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ENCUENTRO # 10

TEMA:Operaciones con polinomios

CONTENIDOS:

1. Multiplicación de polinomios.

2. Productos notables.

DESARROLLO

Ejercicio Reto

1. Al racionalizar el denominador de la fracciónx − 2

3 +√

2x + 5se obtiene:

A)

√2x + 5 − 3

4B)

√2x + 5 + 3

2C)

√2x − 5 − 3

2D)

√2x + 5 − 3

2

2. El valor numérico de la expresióna2(a + b2)(a3 − b3)(a2 − b)

(a2 + b2)(2a − 3b2)para a = 1 y b = −2

es:

A)2710

B)−2710

C)1835

C)1835

D)1517

Regla de los signos.

(+)(+) = + (+)(−) = − (−)(+) = − (−)(−) = +

Multiplicación de polinomios

Ley de los exponentes para la multiplicación. En la multiplicación de términos con la

misma base los exponentes se suman.

am · an = am+n

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Monomio por monomio

Al multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y después las partes

literales.

Ejemplo 1.1.

¿Cuál es el resultado de (−5x4y5z)(3x2y6z).

Solución:

Se multiplican los coeficientes y las bases:

(−5x4y5z)(3x2y6z) = (−5)(3)x4x2y5y6zz

Se aplican las leyes de los signos y de los exponentes:

= −15x4+2y5+6z1+1 = −15x6y11z2

Ejemplo 1.2.

Realiza la siguientes operación:(−54a6b5c5)(−2

3a2bc4).

Solución:

Se efectúa el producto de las fracciones y se aplica la ley de los exponentes para las

partes literales.

(−5

4a6b5c5)(−

2

3a2bc4) = (−

5

4)(−

2

3)a6+2b5+1c5+4 =

10

12a8b6c9

Ejemplo 1.3.

Realiza (3x2n−1y3n)(−2x4n−3y2n)

Solución:

Se aplica el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores, no importa que los

exponentes de las partes literales sean expresiones algebraicas.

(3x2n−1y3n)(−2x4n−3y2n) = −6x(2n−1)+(4n−3)y3n+2n = −6x6n−4y5n

Ejercicios propuesto

1. Resuelve las siguientes operaciones:

(a) (4x3y5z)(6x5y4z)

(b) (34xyz)(−2

5z4)

(c) (−10m6p)(−5m2p3)

(d) (9c5m9p2)(−13c6m)

(e) (5ambnc)(−2a2b3c)

(f) (6m2x+8n4x)(−7mx−6n5)

(g) (−9x3my2n−1)(4x5y6)

(h) (−76a4x−3b2xc4)(− 3

14ax+1bcx)



(i) (−12x4n−1y2a)(4x2−3ay1−2a)

(j) (13a3b2c)(2

5a4bc2)(6ac)(10

3a4b2)

(k) (−34a6b)(2

3a2bc)(−1

2ac)(−2b2c2)

(l) (2a8xb6)(−2m2xn3)(−5a2m3n5x)

Polinomio por monomio

Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio o viceversa, como

lo ilustran los siguientes

Ejemplo 1.4.

Resuelve (5x5y4 − 3x4y3z + 4xz4)(−3x4y)

Solución:

Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio:

(5x5y4 − 3x4y3z + 4xz4)(−3x4y)

= (5x5y4)(−3x4y) + (−3x4y3z)(−3x4y) + (4xz4)(−3x4y)

= −15x9y5 + 9x8y4z − 12x5yz4

Ejemplo 1.5.

Realiza el siguiente producto:(−7ax+3b1−2x)(4a3x−1b2x − 5a3x−2b2x+1 + 3a3x−3b2x+2)

Solución:

Se realiza el producto del monomio por cada uno de los elementos del polinomio:

(−7ax+3b1−2x)(4a3x−1b2x − 5a3x−2b2x+1 + 3a3x−3b2x+2)

= (−7ax+3b1−2x)(4a3x−1b2x)+(−7ax+3b1−2x)(−5a3x−2b2x+1)+(−7ax+3b1−2x)(3a3x−3b2x+2)

= −28a4x+2b + 35a4x+1b2 − 21a4xb3

Ejercicios propuesto

1. Realiza los siguientes productos:

(a) (−3m)(5m4 − 3m3 + 6m − 3)

(b) (−3ab)(2a2 − 7ab + 8b2)

(c) (−5xy2z)(7x6y2z − 3x5y − 4xz)

(d) (5m3n − 3m4p + 6m2)(8mp3)

