dinamic pentru deplasare atinge valoarea maximRd depinde doar de raportul tr/Tndintre timpul de cretere a forei i perioada proprie a sistemului. Reprezentarea grafic a acesteirelaii (vezi Figura 2.36) se numete spectru de rspuns al unei fore de tip treapt cu creterefinit.

Figura 2.36. Spectrul de rspuns pentru fora de tip treapt cu cretere finit (Chopra, 2001).

Spectrul de rspuns caracterizeaz complet amplitudinea rspunsului dinamic pentru orice sistemSGLD fr amortizare sub aciunea unei fore de tip treapt cu cretere finit. Pe baza spectruluide rspuns din Figura 2.36 pot fi fcute urmtoarele observaii: Dactr3Tn (un timp de cretere mare), ( )0 0stu u , adic sistemul "simte" fora perturbatoare

ca i o for aplicat static. Dactr/Tn=1, 2, 3, , ( )0 0stu u= , deoarece ( ) 0ru t = iar sistemul nu oscileaz pe durata fazei

constante de ncrcare (vezi Figura 2.35).

curs03_inginerie_seismica

Documents