doktoratura lindita hamolli, fakulteti i shkencave i natyrore

UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I FIZIKËS

DISERTACION PËR MBROJTJEN E GRADËS

“DOKTOR I SHKENCAVE”

ZBULIMI I PLANETEVE JASHTËDIELLORE

NËPËRMJET MIKROPËRTHYERJES GRAVITACIONALE

Kandidati: Udhëheqës shkencor:

Msc. LINDITA HAMOLLI Prof. Dr. MIMOZA HAFIZI

Tiranë, 2013

UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I FIZIKËS

Disertacion i paraqitur nga:

Msc. Lindita Hamolli

për marrjen e gradës shkencore

DOKTOR

ZBULIMI I PLANETEVE JASHTËDIELLORE

NËPËRMJET MIKROPËRTHYERJES GRAVITACIONALE

Udhëheqës shkencor :

Prof. Dr. Mimoza Hafizi

Mbrohet më datë _________________________ para jurisë:

1. _______________________________________ Kryetar

2. _______________________________________ Anëtar (oponent)

3. _______________________________________ Anëtar (oponent)

4. _______________________________________ Anëtar

5. _______________________________________ Anëtar

Përmbledhje Mikropërthyerja gravitacionale është një teknikë vrojtimi që lejon dedektimin e objekteve të zbehtë, kur fusha e tyre gravitacionale vepron si një lente për të amplifikuar yjet burime të largët. Ne përdorim këtë metodë për eksplorimin e planeteve të lira drejt fushës së pamjes së teleskopëve Kepler dhe Euclid. Llogaritjet tona janë bazuar në rezultatet më të fundit për funksionin masë të planeteve të lira në rangun e masës 5 2[10 ,10 ]M− −

dhe numrit të tyre për yll. Ne konsiderojmë që shpërndarja hapësinore dhe shpërndarja e shpejtësive e planeteve të lira është e njëjtë me të yjeve. Në rastin e teleskopit Kepler, ne gjejmë që numri i ngjarjeve mikropërthyerje është shumë i vogël vetëm për yjet shenjëza të tij, por bëhet i rëndësishëm kur konsiderojmë të gjitha yjet në fushën e pamjes. Ndërkohë për teleskopin Euclid, gjejmë që ai do të dedektojë qindra ngjarje mikropërthyerje për muaj shkaktuar nga planetet e lira. Me anë të metodës mikropërthyerje, përcaktimi i masave të planeteve të lira ka degjenerim të trefishtë. Një mënyrë për të hequr pjesërisht degjenerimin është efekti paralaks, i cili shkakton anomali në kurbat e dritës. Duke përdorur një popullim sintetik të planeteve të lira, ne llogaritim efiçiencën e efektit paralaks dhe gjejmë që rreth 30% e ngjarjeve do të jenë me efekt paralaks të dedektueshëm. Gjithashtu, ne konkludojmë rreth pozicionit më të mirë të Tokës në orbitën e saj për përftimin e numrit më të madh të ngjarjeve me gjurmë paralaksi. Fjalë kyçe: mikropërthyerja gravitacionale, funksioni masë, planetet e lira, struktura e Galaksisë Abstract Gravitational microlensing is an observational technique that allows the detection of faint objects, when their gravitational field acts as a lens to magnify the distant source stars. We use this method for exploration of free-floating planets towards the field of view of Kepler and Euclid telescopes. Our calculations are based on latest results about the free-floating planet mass function in the mass range

5 2[10 ,10 ]M− − and the number of them per star. We consider the same spatial distributions and velocity

distributions for free-floating planets as for the stars. In the case of the Kepler telescope, we find that the number of microlensing events is very small for the target stars, but becomes significant when one considers all the stars in the field of view. Meanwhile for the Euclid telescope we find that it will detect hundreds microlensing events per month caused by free-floating planets. By the microlensing method, the determination of the free-floating planet mass has a threefold degeneracy. One way to partially remove this degeneracy is the parallax effect, which causes anomalies in light curves. Making use of a synthetic population, we calculate the efficiency of the parallax effect and find that around 30% of events will have a detectable parallax effect. Furthermore, we conclude about the best positions of the Earth in its orbit for obtaining the greatest number of events with parallax traces. Key words: gravitational microlensing, mass function, free-floating planet, structure of Galaxy

I

Përmbajtja

PARATHËNIE ……………………………………………………………………IV

HYRJE ………………………………………………………………………………V

SIMBOLET DHE KONSTANTET . .…………………………………………...VIII

1. PLANETET E LIRA. METODA E MIKROPËRTHYERJES GRAVITA-

CIONALE ……………………………………………………………………….......1

1.1 Planetet jashtëdiellore…………………………………………………………….1

1.2 Planetet e banueshme …………………………………………………………….2

1.3 Planetet e lira……………………………………………………………………...2

1.4 Metodat e dedektimit të planeteve jashtë sistemit diellor………………………...3

1.5 Përthyerja gravitacionale.........................................................................................4

1.6 Metoda e mikropërthyerjes gravitacionale………………………………………..5

1.6.1 Hyrje ……………………………………………………………………….5

1.6.2 Misionet që përdorin teknikën e mikropërthyerjes gravitacionale................5

1.6.2.1 MACHOs.........................................................................................6

1.6.2.2 Mision EROS...................................................................................6

1.6.2.3 Misioni OGLE..................................................................................7

1.6.2.4 Misioni MOA...................................................................................7

1.6.2.5 µFUN-PLANET...............................................................................7

1.6.2.6 GEST................................................................................................7

1.6.3 Gjeometria e mikropërthyerjes gravitacionale..............................................8

1.6.4 Pozicionet e imazheve për një lente pikësore.............................................10

1.6.5 Amplifikimi i imazheve...............................................................................12

1.6.6 Madhësitë e vrojtueshme gjatë një ngjarje mikropërthyerje.......................14

1.6.7 Karakteristikat e ngjarjeve mikropërthyerje standarte……………………18

1.6.8 Anomalitë në kurbat e dritës ……………………………………………..18

1.6.8.1 Efekti paralaks …………………………………………………...18

1.6.8.2 Lentja binare ……………………………………………………..21

1.6.8.3 Efektet e fundme të burimeve …………………………………...23

II

1.6.9 “Tubi” i mikropërthyerjes gravitacionale ………………………………..24

1.6.10 Thellësia optike ……………………………………………………….25

1.6.11 Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje………………………………………26

1.7 Galaksia “Rruga e Qumështit”…………………………………………………29

1.7.1 Yjet në Galaksinë tonë……………………………………………………29

1.7.2 Funksioni masë i yjeve në Galaksi………………………………………..30

2.METODA E MIKROPËRTHYERJES GRAVITACIONALE DREJT FUSHËS

SË PAMJES KEPLER …………………………………………………………….31

2.1 Misioni Kepler…………………………………………………………………...31

2.2 Popullimi planetar ………………………………………………………………32

2.3 Përcaktimi i koefiçientit PLk …………………………………………………….34

2.4 Përcaktimi i koefiçientit 3k …………………………………...............................36

2.5 Thellësia optike në fushën e pamjes Kepler..........................................................38

2.5.1 Llogaritja e integralit përgjatë distancës………………………………….39

2.5.2 Rezultate......................................................................................................40

2.6 Pragu i amplifikimit………………………………………………………….......42

2.7 Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje në fushën e pamjes Kepler………………......42

2.7.1 Rezultate……………………………………………………………..........45

2.8 Numri i ngjarjeve mikropërthyerje në fushën e pamjes Kepler……………........48

2.9 Ndikimi i distancës në thellësinë optike dhe ritmin e ngjarjeve…………….......49

2.10 Yjet në fushën e pamjes Kepler…………………………………………........ 52

2.11 Variabiliteti i yjeve…………………………………………………………….55

2.12 Diskutime dhe përfundime……………………………………………………. 55

3. EKSPLORIMI I PLANETEVE TË LIRA DREJT BULBIT GALAKTIK …58

3.1 Hyrje…………………………………………………………………………......58

3.2 Teleskopi Euclid………………………………………………………………....58

3.3 Yjet në fushën e pamjes Euclid………………………………………………….59

3.4 Kalibrimet………………………………………………………………………..62

3.4.1 Përcaktimi i koefiçientit PLk ……………………………………………..63

3.4.2 Përcaktimi i koefiçientit 3k ……………………………………………….64

3.5 Thellësia optike drejt fushës së pamjes Euclid. …………………………………66

III

3.5.1 Thellësia optike e planeteve të lira………………………………………..66

3.5.2 Thellësia optike e xhuxhëve të errët……………………………………....67

3.5.3 Thellësia optike e ngjarjeve shkaktuar nga yjet…………………………..68

3.5.4 Rezultate…………………………………………………………………..69

3.6 Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje në fushën e pamjes Euclid…………………..71

3.6.1 Rezultate…………………………………………………………………..75

3.7 Pragu i amplifikimit të teleskopit Euclid………………………………………...77

3.8 Numri i ngjarjeve mikropërthyerje……………………………………………....78

3.9 Efiçienca e efektit paralaks……………………………………………………....80

3.9.1 Metoda Monte-Karlo……………………………………………………...81

3.9.1.1 Gjenerimi i masave të planeteve të lirë…………………………..81

3.9.1.2 Gjenerimi i shpejtësive të planeteve të lira……………………...82

3.9.1.3 Shpërndarja hapësinore e planeteve të lira……………………….84

3.9.2 Përcaktimi i parametrave të vijës së shikimit……………………………..85

3.9.3 Rezultate…………………………………………………………………..87

3.10 Përcaktimi i masë së lentes……………………………………………………..92

3.11 Ndikimi i pozicionit të Tokës në efektin paralaks……………………………...93

3.11.1 Rezultate………………………………………………………………..97

3.12 Diskutime dhe përfundime……………………………………………………..99

KONKLUZIONE ………………………………………………………………..102

BIBLIOGRAFI ……………………………………………………………………...X

BOTIME DHE KONFERENCA ………………………………………………..XIII

FALENDERIME ………………………………………………………………...XIV

IV

Parathënie Punimi me temë “Zbulimi i planeteve jashtëdiellore nëpërmjet mikropërthyerjes gravitacionale” i përket fushës së Astrofizikës, një nga drejtimet themelore të Fizikës Teorike. Dukuria e mikropërthyerjes përdoret sot nga disa observatorë për dedektimin e planeteve jashtë sistemit diellor dhe objekteve të errët në Galaksinë tonë. Kjo teknikë është shumë e rëndësishmë për dedektimin e planeteve të lira. Për përgatitjen e punimit kam bashkëpunuar me një grup fizikanësh me eksperiencë në këtë drejtim, në Universitetin e Salentos në Lecce, Itali. Udhëheqësja ime shkencore e kishte filluar bashkëpunimin vite më parë. Kam kryer dy vizita shkencore dhe kontakte të herëpashershme që u finalizuan me botime të përbashkëta. Gjithashtu shumë e dobishme ka qenë dhe pjesmarrja në një shkollë verore “32nd International School for Young Astronomers (ISYA-2010)” organizuar nga International Astronomical Union, Byurakan, Armeni. Përgatitja e punimit ka zgjatur për një periudhë afërsisht prej katër vitesh. Pasi u njohëm me metodën e mikropërthyerjes gravitacionale, në revista shkencore po publikoheshin artikuj për ekzistencën e një popullimi objektesh me masë planetare në Galaksinë tonë. Ky popullim i planeteve të lira u bë dhe problemi themelor i studimit të mëtejshëm. Shpresoj që ky punim të ketë kontribuar sado pak në njohjen e këtyre popullimeve në Galaksinë tonë.

V

Hyrje Planetet jashtëdiellore po tërheqin mjaft vëmendjen e bashkësisë shkencore kohët

e fundit, në kuadrin e interesit në rritje për zbulimin e ekzistencës së jetës në to. Një nga metodat e dedektimit të këtyre objekteve është mikropërthyerja gravitacionale. Dukuria e mikropërthyerjes gravitacionale ndodh kur fusha gravitacionale e një objekti astrofizik vepron si një lente duke zmadhuar ndriçimin e yllit burim që ndodhet pas tij në vijën e shikimit vëzhgues-lente-burim. Gjatë kësaj ngjarje ajo që vrojtohet është ndryshimi i ndriçueshmërisë së yllit burim në lidhje me kohën. Matjet fotometrike japin kurbat e mikropërthyerjes gravitacionale. Këto kurba janë një burim informacioni për njohjen e popullimeve të lenteve që ndodhen në hapësirën ndërmjet vrojtuesit dhe yllit burim.

Në kapitullin e parë bëhet një përshkrim i shkurtër i metodave që përdoren sot për

zbulimin e planeteve jashtë sistemit diellor. Këto planete ose janë të lidhura me ndonjë yll rreth të cilit rrotullohen ose janë të lira plotësisht. Planetet e lira mendohet të jenë krijuar në diskun proto-planetar dhe pastaj si rezultat i proceve dinamike janë shkëputur plotësisht dhe enden në hapësirën ndëryjore. Për dedektimin e planeteve të lira e vetmja metodë deri tani është mikropërthyerja gravitacionale. Bazuar mbi këtë metodë, sot operojnë disa observatorë tokësorë dhe një observator hapësinor. Drejtimet e tyre të vrojtimit janë qendra e Galaksisë dhe Retë e Magelanit. Për shkak të prezencës së atmosferës së Tokës, dedektimi i ngjarjeve të shkaktuara nga lentet me masa të vogla ka një kufi të poshtëm. Për të shmangur ndikimin e atmosferës sot po projektohen observatorë të rinj hapësinorë.

Në këtë kapitull ne bëjmë një përshkrim gjeometrik të dukurisë së

mikropërthyerjes gravitacionale dhe përcaktojmë amplifikimin në kurbat e dritës që përftohen gjatë një ngjarje mikropërthyerje. Në rastin kur lentja dhe ylli burim konsiderohen piksorë dhe lëvizja relative e burimit, lentes dhe vrojtuesit është lineare, kurbat që përftohen janë kurba standarde. Nga madhësitë e vrojtueshme në këto kurba masa dhe distanca e lentes nga vrojtuesi nuk mund të përcaktohen në mënyrë të vetme. Në rastin jo standard në kurbat e dritës vërehen anomali, të cilat mund të vijnë nga rrotullimi i Tokës rreth Diellit, lentja mund të jetë sistem binar dhe burimet kanë përmasa të fundme. Këto efekte shtesë ndihmojnë në heqje e pjesshme të degjenerimit.

Më tutje vazhdojmë me trajtimin teorik të dy madhësive të rëndësishme në

vrojtimet mikropërthyerje: thellësisë optike dhe ritmin i ngjarjeve. Këto madhësi varen nga densiteti i masës dhe densiteti i numrit të lenteve që ndodhen përgjatë vijës së shikimit. Kështu që përcaktimi i tyre nga vrojtimet do të ndihmonte në njohjen e popullimit të lenteve. Vlerat e këtyre madhësive rriten nëse yjet burime ndodhen në distanca të mëdha. Për të patur një numër më të madh të ngjarjeve mikropërthyerje zonat e vrojtimit duhet të jenë relativisht të dendura me yje.

VI

Në kapitullin e dytë ne zbatojmë metodën e mikropërthyerjes gravitacionale për dedektimin e planeteve të lira në fushën e pamjes së teleskopit Kepler. Ky teleskop ndodhet në një observator hapësinor që rrotullohet rreth Diellit. Për dedektimin e planeteve jashtë sistemit diellor ai përdor metodën tranzit. Meqë metoda e mikropërthyerjes gravitacionale përdor matje fotometrike ashtu si dhe metoda tranzit, ne e përdorim atë në matjet fotometrike të yjeve në fushën e pamjes Kepler.

Në këtë kapitull ne llogaritim teorikisht thellësinë optike dhe ritmin e ngjarjeve

mikropërthyerje. Si objekte lente që shkaktojnë ngjarje mikropërthyerje ne konsiderojmë planetet e lira dhe xhuxhët e errët. Për kalkulimin e tyre ne mbështetemi në të dhënat më të fundit për funksionin masë dhe numrin e tyre. Ne konsiderojmë që planetet e lira dhe xhuxhët e errët kanë shpërndarje hapësinore dhe shpërndarje të shpejtësive të njëjtë me të yjeve. Nga llogaritjet tona rezultojmë që numri i ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira, vetëm për yjet shenjëza të teleskopit Kepler, është shumë i vogël.

Më tutje vazhdojmë me marrjen në konsideratë të të gjitha yjeve që ndodhen në

fushën e pamjes të teleskopit Kepler. Ne gjejmë që thellësia optike, ritmi i ngjarjeve rritet me rritjen e distancës së yjeve të vrojtuar.

Në kapitullin e tretë ne eksplorojmë planetet e lira drejt qendrës së Galaksisë.

Kohët e fundit po projektohet observatori hapësinor Euclid, i cili do të kryejë vrojtime mikropërthyerje drejt bulbit galaktik. Ky observator është planifikuar të hidhet në pikën L2 të Langranzhit për sistemin Diell-Tokë dhe do të rrotullohet bashkë me Tokën rreth Diellit. Në llogaritjet tona ne mbështetemi mbi të dhënat e teleskopit Euclid.

Në këtë kapitull ne përcaktojmë numrin e yjeve në fushën e pamjes të teleskopit

Euclid duke u mbështetur në modelet standarde të shpërndarjes së yjeve në Galaksi. Ne llogaritim thellësinë optike dhe ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje. Këto ngjarje shkaktohen nga planete e lira, xhuxhët e errët dhe yjet që ndodhen në fushën e pamjes së teleskopit Euclid. Llogaritjet tona janë mbështetur në të dhënat më të fundit për funksionin masë të lenteve dhe numrit të tyre për yll. Nga kalibrimet ne përcaktojmë koefiçientët e funksionit masë të tyre. Shpërndarjen hapësinore dhe shpërndarjen e shpejtësive të planeteve të lira dhe xhuxhëve të errë e konsiderojmë të njëjtë me të yjeve. Ne llogaritim numrin e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira dhe rezultojmë që teleskopit Euclid do të dedektojë një numër relativisht të lartë të tyre.

Parametrat e planeteve të lira nuk përcaktohen në mënyrë të vetme nga kurbat

standarde mikropërthyerje. Për të hequr pjesërisht degjenerimin ne konsiderojmë efektin paralaks të induktuar në to. Duke përdorur metodën Monte-Karlo ne gjenerojmë popullimet sintetike të planeteve të lira dhe përcaktojmë eficiencën e efektit paralaks në varësi të indeksit të funksionit masë. Ne llogaritim numrin e ngjarjeve mikropërthyerje me efekt paralaks të dedektueshëm nga simulimet e planeteve të lira në diskun e hollë, diskun e trashë dhe bulbin galaktik.

Më tej në këtë kapitull ne trajtojmë në mënyrë të detajuar ndikimin e pozicionit të

Tokës në efektin paralaks. Vrojtimet mikropërthyerje janë të interesuar për dedektimin e këtij efekti sepse ai heq pjesërisht degjenerimin në përcaktimin e

VII

parametrave të lentes. Llogaritjet tona rezultojnë që periudhat më e mirë për dedektimin e efektit paralaks në vrojtimet mikropërthyerje janë Dhjetori dhe Qershori.

Në fund të këtij punimi ne hartojmë konkluzionet e arritura nga përdorimi i

metodës së mikropërthyerjes për eksplorimin e planeteve të lira në fushën e vrojtimit të teleskopit Kepler dhe teleskopit të ardhshëm Euclid. Për njohjen më të mirë të planeteve të lira në Galaksinë tonë ne synojmë të shtrijmë kërkimin e tyre në halo. Kërkimi ynë do të vazhdojë në analizimin e efekteve të fundme të burimeve në kurbat mikropërthyerje të dritës.

VIII

Simbolet dhe konstantet Simbolet dhe konstantet më të përdorshëm në këtë punim së bashku me një përshkrim të shkurtër të kuptimit të tyre.

ER - rrezja e unazës së Ajnshtajnit,

Eθ - rrezja këndore e unazës së Ajnshtajnit,

ET - koha e Ajnshtajnit, u - distanca pa njësi lente-yll burim në planin e lentes,

( )SA t - amplifikimi në kurbën standarde, Er - rrezja e unazës së Ajnshtajnit projektuar në planin e vrojtuesit,

0t - çasti i kohës kur amplifikimi arrin vlerën vlerën maksimale,

0u - distanca minimale lente-yll burim në planin e lentes,

( )PA t - amplifikimi në kurbën me efekt paralaks,

τ - thellësia optike, Γ - ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje. Konstantet

11 2 26.67428 10 /G x Nm kg−= - konstantja e përgjithshme gravitacionale,

83 10 /c x m s= - shpejtësia e dritës,

301.99 10M x kg= - masa e Diellit,

IX

263.826 10L x W= - fuqia rrezatuese e Diellit,

61.392684 10 kmD = × - diametri i Diellit,

161 3.0856802 10pc x m= (parseku - njësi e matjes së largësive në astrofizikë)

161 . 0.95 10v d x m= (vite dritë - njësi e matjes së largësive në astrofizikë)

101 . 15 10Nj A x m (1 njësi astronomike – distanca mesatare Diell-Tokë)

24 6 5.97219 10 3 10M kg x M−⊕ = × = - masa e Tokës

71 3.15336 10T vit x s⊕ = = - perioda e Tokës rreth Diellit

91 10Gyr vite= - njësi për matjen e moshës së yjeve

Planetet e lira. Metoda e mikropërthyerjes gravitacionale

1

Kapitulli 1

PLANETET E LIRA. METODA E MIKROPËRTHYERJES GRAVITACIONALE

1.3 Planetet jashtëdiellore Universi në të cilin ne banojmë, është një strukturë gjigante e populluar nga një

larmi objektesh. Ajo pjesë ku ne ndodhemi është sistemi diellor, në qendër të të cilit ndodhet Dielli. Ai është një yll i zakonshëm, që së bashku me miliarda yje të tjerë përbën Galaksinë tonë, Rruga e Qumështit. Me miliarda galaksi të tjera që ngjajnë me Galaksinë tonë janë të shpërndara në gjithë universin.

Sistemi ynë diellor ka tetë planete, të cilat rrotullohen rreth Diellit. Toka është

planeti në të cilin ne jetojmë. Madhësia dhe larmia e universit, njohja e të cilit ka përparuar mjaft kohët e fundit, të sjell në mendje një pyetje “A jemi ne të vetëm në univers, apo ka dhe planete të tjera ku ka jetë”? Shkenca e Astrofizikës gjithmonë dhe më shumë po përpiqet t’i japë përgjigje kësaj pyetjeje. Sot, astronomët janë duke monitoruar universin nga shumë observatorë tokësorë dhe hapësinorë për zbulimin e planeteve jashtë sistemit diellor.

Një pjesë e konsiderueshme e lëndës në univers e shfaq praninë e saj vetëm

nëpërmjet gravitacionit. Kjo e ashtuquajtura lëndë e errët llogaritet të përbëjë pjesën kryesore të tij. Kandidatët e mundshëm të lëndës së errët ndahen në dy grupe, jobarionike dhe barionike. Si kandidatë jobarionikë, Fizika e Grimcave ka propozuar një bashkësi grimcash të emëruar WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles) përfaqësuesi më i njohur i të cilave është neutralino. Kandidatët barionikë përfaqësohen nga MACHOs (Massive Compact Halo Objects), ku përfshihen yje në fazën e fundit të jetës së tyre (si të tillë nuk ndriçojnë sa të mund të vrojtohen) si edhe trupa të tipit planet që nuk kanë arritur asnjëherë të bëhen yje.

Objektet e errët mund të vrojtohen nëpërmjet dukurisë së përthyerjes së rrezeve të

dritës që vjen nga burime të largëta, si rezultat i fushës gravitacionale, kur ata ndodhen në vijën e shikimit vrojtues - yll burim.


2

Nëpërmjet kësaj dukurie sot po zbulohen planete jashtë sistemit diellor. Këto

planete ndodhen në sisteme planetare (bashkësi objektesh të errët që në sajë të tërheqjes gravitacionale rrotullohen rreth yllit të vet) ose janë të lirë, pra nuk rrotullohen rreth ndonjë ylli.

Sot ekzistojnë disa teknika për zbulimin e planeteve jashtë sistemit diellor.

Planeti i parë që u zbulua është PSR B1257+12B (Wolszczan & Frail, 1992), i cili u konfirmua më 1995.

1.4 Planetet e banueshme

Një veçori shumë e rëndësishme e planeteve jashtë sistemit diellor është

banueshmëria e tyre. Një planet konsiderohet si i banueshëm kur ai shtrihet në zonën e banueshme të një ylli. Zona e banueshme është rajoni rreth yjeve brenda të cilit, objektet me masë planetare nën një presion atmosferik të përshtatshëm, shfaqin mundësinë e ekzistencës së ujit në sipërfaqen e tyre (Kasting et al., 1993; Gehman et al., 1996). Zona e banueshme është përcaktuar nga kërkesat e njohura të biosferës së Tokës, pozicionit të saj në sistemin diellor dhe sasisë së rrezatimit që ajo merr nga Dielli. Zona e banueshme në sistemin tonë diellor është nga distanca 0.725 Nj.A deri në 3.0 Nj.A (njësi astronomike) nga Dielli. Një faktor tjetër i rëndësishëm që duhet marrë në konsideratë për banueshmërinë e një planeti është stabiliteti i tij. Një planet duhet të jetë stabël për një kohë mjaft të gjatë që jeta të ketë mundësi të zhvillohet në të (Jones et al., 2001). Prandaj, nëse supozojmë që planete jashtëdiellore ekzistojnë, kërkimet duhen bërë në zonën e banueshme të yjeve. Këto planete janë si vende të mundshme që njerëzimi do të “kolonizojë” në të ardhmen.

1.3 Planetet e lira

Përveç planeteve të përmendura në paragrafin § 1.2, ekzistojnë edhe planete të

lira që janë objekte me masë planetare të palidhura me ndonjë yll. Një popullim i këtyre objekteve u zbulua nga Zapatero et al. (2000) me anë të metodës së vrojtimit direkt në klasterin e sigma Orionit. Kandidatë të rinj të planeteve të lira vazhduan të zbulohen nga Quanz et al. (2010) në Taurus. Një popullim i planeteve të lira u kap dhe nga vrojtimet me metodën e mikropërthyerjes gravitacionale drejt qendrës së Galaksisë (Sumi et al., 2011). Ky popullim vazhdoi të pasurohej me zbulimin e 23 objekteve me masë planetare përsëri në klasterin e sigma Orionit (Pena et al., 2012).


3

Veç kësaj Strigari et al. (2012) tregoi që objektet planetare me masa në intervalin 8 2[10 ,10 ]M− −

, të cilat nuk rrotullohen rreth ndonjë ylli, mund të jenë njëqind mijë herë më të pranishëm sesa yjet e vargut kryesor (yjet e qeta në Galaksinë tonë).

Sot, gjithnjë e më shumë po kërkohet të njihet origjina e planeteve të lira. Këto

planete të lira mendohet të jenë krijuar nga shkëputja e planeteve të zakonshme prej orbitave të tyre, për shkak të goditjeve me planetet e tjera ose nga tërheqja gravitacionale e yjeve të tjerë (Hurley & Shara, 2001). Këto planete enden në hapësirën ndëryjore dhe bashkë me yjet rrotullohen rreth qendrës së Galaksisë.

Madje edhe në planetet e lira, ngrohja e brendshme e tyre mund të krijojë një

temperaturë të përshtatshme për prezencën e ujit në gjendje të lëngshme, në sipërfaqen e tyre (Stevenson, 1999).

Planetet e lira janë objekte të zbehtë dhe metoda e vetme për dedektimin e tyre në zona përtej fqinjësisë sonë është mikropërthyerja gravitacionale. Këto planete janë baza e studimit në këtë punim.

1.4 Metodat e dedektimit të planeteve jashtë sistemit diellor

Një nga prioritetet e Astrofizikës në njëzet vitet e fundit është zbulimi i planeteve jashtë sistemit diellor, pra planeteve që rrotullohen rreth yjeve të tjera. Metodat e zbulimit të tyre janë:

1. metoda tranzit, e cila bazohet në kapjen e luhatjeve të vogla të dritës së yllit

qëndror, kur para tij kalon një planet (308 planete të zbuluara deri tani), 2. metoda e mikropërthyerjes gravitacionale, e cila bazohet në zmadhimin e

ndriçimit të një ylli të largët burim, kur një objekt kalon para tij në vijën e shikimit vrojtues-yll burim duke vepruar si lente (21 planete të zbuluara deri tani),

3. metoda e shpejtësisë radiale, e cila bazohet në zhvendosjen e vijave spektrale

të yllit qëndror në sajë të efektit Doppler (516 planete të zbuluara deri tani), 4. metoda e vëzhgimit direkt, e cila bazohet në përftimin e imazheve në gjatësinë

e valës infrakuq. Në këtë gjatësi vale planetet janë më të shndritshëm sesa në gjatësinë e spektrit të dukshëm. Në këtë rast drita e yllit bllokohet nga Coronagraphs (janë teleskopë që bllokojnë dritën direkte të yllit rreth të cilit planetet rrotullohen), (31 planete të zbuluara deri tani).

5. metoda pulsar timing, që bazohet në vrojtimin e anomalive të lehta në pulset

radio shumë të rregullta të një pulsari (një mbetje yjore shumë e dendur), si pasojë e pranisë së planetit rreth tij (15 planete të zbuluara deri tani).

http://lanl.arxiv.org/find/astro-ph/1/au:+Hurley_J/0/1/0/all/0/1

http://lanl.arxiv.org/find/astro-ph/1/au:+Shara_M/0/1/0/all/0/1

http://en.wikipedia.org/wiki/Coronagraph


4

Nga të gjitha këto metoda deri tani janë zbuluar 891 planete jashtë sistemit diellor, të cilët ndodhen në 696 sisteme planetare. Të dhënat për çdo planet të zbuluar gjenden tek adresa http://exoplanet.eu/catalog

1.5 Përthyerja gravitacionale

Dukuria e përkuljes së rrezes të dritës kur ajo kalon pranë një objekti masiv, u

vrojtua për herë të parë nga Eddington në 1919. Ajo që njerëzit besonin në atë kohë, ndoshta nuk ishte asgjë më shumë sesa një kuriozitet zbavitës shkencor. Sot, kjo dukuri është shumë e rëndësishme, sepse përdoret nga shkencëtarët në gjithë komunitetin e Astronomisë, për të marrë njohuri të reja për probleme ende të pazgjidhura.

Një lente gravitacionale është një masë e përqëndruar (p.sh një klastër galaksish)

midis një burimi të largët (yll apo grup yjesh) të dritës dhe një vrojtuesi, e cila është e aftë të përthyeje dritën që vjen nga burimi dhe shkon drejt vojtuesit. Ky efekt është quajtur përthyerja gravitacionale dhe është një nga parashikimet e Teorisë së Përgjithshme të Relativitetit: hapësirë-koha rreth objektit masiv është e kurbuar dhe si rezultat rrezet e dritës së burimit të largët do të përkulen.

