Diszkrét Matematika Gyors Referencia 1.3 http://people.inf.elte.hu/jarraai/diszmat/qr.docx 1Halmazok— Műveletdefiníciók:1. Unió: A∪B := { x : x∈A ⋁ x∈B }2. Metszet: A∩B := { x : x∈A ∧ x∈B }3. Disztibutivitás: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)4. Kivonás: A\B := {x∈A:x∉B}; A\B := (A∩B)5. Szimmetrikus diff.: A∆B := (A\B)∪(B\A)6. De Morgan azonosság: (A∪B) = A∩B; (A∩B) = A∪B7. Hatványhalmaz: 𝓅(A) := { ∀B(B ⊆ A) } (potenz)Relációk— Binér Relációk:1. Rendezett pár: (x, y) = (u, v) ⇔ x = u ∧ y = v; { {x}, {x, y} }2. Binér Reláció: Halmaz, minden eleme rendezett pár- Diagonális: IIx: reláció, elemei (x, x) ∈ X×X- Leszűkítés: Rész-reláció képzés. Egy halmazra való leszűkítés: R|X := { (x, y) ∈ R : x ∈ X }- Halmaz képe: Halmaz képe egy relációban: az értékkészlet elemei amihez tartozó reláció-beli elem része a halmaznak. R(H) := { y: ∃x ∈ H : (x, y) ∈ R }; Inverz képe: R−1 (H )≔ {x :∃ y∈H :(x , y )∈R }- Kompozíció: R∘S → { (x, y) ∈ R; (u, v) ∈ S… x=v ⇒ (u, y) }3. Tulajdonságok: Tranzitív, Intranzitív, Szimmetrikus, Antiszimmetrikus, Szigorúan antiszimmetrikus, Reflexív, Irreflexív, Trichotom, Dichotom- Ekvivalenciareláció: Reflexív, szimmetrikus, tranzitív- Osztályozás: Halmazrendszer, elemei x „ekvivalens” elemeit tartalmazzák. ⋃O = H;— Rendezés (≤):1. Részbenrendezés: Tranzitív, reflexív, antiszimmetrikus reláció (létezik bizonyos elemek között rendezés-szerű reláció)2. Rendezés: Dichotom részbenrendezés (minden elem között létezik rendezés-szerű reláció)- Szigorú rendezés: Az egyenlő elemek nem állnak relációban (<)- Gyenge rendezés: Az egyenlő elemek is relációban állnak (≤)- Legkisebb elem: Minden elemnél ≤. (Nem biztos, hogy létezik)- Legnagyobb elem: Minden elemnél ≥. (Nem biztos, hogy létezik)- Minimális elem: Nincs nála kisebb elem. (Lehet több is)- Maximális elem: Nincs nála nagyobb elem. (Lehet több is)3. Jólrendezés: Van legkisebb elem— Korlátok:1. Alsó korlát: Egy részbenrendezett halmaz részhalmazának minden eleménél kisebb elem2. Felső korlát: Egy részbenrendezett halmaz részhalmazának minden eleménél nagyobb elem3. Infimum: Legnagyobb alsó korlát4. Szuprémum: Legkisebb felső korlátFüggvények— Függvény (X→Y):1. Függvény: Reláció ami minden x értékhez legfeljebb egy y értéket rendel.- Injektív: Minden x értéket más y értékre képez le. Így kölcsönösen egyértelmű (rgn(R) → dmn(R) is függvény)- Szürjektív: A teljes értékkészletre leképez- Bijektív: Injektív és szürjektív- Kanonikus leképezés: Egy elemhez az ekvivalencia osztályát rendelő leképzés— Családok:- Indexhalmaz: Egy függvény értelmezési tartománya, elemeit indexekként kezelve- Indexelt halmaz: Egy függvény értékkészlete, elemeit a függvény értelmezési tartományának elemei indexelik1. Halmazcsalád: Az értékkészlet elemei halmazokℕ— Csoportok:- Művelettípusok: Nullér (paramétertelen), Unér (egyparaméteres), Binér (kétparaméteres)- Grupoid: (G, *) rendezett pár; G egy halmaz, * egy rajta értelmezett művelet (G×G reláció)1. Félcsoport: A halmazon a művelet asszociatív- Semleges elem: A halmaz bármely eleme és a semleges elemre a művelet az eredeti elemet eredményezi- Inverz: A halmaz bármely eleme és az inverzre a művelet a semleges elemet eredményezi2. Semleg. elemes félcsop.: Létezik semleges elem a halmazban a műveletre nézve3. Csoport: Félcsoport + minden elemnek van inverze4. Ábel csoport: Csoport + a halmazon a művelet kommutatív- Nullelem: Kommutatív esetben használt semleges elem (additív jelölés: +)- Egységelem: Nem kommutatív esetben használt semleges elem (multiplikatív jelölés: ∙)ℤ— Gyűrűk:1. Gyűrű: Halmaz és a (+, ∙) műveletek párja, Ábel csoport az összeadással, félcsoport a szorzással és mindkét oldalról disztributív2. Kommutatív gyűrű: Gyűrű + a szorzás kommutatív3. Egységelemes gyűrű: Gyűrű + a szorzásban létezik egységelem4. Zérógyűrű: Gyűrű + Bármely két elem szorzata 0— Integritási tartományok:- Nullosztó: Bal és jobb oldali nem-null elemeket összeszorozva nullát kapunk. Az elemek a bal ill. jobb oldali nullosztók. A két nullosztó együtt nullosztópár. Nem lehet velük egyszerüsíteni.- Nullosztó mentes: Nincs két nem-null elem amiknek a szorzata nulla

