數與式林 - cloud object storage · 高中數學(一)第 1 章數與式 7 1-1-1...

7高中數學(一)第 1 章數與式

1-1-1 數系的介紹與運算性質

數與式1第章

筆記欄【數的家族】

虛數（i＝�－1 ）無理數

正整數（N）0負整數

非整數的分數

複數（C）

【定義】有理數 ! 可表為分數之型態即

qp

（p�0，p、q�Z）

無理數 ! 在中無法表示為分數之型態

【討論】1 有理數就是包含整數、有限小數或無限循環小數2 稠密性：某數系任兩相異數之間，至少可插入一個數，則稱此數系具有稠密性

Ex 3 封閉性：某數系經過某運算後，仍維持在原來的數系，則稱此數系在此運算具有封閉性

Ex 1 實數與有理數對＋、－、×、÷皆有封閉性（但除法時分母�0） 2 整數對＋、－、×皆有封閉性，但除法沒有

0 為 1 2 3 中性數凡能表為，

k�Z 稱為偶數

若 a，b�Z

且

則 a 為 b 的倍數（b 為 a 的因數）

0 為任何整數之倍數（除了 0 之外）

1-1 數與數線

傅壹老師編授翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰數與式翰數與式數與式翰數與式數與式翰數與式數與式翰數與式

林林林數系的介紹與運算性質林數系的介紹與運算性質

正整數林正整數0林 0負整數林

負整數林林林林林林林林林雲可表為分數之型態即雲可表為分數之型態即雲 q雲 q

p雲 p（雲（p雲 p（p（雲（p（ �雲 �0雲 0，雲，p雲 p中無法表示為分數之型態雲中無法表示為分數之型態

有理數就是包含整數、有限小數或無限循環小數雲有理數就是包含整數、有限小數或無限循環小數

稠密性：某數系任兩相異數之間，至少可插入一雲

稠密性：某數系任兩相異數之間，至少可插入一

端端封閉性：某數系經過某運算後，仍維持在原來的

端封閉性：某數系經過某運算後，仍維持在原來的

數系，則稱此數系在此運算具有封閉性端數系，則稱此數系在此運算具有封閉性

實數與有理數對＋、－、×、÷皆有封閉性端實數與有理數對＋、－、×、÷皆有封閉性

（但除法時分母端（但除法時分母�端 �0端 0）端）

整數對＋、－、×皆有封閉性，但除法沒有端整數對＋、－、×皆有封閉性，但除法沒有

學院

8 傅壹數學‧翰林雲端學院

1-1-1-E 試題精煉

1題有理數與無理數的四則運算

下列敘述何者正確？

A有理數乘以無理數必為無理數

B若 a、b 為正實數，且 a＋b 為有理數，a－b 為無理數，則 a2－b2 必為無理數C設 a＋b 為有理數，ab 亦為有理數，則 a 與 b 皆為有理數D無理數對於加法有封閉性

E若 a 為無理數，且 a＋b 為有理數，則 a－b 必為無理數各校必考考題解

〈key〉一般欲證明無理數 ! 皆用

A ：未必　�若有理數為 0則 0‧無理數＝0 為有理數

B ：�a＋b 為正數，且為有理數�a2－b2＝（a＋b）（a－b）必為無理數

C ：反例：（2＋Q3 ）＋（2－Q3 ）＝4　　　（2＋Q3 ）＋（2－Q3 ）＝1

D ：反例：（2＋�3 ）＋（2－�3 ）＝4�QE ：設 a－b 為有理數，

又已知 a＋b 為有理數�（a－b）＋（a＋b）�Q! 2a�Q ! a�Q 與已知矛盾�a－b 必為無理數

2題有理數與無理數的四則運算

a�R，a21�Q，a51

�Q，則下列何者為有理數？A a B a2 C a3 D a4 E a6

各校必考考題

解

〈key〉若 am

�Q，an�Q

且（m�n）＝k，則 ak�Q

3題證明題

若 a＋b，b＋c，c＋a 均為有理數，試證：a，b，c 皆為有理數。武陵高中

證

1� �a＋b，b＋c，c＋a 皆為有理數 �（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）�Q ! 2（a＋b＋c）�Q ! a＋b＋c�Q

2� a＝（a＋b＋c）－（b＋c）�Q b＝（a＋b＋c）－（a＋c）�Q c＝（a＋b＋c）－（b＋a）�Q

翰翰有理數與無理數的四則運算翰有理數與無理數的四則運算

林亦為有理數，則

林亦為有理數，則 a

林 a與

林與 b

林 b皆為有理數

林皆為有理數

為有理數，則林為有理數，則 a林 a－林－b林 b必為無理數林必為無理數林林林林 D林 D林林：反例：（林：反例：（E林 E林林：設林：設 a林 a雲雲雲雲

必為無理數

雲必為無理數 �

雲 �a

雲 a－

雲－

雲有理數與無理數的四則運算雲有理數與無理數的四則運算

端 C

端 C D

端 D

端端端端端端學學學學學學均為有理數，試證：學均為有理數，試證：a學 a，學，b學 b，學，c學 c皆為有理數。學皆為有理數。院院院院

b

院b＝（

院＝（a

院a＋

院＋

c院c＝（院＝（a院a＋院＋


4題整數的運算

設 a，b 都是整數且滿足 │a－1│＋3│b＋2│＝4，則此種數對（a�b）共有　　　　組。

解

│a－1│＋3│b＋2│＝4

4 0 !

1 1 !

�2＋4＝6

5題整數的運算

a，b�Z，滿足 │a－1│＋3│b＋2│�4，此種數對（a�b）共有　　　　組解。

解

│a－1│＋3│b＋2│�4

0，1，2，3，4 0 !

0，1 1 !

�9＋6＝15

6題整數的運算

x，y，z�Z，�（x－3）2 ＋2│5－y│＋3│z＋4│＝4，則數對（x�y�z）有　　　　組解。桃園高中、建國中學、臺南一中

解

│x－3│＋2│y－5│＋3│z＋4│＝4

4 0 0 !

2 1 0 !

0 2 0 !

1 0 1 !

共 12 組

翰 │翰 │b翰 b＋翰＋2翰 2│＝翰 │＝4翰 4，則此種數對翰，則此種數對翰翰翰翰林林林林雲雲雲雲端端端端 │＋端 │＋3端 3│端 │z端 z＋端＋4端 4│＝端 │＝4端 4，則數對端，則數對端端端端學學學院院院院


1-1-2-E 試題精煉1題方程式的解

a，b�Q，若（3＋�5 ）a－（7－3�5 ）b＝－9＋13�5 ，則數對（a�b）＝　　　　。

解

原式 !（3a－7b）＋�5 （a＋3b）＝－9＋13�5 1－2×3 !－16b＝－48�b＝3 代入1! a＝4�（a�b）＝（4�3）

2題方程式的解

設 a 為有理數，且方程式 x2－（2－a�3 ）x－3＋2�3 ＝0 有一正有理根，則 a＝　　　　。臺中一中、嘉義中學、師大附中

解

1� 令此正有理根為 � 則 �2－（2－a�3 ）�－3＋2�3 ＝0 �（�2－2�－3）＋�3 （a�＋2）＝02�

由1!（�－3）（�＋1）＝0　��＝3 或－1 �正有理根　��＞0　��＝3

代入2! 3a＋2＝0　�a＝－23

【範例 1】

若 a，b，c，d�Q，試證：a＋b�2 ＝c＋d�2 � a＝c，b＝d證

1�（#）若 a＝c，b＝d ! a＋b�2 ＝c＋d�2 2�（!） �a＋b�2 ＝c＋d�2 a，b，c，d�Q �（a－c）＋（b－d）�2 ＝0 !（b－d）�2 ＝c－a

1 當：�2＝c－ab－d

�Q

矛盾（��2 為無理數）

2 當：0‧�2 ＝c－a

�0＝c－a ! a＝c 又 b－d＝0　�b＝d�由 1�，2� 故得證

【範例 2】

若 a，b�Q，試證：a＋b�2 ＝0 � a＝b＝0證

1� （#） a＝0，b＝0 ! a＋b�2 ＝02� （!） �a＋b�2 ＝0，a、b�Q �b�2 ＝－a

1 若 b�0，則 �2 ＝－ab�Q　�矛盾

2 若 b＝0，則 0‧�2 ＝－a �0＝－a　�a＝0由 1�，2� 得證

1-1-2 無理係數，有理係數對應相等翰 �翰 ��2 �翰 �2 � ＝翰＝c翰 c＋翰＋d翰 d�翰 �d�d翰 d�d 2 翰 2 �2 �翰 �2 � �翰 � a翰 a＝翰＝c翰 c翰無理係數，有理係數對應相等翰無理係數，有理係數對應相等

林林林林

林

林矛盾

林矛盾

2林 2 林當林當林林林林 �林 �0林 0＝林＝林林又林又 b林 b－林－�林 �由林由 1林 1�林 �，林，2林 2�林 �雲雲雲雲矛盾雲矛盾

2

雲 2

雲若

雲若 b

雲 b＝

雲＝

雲 �雲 �0雲 0＝－雲＝－由雲由 1雲 1�雲 �，雲，2雲 2�雲 �得證雲得證雲端 �

端 ��5 �

端 �5 � ）

端）b

端 b＝－

端＝－9

端 9＋

端＋13

端 13�

端 ��5 �

端 �5 � ，則數對

端，則數對

端端端端 �端 ��5 �端 �5 �端端 1端 1－端－2端 2×端 ×3 端 3 !端 !�端 �b端 b＝端＝3 端 3 代入端代入1端 1�端 �（端（a端 a�端 �b端 b）＝（端）＝（學 a學 a�學 ��3 �學 �3 � ）學）x學 x－學－3學 3＋學＋2學 2�學 ��3 �學 �3 � ＝學＝0 學 0 有一正有理根，則學有一正有理根，則學學學學由學由1學 1!學 !（學（�學 �

�學

�正有理根　學

正有理根　

院院院院院院


1-1-3 有限小數的條件

　　　有限小數（n

2a‧5b，a、b�N｛0｝，n�Z）小數

　無限小數

循環小數：可化為分數（有理數） Ex 0.1 #23＝0.1232323⋯不循環小數：無法化為分數（無理數） Ex �（圓周率）


1題循環小數與有理數

下列何者可化為有限小數？

A 283350 B

63128 C

147168×125

D 149

21×40 E

56259 北一女中

解

�有限小數 ! 最簡分數之分母為 2�×5�

A ：350＝7×2×52

B ：128＝27

C ：168＝23‧3‧7，147＝3‧72

�147

168×125＝

3‧72

23‧3‧7‧53＝7

23‧53

D ：21＝3×7，149 不是 3、7 的倍數E ：259＝518

2題循環小數與有理數

若 827x3

45 可化為有限小數，則 x 值為何？

解

1� �45＝9×5 �分子為 9 的倍數

2� 827x3 為 9 的倍數 ! 8＋x＋3 為 9 的倍數 �x＝7

翰翰翰有限小數的條件翰有限小數的條件

�翰 �N翰 N翰｛翰｛0翰 0｝，翰｝，n翰 n�翰 �Z翰 Z）翰）循環小數：可化為分數翰循環小數：可化為分數（有理數）翰（有理數）

#

翰 #

林林林 Ex

林 Ex �

林 �（圓周率）

林（圓周率）

63林 63

雲雲 25

雲 259

雲 9

雲雲雲雲 D雲 D雲雲：雲：21雲 21＝雲＝E雲 E雲雲：雲：25雲 259雲 9＝雲＝端端端端值為何？端值為何？

學學學學 2

學 2�

學 � 827

學 827x

學 x3

學 3 為

學為 9

學 9

�學 �x學 x＝學＝7學 7

院院院院


1-1-4 無限循環小數的公式0.999⋯⋯小於 1 嗎？請用 2 種不同的方法，求 0.999⋯之值＝？解

【法 1】13＝0.333⋯

!

!

【法 2】令 a＝0. #9⋯

!

�

【公式】無限循環小數化為分數

a.bc#def＝a＋bcdef－bc

99900＝

abcdef－abc99900

證

令 x＝0.bc#def＝0.bcdefdef ..........................11000x＝bcd.efdef ........................................2�2－1：999x＝bcd.ef－0.bc ! 99900x＝bcdef－bc

�x＝bcdef－bc

99900

【範例 1】

1.2#341＝1＋2341－2

9990＝1＋

23399990

＝123299990

＝12341－12

9990【範例 2】

下列何者正確？

A 0.$9＜1 B 0.$9＝1 C 2.$9�3 D 1.2#93 為無理數解

�0.$9＝1，2. $9＝2＋0. $9＝2＋1＝3

�正確答案為


1題綜合應用

若 a＝18893330

，則 a 的小數點後第 200 位的數字為　　　　。

解

a＝18893330

＝＝

200－1＝199

199÷3＝66⋯1�所求＝6

翰翰翰無限循環小數的公式翰無限循環小數的公式

⋯之值＝？翰 ⋯之值＝？

林林林林 !

林 !

林林 �林 �林林林＝林＝林 abcdef林 abcdef－林－abcdef－abcdef林 abcdef－abcdef abc林 abc99900林 99900

雲 2

雲 2

x雲 x＝雲＝bcdef雲 bcdef－雲－bcdef－bcdef雲 bcdef－bcdef bc雲 bc雲 2339雲 23399990雲

9990＝雲＝雲 12329雲 12329

9990雲

9990＝雲

＝雲 12341雲 12341－雲－

9990雲

9990

端端 C端 C 2.端 2.$端 $9端 9�端 �3 端 3

學學 200 學 200 位的數字為學位的數字為　　　　。學　　　　。學學學學 199學 199÷學 ÷3學 3＝學＝66學 66⋯學 ⋯�學 �所求＝學所求＝6學 6院院院院


1-1-5 無理數的尺規作圖筆記欄

＜討論＞

三角形子母相似性

質：

若∠BAC＝90�， #AD � #BC

則1 #AB 2＝#BD×#BC 2 #AC 2＝#CD×#BC 3 #AD 2＝#BD×#DC

2題綜合應用

已知 9999＝9×11×101，若將 7

101 化為循環小數，則小數點以下第 365 位為　　　　。

臺中女中、師大附中

解

7101＝

7×9×11101×9×11

＝6939999

＝365÷4 的餘數為 1�所求＝0

3題綜合應用

若函數 f（n）表「57

化成小數，小數點後第 n 位數」，求

f（1）＋f（2）＋f（3）＋⋯⋯＋f（200）之值。

解

57＝0.#714285

f（1）＝7 f（4）＝2 f（2）＝1 f（5）＝8

f（3）＝4 f（6）＝5

200÷6＝33⋯2�所求＝f（1）＋f（2）＋⋯＋f（200）

＝33×〔f（1）＋f（2）＋⋯＋f（6）〕＋f（1）＋f（2）＝33×（7＋1＋4＋2＋8＋5）＋7＋1＝33×27＋8＝899

【型】無理數尺規作圖

【方法一】利用“畢氏定理”

已知：1 單位長，求作：�2 ，�3 ，�4 ，�5

【方法二】

【方法三】利用“子母相似性質”

已知：a、b 兩長度，求作：�ab證

1� 畫一直線 L2� 在 L 上取 #AC＝a，#CB＝b3� 以 #AB 為直徑作半圓4� 過 C 作 #CD � #AB 於 C，交半圓於 D 則 #CD 即為所求

翰翰化為循環小數，則小數點以下第翰化為循環小數，則小數點以下第

林林林林 �

林 �所求＝

林所求＝0

林 0

化成小數，小數點後第林化成小數，小數點後第 n林 n位數」，求林位數」，求

之值。林之值。

雲雲雲無理數的尺規作圖雲無理數的尺規作圖雲雲雲 �

雲 �所求＝

雲所求＝f

雲 f所求＝f所求＝

雲所求＝f所求＝（

雲（1

雲 1

＝

雲＝33

雲 33×〔

雲 ×〔

＝雲＝33雲 33×（雲 ×（＝雲＝33雲 33×雲 ×

端單位長，求作：

端單位長，求作：�

端 ��2 �

端 �2 � ，

端，�

端 ��3 �

端 �3 � ，

端，

端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端學學學學學學學學學學學學學學利用“子母相似性質”學利用“子母相似性質”

兩長度，求作：學兩長度，求作：�學 ��ab�學 �ab�學學院院院院院院院院院院院院院院院院院院



1題尺規作圖的限制

已知：1 單位長，試以尺規作圖，作出：1 �2 單位長。2 4�2 單位長。解

〈key〉若 a 為可作圖當 k�a 可作圖的條件為 k＝2n

1 1� 作直線 L 2� 在 L 上取 #AB＝1，#BC＝2 3� 以 #AC 為直徑作半圓 4� 過 B 作 #BD � #AC 於 B，交半圓於 D 5� 則 #BD 即所求

2 1� 作直線 L 2� 在 L 上取 #AB＝1，#BC＝�2 3� 以 #AC 為直徑作半圓 4� 過 B 作 #BD � #AC 於 B，交半圓於 D，則 #BD 即所求


在數線上，下列長度何者可由尺規作圖得到？

A �2 B 3�2 C 4�2 D 4�2－�3 E �解

A B ：開方數必須為 2n

C

D ：2－�3 可作圖　�4�2－�3 可作圖E


在數線上，下列哪些長度可用尺規作圖作出？

A 0.9 $2 B無理數必不可作圖 C 6�225 D 6�343 E ��5 ＋2 各校必考考題解

A B ：�2 可作圖，3�2 不可作圖C ：�225＝32‧52

�6�225 ＝6�32‧52 ＝3�3‧5 ＝3�15

D ：�343＝73　�6�343 ＝6�73＝�7E

翰單位長，試以尺規作圖，作出：翰單位長，試以尺規作圖，作出：

林林林林林 2林 2 1林 1�林 �作直線林作直線2林 2�林 �在林在 L林 L上取林上取3林 3�林 �以林以 #林 #AC林 AC4林 4�林 �過林過 B林 B作林作交半圓於林交半圓於

雲雲雲雲在數線上，下列長度何者可由尺規作圖得到？雲在數線上，下列長度何者可由尺規作圖得到？

�雲 ��2 �雲 �2 �

端端端端端 D端 D端端：端：2端 2－端－�端 �E端 E端端學

在數線上，下列哪些長度可用尺規作圖作出？

學在數線上，下列哪些長度可用尺規作圖作出？

無理數必不可作圖

學無理數必不可作圖

�學 ��學 �� 5 ��學 �� 5 �� ＋�學 � ＋�� 2 �學 � 2 �學學學學 D學 D學學：學：�學 �343學 343E學 E學學院院院院


【定理】若 a�0，b�0，則a＋b

2��ab

證

�a�0，b�0，a＋b－2�ab ＝（�a －�b ）2�0

�a＋b�2�ab 　�a＋b

2��ab

當“＝”成立 � a＝b

1-1-6 算幾不等式筆記欄

＜算幾不等式的幾何

意義＞

1 圖中 #CD＝�ab （�子母性質）

半徑 #OD＝a＋b

2，

�直角三角形

OCD 中，斜邊 #OD 為最大邊， �#OD�#CD，即

a＋b

2��ab

2 當 a＝b 時， #OD 與 #CD 重合，

此時 a＋b

2＝�ab

1-1-6-E 試題精煉1題算幾不等式

設 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝12，求 xy 之最大值＝　　　　。

解

�x＞0，y＞0 �x＋2y�2�x‧2y ! 12�2�2xy ! 6��2xy

! 36�2xy�xy�18

2題算幾不等式

若 a＞0，b＞0，且 ab＝8，a＋2b－7 之最小值＝　　　　。北一女中

解

�a＞0，b＞0�a＋2b�2�2ab ＝2�2×8 ＝8

�a＋2b－7�8－7＝1�最小值＝1

3題算幾不等式

若 a＞0，b＞0，且 ab＝25，則 4a＋

9b

的最小值為　　　　，此時數對（a�b）＝

　　　　。

解

1 �4a＋

9b�2

36ab＝2

3625＝2×

65＝

125

2 4a＝

9b＝

65

! a＝103，b＝

152

翰翰＋翰＋b翰 b�翰 ��翰 ��ab�翰 �ab�翰翰翰翰林雲雲端端 xy

端 xy之最大值＝　　　　。

端之最大值＝　　　　。

端端端端端 !端 ! 36端 36�端 �2端 2xy端 xy�端 �xy端 xy�端 �18端 18

學學學學學學 �

學 �a

學 a＋

學＋2

學 2b

學 b－

學－7

學 7�

學 �

�學 �最小值＝學最小值＝1學 1＋學＋學 9學 9b學 b的最小值為學的最小值為　　　　，此時數對學　　　　，此時數對院院院院院

12

院125

院5

2

院2

院4

院4a

院a＝

院＝

院9

院9b

院b＝

院＝


1-1-7 雙重根式的運算

4題算幾不等式

若 x、y 皆為實數，且 x2＋y2＝4，求：1 xy 範圍。 2 （x＋y）2 之最大值。臺南女中、武陵高中

解

1 x2＋y2�2�x2y2 !

