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平面向量的內積陳清海老師

ok333 平面向量的內積

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1

oookkk333333333 平平平面面面向向向量量量的的的內內內積積積

主題一、向量的內積

1. 向量的夾角﹕

對於兩個非零向量 a 和 b ﹐我們可以將它們平移﹐

使其始點重合﹐此時它們的夾角（ 0 180 ）﹐

稱為向量 a 與 b 的夾角﹒

例如﹕在正三角形 ABC 中﹐

(1) AB 與 AC 的夾角為 60﹒

(2) AB 與 BC 的夾角為120﹒

(3) BC 與 AC 的夾角為 60﹒

特別地﹐當向量 a 與 b 方向相同時﹐夾角 0 ﹔

當向量 a 與 b 方向相反時﹐夾角 180 ﹒

2. 內積的定義﹕

當兩個非零向量 a ﹐ b 的夾角為時﹐

兩非零向量 a 與 b 的內積 a b 定義為

cosa b a b ﹒


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2

另外﹐我們規定對任意向量 a 與 0 的內積為 0﹐

即 0 0 0a a ﹒

3. 內積的坐標表示﹕

若 1 1,a x y ﹐ 2 2,b x y 是坐標平面上任意兩個向量﹐

則 a 與 b 的內積為 1 2 1 2a b x x y y ﹒


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3

【例題 1】

已知△ ABC 是邊長為 4 的正三角形﹐求

(1) AB AC 的值﹒

(2) AB BC 的值﹒

Ans：(1) 8，(2) 8

【詳解】

(1) 因為 AB 與 AC 的夾角為 60﹐所以

cos60AB AC AB AC 1

4 4 82

﹒

(2) 因為 AB 與 BC 的夾角為 120﹐所以

cos120AB BC AB BC 1

4 4 82

﹒

【類題 1】

已知向量 a 與 b 的夾角為150﹐且 4a ﹐ 5b ﹐

求 a b 的值﹒

Ans： 10 3

【詳解】

3cos150 4 5 10 3

2a b a b

﹒

【例題 2】

在△ ABC 中﹐ 6AB ﹐ 7BC ﹐ 5AC ﹐求

(1) AB AC 的值﹒

(2) AB BC 的值﹒


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4

Ans：(1) 6，(2) 30

【詳解】

(1) cosAB AC AB AC A

2 2 26 5 76 5 6

2 6 5

﹒

(2) 因為 AB 與 BC 的夾角為 180 B ﹐所以

cos 180AB BC AB BC B

6 7 cosB

2 2 26 7 542 30

2 6 7

﹒

【類題 2】

在△ ABC 中﹐ 2AB ﹐ 3BC ﹐ 4AC ﹐求

(1) CA CB 的值﹒

(2) CA AB 的值﹒

Ans：(1) 21

2，(2)

11

2

【詳解】

(1) cosCA CB CA CB C 2 2 23 4 2 21

3 42 3 4 2

﹒

(2) 因為 CA與 AB 的夾角為 180 A ﹐所以

cos 180CA AB CA AB A

4 2 cos A

2 2 22 4 3 118

2 2 4 2

﹒


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5

【例題 3】

已知 1,3a ﹐ 2,1b ﹐求

(1) a b ﹒ (2) a 與 b 的夾角﹒

Ans：(1) 5，(2) 45

【詳解】

(1) 1 2 3 1 5a b ﹒

(2) 設 a 與 b 的夾角為﹒因為

5 1cos

10 5 2

a b

a b

﹐

所以＝45﹒

【類題 3】

在△ ABC 中﹐已知三頂點坐標為

4, 1A ﹐ 0, 3B ﹐ 7, 2C ﹐求

(1) AB AC ﹒ (2) BAC ﹒

Ans：(1) 10，(2) 135

【詳解】

(1) 因為 4, 2AB ﹐ 3, 1AC ﹐所以

4 3 2 1 10AB AC ﹒

(2) 因為10 1

cos20 10 2

AB ACBAC

AB AC

﹐

所以 135BAC ﹒


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6

【例題 4】

設向量 ,a x y 與 1, 3b 的夾角為150﹐

且 6a ﹐求 a ﹒

Ans： 3 3, 3a 或 0, 6

【詳解】

因為 a 與 b 的夾角為 150﹐所以

3cos150 3 6 3

6 2

a b x yx y

a b

﹒

又因為 6a ﹐所以2 2 36x y ﹒ ……

將代入﹐得 2

23 6 3 36y y ﹐

整理得 2 9 18 0y y ﹒

解得 y＝3 或6﹒代入﹐得 3 3x 或 0﹒

故 3 3, 3a 或 0, 6 ﹒

【另解】

B(1， 3 )＝[2，120]，故

A(6，30)

a ＝(6･cos(30)，6･sin(30)＝(3 3 ，3)或

A(6，270) a ＝(0，6)。


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7

6

4

2

-2

-4

-6

-5 5150

A1

A2

B

【類題 4】

設向量 , 8a k 與 3,1b 的夾角為120﹐求實數 k 的值﹒

Ans：0

【詳解】

因為 cos120a b

a b

﹐

所以2

1 3 8

2 64 2

k

k

﹒

兩邊平方﹐得

2

2

1 3 16 3 64

4 4 64

k k

k

2 8 3 0k k ﹒

解得 k＝0 或 8 3 ﹒

因為 3 8 0k ﹐所以 0k ﹒

lt99ok333.gsp


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8

主題二、向量的內積的性質

1. 內積的性質﹕

設 r 為實數﹐ a ﹐ b 與 c 為任意向量﹒

(1)

