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オペレーションズ・リサーチ第2回

AHPの基礎

社会情報特講Ⅲ

教室変更

4月 9日(月) 第1回ガイダンス4月16日(月) 第2回講義

以下毎週月曜日3講講義(毎週210室)

(注)受講生が予想を大きく超えたので、実習室は使用しません。

社会情報特講Ⅲ 2

先週の感想からA

• AHPやゲーム理論の学術問題に対し数式を用い

て具体的解決を行うことで、今まで勉強した事柄とは異なるアプローチで学べることに期待する。

• オペレーションズリサーチ(OR)について全くの素人なので、まずORについて学ぶきっかけに、この講義がなると良い。ORは社会人になった後も自分の強みにしたい。

• 社会情報入門Ⅱで加地先生がORを軽く教えてく

れたが、問題に対する解決策にハッとさせられて興味深かったのでもっと深く学べたらなと思う。

3社会情報特講Ⅲ

先週の感想からB

• 社会情報学科で一番大事な教科と聞いたので基本をしっかり学びたいと思う。

• 卒論テーマを数パターン考えているが、そのどれもが社会情報の科目に関わる。ORのシラバスを読ん

だときその内容のどれもが調べたいテーマに関連するのでこの講義を通して自らの研究を進めたい。

• 数学を学ぶ意味が中学からずっとわからず勉強する気も起きなかった。この講義で数学は実学であるという認識を持ちこれからの生活に役立てるとともに勉強のモチベーションを上げていきたい。


先週の感想からC

• 先生がORに興味を持ったきっかけは何ですか？

• 先生は日常的にORにどれくらいの頻度で活用しているか。また実際にＯRを使って解決した例を教えてほしい。

• わからないことがあったら先生に質問してよいか。

• プリントなどにレジュメをまとめていただけるとありがたい。

• 私語がうるさかったら注意お願いします。

• 大堀先生のように他大学の教授に教えてもらう機会はあまりないので大切にしたいと思う。


先週の感想からD

• 親の実家が伊達市なので勝手に親近感を持った。都市と田舎が混ざっている感じで良い街だと思う。

• 先生は野球見ますか？ちなみに私は広島ファンです‼

• 大学時代何に熱中していたか教えて下さい。

• 学生時代の趣味を知りたいです。

• 好きな食べ物は何ですか？

• ひげに黒いところと白いところがあるのは自然とですか？


オペレーションズ・リサーチの予定(教室は毎週210室)

第2,3,4回 4/16,23,5/7：AHPの基礎(複数の代替案から合理的最善案を選ぶ)

第5,6,7回 5/14,21,28 ：ゲームの理論の基礎(対立者がいる場合のお互いを考えた決断)

第 8, 9回 6/4,11 ：日程計画法の基礎(作業順序のもと最適日程計画の立案)

第10,11,12回6/18,25,7/2：線形計画法の基礎(連続変数のもと線形最適問題を解く)

第13,14,15回7/9,16,23 ：組み合せ最適化の基礎(離散変数のもと線形最適問題を解く)