! │xy│�2 !－2�xy�2

2 （x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝4＋2xy�4＋2×2＝8

5題算幾不等式

若 x＞0，y＝x2＋4

x，求 y 之最小值＝　　　　。

解

y＝x2＋4

x＝x＋

4x�2 x‧

4x＝2×2＝4

6題算幾不等式

一農夫想用 66 公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中一邊正中央留著寬 2 公尺的出入口，如右圖所示。此農夫所能圍成的最大面積為　　　　平方公尺。 5指考乙

解

1� 由題意：2（x＋y）＝66＋2 ! x＋y＝34

2� �x＋y�2�xy �34�2�xy ! xy�172＝289

若 a＞0，b＞0 且 a＞b，則 a＋b #2�ab ＝�a �b 證 a＋b #2�ab ＝（�a #�b ）2＝�a �b （�a＞b）

【範例】1 基本型：�4＋2�3 ＝＝�3 ＋1

2 大於 2 倍型：�20－#4�21 ＝

＝�20－2 #�6×14 ＝�（�14 －#�6 ）2

＝�14 －�6

3 缺 2 倍型：�4－�12 ＝

＝�（�3 －#�1 ）2

＝�3 －1

4 強補 2 倍型：�2－�3 ＝

＝（�3 －1）2

2

＝�3 －1�2

翰，求：翰，求：

2翰 2 翰（翰（x翰 x＋翰＋y翰 y）翰）2翰 2林林林林林

y

林 y

之最小值＝　　　　。林之最小值＝　　　　。林雲公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中一邊正中央留著雲公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中一邊正中央留著

公尺的出入口，如右圖所示。此農夫所能圍成的最大面積為雲公尺的出入口，如右圖所示。此農夫所能圍成的最大面積為雲雲雲雲雲雲雲 2雲

2�雲

� �

雲 � ＋

雲＋ �

雲 �

端端端雙重根式的運算

端雙重根式的運算

端＋端＋ b端 b 端 #端 # #端 # 2端 2 �端 � �端 � �ab�端 �ab� ＝端＝�端 ��a�端 �a� 端 �端 ��b�端 �b�

端 #端 # # 端 # �端 � � 端 � �b�端 �b� � b � 端 � b � ）端）2端 2＝端＝�端 ��a�端 �a� 端 �端 ��b�端 �b� （端（�端 �a端 a＞端＞＝端＝端端＝端＝�端 ��3 �端 �3 � ＋端＋1端 1�端

�� －�端

� －� #端 #� #�端

� #�� 4�端

� 4� �端

�� 端

� �� 21 �端

�21 �� 21 � ��端

� �� 21 � �� ＝端

＝端端學

＝

學＝�

學 �（

學（�（�

學 �（��

學 � �� 14 � ��

學 � �� 14 � �� －�

學 � －� �

學 ��

學 � �� 6 �

學 �6 �

＝

學＝�

學 ��14 �

學 �14 � －

學－�

學 ��6�

學 �6�

�學 � �學 �� 學 � �� 12 � ��學 � �� 12 � �� ＝學＝學學＝學＝�學 �（學（�（�學 �（�� 學 � �� 3 � ��學 � �� 3 � �� －�學 � －� #學 #� #�學 � #� �學 �� 學 � �� 1 �學 �1 � ）學）2學 2＝學＝�學 ��3 �學 �3 � －學－1學 1

�學

�� 學

� �� 3 � ��學

� �� 3 � �� ＝學＝學學院院＝

院＝

院2

院2

＝院＝院�院��3 �院�3 � －院－1院1�院��2 �院�2 �


1-1-7-E 試題精煉1題開雙重根號

x、y�Q，若（�7－�48 ）x＋（1－�3 ）y＝7－�3 ，求 x＝　　　　，y＝　　　　。臺南一中

解

1� �7－�48 ＝7－2�12 ＝（�4 －#�3 ）2

＝�4 －�3 ＝2－�3

2� （2－�3 ）x＋（1－�3 ）y＝7－�3 !（2x＋y）＋�3 （－x－y）＝7－�3

� 2x＋y＝7

－x－y＝－1 !

x＝6y＝－5

2題開雙重根號

設 ab�0，a、b�Q，若 a17－12 #�2 ＋b‧（ 11－�2 ）為有理數，則

b3a＝　　　　。

解

原式 ! a��17－2�72 ＋b（1＋�2 －1 ）

＝a17－2�9 #×8 －b（1＋�2 ）＝a（�9 －�#8 ）2 －b（1＋�2 ）＝a（3－2�2 ）－b（1＋�2 ）＝3a－b＋�2 （－2a－b）為有理數

�－2a－b＝0�b＝－2a

�b3a＝－2a3a＝－23

3題綜合計算

設 14－4#�10 整數部分為 a，小數部分為 b（a�N，0＜b＜1），則 3a＋b＝　　　　。各校必考考題

解

原式＝14－2#�40 　　＝�（�10 －�4 ）2＝�10 －2�3＜�10 ＜4

��10 －2 整數部分 a＝1

小數部分 b＝

�3a＋b＝3×1＋（�10 －3）＝�10

4題綜合計算

設正實數 a 的小數部分為 b，且 b�0，若 a2＋b2＝8，則 a＝　　　　。臺中女中

解

1� �a2＋b2＝8，0＜b＜1 �0＜b2＜1 ! 7＜a2＜8

�

2� a2＋b2＝8 !（2＋b）2＋b2＝8 ! 2b2＋4b－4＝0 ! b2＋2b－2＝0

�b＝－2＋�12

2＝－1＋�3

�a＝2＋b＝1＋�3

翰 �翰 ��3 �翰 �3 � ）翰）y翰 y＝翰＝7翰 7－翰－�翰 ��3 �翰 �3 � ，求翰，求 x翰 x＝　　　　，翰＝　　　　，林林林林

2

林 2�

林 � （

林（2

林 2－

林－�

林 ��3 �

林 �3 � ）

林）

!林 !（林（2林 2x林 x＋林＋y林 y�林 � 2林 2x林 x＋林＋林林－林－x林 x－林－

雲

雲 �

雲 � �

雲 � �2 �

雲 �2 � � 2 �

雲 � 2 � ＋

雲＋b

雲 b‧

雲 ‧（

雲（

雲 1

雲 1

1

雲 1－

雲－�

雲 ��2 �

雲 �2 � ）

雲）為有理數，則

雲為有理數，則

雲雲雲雲 �雲 �－雲－2雲 2a雲 a－雲－b雲 b＝雲＝�雲 �b雲 b＝－雲＝－2雲 2a雲 a�雲 �雲 b雲 b3雲

3a雲

a＝雲＝雲－雲－2雲 2

3雲

3a雲

a

端端端端，小數部分為端，小數部分為 b端 b（端（a端 a�端 �N端 N，端，0端 0＜端＜端學學學學

�

學 �3

學 3a

學 a＋

學＋b

學 b＝

學＝3

學 3×

學 ×

�學 �0學 0，若學，若 a學 a2學 2＋學＋b學 b2學 2＝學＝8學 8，則學，則學學學院院院院

�

院�b

院b＝

院＝

院�院�a院a＝院＝2院2＋院＋


1-1-8 根式的運算與比較大小若 a＞0，則： a＝（�a ）2＝（a

12）2 ! �a ＝a

12

1 a＝（3�a ）3＝（a13）3 ! 3�a＝a

13

a＝（n�a ）n＝（a1n）n ! n�a＝a

1n（n�2，n�N）

��a＝（a12）＝（a

12）

12＝a

14＝4�a

2 3��a＝3

a12 ＝（a

12）

13＝a

16＝6�a

m�n�a ＝m×n�a【範例 1】

��2 ＝2x，則 x＝　　　　。解

8�2 ＝2x　�x＝18

【範例 2】3�2 ‧�3 ＝n�a，求（a�n）＝　　　　。（a、n 皆為正整數，且 n＜10）解

左式＝6�22‧

6�33＝6�4×27 ＝6�108 ＝右式＝n�a　�n＝6，a＝108

1-1-8-E 試題精煉1題根式運算

若 55＋�55 介於兩正整數 a 及 a＋1 之間，試求 a 值。北一女中

解

令 k＝55＋�55 ! k2＝55＋�55 又 7＜�55 ＜8

�62＜k2＜63

5題作圖

如圖，#AB＝3＋2�3 ，#BC＝－9＋14�3 ，B 在 #AC 上，以 #AC 為直徑作半圓，並過 B 作垂直於 #AC 的直線交半圓於 D 點。若 #BD＝a＋b�3 （a，b 為有理數），則數對（a�b）＝　　　　。武陵高中、師大附中

解

1� #BD 2＝#AB×#BC ＝（3＋2�3 ）×（－9＋14�3 ）＝（－27＋84）＋�3 （－18＋42）＝57＋24�3 �#BD＝57＋2#4�3

2� #BD＝57＋2#4�3 ＝57＋2�1 #44×3 ＝57＋2�4 #8×9 ＝�48 ＋�9＝4�3 ＋3＝a＋b�3 �a＝3，b＝4

翰翰 14翰 14�翰 ��3 �翰 �3 � ，翰，B翰 B在翰在 #翰 #AC翰 AC上，以翰上，以的直線交半圓於翰的直線交半圓於 D翰 D點。若翰點。若為有理數），則數對翰為有理數），則數對（翰（a翰 a�翰 �b翰 b）＝　　　　。翰）＝　　　　。

林林林林 2

林 2�

林 � #

林 #BD

林 BD＝

林＝

林 57

林 57

＝林＝林 57林 57 ＝林＝林 57林 57 ＝林＝�林 ��48 �林 �48 �

�林 �a林 a＝林＝3林 3，林，雲 a雲 a雲

1

雲 12雲 2雲 1雲 1

3雲 3雲 1雲 1n雲 n（雲（n雲 n�雲 �2雲 2，雲，n雲 n�雲 �N雲 N）雲）4雲 4�雲 �4�4雲 4�4�a�雲 �a�

端學學

＝右式＝

學＝右式＝�

學 �n�n

學 n�n�a�

學 �a� �

學 �n

學 n＝

學＝6

學 6，

學，a

學 a＝

學＝108

學 108

＋學＋1 學 1 之間，試求學之間，試求 a學 a值。學值。學院院院院院院


2題根式運算

化簡 �3＋�5 －�3－�5 ＝　　　　。臺南二中、成功高中

解

令 k＝�3＋�5 －�3－�5 �k2＝（3＋�5 ）＋（3－�5 ）－2�9－5 ＝6－2�4 ＝6－4＝2

�k＝

3題根式比大小

比較下列各數的大小：

1 a＝�7 ＋�10 ，b＝3＋�8 ，c＝�6 ＋�11 。

2 a＝3

�10 －�7 ，b＝

13－�8

，c＝5

�11 －�6 。

3 a＝�7 －�6 ，b＝�6 －�5 ，c＝�5 －2。各校必考考題

解

〈key〉�a �b 比大小1 a＋b＝定值 ! 平方比較大小2 a－b＝定值 ! 有理化1 a2＝17＋2�70 ，b2＝17＋6�8 ＝17＋2�72 c2＝17＋2�66 �b2＞a2＞c2，又 a、b、c 皆為正數 �b＞a＞c

2 a、b、c 先有理化

a＝，同理，b＝3＋�8 ，c＝�11 ＋�6

�與1同

3 a＝，

同理，b＝1

�6 ＋�5 ，c＝

1�5 ＋�4

�分母愈大，其值愈小

�a＜b＜c

4題有理數比大小

若 0＞a＞b，0＞x＞y，比較 ab，

a＋xb＋x

，a＋yb＋y

三數的大小。

解

1� ab－

a＋xb＋x

＝a（b＋x）－b（a＋x）

b（b＋x）＝

x（a－b）b（b＋x）

＜0

（�x＜0，b＜0，b＋x＜0，a－b＞0）

�ab＜

a＋xb＋x

2� a＋xb＋x

－a＋yb＋y

＝（a＋x）（b＋y）－（a＋y）（b＋x）

（b＋x）（b＋y）

＝（ab＋ay＋bx＋xy）－（ab＋ax＋by＋xy）

（b＋x）（b＋y）

＝a（y－x）＋b（x－y）（b＋x）（b＋y）

＝（x－y）（b－a）（b＋x）（b＋y）

＜0

由 1�，2�：ab＜

a＋xb＋x

＜a＋yb＋y

〈速解〉令 a＝－1，b＝－2，x＝－1，y＝－2ab＝－1－2＝

12

a＋xb＋x

＝－2－3＝

23

a＋yb＋y

＝－3－4＝

34

ab＜

a＋xb＋x

＜a＋yb＋y

翰翰＝　　　　。翰＝　　　　。翰翰翰翰 �

翰 �k翰

k翰翰林林林林＝林＝�林 ��6 �林 �6 � ＋林＋�林 ��11 �林 �11 � 。林。

c林 c＝林＝林 5林 5

。林

。

雲雲雲雲雲 �雲 ��72 �雲 �72 �

2 雲 2 a雲 a、雲、b雲 b、雲、c雲 c先有理化雲先有理化a雲 a＝雲＝雲雲 �雲 �與雲與1雲 1同雲同3 雲 3 a雲 a＝雲＝雲雲端端端端

�

端 �分母愈大，其值愈小

端分母愈大，其值愈小

�

端 �a

端 a＜

端＜b

端 b＜

端＜

端 a端 a＋端＋x端 x，端

，端 a端 a＋端＋y端 y

三數的大小。端

三數的大小。

學學學學學（

學（a

學 a－

學－b

學 b）

學）

（學（b學 b＋學＋x學 x）學）＜

學＜0

學 0 由

學由 1

學 1�

學 �，

學，2

學 2�

學 �：

學：

學〈速解〉令學〈速解〉令 a學 a學 a學 ab學 b＝學＝學 a學 a＋學＋b學 b＋學＋院院院院院）

院）

）院）＜院＜0院0院a

院ab

院b


1 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2

3 （a＋b）（a－b）＝a2－b2

4 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝

5 （a－b）3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab（a－b）

6 a3＋b3＝＝

7 a3－b3＝

8 （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca

9 a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝12〔（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2〕

0 a3＋b3＋c3－3abc＝（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2－ab－bc－ac）【範例 1】若 a＋b＝3，ab＝1，求：

1 a2＋b2。　　　2 a3＋b3。　　　3 a5＋b5。　　　4 a－b。解

1 a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×1＝7

2 a3＋b3＝＝27－3×1×3＝18

3 a5＋b5＝（a2＋b2）（a3＋b3）－a2b3－a3b2＝7×18－a2b2（a＋b）＝126－1×3＝123

4 （a－b）2＝＝32－4＝5

�a－b＝ �5

【範例 2】設 x＝2＋�3 ，求：

1 x＋1x。　　　2 x2＋

1x2。　　　3 x3＋

1x3。　　　4 x5＋

1x5。

解

1 �x＝2＋�3

�1x＝

12＋�3

＝2－�3 ! x＋1x＝4

2 x2＋1x2＝（x＋

1x）

2

－2‧x‧1x＝16－2＝14

3 x3＋1x3＝（x＋

1x）

3

－3‧x‧1x（x＋

1x）＝64－3×4＝52

4 x5＋1x5＝（x2＋

1x2）（x3＋

1x3）－（x＋

1x）＝14×52－4＝724

【範例 3】設 0＜x＜1，化簡 x2＋1x2＋2＋ x2＋

1x2－2＝6，

求 x 之值＝　　　　。建國中學

解

原式 ! （x＋1x）

2

＋（x－1x）

2

＝6

! │x＋1x│＋│x－

1x│＝6

!

! 2x＝6　�x＝

13

1-1-9 乘法十大公式翰翰翰翰乘法十大公式翰乘法十大公式

林林林＝

林＝

林林林林 ab林 ab＋林＋2林 2bc林 bc＋林＋2林 2ca林 ca

〔（林〔（a林 a－林－b林 b）林）2林 2＋（林＋（b林 b－林－c林 c）林）2林 2＋（林＋（雲 a

雲 a3

雲 3＋

雲＋b

雲 b3

雲 3。　　　

雲。　　　3

雲 3 a

雲 a5

雲 5＋

雲＋

7雲 7

3雲 3×雲 ×1雲 1×雲 ×3雲 3＝雲＝18雲 18

b雲 b2雲 2＝雲＝7雲 7×雲 ×18雲 18－雲－a雲 a2雲 2b雲 b2雲 2（雲（a雲 a＋雲＋b雲 b）＝雲）＝126雲 126

－雲－4雲

4＝雲＝5雲

5

端 x端 x2端 2＋端＋端 1

端 1x端 x2端 2。　　　端。　　　3端 3 x端 x3端 3＋端＋＝端＝4端 4

學學）

學）＝

學＝64

學 64－

學－3

學 3×

學 ×4

學 4＝

學＝52

學 52

學）學）＝學＝14學 14×學 ×52學 52－學－4學 4＝學＝724學 724學 2學 2＋學＋學 1學 1x學 x2學 2＋學＋2學 2＋學＋學 x學 x2學 2＋學＋學 1學 1x學 x2學 2－學－之值＝　　　　。學之值＝　　　　。

院院院院

院 !

院!

院院院 !院!院2

院2x院x＝院＝院


1-1-9-E 試題精煉1題乘法公式應用

若 x＝3�2＋�3 ＋3�2－�3 ，求 x3－3x＝　　　　。

解

�x＝3�2＋�3 ＋3�2－�3 �x3＝（2＋�3 ）＋（2－�3 ）＋33�2＋�3 ‧3�2－�3 ‧（3�2＋�3 ＋3�2－�3 ）＝4＋33�4－3 （x）＝4＋3x�x3－3x＝4

2題平方差的應用

1 若 m�N，且 4m2＋85 為完全平方數，求 m＝　　　　。2 若 2m，�85 表直角△之兩股長，且 m�N，且斜邊為正整數，則 m＝　　　　。解

1 設 4m2＋85＝k2（k�N） ! k2－4m2＝85 !（k＋2m）（k－2m）＝85＝

�

k＋2m＝

851

17 ....................15 ......................2 k－2m

1－2：4m＝84 ＜12 �m＝21 ＜3

2 令斜邊為 k，則 !（2m）2＋（�85 ）2＝k2

! 4m2＋85＝k2

與1同，m＝21 ＜3

3題平方差的應用

若 x�N 且 ��x2－4x＋20�N，則 x＝　　　　。

解

x2－4x＋#20＝k�N! x2－4x＋20＝k2

!（x－2）2＋16＝k2

! k2－（x－2）2＝16!（k＋x－2）（k－x＋2）＝16

k＋x－2 16 8 4 2 1 ⋯⋯1

k－x＋2 1 2 4 8 16 ⋯⋯2

1－2! 2x－4＝15，6，0，－6，－15

翰翰－翰－3翰 3x翰 x＝　　　　。翰＝　　　　。翰林 �

林 �3�3

林 3�3�2�

林 �2�� －�

林 � －��

林 � �� 3 �

林 � 3 �� 3 � ��

林 � �� 3 � �� ‧（

林 ‧（�

林 �3�3

林 3�3�2�

林 �2�� ＋�

林 � ＋��

林 � �� 3 �

林 � 3 �� 3 � ��

林 � �� 3 � �� ＋

林＋�

林 �3�3

林 3�3

雲雲為完全平方數，求

雲為完全平方數，求 m

雲 m＝　　　　。

雲＝　　　　。

表直角△之兩股長，且雲表直角△之兩股長，且 m雲 m�雲 �N雲 N，且斜邊為正整數，則雲，且斜邊為正整數，則雲雲雲雲雲雲 2雲 2 令斜邊為雲令斜邊為!雲 !（雲（2雲 2m雲 m）雲）2雲 2＋（雲＋（!雲 ! 4雲 4m雲 m2雲 2＋雲＋85雲 85與

雲與1

雲 1同，

雲同，

端端端端學學＝　　　　。

學＝　　　　。

學學學學學學學學學 k學 k＋學＋x學 x－學－2 16 8 4 2 1學 2 16 8 4 2 12 16 8 4 2 1學 2 16 8 4 2 1

k學 k－學－x學 x＋學＋2 1 2 4 8 16學 2 1 2 4 8 162 1 2 4 8 16學 2 1 2 4 8 16

1學 1－學－2學 2!學 ! 2學 2x學 x－學－學學院院院院


1-1-S 超越巔峰

1題

已知 a、b 皆為無理數，試證：若 2a＋b 為有理數，則 a＋2b 必為無理數。

證

2題

1 證明 �3 為無理數。2 利用1，證明 �3 ＋�5 為無理數。北一女中

證

3題

一個正的最簡分數之分子與分母的和為 50，將其化為小數並且將小數後第三位四捨五入後得近似值為 0.52，則此最簡分數為何？臺南一中

解

翰翰 2翰 2a翰 a＋翰＋b翰 b為有理數，則翰為有理數，則 a翰 a翰林雲為無理數。雲為無理數。雲端學

，則此最簡分數為何？

學，則此最簡分數為何？

學院


4題

設正數 a 的小數部分為 b，且 b�0，若 a＋2b2＝12，則 b 值為　　　　。臺南一中

解

5題

a＝�5 ＋�7 ＋�11 ，b＝�2 ＋�7 ＋�14 ，c＝�2 ＋�10 ＋�11 ，請比較 a、b、c 之大小。臺南一中

解

翰，若翰，若 a翰 a＋翰＋2翰 2b翰 b2翰 2＝翰＝12翰 12，則翰，則 b翰 b翰林雲＋雲＋�雲 ��14 �雲 �14 � ，雲，c雲 c＝雲＝�雲 ��2 �雲 �2 � ＋雲＋�雲 ��10 �雲 �10 �

端學院


1-2 數線上的幾何

1-2-1 數線上的距離與分點公式

【兩點距離公式與分點公式】

設點 A 與點 B 在數線上的坐標分別為 a 與 b，m、n 為正數1 A 與 B 的距離 #AB＝│a－b│

2 若 P 點在 #AB 上，且 #AP：#BP＝m：n，則 P 點坐標為

證

由圖： #AP＝x－a，#BP＝b－x∵ #AP：#BP＝m：n

∴m #BP＝n #AP! m（b－x）＝n（x－a）! mb＋na＝mx＋nx

∴x＝mb＋nam＋n

1-2-1-E 試題精煉1題數線上的位置

設數線兩點 A（－2）、B（14），求：1 若 P（x）點在 #AB 上，且 #AP：#BP＝3：5，求 x＝　　　　。2 若 A、P、B 三點共線，P（x）為 #AB 外一點且 #AP：#BP＝3：5，求 x＝　　　　。3 若 P（x）在 AB 直線上，且 #AP：#BP＝3：5，則 x＝　　　　。4 若 x 為實數，且 │x＋2│：│x－14│＝3：5，則 x＝　　　　。各校重要考題

解

1

! x＝3×14＋5×（－2）

3＋5＝

328＝4

2

! －10＝42＋2x ! 2x＝－52 ! x＝－26

3 1� P（x）在 #AB 上：x＝4 2� P（x）在 #AB 外：x＝－264 3│x－14│＝5│x＋2│

!

∴x＝4 或－26

翰翰數線上的幾何翰數線上的幾何翰翰數線上的距離與分點公式翰數線上的距離與分點公式

在數線上的坐標分別為

翰在數線上的坐標分別為與

翰與為正數

翰為正數

林 #

林 #BP

林 BP＝

林＝m

林 m：

林：n

林 n，則

林，則 P

林 P點坐標為

林點坐標為

林林林 ∴林 ∴m林 m #林 #BP林 BP＝林＝n林 n!林 ! m林 m（林（b林 b－林－x林 x!林 ! mb林 mb＋林＋na林 na

∴

林 ∴

mb林 mb＋林＋雲雲 #雲 #BP雲 BP＝雲＝3雲 3：雲：5雲 5，求雲，求 x雲 x＝　　　　。雲＝　　　　。為雲為 #雲 #AB雲 AB外一點且雲外一點且 #雲 #AP雲 AP：雲：#雲 #BP雲 BP#

雲 #BP雲

BP 3雲

3：雲

：5雲

5，則雲

，則

端端端端端端端端端端端端端 3 端 3 1端 1�端 � P端 P（端（x端 x）端）在端在2端 2�端 � P端 P（端（x端 x）端）在端在4 端 4 3端 3│端 │x端 x－端－14端 14│＝端 │＝!端 !端端 ∴端 ∴x端 x＝端＝4 端 4 或－端或－學學學院院院院


2題比較大小

1 設 a、b 為實數，且 a＜b，則下列那一個數最小？

A a＋b

2 B

a＋3b4 C

3a＋b4 D

3a＋2b5

松山高中、臺南女中

2 下列哪一個數值最小？

A �2 ＋�5

2 B

�2 ＋3�5 4

C 3�2 ＋�5

4 D

3�2 ＋2�5 5

解

1

∴C＜D＜A＜B ∴選C

2

∴C＜D＜A＜B ∴選C

3題比較大小

已知 a、b 為實數且 a＜b，則下列選項哪些為真？

A a＜a＋b

2＜b B a＜

a＋b3＜b C

3a＋2b5

＜a＋4b

5

D a＋3b

4＜

2a＋3b5

E 3a＋4b

6＜

4a＋5b7

臺南一中

解

A

B ：a＜a＋b

3 � 3a＜a＋b � 2a＜b

C ：25＜

45

D ：34＞

35

E ：3a＋4b

6＜

4a＋5b7

� � � � 7（3a＋4b）＜6（4a＋5b）� � � � 0＜3a＋2b

翰，則下列那一個數最小？翰，則下列那一個數最小？翰 C翰 C翰 3翰 3a翰 a＋翰＋b翰 b4翰 4林林

3

林 3�

林 ��5 �

林 �5 �

C

林 C

林 3

林 3�

林 ��2 �

林 �2 � ＋

林＋

4林 4林林林林 2 林 2 林林林林林林林林林林林林林 ∴林 ∴C林 C＜林＜D林 D＜林＜雲雲雲雲端＜

端＜

端 a

端 a＋

端＋b

端 b

3端 3＜

端＜b

端 b

端 3端 3a端 a＋端＋4端 4b端 b6端 6

＜端＜端 4端 4a端 a＋端＋5端 5b端 b7端 7端端端端 E

端 E

端端：端

：3端 3a端 a＋端＋學學學

� � �

學 � � �

學 �

學 � 0

學 0

院院院院


1-2-2 一次不等式

【不等式的基本性質】

設 a、b、c 為任意實數，

1 若 ac＞bc，則1 ! a＞b

2 ! a＜b

2 若 a＞b，則1 ! ac＞bc

2 ! ac＜bc

1-2-2-E 試題精煉1題不等式求範圍

若－1�x�4，2�y�3，求：1 x＋y 之範圍。 2 x－y 之範圍。 3 xy 之範圍。

4 xy

之範圍。 5 x2 之範圍。 6 x2＋4x 之範圍。

7 x2＋2x＋y2－6y＋10 之範圍。8 xy＋2x－3y 之範圍。各校重要考題

解

1

－1�x�4＋） 2�y�3 1�x＋y�7

2

－1�x�4＋）－3�－y�－2 －4�x－y�2

3 －3�xy�12

4

! －12�

xy�2

5 �x2�16

6 x2＋4x＝

∵1�x＋2�6 ∴1�（x＋2）2

�36 ! 1－4�x2＋4x�36－4 ! －3�x2＋4x�32

7 原式＝

∴0�（x＋1）2�25

0�（y－3）2�1

∴0�（x＋1）2＋（y－3）2�26

8 xy＋2x－3y＝（x－3）（y＋2）＋6 ∵－4�x－3�1，4�y＋2�5

∴

! －14�（x－3）（y＋2）＋6�11

翰翰翰林林 a

林 a＜

林＜b

林 b

＞林＞bc林 bc

＜林＜bc林 bc

雲雲 x雲 x－雲－y雲 y之範圍。雲之範圍。

雲 x雲 x2雲 2之範圍。雲之範圍。

端端端端 6

端 6 x

端 x2

端 2＋

端＋4

端 4x

端 x＝

端＝

端端 ∵端 ∵1端 1�端 �x端 x＋端＋∴端 ∴1端 1�端 �（端（x端 x＋端＋!端 ! 1端 1－端－4端 4�端 �!端 !－端－3端 3�端 �x端 x7 端

7 原式＝端原式＝端端學學學

∴

學 ∴0

學 0�

學 �（

學（x

學 x＋

學＋

8

學 8 xy

學 xy＋

學＋2

學 2x

學 x－

學－

∵－學 ∵－4學 4�學 �x學 x∴學 ∴學學 !學 !－學－14學 14�學 �院院院院


1-2-3 一次絕對值不等式【型 A】絕對值的幾何意義

1 │x－a│＝k（x 到 a 的距離等於 k）

! ! x＝a±k

2 │x＋a│＝k ! │x－（－a）│＝k（x 到（－a）的距離等於 k）

【型 B】絕對值不等式求解

1 │x│�a !

