emath.webs.com vector calculus.pdf1. ศ กษาบทเร ยนให เข าใจ ต...

บทเรยนสาเรจรป เรอง เวกเตอรแคลคลส ประกอบการสอนรายวชา 511282-55

บทเรยนสาเรจรป เรอง ฟงกชนคาเวกเตอร แบงเนอหาออกเปน 11 ตอน ดงน

1. สนามเวกเตอร 2. อนทกรลตามเสน 3. อนทกรลตามเสนและทฤษฎบทหลกมล 4. ทฤษฎบทของกรน 5. เครลและไดเวอรเจนซ

6. ผวในสามมตกบการกาหนดสมการองตวแปรเสรม 7. ผวในสามมตกบการกาหนดขอบเขตของตวแปรเสรม 8. ผลบวกรมนนกบอนทกรลตามผว 9. พนทของผวยอยกบอนทกรลตามผว 10. อนทกรลสองชนกบอนทกรลตามผว 11. อนทกรลตามผวของสนามเวกเตอร

คาแนะนา

1. ศกษาบทเรยนใหเขาใจ ตงใจและมวนยในตนเอง รวมทงไมดเฉลยกอนทาแบบฝกหด 2. บทเรยนนไมไดกาหนดเวลาเรยนไว อาจใชเวลาวางชวงใดกได การศกษาบทเรยนนจะชาหรอเรวขนอยกบศกยภาพของ

ผเรยน 3. บทเรยนนเปนบทเรยนอยางงายเพอใหผเรยนสามารถศกษาไดดวยตนเอง ผศกษาทสนใจโจทยทมความซบซอนมากกวา

บทเรยนน แนะนาใหดตาราทเกยวของ 4. หากมขอสงสยใหสอบถามอาจารยผสอน

แบบทดสอบกอนเรยน

เรอง เวกเตอรแคลคลส **********************************************************

คาชแจง ใหเลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยว แบบทดสอบกอนเรยน จานวน 5 ขอ คะแนนเตม 5 คะแนน ใชเวลา 15 นาท

1. ขอใดคาของ ( )2

Cx y dsò เมอ C เปนครงบนของวงกลมหนงหนวย 2 2 1x y+ =

A. 13 B. 2

3 C. 3 D. 32

2. ขอใดเปนคาของ C

F dr

เมอ 3 31 13 3F x y

และ C เปนพาราโบลา 22y x จาก 1,2

ถง 2,8

A. 156 B. 161 C. 171 D. 189

3. ขอใดเปนคาของ 2 3C

y dx xy dy เมอ C เปนขอบของครงวงแหวนครงบนของวงกลม 2 2 1x y และ

2 2 4x y A. 14

3 B. 5 C. 163 D. 17

3

4. ขอใดคาของ ( )2

S

x y z dS+òò เมอ S เปนพนผวทกาหนดโดย , cos sinr u v ui v j vk

และ 20 3,0u v A. 0 B. 6 C. 6 D. 12

511282-55 | ชอ-นามสกล รหสนกศกษา

- 2 -

5. ขอใดเปนคาของฟลกซของสนามเวกเตอร 2, ,F x y z yi xj z k

เมอ E ลอมรอบดวย 2 2z x y และ 1z

A. 3

B.

3

C.

2

3

D.

2

3

แบบทดสอบกอนเรยน

โปรดทาเครองหมาย ในชองคาตอบทถกตอง

ขอ A B C D 1 2 3 4 5

กรอบการเรยนรท 1 หวขอ สนามเวกเตอร

เมอศกษาหวขอนแลว 1. นกศกษารจกสนามเวกเตอรใน 2 และ 3 2. นกศกษาสามารถตรวจสอบวาสนามเวกเตอรทกาหนดเปนสนามเวกเตอรเชงอนรกษหรอไม

ในทางคณตศาสตรเรามองสนามเวกเตอรเปนฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจดใน 2 (หรอ 3 ) และเรนจของฟงกชนเปนเซต

ของเวกเตอรใน 2V (หรอ

3V ) บทนยาม 1 ให D เปนเซตในระนาบ 2 เรากลาววา F

เปนสนามเวกเตอรบน D ถาฟงกชน F

กาหนดเวกเตอร

( )F x,y

ใหแตละจด ( ),x y ใน D

เราเขยนเวกเตอร ( )F x,y

ในรปของฟงกชน ( )P x,y และ ( )Q x,y ดงน

( ) ( ) ( )( ) ( )

, ,

, , ,

F x,y P x y i Q x y j

P x y Q x y

= +

=


- 3 -

ตวอยาง 1 จงวาดกราฟอยางคราวๆ สาหรบสนามเวกเตอร ( )F x,y y i x j=- +

บน 2

บทนยาม 2 ให E เปนสบเซตของ 3 เรากลาววา F

เปนสนามเวกเตอรบน D ถาฟงกชน F

กาหนดเวกเตอร

( )F x,y,z

ใหแตละจด ( ), ,x y z ใน E

ในทานองเดยวกบสนามเวกเตอรบน 2 เราสามารถเขยนเวกเตอร ( )F x,y,z

ในรปของฟงกชน ( )P x,y,z ,

( )Q x,y,z และ ( )R x,y,z ดงน

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, , , ,

, , , , , , , ,

F x,y,z P x y,z i Q x y,z j R x y z k

P x y z Q x y z R x y z

= + +

=

ตวอยาง 2 สนามเวกเตอรบน 3 กาหนดโดย ( )F x, y,z zk=

จงวาดกราฟอยางคราวๆสาหรบสนามเวกเตอร

( )F x,y,z


- 4 -

ถา f เปนฟงกชนสองตวแปร เราทราบวา เกรเดยนตของ f คอ

( ) ( ) ( ), , ,x yf x y f x y i f x y j = +

ซงเปนเวกเตอรบนระนาบ 2 เราอาจเรยกเกรเดยนตของ f วาสนามเกรเดยนต

ในทานองเดยวกนถา f เปนฟงกชนสามตวแปรเกรเดยนตของ f คอ

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,x y zf x y z f x y z i f x y z j f x y z k = + +

เราจะเรยกสนามเวกเตอร F

วาสนามเวกเตอรเชงอนรกษ (conservative vector field) ถามฟงกชน f ซง F = f

ตวอยาง 3 จงแสดงวาสนามเวกเตอร ( )F x,y yi xj= +

เปนสนามเวกเตอรเชงอนรกษ

แบบฝกหด 1 ขอ 1-4 จงจบคสนามเวกเตอรและภาพของสนามเวคเตอร (a)-(d) 1. ( ), ,F x y y x=

2. ( ), 1,sinF x y y=

3. ( ), 2, 1F x y x x= - +

4. ( )2 2

,yi xj

F x yx y

-=

+

(a) (c)


- 5 -

(b) (d) ขอ 5-8 จงจบคสนามเวกเตอรและภาพของสนามเวคเตอร (e)-(h) 5. ( ), , 2 3F x y z i j k= + +

6. ( ), , 2F x y z i j zk= + +

7. ( ), , 3F x y z xi yj k= + +

8. ( ), ,F x y z xi yj zk= + +

(e) (g)

(f) (h)


- 6 -

กรอบการเรยนรท 2 หวขอ อนทกรลตามเสน

เมอศกษาหวขอนแลว นกศกษาสามารถคานวณคาอนทกรลตามเสนโคงใน 2 และ 3 ได

ในหวขอนเราจะนยามอนทกรลทคลาย ๆ กบอนทกรลชนเดยวบนชวงปด [ , ]a b กลาวคอ แทนทเราจะอนทเกรตบนชวงปด [ , ]a b แตเราจะอนทเกรตบนเสนโคง C อนทกรลลกษณะน เราเรยกวา อนทกรลตามเสน (line integrals) เราเรมดวยการหาคาอนทกรลของฟงกชนสองตวแปรบนเสนโคง C บนระนาบ XY ทกาหนดโดย สมการองตวแปรเสรม