Efekti i përthyerjes gravitacionale mund të zmadhojë (amplifikojë) dhe të

shtrembërojë imazhin e një burimi të largët. Ndryshe nga lentja optike, përkulja e rrezeve të dritës tek lentja gravitacionale është e madhe kur rrezet e dritës kalojnë pranë lentes gravitacionale dhe zvogëlohet duke ju larguar asaj. Nëse burimi i dritës, lentja gravitacionale dhe vrojtuesi ndodhen në vijë të drejtë, imazhi i burimit do të jetë një unazë rreth objektit lente me qendër tek vetë ajo. Në rast se nuk do të kishim rreshtim të tyre, vëzhguesi do të vrojtonte pjesë segmentesh në formë harku. Kjo dukuri fillimisht është përmendur nga fizikanti Orest Chwolson (1924) dhe përcaktuar nga Albert Einstein (1936). Kur lentja gravitacionale është komplekse (grup galaktik ose klaster) imazhi i burimit do përbëhet nga pjesë harqesh të shpërndara rreth lentes. Në varësi të pozicioneve relative të burimit të dritës, lentes gravitacionale, vrojtuesit dhe fushës gravitacionale të lentes, vrojtuesi mund të shikojë imazhe të shumëfishta dhe të shtrembëruara të burimit. Dallohen tre klasa të përthyerjes gravitacionale:

1) Përthyerja e fortë: këtu shtrembërimet e unazave të Ajnshtajnit, harqeve dhe

imazheve të shumëfishta janë të dukshme lehtësisht. 2) Përthyerja e dobët: këtu shtrembërimet e imazheve të burimeve janë shumë të

vogla dhe dedektimi i tyre bëhet nga analiza e një numri shumë të madh të të dhënave.

3) Mikropërthyerja: këtu nuk shihen shtrembërime të formës së imazhit të

burimit, por sasia e dritës së marrë nga burimi ndryshon me kohën.

http://en.wikipedia.org/wiki/Orest_Chwolson

http://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein


5

1.6 Metoda e mikropërthyerjes gravitacionale 1.6.1 Hyrje

Dukuria e mikropërthyerjes gravitacionale është shkaktuar nga i njëjti efekt fizik

si përthyerja e fortë dhe e dobët, por ajo studiohet duke përdorur teknika vrojtimi të ndryshme. Në përthyerjen e fortë dhe të dobët masa e lentes është shumë e madhe (masa e një galaksie ose një klasteri galaksish), ndërsa në mikropërthyerjen gravitacionale, masa e lentes është shumë e vogël (masa e një ylli ose planeti). Ajo që vrojtohet lehtësisht është ndriçueshmëria e dukshme e yllit burim. Në një situatë të tillë lentja do të kalojë pranë burimit për një kohë nga disa sekonda deri në vite, dhe jo për miliona vite si tek rastet e tjera të përthyerjes gravitacionale. Kështu që, ndryshe nga përthyerja e fortë dhe e dobët, dukuria e mikropërthyerjes gravitacionale është një fenomen kalimtar për shkallët kohore të perceptuatra nga njerëzimi (Paczynski, 1986). Gjatë dukurisë të mikropërthyerjes gravitacionale pozicioni relativ i yllit burim, lentes dhe vrojtuesit ndryshon duke bërë të mundur që ndriçueshmëria e burimit të variojë me kohën. Matja fotometrike e rritjes dhe rënies së ndriçueshmërisë së burimit në lidhje me kohën jep kurbën e mikropërthyerjes gravitacionale.

Në praktikë, mikropërthyerja gravitacionale është një dukuri e rrallë sepse duhet

që lentja të kalojë pranë vijës së shikimit drejt yllit burim. Kështu që, për të kapur ngjarje mikropërthyerje duhet të vëzhgohen fotometrikisht dhjetra miliona yje çdo ditë gjatë disa muajve. Fusha të largëta, të dendura me yje, të përshtatshme për të tilla vëzhgime janë pranë galaksive, të tilla si: Retë e Magelanit, galaksia e Andromedës dhe bulbi i Galaksisë sonë. Në secilin rast, popullimi i lenteve përbëhet nga objekte qiellore në hapësirën midis Tokës dhe fushës së yjeve burime.

Vrojtimet fotometrike me anë të teknikës së mikropërthyerjes gravitacionale,

realizohen kryesisht nga teleskopë ose rrjete të tyre të vendosur në observatorë tokësorë drejt Reve të Magelanit dhe qendës së Galaksisë. Matjet e tyre janë të ndikuara nga prezenca e atmosferës së Tokës, që është një burim i zhurmave të Puasonit, të cilat vendosin një kufi të poshtëm për dedektimin e masave të planeteve. Për të shmangur efektet e atmosferës së Tokës, sot po punohet për projektimin e observatorëve hapësinorë.

1.6.2 Misionet që përdorin teknikën e mikropërthyerjes gravitacionale Bazuar në vrojtimet e 50 viteve të fundit për lëvizjet e galaksive dhe zgjerimin e

universit, pjesa më e madhe e astronomëve besonin se 90% e universit përbëhet nga objekte dhe grimca që nuk mund të shihen. Një metodë e dedektimit të kësaj lënde të


6

errët është mikropërthyerja gravitacionale. Me këtë teknikë kanë operuar dhe vazhdojnë të punojnë disa misione. Ne mund të përmendim disa misione tokësore si MACHOs, EROS, OGLE, MOA, µFUN-PLANET dhe misionin hapësinor GEST.

1.6.2.1 MACHOs

Projekti MACHO është një bashkëpunim midis shkencëtareve në observatorët

Mt. Stromlo dhe Siding Spring, Qendra për Astrofizikën e grimcave në kampuset e Santa Barbara, San Diego dhe Berkeley të universitetit të Kalifornisë dhe laboratorit kombëtar Lawrence Livermore.

Synimi primar i tyre ishte të testonin hipotezën që një pjesë e rëndësishme e lëndës së errët në halon e Galaksisë sonë është e përbëra nga objekte si xhuxhët e errët (objekte me masë në rangun [0.01,0.08]M , në qendër të të cilëve prodhohet deuter nga hidrogjeni por nuk arrin të prodhohet helium) dhe planetet e lira. Këto objekte janë quajtur MACHOs (Massive Compact Halo Objects). Dedektimi i tyre bëhet i mundur vetëm nga efekti i lentes gravitacionale, duke monitoruar fotometrikisht disa milione yje në një periudhë disa vjeçare jashtë Galaksisë sonë.

Ky efekt u konfirmua nga Alcock et al. (1993) dhe Aubourg et al. (1993) në vrojtimet drejt LMC (Large Magellanic Cloud) nga dedektimi i tre ngjarjeve të shkaktuara nga MACHOs dhe drejt qendrës së Galaksisë (Udalski et al., 1993).

1.6.2.2 Mision EROS Edhe misioni EROS “Experience pour la Recherche d’Objets Sombres” kishte si

objektiv kërkimin dhe studimin e trupave qiellorë të errët, të ashtu quajtur MACHOs, në Galaksinë tonë. Kjo është bërë e mundur nga efekti i mikropërthyerjes gravitacionale në kurbat e dritës të yjeve në Retë e Magelanit. EROS filloi në vitin 1990 dhe i kreu vrojtimet në dy faza: EROS-1 (1990-1995) dhe EROS-2 (1996-2003) në observatorin La Silla (ESO) në Kili. Në fazën e parë u zbuluan dy kandidatë (në vitin 1993) nga vrojtimi i 8 milion yjeve që u interpretuan si ngjarje mikropërthyerje. Kandidati i dytë u kap përsëri në fazën e dytë (në vitin 1999) kështu që ai u përjashtua nga lista e kandidatëve mikropërthyerje.

Të dhënat e misionit EROS gjithashtu kanë ndihmuar në studimin e luminositetit të miliona yjeve në Retë e Magelanit dhe zbulimin e kategorive të reja të yjeve variable. Midis kategorive interesante mund të përmendim: Cefeidet, RR-Lyrae dhe Yjet e dyfishta. EROS ka lokalizuar rreth 40 Yje të dyfishta në LMC.


7

1.6.2.3 Misioni OGLE OGLE (Optical Gravitational Lensing Experiment) është një projekt polak në

fushën e Astronomisë. Ai ka filluar në vitin 1992 dhe ka si qëllim zbulimin e lëndës së errët drejt Resë së Madhe, Resë të Vogël së Magelanit dhe qendrës së Galaksisë sonë. Ai përdor teknikën e mikropërthyerjes gravitacionale dhe atë tranzit. Me anë të mikropërthyerjes gravitacionale deri tani janë zbuluar 11 planete. Teleskopi i tij është vendosur në observatorin Las Campanas në Kili.

1.6.2.4 Misioni MOA

MOA (Microlensing Observations in Astrophysics) është një projekt

bashkëpunues i kërkuesve të Japonisë dhe Zelandës së Re, i cili filloi në vitin 1995. Ata përdorin teknikën e mikropërthyerjes gravitacionale për dedektimin e lëndës së errët dhe planeteve jashtë sistemit diellor. Deri tani ai ka zbuluar 9 planete. Vrojtimet kryhen nga observatori i Universitetit Mount John në Zelandën e Re.

1.6.2.5 µFUN-PLANET

µFUN (Microlensing Follow-Up Network) është një rrjet observatorësh të shtrirë

në gjithë sipërfaqen e rruzullit tokësor (Kaliforni, Koreja e Jugut, Zelanda e Re, Australi, Afrika e Jugut, Evropa, Izrael, Amerika e Veriut dhe Amerika e Jugut) që monitorojnë ngjarjet e mikropërthyerjes gravitacionale me ndriçueshmëri të madhe drejt qendrës së Galaksisë sonë të identifikuara paraprakisht nga grupet e vrojtimit OGLE dhe MOA.

Në Janar të 2009 µFUN u bashkua me PLANET (Probing Lensing Anomalies NETwork), i cili gjithashtu ndihmon në monitorimin e ngjarjeve mikropërthyerje.

1.6.2.6 GEST GEST (The Galactic Exoplanet Survey Telescope) është mision hapësinor

(Bennett & Rhie, 2000) për kërkimin e planeteve jashtë sistemit diellor drejt qendrës së Galaksisë duke vrojtuar për 8 muaj në vit, me anë të teknikave të mikropërthyerjes

http://en.wikipedia.org/wiki/Probing_Lensing_Anomalies_NETwork

http://en.wikipedia.org/wiki/Probing_Lensing_Anomalies_NETwork


8

gravitacionale dhe tranzit. GEST është i ndjeshëm të dedektojë planete deri te masa e planetit Mars ( 73.2 10x M−

). Ai rrotullohet rreth Tokës. Koordinatat galaktike të vrojtimit janë: gjatësi 1.3l = (matet në planin galaktik nisur nga drejtimi Diell-qendër galaktike) dhe gjërësi 2.4b = − (matet nga plani galaktik drejt polit verior galaktik). Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje të dedektuara nga GEST është

63.4 10xτ −= (shiko paragrafin § 1.6.10).

1.6.3 Gjeometria e mikropërthyerjes gravitacionale Dukuria e mikropërthyerjes gravitacionale ndodh kur në drejtimin e shikimit drejt

një ylli të largët kalon një objekt qiellor, i cili përkul rrezet e yllit. Në figurën 1.1 tregohet paraqitja gjeometrike e mikropërthyerjes gravitacionale (Gould, 2000) për rastin kur vrojtuesi (V), lentja (L) dhe ylli burim (B) ndodhen në vijë të drejtë. Këndi i përthyerjes së rrezeve të dritës α është përcaktuar nga Ajnshtajni (1936) dhe jepet nga formula:

24

E

GMR c

α = , (1.1)

ku G (konstantja gravitacionale), M (masa e lentes) dhe ER (distanca më e vogël e rrezeve nga qëndra gravitacionale e lentes). Rrezet e dritës që dalin nga burimi arrijnë tek vrojtuesi të zhvendosura me një kënd Eθ nga pozicioni i vërtetë i burimit që quhet rrezja këndore i Ajnshtajnit. Në këtë rast imazhi i burimit është një unazë përqark lentes me rreze ER që quhet rrezja e unazës së Ajnshtajnit. Rrezja e Ajnshtajnit e projektuar në planin e burimit (plan pingul me vijën e shikimit që kalon nga burimi) është Er dhe rrezja e Ajnshtajnit e projektuar në planin e vëzhguesit (plan pingul me vijën e shikimit që kalon nga vrojtuesi) është Er .

Duke përdorur përafrimin për kënde të vegjël (figura 1.1; djathtas) shkruajmë:

2

4E E E

GMr Rc

θ α= = . (1.2)

Nga teorema e këndit të jashtëm të trekëndeshit dhe duke shënuar LD - largësinë vrojtues-lente dhe SD - largësinë vrojtues-yll burim kemi:


9

Figura 1.1 Majtas: gjeometria standarde e mikropërthyerjes gravitacionale. Kurba e theksuar tregon rrugën e rrezeve të dritës nga ylli burim (B) tek vëzhguesi (V), e cila përkulet nga lentja (L) me masë M. Këndi i përkuljes është 24 / EGM R cα = , ku ER është rrezja e Ajnshtajnit. Imazhi I është zhvendosur nga burimi me këndin e Ajnshtajnit Eθ . Rrezja e Ajnshtajnit e projektuar në planin e

burimit është Er . Djathtas: gjeometria natyrale e mikropërthyerjes. E njëjta gjë si në anën e majtë me përjashtimin që rrezja e Ajnshtajnit e projektuar në planin e vëzhguesit është Er .

E E E

EL S rel

r r rD D D

θ α ψ= − = − = , (1.3)

ku 1 1 1rel L SD D D− − −= − . Përcaktohet një madhësi që quhet paralaksi relativ lente-burim

dhe jepet nga :

1 1( )relL S

AUD D

π = − , (1.4)

ku AU është Njësia Astronomike (distanca mesatare Tokë-Diell). Duke zëvendësuar barazimin (1.4) tek (1.3) përftojmë:

relE

E AUrπθ

= . (1.5)

Nga kombinimi i ekuacioneve (1.2) dhe (1.5) marrim shprehjen për rrezen këndore të Ajnshtajnit në radian:

2 2

4 4rel LSE

L S

DGM GMc AU c D D

πθ = = , (1.6)

Standard Natyral


10

ku LS S LD D D= − (distanca lente-yll burim). Ndërsa rrezja e Ajnshtajnit do të jepet nga:

2

4 LSE L E L

L S

DGMR D Dc D D

θ= = . (1.7)

1.6.4 Pozicionet e imazheve për një lente pikësore

Në rastet e përgjithshme të efektit të mikropërthyerjes gravitacionale ylli burim,

lentja dhe vëzhguesi nuk ndodhen në të njëjtën vijë, kështu që imazhi i burimit nuk do të jetë një unazë rreth lentes, por dy pjesë harqesh në të dyja anët e saj (Mao, 2008). Një rast i tillë është paraqitur në figurën 1.2.

Në përafrimin e këndeve shumë të vegjël dhe duke e konsideruar masën e lentes

të përqëndruar në qendër të saj, shkruajmë që Lb Dθ= dhe këndi i përthyerjes së rrezeve të dritës jepet,

2

4 1( )L

GMc D

α θθ

= . (1.8 )

Gjithashtu, mund të shkruajmë:

( ) ( )SS S S LS S

LS

DD D DD

θ θ α α θ θ θ= + ⇒ = − . (1.9)

Duke zvendësuar barazimin (1.9) tek (1.8) do të përftojmë:

2 2

4 1 4( ) ( )S LSS S

LS L S L

D DGM G MD c D c D D

θ θ θ θθ θ

− = ⇒ − = . (1.10)


11

Figura 1.2. Burimi (B) dhe lentja (L) nuk ndodhen në një vijë por të zhvendosur me një kënd Sθ . Në këtë rast kemi dy imazhe: 1I dhe 2I . Këndi θ është këndi i përftimit të imazht 1I në lidhje me vijën e shikimit vrojtues-lente. LD është distanca vëzhgues-lente, SD është distanca vëzhgues-burim dhe

LSD është distanca lente-burim. b është distanca më e vogël midis rrezes së përthyer (vija e theksuar) dhe qendrës së lentes.

Duke ditur që rrezja këndore e Ajnshtajnit jepet nga barazimi (1.6) ne përftojmë lidhjen e mëposhtme:

2E

Sθθ θθ

= + . (1.11)

Duke futur dy parametra S

Eu θ

θ= dhe

Ey θ

θ= që japin këndet Sθ dhe θ në kënde

Ajnshtajni Eθ , ekuacioni (1.11) do të marrë trajtën:

1 2 1 0u y y y uy−= − ⇒ − − = . (1.12)

Ky ekuacion ka dy rrënjë që na japin pozicionet e dy imazheve të burimit:

21 ( 4)2

y u u± = ± + . (1.13)

Plani i yllit burim

Plani i lentes Plani i vëzhguesit

DL

DS

DLS

α

b θ θS

I1

I2

L

B


12

Zgjidhja pozitive jep pozicionin e imazhit të madh jashtë unazës së Ajnshtajnit dhe zgjidhja negative pozicionin e imazhit tjetër brenda unazës. Në figurën 1.3 jepen pozicionet e dy imazheve I+ dhe I− . Parametri u është hapja këndore midis qendrave të lentes dhe yllit burim në rreze këndore të Ajnshtajnit. Nëse fokusohemi në planin e lentes, për parametrin u mund të shkruajmë:

S S L S L

E E L E

D DuD R

θ θ θθ θ

= = = . (1.14)

Pra, u tregon distancën midis qendrës së lentes dhe yllit burim në planin e lentes në rreze Ajnshtajni. Parametrit u të shprehur në trajtën (1.14) do t’i referohemi gjatë gjithë punimit.

Figura 1.3. Burimi (B) është lokalizuar në një hapje këndore 0.2u = nga lentja (L). Dy imazhe janë krijuar, një jashtë unazës së Einstein (I+) dhe një brenda unazës (I-). Rrethi me vijë të ndërprerë paraqet unazën e Ajnshtajnit. Vija e shikimit është nga vëzhguesi tek lentja pingul me planin e figurës.

1.6.5 Amplifikimi i imazheve Çdo yll burim në fushën e pamjes ka një ndriçueshmëri të dhënë, që përcaktohet

nga vrojtimet. Kur një objekt qiellor kalon pranë vijës së shikimit drejt yllit burim, ndodh efekti i mikropërthyerje gravitacionale. Ndriçueshmëria e yllit burim rritet deri në një vlerë maksimale dhe pastaj zvogëlohet përsëri. Faktorin me të cilin rritet ndriçueshmëria e yllit gjatë dukurisë së mikropërthyerjes gravitacionale, e quajmë amplifikim.


13

Imazhet e burimit janë pranë unazës së Ajnshtajnit dhe largësia midis tyre është e

rendit të rrezes këndore të Ajnshtajnit, që në mënyrë më të lexueshme jepet nga:

2

4 4 8.514.5

LS LSE

L S L S

D DGM M kpc kpcmasc D D M D D kpc

θ = ≈

. (1.15)

Për një yll në qendër të Galaksisë (8.5 kpc larg nga Dielli) dhe një lente me masë

sa masa e Diellit në mes të distancës vrojtues-yll burim, ngjarja mikropërthyerje do ta kishte këndin e Ajnshtajnit të rendit të mas (miliarksekondë). Kështu që këto imazhe janë mjaft pranë njëri-tjetrit dhe nuk perceptohen të ndara.

Meqë mikropërthyerja gravitacionale ruan ndriçueshmërinë e sipërfaqes (Mao,

2008), amplifikimi i një imazhi është thjesht raporti i sipërfaqes së imazheve me sipërfaqen e burimit. Burimi i vogël, mund të konsiderohet si një element unazor me rreze u , trashësi du dhe kënd φ∆ (shiko figurën 1.4). Amplifikimi për imazhin I+ do të jepet:

2

2

1 2 12 4

y dy uAu du u u

φφ

+ ++

∆ += = + ∆ +

. (1.16)

Në të njëjtën mënyrë veprohet edhe për të përcaktuar amplifikimin e imazhit I− . Amplifikimi i plotë do të jetë i barabartë me shumën e tyre dhe jepet nga:

2

_ 2

2( )4

uA u A Au u

++

= + =+

. (1.17)

Amplifikimi varet vetëm nga parametri u dhe vlerën maksimale e merr për vlerën minimale të parametrit u , i cili shënohet 0u .

Në figurën 1.5 tregohet amplifikimi i një burimi, i cili është duke lëvizur në sfond

pranë vijës së shikimit vrojtues-lente, të cilët konsiderohen të palëvizshëm. Madhësia e burimit jepet nga qarku jeshil, i cili është i pandryshueshëm gjatë ngjarjes. Madhësia e dy imazheve që përftohen nga lentja (pika e kuqe në qendër të unazës së Ajnshtajnit) jepet nga dy njollat blu që ndryshojnë madhësinë gjatë ngjarjes. Gjithashtu, për çdo rast jepet kurba e dritës (amplifikimi në varësi të kohës). Kur ylli burim është larg nga lentja, amplifikimi i tij është 1, kur burimi i afrohet lentes amplifikimi i tij fillon të rritet. Kur burimi arrin në unazën e Ajnshtajnit, që i korrespondon vlera e parametrit 1u = , amplifikimi është 3 / 5 1.34A = ≈ . Burimi vazhdon lëvizjen brenda unazës së Ajnshtajnit, amplifikimi vazhdon të rritet dhe vlerën maksimale e arrin kur parametri u ka vlerën minimale 0u . Në rastin e figurës 1.5, vlera e 0 0.3u = dhe amplifikimi maksimal është max 3.5A .


14

Figura 1.4. Ylli burim është përafruar me një element unazor me sipërfaqe u duφ∆ dhe dy imazhet, një jashtë unazës së Ajnshtajnit (I+) dhe një brenda unazës (I-) janë përafruar me elemente unazore me sipërfaqe y dyφ+ +∆ dhe y dyφ− −∆ respektivisht. Rrethi me vijë të ndërprerë është unaza e Ajnshtajnit.

1.6.6 Madhësitë e vrojtueshme në një ngjarje mikropërthyerje Nga vrojtimet fotometrike ajo që matet janë kurbat e dritës të mikropërthyerjes

gravitacionale. Në rastin kur lentja dhe ylli burim konsiderohen si objekte piksorë dhe lëvizja relative e burimit, lentes dhe vrojtuesit është lineare, kurbat që përftohen janë kurba standarde (Paczynski, 1986). Në figurën 1.6 kemi paraqitur kurbat standarde të dritës gjatë ngjarjeve mikropërthyerje për vlera të ndryshme të parametrit 0u . Vija e shikimit vrojtues-lente është pingul me planin e figurës 1.6 dhe kalon nga pika kryq. Burimi është duke lëvizur pingul me vijën e shikimit (vijat e ndërprera) me një shpejtësi Tv që quhet shpejtësi tranzit.


15

Figura 1.5. Rrethi me ngjyrë të zezë paraqet unazën e Ajnshtajnit të lentes (pika me ngjyrë të kuqe). Qarku jeshil paraqet madhësinë e yllit burim të pa amplifikuar. Dy imazhet e burimit kur ai lëviz përmes unazës së Ajnshtajnit paraqiten nga njollat ngjyrë blu, pozicioni dhe madhësia e të cilave ndryshon në lidhje me kohën. Në grafikun poshtë paraqitet kurba e amplifikimit dhe pika ngjyrë blu tregon amplifikimin për pozicione të ndryshme të burimit. Kur burimi është brenda unazës së Ajnshtajnit, amplifikimi është më i madh se 3 / 5 1.34A = ≈ dhe maksimumin e arrin kur distanca lente-ylli burim është minimale. Në këtë rast, vlera minimale e parametrit u është 0 0.3u = dhe amplifikimi maksimal është max 3.5A .

Figura 1.6. Djathtas lart: Trajektoret e burimit për vlera të ndryshme të parametrit 0u paraqiten nga vijat e ndërprera. Rrethi paraqet unazën e Ajnshtajnit të lentes kurse pika kryq paraqet pozicionin e lentes. Majtas poshtë: Për çdo vlerë të 0u , paraqiten kurbat e dritës korresponduese për modelin standard të mikropërthyejes gravitacionale.


16

Duket qartë që sa më i vogël të jetë parametri 0u , aq më i madh do të jetë amplifikimi maksimal i ngjarjes. Në rast se 0 0u = (një dukuri shumë e rrallë), amplifikimi në çastin e maksimumit do të ishte infinit, por kjo nuk ndodh sepse ylli burim në këtë rast nuk konsiderohet më piksor, por me përmasa të fundme (shiko paragrafin § 1.6.8.3). Lentja gjatë ngjarjes kalon mbi sipërfaqen e burimit dhe pjesë të ndryshme të sipërfaqes së tij amplifikohen me shkallë të ndryshme.

Parametër kyç i një kurbe drite të përftuar gjatë një dukurie mikropërthyerje është

koha e Ajnshtajnit v

EE

T

RT = (koha që merr ylli burim për të përshkruar rrezen e

unazës së Ajnshtajnit). Rrezja e unazës së Ajnshtajnit (barazimi 1.7) duke futur parametrin /L Sx D D= merr formën

2

4 (1 )E E L SGMR D D x xc

θ= = − . (1.18)

Koha e Ajnshtajnit në mënyrë më të lexueshme jepet nga formula:

1000.3954 (1 )8.5

sE

T

Dkm s MT x xv kpc M

≈ −

vite, (1.19)

në të cilën duket qartë që ET varet nga masa e lentes, distanca e lentes dhe shpejtësia tranzit.

Gjatë lëvizjes së burimit, vlera e parametrit u varion me kohën. Le të shënojmë

me 0t çastin e kohës kur amplifikimi arrin vlerën maksimale. Në figurën 1.7 tregohet parametri u në çastin e kohës t (Mao, 2008).

Varësia e parametrit u nga koha jepet nga formula:

2 200( ) ( )

E

t tu t uT−

= + . (1.20)

Bazuar tek formula (1.20), për çaste të ndryshme kohe përcaktohet vlera e parametrit u , e cila duke u zvendësuar tek formula (1.16) jep amplifikimin në atë çast. Në këtë mënyrë përcaktohet teorikisht kurba standarde e një ngjarje mikropërthyerje.


17

Figura 1.7. Burimi po lëviz majtas me shpejtësi Tv në lidhje me vijën e shikimit (pingul me figurën tek pozicioni i lentes). Në një çast të çfarëdoshëm kohe t , distanca lente-yll burim në planin e lentes është u . Çastin kur vlera e parametrit u është minimale 0u , e shënojmë me 0t që i korrespondon maksimumit të ngjarjes.

Vrojtimet japin një kurbë drite mikropërthyerje, nga e cila përcaktohet koha kur

amplifikimi arrin vlerën maksimale 0t dhe vlerën e amplifikimit maksimal maxA . Nga formula:

2

1/2 1/2max0 2

max

2[( ) 1]1

AuA

= −−

, (1.21)

përcaktohet distanca më e vogël lente-burim, 0u . Duke përcaktuar amplifikimin në pikat e tjera të kurbës nga lidhja 1/2 2 1/2 1/2( ) 2 [ ( 1) 1]u A A A −= − − gjendet vlera e parametrit ( )u t . Pasi është përcaktuar 0u , 0t dhe ( )u t , nga formula (1.20) përcaktohet koha e Ajnshtajnit ET . Parametrat e lentes ( M , LD dhe Tv ) për të cilat vrojtimet mikropërthyerje janë të interesuar, përfshihen vetëm tek ET , nga e cila nuk mund të përcaktohen në mënyrë të vetme. Për të hequr këtë degjenerim në kurbat e dritës na ndihmojnë efekte të tjera shtesë si: lëvizja e Tokës rreth Diellit apo dimensionet e fundme të burimeve. Këto efekte ndihmojnë në përcaktimin e dy madhësivë të tjera të vrojtueshme Eθ dhe Er .

Burimi u

Lentja

t0 u=1 vT

u0


18

1.6.7 Karakteristikat e ngjarjeve mikropërthyerje standarde Efekti standard mikropërthyerje (burimi, lentja konsiderohen si objekte pikësorë

dhe lëvizja relative e burimit, lentes dhe vrojtuesit janë lineare) ka disa veçori karakteristike, të cilat lejojnë dallimin e tij nga ndonjë variabilitet yjor (Moniez, 2010):

1 - ngjarja mikropërthyerje është e rrallë në historinë e burimit dhe të lentes,

2 - origjina gravitacionale e këtij efekti nënkupton që amplifikimi është i pavarur nga ngjyra (banda në të cilën kryhen matjet),

3 - amplifikimi është një funksion i njohur i kohës, varet vetëm nga tre parametra ( 0u , 0t , ET ) dhe ka një formë simetrike rreth maksimumit,

4 - meqë konfiguracioni gjeometrik i sistemit lente-burim është i rastësishëm, vlera minimale 0u ka një shpërndarje uniforme.

1.6.8 Anomalitë në kurbat e dritës Një element i rëndësishëm në fushën e mikropërthyerjes gravitacionale është dhe

studimi i anomalive në kurbat e dritës. Në prani të tyre kurba e dritës nuk është më simetrike si në rastin standard të përshkruar në paragrafin § 1.6.7. Gjenden tre shkaqe kryesore të anomalive në kurbat e dritës: efekti paralaks, fenomeni binar dhe efektet e madhësisë së fundme të burimit. Aspekti më i rëndësishëm i këtyre anomalive në kurbat e dritës është se ato mund të sigurojnë informacion shtesë në ngjarjet e mikropërthyerjes gravitacionale duke ndihmuar në përcaktimin e parametrave të lentes. Gjatë dekadave të fundit qindra ngjarje mikropërthyerje janë zbuluar, por akoma në shumë pak prej tyre njihet natyra e lenteve. Kur këto efekte janë të dedektueshme, ato do të ndihmonin në njohjen e popullimeve të lenteve.

1.6.8.1 Efekti paralaks Vrojtimet mikropërthyerje përgjithësisht janë kryer nga observatorët në Tokë.

Kushti për përftimin e një kurbe standarde është që lëvizja relative e vrojtuesit, lentes dhe yllit burim të jetë lineare. Por kjo nuk plotësohet, sepse Toka merr pjesë në një lëvizje rrethore rreth Diellit. Kështu që, kurba e dritës do të jetë perturbuar nga ky efekt që lë gjurmë mbi kurbat e mikropërthyerjes gravitacionale. Dedektimi i këtyre gjurmëve ndihmon në heqjen e degjenerimit në parametrat e lentes që shkakton


19

ngjarjen. Dominik (1998) përcaktoi amplifikimin në një ngjarje mikropërthyerje në rastin kur merret në konsideratë lëvizja përshpejtuese e Tokës rreth Diellit.

