11 .1 向量的定義

二維空間的向量1111.1 向量的定義

分兩類：總括來說，物理量可為

向量與純量

物理量向量例如：力、速度、　　　加速度、…

純量例如：質量、長度、　　　時間、溫度、…

向量是具有大小和方向的量。

純量是只有大小的量。

11 二維空間的向量

1 âaaa 也可寫單位，且為單位向量，則若　

11.1 向量的定義　相等向量

零向量與單位向量大小為零的向量稱為零向量，且可用 0 來表示。大小為 1 單位的向量稱為單位向量。

若兩個向量的大小與方向相同，則這兩個向量相等。


11.2 向量的運算向量的加法

三角形加法律


平行四邊形加法律

ACBCAB

11.6 圖


三角形加法律


OCOBOA

OACB

則

為平行四邊形，若

11.7 圖

11.6 圖


平行四邊形加法律

三角形加法律

ACBCAB


例 11.1

baba

baba表和　　試以

，的交角為和若兩個非零向量和已知

11.2 向量的運算

、


解： ba OBOA 及設

OC ba

OC

cos( )= –cos

OACACOAACOA )cos)((222

在 OAC 中應用餘弦公式。))cos()((222 baba

cos222 baba

11.9 圖

例 11.111.2 向量的運算

baba

baba表和　　試以

，的交角為和若兩個非零向量和已知

、

ba


負向量ABBAAB 的負向量

11.11 圖

A B

A B

u

–u

向量的差，可以改寫成兩個向量的差 ) ( baba

:並可圖解如下



11.12(a) 圖

負向量

11.11 圖

A B

A B

u

–u

向量的差:並可圖解如下


ABBAAB 的負向量

，可以改寫成兩個向量的差 ) ( baba


負向量

11.11 圖

A B

A B

u

–u

向量的差:並可圖解如下


ABBAAB 的負向量

，可以改寫成兩個向量的差 ) ( baba

11.12(a) 圖 11.12(b) 圖


11.11 圖

A B

A B

u

–u

向量的差，可以改寫成兩個向量的差 ) ( baba

:並可圖解如下


11.2(a) 圖

負向量ABBAAB 的負向量

11.2(b) 圖 11.2(c) 圖


向量運算法則為實數，則和為向量，且和　　設 21 kkcba

abba 1.

)()( 2. cbacba

)()()( 3. 122121 aaa kkkkkk

aaa 2121 )( 4. kkkk

baba 111 )( 5. kkk


、


例 11.3

0 ADCBACBDBABC

ABCD

222

為一平行四邊形，證明已知



證明：左方

ADCBACBDBABC 222

由於 ABCD 為一平行四邊形，因此，

11.17 圖

ADCBACBDBABC 2)(2

ADABBDBABC 22

)(2 ADABBDBABC

DBBDBABC 2

)()( DBBDBABCDB

BBBADC

0 BAABAA0

ABDC

例 11.311.2 向量的運算

0 ADCBACBDBABC

ABCD

222

為一平行四邊形，證明已知

右方


11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點笛卡兒坐標平面上的向量之表示法

先設 i 為正 x 軸的單位向量　及 j 為正 y 軸的單位向量。


ji yxOP

及注意， 22 yxOP

，xy

tan

且按逆時針方向量度軸的交角，與正為其中 xOP

11.31 圖

11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點笛卡兒坐標平面上的向量之表示法

先設 i 為正 x 軸的單位向量　及 j 為正 y 軸的單位向量。


笛卡兒坐標平面上的向量之表示法若 A 和 B 兩點的坐標分別是 (x1, y1) 及 (x2, y2)

11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點


)( )( 1212 ji yyxxAB

22 )()( 1212 yyxxAB

11.32 圖

可寫成：則向量 AB

笛卡兒坐標平面上的向量之表示法若 A 和 B 兩點的坐標分別是 (x1, y1) 及 (x2, y2)



例 11.5的大小與方向兩點，試求和已知 4) (3, 2) (1, ABBA

解：OAOBAB

)2()4(3 jiji

ji 22 22 22 AB

22



解：軸的交角為與正設 xAB

22tan

o45

45 o軸的交角是與正因此， xAB

o

oo

45

j2i2 225 45

1tan

位於第一象限

或

AB

例 11.511.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點

的大小與方向兩點，試求和已知 4) (3, 2) (1, ABBA

1


例 11.5

解：OAOBAB

)2()6(4 jiji

5

43 22

AB

AB

ABAB

單位向量

ji54

53

11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點方向的單位向量兩點，試求和已知點 6) (4, 2) (1, ABBA

ji 43


從向量定出分點11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點


nmOBmOAnOP

11.33 圖



若 M 為 AB 的中間點，則 m : n = 1 : 1 ，所以

2OBOAOM

11.35 圖

11.33 圖


nmOBmOAnOP


例 11.8

3:2: 1:2 : 2:3 : ，及　若

及為一平行四邊形，其中已知

FEDFEABEDBCD

OCOAOABC ca


、 (c) (b) (a)