( ) ( ), ,x x t y y t a t b= = £ £ หรอเทยบเทากบฟงกชนคาเวกเตอร ( ) ( ) ( )r t x t i y t j= +

สมมตวา C เปนเสนโคงเรยบบนชวง [ , ]a b แบงชวงปด [ , ]a b ออกเปน n ชวงยอย [ ]1,i it t- ทมความกวางของแตละ

ชวงเทากน ถาให ( )i ix x t= และ ( )i iy y t= แลวจด ( ),i iP x y จะแบงเสนโคง C ออกเปน n สวนโคงยอยทม

ความยาวของแตละสวนโคงเปน isD

ให iP* เปนจดบนสวนโคงยอยท i ซงเกดจาก it

*

ให ( ),z f x y= มโดเมนบรรจจดบนเสนโคง C

ถาเราหาคา ( ),i if x y* * และคณดวย isD แลว

จะไดวา ( )1

,n

i i ii

f x y s* *

=

Då เปนผลบวกรมนน

(Remann sum) สาหรบอนทกรลตามเสน

บทนยาม 3 ถา f นยามบนเสนโคงเรยบ C ซงกาหนดโดย ( ) ( ),x x t y y t= = หรอ

( ) ( ) ( ) ,r t x t i y t j a t b= + £ £

แลว อนทกรลของ f ตามเสนโคง C กาหนดโดย

( ) ( )1

, lim ,n

i i inCi

f x y ds f x y s* *

¥=

= Dåò

ถาลมตหาคาได เรารวาฟงกชนของความยาวสวนโคง (arc length function) คอ

( ) ( )2 2t t

a a

dx dys t r u du du

du du

æ ö æ ö÷ ÷ç ç¢= = +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øò ò

ดงนน ( )2 2

dx dyds r t dt dt

dt dt

æ ö æ ö÷ ÷ç ç¢= = +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø


- 7 -

เราสามารถคานวณคาของอนทกรลของ f ตามเสนโคง C โดยใชสตร

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )2 2

, ,

,

b

C a

b

a

f x y ds f x t y t r t dt

dx dyf x t y t dt

dt dt

¢=

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

ò ò

ò

ตวอยาง 4 จงหาคาของ ( )22C

x y ds+ò เมอ C เปนครงบนของวงกลมหนงหนวย 2 2 1x y+ =

ถา C เปนเสนโคงเรยบเปนชวงโดยท 1 2 nC C C C= È È È แลว

( ) ( ) ( ) ( )1 2

, , , ,nC C C C

f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds= + + +ò ò ò ò

ตวอยาง 5 จงหาคาของ 2C

x dsò เมอ C เปนเสนโคงเรยบทประกอบดวยพาราโบลา 2y x= จาก ( )0,0 ถง ( )1,1

และเสนตรงทลากจากจด ( )1,1 ถง ( )1,2


- 8 -

ในการหาอนทกรลของ f ตามเสนโคง C ถาเราแทน isD ดวย 1i ix x x-D = - หรอแทนดวย 1i iy y y-D = -

เราจะได อนทกรลของ f ตามเสนโคง C เทยบ x

( ) ( )1

, lim ,n

i inCi

f x y dx f x y x* *

¥=

= Dåò

และอนทกรลของ f ตามเสนโคง C เทยบ y

( ) ( )1

, lim ,n

i inCi

f x y dy f x y y* *

¥=

= Dåò

ตามลาดบ แทนคา ( ) ( ) ( ) ( ), , ,x x t y y t dx x t dt dy y t dt¢ ¢= = = = จะไดวา

อนทกรลของ f ตามเสนโคง C เทยบ x

( ) ( ) ( )( ) ( ), ,b

C af x y dx f x t y t x t dt¢=ò ò

และอนทกรลของ f ตามเสนโคง C เทยบ y

( ) ( ) ( )( ) ( ), ,b

C af x y dx f x t y t y t dt¢=ò ò

อนทกรลตามเสนของ f เทยบตวแปร x และตวแปร y เกดขนบนเสนโคง C พรอมๆ กนเราจะเขยน

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,C C C

f x y dx g x y dy f x y dx g x y dy+ = +ò ò ò

ตวอยาง 6 จงหาคาของ 2

Cy dx xdy+ò เมอ

(a) C เปนเสนตรงจากจด ( )5, 3- - ถง ( )0,2

(b) C เปนสวนของเสนโคงพาราโบลา 24x y= - ลากจากจด ( )5, 3- - ถง ( )0,2


- 9 -

ตอไปเราจะหาการหาคาอนทกรลของฟงกชนสามตวแปรบนเสนโคง C ในปรภมสามมต เมอเสนโคง C กาหนดโดยสมการองตวแปรเสรม ( ) ( ), ,x x t y y t= = ( )z z t a t b= £ £

หรอฟงกชนคาเวกเตอร ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k= + +

ในทานองเดยวกนกบการหาคาอนทกรลตามเสนโคงในระนาบ XY เราสามารถหาคาอนทกรลตามเสนในปรภมสามมตโดยใชสตร

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )2 2 2

, , , ,

, ,

b

C a

b

a

f x y z ds f x t y t z t r t dt

dx dy dzf x t y t z t dt

dt dt dt

¢=

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= + +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