2 │x│�a !

3 1�│x│�3 !

【範例】1 │2x＋1│�2 � －2�2x＋1�2

� � � －3�2x�1 � －32�x�

12

2 │－2x＋1│�2 � � －2�2x－1�2

� � �－1�2x�3 � －1

2�x�

32

3 1�│2x－1│�3 �

� � � 2�2x�4 或－2�2x�0� � � 1�x�2 或－1�x�0

4 －2�│2x－1│�3 �

� � �－3�2x－1�3 �－1�x�2

【型 C】不等式轉換絕對值

1 －1�x�4 � �

2 x�4 或 x�－1 � �

翰翰翰一次絕對值不等式翰一次絕對值不等式

的距離等於翰的距離等於 k翰 k）翰）

!

翰 ! ±

翰 ±k翰

k

林）│＝

林）│＝

林林林林雲雲雲

2

雲 2x

雲 x＋

雲＋1

雲 1�

雲 �2

雲 2

2雲 2x雲 x�雲 �1 雲 1 �雲 �雲－雲－3雲 32雲 2�雲 �x雲 x�雲 �雲 1雲 12雲 2雲雲 �雲 �－雲－2雲 2－雲

－1雲

1

端端端 �端 �2端 2x端 x�端 �4 端 4 或－端或－2端 2�端 �2端 2x端 x�端 �0端 0�端 �x端 x�端 �2 端 2 或－端或－1端 1�端 �x端 x�端 �0端 0�端 �端端 3端

3�端

�2端

2 1端

1�端

�3 端

3 1端

1

學學學學學學學學學學學學學學學學學學學 �學 �學學學學學學學學學學學學學學學學學學學學學學學學學學學 �學 �學學院



1題絕對值不等式求解

1 若 5�│2x－3│＜9，則 x 之範圍為　　　　。建國中學

2 若 5�│3－2x│＜9，求 x 範圍為　　　　。建國中學

解

1 5�2x－3＜9 ＜－9＜2x－3�－5 ! 8�2x＜12 ＜－6＜2x�－2 ! 4�x＜6 ＜－3＜x�－1

2 原式 !

∴與1同

2題不等式還原絕對值

若 │ax＋1│�b 之解為－1�x�4，則 a＝　　　　，b＝　　　　。

解

－1�x�4

� │x－32│�

52

�

� │－23

x＋1│�52×

23＝

53

∴a＝－23，b＝

53

3題不等式還原絕對值

設 a、b�R，且 │ax－3│�b 的解為 x�－1 或 x�4，則 a＋b＝　　　　。各校必考題

解

x�4 或 x�－1

�

� │2x－3│�52×2＝5

∴a＝2，b＝5　∴a＋b＝7

1-2-4 三角不等式

若 a、b�R，則 │a│＋│b│�│a＋b│ 且等號成立 �

證 ∵（│a│＋│b│）2＝a2＋b2＋2│a││b│＝a2＋b2＋2│ab│ │a＋b│2＝（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab ∵│ab│�ab ∴（│a│＋│b│）2

�│a＋b│2

! │a│＋│b│�│a＋b│ 武陵高中

翰翰之範圍為翰之範圍為　　　　。翰　　　　。

林林林林 2

林 2 原式

林原式!

林 !

林林 ∴與林 ∴與1林 1同林同

雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲 �雲 �│雲 │雲－

雲－2

雲 2

3雲 3 x雲 x＋雲＋∴雲 ∴a雲 a＝雲＝雲－雲－2雲 23雲 3 ，雲，

端的解為

端的解為 x

端 x�

端 �－

端－1

端 1 或

端或 x

端 x�

端 �4

端 4，則

端，則 a

端 a

端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端 �端 �│端 │2端 2x端 x－端－3端 3│端 │�端 �∴端 ∴a端 a＝端＝2端 2，端，b端 b＝端＝學學學學 b學 b│學 │且等號成立學且等號成立�學 �學學 │學 │a學 a││學 ││b學 b│＝學 │＝a學 a2學 2＋學＋b學 b2學 2＋學＋2學 2│學 │ab學 ab＋

學＋b學

b2學

2＋

學＋2學

2ab學

ab

院


【範例】

若 y＝│x－3│＋│x＋4│1 求 y 之最小值。2 承1有最小值時，x 的範圍。各校重要考題

解

〈法一〉三角不等式

1 y＝│x－3│＋│x＋4│ ＝│3－x│＋│x＋4│�│（3－x）＋（x＋4）│ ＝│7│＝72 當“＝”成立時：

（3－x）（x＋4）�0 !（x－3）（x＋4）�0 ∴－4�x�3

〈法二〉數線上的幾何意義


1題絕對值方程式

求下列各方程式的解：

1 │x－1│＋│x＋2│＝2。2 │x－1│＋│x＋2│＝3。3 │x－1│＋│x＋2│＝4。解

1 ∵│x－1│＋│x＋2│�3 ∴│x－1│＋│x＋2│＝2 無解2 當 │x－1│＋│x＋2│ 有最小值 3

�

3 1 當 x�1：

∴2x＝3　∴x＝32

2 當 x�－2：

! －2x＋1－2＝4

! －2x＝5　∴x＝－52

2題綜合應用

若 │x－1│＋│x＋2│＝k，則：1 此方程式 x 有無限多解時，求 k 的範圍為　　　　。2 此方程式 x 恰有 2 解時，求 k 的範圍為　　　　。3 此方程式 x 無解時，求 k 的範圍為　　　　。4 此方程式 x 有解時，求 k 的範圍為　　　　。解

1 當 k＝3 時－2�x�1 對 x 來說有無限多解

∴x 有無限多解時，

2 當 k＞3：x 恰有 2 解3 當 k＜3：x 無解4 當 k�3：x 有解

翰林林林林 4林 4）│林）│

�林 �0林 0林林林雲雲端端端端

∴

端 ∴

2 端 2 當端當 x端 x�端 �

學學學學學 k

學 k的範圍為

學的範圍為　　　　。

學　　　　。

的範圍為學的範圍為　　　　。學　　　　。

的範圍為學的範圍為　　　　。學　　　　。

的範圍為學的範圍為　　　　。學　　　　。學學學學 2 學

2 當學

當 k學

k＞學

＞3學

3：學

：

院院院院


1-2-5 絕對值函數圖形筆記欄

〈key〉1 令各個絕對值內為

0 的根即為折點的 x 坐標。

2 若有最大或最小值，

則必發生在折點。

【範例 1】1 y＝│x－1│＋│x＋2│＋│x－3│，求 y 的最小值＝　　　　，此時 x 範圍：　　　　。2 y＝│x－1│＋│x＋2│＋│x－3│＋│x－4│，求 y 的最小值＝　　　　，此時 x 範圍：　　　　。解

1

1� 先找零點2� 找最中間的零點

1 最小值＝3－（－2）＝5 2 此時 x＝1

2

1� 先找零點2� 找中間的區段

1 最小值＝0＋3＋2＋3＝8（x＝1 代入） 2 此時 1�x�3

【範例 2】y＝│x＋5│－│x－3│＋│x－1│＋3，求 y 的最小值＝　　　　，此時 x 範圍：　　　　。解

1� 找折點：x＝－5，1，32� 畫折線圖

x －6 －5 1 3 4y 2 1 7 13 14

由圖知：當 x＝－5，y＝1 最小值

【觀念】1 奇數個絕對值相加

!當 x＝時，y 有最小值

2 偶數個絕對值相加

!當 x＝時，y 有最小值

翰翰翰絕對值函數圖形翰絕對值函數圖形

的最小值＝　　　　，此時翰

的最小值＝　　　　，此時 x翰 x範圍：　　　　。翰範圍：　　　　。

林林林林林林林林林林林先找零點林先找零點

找中間的區段林找中間的區段

最小值＝林最小值＝0林 0＋林＋3林 3＋林＋2林 2＋林＋3林 3＝林＝8林 8（林（x林 x此時

林此時 1林

1�林

� �

林 �3林

3

雲雲，求

雲，求 y

雲 y的最小值＝　　　　，

雲的最小值＝　　　　，

雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲 x雲 x －雲－6雲 6 －雲－5雲 5 1 3 4雲 1 3 41 3 4雲 1 3 4y雲 y 2 1 7 13 14雲 2 1 7 13 142 1 7 13 14雲 2 1 7 13 142 1 7 13 14雲 2 1 7 13 142 1 7 13 14雲 2 1 7 13 14

端學學學時，學時，y 學 y 有最小值學有最小值學學

時，學

時，y 學 y 有最小值學有最小值學院



1題絕對值作圖

函數 y＝f（x）＝│x－2│＋│x－5│ 的最小值為　　　　，此時 x 值範圍為　　　　。

解

2題絕對值作圖

1 函數 y＝f（x）＝│x＋1│＋│x－3│＋│x＋3│ 的最小值為　　　　，此時 x＝　　　　。武陵高中

2 數線上動點 P（x）到 A（－1），B（3），C（－3）三個點的距離和為 #PA＋#PB＋#PC 的最小值為　　　　，此時 x＝　　　　。

解

1 1�

2�

2 與1相同

3題絕對值作圖

1 作出 f（x）＝－32│x＋1│＋

32│x－3│＋2x－2 的函數圖形，並標出此圖形與 x 軸的交點坐

標以及圖形的轉折點坐標。（每個點坐標須清楚標示）

2 承上，若方程式 f（x）＝a 有三個實數解，則 a 的範圍為　　　　。北一女中

解

1 1�

x －2 －1 3 4f（x） 0 2 －2 0

2�

2 ∵f（x）＝a 有三個實根 ∴y＝f（x），y＝a 有三個交點 ∴－2＜a＜2

翰翰的最小值為翰的最小值為　　　　，此時翰　　　　，此時翰林林林林 │＋│林 │＋│x林 x＋林＋3林 3│林 │的最小值為林的最小值為　　　　，此時林　　　　，此時雲雲

＝　　　　。

雲＝　　　　。

雲雲雲雲雲雲 2 雲 2 與雲與1雲 1相同雲相同

端端端端－端－3端 3│＋端 │＋2端 2x端 x－端－2 端 2 的函數圖形，並標出此圖形與端的函數圖形，並標出此圖形與

學學學學學 2 學 2 ∵學 ∵f學 f∵f∵學 ∵f∵（學（x學 x）＝學）＝∴學 ∴y學 y＝學＝f學 f＝f＝學＝f＝（學（x學 x∴－學 ∴－2學 2＜學＜a學 a學學學學學學學學學學學學學學院院院院


1-2-6 一次絕對值方程式與不等式

【範例 1】絕對值方程式：

x 為實數且 │x＋1│＋│2x－3│＝10，求此方程式的解？解

1 當 x�32：（x＋1）＋（2x－3）＝10 ! 3x＝12　∴x＝4

2 當－1�x�32：（x＋1）－（2x－3）＝10 !

3 當 x�－1： !

∴由123知：

【範例 2】絕對值不等式：

不等式 │x│－│x－4│＞－1 的解 x 之範圍？臺南一中

解

1 x�4：x－（x－4）＞－1 ! 4＞－1 恆成立　∴x�4

2 0�x�4：

3 x�0：

∴由123得：



請問滿足絕對值不等式 │4x－12│�2x 的實數 x 所形成的區間，其長度為下列哪一個選項？A 1 B 2 C 3 D 4 E 6 e學測

解

│4x－12│�2x! 0�│2x－6│�x

!　x�0　－x�2x－6�x

　　x�0 　　x�0!　x�6 !　x�6　 3x�6 　 x�2�2�x�6 的長度為 6－2＝4故選D

翰翰一次絕對值方程式與不等式翰一次絕對值方程式與不等式

，求此方程式的解？翰，求此方程式的解？

林 3林 3x林 x＝林＝12林 12　∴林　∴x林 x＝林＝4林 4

10 林 10 !林 !林林林林 !林

!林林雲雲雲之範圍？雲之範圍？

端端端端端端端端端學 2學 2x學 x的實數學的實數 x學 x所形成的區間，其長度為下列哪一個選項？學所形成的區間，其長度為下列哪一個選項？

C學 C 3學 3 D學 D學學學學 �

學 �0學

0學院院院院院

�

院�2

院2�

院�x

院x�

院�6

院6 的長度為

院的長度為

故選院故選D院D



│x－1│＜│2x－3│，求 x 範圍。桃園高中

解

∵│x－1│＜│2x－3│

∴ ! x2－2x＋1＜4x2－12x＋9

∴3x2－10x＋8＞0 !（3x－4）（x－2）＞0

∴x＞2 或 x＜43


│x－1│＋│2x－3│＝│3x－4│，求 x 範圍。臺中一中

解

已知：│x－1│＋│2x－3│ ＝│3x－4│ ＝│（x－1）＋（2x－3）│

由三角不等式知：

1-2-S 超越巔峰

1題

�1：y＝│x－1│＋│x＋2│＋│x－3│，�2：y＝a1 �1 與 �2 恰有 2 個交點，求 a 的範圍為　　　　。2 �1 與 �2 沒有交點，求 a 的範圍為　　　　。3 │x－1│＋│x＋2│＋│x－3│＝a 有 2 個實根，求 a 的範圍為　　　　。4 │x－1│＋│x＋2│＋│x－3│＝a 有實根，求 a 的範圍為　　　　。解

2題

試求 │x－7│＋│2x＋6│＝│x＋13│ 的解？

解

翰翰翰翰翰 ∴翰

∴3翰

3x翰

x2翰 2－翰

－10翰

10x翰

x＋翰

＋

林範圍。林範圍。林林林林由三角不等式知：林由三角不等式知：

雲雲雲雲 �雲 �2雲 2：雲：y雲 y＝雲＝a雲 a的範圍為雲的範圍為　　　　。雲　　　　。

的範圍為雲的範圍為　　　　。雲　　　　。

2 雲 2 個實根，求雲個實根，求的範圍為雲

的範圍為

端學的解？學的解？學院


1-1-E 考前衝刺一單選題

1 將 3245949950

化成小數，則小數點以下第 100 位數為何？

A 9 B 8 C 2 D 4 E 6。臺南一中、高雄女中、瀛海高中

解

二多選題

2 a、b 均為實數，下列敘述何者正確？ A若 a＋b，a－b 均為有理數，則 a、b 均為有理數 B若 a×b，a÷b 均為有理數，則 a、b 均為有理數 C若 a、b 為無理數，則 a＋b，a－b 至少有一個無理數 D若 a3 與 a9 都是有理數，則 a 必為有理數 E若 a＋b�2 ＝0，則 a＝b＝0 臺中一中、高雄中學解

3 下列那些為有理數？

A 97

101 B 0.123 C 5＋�2 D � E

1�2 －1

F 0.3 $5 G �361 H �0.001 I �0.$4 J �0.1$6 K （��＋1 ＋�� ）×（��＋1 －�� ），其中 � 是圓周率臺中一中、建國中學、臺南一中

解

翰翰翰翰翰 1-1-E 考前衝刺翰 1-1-E 考前衝刺1-1-E 考前衝刺翰 1-1-E 考前衝刺1-1-E 考前衝刺翰 1-1-E 考前衝刺

化成小數，則小數點以下第翰

化成小數，則小數點以下第 100 翰 100 位數為何？翰位數為何？

林林雲均為實數，下列敘述何者正確？雲均為實數，下列敘述何者正確？

均為有理數，則雲均為有理數，則 a雲 a、雲、b雲 b均為有理數雲均為有理數

均為有理數，則雲均為有理數，則 a雲 a、雲、b雲 b均為有理數雲均為有理數

a雲 a－雲－b雲 b至少有一個無理數雲至少有一個無理數

必為有理數雲必為有理數

端學

C

學 C 5

學 5＋

學＋�

學 ��2 �

學 �2 � D

學 D

H學 H �學 ��0.001�學 �0.001� I學 I�學 ��學 �� ），其中學），其中 �學 �是圓周率學是圓周率學院


4 數線上那些點可以利用尺規作圖找到相對位置？

A �2 ＋�5 B 5＋�2

3 C 3�7

D �2＋�3 E圓周率 � F nm（m、n�N）臺南一中

解

5 關於下列不等式，請選出正確的選項。

A �13 �3.5 B �13 �3.6 C �13 －�3 ��10

D �13 ＋�3 ��16 E 1

�13 －�3 �0.6 e學測

解

三填充題

6 x 為有理數，若（1＋�2 ）x2－2�2 x－1－3�2 ＝0，則 x＝　　　　。臺南一中

解

翰數線上那些點可以利用尺規作圖找到相對位置？翰數線上那些點可以利用尺規作圖找到相對位置？翰 5翰 5＋翰＋�翰 ��2 �翰 �2 �

3翰 3

圓周率翰圓周率 �翰 �

林雲關於下列不等式，請選出正確的選項。雲關於下列不等式，請選出正確的選項。

�雲 ��13 �雲 �13 � �雲 �3.6雲 3.6雲 1雲 1�雲 ��13 �雲 �13 � －雲－�雲 ��3 �雲 �3 �

�雲 �0.6雲 0.6雲端學 �

學 ��2 �

學 �2 � x

學 x－

學－1

學 1－

學－3

學 3�

學 ��2 �

學 �2 � ＝

學＝0

學 0，則

學，則

學院


7 x、y�Q，且 x＋y16＋�2#52 ＝x�8－�28 ＋5，求數對（x�y）＝　　　　。臺南一中

解

8 如圖，#AB＝1＋�2 ，#BC＝6＋4�2 ，B 在 #AC 上，以 #AC 為直徑作半圓，並過 B 作垂直於 #AC 的直線交半圓於 D 點。若 #AD＝a＋b�2 （a、b 為有理數），則數對（a�b）＝　　　　。臺中一中

解

9 設 a＞0，b＞0，且 5a＋3b＝30，若 6ab 有最大值 M 時，a＝a0，b＝b0，則數對（M�a0＋b0）＝　　　　。新竹女中、高雄中學

解

翰＝翰＝x翰 x�翰 ��8�翰 �8�� －�翰 � －�� 翰 � �� 28 �翰 � 28 �� 28 � ��翰 � �� 28 � �� ＋翰＋5翰 5，求數對翰，求數對翰林雲雲 �

雲 � 在

雲在上，以

雲上，以

的直線交半圓於

雲的直線交半圓於 D

雲 D點。若

雲點。若

b雲 b）＝　　　　。雲）＝　　　　。雲端學學院


0 設 x、y＞0 且 9x＋

4y＝1，求（ 3

�x ＋

2�y )

2

的最大值為　　　　。臺中一中

解

四計算題

q 在一半徑為 20 公尺的半圓形草皮上，欲圍一矩形做為花圃（如右圖），而花圃一邊與圓的直徑重合，求此矩形花圃的最大面積為多少平方公

尺？又此時矩形花圃的長與寬各為多少公尺？政大附中

解

w 正數 a 之小數部分為 b，且 a2＋2b2＝15，求 a＋2b 之值。臺南一中、北一女中

解

翰翰 3翰 3�翰 ��x�翰 �x�＋翰＋翰 2翰 2

�翰 �y翰 y�y�翰 �y� )翰 )2翰 2

的最大值為翰的最大值為翰林雲

公尺的半圓形草皮上，欲圍一矩形做為花圃

雲公尺的半圓形草皮上，欲圍一矩形做為花圃

而花圃一邊與圓的直徑重合，求此矩形花圃的最大面積為多少平方公雲而花圃一邊與圓的直徑重合，求此矩形花圃的最大面積為多少平方公

尺？又此時矩形花圃的長與寬各為多少公尺？雲尺？又此時矩形花圃的長與寬各為多少公尺？雲端學學院


1-2-E 考前衝刺一單選題

1 設 a＝2�3 ＋3�7

5，b＝

3�3 ＋2�7 5

，c＝4�3 ＋7�7

11，d＝

7�3 ＋4�7 11

，下列何者

正確？

A a＞b＞c＞d B d＞a＞c＞b C c＞b＞a＞d D d＞c＞b＞a E c＞a＞b＞d 臺中女中

解

二填充題

2 比較下列各數的大小：a＝3

3－�6 ，b＝

5�10 －�5

，c＝11

�13 －�2 為　　　　。

成功高中、德光中學

解

3 在數線上，設 A（－5）、B（3）。已知點 P（x）也是數線上一點，且 #AP＝3#BP，則 x＝　　　　。武陵高中、聖功女中、臺中一中

解

翰翰翰翰翰 1-2-E 考前衝刺翰 1-2-E 考前衝刺1-2-E 考前衝刺翰 1-2-E 考前衝刺1-2-E 考前衝刺翰 1-2-E 考前衝刺翰＋翰＋2翰 2�翰 ��7 �翰 �7 �，翰

，c翰 c＝翰＝翰 4翰 4�翰 ��3 �翰 �3 � ＋翰＋7翰 7�翰 �林

d

林 d＞

林＞a

林 a＞

林＞c

林 c＞

林＞b

林 b

c林 c＞林＞a林 a＞林＞b林 b＞林＞d林 d林雲雲 �雲 ��6 �雲 �6 �，雲，b雲 b＝雲＝雲 5雲 5

�雲 ��10 �雲 �10 � －雲－�雲 ��5 �雲 �5 �

端學

）。已知點

學）。已知點 P

學 P（

學（x

學 x）

學）也是數線上一點，且

學也是數線上一點，且

學院


4 設實數 x、y 滿足 │x－1│�2，│2y＋1│�5，若 xy－x＋3y＋1 之最大值為 M，最小值 m，試求數對（M�m）＝　　　　。臺中一中

解

5 已知 x 是實數，且滿足－4�x�10，則：1 將 x 表為 │hx－k│�14 時，數對（h�k）為　　　　。2 將 x 表為 │ax＋1│�b 時，數對（a�b）為　　　　。北一女中、成功高中

解

6 滿足不等式 │ax＋2│�b 之 x 範圍為 x�28 或 x�－12，試求數對（a�b）為　　　　。武陵高中、成功高中

解

翰翰 2翰 2y翰 y2y2翰 2y2 ＋翰＋1翰 1│翰 │�翰 �5翰 5，若翰，若 xy翰 xy－翰－x翰 x＋翰＋）＝　　　　。翰）＝　　　　。翰林雲雲雲

時，數對

雲時，數對（

雲（h

雲 h�

雲 �k

雲 k）為

雲）為　　　　。

雲　　　　。

時，數對雲時，數對（雲（a雲 a�雲 �b雲 b）為雲）為　　　　。雲　　　　。雲端學院


7 設 x 為實數，已知 │x＋3│－│x－1│＝x＋1，則 x＝　　　　。（列出所有解）建國中學、新竹高中

解

三計算題

8 設 x、y 都是實數且 │x－3│�1，│y－1│�2，求下列各數的範圍： 1 2x＋3y。 2 2x－3y。 3 xy。 4 x2＋y2。北一女中、成功高中、武陵高中

