วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

1

บทท 1 ความนาจะเปน

1. กฎการนบเบองตน

1.1 แผนภาพตนไม

คอ วธการในการแกปญหาทางคณตศาสตรทเกยวของกบการหาจ านวนวธการทงหมดทเปนไปไดของ

เหตการณหนงๆ

(1) จงหาจ านวนวธทเหรยญจะแสดงหนาทเปนไปไดจากการโยนเหรยญ 2 เหรยญหนงครงโดยการใชแผนภาพตนไม

วธท า

(2) นายบญช นางสมศร และนายสมบต ตองการถายภาพรวมกนโดยยนเรยงในแนวเสนตรง จงหาวธทงหมดทคน

ทง 3 ยนเรยงในการถายภาพ โดยการใชแผนภาพตนไม

วธท า

(3) มเดกชาย 3 คนคอ พท ฉ อ และเดกหญง 2 คน คอ อน อร ถาใหจบคเตนร ากนจะสามารถจบคไดทงหมดก

วธ โดยการใชแผนภาพตนไม

วธท า

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

2

1.2 กฎการนบเบองตน

1.2.1 กฏการคณ

ถาในการท างานชนหนงสามารถแบงงานเปน k ขนตอนดวย

ขนตอนท 1 สามารถท างานไดทงหมด 1n วธ

ขนตอนท 2 สามารถท างานไดทงหมด 2n วธ

ขนตอนท 3 สามารถท างานไดทงหมด 3n วธ

ขนตอนท k สามารถท างานไดทงหมด kn วธ

จ านวนวธการท างานชนดงกลาวทงหมด คอ 1 2 3 kn n n n วธ

*** หมายเหต การแบงงานเปน k ขนตอนในแตละขนตอนงานยงไมเสรจสนตองเรมจากขนท 1 แลว

ตอเปนขนท 2,3, … จนถงขนท k งานจงจะส าเรจเสรจสนดงแผนภาพ

เรมตน สนสด

ขนท 1 2 3 k

จ านวนวธ 1n 2n 3n kn

(4) .จงหาจ านวนวธทเหรยญจะแสดงหนาทเปนไปไดจากการโยนเหรยญ 2 เหรยญหนงครง

วธท า

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

3

(5) เตตองการแตงตวไปจบสาว ซงในการแตงตวตองใสเสอ กางเกงและเนกไท โดยเตมเสออย 4 ส กางเกงอย 3 ส

และเนกไทอย 2 ลายคอลายหมพหกบลายมกกเมาส แลวเตจะแตงตวไดกแบบ

วธท า

(6) ธาดาผโอบออมอาร ตองการแจกแอปเปลอย 4 ลก ตองการมอบใหเพอนรก 10 คน จะมวธการแจกกวธเมอ

1. ไมมเงอนไข 2. ไมซ าคน

วธท า วธท า

(7) มลกเตา 2 ลก เมอท าการโยนจะมวธการขนหนาของลกเตาทงสองกแบบ เมอ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. แตมรวมกนเปนเลขค

วธท า วธท า

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

4

(8) ตองการสรางจ านวนทม 3 หลกโดยเลขแตละหลกเลอกจากตวเลข 2,3,5,6,7 และ 9 จะสรางทงหมดกวธเมอ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. เลขแตละหลกไมซ ากน

วธท า วธท า

3. จ านวนทสรางมคานอยกวา 400 4. เปนจ านวนค

วธท า วธท า

5. เปนจ านวนคและเลขแตละหลกไมซ ากน 6. หารดวย 5 ลงตวและคามากกวา 500

วธท า วธท า

(9) ในงานเลยงงานแตงงานงานหนง ในจ านวนผรวมงานครงนม พลอย แอนท แปงและหยก ไดน ารมตดตวมา

ดวยและไดน ารมมาวางไวในทๆจดเตรยมไว ซงมเฉพาะรมของคนทง 4 นเทานน เมองานเลก จงหาวธทงหมดทคน

ทง 4 คน หยบรมทวางไวแบบไมเจาะจง

วธท า

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

5

(10) เบลลามเสอสแดงลายตางกน 2 ตว มสน าเงนลายตางกน 2 ตว และสขาว 1 ตว มกระโปรงสแดง 1 ตว สน า

เงนลายตางกน 2 ตว จงหาวธทเบลลาจะสวมเสอและกระโปรงไปเทยวเปนชดตางกนไดทงหมดกชดถา

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. เบลลาตองการใสเสอสแดง 3. เบลลาตองการใสกระโปรงสน าเงน

วธท า

(11) สนามกฬาแหงหนงมประตเขาออก 8 ประต ถาคนๆหนงเดนเขาและออกจากสนามกฬาแหงนจะท าไดกวธ

ถา 1. เขาประตใดและออกประตใดกได

2. เขาและออกสนามกฬาโดยไมซ าประตเดม

3. เขาประตใดตองออกประตนน

วธท า

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

6

(12) มถนนจากกรงเทพถงสระบร 4 สาย มถนนจากสระบรถงนครราชสมา 3 สาย และมถนนจากนครราชสมาถง

