31

KREU II

KONSIDERATA MBI FLUIDODINAMIKËN NUMERIKE (C.F.D.) ME REFERENCË NË MOTORRAT ME DJEGIE TË BRENDËSHME

2.1 HYRJE

Ekuacionet diferencialë që përshkruajnë fenomenet e fluidodinamikës janë të zgjidhshëm analitikisht vetëm në një numër shumë të kufizuar rastesh ku kushtet kufitare janë shumë të thjeshtë. Në përgjithësi nuk është e mundur të gjendet një zgjidhje analitike kështu që lind nevoja e metodave përafruese të tipit numerik, që paraqesin të vetmen rrugë praktike.

Zgjidhja analitike e një shprehje konsiston në llogaritjen e saktë të vlerës së të panjohurës në të gjithë pikat e zonës në shqyrtim. Duke aplikuar një metodë numerike, përkundrazi, do të thotë të heqësh dorë nga marrja e rezultateve në pafundësinë e pikave të zonës por duhet të kënaqesh me rezultatet e një numri të fundëm pikash, të quajtura nyje, të përcaktuara me kritere që varen nga metoda numerike e zgjidhur. Proçesi me anë të të cilit zgjidhen nyjet e zonës dhe ekuacionet nga të cilët merren zgjidhjet e përafërta quhet diskretizim.

Kategoritë e metodave numerike janë të pafundme. Megjithatë, si rezultat e aplikimit të proçedurës së diskretizimit, arrihet gjithnjë një sistem ekuacionesh linearë zgjidhja e të cilit konsiston në marrjen e vlerave të përafërta të të panjohurës në nyjet e zgjedhura gjatë diskretizimit të problemit. Në fakt, nëqoftëse rrjeti kordinativ nuk është ndërtuar siç duhet ose nëse kushtet kufitare për parametrat e rrjedhjes nuk janë vendosur saktësisht, rezultatet mund të jenë krejtësisht të gabuara (Çengel et al, 2005). Prandaj qëllimi këtij kreu është të tregojë rrugën sesi ndërtohet një rrejt kordinativ, përcaktimi kushteve fillestare dhe ato kufitare, diskretizimi hapësinor dhe diskretizimi i ekuacioneve bazë. 2.2 MODELI FIZIK

Proçesi më kritik i një simulimi numerik është përcaktimi i modelit fizik më të përafërt për studimin e një problemi real të veçantë. Zgjidhja më e mirë e mundëshme është ajo e adoptimit, të paktën për një studim paraprak, të modelit më të thjeshtë të mundëshëm për atë problem, por që na jep rezultate të kënaqëshme. Për shembull, gjeometria dhe kushtet kufitare mund të adoptojnë një model të thjeshtë dydimensional për të studiuar një problem që realisht

32

është tredimensional. Një shembull tjetër është ai i përafrimit të një problemi real që është jostacionar me një problem fizik stacionar. 2.3 MODELI MATEMATIK 2.3.1 Ekuacionet e bilancit

Modelet matematike që përshruajnë rrjedhjet e fluideve si dhe transmetimin e masës dhe nxehtësisë përcaktohen nga parimet e ruajtjes së masës, sasisë së lëvizjes dhe energjisë. Këto modele për rrjedhje njëpërmasore në terma të ekuacioneve diferenciale jepen si mëposhtë:

• Ruajtja e masës (ekuacioni i vazhdueshmërisë)

0ρρ

=∂

∂+

∂∂

i

i

xU

t (2.1)

Ku ρ është densiteti i fluidit, Ui është komponentja e shpejtësisë mesatare në drejtimin xi.