解

9 解不等式 │x－2│－3│x＋1│＞2x－9。臺南女中、新竹女中、成功高中

解

翰翰－翰－1翰 1│＝翰 │＝x翰 x＋翰＋1翰 1，則翰，則 x翰 x＝　　　　。（列出所有解）翰＝　　　　。（列出所有解）翰林雲，│

雲，│y

雲 y－

雲－1

雲 1│

雲 │�

雲 �2

雲 2，求下列各數的範圍：

雲，求下列各數的範圍：

。雲。 2雲 2 2雲 2x雲 x－雲－3雲 3y雲 y。雲。。雲。 4雲 4 x雲 x2雲 2＋雲＋y雲 y2雲 2。雲。雲端學院

41高中數學(一)第 2 章多項式函數

2-1 簡單的多項式函數及其圖形

2-1-1 函數的定義與奇偶函數【函數的起源】在西元 1694 年，德國數學家萊布尼茲（Leibnize）最早提出函數觀

念。直到十九世紀，笛利克雷（Dirichlet）才把函數作正式定義。【函數的定義】如果 x、y 表示兩個變量，當變量 x，依照某種對應規則，

皆可找到的一個 y 值與之對應，我們就稱，

此時 x 稱為，y 稱為。

【奇函數與偶函數】

1 定義：1 奇函數：若 f（－x）＝，則 f（x）稱之為奇函數

2 偶函數：若 f（－x）＝，則 f（x）稱之為偶函數

2 討論：函數可以“ ”或“ ”

不可以“ ”或“ ”

【範例】下列那些函數或圖形表 y 是 x 的函數？A 　B 　C 　D

解 ABD


1題奇、偶函數

下列函數中，何者為奇函數？

A f（x）＝x2＋1 B f（x）＝3x5＋xC f（x）＝2x3＋1 D f（x）＝（x－2）3

E f（x）＝（x2＋1）（x4＋3x2）

解

A ：f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1�－f（x）B ：f（－x）＝3‧（－x）5＋（－x）＝－（3x5＋x）＝－f（x）C ：f（－x）＝2（－x）3＋1＝－2x3＋1�－f（x）

D ：f（－x）＝（－x－2）3＝－（x＋2）3�－f（x）

E ：f（－x）＝〔（－x）2＋1〕〔（－x）4＋3（－x）2〕

＝（x2＋1）（x4＋3x2）�－f（x）∴選B

多項式函數2 楊皓老師編授翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數多項式函數翰多項式函數

林林簡單的多項式函數及其圖形

林簡單的多項式函數及其圖形

林林函數的定義與奇偶函數林函數的定義與奇偶函數年，德國數學家萊布尼茲林年，德國數學家萊布尼茲

念。直到十九世紀，笛利克雷林念。直到十九世紀，笛利克雷（林（Dirichlet林 Dirichlet表示兩個變量，當林表示兩個變量，當林林

的一個林的一個 y林

y值與之對應，我們就稱林

值與之對應，我們就稱

雲）＝

雲）＝

雲雲，則

雲，則 f

雲 f（

雲（x

雲 x）

雲）

）＝雲）＝雲雲，則雲，則 f雲 f（雲（x雲 x）雲）稱之為偶函數雲稱之為偶函數”或“雲 ”或“雲雲 ”雲 ””或“雲 ”或“雲雲 ”雲 ”y雲 y是雲是 x雲 x的函數？雲的函數？

端端端端端端端端端端端端端端端學

B

學 B f

學 f（

學（x

學 x）＝

學）＝3

學 3x

學 x

D

學 D f

學 f（

學（x

學 x）＝（

學）＝（x

學 x

學學學學 x學 x）學） D學 D學學：學：f學 f（－學（－E學 E學學：學：f學 f（－學（－＝學

＝

院院院院


2-1-2 直線的斜率

【定義】若 L 直線不垂直 x 軸，在 L 上任取相異兩點 A（x1�y1），B（x2�y2），

則 L 直線之斜率＝y2－y1

x2－x1＝�y�x

（）

斜率為正斜率為負斜率為 0 斜率無定義

【討論】1 若 L⊥x 軸，則斜率不存在直線朝右上（↗）：m＞02

!$#$%

直線朝右下（↘）：m＜0 直線水平（→）：m＝0

【注意】直線之傾斜度愈大，則其斜率之絕對值愈大，若只寫斜率愈大則不正確

【範例 1】如右圖，四條直線 L1、L2、L3、L4 的斜率依次 m1、m2、m3、m4 比較其大小何者正確？ A m1＞m2＞m3＞m4

B m2＞m4＞m3＞m1

C m3＞m2＞m1＞m4

D m3＞m4＞m1＞m2

解

m3＞m4＞0＞m1＞m2 !D

【一次函數 f（x）＝ax＋b 中 a 的意涵】1 斜率的幾何意涵：設 A（x1�y1）、B（x2�y2）且 x1�x2 為直線 L：y＝ax＋b 上相異

兩點，則 y2－y1

x2－x1＝（ax2＋b）－（ax1＋b）

x2－x1＝

a（x2－x1）

x2－x1＝a，

所以 a 為直線 L：y＝ax＋b 的斜率2 討論：1 當 a＞0 時：若 x 增加 1 單位時，f（x）增加 a 單位

2 當 a＜0 時：若 x 增加 1 單位時，f（x）減少 │a│ 單位由12可以得知，a 為 f（x）值相對於 x 值的變化率

【範例 2】已知一次函數 f（x）通過兩點（－1�4）與（17�－5），

則 f（1234）－f（4321）

1234－4321＝　　　　。

〈key〉 1 斜率＝a

2 f（x2）－f（x1）

x2－x1＝

y2－y1

x2－x1＝a

解

所求為過 A（－1�4）與 B（17�－5）的斜率

∴所求＝－5－4

17－（－1）＝－918＝－

12

翰翰翰軸，在翰軸，在 L翰 L上任取相異兩點翰上任取相異兩點

y翰 y �翰

�y翰

y�y�翰

�y�翰翰林林林林林林林林林林林林林林林林斜率為負林斜率為負斜率為林斜率為 0林 0軸，則斜率不存在林軸，則斜率不存在

：林：m林

m＞林＞0林

0

雲雲 m

雲 mm

雲 m 0

雲 00

雲 0

直線之傾斜度愈大，則其斜率之絕對值愈大，若只寫斜率愈大則不正確

雲直線之傾斜度愈大，則其斜率之絕對值愈大，若只寫斜率愈大則不正確

、雲、L雲 L2雲 2、雲、L雲 L3雲 3、雲、L雲 L4雲 4的斜率依次雲的斜率依次

比較其大小何者正確？雲比較其大小何者正確？

端的意涵】端的意涵】

y端 y1端 1）、端）、B端 B（端（x端 x2端 2�端 �y端 y2端 2）端）且端且 x端 x1端 1�端 �端 y端 y2端 2－端－y端 y1端 1

x端 x2端 2－端－x端 x1端 1＝端＝端（端（ax端 ax2端 2＋端＋b端 b）－（端）－（x端 x2端 2－端－x端 x

為直線

端為直線的斜率

端的斜率

學學增加

學增加 1

學 1 單位時，

學單位時，f

學 f（

學（x

學 x）

學）減少

學減少

為學為 f學 f（學（x學 x）學）值相對於學值相對於 x學 x值的變化率學值的變化率通過兩點學通過兩點（－學（－1學 1�學 �4學 4）學）與學與（學（學）學）＝　　　　。學＝　　　　。

斜率＝學斜率＝a學 a

院院的斜率

院的斜率



1題斜率的定義

設 f（x）為一次函數，而且每當 x 增加 1 單位時，其相對應的函數值減少 2 單位， f（3）＝0，請選出正確的選項？A f（x）的圖形之斜率為 2B f（x）的圖形為一由左上向右下傾斜之直線C f（x）的圖形不通過第四象限D f（x）的圖形與 x 軸交於點（3�0）E f（5）＝－5解

∵f（x）為一次函數 ! 令 f（x）＝ax＋b由題意知：斜率＝－2 ! a＝－2∴f（x）＝－2x＋b又 f（3）＝－6＋b＝0 ! b＝6∴f（x）＝－2x＋6

!

! 選BD

2-1-3 線型函數

【型】1 a、b 為實數，形如 f（x）＝ax＋b 的多項式函數，其圖形為一直線，所以我們稱為線型函數。

2 線型函數 f（x）＝ax＋b，　若 a�0，則稱 f（x）為，Ex f（x）＝2x－3!$#$%

若 a＝0 且 b�0，則稱 f（x）為，Ex f（x）＝2　若 a＝0 且 b＝0，則稱 f（x）為，即 f（x）＝0


1題線性調整

某次平時測驗的成績普遍低落，老師用一個線型函數來調整全班的分數，結果使 30 分提高為 60 分，80 分提高為 100 分，若某生提高後的分數為 76 分，則他的原始分數是　　　　分。

解

設原分數：x，新分數：y令此線型函數 y＝ax＋b

由題意： 60＝30a＋b ...............1

　　　　

!#%100＝80a＋b .............2

2－1：a＝45，b＝36

∴y＝45

x＋36

! y＝76 代入得 x＝50

翰增加翰增加 1 翰 1 單位時，其相對應的函數值減少翰單位時，其相對應的函數值減少

林的圖形為一由左上向右下傾斜之直線

林的圖形為一由左上向右下傾斜之直線

0林 0）林）林林林林 !林 !林林林林雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲 !雲 !選雲選BD雲 BD雲端端 b端 b，端，

為端為端端，端，端 Ex端 Ex f端 f（端（x端 x）＝端）＝，則稱端，則稱 f端 f（端（x端 x）端）為端為端端，端，，則稱端，則稱 f端 f（端（x端 x）端）為端為端端，即端，即學

某次平時測驗的成績普遍低落，老師用一個線型函數來調整全班的分數，結果使

學某次平時測驗的成績普遍低落，老師用一個線型函數來調整全班的分數，結果使

分，若某生提高後的分數為學分，若某生提高後的分數為學學學學 2學 2－學－1學 1：學：a學 a＝學＝院院院院

!

院!


2-1-4 二次函數的圖形【型】1 函數 f（x）＝ax2＋bx＋c，若 a�0，則 f（x）稱為二次函數。

2 二次函數的圖形為。

Ex 1 試在坐標平面上，描出 y＝f（x）＝x2 的圖形。x －3 －2 －1 0 1 2 3 ⋯y 9 4 1 0 1 4 9 ⋯

　　頂點：（0�0）!

!$#$%

對稱軸：x＝0　　開口：向上（a＞0）

2 試在坐標平面上，描出 y＝f（x）＝－x2＋2x－1 的圖形。y＝f（x）＝－（x2－2x＋1）＝－（x－1）2

x －2 －1 0 1 2 3 4 ⋯y －9 －4 －1 0 －1 －4 －9 ⋯

　　頂點：（1�0）!

!$#$%

對稱軸：x＝1　　開口：向下（a＜0）

【結論】二次函數 y＝f（x）＝ax2＋bx＋c：1 a＞0 ! 圖形為開口的拋物線。 a＜0 ! 圖形為開口的拋物線。2 │a│ 愈大 ! 開口。

│a│ 愈小 ! 開口。

3 開口向上的拋物線有最低點，

開口向下的拋物線有最高點，

此最高（低）點稱為拋物線之。

4 作圖時可先找出頂點及開口方向，

而頂點的求法必須利用。

翰翰翰二次函數的圖形翰二次函數的圖形

c翰 c，若翰，若 a翰 a�翰 �0翰 0，則翰，則 f翰 f（翰（x翰 x）翰）稱為二次函數。翰稱為二次函數。翰翰。翰。

試在坐標平面上，描出翰

試在坐標平面上，描出 y翰 y＝翰＝f翰 f＝f＝翰＝f＝（翰（x翰 x）＝翰）＝x翰 x2翰 2的圖形。翰的圖形。林　　頂點：（林　　頂點：（0林 0�林 �0林 0）林）!林 !

!林 !　　頂點：（!　　頂點：（林　　頂點：（!　　頂點：（$林 $　　頂點：（

$　　頂點：（林　　頂點：（

$　　頂點：（　　頂點：（!　　頂點：（

$　　頂點：（!　　頂點：（林　　頂點：（!　　頂點：（

$　　頂點：（!　　頂點：（

#林 #$#$林 $#$

$林 $#$#林 #$#

%林 %

對稱軸：林對稱軸：x林 x＝林＝0林 0　　開口：向上（林　　開口：向上（$　　開口：向上（

$林 $　　開口：向上（

$%　　開口：向上（%林 %　　開口：向上（%$%$　　開口：向上（

$%$林 $%$　　開口：向上（

$%$ a林 a＞林＞0林 0雲

x

雲 x＋

雲＋1

雲 1）＝－（

雲）＝－（x

雲 x－

雲－1

雲 1）

雲）2

雲 2

雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲雲 0 1 2 3 4雲 0 1 2 3 40 1 2 3 4雲 0 1 2 3 40 1 2 3 4雲 0 1 2 3 40 1 2 3 4雲 0 1 2 3 4 ⋯雲 ⋯0雲 0 －雲－1雲 1 －雲－4雲 4 －雲－9雲 9 ⋯雲 ⋯　　頂點：（雲　　頂點：（1雲 1�雲 �0雲 0）雲）!雲 !

!雲 !　　頂點：（!　　頂點：（雲　　頂點：（!　　頂點：（$雲 $　　頂點：（

$　　頂點：（雲　　頂點：（

$　　頂點：（　　頂點：（!　　頂點：（

$　　頂點：（!　　頂點：（雲　　頂點：（!　　頂點：（

$　　頂點：（!　　頂點：（

#雲

#$#$雲 $#$對稱軸：雲

對稱軸：x雲

x＝雲

＝1雲

1

端＋

端＋bx

端 bx＋

端＋c

端 c：

端：

端端的拋物線。端的拋物線。端端的拋物線。端的拋物線。端端。端。端端。端。

開口向上的拋物線有最低點，端

開口向上的拋物線有最低點，

學點稱為拋物線之

學點稱為拋物線之

學學。

學。

作圖時可先找出頂點及開口方向，學作圖時可先找出頂點及開口方向，

而頂點的求法必須利用學而頂點的求法必須利用學學。學。學院


【範例】試將下列二次函數配方，求出頂點坐標和 y 的最大值或最小值。1 y＝x2＋6x－2　　2 y＝4x2－4x－2　　3 y＝－3x2＋4x＋1

解 1 y＝（x＋3）2－11 ∴頂點（－3�－11），得 y 之最小值為－11

2 y＝4（x2－x）－2＝4（x－12）

2

－3

∴頂點（12�－3），得 y 之最小值為－3

3 y＝－3（x2－43

x）＋1＝－3（x－23）

2

＋73

∴頂點（23�

73），得 y 之最大值為

73


1題已知頂點

二次函數 y＝ax2＋bx＋6a

在 x＝－1 時有最大值 5，則 a、b 值＝　　　　。

解

1� y＝ax2＋bx＋6a＝a（x＋1）2＋5（a＜0）

＝a（x2＋2x＋1）＋5＝ax2＋2ax＋a＋5 由比較係數得知：

b＝2a ....................1

∴

!$#$%

6a＝a＋5 ..............2

2� 由2：6＝a2＋5a ! a2－5a－6＝0 !（a＋6）（a－1）＝0 ∴a＝－6 ＜1（不合）代回1：b＝2a＝2×（－6）＝－12Ans：a＝－6，b＝－12

2題圖形判讀

設 a、b�R 且二次函數 f（x）＝a（x－1）2＋b（a＜0）滿足 f（4）＞0�f（5）＜0，則下列何者為真？

A f（－4）＞0 B f（－3）＞0 C f（－2）＞0D f（－1）＞0 E f（0）＞0解

∵f（x）＝a（x－1）2＋b，a＜0! 頂點（1�b）! 對稱軸 x＝1

∴由圖知：CDE

翰試將下列二次函數配方，求出頂點坐標和翰試將下列二次函數配方，求出頂點坐標和 y翰 y的最大值或最小值。翰的最大值或最小值。翰 y翰 y＝翰＝4翰 4x翰 x2翰 2－翰－4翰 4x翰 x－翰－2翰 2　　翰　　3翰 3之最小值為－翰

之最小值為－11翰

11

林之最小值為－

林之最小值為－3

林 3

＋林＋林 7林 73林 3林 7林 7

3林 3林雲 1 雲 1 時有最大值雲時有最大值 5雲 5，則雲，則 a雲 a雲雲雲雲 2雲 2�雲 � 由雲由2雲 2：雲：6雲 6＝雲＝ !雲 ! a雲 a2雲 2－雲－5雲 5a雲 a

∴雲

∴a雲

a＝－雲

＝－6雲

6

端端端端 2端

2

學（－

學（－3

學 3）＞

學）＞0

學 0

0學 0）＞學）＞0學 0學學學學學學學學學學學學學學學學學學學學學院院院院

∴由圖知：

院∴由圖知：


2-1-5 有範圍限制的二次函數的極值

在配方得頂點坐標後，畫函數圖形（略圖即可），找出在 x 值容許範圍內函數的最高點、最低點。最大值、最小值必發生在頂點或端點的地方。

【範例】若－2�x�3，則 f（x）＝x2－2x＋5 的最小值為　　　　，最大值為　　　　。解

f（x）＝x2－2x＋5＝（x－1）2＋4由圖知：

∵－2�x�3∴當 x＝1 時，f（x）有 min＝4 當 x＝－2 時，f（x）有 Max＝13

2-1-5-E 試題精煉1題有範圍限制的最大值與最小值

設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f（t）＝－t2＋10t＋11，其中 1�t�10，則這段時間內該地區的最大溫差為何？

A 9 B 16 C 20 D 25 E 36解

f（t）＝－t2＋10t＋11＝－（t－5）2＋36∵1�t�10∴t＝5 時，f（t）有 Max＝36 t＝10 時，f（t）有 min＝11

∴所求＝36－11＝25!D

2-1-6 二次函數求解的三大型態

【型】1 已知頂點（h�k） ! 【討論】當 x＝h 時，y 有最大（或最小）為 k ! 即表示頂點為（h�k）

2 已知拋物線與 x 軸之兩交點（x1�0），（x2�0） ! 3 已知二次函數圖形過相異三點 !


1題已知對稱軸

已知二次函數 y＝f（x）通過點（2�3），（－1�6）且對稱軸為 x＝1，則此二次函數 f（x）為　　　　。

解

1� ∵對稱軸為 x＝1 ∴令頂點（1�k） ! y＝f（x）＝a（x－1）2＋k

2� （2�3），（－1�6）代入

! 3＝a＋k

!#%6＝4a＋k

∴ a＝1

!#%k＝2

∴y＝f（x）＝（x－1）2＋2＝x2－2x＋3

翰翰有範圍限制的二次函數的極值翰有範圍限制的二次函數的極值

在配方得頂點坐標後，畫函數圖形翰在配方得頂點坐標後，畫函數圖形（略圖即可），找出在翰（略圖即可），找出在

高點、最低點。最大值、最小值必發生在頂點或端點的地方。翰高點、最低點。最大值、最小值必發生在頂點或端點的地方。

）＝翰）＝x翰 x2翰 2－翰－2翰 2x翰 x＋翰＋5 翰 5 的最小值為翰的最小值為

林林林林林林林林林林林林林林林林林林林林林林林林林林林林林雲

設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為

雲設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f

雲 f（

雲（t

雲 t）＝－

雲）＝－t

雲 t2

雲 2t2t

雲 t2t＋

雲＋10

雲 10t

雲 t＋

雲＋

C雲 C 20雲 20 D雲 D雲雲雲雲 ∴所求＝雲 ∴所求＝36雲 36－雲－!雲 !D雲 D

端端端端端端二次函數求解的三大型態端二次函數求解的三大型態端端 y端 y有最大端有最大（或最小）端（或最小）為端為學學 3學 3），學），（－學（－1學 1�學 �6學 6）學）且對稱軸為學且對稱軸為學院院院院

!

院 !

3

院3

院

!

院!#

院#!#!

院!#!

%

院%#%#

院#%#6

院6＝

院＝

∴院 ∴y院y＝院＝f院f＝f＝院＝f＝（院（x院x


2題坐標化

二次函數圖形如右，則二次函數為何？

解

設 y＝a（x－1）（x－3）

點（5�2）代入 ! 2＝a‧4‧2　∴a＝14

∴二次函數：y＝14（x－1）（x－3）

! y＝14

x2－x＋34

3題已知圖上三點

設二次函數 f（x）＝ax2＋bx＋c 之圖形通過（1�3），（2�5），（3�11），則數對（a�b�c）＝　　　　。

解

點（1�3），（2�5），（3�11）代入 y＝ax2＋bx＋c 3＝a＋b＋c .................1!

!$#$%

5＝4a＋2b＋c .............2 11＝9a＋3b＋c ...........3

2－1：2＝3a＋b..................43－2：6＝5a＋b..................55－4：4＝2a∴a＝2 代回，得 b＝－4，c＝5∴（a�b�c）＝（2�－4�5）

4題坐標化

如圖，拋物線之拱門，底部寬 12 公尺（即 #AB＝12 公尺），距地面

高 32

公尺處寬 10 公尺（即 #CD＝10 公尺），則此拱門最高處的高

度為　　　　公尺。

解

〈key〉圖形坐標化

〈法一〉1� 令頂點（0�h） ! y＝f（x）＝a（x－0）2＋h

2� B（6�0），D（5�32）代入

!

32＝25a＋h

!$#$%0＝36a＋h

∴

a＝－322

!$$#$$%

h＝5411

∴所求＝h＝5411

〈法二〉1� 令 A（－6�0），B（6�0） ! y＝f（x）＝a（x＋6）（x－6）

2� C（－5�32）代入

! 32＝a‧1‧（－11）

! a＝－322

∴y＝－322（x＋6）（x－6）

令 x＝0 代入 ! y＝h＝5411

∴h＝5411

翰二次函數圖形如右，則二次函數為何？翰二次函數圖形如右，則二次函數為何？翰翰林林林林林

∴二次函數：

林 ∴二次函數：

林

之圖形通過林之圖形通過（林（1林 1�林 �3林 3），（林），（2林 2�林 �雲雲雲雲雲＋

雲＋bx

雲 bx＋

雲＋c

雲 c 2

雲 2－

雲－1

雲 1：

雲：2

雲 2＝

雲＝

3雲 3－雲－2雲 2：雲：6雲 6＝雲＝5雲 5－雲－4雲 4：雲：4雲 4＝雲＝∴雲 ∴a雲 a＝雲＝2 雲 2 代回，得雲代回，得∴（雲 ∴（a雲 a�雲 �b雲 b�雲 �c雲 c）＝（雲）＝（端 10

端 10 公尺），則此拱門最高處的高

端公尺），則此拱門最高處的高

端端端端〈法二〉端〈法二〉1端 1�端 � 端 !端 !

2端

2�端

�

學學 !

學 !