(e) (−2xn−2)(7x5 − 8x2 + 6x3 − 9x + 2)

(f) (3a2x+1b4x − 7a2xb4x+1 − 4axb3x+1)(−3ax+1b1−x)

(g) (−5x2myn+1)(5x3my2n − 2x3m+1y2n+1 − 4x3m+2y2n+2)

(h) (43x3y)(3

4x2 − 1

3y2 + 6xy)

(i) (25a6 − 7

2a4b2 + 8

5a2b4 − 1

16b)(4

5ab2c)



(j) (45a6m+1b2m − 7

2am+3cm)(−5a3c4)

(k) (−45mxn4)(4

3m2x+3n3a − 5

4m2x+2n3a−1 − 7

2m2xn)

Polinomio por polinomio

Para multiplicar polinomios por polinomios, se siguen los pasos indicados en los siguien-

tes ejemplos:

Ejemplo 1.6.

Efectúa la siguiente operación: (5x2 − 3x − 2)(4x − 3x2 − 6)

Solución:

Se escriben los factores de la multiplicación en forma escalonada (como en las multi-

plicaciones aritméticas), y se ordenan los polinomios con respecto a los exponentes en

forma ascendente o descendente, según se quiera.

5x2 −3x −2

× −3x2 4x −6

Se multiplica el primer término del polinomio de abajo por cada uno de los términos

del polinomio de arriba.

5x2 −3x −2

× −3x2 4x −6

−15x4 +9x3 +6x2

(−3x2)(5x2) = −15x4

(−3x2)(−3x) = +9x3

(−3x2)(−2) = +6x2

A continuación se multiplica el segundo término del polinomio de abajo por cada uno de

los términos del polinomio de arriba y los resultados se colocan debajo de sus respectivos

términos semejantes del primer resultado.

5x2 −3x −2

× −3x2 4x −6

−15x4 +9x3 +6x2

+20x3 −12x2 −8x

(4x)(5x2) = 20x3

(4x)(−3x) = −12x2

(4x)(−2) = −8x

Se repite el paso anterior para cada uno de los términos siguientes (si es que existe).

5x2 −3x −2

× −3x2 4x −6

−15x4 +9x3 +6x2

+20x3 −12x2 −8x

−30x2 +18x +12

(−6)(5x2) = −30x2

(−6)(−3x) = 18x

(−6)(−2) = 12



Por último, se realiza la suma.

5x2 −3x −2

× −3x2 4x −6

−15x4 +9x3 +6x2

+20x3 −12x2 −8x

−30x2 +18x +12

−15x4 +29x3 −36x2 +10x +12

Por consiguiente, el resultado es:−15x4 + 29x3 − 36x2 + 10x + 12

Ejemplo 1.7.

Efectúa la siguiente operación:(5x4y − 3x2y3 − 6xy)(3x4y − 4x2y3 + 3xy)

Solución:

Se acomodan los polinomios de manera vertical y se realiza el procedimiento descrito

en el ejemplo anterior.

5x4y −3x2y3 −6xy

× 3x4y −4x2y3 +3xy

15x8y2 −9x6y4 −18x5y2

−20x6y4 +12x4y6 +24x3y4

+15x5y2 −9x3y4 −18x2y2

15x8y2 −29x6y4 −3x5y2 +12x4y6 +15x3y4 −18x2y2

Por tanto, el resultado es: 15x8y2 − 29x6y4 − 3x5y2 + 12x4y6 + 15x3y4 − 18x2y2

Ejercicios propuestos

Efectúa los siguientes productos.

1. (x − 7)(x + 2)

2. (m + 9)(m − 8)

3. (−x + 2)(3 − x)

4. (3x + 7)(x + 4)

5. (2x − 5)(3x + 2)

6. (n2 + 4)(n2 − 7)

7. (12x − 3)(x + 4

3)

8. (53x − 1

2y)(2

3x − 1

2y)

9. (32y − 1

3x)(−4

5x − 1

2y)

10. (x2 − 2xy + y2)(x − y)

11. (m2 − mn + n2)(m + n)

12. (5x2 − 7y2 − 4xy)(3x − 2y)

13. (15a2 − 3ab + 1

3b2)(2

3a − 7

2)

14. (52x2 + 1

5y2 − 3

4xy)(4x − 1

3y)



15. (mx−1 − na − 1)(m − n)

16. (bm − bm+1 + bm+2)(b + 1)

17. (2xm+1 + xm+2 − xm)(xm+3 − 2xm+1)

18. (xa+2 − 2xa + 3xa+1)(xa + xa+1)

19. (3x2 − 5x − 2)(2x2 − 7x + 4)

20. (4x3 − 2x2y + 6xy2)(x2y − xy2 − 2y3)

21. (m + n − p)(m − p − n)

22. (2m − 3n + 5p)(n + 2p − m)

23. (a + b − c)(a − b + c)

24. (x2 − 2x + 1)(x4 − 2x2 + 2)

25. (12x2 − 3

2x + 5

2)(6x2 − 4x − 2)

26. (xm+xm+1−xm+2)(xm−xm+1+xm+2)

Productos Notables

Definición 1.