• Ruajtja e sasisë së lëvizjes

( ) ii

j

j

ieff

jij

jii gTTxU

xU

xxP

xUU

tU

−+

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂

0ρβµρρ (2.2)

Ku Uj është komponentja e shpejtësisë sipas drejtimit xj, p është presioni mesatar, µeff është viskoziteti efektiv, β është koefiçenti i zgjerimit termik të fluidit, T0 është temperatura në pikën e referimit, T është temperatura mesatare dhe gi është nxitimi i rënies së lirë në drejtimin xi. Termi i fundit i ekuacionit (2.2) paraqet termin e pluskimit. Efektet e turbulencës paraqiten nga viskoziteti efektiv si shumë e viskozietit turbulent, µt, dhe atij laminar, µ: µeff = µt + µ (2.3)

• Ruajtja e energjisë

Për përcaktimin e shpërndarjes së temperaturave dhe termave të pluskimit në ekuacionin (2.2), është e nevojshme zgjidhja e ekuacioonit të energjisë:

pjeffT

jj

j

cq

xT

xxTU

tT

+

∂∂

∂∂

=∂

∂+

∂∂

,Γρρ (2.4)

33

ku Γ T,eff është koefiçenti efektiv i difuzionit për T, q është burimi i nxehtësisë dhe cp është nxehtësia specifike.

Ekuacionet diferencialë (2.1), (2.2), (2.4) mund të shkruhen në formë të përgjithshme si më poshtë:

φ,φφΓ

φρρφ Sxxx

Ut j

effjj

j +

∂∂

∂∂

=∂

∂+

∂∂ (2.5)

ku φ paraqet madhësinë skalare që transmetohet nga fluidi në lëvizje. Termat e pranishëm në ekuacionin diferencial të përgjithshëm përcaktohen si: termi jo-stacionar, termi konvektiv, termi difuziv dhe termi burim. Gjithçka që në një ekuacion bilanci nuk mund të hyjë si term konvektiv ose difuziv përgjithësisht futet në termin e burimit. Bëjnë përjashtim nga ky rregull ekuacionet e sasisë së lëvizjes. Faktikisht, në këtë rast termi në të cilin shfaqet presioni nuk futet në brendësi të termit të burimit përderisa presioni ashtu si shpejtësia është një madhësi variable e varur.

Ekuacioni (2.1) është një ekuacion skalar ndërsa ekuacioni (2.2) është një ekuacion vektorial, të dy së bashku formojnë një sistem ekuacionesh për rastet e flukseve pa transmetim nxehtësie. Ndërsa kur merret parasysh dhe transmetimi i nxehtësisë atëhere në këtë sistem shtohet dhe ekuacioni i energjisë (2.4). Ndërsa për rastet e flukseve të shtypshëm shtohet si i panjohur densiteti ρ, kjo gjë detyron që në sistemin e ekuacioneve të mësipërm të shtohet dhe ekuacioni i gjendjes:

p/ρ=RT (2.6)

ku R është konstantja karakteristike e fluidit. Zgjidhja e ekuacioneve (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) na jep një shpërndarje të

plotë të parametrave të fluksit të fluidit në studim. Në këtë sistem ekuacioesh ka vetëm një parametër të panjohur, koefiçenti i viskozitetit turbulent µt, që llogaritet me mënyra të ndryshme sipas modelit të turbulencës së adoptuar. Për shembull në modelin e turbulencës k-ε, µt, jepet:

ερµ

2

µkCt = (2.7)

ku Cµ merr një vlerë të ndryshme në bazë të modelit k-ε të turbulencës të përdorur, k është energjia kinetike turbulente dhe ε është treguesi i shpërndarjes së energjisë kinetike turbulente.

34

2.3.2 Kushtet fillestare dhe ato kufitare Një nga vështirësitë kryesore në zgjidhjen numerike të problemeve të

fluidodinamikës është trajtimi i kushteve fillestare dhe atyre kufitare për një grup të dhënë ekuacionesh duhet të përcaktohen kushte që përshteten me natyrën fizike të problemit me qëllim marrjen e një modeli matematik të saktë, të karakterizuar nga një zgjidhje e vazhduar. Kushtet fillestare mund të shkruhen:

)(φ)0,(φ 0 ii xtx == (2.8)

Një mënyrë konçize për përcaktimin e kushteve në një kufi të përgjithshëm është ajo e vendosjes së formulës së mëposhtëme:

C

nBA =∂∂

+φφ (2.9)

ku n është treguesi normal me drejtimin e kufirit. Duke zgjedhur A=1 dhe B=0 merren kushtet e Dirichlet (ose të llojit të parë), ku specifikohen vlerat skalare të φ në kufi; duke marrë A=0 dhe B=1 merrren kushtet e Newmann (ose të llojit të dytë), ku specifikohen vlerat e flukseve difuzivë në kufi. Kufijtë e një zone në shqyrtim janë normalisht tre llojesh: kufij pa kalim të fluidit, kufij me flukse hyrëse të fluidit (inflow boundaries) dhe kufij me flukse dalëse të fluidit (outflow boundaries).