ขอนแกน 2 สาย ถาตองการเดนทางไปและกลบระหวางกรงเทพกบขอนแกนโดยผานสระบรและนครราชสมาจะม

วธเลอกเดนทางไดทงหมดกวธโดย

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ขาไปและกลบใชเสนทางไมซ ากน

วธท า วธท า

(13) จงหาวธในการจดนกเรยนชาย 3 คนและนกเรยนหญง 2 คน โดยม นายไผ และนางสาวปานทพย รวมอย

ดวย ยนเรยงแถวเสนตรง ถา

1. ใหนางสาวปานทพย ยนหวแถว 2. ใหนายไผยนหวแถวและนางสาวปานทพย ยนทายแถว

วธท า วธท า

3. ใหนกเรยนชายยนหวแถวและทายแถว 4. ใหนกเรยนหญงยนหวแถวและทายแถว

วธท า วธท า

5. ใหปานทพย ยนหวแถวและนกเรยนหญงยนทายแถว

วธท า

6. ใหไผยนหวแถวและนกเรยนชายยนทายแถว

วธท า

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

7

1.2.2 กฎการบวก

ในการพจารณาวาการจะน าวธการในแตละสงทเราท าไดมาบวกกนหรอมาคณกนนนใหเรา

พจารณาวางานนนๆ เสรจงาน ตามทโจทยตองการหรอยง

ถางานนนสามารถแบงออกเปน k กรณ โดย

กรณ 1 สามารถท างานเสรจสนได 1n วธ

กรณ 2 สามารถท างานเสรจสนได 2n วธ

กรณ 3 สามารถท างานเสรจสนได 3n วธ

กรณ k สามารถท างานเสรจสนได kn วธ

จ านวนวธการท างานทงหมด 1 2 3 kn n n n วธ

(4) ในการเดนทางจากบานณเดชไปบานญาญาม 2 วธหลกคอ ปนจกรยานไปจนถงบานญาญาเลย กบนงรถไฟฟา

ตอสองแถวแลวตอมอเตอรไซครบจางอกท โดยจกรยาน 3 คนและรถไฟฟาม 4 เทยวและรถสองแถวม 5 เทยว

มอเตอรไซครบจางม 2 เทยว แลวณเดชจะสามารถเดนทางไปหาญาญาไดทงหมดกวธทไมซ ากน

วธท า

(15) ในการสรางเลข 3 หลกโดยหามใชตวเลขซ าจากเลข 0 – 9 จะสรางเลขคสามหลกไดทงหมดกจ านวน

วธท า

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

8

(16) ถงใบหนงมลกแกวขนาดเดยวกนอย 10 ลก เปนสแดง 3 ลก สขาว 5 ลก สด า 2 ลก สมหยบลกแกวจากถง

สองครง ครงละลกโดยไมใสคน จ านวนวธทจะหยบไดลกแกวลกทสองเปนสแดงเทากบเทาใด

วธท า

(17) มสลาก 6 ใบ โดยมหมายเลข 1-6 ก ากบไว ใหสมหยบสลาก 2 ครง ครงละใบ ถาครงแรกไดเลขคใหใสสลาก

ใบนนกลบคนกอนหยบครงทสอง แตถาครงแรกไดเลขค กหยบครงทสองไดโดยไมตองใสสลากกลบคน

1. วธทหยบไดทงหมดมคาเทาใด

2. วธทหยบไดครงทสองเปนเลขคมคาเทาใด

วธท า

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

9

Worksheet 1กฎการนบเบองตน

ค าชแจง : แสดงวธท าลงสมด พรอมลอกโจทย

1. ตองการสรางเลข 2 หลก จากเลขโดด 4 ตวคอ 1,2,3,4 จะสรางเลขไดทงหมดกจ านวนเมอ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ใชเลขซ ากนไมได

3. เปนเลขค 4. เปนเลขค

5. เปนเลขคทใชเลขโดดซ ากนไมได

2. มนกเรยนจ านวน 3 คน อยในหองทมประตเขา-ออกทงหมด 4 ประต จงหาจ านวนวธทคนเหลานจะออกจาก

หองทางประตตางๆ ดงกลาว

3. มคน 5 คน นงรถไฟไปเทยวมทนง 2 ตอน ตอนหนาม 2 ทนง ตอนหลงม 3 ทนง จะมวธในการนงทแตกตางกน

กวธ ถาทกคนขบรถได

4. หมายเลขโทรศพท 6 หลก ทขนตนดวยหมายเลข 723 จะมทงหมดกหมายเลข

5. ตองการสรางจ านวนทม 4 หลกและมคามากกวา 2500 โดยสรางจากเลขโดด 0,1,2,3,4 และ 5 เมอ

1. เลขแตละหลกไมซ ากน 2. เลขแตละหลกอาจซ ากนได

6. ตองการสรางจ านวนทมคามากกวา 1,000 นอยกวา 4,500 โดยใชเลขไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกวธ

7. มชาย 4 คน หญง 3 คน ตองการถายรปหม ยนเปนแถวตรง 1 แถว จงหาจ านวนวธในการถายรปของคนกลมน

เมอ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ชายยนสลบทกบหญง

8. ตองการสรางค าจากตวอกษรของค าวา Elementary โดยสรางค าทประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว ไมซ ากน

และค าทสรางขนมาไมจ าเปนตองมความหมาย จงหาจ านวนค าทงหมด

1. ตวอกษรทง 4 ตว จะเปนตวใดกได 2. ตวอกษรทง 4 ตว เปนพยญชนะลวน

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

10

2. แฟคทอเรยล

ถา n เปนจ านวนเตมบวกแลวผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n สามารถเขยนแทนดวย

n! 1 2 3 4 n หรอ n! n (n 1) (n 2) 3 2 1 เราเรยก n! วา แฟคทอเรยล

โดย 0! = 1

1! = 1

2! = 2 1 = ………………………..……….

3! = 3 2 1 = ……………………….……….

4! = 4 3 2 1 = …………………...….……….

5! = 5 4 3 2 1 = ……………..…………….

6! = …………………………. = …………………….

(18) จงหาคาตอไปน

1. 6!

4! 2. 7!

2!5!

3. (n 1)!

(n 1)!

4.

2(n!)

(n 1)!(n 1)!

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

11

(19) จงเขยนผลคณตอไปนใหอยในรปแฟคทอเรยล

1. 9 8 7 6 2. 11 10 9 8 7

3. n(n 1)(n 2)(n 3) 4. 2 2 2n(n 1)(n 4)(n 9)

(20) จงหาคา n จากสมการตอไปน

1. (n 1)!

(n 2)!

= 1320

2. (2 n)!

(n 10)!10!

= (2 n)!

(n 7)!7!

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

12

(21) จงหาคา n จากสมการตอไปน

1. 6!(n 1)! = 8!(n 3)! 2. 4!(n 1)!

(n 1)!

= 6!

3) 6!(n 1)!

(n 2)(n 1)!

= 3!

4) 8! n!

(n 10)! = 10!n!

(n 8)!

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

13

Worksheet 2 แฟคทอเรยล

1. จงหาคาตอไปน

1. 4!0! = ……………………………………………… 2. 10!

9! = ………………………………..………………

3. 8!

5! 3! = ……………………………………………… 4. 10!

6! 4! = ………………………………………………

5. 13!

10! 4! = ……………………………………………… 6. 7!

2!5! = …………………………….…………………

7. 13!

10! 6! = ……………………………………………… 8. 12!

6! 6! = ………………………………………………

2. จงเขยนจ านวนตอไปนในรปแฟคทอเรยล

1. 7 8 9 10 = …………………………..……….. 2. n(n 1)(n 2)(n 3) = ………………………..

3. n(n 1)(n 2) (n 8) = …………………… 4. 60 59 58 = ………………………………………

5. 2 4 4n (n 1)(n 4) = …………………………..……………………………………..…………………………….……

3. จงเขยนจ านวนตอไปนในรปไมมแฟคทอเรยล

1. n!

(n 1)! 2. n!(n 1)!

(n 1)!(n 2)!

3. (3n)!

(3n 2)! 4. (n 1)!(n 1)!

2(n 3)!(n 2)!

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

14

4. จงหาคา n จากสมการตอไปน

1. n(n 1)!

(n 1)!

= 6n 2. 2n!

5! = (n 3)!

3. 5!n!

(n 4)! = 30n!

(n 5)!

4. (25)4!(n 1)(n 2)!

n 3

= 7!(n 3)!

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

15

3. วธเรยงสบเปลยน

วธเรยงสบเปลยน เปนวธการทน าสงของจ านวนหนงมาจดเรยง โดยทการจดเรยงดงกลาวใหค านงถง

ต าแหนงของสงของแตละสงเปนส าคญ โดยเราจะศกษาวธเรยงสบเปลยนใน 2 ลกษณะ คอ

1. วธเรยงสบเปลยนเชงเสน

2. วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม

หมายถง การจดเรยงสงของโดยมลกษณะเปนแถว โดยสามารถก าหนดต าแหนงหวแถวและทายแถวได

จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด n สงเทากบ n! วธ

(22) เดกชาย 3 คน ยนลงเลอยทเกาอ 3 ตว จะมกวธทจะจดเดกเขานงประจ าเกาอไดกวธ

(23) มชาย 4 คน หญง 3 คน นงบนมานง 7 ตว ซงวางเรยงเปนแถวยาว จะมวธนงของคนทง 7 คนไดกวธ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ชายและหญงนงสลบทกนทละคน

(24) ถาน าเลขโดด 1,2,3 และ 4 มาจดเรยงเปนจ านวนทม 4 หลกโดยแตละหลกไมซ ากน จะจดไดทงหมดกวธ

(25) จงหาจ านวนวธในการจดล าดบตวอกษรจากค าวา “also”