Diszkrét Matematika Gyors Referencia 1.3 http://people.inf.elte.hu/jarraai/diszmat/qr.docx 21. Integritási tartomány: Gyűrű + kommutatív, nullosztómentes2. Rendezett integ. tart.: Integritási tartomány + rendezett halmaz, az összeadás és szorzás monotonℚ— Testek:1. Ferdetest: F gyűrű; „F \ { 0 }” a szorzással csoport2. Test: T gyűrű; „T \ { 0 }” a szorzással Ábel csoport3. Rendezett test: Test + rendezett integritási tartományℝ— Felső Határ tulajdonság és Akhimédészi tulajdonság:1. Felső határ tulajdonságú test: Rendezett test + minden nem-üres részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja. (ℝ teste.)2. Akhimédészi tulajdonságú test: T test; „x, y ∈ T, x > 0 ⇒ ∃n(n ∈ ℕ ∧ nx > y)”- Minden felső határ tulajdonságú test Akhimédészi tulajdonságú is. Fordítva nem igaz.ℂ = ℝ × ℝ— Komplex szám definíciók:1. Algebrai alak (+részei): x, y ∈ ℝ, z ∈ ℂ, i = (0, 1) — z = x + i∙y — ℜ(z) = x (valós rész) ℑ(z) = y (képzetes rész)2. Trigonometrikus alak: z ∈ ℂ — z = |z|∙(cos(α) + i∙sin(α)) (|z|∙(cos(π-α) + i∙sin(π-α) = z = |z|∙(cos(α) - i∙sin(α)))3. Argumentum: z ∈ ℂ — arg(z) = α ⇒ -π < α ≤ π ∧ z = |z|∙(cos(α) + i∙sin(α))4. Konjugált: z = x – iy5. Abszolútérték: |(a ,b )|=√a2+b2 (geometriailag: a vektor hossza)6. Signum: z ∈ ℂ — sgn ( z)= z

|z| és (z = 0 ⇒ sgn(z) = 0) — sgn(z) = sgn(z) (geometriailag: z egységhosszú irányvektora)— Műveletek:1. Összeadás: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) (geometriailag: a két vektor összege – paralelogramma módszer)2. Szorzás: (a, b) ∙ (c, d) = (a∙c - d∙b, d∙a + b∙c) (geometriailag: hosszak összeszorzódnak, szögek összeadódnak)3. Hatványozás: z ∈ ℂ — zn = |z|n∙(cos(n∙α) + i∙sin(n∙α))4. Gyökvonás: z ∈ ℂ, k = 0, 1..n-1 —n√ zk=n√|z|∙¿ (n különböző n-edik gyöke van z-nek)

— Az algebra alaptétele: n ∈ ℕ+ ∧ c0, … ,cn ∈ ℂ ∧ cn ≠ 0 — ∃z(z ∈ ℂ ∧ ∑k=0

n

(ck zk)=0) (minden legalább elsőfokú komplex együtthatós algebrai egyenletnek van komplex gyöke)ℍ = ℂ × ℂ (Kvaternió – ferdetest)— Kvaternió definíciók:1. Algebrai alak (+részei): a, b, c, d ∈ ℝ, p ∈ ℍ i = ((0,1),(0,0)), j = ((0,0),(1,0)), k = ((0,0),(0,1)) — p = a + b∙i + c∙j + d∙k — ℜ(p) = a (valós rész) ℑ(p) = b∙i + c∙j + d∙k (képzetes rész)2. Azonosságok: i2 = j2 = k2 = -1 — ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = -j3. Abszolútérték: |( (a ,b ) , ( c ,d ) )|=√a2+b2+c2+d2 (a hossza)— Műveletek:1. Összeadás: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)2. Szorzás: (a, b) ∙ (c, d) = (a∙c - d∙b, d∙a + b∙c)