Për ato pjesë të kufijve ku fluidi hyn në zonën në shqyrtim duhen dhënë gjithë vlerat e φ në hyrje, përveç presionit në rastin e flukseve subsonike. Meqënëse shpejtësia dhe gjithë variablet e tjera jepen mund të llogariten gjithë flukset konvektive. Flukset difuzive nuk dallohen në hyrje, por barazohen me zero ose përafrohen në mënyrë oportune. Për pjesët e zonës kufitare ku fluidi del nga zona normalisht nuk njihen as vlera e φ dhe as vlera e flukseve difuzive. Në flukset dalëse ka një mundësi që të barazohen me zero gjithë derivatet në drejtimin e rrymës. Ky kusht përdoret shpesh në flukset stacionare por nuk është i përdorshëm në flukset jostacionare. Në këtë të fundit është më mirë të zëvendësojmë këtë kusht me një kusht konvektiv jostacionar të tipit:

0φρ

=∂∂

+∂∂

nu

t n (2.10)

ku un është shpejtësia e pavarur nga pozicioni në sipërfaqen e daljes, e zgjedhur në mënyrë që të kënaqë ruajtjen globale të masës. Për një kufi në të cilin nuk ka

35

as hyrje dhe as dalje të fluidit, fluksi konvektiv përkufizohet i barabartë me zero. Në këtë rast mund të përdoren kushte të llojit të parë ose të dytë për φ.

Kushtet kufitare për presionin kërkojnë një vëmendje të veçantë. Normalisht ekuacioni i presionit kërkon kushte kufitare në të gjithë kufijtë:

0=

∂∂np (2.11)

Për ta bërë zgjidhjen të vetme presioni duhet fiksuar vetëm në një pikë. 2.4 MODELI NUMERIK 2.4.1 Diskretizimi hapësinor

Për zgjidhjen numerike të ekuacioneve të ruajtjes para së gjithash është e nevojshme gjenerimi (krijimi) i një rrjete pra i një prezantimi diskret të zonës gjeometrike ku problemi do të zgjidhet. Rrjeta e ndan zonën në një numër të fundëm nënzonash (elementë ose vëllime kontrolli (qeliza)). Një rrjetë mund të jetë:

• Karteziane e strukturuar (si në figurën 2.1a); bëhet fjalë për një rrjetë të përbërë nga familje, reciprokisht ortogonale, drejtëzash paralele. Pra duhen numuruar, pra përcaktuar, me numra të njëpasnjëshëm vijat e secilës familje, ose në rastin e vëllimeve të fundme, qelizat e përcaktuara nga këto vija. Metodat e llogaritjes të bazuara në këto lloj rrjetash janë më të thjeshtat për tu implementuar dhe më efikaset nga pikëpamja llogaritëse.

• Vijëpërkulur të strukturura (si në figurën 2.1b); në këtë rast rrjeta është e përbërë nga familje vijash vijëpërkulur, në të cilat çdo vijë e një familjeje nuk ndërpret asnjeherë një vijë të të njëjtës familje dhe ndërpret vetëm një herë vijat e familjeve të tjera. Nga pikëpamja llogjike janë identike me rrjetat Karteziane, megjithëse jo-ortogonaliteti i tyre shton shumë vështirësitë gjatë implementimit, kësisoj më shumë kostot llogaritëse. Në krahasim me të parat karakterizohen nga një fleksibilitet më i madh gjeometrik.

• Të pastrukturuara (sin në figurën 2.1c); është rrjeta më fleksible, kësisoj më e përshtatshmja për gjeometri komplekse. Zona ndahet në elementë ose qeliza të formave nga më të ndryshmet, më shpesh trekëndore ose katërkëndore në dydimensional, tetraedri ose hekzaedër në tre-dimensional. Përveç fleksibilitetit gjeometrik, avantazhi i këtyre lloj

36

rrjetave është thjeshtësia me të cilën kjo u përshtatet zonave me interes. Disavantazhet lidhen me kompleksitetin e madh gjatë implementimit dhe kostot shumë të mëdha llogaritëse.

