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参考书目 (Reference)
数值分析, 李庆扬编, 清华大学出版社
计算方法典型题分析解集, 封建湖编, 西北工业大学出版社
数值分析学习辅导习题解析, 李红编, 华中科技大学出版社
Numerical Analysis (Third Edition)
David Kincaid & Ward Cheney
数值分析（第三版）, 王国荣译, 机械工业出版社
许多科学研究与工程设计问题最终都归结为一个数学问题，它就是一个数学模型，通过求解这个数学模型，并对所获得的数据分析，达到科学的真缔与工程的完美；
但是数学模型可能非常复杂，求出它的准确解几乎不可能，因此寻求它的近似解就非常重要，如何得到它的近似解（包括解析的和数值的）？
近似（值）是一个普遍现象，从日常生活到科学研究、工程设计无处不在，对一些复杂的（自然或社会）现象以及工程设计问题我们完全可以用近似数据去解释去完善；数值仿真已经成为科学研究与工程设计中非常重要的方法或手段。
现代计算机的发展为大量复杂数学模型的求解奠定了基础，使得数值计算技术的发展获得了巨大的支撑；
求近似数据的关键途径就是学习或研究数学问题的“计算方法”或“数值分析”，也称为“科学与工程计算”。
为什么学习数值计算方法？
各种假设、物理原理等 设计算法
数学模型 数值算法实际问题
如：天气预报 如：概率统计模型 如：线性方程组算法
产品设计等 微分方程模型等 数值积分算法等
程序等语言
，如：
程序设计
执行算法
数据
给定输入
大堆数据
可能是一
数值结果
实际问题
就是模拟
可视化编译运行数值仿真
MATLABC
FORTRAN
,
解决实际问题的理想化过程
教
材
内
容
体
系
第一章 绪 论
第二章 线性方程组的直接解法
第三章 函数插值
第四章 函数逼近
第五章 数值积分法
第六章 线性方程组的迭代解法
第七章 非线性方程(组)的数值解法
第八章 数值最优化
第九章 常微分方程的数值解法
第十章 矩阵特征值问题的数值解法
第一章 绪 论
§1 课程研究的内容和构造算法的主要途径
§2 误差
§3 有效算法要具备的条件
§4 灵敏度分析
§5 向量范数与矩阵范数
§1 研究内容和构造算法的主要途径
研究数学问题数值解的计算方法，
即研究算法的。
1 哪些数学问题？
大型线性方程组Ax=b求解;
矩阵A的特征值和特征向量计算;
非线性方程 的求解(求根);
积分 计算;
常微分方程初值问题求解;
函数逼近等
( ) 0f x
( )b
af x dx
一 研究对象：
2 研究数值解的必要性
例1 常微分方程初值问题 1 2
(0) 0
y xy
y
其解析解(精确解)为: 2 2
0( )
xx t
y x e e dt
要求计算 (1), (1.5)y y 等近似值。
3 构造算法的主要思想
迭代法
以直线代替曲线（非线性问题线性化）
化整为零（离散化）
外推法（加速）
二 数值计算原则
好算法的三个标准：
快 — 计算步骤少，收敛速度快
准 — 数值稳定性好，计算结果可靠性高
省 — 节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题)
1. 快:计算步骤少，收敛速度快
例2 多项式求值的Hornor算法(秦九韶算法P7)
1
1 1 0( )
n n
n n nP x a x a x a x a
给定x的值，计算 的值。 ( )n
P x
算法1：按自然顺序计算
乘法次数＝ ( 1)
( 1) 12
n nn n
加法次数＝ n
算法2: 嵌套算法（Hornor,秦九韶）
乘法次数＝加法次数＝ n
1 2 1 0( ) ((( ) ) )
n n n nP x a x a x a x a x a
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
例3 解线性方程组
算法1: Cramer法则
乘除法次数An＝
),,,2,1(, niD
Dx i
i nnjjj aaaD
21 21)1(
nnnn )1)(1(!