วธเรยงสบเปลยนเชงเสน

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

16

การหางานของการจดสงของทตองการยนตดกน

ขนท 1 มดสงของทตองการอยดวยกนใหถอเปนของ 1 สงแลวน าไปรวมกบสงของอนๆแลวน าไปจดเรยง

ขนท 2 ท าการจดเรยงภายในสงของทมดไว (ทตดกน)

(26) สามภรรยาคหนง พรอมดวยลก 4 คนมายนเรยงแถวยาวเพอถายรป

จะมวธจดใหยนทงหมดกวธเพอ

1. ไมมเงอนไข 2. พอและแมยนตดกน 3. พอและแมยนรมทง2ดาน

(27) มนกเรยนชาย 3 คนและมนกเรยนหญง 2 คน รวมกบคร 1 คน ยนถายรปหมเปนแถวตรง 1 แถว จงหา

จ านวนวธในการยนถายรป เมอ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ครยนอยรมแถว 3. นกเรยนหญงยนตดกน

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

17

(28) มผชาย 4 คน หญง 3 คน มานงบนบนมานงแถวยาว จะมวธนงไดทงหมดกวธ เมอ

1. เพศเดยวกนนงตดกน 2. ชายทง 4 คนนงตดกน

3. หญงทง 3 คนนงตดกน 4. ชายและหญงนงสลบทกน

(29) มนกเรยน 6 คน และนกเรยนหญง 6 คนมายนเรยงแถวยาว จงหาจ านวนวธทจะจดใหนกเรยนยนแถวตรง

ทงหมด เมอ

1. ไมมเงอนไข 2) เพศเดยวกนยนตดกน 3. ชายและหญงยนสลบทกนทละคน

4. ชายและหญงยนสลบทกนทละ 2 คน 5. ชายและหญงยนสลบทกนทละ 3 คน

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

18

(30) ในการจดเรยงหนงสอในแนวเสนตรง โดยมหนงสอวทยาศาสตร 3 เลมทแตกตางกน

คณตศาสตร 3 เลมทแตกตางกน ภาษาองกฤษ 2 เลมทแตกตางกน ภาษาไทย 1 เลม จะมวธการจดเรยงทงหมดกวธ

1. หนงสอหมวดเดยวกนอยตดกน

2 หนงสอหมวดคณตศาสตรอยตดกน หมวดวทยาศาสตรอยตดกน

3. หนงสอหมวดคณตศาสตรอยตดกน หมวดองกฤษอยตดกน

4. ใหหนงสอหมวดคณตศาสตรเทานนอยตดกน

5. ใหหนงสอหมวดองกฤษเทานนอยตดกน

6. ใหหนงสอหมวดองกฤษเทานนอยตดกนและอยรมสด

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

19

การหางานของการจดสงของทไมตองการยนตดกน

ขนท 1 ใหเกบสงของทไมตองการตดกนไวกอนแลวน าทเหลอมาจดเรยง

ขนท 2 หาต าแหนงใหกบสงของทไมตองการตดกนลง แลวท าการจดเรยงสงของ

(31) มผชาย 5 คน และผหญง 4 คน มายนเรยงแถวยาว จะมวธการยนทงหมดกวธเมอ

1. ไมมผชาย 2 คนใดใดยนตดกน 2. ไมมผหญง 2 คนใดใดยนตดกน

(32) สามภรรยาคหนงมบตรชาย 2 คน และบตรสาว 3 คน ถาใหทงหมดมายนเรยงแถวยาว

จะมวธการยนกวธเมอ

1. บตรชายยนตดกน และบตรสาวยนแยกกนหมด

2. บตรสาวยนตดกน แตบตรชายยนแยกกนหมด

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

20

ทฤษฎบท ในการจดสงของ n สง ทแตกตางกนทงหมด โดยจดครงละ r สง (r  n  )

จะจดไดทงหมด n!

(n r)! วธ

อาจใชสญลกษณ nrP หรอ n,rP แทนจ านวนวธในการจดเรยงล าดบสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด

โดยจดครงละ r สง ดงน n,rP = n!

(n r)!

(33) จงหาคา n จากขอตอไปน

1. 7,5P 2. 6,2P

3. n,4P = n,22 P

(34) การเลอกตงสมาชกเพอด ารงต าแหนงสโมสรรวม 3 ต าแหนงคอ ประธาน รองประธานและเลขานการ ในการ

สมครครงนมผสมครเขารบเลอกตงต าแหนง 10 คน จงหาจ านวนวธทผสมครเหลานจะไดรบเลอกตง

วธท า

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

21

(35) ในการจบฉลากชงรางวล 2 รางวลเนองในโอกาสวนปใหมของนกเรยนหองหนงจ านวน 30 คน ไดท าสลากขน 30

ใบ แตละใบมชอนกเรยนแตละคน จากนนใหคณครประจ าชนจบสลากน 2 ครง ครงละใบ ผมชอในฉลากใบแรกและใบ

ทสอง จะไดรบรางวลท 1 และท 2 ตามล าดบ จงหาจ านวนวธทงหมดทนกเรยนเหลานจะไดรบรางวล

วธท า

(36) ตองการสรางจ านวนทม 4 หลก จากเลขโดด 1,2,3,…,9 โดยทแตละหลกไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกจ านวน

