euklidiese meetkunde graad 10 tot 12 (kabv) hoek by die middelpunt van ‘n sirkel wat onderspan...

Euklidiese Meetkunde

Graad 10 tot 12

(KABV)

Saamgestel deur Marlene Malan

[email protected]

Prepared by

Marlene Malan

KABV DOCUMENT (Paper 2)

Graad 10 Graad 11 Graad 12 (a) Hersien basiese beginsels

wat in vorige

grade vasgelê is.

(b) Ondersoek lynsegmente

wat die middelpunte

van twee sye van ‘n driehoek

verbind.

(c) Eienskappe van spesiale

vierhoeke.

(a) Ondersoek en bewys stellings

aangaande

sirkelmeetkunde. Aanvaar feite uit

vorige grade tesame met een ander

feit rakende raaklyne en radiusse van

sirkels.

(b) Los sirkelmeetkundeprobleme op

en gee redes wanneer vereis word.

(c) Bewys meetkundige

vraagstukke/probleme.

(a) Hersien vorige (graad 9) werk oor die nodige en

voldoende voorwaardes vir veelhoeke om gelykvormig

te wees.

(b) Bewys (aanvaar bewyse vanuit vorige grade):

• dat ‘n lyn wat ewewydig aan een sy van ‘n driehoek

getrek word die ander twee sye eweredig verdeel

(en die middelpuntstelling as ‘n spesiale geval van

hierdie stelling) ;

• dat gelykhoekige driehoeke ook gelykvormig is;

• dat driehoeke waarvan die sye eweredig is ook

gelykvormig is;

• die stelling v Pythagoras deur gelykvormige

driehoeke

• meetkundige vraagstukke/probleme.

HERSIENING VAN VORIGE GRADE

GELYKVORMIGHEID

HHH

of

∠∠∠

SSS

KONGRUENSIE

SSS

HHS

SHS

(ingeslote hoek)

RHS

EIENSKAPPE VAN SPESIALE VIERHOEKE

PARALLELOGRAM

• Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig

• Beide pare teenoorstaande sye is gelyk

• Beide pare teenoorstaande hoeke is gelyk

• Hoeklyne halveer mekaar

REGHOEK Alle eienskappe van parallelogram PLUS

• Hoeklyne is ewe lank

• Alle binnehoeke is gelyk aan 90° elk

RUIT Alle eienskappe van parallelogram PLUS

• Alle sye is gelyk

• Hoeklyne halveer mekaar loodreg

• Hoeklyne halveer binnehoeke

VIERKANT Alle eienskappe van ‘n ruit PLUS

• Alle binnehoeke is 90° elk

• Hoeklyne is ewe lank

VLIEËR • Twee pare aangrensende sye is gelyk

• Hoeklyn tussen gelyke sye halveer ander

hoeklyn

• Een paar teenoorstaande hoeke is gelyk

(hoek tussen ongelyke sye)

• Hoeklyn tussen gelyke sye halveer

binnehoeke

• Hoeklyne sny loodreg

TRAPESIUM

• Een paar teenoorstaande sye is ewewydig

HOE OM TE BEWYS DAT 'N VIERHOEK ‘N PARALLELOGRAM IS

Bewys enige EEN van die volgende:

• Bewys dat beide pare teenoorstaande sye ewewydig is

• Bewys dat beide pare teenoorstaande sye gelyk is

• Bewys dat beide pare teenoorstaande hoeke gelyk is

• Bewys dat die hoeklyne mekaar halveer

• Bewys dat EEN paar teenoorstaande sye gelyk EN ewewydig is

HOE OM TE BEWYS DAT ‘N PARALLLELOGRAM ‘N RUIT IS

Bewys enige EEN van die volgende :

• Bewys dat die hoeklyne mekaar loodreg sny

• Bewys dat enige twee aangrensende sye gelyk is

DRIEHOEKE TUSSEN EWEWYDIGE LYNE

Die OPPERVLAKTE van twee driehoeke op DIESELFDE (OF GELYKE) BASISSE, is GELYK.

Oppv van ∆�� = Oppv van ∆��

MIDDELPUNTSTELLING

Die lynstuk wat die middelpunte van twee sye van ‘n driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy

van die driehoek en die helfte van die lengte van daardie sy.