Trajektorja e Tokës rreth Diellit është një elips, në një nga vatrat e të cilit është

Dielli. Ekuacioni i trajektores në koordinata polare ( , )r ϕ jepet nga

2(1 )( )

1 cosar εϕ

ε ϕ⊕ −

=+

, (1.22)

ku a⊕ është gjysëmboshti i madh dhe 0.0167ε = është jashtëqendërsia e orbitës. Distanca minimale e Tokës nga Dielli është min (1 )r a ε⊕= − (perihel) që merret kur

0ϕ = dhe distanca maksimale max (1 )r a ε⊕= + (afel) merret për ϕ π= . Duke futur parametrit ξ , i cili tregon madhësinë e harkut nga periheli deri ku pingulja e hequr nga pozicioni i Tokës mbi gjysëmboshtin e madh pret rrethin me rreze sa gjysëmboshti i madh i elipsit (shiko figurën 3.5), ekuacioni i trajektores merr formën,

( ) (1 cos )r aξ ε ξ⊕= − . (1.23) Zgjidhet një sistem boshtesh koordinativë në planin ekliptik (plan në të cilin

gjenden orbitat e planeteve në sistemin diellor). Boshti OX është drejtimi Diell-Tokë (kur ajo ndodhet në perihel), boshti OY është pingul me boshtin OX me kah andej nga po lëviz Toka dhe boshti OZ është pingul me planin ekliptik drejt polit verior ekliptik. Koordinatat e Tokës në lidhje me këtë sistem mund të shprehen me ndihmën e parametrit ( )tξ në formën,

2

( ) (cos ( ) )

( ) 1 sin ( )( ) 0

x a t

y a tz

ξ ξ ε

ξ ε ξξ

⊕

⊕

= −

= −=

(1.24)

Parametri ( )tξ varet nga koha dhe merr vlera në rangun [0, 2 ]π . Lidhja e tij me kohën jepet nga:

3

( sin )atGM

ξ ε ξ⊕= −

. (1.25)

Kur Toka ndodhet në perihel vlera e 0ξ = dhe 0t = .


20

Lëvizja e Tokës rreth Diellit projektohet në planin e lentes, i cili është pingul me vijën e shikimit Diell-yll burim tek pozicioni i lentes. Parametrat që përcaktojnë vijën e shikimit janë ( , )ϕ χ . Ato paraqesin: ϕ - gjatësinë në planin ekliptik, të matur nga periheli në drejtim të lëvizjes së Tokës dhe χ - gjerësinë e matur nga plani ekliptik drejt veriut ekliptik.

Sistemi në planin e lentes që ka boshtet 1 2,X X përftohet në këtë mënyrë:

supozojmë se koordinatat e vijës së shikimit janë ( 0, 0)ϕ χ= = dhe përcaktojmë boshtet 1X OZ= , 2X OY= dhe 3X OX= − . Duke u rrotulluar me këndin ϕ rreth boshtit OZ dhe pastaj me këndin χ rreth boshtit OY përftohen boshtet 1X dhe 2X në planin e lentes kurse boshti 3X është pingul me të drejt nesh. Në sistemin e lentes, koordinatat e Tokës pa njësi përcaktohen nga barazimi:

1

2

sin cos sin sin ( ( ))1( ) ( )( )sin cos ( ( ))E

x x txx y tR

χ ϕ χ ϕ ξϕ ϕ ξ

− −−=

− , (1.26)

duke futur parametrin

(1 )

E

a xR

ρ ⊕ −= , (1.27)

koordinatat e Tokës në planin e lentes jepen nga:

2

1

22

( ) sin cos (cos ( ) ) sin sin 1 sin ( )

( ) sin (cos ( ) ) cos 1 sin ( )

x t t e e t

x t t e e t

ρ χ ϕ ξ χ ϕ ξ

ρ ϕ ξ ϕ ξ

= − − − −

= − − + − (1.28)

Drejtimi sipas të cilit një yll burim është duke lëvizur në planin e lentes përcaktohet nga këndi ψ (këndi që formon shpejtësia Tv me boshtin 1OX ). Rrotullimi i sistemit

1 2X OX me këndin ψ rreth boshtit 3X bën që në planin e lentes të përftojmë një sistem të ri koordinativ ' '

1 2X OX . Shpejtësia tranzit Tv është paralel me '1OX .

Koordinatat e Tokës në lidhje me këtë sistem janë:

2

'1 1 2'

1 2

( ) cos ( ) sin ( )

( ) sin ( ) cos ( )

x t x t x tx t x t x t

ψ ψ

ψ ψ

= +

= − + (1.29)


21

Përcaktohen dy parametra pa njësi 00

( )( )E

t tp tT−

= dhe 0 0d u= , ku i pari jep

zhvendosjen nga maksimumi sipas drejtimit të lëvizjes së burimit dhe i dyti në drejtimin pingul me të. Në rastin e kurbës standarde 0 ( ) 0p t = në çastin e maksimumit, kurse 0 0d ≠ (është përjashtuar rasti i rreshtimit perfekt). Për të përcaktuar distancën (pa njësi) të yllit burim nga Toka në planin e lentes (sepse nga Toka kryhen vrojtimet dhe jo nga Dielli) në çaste të ndryshme kohe gjatë ngjarjes mikropërthyerje është e favorshme që nga distanca Tokë-Diell të zbresim distancën Diell-Tokë në kohën e maksimumit.

Përcaktohen dy parametra shtesë,

0 1 1 0 2 2 0( ) ( ) cos [ ( ) ( )] sin [ ( ) ( )]p t p t x t x t x t x tψ ψ= + − + − (1.30)

që jep, distancën (pa njësi) të yllit burim nga Toka në çastin e kohës t sipas boshtit

'1OX dhe

0 1 1 0 2 2 0( ) sin [ ( ) ( )] cos [ ( ) ( )]d t d x t x t x t x tψ ψ= − − + − (1.31)

që jep distancën (pa njësi) po në këtë çast në drejtimin pingul me '1OX . Nga këto dy

parametra përcaktohet vlera e parametrit ( )u t nga lidhja:

2 2 2( ) ( ) ( )u t p t d t= + . (1.32)

Amplifikimi kur merret në konsideratë lëvizja e Tokës rreth Diellit jepet nga formula:

4)()(

2)()(2

2

+

+=

tutututAp . (1.33)

1.6.8.2 Lentja binare

Një shkak tjetër i zakonshëm në anomalitë e kurbave të dritës është kur lentja

është sistem binar. Besohet se kjo ndodh afërsisht në 10% të ngjarjeve mikropërthyerje (Mao & Paczynski, 1991). Nëse objektet e një sistemi binar kanë një


22

ndarje mjaft të madhe, atëherë ato mund të trajtohen si dy lente individuale dhe në varësi të kohës së vrojtimit mund të kapen ose jo sepse kurba e dritës do të ketë dy kulme të ndara mirë nga njëri tjetri.

Nëse lentja do të jetë një sistem planetar, kurba e lentes primare (yllit) mund të

pësojë perturbim nga shoqëruesit e vet. Gjatë efektit të mikropërthyerjes gravitacionale në ngjarjen primare shkaktuar

nga ylli, secili nga imazhet gjurmon një rrugë në qiell, rruga e imazhit kryesor tërësisht e ndodhur jashtë unazës së Ajnshtajnit, ndërsa rruga e imazhit të vogël tërësisht brenda saj. Do të ndodhë një devijim i shkurtët kohor në ngjarjen primare nëse në rrugët që përshkruajnë imazhet ndodhet ndonjë planet. Në figurën 1.8 planeti i lokalizuar në pozicionin x do të perturbojë kurbën e dritës dhe ai i lokalizuar në + nuk do ta perturbojë atë.

Figura 1.8. Imazhet (ovalet e pikëzuara) janë shfaqur për disa pozicione të ndryshme të burimit (rrathët e kuq), përgjatë lëvizjes së tij pingul me vijën e shikimit që kalon nga lentja primare (pika me ngjyrë të zezë) pingul me planin e figurës. Unaza e Ajnshtajnit është rrethi i vijëzuar ngjyrë jeshile. Nëse lentja primare ka një planet afër rrugës që përshkruajnë imazhet, atëherë planeti do të perturbojë dritën e burimit, duke krijuar një devijim të dukshëm në kurbën primare. P.sh, planeti i lokalizuar në pozicionin x do të përturbojë kurbën e dritës kurse planeti i lokalizuar në +, nuk do ta kishte këtë mundësi.

Në figurën 1.9 paraqitet kurba e ngjarjes primare (vija e vazhduar) dhe perturbimi (vija e pikëzuar) i shkurtër kohor që vjen si pasojë e një planeti të ndodhur në një pozicion të përshtatshëm (Mao & Paczynski, 1991; Udalski et al., 1994a ).


23

Figura 1.9. Amplifikimi i një kurbe drite në varësi të kohës për rastin e një lente të thjeshtë (vija e vazhduar) dhe planetit shoqërues të tij (vijë e pikëzuar).

Zgjatja e këtij devijimi është 1/2

,E p Et q t= , ku /pq m M= është raporti i masës së planetit pm me masën e lentes primare M . Madhësia e devijimit varet nga afërsia e planetit me rrugën që përshkruajnë imazhet (Gould & Loeb, 1992).

Përveç lentes binare ekziston gjithashtu dhe fenomeni homolog, i burimeve

binare, i cili quhet “xallarap” (Griest & Hu, 1992).

1.6.8.3 Efektet e fundme të burimeve

Një tjetër mundësi e ndodhjes së anomalive në kurbat e dritës është kur burimet

nuk mund të trajtohen si objekte pikësore. Në këtë rast rajone të ndryshme të sipërfaqes së burimit janë amplifikuar me madhësi të ndryshme kur ylli burim i afrohet lentes. Në këtë rast kurbat e mikropërthyerjes së dritës kanë një maksimum më të sheshtë. Ky efekt dedektohet në kurbat e dritës kur vlera e parametrit 0u është shumë i vogël. Matja e këtij efekti ndihmon në përcaktimin e rrezes këndore të Ajnshtajnit Eθ , megjithëse paraprakisht kërkohet një vlerësim i rrezes këndore të vetë yllit burim θ∗ . Efektet e fundme të burimit janë vrojtuar në disa ngjarje mikropërthyerje nga Alcock et al. (1997a). Amplifikimi në kurbat e dritës, në rastin kur ndriçueshmëria e sipërfaqes së burimit supozohet uniforme, përcaktohet nga

0 1 -1

2

4

6

0

Koha (TE)


24

2 2 2

2 0 0

1 [ ( cos ) ( sin ) ]bf cA d d A uπ ρ

θ ρρ ρ θ ρ θπρ

∗

∗

= + +∫ ∫ (1.34)

ku cu paraqet ndarjen e normalizuar midis lentes dhe qendrës së yllit burim, d dρ ρ θ paraqet elementet sipërfaqësore në koordinata polare në lidhje me qendrën e yllit

burim. E

θρθ

∗∗ = është rrezja e normuar e yllit, e cila përcaktohet në kurbat që e

mbartin këtë efekt.

1.6.9 “Tubi” i mikropërthyerjes gravitacionale

Gjatë një ngjarjeje mikropërthyerje, amplifikimi merr vlera nga 1 deri në një vlerë maksimale që përcaktohet nga distanca mimimale lente-burim në planin e lentes,

0u . Për rastin kur 0 1u < , ylli burim gjatë lëvizjes së tij futet brenda unazës së Ajnshtajnit të lentes, kurse gjatë ngjarjeve me 0 1u > burimi nuk futet në unazën e Ajnshtajnit. Dedektimi i këtyre të fundit varet nga aftësitë e teleskopit, pra nga pragu i tij i amplifikimit TA (vlera më e vogël e amplifikimit që ai mund të kapë). Nga lidhja

1/2 2 1/2 1/2( ) 2 [ ( 1) 1]T T T Tu A A A −= − − përcaktohet vlera prag Tu kur njihet pragu i amplifikimit të teleskopit TA (shiko formulën 1.17).

Nëse si prag amplifikimi do të përcaktonim 1.34TA = (vlerë e përdorur në

vrojtimet mikropërthyerje të kryera nga Toka), vlera prag e parametrit u është 1Tu = . Ngjarje të dedektueshme në këtë rast janë vetëm ato që kanë 0 1u < , pra ylli burim duhet të futet brenda unazës së Ajnshtajnit.

Në vijën e shikimit vrojtues-burim përcaktohet “tubi” standard i mikropërthyerjes

gravitacionale, si volumi i ndodhur brenda unazës me rreze T Eu R . Në figurën 1.10 është paraqitur “tubi” mikropërthyerje (Griest, 1991). Amplifikimi mbi një prag të dhënë TA ndodh kur lentja futet brenda “tubit” të mikropërthyerjes gravitacionale. Në distancën x nga vrojtuesi lentja po futet në “tub” dhe do të japë një ngjarje mikropërthyerje. Rrezja e “tubit” është ( )T Eu R x [ ( )]T Tu u A= . Zgjatja e një ngjarjeje është pikërisht koha që lentja qëndron brenda “tubit” mikropërthyerje.

Për të karakterizuar vrojtimet mikropërthyerje përdoren dy madhësi: thellësia

optike dhe ritmi i ngjarjeve.


25

Figura 1.10. “Tubi” i mikropërthyerjes gravitacionale. Me shënjën ⊕ është shënuar vrojtuesi (shpejtësia e tij vv

) me shënjën ∗ është shënuar ylli burim (shpejtësia e tij Bv

) dhe një objekt (lentja)

që po futet në “tubin” mikropërthyeje në distancën x nga vrojtuesi. Rrezja e tubit në pozicionin ku futet lentja është ( )T El u R x= .

1.6.10 Thellësia optike

Thellësia optike τ është një madhësi e rëndësishme në vrojtimet

mikropërthyerje. Për një yll burim në distancën SD dhe për një model të shpërndarjes së lenteve përgjatë vijës së vrojtimit, thellësia optike llogaritet nëpërmjet formulës

2

0( )( )SD

L E Ln D R dDτ π= ∫ , (1.35)

ku ( )Ln D është densiteti i numrit të lenteve, 2( )ERπ është sipërfaqja e unazës së Ajnshtajnit dhe ( )LdD elementi i integrimit përgjatë vijës së shikimit (Paczynski, 1986; Mao, 2008). Integrimi nga formula (1.35) jep numrin e objekteve lente brenda “tubit” mikropërthyerje me rreze ER . Pragu i amplifikimit është vlera 1.34TA = që i korespondon 1Tu = . Në rast se 1.34TA < , thellësia optike do të shumëzohet me një faktor 2

Tu (Griest et al., 2011).

Nëse zëvendësojmë ( )( ) LL

Dn DM

ρ= dhe rrezen e Ajnshtajnit nga formula (1.18)

gjejmë

Burimi

Lentja B

l=uTRE(x)

V

Burimi

Lentja

l=uTRE(x)

V BV

VV

V

X


26

12

2 200

4( ) 4( (1 )) ( ) (1 )SD SLS L

GDD GM D x x dD x x x dxM c c

πρτ π ρ= − = −∫ ∫ , (1.36)

ku variabli L

S

DxD

= merr vlera në [0,1] . Thellësia optike varet nga densiteti i masës së

objekteve lente përgjatë vijës së shikimit kështu që matja e saj nga vrojtimet ndihmon në njohjen e shpërndarjes së masës së tyre.

Thellësia optike τ nga vrojtimet mikropërthyerje përcaktohet (Sumi et al., 2003)

nga relacioni i mëposhtëm:

,

0 ,2 ( )E i

i E i

tN T tπτ

ε∗

= ∑ , (1.37)

ku N∗ është numri total i yjeve burimeve në fushën e vrojtimit, 0T është kohëzgjatja e vrojtimeve për përftimin e kurbave që do të analizohen dhe ,E it është kohëzgjatja e ngjarjes së i , e cila dedektohet me efiçiencë ,( )E itε . Efiçienca përcaktohet nga simulimi i një numri shumë të madh ngjarjesh artificiale.

Udalski et al. (1994b) [projekti OGLE] nga vrojtimet mikropërthyerje drejt

qendrës së Galaksisë përcaktuan, nëpërmjet formulës (1.37), që thellësia optike është 63.3 1.2 10x −± , kurse Alcock et al. (1997b) [projekti MACHO] gjetën vlerën

1.8 61.23.9 10xτ + −

−= . Gjithashtu, Sumi et al. (2003) për ngjarjet me kohë Ajnshtajni 0.3 200Et< < ditë vlerësoi thellësinë optike, e cila rezultoi të jetë 0.72 6

0.582.63 10xτ + −−= për

250 milion yje të vrojtuar gjatë 219 ditëve drejt qendrës së Galaksisë sonë. Në rastet e mësipërme, vlerat e thellësisë optike janë për ngjarjet mikropërthyerje të shkaktuara kryesisht nga yjet.

1.6.11 Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje

Një madhësi tjetër e rëndësishme për vrojtimet mikropërthyerje është dhe ritmi i

ngjarjeve që paraqet numrin e lenteve që futen në “tubin” mikropërthyerje në njësinë e kohës. Numri diferencial i ngjarjeve mikropërthyerje përcaktohet nga formula (Jetzer et al., 2002):

ngj yje vëzhdN N t d= Γ , (1.38)


27

ku yjeN është numri i yjeve të monitoruar, vëzht është koha e vrojtimeve mikropërthyerje dhe dΓ është ritmi diferencial i ngjarjeve me të cilin një yll është mikropërthyer nga një lente dhe jepet nga

3 3( ) ( )Ln x f v d xd vd

dtΓ =

, (1.39)

ku ( )n x

është densiteti i numrit të lenteve në distancën x

nga vrojtuesi, 3d x dxdydz= është elementi vëllimor pranë pozicionit x

, ( )Lf v

është shpërndarja e shpejtësive të

lenteve dhe 3x y zd v dv dv dv= është elementi i shpejtësisë së tyre pranë Lv

.

Meqë përbërësja e shpejtësisë paralel me vijën e shikimit nuk ndikon në ngjarjet

mikropërthyerje, shpejtësia tredimensionale e lentes është e përshtatshme të shkruhet në formën:

L L Lv v v⊥= +

(1.40)

dhe elementi i shpejtësisë 3 2d v d v dv⊥= . Në dΓ influencon vetëm përbërësja pingul

me boshtin e “tubit” mikropërthyerje, Lv ⊥

.

Shpërndarja e shpejtësive vetëm për komponenten pingul me vijën e shikimit

konsiderohet Maksuelliane (Jetzer et al., 2002), e formës

2

2

2

1( )L

L

v

LL

f v e σ

πσ

⊥−

⊥ = , (1.41)

ku Lσ është dispersioni i shpejtësive të lenteve. Gjatë kohës së dedektimit të ngjarjeve “tubi” mikropërthyerje nuk është në

prehje, sepse yjet burime dhe vrojtuesi janë në lëvizje. Shpejtësia e “tubit” në pozicionin x nga vrojtuesi në planin pingul me boshtin e tubit jepet nga,

(1 )t sv xv x v⊥ ⊥= + −

. (1.42)

Atëherë shpejtësia tranzit me të cilën lentja futet në tubin mikropërthyerje në distancën x nga vrojtuesi është


28

T L tv v v⊥= −

. (1.43)

Elementi vëllimor në pozicionin x është

3 cosT E Td x u R d dxv dtα θ= , (1.44)

ku këndi θ është këndi që formon shpejtësia tranzit me normalen e hequr në pikën ku futet lentja në “tub”. Elementi i shpejtësisë në plan jepet në koordinata polare,

2

T Td v v dv dθ= . (1.45)

Duke i zvendësuar (1.44) dhe (1.45) tek (1.39) përftohet 2( ) ( ) cosL T T E Td n x f v v u R d dxdv dθ α θ⊥Γ =

. (1.46)

Për më tepër merret në konsideratë edhe shpërndarja e shpejtësive të yjeve burim,

e cila në planin pingul me vijën e shikimit konsiderohet një shpërndarjeje Maksuelliane në formën (Jetzer et al., 2002):

2

2

2

1( )S

S

v

SS

f v e σ

πσ

⊥−

⊥ = , (1.47)

ku Sσ është dispersioni i shpejtësive të burimeve. Elementi i shpejtësisë së yjeve burime në planin pingul me vijën e shikimit jepet,

2

S S Sd v v dv dβ⊥ ⊥ ⊥= . (1.48)

Atëherë duke përfshirë dhe shpërndarjen e shpejtësisë së burimeve, ritmi diferencial i mikropërthyes gravitacionale do të shkruhej

2( ) ( ) cos ( )L T T E T S S sd n x f v v u R d dxdv d f v v dv dθ α θ β⊥ ⊥ ⊥ ⊥Γ =

. (1.49)


29

Meqë, ne jemi të interesuar për lentet që futen brenda tubit, integrimi në lidhje me θ kryhet në segmentin [ / 2, / 2]π π− . Duke zvendësuar rrezen e unazës së Ajnshtajnit

ER nga ekuacioni (1.18) dhe shpërndarjet e shpejtësive të lenteve dhe të yjeve burime përkatësisht nga ekuacionet (1.41) dhe (1.47) merret formula nga e cila përcaktohet ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje

2

2

2

2

( )1 2

2 20 0

2 2 2

22 0 0 0

4 ( ) 1(1 )

1cos

T t

L

S

S

v vS

T S T TL

v

S SS

GMD xu D x x dx e v dvc M

d d e v dv d

σ

π π πσ

π

ρπσ

θ θ α βπσ

⊥

+−∞

−∞

⊥ ⊥−

Γ = −∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(1.50)

Në shprehjen e mësipërme kemi një integrim të gjashtëfishtë. Distanca deri tek ylli burim është normuar tek njësia.

1.7 Galaksia “Rruga e Qumështit” Në qendër të Galaksisë “Rruga e Qumështit” ndodhet bërthama, e cila rrethohet

nga disku që përmban gas, pluhura dhe yje të organizuar në formën e katër krahëve spirale. Diametri i saj është rreth 30 kpc.

Sistemi ynë diellor ndodhet në krahun Orion-Cygnus të saj në distancën rreth 8.5 kpc nga qendra e Galaksisë dhe rreth 30 pc larg nga plani qendror galaktik. Ai së bashku me yjet e tjerë rrotullohen rreth qendrës së Galaksisë.

1.7.1 Yjet në Galaksinë tonë

Yjet janë pjesa e vrojtueshme e Galaksisë. Masat e tyre përfshihen në intervalin

]0.08,100[M ( M - masa e Diellit). Yjet me masë 10M M> janë shumë të rralla. Yjet e vargut kryesor (yjet e qeta) përbëjnë pjesën më të madhe të yjeve në Galaksinë tonë. Objektet qiellore me masa 0.08M M≤ nuk mund të quhen yje, sepse në qendër të tyre nuk ekziston temperatura e duhur për zhvillimin e reaksioneve të djegjes së hidrogjenit dhe formimin e heliumit.

Të gjitha yjet i përkasin 4 popullimeve kryesore (Dwek et al., 1995; De Paolis et

al., 2001; Hafizi et al., 2004):

http://en.wikipedia.org/wiki/Orion%E2%80%93Cygnus_Arm


30

1) disku i hollë 2) disku i trashë 3) halo sferoidale 4) bulbit galaktik

Yjet e diskut të hollë janë yje të rinj dhe mosha e tyre shkon deri në 10 Gyr. Dielli ynë bën pjesë në diskun e hollë. Yjet e disku të trashë janë më të vjetër se yjet e diskut të hollë, rreth 11-12 Gyr. Yjet në halo sferoidale kanë një moshë rreth 14 Gyr (Robin et al., 2003).

1.7.2 Funksioni masë i yjeve në Galaksi

Funksioni masë i yjeve është një nga funksionet e shpërndarjes më të rëndësishme në Astrofizikë. Ai është si ligj fuqie ku vlera e indeksit akoma nuk është përcaktuar përfundimisht për intervale të ndryshme të masave të yjeve.

Salpeter (1955), përcaktoi nëpërmjet vrojtimeve në diskun galaktik që funksioni

masë i yjeve është si ligj fuqie dN kM dMα−= , ku dN është numri i yjeve që kanë masë në [ , ]M M dM+ dhe k është një konstante normimi. Indeksi 2.35α = është për masat 0.4 10M M M≤ ≤ .

Scalo (1986) përcaktoi indeksin e 2.7α ≈ për 1M M> nga një analizë e plotë e

yjeve të tipit O dhe B (yje të temperaturave 30000 K dhe ngjyrë blu) në diskun e Galaksisë sonë.

Për yjet me masë të vogël, Zoccali et al. (2000) përcaktoi që yjet në bulbin

galaktik kanë të njëjtin funksion mase si disku galaktik. Robin et al. (2003) përcaktoi funksionin masë për yjet e diskut të hollë, i cili

është si ligj fuqie me dy pjerrësi. Për masat e larta indeksi është 3α = , shumë pranë funksionit Salpeter dhe për masat e vogla është 1.6α = .

Calchi Novati et al. (2008), duke u mbështetur tek të dhënat e vrojtimeve

mikropërthyerje EROS dhe OGLE drejt qendrës së Galaksisë, përcaktoi që indeksi i funksionit masë për yjet e qeta është 1.7 0.5α = ± . Këto rezultate u përcaktuan nga shkallët kohore të ngjarjeve mikropërthyerje të dedektuara nga observatorët tokësorë.

Vrojtimet mikropërthyerje nga hapësira patjetër që do të ndihmonin për një

saktësim të indeksit të funksionit masë të yjeve.

Metoda e mikropërthyerjes gravitacionale drejt fushës së pamjes Kepler

31

Kapitulli 2 METODA E MIKROPËRTHYERJES GRAVITACIONALE DREJT FUSHËS SË PAMJES KEPLER

2.1 Misioni Kepler Kepler është një observator hapësinor, i hedhur më 7 Mars 2009 nga NASA

(National Aeronautics and Space Administration) për zbulimin e planeteve të ngjashëm me Tokën që rrotullohen rreth yjeve të tjerë. Ky observator është projektuar të vrojtojë një pjesë të Galaksisë Rruga e Qumështit dhe të përcaktojë sa yje në Galaksinë tonë kanë planete. Fotometri i tij monitoron ndriçueshmërinë e 150000 yjeve në fushën e pamjes, të dhënat transmetohen në Tokë dhe përpunohen për të konkluduar për ndonjë planet që orbiton ndonjë yll. Deri në Shkurt të 2013, Kepler ka dedektuar 2740 kandidatë për planete jashtë sistemit diellor, ku nga këto 114 janë konfirmuar, të cilët ndodhen në 69 sisteme yjore1.

Misioni Kepler është ndërtuar për dedektimin e planeteve që rrotullohen rreth

yjeve të veta, me anë të metodës tranzit. Sateliti Kepler është projektuar të rrotullohet rreth Diellit dhe për të shmangur dritën e tij, fusha e pamjes është jashtë planit ekliptik. Ai vrojton një zonë relativisht të gjerë, rreth 115 gradë2 në konstelacionet Mjelma dhe Lira. Koordinatat galaktike të qendrës së tij të shikimit janë: 76.32l = ° ,

13.5b = ° . Pjesa më e madhe e yjeve që ka ai si shenjëza ndodhen në distancën (150 950)D pc= − . Teleskopi Kepler mat njëkohësisht ndriçueshmërinë e yjeve të veta

në çdo 30 min. Magnituda e këtyre yjeve varion nga 9 deri në 16 (Griest et al., 2011). Në fushën e tij të pamjes teleskopi Kepler ka dhjetra miliona yje.

Nga pikëpamja e vrojtimeve metoda tranzit dhe metoda e mikropërthyerjes

gravitacionale janë mjaft pranë njëra-tjetrës. Në rastin e teknikës tranzit vrojtuesi dedekton rënie të fluksit të sinjalit dhe për teknikën mikropërthyerje një amplifikim të tij. Në të dyja rastet analiza bëhet mbi kurbat e dritës së yjeve të vrojtuar.

1 http://kepler.nasa.gov/


32

Ne aplikojmë metodën e mikropërthyerjes gravitacionale për vrojtimet

fotometrike të yjeve që ndodhen në fushën e pamjes së teleskopit Kepler. Konkretisht, për yjet që ai ka si shenjëza në fushën e tij të pamjes, ne llogaritim thellësinë optike dhe ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët. Në llogaritjet tona ne marrim në konsideratë dhe aftësitë e teleskopit Kepler.

2.2 Popullimi planetar

Nga vrojtimet e raportuara nga misioni MOA-II drejt qendrës së Galaksisë u

zbuluan objekte me masë planetare me metodën e mikropërthyerjes gravitacionale. Sumi et al. (2011) duke analizuar shpërndarjen e shkallëve kohore të të gjitha ngjarjeve mikropërthyerje të vrojtuara, gjetën një tepri të ngjarjeve me zgjatje kohore me të shkurtër se 2 ditë krahasuar me numrin e parashikuar nga modeli galaktik standard. Funksioni masë i yjeve me masë më të vogël se 1M dhe i xhuxhëve të errët është shprehur me një ligj fuqie të formës (Sumi et al., 2011):

( )1

20.24

3 0.27

2 0.71.3 0.08 0.7

0.49 0.01 0.08

i

M M MdN M M M MdM

M M M

αα

α

α +−

= < <

→ = < < = < <

(2.1)

Proçedura e përpunimit të ngjarjeve të mikropërthyerjes gravitacionale të shkaktuar nga planetet e lira lejoi Sumin et al. (2011) të shtrijnë funksionin masë si ligj fuqie edhe për objektet me masë më të vogël se xhuxhët e errët. Sipas Sumit et al. (2011) funksioni masë për planetet e lira (me masë 5 2[10 10 ]M− −÷ ), është i formës

PLdN MdM

α− , (2.2)

ku PLα është indeksi i funksionit masë dhe vlera e tij jepet nga

0.30.41.3PLα +

−= . (2.3) Ndryshimi i menjëhershëm nga 3 0.49α = (indeksi i funksionit masë për xhuxhët

e errët) në 1.3PLα = favorizon idenë që procesi i formimit të tyre është i ndryshëm nga ai i yjeve dhe i xhuxhëve të errët. Ideja më e pranueshme është që ata mund të jenë


33

formuar në diskun proto-planetar dhe gradualisht kanë kaluar në orbita shumë të largëta ose janë shkëputur plotësisht. Analiza e funksionit të shpërndarjes së masave si ligj fuqie parashikon një numër të madh objektesh me masë planetare

18.1

* 4.3/ 5.5PLN N +−= , (2.4)

ku N∗ është numri i yjeve të vargut kryesor me masë më të vogël se masa e Diellit. Diapazoni i përcaktimit është shumë i gjerë për shkak të ndjeshmërisë së dobët ndaj lenteve me masë shumë të vogël.

Nga analiza e të dhënave mikropërthyerje ata gjithashtu përcaktuan edhe raportin

i numrit të xhuxhëve të errët me numrin e yjeve të vargut kryesor me masë më të vogël se masa e Diellit, / 0.73XHN N∗ = (tabela 3, modeli 4 tek Sumi et al., 2011).

