UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PER INGENIERA CIVIL I. INTRODUCCION

El anlisis estructural de las vigas suele dividirse en vigas isostticas e hiperestticas. Recordemos que esta divisin corresponde a las condiciones de apoyo que presente el elemento a analizar Si la viga tiene un nmero igual o inferior a tres incgnitas en sus reacciones, bastar con aplicar las condiciones de equilibrio esttico para resolverla.

SFx = 0 SFy = 0 SM = 0Si en cambio, la viga presenta un mayor nmero de incgnitas, no bastar con las ecuaciones antes indicadas, sino que ser necesario incorporar nuevas expresiones.

Para abordar el anlisis de las vigas hiperestticas o estticamente indeterminadas resulta necesario analizar las deformaciones que experimentar la viga, luego de ser cargada. Las distintas cargas sobre la viga generan tensiones de corte y flexin en la barra, y a su vez la hacen deformarse. El anlisis de las deformaciones tiene bsicamente dos objetivos. Por una parte, el poder obtener nuevas condiciones, que traducidas en ecuaciones, nos permitan resolver las incgnitas en vigas hiperestticas. Y por otra parte, las deformaciones en s, deben ser limitadas. Los envigados de madera o acero, por ejemplo, pueden quedar correctamente diseados por resistencia, vale decir, no se rompern bajo la carga, pero podrn deformarse ms all de lo deseable, lo que llevara consigo el colapso de elementos de terminacin como cielos falsos o ventanales. No resulta extrao entonces que muchos dimensionamientos queden determinados por la deformacin y no por la resistencia.

II. DEFORMACION EN VIGAS

1. LINEA ELASTICA o ELASTICA

Denominaremos lnea elstica a la curva que forma la fibra neutra una vez cargada la viga, considerando que sta se encontraba inicialmente recta.

2. SUPUESTOS BASE.

Para establecer una serie de relaciones al interior de la seccin, indicamos que se trata de una viga, cuyo material se encuentra solicitado dentro del rango de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, y en donde se admite la conservacin de las caras planas. Dicho en otra forma, donde se cumplen la ley de Hooke y la hiptesis de Bernouilli-Navier.

a) LEY DE HOOKE.

Establece que la relacin entre la tensin y la deformacin unitaria es una constante y se denomina mdulo de elasticidad.

b) DEDUCCION DE LA FORMULA DE FLEXION.

De la deduccin realizada para dimensionar elementos sometidos a la flexin simple sabemos que:

c) ANALISIS DE LA SECCION

La seccin cc tt, inicialmente recta, se curva con un radio R como indica el grfico.

La fibra cc se acorta a cc.La fibra tt se alarga a tt, yLa fibra nn permanece del mismo largo.

Por tringulos semejantes non y tnt obtenemos:

La expresin final indica que la curvatura de la lnea elstica es una variable proporcional al momento flector.

3. METODOS DE CLCULO

Existen diferentes mtodos para abordar el anlisis de las deformaciones en las vigas:

Mtodo de rea de Momentos.Mtodo de Doble Integracin.Mtodo de la Viga Conjugada.

Si bien, todos presentan su mecnica propia, a la vez tienen una partida comn, que es justamente el anlisis de la elstica expuesto anteriormente.

A travs de ellos buscaremos determinar el ngulo de curvatura de la lnea elstica y sus deflexiones o flechas. Cada mtodo tiene ventajas o desventajas dependiendo de la viga a analizar.

a) METODO DE AREA DE MOMENTOS

La deduccin del captulo anterior establece que la curvatura de la lnea elstica est en funcin del momento flector de la viga. Si analizamos la relacin de los ngulos en el siguiente grfico tenemos que:

Los tringulos rectngulos OAE y OBC forman respectivamente en E y C un ngulo de 90-d, por lo tanto los tringulos rectngulo ACD y BED necesariamente debe formar en D el ngulo d. De esta forma, tambin podemos referirnos a d, como el ngulo que forman las tangentes a dos puntos de la lnea elstica y establecer nuevas relaciones.