( Midpt Stelling )

As AD = DB en AE = EC, dan is DE ǁ BC en DE =

BC.

OMGEKEERDE VAN MIDDELPUNTSTELLING

‘n Lyn getrek vanuit die middelpunt van een sy van ‘n driehoek ewewydig aan ‘n ander sy, sal

die derde sy halveer en sal die helfte wees van die lengte van die sy waaraan dit ewewydig is.

( lyn deur midpt ⃦ aan 2de sy )

As AD = DB en DE ǁ BC, dan sal AE = EC en DE =

BC.

GRAAD 11 MEETKUNDE

Let Wel: STELLINGS WAARVAN BEWYSE EKSAMINEERBAAR IS, WORD AANGEDUI MET

Stelling 1 Omgekeerde van Stelling 1

As AC = CB in sirkel O, dan sal OC AB. As OC koord AB , dan sal AC = BC .

( Midpt. ʘ ; Midpt. koord) (Loodlyn uit midpt. ʘ na koord)

Stelling 2

Die hoek by die middelpunt van ‘n sirkel wat onderspan word deur ‘n boog/koord, is dubbel die hoek wat

dit by enige punt op die omtrek onderspan. AO�B � 2 � AC�B

(midpts ∠ = 2 Xomtreks ∠ )


Die omtrekshoek wat deur die middellyn As �� 90°, dan is AB die middellyn

onderspan word, is ‘n regtehoek. van die sirkel.

Die hoek in ‘n halfsirkel is 90°.

(∠ in halfsirkel ) (koord onderspan 90° OF)

omgekeerde ∠ in halfsirkel)


Die hoeke op die omtrek van ‘n As ‘n lynstuk gelyke hoeke by twee ander

sirkel onderspan deur dieselfde punte onderspan, dan lê hierdie vier

boog/koord, is gelyk. punte op die omtrek van ‘n sirkel.

(∠e in dieselfde seg) (lyn onderspan gelyke ∠e OF

omgekeerde ∠e in dieselfde seg)

Afleiding van Stelling 4

Gelyke koorde onderspan Gelyke koorde onderspan gelyke Gelyke koorde van gelyke

gelyke hoeke by die omtrek hoeke by die middelpunt sirkels onderspan gelyke

van die sirkel. van die sirkel. hoeke by die omtrek.

(gelyke koorde; gelyke ∠e) (gelyke koorde; gelyke ∠e) (gelyke sirkels; gelyke koorde;

gelyke ∠e)


Die teenoorstaande hoeke van ‘n koordevierhoek As die teenoorstaande hoeke van ‘n vierhoek

is supplementêr. supplementêr is, dan is dit ‘n koordevierhoek.

�� 180°

�� 180°

(teenoorst ∠e van kvh ) ( teenoorst ∠e van vierh suppl OF

omgekeerde teenoorst ∠e van kvh)


Die buitehoek van ‘n koordevierhoek As die buitehoek van ‘n vierhoek gelyk is

is gelyk aan die teenoorstaande binnehoek. aan die teenoorstaande binnehoek, dan is

dit ‘n koordevierhoek.

(buite ∠ van kvh ) (buite ∠ = teenoorst binne ∠ OF

omgekeerde v buite ∠ van kvh)


Die raaklyn aan ‘n sirkel is loodreg ‘n Lyn wat deur die eindpunt van ‘n radius

op die radius by die raakpunt. loodreg op die radius getrek word, is ‘n

raaklyn aan die sirkel.

( raaklyn ⊥ radius OF ( lyn ⊥ radius OF omgekeerde raaklyn ⊥ radius OF

raaklyn ⊥ middellyn) omgekeerde raaklyn ⊥ middellyn )

Stelling 8

As twee raaklyne vanuit dieselfde punt buite ‘n sirkel getrek word, dan is die lyne ewe lank.

(raaklyne vanuit dies. punt)

Stelling 9 (Raaklyn koord stelling) Omgekeerde van Stelling 9

Die hoek tussen die raaklyn aan ‘n sirkel en As ‘n lyn deur die eindpunt van ‘n koord

‘n koord wat vanaf die raakpunt getrek word, getrek word om ‘n hoek te vorm wat gelyk

is gelyk aan die hoek in die teenoorstaande is aan die hoek in die teenoorstaande segment,

sirkelsegment. dan is die lyn ‘n raaklyn.