,107.9,2020
20 An如 假设计算机１秒钟进行
１亿=108次乘除法，共需时：
.t
20
1 8
9 7 10
10 60 60 24 365(万年) 30
算法2: Gauss消去法
乘除法次数： nnnAn3
1
3
1 23
306020 A
耗时： t 5
23 10 (秒)
例5 计算积分的梯形公式与Simpson公式；
非线性方程求根，Newton法比二分法快。
例4 如FFT(快速傅立叶变换)
);( cbaacab 零乘一个数省去
2. 准:数值稳定性好，计算结果可靠性高
例6 求根 ，假设计算机有尾数为5位， 2
56 1 0x x
算法1:
128 783 55.982x
算法2:
783 27.982
1,2
56 783 428 783
2x
228 783 0.018x
128 783 55.982x
2
1 10.017863
55.98228 783x
0178628.0
*2 x注：
a
cxx
a
bxx
acbxax
2121
2
,
),0(0
则
设
韦达定理：
例7 计算积分
11
0( ) (1.1) ( 0,1,2, ,9)
n xI n e x e dx n
由分部积分法可得 ( ) 1 ( 1)I n nI n
取迭代初值
由递推公式 11
n nI nI
计算得 1 8 9
0.3679, , 0.7280, 7.552I I I
1(0) 1I e
算法1: 直接积分
01 ~
6321.01)0( IeI
1
0
1dxxe
n
算法不稳定，结果不可靠。
1
0
1dxexeI
xnn
,9
1
9
18 I
e
1
1
n
en )1(
1
1
0
1edxxe
n
10
1
10
19 I
e
552.7~
,7280.0~
98 II而
可见递推计算结果严重失真。
取
1
1( 10,9, ,2,1)n
n
II n
n
将迭代格式 变形成如下格式 1
1n n
I nI
计算结果相当好
10 ( ) 0
1I n
n
算法2 易知
100I
算法稳定，结果可靠。
1) 稳定性: 若一种算法的初始误差和舍入误差在运算
过程中不增长，则称此算法是稳定的。
11 ( 1,2, ,9) ( )
n nI nI n
2) 误差分析
算法1
记 ( )n n
I n I
则 1
( ) (1 ( 1)) (1 )n n n
I n I nI n nI
1 1( ( 1) )
n nn I n I n
2 0[ ( 1) ( 1) !]
n
nn nn
误差逐渐增大，(*)式不稳定
算法2
记 ( )n n
I n I
则 1 1
1 1( 1) (1 ( )) (1 )
n n nI n I I n I
n n
( )n n
I n I
n n
0( 1)
!
n n
n
误差没有增大，算法稳定.
1
1( 10,9, ,2,1)n
n
II n
n
所以
为了“准”，要注意的原则
1. 防止大数吃小数
110*2
9*1 x,x精确解：
利用求根公式 a
acbbx
2
42
在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，
两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数
部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成
为：109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010
大数吃小数
02
4,10
2
42
2
92
1
a
acbbx
a
acbbx
的根。用单精度计算例 010)110(8992 xx
算法1：
先解出 再利用
92
1 102
4)(
a
acbbsignbx
110
109
9
1
221
xa
cx
a
cxx
注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
2: 按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算
1 + 2 + 3 + … + 40 + 109
算法2：
如1: 在五位十进制计算机上计算
韦达定理
9.01.0,512341000
1
ii
iA
.
2)(,2
)()()(
的导数值
处在求利用
xxxfh
hxfhxfxf
h
hxhxxf
2)(
h
hhf
2
22)2(
,0001.0h取
0002.0
4142.14142.1)2(
f
353553.022
1)2( f精确值
解
:4位机上在
0
2. 防止相近的数相减
例9
解决办法:
,0001.04 h位机上仍取在 .35356.0)2( f计算有
h
hhf
2
222
)(
通常情况下： ;xεx
εxεx
;1lnlnln
x
εxεx
当 | x | << 1 时： ;2
sin2cos12 x
x
...
6
1
2
111
2xxxe
x
2
( 2 2 )2
h
h h h
3. 防止绝对值很小的数做分母
,104* 有误差限设x
的误差限为则7
*
10
x
例10
100010
107
4
§2 误差的来源和基本概念
一 来源 模型误差, 观测误差, 截断误差,舍入误差
1 截断误差,也称为方法误差,涉及方法的收敛性.