2

a a a ﹒

(2) a b b a ﹒

(3) r a b r a b

﹒

(4) a b c a b a c

﹒

(5) ︱ a ＋ b ︱2＝︱ a ︱2＋2 a ･ b ＋︱ b ︱2。

2. 兩向量垂直的判定﹕

(1) 設 a 與 b 為任意兩個向量﹒若 a b ﹐

則 0a b ﹔反之亦成立﹒

(2) 設 1 1,a x y ﹐ 2 2,b x y 為任意兩個向量﹒

若 a b ﹐則 1 2 1 2 0x x y y ﹔反之亦成立﹒

問﹕三向量 1,2a ﹐ 3, 2b ﹐ 8, 4c 中﹐

哪兩個向量互相垂直﹖

Ans： a c

【詳解】


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9

因為 1 0a b ﹐ 32 0b c ﹐ 0c a ﹐所以 a c ﹒


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10

【例題 5】

已知 3a ﹐ 4b ﹐且 a 和 b 的夾角為120﹐

求下列各值﹕

(1) a b a b

﹒ (2) 2a b ﹒

Ans：(1) 7，(2) 7

【詳解】

(1) 由內積的性質﹐得

a b a b a a a b b a b b

2 2

a b 2 23 4 ＝7﹒

(2) 由內積的性質﹐得

2

2 2 2a b a b a b

2 2 4a a a b b a b b

2 2

4 4a a b b

2 23 4 3 4 cos120 4 4

＝49﹐

即 2 7a b ﹒

【類題 5】

已知 2a ﹐ 3b ﹐且 a 和 b 的夾角為 60﹐

求 3 2a b 的值﹒

Ans：6

【詳解】

由內積的性質﹐得


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11

2 2 2

3 2 9 12 4a b a a b b

2 29 2 12 2 3 cos60 4 3 ＝36﹐

即 3 2 6a b ﹒

【例題 6】

設 u ﹐ v 為兩非零向量﹒若 2 2 3u v u v ﹐

且表 u 與 v 的夾角﹐求 cos 的值﹒ 【95 指甲】

Ans：7

8

【詳解】

令 2 2 3 2u v u v k ﹐其中 k＞0﹒

因為

2 2 2

2 3 4 12 9u v u u v v ﹐

所以 2 2 22 4 2 12 9k k u v k ﹐

解得27

4u v k ﹒故

2774cos

2 8

ku v

k ku v

﹒

【類題 6】

在四邊形 ABCD 中﹐ 120A ﹐ 1AB ﹐ 2AD ﹐且

3 2AC AB AD ﹐求 AC 的長度﹒

Ans： 13

【詳解】

因為 3 2AC AB AD ﹐所以


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12

2 2

3 2AC AB AD

2 2

9 12 4AB AB AD AD

2 29 1 12 1 2 cos120 4 2 13

故 13AC AC ﹒

【另解】

設 A(0，0)，則 B(1，0)，D(1， 3 )，

3 2AC AB AD

＝3(1，0)＋2(1， 3 )＝(1，2 3 )，

︱ AC ︱＝ 2 21 (2 3) 1 12 13 。

【例題 7】

已知 0a b c ﹐且 3a ﹐ 5b ﹐ 7c ﹐

求下列各式的值﹕

(1) a b ﹒ (2) 3 2a b c ﹒

Ans：(1) 15

2，(2) 91

【詳解】

(1) 因為 0a b c ﹐所以

2 2

a b c a b c a b c ﹒

展開得

2 2 2

2a a b b c ﹐

即 2 2 23 2 5 7a b ﹐解得15

2a b ﹒


4

2

C

D

A B


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13

3 2 3 2 2a b c a b a b a b

又因為

2 2 2

2 4 4a b a a b b

2 215

4 3 4 5 912

所以 3 2 2 91a b c a b ﹒

【類題 7】

已知 0a b c ﹐且 2a ﹐ 3b ﹐ 5c ﹐


(1) b c ﹒ (2) 2 3a b c ﹒

Ans：(1) 15，(2) 7

【詳解】


2 2

b c a b c a b c a ﹒

展開得

2 2 2

2b b c c a ﹐

即 2 2 23 2 5 2b c ﹐解得 15b c ﹒


2 3 2 3 2a b c b c b c b c

又因為

2 2 2

2 4 4b c b b c c

2 23 4 15 4 5 49


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14

所以 2 3 2 7a b c b c ﹒

【備註】 a 與 b 的夾角 0， a 與 c 的夾角 180。

【例題 8】

「平行四邊形定理」已知 ABCD為平行四邊形﹐試證﹕

2 2 2 2

2AC BD AB AD ﹒

【證明】

令 AB a ﹐ AD b ﹐得

2 22 2

AC BD AC BD

2 2

a b b a

2 2 2 2

2 2a a b b b b a a

2 2

2 a b

2 2

2 AB AD ﹒

【類題 8】

在△ ABC 中﹐已知 4AB ﹐ 5AC ﹐ 6BC ﹐

D為 BC 的中點﹐求中線 AD的長﹒

Ans：46

2

【詳解】

延長 AD 至 E﹐使得 AD DE ﹐得 ABEC 為平行四邊形﹒

利用平行四邊形定理﹐得

2

2 2 26 2 2 4 5AD ﹐


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15

即2

4 46AD ﹒解得46

2AD ﹒

【例題 9】

設向量 1, 2a ﹐ 1,1b ﹐ 4,c s ﹒

(1) 已知 a c ﹐求實數 s 的值﹒

(2) 已知 a t b b

﹐求實數 t 的值﹒

Ans：(1) 2，(2) 3

2

【詳解】

(1) 因為 a c ﹐所以 1, 2 4, 0s ﹐

即 1 4 2 0s ﹒解得 s＝2﹒

(2) 因為 a t b b

﹐且

1, 2 1,1 1 , 2a t b t t t ﹐

所以 1 , 2 1,1 0t t ﹐

即 1 1 2 1 0t t ﹒

整理得 2 3 0t ﹐解得3

2t ﹒

【類題 9】

已知 2,a k 與 3 2,4b k 垂直﹐求實數 k 的值﹒

Ans：2

2

-2

5

t = 1.5

B

A

C

T


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16