( raaklyn koord stelling ) ( omgekeerde raaklyn koord stelling OF

∠ tussen lyn en koord )

Skerphoek Stomphoek

DRIE MANIERE OM TE BEWYS DAT ‘N VIERHOEK ‘N KOORDEVIERHOEK IS

Bewys dat :

• een paar teenoorstaande hoeke supplementêr is

• die buitehoek gelyk is aan die teenoorstaande binnehoek

• twee hoeke wat onderspan word deur ‘n lynstuk by twee ander hoekpunte

van die vierhoek, gelyk is

GRAAD 12 MEETKUNDE

Die Beginsel van Eweredigheid (Hersiening)

A 6 cm B 4 cm C

D 9 cm E 6 cm F

AB : BC = 6 : 4 = 3 : 2 en DE : EF = 9 : 6 = 3 : 2

Al is AB : BC = DE : EF beteken dit NIE dat AB = DE, AC = DF of BC = EF.


Die lyn ewewydig aan een sy van ‘n driehoek As ‘n lyn twee sye van ‘n driehoek in eweredige

verdeel die ander twee sye in eweredige dele. dele verdeel, is die lyn ewewydig aan die derde

sy van die driehoek.

( lyn || een sy van Δ) ( lyn verdeel twee sye van Δ ewer )

As DE ǁ BC dan ��

� �

�!

!" of AD : DB = AE : EC As

��

� �

�!

!" dan is DE ǁ BC.

Stelling 2 (Middelpunt Stelling) Omgekeerde van Stelling 2

(Spesiale geval van Stelling 1)

Die lynstuk wat die middelpunte van twee As ‘n lyn getrek word vanaf die middelpunt van een

sye van ‘n driehoek verbind, is ewewydig aan sy van ‘n driehoek ewewydig aan ‘n ander sy, sal

die derde sy van die driehoek en helfte die die lyn die derde sy halveer.

lengte van daardie sy.

( midpt stelling ) ( lyn deur midpt || aan 2de sy )

As AD = DB en AE = EC, dan is DE ǁ BC en DE =

BC. As AD = DB en DE ǁ BC, dan is AE = EC en DE =

BC.


Die ooreenstemmende sye van twee As die sye van twee driehoeke eweredig is,

gelykhoekige driehoeke is eweredig dan is die driehoeke gelykhoekig en

en gevolglik is die driehoeke gelykvormig. gevolglik is die driehoeke gelykvormig.

( ||| Δe OF gelykhoekige Δe ) ( Sye van Δ ewer )

As ∆�� ||| ∆�#$ dan �

�!�

"

!%�

�"

�% As

�

�!�

"

!%�

�"

�% dan ∆�� |||∆�#$

Stelling 4

Die loodlyn wat getrek word van die hoekpunt van die regte hoek van ‘n reghoekige driehoek tot by die

skuinssy, verdeel die driehoek in twee driehoeke wat gelykvormig is en gelykvormig aan die oorspronklike

driehoek.

Afleidings van Stelling 4

∆��|||∆�� ∆��|||∆�� ∆��|||∆��

∴�

� �

"

��

�"

�� ∴

�

��

"

�"�

�"

�" ∴

�

��

�

�"�

��

�"

∴ �( � (�.(� ∴ �* � *�. *� ∴ �+ � �+.+�

Stelling 5 (Die Stelling van Pythagoras)

Uit die afleidings kan dit bewys word dat: ��

A

B C D

WENKE OM MEETKUNDESOMME OP TE LOS

• LEES-LEES-LEES die inligting langs die diagram deeglik deur

• DUI AL die inligting op die DIAGRAM aan

• Kyk vir SLEUTELWOORDE, bv.

RAAKLYN: Wat sê die stellings oor raaklyne?

KOORDEVIERHOEK: Wat is die eienskappe van ‘n kvh?

• MOET NOOIT IETS AANVAAR NIE!

- Moenie aanvaar dat ‘n sekere lyn die MIDDELLYN van ‘n sirkel is, behalwe as jy

dit kan bewys

- Moenie aanvaar dat ‘n punt die MIDDELPUNT van ‘n sirkel is, behalwe as dit

duidelik gesê is (“sirkel M” beteken “die sirkel met middelpunt M”)

• Stel vir jouself “SEKONDÊRE” DOELWITTE, bv.