Sumi et al. (2011) përcaktuan konturet e lidhjeve të mundshme midis indekseve

të funksionit masë për xhuxhët e errët 3α dhe planetet e lira PLα , të cilat janë paraqitur në figurën 2.1. Konturi i jashtëm është më besueshmëri 95% dhe konturi i brendshëm me besueshmëri 68%. Ne kemi përdorur konturin e jashtëm (pjesën afërsisht të drejtë të tij) për të përcaktuar lidhjen midis dy indekseve të funksionit masë për dy popullimet. lLlogaritjet tona rezultojnë në lidhjen e mëposhtme,

31.7PLα α= − . (2.5)

Figura 2.1. Konturet e lidhjeve të mundshme midis indeksit të funksionit masë të xhuxhëve të errët,

3α dhe indeksit të funksionit masë të planeteve të lira, PLα . Konturi i madh është me besueshmëri

95% ndërsa konturi më i vogël me besueshmëri 68%. Vlera e PLα është shumë më e pjerrët sesa 3α , duke treguar që objektet me masë planetare janë një popullim i ndarë nga ai i xhuxhëve të errët.


34

Ngjarjet mikropërthyerje të dedektuara nga teleskopi Kepler janë ngjarje që mund

të jenë shkaktuar nga planetet e lira, xhuxhët e errët dhe yjet që ndodhen në fushën e tij të pamjes. Në analizën tonë, ne fokusohemi vetëm në ngjarjet mikropërthyerje të shkaktuara nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët. Lidhja midis indekseve të funksioneve masë të tyre jepet nga barazimi (2.5).

2.3 Përcaktimi i koefiçientit PLk

Nga përcaktimet e Sumi et al. (2011), numri i planeteve të lira jepet nga lidhja

(2.4). Kufiri i poshtëm është 1.2N∗ , vlera e mesit 5.5N∗ dhe kufiri i sipërm 23.6N∗ . Meqë zona ku vrojton teleskopi Kepler është relativisht afër, planetet e lira që

shkaktojnë ngjarje mikropërthyerje i konsiderojmë në diskun e hollë. Kjo për arsyen se ylli shenjëz më i largët në fushën e tij të pamjes ndodhet në distancën 220 pc larg nga plani galaktik, e cila është më e vogël se 300 pc dhe shumë më e vogël se 1000 pc (shiko formulën 2.6). Shpërndarjen hapësinore të planeteve të lira e marrim të njëjtë me atë të yjeve.

Le të konsiderojmë që numri i planeteve të lira për yll është 1.2. Koefiçientin PLk tek funksioni masë i planeteve të lira / PL

PLdN dM k M α−= , e përcaktojmë nga kalibrimi i numrit të planeteve të lira në diskun e hollë, pra për çdo yll të diskut të hollë kemi 1.2 planete të lira. Ne përcaktojmë fillimisht numrin e yjeve në diskun e hollë, duke u mbështetur në modelet standarde të yjeve në Galaksinë tonë.

Densiteti i masës së yjeve në diskun e dyfishtë eksponencial jepet (Gilmore et

al., 1989; De Paolis et al., 2001; Hafizi et al., 2004):

0( )/| |/0( , )2

R R hz Hd R z e e

Hρ − −−Σ

= , (2.6)

ku vlerat e parametrave janë: 20 25M pc−Σ = , 0.3H kpc= , 3.5h kpc= për

komponenten e hollë dhe 20 35M pc−Σ = , 1H kpc= , 3.5h kpc= për komponenten e

trashë. Për përcaktimin e masës së diskut të hollë ne përdorim koordinatat cilindrike,

qendra e sistemit është në qendrën e Galaksisë dhe boshti OZ është pingul me planin galaktik. Ky integral zgjidhet analitikisht dhe marrim


35

0

0

2

0 02

( )/| |/ 200

0 0

( , )

22

disk d

RR R hz H h

M R z RdRdzd

e e RdRdzd h eH

π

π

ρ ϕ

ϕ π

+∞ +∞

−∞

+∞ +∞− −−

−∞

= =

Σ= = ∑

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ (2.7)

Duke zëvendësuar vlerat përkatëse të parametrave për komponenten e hollë, gjejmë

102.18 10

hollëdiskM x M= . (2.8) Ne përcaktojmë numrin e yjeve në diskun e hollë, duke u mbështetur mbi disa

rezultate mbi masën mesatare të yjeve të diskut. Scalo (1986) tregoi që masa mesatare e yjeve varet nga mosha e diskut dhe është në rangun

[0.41,0.52]diskm M< > = për moshën e diskut [9,12]Gyr . Si moshë mesatare të yjeve në diskun e hollë ne konsiderojmë

0.47hollëdiskm M< > = dhe gjejmë që numri i yjeve në diskun e hollë është

104.638 10hollë

hollë

hollë

diskdisk

disk

MN x

m= =

< > . (2.9)

Sipas Sumit et al. (2011) planetet e lira si rezultat i proceseve dinamike janë

shkëputur nga ylli i vet dhe së bashku me gjithë objektet e tjera rrotullohen rreth qendrës së Galaksisë. Duke konsideruar që shpërndarja hapësinore e planeteve të lira që ndodhen në diskun e hollë është e njëjtë me atë të yjeve, ne modelojmë densitetin e masës së tyre në formën:

0( )/| |/

0( , , ) ( ) R R hz HM R z M e eρ ρ − −−= , (2.10)

ku 0 ( )Mρ është një funksion i masës dhe 0( )/| |/ R R hz He e− −− jep shpërndarjen hapësinore të planeteve të lira. Vlerat e parametrave janë të njëjta me ato të shpërndarjes së yjeve në diskun e hollë: 300H pc= , 3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= . Nëse do të integrojmë në gjithë hapësirën e diskut të hollë densitetin e numrit të planeteve të lira ( , , ) /M R z Mρ gjejmë numrin e tyre në diskun e hollë që në rastin e kufirit të poshtëm të numrit të planeteve të lira për yll është 1.2

hollëdiskN ,


36

0

2

0 02

( )/| |/0

0 0

( , , )

( ) 1.2hollë

R R hz Hdisk

M R z RdRdzdM

M e e RdRdzd NM

π

π

ρ ϕ

ρϕ

+∞ +∞

−∞

+∞ +∞− −−

−∞

=

= =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ (2.11)

Për përcaktimin e funksionit 0 ( ) /M Mρ (që ka njësinë e densitetit të numrit të planeteve) na ndihmon funksioni masë për planetet e lira. Duke përfshirë dhe integrimin sipas masës përftojmë lidhjen

2

0

5

10 2( )/| |/

0 010

1.2PLhollë

MR R hz H

PL diskM

k M dM e e RdRdzd Nπ

α ϕ

−

−

+∞ +∞− −− −

−∞

=∫ ∫ ∫ ∫

. (2.12)

Ne përcaktojmë koefiçientin PLk për planetet e lira në diskun e hollë nëpërmjet formulës:

2

0

5

20

5

10 2( )/| |/

0 010

102

10

1.2

1.2

4

hollë

PL

hollë

PL

diskPL M

R R hz H

M

disk

MRh

M

Nk

M dM e e RdRdzd

N

Hh e M dM

πα

α

ϕ

π

−

−

−

−

+∞ +∞− −− −

−∞

−

= =

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫

(2.13)

Për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë PLα ne gjejmë vlerën korresponduese të koeficientit të kalibrimit PLk . Duhet theksuar që njësia e tij nuk është fikse por ndryshon në varësi të indeksit PLα . Për shembull nëse 1PLα = njësia e koefiçientit të kalibrimit është 3 1( )m − .

2.4 Përcaktimi i koefiçientit 3k Nga përpunimi i kurbave mikropërthyerje të dritës Sumi et al. (2011) përcaktoi

që funksioni masë për xhuxhët e errët është në formën


37

33

dN k MdM

α−= (2.14)

dhe numri e xhuxhëve të errët është 0.73N∗ . Duke u mbështetur në këto përfundime ne përcaktojmë nga kalibrimet koefiçientin 3k tek funksioni masë i xhuxhëve të errët. Xhuxhët e errët që shkaktojnë ngjarje mikropërthyerje në fushën e pamjes Kepler konsiderohen në diskun e hollë dhe shpërndarja e tyre hapësinore merret e njëjtë me shpërndarjen e yjeve. Mënyra e përcaktimit të koefiçientit 3k nga kalibrimet është e njëjtë me atë të planeteve të lira. Numri i xhuxhëve të errët në diskun e hollë është i barabartë me 0.73

hollëdiskN dhe përcaktohet nga barazimi

3 0

0.08 2( )/| |/

30.01 0 0

0.73hollë

MR R hz H

diskM

k M dM e e RdRdzd Nπ

α ϕ+∞ +∞

− − −−

−∞

=∫ ∫ ∫ ∫

, (2.15)

nga i cili gjejmë koefiçientin 3k ,

0

0

3 0.08 2( )/3 | |/

0.01 0 0

0.082 3

0.01

0.73

0.73

4

hollë

hollë

diskM

R R hz H

M

diskMR

h

M

Nk

M dM e e RdRdzd

N

Hh e M dM

π

ϕ

π

+∞ +∞− −− −

−∞

−

= =

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫

(2.16)

Intervali ku merr vlera indeksi i funksionit masë për planetet e lira është [0.9,1.6], nga lidhja (2.5) midis indekseve të funksioneve masë gjejmë që intervali korespondues i vlerave të funksionit masë të xhuxhëve të errët është [0.8,0.1]. Për çdo vlerë të indeksit të funksionit masë të xhuxhëve të errët nga intervali [0.8,0.1] ne përcaktojmë koefiçientin 3k korespondues.


38

2.5 Thellësia optike në fushën e pamjes Kepler

Si objekte lente që shkaktojnë ngjarje mikropërthyerje në fushën e pamjes Kepler

ne konsiderojmë planetet e lira dhe xhuxhët e errët. Shpërndarjen e tyre hapësinore e marrim sipas diskut të hollë, të njëjtë me atë të yjeve. Thellësinë optike të ngjarjeve mikropërthyerje e gjejmë nëpërmjet formulës (1.36). Densitetin e masës së objekteve lente përgjatë vijës së shikimit e shprehim me ndihmën e funksionit masë. Duke përfshirë funksionin masë të planeteve të lira dhe duke bërë disa thjeshtime tek formula (1.36) përftojmë thellësinë optike të ngjarjeve shkaktuar nga planetet e lira drejt një ylli burim që ndodhet në distancën SD nga teleskopi Kepler, dhënë nga formula:

2

0

5

20

10 12( )/| |/

2010

4( ) ( )( (1 ))

4 (1 )

S

PL

DL L

PL S L S LS S

MR R hz HS

PLM

D DGD D D dDc D D

GD k M MdM e e x x dxc

α

πτ ρ

π−

−

− −− −

= − =

= −

∫

∫ ∫

(2.17)

Kujtojmë që L Sx D D= . Vlera e koefiçientit PLk përftohet nga formula (2.13). Nëpërmjet formulës (2.17) përcaktohet thellësia optike për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira.

Duket qartë që thellësia optike varet nga distanca e yllit të vrojtuar. Yjet në fushën e pamjes Kepler ndodhen në distancën (150 950) pc÷ larg nga vrojtuesi. Duke e konsideruar fushën e vrojtimit konike dhe yjet me shpërndarje sipas diskut të hollë, ne

përcaktojmë vlerën mesatare të thellësisë optike nga 2

1

( )S

S

D

PL SD

dN DN

τ τ< >= ∫ , ku dN

është numri i yjeve në elementin me vëllim 2 2S SD tg dDπ θ , ( )SDτ është thellësia optike

drejt këtyre yjeve dhe N numri total i yjeve (Han & Gould, 1995). Në rezultatet tona ne paraqitim vlerat mesatare të tyre.

Ngjarjet mikropërthyerje mund të jenë shkaktuar edhe nga xhuxhët e errët që

ndodhen në fushën e pamjes. Mënyra e llogaritjes së thellësisë optike është e njëjtë me atë të planeteve të lira. Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuar nga xhuxhët e errët llogaritet ne anë të formulës


39

3 0

20

0.08 12( )/| |/

320.01 0

4( ) ( )( (1 ))

4 (1 )

SDL L

XH S L S LS S

MR R hz HS

M

D DGD D D dDc D D

GD k M MdM e e x x dxc

α

πτ ρ

π − − −−

= − =

= −

∫

∫ ∫

(2.18)

Edhe për rastin e xhuxhëve të errët ne llogaritim thellësinë optike mesatare. 2.5.1 Llogaritja e integralit përgjatë distancës

Për llogaritjen e integralit 0

1( )/| |/

0

(1 )R R hz He e x x dx− −− −∫ , tek formulat (2.17) dhe (2.18)

duhet të kemi parasysh që x është një variabël përgjatë vijës së shikimit që merr vlera në segmentin [0,1] . Shprehja 0( )/| |/ R R hz He e− −− nuk mund të dalë si faktor nga integrali

sepse për çdo vlerë të x në vijën e shikimit ne kemi një vlerë për z dhe 2 2R x y= + (ku tani ( , , )x y z janë koordinatat e pikave përgjatë vijës së shikimit në lidhje me qendrën e Galaksisë).

Për llogaritjen e këtij integrali ne parametrizojmë vijën e shikimit. Vrojtuesi dhe

ylli burim kanë koordinatat 1 1 1( , , )x y z dhe 2 2 2( , , )x y z në sistemin koordinativ të lidhur me qendrën e Galaksisë. Ekuacioni i vijës që kalon nëpër këto dy pika është

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z tx x y y z z

− − −= = =

− − −. (2.19)

Pra çdo pikë e vijës së shikimit ka koordinatat:

1 2 1

1 2 1

1 2 1

,,,

x x mt m x xy y nt n y yz z lt l z z

= + = − = + = − = + = −

(2.20)

Në barazimet (2.19) dhe (2.20) parametri t merr vlera në segmentin [0,1] . E

gjithë vija e shikimit ndahet në një numër të madh segmentesh, zgjedhim pikën e


40

mesit për çdo segment dhe përcaktojmë koordinatat x , y , z në lidhje me qendrën e Galaksisë, përcaktohet variabli R dhe zëvendësohen tek eksponencialet.

2.5.2 Rezultate

Duke u mbështetur tek formulat (2.17) dhe (2.18) ne përcaktojmë thellësinë optike për ngjarjet mikropërthyerje të shkaktuara nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët (Hafizi & Hamolli, 2012). Këto objekte janë konsideruar me shpërndarje hapësinore sipas diskun e hollë. Për planetet e lira ne konsiderojmë tre raste të numrit të tyre për yll: 1.2, 5.5 dhe 23.6.

Në tabelën 2.1 paraqiten rezultatet e thellësisë optike të planeteve të lira dhe

xhuxhëve të errët, për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë. Në këtë tabelë është konsideruar kufiri i poshtëm i numrit të planeteve për yll, 1.2 . Vlera e pragut të parametrit u , është 1Tu = .

Tabela 2.1. Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë, për rastin kur numri i planeteve të lira për yll është 1.2 . Këto rezultate janë për rastin kur vlera prag e parametrit u është 1Tu = .


xhuxhëve të errët për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë. Në këtë tabelë është konsideruar vlera e mesit të numrit të planeteve për yll, 5.5 . Vlera e pragut të parametrit u , është 1Tu = .

αPL τPL α3 τXH τPL+ τXH 1.6 4.72E-13 0.1 2.14E-10 2.15E-10 1.5 8.07E-13 0.2 2.09E-10 2.10E-10 1.4 1.38E-12 0.3 2.04E-10 2.06E-10 1.3 2.33E-12 0.4 1.99E-10 2.01E-10 1.2 3.79E-12 0.5 1.93E-10 1.97E-10 1.1 5.93E-12 0.6 1.87E-10 1.93E-10 1.0 8.77E-12 0.7 1.81E-10 1.89E-10 0.9 1.22E-11 0.8 1.76E-10 1.88E-10


41

Tabela 2.2. Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë, për rastin kur numri i planeteve të lira për yll është 5.5 . Vlera e pragut për parametrin u është 1Tu = .


xhuxhëve të errët për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë. Në këtë tabelë është konsideruar kufiri i sipërm i numrit të planeteve për yll, 23.6 . Vlera e pragut të parametrit u , është 1Tu = .

Tabela 2.3. Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë, për rastin kur numri i planeteve të lira për yll është 23.6 . Vlera e pragut për parametrin u është 1Tu = .

Në figurën 2.2 kemi shfaqur thellësitë optike të planeteve të lira dhe të xhuxhëve të errët në varësi të indeksit të funksionit masë të xhuxhëve të errët 3α kur vlera prag e u është 1Tu = . Për planetet e lira ne kemi konsideruar kufirin e poshtëm të numrit të tyre për yll, 1.2 (vija e vazhduar); vlerën e mesit 5.5 (vija e ndërprerë) dhe kufirin e sipërm, 23.6 (vija e pikëzuar). Thellësia optike e xhuxhëve të errët tregohet nga vija me ngjyrë gri. Me rritjen e 3α , thellësia optike e xhuxhëve të errët zvogëlohet ndërsa ajo e planeteve të lira rritet.




42

Figura 2.2. Në varësi të indeksit të funksionit masë 3α , tregohet thellësia optike e ngjarjeve shkaktuar nga planetet e lira, kur konsiderojmë kufirin e poshtëm të numrit të tyre për yll, 1.2 (vija e vazhduar), vlerën e mesit, 5.5 (vija e ndërprerë) dhe kufirin e sipërm, 23.6 (vija e pikëzuar). Varësia e thellësisë optike të xhuxhëve të errët nga 3α , tregohet nga vija me ngjyrë gri. Duket që me rritjen e 3α , thellësia optike e xhuxhëve të errët zvogëlohet dhe ajo e planeteve të lira rritet.

Nga tabelat 2.1, 2.2, 2.3 dhe figura 2.2 duket qartë që thellësia optike për secilin nga rastet e paraqitura varet nga indeksi i funksionit masë. Kur numri i planeteve të lira për yll është 1.2 dhe 5.5 , thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira është më e vogël se thellësia optike e ngjarjeve shkaktuar nga xhuxhët e errët për të gjithë intervalin e vlerave të 3α . Për rastin kur konsiderojmë 23.6 planete të lira për yll, thellësia optike e planeteve është më e madhe se e xhuxhëve të errët vetëm për vlerën më të madhe të indeksit 3α .

2.6 Pragu i amplifikimit

Pragu i amplifikimit për teleskopin Kepler është 1.001TA = (Griest et al., 2011). Nga formula e mëposhtme ne përcaktojmë vlerën prag të parametrit u ,

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.0

5.0x10-11

1.0x10-10

1.5x10-10

2.0x10-10

2.5x10-10

Th

ellë

sia o

ptik

e (τ)

α3

(1.2) (5.5) (23.6) xh


43

2

1/2 1/222[( ) 1]

1T

TT

AuA

= −−

(2.21)

dhe gjejmë 6.54Tu = . Në rastin e teleskopit Kepler ngjarja mikropërthyerje do të dedektohet që kur distanca pa njësi midis lentes dhe yllit burim në planin e lentes është 6.54 .

Meqë për teleskopin Kepler 6.54Tu = , vlerat e thellësisë optike në tabelat 1.2, 2.2, 2.3 duhet të shumëzohen me 2 43Tu (Griest et al., 2011). Edhe kur shfrytëzojmë aftësitë e teleskopit Kepler, kontributin më të madh në thellësinë optike të ngjarjeve mikropërthyerje drejt fushës së pamjes, përsëri e kanë xhuxhët e errët.

2.7 Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje në fushën e pamjes Kepler Madhësi tjetër e rëndësishme në vrojtimet mikropërthyerje është dhe ritmi i

ngjarjeve. Ne konsiderojmë vetëm ngjarjet mikropërthyerje që shkaktohen nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët. Për llogaritjen e ritmit të ngjarjeve mikropërthyerje për një yll burim të vendosur në distancën SD në fushën e pamjes, ne përdorim formulën (1.50). Duke përfshirë funksionin masë të planeteve të lira, shpërndarjen

hapësinore të tyre sipas diskut të hollë dhe duke futur parametrat: T

L

v yσ

= , s

s

v zσ

⊥ = ,

t

L

vη

σ= ne përftojmë formulën për përcaktimin e ritmit të ngjarjeve mikropërthyerje, e

cila jepet nga,

2

5

20

2 2

10

210

1 ( )/| |/ 2

00

22 2 2 cos

2 00 0

4( )

(1 )

1cos

PL

MS

PL S T S PLM

R R hz H yL

z y

GD MD u D k M dMc M

e e x x dx y e dy

d d ze dze e d

α

ππ π η η β

π

σπ

θ θ α βπ

−

−

−

∞− −− −

∞− − −

−

Γ =

−

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(2.22)


44

Vija e shikimit të teleskopit Kepler ka koordinatat galaktike 76.32l = ° , 13.5b = ° . Meqë yjet burime në fushën e pamjes janë deri në distancën 950 pc, gjejmë që distanca e tyre nga qendra e Galaksisë është e njëjtë me distancën e Diellit prej saj. Si rrjedhim, yjet burime dhe Dielli kanë të njëjtën shpejtësi mesatare të rrotullimit rreth qendrës së Galaksisë. Për këtë arsye, ne shpejtësinë e “tubit” mikropërthyerje e konsiderojmë të barabartë me zero ( 0η = ). Ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuar nga planetet e lira e llogaritin nga

2

5

2 20

10

210

1( )/| |/ 2

0 0 0

8 4( )

(1 )

PL

ML s s

PL S T PLM

R R hz H y z

D GD MD u k M dMc M

e e x x dx y e dy ze dz

ασπ

−

−

−

∞ ∞− −− − −

Γ =

−

∫

∫ ∫ ∫

(2.23)

Ku vlera e koefiçientit PLk llogaritet nga formula (2.13) dhe dispersionin e shpejtësive të planeteve të lira në diskun e hollë e marrim 30 /L km sσ = (Jetzer et al., 2002). Meqë yjet burime ndodhen në distanca të ndryshme nga vrojtuesi ne përcaktojmë vlerën mesatare të ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje. Duke e konsideruar fushën e pamjes konike dhe yjet me shpërndarje sipas diskut të hollë ne e gjejmë vlerën mesatare nga

2

1

( )S

S

D

PL SD

dN DN

< Γ >= Γ∫ , ku dN është numri i yjeve në elementin me vëllim

2 2S SD tg dDπ θ , ( )SDΓ është ritmi i ngjarjeve drejt këtyre yjeve dhe N numri total i

yjeve (Han & Gould, 1995).

Për të përcaktuar ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuar nga xhuxhët e errët, ne përdorim formulën:

3

2 20

0.08

320.01

1( )/| |/ 2

0 0 0

8 4( )

(1 )

ML s s

XH S TM

R R hz H y z

D GD MD u k M dMc M

e e x x dx y e dy ze dz

ασπ

−

∞ ∞− −− − −

Γ =

−

∫

∫ ∫ ∫

(2.24)

Ku vlera e koefiçientit 3k llogaritet nga formula (2.16) dhe dispersionin e shpejtësive të xhuxhëve të errët në diskun e hollë e marrim 30 /L km sσ = (Jetzer et al., 2002). Ne përcaktojmë vlerën mesatare të ritmit të ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga xhuxhët e errët në të njëjtën mënyrë si tek planetet e lira.


45

2.7.1 Rezultate

Për yjet në fushën e pamjes Kepler ne llogaritim ritmin e ngjarjeve

mikropërthyerje të shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët. Shpërndarja e tyre hapësinore konsiderohet sipas diskut të hollë, e njëjtë me atë të yjeve (Hafizi & Hamolli, 2012).

Në tabelën 2.4 jepen vlerat e ritmit të ngjarjeve për vit shkaktuar nga planetet e

lira dhe xhuxhët e errët në fushën e pamjes Kepler. Për përcaktimin e tyre ne përdorim formulën (2.23) për planetet e lira dhe formulën (2.24) për xhuxhët e errët. Llogaritjet në këtë tabelë janë për vlerën prag të u , 1Tu = dhe për kufirin e poshtëm të numrit të planeteve të lira për yll,1.2 . Tabela 2.4. Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje për vit të shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë, për rastin kur numri i planeteve të lira për yll është 1.2 . Llogaritjet në këtë tabelë janë për vlerën prag të u , 1Tu = .

Duket qartë që ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje varet nga indeksi i funksionit masë. Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga xhuxhët e errët është më i madh se ai i planeteve të lira.

Në tabelën 2.5 jepen vlerat e ritmit të ngjarjeve për vit shkaktuar nga planetet e lira, kur konsiderojmë vlerën e mesit të tyre për yll, 5.5 dhe xhuxhët e errët në fushën e pamjes Kepler. Llogaritjet në këtë tabelë janë për vlerën prag të u , 1Tu = .

αPL ΓPL α3 ΓXH ΓPL+ ΓXH 1.6 1.87E-10 0.1 6.32E-09 6.51E-09 1.5 2.40E-10 0.2 6.24E-09 6.48E-09 1.4 3.19E-10 0.3 6.18E-09 6.50E-09 1.3 4.37E-10 0.4 6.08E-09 6.52E-09 1.2 6.07E-10 0.5 5.99E-09 6.60E-09 1.1 8.30E-10 0.6 5.87E-09 6.70E-09 1.0 1.11E-09 0.7 5.75E-09 6.86E-09 0.9 1.42E-09 0.8 5.69E-09 7.10E-09


46

Tabela 2.5. Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje për vit të shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë, për rastin kur numri i planeteve të lira për yll është 5.5 . Llogaritjet në këtë tabelë janë për vlerën prag të u , 1Tu =

Duket qartë që ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje varet nga indeksi i funksionit masë. Ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga xhuxhët e errët në pjesën më të madhe të rangut të vlerave të indeksit të funksionit masë është më i madh se ai i planeteve të lira. Vetëm për vlerën më të madhe të indeksit të funksionit masë 3α , ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga planetet e lira është më të madh se i xhuxhëve të errët.

Në tabelën 2.6 jepen vlerat e ritmit të ngjarjeve për vit shkaktuar nga planetet e

lira dhe xhuxhët e errët në fushën e pamjes Kepler. Numri i planeteve të lira për yll në këtë rast është konsideruar 23.6 . Llogaritjet në këtë tabelë janë për vlerën prag të u , 1Tu = . Tabela 2.6. Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje për vit të shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë, për rastin kur numri i planeteve të lira për yll është 23.6. Llogaritjet në këtë tabelë janë për vlerën prag të u , 1Tu = .




47

Edhe për rastin kur konsiderojmë që numri i planeteve të lira për yll është 23.6 , ritmi i ngjarjeve varet nga indeksi i funksionit masë. Në pjesën më të madhe të rangut të vlerave të indeksit të funksionit masë ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga planetet e lira është më i madh se ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga xhuxhët e errët.

Në figurën 2.3 kemi shfaqur ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje për vit të

shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët në varësi të indeksit të funksionit masë të xhuxhëve të errët 3α , kur vlera prag e u është 1Tu = . Për planetet e lira ne kemi konsideruar kufirin e poshtëm të numrit të tyre për yll, 1.2 (vija e vazhduar); vlerën e mesit 5.5 (vija e ndërprerë) dhe kufirin e sipërm, 23.6 (vija e pikëzuar). Ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga xhuxhët e errët paraqitet nga vija ngjyrë gri. Duket që me rritjen e vlerave të 3α , thellësia optike e xhuxhëve të errët zvogëlohet dhe ajo e planeteve të lira rritet.

Figura 2.3. Në varësi të indeksit të funksionit masë 3α , tregohet ritmi i ngjarjeve për vit shkaktuar nga planetet e lira, kur konsiderojmë kufirin e poshtëm të numrit të tyre për yll 1.2 (vija e vazhduar), vlerën e mesit, 5.5 (vija e ndërprerë) dhe kufirin e sipërm, 23.6 (vija e pikëzuar). Varësia nga 3α e ritmit të ngjarjeve mikropërthyerje për vit të xhuxhëve të errët, tregohet nga vija ngjyrë gri. Duket që me rritjen e 3α , ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga xhuxhët e errët zvogëlohet dhe ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga planetet e lira rritet. Vlera prag e u është 1Tu = .

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.0

5.0x10-9

1.0x10-8

1.5x10-8

2.0x10-8

2.5x10-8

3.0x10-8

Ritm

i i ng

jarjev

e (Γ)

α3

(1.2) (5.5) (23.6) xh


48

Nëpërmjet figurës 2.3 duket qartë që ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje për secilin

nga rastet e paraqitura varet nga indeksi i funksionit masë. Për rastin kur numri i planeteve të lira për yll është 1.2 , ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga xhuxhët e errët është më i madh se ritmi për planetet e lira. Për rastin kur konsiderojmë vlerën e mesit të numrit të planeteve të lira për yll 5.5, ritmi i ngjarjeve të planeteve të lira është më i madh se ritmi i xhuxhëve të errët vetëm për vlerat e mëdha të indeksit 3α . Kur konsiderojmë kufirin e sipërm të numrit të planeteve për yll 23.6, ritmi i planeteve të lira është më i madh se i xhuxhëve të errët në pjesën më të madhe të intervalit të indeksit 3α .

Duke patur parasysh aftësitë e teleskopit Kepler vlerat në tabelat 2.4, 2.5 dhe 2.6 duhet të shumëzohen më 6.54Tu = .

2.8 Numri i ngjarjeve mikropërthyerje në fushën e pamjes Kepler Nga vrojtimet fotometrike merren një seri pikash që përcaktojnë amplifikimin e

yllit burim në çaste të ndryshme kohe. Nga diskutimi me specialistët e fushës, një seri pikash përbën një kurbë mikropërthyerje të dedektueshme kur të paktën në të ekzistojnë 8 pika me amplifikim më të madh se vlera prag. Teleskopi Kepler merr të dhëna në çdo 30 min, kështu që koha e Ajnshtajnit për një ngjarje të dedektueshme duhet të jetë më e madhe se katër orë. Për planetin e lirë me masë më të vogël,

510 M− të vendosur në mes të distancës prej 1 kpc deri tek ylli burim, gjejmë që koha

e Ajnshtajnit është rreth shtatë orë. Kështu që ngjarjet e shkaktuara nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët janë të dedektueshme nga teleskopi.

Ne përcaktojmë numrin e ngjarjeve mikropërthyerje që dedektohen nga teleskopi

Kepler për një periudhë të caktuar kohe. Duke shumëzuar numrin e yjeve në fushën e pamjes Kepler me ritmit të ngjarjeve dhe kohën e vrojtimit, ne gjejmë numrin e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët (Jetzer et al., 2002),

ngj yje vëzhN N t= Γ . (2.25)

Në rastin e teleskopit Kepler, numri i yjeve burim në fushën e pamjes është 150000yjeN = , kohën e vrojtimit e marrim 1 vit dhe ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje

e marrim për rastin kur konsiderojmë kufirin e sipërm të numrit të planeteve për yll, 23.6. Meqë pragu i amplifikimit për teleskopin Kepler është 1.001TA = , rezultatin e shumëzojmë me 6.54Tu = .


49

Në tabelën 2.7 janë shfaqur rezultatet e numrit të ngjarjeve mikropërthyerje për vit shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët. Për planetet e lira është konsideruar kufiri i sipërm të numrit të planeteve për yll, 23.6. Pragu i amplifikimit është 1.001TA = . Tabela 2.7. Numri i ngjarjeve mikropërthyerje për vit të shkaktuara nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët, për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë. Rezultatet për planetet e lira janë për rastin kur konsiderojmë 23.6 planete të lira për yll. Pragu i amplifikimit është 1.001TA = .