【詳解】

因為 a 與 b 垂直﹐所以

2, 3 2,4 0 2 3 2 4 0k k k k ﹒

整理 2 4 0k ﹐解得 2k ﹒

【例題 10】

設向量 a 與 b 垂直﹐且 1a ﹐ 2b ﹒

若向量 r a b 與 2 a b 亦垂直﹐則實數 r 的值為何﹖

Ans：2

【詳解】

因為向量 r a b 與 2 a b 垂直﹐所以

2 0r a b a b

﹐

即

2 2

2 2 0r a r a b b a b ﹒

又因為 a b ﹐所以 0a b b a ﹐

代入上式﹐得

2 2

2 0r a b ﹐

即 2 4 0r ﹐解得 2r ﹒

【類題 10】

設向量 a 與 b 的夾角為 60﹐且 2a ﹐ 1b ﹒

若向量 a 與 a r b 垂直﹐則實數 r 的值為何﹖

Ans：4

【詳解】

因為向量 a 與 a r b 垂直﹐所以

4

2

-2

-5

ra - b

r = 2.02a+b

AB

R


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17

0a a r b

﹐即

2

0a r a b ﹒

因此 22 2 1 cos60 0 4 0r r ﹒

解得 4r ﹒


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18

主題三、兩直線的交角

1. 當非零向量 n 與直線 L的一個方向向量垂直時﹐

稱向量 n 與直線 L垂直﹐並稱其為直線 L的一個法向量﹒

2. 若直線 L的方程式為 0ax by c ﹐則

(1) 向量 ,v b a 為直線 L的一個方向向量﹒

(2) 向量 ,n a b 為直線 L的一個法向量﹒

3. 設 1n 與 2n 分別為 1L 與 2L 的一個法向量﹐則

1n 與 2n 的夾角為直線 1L 與 2L 的一個交角﹒

求通過點1

,02

A

﹐且法向量為 3, 4n 的直線 L之方程式﹒

Ans： : 6 8 3L x y

【詳解】

設 :3 4L x y k ﹒將 A代入 L﹐得3

2k ﹒

故3

:3 42

L x y ﹐即 : 6 8 3L x y ﹒

若法向量 1n 與 2n 的夾角為120﹐

則兩直線的夾角為120或 60﹒


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【例題 11】

求兩直線 1 :3 3 0L x y 與 2 : 2 1 0L x y 的交角﹒

Ans：45，135

【詳解】

因為 1L 與 2L 的法向量分別為

1 3,1n 與 2 1,2n ﹐

所以向量 1n 與 2n 的夾角為滿足

1 2

1 2

3 2 5 1cos

10 5 5 2 2

n n

n n

﹐

即 45 ﹒

故 1L 與 2L 有一交角為 45﹐

而另一交角為 180－45＝135﹒

【另解】

L1 的方向向量1u ＝(1，3)，

L2 的方向向量2u ＝(2，1)，

cosθ＝ 1 2

1 2

2 3 1

10 5 2

u u

u u

，

故θ＝45。

【類題 11】

設兩直線 1 :3 4 5 0L x y 與 2 : 2 4 0L x y 的交角為 ﹐

求 cos及 sin 的值﹒

Ans：5

cos5

﹐2 5

sin5

【詳解】

因為 1L 與 2L 的法向量分別為 1 3,4n 與 2 1, 2n ﹐

所以向量 1n 與 2n 的夾角為滿足

2

-2

-4

5

L2:x+2y+1=0

L1:3x+y-3=0

2

-2

5

L2:x+2y+1=0

L1:3x+y-3=0


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20

1 2

1 2

3 8 5 1cos

5 5 5 5 5

n n

n n

5

5

﹒

因為或 180 ﹐所以

5cos cos

5 ﹐

2 5sin sin

5 ﹒

【例題 12】

設直線 L通過點 1,2A 且與直線 1 : 2 1 0L x y 所夾

銳交角為 45﹐求 L的方程式﹒

Ans： 3 5 0x y 或 3 5 0x y

【詳解】

設直線 L 的斜率為 m﹐則

: 2 1L y m x ﹐即 : 2 0L mx y m ﹒

因為直線 L 與 L1 所夾銳交角為 45﹐

且兩法向量分別為 , 1n m 與 1 2, 1n ﹐所以

1

2

1

1 2 1cos45

2 1 5

n n m

mn n

﹐

兩邊平方後﹐整理得

23 8 3 0 3 1 3 0m m m m ﹐

解得1

3m 或 3m ﹐

故直線 L 為 3 5 0x y 或 3 5 0x y ﹒

【類題 12】

設直線 L通過點 2, 1A 且與直線 1 :3 4 5 0L x y 所夾

銳交角為 45﹐求 L的方程式﹒

Ans： 7 5 0x y 或 7 15 0x y

【詳解】

設直線 L 的斜率為 m﹐則

: 1 2L y m x ﹐即 : 2 1 0L mx y m ﹒


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21

因為直線 L 與1L 所夾銳交角為 45﹐

且兩法向量分別為 , 1n m 與 1 3, 4n ﹐所以

1

2

1

1 3 4cos45

2 1 5

n n m

mn n

﹐

兩邊平方後﹐整理得

27 48 7 0 7 1 7 0m m m m ﹐

解得1

7m 或 7m ﹐

故直線 L 為 7 5 0x y 或 7 15 0x y ﹒


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22

主題四、點到直線的距離

1. 點到直線的距離公式﹕

點 0 0,P x y 到直線 : 0L ax by c 的距離

0 0

2 2

ax by cd

a b

﹒

2. 兩平行直線的距離公式﹕

兩平行直線 1 1: 0L ax by c 與 2 2: 0L ax by c 的距離

1 2

2 2

c cd

a b

﹒


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23

【例題 13】

求點 3,1P 到直線 : 4 3 5 0L x y 的距離﹒

Ans：2

【詳解】

利用點到直線的距離公式﹐得 P 點到直線 L 的距離為

22

4 3 3 1 5 102

54 3

d

﹒

【另解】

如右圖，法向量 n ＝(4，3)∥ PQ，

取 A(1，3) L，則 PA＝(4，2)，

cosθ＝PA n

PA n

2 2 2 2

4 4 ( 3) 2 10 2

5 20 204 2 4 ( 3)

，

P 到 L 的距離為

PQ ＝ PA ･cosθ＝2

2020

＝2.