Figura 2.1: Tipologjia e rrjetave: (a) rrjetë e strukturua karteziane shumë bllokëshe; (b) rrjetë

e strukturuar vijëpërkulur njëbllokëshe; (c) rrjetë e pastrukturuar.

Në vijim do të shqyrtojmë vetëm gjeometrinë e tipeve të thjeshta, pra katërkëndore në 2D dhe paralelopiped në 3D, të diskretizuara përmes rrjetave karteziane të strukturuara. Pasi kemi ndarë zonën në qeliza ekuacionet e transportit aplikohen në secilin prej volumeve të kontrollit. Në figurën 2.2 parqiten respektivisht dy volume tipike të kontrollit, për rastin 2D dhe atë 3D.

Në pikat e nyjeve (qendrat e vëllimeve të kontrollit) përcaktohen parametrat më të rëndësishëm të fluidit. Në veçanti, variablat që lidhen me ruajtjen e masës dhe të energjisë (presioni, temperatura, densiteti…etj.) përcaktohen në pikat e nyjeve të rrjetës, ndërsa variablat që lidhen me ruajtjen e sasisë së lëvizjes (komponentet e shpejtësisë u, v, w) përcaktohen në pikat ekstreme të vëllimeve të kontrollit të rrjetës. Kjo proçedurë diskretizimi quhet “ radhitje e shkallëzuar (staggered)” të variablave në rrjet (figura 2.3); avantazh më i madh në përdorimin e këtij konfiguracioni qëndron në akopjimin e madh mes shpejtësisë dhe presionit.

Kjo na ndihmon për të penguar disa probleme gjatë konvergjencës dhe oshilacionit në fushat e presionit dhe të shpejtësisë. Një avantazh shtesë në përdorimin e “staggered grid” është që komponentet e shpejtësisë dhe variablat skalare lokalizohen ekzaktësisht atje ku duhen, respektivisht në faqet e vëllimeve të kontrollit ose në pikat nodale të rrjetës.

37

Figura 2.2: Vëllimi i kontrollit për rrjetat Karteziane: (a) 2D; (b) 3D.

Figura 2.3: Radhitja e shkallëzuar (staggered) e variablave në rrjetë

2.4.2 Diskretizimi i ekuacioneve

Integrimi i ekuacionit të përgjithshëm të transportit (2.6) në një vëllim kontrolli jep shprehjen e mëposhtme:

∫ ∫ ∫ ∫+

∂∂

∂∂

=∂

∂+

∂∂

V V V Vjeff

jj

j dVSdVxx

dVxU

dVt φ,φ

φΓφρρφ (2.12)

secili term i ekuacionit (2.12) integrohet veçmas dhe kështu kombinohet me ekuacionin final të diskretizimit. Për termin jo-stacionar kemi:

( )∫

−=

∂∂

VP

oldPP Vt

dxdydzt δ

ρφρφρφ , (2.13)

38

ku VP është vëllimi i qelizës, φP është vlera e variblës skalare në momentin e dhënë, φP,old është vlera e matur në kohën e mëparshme, δt është intervali i kohës. Që nga momenti kur vëllimi i kontrollit formon një sipërfaqe të mbyllur, integrali i volumit mund të transformohet në një integral sipërfaqeje (Teorema e Gauss). Kështu integrimi i termave konektivë na jep: ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ −=−=−

Awweewewe FFAUAUdydzUU φφφρφρφρφρ (2.14)

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ −=−=−A

ssnnsnsn FFAVAVdxdzVV φφφρφρφρφρ (2.15)

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ −=−=−A

bbttbtbt FFAAWdxdyWW φφρWφφρφρφρ (2.16)

ku Fi (i = e,w,n,s,t,b) paraqet fluksin konektiv dhe indeksi e është për +x, w për –x, n për +y, s për –y, t për +z, b për –z. Për rizgjidhjen e integraleve të termave konvektivë skema më e thjeshtë që mund të adoptohet është e ashtuquajtura skema Upwind (Upwind Difference Scheme), e quajtur kështu sepse përcakton vlerën e φ në të njëjtën faqe me atë të nyjes së sipërme:

