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Álgebra Linear
4ª Lista de Exercícios – Sistemas Lineares
1) Resolva o sistema linear
18325
6
1132
zyx
zyx
zyx
2) Se o sistema linear a seguir, é impossível,
232
032
1
zyx
zyx
zyax
então: a) a = 0 b) a = -14/3 c) a = 3/4 d) a = 1 e) a = 28 3) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte:
"Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior?
a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos 4) (PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um
dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era
a) 96 b) 98 c) 108 d) 116 e) 128 5) (Ufg 2007) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um trabalhador
percorre 550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7 centavos para a motocicleta, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve andar em cada um dos veículos, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00.
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6) Seja o sistema
2
52
032
321
321
321
1
xxx
xxx
xxx
:S .
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S. Resp: a) é b) não é
7) Seja o sistema:
32
93 2
kyx
kyx. Calcule k para que o sistema seja homogêneo.
Resp: k = -3
8) Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:
52
1
yx
yx e
2
1
mynx
nymx
Resp: m = 0 e n = 1
9) Expresse matricialmente os sistemas:
a)
03
52
yx
yx b)
253
0
12
cba
ca
cba
10) A expressão matricial de um sistema S é
7
4
13
52
b
a. . Determine as
equações de S. 11) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
a)
432
52
yx
yx Resp: {(1,2)} b)
93
143
yx
yx Resp: {(3,2)}
12) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:
a)
3233
932
22
zyx
zyx
zyx
Resp: {(1,2,3)} b)
03
05
010
zy
zx
yx
Resp: {(6,4,1)}
13) Resolva as equações matriciais:
a)
13
9
31
12
y
x. Resp:
5
2 b)
8
2
2
115
632
741
z
y
x
. Resp:
1
2
1
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Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:
14) Discuta os sistemas:
a)
myx
ymx 2 b)
2
1
yx
ykx c)
qpzyx
zyx
zyx
4
6
1037
15) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.
a)
086
043
21
21
xx
xx b)
03
0422
0
zyx
zyx
zyx
c)
04
03
02
yx
zyx
zyx
16) Determine a e b para que o sistema
byx
ayx
44
126seja indeterminado.
17) Calcule os valores de a para que o sistema
04
123
yax
yx seja compatível e
determinado.
18) Dê os valores de a para que o sistema
542
2
zyax
azyx
azy
seja compatível e
determinado.
19) Dê o valor de a para que o sistema
054
02
02
azyx
azyx
yax
seja impossível.
20) Determine o valor de k para que o sistema
kxy
zx
yz
332
224
143
seja indeterminado.
21) Ache m para que o sistema
023
054
032
zmyx
zyx
zyx
tenha soluções próprias.
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22) Qual o valor de p para que o sistema
2
0
4
yx
zpyx
zypx
admita uma solução única?
23) (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear
2
323
1
kzy
zyx
zyx
é
compatível e determinado?
Respostas exercícios propostos:
Discussão de um Sistema Linear. 14 a) SPD se 1m SI se m = –1
b) SPD se 1k SI se k = 1 c) SPD se 1p ; SPI se p = –1 e q = 8; SI se p = –1 e
8q
15. a) indeterminado. b) indeterminado. c) determinado
16. a = 6 e b = 8 17. 6a 18. 1 e 4 aa/Ra
19. 1ou 4 aa 20. k = 5
21. 13
3m
22. 1 p/Rp
23.
4
1k/Rk
Escalonamento de Sistemas Lineares
24) Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados:
a)
62
12
032
z
zy
zyx
b)
0
223
zy
zyx c)
0
22
dc
dcba
25) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
a)
02
833
132
zy
zyx
zyx
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b)
5232
2
zyx
zyx
c)
032
3
zyx
zyx