Nga tabela 2.7 duket qartë që ky teleskop vetëm për yjet që ai ka si shenjëza në

fushën e vet duhen rreth 3 vjet vrojtime që të kapë një ngjarje mikropërthyeje.

2.9 Ndikimi i distancës në thellësinë optike dhe ritmin e ngjarjeve Teleskopi Kepleri nga vrojtimi fotometrik i 150000 yje përfton kurbat e dritës së

tyre. Vetëm nga këto kurba, numri i ngjarjeve mikropërthyerje të dedektuara është shumë i vogël. Ne kërkojmë të marrim në konsideratë jo vetëm këto 150000 yje, por të gjitha yjet që ndodhen në fushën e pamjes së teleskopit. Mundësia e shfrytëzimit të të dhënave do e rriste ndjeshëm numrin e ngjarjeve mikropërthyerje të vrojtuara. Ne kemi llogaritur që teleskopi Kepler vrojton disa miliona yje nëse distanca drejt fushës së tij të pamjes shkon deri në 4 kpc. Kjo distancë i korrespondon një magnitude deri në 18. Ne llogaritim thellësinë optike dhe ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar vetëm nga planetet e lira që ndodhen në fushën e pamjes (Hamolli & Hafizi, 2011) .

Në figurën 2.4 tregohet varësia e thellësisë optike dhe ritmit të ngjarjeve

mikropërthyerje për vit nga distanca në drejtimin e vrojtimit Kepler. Këto madhësi

αPL NPL α3 NXH NPL+ NXH 1.6 3.60E-03 0.1 6.20E-03 9.81E-03 1.5 4.63E-03 0.2 6.12E-03 1.08E-02 1.4 6.16E-03 0.3 6.06E-03 1.22E-02 1.3 8.44E-03 0.4 5.97E-03 1.44E-02 1.2 1.17E-02 0.5 5.88E-03 1.76E-02 1.1 1.60E-02 0.6 5.76E-03 2.18E-02 1.0 2.14E-02 0.7 5.64E-03 2.70E-02 0.9 2.74E-02 0.8 5.58E-03 3.30E-02


50

janë llogaritur kur konsiderojmë vlerën e mesit të numrit të planeteve për yll, 5.5 dhe indeksin e funksionit masë 1.3PLα = . Vlera prag e parametrit u është 1Tu = .

Figura 2.4. Varësia e thellësisë optike (vija e ndërprerë) dhe ritmit të ngjarjeve për vit (vija e vazhduar) nga distanca në drejtimin e vrojtimit Kepler. Këto rezultate janë për rastin kur numri i planeteve të lira për yll është 5.5 , indeksi i funksioni masë 1.3PLα = dhe 1Tu = .

Me rritjen e distancës në drejtimin e vrojtimit Kepler rritet thellësia optike dhe

ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira. Në figurën 2.5 paraqitim ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje për vit shkaktuar nga

planetet e lira kur konsiderojmë kufirin e sipërm (23.6), vlerën e mesit (5.5) dhe kufirin e poshtëm (1.2) të numrit të planeteve të lira për yll në varësi të distancës në drejtimin e vrojtimit Kepler. Këto rezultate i përkasin vlerës prag 1Tu = dhe indeksit të funksionit masë 1.3PLα = .

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

1E-11

1E-10

1E-9

1E-8

1E-7

1E-6

D (kpc)

ΓPL

τ PL


51

Figura 2.5. Ritmi për vit i ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira në varësi të distancës në drejtimin Kepler. Kurba me vijë të pikëzuar i korrespondon kufirit të poshtëm të numrit të planeteve të lirë për yll 1.2 , kurba me vijë të plotë i korrespondon vlerës së mesit 5.5 , dhe kurba me vijë të ndërprerë kufirit të sipërm të planeteve të lirë për yll 23.6 . Këto rezultate janë për indeksin e funksionit masë 1.3PLα = dhe vlerën prag 1Tu = .

Në figurën 2.6 paraqitim thellësinë optike të ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar

nga planetet e lira kur konsiderojmë kufirin e sipërm (23.6), vlerën e mesit (5.5) dhe kufirin e poshtëm (1.2) të numrit të planeteve të lira për yll në varësi të distancës në drejtimin e vrojtimit Kepler. Këto rezultate i përkasin vlerës prag 1Tu = dhe indeksit të funksionit masë 1.3PLα = .

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.01E-10

1E-9

1E-8

1E-7

Lo

g (Γ PL

)

D (kpc)

(5.5) (23.6) (1.2)


52

Figura 2.6. Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira në varësi të distancës në drejtimin Kepler, për indeksin e funksionit masë 1.3PLα = . Kurba me vijë të pikëzuar i korrespondon kufirit të poshtëm të numrit të planeteve të lirë për yll 1.2 , kurba me vijë të vazhduar i korespondon vlerës së mesit 5.5 , dhe kurba me vijë të ndërprerë kufirit të sipërm të planeteve të lirë për yll 23.6 . Këto rezultate janë për rastin e vlerës prag 1Tu = .

2.10 Yjet në fushën e pamjes Kepler Yjet në fushën e pamjes Kepler janë yje të diskut. Ne konsiderojmë që yjet në

drejtimin e fushës së pamjes Kepler janë të shpërndara sipas diskut të hollë (Gilmore et al., 1989; De Paolis et al., 2001; Hafizi et al, 2004).

Fusha e pamjes Kepler është 2115gradë . Duke e konsideruar atë konike, ne llogaritim që këndi i hapjes së konit është 6θ . Ne përcaktojmë numrin e yjeve në fushën e pamjes në varësi të distancës në drejtimin e vrojtimit Kepler.

Në tabelën 2.8 ne japim numrin e yjeve të fushës së pamjes Kepler në distanca të

ndryshme nga vrojtuesi.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

1E-12

1E-11

1E-10

1E-9

Lo

g (τ PL

)

D (kpc)

(5.5) (23.6) (1.2)


53

Tabela 2.8. Numri i yjeve në fushën e pamjes Kepler për distanca të ndryshme në drejtimin e vrojtimit Kepler.

Pra deri në distancën 4 kpc në fushën e pamjes kemi disa miliona yje. Për të gjitha yjet në fushën e pamjes deri në distancën 4 kpc ne përcaktojmë numrin i ngjarjeve mikropërthyeje shkaktuar nga planetet e lira.

Ne llogaritim numrin e ngjarjeve mikropërthyerje duke shumëzuar ritmin e

ngjarjeve mikropërthyerje për vit me numrin e yjeve ne fushën e pamjes. Në figurën 2.7 ne kemi shfaqur numrin e ngjarjeve mikropërthyerje për vit

shkaktuar vetëm nga planetet e lira në varësi të distancës. Ne kemi konsideruar që numri i planeteve të lira për yll është 1.2, 5.5 dhe 23.6. Këto vlera janë për rastin kur vlera e pragut është 6.54Tu = dhe indeksi i funksionit masë është 1.3PLα = .

Me rritjen e distancës në drejtimin e fushës së pamjes Kepler, numri i ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira rritet. Vlera më e mirë që ne gjejmë është rreth 4 ngjarje për vit, e cila është përftuar në rastin e kufirit të sipërm të numrit të planeteve të lirë, 23.6.

Distanca (kpc) Numri i yjeve

0.5 98,160

1.0 601,811

1.5 1,558,928

2.0 2,842,628

2.5 4,284,187

3.0 5,735,155

3.5 7,089,423

4.0 8,284,611


54

Figura 2.7. Numri i ngjarjeve mikropërthyerje për një vit në varësi të distancës në drejtimin

Kepler. Kurba me vijë të pikëzuar i korespondon kufirit të poshtëm të numrit të planeteve të lirë 1.2 , kurba me vijë të vazhduar i korespondon vlerës së mesit 5.5 dhe kurba me vijë të ndërprerë kufirit të sipërm 23.6 . Këto llogaritje janë për rastin kur vlera e pragut është 6.54Tu = . Indeksi i funksionit masë për planetet e lira është marre 1.3PLα = .

Në rezultatet e marra nga llogaritjet tona ne kemi konsideruar që planetet e lira

dhe yjet burim kanë shpërndarje sipas diskut të hollë. Në rastin kur shkojmë deri në distancën 4 kpc në drejtimin e vrojtimit Kepler ne konsiderojmë edhe yjet me shpërndarje sipas diskut të trashë. Në këtë rast, vlera më e mirë që ne gjejmë është 8 ngjarje në vit. Kjo vlerë është përcaktuar kur numri i planeteve të lira për yll merret 23.6, 1.3PLα = dhe 6.54Tu = .

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0

1

2

3

4

5

N

umri

i ngj

arje

ve p

ër v

it

D (kpc)

(5.5) (23.6) (1.2)


55

2.11 Variabiliteti i yjeve Magnituda e dukshme m e një ylli është një numër që karakterizon

ndriçueshmërinë e tij. Për dy yje me flukse 1F dhe 2F ndryshimi në magnitudë është

22 1

1

2.5log( )Fm mF

− = − . (2.26)

Gjatë ngjarjeve mikropërthyerje magnituda e yjeve ndryshon me madhësinë 2.5logm A∆ = − . (2.27)

Vlerës prag të amplifikimit, 1.34TA = i korespondon ndryshimi në magnitudë 0.3m∆ − .

Magnituda e yjeve ndryshon edhe si rezultat i proceseve që ndodhin në brendësi

të tyre. Për yjet në fushën e pamjes Kepler variabiliteti i tyre është nga 0.5mmag (milimagnitudë) deri 3.5mmag (Ciardi et al., 2011). Për variabilitetin 0.5mmag gjejmë amplifikimin 1.00046A = dhe për variabilitetin 3.5mmag, amplifikimin 1.0032A = . Shohim që në rastin e variabilitetetit më të madh, amplifikimi është më i madh se pragu i amplifikimit për teleskopin Kepler. Në llogaritjet tona, kur ne konsiderojmë aftësitë e teleskopit Kepler, pragun e amplifikimit 1.001TA = e kemi marrë si limit instrumental. Nëse marrim parasysh variabilitetin e yjeve ( 1.0032TA = ) numri më i mirë i ngjarjeve që ne gjejmë është 3 ngjarje për vit për yjet në diskun e hollë dhe 6 ngjarje në vit për yjet në diskun e trashë, pra kemi një zvogëlim prej 25%.

2.12 Diskutime dhe përfundime Misioni Kepler është një mision shumë i rëndësishëm sepse qëllimi i tij është të

zbulojë planetet jashtë sistemit diellor. Teknika që ai përdor është ajo tranzit, e cila aplikohet vetëm për planetet që rrotullohen rreth yjeve. Ai mat fotometrikisht 150000 yje në fushën e vet të pamjes.

Për vrojtimet Kepler ne përdorim metodën e mikropërthyerjes gravitacionale,

pasi kjo deri tani është e vetmja metodë për dedektimin e planeteve të lira. Me anë të kësaj metode ne studiojmë edhe xhuxhët e errët, të cilët kohët e fundit janë dedektuar në klasterat pranë Diellit nëpërmjet vrojtimit direkt. Ne llogaritim thellësinë optike


56

dhe ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët, duke i konsideruar lentet dhe yjet burime si objekte pikësorë.

Në llogaritjet tona ne jemi mbështetur në përfundimet e nxjerra mbi funksionin

masë të planeteve të lira dhe të xhuxhëve të errët nga Sumi et al. (2011). Shpërndarjen hapësinore dhe shpërndarjen e shpejtësive e kemi konsideruar të njëjtë më atë të yjeve.

Nga llogaritjet tona ne arrijmë në këto përfundime: Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje varet nga indeksi i funksionit masë

të planeteve të lira, kështu që matja nga vrojtimet e kësaj madhësie do të ndihmonte në korigjimin e rangut ku merr vlera indeksi i funksionit masë.

Thellësia optike e ngjarjeve shkaktuar nga xhuxhët e errët është më të madhe sesa

thellësia optike e planeteve të lira, për çdo numër planetesh për yll të marrë në konsideratë: 1.2, 5.5 dhe 23.6. Vetëm për rastin kur konsiderojmë 23.6 planete të lira për yll, thellësia optike e planeteve të lira është më e madhe se e xhuxhëve të errët për vlerën më të madhe të indeksit 3α .

Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje varet nga indeksi i funksionit masë. Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga xhuxhët e errët është më i madh

se ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga planetet e lira kur konsiderojmë kufirin e poshtëm të numrit të tyre për yll, 1.2 . Për vlerën e mesit të numrit të planeteve të lira për yll 5.5, ritmi i ngjarjeve të planteve të lira është më i madh se ritmi i xhuxhëve të errët vetëm për vlerat e mëdha të indeksit 3α . Kur konsiderojmë kufirin e sipërm të numrit të planeteve për yll 23.6, ritmi i ngjarjeve të planeteve të lira është më i madh se i xhuxhëve të errët në pjesën më të madhe të rangut të indeksit 3α .

Duke marrë në konsideratë aftësitë e teleskopit Kepler dhe për kufirin e sipërm të

numrit të planeteve të lira për yll ne gjejmë që duhen rreth 3 vjet për dedektimin e një ngjarje mikropërthyerje.

Fusha e vrojtimit të teleskopit Kepler është një zonë relativisht e dendur me yje,

sepse ndodhet në një nga krahët e Galaksisë sonë. Kjo na nxiti që të kryenin llogaritjet duke marrë në konsideratë të gjithë yjet në fushën e pamjes Kepler deri në distancën 4 kpc në drejtim e fushës së vrojtimit Kepler.

Kur distanca në drejtimin e vrojtimit Kepler rritet, ritmi i ngjarjeve dhe thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuara nga planetet e lira për çdo rast të numrit të tyre për yll, do të rriten.

Kur konsiderojmë aftësitë e teleskopit Kepler dhe shqyrtojmë të gjithë yjet në

fushën e pamjes, ne përcaktojmë teorikisht që numri më i mirë i ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira është 12 ngjarje në vit. Kur konsiderojmë variabilitetin e yjeve Kepler, numri i ngjarjeve të dedektuara zvogëlohet me 25%.


57

Ky përfundim justifikon një kërkesë të mundshme për shqyrtimin e arkivës së të dhënave të këtij teleskopi. Në rastin pozitiv, numri i ngjarjeve mikropërthyerje të gjetura do të ishte shumë i vyer për të konkluduar mbi intevalin e vlerave të numrit të planeteve të lira për yll, domethënë mbi praninë e tyre në Galaksinë tonë.

Një studim i mundshëm për të ardhmen është marrja në konsideratë i efekteve të

burimeve të fundme në matjet fotometrike të teleskopit Kepler pasi yjet në fushën e tij të pamjes janë relativisht afër.

Eksplorimi i planeteve të lira drejt bulbit galaktik

58

Kapitulli 3

EKSPLORIMI I PLANETEVE TË LIRA DREJT BULBIT GALAKTIK

3.1 Hyrje

Deri tani disa vrojtime mikropërthyerje janë ndërmarrë drejt qendrës së Galaksisë nga misioni MOA (Microlensing Observations in Astrophysics) (Bond et al., 2001) dhe OGLE (Optical Gravitational Lensing Experiment) (Sumi et al., 2006) me synimin e kërkimit të MACHOs (Massive Astrophysical Compact Halo Objects) dhe planeteve jashtë sistemit diellor. Këto fushata vrojtimesh të ndërmarra dy dekadat e fundit kanë lejuar dedektimin e disa qindra ngjarjeve mikropërthyerje. Vrojtimet e kryerja nga Toka kanë hasur në vështirësi për dedektimin e lenteve me masa më të vogla se 210 M−

sepse këto ngjarje janë relativisht të shkurtra dhe matjet fotometrike ndikohen nga atmosfera e saj. Kështu që vrojtimet nga hapësira do të jenë më të frutshme në dedektimin e tyre (Bennett & Rhie, 2002). Sot po punohet për projektimin e dy misione hapësinore të reja që do të kryejnë vrojtime mikropërthyerje drejt qendës së Galaksisë: projekti Amerikan WFIRST (Wide-Field Infrared Survey Telescope) (Green et al., 2012) dhe projekti Evropian Euclid (Laureijs et al., 2011). Në këtë kapitull ne fokusohemi tek misioni Euclid.

3.2 Teleskopi Euclid Euklid është një mision hapësinor i ESA (European Space Agency). Ai do të

lëshohjë në vitin 2017, në Kourou satelitin nga raketa Soyuz ST-2.1B. Qëllimi kryesor i tij është të kuptojë origjinën e zgjerimit në mënyrë të përshpejtuar të Universit. Për të arritur këtë, është propozuar të ndërtohet një satelit i pajisur me një teleskop 1.2 m dhe tre instrumenta spektroskopikë që punojnë në zonën e dukshme


59

dhe pranë infrakuq. Këto instrumenta do të eksplorojnë historinë e zgjerimit të universit dhe evolimin e strukturave kozmike duke matur format dhe redshiftet e galaksive në një pjesë shumë të madhe të qiellit.

Një tjetër synim është dhe kërkimi për planete jashtë sistemit diellor nëpërmjet

vëzhgimeve mikropërthyerje të yjeve drejt bulbit galaktik. Nga të dhënat e Euclid do të arrihet në një përfundim për shpërndarjen në Galaksinë tonë të planeteve të ftohtë jashtë sistemit diellor, me masë deri tek masa e Tokës. Kjo do të sigurojë një plotësim perfekt të studimit të popullimeve të nxehta dhe të ngrohta, të studiuar kohët e fundit nga Kepler. Euklid do të vrojtojë drejt qendrës së Galaksisë për rreth 10 muaj (në mënyrë të ndërprerë). Fusha e pamjes së teleskopit është 0.54 gradë2. Koordinatat galaktike të vijës së qendrës së tij të shikimit janë 1.7b = − ° , 1.1l = ° . Yjet që do të vrojtojë janë yjet e bulbit galaktik që është zona më e dendur, me rreze rreth 1.5 kpc në qendër të Galaksisë. Ritmi i marrjes së të dhënave (kadenca) është 20 min.

Ky satelit është planifikuar të vibrojë në pikën L2 të Langranxhit për sistemin

Diell-Tokë. Kjo pikë ndodhet në distancën 2 0.01 .T Ld Nj A− nga Toka në drejtim të kundërt në Diellin dhe rrotullohet bashkë me Tokën rreth Diellit (Laureijs et al., 2011). Yjet burime drejt qendës së Galaksisë ndodhen në një distancë rreth 11 rende më e madhe se 2T Ld − . Kështu që kurbat mikropërthyerje të dritës përftuar nga observatorë tokësorë dhe hapësinorë drejt qendrës së Galaksisë do të kenë të njëjtën kohë Ajnshtajni sepse distanca e lentes nga vrojtuesi në Tokë apo satelit gjatë kohës së ngjarjeve pothuajse nuk ndryshon. Planetet e lira që ndodhen në disk dhe në bulb do të japin ngjarje të mikropërthyerjes gravitacionale për yjet e vrojtuar. Ngjarje mikropërthyerje do të shkaktohen edhe nga xhuxhët e errët dhe yjet e tjera që ndodhen në fushën e pamjes të teleskopit Euclid.

3.3 Yjet në fushën e pamjes Euclid

Që të dedektohet një yll me anë të teleskopit Euclid duhet që fluksi i tij të jetë më

i madh se fluksi limit (Laureijs et al., 2011) 16 1 2 19 1 23 10 3 10 lF x erg s cm x J s m− − − − − −= = . (3.1)

Një yll sa Dielli ynë në qendër të Galaksisë do të kishte fluksin,

16 1 24.44 10 F x J s m− − −= . (3.2)

Duke u nisur nga relacioni masë-luminositet i yjeve:


60

2.4 0.84 0.8 302 30 100

M ML M M M ML M

M M M

α ααα

= < = → = < < = < <

(3.3)

gjejmë teorikisht që për yjet me masë 0.8M M< ( )2.4[ / / ]L L M M= , teleskopi do të vrojtojë yje me masë deri në 0.047M . Por, objektet yjet kanë masë më të madhe se 0.08M , kështu që të gjitha yjet e bulbit galaktik do të dedektohen nga ky teleskop.

Meqë problemi i indeksit të funksionit masë të yjeve akoma nuk është i zgjidhur

plotësisht, po konsiderojmë për të gjithë yjet në bulb një funksionin masë Salpeter me indeks 2.4α = . Ne përcaktojmë masën mesatare të yjeve në bulb nga,

100 1002.4 1.4

0.08 0.08100 100

2.4 2.4

0.08 0.08

0.27

M M

M Mbulb M M

M M

KM MdM M dMm M

KM dM M dM

− −

− −

< > = =∫ ∫

∫ ∫

. (3.4)

Në qendrën e Galaksisë, yjet përshkruhen nga një model standard i bulbit

treboshtor me densitet të masës dhënë nga (Dwek et al., 1995; De Paolis et al., 2001; Hafizi et al., 2004):

2 /2( , , )

8sb

bMx y z eabc

ρπ

−= , 2 2 4

4 22 2 4( )x y zs

a b c= + + (3.5)

ku vlerat e parametrave janë: 102 10bM x M= , 1.49a kpc= , 0.58b kpc= , 0.40c kpc= (3.6)

Koordinatat ( , , )x y z përcaktohen në lidhje me sistemit koordinativ të lidhur me qendrën e Galaksisë, boshtet e të cilit janë: ox ndodhet në planin galaktik dhe është sipas drejtimit Diell-qendër galaktike. Boshti oz është pingul me planin galaktik drejt veriut galaktik. Boshti oy ndodhet në planin galaktik dhe është pingul me ox dhe oz duke formuar një treshe të djathtë. Duke u mbështetur tek densiteti i masës së yjeve në bulb dhënë nga ekuacioni (3.5) ne përcaktojmë masën e bulbit nga integrimi i tij në gjithë hapësirën,


61

2 2 4

22 2 4

1 ( )102

( , , )

1.25 108

bulb b

x y zb a b c

M x y z dxdydz

M e dxdydz x Mabc

ρ

π

− + +

= =

=

∫∫∫

∫∫∫

(3.7)

Vlerën e këtij integrali ne e kemi përcaktuar numerikisht. Kufijtë e integrimit për çdo variabël janë [ 5, 5]kpc− + sepse për intervale më të gjera, vlera e masës së bulbit pothuajse nuk ndryshon. Duke bërë raportin e masës së bulbit dhënë nga (3.7) me masën mesatare të yjeve në bulb përcaktuar nga (3.4) ne gjejmë numrin e yjeve që ndodhen në bulbin galaktik,

104.63 10bulbbulb

bulb

MN xm

= =< >

. (3.8)

Euclid do të vrojtojë yjet e bulbit, i cili konsiderohet në formë elipsoidale me

rreze afërsisht 1.5 kpc. Fushën e pamjes e konsiderojmë konike me kënd hapësinor 20.54gradëΩ = . Nga lidhja 2 (1 cos )π θΩ = − ne përcaktojmë këndin 0.42θ = , i cili

është këndi në plan i konit të fushës së vrojtimit. Konsiderojmë një sistem boshtesh koordinativë me qendër tek Dielli dhe boshte

paralelë me sistemin e lidhur me qendrën e Galaksisë. Koordinatat sferike të një pike në lidhje me Diellin në distancën SD prej tij përgjatë vijës së shikimit janë:

' sin 'cos' sin 'sin' cos '

S

S

S

x Dy Dz D

θ ϕθ ϕθ

===

(3.9)

Duke pasur parasysh kuptimin e koordinatave galaktike të vijës së shikimit: l është gjatësi e matur nga boshti Diell-qendër galaktike dhe b gjërësi e matur nga plani galaktik drejt polit verior galaktik, përcaktojmë këndet 'θ dhe ϕ nga koordinatat galaktike:

'

2b

l

πθ

ϕ

= −

= (3.10)

Atëherë koordinatat e një pike në lidhje me qendrën e Galaksisë, e cila zhvendoset me 8.5kpc sipas drejtimit të boshtit 'ox do të jenë:


62

'

'

'

8.5x x kpcy yz z

= −

=

=

(3.11)

Në këtë mënyrë janë përcaktuar koordinatat e pikave në vijën e shikimit në lidhje me qendrën e Galaksisë. Ne përcaktojmë numrin e yjeve në fushën e pamjes Euclid, duke e konsideruar atë konike me kulm tek Dielli në distancat nga 7kpc në 10kpc prej tij. E ndajmë fushën e vrojtimit në elemente vëllimore të vegjël me sipërfaqe 2 2

SD tgπ θ dhe trashësi SdD . Densitetin e masës në çdo element e marrim të barabartë me vlerën që kemi në qendër të tij dhe gjejmë numrin e yjeve në fushën e pamjes Euclid, dhënë nga

2 2 4

22 2 4

10

7

1 ( )10 2 2 82

7

( , , )

1 2.318 108

kpc

ED kpc

x y zkpc b a b c

s Skpcbulb

N n x y z dv

M e D tg dD xm abc

π θπ

− + +

= =

=< >

∫

∫

(3.12)

Ku bulbm< > është masa mesatare e yjeve të bulbit vlerësuar nga (3.4) dhe vlerat e parametrave bM , a , b dhe c dhënë nga barazimet (3.6). Pra, gjejmë që në fushën e pamjes të teleskopit Euclid ne kemi 82.318 10x yje.

3.4 Kalibrimet Dy madhësi të rëndësishme që llogariten teorikisht para se të kryhen vrojtime

mikropërthyerje janë: thellësia optike dhe ritmi i ngjarjeve. Për përcaktimin e tyre nevojitet densiteti i masës dhe densiteti i numrit të objekteve lente përgjatë vijës së shikimit. Objektet që do të luajnë rolin e lenteve janë planetet e lira, xhuxhët e errët dhe yjet. Për dy popullimet e para akoma nuk kemi ndonjë model standard të shpërndarjes së tyre në Galaksi. Për zgjidhjen e problemit tonë, ne konsiderojmë që shpërndarja hapësinore është e njëjtë me atë të yjeve. Në lidhje me funksionin masë të këtyre popullimeve ne mbështetemi tek përfundimet e Sumit et al. (2011) ilustruar në paragrafin § 2.2. Për përcaktimin e koefiçientëve tek funksioni masë i planeteve të lira dhe xhuxhëve të errët ne përdorim kalibrimet. Drejt fushës së pamjes Euclid, objektet lente mund të ndodhen në diskun e hollë, diskun e trashë dhe në bulbin galaktik.


63

3.4.1 Përcaktimi i koefiçientit PLk Duke u mbështetur tek Sumi et al. (2011) për funksionin masë të planeteve të lira

/ PLPLdN dM k M α−= me rang mase 5 2[10 ,10 ]M− −

dhe numrin e tyre për yll dhënë nga barazimi (2.4), ne përcaktojmë koefiçientët nga kalibrimet për rastin e planeteve të lira në diskun e hollë, diskun e trashë dhe bulbin galaktik. Përcaktimi i koefiçientëve nga kalibrimet për planetet e lira në diskun e hollë është përshkruar në paragrafin § 2.3. Le t’i gjejmë ata për rastin e diskun të trashë. Fillimisht, ne gjejmë masën e diskut të trashë duke përdorur formulën (2.7) me vlerat e parametrave: 2

0 35M pc−Σ = , 1H kpc= , 3.5h kpc= , e cila rezulton e barabartë me 103.053 10

trashëdiskM x M= . (3.13)

Duke marrë si masë mesatare të yjeve në diskun e trashë 0.5

trashëdiskm M< > = (shiko paragrafin § 2.3) ne gjejmë numrin e yjeve në diskun e trashë

106.1 10trashë

trashë

trashë

diskdisk

disk

MN x

m= =

< >. (3.14)

Kur konsiderojmë kufirin e poshtëm të numrit të planeteve të lira për yll, 1.2, formula me anë të së cilës ne përcaktojmë koefiçientët nga kalibrimet është

2

0

5

20

5

10 2( )/| |/

0 010

102

10

1.2

1.2

4

trashë

disktrashë

PL

trashë

PL

diskPL M

R R hz H

M

disk

MRh

M

Nk

M dM e e RdRdzd

N

Hh e M dM

πα

α

ϕ

π

−

−

−

−

+∞ +∞− −− −

−∞

−

= =

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫

(3.15)

Vlerat e parametrave janë: 1H kpc= , 3.5h kpc= dhe 0 8.5R kpc= .


64

Kur planetet e lira që shkaktojnë ngjarje mikropërthyerje ndodhen në bulbin galaktik, koefiçientin PLk tek funksioni masë kur konsiderojmë 1.2 planete për yll e përcaktojmë nga formula

2 2 2 4

22 2 4

5

10 1 ( )2

10

1.2bulb

PL

bulbPL M x y z

a b c

M

Nk

M dM e dxdydzα

−

−

+∞ +∞ +∞ − + +−

−∞ −∞ −∞

=

∫ ∫ ∫ ∫

, (3.16)

ku bulbN është numri i yjeve në bulbin galaktik përcaktuar nga formula (3.8) dhe vlerat e parametrave a , b , c jepen nga barazimet (3.6).

3.4.2 Përcaktimi i koefiçientit 3k Nga analiza e kurbave mikropërthyerje të dritës të përftuara nga observatorë

tokësorë, Sumi et al. (2011) përcaktoi funksionin masë për xhuxhët e errët

33

dN k MdM

α−= (3.17)

dhe numrin e xhuxhëve të errët, 0.73N∗ . Tek teleskopi Kepler ne kemi përdorur këtë rezultat. Ndërsa, për përcaktimin e koefiçientit 3k të funksionit masë të xhuxhëve të errët për rastin e teleskopit Euclid ne do të mbështetemi në disa të dhëna nga vrojtimet direkte për xhuxhët e errët. Nga vrojtimet vetëm në disa klastera e rinj pranë Diellit, Parravano et al. (2011) përcaktoi raportin R midis numrit të yjeve me masa në rangun (0.08 1)M÷ me numrin e xhuxhëve të errët me masa në rangun (0.03 0.08)M÷ ,

(0.08 1)(0.03 0.08)XH

N MR

N M∗ ÷

=÷

. (3.18)

Vlerat e këtij raport për disa klastera të afërt me Diellin, Pavarrano et al. (2011) i ka paraqitur në tabelën 1. Në llogaritjet tona ne konsiderojmë një vlerë mesatare të këtij raporti, e cila rezulton e barabartë me 5.1. Në lidhje me raportin midis xhuxhëve të errët dhe yjeve në Galaksinë tonë nuk dihet ende ndonjë informacion, sepse ata janë të zbehtë dhe nuk mund të vrojtohen në distanca të largëta. Ne e shtrijmë vlerën e raportit R në gjithë Galaksinë. Vrojtimet mikropërthyerje do të ndihmojnë në përcaktimin e numrit të xhuxhëve të errët në Galaksinë tonë.