ò ò

ò

อนทกรลตามเสนเทยบตวแปร ,x y และ z กาหนดโดย

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , ,b

C af x y z dx f x t y t z t x t dt¢=ò ò

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , ,b

C af x y z dy f x t y t z t y t dt¢=ò ò

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , ,b

C af x y z dx f x t y t z t z t dt¢=ò ò

ถาอนทกรลตามเสนของ f เทยบตวแปร ,x y และ z เกดขนบนเสนโคง C จะไดวา

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , , , ,

, , , , , ,

C C C

C

f x y z dx g x y z dy h x y z dz

f x y z dx g x y z dy h x y z dz

+ +

= + +

ò ò òò

ตวอยาง 7 จงหาคาของ C

ydx zdy xdz+ +ò เมอเสนโคง C ประกอบดวยสวนของเสนตรง 1C จากจด ( )2,0,0

ถง ( )3,4,5 และสวนของเสนตรงจาก ( )3,4,5 ถง ( )3,4,0


- 10 -

แบบฝกหด 2

ในแตละขอตอไปนจงหาคาอนทกรล

1. 3 3, : , , 0 2C

y ds C x t y t t= = £ £ò คาตอบ

2. 2, : , 2 , 0 1C

xyds C x t y t t= = £ £ò คาตอบ

3. 4 ,C

xy ds Cò เปนครงวงกลม 2 2 16x y+ = ทอยทางดานขวา คาตอบ

4. sin ,C

x y ds Cò เปนสวนของเสนตรงทลากจาก ( )0,3 ถง ( )4,6 คาตอบ

5. ( )2 3 ,C

x y x dy C-ò เปนสวนของเสนโคง y x= จาก ( )1,1 ถง ( )4,2

คาตอบ

6. ,y

C

xe dx Cò เปนสวนของเสนโคง yx e= จาก ( )1,0 ถง ( ),1e คาตอบ

7. ( ) ,C

xydx x y dy C+ -ò ประกอบดวยสวนของเสนตรงจาก ( )0,0 ถง ( )2,0 และ

จาก ( )2,0 ถง ( )3,2 คาตอบ

8. sin cos ,C

x dx y dy C+ò ประกอบดวยสวนบนของวงกลม 2 2 1x y+ = จาก ( )1,0 ถง

( )1,0- และสวนของเสนตรงทลากจาก( )1,0- ถง ( )2,3- คาตอบ

9. , : 2sin , , 2cos , 0C

xyz ds C x t y t z t t p= = =- £ £ò คาตอบ

10. 2 ,C

xyz ds Cò เปนสวนของเสนตรงทลากจาก ( )1,5,0- ถง ( )1,6,4 คาตอบ

11. ,yz

C

xe ds Cò เปนสวนของเสนตรงทลากจาก ( )0,0,0 ถง ( )1,2,3 คาตอบ

12. ( ) 2 32 9 , : , , , 0 1C

x z ds C x t y t z t t+ = = = £ £ò คาตอบ

13. 2 3 2, : , , , 0 1C

x y z ds C x t y t z t t= = = £ £ò คาตอบ

14. 2 3 2, : , , , 0 1C

z dx xdy y dz C x t y t z t t+ + = = = £ £ò คาตอบ

15. ( ) 2 ,C

x yz dx x dy xyz dz C+ + +ò ประกอบดวยสวนของเสนตรงจาก ( )1,0,1 ถง ( )2,3,1

และจาก ( )2,3,1 ถง ( )2,5,2 คาตอบ


--11--

กรอบการเรยนรท 3 หวขอ อนทกรลตามเสนและทฤษฎบทหลกมล

เมอศกษาหวขอนแลว 1. นกศกษาสามารถคานวณคาอนทกรลตามเสนโคงใน 2 และ 3 โดยใช vector form ได 2. นกศกษาสามารถคานวณคาอนทกรลตามเสนโคงโดยใชทฤษฎบทหลกมลได 3. นกศกษาสามารถตรวจสอบความเปนอสระเชงวถของอนทกรลตามเสนได

สมมตวาสนามของแรง (force field) กาหนดโดย F Pi Qj Rk= + +

เราตองการหางานทเกดจากแรง F

กระทา

ตออนภาคซงเคลอนทตามเสนโคงเรยบ C เรมดวยแบงเสนโคงเรยบ C ออกเปน n สวน และความยาวแตละชวยยอย

คดเปน isD เลอกจด ( ), ,i i i iP x y z* * * * ภายในชวงยอย [ ]1,i iP P-

ถา isD มคานอย ๆ แลวอนภาคจะเคลอนทไปตามเสน

โคง C จาก 1iP- ถง iP ในทศทางของเวกเตอร

สมผส ( )iT t *

เสนโคงทจด iP*

เนองจากงาน W ทไดจากการกระทาดวยแรงคงท F

ตอวตถใหเคลอนทไปตามแนวเสนตรงจาก R ถง Q

คอ W F RQ= ⋅

ดงนน งานทเกดจากการกระทา

ของแรง F

ตออนภาคทเคลอนทจาก 1iP- ถง iP มคาโดยประมาณ

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,i i i i i i i i i iF x y z sT t F x y z T t s* * * * * * * *é ù é ù⋅ D = ⋅ Dê ú ê úë û ë û

คาประมาณของแรงรวมทเกดจากการเคลอนทของอนภาคไปตามเสนโคง C คอ

( ) ( )1

, ,n

i i i i ii

F x y z T t s* * * *

=

⋅ Då

เราจะนยามงานทเกดจากการกระทาของแรง F

ตออนภาคทเคลอนทไปตามเสนโคง C ดงน

( ) ( )

( ) ( )1

lim , ,

, , , ,

n

i i i i in

i

C

C

W F x y z T t s

F x y z T x y z ds

F T ds

* * * *

¥=

= ⋅ D

= ⋅

= ⋅

å

ò

ò

เมอ ( ), ,T x y z

เปนเวกเตอรสมผสหนงหนวยทจด ( ), ,x y z ใด ๆ บนเสนโคง C

ถาเสนโคง C กาหนดโดย ( ) ( ) ( ) ( ) ,r t x t i y t j z t k a t b= + + £ £

แลวเวกเตอรสมผสหนงหนวยกาหนดโดย ( ) ( )( )

r tT t

r t

¢=

¢

และ ( )ds r t dt¢=

เพราะฉะนน ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )b b

a a

r tW F r t r t dt F r t r t dt

r t

¢¢ ¢= ⋅ = ⋅

¢ò ò


--12--

บทนยาม 4 ให F

เปนสนามเชงเวกเตอรทตอเนองบนเสนโคงเรยบ C ทกาหนดโดยฟงกชนคาเวกเตอร

( ),r t a t b£ £ อนทกรลของ F

บน C กาหนดโดย

( )( ) ( )b

C a C

F dr F r t r t dt F Tds¢⋅ = ⋅ = ⋅ò ò ò

ตวอยาง 8 จงหางานทเกดจากการกระทาดวยแรง ( ) 2,F x y x i xy j= -

ในการเคลอนทของอนภาคไปตามวงกลม

( ) ( ) ( ) 2cos sin , 0r t t i t j t p= + £ £

ทฤษฎบท 1 (1) C C

F dr F dr-

⋅ =- ⋅ò ò เมอ C- เปนเสนโคงทมทศทางตรงกนขามกบ C

(2) ถา C เปนเสนโคงเรยบเปนชวงซง 1 2 nC C C C= È È È แลว

1 2 nC C C C

F dr F dr F dr F dr⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ò ò ò ò

ทฤษฎบท 2. ให C เปนเสนโคงเรยบทกาหนดโดยฟงกชนคาเวกเตอร ( ),r t a t b£ £

ให f เปนฟงกชนสองหรอสามตวแปรทหาอนพนธไดและเกรเดยนตเวกเตอร f เปนฟงกชนตอเนองบนเสนโคง C แลว

( )( ) ( )( )C

f dr f r b f r a ⋅ = -ò

ถาเสนโคง C¢ และเสนโคง C มจดเรมตนและจดปลายเหมอนกน แลว

C C

f dr f dr¢

⋅ = ⋅ò ò

เราจะกลาววา C

F dr⋅ò

เปนอสระของวถ (independence of path)

ถา 1 2C C

F dr F dr⋅ = ⋅ò ò

สาหรบทกๆเสนโคง 1C และ 2C ทมจดเรมตนและจดปลายเหมอนกนและมทศทางเดยวกน


--13--

ทฤษฎบท 3 ให F

เปนสนามเชงเวกเตอรทตอเนองบนบรเวณ 3DÍ อนทกรลตามเสน C

F dr⋅ò เปนอสระของ

วถ กตอเมอในบรเวณ D จะมฟงกชน f ซง f F =

ทฤษฎบท 4 ให ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + +

เมอ , ,P Q R ม

อนพนธยอยอนดบหนงและตอเนองบน D จะไดวาจะม f ททาให f F =

กตอเมอ

, ,P Q P R Q R

y x z x z y

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶= = =

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

ตวอยาง 9 ให ( ), , 2F x y z yi xj zk= + +

จงแสดงวาม f ททาให f F =


ขอ1-4 จงหาคาของ C

F dr⋅ò เมอ C กาหนดโดยฟงกชนเชงเวกเตอร ( )r t

1. ( ) ( )2 4 3, 3 , 11 , 0 1F x y xyi y j r t t i t j t= + = + £ £

คาตอบ

2. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 2, , , , 0 1F x y z x y i y z j z k r t t i t j t k t= + + - + = + + £ £

คาตอบ

3. ( ) ( ) 3 2, , sin cos , , 0 1F x y z x i y j xzk r t t i t j tk t= + + = - + £ £