เมอ 1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. หลกหนวยและหลกรอยเทานนเปนเลขค

3. แตละหลกสลบเลขคและเลขค

(37) ตองการสรางค าทประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว ไมซ ากน โดยเลอกมาจากค าวา ENTRANCE จะสรางได

ทงหมดกค า โดยค าทสรางขนมาไมจ าเปนตองมความหมายกได เมอ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. อกษรตวแรกเปนสระ และอกษรตวสดทายเปนพยญชนะ

3. มสระอยางนอย 1 ตว

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

22

(38) มเกาอทงหมด 8 ตวเรยงเปนแถวยาว มคนทงหมด 4 คนคอ นาย ก. นาย ข. นาย ค. และนาย ง

ตองการนงบนเกาอ จงหาจ านวนวธในการนง เมอ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. คนทง 4 คน ตองนงตดกน

3. นาย ก. นงเกาอตวแรก และนาย ข. นงเกาอตวสดทาย

การเรยงสบเปลยนสงของ n สงทไมแตกตางกนทงหมด(มบางสงซ ากน)

d = 1 2 k

n!

n ! n !...n !

(39) ตวอกษรในค าวา SUCCESS จะมวธเรยงสบเปลยนเปนค าตางๆ ทไมจ าเปนตองมความหมายไดทงหมดกวธ

(40) ตวอกษรในค าวา LOVELYPOO จะมวธเรยงสบเปลยนเปนค าตางๆ ทงหมดกวธ เมอ

1. อกษรทไมซ ากนอยตดกน 2. อกษรทซ ากนในกลมเดยวกนอยตดกน

(41) มตวเลข 7 ตว ดงน 1,1,2,2,2,3,4 ถาน าตวเลขทกตวมาจดเรยงเปนจ านวนทม 7 หลก จะสรางไดกวธ เมอ

1. ไมมเงอนไข 2. มคามากกวา 2 ลาน

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

23

(42) นกเรยนกลมหนง 12 คน เปนนกเรยนชาย 7 คนและนกเรยนหญง 5 คน โดยทนกเรยนแตละคนมความสง

เทากน ถาตองการใหนกเรยนทงหมดมาเขาแถวหนากระดานเรยงหนง จะมวธการยนเขาแถวกวธ เมอตองการให

ถามองจากหวแถวไปยงหางแถวแลวจะพบวา

1. นกเรยนยนเรยงตามล าดบความสง

2. นกเรยนชายยนเรยงล าดบจากสงไปหาต า

3. นกเรยนชายยนตดกนทง 7 คนและยนเรยงตามล าดบความสงและนกเรยนหญงยนเรยงล าดบจากสงไปหาต า

(43) พยาบาลผหนงมหนาทเรยกคนไขเขาตรวจรกษาทละคน ถามคนไขทงหมด 7 คน ในจ านวนนม แดน บม บก

และป รวมอยดวย พยาบาลผนจะมวธเรยกคนไขเขาตรวจจนครบ 7 คน ทงหมดกวธ เมอ

1. แดน ไดเขาตรวจกอนบม และนายบมไดเขาตรวจกอนบก

2. แดน ไดเขาตรวจกอนบม และนายบกไดเขาตรวจกอนป

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

24

วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแตกตางไปจากวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน โดยทการจดเรยงแบบวงกลม

จะไมสามารถระบต าแหนงหวแถวหรอทายแถวได เชน การจดคนนงรอบโตะกลม การรอยพวงมาลยเปนวงกลม

วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม สามารถแยกออกไดเปน 2 ประเภท

1) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได เชน การจดคนยนเปนวงกลม จดคนนงรอบโตะกลม

จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได คอ (n 1)! วธ

2) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกได ไดแก การรอยพวงมาลยแบบวงกลม

ถามสงของทแตกตางกน n สง จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมทพลกไดเทากบ (n 1)!

2

วธ

(44) จงหาจ านวนวธการนงของคน 5 คน รอบโตะกลมซงม 5 ทนง

(45) มมสแกรนด 2 คน และมสทฟฟาน 4 คน มายนเรยงกนเปนวงกลม จะยนไดกวธ เมอ

1. ไมมเงอนไขใดเพมเตม 2. มสแกรนด 2 คน ยนตดกนเสมอ

3. มสแกรนด 2 คน ยนแยกจากกนเสมอ 4. มสแกรนด 2 คน ยนตรงขามกนเสมอ

วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

25

(46) มคน 8 คน ในจ านวนนม Boy Nong และ Pat รวมอยดวย ถาใหทงหมดนงรอบโตะกลมตวหนง จะมวธนงกวธ

เมอ 1. Boy Nong และ Pat นงตดกนเสมอ

2. Boy Nong และ Pat นงแยกจากกนเสมอ

3. Boy นงตดกน Nong แตไมตดกน Pat

(47) มนกเรยนชาย 4 คน และนกเรยนหญง 4 คน โดยมนายกอไผและนางสาวกอบว รวมอยดวยจะจดเรยงแบบ