65

Mënyra e përcaktimit të koefiçientit 3k për rastin e xhuxhëve të errët në diskun e

hollë është e njëjtë me atë paraqitur në paragrafin § 2.4. Fillimisht përcaktojmë koefiçientin e funksionit masë të yjeve në diskun e hollë,

diskhollëk∗ . Për ta ne

konsiderojmë një funksion masë Salpeter (1955) me indeks 2.4α = . Formula nga e cila ne përcaktojmë koefiçientin e funksionit masë të yjeve në diskun e hollë është

0

100 2( )/2.4 | |/

0.08 0 0

hollë

diskhollë

diskM

R R hz H

M

Nk

M dM e e RdRdzdπ

ϕ∗ +∞ +∞

− −− −

−∞

=

∫ ∫ ∫ ∫

. (3.19)

Numri i yjeve në diskun e hollë jepet nga barazimi (2.9). Tek formula (3.19) vlerat e parametrave janë për komponenten e hollë: 300H pc= , 3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= . Formula nga e cila ne përcaktojmë koefiçientin e funksionit masë për xhuxhët e errët në diskun e hollë është

0

3 0

1 2( )/2.4 | |/

0.08 0 03 0.08 2

( )/| |/

0.03 0 0

15.1 diskhollë

diskhollë

MR R hz H

MM

R R hz H

M

k M dM e e RdRdzdk

M dM e e RdRdzd

π

πα

ϕ

ϕ

+∞ +∞− −− −

∗−∞

+∞ +∞− − −−

−∞

=∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

. (3.20)

Në të njëjtën mënyrë ne përcaktojmë koefiçientin e funksionit masë për yjet në diskun e trashë. Edhe për yjet në diskun e trashë konsiderojmë një funksion masë Salpeter (1955) me indeks 2.4α = . Koefiçientin tek funksioni masë i yjeve në këtë rast e përcaktojmë nga

0

100 2( )/2.4 | |/

0.08 0 0

trashë

disktrashë

diskM

R R hz H

M

Nk

M dM e e RdRdzdπ

ϕ∗ +∞ +∞

− −− −

−∞

=

∫ ∫ ∫ ∫

. (3.21)

Vlerat e parametrave për këtë rast janë: 1000H pc= , 3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= dhe

trashëdiskN është përcaktuar nga barazimi (3.14). Formula nga e cila ne përcaktojmë koefiçientin e funksionit masë për xhuxhët e errët në diskun e trashë është


66

0

3 0

1 2( )/2.4 | |/

0.08 0 03 0.08 2

( )/| |/

0.03 0 0

15.1 disktrashë

disktrashë

MR R hz H

MM

R R hz H

M

k M dM e e RdRdzdk

M dM e e RdRdzd

π

πα

ϕ

ϕ

+∞ +∞− −− −

∗−∞

+∞ +∞− − −−

−∞

=∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

. (3.22)

Ngjarje mikropërthyerje shkaktojnë dhe xhuxhët e errët që ndodhen në bulbin

galaktik. Për përcaktimin e koefiçientit të funksionit masë përdorim kalibrimet në të njëjtën mënyrë si tek disku galaktik. Fillimisht përcaktojmë koefiçientin e funksionit masë të yjeve në bulb nga formula

2 2 4

22 2 4

100 1 ( )2.4 2

0.08

bulb

bulbM x y z

a b c

M

Nk

M dM e dxdydz∗

+∞ +∞ +∞ − + +−

−∞ −∞ −∞

=

∫ ∫ ∫ ∫

, (3.23)

ku vlerat e parametrave janë: 1.49a kpc= , 0.58b kpc= , 0.40c kpc= dhe bulbN është numri i yjeve në bulbin galaktik përcaktuar nga barazimi (3.8). Koefiçientin e funksionit masë të xhuxhëve të errët e gjejmë nga formula

2 2 42

2 2 4

2 2 42

2 2 43

1 1 ( )2.4 2

0.083 0.08 1 ( )

2

0.03

15.1 bulb

bulb

M x y za b c

M

M x y za b c

M

k M dM e dxdydzk

M dM e dxdydzα

+∞ +∞ +∞ − + +−

∗−∞ −∞ −∞

+∞ +∞ +∞ − + +−

−∞ −∞ −∞

=∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

. (3.24)

3.5 Thellësia optike drejt fushës së pamjes Euclid.

Thellësia optike është një madhësi e rëndësishme e vrojtimeve mikropërthyerje.

Për rastin e teleskopit Euclid, yjet burime ndodhen në bulbin galaktik dhe objektet lente që shkaktojnë ngjarje mikropërthyerje janë: planetet e lira, xhuxhët e errët dhe yjet. Këto objekte ndodhen në diskun e hollë, në diskun e trashë dhe në bulbin galaktik. Për yjet në Galaksi ne kemi modelet standarde të shpërndarjes, kurse për xhuxhët e errët dhe planetet e lira ne konsiderojmë të njëjtën shpërndarje hapësinore si atë të yjeve.


67

3.5.1 Thellësia optike e planeteve të lira

Thellësinë optike të ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuara nga planetet e lira në

bulbin galaktik, kur konsiderojmë 1.2 planete për yll, e përcaktojmë nga formula

2 2 2 42

2 2 4

5

10 112 ( )2

2010

4( ) (1 )PL

bulb bulb

M x y zS a b c

PL S PLM

GDD k M MdM e x x dxc

απτ

−

−

− + +−= −∫ ∫

, (3.25)

ku koefiçienti bulbPLk gjendet nga barazimi (3.16) dhe vlerat e parametrave janë:

1.49a kpc= , 0.58b kpc= , 0.40c kpc= .

Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira në diskun e hollë dhe të trashë përcaktohet nga formula (2.17). Koefiçienti i funksionit masë për diskun e hollë përcaktohen nga (2.13) dhe vlerat e parametrave janë:

300H pc= , 3.5h kpc= dhe 0 8.5R kpc= kurse koefiçienti i funksionit masë për diskun e trashë përcaktohet nga (3.15) dhe vlerat e parametrave janë: 1H kpc= , 3.5h kpc= dhe 0 8.5R kpc= .

Thellësia optike varet nga distanca e yjeve burime. Yjet në fushën e pamjes Euclid kanë distanca të ndryshme nga vrojtuesi, nga 7 kpc deri në 10 kpc. Ne jemi të interesuar për vlerën mesatare të thellësisë optike të ngjarjeve mikropërthyerje, të cilën e përcaktojmë duke e konsideruar fushën e vrojtimit konike dhe yjet me shpërndarje sipas bulbit treboshtor (shiko paragrafin § 2.5).

3.5.2 Thellësia optike e xhuxhëve të errët Thellësinë optike për rastin e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga xhuxhët e

errët që ndodhen në bulbin galaktik e përcaktojmë nga

2 2 42

2 2 43

0.08 112 ( )2

320.03 0

4( ) (1 )bulb bulb

M x y zS a b c

XH SM


απτ

− + +−= −∫ ∫

, (3.26)

ku koefiçienti 3bulbk përcaktohet nga barazimi (3.24) dhe vlerat e parametrave janë:

1.49a kpc= , 0.58b kpc= , 0.40c kpc= .

Thellësinë optike të ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga xhuxhët e errët në diskun e hollë e përcaktojmë nga


68

3 0

0.08 12( )/| |/

320.03 0

4( ) (1 )disk diskhollë hollë

MR R hz HS

XH SM

GDD k M MdM e e x x dxc

απτ − − −−= −∫ ∫

, (3.27)

ku vlera e koefiçientit 3diskhollëk përcaktohet nga barazimi (3.20) dhe vlerat e

parametrave janë: 300H pc= , 3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= .

Thellësinë optike të ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga xhuxhët e errët në diskun e trashë e përcaktojmë nga

3 0

0.08 12( )/| |/

320.03 0

4( ) (1 )disk disktrashë trashë

MR R hz HS

XH SM


απτ − − −−= −∫ ∫

, (3.28)

ku vlera e parametrit 3disktrashëk përcaktohet nga barazimi (3.22) dhe vlerat e parametrave

tani janë: 1000H pc= , 3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= . Meqë yjet burime ndodhen në distanca të ndryshme nga vrojtuesi ne përcaktojmë vlerën mesatare të thellësisë optike në të njëjtën mënyrë si tek planetet e lira.

3.5.3 Thellësia optike e ngjarjeve shkaktuar nga yjet

Ngjarje mikropërthyerje shkaktohen dhe nga vetë yjet që ndodhen në bulb,

diskun e hollë dhe diskun e trashë. Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga yjet që ndodhen në bulb përcaktohet nga

2 2 42

2 2 4100 112 ( )

2.4 22

0.08 0

4( ) (1 )bulb bulb

M x y zS a b c

SM


πτ

− + +−

∗ ∗= −∫ ∫

, (3.29)

ku bulb

k∗ është përcaktuar nga ekuacioni (3.23). Thellësia optike e ngjarjeve shkaktuar nga yjet e ndodhur në diskun e hollë përcaktohet nga


69

0

100 12( )/2.4 | |/

20.08 0

4( ) (1 )disk diskhollë hollë

MR R hz HS

SM


πτ − −− −

∗ ∗= −∫ ∫

, (3.30)

ku vlera e diskhollë

k∗ përcaktohet nga barazimi (3.19) dhe vlerat e parametrave janë:

300H pc= , 3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= . Thellësia optike e ngjarjeve shkaktuar nga yjet e ndodhur në diskun e trashë përcaktohet nga

0

100 12( )/2.4 | |/

20.08 0

4( ) (1 )disk disktrashë trashë

MR R hz HS

SM


πτ − −− −

∗ ∗= −∫ ∫

, (3.31)

ku vlera e trashëdiskk∗ përcaktohen nga barazimi (3.21) dhe vlerat e parametrave janë:

1000H pc= , 3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= . Për secilin nga popullimet e yjeve në bulb, në diskun e hollë dhe në diskun e trashë ne gjejmë vlerat mesatare të thellësisë optike.

3.5.4 Rezultate Mbështetur tek përfundimet e Sumi et al. (2011) për funksionin masë të

xhuxhëve të errët dhe të planeteve të lira dhe duke e konsideruar shpërndarjen e tyre hapësinore të njëjtë me atë të yjeve, ne llogaritim thellësinë optike të ngjarjeve mikropërthyerje, shkaktuar nga planetet e lira, xhuxhët e errët dhe vetë yjet. Këto objekte ndodhen në diskun e hollë, diskun e trashë dhe në bulbin galaktik. Përcaktimet tona janë kryer për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira në intervalin [0.9,1.6] . Nga lidhja (2.5) ne gjejmë vlerat koresponduese të indeksit të funksionit masë të xhuxhëve të errët. Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga yjet nuk varet nga indeksi i funksionit masë të planeteve të lira dhe xhuxhëve të errët (Hamolli et al., 2013a).

Në tabelën 3.1 ne shfaqim rezultatet e llogaritjeve tona për thellësinë optike të

ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët në varësi të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira. Ne kemi konsideruar tre raste të numrit të planeteve të lira për yll: 1.2, 5.5 dhe 23.6. Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga yjet në bulb është 62.59 10x − , në diskun e hollë

74.26 10x − dhe në diskun e trashë 72.42 10x − . Këto rezultate janë për rastin kur vlera prag e parametrit u , është 1Tu = . Thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje


70

shkaktuar nga gjithë yjet në fushën e pamjes Euclid është 63.25 10x − . Kjo vlerë është brenda intervalit të vlerave të thellësisë optike përcaktuar nga vrojtimet drejt qendrës së Galaksisë nga Udalski et al. (1994b) (shiko paragrafin § 1.6.10). Tabela 3.1. Thellësia optike e ngjarjeve mikropërtheyrje të shkaktuar nga popullimet e planeteve të lira dhe xhuxhëve të errët të ndodhur në bulb, diskun e hollë dhe diskun e trashë. Për rastin e planeteve të lira ne kemi marrë në konsideratë tre raste të numrit të planeteve të lira për yll: 1.2, 5.5 dhe 23.6. Këto rezultate janë për rastin kur 1Tu = .

NPL=1.2N* NPL=5.5N* NPL=23.6N* Xhuxhët e errët

αPL Bulb Disk hollë

Disk trashë Bulb Disk

hollë Disk

trashë Bulb Disk hollë


hollë Disk

trashë

0.9 2.21E-08 3.52E-09 2.00E-09 1.01E-07 1.61E-08 9.17E-09 4.34E-07 6.92E-08 3.93E-08 9.95E-08 1.59E-08 9.03E-09

1.0 1.76E-08 2.80E-09 1.59E-09 8.04E-08 1.28E-08 7.28E-09 3.45E-07 5.51E-08 3.12E-08 1.00E-07 1.60E-08 9.10E-09

1.1 1.35E-08 2.16E-09 1.22E-09 6.19E-08 9.89E-09 5.59E-09 2.65E-07 4.24E-08 2.40E-08 1.01E-07 1.61E-08 9.17E-09

1.2 1.01E-08 1.62E-09 9.18E-10 4.64E-08 7.42E-09 4.21E-09 1.99E-07 3.19E-08 1.81E-08 1.01E-07 1.63E-08 9.24E-09

1.3 7.43E-09 1.18E-09 6.73E-10 3.40E-08 5.41E-09 3.08E-09 1.46E-07 2.32E-08 1.32E-08 1.03E-07 1.64E-08 9.31E-09

1.4 5.36E-09 8.55E-10 4.86E-10 2.46E-08 3.92E-09 2.23E-09 1.05E-07 1.68E-08 9.55E-09 1.03E-07 1.65E-08 9.38E-09

1.5 3.84E-09 6.13E-10 3.48E-10 1.76E-08 2.81E-09 1.59E-09 7.54E-08 1.21E-08 6.84E-09 1.04E-07 1.67E-08 9.45E-09

1.6 2.74E-09 4.38E-10 2.49E-10 1.26E-08 2.01E-09 1.14E-09 5.40E-08 8.61E-09 4.89E-09 1.04E-07 1.68E-08 9.52E-09

Duket qartë që thellësia optike e ngjarjeve mikropërthyerje varet nga indeksi i funksionit masë dhe numri i planeteve të lira për yll. Kontributin më të lartë në thellësinë optike e kanë popullimet e bulbit.

Për të parë kontributin në thellësinë optike për secilin lloj të lenteve që ndodhen

në fushën e pamjes ne ndërtojmë grafikët e thellësisë optike në varësi të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira, që paraqiten në figurën 3.1. Duket qartë që kur konsiderojmë numrin e planeteve të lira për yll 1.2 dhe 5.5, thellësia optike e ngjarjeve shkaktuar nga planete e lira është më e vogël se e xhuxhëve të errët dhe e yjeve. Për rastin kur konsiderojmë 23.6 planete të lira për yll, thellësia optike e planeteve të lira është më e madhe se e xhuxhëve të errët në pjesën më të madhe të rangut të PLα dhe më e vogël se ajo e yjeve.


71

Figura 3.1. Thellësia optike për popullime të ndryshme të lenteve në gjithë fushën e pamjes Euclid për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira. Për planetet e lira janë konsideruar tre raste të numrit të tyre për yll: 1.2 (kurba e vazhduar), 5.5 (kurba e ndërprerë) dhe 23.6 (kurba e pikëzuar). Thellësia optike e ngjarjeve shkaktuar nga xhuxhët e errët paraqitet nga kurba vijë-pikë dhe thellësia optike e ngjarjeve shkaktuar nga yjet paraqitet nga kurba me ngjyrë gri. Këto llogaritje janë për vlerën e pragut 1Tu = .

3.6 Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje në fushën e pamjes Euclid

Teleskopi Euclid do të kryejë vrojtime mikropërthyerje drejt qendrës së

Galaksisë. Ngjarjet mikropërthyerje do të shkaktohen nga planetet e lira, xhuxhët e errët dhe yjet që ndodhen në diskun e hollë, në diskun e trashë dhe në bulb.

Shpërndarjen hapësinore dhe shpërndarjen e shpejtësive të planeteve të lira dhe

xhuxhëve të errët e konsiderojmë të njëjtë me atë të yjeve. Për të gjitha llojet e lenteve shpërndarjen e shpejtësive e konsiderojmë

Maksuelliane (formula 1.41) me dispersion 30 /L km sσ = për lentet në diskun e hollë, 50 /L km sσ = për lentet në diskun e trashë dhe 100 /L km sσ = për lentet në bulb (Jetzer et

al., 2002).

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

Lo

g(τ)

αPL

1.2 5.5 23.6 xh yje


72

Duke konsideruar yjet burime në qendër të Galaksisë në prehje dhe vrojtuesi që rrotullohet rreth tyre me shpejtësi 220 /v km s

⊥=

(të njëjtë me atë të Diellit), ne

shpejtësinë e “tubit” mikropërthyerje e marrim (1 )tv x v ⊥= − (shiko formulën 1.42).

Ne përcaktojmë ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuara nga planetet e lira në diskun e hollë duke përdorur formulën (2.22), e cila duke përfshirë dhe shpejtësinë e “tubit” mikropërthyerje merr formën:

2

5

2

0

2 2

10

210

(1 )1( )/| |/

0

(1 )2 2 cos2

0 0 0

4 4( )

(1 )

PL

disk diskhollë hollë

L

L

ML S S

PL S T PLM

x vR R hz H

x vy

y z

D GDD u k M M dMc

e e x x e

y e e d dydx ze dz

α

σ

π βσ

σπ

β

−

−

⊥

⊥

−

− −

− −−

− ∞ ∞− − −

Γ =

−

∫

∫

∫ ∫ ∫

, (3.32)

ku koefiçienti i funksionit masë diskhollëPLk për numrin e planeteve të lira për yll 1.2

përcaktohet nga barazimi (2.13) dhe vlerat e parametrave janë: 300H pc= , 3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= .

Për rastin e planeteve të lira që ndodhen në diskun e trashë, ne gjejmë ritmin e

ngjarjeve mikropërthyerje nga formula (3.32), ku koefiçienti i funksionit masë përcaktohet nga (3.15) dhe vlerat e parametrave janë: 1000H pc= , 3.5h kpc= ,

0 8.5R kpc= . Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje që shkaktohen nga planetet e lira që ndodhen

në bulbin galaktik llogaritet nga formula:

2

5

22 2 42

2 2 4

2 2

10

210

(1 )11 ( )2

0

(1 )2 2 cos2

0 0 0

4 4( )

(1 )

PL

bulb bulb

L

L

ML S S

PL S T PLM

x vx y za b c

x vy

y z

D GDD u k M M dMc

e x x e

y e e d dydx ze dz

α

σ

π βσ

σπ

β

−

−

⊥

⊥

−

− −− + +

− ∞ ∞− − −

Γ =

−

∫

∫

∫ ∫ ∫

, (3.33)

ku vlera e koefiçientit të funksionit masë përcaktohet nga (3.16) dhe vlerat e parametrave janë: 1.49a kpc= , 0.58b kpc= , 0.40c kpc= .


73

Në të njëjtën mënyrë përcaktojmë dhe ritmin e ngjarjeve shkaktuar nga xhuxhët e errët. Për xhuxhët e errët që ndodhen në diskun e hollë ne përdorim formulën

3

2

0

2 2

0.08

320.03

(1 )1( )/| |/

0

(1 )2 2 cos2

0 0 0

4 4( )

(1 )


L

L

ML S S

XH S TM

x vR R hz H

x vy

y z

D GDD u k M M dMc

e e x x e

y e e d dydx ze dz

α

σ

π βσ

σπ

β

⊥

⊥

−

− −

− −−

− ∞ ∞− − −

Γ =

−

∫

∫

∫ ∫ ∫

, (3.34)

ku koefiçienti i funksionit masë përcaktohet nga (3.20) dhe vlerat e parametrave janë: 300H pc= , 3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= .

Ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga xhuxhët e errët që ndodhen në

diskun e trashë e përcaktojmë nga formula (3.34). Koefiçienti i funksionit masë përcaktohet nga barazimi (3.22) dhe vlerat e parametrave janë: 1000H pc= ,

3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= Për xhuxhët e errët që ndodhen në bulb ne përcaktojmë ritmin e ngjarjeve

mikropërthyerje nga formula:

3

22 2 42

2 2 4

2 2

0.08

320.03

(1 )11 ( )2

0

(1 )2 2 cos2

0 0 0

4 4( )

(1 )

bulb bulb

L

L

ML S S

XH S TM

x vx y za b c

x vy

y z

D GDD u k M M dMc

e x x e

y e e d dydx ze dz

α

σ

π βσ

σπ

β

⊥

⊥

−

− −− + +

− ∞ ∞− − −

Γ =

−

∫

∫

∫ ∫ ∫

, (3.35)

ku koefiçienti i funksionit masë është përcaktuar nga (3.24) Për yjet që ndodhen në diskun e hollë ne llogaritim ritmin i ngjarjeve mikropërthyerje nga formula:


74

2

0

2 2

1002.4

20.08

(1 )1( )/| |/

0

(1 )2 2 cos2

0 0 0

4 4( )

(1 )


L

L

ML S S

S TM

x vR R hz H

x vy

y z

D GDD u k M M dMc

e e x x e

y e e d dydx ze dz

σ

π βσ

σπ

β

⊥

⊥

−∗ ∗

− −

− −−

− ∞ ∞− − −

Γ =

−

∫

∫

∫ ∫ ∫

, (3.36)

ku koefiçienti i funksionit masë llogaritet nga (3.19) dhe vlerat e parametrave janë:

300H pc= , 3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= .

Për llogaritjen e ritmit të ngjarjeve shkaktuar nga yjet në diskun e trashë ne përdorim formulën (3.36) ku koefiçienti i funksionit masë llogaritet nga (3.21) dhe vlerat e parametrave janë: 1000H pc= , 3.5h kpc= , 0 8.5R kpc= .

Ngjarje mikropërthyerje shkaktojnë dhe yjet që ndodhen në bulbin galaktik.

Ritmin e këtyre ngjarjeve e llogaritim nga formula:

22 2 4

22 2 4

2 2

1002.4

20.08

(1 )11 ( )2

0

(1 )2 2 cos2

0 0 0

4 4( )

(1 )

bulb bulb

L

L

ML S S

S TM

x vx y za b c

x vy

y z

D GDD u k M M dMc

e x x e

y e e d dydx ze dz

σ

π βσ

σπ

β

⊥

⊥

−∗ ∗

− −− + +

− ∞ ∞− − −

Γ =

−

∫

∫

∫ ∫ ∫

, (3.37)

ku vlera e koefiçientit të funksionit masë përcaktohet nga (3.23) dhe vlerat e parametrave janë: 1.49a kpc= , 0.58b kpc= , 0.40c kpc= .

Në të gjitha rastet e mësipërme, ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira, xhuxhët e errët dhe yjet varet nga distanca e yllit burim. Meqë yjet burime ndodhen në distancën nga 7 kpc deri në 10 kpc nga vrojtuesi ne përcaktojmë vlerën mesatare të ritmit të ngjarjeve duke e konsideruar fushën e vrojtimit konike dhe yjet burime me shpërndarje sipas bulbit treboshtor (shiko paragrafin § 2.7).


75

3.6.1 Rezultate Mbështetur tek përfundimet e Sumi et al. (2011) për funksionin masë të

xhuxhëve të errët dhe të planeteve të lira dhe duke e konsideruar shpërndarjen e tyre hapësinore dhe shpërndarjen e shpejtësive të njëjtë me atë të yjeve, ne llogaritim ritmin e ngjarjeve mikropërthyerje. Këto ngjarje shkaktohen nga planetet e lira, xhuxhët e errët dhe yjet që ndodhen në diskun e hollë, diskun e trashë dhe në bulbin galaktik. Përcaktimet tona janë kryer për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira në intervalin [0.9,1.6] . Nga lidhja (2.5) ne gjejmë vlerat koresponduese të indeksit të funksionit masë të xhuxhëve të errët. Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga yjet nuk varet nga indeksi i funksionit masë të planeteve të lira dhe xhuxhëve të errët (Hamolli et al., 2013a).

Në tabelën 3.2 ne shfaqim rezultatet e llogaritjeve tona për ritmin e ngjarjeve për

muaj shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët në varësi të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira. Ne kemi konsideruar tre raste të numrit të planeteve të lira për yll: 1.2, 5.5 dhe 23.6. Ritmi i ngjarjeve për muaj shkaktuar nga yjet në bulb është 62.41 10x − , nga yjet në diskun e hollë 71.27 10x − dhe nga yjet në diskun e trashë 71.69 10x − . Këto rezultate janë për rastin kur vlera prag e parametrit u , është 1Tu = .

Tabela 3.2. Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje për muaj të shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët të ndodhur në bulb, diskun e hollë dhe diskun e trashë. Për rastin e planeteve të lira ne kemi marrë në konsideratë tre raste të numrit të planteteve të lira për yll: 1.2, 5.5 dhe 23.6. Këto rezultate janë për vlerën prag 1Tu = .




hollë Disk


Disk Trashë Bulb Disk

hollë

Disk

Trashë

0.9 2.17E-07 1.14E-08 9.13E-09 9.93E-07 5.23E-08 4.18E-08 4.26E-06 2.25E-07 1.79E-07 2.33E-07 1.24E-08 1.66E-08

1.0 1.85E-07 9.75E-09 7.77E-09 8.47E-07 4.47E-08 3.56E-08 3.63E-06 1.92E-07 1.53E-07 2.36E-07 1.25E-08 1.66E-08

1.1 1.55E-07 8.19E-09 6.53E-09 7.10E-07 3.75E-08 2.99E-08 3.05E-06 1.61E-07 1.28E-07 2.37E-07 1.25E-08 1.67E-08

1.2 1.29E-07 6.80E-09 5.43E-09 5.90E-07 3.12E-08 2.49E-08 2.53E-06 1.34E-07 1.07E-07 2.37E-07 1.26E-08 1.67E-08

1.3 1.07E-07 5.64E-09 4.48E-09 4.88E-07 2.59E-08 2.05E-08 2.09E-06 1.11E-07 8.82E-08 2.39E-07 1.26E-08 1.68E-08

1.4 8.85E-08 4.68E-09 3.73E-09 4.06E-07 2.14E-08 1.71E-08 1.74E-06 9.19E-08 7.33E-08 2.40E-07 1.27E-08 1.69E-08

1.5 7.43E-08 3.93E-09 3.13E-09 3.41E-07 1.80E-08 1.43E-08 1.46E-06 7.74E-08 6.15E-08 2.41E-07 1.27E-08 1.69E-08

1.6 6.33E-08 3.35E-09 2.67E-09 2.90E-07 1.54E-08 1.22E-08 1.25E-06 6.59E-08 5.24E-08 2.42E-07 1.28E-08 1.70E-08

Duket qartë që ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje varet nga indeksi i funksionit

masë dhe nga numri i planeteve të lira për yll.


76

Kontributin më të madh në ritmin e ngjarjeve e kanë popullimet e lenteve në

bulbin galaktik. Në figurën 3.2 jepet ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje për muaj shkaktuar nga

planetet e lira, xhuxhët e errët dhe yjet në fushën e pamjes Euclid. Kemi konsideruar tre raste të numrit të planeteve për yll: 1.2, 5.5, dhe 23.6. Këto rezultate janë për vlerën e pragut 1Tu = .

Figura 3.2. Ritmi i ngjarjeve për muaj të popullime të ndryshme të lenteve në fushën e pamjes Euclid në varësi të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira. Për planetet e lira janë konsideruar tre raste të numrit të tyre për yll: 1.2 (kurba e vazhduar), 5.5 (kurba e ndërprerë) dhe 23.6 (kurba e pikëzuar). Ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga xhuxhët e errët për muaj paraqitet nga kurba vijë-pikë, dhe ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga yjeve paraqitet nga kurba me ngjyrë gri. Këto rezultate janë për vlerën e pragut 1Tu = .

Me rritjen e indeksit të funksionit masë të planeteve të lira, ritmi i ngjarjeve

mikropërthyerje për tre konsideratat e numrit të planeteve të lira për yll zvogëlohet, kurse ritmi i ngjarjeve të xhuxhëve të errët rritet. Ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga yjet nuk varet nga indeksi i funksionit masë. Kur numri i planeteve të lira për yll është 1.2, ritmi i ngjarjeve mikropërtherje është më i vogël se ritmi i ngjarjeve të shkaktuara nga xhuxhët e errë dhe yjet. Për vlerën me të besuar të numrit të planeteve të lira për yll,

0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

1E-6

1E-5

1E-4

Log

(Γ)

αPL

(1.2) (5.5) (23.6) xh yje


77

5.5 ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje është më i madh se i xhuxhëve të errët dhe më i vogël se i yjeve. Kur konsiderojmë kufirin e sipërm të numrit të planeteve të lira për yll, ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga planetet e lira bëhet i krahasueshëm me atë të yjeve.

3.7 Pragu i amplifikimit të teleskopit Euclid

Konsiderojmë që teleskopi Euclid do të kryejë matje fotometrike me gabim

relativ ( FF

∆ ) të njëjtë me teleskopin WFIRST, 0.1% (Strigari, 2012). Ne mund të

përcaktojmë vlerën më të vogël të amplifikimit të fluksit që do të dedektojë teleskopi, pra vlerën prag të tij

0.1% ( 1) 0.001 1.001TT T

A F FF A AF F

−∆= = = − = ⇒ = . (3.38)

Në rastin e observatorëve tokësorë si prag amplifikimi merret 1.34TA = që i korespondon 1Tu = . Një ngjarje mikropërthyerje do të dedektohet kur burimi futet brenda unazës së Ajnshtajnit dhe kurba ka të paktën 8 pika me amplifikim më të madh se amplifikimi prag (shiko paragrafin § 2.8). Në rastin e teleskopit Euclid ngjarjet e mikropërthyerjes gravitacionale do të dedektohen më herët që kur distanca yll-lente në planin e lentes do të jetë 6.54Tu = . Në figurën 3.3 ne tregojmë një ngjarje mikropërthyerje për dy pragje dedektimi:

1.001TA = (kurba me ngjyrë të zezë) dhe 1.34TA = (kurba me ngjyrë të kuqe). Shohim që koha e dedektimit rritet rreth 6.54 herë. Kjo do të ndihmonte patjetër në dedektimin e ngjarjeve të shkurtra kohore shkaktuar nga objekte me masë planetare. Rrethi i kuq tregon unazën e Ajnshtajnit dhe rrethi me ngjyrë të zezë tregon kufijtë ku amplifikimi është 1.001TA = . Kuptohet që duke zvogëluar pragun e amplifikimit jo vetëm që rritet zgjatja kohore e ngjarjeve por rritet dhe numri i ngjarjeve të dedektuara.

Duke marrë parasysh dhe aftësitë e teleskopit Euclid vlerat e thellësisë optike të

përftuara në paragrafin § 3.5.4 duhen shumëzuar me 2Tu dhe vlerat e ritmit të

ngjarjeve të përftuara në paragrafin § 3.6.1 duhet të shumëzohen me Tu .


78

Figura 3.3. Një lente është duke lëvizur me shpejtësi tranzit Tv . Nëse pragu i amplifikimit është

1.34TA = kurba që do të përftohet është ajo me ngjyrë të kuqe. Nëse pragu i amplifikimit është 1.001TA = kjo ngjarje do të dedektohet me herët dhe kurba që do të përftohet është po ajo por me krahë

më të gjerë (kurba me ngjyrë të zezë).

