ecuacionesflujofluidos
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ECUACIONES DIFERENCIALES DELFLUJO DE FLUIDOS
Son ecuaciones generales que permiten resolver
diferentes sistemas sin necesidad de aplicar
balances de cantidad de movimiento:
• Ecuación de continuidad (conservación demateria)
• Ecuación de movimiento
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1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
• Se aplica la ley de conservación de la materia a
un pequeño volumen de fluido en movimiento.
Elementoestacionario devolumen, ∆x∆y∆z, através del cual circulaun fluido.
(ρx)x (ρx)x+∆x
(x,y,z)
(x+∆x,y+∆y,z+∆z)
∆x
∆y
∆z
x
y
z
ρx: Velocidad de flujo de
materia por unidad de área
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• Balance de materia
Velocidad deacumulación de
materia
Velocidad deentrada de
materia
Velocidad desalida demateria
= −
Velocidad decambio dedensidad
x Volumen
delelemento
Velocidad deacumulación de
materia =
Densidad delfluido en la
cara
x Velocidad
perpendicular
a la cara
x Áreade la
cara
Velocidad deflujo de
materia
=
Donde:
En cada dirección:
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Por tanto, el balance de materia queda:
• Dividiendo la ecuación por ∆x∆y∆z y tomando
límites cuando estas dimensiones tienden a cero:
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2. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
τxxx
(x,y,z)
(x+∆x,y+∆y,z+∆z)
x
y
z
τxxx+∆x
τzxz
τzxz+Δz
τyxy
τyxy+Δy
τxxx τxxx+∆x
τzxz
τzxz+Δz
τyxy
τyxy+Δy
Direcciones del transportede cantidad de
movimiento debido a la
componente x de lavelocidad
Direcciones de lasfuerzas viscosas debido
al transporte decantidad demovimiento
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Balance de cantidad de movimiento en
estado no estacionario
Velocidad deacumulación
de cantidad demovimiento
Velocidad deentrada de
cantidad demovimiento
Velocidadde salida de
cantidad demovimiento
= −
Suma defuerzas que
actúan sobreel sistema
+
• La cantidad de movimiento de entrada y de salida
se debe a dos mecanismos:- Transporte convectivo
- Transporte viscoso
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• Transporte convectivo
La cantidad de movimiento por transporte
convectivo, en dirección x, que entra por la cara y
es:
Cantidad de
movimientopor transporteconvectivo
Flujo másicoa través de
la cara y
Componentede velocidad
en dirección x = x = (ρyΔxΔz)(x)|y
Teniendo en cuenta el flujo en todas las caras del
cubo, el transporte convectivo neto en dirección x es:
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• Transporte viscoso
La cantidad de movimiento por transporte viscoso en
dirección x que entra por la cara y es:
La cantidad de movimiento neta por transporte
viscoso en dirección x es:
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Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema
son las debidas a la presión y a la fuerza
gravitacional, la resultante de estas fuerzas en la
dirección x es:
• La acumulación de cantidad de movimiento en
dirección x es:
• Fuerzas externas
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Sustituyendo todos los términos en la ecuación de
balance de cantidad de movimiento, dividiendopor ΔxΔyΔz y tomando el límite cuando Δx, Δy y
Δz tienden a cero, se llega a la componente x de
la ecuación de movimiento:
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De la misma forma se obtienen las componentes
en y y z:
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En notación vectorial, estas tres ecuaciones se
resumen en:
Para obtener las distribuciones de velocidad con
la anterior ecuación, se debe conocer la relaciónentre los esfuerzos y los gradientes de velocidad,
la cual está dada por la generalización de la ley de
Newton de la viscosidad:
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Esfuerzos normales:
Esfuerzos cortantes:
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Cuando la densidad y la viscosidad son
constantes, la ecuación de movimiento recibe elnombre de Navier-Stokes
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TABLAS DE EC. CONTINUIDAD Y MOVIMIENTO Y
LEY NEWTON (ESFUERZOS)
EDICIÓN ANTIGUA DEL BIRD
Tabla 3.4-1: Ec. ContinuidadTablas 3.4-2 a 3.4-4: Ec. Movimiento
Tablas 3.4-5 a 3.4-7: Ley Newton
NUEVA EDICIÓN DEL BIRD
Apéndice B1: Ley Newton
Apéndice B4: Ec. Continuidad
Apéndices B5 y B6: Ec. Movimiento
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PROBLEMA
En una operación de fundición de cobre se hace pasar escoria fundida, rica en
cobre, sobre un mate con el fin de recuperar la mayor parte del cobre contenido en
la escoria. La operación es llevada a cabo en un horno (ver figura) de 20 metros de
largo y 7,5 metros de ancho. Asumiendo que:
- El mate permanece quieto.
- La escoria fluye continuamente a 2,5 m3/h (con flujo laminar) sobre el mate.
- La profundidad media de la escoria es de 0,5 m.
20 m
Escoria
Mate
7°
Determinar:La ecuación para la
distribución de velocidad y de
esfuerzo en la capa de
escoria, dibujar perfiles.
La fracción de material que
permanece en el hornodurante por lo menos el doble
del tiempo medio de
residencia.
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Encontrar las distribuciones de
velocidad, esfuerzo cortante,
las velocidades máxima ymedia y el flujo volumétrico
(caudal), de un fluido que fluye
entre dos tubos coaxiales por
acción de una diferencia de
presión entre los planos deentrada y salida del mismo.
L
R
PL
P0
Salida del
fluido
Entrada del
fluido
FLUJO A TRAVÉS DE DOS TUBOSCOAXIALES
aR
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FLUJO ADYACENTE DE DOS FLUIDOSINMISCIBLES
Encontrar las distribuciones de velocidad, esfuerzo cortante,las velocidades máxima y media y el flujo volumétrico
(caudal), de dos líquidos inmiscibles que fluyen
horizontalmente por un gradiente de presión entre dos
planos horizontales.
L
P0 PL
Entrada del
fluido Salida del
fluido2δ
Fluido II
X = 0 X = L
W
x
y
z Fluido I
Propiedades de
los fluidos:
ρI > ρII
μI < μII
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FLUJO TANGENCIAL DE UN FLUIDONEWTONIANO ENTRE DOS TUBOS CONCÉNTRICOS
Determinar los perfiles de
velocidad y de esfuerzo cortantepara el flujo laminar tangencial
de un fluido incompresible, en el
espacio comprendido entre dos
cilindros verticales coaxiales,
cuando el cilindro externo giracon una velocidad angular ω.
R
aRω
rz
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FLUJO DE UN FLUIDO NO NEWTONIANO ATRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR
Deducir la forma análoga a
la ecuación de Hagen-
Poiseulli para un fluidopseudoplástico.
L
R
P0
PL
Entrada del
fluido
Salida del
fluido
(n
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VISCOSÍMETRO DE CONO Y PLATO
Deducir la expresión que permite determinar la viscosidad de unfluido newtoniano por medio de un viscosímetro de cono y plato.
El viscosímetro consta de un
plato plano que permanece
quieto y sobre el cual se pone elfluido, y de un cono invertido
que se introduce en la muestra
hasta que la punta toca el plato.
El cono se hace girar a unavelocidad angular (ω) constante
y la viscosidad se determina
midiendo el torque necesario
para hacer girar el cono.
ω
R
ϕ
1
0
r
Cono girando
Plato quieto
Fluido
0 ≈ ½°