วงกลมไดทงหมดไดกวธ เมอ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. นายกอไผและนางสาวกอบว ยนตดกน

3. ชายและหญงสลบทกนทละคน 4. ชายและหญงสลบทกนทละ 2 คน

(48) นองตอย ทาส 5 ส บนสเหลยมลกบาศกหนาเกลยงทกหนา หนาละส โดยทไมใหหนาททาสเดยวกนอยตดกน

จะมวธการทาสทงหมดกวธ

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

26

(49) นองพลอยรอยพวงมาลยเปนวงกลมดวยดอกไม 9 ดอก แตละดอกแตกตางกน

โดยทดอกไมมสขาว 2 ดอก สแดง 3 ดอกทเหลอมสไมซ ากน อยากทราบวา จะไดพวงมาลยทแตกตางกนกวธ เมอ

1. ไมมเงอนไขใดเพมเตม 2. สขาวอยตดกนและสแดงอยตดกน

(50) มดอกไม 8 ดอกทแตกตาง มสขาว 4 ดอก สชมพ 4 ดอก น ามารอยพวงมาลยไดกวธ ทแตกตาง เมอมเงอนไขดงน

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ใหสขาวสลบทกบสชมพ

3. ใหสขาวอยตดกนและสชมพอยตดกน

(51) มคนทงหมด 5 คน จดใหนงรอบโตะกลม จะจดไดกวธเมอ

1. จดทละ 3 คน 2. จดทละ 4 คน 3. จดทละ 5 คน

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

27

โจทยแบบอยางนอย

โจทยลกษณะนจ าเปนตองแบงเปนกรณซงบางครงอาจจะแบงไดหลายกรณมาก และเสยเวลาในการคด

ลองมาพจารณางานทอยตรงขามกบโจทยตองการถางานทอยตรงขามนนหาไดงายกวากจะใชหลกการคลายๆ กบ

เรองเซตเขามาชวยแกโดยท

n(E) = n(U) n(E ) หรอเรยกวา

n (งานทโจทยตองการ) = n (งานทงหมด) - n (งานทตรงขามกบโจทย)

(52) ในการสรางเลข 4 หลกจากเลข 2,4,5,6,7,8 จะสรางเลขสหลกทมการใชเลขซ ากนอยางนอย 2 หลกไดกจ านวน

(53) มโรงแรม 6 แหง อยากทราบวานกทองเทยว 4 คน จะเลอกพกโรงแรมดงกลาวโดยมนกทองเทยวอยางนอย 2 คน

พกโรงแรมเดยวกน

(54) ครอบครวหนงยายมาจากตางจงหวด มบตร 4 คนทตองการเขาโรงเรยน ถามโรงเรยนทบตรทงสคนจะเขาได

5 โรงเรยน จะมวธการเลอกเขาโรงเรยนไดกวธ ถามบตรอยางนอย 2 คนอยโรงเรยนเดยวกน

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

28

Worksheet 3 การเรยงสบเปลยน

ค าชแจง : แสดงวธท าลงสมด พรอมลอกโจทย

การสบเปลยนเชงเสน

1. จงหาจ านวนค าทเกดจากการสลบทของตวอกษร ของค าวา HISTORY มทงหมดกค า เมอ

1. ไมมเงอนไข 2. พยญชนะทกตวอยตดกน

3. ไมมสระตวใดอยตดกน

2. มหนงสอแตกตางกน 7 เลม ประกอบดวยคณตศาสตร 3 เลม จงหาจ านวนวธในการจดเรยงหนงสอแบบแถวยาว

แถวเดยว เมอ

1. ไมมเงอนไข 2 หนงสอคณตศาสตรตองอยตดกน

3. หนงสอคณตศาสตรตองแยกกนทง 3 เลม 4. หนงสอคณตศาสตรอยหวแถวทายแถว

3. คร 1 คน นกเรยนชาย 4 คนและนกเรยนหญง 4 คน ยนถายรปหมเปนแถวยาวแถวเดยว จงหาจ านวนวธใน

การยนตามเงอนไข ตอไปน

1. ไมมเงอนไข 2. ครยนตรงกลาง

3. นกเรยนชายยนตดกนทงหมด 4. นกเรยนชายยนแยกกน

5. นกเรยนชายและนกเรยนหญง ยนสลบทกนละ 1 คน

6. ครอยหวแถวและนกเรยนหญงอยหวแถว

7. นกเรยนหญงยนแยกกน

8. ครยนอยรมและนกเรยนชายยนตดกน

4. จงหาจ านวนค าจากการสลบทตวอกษรของค าวา “Teacheraward” โดยใหตวอกษรทซ ากนอยตดกนเมอ

1. ไมมเงอนไข 2. ขนตนดวยสระ

3. ขนตนดวยพยญชนะ 4. พยญชนะอยตดกน

5. อกษรทซ ากนอยรม

5. มนกเรยนชาย 2 คน นกเรยนหญง 3 คน นงบนเกาอยาวแถวเดยว 8 ตว จงหาจ านวนวธในการนงทแตกตางกน