RE u0

VT

6.54RE

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Ampli

fikim

i

t/TE

Ath=1.001 Ath=1.34


79

3.8 Numri i ngjarjeve mikropërthyerje

Duke përdorur formulën (2.15) ne përcaktojme numrin e ngjarje për një periudhë

të caktuar vrojtimi. Meqë Euclid do të kryejë vrojtime mikropërthyerje për 10 muaj me periudha të ndërprera, më e përshtatshme është të përcaktojmë numrin e ngjarjeve mikropërthyerje për muaj (Hamolli et al., 2013a).

Për rastin e teleskopit Euclid pragu i amplifikimit është 1.001TA = kështu që nga

formula (2.21) përcaktojmë vlerën prag për parametrin u , 6.54Tu = . Në tabelën 3.3 po japim numrin e ngjarjeve mikropërthyerje për muaj shkaktuar

nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët në fushën e pamjes Euclid për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira. Ne konsiderojmë tre raste të numrit të planeteve të lira për yll : 1.2, 5.5 dhe 23.6. Rezultatet janë paraqitur për vlerën prag 1.001TA = . Numri i ngjarjeve mikropërthyerje për muaj shkaktuar nga yjet në bulb është 3657, nga yjet në diskun e hollë është 193 dhe nga yjet në diskun e trashë është 256 .

Tabela 3.3. Numri i ngjarjeve mikropërthyerje për muaj të shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët të ndodhur në bulb, diskun e hollë dhe diskun e trashë në varësi të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira. Për rastin e planeteve të lira ne kemi marrë në konsideratë tre raste të numrit të planteteve të lira për yll : 1.2, 5.5 dhe 23.6. Këto rezultate janë për rastin 1.001TA =




hollë Disk



hollë Disk

trashë

0.9 328.3 17.3 13.8 1504.9 79.3 63.4 6457.5 340.3 272.0 353.7 18.8 25.1

1 280.0 14.8 11.8 1283.5 67.7 54.0 5507.3 290.6 231.5 357.5 18.9 25.2

1.1 234.9 12.4 9.9 1076.8 56.9 45.4 4620.5 244.2 194.8 358.7 19.0 25.3

1.2 195.2 10.3 8.2 894.4 47.2 37.7 3838.0 202.7 161.7 359.0 19.1 25.4

1.3 161.4 8.6 6.8 739.9 39.2 31.1 3174.7 168.2 133.6 361.8 19.2 25.5

1.4 134.1 7.1 5.6 614.8 32.5 25.9 2638.1 139.4 111.0 363.3 19.2 25.6

1.5 112.6 6.0 4.7 516.1 27.3 21.7 2214.6 117.3 93.2 364.8 19.3 25.7

1.6 96.0 5.1 4.0 440.0 23.3 18.5 1887.9 99.9 79.5 366.3 19.4 25.8


80

Numri i ngjarjeve mikropërthyerje varet nga indeksi i funksionit masë dhe numri i planeteve të lira për yll. Numrin më të madh të ngjarjeve e shkaktojnë popullimet e lenteve që ndodhen në bulbin galaktik.

Në figurën 3.4 tregojmë grafikish varësinë e numrit të ngjarjeve për muaj, për secilin popullim të lenteve në gjithë fushën e pamjes nga indeksi i funksionit masë të planeteve të lira.

Figura 3.4. Për vlera të ndryshme të indeksit PLα përcaktohet numri i ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuara nga popullime të ndryshme të lenteve. Kurba e vazhduar tregon numrin e ngjarjeve mikropërthyerje kur numri i planeteve për yll është 1.2, kurba e ndërprerë kur numri i planeteve për yll është 5.5 dhe kurba e pikëzuar kur numri i planeteve për yll është 23.6. Kurba me ngjyrë gri tregon numrin e ngjarjeve shkaktuar nga xhuxhët e errët në funksion të PLα dhe kurba vijë-pikë tregon numrin e ngjarjeve të shkaktuar nga yjet.

0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

(1.2) (5.5) (23.6) xh yje

Num

ri i

ngja

rjeve

për

mua

j

αPL


81

3.9 Efiçienca e efektit paralaks

Nga llogaritjet teorike rezulton që kemi një numër të konsiderueshëm ngjarje

mikropërthyerje për muaj që do të vrojtohen nga teleskopi Euclid. Zgjatja kohore e tyre varion nga disa ditë (për rastin e planeteve) në disa muaj (për rastin e yjeve). Nga vrojtimet do të përcaktohet koha e Ajnshtajnit, në të cilën janë të përfshira tre parametrat e lentes: masa, distanca dhe shpejtësia tranzit. Kështu që ato nuk mund të përcaktohen në mënyrë të vetme. Për të hequr këtë degjenerim përdoren efekte të tjera shtesë.

Një nga efektet për të hequr degjenerimin në kurbat e mikropërthyerjes është

efekti paralaks. Kurba standarde përftohet kur lëvizja e vrojtuesit, lentes dhe yllit burim është lineare. Por në të vërtetë lëvizja e vrojtuesit është lëvizje me nxitim rreth Diellit dhe kjo perturbon kurbën standarde.

Një problem që do të trajtojmë në vijim, është të përcaktojmë se ç’pjesë e

ngjarjeve të vrojtuara, të shkaktuara nga planetet e lira, kanë efekt paralaks të dedektueshëm. Këtë e realizojmë me anë të gjenerimit të një popullimi sintetik të planeteve të lira duke përdorur metodën Monte Karlo.

3.9.1 Metoda Monte-Karlo Duke u mbështetur në konsiderat tona për planetet e lira që ndodhen në diskun e

hollë, diskun e trashë dhe në bulbin galaktik, ne gjenerojmë një popullim sintetik të tyre sipas drejtimit të vrojtimit. Për çdo element të popullimit ne gjenerojmë disa parametra :

1 - masën e planetit në përputhje me funksionin masë, 2 - distancën e planetit në përputhje me shpërndarjet hapësinore duke supozuar një yll në qendër të Galaksisë, 3 - shpejtësinë tranzit në përputhje me shpërndarjen e shpejtësive, 4- parametrin 0u një numër të rastësishën nga një shpërndarje uniforme në intervalin [0,6.54] (Strigari, 2012). Gjatë përftimit të ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuara nga çdo element i

popullimit ne e pozicionojmë Tokën në të njëjtin vend mbi orbitë në kohën e maksimumit të ngjarjes mikropërthyerje.


82

3.9.1.1 Gjenerimi i masave të planeteve të lirë

Bazuar tek Sumi et al. (2011), ne konsiderojmë funksionin masë të planeteve të lira dhënë nga

PL PLdN M dN AM dMdM

α α− −⇒ = , (3.39)

ku min max[ , ]M M M∈ . Densiteti i probabilitetit është ( ) PLp M AM α−= . Përcaktojmë koefiçientin e normimit nga

max

min

( ) 1M

M

p M dM =∫ , (3.40)

ku gjejmë koefiçientin A të jepet nga

max 1

min

1maxmin

min

11

[( ) 1]PLPLPL

PLM

M

A MMM dM Mα αα

α− −−

−= =

−∫ . (3.41)

Përcaktojmë funksionin min

1 1, , min( ) ( )

1

PL PLM

PLM

M MX M p M dM Aα α

α

− −−= =

−∫ .

Funksioni nga i cili ne përcaktojmë masën e objekteve të popullimit të planeteve të lira është

11111 1 1max

min minmin

1( ) ( [( ) 1] 1)PLPL

PL PL PLPL MM X X M M XA M

ααα α αα −−− − − − = + = − + , (3.42)

ku X është një parametër që merr vlera të rastësishme nga një shpërndarje uniforme në intervalin [0,1] , 5

min 10M M−= , 2max 10M M−= dhe [0.9,1.6]PLα ∈ .


83

3.9.1.2 Gjenerimi i shpejtësive të planeteve të lira Në përputhje me përfundimet e nxjerra nga Dominik (1998) për përcaktimin e

amplifikimit në kurbave me efekt paralaks, duhet të njihet parametri ψ (këndi që formon drejtimi i lëvizjes së lentes me sistemin Diell-Tokë në planin e lentes). Përftimi i sistemit koordinativ Diell-Tokë në planin e lentes është trajtuar në paragrafin § 1.6.8.1. Ne do të rikujtojmë vetëm orientimin e boshteve. Boshti 1X drejt polit verior galaktik, 3X drejt nesh (Diellit) dhe 2X ndodhet në planin e lentes që të formojë një treshe e djathtë. Në llogaritjet tona na nevojitet këndi ψ midis shpejtësisë tranzit Tv

dhe boshtit 1X . Han & Gould (1996) ka përcaktuar shpërndarjen e

shpejtësive të yjeve në Galaksinë tonë për çdo komponente dhënë nga

2

2

( )( ) exp[ ]2i i

ii

v vf vσ−

− , , , i x y z∈ (3.43)

ku koordinatat ( )x, y,z kanë origjinën e tyre në qendër të Galaksisë, boshtet ox dhe oz janë përkatësisht drejt Diellit dhe polit verior galaktik. Boshti oy është pingul me to duke formuar treshe të djathtë. Në jemi të interesuar vetëm për shpejtësinë pingul me vijën e shikimit, domethënë për komponentet yv dhe zv të tyre. Për planetet e lira

në bulb ne përdorim komponentet mesatare të shpejtësisë 0y zv v= = , me dispersion 100 /y z km sσ σ= = ; për planetet e lira në diskun galaktik ne përdorim komponenetet

mesatare të shpejtësisë 220 /yv km s= , 0zv = , me dispersion të shpejtësive 30 /y z km sσ σ= = për diskun e hollë dhe 50 /y z km sσ σ= = për diskun e trashë.

Kujtojmë që vija e shikimit drejt qendrës së Galaksisë është konsideruar sipas

drejtimit të boshtit ox . Nga (3.43) ne gjenerojmë komponenten yv dhe zv të shpejtësive të lenteve. Komponentja zv është

1Xv dhe yv është 2Xv− . Duke përfshirë

dhe shpejtësinë e tubit mikropërthyerje në pozicionin ku ndodhet lenteja, e cila është sipas boshtit oy , ne përcaktojmë komponeneten

2Xv të shpejtësisë tranzit në planin e lentes. Nga këto dy komponenete ne përcaktojmë shpejtësinë tranzit në planin e lentes dhe pastaj këndin ψ .

Mbështetur tek Han & Gould (1996), ne gjenerojmë komponenten e i-të të shpejtësive të planeteve të lira duke e konsideruar të njëjtë me atë të yjeve. Përcaktojmë fillimisht konstanten A duke e kërkuar shpërndarjen të normuar,

2

2

( )exp[ ] 12i i

ii

v vA dvσ

+∞

−∞

−− =∫ . (3.44)


84

Shpërndarja e normuar për komponenten e i-të të shpejtësisë është

2

2

( )1( ) exp[ ]22i i

iii

v vf vσπσ−

= − . (3.45)

Përcaktojmë funksionin F për komponenten e i-të shpejtësisë,

2

2

( )1( ) exp[ ]22

ivi i

i iii

v vF v dvσπσ−∞

−= −∫ . (3.46)

Duke futur variablin 2

i i

i

v vuσ

−= funksioni (3.46) merr formën:

21( ) exp[ ]u

F u u duπ−∞

= −∫ . (3.47)

Variabli u që të ketë shpërndarjen e mësipërme përftohet nga log cosu r ϕ= − , ku [0,1]r ∈ në mënyrë të rastësishme dhe [0,2 ]ϕ π∈ po në mënyrë të rastësishme. Ne

përcaktojmë komponenten e i-të të shpejtësisë nga lidhja, 2 log cosi i iv v rσ ϕ= + − . (3.48)

3.9.1.3 Shpërndarja hapësinore e planeteve të lira Për planetet e lira në disk ne konsiderojmë shpërndarjen hapësinore dhënë nga

0

( , , )z R R

hHf x y z e e−

−− . (3.49)

Ne lentet i gjenerojmë sipas vijës së shikimit që përputhet me boshtin ox . Duke e normuar këtë funksion dhe duke ndjekur procedurën e paragrafit § 3.9.1.1


85

përcaktohet largësia e lentes nga qendra e Galaksisë dhe pastaj ne përcaktojmë distancën e lentes nga vrojtuesi, pra që është madhësia e kërkuar.

Për planeteve të lira në bulbin Galaktik konsiderojmë shpërndarjen hapësinore dhënë nga

2 2 4

22 2 4

1 ( )2( , , )

x y za b cf x y z e

− + + , (3.50)

ku vlerat e parametrave janë: 1.49a kpc= , 0.58b kpc= , dhe 0.40c kpc= . E normojmë këtë funksion dhe gjejmë distancën e lentes nga qendra e Galaksisë, mënyra e trajtimit është e njëjtë me atë të paragrafit § 3.9.1.2.

3.9.2 Përcaktimi i parametrave të vijës së shikimit Për të llogaritur kurbat teorike me efekt paralaks ne na duhet të njohim

parametrat ( , )ϕ χ të vijës së shikimit. Këto parametra, për rastin e teleskopit Euclid ne i kemi përcaktuar nga disa konvertime nga një sistem koordinativ tek tjetri.

Ne njohim koordinatat galaktike: gjërësi ( 1.7b = − ) ; gjatësi ( 1.1l = ). Nga këto

ne gjejmë koordinatat ekuatoriale: α -ngritja (right ascension) dhe δ - pjerrësi (declination) të vijës së shikimit. α matet në planin ekuatorial (plani i ekuatorit të Tokës që pret sferën qiellore) nga pika e ekuinoksit të Pranverës (pika ku ekliptika pret ekuatorin qiellor) dhe δ matet nga plani ekuatorial drejt polit veror të Tokës.

1

1

cos sin( 33 )cos 62.6 sin sin 62.6 )sin 282.25cos

sin cos cos 27,4 sin( 33 ) sin sin 27,4

b l b

b l b

αδ

δ

−

−

− −= +

= − +

Nga llogaritjet përftojmë:

267.9228.855454

α

δ

=

= −


86

Tani përcaktojmë koordinatat ekliptike: λ -gjatësi dhe β -gjërësi nga ato ekuatoriale. Këto koordinata janë me në qendër Tokën. λ matet në planin ekliptik (plan ku planetet rrotullohen rreth Diellit) nga pika e ekuinoksit të Pranverës dhe β matet nga plani ekliptik drejt polit verior ekliptik.

1

1

cos sin cos sin sinsin cos

sin sin cos cos sin sin

δ α ε δ ελβ

β δ ε δ α ε

−

−

+=

= −

,

ku ε është zhvendosja midis planit ekuatorial dhe atij ekliptik 23.4394 0.409radε = = . Nga llogaritjet përftojmë

88.1721315.434659

λ

β

= −

= −

.

Koordinatat ekliptike ( , )λ β që janë me në qendër Tokën duhet t’i konvertojmë në koordinatat ( , )ϕ χ me në qendër Diellin. Kjo mund të realizohet nga transformimi i vektorit x

të pozicionit të Diellit në lidhje me Tokën në një vektor x−

të pozicionit të

Tokës në lidhje me Dielli. Madhësia e këtij vektori në lidhje me distancat e vrojtimit në këtë rast nuk merret në konsideratë. Gjatë këtij transformimi momenti këndor L

nuk e ndryshon kahun e tij sepse Toka rrotullohet rreth Diellit në të njëjtin kah si Dielli rrotullohet rreth Tokës. Prandaj, duket që gjerësia χ β= . Gjatësia ekliptike, λ matet nga ekuinoksi pranveror përgjatë ekliptikës në të njëjtin kah si α (ngritja). Meqë Dielli lëviz drejt α pozitive atëherë edhe λ rritet me kalimin e kohës në këtë drejtim. Lëvizja e Tokës rreth Diellit është gjithashtu në drejtimin pozitiv të λ , nëse neglizhojmë distancën Tokë-Dielli, vlera e parametrit cϕ λ ϕ= + , ku cϕ është një konstante. Pozicionit të Diellit tek pika e ekuinoksit të Pranverës, të parë nga Toka i korespondon 0λ = , ndërkohë pozicionit i Tokës i parë nga Dielli i takon λ π= . Shënojmë γφ gjatësinë e pikës së ekuinoksit të Pranverës të matur nga periheli (pozicioni më e afërt i Tokës me Diellin), atëherë c γϕ π φ= + dhe gjatësia e vijës së

shikimit përcaktohet nga γϕ λ π ϕ= + + . Duke ditur që 76γϕ = , ne përcaktojmë koordinatat ekliptike të vijës së shikimit me në qendër Diellin.

167.827886

5.434659γϕ λ π ϕ

χ β

= + + =

= = −

(3.51)


87

Në figurën 3.5 kemi treguar orientimin e vijës të shikimit në lidhje me trajektoren orbitale të Tokës rreth Diellit. Trajektorja e Tokës është eliptike dhe në një nga vatrat e saj ndodhet Dielli. Në figurë është treguar gjithashtu dhe parametri ξ që është këndi që përftohet në këtë mënyrë: nga pozicioni i Tokës në elips heqim pingulen mbi gjysëmboshtin e madh të tij. Kjo pingule pret rrethin me rreze sa gjysëmboshti i madh i elipsit në një pikë. Kur Toka ndodhet në perihel kjo pikë përputhet me të. Këndi që mbështet mbi harkun që përshkruan kjo pikë nga periheli është parametri ξ .

Figura 3. 5 Vija e shikimit të teleskopit Euclid në lidhje me trajektoren orbitale të Tokës rreth Diellit (elipsi me vijë të plotë). Parametri ξ është madhësia e harkut nga periheli deri ku pingulja e hequr nga pozicioni i Tokës mbi gjysëmboshtin e madh, pret rrethin me rreze sa gjysëmboshti i madh i elipsit. Më 4 Janar Toka ndodhet në perihel (pika më e afërt me Diellin).

3.9.3 Rezultate

Për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira gjenerojmë popullimet e tyre në diskun e hollë, diskun e trashë dhe në bulbin galaktik. Çdo element i popullimit ka masën e vet, distancën nga vrojtuesi, shpejtësinë tranzit dhe vlerën më të vogël të parametrit u , 0u . Ndërtojmë kurbën standarde nga ekuacionin (1.17) dhe kurbën me efekt paralaks nga ekuacionin (1.32) duke e pozicionuar Tokën në këndin 0 165ξ = në kohën e maksimumit të ngjarjeve mikropërthyerje.

a r

D

O1

T

φ ξ Periheli (4 Janar)

Vija e shikimit χ

χ

x

y


88

Pikat e çdo kurbe merren me një hap kohor 20 min sa dhe kadenca e teleskopit Euclid. Për secilin çift pikash gjejmë vlerën absolute të diferencës midis amplifikimeve që do ta quajmë residuals, Re S Ps A A= − (Hamolli.L et al., 2013a).

Duke patur parasysh që matjet fotometrike për teleskopin Euclid konsiderohen me një gabim 0.1% (Penny M. T. et al., 2012), ne përcaktojmë kushtin që efekti paralaks të jetë i dedektueshëm nga,

Figura 3.6. Paneli sipër: Për një planet me masë 310PLM M−= në distancën 4.5LD kpc= nga vrojtuesi është ndërtuar kurba standarde e Paczynskit (vija e vazhduar) dhe kurba me efekt paralaks (vija e ndërprerë) . Paneli poshtë: residuals midis kurbës standarte dhe asaj me efekt paralaks. Koha e Ajnshtajnit është 2.24 ditë. Për pikën më të lartë residuals shkon deri në 12% .

0

5

10

15

20

Ampli

fikim

i

Standard Efekt paralaks

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Resid

uals

t/TE


89

Re 0.001S P S PFA F A F F A A s

F∆

− > ∆ ⇒ − > ⇒ > , (3.52)

pra residuals duhet të jetë më i madh se 0.001.

Në figurën 3.6 po paraqesim për ilustrim kurbën standarde, kurbën me efekt paralaks dhe residuals midis tyre, për planetin e lirë me masë 310PLM M−= në distancën 4.5LD kpc= nga vrojtuesi. Efekti paralaks është vlerësuar me llogaritjen e residuals Re ( ) ( )p ss A t A t= − midis kurbës së dritës që përmban efektin paralaks ( )PA t dhe kurbës standarde ( )SA t , i cili arrin deri në 12% . Toka në kohën e maksimumit të ngjarjes është e pozicionuar në orbitë në këndin 0 165ξ = .

Një ngjarje mikropërthyerje do të jetë e dedektueshme kur kurba e saj ka të pakën 8 pika me amplifikim më të madh se amplifikimi prag. Nëse në popullimi e simuluar rezultojnë ngjarje të shkurtra, pra që nuk e kanë numrin e duhur të pikave, ato përjashtohen nga popullimi. Në rastin e teleskopit Euklid kurbat e dritës do të përmbajnë pika në çdo 20 min, që do të thotë, që çdo ngjarje e dedektueshme duhet të ketë një zgjatje kohore më të madhe se 2.67 orë.

Nga popullimi i ngjarjeve të dedektueshme ne përcaktojmë numrin e ngjarjeve që kanë të paktën 8 pika brenda kohës së Ajnshtajnit (nga ET− në ET+ ), në të cilat residuals është më i madh se 0.001 . Ky numër përbën popullimin e ngjarjeve me efekt paralaks të dedektueshëm. Raporti midis numrit të ngjarjeve me efekt paralaks të dedektueshëm me numrin e ngjarjeve të vrojtuara jep efiçiencën efektit paralaks.

Ne përcaktojmë vlerat e efiçiencës së efektit paralaks për vlera të ndryshme të

indeksit të funksionit masë të planeteve të lira për popullimet e tyre në diskun e hollë, në diskun e trashë dhe në bulb (Hamolli et al., 2013c ). Në figurën 3.7 kemi paraqitur efiçiencën e efektit paralaks në varësi të indeksit të funksionit masë PLα . Toka në kohën e maksimumit të ngjarjes është e pozicionuar në orbitë në këndin 0 165ξ = . Ne konsiderojmë tre popullime të ndara të planeteve të lira: diskun e hollë, diskun e trashë dhe bulbin galaktik.

Me rritjen e indeksit të funksionit masë të planeteve të lira kemi një rënie të efiçiencës së efektit paralaks të ngjarjeve mikropërthyerje, për të treja popullimet e planeteve të lira në bulb, në diskun e hollë dhe në diskun e trashë.


90

Figura 3.7 Efiçienca e efektit paralaks në ngjarjet mikropërthyerje në varësi të indeksit të funksionit masë të planeteve të lira, për popullimin e planeteve në diskut të trashë (vija e vazhduar), në diskun e hollë (vija e ndërprerë) dhe në bulbin galaktik (vija e pikëzuar). Efiçienca për secilin nga popullimet pëson një rënie me rritjen e indeksit të funksionit masë të planeteve të lira.

Për indeksin e funksionit masë 1.3PLα = , efiçienca e efektit paralaks të planeteve

të lira në bulb është 32%, të planete në diskun e hollë 31% dhe nga planete në diskut të trashë 27%. Kështu, afërsisht në 30% të ngjarjeve të dedektueshme efekti paralaks do të jetë i dedektueshëm. Pra në tre ngjarje të vrojtuara një i takon të ketë efekt paralaks të dedektueshëm.

Në tabelë 3.4 për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë, shfaqim

rezultatet për numrin e ngjarjeve mikropërthyerje për muaj dhe numrin e atyre që parashikohen të kenë efekt paralaks të dedektueshëm. Këto ngjarje shkaktohen nga planetet e lira dhe shpresohen të kapen nga teleskopi Euclid. Duke shumëzuar efiçiencën me numrin e ngjarjeve mikropërthyerje të vrojtuara përcaktojmë numrin e ngjarjeve me efekt paralaks. Ne kemi konsideruar kufirin e poshtëm, vlerën e mesit dhe kufirin e sipërm të numrit të planeteve të lira për yll.

.

0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

0.26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

Ef

içien

ca e

efek

tit pa

ralak

s

αPL

Disk i trashë Disk i hollë Bulb


91

Tabela 3.4 Në gjysmën majtas është paraqitur numri i ngjarje mikropërthyerje për muaj që do të vrojtohen nga misioni Euclid, për numër të ndryshëm të planeteve të lira për yll, në varësi të indeksit të funksionit masë. Në gjysmën djathtas është paraqitur numri i ngjarjeve për muaj me efekt paralaks të dedektueshëm. Rezultatet janë paraqitur për tre popullime të ndara: bulb, disk i hollë, disk i trashë. Toka në kohën e maksimumit të ngjarjes është e pozicionuar në orbitë në këndin 0 165ξ = .

Numri i ngjarjeve të vrojtueshme Numri i ngjarjeve me efekt paralaks

NPL=1.2N* NPL=5.5N* NPL=23.6N* NPL=1.2N* NPL=5.5N* NPL=23.6N*



hollë Disk



hollë Disk



hollë Disk

trashë

0.9 328.3 17.3 13.8 1504.9 79.3 63.4 6457.5 340.3 272.0 107.4 5.7 4.0 492.1 26.2 18.4 2111.7 112.3 79.1

1.0 280.0 14.8 11.8 1283.5 67.7 54.0 5507.3 290.6 231.5 90.2 4.9 3.4 413.3 22.2 15.4 1773.5 95.4 66.1

1.1 234.9 12.4 9.9 1076.8 56.9 45.4 4620.5 244.2 194.8 75.3 4.0 2.8 345.3 18.3 12.7 1481.7 78.4 54.7

1.2 195.2 10.3 8.2 894.4 47.2 37.7 3838.0 202.7 161.7 62.4 3.2 2.3 286.2 14.8 10.4 1228.2 63.7 44.8

1.3 161.4 8.6 6.8 739.9 39.2 31.1 3174.7 168.2 133.6 51.3 2.7 1.9 235.3 12.2 8.5 1009.6 52.4 36.4

1.4 134.1 7.1 5.6 614.8 32.5 25.9 2638.1 139.4 111.0 42.0 2.2 1.5 192.4 9.9 6.9 825.7 42.3 29.8

1.5 112.6 6.0 4.7 516.1 27.3 21.7 2214.6 117.3 93.2 35.0 1.8 1.2 160.5 8.2 5.7 688.7 35.4 24.4

1.6 96.0 5.1 4.0 440.0 23.3 18.5 1887.9 99.9 79.5 29.4 1.5 1.0 134.8 7.0 4.8 578.3 29.9 20.5

Në figurën 3.8 tregohet numri i ngjarjeve me efekt paralaks të dedektueshëm për

muaj për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë PLα , të shkaktuara nga të gjithë planetet në fushën e pamjes së teleskopit Euclid për pozicionin e Tokës në orbitë përcaktuar nga vlera e parametrit 0 165ξ =


92

Figura 3.8 Numri i ngjarjeve mikropërthyeje me efekt paralaks të shkaktuara nga gjithë planetet e lira në fushën e pamjes të teleskopit Euclid për vlera të ndryshme të indeksit të funksionit masë PLα . Vija e vazhduar është për rastin kur kemi 1.2 planete për yll, vija e ndërprërë për 5.5 dhe vija e pikëzuar për 23.6 .

3.10 Përcaktimi i masës së lentes Në paragrafin § 1.6.8.1 treguam që efekti paralaks perturbon kurbën standarde

duke lënë gjurmë që ndihmojnë në heqjen e pjesshëm të degjenerimit tek koha e Ajnshtajnit.

Nga prodhimi E Er θ (barazimi 1.2) përcaktohet masa e lentes

2

2

44E E E E

GM cr M rc G

θ θ= ⇒ = . (3.53)

0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

N

umri

i ngj

arje

ve m

e ef

ekt p

aral

aks

αPL

(1.2) (5.5) (23.6)


93

I gjithë problemi është në përcaktimin e rrezes së Ajnshtajnit projektuar në planin e vëzhguesit Er dhe rrezja këndore e Ajnshtajnit Eθ . Për përcaktimin e Er na ndihmon efekti paralaks. Nga kurbat që mbartin këtë efekt përcaktohet parametri

(1 )

E

a xR

ρ ⊕ −= . (3.54)

Nga gjeometria e dukurisë së mikropërthyerjes gravitacionale (figura 1.1: djathtas) kemi

(1 )E ER r x= − . (3.55)

Nga barazimet (3.54) dhe (3.55) përftojmë lidhjen

(1 )(1 )E E

a x ar x r

ρ ⊕ ⊕−= =

−. (3.56)

Kështu, nga përcaktimi i parametrit ρ , që është një parametër që përcaktohet nga kurbat mikropërtherje me efekt paralaks të dedektueshëm, përcaktohet Er .

Për të përcaktuar masën e lentes në mënyrë të vetme duhet të njohim dhe rrezen

këndore të Ajnshtajnit. Për të përcaktuar këtë na ndihmon një efekt tjetër tek kurbat e mikropërthyerjes që është ai i burimeve të fundme (Witt & Mao, 1994). Kur burimi kalon shumë pranë lentes, pjesë të ndryshme të sipërfaqes së burimit do të jenë amplifikuar në madhësi të ndryshme duke lënë gjurmë në kurbën e ngjarjeve mikropërthyerje. Kur këto gjurmë janë të dedektueshme, nga vrojtimet përcaktohet

rrezja këndore e burimit e normalizuar në rrezen këndore të Ajnshtajnit, E

θρ

θ∗

∗ = .

Rrezja këndore e yllit burim θ∗ përcaktohet nga pozicioni i këtij ylli në diagramën ngjyrë-magnitudë (An et al., 2002) dhe pastaj përcaktohet rrezja këndore e Ajnshtajnit (Gould, 1994)

Eθθρ

∗

∗

= . (3.57)

Ngjarjet e shkaktuara nga planetet e lira janë përgjithësisht ngjarje të shkutra, dhe

dedektimi i kurbave me efekt paralaks nga observatorët tokësore është i vështirë.


94

Vrojtimet nga teleskopi Euclid, i cili do të hidhet në pikën L2 të Langranzhit, do ta mbartin ketë efekt që do të ndihmojë në heqjen e pjesshme të degjerimit. Nëse kurba do të mbartë dhe efektin e burimeve të fundme, masa e lentes do të përcaktohet në mënyrë të vetme.

3.11 Ndikimi i pozicionit të Tokës në efektin paralaks.

Në rezultatet e paragrafit § 3.9.3 ne e morëm vrojtuesin (Tokën) të pozicionuar

në këndin 0 165ξ = nga periheli në kohën e maksimumit të ngjarjeve mikropërthyerje. Në perihel Toka ndodhet rreth datës 4 Janar.

Nga llogaritjet tona rezultoi që pozicioni i Tokës në orbitë influencon në numrin e

ngjarjeve me efekt paralaks. Meqë vrojtimet mikropërthyerje janë të interesuara për të dedektuar sa më shumë ngjarje me efekt paralaks, ne përcaktojmë teorikisht pozicionin më të mirë të Tokës për të patur një numër maksimal të ngjarjeve me efekt paralaks (Hamolli et al., 2013b)

Marrim në konsideratë katër pozicione të ndryshme të Tokës në orbitë: dy

pozicione kur Toka gjatë ngjarjes mikropërthyerje lëviz gati paralel me vijën e shikimit që u korespondojnë afërsisht këndeve 0 75ξ = , 0 255ξ = dhe dy pozicione në të cilat Toka lëviz gati pingul me vijën e shikimit 0 165ξ = , 0 345ξ = . Për të njëjtën lente ( 310PLM M−= , 4.5LD kpc= ) dhe për katër pozicione të ndryshme të Tokës në orbitë ndërtojmë kurbat standarde dhe ato me efekt paralaks dhe për secilin rast gjejmë residuals midis tyre.