- Om te bewys dat �� (primêre doelwit), bewys eers dat

�� (sekondêre doelwit) en vice versa

- Om te bewys dat lyn AC ‘n raaklyn is (primêre doelwit), bewys eers dat die lyn

loodreg is op die radius OB (sekondêre doelwit)

AC is ‘n raaklyn

- Om te bewys dat BC die middellyn van die sirkel is (primêre doelwit), bewys eers

dat �� 90° (sekondêre doelwit)

BC is die middellyn van die sirkel

• Vir vrae soos: Bewys dat �� . Begin met EEN DEEL.

Beweeg stap-vir-stap na die ANDER DEEL met redes.

Onthou dat dit duidelik en logies vir die LESER moet wees!

Bv. �� ; �� ; �� ; ∴ ��

GRAAD 11 MEETKUNDE VOORBEELDVRAE

Vraag 1

AB en CD is twee koorde van die sirkel met middelpunt O.

,#⏊�� , AF = FB, OE = 4 cm, OF = 3 cm en AB = 8 cm.

Bereken die lengte van CD. [8]

Vraag 2

O is die middelpunt van die sirkel. STU is ‘n raaklyn by T.

BC = CT

�.�� 105° en �.�0 = 40°

Bereken, met redes, die grootte van:

2.1 �� (2)

2.2 �� (2)

2.3 �� (3)

2.4 �� (6)

[13]

Vraag 3

3.1 Skryf, met redes, vier ander hoeke neer wat ook

gelyk aan 2 is. (8)

3.2 Bewys dat ∆ABC||| ∆EDC. (4)

3.3 Bewys dat �� = ".!"�"

(2)

[14]

Vraag 4

O is die middelpunt van die sirkel. BC = CD

Druk die volgende in terme van 2 uit:

4.1 �� (2)

4.2 �� (3)

4.3 �� (4)

[9]

Vraag 5

LOM is die middellyn van sirkel LMT. Die middelpunt van

die sirkel is O. TN is ‘n raaklyn by T.

34⏊45

Bewys dat:

5.1 MNPT ‘n koordevierhoek is. (3)

5.2 NP = NT (6)

[9]

Vraag 6

PA en PC is raaklyne aan die sirkel by C en A.

AD ǁ PC en PD sny die sirkel by B.

Bewys dat:

6.1 �� vir 5�� halveer (6)

6.2 �� 6 (6)

6.3 �5�� (4)

[16]

Vraag 7

TA is ‘n raaklyn aan die sirkel. M is die middelpunt van

koord PT. .�⏊5�. O is die middelpunt van die sirkel.

Bewys dat:

7.1 MTAR ‘n koordevierhoek is. (3)

7.2 PR = RT (4)

7.3 TR hoek 5.�� halveer (4)

7.4 .� �

,� (4)

[15]

GRAAD 12 MEETKUNDE VOORBEELDVRAE

Voorbeeld

Gegee: ��:�� 2: 3 en �# = 96

#�.

Instruksie: Bepaal die verhouding �5: 5�.

Oplossing:

In ∆��#: !:!

= ; ∴ (< = ;

=#

Maar dit is gegee dat (< = 96

#�

∴ 96

#� = ;

=#

!":!

= ;

÷ 96

= ;?

In ∆��= : "@@�

= "!!:

= ;?

�5: 5� = 15: 8

Vraag 1

#� = 22AB, �� 33AB, �� 15ABDE�� 2.

Bereken die waarde van 2. [4]

Vraag 2

�$||�#, �� = 6?

��DE�#: #� � 4: 3

Bepaal die verhouding �F:F�. [8]

Vraag 3

G

GH�

6, 5�: �I � 1: 2DE5J||��.

3.1 Skryf die waardes van I�: I5enI�:�M neer. (2)

3.2 Bepaal �J:�I (1)

3.3 Bewys dat IJ � JM. (6)

[9]

Vraag 4

Gegee: 5MN|��DE5I|N��

Bewys dat MI||��. [4]

Vraag 5

∆5M.is ‘n ingeskrewe sirkel. �,||MI, 5� = �MDE5� � �.

PR is die middellyn van die sirkel.