ทงหมด เมอ

1. ไมมเงอนไข 2. ชายนงตดกนและหญงนงตดกน

3. ไมมชายคนใดนงตดกน 4. ชายนงสลบทกบหญง

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

29

6. มนกเรยนกลมหนงมจ านวน 6 คน ตองการใหนกเรยนทง 6 คน นงเกาอแถวยาวแถวเดยว อยางนอย 1 คน จะ

มวธการนงทแตกตางกวธ

7. ตองการสรางค าใดกไดจากค าวา “Politician” จะสรางไดทงหมดกค า เมอ

1. ไมมเงอนไข 2. อกษรตว i อยตดกนหมด

3. อกษรตว i อยรม 4. อกษรตว i อยแยกกนหมด

8. มหนงสอทแตกตางกนทงหมด 5 วชา ในแตละวชาม 2 เลมทเหมอนกน ถาตองการจดหนงสอ เปนแถวยาวแถว

เดยว จะจดไดกวธ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. หนงสอวชาเดยวกนอยตดกน

3. หนงสอทอยรมทง 2 ดาน เปนวชาเดยวกน

9. จงหาจ านวนวธในการสรางตวเลข 5 หลก จากเลขโดด 5 ตว ดงน 0,1,2,3,4 จะสรางไดกจ านวนโดยหามใช

เลขซ ากน เมอ

1. จ านวนทสรางมคามากกวา 10,000

2. จ านวนทสรางมคามากกวา 10,000 และเปนจ านวนค

การสบเปลยนแบบวงกลม

10. มนกเรยนชาย 4 คน และหญง 2 คน มายนรอบเสาธงเปนวงกลม จงหาจ านวนวธในการยนทงหมด เมอ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ชายยนตดกน

3. หญงยนตดกน 4. ผหญง 2 คน ยนตรงขามกนเสมอ

11. มนกเรยนชาย 4 คน และนกเรยนหญง 3 คน จงหาจ านวนวธทจะจดนกเรยนทง 7 คน ยนเปนวงกลม จะจด

ไดทงหมดกวธ

1. ชายยนตดกนหมด 2. นกเรยนหญงยนตดกน

12. คณะกรรมการผใหญบานจ านวน 4 คน พรอมภรรยาไดรวมกนรบประทานอาหารรอบโตะกลม จงหาจ านวน

วธในการจดนง เมอ

1. ประธานตองนงในต าแหนงทก าหนดไว

2. ประธานตองนงในต าแหนงทก าหนดไว และภรรยาของประธานตองนงตดกบประธาน

3. สาม ภรรยาแตละคตองนงตดกน

4. เพศเดยวกนนงตดกน

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

30

13. มลกปดสจ านวน 10 ลก ลกละ 1 ส ถาน าลกปดทงหมดมารอยเปนก าไรขอมอ จะไดก าไรทแตกตางกนกวง

เมอ 1. ไมมเงอนไข 2. สด าและสขาวอยตดกน

3. สน าเงนไมตดกบสเหลอง

14. มนกเรยนชาย 6 คน และนกเรยนหญง 6 คน น านกเรยนทงหมดมายนเปนวงกลม จงหาจ านวนวธในการยน

ของนกเรยนทง 12 คน เมอ

1. ชายสลบทกบหญงทละ 1 คน 2. ชายสลบทกบหญงทละ 2 คน

3. ชายสลบทกบหญงทละ 3 คน

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

31

4. วธการจดหม

A = {1,2,3,4}

B = {2,1,3,4}

C = {4,1,2,3}

D = {3,4,1,2}

เซต A,B,C และ D ดงกลาวเปนเซตทเทากน เพราะไมไดค านงถงต าแหนงเปนส าคญ ซงลกษณะของ

วธการจดหมกไมไดค านงถงต าแหนงเชนกน โดยวธการจดหมจะไมมการจดเรยง

ท าใหไดวาการเลอกหรอการจดหมสงของครงละ r สง จากสงของทแตกตางกน n สง

แทนดวยสญลกษณ

n

r

หรอ nrC หรอ n rC หรอ n,rC = n!

r!(n r)!

(55) จงหาคาตอไปน

1. 5,2C 2. 10

8

3. 10

10

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

32

(56) จงหาคา n จากสมการตอไปน

1. n,n 1C = 20 2. n,n 2C = 45

3. n 1,n 3C = 36 4. n 1,nC = 100

(57) จงหาคา n จากสมการตอไปน

1. n ,12C = n ,4C 2. n ,12C = n ,10C

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

33

(58) สมพรมเสอทแตกตางกน 10 ตว เขาตองการน าเสอไปเทยวจ านวน 4 ตว จะมวธจดเสอไปเทยวไดทงหมดกวธ

(59) มนกเรยนทงหมด 12 คน เปนนกเรยนชาย 8 คน และนกเรยนหญง 4 คน จงหาจ านวนวธในการเลอก

