DECISIONI COLLETTIVE

VALENTINO DARDANONI

(1) Fate un esempio di una funzione di utilita’ continua U : R 7→ R e di 4 opzionia, b, c, d ∈ R tali che sia vero che

U(a) > U(b) > U(c) > U(d),

e

U(a)− U(b) > U(c)− U(d).

Trovate dopo una funzione di utilita’ V : R 7→ R tale che V (x) = f [U(x)] conf : R 7→ R continua e strettamente crescente, per cui e’ vero che V (a) > V (b) >V (c) > V (d), ma e’ falso che V (a)− V (b) > V (c)− V (d).

(2) Dimostrate che la transitivita’ delle relazione di preferenza � implica la transi-tivita’ della relazione di indifferenza ∼.

(3) Considerate la relazione binaria B su un insieme X indotta da: per tutti glix, y ∈ X, xBy quando U(x) > U(y). B e’ una relazione di preferenza?

(4) Dati un insieme di frigoriferi, Tizio scegliera’ sempre considerando 3 caratteris-tiche (prezzo, dimensione, consumo energetico), e nella scelta tra due frigoriferi,preferira’ sempre quello che ha almeno 2 caratteristiche migliori dell’altro. Costru-ite un esempio con 3 frigoriferi con cui dimostrate che le preferenze di Tizioviolano la transitivita’.

(5) Dimostrate che, per ogni relazione di preferenza � definita su un insieme finitoX e per ogni insieme A ⊆ X esiste un elemento massimale in A data �.

(6) Supponiamo che Tizio al ristorante col menu’ {pollo, bistecca alla tartara}scelga il pollo, mentre col menu’ {pollo, bistecca alla tartara, cosce di rana}scelga bistecca alla tartara. Dimostrate che tale funzione di scelta non e’ razion-alizzabile.

(7) Fate un altro esempio di scelta non razionalizzabile.(8) Usando l’esempio di dimostrazione del Teorema di Arrow usato a lezione nel

caso di 2 individui, 3 opzioni e preferenze strette, dimostrate il teorema di Arrowponendo arbitrariamente la preferenza collettiva ≺ (invece che � come fatto alezione) nella seconda colonna.

(9) Dimostrate che il sistema di aggregazione delle preferenze dittatoriale soddisfatutti gli assiomi del Teorema di Arrow (transitivita’, completezza, Pareto effi-cienza, Indipendenza dalle alternative irrilevanti, Dominio illimitato).

(10) Dimostrate che per #X = 2 il Teorema di Arrow non e’ vero.1

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(11) Dati tre votanti (T,C,S) e tre opzioni x, y, z, assumendo che S ha le seguentipreferenze: x �S z �S y, trovare tutti i profili di preferenza che genera ilparadosso del voto.

(12) Dimostrate che se la preferenza � e’ Transitiva, sara’ anche Quasi-Transitiva,ma non e’ vero il contrario.

(13) Dimostrate che se la preferenza � e’ Quasi-Transitiva, sara’ anche Aciclica, manon e’ vero il contrario.

(14) Dimostrate con un esempio (diverso da quello fatto a lezione) il Teorema di Sennel caso di 3 individui.

(15) Dimostrate che date tre opzioni x, y, z ci sono 13 possibili profili di preferenze.(16) Fate un esempio che dimostri che il voto di Borda non e’ a prova di strategia

(e’ manipolabile).(17) Dimostrate che il sistema di voto a maggioranza relativa soddisfa gli Assiomi

di Neutralita’, Anonimita’, e Monotonicita’ del Teorema di May.(18) Considerate una situazione di voto bidimensionale Euclideo. Supponiamo due

votanti con picchi a e b. Scegleite un punto fuori dal segmento ab tale per cuiuno dei candidati prende la maggioranza dei voti.

(19) Considerate una situazione di voto multidimensionale Euclideo. Partendo dauna situazione con tre votanti con picchi di preferenze dati da un triangolo(a, b, c), dimostrate il Teorema del Caos con un esempio.

(20) Dimostrate che il sistema a maggioranza relativa soddisfa gli assiomi del teoremadi Arrow (tranne quello del dominio illimitato) quando le preferenze sono single-peaked.

(21) Supponiamo di avere 4 opzioni X = (A,B,C,D) e di avere 10 elettori. Scriveteun profilo di preferenze a scelta vostra, e determinate il vincitore secondo ilsistema di Borda utilizzando quel profilo.

(22) Consideriamo 3 votanti con preferenze unidimensionali definite nell’intervallo[0, 1]. Tizio ha utilita’ UT (x) = x2, Caio UC(x) = x e Sempronio US(x) =(x − .5)2. Si puo’ applicare il Teorema di Black? Se si, quale sara’ l’opzioneVC?

(23) Consideriamo il caso di voto bidimensionale; se i picchi di preferenze sono dis-tribuiti uniformemente in [0, 1]2, allora esistera’ un VC. o vero; o falso.

(24) Supponiamo che ci sono n individui che votano secondo un unica dimensioneideologica (un intervallo reale). Supponiamo che le preferenze degli elettorisiano SP. Elencate le condizioni del Teorema di Downs.