( )( ) 0nv se φ

0nv se φφ

<⋅>⋅

=eE

ePe (2.17)

dhe kësisoj integrimi i termave konektivë na jep:

( )PwWwEePewwee FFFFFF φ0,φ0,φ0,φ0,φφ −−−−−=− (2.18) ( )PsSsNnPnssnn FFFFFF φ0,φ0,φ0,φ0,φφ −−−−−=− (2.19) ( )PbBbTtPtbbtt FFFFFF φ0,φ0,φ0,φ0,φφ −−−−−=− (2.20)

ku ),max(, yxyx = . Integrimi i termave difuzivë na jep:

( ) ( )WPwP

wwPE

A PE

ee

we xxA

xxAdydz

xxφφΓφφΓφΓφΓ −

−−−

−=

∂∂

−

∂∂

∫ (2.21)

)φφ()φφ( WPwPEe DD −−−=

39

( ) ( )SPSP

ssPN

A PN

nn

sn yyA

yyA

dxdzyy

φφΓ

φφΓφΓφΓ −

−−−

−=

∂∂

−

∂∂

∫ (2.22)

)φφ()φφ( SPsPNn DD −−−=

( ) ( )BPBP

bbPT

A PT

tt

bt zzA

zzA

dxdyzz

φφΓ

φφΓφΓφΓ −

−−−

−=

∂∂

−

∂∂

∫ (2.23)

)φφ()φφ( BPbPTt DD −−−= ku koefiçentët e difuzionit paraqesin mesataret aritmetike ose harmonike për dy qelizat fqinje. Së fundmi, termi i burimit mund të integrohet dhe kësisoj të linearizohet si vijon: ∫ ==V

P SSVSdxdydz φ (2.24)

PPC SSS φφ += (2.25) Ekuacionet përfundimtare të diskretizuara janë:

ColdPTBBTTSSNNWWEEPP Saaaaaaaa +++++++= ,'φφφφφφφφ (2.26)

PTBTSNWEP Saaaaaaaa −++++++= ' (2.27) ku koefiçentët jepen në Tabelën 2.1.

Ekuacinet (2.26) dhe (2.27) janë të vlefshme për shumë skema diferenciale si ajo Upwind, qëndrore, hibrid dhe power low. Skema upwind është një skemë e rendit të parë; ajo garanton mungesën e oshilacioneve por fut një difuzion të madh numerik që i shtohet flukseve të vërtetë difuzivë, që sjell alternimin e zgjidhjeve. Rendi i saktësisë të skemës përcaktohet nga gabimi i prerjes së serisë Taylor. Përdorimi i një skeme më të përshtatshme të një rendi më të lartë si ajo QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics) redukton difuzionin numerik por mund të shkaktojë oshilacione jo fizike të zgjidhjes. Skema Quick përdor më shumë qeliza të afërta (fqinje). Ekuacioni përfundimtar i diskretizuar është:

ColdoldPTToldPTBBBBTTTTBBTTSSSS

NNNNSSNNWWWWEEEEWWEEPP

Saaaaaaaaaaaaaaa

++++++++++++++=

,,'

,' φφφφφφφ

φφφφφφφφ (2.28)

PTT

TBBTTBTSSNNSNWWEEWEP

Saaaaaaaaaaaaaaa

−+++++++++++++=

'

'

(2.29)

ku koefiçentët janë dhënë në Tabelën 2.1.