【類題 13】

求點 1,2P 到直線 :5 12 3 0L x y 的距離﹒

Ans：2

【詳解】

22

5 1 12 2 3 262

135 12

d

﹒

【例題 14】

求兩平行直線 1 :3 4 3 0L x y 與 2 : 6 8 7 0L x y 的距離﹒

Ans：13

10

4

2

-2

Q

B

A

P


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24

【詳解】

將1L 的方程式改寫為 6 8 6 0x y ﹒

利用兩平行直線的距離公式﹐

得1L 與

2L 的距離為

22

6 7 13

106 8

d

﹒

【另解】

取 L1 上點 A(1，0)，

d(L1，L2)＝d(A，L2)＝2 2

6 1 8 0 7 13

106 ( 8)

。

【類題 14】

求兩平行直線 1 : 3L x y 與 2 :3 3 2 0L x y 的距離﹒

Ans：7 2

6

【詳解】

將 1L 的方程式改寫為 3 3 9 0x y ﹒

利用兩平行直線的距離公式﹐

得 1L 與 2L 的距離為

22

9 2 7 7 2

63 23 3

d

﹒

【例題 15】

求與直線 :3 4 1 0L x y 平行且距離為 2 的直線方程式﹒

Ans： 3 4 11 0x y 或 3 4 9 0x y

【詳解】

設與直線 L 平行的直線為 3 4 0x y k ﹒

因為所求直線與直線 L 的距離為 2﹐所以

22

12 1 10

3 4

kk

﹐

解得 11k 或9﹒


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25

故直線方程式為 3 4 11 0x y 或 3 4 9 0x y ﹒

【類題 15】

求與直線 : 2 3 0L x y 平行且距離為 5 的直線方程式﹒

Ans： 2 2 0x y 或 2 8 0x y

【詳解】

設與直線 L 平行的直線為 2 0x y k ﹒

因為所求直線與直線 L 的距離為 5 ﹐所以

2 2

35 3 5

1 2

kk

﹐

解得 2k 或8﹒

故直線方程式為 2 2 0x y 或 2 8 0x y ﹒

【例題 16】

已知圓 22: 3 5C x y ﹐求通過圓外一點 1,6P 且與

圓 C 相切的直線方程式﹒

Ans： 2 11 0x y 和 2 8 0x y

【詳解】

設 m 為過 P 的切線 L 的斜率﹐

利用點斜式將 L 表為 6 1y m x ﹐

整理得 6 0mx y m ﹒

因為 L 是切線﹐

所以圓心 0,3 到直線 L 的距離等於半徑 5 ﹐即

22

0 3 65

1

m

m

﹐

將等號兩邊平方﹐得

2

2

6 95

1

m m

m

﹐

整理得 22 3 2 0m m ﹐

即 2 1 2 0m m ﹐解得1

2m 或2﹒

故所求切線方程式為 2 11 0x y 和 2 8 0x y ﹒


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26

【類題 16】

已知圓 C 2 2

: 2 1 25x y ﹐求通過圓外一點 5,0P 且與

圓 C 相切的直線方程式﹒

Ans： 3 4 15 0x y 和 4 3 20 0x y

【詳解】

設 m 為過 P 的切線 L 的斜率﹐

利用點斜式將 L 表為 0 5y m x ﹐

整理得 5 0mx y m ﹒

因為 L 是切線﹐

所以圓心 2,1 到直線 L 的距離等於半徑 5﹐即

22

2 1 55

1

m m

m

﹐

將等號兩邊平方﹐得2

2

49 14 125

1

m m

m

﹐

整理得 212 7 12 0m m ﹐

即 4 3 3 4 0m m ﹐解得3

4m 或

4

3 ﹒

故所求切線方程式為 3 4 15 0x y 和 4 3 20 0x y ﹒

【例題 17】

已知兩直線 1 : 2 4 0L x y 與 2 : 2 4 0L x y ﹐

求兩直線的交角平分線方程式﹐

並指出哪一條是所夾鈍角的平分線方程式﹒

若要分出鈍角與銳角平分線﹐則須畫出較正確的圖形﹐

再利用斜率判定﹒

Ans： 0x y (鈍角)或 3 3 8 0x y

【詳解】

設點 ,P x y 為角平分線上任一點﹒

因為角平分線上任一點到這個角的兩邊等距離﹐所以


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27

2 2 2 2

2 4 2 4

1 2 2 1

x y x y

﹐

即 2 4 2 4x y x y ﹐

去絕對值﹐得

2 4 2 4x y x y 或 2 4 2 4x y x y ﹒

故兩直線的交角平分線方程式為

0x y 或 3 3 8 0x y ﹒

又由圖知所夾鈍角的平分線之斜率為正﹐

所以所夾鈍角的平分線方程式為 0x y ﹒

【類題 17】

已知兩直線 1 : 7 0L x y 與 2 : 7 1 0L x y ﹐

求兩直線的交角平分線方程式﹐

並指出哪一條是所夾銳角的平分線方程式﹒

Ans： 3 17 0x y 與 3 9 0x y (鈍角)