Los productos notables se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar

el producto.

Cuadrado de un binomio

El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado del primer

término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del

segundo; esta regla general se expresa con la fórmula:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ejemplo 2.1.

Desarrolla (x + 7)2

Solución:

Al aplicar la regla general:

−→ El cuadrado del primer término:(x)2 = x2

−→ El doble producto del primer término por el segundo:2(x)(7) = 14x

−→ El cuadrado del segundo término:(7)2 = 49

Se suman los términos resultantes y se obtiene:

(x + 7)2 = x2 + 14x + 49



Ejemplo 2.2.

¿Cuál es el resultado de desarrollar (3m + 5n)2?

Solución:

(3m + 5n)2 = (3m)2 + 2(3m)(5n) + (5n)2 = 9m2 + 30mn + 25n2

Ejemplo 2.3.

Desarrolla (12a + 3)2.

Solución:

(1

2a + 3)2 = (

1

2a)2 + 2(

1

2a)(3) + (3)2 =

1

4a2 + 3a + 9

Ejemplo 2.4.

Desarrolla (5m2x−3 + n4x)2

Solución:

(5m2x−3 + n4x)2 = (5m2x−3)2 + 2(5m2x−3)(n4x) + (n4x)2 = 25m4x−6 + 10m2x−3n4x + n8x

El desarrollo del cuadrado de una diferencia de dos cantidades, es igual a:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

En este desarrollo los términos se sustituyen con signo positivo, como lo ilustran los

siguientes ejemplos:

Ejemplo 2.5.

¿Cuál es el desarrollo de (4x4 − 9y3)2?

Solución:

(4x4 − 9y3)2 = (4x4)2 − 2(4x4)(9y3) + (9y3)2 = 16x8 − 72x4y3 + 81y6

Ejemplo 2.6.

Desarrolla (3x2y − 2x5z)2

Solución:

(3x3y − 2x5z)2 = (3x3y)2 − 2(3x3y)(2x5z) + (2x5z)2 = 9x6y2 − 12x8yz + 4x10z2

Cuadrado de un trinomio

El desarrollo de la expresión: (a + b + c)2 es igual a la suma de los cuadrados de cada

uno de los términos, más los dobles productos de las combinaciones entre ellos:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac



Ejemplo 2.7.

Desarrolla (x + 2y + 3z)2

Solución:

(x + 2y + 3z)2 = (x)2 + (2y)2 + (3z2) + 2(x)(2y) + 2(x)(3z) + 2(2y)(3z)

= x2 + 4y2 + 9z2 + 4xy + 12yz + 6xz

Ejemplo 2.8.

Obtén el resultado de (4m − 7n − 5)2

Solución:

(4m − 7n − 5)2 = (4m)2 + (−7n)2 + (−5)2 + 2(4m)(−7n) + 2(−7n)(−5) + 2(4m)(−5)

= 16m2 + 49n2 + 25 − 56mn + 70n − 40m

Ejemplo 2.9.

Desarrolla (12xm+1 + 2xm + xm−1)2

Solución:

(12xm+1 + 2xm + xm−1)2

= (12xm+1)2 + (2xm)2 + (xm−1)2 + 2(1

2xm+1)(2xm) + 2(2xm)(xm−1) + 2(1

2xm+1)(xm−1)