คาตอบ

4. ( ) ( ), , , sin cos , 0F x y z zi yj xk r t ti t j t k t p= + - = + + £ £

คาตอบ

5. จงหางานทเกดจากแรง ( ) 2,F x y x i xy j= +

กระทาตออนภาคใหเคลอนทเปนวงกลม 2 2 4x y+ =

ในทศทวนเขมนาฬกา

คาตอบ


--14--

6. จงหางานทเกดจากแรง ( ) ( ), 2F x y x i y j= + +

กระทาตออนภาคใหเคลอนทตามสวนโคง

( ) ( ) ( )sin 1 cos , 0 2r t t t i t j t p= - + - £ £

คาตอบ

7. จงหางานทเกดจากแรง ( ), sinF x y x y i y j= +

กระทาตออนภาคใหเคลอนทตามพาราโบลา 2y x=

จากจด ( )1,1- ถง ( )2,4

คาตอบ

8. จงหางานทเกดจากแรง ( ), , , ,F x y z y z x z x y= + + +

กระทาตออนภาคใหเคลอนทตามเสนตรง

จากจด ( )1,0,0 ถง ( )3,4,2

คาตอบ

ขอ 9-15 ในแตละขอกาหนดฟงกชน f ทสอดคลองเงอนไข F f=

จงหาคาของ C

F dr⋅ò โดยใชทฤษฎบท

หลกมล

9. ( ) 2 2,F x y x i y j= +

และ ( ) ( )3 313,f x y x y= + เมอ C เปนพาราโบลา 22y x= จาก

( )1,2- ถง ( )2,8

คาตอบ

10. ( ) 2 2,F x y xy i x y j= +

และ ( ) 2 212,f x y x y= เมอ C กาหนดโดย

( ) 1 12 2sin , cos ,r t t t t tp p= + +

0 1t£ £

คาตอบ

11. ( )2

12

, 2 tan1

yF x y i y x j

x-= +

+

และ ( ) 2 1, tanf x y y x-= เมอ C กาหนดโดย

( ) 2 2 ,r t t i t j= +

0 1t£ £

คาตอบ

12. ( ) ( ), , 2F x y z yzi xzj xy z k= + + +

และ ( ) 2, ,f x y z xyz z= + เมอ C เปนเสนตรงจาก

( )1,0, 2- ถง ( )4,6,3

คาตอบ


--15--

13. ( ) ( ) ( )2 2 2, , 2 2 3F x y z xz y i xyj x z k= + + + +

และ

( ) 2 2 3, ,f x y z x z xy z= + + เมอ C กาหนดโดย 2 , 1,x t y t= = + 2 1, 0 1z t t= - £ £

คาตอบ

14. ( ) 2 2, , cos 2 cos sinF x y z y z i xy z j xy z k= + -

และ ( ) 2, , cosf x y z xy z=

เมอ C กาหนดโดย ( ) 2 sin ,r t t i t j tk= + +

0 t p£ £

คาตอบ

15. ( ) ( ), , 1y y zF x y z e i xe j z e k= + + +

และ ( ), , y zf x y z xe ze= +

เมอ C กาหนดโดย ( ) 2 3 ,r t t i t j t k= + +

0 1t£ £

คาตอบ

ขอ16-18. จงแสดงวาอนทกรลตามเสนตอไปนเปนอสระของวถ

16. 2tan secC

ydx x ydy+ò

17. ( )1 x x

C

ye dx e dy- -- +ò

18. C

ydx xdy xyz dz+ +ò

กรอบการเรยนรท 4 หวขอ ทฤษฎบทของกรน

เมอศกษาหวขอนแลว นกศกษาสามารถคานวณคาอนทกรลตามเสนโคงโดยใชทฤษฎบทของกรนได

เราจะเรยกเสนโคง C วาเปนเสนโคงเชงเดยว (simple curve) ถาเสนโคงไมตดตวมนเองระหวางจดเรมตนถงจดปลาย และเราจะเรยกเสนโคงปดเชงเดยว C บนบรเวณ D ในระนาบวามทศทางบวก (positive orientation) ถาบรเวณทมเสนโคง C เปนขอบอยทางดานซายของเสนโคง C และจะเรยกเสนโคง C วามทศทางลบ (negative orientation) ถาบรเวณทมเสนโคง C เปนขอบอยทางดานขวาของเสนโคง C


--16--

ทฤษฎบท 5 (Green's Theorem) ให C เปนเสนโคงปดเชงเดยวทศทางบวกบนระนาบ XY และ D เปนบรเวณบนระนาบ XY ทม C เปนขอบ ถา ( ) ( ) ( ), , ,F x y P x y i Q x y j= +

เมอ P และ Q หาอนพนธยอยได และตอเนองบนบรเวณ D แลว

C D

Q PF dr dA

x y

æ ö¶ ¶ ÷ç⋅ = - ÷ç ÷ç ÷¶ ¶è øò òò

หรอ

C D

Q PPdx Qdy dA

x y

æ ö¶ ¶ ÷ç+ = - ÷ç ÷ç ÷¶ ¶è øò òò


F dr⋅ò เมอ ( ) 4,F x y x i xyj= +

และ C เปนเสนรอบรปสามเหลยมดงรป

สญลกษณ C

Pdx Qdy+ò ใชเพอแสดงวาอนทกรลนเปนอนทกรลตามเสนโคงปดทศทางบวก

สญลกษณ D¶ หมายถง เสนโคงปดทศทางบวกทเปนขอบของบรเวณ D ดงนนทฤษฎบทของกรนสามารถเขยนไดเปน

D D

Q PdA Pdx Qdy

x y¶

æ ö¶ ¶ ÷ç - = +÷ç ÷ç ÷¶ ¶è øòò ò

ตวอยาง 11 จงหาคา ( ) ( )sin 43 7 1x

C

y e dx x y dy- + + +ò เมอ C เปนวงกลม 2 2 9x y+ = ม

ทศทางหมนทวนเขมนาฬกา


--17--

ตวอยาง 12 จงหาคา 2 3C

y dx xy dy+ò เมอ C เปนขอบของครงวงแหวนครงบนระหวางวงกลม 2 2 1x y+ =

และ 2 2 4x y+ =

ตวอยาง 13 ถา ( ) 2 2 2 2,

y xF x y i j

x y x y=- +

+ +

จงแสดงวา 2

C

F dr p⋅ =ò สาหรบทก ๆ เสน

โคงปดเชงเดยว C ทลอมรอบจดกาเนด


--18--


จงใชทฤษฎบทของกรนหาคาอนทกรลตามเสนโคง C ทมทศทางบวกตามทกาหนดในแตละขอ

1. C

x y dx x y dy เมอ C เปนวงกลมทจดศนยกลางทจดกาเนดและมรศม 2 หนวย

คาตอบ

2. 2

C

xy dx x dy เมอ C เปนสเหลยมทมจดยอดมมคอ 0,0 , 3,0 , 3,1 และ 0,1

คาตอบ

3. 2 3

C

xy dx x y dy เมอ C เปนสามเหลยมทมจดยอดมมคอ 0,0 , 1,0 , 1,2

คาตอบ

4. C

xdx y dy เมอ C ประกอบดวยสวนของเสนตรงจาก 0,1 ถง 0,0 และจาก 0,0 ถง

1,0 และพาราโบลา 21y x จาก 1,0 ถง 0,1

คาตอบ

5. 2 22C

xy dx x y dy เมอ C เปนสามเหลยมทมจดยอดมมคอ 0,0 , 2,2 , 2,4

คาตอบ

6. 2 4 2 22x

C

xe dx x x y dy เมอ C เปนขอบของบรเวณระหวางวงกลม 2 2 1x y และ

2 2 4x y

คาตอบ

7. 5

C

xy dx y dy เมอ C เปนสามเหลยมทมจดยอดมมคอ 0,0 , 2,0 , 2,1

คาตอบ

8. 2 3C

y dx xdy เมอ C กาหนดโดย cos , sinx t y t และ 0 2t

คาตอบ

9. 2 6C

y dx xy dy เมอ C เปนเสนโคงทลอมรอบดวยแกน X เสนตรง 4x และเสนโคง y x

คาตอบ

10. C

F dr

เมอ 2 2 1, ln ,2 tan /F x y y x y y x

เมอ C เปนวงกลม

2 22 3 1x y

คาตอบ


--19--

กรอบการเรยนรท 5 หวขอ เครลและไดเวอรเจนซ

เมอศกษาหวขอนแลว 1. นกศกษาสามารถหาเครลและไดเวอรเจนซของ F

ได

2. นกศกษาสามารถใช vector form ของทฤษฎบทของกรนเพอหาอนทกรลตามเสนได

ให F Pi Qj Rk= + +

โดยท P , Q และ R หาอนพนธยอยได นยาม Curl ของ F

ดวยเวกเตอรใน 3 ดงน

CurlR Q P R Q P

F i j ky z z x x y

æ ö æ öæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶÷ ÷ç ç÷ç= - + - + -÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷çç ç÷ ÷è ø¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø

นยามตวดาเนนการ “เดล” ดงน

i j kx y z

¶ ¶ ¶= + +

¶ ¶ ¶

ตวดาเนนการเดลกระทากบฟงกชนเชง scalar f แลวไดเกรเดยนตของ f f f f

f i j kx y z

¶ ¶ ¶ = + +

¶ ¶ ¶

หากเรานาตวดาเนนการเดลมาหาผลคณเชงเวกเตอรกบ F

จะไดวา

Curl

R Q P R Q PF i j k

y z z x x y

F

æ ö æ öæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶÷ ÷ç ç÷ç´ = - + - + -÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷çç ç÷ ÷è ø¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø

=

ตวอยาง 13 กาหนด ( ) 2, ,F x y z xzi xyzj y k= + -

จงหา Curl F

ตวอยาง 14 กาหนดฟงกชนเชงสเกลาร f จงหา Curl ของเกรเดยนตของ f


--20--

จากตวอยางเราสรปไดวา ( )Curl 0f =

เสมอ

เรารวาสนามเวกเตอรเชงอนรกษมสมบต F f=

ดงนนเราอาจกลาวไดวา ถา F

เปนสนามเวกเตอรเชงอนรกษ แลว

Curl 0F =

ตวอยาง 15 จงแสดงวา ( ) 2, ,F x y z xzi xyzj y k= + -

ไมเปนสนามเวกเตอรเชงอนรกษ

ให F Pi Qj Rk= + +

โดยท P , Q และ R หาอนพนธยอยได

เรานยาม ไดเวอรเจนซของ F

ดวยฟงกชนของสามตวแปรดงน

divP Q R

Fx y z

¶ ¶ ¶= + +

¶ ¶ ¶

สงเกตวา divP Q R

F Fx y z

¶ ¶ ¶ = + + =

¶ ¶ ¶

ตวอยาง 16 ให ( ) 2, ,F x y z xzi xyzj y k= + -

จงหา div F

ให F Pi Qj= +

และเงอนไขในทฤษฎบทของกรนเปนจรงทกขอ เราจะหา Curl F

โดยใช Curl F F=´

จะไดวา CurlQ P

F kx y

æ ö¶ ¶ ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷¶ ¶è ø

นนแสดงวา

( )CurlQ P

F kx y

¶ ¶⋅ = -

¶ ¶

ซงเปนอนทแกรนดของอนทกรลตามเสน

CurlC C D

F dr Pdx Qdy F k⋅ = + = ⋅ò ò òò


--21--

แบบฝกหด 5 ขอ 1-5 จงหา curl และ divergence สาหรบ F

ทกาหนดให

1. ( ) 2, ,F x y z xyzi x yk= -

คาตอบ Curl F =

div F =

2. ( ) 2 2 2, ,F x y z x yzi xy zj xyz k= + +


div F =

3. ( ) ( ) ( ), ,F x y z i x yz j xy z k= + + + -


div F =

4. ( ) ( ) ( ), , cos sinF x y z xz j xy k= -


div F =

5. ( ), , , ,x xy xyzF x y z e e e=


div F =

ขอ 6-10 จงหาพจารณาวา F

ทกาหนดใหเปนสนามเวกเตอรเชงอนรกษหรอไมเพราะเหตใด

6. ( ) 2 3 3 2 2, , 2 3F x y z y z i xyz j xy z k= + +

คาตอบ

7. ( ) 2 2 2 2 2, ,F x y z xyz i x yz j x y zk= + +

คาตอบ

8. ( ) ( )2 2, , 2 2F x y z xyi x yz j y k= + + +

คาตอบ

9. ( ), , z zF x y z e i j xe k= + +

คาตอบ

10. ( ), , 2x xF x y z ye i e j zk- -= + +

คาตอบ


--22--

กรอบการเรยนรท 6 หวขอ ผวในสามมตกบการกาหนดสมการองตวแปรเสรม

เมอศกษาหวขอนแลว นกศกษาสามารถกาหนดสมการองตวแปรเสรมของผวในสามมตได

ผวในสามมตเขยนแทนไดดวยสมการในรป ,z f x y หรอ , , 0f x y z

เชน

1. ทรงกลมรศม a ทมจดศนยกลางทจดกาเนดกาหนดโดย 2 2 2 2x y z a เมอ

2 2 2 2, ,f x y z x y z a

2. ทรงกระบอกกลมขนานกบแกน Z กาหนดโดย 2 2 16x y เมอ 2 2, , 16f x y z x y

3. ทรงกระบอกขนานกบแกน X กาหนดโดย 24y z เมอ 2, , 4f x y z y z

ผวในสามมตเขยนแทนไดดวยสมการองตวแปรเสรม โดยทสมการองตวแปรเสรมอาจมไดหลายแบบ ขนอยกบการเลอกตวแปรเสรม เชน 1. ให ( ),u v เปนตวแปรเสรม สมการองตวแปรเสรมสาหรบทรงกลมรศม a ทมจดศนยกลางทจดกาเนด คอ

cos sin , sin sin , cos x a u v y a u v z a v

หรอ 2 2 2 2 , , x u y v z a u v

หรอ 2 2 2 2 , , x u z v y a u v

หรอ 2 2 2 2 , , y u z v x a u v

2. ให ( ),u v เปนตวแปรเสรม สมการองตวแปรเสรมสาหรบระนาบ 2 3 5x y z คอ

2 5 , ,

3

u vx u y v z

หรอ 5 3

, , 2

u vx u z v y

หรอ , , 5 2 3y u z v x u v

แบบฝกหด 6 ตอนท 1 คาสง จงเตมสวนทวางเพอทาใหสมการองตวแปรเสรมสมบรณ ให ( ),u v เปนตวแปรเสรม

1. สมการองตวแปรเสรมของ 1x y z คอ , , x u y v z

2. สมการองตวแปรเสรมของ 2 2 z x y คอ , , x u y v z

3. สมการองตวแปรเสรมของ 3 32 23 2z x y คอ , , x u y v z

4. สมการองตวแปรเสรมของ 2 2z y x คอ , , x u y v z


--23--

5. สมการองตวแปรเสรมของ 2 2 z x y คอ cos , sin , x u v y u v z

6. สมการองตวแปรเสรมของ 2 2 x y z คอ sin , sin , y u v z u v x

7. สมการองตวแปรเสรมของ 2 2 1y z คอ , cos , x u y v z

8. สมการองตวแปรเสรมของ 2 2 9x z คอ 3cos , , x v y u z

9. สมการองตวแปรเสรมของ 2 2 2x y z คอ cos , sin , x u v y u v z

10. สมการองตวแปรเสรมของ 2 2 2 4x y z คอ 2cos sin , 2sin sin ,x u v y u v

z 11. สมการองตวแปรเสรมของ 2x z คอ , ,y u z v x

12. สมการองตวแปรเสรมของ 21y x คอ , ,x u z v y

13. สมการองตวแปรเสรมของ 5x คอ , ,y u z v x 14. สมการองตวแปรเสรมของ 2y คอ , 2,x u y z

ตอนท 2 คาสง จงเขยนสมการของผวในสามมตโดยการแปลงสมการองตวแปรเสรม

ให ( ),u v เปนตวแปรเสรม

1. สมการของผวในสามมตของ 2 2 , , x u y v z u v คอ........................................................... 2. สมการของผวในสามมตของ , , 2 3x u y v z u v คอ.............................................................