【詳解】

設點 ,P x y 為兩直線的角平分線上的點﹒

因為點 P 在角平分線上﹐

所以點 P 到兩直線的距離相等﹐即

2 2 22

7 7 1

7 11 1

x y x y

﹒

推得

5 7 7 1 5 7 7 1x y x y x y x y ﹐

故兩直線交角的平分線為

3 17 0x y 與 3 9 0x y ﹒

又由圖可知﹐銳角平分線的斜率為正﹐

所以銳角平分線的方程式為 3 9 0x y ﹒


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28

主題五、柯西不等式

1. 對於任意兩向量 a ﹐ b ﹐不等式

a b a b

恆成立﹐且等號成立於 //a b 或 a ﹐ b 有一為 0 時﹒

2. 對於任意實數 1x ﹐ 2x ﹐ 1y ﹐ 2y ﹐不等式

22 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2x y x y x x y y

恆成立﹐且等號成立於 1 2 2 1x y x y 時﹒

【當 2 2 0x y 時﹐常將 1 2 2 1x y x y 改寫為比例式 1 1

2 2

x y

x y ﹒】


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29

【例題 18】

設實數 x ﹐ y 滿足 2 3 4x y ﹐求 2 24 3x y 的最小值﹐

並求當 2 24 3x y 有最小值時﹐ x 與 y 的值﹒

Ans：當1

2x ﹐ 1y 時﹐

2 24 3x y 有最小值 4

【詳解】

利用柯西不等式﹐得

2 22 222 3 1 3 2 3x y x y ﹒

將 2 3 4x y 代入﹐得

2 2 2 2 24 3 4 4 4 3 4x y x y ﹒

而且當2 3

1 3

x y

﹐即 2x y 時等號成立﹒

解聯立方程式

2 3 4

2

x y

x y

，

解得1

2x ﹐ 1y ﹒

故當1

2x ﹐ 1y 時﹐

2 24 3x y 有最小值 4﹒

【類題 18】

設實數 x ﹐ y 滿足 3 2 12x y ﹐求 2 29 4x y 的最小值﹐

並求當 2 29 4x y 有最小值時﹐ x 與 y 的值﹒

Ans：當 2x ﹐ 3y 時﹐2 29 4x y 有最小值 72

【詳解】


2 2 22 23 2 1 1 3 2x y x y ﹒

將 3 2 12x y 代入﹐得

2 2 2 29 4 2 144 9 4 72x y x y ﹒


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30

而且當3 2

1 1

x y ﹐即 3 2x y 時等號成立﹒

解聯立方程式

3 2 12

3 2

x y

x y

，解得 2x ﹐ 3y ﹒

故當 2x ﹐ 3y 時﹐2 29 4x y 有最小值 72﹒

【例題 19】

設實數 x ﹐ y 滿足 2 2 10x y ﹐求 3x y 的最大值與最小值﹐

並分別求當 3x y 有最大值與最小值時﹐ x 與 y 的值﹒

Ans：當 1x ﹐ 3y 時﹐ 3x y 有最大值 10﹔

當 1x ﹐ 3y 時﹐ 3x y 有最小值10

【詳解】


22 2 2 21 3 3x y x y ﹒

將2 2 10x y 代入﹐得

2

10 10 3 10 3 10x y x y ﹒

而且當1 3

x y 時等號成立﹒

解聯立方程式

2 2 10

3

x y

x y

，

解得 1x ﹐ 3y 或 1x ﹐ 3y ﹒

故當 1x ﹐ 3y 時﹐ 3x y 有最大值 10﹔

當 1x ﹐ 3y 時﹐ 3x y 有最小值10﹒

【類題 19】

設實數 x ﹐ y 滿足 2 2 13x y ﹐求 2 3x y 的最大值與最小值﹐

並分別求 2 3x y 有最大值與最小值時﹐ x 與 y 的值﹒

Ans：當 2x ﹐ 3y 時﹐ 2 3x y 有最大值 13﹔

當 2x ﹐ 3y 時﹐ 2 3x y 有最小值13﹒

【詳解】


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31


22 2 2 22 3 2 3x y x y ﹒

將 2 2 13x y 代入﹐得

2

13 13 2 3 13 2 3 13x y x y ﹒

而且當2 3

x y ﹐即 3 2x y 時等號成立﹒

解聯立方程式

2 2 13

3 2

x y

x y

得 2x ﹐ 3y 或 2x ﹐ 3y ﹒

故當 2x ﹐ 3y 時﹐ 2 3x y 有最大值 13﹔

當 2x ﹐ 3y 時﹐ 2 3x y 有最小值13﹒

【例題 20】

設正數 x ﹐ y 滿足 2 3 14x y ﹐求8 3

x y 的最小值﹐

並求發生最小值時﹐ x ﹐ y 的值﹒

Ans： 4x ﹐ 2y ﹒故當 4x ﹐ 2y 時﹐8 3

x y 有最小值

7

2

【詳解】


2 2 2

2 2 8 3 8 32 3 2 3x y x y

x y x y

﹐

即 28 3 8 3 8 3 7

2 3 4 3 14 492

x yx y x y x y

﹒

當32

2 18 3

yx x y

x y

時等號成立﹒解聯立方程式

2 3 14

2

x y

x y

，得 4x ﹐ 2y ﹒

故當 4x ﹐ 2y 時﹐8 3

x y 有最小值

7

2﹒


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32

【類題 20】

設正數 x ﹐ y 滿足 5x y ﹐求4 9

x y 的最小值﹐

並求發生最小值時 x ﹐ y 的值﹒

Ans：當 2x ﹐ 3y 時﹐4 9

x y 有最小值 5

【詳解】


2 2 2

2 2 4 9 4 9x y x y

x y x y

﹐

即 24 9 4 9 4 9

2 3 5 25 5x yx y x y x y

﹒

當 4 9

yx

x y

2 3

x y 時等號成立﹒

解聯立方程式5

3 2

x y

x y

，得 x＝2﹐y＝3﹒

故當 x＝2﹐y＝3 時﹐4 9

x y 有最小值 5﹒


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33

主題六、正射影

1. 設平面上兩個非零向量 a OA ﹐ b OB ﹐

自 A點向直線 OB 作垂線交於 C 點﹐此時向量

OC 稱為向量 a 在 b 上的正射影﹒

夾角為銳角夾角為直角夾角為鈍角

2. 一個向量在另一個向量的正射影仍是向量﹒

3. 向量 a 在非零向量 b 上的正射影 c 為2

a bb

b

﹒


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34

【例題 21】

已知 10,5a ﹐ 3,4b ﹐

求 a 在 b 上的正射影及正射影的長﹒

Ans：正射影為(6，8)，正射影的長 10

【詳解】

設 a 在 b 上的正射影為 c ﹒

(1) 利用正射影公式﹐得

2

30 202 2 3,4 6,8

25

a bc b b b

b

﹒

(2) 正射影的長為2 26 8 10c ﹒

【類題 21】

已知 1,2a ﹐ 4, 3b ﹐

求 b 在 a 上的正射影及正射影的長﹒

Ans：正射影(2，4)，正射影的長 2 5

【詳解】

設 b 在 a 上的正射影為 c ﹒

(1) 利用正射影公式﹐得

2

4 62 2 1,2 2, 4

5

b ac a a a

a

﹒

(2) 正射影的長為 222 4 2 5c ﹒


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35

【例題 22】

設 2,3a ﹐ 4,5b ﹐ 6,c k ﹐且 a 在 c 上的正射影

與 b 在 c 上的正射影相同﹐求實數 k 的值﹒

Ans：6

【詳解】

因為正射影相同﹐所以 a b c

﹐

即 0a b c

﹒

因此﹐ 2, 2 6, 0 12 2 0k k ﹒

解得 6k ﹒

【類題 22】

已知直線 L的方向向量 4, 3v ﹐點 0,0O 與點 1, 2A

在直線 L的投影點為 O與 A﹒設 O A t v ﹐求實數 t 的值﹒

Ans：2

5

【詳解】

向量 O A 為向量 OA 在直線 L 上的正射影﹐

即在 v 上的正射影﹒因此﹐

2 2

22

4, 3 1, 2 2

54 3

v OAO A v v v

v

﹐

故2

5t ﹒


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36

【例題 23】

將向量 7,4a 分解為與向量 1,2b 平行與垂直的兩個分量﹒

Ans：(3，6)，(4，2)