∴學 ∴

令學令

∴學

∴

院院院院


2-1-7 二次函數的對稱軸與判別式

【型】1 a、b、c�R 且 a�0，二次方程式 ax2＋bx＋c＝0 之解 x＝－b±�b2－4ac

2a設判別式 D＝b2－4ac　D＞0 ! 相異兩實根!$#$%

D＝0 ! 相等實根（二重根）　D＜0 ! 兩虛根

【說明】ax2＋bx＋c＝0 ! a（x2＋ba

x）＝－c

! a（x＋b

2a）2

＝b2－4ac

4a !（x＋

b2a）

2

＝b2－4ac

4a2

! x＋b

2a＝±�b2－4ac

2a

∴x＝－b±�b2－4ac

2a2 y＝ax2＋bx＋c 判斷係數的正負：

1 a：看開口 ! a＞0，開口上

!#%a＜0，開口下

2 b：看對稱軸：x＝－b2a

3 c：看拋物線與 y 軸之交點（0�c）交兩點 ! D＞04 b2－4ac：看拋物線與 x 軸的交點個數

!$#$%

相　切 ! D＝0 沒交點 ! D＜05 a、b、c 相加減：看函數值

Ex f（1）＝a＋b＋c


1題圖形與係數

已知 y＝ax2＋bx＋c 的圖形如右，則下列何者正確？A b＞0 B c＞0 C a＋b＋c＜0D a－b＋c＞0 E b2－4ac＞0 　　解

1� 由圖可知： a＞0，c＜0

又－b2a＞0 ! b＜0

2� f（1）＝a＋b＋c＜0 f（－1）＝a－b＋c＞03� 與 x 軸交 2 點 ! b2－4ac＞0∴選CDE

翰翰二次函數的對稱軸與判別式翰二次函數的對稱軸與判別式

，二次方程式翰，二次方程式 ax翰 ax2翰 2＋翰＋bx翰 bx＋翰＋林 0 林 0 !林 ! a林 a（林（x林 x2林 2＋林＋林 b林 b

a林 ax林 x）林）＝－林＝－c林 c）林）

2林 2

＝林＝林 b林 b2林 2－林－4林 4ac林 ac4林 4a林 a

!林 !（林（x林 x＋林＋林 b林 b2林 2±林 ±�林

��b�林

�b�� 2�林

� 2�� －�林

� －�� 4�林

� 4�� ac�林

� ac�

雲雲 �

雲 �2

雲 2a

雲 a

判斷係數的正負：雲判斷係數的正負：

0雲 0，開口上雲，開口上

0雲 0，開口下雲，開口下雲－雲－b雲 b2雲

2a雲

a

端端交兩點

端交兩點

：看拋物線與

端：看拋物線與 x

端 x軸的交點個數

端軸的交點個數

交兩點! 交兩點

端交兩點! 交兩點

$

端 $

交兩點$

交兩點

端交兩點

$ 交兩點交兩點! 交兩點

$ 交兩點! 交兩點

端交兩點! 交兩點

$ 交兩點! 交兩點

#

端 #$#$

端 $#$

$端 $#$#

端 #$#

%端 %$%$端 $%$相　切

端相　切

沒交點端沒交點相加減：看函數值端相加減：看函數值

學的圖形如右，則下列何者正確？

學的圖形如右，則下列何者正確？

0學 0 C學 C－學－4學 4ac學 ac＞學＞0學 0 　　學　　學學學學學 2學 2�學 � f學 f（學（1學 1）＝學）＝a學 a＋學＋ f學

f（－學

（－1學

1）＝學

）＝

院院院院


2-1-8 二次函數的恆正與恆負【型】若 y＝ax2＋bx＋c（a�0，a、b、c�R）

1 恆正：�x�R，y 值恆為正 � a＞0

!#%D＜0

� � � � �x�R，y�0 恆成立 � a＞0

!#%D�0

2 恆負：�x�R，y 值恆為負 � a＜0

!#%D＜0

�x�R，y�0 恆成立 � a＜0

!#%D�0

【討論】不管恆正或恆負 � D＜0

2-1-8-E 試題精煉1題二次函數的恆負

二次函數 f（x）＝kx2－4x－1 的值恆負，求 k 的範圍為　　　　。

解

由題：kx2－4x－1＜0，�x�R

! k＜0

!#%D＝16＋4k＜0

! k＜0

!#%k＜－4

∴k＜－4

1題二次函數的恆正

已知函數 f（x）＝－2x2＋x＋a 的圖形恆在函數 g（x）＝4x＋5 圖形的下方，則滿足上述條件的正整數 a 有　　　　個。

解

1� ∵－2x2＋x＋a＜4x＋5，�x�R ! 2x2＋3x＋（5－a）＞0，�x�R ∵恆正

∴D＝32－4‧2‧（5－a）＜0 ! －31＋8a＜0

! a＜318

2� ∵a�N ! a＝1 ＜2 ＜3Ans：3 個

翰翰翰二次函數的恆正與恆負翰二次函數的恆正與恆負

a翰 a、翰、b翰 b、翰、c翰 c�翰 �R翰 R）翰）

值恆為正翰值恆為正�翰 �a翰 a＞翰＞0翰 0!翰 !

#翰 #%翰

%D翰 D＜翰＜0 翰 0 翰翰翰翰翰翰林

#

林 #%

林 %D

林 D�

林 �0

林 0

林林值恆為負林值恆為負�林 �a林 a＜林＜0林 0!林 !

#林 #%林 %D林 D＜林＜0 林 0 林林林林林林恆成立林恆成立�林 �

a林 a＜林＜0林 0!林 !#林 #%林 %D林 D�林 �0 林 0 林林林林林林雲雲的值恆負，求雲的值恆負，求 k雲 k的範圍為雲的範圍為　　　　。雲　　　　。雲雲雲雲端端端端學學學學學 2學 2�學 � ∵學 ∵a學 a�學 �N學 N !學 ! a學 a＝學＝1學 1 ＜學＜Ans學 Ans：學：3 學 3 個學個院院院院


2-1-9 y＝ax3 與 y＝ax4 之圖形對於一般形式的三次函數 y＝ax3＋bx2＋cx＋d，a�0；與一般形式的四次函數 y＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，a�0，在高三的課程再討論，在此我們先研究單項的 y＝ax3 與 y＝ax4 的圖形。【型 A】y＝ax3，a�0

Ex y＝x3

x －3 －2 －1 0 1 2 3y －27 －8 －1 0 1 8 27

【討論】設實數 a�01 當 a＞0 時，y＝ax3 的圖形愈往右邊的點，會愈往上攀升；

當 a＜0 時，y＝ax3 的圖形愈往右邊的點，會愈往下降低。

2 y＝ax3 的圖形對稱於原點。 3 y＝ax3 的圖形與 y＝－ax3 的圖形對稱於 x 軸。

【型 B】y＝ax4，a�0Ex y＝x4

x －2 －1 0 1 2y 16 1 0 1 16

【討論】設實數 a�01 當 a＞0 時，y＝ax4 的圖形除了原點外都在 x 軸的上方；當 a＜0 時，y＝ax4 的圖形除了原點外都在 x 軸的下方。

2 y＝ax4 的圖形對稱於 y 軸。3 y＝ax4 的圖形與 y＝－ax4 的圖形對稱於 x 軸。

翰翰翰＝翰＝ax翰 ax4翰 44翰 4之圖形翰之圖形

＋翰＋bx翰 bx2翰 2＋翰＋cx翰 cx＋翰＋d翰 d，翰，a翰 a�翰 �0翰 0；與一般形式的四次函數翰；與一般形式的四次函數，在高三的課程再討論，在此我們先研究單項的翰，在高三的課程再討論，在此我們先研究單項的

林林林林林林林林林林林林林林林林林 0 1 2 3

林 0 1 2 30 1 2 3

林 0 1 2 30 1 2 3

林 0 1 2 30 1 2 3

林 0 1 2 30 1 8 27林 0 1 8 270 1 8 27林 0 1 8 270 1 8 27林 0 1 8 270 1 8 27林 0 1 8 27

的圖形林的圖形

愈往右邊的點，會愈往上攀升；林愈往右邊的點，會愈往上攀升；

的圖形林的圖形

雲的圖形對稱於原點。

雲的圖形對稱於原點。

＝－

雲＝－ax

雲 ax3

雲 3的圖形對稱於

雲的圖形對稱於 x

雲 x

雲雲雲雲雲雲雲 0 1 2雲 0 1 20 1 2雲 0 1 216 1 0 1 16雲 16 1 0 1 1616 1 0 1 16雲 16 1 0 1 16雲雲雲雲雲雲端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端端學的圖形除了原點外都在學的圖形除了原點外都在

的圖形除了原點外都在學的圖形除了原點外都在

的圖形對稱於學的圖形對稱於 y學 y軸。學軸。

＝－學＝－ax學 ax4學 4的圖形對稱於學的圖形對稱於 x學 x學院


【討論】1 若有三方程式，y＝x2，y＝x3，y＝x4

則 �1：y＝x2

�2：y＝x3

�3：y＝x4

2 三圖形的共同交點：（0�0），（1�1）3 y 值比大小：

1 當 0＜x＜1 ! y1＞y2＞y3

2 當 x＞1 ! y1＜y2＜y3

2-1-9-E 試題精煉1題三次與四次圖形

右圖為四個函數 f1（x）＝ax＋b�f2（x）＝ax2，f3（x）＝（x－c）3�

f4（x）＝ax4＋d 的圖形，其中 a、b、c、d 為實數且 a�0，試問下列選項何者正確？

A f2（x）與 f4（x）皆為偶函數 B �2 為 f4（x）＝ax4＋d 的圖形C ab＜0 D c＜0E d＝0 解

A ∵f 2（－x）＝a（－x）2＝a（x）2＝f 2（x） ! f 2（x）為偶函數又 f 4（－x）＝a（－x）4＋d＝ax4＋d＝f 4（x） ! f 4（x）為偶函數

BCDE �1：f 4（x）＝ax4＋d ! a＞0，d＝0� � � � �2：f 2（x）＝ax2 ! a＞0� � � � �3：f 1（x）＝ax＋b ! a＞0，b＞0� � � � �4：f 3（x）＝（x－c）3 ! c＞0!AE

2-1-10 二次函數與一般函數的平移【二次函數平移】

二次函數 y＝ax2 沿 x 軸向右平移 h 單位，沿 y 軸向上平移 k 單位，則新函數為〈方法一〉看頂點

原頂點：（0�0），新頂點：（h�k）原函數：y＝ax2 ! 新函數：

〈方法二〉代入函數（x�y）→（x＋h�y＋k）

y＝ax2 x → x＋hy → y＋k y－k＝a（x－h）2

〈口訣〉平移代入函數＋ ! －

!#%－ ! ＋

Ex 將 y＝2x2 的圖形右移 3 單位再上移 5 單位則新函數為 ∵（x�y）→（x＋3�y＋5）

∴y＝2x2 x → x＋3y → y＋5 y－5＝2（x－3）2

翰 x翰 x2翰 2，翰，y翰 y＝翰＝x翰 x3翰 3，翰，y翰 y＝翰＝x翰 x4翰 4

三圖形的共同交點：（

翰三圖形的共同交點：（），（

翰），（）

翰）

林＞

林＞y

林 y2

林 2＞

林＞y

林 y3

林 3

2林 2＜林＜y林 y3林 3

x林 x）＝林）＝ax林

ax2林 2，林

，f林

f3林

3f3f林

f3f（林

（x林

x）＝（林

）＝（x林

x－林

－林雲 �

雲 �2

雲 2為

雲為 f

雲 f4

雲 4f4f

雲 f4f（

雲（x

雲 x）＝

雲）＝ax

雲 ax4

雲 4＋

雲＋d

雲 d的圖形

雲的圖形

c雲 c＜雲＜0雲 0雲雲雲雲 BCDE雲 BCDE 雲 �雲 �1雲 1�雲

�

端端端端 !

端 !AE

端 AE

端二次函數與一般函數的平移端二次函數與一般函數的平移

軸向右平移端軸向右平移 h端 h單位，沿端單位，沿 y端 y軸向上平移端軸向上平移學

），新頂點：（

學），新頂點：（h

學 h�

學 �k

學 k）

學）

新函數：學新函數：學學 x學 x＋學＋h學 h�學 �y學 y＋學＋k學 k）學）

k學 k＝學＝a學 a（學（x學 x－學－h學 h）學）2學 2

－學－

＋學＋

院x院x－院－3院3）院）2院2院


【一般函數平移】

y＝f（x）沿 x 軸向右平移 h 單位，沿 y 軸向上平移 k 單位，則新函數為（∵（x�y）→（x＋h�y＋k））

〈口訣〉平移代入函數＋ ! －

!#%－ ! ＋

Ex 將 y＝x3 往右移 3 單位再下移 2 單位則新函數為

∵（x�y）→（x＋3�y－2）

∴y＝x3 x → x＋3y → y－2 y＋2＝（x－3）3

2-1-10-E 試題精煉

1題函數的平移

二次函數 y＝－12

x2－2x＋1 的圖形，沿 x 軸正向移動二個單位，y 軸方向向上移動六個單

位，最後方程式為　　　　。

解

1� y＝－12

x2－2x＋1

＝－12（x2＋4x）＋1

＝－12（x＋2）2＋3

頂點（－2�3）

2� 新頂點（0�9）

方程式：y＝－12（x－0）2＋9＝

－12

x2＋9

2題函數的平移

在坐標平面上，拋物線 y＝2x2 向右移動 h 單位且向上移動 k 單位後，所得到的拋物線通過 P（0�6），Q（1�4），求 h、k 的值。

解

設新拋物線 y＝2（x－h）2＋k∵過 P（0�6）! 2（0－h）2＋k＝6 過 Q（1�4）! 2（1－h）2＋k＝4

! 2h2＋k＝6

!#%2－4h＋2h2＋k＝4

! h＝1

!#%k＝4

翰單位，沿翰單位，沿 y翰 y軸向上平移翰軸向上平移 k翰 k單位，翰單位，x翰 x�翰 �y翰 y）→（翰）→（x翰 x＋翰＋h翰 h�翰 �y翰 y＋翰＋k翰 k））翰））－翰－

林－林－3林 3）林）3林 3林雲

的圖形，沿

雲的圖形，沿 x

雲 x軸正向移動二個單位，

雲軸正向移動二個單位，

雲雲雲雲 2雲 2�雲 � 新頂點雲新頂點（雲（方程式：雲方程式：端端端端學

向右移動

學向右移動 h

學 h單位且向上移動

學單位且向上移動

的值。

學的值。

學學學學 !學 !2學 2h學 h2學 2＋學＋k學 k＝學＝!學 !

#學 #!#!學 !#!

%學 %#%#學 #%#

2學 2－學－4學 4h學 h＋學＋!學 !h學 h＝學＝1學 1!學 !

#學 #!#!學 !#!

%學

%#%#學 #%#

k學

k＝學

＝4學

4

院院院院


2-1-S 超越巔峰

1題

若函數 f（x）符合條件 f（－x）＝f（x）者，稱之為偶函數，請選出下列函數是偶函數者？A f1（x）＝x4－3x2－4B f2（x）＝│x＋3│＋│x│＋│x－3│C f3（x）＝（x＋2）2＋（x－3）2＋〔－2（x＋1）2〕

D f4（x）＝（x2－2x＋4）（x＋2）－（x2＋2x＋4）（x－2）

E f5（x）＝g（x）＋g（－x）

2，其中 g（x）為 n 次多項式臺南女中

解

2題

設二次實係數多項式函數 f（x）＝ax2＋2ax＋b 在區間－1�x�1 上的最大值為 7、最小值為 3。試求數對（a�b）的所有可能值。 q指考乙

解

翰翰 x翰 x）翰）者，稱之為偶函數，請選出下列函數是偶函數者？翰者，稱之為偶函數，請選出下列函數是偶函數者？

林 2

林 2（

林（x

林 x＋

林＋1

林 1）

林）2

林 2〕

林〕

2

林 2＋林＋2林 2x林 x＋林＋4林 4）（林）（x林 x－林－2林 2）林）g林 g（林（x林 x）林）為林為 n林 n次多項式林次多項式林雲端 ax端 ax2端 2＋端＋2端 2ax端 ax＋端＋b端 b在區間－端在區間－1端 1�端 �的所有可能值。端的所有可能值。端學院


3題

設 a、b、c 皆為實數，y＝ax2＋bx＋c 與 y＝bcx＋ab 的圖形相交情形可能是下列哪一個圖形？師大附中

A B C D E

解

4題

�x�R，（m－2）x2＋2（2m－3）x＋（5m－6）＞0 無解，則 m 範圍為　　　　。武陵高中、臺南一中

解

5題

若將二次函數 f（x）＝ax2＋bx＋c 的圖形沿 x 軸向右平移 1 單位，再沿 y 軸向上平移 2 單位後恰與 g（x）＝px2＋qx＋r 的圖形重合，則 g（2）－f（1）＝　　　　。建國中學

解

翰＋翰＋c翰 c與翰與 y翰 y＝翰＝bcx翰 bcx＋翰＋ab翰 ab的圖形相交情形可能是下列哪一個圖翰的圖形相交情形可能是下列哪一個圖C翰 C翰翰翰 D翰 D林林林林雲＋（雲＋（5雲 5m雲 m－雲－6雲 6）＞雲）＞0 雲 0 無解，則雲無解，則雲端學的圖形沿學的圖形沿 x學 x軸向右平移學軸向右平移 1 學 1

的圖形重合，則學的圖形重合，則 g學 g（學（2學 2）－學）－f學 f）－f）－學）－f）－（學（1學 1）＝　　　　。學）＝　　　　。學院


2-2 多項式的運算與應用

2-2-1 多項式的定義與次數【定義】1 多項式的定義：

凡是 x 的次方為或，（即 n�N 或 n＝0）則 f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋⋯⋯＋a1x＋a0，稱為 x 的多項式

2 多項式次數的符號：

若 an�0，則 f（x）為 n 次多項式，以 deg f（x）＝n 表示

3 常數多項式：包含“零次多項式”與“零多項式”

1 零次多項式：若 f（x）＝c（c�0），則 f（x）稱之零次多項式且 deg f（x）＝0

2 零多項式：若 f（x）＝0，則 f（x）稱之零多項式且 deg f（x）不存在【討論】若 f（x）為多項式，則 x 不能在根號內，不能在分母，不能在指數中，不能

在絕對值內。

【範例 1】下列何者為 x 的多項式？

A x＋1x B x2＋2│x│＋3 C x2＋1＝0

D x9＋�3 x2－5 E

2x＋1

＋3x4＋4

解 D

【性質】若 deg f（x）＝m，deg g（x）＝n，則1 deg〔f（x）‧g（x）〕＝m＋n Ex f（x）＝x3，g（x）＝x2

! f（x）‧g（x）＝x3＋2

2 deg〔f（x）±g（x）〕�Max｛deg f（x），deg g（x）｝ Ex 1 f（x）＝x3，g（x）＝x2

! deg〔 f（x）－g（x）〕＝3�3 2 f（x）＝x3＋x2，g（x）＝x3

! deg〔 f（x）－g（x）〕＝2�3 3 f（x）＝x3＋x2＋x，g（x）＝x3＋x2

! deg〔 f（x）－g（x）〕＝1�3 4 f（x）＝x3＋x2＋x＋1，g（x）＝x3＋x2＋x ! deg〔 f（x）－g（x）〕＝0�3

【範例 2】設 f（x）＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 為整係數多項式，且 2│a│＋3（b＋5）2＋│c＋2│＝1，則 f（x）之次數為　　　　次。

解

∵a＝0，b＋5＝0 ! b＝－5 c＋2＝±1 ! c＝－1 或－3∴f（x）之次數為三次

次數

翰翰多項式的運算與應用翰多項式的運算與應用翰翰多項式的定義與次數翰多項式的定義與次數翰翰或

翰或

翰翰（即

翰（即

林林林多項式次數的符號：

林多項式次數的符號：

為林為 n林 n次多項式，以林次多項式，以 deg 林 deg f林 f常數多項式：包含“零次多項式”與“零多項式”林常數多項式：包含“零次多項式”與“零多項式”

f林 f（林（x林 x）＝林）＝c林 c（林（c林 c�林 �0林 0），則林），則 f林 f deg 林 deg f林 f（林（x林 x）＝林）＝0林 0（林（x林

x）＝林）＝0林

0，則林

，則 f林

f（林

（x林

x）林

）稱之零多項式且林

稱之零多項式且林林林雲

的多項式？

雲的多項式？

B雲 B x雲 x2雲 2＋雲＋2雲 2│雲 │x雲 x│＋雲 │＋3雲 3E雲 E雲 2雲 2x雲 x＋雲＋1雲 1

＋雲＋3雲 3x雲 x4雲 4＋雲＋4雲 4端

）〕＝

端）〕＝m

端 m＋

端＋n

端 n

）＝

端）＝x

端 x2

端 2

）＝端）＝x端 x3端 3＋端＋2端 2

�端 �Max端 Max｛端｛deg 端 deg f端 f（端（x端 x），端），deg 端 deg （端（x端 x）＝端）＝x端 x2端 2

）－端）－g端 g（端（x端 x）〕＝端）〕＝3端 3�端 �3端 3（端（）＝端

）＝ 3端

3

學＋

學＋x

學 x，

學，g

學 g（

學（x

學 x）＝

學）＝x

學 x3

學 3＋

學＋x

學 x2

學 2

）－

學）－g

學 g（

學（x

學 x）〕＝

學）〕＝1

學 1�

學 �3

學 3

＋學＋x學 x＋學＋1學 1，學，g學 g（學（x學 x）＝學）＝x學 x3學 3＋學＋x學 x2學 2）－學）－g學 g（學（x學 x）〕＝學）〕＝0學 0�學 �3學 3cx學 cx2學 2＋學＋dx學 dx＋學＋e學 e為整係數多項式，且學為整係數多項式，且

＋學＋2學 2│＝學 │＝1學 1，則學，則 f學 f（學（x學 x）學）之次數為學之次數為院院


2-2-2 多項式的係數和【公式】若 f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋⋯⋯＋a1x＋a0

則1 常數項＝a0＝

2 係數和＝a0＋a1＋⋯⋯＋an＝

【討論】a1＋a2＋⋯⋯＋an＝

3 偶次項係數和：a0＋a2＋a4＋⋯⋯＝

4 奇次項係數和：a1＋a3＋a5＋⋯⋯＝

【說明】∵f（1）＝a0＋a1＋a2＋a3＋⋯⋯＋an

f（－1）＝a0－a1＋a2－a3＋⋯⋯＋（－1）nan

∴f（1）＋f（－1）

2＝a0＋a2＋a4＋a6＋⋯⋯

f（1）－f（－1）2

＝a1＋a3＋a5＋⋯⋯

【範例】f（x）＝（x2－x＋1）3 的展式中1 常數項＝　　　　。

2 係數和＝　　　　。

3 偶次項係數和＝　　　　。

解

1 常數項＝f（0）＝（02－0＋1）3＝13＝12 係數和＝f（1）＝（1－1＋1）3＝13＝1

3 偶次項係數和＝f（1）＋f（－1）

2＝

1＋272＝14


1題係數問題

設 f（x）＝（x＋2）4，g（x）＝（x2－x＋1）3，則：

1 f（x）＋g（x）的各項係數和＝　　　　。2 f（x）‧g（x）的各項係數和＝　　　　。3 f（x）‧g（x）的偶次項係數和＝　　　　。解

1 令 F（x）＝f（x）＋g（x）所求＝F（1）＝f（1）＋g（1）＝34＋13＝822 令 G（x）＝f（x）‧g（x）所求＝G（1）＝f（1）‧g（1）＝34‧13＝81