กรรมการจ านวน 5 คน จากคนทงหมด 12 คน โดยมเงอนไขตอไปน

1) ไมมเงอนไข

2) เปนนกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 2 คน

3) กรรมการตองเปนชายอยางนอย 1 คน

(60) บนเสนรอบวงวงกลมหนงมจดคงท 8 จด จงหา

1) จ านวนเสนตรงทลากเชอมระหวางจดสองจด

2) จ านวนรปสามเหลยมทมจดเหลานเปนจดยอดมมของรปสามเหลยมทง 3 มม

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

34

(61) มนกเรยนทงหมด 10 คน เปนชาย 6 คน และหญง 4 คน ถาตองการเลอกตวแทนจากคนกลมนมา 4 คน

จงหาจ านวนวธในการเลอกตวแทนทงหมด เมอ

1. ไมมเงอนไข 2. ไดจ านวนผชายมากกวาจ านวนผหญง (มทงชายและหญง)

3. ไดจ านวนผชายเทากบจ านวนผหญง 4. ไดทงผชายและผหญง

(62) นกเรยนหองหนงม 15 คน เปนนกเรยนชาย 10 คน หญง 5 คน แบงนกเรยนออกเปน 3 กลม เพอท างาน

ตามใบงานท 1, 2 และ 3 โดยทใบงานชนท 1 ตองการชาย 8 คน ใบงานชนท 2 ตองการหญง 2 คน

และใบงานชนท 3 ตองการ 5 คน จงหาจ านวนวธทจะแบงนกเรยนไปท างาน 3 ชนงานน

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

35

(63) ตองการสรางค าทประกอบไปดวยตวอกษรทไมซ ากน 4 ตว และไมจ าเปนตองมความหมายจากค าวา

“Published” จะสรางไดกค า เมอ

1) มพยญชนะ 2 ตว และสระ 2 ตว

2) มทงพยญชนะและสระ

3) มจ านวนพยญชนะและสระเทากนและใหสระอยตดกน

4) มทงพยญชนะและสระ โดยใหสระอยหวและทาย

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

36

Worksheet 4 การจดหม

ค าชแจง : แสดงวธท าลงสมด พรอมลอกโจทย

1. จงหาคา n จากสมการตอไปน

1. n,3C = 50,47C 2. n,7C = n,5C

3. n,3P = n,43C 4. n 2,3

n,2

C

C

= 4

2. ในการแขงขนฟตบอลซงประกอบดวยทมทงหมด 7 ทม จะจดใหทกทมแขงขนแบบพบกนหมด จงหา

1. แตละทมตองแขงขนกบทมอนๆกครง

2. มการแขงขนทงหมดกครง

3. กลองใบหนงมลกบอล 10 ลก ประกอบดวยสแดง 4 ลก สขาว 3 ลก และสเหลอง 3 ลก ถาหยบลกบอล 3 ลก

จากกลองน จงหาจ านวนวธท

1. ไดลกบอลสแดง 1 ลก 2. ไดลกบอลสขาวอยางนอย 1 ลก

4. ขอสอบวชาฟสกสชดหนงม 8 ขอ นายมารโอตองท าขอสอบ 5 ขอจาก 8 ขอ นายมารโอ จะมวธในการเลอกท า

ขอสอบกวธ เมอ

1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. มารโอตองท าขอ 1 และขอ 2

5. ไพส ารบหนงม 52 ใบ แบงเปน 4 ชด ชดละ 13 ใบ คอชดโพแดง ดอกจก โพด าและขาวหลามตด จงหาจ านวน

วธในการหยบไพจากเงอนไขตอไปน

1. 3 ใบ 2. 13 ใบ

3. 5 ใบโดยตองเปนโพแดงทงหมด 4. หยบไพ 4 ใบใหครบชด

5. 10 ใบโดยเปนโพแดง 3 ใบ โพด า 2 ใบและขาวหลามตด 5 ใบ

6. ตองการน าตวอกษรจากค าวา “Summarize” มาสรางเปนค าใหมประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว โดยไม

จ าเปนตองมความหมาย โดยมเงอนไขตอไปน

1. ไมมเงอนไข 2. มพยญชนะอยางนอย 1 ตว

3. มพยญชนะ 2 ตวและสระอยตดกน 4. มพยญชนะสลบทกบสระ

7. มสาม-ภรรยาจ านวน 4 ค ถาตองการน า 6 คนมานงรอบโตะกลม จะจดไดกวธเมอ

1. ไมมเงอนไข 2. ชายและหญง นงสลบทกน

3. ตองเปนสาม ภรรยากนทง 3 คและแตละคตองนงตดกน

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

37

เอกสารอางอง

พพฒนพงศ ศรวศร.

คมอคณตศาสตรพนฐาน ม. 4-6 เลม 2. - - กรงเทพฯ : เดอะบคส, 2553. 244 หนา.

กนกวล อษณกรกล.

แบบฝกหดและประเมนผลการเรยนร คณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาปท 4-6 เลม 2. - -

กรงเทพฯ : เดอะบคส, 2553. 172 หนา