40

Ekuacinet algjebrike të marra nga diskretizimi i ekuacineve të Navier-Stokes zgjidhen në mënyrë sekuenciale ose veçmas, një varibël pas tjetrit; në këtë rast zgjidhja vazhdon, për çdo variabël, duke ngrirë të tjerat me kalimin e kohës ose përsëritjet (iteracionet) e mëparshme (është e mundëshme dhe një zgjidhje e rreme e ekuacioneve të diskredituara por në këtë studim nuk do ta marrim parasysh). Fusha e presioneve nuk ka një ekuacion transporti, kësisoj duhet llogaritur termi i burimit të presionit në ekuacionin e momentit. Fusha e presioneve mund të merret në mënyrë indirekte nga ekuacioni i vazhdueshmërisë meqënëse shpejtësitë e llogaritura nga ekuacioni i momentit duhet të kënaqin dhe ekuacionin e rujatjes së masës. Vetëm vlerat e sakta të fushës së presionit do të na japin vlera korrekte të shpejtësisë që kënaqin ekuacionin e vazhdueshmërisë. Pika e nisjes jepet nga vlera e dëshiruar e fushës së presionit p*; kjo përdoret për llogaritjen e komponentëve të shpejtësisë të quajtura u*, v*, w*. Kështu fusha e presioneve duhet të jetë e saktë në mënyrë që dhe fusha e shpejtësive të kënaqë ekuacionin e vazhdueshmërisë. Vlera e saktë e presionit jepet: p = p* + p’ (2.30) ku p’ paraqet korrigjimin e presionit.

Në mënyrë analoge mund të përkufizohen dhe shpejtësitë si:

u = u* + u’ v = v* + v’ w = w* + w’ (2.31) ku u’, v’ dhe w’ janë korrigjimet e shpejtësisë. Ekuacionet që shprehin korrigjimet e shpejtësisë kanë një formë analoge me ekuacionet (2.26), (2.27) por në ato neglizhohen termat që paraqesin ndikimin e qelizave fqinjë, që nga momenti që duhet përfshirë e gjithë fusha e flukseve në korrigjimin e presioneve për çdo qelizë. Kështu pra, ekuacinet e korrigjimit të shpejtësisë përmbajnë vetëm termat e burimit të bazuara në korrigjimet e presionit:

)( '''EP

e

ee pp

aA

u −= . )( '''NP

n

nn pp

aA

v −= )( ''''TP

t

tt pp

aA

w −= (2.32)

41

Tabela 1.1: Koefiçentët për skemat Upwind dhe QUICK

Koefiçentët Skema Upwind Skema Quick

aE 0,ee FD −+ 0,810,

860,

83

weee FFFD −+−+−

aEE - 0,81

eF−−

aW 0,ww FD + 0,810,

860,

83

ewww FFFD ++−−

aWW - 0,81

wF−

aN 0,nn FD −+ 0,810,

860,

83

snnn FFFD −+−+−

aNN - 0,81

nF−−

aS 0,ss FD + 0,810,

860,

83

nsss FFFD ++−−

aSS - 0,81

sF−

aH 0,hh FD −+ 0,810,

860,

83

lhhh FFFD −+−+−

aHH - 0,81

hF−−

aL 0,ll FD + 0,810,

860,

83

hlll FFFD ++−−

aLL - 0,81

lF−

a’T TF TF a’TT - TTF

Duke zëvendësuar korrigjimet e shpejtësisë në ekuacionet e ruajtjes së

masës vërejmë se ekuacioni i korrigjimit të presionit paraqet një formë të mesme të ekuacionit të përgjithshëm të transportit:

CBBTTSSNNWWEEPP Spapapapapapapa ++++++= ''''''' (2.33)

42

ku Sc është termi i burimit të ekuacionit të vazhdueshmërisë bazuar në shpejtësitë “me yll”:

******btsnewC mmmmmmS &&&&&& −+−+−=

Zgjidhja e saktë e ekuacioneve të korrigjimit të presionit na jep vlera të

sakta për fushën e presioneve p. Rrjedhimisht ekuacionet që paraqesin korrigjimin e shpejtësisë të komponentëve të saj mund të zgjidhen. Në këtë pikë mund të zgjidhen ekuacionet e diskretizuara për të gjitha variablat e tjera që ndikojnë në fushën e fluksit (nëqoftëse një variabël e veçantë nuk ndikon në fushën e fluksit, është mirë të llogaritet pasi të kemi marrë një konvergjim të zgjidhjes për vetë fushën e fluksit). Tentativat (iterration) vazhdojnë deri sa zgjidhja të konvergjojë.