3 令 G（x）＝f（x）‧g（x）

所求＝G（1）＋G（－1）

2

　　＝f（1）‧g（1）＋f（－1）‧g（－1）

2

　　＝34‧13＋14‧33

2＝

81＋272

＝54

翰翰翰多項式的係數和翰多項式的係數和

＋⋯⋯＋翰＋⋯⋯＋a翰 a1翰 1x翰 x＋翰＋a翰 a0翰 0翰翰＋⋯⋯＋翰＋⋯⋯＋a翰

a＝翰

＝翰翰林

0

林 0＋

林＋a

林 a2

林 2＋

林＋a

林 a4

林 4＋⋯⋯＝

林＋⋯⋯＝

林林 1林 1＋林＋a林 a3林 3＋林＋a林 a5林 5＋⋯⋯＝林＋⋯⋯＝林林 3林 3＋⋯⋯＋林＋⋯⋯＋a林 an林 n

－林－a林 a3林 3＋⋯⋯＋林＋⋯⋯＋（－林（－1林 1）林）n林 na林 an林 n雲雲＋

雲＋a

雲 a3

雲 3＋

雲＋a

雲 a5

雲 5＋⋯⋯

雲＋⋯⋯

的展式中雲的展式中

偶次項係數和＝　　　　。雲偶次項係數和＝　　　　。

端端端 1

端 1＋

端＋27

端 27

2端 2＝端＝14端 14

學學學的各項係數和＝　　　　。

學的各項係數和＝　　　　。

的偶次項係數和＝　　　　。學的偶次項係數和＝　　　　。學學學學 3 學 3 令學令 G學 G（學（x學 x）＝學）＝所求＝學所求＝學 G學 Gf學

f

院院院院　　＝

院　　＝

院


2-2-3 多項式的除法原理 f（x）＝b（x）q（x）＋r（x），或 ↑ ↑ ↑ ↑ 被除式除式商式餘式

【討論】f（x）＝（ax－b）g（x）＋r ↑ ↑ 除式一次餘式為常數

【範例】設多項式 f（x）被 ax＋b（a、b 為實數，a�0），除之得商式 3x2－6x＋1，

若 f（x）被 x＋ba

除之得商式為 9x2－18x＋3，則 a 值為　　　　。

解

由題意 ! f（x）＝（ax＋b）‧（3x2－6x＋1）＋r＝（x＋ba）‧a（3x2－6x＋1）＋r

∴a（3x2－6x＋1）＝9x2－18x＋3∴a＝3


1題除法原理

設 abr�0，且多項式 f（x）除以（ax＋b）的商式為 q（x），餘式為 r，試問下列敘述哪些為真？

A 3f（x）除以（ax＋b）的商式為 3q（x），餘式為 r

B f（x）除以 2（ax＋b）的商式為 12

q（x），餘式為 r

C 4f（x）除以 4（ax＋b）的商式為 4q（x），餘式為 4rD xf（x）除以（ax＋b）的商式為 xq（x），餘式為 rx

E f（xa）除以（x＋b）的商式為 q（

xa），餘式為 r

解

由題意：f（x）＝（ax＋b）q（x）＋rA ：∵f（x）＝（ax＋b）q（x）＋r ! f（x）＝（ax＋b） q（x）＋3r ↑ ↑ ↑ ↑

B ：∵f（x）＝（ax＋b）q（x）＋r

＝（ax＋b）‧ q（x）＋r

↑ ↑ ↑

C ：∵f（x）＝（ax＋b）q（x）＋r ! f（x）＝（ax＋b）q（x）＋ r ↑ ↑ ↑ ↑

D ：∵f（x）＝（ax＋b）q（x）＋r ! f（x）＝（ax＋b） q（x）＋r ↑ 被除式＝（ax＋b）xq（x）＋

ra（ax＋b）－

bra

＝（ax＋b）（xq（x）＋ra）－

bra

↑ ↑ ↑

除式商式餘式

E ：∵f（x）＝（ax＋b）q（x）＋r

! f（）＝（a‧ ＋b）q（xa）＋r

被除式＝（x＋b）q（xa）＋r

↑ ↑ ↑ 除式商式餘式

↑

↑

翰翰翰多項式的除法原理翰多項式的除法原理翰翰或翰或翰翰林

除式一次餘式為常數

林除式一次餘式為常數

b

林 b（

林（a

林 a、

林、b

林 b為實數，

林為實數，a

林 a�

林 �0

林 0），除之得商式

林），除之得商式

除之得商式為林除之得商式為 9林 9x林 x2林 2－林－18林 18x林 x＋林＋3林 3，則林，則1林 1）＋林）＋r林 r＝林＝（林（x林 x＋林＋林 b林 ba林 a）林）‧林 ‧a林 a（林（3林 3x林 x2林 2－林－6林 6雲雲 ax雲 ax＋雲＋b雲 b）雲）的商式為雲的商式為 q雲 q（雲（x雲 x），餘式為雲），餘式為q雲 q（雲（x雲

x），餘式為雲），餘式為 r雲

r

端 2

端 2 4

端 4q

端 q（

端（x

端 x），餘式為

端），餘式為 4

端 4r

端 r

xq端 xq（端（x端 x），餘式為端），餘式為 rx端 rx端 x端 xa端 a）端），餘式為端，餘式為 r端 r端端端學學學學學學

↑

學 ↑

學被除式

學被除式

＝學＝

↑ ↑ ↑學 ↑ ↑ ↑

E 學 E 學學：∵學：∵f學 f：∵f：∵學：∵f：∵（學（院院院院

院

↑ ↑ ↑院 ↑ ↑ ↑ 院


2-2-4 多項式的綜合除法

f（x）＝2x3＋10x2－3x＋1，求 f（x）除以（x＋2）之商式：，餘式：。

【長除法】〈法一〉〈法二〉

2x2＋ 6x － 15

x＋2 2x3＋ 10x2

－ 3x＋ 12x3＋ 4x2

6x2－ 3x

6x2＋ 12x－ 15x＋ 1－ 15x－ 30

31

2 ＋ 6－ 151＋2 2 ＋ 10－ 3＋ 1

2 ＋ 46－ 36＋ 12－ 15＋ 1－ 15－ 30

31

【綜合除法】 2 ＋ 10－ 3＋ 1－ 4－ 12＋ 30 x＋2

【討論】綜合除法要求 x 係數為 1

!#%常數項變號，當除式

【範例】利用綜合除法求（6x5＋3x3－7x＋4）÷（x＋2）的商式和餘式。解

6 ＋ 0＋ 3＋ 0－ 7＋ 4 －2－ 12＋ 24－ 54＋ 108－ 202

6 － 12＋ 27－ 54＋ 101－ 198

商式：6x4－12x3＋27x2－54x＋101餘式：－198


1題綜合除法

f（x）＝2x3－7x2＋3x－5，求：1 f（x）除以 x－2 之商式及餘式。2 f（x）除以 2x－1 之商式及餘式。解

1

2 － 7 ＋ 3 － 5 2＋ 4 － 6 － 6

2 － 3 － 3 －11

∴商式：2x2－3x－3，餘式：－11

2

2 － 7 ＋ 3 － 512

＋ 1 － 3 ＋ 02 － 6 ＋ 0 － 5

由除法原理知：f（x）＝（x－12）（2x2－6x）－5

＝（2x－1）－5 ↑ ↑ ↑

∴商式：x2－3x，餘式：－5

↑

翰翰翰多項式的綜合除法翰多項式的綜合除法

）翰）除以翰除以（翰（x翰 x＋翰＋2翰 2）翰）之商式：翰之商式：【長除法】〈法一〉〈法二〉翰【長除法】〈法一〉〈法二〉

15翰 15

林林林林林林林 3

林 3x

林 x

12林 12x林 x15林 15x林 x＋林＋ 1林 115林 15x林 x－林－ 30林 30

31林 31

雲雲雲雲雲係數為雲係數為 1雲 1常數項變號，當除式雲常數項變號，當除式

3雲 3x雲 x3雲 3－雲－7雲 7x雲 x＋雲＋4雲 4）÷（雲）÷（x雲 x＋雲＋2雲 2）雲）端端學之商式及餘式。學之商式及餘式。學學學學 2 學 2 學學學 2學 2 －學－ 7學 7 ＋學＋＋學＋ 1學 1 －學－院院院院

院

↑ ↑ ↑院 ↑ ↑ ↑

院

∴商式：院 ∴商式：


2-2-5 綜合除法的應用【說明】綜合除法的應用 ! 中心轉換Ex f（x）＝2x3－x2＋4x－5＝a（x－2）3＋b（x－2）2＋c（x－2）＋d

f（x）＝（x－2）（2x2＋3x＋10）＋15 ＝（x－2）＋15 ＝（x－2）2（2x＋7）＋24（x－2）＋15 ＝（x－2）2 ＋24（x－2）＋15 ＝2（x－2）3＋11（x－2）2＋24（x－2）＋15

�

2 － 1 ＋ 4 － 5 2＋ 4 ＋ 6 ＋ 20

2 ＋ 3 ＋ 10 ＋ 15＋ 4 ＋ 14

2 ＋ 7 ＋ 24＋ 4

2 ＋ 11

!

!

!!


1題中心轉換

f（x）＝x3－4x2＋7x－1＝a（x－2）3＋b（x－2）2＋c（x－2）＋d1 求 a，b，c，d。2 求 f（1.999）之值＝　　　　。（至小數點後第三位）3 f（2＋�3 ）＝　　　　。解

1

1 － 4 ＋ 7 － 1 2＋ 2 － 4 ＋ 6

1 － 2 ＋ 3 ＋ 5＋ 2 ＋ 0

1 ＋ 0 ＋ 3＋ 2

1 ＋ 2

∴a＝1，b＝2，c＝3，d＝52 由1：f（x）＝（x－2）3＋2（x－2）2＋3（x－2）＋5

! f（1.999） 5＋3（－0.001）＋2（－0.001）2＋（－0.001）3

↑

~ 5＋3（－0.001）＝4.997

3 〈法一〉

由1：f（x）＝（x－2）3＋2（x－2）2＋3（x－2）＋5 ! f（2＋�3 ）＝（�3 ）

3＋2‧（�3 ）

2＋3�3 ＋5

＝3�3 ＋6＋3�3 ＋5 ＝11＋6�3 〈法二〉

1� 令 x＝2＋�3 ! x－2＝�3 !（x－2）2＝3 ! x2－4x＋4＝3 ! x2－4x＋1＝02� 由長除法知

1 ＋ 01－4＋1 1 － 4 ＋ 7 － 1

1 － 4 ＋ 16 － 1

! f（x）＝（x2－4x＋1）‧x＋6x－1 ! f（2＋�3 ）＝0＋6‧（2＋�3 ）－1 ＝11＋6�3

翰翰翰綜合除法的應用翰綜合除法的應用

中心轉換翰中心轉換

－翰－2翰 2）翰）3翰 3＋翰＋b翰 b（翰（x翰 x－翰－2翰 2）翰）2翰 2＋翰＋c翰 c（翰（x翰 x－翰－林

＝

林＝（

林（x

林 x－

林－2

林 2）

林）

林林＝林＝（林（x林 x－林－2林 2）林）2林 2（林（2林 2 ＝林＝（林（x林 x－林－2林 2）林）2林 2林林＝林＝2林 2（林（x林 x－林－2林 2）林）3林 3＋林＋�林 �

雲 b雲 b（雲（x雲 x－雲－2雲 2）雲）2雲 2＋雲＋c雲 c（雲（x雲 x－雲－2雲 2）＋雲）＋之值＝　　　　。（至小數點後第三位）雲之值＝　　　　。（至小數點後第三位）

端端端由

端由1

端 1：

端：f

端 f（

端（

!端 ! f端 f（端（2端 2＋端＋�端 � ＝端＝

＝端＝

〈法二〉端〈法二〉

1端 1�端 � 令端令 x端 x＝端＝ !端 !（端（x端 x－端－學學學 0.001

學 0.001）

學）3

學 3 1

學 1－

學－4

學 4

!學 ! f學 f（學（x學 x !學 ! f學 f（學（2學 2學院院院院


2題中心轉換

設 f（x）＝8x3－12x2＋8x－5＝a（2x－3）3＋b（2x－3）2＋c（2x－3）＋d，且 a、b、c、d 為實數，1 則數對（a�b�c�d）＝　　　　。2 則 f（1.501）＝　　　　。（求到小數點後第三位，第四位四捨五入）臺南女中、臺南一中

解

1

8 － 12 ＋ 8 － 5＋ 12 ＋ 0 ＋ 12

8 ＋ 0 ＋ 8 ＋ 7＋ 12 ＋ 18

8 ＋ 12 ＋ 2612

8 ＋ 24

32

由綜合除法知：

f（x）＝8（x－32）

3

＋24（x－32）

2

＋26（x－32）＋7

＝（2x－3）3＋（2x－3）2＋（2x－3）＋ ∴數對（a�b�c�d）＝（1�6�13�7）

2 由1知：

f（x）＝8（x－32）

3

＋24（x－32）

2

＋26（x－32）＋7

f（1.501） 7＋26（0.001）＋24（0.001）2＋8（0.001）3

↑

~ 7＋0.026＝7.026

2-2-6 餘式定理【定理】若 f（x）除以（ax－b），則其餘式為〈key〉令除式＝0證由題意：f（x）＝（ax－b）Q（x）＋R（R 為餘式）

將 x＝ba

代入，f（ba）＝（b－b）Q（

ba）＋R＝0＋R＝R

∴R＝f（ba）

【討論】1 f（x）÷（3x－2）⋯⋯5 !

2 f（23）＝5 !

【範例 1】1 f（x）÷（x－1）之餘式＝　　　　。

2 f（x）÷（2x＋1）之餘式＝　　　　。

3 f（x）÷（x－k）之餘式＝　　　　。

4 f（x）÷（88x－88k）之餘式＝　　　　。解

1 f（1）；2 f（－12）；3 f（k）；4 f（k）

【範例 2】（375x5－699x4－35x3＋9x2＋37x＋15）÷（77x－77）之餘式為　　　　。解

令 f（x）＝375x5－699x4－35x3＋9x2＋37x＋15∴所求＝f（1）＝375－699－35＋9＋37＋15＝－298

翰翰－翰－3翰 3）翰）3翰 3＋翰＋b翰 b（翰（2翰 2x翰 x－翰－3翰 3）翰）2翰 2＋翰＋c翰 c（翰（）＝　　　　。翰）＝　　　　。

）＝　　　　。（求到小數點後第三位，第四位四捨五入）翰）＝　　　　。（求到小數點後第三位，第四位四捨五入）

林林林林 2

林 2 由

林由1

林 1知：

林知：

f林 f（林（x林 x）＝林）＝8林 8（林（ f林 f（林（1.501林 1.501）林） 7林 7＋林＋26林 26（林（0.001林 0.001

雲雲雲雲 2

雲 2）

雲）

2

雲 2x

雲 x－

雲－3

雲 3）＋

雲）＋

雲雲雲），則其餘式為雲），則其餘式為雲雲端 Q

端 Q（

端（

端 a

端 a）

端）＋

端＋R

端 R＝

端＝0

端 0＋

端＋R

端 R＝

端＝R

端 R

）⋯⋯端）⋯⋯5 端 5 !端 !端端端端學學學學之餘式＝　　　　。

學之餘式＝　　　　。

之餘式＝　　　　。學之餘式＝　　　　。

之餘式＝　　　　。學之餘式＝　　　　。

）

學）

院院＋院＋15院15＋院＋15院15＝－院＝－298院298


2-2-6-E 試題精煉1題餘式定理（除式：一次式）

若 f（x）＝x3－2x2－x＋5，則多項式 g（x）＝f（ f（x））除以（x－2）所得的餘式為　　　　。

解

〈key〉除式為（x－�），餘式為 f（�）1� f（2）＝8－8－2＋5＝3

2� 所求＝g（2）＝f（ f（2））　　＝f（3）＝33－2‧32－3＋5 　　＝27－18－3＋5＝11

2題餘式定理（除式：二次式）

已知多項式 f（x）除以 x－2、2x－1 的餘式各為 1 與－2，則以（x－2）（2x－1）除 f（x）的餘式為　　　　。陽明高中、武陵高中

解

〈key〉除式為（x－�）（x－�），餘式可設為 1ax＋b　2a（x－�）＋b〈法一〉

1� 設 f（x）＝（x－2）Q1（x）＋1＝（2x－1）Q2（x）－2

! f（2）＝1，f（12）＝－2

2� 設 f（x）＝（x－2）（2x－1）Q（x）＋ ∵ f（2）＝0＋2a＋b＝1

!$#$% f（

12）＝0＋

12

a＋b＝－2

! a＝2，b＝－3 ∴餘式＝ax＋b＝2x－3

〈法二〉

1� 設 f（x）＝（x－2）Q1（x）＋1＝（2x－1）Q2（x）－2

! f（2）＝1，f（12）＝－2

2� 設 f（x）＝（x－2）（2x－1）Q（x）＋ ∵ f（2）＝0＋0＋b＝1

!$#$%

f（12）＝0－

32

a＋b＝－2

! a＝2，b＝1 ∴餘式＝a（x－2）＋b＝2（x－2）＋1＝2x－3


設多項式 f（x）不低於三次，以 x－1 除之餘 3，以 x＋1 除之餘 1，以 x－2 除之餘－2，則以（x－1）（x＋1）（x－2）除 f（x）的餘式為　　　　。

解

〈key〉除式為（x－�）（x－�）（x－），餘式可設為1 ax2＋bx＋c2

〈法一〉設 f（x）＝（x－1）（x＋1）（x－2）Q（x）＋

∵由餘式定理知：

f（1）＝3�f（－1）＝1，f（2）＝－2　　f（1）＝a＋b＋c＝3 ......................1∴

!$#$%

f（－1）＝a－b＋c＝1 ..................2　　f（2）＝4a＋2b＋c＝－2 ..............3由1－2! 2b＝2 ! b＝1 代回1，3

! a＋1＋c＝3

!#%4a＋2＋c＝－2 !

a＋c＝2

!#%4a＋c＝－4

! a＝－2

!#%c＝4∴所求＝ax2＋bx＋c＝－2x2＋x＋4

〈法二〉設 f（x）＝（x－1）（x＋1）（x－2）Q（x）＋

∵由餘式定理知：

f（1）＝3�f（－1）＝1，f（2）＝－2　　f（1）＝c＝3 ! c＝3∴

!$#$%

f（－1）＝－2b＋c＝1 ! b＝1　　f（2）＝3a＋b＋c＝－2 ! a＝－2∴所求＝－2（x－1）（x＋1）＋（x－1）＋3　　　＝－2x2＋x＋4

翰翰（除式：一次式）翰（除式：一次式）

g翰 g（翰（x翰 x）＝翰）＝f翰 f）＝f）＝翰）＝f）＝（翰（ f翰 f（翰（x翰 x））翰））除以翰除以翰林林林林

　　＝

林　　＝f

林 f 　　＝f 　　＝

林　　＝f 　　＝（

林（

　　＝

林　　＝27

林 27

林（除式：二次式）林（除式：二次式）

1 林 1 的餘式各為林的餘式各為 1 林 1 與－林與－2林 2，則以林，則以林雲雲雲 2雲 2（雲（x雲 x）－雲）－2雲 2雲雲

!

雲 ! f

雲 f（

雲（2

雲 2）＝

雲）＝

2雲 2�雲 � 設雲設 f雲 f（雲（x雲 x）＝（雲）＝（∵雲 ∵ f雲 f（雲（2雲 2）＝雲）＝雲

!雲 !$雲 $!$!雲 !$!#雲 #$#$雲 $#$$雲 $#$#雲 #$#%雲 %$%$雲 $%$ f雲 f（雲（雲 1雲 12雲 2!雲 ! a雲 a＝雲＝2雲 2，雲，端端端端端端（除式：二次式）端（除式：二次式）

－端－1 端 1 除之餘端除之餘 3端 3，以端，以 x端 x＋端＋1 端 1 除之餘端除之餘的餘式為端的餘式為　　　　。端　　　　。端端端端），餘式可設為端

），餘式可設為〈法二〉設端

〈法二〉設 f端

f

學學學學學（

學（x

學 x）

學）

2學 2 ......................學 ......................1學 1

..................學 ..................2學 2 ..............學 ..............3學 3

1

學 1 3

學 3

f

學 f　　學　　∴學 ∴#學 #　　學　　∴所求＝－學 ∴所求＝－　　　＝－學　　　＝－院院院院4院4


4題降階假設法

deg f（x）�4，若 f（x）除以 x2＋3x＋4，x－1 的餘式分別為 x＋2，11，則 f（x）除以（x－1）（x2＋3x＋4）的餘式為　　　　。

解

1� 設 f（x）＝（x－1）Q1（x）＋11　∴f（1）＝112� 設 f（x）＝（x－1）（x2＋3x＋4）Q2（x）＋

! f（1）＝0＋8k＋3＝11　∴k＝1 ∴餘式＝（x2＋3x＋4）＋（x＋2）＝x2＋4x＋6

〈key〉除式為（ax2＋bx＋c）（x＋d），餘式可設為


設多項式 f（x）除以 x2＋2x－3 得餘式 2x＋5；除以 x2－3x－10 得餘式 5x－2，則 f（x）除以 x2－6x＋5 的餘式為　　　　。

解

〈key〉除式可分解 ! 先分解除式再以除法原理列式f（x）＝（x＋3）（x－1）Q1（x）＋2x＋5f（x）＝（x－5）（x＋2）Q2（x）＋5x－2

設 f（x）＝（x－5）（x－1）Q（x）＋a（x－5）＋b

∵ f（1）＝7＝－4a＋b

! a＝4 !#%f（5）＝23＝b

∴f（x）＝4（x－5）＋23＝4x＋3

2-2-7 牛頓插值法【f（x）為二次式】滿足 f（－1）＝3，f（1）＝1，f（2）＝3 的多項式為：f（x）＝則令 x＝－1，1，2 代入可得 a、b、c【f（x）為三次式】滿足 f（1）＝5，f（2）＝10，f（3）＝17，f（4）＝19 的多項式為：f（x）＝則令 x＝1，2，3，4 代入可得 a、b、c、d【範例】設 f（x）為三次多項式，若 f（1981）＝1，f（1982）＝9，f（1983）＝8，

f（1984）＝5，則 f（1985）＝　　　　。解

設 f（x）＝a（x－1981）（x－1982）（x－1983）＋b（x－1981）（x－1982）

＋c（x－1981）＋d! f（1981）＝1＝d f（1982）＝9＝c＋d ! c＝8

f（1983）＝8＝2b＋2c＋d ! b＝－92

f（1984）＝5＝6a＋6b＋3c＋d ! a＝76

! f（x）＝76（x－1981）（x－1982）（x－1983）

－92（x－1981）（x－1982）

＋8（x－1981）＋1

f（1985）＝76‧4‧3‧2－

92‧4‧3＋8‧4＋1＝7

翰翰＋翰＋4翰 4，翰，x翰 x－翰－1 翰 1 的餘式分別為翰的餘式分別為

　　　　。翰　　　　。翰林林林林 x林 x＋林＋6林 6林（除式：二次式）林（除式：二次式）

得餘式林得餘式 2林 2x林 x＋林＋5林 5；除以林；除以 x林 x2林 2－林－3林 3x林 x林雲雲雲雲

∵

雲 ∵#

雲 #%

雲 %#%#

雲 #%#f

雲 f（

雲（5

雲 5）＝

雲）＝23

雲 23

∴雲 ∴f雲 f∴f∴雲 ∴f∴（雲（x雲 x）＝雲）＝4雲 4（雲（x雲 x雲雲牛頓插值法雲牛頓插值法

）＝雲）＝3 雲 3 的多項式為：雲的多項式為：f雲 f（雲（x雲 xb雲

b、雲、c雲

c

端端）＝

端）＝17

端 17 f

端 f（

端（4

端 4）＝

端）＝19

端 19 的多項式為：

端的多項式為：

端端、端、b端 b、端、c端 c、端、d端 d為三次多項式，若端為三次多項式，若 f端 f（端（1981端 1981）＝端）＝1端 1，端，f端 f（端（1982端 1982

1985端 1985）＝　　　　。端）＝　　　　。

1983端

1983）端）

學學 7學 76學 6

1983學 1983）學）

院院8院8‧院‧4院4＋院＋1院1＝院＝7院7



1題牛頓插值法

設 f（x）為三次多項式，則：1 已知 f（－1）＝f（－2）＝0，f（1）＝6，f（2）＝48，求 f（0）＝？2 已知 f（－1）＝f（－2）＝f（－3）＝5，f（－4）＝－7，求 f（0）＝？3 已知 f（1）＝7，f（2）＝8，f（3）＝13，f（4）＝16，求 f（0）＝？解

1 ∵f（－1）＝f（－2）＝0 ! 令 f（x）＝（ax＋b）（x＋1）（x＋2） ∵ f（1）＝6

　

!#%f（2）＝48

! 6（a＋b）＝6

　

!#%12（2a＋b）＝48

! a＝3

!#%b＝－2

∴f（x）＝（3x－2）（x＋1）（x＋2） ! f（0）＝－2‧1‧2＝－42 ∵f（－1）＝f（－2）＝f（－3）＝5 ! 令 f（x）＝a（x＋1）（x＋2）（x＋3）＋5 ∵f（－4）＝－7 ! a‧（－3）（－2）（－1）＋5＝－7 ! a＝2 ! f（x）＝2（x＋1）（x＋2）（x＋3）＋5 ! f（0）＝2‧1‧2‧3＋5＝17

3 ∵f（1）＝7，f（2）＝8，f（3）＝13 且 deg f（x）＝3 ∴由牛頓插值法：

設 f（x）＝a（x－1）（x－2）（x－3）＋ b（x－1）（x－2）＋c（x－1）＋d

　　f（1）＝d＝7 ! d＝7

!

!$$#$$%

f（2）＝c＋d＝8 ! c＝1 　　f（3）＝2b＋2c＋d＝13 ! b＝2 　　f（4）＝6a＋6b＋3c＋d＝16 ! a＝－1 ∴f（x）＝－（x－1）（x－2）（x－3）＋ 2（x－1）（x－2）＋（x－1）＋7

! f（0）＝－（－1）（－2）（－3）＋2（－1）（－2）＋（－1）＋7

＝6＋4－1＋7＝16

2-2-8 拉格朗日插值法拉格朗日（Lagrange）插值多項式1 f（x）為一次式： a、b 為相異數，且滿足 f（a）＝p，f（b）＝q 的最低次多項式：

f（x）＝p‧（x－b）

a－b＋q‧

（x－a）b－a

【說明】令 f（x）＝k（x－b）＋l（x－a）

x＝a 代入：f（a）＝k（a－b）＝p　∴k＝p

a－b ................1

x＝b 代入：f（b）＝l（b－a）＝q　∴l＝q

b－a ...............2

12代回 f（x）＝p

a－b（x－b）＋

qb－a（x－a）

翰）＝

翰）＝（

翰（）＝

翰）＝，求

翰，求

林）＝

林）＝13

林 13，

林，f

林 f（

林（4

林 4）＝

林）＝16

林 16，求

林，求 f

林 f

林林林林 a林 a＝林＝3林 3!林 !#林 #!#!林 !#!