= 14x2m+2 + 4x2m + x2m−2 + 2x2m+1 + 4x2m−1 + x2m


Desarrolla las siguientes expresiones

1. (x + 8)2

2. (m − 10)2

3. (a − 3)2

4. (2a − 1)2

5. (54x − 1

3)2

6. (7a − 3b)2

7. (4x3 + 5y)2

8. (9a3 − a2b)2

9. (1 − 34xy)2

10. (14x − 2y3)2

11. ( 23x

− 14y

)2

12. (3x2 + 4xy7)2

13. (6x3m−2 + 5y4mz3)2

14. (m4a−5 + 2x2a+1)2

15. (45a2m−1 − 3

2b)2

16. (53x3a−2 + 6

5y1−3a)2

17. (x4a

5− b4xya+1

5)2

18. (x + 2y + 3z)2

19. (3x − 2y + 1)2

20. (a2 + 5a + 4)2



21. (3x2 + 2y2 − 1)2

22. (12a + 1

3b + c)2

23. ( 2x

+ 3y

− 1z)2

24. (ax − by + cz)2

25. (ax+1 − 2ax − ax−1)2

Binomios conjugados (suma por diferencia)

Son de la forma (a + b)(a − b) y su resultado es la diferencia de los cuadrados de ambas

cantidades, como se ilustra en la fórmula:

(a + b)(a − b) = a2 − b2

Ejemplo 2.10.

Desarrolla (x + 6)(x − 6)

Solución:

(x + 6)(x − 6) = (x)2 − (6)2 = x2 − 36

Ejemplo 2.11.

Desarrolla (m − 4)(m + 4)

Solución:

(m − 4)(m + 4) = (m)2 − (4)2 = m2 − 16

Ejemplo 2.12.

Resuelve (−2x3 + 7)(−2x3 − 7)

Solución:

(−2x3 + 7)(−2x3 − 7) = (−2x3)2 − (7)2 = 4x6 − 49

Ejemplo 2.13.

Desarrolla (103

− 3m4

2)(10

3+ 3m4

2)

Solución:

(10

3−

3m4

2)(

10

3+

3m4

2) = (

10

3)2 − (

3m4

2)2 =

100

9−

9m8

4

Ejemplo 2.14.

Resuelve (5x2a−3 + y4m)(5x2a−3 − y4m)

Solución:

(5x2a−3 + y4m)(5x2a−3 − y4m) = (5x2a−3)2 − (y4m)2 = 25x4a−6 − y8m



Productos donde se aplican binomios conjugados

Ejemplo 2.15.

El resultado de (m + n − p)(m + n + p) es:

Solución:

Los elementos de ambos factores se agrupan de la siguiente manera:

[(m + n) − p][(m + n) + p] = (m + n)2 − p2

Se desarrolla el binomio y finalmente el resultado es:

m2 + 2mn + n2 − p2

Ejemplo 2.16.

Desarrolla (x + y − 3)(x − y + 3)

Solución:

El producto se expresa de la siguiente manera y se procede a aplicar el producto de

binomios conjugados:

(x + y − 3)(x − y + 3) = [x + (y − 3)][x − (y − 3)]

= (x)2 − (y − 3)2

= x2 − y2 + 6y − 9

Ejemplo 2.17.

¿Cuál es el resultado de (2x − 3y − z + 5)(2x − 3y + z − 5)?

Solución:

Se agrupan los términos y se aplica la fórmula para binomios conjugados:

(2x − 3y − z + 5)(2x − 3y + z − 5) = [(2x − 3y) − (z + 5)][(2x − 3y) + (z − 5)]

= (2x − 3y)2 − (z + 5)2

Se desarrollan los binomios, se eliminan los paréntesis y se ordenan los términos:

= (4x2 − 12xy + 9y2) − (z2 − 10z + 25)

= 4x2 − 12xy + 9y2 − z2 + 10z − 25

= 4x2 + 9y2 − z2 − 12xy + 10z − 25




1. Desarrolla los siguientes productos:

(a) (x + 3)(x − 3)

(b) (a − 1)(a + 1)

(c) (k − 8)(k + 8)

(d) (4m − 9n)(4m + 9n)

(e) (5x4y + 4z)(5x4y − 4z)

(f) (7a4b3 − cd5)(7a4b3 + cd5)

(g) (35m + 1)(3

5m − 1)

(h) (76x3 − 3

2)(7

6x3 + 3

2)

(i) (3ax−4 + b3x)(3ax−4 − b3x)

(j) (8y2a−3 − 4x4a)(8y2a−3 + 4x4a)

(k) (a + b − c)(a + b + c)

(l) (x + y − 3)(x + y + 3)

(m) (4x + 3y − z)(4x − 3y + z)

(n) (x2 − xy + y2)(x2 + y2 + xy)

(o) (m4 − m2 − m)(m4 + m2 + m)

(p) (12m − 2

3n − 1

4)(1

2m + 2

3n + 1

4)

Binomios con término común

Son de la forma (x+a)(x+b), su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es el cuadrado

del término común, más la suma de los términos no comunes por el término común,

más el producto de los no comunes.