!!2
1)(2
n
xxxexI
nx如
)(xI实际计算中：!!2
1)(~
2
n
xxxxI
n
截断误差： )(~
)()( xIxIxRn )0(,)!1(
1xx
n
e n
2 舍入误差,由计算机的浮点运算产生,涉及方法的稳定性.
如：用3.14159近似代替π,则产生的误差 R =π-3.14059=0.0000026…为舍入误差.
二 基本概念
*xxe
ee ,: 的一个上界
*
* rr ex
e
x
ee
rrrr ee ** ,: 一个上界
假设x为准确值，x*为近似值，则
绝对误差：
绝对误差限：
相对误差：
相对误差限：
三 有效数字
),0(100 121 aaa.axm
n记 位尾数得舍入法保留t
95,10)10.0(
40,10.0~
121
121
tmt
t
tm
t
aaaa
aaaax
|~| xx 易知 ;10102
1 mt 称满足 mtxx 1010
2
1|~|
的有效数字。为的最大正整数 xt ~
有几位有效数字？判断
~
1415.3~;8979321415926535.3 例11
,.π1
10314150~ 解 000092.0~ π|π|
位有效数字。有4*
31050
.
411050
.
05099.0,05100.0,0509.0,051.0
?
,0509966.012
几位有效数字
下列各数有的近似值作为例
2位 2位 4位 3位
四 有效数字与误差限的关系
:*为的近似值设 xx
.0,90 1 aai 中某个数字到为其中
)(. 显然绝对误差限越小有效数字位数越多
mnaaax 10.0 21
*
1 有效数字与绝对误差限的关系
则位有效数字具有若 ,*
nx* 1
102
m nx x
2、有效数字与相对误差的关系
有效数字 相对误差限
1
1
121
102
1
02
10
100
1050*
n
n
m
n
nm
r
a
.aaa.a
.
x*
ε*ε
已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为
相对误差限 有效数字
nmmn
mn
r
.aa
a.aa
xεxx
105010)1()1(2
10
100)1(2
10|*|*|*|
1
1
1
1
21
1
1
1
1
10)1(2
1*
n
ra
ε已知 x* 的相对误差限可写为
则
可见 x* 至少有 n 位有效数字。
例13 为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效
数字？
π
解 假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
1
1
110
2
n
rε
a
要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足
%001.0102
1*
1
1
n
ra
ε
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即
n 6，应取 * = 3.14159。
0.1%
只要取n＝3即可，即3位有效数字。
例14 要使 的近似值相对误差小于0.1%，应取几
位有效数字？
70
170 0.8 10 8a 解
( 1)
1
110
2
n
ra
欲使 )1(10
82
1
n
例15 ( ) ( 20)( 19) ( 2)( 1)f x x x x x
20 19210x x
当 19x 的系数换成 23
210 2 时
13 19( ) ( ) 2p x f x x
有十个复根.
§4 灵敏度分析
灵敏度分析是分析一个数学问题原始数据的微小变化对其解的扰动
情况。如果引起解发生较大的变化，则称该问题是病态的，否则称该
问题是良态的。它反映了解对原始数据的敏感程度。
病态与良态方程组
1
2
1 5 2I
1 1.0001 2
x
x
）
16例
1
2
2
0
x
x
1
2 .000
1 5 2
1 1.00 1 2 10
x
x
1
2
2.000125
0.000005
x
x
1
2
1 1 2II
1 1.0001 2
x
x
） 1
2
2
0
x
x
1
2 .000
1 1 2
1 1.00 1 2 10
x
x
1
2
1
1
x
x
抗干扰能力强
良态的方程组
抗干扰能力弱
病态的方程组
问题：①如何估计误差向量的大小？
②如何对方程组的性态进行判断？衡量其病态程度?