3. สมการของผวในสามมตของ 2, , x u y u v z v คอ................................................................................

4. สมการของผวในสามมตของ 2, cos , sinx u y u v z u v คอ................................................................. 5. สมการของผวในสามมตของ cos , sin ,x v y v z u คอ..............................................................................

6. สมการของผวในสามมตของ 1 3

, ,5

u vx y v z u

คอ...........................................................................

7. สมการของผวในสามมตของ 3cos sin , 3sin sin , 3cosx u v y u v z v คอ.............................................................

8. สมการของผวในสามมตของ 3cos sin , 3sin sin , 1+3cosx u v y u v z v คอ.............................................................

9. สมการของผวในสามมตของ 22 , , x u y u z v คอ....................................................................................... 10. สมการของผวในสามมตของ , , x u y uv z v คอ..........................................................................................


--24--

กรอบการเรยนรท 7 หวขอ ผวในสามมตกบการกาหนดขอบเขตของตวแปรเสรม

เมอศกษาหวขอนแลว นกศกษาสามารถหาขอบเขตของสมการองตวแปรเสรมของผวในสามมตได

สมการองตวแปรเสรมของผวในสามมตเขยนไดในรปเวคเตอร , , , ,r u v x u v i y u v j z u v k

โดยท ,u v D

เชน 1. สมการองตวแปรเสรมสาหรบทรงกลมรศม a ทมจดศนยกลางทจดกาเนด คอ

, cos sin sin sin cosr u v a u v i a u v j a v k

เมอ 0 2 , 0u v

2. สมการองตวแปรเสรมสาหรบระนาบ 2 3 5x y z คอ

, 5 2 3r u v u v i uj vk

เมอ 0 1, 1 2u v

บรเวณ D เชน 0 2 , 0u v หรอ 0 1, 1 2u v เปนขอบเขตของตวแปรเสรมทขนอยกบ การกาหนดตวแปรเสรม

o ถาหากกาหนด , x u y v ใหพจารณาขอบเขตของตวแปรเสรมจากขอบเขตของ , x y หรอบรเวณของเงาทอยบนระนาบ XY

o ถาหากกาหนด , x u z v ใหพจารณาขอบเขตของตวแปรเสรมจากขอบเขตของ , x z หรอบรเวณของเงาทอยบนระนาบ XZ

o ถาหากกาหนด , y u z v ใหพจารณาขอบเขตของตวแปรเสรมจากขอบเขตของ , y z หรอบรเวณของเงาทอยบนระนาบ YZ

ในกรณอนๆ ใหพจารณาจากกราฟหรอผวในสามมต เชน

1. ผวของโคน 2 2 2 z x y และอยระหวาง 1z และ 3z ผวของโคนนอยเหนอระนาบ XY

เพราะคา z เปนคาบวกทอยระหวาง 1 และ 3 ทาใหไดวาผวของโคนนกาหนดโดยสมการ 2 2 z x y

ให , x u y v จะไดสมการองตวแปรเสรม คอ 2 2, r u v ui vj u v k

เงาของโคนบนระนาบ XY เปนรปวงแหวนทมรศมภายใน 1 หนวย

และรศมภายนอก 3 หนวย ดงนนบรเวณ D เขยนในรปเซตไดดงน 2 2, 1 3D u v u v

2. ผวของพาราโบลอยด คอ 2 2 x y z และอยระหวาง 0x และ 4x

สมการองตวแปรเสรมของผวของพาราโบลอยดน กาหนดโดย 2, , x u y usinv z ucosv

ขอบเขตของ u พจารณาจาก 2x u และ 0 4x นอกจากน u ยงเปนรศมของวงกลม 2 2 2 y z u ดงนน 0 2u สวนขอบเขตของ v ใหพจารณาจากวงกลม 2 2 2 y z u

เพราะ v เปนมมของวงกลมทมจดศนยกลางทจดกาเนดและรศม u หนวย ดงนน 0 2v ดงนนบรเวณ D เขยนในรปเซตไดดงน , 0 2,0 2D u v u v


--25--


คาสง จงเตมสวนทวางเพอทาใหขอบเขตของสมการองตวแปรเสรมสมบรณ ให ( ),u v เปนตวแปรเสรม

1. สมการองตวแปรเสรม , cos sin r u v v i v j u k

ของผว 2 2 1x y ทอย

ระหวาง 0z และ 5z มบรเวณ D คอ , 0 5,........................D u v u

2. สมการองตวแปรเสรม , cos sin r u v u v i u v j u k

มบรเวณ D คอ

, 0 5,........................D u v u

3. สมการองตวแปรเสรม , cos sinr u v u i u v j u v k


, 0 1,........................D u v u

4. สมการองตวแปรเสรม , cos sin sin sin cosr u v u v i u v j v k

ของครงทรง

กลมทอยเหนอระนาบ XY มบรเวณ D คอ , 0 2 ,........................D u v u

5. สมการองตวแปรเสรม , 2cos sin 2sin sin 2cosr u v u v i u v j v k

ของครงทรง

กลมทอยในอฐภาคท 1 มบรเวณ D คอ 4, 0 ,........................D u v u

6. สมการองตวแปรเสรม 2, sin cosr u v u v i u j u v k


, 0 1,........................D u v u

7. สมการองตวแปรเสรม 2, sin cos r u v u v i u v j u k


, 0 3,........................D u v u

8. สมการองตวแปรเสรมของผว 2y x ทอยในอฐภาคท 1 และอยใตระนาบ 3z มบรเวณ D คอ

, .........................................D u v

9. สมการองตวแปรเสรมของผว 2x z ทอยในอฐภาคท 1 และอยใตระนาบ 3y และ 2x มบรเวณ

D คอ , .........................................D u v

10. สมการองตวแปรเสรม 2 2, r u v ui u v j vk

และอยระหวาง 0y และ

4y มบรเวณ D คอ , .........................................D u v

11. สมการองตวแปรเสรม 2 2, r u v u i u v j vk

และอยระหวาง 0y และ

4y มบรเวณ D คอ , .........................................D u v

12. สมการองตวแปรเสรม 2 2, r u v u v i u j vk

และอยระหวาง 1x และ

9x มบรเวณ D คอ , .........................................D u v


--26--

กรอบการเรยนรท 8 หวขอ ผลบวกรมนนกบอนทกรลตามผว

เมอศกษาหวขอนแลว นกศกษารจกผลบวกรมนนของอนทกรลตามผว

ให S เปนผวในสามมตซงกาหนดโดยสมการองตวแปรเสรม , ,, ,,x x u v u v u vy y z z

หรอ

, , , ,i yr u v x u v u v j z u v k

เมอ ตวแปรเสรม ( ), u v D สมมต f เปนฟงกชนของ

สามตวแปร เราตองการหาคาอนทกรลของ f เหนอผว S เราเรมดวยการแบงผว S ออกเปนชนสวนยอยๆ แตละชนแทนดวย ijS และพนทของ ijS แทนดวย ijS ทตาแหนง