PRIMER TEOREMA DE MOHR

El ngulo entre las tangentes trazadas a la elstica en dos puntos cualquiera A y B, es igual al rea de momento flector entre esos dos puntos, dividido por EI.

SEGUNDO TEOREMA DE MOHR

La distancia desde un punto B de la elstica de una viga, medida perpendicularmente a la posicin original hasta la tangente trazada por otro punto A de la elstica, es igual al momento del rea de momento flector entre los dos puntos, respecto a la ordenada que pasa por B, dividido por EI. Esta distancia la denominaremos desviacin tangencial.

EJEMPLO:

VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA

Establecemos el equilibrio externo de la viga.

Determinamos la ecuacin general de momento flector de la viga.

Aplicando el Primer Teorema de Mohr, podemos determinar el ngulo en el apoyo calculando el ngulo entre la tangente trazada en el extremo izquierdo de la elstica y la tangente trazada en el punto medio, siendo sta la tangente de pendiente nula.

Siendo la viga simtrica se deduce que este valor de ngulo es tambin vlido para el extremo derecho de sta.Otra forma de enfrentar el ejercicio, si conocemos el rea es:

Para obtener la flecha mxima aplicamos el segundo teorema de Mohr. Calculamos la desviacin tangencial en el extremo izquierdo de la elstica con respecto a la tangente trazada en el punto de flecha mxima, que en este caso corresponde a L/2.

Si conocemos el rea y su centroide podemos realizar la operacin de la siguiente forma: b) METODO DE DOBLE INTEGRACION

De la deduccin del Primer Teorema Mohr se obtuvo la expresin:

La derivada en cualquier punto de la una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

Reemplazando en la ecuacin inicial obtenemos la Ecuacin Diferencial de la Elstica de una viga

Integrando obtenemos la Ecuacin General de Pendiente.

Integrando nuevamente obtenemos la Ecuacin General de Flecha.

Este mtodo nos permite calcular las pendientes y deflexiones de la viga en cualquier punto. La dificultad radica en despejar las constantes de integracin. Esto se logra analizando las condiciones de apoyo y la deformacin de la viga.

EJEMPLO:

VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA

La ecuacin diferencial de la elstica de una viga est dada por la expresin:

El valor de momento vara en funcin de X de acuerdo a la ecuacin general antes establecida:

Entonces la ecuacin diferencial de la elstica para esta viga es:

Integrando obtenemos la ecuacin de pendiente para cualquier punto de la elstica.

Por simetra, la flecha mxima est en el punto medio de la viga, por lo que la tangente trazada en este punto de la elstica es de pendiente nula, es decir:

Por lo tanto:

Entonces la ecuacin general de la pendiente es:

La ecuacin de flecha la obtenemos integrando la ecuacin de anterior:

Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X = 0 o X = L

Entonces la ecuacin general de flecha es:

Los ngulos en los apoyos se obtiene reemplazando X=0 y X=L en la ecuacin correspondiente:

y la flecha mxima reemplazando en X = L/2.

c) METODO DE VIGA CONJUGADA

Este mtodo se basa en los mismos principios del mtodo de rea de momento, pero difiere en su aplicacin. Consiste en generar, una nueva viga ficticia de la misma longitud, y con las mismas condiciones de apoyo que la viga original, pero cargada con el diagrama del momento flector de la viga original dividido por EI. De esta manera, el ngulo de la tangente trazada en cualquier punto de la elstica de la viga real est dada por el cortante (Q ) de la nueva viga, y la flecha se determina calculando el momento flector (M) de esa viga ficticia.

Segn lo anterior, podemos establecer las siguientes equivalencias:

Podemos afirmar que existe una analoga entre las relaciones carga - cortante - momento - y momento - pendiente - flecha.

EJEMPLO

VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA

Para la aplicacin del mtodo es necesario determinar el grfico de momento flector y sus valores caractersticos.