OFOEOD

表下列向量和試以 ca


解： (c) (b) (a)

OFOEOD

表下列向量和試以 ca

11.36 圖


3:2: 1:2 : 2:3 : ，及　若


FEDFEABEDBCD

OCOAOABC ca、


CDOCOD (a)

CBOC53

ca53

OCD 考慮

aOACB

11.37 圖

解：11.36 圖


(c) (b) (a)

OFOEOD

表下列向量和試以 ca 3:2: 1:2 : 2:3 : ，及　若


FEDFEABEDBCD

OCOAOABC ca、


AEOAOE (b)

ABOA31

ca31

OAE 考慮

11.38 圖

解：


(c) (b) (a)

OFOEOD

表下列向量和試以 ca 3:2: 1:2 : 2:3 : ，及　若


FEDFEABEDBCD

OCOAOABC ca、


11.39 圖

3223 (c)

OEODOF

5312

533

caca

ca1511

2519

11.38 圖

解：


、

AEOAOE (b)

ABOA31

ca31

OAE 考慮

(c) (b) (a)

OFOEOD

表下列向量和試以 ca 3:2: 1:2 : 2:3 : ，及　若


FEDFEABEDBCD

OCOAOABC ca


例 11.10

1:2:

ba

OBOADCBDBC

DAB OAECOAB

及已知上的一點，使得

則為的中點，而和分別為和中，在

11.4 向量的應用 (I)


11.50 圖

(a) OD表和試以 ba (b) OE表和試以 ba

例 11.1011.4 向量的應用 (I)

(c) 試判斷 O、 D 和 E 三點是否共線，並加以解釋。

1:2:

ba

OBOADCBDBC

DAB OAECOAB




解：12

)2()(1 (a)

OCOBOD ba

31

31

2 (b) OBOAOE

11.51 圖ba

21

21

)(21 (c) baOE ODOD

23 )(3

21

例 11.1011.4 向量的應用 (I)

因此， OE//OD ，而且這兩條直線均以 O 為起點。所以， O 、 D 和 E 三點共線。

(a) OD表和試以 ba (b) OE表和試以 ba

(c) 試判斷 O、 D 和 E 三點是否共線，並加以解釋。

1:2:

ba

OBOADCBDBC

DAB OAECOAB




11.5 兩向量的純量積


，cosbaba

11.68 圖

，則其中，若 ab

2aaa

:進而有關係式

1 jjii

它們的純積量 ( 以 a b 表示 ) ，定義如下：11.5 兩向量的純量積


　垂直於當且僅當來說，和對非零向量 bababa 0

進而有0 ijji

們可推導出以下法則：根據純量積的定義，我

abba 1.

)()()( 2. bababa kkk

cabac)ba ( 3.


已知 a、 b 和 c 為向量，且 k 為實數。【交換性】【分配性】


，則及若 2211 jibjia yxyx

2121 1. yyxx ba

為非零向量和的交角，而和為其中

cos 2.2

22

22

12

1

2121

baba

yxyx

yyxx

11.77 圖



例 11.14

最接近的度的交角，答案須準確至和由此求的值試求及已知

(b) (a)

125 43

vuvu

jivjiu

解：

(4)(12)(3)(5)

(b) 的交角為和設 vu

vuvu

cos

)21)(54(3 (a) jijivu

u 和 v 為非零向量。

2222 1254363

)(14 o 準確至最接近的度

o14 的交角是和因此， vu


63


例 11.16

11.6 向量的應用 (II)

利用向量證明垂直性


o90

ADBDAOB

證明為圓周上的任意點，為直徑，且若

解：daa 及則OB

OAODAD

OBODBD

，及設 da ODOA

圓半徑相等11.86 圖

ad )()( adad BDAD

aadd 22 ad

o90 ADBBDAD 及因此，

例 11.16

11.6 向量的應用 (II)

利用向量證明垂直性

ad

0

11 .1 向量的定義

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