*ijP เราคานวณคาของฟงกชน f จะได *

ijf P แลว

นามาคณกบพนท ijS ดงนนผลบวกรมนน

ก า หนด โ ดย *

1 1

m n

ij iji j

f P S

ถ า ขน าดข อ ง ช น

สวนยอยเขาใกล 0 และลมตของผลบวกรมนนหาคาไดเรานยามคาลมตโดย

*

, 1 1

, , limm n

ij ijm n i jS

f x y z dS f P S

แบบฝกหด 8 คาสง จงเตมคาตอบในสวนทวางไว

1. ให , 2i ur u v j vk

เมอ 0 4, 0 2u v แบง S ออกเปนชนยอยทมขนาดเทาๆ

กน จานวน 4 ชน แตละชนมพนท 2 ตารางหนวย ถา * *11 122,1,0.5 , 2,3,0.5 ,P P

* *21 222,1,1.5 , 2,3,1.5P P แสดงดวยจดดาดงรปท 1 และ

, , 2f x y z x y z จงตอบคาถามตอไปน

1.1 คา 11S

1.2 คา 12S

1.3 คา 21S

1.4 คา 22S

รปท 1


--27--

1.5 คา *11f P

1.6 คา *12f P

1.7 คา *21f P

1.8 คา *22f P

1.9 * * * *11 11 12 12 21 21 22 22f P S f P S f P S f P S

1.10 2 2

*

1 1ij ij

i j

f P S

2. ให , 5uir u v j vk


กน จานวน 3 ชน แตละชนมพนท 2 ตารางหนวย ถา * *11 121,5, 2 , 1,5, 4 ,P P

*13 1,5,6P แสดงดวยจดดาดงรปท 2 และ 2, ,f x y z yz x จงตอบคาถามตอไปน

2.1 คา 11S

2.2 คา 12S

2.3 คา 13S

2.4 คา *11f P

2.5 คา *12f P

2.6 คา *13f P

2.7 * * *11 11 12 12 13 13f P S f P S f P S

2.8 1 2

*

1 1ij ij

i j

f P S

3. ให , 3ui vr u v j k


กน จานวน 8 ชน แตละชนมพนท 0.5 ตารางหนวย ถา * *11 121,0.5,3 , 1,1,0.3 ,P P

* *13 141,1.5,3 , 1,2.0,3 ,P P * *

21 222,0.5,3 , 2,1,0.3 ,P P

* *23 242,1.5,3 , 2,2.0,3P P แสดงดวยจดดาดงรปท 3 และ , ,f x y z xy z จง

ตอบคาถามตอไปน 3.1 คา 11S

3.2 คา 12S

3.3 คา 13S

3.4 คา 14S

รปท 2

รปท 3


--28--

3.5 คา 21S

3.6 คา 22S

3.7 คา 23S

3.8 คา 24S

3.9 *11f P

3.10 *12f P

3.11 *13f P

3.12 *14f P

3.13 *21f P

3.14 *22f P

3.15 *23f P

3.16 *24f P

3.17

* * * *11 11 12 12 13 13 14 14

* * * *21 21 22 22 23 23 24 24

.............................................................................................

f P S f P S f P S f P S

f P S f P S f P S f P S

3.18 2 4

*

1 1ij ij

i j

f P S

กรอบการเรยนรท 9 หวขอ พนทของผวยอยกบอนทกรลตามผว

เมอศกษาหวขอนแลว นกศกษาสามารถเรยนรความหมายของพนทของผวยอยกบอนทกรลตามผวได

พนทของรปสเหลยมดานขนานทม a

และ b

เปนเวคเตอรประชด คอ

ฐาน x สง = sina b a b

พจารณาผวในสามมต

รปท 4


--29--

ถาผวในสามมตกาหนดโดย , , , ,i yr u v x u v u v j z u v k

เมอ ,u v D แบง D

ออกเปนสวนยอยทมดานกวาง u และดานยาว v จะไดวา ua r u

และ vb r v

ดงนนคาประมาณ

พนทของบรเวณทแรเงา คอ u v u va b r u r v r r u v

ให , 2i ur u v j vk

เมอ 0 4, 0 2u v

แบง S ออกเปนชนยอยทมความกวาง 2 หนวยและความยาว 1 หนวย จาก , 0 2 0ua r u v u i j k

และ , 0 0vb r u v v i j k

ดงนน พนททแรเงา คอ 2 2a b i

ตารางหนวย

แบบฝกหด 9 คาสง จงเตมคาตอบในสวนทวางไว

1. ให , 5uir u v j vk

เมอ 0 1, 0 6u v แบง S ออกเปนชนยอยทมความกวาง

1u หนวยและความยาว 2v หนวย 1.1 a

1.2 b

1.3 a b

1.4 a b

1.5 พนททแรเงา คอ 2. ให cos sin sin sin co, su vi u v kr vu v j

เมอ 0 2 , 0u v แบง

S ออกเปนชนยอยทมความกวาง u หนวยและความยาว v หนวย 2.1 a

2.2 b

2.3 a b

2.4 a b

2.5 พนททแรเงา คอ

3. ให 2, ui v j vkr u v

เมอ 0 , 10u v แบง S ออกเปนชนยอยทมความกวาง u

หนวยและความยาว v หนวย 3.1 a

3.2 b

3.3 a b

3.4 a b

3.5 พนททแรเงา คอ

รปท 5


--30--

กรอบการเรยนรท 10 หวขอ อนทกรลสองชนกบอนทกรลตามผว

เมอศกษาหวขอนแลว นกศกษาสามารถคานวณอนทกรลตามผวได

จาก

*

, 1 1

, , lim

= , ,

m n

ij u vm n i jS

u vS

f x y z dS f P r r u v

f x y z r r dA

อนทกรลตามผวจงคานวณไดจากอนทกรลสองชนของ , , u vf x y z r r

เหนอผว S ดงนนสวนสาคญของ

อนทกรลตามผว คาอนทแกรนด , , u vf x y z r r

และบรเวณของผว S ทกาหนดโดยสมการองตวแปรเสรม

, , , ,r u v x u v i y u v j z u v k

โดยท ,u v D

ให S เปนผวในสามมตทกาหนดโดย , 2r u v i uj vk

เมอ 0 4, 0 2u v ถาตองการ

คานวณคาอนทกรลตามผวของฟงกชน 2, ,f x y z x yz เหนอผว S มขนตอนการคานวณดงน

1. คานวณ ur

จะได , 2 0 0u u u u ur r u v i u j v k i j k

2. คานวณ vr

จะได , 2 0 0v v v v vr r u v i u j v k i j k

3. คานวณ u vr r

จะได 0 0 0 0u v i j k i jr k ir

4. คานวณ u vr r

จะได 1u vr r i

5. กาหนดขอบเขตของอนทกรลจากดเขตโดยพจารณาจากสมการองตวแปรเสรม เนองจาก S เปนระนาบดงแสดงในรปท 5 ดงนน 0 4, 0 2u v