８．AHP（物事を決めるには）

• 生活または仕事をする上で，いくつかの案の中から一つを選択し、決断を迫られる場面がある。

• 公共政策、会社経営、家計の切り盛りなど、あらゆる場面に現れる。

• ある状況において複数の代替案から合理的に最善策を決める意志決定は私達にとって欠かせない。


8.1 いくつかの案から一つを選ぶ

【例題8.1】

• 美人の祥子さんにはボーイフレンドが、太一，務，隆

文の３人いる。

• そろそろ結婚しようと思うが３人はそれぞれ長所と

短所がある。

• 彼女は容姿，人柄，所得の３つに着目する。

• 彼女は誰を結婚相手として選ぶとよいか。

• この問題の難しさは，評価尺度が勘やフィーリング

などの曖昧な点を含むことである。


8.2a AHPで求めてみよう

• T.L.Saatyはこの問題に対し合理的に評価す

る方法AHPを開発・提案した。

• AHP（Analytic Hierarchy Process：階層化

意志決定法）である。

• AHPでは問題を評価基準と代替案の階層図

を描く。

• 直感的な2要素一対比較の積み重ねを基に大

局的判断をする。


図8.1 例題8.1の階層図


8.2b AHPの階層とは

• AHPの構造は３レベルからなる。

• 第一段階は問題であり、評価観点（評価項目）を求める。

• 第二段階は、どの評価項目が重要かを項目間一対比較により各項目の重要性を求める。

• 第三段階は、評価基

準の重要性から代替案

から候補を決定する。


8.2c AHPで求めてみよう

• 例題8.1を解きながらAHPを学ぶ。

• 様々な領域で見られる「複数の代替案から一つを選ぶ問題」はAHPで解ける。

• 身近な問題から国家政策，会社経営の問題で利用できる便利なツールである。

• AHPのモデル化により問題が構造化され，問題に対して理解が進む。

• AHPは，問題解決に対する説明性が高い問題解決手法である。


8.2.1a 一対比較表をつくる

• 評価項目の相対的重要性は、全項目の全体比較よりも、2項間比較により全体関係を導出するのが有効である。

• これを一対比較と呼び，AHPで採用する。

• 例題8.1では，評価項目として，「容姿」，「人柄」，「所得」の３つである。

• この中から２項間の比較を行うが、始めに「容姿」と「人柄」の重要さを一対比較する。


8.2.2 一対比較の規則

• 「容姿」と「人柄」の一対比較は次規則で行う。– 「容姿」と「人柄」の重要度が「同じ」なら，１

– 「容姿」が「人柄」より「やや重要」なら，３

– 「容姿」が「人柄」より「重要」なら，５

– 「容姿」が「人柄」より「かなり重要」なら，７

– 「容姿」が「人柄」より「絶対に重要」なら，９

• 逆に「人柄」から見た一対比較値は逆数。• 「容姿」が「人柄」より「重要」なら７で、「人柄」が「容姿」より「重要でない」となり、一対比較値は１／７となる。


8.2.1c 祥子の評価項目の一対比較

• 表のマス目をセル、横行縦列とよぶ。(行,列)の順で位置を決める。

• 左の一対比較表は「容姿」が「人柄」よりかなり重要なので(容姿,人柄)セルに7が入る。

• 逆に(人柄,容姿)セルに逆数1/7が入る．

• （容姿,容姿)等同じもの(対角部分)の重要性は1が入る．

容姿

人柄

所得

容姿 1 7 5

人柄 1/7 1 1/3

所得 1/5 3 1

表8.1 祥子の評価項目の一対比較表


8.2.2a 評価基準の重要度

• 評価基準の一対比較表（下表）に基づき評価基準の重要度（ウェイト）を計算する。

• 重要度とは，評価項目「容姿」，「人柄」，「所得」の重要性を数値で表したもの。

• 重要度の計算法には、主に固有値法と幾何平均法がある。

• 両者の値はほぼ等しくどちらで

もよいが、より簡便な幾何平均

法を用い重要度計算を行う。


• 下表の評価基準の一対比較表に基づき各評

価項目の重要度を幾何平均法で計算する。

• 「容姿」の幾何平均は「容姿」行の一対比較値(1,7,5)の積の3乗根（1×7×5）1/3 となる。

【注】xn=aでxをaのn乗根a1/nと呼ぶ。

a1/nはExcelで=a^(1/n)と書く。

• 他行も同様に最後に行の幾

何平均の総和を求める。

8.2.2b 評価基準の幾何平均の求め方


8.2.2c 例題8.1の評価基準の幾何平均

幾何平均

• 容姿（1 × 7 × 5 ）1/3 = 3.27

• 人柄（1/7 × 1 × 1/3）1/3 = 0.36

• 所得（1/5 × 3 × 1）1/3 = 0.84

• 幾何平均の総和

3.27 + 0.36 + 0.84 = 4.48


• 重要度は３項目の幾何平均を正規化する。

• 正規化は重要度の和が１になるようにする。

• 項目の幾何平均を合計で割り重要度とする。

• 「容姿」の重要度は，幾何平均3.27を合計

4.48で割ると0.73になる。

• 「人柄」「所得」も同様で祥子さんは「容姿」重視で，次に「所得」を重視

し，「人柄」はあまり重

視しない。

8.2.2d 評価基準の重要度


8.2.2e 例題8.1の評価基準の重要度

各項目の重要度

• 容姿 3.27 / 4.48 = 0.73

• 人柄 0.36 / 4.48 = 0.08

• 所得 0.84 / 4.48 = 0.19


好きなスポーツ選手(その1)