【詳解】

設與 b 平行與垂直的兩個分量分別為 c 與 d ﹒

如右圖﹐

因為 OCDB 為平行四邊形﹐且 OC OD ﹐

所以 OCAD 為矩形﹐

即 c 是 a 在 b 上的正射影﹒

利用正射影公式﹐得

2

7 83 3,6

5

a bc b b b

b

﹒

又因為 c d a ﹐所以

7,4 3,6 4, 2d a c ﹒

【類題 23】

將向量 4, 3a 分解為與向量 1,2b 平行與垂直的兩個分量﹒

Ans：(2，4)，(2，1)

【詳解】

設與 b 平行與垂直的兩個分量分別為 c 與 d ﹒

因為 c 是 a 在 b 上的正射影﹐

所以利用正射影公式﹐得


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37

2

4 62 2, 4

5

a bc b b b

b

﹒

又因為 c d a ﹐所以

4, 3 2, 4 2,1d a c ﹒


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38

oookkk333333333eeexxx

1. 如右圖﹐在菱形 ABCD中﹐ 60BAD ﹐

試問下列向量內積中何者的值最小﹖

(1) AB AB ﹒ (2) AB AD ﹒ (3) AB BD ﹒

(4) AC BD ﹒(5) AC CD ﹒

Ans：(5)

【詳解】

座標化，

A(0， 3 )，B(1，0)，C(0， 3 )，D(1，0)。

(1) AB AB ＝(1， 3 )･(1， 3 )

＝1＋3＝4﹒

(2) AB AD ＝(1， 3 )･(1， 3 )

＝ 3 －1﹒

(3) AB BD ＝(1， 3 )･(2，0)＝2﹒

(4) AC BD ＝(0，2 3 )･(2，0)＝0﹒

(5) AC CD ＝(0，2 3 )･(1， 3 )＝6。

故選(5).

2. 在△ ABC 中﹐ 5AB ﹐ 6BC ﹐ 7CA ﹐求下列各式的值﹕

(1) AB AC ﹒ (2) AB BC ﹒

Ans：(1) 19，(2) 6

【詳解】

2

1

-1

-2

60

C

B

A

D


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39

(1) cosA＝25 49 36 19

2 5 7 35

AB AC ＝︱ AB ︱ AC ︱cosA

＝5･7･19

35＝19

(2) AB BC ＝︱ AB ︱︱ BC ︱cos(180－B)

＝︱ AB ︱︱ BC ︱(cosB)

＝5×6×25 36 49

2 5 6

＝6.

3. 已知 1, 1A ﹐ 3, 3B ﹐ 4, 2C 為坐標平面上三點﹐求

(1) AB AC 的值﹒ (2) BAC 的度數﹒ (3) △ ABC 的面積﹒

Ans：(1) 10 ，(2) 135，(3) 5

【詳解】

AB ＝(4，2)， AC ＝(3，1)，

(1) AB ･ AC ＝43＋(1)(2)＝10。

(2) AB ･ AC ＝︱ AB ︱ AC ︱cos∠BAC

10＝2 5 ･ 10 cos∠BAC

cos∠BAC＝1

2

∠BAC＝135。

(3) △ ABC 的面積＝1

2︱

4 2

3 1

︱＝5。

【另解】

△ ABC 的面積

＝1

2︱ AB ︱︱ AC ︱sin135

76

5

Show Axes

Show Objects

C

AB

-2

-4

5

C

B

A


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40

＝1

22 5 10

2

2

＝5。

4. 已知 a 與 b 的夾角為 60﹐且 2a ﹐ 3b ﹐


(1) 2 3a b a b

﹒ (2) 2a b ﹒

Ans：(1) 34 ，(2) 2 13

【詳解】

(1) 2 3a b a b

＝2︱ a ︱2－3︱ b ︱2－5 a ･ b

＝24－39－523cos60

＝8－27－15

＝34。

(2) 2a b 2

＝︱ a ︱2＋4︱ b ︱2＋4 a ･ b

＝4＋49＋423cos60

＝4＋36＋12

＝52，

2a b ＝ 2 13。

5. 已知 3,2a ﹐ 1,0b ﹐且 t a b 與 2a b 垂直﹐

求實數 t 的值﹒

Ans：1

7

【詳解】


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41

a ･ b ＝3＋0＝3。

t a b 與 2a b 垂直

( t a b )･( 2a b )＝0

t･︱ a ︱2－2︱ b ︱2＋(1－2t) a ･ b ＝0

t13－21＋(1－2t)3＝0

7t＝1

t＝1

7 。

6. 已知向量 a 與 b 的夾角為 60﹐且 3a ﹐ 2b ﹒

若 a t b 與 2a b 互相垂直﹐求實數 t 的值﹒

Ans：3

5

【詳解】

a t b 與 2a b 互相垂直﹐

( a t b )･( 2a b )＝0﹐

︱ a ︱2－2t︱ b ︱2＋(t－2) a ･ b ＝0

32－2t×22＋(t－2)32cos60＝0

9－8t＋3(t－2)＝0

t＝3

5。


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42

7. 已知直線1 3 ,

:2 4 .

x tL

y t

（ t 為實數）﹒

(1) 求點 1,2P 到直線 L的距離﹒

(2) 設為 L與 y 軸的銳交角﹐求 cos 的值﹒

Ans：(1) 12

5，(2)