6. แทนคาของตวแปร , ,x y z ในฟงกชน , ,f x y z ใหอยในรปตวแปรเสรม ,u v เนองจาก

, 2r u v i uj vk

ดงนน 2, ,x y u z v จะไดวา 2, 2 4f u v uv uv

7. แทนคาในสตร 2 42

0 04 4

S S

x yz dS uv dA uv dudv


--31--

แบบฝกหด 10 1. ให S เปนผวในสามมตทกาหนดโดย , 5r u v ui j vk

เมอ 0 1, 0 6u v ถา

ตองการคานวณคาอนทกรลตามผวของฟงกชน 2, ,f x y z x yz เหนอผว S จงเตมสวนทวางไว

1.1 คา ur

1.2 คา vr

1.3 คา u vr r

1.4 คา u vr r

1.5 กาหนดขอบเขตของอนทกรลจากดเขต คอ 1.6 คา ,x u v , ,y u v , ,z u v

ดงนน ,f u v

1.7 อนทกรลจากดเขตของ 2

S

x yzdS คอ

2. ให S เปนผวในสามมตทกาหนดโดย , cos sin sin sin cosr u v u v i u v j v k

เมอ

0 2 , 0u v ถาตองการคานวณคาอนทกรลตามผวของฟงกชน , , 1f x y z เหนอผว

S จงเตมสวนทวางไว

2.1 คา ur

2.2 คา vr

2.3 คา u vr r

2.4 คา u vr r


ดงนน ,f u v

2.7 อนทกรลจากดเขตของ 1S

dS คอ

3. ให S เปนผวในสามมตทกาหนดโดย 2 2, 9r u v u i v j u v k

เมอ

2 20 9u v ถาตองการคานวณคาอนทกรลตามผวของฟงกชน 2 2, ,f x y z x y z

เหนอผว S จงเตมสวนทวางไว

3.1 คา ur

3.2 คา vr

3.3 คา u vr r

3.4 คา u vr r


ดงนน ,f u v

3.7 อนทกรลจากดเขตของ 2 2

S

x y z dS คอ


--32--

ขอ 4-13 จงคานวณคาอนทกรลตามผว

4. 2

S

xy z dSòò เมอ S เปนระนาบ 1 2 3z x y= + + เหนอบรเวณ [0, 3] [0, 2]´

คาตอบ

5. S

xy dSòò เมอ S เปนบรเวณรปสามเหลยมทมจดยอดมม ( ) ( ) ( )1,0,0 , 0,2,0 , 0,0,2

คาตอบ

6. S

yz dSòò เมอ S เปนสวนของระนาบ 1x y z+ + = ในอฐภาคท 1

คาตอบ

7. S

y dSòò เมอ S เปนผวทกาหนดโดย ( )3 2 3 223 , 0 1,0 1z x y x y= + £ £ £ £

คาตอบ

8. 2 21S

z x y dS+ +òò เมอ S กาหนดโดย ( ) ( ) ( ), cos sin ,r u v u v i u v j vk= + +

0 1, 0u v p£ £ £ £

คาตอบ

9. 2 2

S

y z dSòò เมอ S เปนผวของกรวย 2 2 2z x y= + ระหวางระนาบ 1z = และ 5z =

คาตอบ

10. S

z dSòò เมอ S เปนผวของ 22 ,x y z= + 0 1, 0 1y z£ £ £ £

คาตอบ

11. ( )2 2

S

x z y z dS+òò เมอ S ผวของครงทรงกลม 2 2 2 4, 0x y z z+ + = >

คาตอบ

12. S

xz dSòò เมอ S เปนผวของทรงกระบอก 2 2 9y z+ = ระหวางระนาบ 0x= และ 5x y+ =

คาตอบ

13. ( )2

S

z x y dS+òò เมอ S เปนผวของทรงกระบอก 2 2 1y z+ = ระหวางระนาบ 0x= และ 3x=

ในอฐภาคท 1

คาตอบ


--33--

กรอบการเรยนรท 11 หวขอ อนทกรลตามผวของสนามเวกเตอร

เมอศกษาหวขอนแลว 1. นกศกษาสามารถคานวณฟลกซอนทกรลได 2. นกศกษาสามารถใช Divergence’ Theorem ในการคานวณอนทกรลตามผวได 3. นกศกษาสามารถใช Stokes’ Theorem ในการคานวณอนทกรลตามเสนได

ให S เปนผวเรยบกาหนดโดยสมการองตวแปรเสรม

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,r u v x u v i y u v j z u v k= + + เมอตวแปรเสรม ( ),u v DÎ

เวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบ S และมทศพงออก (positive orientation) คอ

u v

u v

r rn

r r

´=

´

n-

มทศทางตรงขามกบ n

ให F

เปนสนามเวกเตอรทนยามบน S และม n

เปนเวกเตอรหนงทตงฉากกบ S และ S เปน oriented surface

อนทกรลบนพนผว S กาหนดโดย

S S

F dS F n dS⋅ = ⋅òò òò

จาก u vdS r r dA= ´

เราจะได

( ) u v

S S D

F dS F n dS F r r dA⋅ = ⋅ = ⋅ ´òò òò òò

เราเรยกคาอนทกรลขางตนวา ฟลกซอนทกรล (Flux Integral) ตวอยาง 17 จงหาฟลกซของสนามเวกเตอร ( ), ,F x y z zi yj xk= + +

บนผวของทรงกลมหนงหนวย

2 2 2 1x y z+ + =


--34--

Stokes’ Theorem : ให S เปนผวเรยบเปนชวงๆและลอมรอบดวยเสนโคง C ปดเชงเดยวทมทศทางบวก ถา F

เปน

สนามเวกเตอรทมแตละสวนประกอบของ F

มอนพนธยอย ดงนน

Curl C S

F dr F dS⋅ = ⋅ò òò


F dr⋅ò

เมอ ( ) 2 2, ,F x y z y i xj z k=- + +

และ C เปนเสนโคงทเกดจาก

การตดกนระหวางระนาบ 2y z+ = และทรงกระบอก 2 2 1x y+ = Divergence’ Theorem : ให S เปนผวของทรงสามมต E ถา S เปนผวปด เราจะกลาววา S มทศทางบวกกตอเมอ n

มทศพงออกจาก E สมมตวา S มทศทางบวก แลว

divS E

F dS F dV⋅ =òò òòò

ตวอยาง 19 จงหาฟลกซของสนามเวกเตอร ( ), ,F x y z zi yj xk= + +

บนผวของทรงกลมหนงหนวย 2 2 2 1x y z+ + =


--35--

ตวอยาง 20 จงหาคาของ S

F dS⋅òò

เมอ ( ) ( ) ( )22, , sinxzF x y z xyi y e j xy k= + + +

โดยท S เปนผวของ E ซงลอมรอบดวย 21z x= - และระนาบ 0, 0z y= = และ 2y z+ =


--36--


1. จงหาฟลกซของสนามเวกเตอร ( ), ,F x y z xz i x j y k= + +

บนผว S ของครงทรงกลม 2 2 2 25, 0x y z y+ + = ³ เมอเวกเตอรหนงหนวย n

มทศพงออกจากผว S

คาตอบ

2. จงหาฟลกซของสนามเวกเตอร ( ), ,F x y z z i y j x k= + +

เหนอทรงกลมหนงหนวย 2 2 2 1x y z+ + =

คาตอบ

3. จงหาฟลกซของสนามเวกเตอร ( ) 2 3, ,F x y z y z i y j xz k= + +

เหนอกลอง 1 1,x- £ £

1 1y- £ £ และ 0 2z£ £ คาตอบ

4. จงหาคาของ S

F dS

เมอ ( ), ,F x y z xy i yz j xz k= + +

และ S เปนผวของพาราโบ

ลอยด 2 24z x y ทอยเหนอสเหลยม 0 1x£ £ และ 0 1y£ £ และ n

มทศพงขน คาตอบ

5. จงหาฟลกซของสนามเวกเตอร ( ) 2, ,F x y z y i x j z k= + +

เหนอ E เมอ E ลอมรอบดวย

พาราโบลอยด 2 2z x y และระนาบ 1z คาตอบ

6. ให E เปนทรงสามมตลอมรอบดวยระนาบ XY และพาราโบลอยด 2 24z x y ถา S เปนผวของ E และ n

มทศพงออกจากผว S จงหาฟลกซของสนามเวกเตอร

( ) ( ) ( )2 23 2, , sin ,cos ,3 x yF x y z xz yz x yz zy e += + -

คาตอบ

7. จงใช Stokes’ Theorem หาคาของ C

F dr

เมอ C เปนรอยตดระหวางทรงกลม

2 2 2 4x y z และทรงกระบอก 2 2 1x y เหนอระนาบ XY เสนโคง C หมนทวนเขม

นาฬกา เมอ ( ), ,F x y z xz i yz j xy k= + +

คาตอบ

emath.webs.com vector calculus.pdf1. ศ กษาบทเร ยนให เข าใจ ต...

Documents