(0,0.0001)T
b ( 0.000125,0.000005)T
x
(0,0.0001)T
b (1,1)T
x
00
0 1 0 117 lim
( ) , ( )例 微分方程初值问题 ，其解析解为 ，且 ；x
x
y yy e y
y y
0 1 0 1 0 12 2
( ) ( ) ( ) ( ) lim若 ，则其解析解： 且 。x x
xy y y e e y
此问题是病态的！
病态与否是该问题固有的性质，与采用何种计算方法没有关系。
一 范数
1定义
1 0, 0 0x x x ） 且 ；
2 , | |R x x ） ；
3n
y R x y x y ） ， 。
|| ||x x则称 为向量 的 。范数或模
. 向量范数
1 2( , , , ) || ||
T n
nx x x x R x 对 ，若对应正实数 ，满足：
nR注：在 中引入了范数，相当于引入了距离的概念！
§5 向量范数与矩阵范数
2 常用的向量范数
1 2( , , )
T n
nx x x x R 设 ，定义：
02 . ,a R ax
0
1 1 2 23 . , , ( , , , ) ,
n n
n nx y R x y x y x y x y R
1max1 | |
ii n
x x
） 范数：
01 . 0,x
显然
11
| |2 1n
i
i
x x
） 范数：
2
21
2n
i
i
x x
3） 范数：
验证：1max | |
ii n
x x 满足范数定义。
1max | | 0
ii n
x x 且 0x
1max | |
ii n
ax
1
| | max | |i
i na x
| |a x
x y
x y
1max
i ii n
x y
1max
i ii n
x y
1 1max max
i ii n i n
x y
1 21 (1, 2,3, 4) || || ___ || || ___ || || ___ .
Tx x x x
例 设 ，则 ， ，4 10 30
2 || ||
|| || || ||
n
n n
n
A R
x Ax R
例 设 可逆， 是 上一个范数。
证明： 也是 上一个范数。
证明 1 0;x Ax ）显然， 且
A可逆
0Ax
0Ax 0x 0x
2 ,R ）对 x
Ax
Ax
;x
3 x y
） ( )A x y
Ax Ay
Ax Ay
x y
|| || || ||n
x Ax R 也是 上一个范数。
|| ||T n
n n AA x x Ax R
例3 设 是实对称正定矩阵，证明： 是 的一个范数。
提示：n n
A是实对称正定矩阵
TA P P P ，其中 可逆
|| ||T
Ax x Ax T T
x P Px ( ) ( )T
Px Px2
Px
如何证明它?
2
1 24 , ,
Tx x x R 例 设 画图描述如下点集。
1 1|| || 1 ;S x x 2 2
|| || 1 ;S x x 3|| || 1 ;S x x
2R中，单位圆在不同距离下的表现形式！
1 2| | | | 1x x 2 2
1 21x x
1 2max(| |, | |) 1x x
. 矩阵范数
1 0 , 0 ;A A A O ） 且
2 c R cA c A ） ；
3 ,n n
B R A B A B ） ；
4 .n n
B R AB A B ）
A A则称 为 的矩阵范数。
1定义 ( ) || ||n n
ijA a R A
对 ，若对应正实数 ，满足：
2 常用的矩阵范数
11
max | |1n
iji n
j
A a
） 范数（行范数）：
max2
max
( )
( )
2T
T T
A A A
A A A A
3） 范数(谱
其中， 是 的最
范数)：
大特征值
1 11
ma2 1 x | |n
ijj n
i
A a
） 范数（列范数）：
1 2
1 25
3 4A A A A
例 设 ，求 、 和 。
17 6A A
，解
1 3 1 2
2 4 3 4
TA A
10 14
14 20
| |T
A A E 10 14
14 20
2
30 4 0
1,2
30 900 16
2
max( )15 221TA A
，2
15 221A
15 221
. 谱半径
1 21
( ) , maxn n
ij n ii n
A a R n A A
设 的 个特征值为 , , ，称 ( )= 为 的谱半径。
. 重要结论
1 范数的等价性。
1 20
nR x x c c
对 上任意两种向量范数 、 ， 常数 ，使
1 2c x x c x
。 定义
。 例如1
x x n x ，
2x x n x
。 含义 kx向量序列 的敛散性不会因度量标准(范数)的选取不同而异！
Re
Im
(A)
2 范数的相容性。
p p pAx A x p ，( =1,2, )
p p矩阵的 范数和向量的 范数是相容的,即满足
( ) || ||A A A 3 对具有相容性的矩阵范数 ，有 。
证明 ( , )x A Ax x 设 为 的特征对，即 ，则有
x Ax A x x
,A 1
( ) maxi
i nA
A
相关Matlab命令: norm(x,p) norm(x)=norm(x,2)