Bewys dat:

5.1 ��||M. (2)

5.2 O is die middelpunt van die sirkel (2)

5.3 BORT is ‘n trapesium. (2)

[6]

Vraag 6

Gegee: 5�: �M = 5: 4DE5�:�I � 5:2

S is die middelpunt van AQ

6.1 Bewys dat �. = 2OI (8)

6.2 As I=||MP, bepaal 5P:P. (6)

[14]

Vraag 7

Reghoek DEFK word binne-in reghoekige ∆ABC getrek.

Bewys dat:

7.1 ��. �� = �#. �= (4)

7.2 �#: #� = �#: $� (4)

7.3 =$: #� = �#: $� (1)

7.4 � ��

= �"�!

(3)

[12]

Vraag 8

ABOC is ‘n vlieër met �� = �� = 90°

8.1 Waarom is ∆,��|||∆,��? (2)

8.2 Voltooi:

8.2.1 ,� =. . .× …

8.2.2 �� =. . .× …

8.2.3 �� =. . .× … (3)

8.3 Bewys dat �R

S R = ��S

(3)

8.4 Bewys dat ,� − ,� = ,�. �� (2)

8.5 As ,� =

�� = 2, bewys dat �� = √2. ,� (2)

[12]

GEMENGDE OEFENINGE

1. In die diagram is TBD ‘n raaklyn aan sirkels BAPC en BNKM by B.

AKC is ‘n koord van die groter sirkel en ook ‘n raaklyn aan die kleiner sirkel by K.

Koorde MN en BK sny by F. PA word verleng na D.

BMC, BNA en BFKP is reguitlyne.

Bewys dat:

a) MN ǁ CA

b) ∆=J4 gelykbenig is

c) ::@

= VV"

d) DA is ‘n raaklyn aan die sirkel deur

punte A, B en K.

2. In die onderstaande diagram word koord BA en raaklyn TC van sirkel ABC verleng om in R

te sny. BC word verleng na P met RC=RP. AP is nie ‘n raaklyn nie.

Bewys dat:

a) ACPR ‘n koordevierhoek is.

b) ∆��|||∆I5�

c) I� = " .G��"

d) I�. �� = I�. ��

e) Bewys vervolgens dat I� = I�. I�

3. In die diagram sny sirkels ACBN en AMBD

by A en B.

CB is ‘n raaklyn by die groter sirkel by B.

M is die middelpunt van die kleiner sirkel.

CAD en BND is reguitlyne.

Laat ��6 = 2

a) Bepaal die grootte van �� in terme van 2.

b) Bewys dat:

i) CB ǁ AN

ii) AB is ’n raaklyn aan sirkel ADN.

4. In die diagram is O die middelpunt van sirkel ABCD.

DC is verleng om sirkel BODE in punt E te sny.

OE sny BC by F. Laat #� = 2.

a) Bepaal �� in terme van 2.

b) Bewys dat:

i) BE=EC

ii) BE NIE ‘n raaklyn

aan sirkel ABCD is nie.

5. In die diagram sny mediane AM en CN van ∆�� by O.

BO word verleng om AC in P te sny.

MP en CN sny in D.

ORǁMP met R op AC.

a) Bereken, met redes, die numeriese waarde van W�W"

.

b) Gebruik �,: �J = 2: 3, om die numeriese waarde van G@@"

te bereken.

6. In die diagram is AD die middellyn van sirkel ABCD.

AD is verleng om raaklyn NCP in P te sny.

Reguitlyn NB is verleng om Q en AC in M te sny, met Q op reguityn ADP.

AC ⏊NQ at M.

a) Bewys dat NQ ǁ CD.

b) Bewys dat ANCQ ‘n koordevierhoek is.

c) i) Bewys dat ∆5��|||∆5��.

ii) Voltooi vervolgends: 5� = ⋯

d) Bewys dat �� = ��. 4�

e) As dit verder gegee is dat PC=MC, bewys dat

1 − VR

"R = �@.�@"�.W

OPLOSSINGS VAN GEMENGDE OEFENINGE

1. a) �� = J� raaklyn koord

�� = ��

∴ J� = ��

∴ J4||�� ooreenk ∠e =

b) =� = J� verw ∠e =

=� = 4� raaklyn koord

∴ ∆=J4 is isosceles

c ) =�9 = 4� verw ∠e

4� = ��6 ∠e in dies segm

��6 = ��6 ∠e in dies segm

∴ =�9 = ��6

∴ 4=||�5 verw ∠e =

∴ WW�

= ::@

lyn || een sy van ∆

But WW�

= VV"