Para obtener los valores de ngulo y flecha generamos una viga ficticia o conjugada.

VIGA FICTICIA

Generamos una viga y le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por EI.

El cortante de la viga ficticia corresponde a la pendiente que adquiere la tangente trazada a la curva elstica de la viga real, por lo que el grfico de cortante de la viga ficticia representa los cambios en la pendiente. El ngulo en el punto de apoyo de la viga original equivale a la reaccin de la viga conjugada.

El momento flector de la viga ficticia corresponde al descenso de la viga real al deformarse. En este caso, el grfico de momento de la viga ficticia representar los valores de deformacin de la viga real. Como el descenso mximo de la viga es en L/2, determinamos el momento mximo de la viga ficticia en ese punto.

III. APLICACIN.

1. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA PUNTUAL APLICADA EN L/2.

a) POR MTODO DE AREA DE MOMENTOS

Establecemos el equilibrio externo.

Determinamos la ecuacin general de momento flector.

Por simetra de la viga, deducimos que la pendiente de la tangente trazada en el punto medio de la curva elstica es nula. Para la aplicacin de los Teoremas de Mohr, debemos considerar la tangente trazada en el extremo izquierdo de la elstica y la tangente trazada en el punto medio de sta.

Para determinar los valores de ngulo en los apoyos calculamos el ngulo entre las dos tangentes:

Y la flecha mxima la obtenemos calculando la desviacin tangencial en el extremo izquierdo con respecto a la Tangente trazada por el punto medio de la curva elstica.

b) POR MTODO DOBLE INTEGRACIN.

Como la viga es simtrica analizamos slo el primer tramo. Con la ecuacin general de momento, establecemos la ecuacin diferencial de la elstica.

Integrando dos veces la ecuacin obtenemos:

Segn la deformacin de la viga, la pendiente de la tangente trazada en el centro de la viga es nula, es decir:

Entonces la ecuacin general de ngulo es:

El ngulo en el apoyo se obtiene reemplazando X=0 en la ecuacin correspondiente

Y la flecha mxima reemplazando en X = L/2.

c) POR MTODO DE VIGA CONJUGADA.

VIGA REAL

Determinamos el grfico de momento flector y sus valores caractersticos:

Generamos una viga ficticia y le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por EI. Y le determinamos las reacciones y el momento mximo, valores correspondientes a los ngulos en los apoyos y al descenso mximo de la viga dada.

Este valor de ngulo es vlido tambin para el otro extremo, porque la viga es simtrica. Y por la misma condicin, el momento mximo se produce cuando X=L/2

2. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA TRIANGULAR

a) POR MTODO DE AREA DE MOMENTO

Establecemos el equilibrio externo.

Determinamos la ecuacin general de momento flector.

Como la viga es simtrica, la tangente trazada por el punto medio de la elstica es de pendiente nula. Para determinar el ngulo en el apoyo calculamos el ngulo entre la tangente trazada en el extremo y la tangente trazada en L/2.

Para determinar la flecha mxima se calcula la desviacin tangencial en el extremo de la viga con respecto a la tangente trazada en L/2.

b) POR METODO DE DOBLE INTEGRACION

La viga es simtrica por lo tanto se puede analizar un solo tramo. Con la ecuacin general de momento flector establecemos la ecuacin diferencial de la elstica para el primer tramo.

Integrando la ecuacin dos veces obtenemos:

Segn la deformacin de la viga, la pendiente es nula cuando X = L/2

Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X = 0

Por lo tanto C2 = 0

Reemplazando C1 y C2 en las ecuaciones anteriores obtenemos:

Ecuacin general de ngulo:

Ecuacin general de flecha:

Determinamos el ngulo en los apoyos reemplazando X=0 en la ecuacin correspondiente

Siendo simtrica la viga, este valor tambin es vlido para el otro extremo de la viga.Y la flecha mxima reemplazando en X = L/2.

3. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA PUNTUAL APLICADA EN 3L/4

a) POR MTODO DE REA DE MOMENTOS.

Establecemos el equilibrio externo determinando las reacciones en los apoyos.

Determinamos las ecuaciones de momento flector para los dos tramos: de 0 a 3L/4 y de 3L/4 a L

En una viga asimtrica la curva elstica no es simtrica con respecto a su centro, lo que produce una mayor dificultad para determinar el punto cuya tangente sea de pendiente nula. Para determinar los ngulos en los apoyos y la flecha mxima, debemos recordar algunos supuestos iniciales:El arco es el producto entre un ngulo y un radio. La deformacin que se produce en una viga es muy pequea en comparacin con la longitud de ella; por lo tanto el ngulo que se genera es tambin reducido. De forma que, no existe gran diferencia entre un arco y su proyeccin vertical (desviacin tangencial).

Entonces para calcular los ngulos en los apoyos debemos calcular primero la desviacin tangencial en un extremo de la viga con respecto a la tangente trazada en el otro extremo

Como t = ngulo x largo se deduce que ngulo ()= t/largo

Para determinar el valor de la flecha mxima, necesitamos saber su ubicacin. El ngulo corresponde a un rea de momento dividido por EI. Ahora que conocemos el valor de esa rea de momento (O) podemos obtener su extensin.

Para determinar la flecha mxima calculamos la desviacin tangencial en 0, con respecto a la tangente trazada a la elstica en X=5L/4

b) POR MTODO DE DOBLE INTEGRACIN.

Con las ecuaciones generales de momento establecemos las ecuaciones diferenciales para ambos tramos, integrndola dos veces obtenemos:

Segn las condiciones de apoyoLa flecha es nula cuando X = 0 para el primer tramo

La flecha es nula cuando X = L para el segundo tramo

Segn la deformacin de la viga la pendiente es nica para ambos tramos cuando X=3L/4. Entonces igualamos las ecuaciones de pendiente de ambos tramos en 3L/4

Del mismo modo igualamos las ecuaciones de flecha de ambos tramos en 3L/4

Reemplazamos C3 en las ecuaciones anteriormente obtenidas.

Entonces las ecuaciones generales de ngulo y flecha son:

Para determinar la ubicacin de la flecha mxima en la viga es necesario considerar que la flecha es mxima cuando el ngulo es nulo, para lo cual igualamos la ecuacin de ngulo del primer tramo a cero.

Los ngulos en los apoyos se obtiene reemplazando X=0 oX=L en la ecuacin correspondiente

Y la flecha mxima reemplazando en X = 5L/4

c) POR MTODO DE VIGA CONJUGADA

Con el grfico del momento flector y sus valores caractersticos generamos la viga ficticia.

A la viga ficticia le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por EI. Se determinan los ngulos en los apoyos y el descenso mximo de la viga dada, calculando las reacciones en los apoyos y el momento mximo de la viga ficticia.

VIGA FICTICIA

4. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON UN MOMENTO APLICADO EN EL EXTREMO

a) POR MTODO DE REA DE MOMENTO.

Establecemos el equilibrio externo y determinamos la ecuacin general de momento flector.

Para calcular los ngulos en los apoyos en esta viga asimtrica, debemos calcular primero la desviacin tangencial en un extremo de la viga con respecto a la tangente trazada en el otro extremo.

Analizando la desviacin tangencial en el punto L determinamos el ngulo en 0

Analizando la desviacin tangencial en el punto 0 determinamos el ngulo en L

Para determinar la ubicacin del punto en donde la flecha es mxima aplicamos el Primer Teorema de Mohr.

Para determinar la flecha mxima calculamos la desviacin tangencial desde el punto 0 con respecto a la tangente trazada por L/3

b) POR MTODO DE DOBLE INTEGRACION.

Con la ecuacin general de momento flector establecemos la ecuacin diferencial de la elstica.