Ejemplo 2.18.

Desarrolla (x − 6)(x + 4)

Solución:

(x − 6)(x + 4) = x2 + (−6 + 4)x + (−6)(4) = x2 − 2x − 24

Ejemplo 2.19.

Resuelve (5x − 4)(5x − 2)

Solución:

(5x − 4)(5x − 2) = (5x)2 + (−4 − 2)(5x) + (−4)(−2)

= 25x2 − 6(5x) + 8 = 25x2 − 30x + 8

Ejemplo 2.20.

¿Cuál es el resultado de (n4 + 10)(n4 − 8)?

Solución:

(n4 + 10)(n4 − 8) = (n4)2 + (10 − 8)n4 + (10)(−8) = n8 + 2n4 − 80



Ejemplo 2.21.

Desarrolla (x + y − 3)(x + y + 7).

Solución:

(x + y − 3)(x + y + 7) = [(x + y) − 3][(x + y) + 7]

= (x + y)2 + (−3 + 7)(x + y) + (−3)(7)

= (x + y)2 + (4)(x + y) + (−21)

= x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y − 21

Ejemplo 2.22.

Desarrolla (2m + 3n − 4)(2m − 5n + 2).

Solución:

(2m + 3n − 4)(2m − 5n + 2) = [2m + (3n − 4)][2m + (−5n + 2)]

= (2m)2 + (3n − 4 − 5n + 2)(2m) + (3n − 4)(−5n + 2)

= 4m2 + (−2n − 2)(2m) + (−15n2 + 6n + 20n − 8)

= 4m2 + (−4mn − 4m) + (−15n2 + 26n − 8)

= 4m2 − 4mn − 4m − 15n2 + 26n − 8

= 4m2 − 15n2 − 4mn − 4m + 26n − 8


1. Resuelve los siguientes productos:

(a) (x − 8)(x + 5)

(b) (m + 7)(m − 4)

(c) (x − 10)(x − 2)

(d) (x − 1)(x − 8)

(e) (m − 3)(m + 8)

(f) (2x − 6)(2x + 4)

(g) (3m + 6)(3m − 4)

(h) (6x − 4)(6x + 3)

(i) (x2 − 10)(x2 + 6)

(j) (m3 − 4)(m3 − 8)

(k) (13m + 2

5)(1

3m − 1

2)

(l) (34y + 1

6)(3

4y − 5

8)

(m) (65x2 − 1

4y2)(6

5x2 + 1

3y2)

(n) (a + b + 3)(a + b + 4)

(o) (a − 2b + 1)(a − 2b + 5)

(p) (m2 + n2 − 5)(m2 + n2 + 9)

(q) (2x + y + 2)(2x + y − 1)

(r) (a + 5b + c)(a − 5b + c)



Cubo de un binomio

Es de la forma (a+b)3, su desarrollo es un polinomio de cuatro términos al que se llama

cubo perfecto y su desarrollo es el cubo del primer término, más el triple producto del

cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado

del segundo, más el cubo del segundo.

(a ± b)3 = a3 ∓ 3a2b ± 3ab2 ∓ b3

Ejemplo 2.23.

Desarrolla (m + 5)3

Solución

(m + 5)3 = (m)3 + 3(m2)(5) + 3(m)(5)2 + (5)3

= m3 + 15m2 + 75m + 125

Ejemplo 2.24.

Desarrolla el siguiente binomio (x − 4)3.

Solución:

(x − 4)3 = (x)3 + 3(x)2(−4) + 3(x)(−4)2 + (−4)3

= x3 − 12x2 + 48x − 64

Ejemplo 2.25.

¿Cuál es el resultado de (3x4 − 2y3)3?

Solución:

(3x4 − 2y3)3 = (3x4)3 + 3(3x4)2(−2y3) + 3(3x4)(−2y3)2 + (−2y3)3

= 27x12 − 54x8y3 + 36x4y6 − 8y9


Resuelve los siguientes productos:

1. (x − 1)3

2. (m + 6)3

3. (x − 2)3

4. (2x + 1)3

5. (3a − 4)3

6. (5m2 + 2n5)3

7. (4x2 + 2xy)3

8. (3m4 − 4m3n)3

9. (x + 13)3

10. (x − 18)3

11. (23x − 1

4)3

12. (13x4 + y)3

13. (2x2a−3 − 3y4a+1)



encuentro # 10 desarrollo - silvioduarte.comsilvioduarte.com/portal/clases/2016/clase#10.pdf · am...

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