Në figurën 3.9 Toka në kohën e maksimumit të ngjarjes ndodhet në pozicionin 0 75ξ = . Reziduals maksimal arrin deri në 0.8%.


95

Figura 3.9. Sipër: kurba standarde (vija me ngjyrë gri) dhe kurba me efekt paralaks (vija e ndërprerë) për 0 75ξ = . Poshtë: residuals midis dy kurbave. Koha e Ajnshtajnit është 2.24 ditë

Në figurën 3.6 Toka në kohën e maksimumit të ngjarjes ndodhet në pozicionin

0 165ξ = . Reziduals maksimal arrin afërsisht deri në 12%. Në figurën 3.10 Toka në kohën e maksimumit të ngjarjes ndodhet në pozicionin

0 255ξ = . Reziduals maksimal arrin afërsisht deri në 0.8%.

0

5

10

15

20


Ampl

ifiki

mi

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

Resid

uals

t/TE


96

Figura 3.10. Sipër: kurba standarde (vija me ngjyrë gri ) dhe kurba me efekt paralaks (vija e ndërprerë) për 0 255ξ = . Poshtë: residuals midis dy kurbave. Koha e Ajnshtajnit është 2.24 ditë

0

5

10

15

20


Ampl

ifiki

mi

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

Resid

uals

t/TE


97

Në figurën 3.11 Toka në kohën e maksimumit ndodhet në pozicionin 0 345ξ = . Reziduals maksimal arrin deri në 14%.

Figura 3.11. Sipër: kurba standarde (vija e vazhduar) dhe kurba me efekt paralaks (vija e ndërprerë) për 0 345ξ = . Poshtë: residuals midis dy kurbave. Koha e Ajnshtajnit është 2.24 ditë.

Nga figurat 3.6, 3.9, 3.10 dhe 3.11 shohim që për pozicionet 0 165ξ = dhe

0 345ξ = vlerat maksimale të residuals janë rreth dhjetë herë më të mëdha se për pozicionet 0 75ξ = dhe 0 255ξ = . Pra, efiçienca e efektit paralaks varet nga periudha

0

5

10

15

20 Standard Efekt paralaks

Am

plifi

kim

i

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

Resid

uals

t/TE


98

në të cilën do të kryhen vrojtimet mikropërthyerje. Gjithashtu vërejmë që ndryshimi në efektin paralaks në çiftet e pozicioneve ( 0 75ξ = , 0 255ξ = ) dhe ( 0 165ξ = ,

0 345ξ = ), distanca midis të cilave është rreth 2 Nj.A, është shumë i vogël. Kështu që, teleskopi Euclid në pikën L2 të Langranzhit ( 2 0.01 .T Ld Nj A− ) dhe teleskopi në Tokë do të dedektojnë të njëjtin efekt paralaks për një ngjarje mikropërthyerje drejt bulbit galaktik.

3.11.1 Rezultate Ne variojmë pozicionin e Tokës në orbitë, duke marrë një vlerë të 0ξ për çdo

muaj të vitit. Për muajin Janar konsiderojmë pozicionin e përcaktuar nga vlera e parametrit, 0 15ξ = . Ky pozicion i Tokës korespondon me kohën kur në kurbën e ngjarjes mikropërthyerje kemi maksimum.

Ne përcaktojmë efiçiencën e efekt paralaks kur planetet e lira ndodhen në diskun

e hollë, në diskun e trashë dhe në bulbin galaktik, për muaj të ndryshëm të vitit. Rezultatet janë shfaqur në tabelën 3.5. Këto rezultate janë për indeksin i funksionit masë për planetet e lira 1.3PLα = .

Tabela 3.5. Efiçienca e dedektimit të efektit paralaks në kurbat e mikropërthyerjes gravitacionale, gjatë muajve të ndryshëm të vitit të shkaktuara nga planetet e lira që ndodhen në bulb, në diskun e hollë dhe në diskun e trashë. Vlera e indeksit të funksionit masë është 1.3PLα =

Muajt ξ0 Bulb Disk i hollë Disk i trashë

Janar 15° 0.32 0.31 0.31 Shkurt 45° 0.27 0.27 0.27 Mars 75° 0.15 0.17 0.16 Prill 105° 0.26 0.26 0.26 Maj 135° 0.30 0.30 0.30 Qershor 165° 0.32 0.31 0.31 Korrik 195° 0.31 0.30 0.30 Gusht 225° 0.26 0.27 0.26 Shtator 255° 0.15 0.17 0.16 Tetor 285° 0.26 0.26 0.26 Nentor 315° 0.31 0.30 0.30 Dhjetor 345° 0.32 0.32 0.32

Le të vazhdojmë diskutimin e mëposhtëm për vlerën më të besueshme të numrit

të planeteve të lira për yll, 5.5. Numri teorik i ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuara nga planetet e lira për indeksin e funksionit masë 1.3PLα = është: 740 për


99

planetet në bulbin galaktik, 39 për planetet në diskun e hollë dhe 31 për planetet në diskun e trashë. Ne shumëzojmë efiçiencën me këta numra dhe gjejmë numrin teorik të ngjarjeve me efekt paralaks për pozicione të ndryshme të Tokës në orbitë. Rezultatet e llogaritjeve tona janë paraqitur në tabelën 3.6.

Tabela 3.6. Numri teorik i ngjarjeve mikropërthyerje me efekt paralaks të dedektueshëm që teleskopi Euklid do të vrojtojë për një muaj në periudha të ndryshme të vitit.

Periudhat më të mira të vitit për kryerjen e vrojtimeve mikropërthyerje që të kemi

numrin më të lartë të ngjarjeve me efekt paralaks të dedektueshëm për teleskopin Euclid janë Dhjetori dhe Qershori. Në llogaritjet tona ne kemi qënë të kujdesshëm në mbajtjen e pragut të amplifikimit 1.001TA = , i cili është vetëm një kufi instrumental.

Për më tutje ne testojmë rezultatet tona për një prag amplifikimi më të madh, 1.01TA = . Me këtë limit të ri dhe bazuar në llogaritje të njëjta ne gjejmë që efiçienca

dhe numri i ngjarjeve me efekt paralaks do të zvogëlohen. Për konsideratën 5.5 të numrit të planeteve të lira për yll ne gjejmë që efiçienca dhe numri i ngjarjeve me efekt paralaks për popullimin në bulb zvogëlohet me 25%, në diskun e hollë me 10% dhe në diskun e trashë me 12%. Megjithatë ky ndryshim nuk ka ndonjë efekt në rezultatin tonë që Dhjetori dhe Qershori janë periudhat më të mira për kryerjen e të tilla vrojtimeve.

Muajt ξ0 Bulb Disk i hollë Disk i trashë Total

Janar 15° 236 12 10 258 Shkurt 45° 200 11 8 219 Mars 75° 111 7 5 123 Prill 105° 192 10 8 211 Maj 135° 222 12 9 243 Qershor 165° 237 12 10 259 Korrik 195° 229 12 9 250 Gusht 225° 192 11 8 211 Shtator 255° 111 7 5 123 Tetor 285° 192 10 8 211 Nëntor 315° 229 12 9 250 Dhjetor 345° 237 12 10 259


100

3.12 Diskutime dhe përfundime Në këtë kapitull ne trajtuam mundësinë e dedektimit të planeteve të lira drejt

qendrës së Galaksisë nga observatori hapësinor Euclid, i cili është parashikuar të hidhet në të ardhmen. Këto objekte kohët e fundit kanë treguar interes të madh në komunitetet shkencore. Një emigmë e madhe duhet zbuluar mbi origjinën e formimit të tyre dhe shpërndarjen në Galaksinë tonë. Mendohet që këto objekte janë krijuar nga shkëputja e planeteve të zakonshme prej orbitave të tyre, për shkak të goditjeve ose nga tërheqja gravitacionale e yjeve të tjerë. Metoda e vetme e studimit të tyre është mikropërthyerja gravitacionale. Vrojtimet mikropërthyerje të teleskopit Euclid do të jenë shumë të rëndësishmë sepse do të ndihmojnë në njohjen dhe karakterizimin e planeteve të lira në Galaksinë tonë.

Ne llogaritim teorikisht dy madhësi të rëndësishme: thellësinë optike dhe ritmin e

ngjarjeve mikropërthyerje. Këto madhësi llogariten mbi të dhënat më të fundit të vrojtimeve mikropërthyerje të kryera nga Toka për funksionin masë së lenteve dhe të numrit të tyre për yll. Përcaktimi i këtyre të fundit mund të mos jetë shumë i saktë për shkak të kufizimeve që vijnë nga atmosfera e Tokës.

Për llogaritjen e thellësisë optike dhe të ritmit të ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira dhe xhuxhët e errët ne supozojmë se ata kanë shpërndarje hapësinore dhe shpërndarje të shpejtësive të njëjtë si të yjeve.

Nga llogaritjet tona ne arrijmë në këto përfundime: Thellësia optike varet nga indeksi i funksionit masë të planeteve të lira dhe numri

i tyre për yll. Kontributin më të lartë në thellësinë optike e kanë popullimet e bulbit galaktik.

Kur konsiderojmë që numri i planeteve të lira për yll është 1.2 dhe 5.5, thellësia

optike e ngjarjeve shkaktuar nga planete e lira është më e vogël se e xhuxhëve të errët dhe e yjeve. Për rastin kur konsiderojmë që numri i tyre për yll është 23.6, thellësia optike e planeteve të lira është më e madhe se e xhuxhëve të errët në pjesën më të madhe të rangut të PLα dhe më e vogël se ajo e yjeve.

Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje varet nga indeksi i funksionit masë të planeteve

të lira dhe numri i tyre për yll. Kontributin më të lartë në ritmin e ngjarjeve e kanë popullimet e bulbit galaktik.

Ritmi i ngjarjeve kur konsiderojmë kufirin e poshtëm të numrit të planeteve të lira për yll është më i vogël se ritmi i ngjarjeve të shkaktuara nga xhuxhët e errë dhe yjet. Për vlerën e mesit të numrit të planeteve të lira për yll, ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje është më i madh se i xhuxhëve të errët dhe më i vogël se i yjeve. Kur konsiderojmë kufirin e sipërm të planeteve të lira për yll, ritmi i ngjarjeve shkaktuar nga planetet e lira është më i madh se i xhuxhëve të errët dhe bëhet i krahasueshëm me atë të yjeve.


101

Me anë të llogaritjeve ne parashikojmë një numër relativisht të lartë të ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuara nga planetet e lira drejt qendrës së Galaksisë që do të jenë të vrojtueshme nga sateliti Euclid. Këto ngjarje janë një bazë e rëndësishme për njohjen dhe karakterizimin e popullimeve të tyre në Galaksi tonë.

Ne analizojmë dhe efektin paralaks në kurbat mikropërthyerje të shkaktuara nga

planetet e lira. Ky efekt i perturbon ato duke lënë gjurmë të dedektueshme në një numër të konsiderushëm të tyre. Kjo është një mënyrë shtesë për heqjen e pjesshme të degjenerimit dhe për njohjen më të mirë të popullimeve të planeteve të lira në Galaksinë tonë.

Me anë të simulimeve numerike ne përcaktojmë efiçiencën e dedektimit të efektit

paralaks në kurbat e dritës shkaktuar nga planetet e lira. Ne rezultojmë që 1/3 e ngjarjeve mikropërthyerje të vrojtueshme do të kenë efekt paralaks të dedektueshëm.

Ne arrijmë në një përfundim tjetër shumë të rëndësishëm: dedektimi i efektit

paralaks varet nga pozicioni i Tokës në orbitë. Duke përdorur metodën e simulimeve numerike ne gjejmë që periudhat më të mira për dedektimin e efektit paralaks nga vrojtimeve mikropërthyrje janë Dhjetori dhe Qershori.

Përfundimet tona janë nxjerrë duke shfrytëzuar aftësitë e teleskopit Euclid.

Pragun e tij të amplifikimit e marrim 1.001TA = , i cili është vetëm një kufi instrumental. Edhe kur konsiderojmë një prag amplifikimi më të lartë 1.01TA = , periudha më e mirë e vrojtimeve mikropërthyerje për dedektimin e gjurmëve të efektit paralaks nuk ndryshon.

Në llogaritjet tona yjet burime dhe lentet i kemi pranuar si objekte piksorë pa

konsideruar efektet e fundme të tyre. Gjithashtu, ne nuk marrim në konsideratë variabilitetin e yjeve.

Studimi i detajuar i efekteve të fundme të burimeve në kurbat e dritës mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira do të jetë qëllimi ynë i ardhshëm

102

Konkluzione

Në këtë punim është studiuar metoda e mikropërthyejes gravitacionale për

zbulimin e planeteve jashtë sistemit diellor, kryesisht të planeteve të lira në Galaksinë tonë. Kjo është deri tani e vetmja metodë e dedektimit të tyre. Ngjarjet mikropërthyerje të shkaktuara nga planetet e lira janë relativisht të shkurtra dhe teleskopët në observatorët tokësorë hasin vështirësi në dedektimin e tyre. Për t’i shmangur ato sot po punohet për projektimin e observatorëve hapësinorë. Punimin tonë e kemi mbështetur mbi vrojtimet fotometrike të dy observatorëve hapësinorë: Kepler dhe Euclid.

Teleskopi Kepler është duke vrojtuar 150000 yje në një zonë relativisht të afërt

me sistemin tonë diellor. Ai është dizenjuar për dedektimin e planeteve jashtë sistemit diellor me metodën tranzit duke kryer matje fotometrike për yjet që ka si shenjëza në fushën e vet të pamjes. Meqë edhe metoda e mikropërthyerjes gravitacionale, bazohet mbi matjet fotometrike ne e përdorim atë për dedektimin e ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira në fushën e pamjes Kepler.

Sateliti Euclid parashikohet të hidhet në 2017. Ai do të kryejë vrojtime

mikropërthyerje për rreth 10 muaj drejt qendrës së Galaksisë. Duke u bazuar në veçoritë e tij dhe të dhënat e fundit mbi planetet e lira ne përdorim metodën e mikropërthyerjes gravitacionale për eksplorimin e tyre në fushën e tij të pamjes.

Konkluzione për popullimet planetare në fushën e pamjes të teleskopit

Kepler: Si objekte që shkaktojnë ngjarje mikropërthyerje në fushën e pamjes të teleskopit

Kepler ne konsiderojmë planetet e lira dhe xhuxhët e errët. Yjet burime dhe objektet lente merren pikësorë. Mbështetur në përfundimet e nxjerra mbi funksionin masë të planeteve të lira dhe të xhuxhëve të errët kohët e fundit si dhe duke konsideruar shpërndarjen hapësinore dhe të shpejtësive të njëjtë më atë të yjeve ne përcaktojmë thellësinë optike dhe ritmin e ngjarjeve.

Thellësia optike e ngjarjeve mikropërtherje e shkaktuar nga planetet e lira është

më e vogël se ajo e xhuxhëve të errët, për çdo numër planetesh të lira për yll marrë në konsideratë.

Thellësia optike varet nga indeksi i funksionit masë të planeteve të lira, dhe

numri i tyre për yll. Matja nga vrojtimet e kësaj madhësie do të ndihmonte në korigjimit e rangut ku merr vlera indeksi i funksionit masë.

103

Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje varet nga indeksi i funksionit masë dhe numri i planeteve të lira për yll.

Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje të shkatuara nga planetet e lira është më i vogël se ritmi i ngjarjeve të xhuxhëve të errët për pjesën më të madhe të rangut të vlerave të indeksit të funksionit masë.

Duke marrë në konsideratë aftësitë e teleskopit Kepler dhe për kufirin e sipërm të numrit të planeteve të lira për yll ne gjejmë që duhen rreth 3 vjet për dedektimin e një ngjarje mikropërthyerje.

Meqë fusha e vrojtimit të teleskopit Kepler është një zonë e dendur me yje, ne

marrim në konsideratë të gjithë yjet në fushën e pamjes Kepler deri në distancën 4 kpc në drejtim e vrojtimit të fushës Kepler. Llogaritjet tona rezultojnë që ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje dhe thellësia optike rriten me rritjen e distancës në drejtimin e vrojtimit dhe numri më i mirë i ngjarjeve mikropërthyerje për vit që ne gjejmë është 12.

Konkluzione për popullimet planetare në fushën e pamjes të teleskopit

Euclid Teleskopi Euclid do të kryejë vrojtime mikropërthyerje drejt qendrës së

Galaksisë. Objektet lente që do të japin ngjarje mikropërthyerje janë: planetet e lira, xhuxhët e errët dhe yjet në fushën e tij të pamjes. Yjet burime dhe lentet i konsiderojmë si objekte piksorë. Bazuar në të dhënat e fundit për funksionin masë të planeteve të lira dhe xhuxhëve të errët dhe duke pranuar shpërndarjen hapësinore dhe të shpejtësive të njëjtë me atë te yjeve ne përcaktojmë thellësinë optike dhe ritmin e ngjarjeve dhe arijmë në këto përfundime:

Thellësia optike dhe ritmi i ngjarje varet nga indeksi i funksionit masë të

planeteve të lira dhe numri i tyre për yll. Kontributin më të lartë në thellësinë optike dhe ritmin e ngjarjeve e kanë popullimet e bulbit galaktik.

Thellësia optike e ngjarjeve shkaktuar nga planetet e lira përgjithësisht është më e

vogël se thellësia optike e xhuxhëve të errët dhe e yjeve.

Ritmi i ngjarjeve mikropërthyerje shkaktuar nga planetet e lira është më i madh se i xhuxhëve të errët dhe më i vogël se i yjeve kur konsiderojmë vlerën e mesit të numrit të tyre për yll.

Numri i ngjarjeve mikropërthyerje të shkaktuara nga planetet e lira drejt qendrës së Galaksisë është relativisht i lartë. Këto ngjarje janë një bazë e rëndësishme për njohjen dhe karakterizimin e popullimeve të tyre në Galaksinë tonë.

Efekti paralaks është një anomali në kurbat mikropërthyerje që ndihmon në

heqjen e pjesshme të degjenerimit dhe njohjen më të mirë të popullimeve të planeteve të lira në Galaksinë tonë. Ne gjejmë që rreth 30% e ngjarjeve mikropërthyerje të vrojtueshme do të kenë efekt paralaks të dedektueshëm.

104

Periudhat më të mira për dedektimin e efektit paralaks nga vrojtimeve

mikropërthyrje janë Dhjetori dhe Qershori.

Në të ardhmen planifikojmë të vazhdojmë punën e bërë në kapitullin e fundit. Konkretisht në kurbat e dritës mikropërthyerje do të marrim në konsideratë efektet e fundme të burimeve. Nëse kurba e dritës do të mbartin edhe efektin paralaks, masa e lentes përcaktohej në mënyrë të vetme.

Në punim tonë ne përdorëm metodën e mikropërthyerjes gravitacionale për

eksplorimin e planeteve të lira në bulb dhe në diskun galaktik. Për të arritur në një përfundim më të plotë për shpërndarjen e planeteve të lira në gjithë Galaksinë tonë ne do të përdorim këtë metodë drejt Reve të Magelanit për dedektimin e tyre në halo, pavarësisht se nuk ekziston ende ndonjë projekt hapësinor.

X

Bibliografi Alcock C. et al. (1993): “Possible gravitational microlensing of a star in the Large Magellanic Cloud”. In Nature, 365, (621-623)

Alcock C. et al. (1997a): “MACHO Alert 95-30: First Real-Time Observation of Extended Source Effects in Graviational Microlensing”. In Astrophysical Journal, 491, 436

Alcock C. et al. (1997b) : “The Macho Project: 45 Candidate Microlensing Events from the First Year Galactic Bulge Data”. In Astrophysical Journal, 479, 119

An J. H. et al. (2002): “First microlens mass measurement: planet photometry of EROS Blg-2000-5”. In Astrophysical Journal, 572, (521-539)

Aubourg E. et al. (1993): “Evidence for gravitational microlensing by dark objects in the Galactic halo”. In Nature, 365 (623-625)

Bennett D. P. & Rhie S. H. (2000): “The Galactic Exoplanet Survey Telescope: A Proposed Space-Based Microlensing Survey for Terrestrial Extra-Solar Planets”. In ASP Conference Proceedings, 239, ISBN: 1-58381-076-5

Bennett D. P. & Rhie S. H. (2002): “Simulation of space-based microlensing survey for terrestrial extrasolar planets” . In Astrophysical Journal, 574, 985

Bond I. A. et al. (2001): “Real-time difference imaging analysis of MOA Galactic bulge observations during 2000”. In Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 327, (868-880)

Calchi Novati S. et al. (2008): “Microlensing constraints on the Galactic Bulge, Initial Mass Function”. In arXiv:1208

Chwolson O. (1924): “Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne”. In Astronomische Nachrichten 221, 329

Ciardi David R. et al. (2011): “Characterizing the Variability of Stars with Early-release Kepler Data”. In Astronomical Journal, 141, 108

De Paolis F., Ingrosso G. & Nucita A. (2001): “Astrophysical implications of gravitational microlensing of gravitational waves”. In Astronomy & Astrophysics, 366, (1065-1070)

Dominik M. (1998): “Galactic microlensing with rotating binaries”. In Astronomy & Astrophysics, 329, (361-374)

Dwek E. et al. (1995) : “Morphology near-infrared luminosity and mass of Galactic bulge from COBE DIRBE observations”. In Astrophysical Journal, 445, (716-730)

Einstein A. (1936): “Lens-Like Action of a Star by the Deviation of Light in the Gravitational Field” . In Science 84, 506

Gehman C. S., Adams F. C. & Laughlin G. (1996): “The Prospects for Earth-Like Planets within Known Extrasolar Planetary Systems”. In Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 108, (1018-1023)

Gilmore G., Wyse R. F. G. & Kuijken K. (1989): “Kinematics, Chemistry and Structure of the Galaxy”. In: Astronomy & Astrophysics, 27, (555-627)

Gould A. & Loeb A. (1992): “Discovering planetary systems through gravitational microlenses”. In Astrophysical Journal, 396, (104-114)

http://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

XI

Gould A. (1994): “Proper motions of MACHOs”. In Astrophysical Journal, 421 (71-74)

Gould A. (2000): “A Natural Formalism for Microlensing”. In Astrophysical Journal, 542, 785

Green J. et al. (2012): “Wide-Field InfraRed Survey Telescope (WFIRST) Final Report”. In arXiv:1208.4012

Griest K. (1991): “Galactic microlensing as a method of detecting massive compact halo object”. In Astrophysical Journal, 366, 412

Griest K. & Hu W. (1992): “Effect of binary sources on the search for massive astrophysical compact halo objects via microlensing”. In Astrophysical Journal, 397, (362-380).

Griest K. et al. (2011): “Microlensing of Kepler Stars as a Method of Detecting Primordial Black Hole Dark Matter”. In Physical Review Letters, 107, Issue 23, id. 231101

Hafizi M., De Paolis F., Ingrosso G. & Nucita A. (2004): “Microlensing signature of a white dwarf population in the Galactic halo”. In Int. Journ. Mod. Phys. D. 13, (1831-1845)

Han Ch. & Gould A. (1995): “The mass spectrum of MACHOs from parallax measurements”. In Astrophysical Journal, 447, (53-61)

Han Ch. & Gould A. (1996): “Statistical determination of the MACHO mass spectrum”. In: Astrophysical Journal, 467, (540-545)

Hurley J. R. & Shara M. M. (2001): “Free-Floating Planets in Stellar Clusters: Not So Surprising”. In American Astronomical Society, 33, 1410

Jetzer Ph., Mancini L. & Skarpetta G. (2002): “Microlensing towards the Large Magellanic Cloud”. In Astronomy & Astrophysics, 393, 129

Jones B. W., Sleep P. N. & Chambers J. E. (2001): “The stability of the orbits of terrestrial planets in the habitable zones of known exoplanetary systems”. In Astronomy & Astrophysics, 366, (254-262)

Kasting J. F., Whitmire D. P. & Reynolds R. T. (1993): “Habitable Zones around Main Sequence Stars”. In Icarus, 101, (108-128).

Laureijs R. et al. (2011): “Euclid Mapping the geometry of the dark Universe”. In arXiv:1110.3193

Mao Sh. (2008): “Introduction to Gravitational Microlensing”. In [arXiv:astro-ph/0811.0441v1]

Mao Sh. & Paczynski B. (1991): “Gravitational microlensing by double stars and planetary systems”. In Astrophysical Journal (Letters), 374, (L37-L40)

Moniez M. (2010): “Microlensing as a probe of the Galactic structure: 20 years of microlensing optical depth studies”. In General Relativity and Gravitation, 42, (2047-2074)

Paczynski B. (1986): “Gravitational microlensing by the galactic Halo”. In Astrophysical Journal, 304, 1

Parravano A., McKee C. F. & Hollenbach D.J. (2011): “An Initial Mass Function for Individual Stars in Galactic Disks. I. Constraining the Shape of the Initial Mass Function”. In Astrophysical Journal, 726, 27

Peña R. K. et al. (2012): “New Isolated Planetary-mass Objects and the Stellar and Substellar Mass Function of the σ Orionis Cluster”. In Astrophysical Journal, 754, 30

Penny M. T. et al. (2012): “ExELS: an exoplanet legacy science proposal for the ESA Euclid mission I. Cold exoplanets”. In Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 327 (868-880).

XII

Quanz S. P. et al. (2010): “Search for very low-mass brown dwarfs and free-floating planetary-mass objects in Taurus”. In Astrophysical Journal, 708, 770

Robin A. C., Reyl´e C., Derri`ere S. & Picaud S. (2003): “A synthetic view on structure and evolution of the Milky Way”. In Astronomy & Astrophysics, 409, 523

Salpeter E. E. (1955): “The luminosity function and stellar evolution”. In Astrophysical Journal, 121, (161-168)

Scalo J. M. (1986): “The stellar initial mass function”. In Fundamentals of Cosmic Physics, 11, (1-278)

Stevenson D. J. (1999): “Life-sustaining planets in interstellar space?”. In Nature, 400, 32

Strigari L. E. et al. (2012): “Nomads of the Galaxy”. In Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 423, (1856-1865)

Sumi T. et al. (2006): “Microlensing Optical Depth toward the Galactic Bulge Using Bright Sources from OGLE-II”. In Astrophysical Journal, 636, (240-260)

Sumi T. et al. (2003): “Microlensing optical depth toward the galactic bulge from microlensing Observations in astrophysics group observations during 2000 with Difference image analysis”.In Astrophysical Journal, 591, (204–227)

Sumi T. et al. (2011): “Unbound or Distant Planetary Mass Population Detected by Gravitational Microlensing”. In Nature, 473, 349

Udalski A. et al. (1993): “The optical gravitational lensing experiment. Discovery of the first candidate microlensing event in the direction of the Galactic Bulge”. In Acta Astronomica, 43, (289-294)

Udalski A. et al. (1994a): “The optical gravitational lensing experiment: OGLE no. 7: Binary microlens or a new unusual variable?”. In Astrophysical Journal (Letters), 436, (L103-L106)

Udalski A. et al. (1994b): “The Optical Gravitational Lensing Experiment. The Optical Depth to Gravitational Microlensing in the Direction of the Galactic Bulge”. In Acta Astronomica, 44, (165-189)

Zapatero Osorio M. R. et al. (2000): “Discovery of Young, Isolated Planetary Mass Objects in the σ Orionis Star Cluster”. In Mundt R. 290, 103

Zoccali M. et al. (2000): “The initial mass function of the galactic bulge down to 0.15M

”. In Astrophysical Journal, 530, 418

Witt H. J. & Mao Sh. (1994): “Can lensed stars be regarded as pointlike for microlensing by MACHOs”. In Astrophysical Journal, 430, (505-510)

Wolszczan A. & Frail D. (1992): “A planetary system around the millisecond pulsar PSR1257 + 12”. In Nature, 355, ( 145–147)

XIII

Botime dhe konferenca Hamolli L. & Hafizi M. (2011): “Planetet e lira në drejtimin Kepler”. In “Buletini i Shkencave të Natyrës” Nr. 12, fq. 43-51 (ISSN: 2224-1779) Hamolli L., Hafizi M. & Nucita A. A. (2013a): “A theoretical calculation of microlensing signatures caused by free-floating planets towards the Galactic bulge”. In “International Journal of Modern Physics D” , Vol. 22, No.12, 1350072 Hamolli L. et al. (2013b) : “Parallax effects on microlensing events caused by free-floating planets” . In “Bulgarian Astronomical Journal”, Vol 19, pjesa I Hamolli L. (2013c): “Planetet e lira në fushën e pamjes Euclid”.In “Buletini i Shkencave të Natyrës”, Nr. 15, fq. 64-73, (ISSN: 23054-882X) Hafizi M. & Hamolli L. (2012): “About microlensing optical depth and rates for free floating planets towards the Kepler's field of view”. In III Italian-Pakistani Workshop on Relativistic Astrophysics Conference Proceedings , 354 012006, 6 fq., doi:10.1088/1742-6596/354/1/012006; Hamolli L., Hafizi M.: “Parallax effect, a possibility to investigate free-floating planets by Euclid” The 8th General Conference of Balkan Physical Union, 5 – 7 July 2012, Constanta, Romania.

Hamolli L., Hafizi M.: “Free Floating planets, microlensing method and Euclid mission” International Workshop, on Recent LHC Result and Related Topics October, 8 - 9, 2012, Tirana, Albania. Hafizi M. & Hamolli L: “Free-floating planets towards the Euclid's field of view” 13th Marcel Grossmann Meeting, July 1-7 , 2012, Stockholm, Sweden. Proceedings në proces. Hamolli L., Hafizi M.: “Ndikimi i pozicionit të tokës në vrojtimin e planeteve të lira drejt qendrës galaktike” Koferencë me rastin e 100-vjetorit të Pavarësisë së Shqipërisë, 23 Nëntor 2012.

XIV

Falenderime Së pari, dëshiroj të shpreh falenderimet më të përzemërta për udhëheqësen e

tezës, Prof. Dr. Mimoza Hafizi, e cila më ka mbështetur gjatë gjithë punës për përgatitjen e punimit. Ajo bëri të mundur vizitat e mia në universitetin e Salentos në Lecce, të cilat na ndihmuan shumë që të rritnim bashkëpunimin dhe shkëmbenin ide me kolegët atje.

Së dyti një falenderim i veçantë shkon për Prof. Francesco De Poalis, Achille

Nucita dhe grupit të Mikropërthyerjes Gravitacionale në universitetin e Salentos. Gjithashtu do të doja të falenderoja Prof. Francesco De Poalis edhe për mbështetjen financiare së vizitës së parë në universitetin e tyre.

Gjithashtu do të falenderoja dhe familjen time për ndihmën dhe mbështetjen që

më dhanë gjatë periudhës së përgatitjes së doktoratës.

doktoratura lindita hamolli, fakulteti i shkencave i natyrore

Documents