%林 %#%#林 #%#b林 b＝－林＝－2林 2

3 林 3 ∵林 ∵f林 f∵f∵林 ∵f∵（林（1林 1）＝林）＝ ∴由牛頓插值法：林 ∴由牛頓插值法：

設林設 f林 f（林（x林 x）＝林）＝林 f林

f（林

（1林

1）＝林

）＝!林

!$林

$!$!林

!$!

雲雲雲）＋

雲）＋5

雲 5＝－

雲＝－7

雲 7

）＋雲）＋5雲 5

$

雲 $%

雲 %$%$

雲 $%$　　

雲　　f

雲 f（

雲（4

雲 4）＝

雲）＝

∴

雲 ∴f

雲 f ∴f ∴

雲 ∴f ∴（

雲（x

雲 x）＝－（

雲）＝－（

雲 !雲 ! f雲 f（雲（0雲 0）＝－雲）＝－雲＝雲＝

端端端端拉格朗日插值法端拉格朗日插值法

插值多項式端插值多項式

）＝端）＝p端 p，端，f端 f（端（b端 b）＝端）＝q端 q的最低次多項式：端的最低次多項式：－端－a端 a）端）

學（

學（）

學）

k學 k（學（a學 a－學－b學 b）＝學）＝p學 p　∴學　∴k學 k＝學＝學 p

學 p

a學 a－學－l學 l（學（b學 b－學－a學 a）＝學）＝q學 q　∴學　∴l學 l＝學＝學 b學 b－學－學－學－b學

b（學（x學 x－學－b學 b）＋學）＋學 q學 q

b學

b－學

－a學

a（學（x學 x－學－院


2 f（x）為二次式： a、b、c 為相異數，且滿足 f（a）＝p，f（b）＝q，f（c）＝r 的最低次多項式：

f（x）＝p‧（x－b）（x－c）（a－b）（a－c）

＋q‧（x－a）（x－c）（b－a）（b－c）

＋r‧（x－a）（x－b）（c－a）（c－b）

【說明】令 f（x）＝k（x－b）（x－c）＋l（x－a）（x－c）＋m（x－a）（x－b）

x＝a 代入：f（a）＝k（a－b）（a－c）＝p　∴k＝p

（a－b）（a－c）

同理 l＝q

（b－a）（b－c），m＝

r（c－a）（c－b）

∴f（x）＝p

（a－b）（a－c）（x－b）（x－c）＋

q（b－a）（b－c）

（x－a）（x－c）

＋r

（c－a）（c－b）（x－a）（x－b）

〈口訣〉x 減其他，是誰代誰【範例】多項式 f（x）＝ax2＋bx＋c 滿足 f（2010）＝4，f（2011）＝2，f（2012）＝6，

請以牛頓插值法與拉格朗日插值法兩種方法算出此多項式。

解

1 利用牛頓插值法：

f（x）＝a（x－2010）（x－2011）＋b（x－2010）＋c f（2010）＝c＝4 f（2011）＝b＋c＝2　∴b＝－2 f（2012）＝2a＋2b＋c＝6　∴a＝3 ∴f（x）＝3（x－2010）（x－2011）－2（x－2010）＋42 利用拉格朗日插值法：

f（x）＝f（2010）×（x－2011）（x－2012）

（2010－2011）（2010－2012）＋f（2011）×

（x－2010）（x－2012）（2011－2010）（2011－2012）

＋f（2012）×

（x－2010）（x－2011）（2012－2010）（2012－2011）

! f（x）＝2（x－2011）（x－2012）－2（x－2010）（x－2012）＋3（x－2010）（x－2011）

2-2-8-E 試題精煉1題拉格朗日插值法

設 f（x）＝19‧（x－1）（x－5）（7－1）（7－5）

＋3‧（x－7）（x－1）（5－7）（5－1）

＋19‧（x－7）（x－5）（1－7）（1－5）

，試求 f（x）的

最小值為　　　　。

解

〈key〉

f（x）＝ ‧（x－1）（x－5）（7－1）（7－5）

＋ ‧（x－7）（x－1）（5－7）（5－1）

＋ ‧（x－7）（x－5）（1－7）（1－5）

1� 由拉格朗日插值法知： f（1）＝f（7）＝19，f（5）＝3 且 deg f（x）＝2

2� 令 f（x）＝a（x－1）（x－7）＋19 ! f（5）＝－8a＋19＝3　∴a＝2 ∴f（x）＝2（x－1）（x－7）＋19 ＝2x2－16x＋33＝2（x－4）2＋1�1 ∴f（x）的最小值＝1

翰（翰（a翰 a）＝翰）＝p翰 p，翰，f翰 f（翰（b翰 b）＝翰）＝q翰 q，翰，f翰 f（翰（‧翰 ‧翰（翰（x翰 x－翰－a翰 a）（翰）（x翰 x－翰－c翰 c）翰）（翰（b翰 b－翰－a翰 a）（翰）（b翰 b－翰－c翰 c）翰）＋翰＋r翰 r林 k

林 k（

林（a

林 a b

林 b）（

林）（a

林 a c

林 c）＝

林）＝p

林 p　∴

林　∴

林－林－c林 c）林），林，m林 m＝林＝林 r林 r（林（c林 c－林－a林 a）（林）（c林 c－林－林－林－c林 c）林）（林（x林 x－林－b林 b）（林）（x林 x－林－c林 c）＋林）＋林（林

（x林

x a林

a）（林

）（x林

x b林

b）林

）

雲＋

雲＋c

雲 c滿足

雲滿足 f

雲 f（

雲（2010

雲 2010）＝

雲）＝4

雲 4，

雲，f

雲 f

請以牛頓插值法與拉格朗日插值法兩種方法算出此多項式。雲請以牛頓插值法與拉格朗日插值法兩種方法算出此多項式。

端（

端（x

端 x－

端－2010

端 2010）＋

端）＋4

端 4

端－端－2012端 2012）端）

2010端 2010－端－2012端 2012）端）＋端＋f端 f＋f＋端＋f＋（端（2011端 2011）×端）×端（端（2011端 2011端 x端 x－端－2011端 2011）端）

2012端 2012－端－2011端 2011）端）

（

端（）（

端）（）＋

端）＋（

端（

學學（學（x學 x－學－7學 7）（學）（x學 x－學－1學 1）學）（學（5學 5－學－7學 7）（學）（5學 5－學－1學 1）學）＋學＋19學 19學院院院院－

院－7

院7）（

院）（5

院5－

院－1

院1）

院）

）＝院）＝2院2 ∴

院 ∴f

院f ∴f ∴

院 ∴f ∴（

院（x

院x）＝

院）＝

＝

院＝

∴院 ∴f院f ∴f ∴院 ∴f ∴（院（x院x）院）的最小值＝院的最小值＝


2-2-S 超越巔峰

1題

已知二次多項式 f（x）＝x2＋ax＋b，且 x3＋3x2＋4x＋2 除以 f（x）其餘式為 3x＋2， x3＋x2－x－1 除以 f（x）其餘式為 4x＋1，試問下列敘述何者正確？（多選）A a＝3 B b＝－1 C方程式 f（x）＝0 無實根

D f（x）的極小值為 54 E f（x）除以（x＋3）其餘式為 1 7指考乙、武陵高中

解

2題

設 b＞0，若多項式 f（x）＝x4＋x3－11x2＋ax＋6 可被 x2－bx－3 整除，請選出下列正確的選項？

A a＝5 B b＝2C f（x）可被 x＋1 整除 D f（x）除以 x2＋3x－2 的餘式為 x＋1 臺中女中

解

翰翰，且翰，且 x翰 x3翰 3＋翰＋3翰 3x翰 x2翰 2＋翰＋4翰 4x翰 x＋翰＋2 翰 2 除以翰除以＋

翰＋，試問下列敘述何者正確？（多選）

翰，試問下列敘述何者正確？（多選）

林 f

林 f（

林（x

林 x）

林）除以

林除以（

林（x

林 x＋

林＋3

林 3）

林）其餘式為

林其餘式為

林雲端 11端 11x端 x2端 2＋端＋ax端 ax＋端＋6 端 6 可被端可被 x端 x2端 2－端－bx端 bx

B端 B b端 b＝端＝2端 2D端 D f端 f（端（x端 x）端）除以端除以 x端 x2端 2＋端＋3端 3x端 x－端－端學院


3題

已知多項式 f（x）分別除以（x－a）（x－b），（x－b）（x－c），（x－c）（x－a）之餘式為 3x＋5，4x－1，5x－3，試求：1 a、b、c 之值。2 f（x）除以（x－a）（x－b）（x－c）之餘式。臺南女中

解

4題

設 f（x）除以 x3＋1 的餘式為 2x2＋3x＋1，若 x‧f（x）除以 x2－x＋1 的餘式為 ax＋b，則數對（a�b）＝　　　　。臺南一中

解

翰）（翰）（x翰 x－翰－b翰 b），（翰），（x翰 x－翰－b翰 b）（翰）（x翰 x－翰－c翰 c林雲端 3端 3x端 x＋端＋1端 1，若端，若 x端 x‧端 ‧f端 f（端（x端 x）端）除以端除以端學院

3解答專區

解答專區

7 1第章數與式 1-1 數與數線 1-1-1 數系的介紹與運算性質實數（R）；有理數（Q）（分數）；整數（Z）；實數；R，Q 筆記欄

整數；偶數；2k；ab�Z，b�0

8 1-1-1-E 試題精煉

題 1 〈key〉反證法 ×；○；×；×；○

題 2 �（21�51）＝3 �a3

�Q ! a3l

�Q（l�N） �選CE

9 題 4 2×1＝2；2×2＝4 題 5 9×1＝9；3×2＝6 題 6 2×1×1＝2；2×2×1＝4； 1×2×1＝2；2×1×2＝4

10 1-1-2 無理係數，有理係數對應相等【範例 1】b－d�0；b－d＝0


題 1 � 3a－7b＝－9 ............1

a＋3b＝13 ................2

題 2 �2－2�－3＝0 .............1

a�＋2＝0 .....................2

11 1-1-3-E 試題精煉

題 1 ×；○；○；×；○

12 1-1-4 無限循環小數的公式

【法 1】3×13＝3×0.333⋯；

1＝0.999⋯；【法 2】10a＝9. #9＝9＋a； 9a＝9 ! a＝1 【範例 2】BC


題 1 56679990

；0.5#672

13 題 2 0. #0693

14 1-1-5-E 試題精煉

題 2 ○；×；○；○；×

題 3 ○；×；×；○；○


16 題 4 4�2∣xy∣

1-1-7 雙重根式的運算【範例】

1 （�3 ＋1）2

2 20－2� 84

3 �4－2�3

4 4－2�3

2

17 1-1-7-E 試題精煉

題 3 （�10 －2）－1＝�10 －3 題 4 2＜a＜3 ! a＝2＋b

18 1-1-8-E 試題精煉

題 1 �7＜k＜8　�a＝7 19 題 2 �2 （�k＞0）題 3 2 �10 ＋�7

3 1

�7 ＋�6

20 1-1-9 乘法十大公式 4 a3＋b3＋3ab（a＋b） 6 （a＋b）（a2－ab＋b2）；（a＋b）3－3ab（a＋b） 7 （a－b）（a2＋ab＋b2）

【範例 1】（a＋b）3－3ab（a＋b）；（a＋b）2－4ab

【範例 3】（x＋1x）＋（

1x－x）＝6

21 1-1-9-E 試題精煉

題 2 85×1＝17×5 題 3 2x＝10、4、－2 x＝5、2、－1 �x�N �x＝5、2

22 1-1-S 超越巔峰

題 1 1� 設 a＋2b 為有理數（否定結論）則 a＋2b�Q 2� �2a＋b�Q a＋2b�Q ! 2（2a＋b）－（a＋2b）�Q ! 3a�Q ! a�Q 與已知 a 為無理數矛盾 �a＋2b 必為無理數

頁碼翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰翰 1-1-6-E 翰 1-1-6-E

16

翰 16 題翰

題題翰

題 4

翰 4 4翰

4�翰

�2翰

2

林林林【範例】

林【範例】【範例】

林【範例】

林 1

林 1

林（

林（（

林（ �

林 � � 3 �

林 � 3 � ＋

林＋

林 2林 2 林 20林 20 －林－ 2林 2 林 3林 3 �林 ��4�林 �4�� －�林 � －�� 2�林 � 2�� 林 � ��

林 4林 4林林 4林 4－林－2林 22林 217林 17林林林林 1-1-7-E 林 1-1-7-E

雲雲雲無理係數，有理係數對應相等雲

無理係數，有理係數對應相等

18

雲 18

雲雲雲雲 1-1-8-E

雲 1-1-8-E

題

雲題題

雲題 1

雲 1 �

雲 �7

雲 7＜

雲＜

19雲 19 題雲題題雲題 2雲 2 �雲 �2 雲 2 �2 �雲 �2 �

題雲題題雲題 3雲 3 2雲 2 �雲 � 雲雲 3雲 3雲 �雲 �20雲

20 1-1-雲 1-1- 1-1-雲 1-1-9 雲 9

端端端

端 7

端 7（

端（a

端 a－

端－b

端 b）（

端）（

【範例

端【範例【範例

端【範例 1

端 1】

端】

（端（（端（

【範例端【範例【範例端【範例 3端 321端 21端端端端 1-1-9-E 端 1-1-9-E

題端題題端題 2端 2 85端 85×端 × 題

端題題

端題 3

端 3

學學學

學

學 x

學 x

學

學 �

學 �x

學 x＝

學＝

22學 22學學學學學學 1-1-S 學 1-1-S

題學題題學題 1學 1 1學 1�學 � 設學設則學則則學則

學學 2學 2�學 � �學 � a學 a a學 a !

學 ! !

學 !

院院院與已知

院與已知與已知

院與已知

院院


24 1-2 數線上的幾何 1-2-1 數線上的距離與分點公式

na＋mbm＋n


題 1 2 －2＝2x＋423＋2

4 3（x－14）＝±5（x＋2） 25 題 3 ○；×；○；×；×

26 1-2-2 一次不等式 11 c＞0；2 c＜0 21 c＞0；2 c＜0


題 1 4 －1

2�

xy�

42；5 0

6 （x＋2）2－4 7 （x＋1）2＋（y－3）2

8 －20�（x－3）（y＋2）�5

27 1-2-3 一次絕對值不等式【型 B】

1 －a�x�a 2 x�a 或 x�－a 3 1�x�3 或－3�x�－1 【範例】

2 │2x－1│�2 3 1�2x－1�3 或－3�2x－1�－1 4 0�│2x－1│�3 【型 C】

1 │x－32│�

52；2 │x－

32│�

52

28 1-2-3-E 試題精煉

題 1 2 5�│2x－3│＜9

題 2 │－x＋32│�

52

題 3 │x－32│�

52

1-2-4 三角不等式 ab�0 29 【範例】


題 1 2 －2�x�1 3 1 （x－1）＋（x＋2）＝4 2 －（x－1）－（x＋2）＝4 題 2 k＝3

題 2 1 設 �3 為有理數

��3 ＝ba，且令（a�b）＝1

a、b 為整數平方移項，3a2＝b2⋯⋯1

�3│b2 ! 3│b 可令 b＝3k，k 為整數，代回1

得 3a2＝（3k）2，即 a2＝3k2

�3│a2，知 3│a，則 a、b 必有公因數 3，與（a�b）＝1 矛盾，故 �3 為無理數 2 設 �3 ＋�5 ＝k 為有理數則 �5 ＝k－�3 平方得 5＝k2－2k�3 ＋3 �2k�3 ＝k2－2

得 �3 ＝k2－2

2k 則 �3 為有理數，與1矛盾

��3 ＋�5 為無理數

題 3 設此最簡分數＝ba，且 a、b�N

由已知：a＋b＝50，ba

~ 0.52 ~ 12

�b ~ 50×13

~ 17

取 b＝17，則 a＝33

則 ba＝

1733＝0.515⋯⋯ ~ 0.52

23 題 4 �a＝n＋b，n�Z，0＜b＜1 �0＜b2＜1　�0＜2b2＜2 又 a＝12－2b2

�10＜a＜12 ! 10＜n＋b＜12 ! n＝10 或 11 1� n＝10，則 a＝10＋b �10＋b＋2b2＝12 ! 2b2＋b－2＝0

�b＝－1＋�1＋16

4＝－1＋�17

4 2� n＝11，則 a＝11＋b �11＋b＋2b2＝12 ! 2b2＋b－1＝0

�b＝－1＋�1＋8

4＝

12

�由 1�2� 知 b＝－1＋�17

4 或

12

題 5 1� a 與 b：��5 ＋�11 ＞�2 ＋�14 �a＞b 2� a 與 c：��5 ＋�7 ＞�2 ＋�10 �a＞c 3� b 與 c：��7 ＋�14 ＜�10 ＋�11 �b＜c 由 1�2�3� 知：a＞c＞b

翰翰翰 24翰 24 1-2翰 1-2 1-2翰 1-2 數線上的幾何翰數線上的幾何 1-2-翰 1-2- 1-2-翰 1-2-1 翰 1 翰翰 na翰 na＋翰＋mb翰 mbm翰 m＋翰＋n翰 n翰翰翰翰 1-2-1-E 翰 1-2-1-E

林林林 4

林 4 4

林 4 3

林 3

25

林 25 題

林題題

林題 3

林 3 ○；×；○；×；×

林 ○；×；○；×；×

26林 26 1-2-林 1-2- 1-2-林 1-2-2 林 2 林 1林 11林 1 c林 c＞林＞0林 0 林 2林 21林 1 c林 c＞林＞0林 0 林林林林林 1-2-2-E 林 1-2-2-E

必有公因數

林必有公因數

雲雲雲

雲

雲 7

雲 7 （

雲（

8

雲 8 8

雲 8 －

雲－

27雲 27 1-2-雲 1-2- 1-2-雲 1-2-3 雲 3 雲【型雲【型 B雲 B】雲】 1 雲 1 1 雲 1 －雲－a雲 a�雲 �x雲 x 雲 2 雲 2 x雲 x�雲 �a雲 a或雲或 3 雲

3 3 雲

3 1雲 1�雲 �x雲 x�雲 �端端端

端 3

端 3 1

端 1�

端 �2

端 2x

端 x－

端－

端 4

端 4 0

端 0�

端 �│

端 │2

端 2x

端 x

端【型端【型 C端 C】端】 1 端 1 1 端 1 │端 │x端 x－端－端 3端 32端 228端 28端端端端 1-2-3-E 端 1-2-3-E

題端題題端題 1端 1 2端 2 5端 5�端 �│端

│

學學學題

學題題

學題 3

學 3│

學 │x

學 x－

學－

學 1-2-學 1-2- 1-2-學 1-2-4 學 4 ab學 ab ab學 ab�學 �0學 029學 29 【範例】學【範例】【範例】學【範例】

學

學學學學學學學學院院院

院

院 3

院3

院院

題院題題院題 2院2 k院k＝院＝3院3�院��11 �院�11 �

5解答專區

34 1-1-E 考前衝刺一單選題

1 3245949950

＝6491899900

＝0.64#982

100－2＝98，98÷3⋯2 ! 小數點以下第 100 位數＝8　�選B

二多選題

2 A ○： a＋b�Q

a－b�Q

相加

2：a�Q，

相減

2：b�Q

B ×：�2 ×�2 ＝2�Q

�2 �2 ＝1�Q，但 �2 �Q

C ○；D ×：a3k�Q，k�Z

E ×：必須 a、b�Q，故選AC

3 A ○

B ○：0.123＝1231000

；C ×；D ×

E ×：1

�2 －1＝�2 ＋1；F ○

G ○：�361 ＝19；H ×：�0.001＝1

1000

I ○：�0. $4＝49＝

23

J ×：�0. #1 $6 ＝16－1

90＝

1590＝

16

K ○：原式＝（��＋1 ）2－（�� ）2＝1 故選ABFGIK

35 4 選ABDF

5 A ○：�3.52＝12.25　��13 �3.5 B �：�3.62＝12.96　��13 �3.6 C �：�（�13 －�3 ）2＝16－2�39 　　（�10 ）2＝10 !（�13 －�3 ）2

�（�10 ）2

! �13 －�3 ��10 D ○：�（�13 ＋�3 ）2＝16＋2�39 　　（�16 ）2＝16 !（�13 ＋�3 ）2

�（�16 ）2

! �13 ＋�3 ��16

E �：1

�13 －�3 ＝

�13 ＋�3（�13 －�3 ）（�13 ＋�3 ）

＝�13 ＋�3

10�

610＝0.6

故選AD

三填充題 6 （1＋�2 ）x2－2�2 x－1－3�2 ＝0 !（x2－1）＋�2 （x2－2x－3）＝0 �x�Q　�x2－1＝0 且 x2－2x－3＝0 1� x2－1＝0 ! x＝ 1 2� x2－2x－3＝0 ! x＝3 ＜－1 由 1�，2�：x＝－1

30 1-2-5 絕對值函數圖形最中間的零點；中間兩零點範圍

31 1-2-5-E 試題精煉

題 1

2�x�5 題 2 最小值＝6，x＝－1

32 1-2-6 一次絕對值方程式與不等式【範例 1】

2 －x＋4＝10　∴x＝－6（不合） 3 －（x＋1）－（2x－3）＝10；

－3x＋2＝10　∴x＝－83（合）

x＝4 或－83

【範例 2】

2 x＋（x－4）＞1 ! 2x＞3　∴x＞32

∵0�x�4　∴32＜x�4

3 －x＋（x－4）＞－1 ! －4＞－1（不合）

x＞32


33 題 2 （x－1）2＜（2x－3）2

題 3 （x－1）（2x－3）�0

∴x�32

或 x�1

1-2-S 超越巔峰

題 1

1 a＞5　2 a＜5　3 a＞5　4 a�5 題 2 ∵│x－7│＋│2x＋6│＝│x＋13│ ∴│7－x│＋│2x＋6│ ＝│x＋13│ ＝│（7－x）＋（2x＋6）│ “＝”成立時（7－x）（2x＋6）�0 !（x－7）（2x＋6）�0 ∴－3�x�7

翰翰翰 34翰 34翰 1-1-E 考前衝刺翰 1-1-E 考前衝刺翰翰一翰一單選題翰單選題翰 1翰 1翰 32459翰 3245949950翰 49950

翰

翰

100翰 100－翰－2翰 2林林林

林 2

林 2 A

林 A ○：

林 ○：

林

林

林林

林林 B 林 B ×：林 ×：林林

C 林

C ○；林

○；

一次絕對值方程式與不等式

林一次絕對值方程式與不等式

雲雲雲

雲

雲 B

雲 B ○：

雲 ○：

雲雲 E 雲 E ×：雲 ×：雲雲 G 雲 G ○：雲 ○：雲

雲

I 雲

I ○：雲

○：

端端端

端

端 K

端 K ○：原式＝（

端 ○：原式＝（

端端故選端故選ABFGIK端 ABFGIK

35端 35 4端 4 選端選ABDF端 ABDF

端 5端 5 A 端 A ○：端 ○： B 端 B B 端 B �端 � C 端 C C 端 C �端 � 　　端　　　　端　　

學學學　　

學　　　　

學　　

學

學

E 學 E E 學 E �學 � 學學

故選學故選故選學故選AD學 AD

學學三學

三填充題學

填充題

院院院 �

院 � �

院 �x

院x�

院�

院

院 1

院1�

院�

院 x

院x2

院2

院院 2院2�院� 院 x院x2院2

由院由由院由 1院 1�院�


38 1-2-E 考前衝刺一單選題 1 由觀察可知該四個數可以視為數線上 �3 與 �7

之間的內分點。

如右圖所示，可其大

小關係為

c＞a＞b＞d ! 故選E

二填充題

2 a＝3

3－�6 ＝�9 ＋�6 ! a2＝15＋2�54

b＝5

�10 －�5 ＝�10 ＋�5 ! b2＝15＋2�50

c＝11

�13 －�2 ＝�13 ＋�2 ! c2＝15＋2�26

∴a2＞b2＞c2 ! a＞b＞c 3 1 P� #AB 時：

x＝（－5）×1＋3×3

3＋1＝1

2 P 在 #AB 之外時：

（－5）×1＋2x

2＋1＝3

! x＝7

39 4 1� │x－1│�2，│2y＋1│�5 !－1�x�3，－3�y�2 2� xy－x＋3y＋1＝（x＋3）（y－1）＋4 ∵2�x＋3�6，－4�y－1�1 !－24�（x＋3）（y－1）�6 ∴M＝6＋4＝10 m＝－24＋4＝－20 !數對（M�m）＝（10�－20） 5 1 －4�x�10 !