Integrando la ecuacin diferencial dos veces obtenemos:

Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X = 0 y X = L

Reemplazando los valores de C1 y C2 en las ecuaciones correspondientes podemos determinar la ecuacin general de pendiente.

y la ecuacin general de flecha.

Los ngulos en los apoyos los obtenemos reemplazando X=0 y X=L en la ecuacin de pendiente

Para determinar la ubicacin del punto en donde la flecha es mxima igualamos la ecuacin general de ngulo a cero.

Determinamos la flecha mxima reemplazando la ecuacin general de flecha en X = L/3

c) POR MTODO DE VIGA CONJUGADA

Con el grfico del momento flector y sus valores caractersticos generamos la viga ficticia.

A la viga ficticia le aplicamos como carga el momento flector de la viga dada dividido por EI y calculando las reacciones en los apoyos y el momento mximo de la viga ficticia determinamos los ngulos en los apoyos y el descenso mximo de la viga dada:

5. VIGA EN VOLADIZO CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA

a) POR MTODO DE REA DE MOMENTO

Establecemos el equilibrio externo.

Determinamos la ecuacin general de momento flector

El ngulo entre las tangente trazadas en ambos extremos de la viga lo obtenemos aplicando el Primer Teorema de Mohr.

Calculando la desviacin tangencial en 0 (extremo libre de la viga) con respecto a la tangente trazada en el otro extremo, determinamos la flecha mxima.

b) POR MTODO DE DOBLE INTEGRACION

Con la ecuacin general de momento flector establecemos la ecuacin diferencial de la elstica.

Integrando la ecuacin diferencial dos veces se obtiene:

Segn la deformacin de la viga, la pendiente es nula cuando X = L

Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X = L

Reemplazando C1 y C2 en las ecuaciones anteriores se obtiene:

Ecuacin general de pendiente.

Ecuacin general de flecha.

El valor mximo de ngulo se obtiene reemplazando X=0 en la ecuacin correspondiente

Y la flecha mxima reemplazando en X = 0.

c) POR MTODO DE VIGA CONJUGADA.

Con el grfico de momento flector y los valores caractersticos generamos la viga ficticia.

A la viga ficticia se le aplica como carga el momento flector de la viga dada dividido por EI La relacin establecida entre la viga ficticia y la viga real es que los valores de cortante y momento de la viga ficticia equivalen a la pendiente y a la flecha de la viga real. Pero en el caso particular de las vigas en voladizo, la pendiente en el apoyo es nula, as como su descenso. En este punto no deberan existir R ni M por lo tanto para la aplicacin de este mtodo, es necesario invertir el apoyo de la viga ficticia al otro extremo de la viga, de manera de encontrar R y Mmax en el punto correspondiente

IV. INDICE

I.- INTRODUCCIN

I I.- DEFORMACION EN VIGAS

1. Lnea Elstica

2. Supuestos BaseLey de HookeDeduccin de la Frmula de FlexinAnlisis de la seccin

3. Mtodos de ClculoMtodo de rea de MomentosEjemploMtodo de Doble IntegracinEjemploMtodo de Viga ConjugadaEjemplo

I II.- APLICACIN

1. Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en L/2Por Mtodo de rea de MomentoPor Mtodo de Doble IntegracinPor Mtodo de Viga Conjugada

2. Viga simplemente apoyada con carga triangularPor Mtodo de rea de MomentoPor Mtodo de Doble Integracin

3. Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en 3L/4Por Mtodo de rea de MomentoPor Mtodo de Doble IntegracinPor Mtodo de Viga Conjugada

4. Viga simplemente apoyada con un momento aplicada en el extremoPor Mtodo de rea de MomentoPor Mtodo de Doble IntegracinPor Mtodo de Viga Conjugada

5. Viga en voladizo con carga repartida uniformementePor Mtodo de rea de MomentoPor Mtodo de Doble IntegracinPor Mtodo de Viga Conjugada

I V.INDICE

CLCULO IV