大谷翔平

• 平成25年4月日本ハムファイターズ入団

• 平成30年4月大リーグ・エンゼルス入団現在24才


大谷翔平のポジション

２刀流

投手(先発)＋

野手(主にDH)


大谷翔平の成績

所属投手打率(本塁打)--------------------------------------------------1年目日ハム 3勝0敗 .238( 3)

2年目日ハム 11勝4敗 .274(10)

3年目日ハム 15勝5敗 .202( 5)

4年目日ハム 10勝4敗 .322(22)

5年目日ハム 3勝2敗 .286( 8)

6年目エンゼルス 2勝0敗 .367( 3)

(4月15日現在)


大谷君の性格1

1 今までの選手にない性格？個人スポーツをしている雰囲気がする選手。ス

トイックで趣味が野球。野球だけを取り組む真

面目な性格。まさに見た目と同じ。

2 意外に昭和っぽい？考え方は今どき感じ方は昭和的。食うか食わ

れるかの悔しさの出し方が肉食。今日やられ

たら終わりの感じ。怒ると監督話を聞かず、よ

り試合出たい・交代したくないなど我儘だ。


大谷君の性格2

3 真面目な性格エピソード年棒3億+スポンサ料も稼ぐが、お金は両親が

管理し小遣いは月10万。趣味には使わず野球

が趣味。仲間の夕食誘いも飲酒だと断る。

4 チキンな性格？米球団勧誘で名門ヤンキースは侮辱を感じ新

聞は「チキンだ。大都市を恐れた」と書いた。お

金やビックネームに釣られない。

5 生意気な性格？先輩を平気でイジり小ばかにする。生意気でい

たずら好き。チームメートと良好な関係。社会情報特講Ⅲ 27

8.2.3 代替案を選ぶ

• 代替案の中からどの候補を選ぶかを決める。• 例題8.1では評価基準として「容姿」，「人柄」，「所得」がある。

• 「容姿」，「人柄」，「所得」毎に各代替案の優劣を求める。

• 優劣決定のために，評価基準毎に各人の一対比較表を作成し重要度を決める。

• それらの重要度と先の評価基準の重要度から最終候補者を決める。


8.2.3a 代替案の選定例

• 代替案3人を「容姿」の点から比べる。

• 2人ずつ「容姿」「人柄」「所得」に関し一対比較する。

• 「容姿」は代替案「太一」と「務」を比べ「太一」の方がイケメンなので表の(太一,務)=5とする。．

• 同様に(太一,隆文)=３とする。

• 「太一」の幾何平均は行値の

積の３乗根で(1×5×3）1/3=2.47

• 同様に、「務」と「隆文」の幾何

平均は0.58，0.69なのでその合

計は、 2.47+0.58+0.69=3.7429社会情報特講Ⅲ

8.2.3b 「容姿」の一対比較表と重要度

太一務隆文幾何平均重要度太一 1 5 3 2.47 0.66

務 1/5 1 1 0.58 0.16

隆文 1/3 1 1 0.69 0.18

幾何平均の総和 3.74

30

• 幾何平均の総和から，「容姿」に関する各人の重要度を「=幾何平均/総和」で求める。

• 太一の場合、重要度(太一)=2.47/3.74=0.66、となり同様に、務は0.16、隆文は0.18となる。


8.2.3c 「人柄」の一対比較表と重要度

太一務隆文幾何平均重要度

太一 1 1/7 1/3 0.36 0.08

務 7 1 5 3.27 0.73

隆文 3 1/5 1 0.84 0.19


• 幾何平均の総和から，「人柄」に関する各人の重要度を「=幾何平均/総和」で求める。

• 太一は0.36/4.48=0.08、務は0.73、隆文は0.19となる。


8.2.3d 「所得」の一対比較表と重要度

太一務隆文幾何平均重要度太一 1 3 1/3 1.0 0.26

務 1/3 1 1/5 0.41 0.10

隆文 3 5 1 2.47 0.64


32

• 幾何平均の総和から，「所得」に関する各人の重要度を「=幾何平均/総和」で求める。

• 太一は1.0/3.87=0.26、務は0.10、隆文は0.64となる。


• 「祥子」の重要度は、

(容姿,人柄,所得)=(0.73, 0.08, 0.19)

• 「太一」は、(容姿,人柄,所得)=(0.66, 0.08, 0.26)

• 「務」は、 (容姿,人柄,所得)=(0.16, 0.73, 0.10)