∴ ::@

= VV"

d) ��6 = ��6 ∠e in dies segm

��6 = �� gelyk koorde onderspan gelyke ∠e

∴ ��6 = ��

∴ �� is ‘n raaklyn aan die sirkel deur A, B en K

2. a) ��6 = �5�I ∠e teenoor gelyke sye

��6 + �� = �� + �� buite ∠ van ∆

�� = �� raaklyn koord

∴ ��6 = ��

∴ �� = �5�I beide = ��6

ACPR is ‘n koordevierhoek (buite ∠v kvh)

b) In ∆�� en ∆I5�:

5� = �� ∠e in dies segm

= �� bewys in 2 a

∴ �� = 5�

�� = �I�5 buite ∠van kvh

�� 6 3de ∠ van∆ ∴ ∆��|||∆I5�∠∠∠

c) G@

" �

G�

"� uit 2 b

I5 �" .G�

"� but I5 = I�

∴ I� = " .G�"�

d) In ∆I�� en ∆I��:


I� is common

I�� = I�� 3de hoek

∴ ∆I��|||∆I��∠∠∠

�"

" �

G"

G ∆Y|||

I�. �� = I�. ��

e) " G@

= "�G�

uit 2. b)

" G"

= "�G�

RC=RP

�� = " .G�G"

From 2.d) �� = G"." G

∴ " .G�G"

= G"." G

∴ I� = I�. I�

3. a) �� = ��6 = 2 ∠e teenoor gelyke sye

J� = 180° − 22 som ∠e van of ∆

∴ �� = 22

b. i) �� = V�Z

∠ by middelpunt =2x∠op omtrek

� 90° − 2 �� 180° − (90° − 2 + 22) som ∠s of ∆ � 90° − 2 4� � �� 90° − 2 buite ∠van kvh

∴ �� 4�

∴ ��||�4 ooreenk ∠e

b. ii) �� = �� = 22 raaklyn koord

�� = �� verw ∠e

�� = ��

∴AB is a raaklyn ∠ts lyn&koord

4. a) ��6 � #� � 2 ∠e in dies segm

��6 � �� 2 ∠e teenoor = sye

�,�� 180° − 22 som ∠e van ∆

�� = 90° − 2 ∠ by middelpunt =2x∠byomtrek

b. i) �� 90° − 2 buite ∠van kvh

$� � 180° − (2 + 90° − 2) som ∠e van ∆

= 90°

In ∆�#$ en ∆�#$:

$� = $� = 90° ∠eoprgt lyn

BF = FC

FE is common

∆�#$ ≡ ∆�#$ s∠s

BE = EC ∆D ≡

b. ii) �� = 90° − 2 som ∠e van ∆

∴ �� = ��

∴ BE is not a raaklyn c�� + �� ≠ ��e

5. a) P is middelpunt van ‘n C mediane samelopend

AB||PM midpt stelling

In ∆�4�:

W�W"

= V "

= �@�"


= V V

=

b) In ∆�J5:

�SSV

= SVSV

G@@"

= G@�@

BP is ‘n mediaan

= SV�V


= SV6SV

= 6

6. a) �� = 90° ∠ in semi ⊙

J� = 90° AM⏊NM

∴ 4M||�� ooreenk ∠e=

b) �� = 4� || lyne, ooreenk ∠e


= 4�

∴ ANCQ is a kvh ∠e onderspan deur dies lynsegm

c) i) In ∆5�� en ∆5��:


5� is common

�� = ��5 3de ∠

∴ ∆5�� ||| ∆5�� ∠∠∠

c) ii) 5� = �5. �5

d) In ∆4�� en ∆��:

4� = �� ∠e in dies segm

= �� ∠e in dies segm

��9 = �� raaklyn koord

= �� ∠e in dies segm

�� = �� 3de ∠ ∴ ∆4�� ≡ ∆�� ∠∠∠

∴ "

W �

"�

W

�� . 4�

e) 1 − VR

"R = "Rg VR

"R

�V"R

"R Pyth.

�@"R

"R

��@.�@"�.W

euklidiese meetkunde graad 10 tot 12 (kabv) hoek by die middelpunt van ‘n sirkel wat onderspan...

Documents