4

5

【詳解】

L：4x＋3y＋2＝0，方向向量 u (3，4)或(3，4)，

(1) d(P，L)＝2 2

4 1 3 2 2 12

54 3

。

(2) w ＝(0，1)為 y 軸的方向向量，

設 L 與 y 軸的夾角為θ，則

u ･ w ＝︱ u ︱︱ w ︱cosθ

0＋4＝51cosθ

cosθ＝4

5

8. 求與直線 :3 4 1 0L x y 平行且距離為 2 的直線方程式﹒

Ans： 3 4 11 0x y 或 3 4 9 0x y

【詳解】

設 L：3x－4y＋k＝0，

d(L，L)＝2 2

1

3 ( 4)

k

＝2

︱k－1︱＝10

k＝11 或9，

L：3x－4y＋11＝0 或 3x－4y－9＝0。

9. 設實數 x ﹐ y 滿足 2 3 13x y ﹐求 2 2x y 的最小值﹐

並求發生最小值時 x ﹐ y 的值﹒

Ans： 2x ﹐ 3y 時﹐有最小值 13

【詳解】


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43

利用柯西不等式：

(x2＋y2)(22＋(3)2)≧(2x－3y)2

(x2＋y2)13≧132

x2＋y2≧13。

2 3

x y

，即 2y＝3x 代入 2x－3y＝13

2x－3･(3

2

x )＝13

4x＋9x＝26

x＝2，y＝3，

即當 x＝2，y＝3 時，x2＋y2 得最小值為 13。

10. 已知 3,1OA ﹐ 1,2OB ﹐ OC OB ﹐

//BC OA﹐求 OC ﹒

Ans： 14,7

【詳解】

設 OC ＝(x，y)，

OC OB (x，y)⊥(1，2) x＋2y＝0﹐

//BC OA (x＋1，y－2)∥(3，1)

1 2

3 1

x y x－3y＝7，

解得 x＝14，y＝7，故 OC ＝(14，7)。


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44

11. 已知正三角形 ABC 的邊長為 2﹐ M 為 BC 中點﹐


(1) AB AM BC

﹒

(2) BC AM AB AM

﹒

Ans：(1) 2 ，(2) 8

【詳解】

(1) AM ⊥ BC AM ･ BC ＝0

AB AM BC

＝ AB ･ BC ＋ AM ･ BC

＝22cos120＋0

＝2﹒

(2) BC AM AB AM

＝ BC ･ AB ＋ BC ･ AM － AM ･ AB － AM ･ AM

＝2＋0－( 3 )2－( 3 )2

＝2－3－3＝8﹒

12. 在△ ABC 中﹐ 60A ﹐ 4AB ﹐ 5AC ﹐ BD AC ﹐

P 為 BD中點﹐求 AP AC 的值﹒

Ans：10

【詳解】

AP AC

＝ AB ･ AC

＝ AD ･ AC

＝25

32

M C

A

B

5.00 cm

2

4

60

P

D

C

BA


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45

＝10.

【備註】P 為 BD上任一點均相同。

13. 設 a ﹐ b 為兩非零向量﹐

若 2 a b 且 5 2a b a b

﹐求 a 與 b 的夾角﹒

Ans： 60

【詳解】

5 2a b a b

( a ＋ b )･(5･ a －2 b )＝0

5︱ a ︱ 2－2︱ b ︱ 2＋3 a ･ b ＝0

5︱ a ︱ 2－8︱ a ︱ 2＋3 a ･ b ＝0

3︱ a ︱2＋3︱ a ︱︱ b ︱cosθ＝0

3︱ a ︱ 2＋3︱ a ︱･2︱ a ︱cosθ＝0

cosθ＝1

2

θ＝60.

14. 已知直線 1

1 3 ,:

2 .

x tL

y t

（ t 為實數）﹐ 2L 為過點(1，2)﹐

且斜率為 3 的直線﹐求 1L 與 2L 的交角﹒

Ans： 30或 150

【詳解】

L1 的斜率為 m1＝1

3，故 L1 的斜角為α＝30，

L2 的斜率為 m1＝ 3 ，故 L2 的斜角為β＝60，

1L 與 2L 的交角為 30或 150。


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46

15. 設△ ABC 為一等腰直角三角形﹐ 90BAC ﹒

若 P ﹐ Q為斜邊 BC 的三等分點﹐求 tan PAQ 的值﹒

Ans：3

4

【詳解】

如右圖，

設 AB ＝ AC ＝3，則 BC ＝3 2 ，

令∠PAQ＝α，∠BAP＝β，

則 tan(α＋β)＝2，tanβ＝1

2，

tan(α＋β)＝tan tan

1 tan tan

2＝

1tan

21

1 tan2

＝2 tan 1

2 tan

4－2･tanα＝2･tanα＋1

tanα＝3

4。

16. 在平行四邊形 ABCD中﹐ 4AB ﹐ 5BC ﹐

求 AC BD 的值﹒

Ans：9

【詳解】

AC BD

＝( AB ＋ BC )･( BC － AB )

＝︱ BC ︱2－︱ AB ︱2

＝25－16

＝9

2

1

1 1 1

2

2

2

3

DE

Q

P

C

BA

5

4

CD

A B


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47

17. 設兩直線 1 : 3 2 0L x y ﹐ 2 : 2 5 0L x ay ﹐

且 1L 與 2L 所夾銳交角為 45﹐求實數 a的值﹒

Ans：4 或 1

【詳解】

u ＝(1，3)， v ＝(2，a)，

u ･ v ＝︱ u ︱︱ v ︱cos45

2－3a＝ 10 ･ 24 a ･2

2

(4－6a)2＝20(a2＋4)