• 「隆文」は、(容姿,人柄,所得)=(0.18, 0.19, 0.64)

• 各候補の総合評価は「祥子」との重要度の積和。

「太一」0.73×0.66+0.08×0.08+0.19×0.26=0.54

「務」 0.73×0.16+0.08×0.73+0.19×0.10=0.19

「隆文」0.73×0.18+0.08×0.19+0.19×0.64=0.27

8.2.3e 例題8.1の総合評価計算


8.2.3f 例題8.1の総合評価

【総合評価の計算】「太一」0.73×0.66+0.08×0.08+0.19×0.26=0.54

「務」 0.73×0.16+0.08×0.73+0.19×0.10=0.19

「隆文」0.73×0.18+0.08×0.19+0.19×0.64=0.27

34

容姿人柄所得総合評価

評価基準 0.73 0.08 0.19

太一 0.66 0.08 0.26 0.54

務 0.16 0.73 0.10 0.19

隆文 0.18 0.19 0.64 0.27


【テキストp116課題8.2】

コンパクトカーの購入を検討している。候補

としてA，B，Cがある。評価点は、スタイル、

走行性、安全性の３つであり、評価基準、基

準毎の各車に関する一対比較表を以下に示

す。幾何平均法を用いた以下のAHP法の空

欄を埋め最適車を選定せよ。

【今日の課題】


A B C

A 1 9 5

B 1/9 1 1/5

C 1/5 5 1

【課題8.2のデータ】

36

スタイル走行性安全性スタイル 1 1/3 5

走行性 3 1 9

安全性 1/5 1/9 1

• 評価基準

• スタイル


A B C

A 1 1/7 1/3

B 7 1 5

C 3 1/5 1

【課題8.2のデータ続き】

37

• 走行性

• 安全性 A B C

A 1 1/9 1/5

B 9 1 5

C 5 1/5 1


【STEP 1】各基準の幾何平均を求める。

スタイル：(1×1/3×5)(1/3) =1.19

走行性： (3× 1 ×9)(1/3) =3

安全性： (1/5×1/9×1)(1/3) =0.28

【STEP 2】評価基準の幾何平均の総和：

幾何平均の総和=1.19+3+0.28 = 4.47

【STEP 3】評価基準を総和を割り評価基準重要度：

スタイル：1.19/4.47=0.265

走行性： 3/4.47 =0.672

安全性： 0.28/4.47=0.063

【評価基準の重要度】


【STEP 1】各車の幾何平均を求める。

A車：(1×9×5)(1/3) =3.56

B車：(1/9×1×1/5)(1/3) =0.28

C車：(1/5×5×1)(1/3) =1.0

【STEP 2】各車の幾何平均の総和：

幾何平均の総和=3.56+0.28+1.0 = 4.84

【STEP 3】評価基準を総和を割り各車重要度：

A車：3.56/4.84 =0.735

B車：0.28/4.84 =0.058.

C車：1.0//4.84 =0.207

【スタイルに関する各車重要度】


【STEP 1】各車の幾何平均を求める。

A車：(1×1/7×1/3)(1/3) =0.363

B車：(7×1×/5)(1/3) =3.271

C車：(3×1/5×1)(1/3) =0.843

【STEP 2】各車の幾何平均の総和を求める。

幾何平均の総和=0.363+3.271+0.843 = 4.477


A車：0.363/4.477 =0.081

B車：3.271/4.477 =0.731.

C車：0.843/4.477 =0.188

【走行性に関する各車重要度】


【STEP 1】各車の幾何平均( (1/45)^(1/3)=0.281, 45(^1/3)=3.557 )

A車：B車：C車：

【STEP 2】各車の幾何平均の総和を求める。

幾何平均の総和=


A車：

B車：

C車：

【安全性に関する各車重要度】


【評価基準重要度】

スタイル：0.265，走行性：0.672，安全性：0.063

【各基準に関する各車の重要度】、

［スタイル］A：0.735，B：0.058，C：0.207

［走行性］ A：0.081, B：0.731, C：0.188

［安全性］

【最終的な総合評価値の計算】

【AHP法で選んだ最適な車】

【評価基準と各車の重要度まとめ】

42

最適車=


今日の課題・感想

学生番号と氏名

今日の講義・課題の感想

講義で分ったこと

講義で難しかったこと

課題で難しかったこと

その他(何でも)


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