!│x－3│�7 !│2x－6│�14 又 │hx－k│�14 ∴h＝2，k＝6 或 h＝－2，k＝－6 故數對（h�k）＝（2�6）或（－2�－6） 2 1� －4�x�10 !

!│x－3│�7 2� │x－3│�7 !│－x＋3│�7

!│－13

x＋1│�73

!│ax＋1│�b

故（a�b）＝（－13�

73）

36 7 1� 16＋�2#52 ＝16＋2�#63 ＝（�9 ＋�#7 ）2＝3＋�7 2� �8 －�28 ＝�8－2�7 ＝（�7 －�#1 ）2

＝�7 －1 3� x＋y（3＋�7 ）＝x（�7 －1）＋5 !（x＋3y）＋y�7 ＝（－x＋5）＋x�7

! x＋3y＝－x＋5

! x＝1，y＝1 y＝x 故數對（x�y）＝（1�1）

8 已知△ABD∼△DBC，則 #AB#BD＝

#BD#BC

! #BD 2＝（1＋�2 ）（6＋4�2 ）＝14＋10�2 #AD 2＝#AB 2＋#BD 2

＝（1＋�2 ）2＋（14＋10�2 ）＝17＋12�2 #AD＝17＋12 #�2 ＝17＋2�#72 ＝�9 ＋�8 ＝3＋2�2 �a＝3，b＝2，數對（a�b）＝（3�2）

9 根據算幾不等式 5a＋3b

2��15ab

! 302��15ab ! ab�15

此時 5a＝3b＝15 ! a0＝3，b0＝5，M＝6×15＝90 �數對（M�a0＋b0）＝（90�8）

37 0 （3�x ＋

2�y ）

2

＝9x ＋

12�xy

＋4y

＝1＋12�xy

利用算幾不等式：

1＝9x ＋

4y �2

9x ‧

4y ＝

12�xy

所求最大值＝1＋1＝2 四計算題 q 1�令矩形長為 2x 公尺，寬為 y 公尺則 202＝x2＋y2　�x2＋y2＝400 2��x2＋y2

�2�x2y2　�400�2xy 2xy 之最大值為 400 �面積之最大值為 400 3�此時 x2＝y2＝200 �x＝y＝10�2 長：2x＝20�2 ，寬：y＝10�2 w 1��0�b＜1 ! 0�b2＜1 ! 0�2b2＜2 �a2＋2b2＝15 �13＜a2

�15 ! 3＜a＜4 2�令 a＝3＋b 則 a2＋2b2＝（3＋b）2＋2b2＝15 ! 3b2＋6b＋9＝15 ! b2＋2b－2＝0 ! b＝－1 �3 （負不合），b＝－1＋�3 �a＝3＋b＝2＋�3 ! a＋2b＝（2＋�3 ）＋2（－1＋�3 ）＝3�3

翰翰翰 38翰 38翰 1-2-E 考前衝刺翰 1-2-E 考前衝刺翰翰一翰一單選題翰單選題翰 1翰 1 由觀察可知該四個數可以視為數線上翰由觀察可知該四個數可以視為數線上之間的內分點。翰之間的內分點。如右圖所示，可其大翰

如右圖所示，可其大

�翰 ��7 �翰 �7 �

翰 �翰 � �翰 � #翰 # #翰 # �1 �翰 �1 � � 1 �翰 � 1 � ）翰）2翰 2

�

翰 �

林林林

林

林二

林二填充題

林填充題

林 2林 2 a林 a＝林＝林 3林 3－林－林林 b林 b＝林＝林 �林 ��10 �林 �10 �

林林 c林 c＝林＝林 �林 ��13 �林 �13 �

∴林

∴ ∴林

∴ 2林

2＞林

＞

10林 10�林 ��2�林 �2�

雲雲雲 x

雲 x x

雲 x

雲雲雲雲雲雲雲雲 2 雲 2 2 雲 2 P雲 P在雲在雲雲雲（－雲（－雲雲 !雲 ! x雲 x端端端

39

端 39 4

端 4 1

端 1 │

端 │x

端 x

端 !

端 !－

端－

端端 2端 2�端 � xy端 xy－端－ ∵端 ∵ ∵端 ∵2端 2 !端 ! !端 !－端－ ∴端 ∴ ∴端 ∴M端 M m端 m m端 m 端

!端

!數對端

數對

學學學 !

學 ! !

學 !│

學 │

學

學又

學又

學學 ∴學 ∴h學 h 學學故數對學故數對學學 2學 2 1學 1�學 � －學－學學

!學

! !學

!

2學 2

院院院 !

院 ! !

院 !

院院

0

院0＋院＋�院��3 �院�3 �

）＝院）＝3院3�院��3�院�3�

7解答專區

42 2-1-2 直線的斜率縱軸差；橫軸差

43 2-1-3 線型函數一次函數；零次函數；零函數

44 2-1-4 二次函數的圖形【型】

2拋物線

【結論】

1向上；向下　2愈小；愈大　3頂點

4配方法

46 2-1-6 二次函數求解的三大型態 1 y＝a（x－h）2＋k 2 y＝a（x－x1）（x－x2）

3 y＝ax2＋bx＋c

51 2-1-10 二次函數與一般函數的平移【二次函數平移】

y－k＝a（x－h）2；y－k＝a（x－h）2；y－5＝2（x－3）2

52 【一般函數平移】

y－k＝f（x－h）；y＋2＝（x－3）3

53 2-1-S 超越巔峰

題 1 A ○：f1（－x）＝（－x）4－3（－x）2－4 ＝x4－3x2－4＝f1（x） B ○：f2（－x）＝│－x＋3│＋│－x│＋│－x－3│ ＝│x－3│＋│x│＋│x＋3│＝f2（x） C ×：f3（－x）＝（－x＋2）2＋（－x－3）2

＋〔－2（－x＋1）2〕

＝6x＋11 f3（x）＝（x＋2）2＋（x－3）2

＋〔－2（x＋1）2〕

＝－6x＋11 D ○：f4（－x）＝（x2＋2x＋4）（－x＋2）－（x2－2x＋4）（－x－2）＝－（x2＋2x＋4）（x－2）＋（x2－2x＋4）（x＋2）＝f4（x）

E ○：f5（－x）＝g（－x）＋g（x）

2＝f5（x）

故選ABDE

題 2 f（x）＝a（x2＋2x）＋b＝a（x＋1）2＋b－a ! 對稱軸方程式：x＝－1 1 a＞0

如圖：最大值＝f（1）＝a＋2a＋b＝7 最小值＝f（－1）＝a－2a＋b＝3 ∴a＝1，b＝4

6 x�28 或 x�－12 !│x－8│�20 !│－x＋8│�20

!│－14

x＋2│�5

∴a＝－14，b＝5，故數對（a�b）＝（

－14�5）

40 7 分三段討論：

1 當 x�1：（x＋3）－（x－1）＝x＋1 ! x＝3 2 當－3�x＜1：（x＋3）－（1－x）＝x＋1 ! x＝－1 3 當 x＜－3：（－x－3）－（1－x）＝x＋1 ! x＝－5 綜合123，x＝－5、－1、3 三計算題 8 ∵│x－3│�1　∴2�x�4 ∵│y－1│�2　∴－1�y�3 1

4�2x �8＋）－3�3y �9 1�2x＋3y�17

2

4� 2x �8＋）－9�－3y �3 －5�2x－3y�11

3 －4�xy�12 4

4�x2 �16＋）0� y2 �9 4�x2＋y2

�25 9 1� x�2：（x－2）－3（x＋1）＞2x－9 ! x＜1（不合） 2� －1�x�2：（－x＋2）－3（x＋1）＞2x－9

! x＜43　∴－1�x＜

43

3� x�－1：（－x＋2）＋3（x＋1）＞2x－9 ! 5＞－9（合）　∴x�－1

由 1�2�3�，x＜43

41 2第章多項式函數 2-1 簡單的多項式函數及其圖形 2-1-1 函數的定義與奇偶函數【函數的定義】

每一個；唯一；y 是 x 的函數；自變量；應變量 1 1 －f（x） 2 f（x） 2 討論：一對一；多對一；一對多；一對無


×；○；×；×；×

翰翰翰 42翰 42 2-1-翰 2-1- 2-1-翰 2-1-2 翰 2 縱軸差；橫軸差翰縱軸差；橫軸差縱軸差；橫軸差翰縱軸差；橫軸差

43翰 43 2-1-翰 2-1- 2-1-翰 2-1-3 翰 3 翰一次函數；零次函數；零函數翰一次函數；零次函數；零函數

林林林

林 2

林 2拋物線

林拋物線

林【結論】

林【結論】

林 1林 1向上；向下　林向上；向下　林 4林 4配方法林配方法46林 46 2-1-林 2-1- 2-1-林 2-1-6 林 6 林 1林 1 y林 y＝林＝a林 a（林（x林 x 林 2林 2 y林 y＝林＝a林 a（林（x林 x

3

林 3

2林

2

!林 ! x林 x＝林＝3林 3＋林＋1林 1

＋林＋1林 1

雲雲雲

雲【二次函數平移】

雲【二次函數平移】

y

雲 y y

雲 y－

雲－k

雲 k＝

雲＝a

雲 a（

雲（x

雲 x

52雲 52 【一般函數平移】雲【一般函數平移】

y雲 y y雲 y－雲－k雲 k＝雲＝f雲 f＝f＝雲＝f＝（雲（x雲 x53雲 53雲雲雲雲雲雲 2-1-S 雲 2-1-S

題雲題題雲題 1雲 1 A 雲 A ○：雲 ○：＝雲＝＝雲＝

端端端

端

端 C

端 C ×：

端 ×：

端

端＝端＝＝端＝

f端 f f端 f 端端＝－端＝－＝－端＝－

端端 D 端 D ○：端 ○：－端

－－端

－

2端 2x端 x－端－9端 9

＜端＜端 4端 43端

3

學學學

學

學 E

學 E ○：

學 ○：

故選學故選故選學故選

題學題題學題 2學 2 f學 f（學（x學 x）＝學）＝ !學 ! !學 !對稱軸方程式：學對稱軸方程式： 1 學 1 1 學 1 a學 a的函數；自變量；應變量

學的函數；自變量；應變量

院院院

院

院

如圖：最大值＝

院如圖：最大值＝如圖：最大值＝

院如圖：最大值＝

最小值＝院最小值＝最小值＝院最小值＝

∴院 ∴ ∴院 ∴

討論：一對一；多對一；一對多；一對無

院討論：一對一；多對一；一對多；一對無



題 1 A ×；3；3；被除式；除式；商式；餘式

B ○；被除式；2；12；除式；商式；餘式

C ×；4；4；4；被除式；除式；商式；餘式 D ×；x；x；x

E ○；xa；

xa

58 2-2-4 多項式的綜合除法 2x2＋6x－15；31 【綜合除法】－2；－4－12＋30；2＋6－15；　　　　　　＋31；2x2＋6x－15


題 1 2 被除式；（x2－3x）；除式；商式；餘式

59 2-2-5 綜合除法的應用 d；c；b；a；〔（x－2）（2x＋7）＋24〕；〔（x－2）‧2＋11〕


題 1 2 由後往前代入；太小可省略

60 題 2 1 1；6；13；7 2 由後往前代入；太小可省略

2-2-6 餘式定理

【定理】f（ba）

【討論】1 f（23）＝5

2 f（x）÷（3x－2）⋯⋯5

61 2-2-6-E 試題精煉

題 2 ax＋b ；a（x－2）＋b 題 3 〈key〉a（x－�）（x－�）＋b（x－�）＋c 〈法一〉（ax 2＋bx＋c）；〈法二〉a（x－1）（x＋1）＋b（x－1）＋c 62 題 4 k（x 2＋3x＋4）＋（x＋2）； k（ax 2＋bx＋c）＋r 1（x）

2-2-7 牛頓插值法 a（x＋1）（x－1）＋b（x－1）＋c； a（x－1）（x－2）（x－3）＋b（x－1）（x－2）＋c（x－1）＋d

64 2-2-8-E 試題精煉

題 1 f（7）；f（5）；f（1）

65 2-2-S 超越巔峰

題 1 由題：

x3＋3x2＋4x＋2＝（x2＋ax＋b）Q1（x）＋3x＋2 x3＋x2－x－1＝（x2＋ax＋b）Q2（x）＋4x＋1

! x3＋3x2＋x＝（x2＋ax＋b）Q1（x）

x3＋x2－5x－2＝（x2＋ax＋b）Q2（x）

2 a＜0

如圖：最大值＝f（－1）＝a－2a＋b＝7 最小值＝f（1）＝a＋2a＋b＝3 ∴a＝－1，b＝6 由12知（a�b）＝（1�4）或（－1�6）

54 題 3 AB 由題圖知 a＜0，x＝－b2a＜0

! b＜0，又令 x＝0，y＝c＞0 ! a＜0，b＜0，c＞0 ! bc＜0，ab＞0 又直線 y＝bcx＋ab 的斜率 bc＜0 令 x＝0 ! y＝ab＞0 ! AB錯

CD a＞0，x＝－b2a＞0 ! b＜0，又 c＜0

! a＞0，b＜0，c＜0 ! bc＞0，ab＜0 ! C對

E －b2a＝0，c＜0

! a＞0，b＝0，c＜0 ! bc＝0，ab＝0 ∴y＝0 表 x 軸，不合故選C

題 4 ∵�x�R，（m－2）x2＋2（2m－3）x＋（5m－6）＞0 無解即�x�R，（m－2）x2＋2（2m－3）x＋（5m－6）�0 恆成立 m－2＜0 ! m＜2 ...............1

!D�0 !（2m－3）2－（m－2）（5m－6）�0

! （m－3）（m－1）�0 ! m�3 ＜m�1 ........2 由1∩2! m�1 題 5 ∵f（x）＝ax2＋bx＋c

x → x＋1

y → y＋2 y－2＝a（x－1）2＋b（x－1）＋c

! y＝a（x－1）2＋b（x－1）＋c＋2 ∴g（x）＝a（x－1）2＋b（x－1）＋c＋2 ∴g（2）－f（1）＝（a＋b＋c＋2）－（a＋b＋c）＝2

55 2-2 多項式的運算與應用 2-2-1 多項式的定義與次數 1 正整數；零

56 2-2-2 多項式的係數和 1 f（0）　2 f（1）；f（1）－f（0）

3 f（1）＋f（－1）

2　4

f（1）－f（－1）2

57 2-2-3 多項式的除法原理 deg r（x）＜deg b（x）；r（x）＝0

翰翰翰翰翰翰翰翰 2-2-3-E 翰 2-2-3-E

題翰題題翰題 1翰 1 A 翰 A ×；翰 ×；翰 B 翰 B ○；被除式；翰 ○；被除式；翰

C 翰

C ×；翰

×；

林林林 58林 58 2-2-林 2-2- 2-2-林 2-2-4 林 4 2林 2 2林 2x林 x2林 2＋林＋6林 6x林 x－林－林【綜合除法】林【綜合除法】

　　　　　　＋林　　　　　　＋

林林林林林 2-2-4-E 林 2-2-4-E

題林

題題林

題 1林

1 2林

2 被除式；（林

被除式；（

6林 6）林）

，林，ab林 ab＞林＞0林 0＜林＜0林 0

雲雲雲〔（

雲〔（x

雲 x－

雲－2

雲 2）‧

雲）‧

雲雲雲雲雲 2-2-5-E 雲 2-2-5-E

題雲題題雲題 1雲 1 2雲 2 由後往前代入；太小可省略雲由後往前代入；太小可省略60雲 60 題雲題題雲題 2雲 2 1雲 1 1雲 1 雲 2雲 2 由後往前代入；太小可省略雲由後往前代入；太小可省略 2-2-雲 2-2- 2-2-雲 2-2-6 雲 6

ab雲 ab＝雲＝0雲 0

端端端

端【討論】

端【討論】1

端 1

端端 2端 261端 61端端端端 2-2-6-E 端 2-2-6-E

題端題題端題 2端 2 ax端 ax＋端＋題端題題端題 3端 3 〈端〈key端 key 端端〈法一〉（端〈法一〉（

0

端 0 恆成立

端恆成立

m端 m－端－6端 6）端）�端 �0端 0

學學學

學

學 k

學 k（

學（ax

學 ax

2-2-

學 2-2- 2-2-

學 2-2-7

學 7

a學 a a學 a（學（x學 x＋學＋1學 1）（學）（x學 x a學 a a學 a（學（x學 x－學－1學 1）（學）（x學 x＋學＋c學 c（學（x學 x－學－1學 1）＋學）＋64學 64學學學學 2-2-8-E 學 2-2-8-E

題學

題題學

題 1學

1 f學 f（學（7學 7）；學）；b學 b＋學＋c學 c）＝學）＝2學 2

院院院

院

院 x

院x3

院3

院院院x院x3

院3

!院 ! !院 ! 院院院

9解答專區

67 2-3 多項式方程式 2-3-1 虛數 i 的定義 ○；×；○；○；×

68 2-3-1-E 試題精煉

題 2 ○；○；×；○；×

69 2-3-2 複數的定義 z 為實數；z 為純虛數或 0

71 2-3-3-E 試題精煉

題 2 ×；×；×；○；×

75 2-3-8 牛頓定理整係數；（a�b）＝1；（ax－b）│f（x）

76 2-3-8-E 試題精煉

題 2 （1）（－1）（3）（－3）題 3 （1）＋（－1）＋（2）＋（－5）；（1）（－1）（2）（－5）

80 2-3-S 超越巔峰

題 1 ∵ x＋y＝1

xy＝－4 ! x，y 異號

∴所求＝yx＋

xy－2

yx‧

xy

＝

yx＋

xy＋2

＝x2＋y2

xy＋2

＝（x＋y）2－2xy

xy＋2

＝－14

題 2 令 z＝x＋yi ∴（x＋yi）2＝x2＋2x‧yi＋（yi）2

＝（x2－y2）＋2xyi ＝－24＋10i

∴ x2－y2＝－24

2xy＝10 !（x�y）＝±（1�5） ∴z＝±（1＋5i）題 3 由題意知：

與 x 軸 3 交點 ! 2 相異實根＋2 重根 A ×：4 實根 B ×：－4�x�－1 或 x＝3 C ○：令 y＝f（x），y＝x ! 2 圖形有 2 交點 ∴有 2 實根 D ○：f（m）＝n E ○

∴選CDE

! x2＋ax＋b│x3＋3x2＋x＝x（x2＋3x＋1）

x2＋ax＋b│x3＋x2－5x－2＝（x－2）（x2＋3x＋1） ∴f（x）＝x2＋ax＋b＝x2＋3x＋1 ∴a＝3，b＝1 A ○；B ×

C ×：f（x）＝x2＋3x＋1 ! D＝32－4‧1＞0 ∴相異兩實根

D ×：f（x）＝x2＋3x＋1＝（x＋32）

2

－54�－

54

E ○：f（－3）＝（－3）2＋3‧（－3）＋1＝1 ∴選AE

題 2 f（x）＝x4＋x3－11x2＋ax＋6 ＝（x2－bx－3）（x2－cx－2）

比較係數： x3：1＝－b－c

　　　　　 x2：－11＝－3＋bc－2

　　　　　

! b＝2

　　　　　 c＝－3 ∴f（x）＝（x2－2x－3）（x2＋3x－2）＝x4＋x3－11x2－5x＋6 ! a＝－5 A ×；B ○

C ○：f（x）＝（x2－2x－3）（x2＋3x－2）＝（x－3）（x＋1）（x2＋3x－2） D ×：�f（x）＝（x2－2x－3）（x2＋3x－2） 66 題 3 1 設 f（x）＝（x－a）（x－b）q1（x）＋3x＋5 ＝（x－b）（x－c）q2（x）＋4x－1 ＝（x－c）（x－a）q3（x）＋5x－3 f（a）＝3a＋5＝5a－3 ! a＝4 f（b）＝3b＋5＝4b－1 ! b＝6 f（c）＝4c－1＝5c－3 ! c＝2 2 令 f（x）＝（x－a）（x－b）（x－c）Q（x）

＋k（x－a）（x－b）＋3x＋5 ＝（x－4）（x－6）（x－2）Q（x）

＋k（x－4）（x－6）＋3x＋5 f（2）＝k‧（－2）‧（－4）＋11＝7

! k＝－12

∴餘式＝－12（x－4）（x－6）＋3x＋5

　　　＝－12

x2＋8x－7

題 4 ∵f（x）＝（x3＋1）Q（x）＋（2x2＋3x＋1） ∴xf（x）＝x（x＋1）（x2－x＋1）Q（x）＋x（2x2＋3x＋1）＝x（x＋1）（x2－x＋1）Q（x）＋2x3＋3x2＋x ＝x（x＋1）（x2－x＋1）Q（x）

＋（2x＋5）（x2－x＋1）＋（4x－5）＝（x2－x＋1）〔x（x＋1）Q（x）＋（2x＋5）〕

＋（4x－5） ! 所求＝4x－5 ∴數對（a�b）＝（4�－5）

翰翰翰 67翰 67 2-3翰 2-3 2-3翰 2-3 多項式方程式翰多項式方程式 2-3-翰 2-3- 2-3-翰 2-3-1 翰 1 翰 ○；×；○；○；×翰 ○；×；○；○；×

68翰 68翰翰翰翰 2-3-1-E 翰 2-3-1-E

題翰

題題翰

題 2翰

2 ○；○；×；○；×翰

○；○；×；○；×

＋翰＋1翰 1）翰）

x翰 x2翰 2＋翰＋3翰 3x翰 x＋翰＋1翰 1）翰）

林林林

林 z

林 z為實數；

林為實數；

71

林 71

林林林林 2-3-3-E

林 2-3-3-E

題林題題林題 2林 2 ×；×；×；○；×林 ×；×；×；○；×75林 75 2-3-林 2-3- 2-3-林 2-3-8 林 8 整係數；（林整係數；（整係數；（林整係數；（

76林 76林林林林 2-3-8-E 林 2-3-8-E

題

林題題

林題 2

林 2（

林（1林

1）林

）（－

林（－

林 4

林 4�

林 �－

林－

林 4

林 4

）＋林）＋1林 1＝林＝1林 1

雲雲雲 80

雲 80

雲雲雲雲雲雲 2-3-S

雲 2-3-S

題雲題題雲題 1雲 1 ∵ 雲 ∵ x雲 x 雲雲雲 xy雲 xy !雲 ! !雲 ! x雲 x ∴所求＝雲 ∴所求＝ ∴所求＝雲 ∴所求＝

2雲 2）雲）

－雲－2雲 2）雲）

x雲 x－雲－2雲 2）雲）

x雲

x＋雲＋5雲

5

端端端＝

端＝＝

端＝

＝端＝＝端＝

＝－端＝－＝－端＝－

題端題題端題 2端 2 令端令 z端 z＝端＝端端 ∴端 ∴（端（x端 xQ端 Q（端（x端 x）端）

＋端＋5端 5Q端 Q（端（x端 x）端）

＋端＋5端 57端

7

學學學 ∴

學 ∴ ∴

學 ∴

學

學

學學學 !學 !（學（x學 x ∴學 ∴ ∴學 ∴z學 z＝±（學＝±（題學題題學題 3學 3 由題意知：學由題意知：學與學與 x學 x軸學軸學學 A 學 A ×：學 ×：學學 B 學 B ×：－學 ×：－＋

學＋5

學 5

）學）

＋學＋3學 3x學 x＋學＋1學 1）學）2

學 2

院院院 ∴有

院 ∴有 ∴有

院 ∴有

院

院 D

院D

院院 E 院E

∴選院 ∴選 ∴選院 ∴選

x

院x＋

院＋5

院5）

院）〕

院〕

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