16a2－48a－64＝0

a2－3a－4＝0

(a－4)(a＋1)＝0

a＝4 或 a＝1。

18. 已知 3, 4a ﹐ 10b ﹐求 a b 的最小值﹐

並求發生最小值時的 b ﹒

Ans：最小值為 50 ﹐ 6,8b

【詳解】

設 b ＝(x，y)，θ 為 a 與 b 的夾角。

a ･ b ＝︱ a ︱︱ b ︱cosθ＝510cosθ，

當 θ＝180時得 a ･ b 的最小值為50，

此時， b ＝2 a ＝2(3，4)＝(6，8)。


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48

19. 已知 2a ﹐ 1b ﹐ a 與 b 的夾角為 60﹐

求 a t b 的最小值﹒

Ans： 3

【詳解】

a t b 2

＝︱ a ︱2＋t2︱ b ︱2＋2t･ a ･ b

＝4＋t2＋2t︱ a ︱︱ b ︱cos60

＝4＋t2＋2t･2･1･1

2

＝t2＋2t＋4

＝(t＋1)2＋3，

當 t＝1 拾得最小值為 3 。

20. 如右圖﹐矩形 ABCD中﹐ 1AB ﹐ 2BC ﹐

: 1: 4BP PD ﹐

求證 AP BD ﹒

Ans：略

【詳解】

BD＝ BC ＋ BA，

AP ＝ AB ＋1

5BD＝ AB ＋

1

5( BC ＋ BA )＝

4

5AB ＋

1

5BC

AP ･ BD＝(4

5AB ＋

1

5BC )･( BC － AB )

＝(4

5－

1

5)( AB ･ BC )＋

1

5︱ BC ︱2－

4

5︱ AB ︱2

＝1

54－

4

51＝0，

故 AP BD 。


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49

2

1.5

1

0.5

-0.5

-2 -1 1 2 3 4 5 6

Slope BD Slope PA = -1.0

Slope PA = -2.0

Slope BD = 0.5

P: (0.4, 0.2)

A: (0.0, 1.0)

D: (2.0, 1.0)

C: (2.0, 0.0)

B: (0.0, 0.0)

Hide Axes

P

DA

CB

21. 坐標平面上有一質點沿方向 1,2u 前進﹒現欲在此平面上

置一直線 L﹐使得此質點碰到 L時依光學原理（入射角等於

反射角）反射﹐之後沿方向 2,1v 前進﹐若直線 L的方向

向量為 1,w k ﹐則實數 k 的值為何﹖ 【97 學測】

Ans： 3

【詳解】

如右圖，設 w＝(1，t)。

u ＝ 5 ， v ＝ 5 ，

cosθ1＝cosθ2，

u w v w

u w v w

u ． w＝ v． w

(1，2)．(1，t)＝(2，1)．(1，t)

1＋2t＝2＋t

t＝3。


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50

22. 為了提醒同學某台自動販賣機會「吃錢」﹐班聯

會想在機上漆一個小圓與一個缺六分之一圓的

大圓相切的圖案﹐如右圖所示﹒基於空間考量﹐

圖形的寬度要恰好 24 單位長﹐而且小圓必須與

直線 PQ有兩相異交點﹒漆大圓的油漆﹐每平方

單位需要 6 元﹔漆小圓的油漆﹐每平方單位需要

45 元﹒設小圓的半徑為 x ﹐大圓的半徑為 y ﹒

(1) 已知 x ﹐ y 滿足 24ax by ﹐求常數 a﹐ b 的值﹒

(2) 求油漆總費用（以 x ﹐ y 表示）﹒

(3) 當 x ﹐ y 為何時﹐油漆費用最少﹖

Ans：(1) 3a ﹐ 1b ，(2) 2 25 9x y ，(3) 4x ﹐ 12y

【詳解】

(1) 如右圖，∠PAB＝30，故

AB ＝2･ BE＝2x AC ＝x，

3x＋y＝24，

即 a＝3，b＝1，且 3x＞y。

(2) 油漆總費用為

π･x2･45＋π･5

6･y2･6

＝5π(9x2＋y2)

(3) 利用柯西不等式，

(9x2＋y2)(12＋12)≧(3x＋y)2

9x2＋y2≧24 24

2

＝1224，

3

1 1

x y ，，即 y＝3x，

3x＋3x＝24 x＝4，y＝12 時，

油漆總費用為 5π･1224＝1440π。

30

x

y

CD

E

Q

P

AB


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51

23. 坐標平面中﹐向量 w 與向量 2, 5v 互相垂直且等長﹒

請問下列哪些選項是正確的﹖ 【100 學測】

(1) 向量 w 必為 5, 2 或 5,2

(2) 向量 v w 與 v w 等長

(3) 向量 v w 與 w 的夾角可能為 135

(4) 若向量 u a v b w ﹐其中 a﹐ b 為實數﹐

則向量 u 的長度為 2 2a b

(5) 若向量 1,0 c v d w ﹐其中 c﹐ d 為實數﹐則 0c ﹒

Ans：(1)(2)(5)

【詳解】

如右圖，

(1) w ＝ OB ＝( 5 ，-2)，或 OC ＝(- 5 ，2)。

(2) 取 w ＝( 5 ，-2)，則

v ＋ w ＝(2＋ 5 ， 5 －2)

＝(2－ 5 ， 5 ＋2)＝ v － w 。

(3) 向量 v ＋ w 與 w 的夾角為 45。

(4) ︱ u ︱2＝︱a･ v ＋b･ w ︱2

＝a2･︱ v ︱2＋b2･︱ w ︱2＋2ab v ･ w

＝9a2＋9b2＋2ab･0

故︱ u ︱＝3 2 2a b 。


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52

(5) 必取 w ＝( 5 ，2)，

(1，0)＝c･ v ＋d･ w ＝c(2， 5 )＋d( 5 ，2)

2c＋ 5 d＝1， 5 c－2d＝0

2c＋ 5 ･5

2c＝1

c＝2

9＞0。

4

2

-2

(2, 5)B

C

A

24. 設點 A(2，2)、B(4，8)為坐標平面上兩點，且點 C 在

二次函數 y＝1

2x2 的圖形上變動。當 C 點的 x 坐標

為時，內積 AB AC 有最小值。[學測 101]

Ans：(23) ，(24) 1，(25) ，(26) 3

【詳解】

令 C 點坐標為 22 ,2t t

26,6 2 2,2 2AB AC t t

26 2 2 6 2 2t t 212 t t

21

12 32

t

當1

2t 時， AB AC 有最小值 3

∴ C 點 x 坐標為 1 時， AB AC 的最小值為 3

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