UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIADEPARTAMENTO DE FSICAGRUPO DE ENSINO DE FSICA

FSICA MODERNAJoecir PalandiDartanhan Baldez FigueiredoJoo Carlos DenardinPaulo Roberto Magnago

Capa: Naieni FerrazSANTA MARIA - RS2010

PREFCIOOs professores do Grupo de Ensino de Fsica da Universidade Federal deSanta Maria (GEF-UFSM) orientam acadmicos de licenciatura nas disciplinas deEstgio Supervisionado em Ensino de Fsica e desenvolvem atividades de pesquisaem ensino e de extenso, procurando contribuir para o aperfeioamento dosprofessores do ensino mdio. As atividades de extenso envolvem emprstimo dematerial instrucional para atividades experimentais, apresentao de cursos, oficinas epalestras e elaborao de cadernos didticos.De modo geral, a necessidade que os professores do ensino mdio tm deeducao continuada no fica satisfeita devido dificuldade de acesso a atividadespresenciais como oficinas e cursos de atualizao e tambm devido a pouca oferta dematerial de apoio, como cadernos didticos e artigos de divulgao. Alm disso, entreesses professores, o livro texto goza de excessiva importncia, determinando aseqncia dos contedos a serem trabalhados em sala de aula e o prprio mtodo deensino, que privilegia a soluo de exerccios e problemas numricos, como se aaplicao coerente das expresses matemticas pudesse levar, por si mesma, aprendizagem significativa. Por outro lado, os conhecimentos de Fsica so produzidospor meio de atividades tericas e experimentais integradas e, por isso, a prticadocente baseada apenas no trabalho com o livro texto apresenta a disciplina de modoparcial e incompleto. Esses trs fatores representam importantes limitaes ao ensinode Fsica na escola de ensino mdio.O GEF-UFSM defende que uma melhor compreenso dos contedos alcanada quando o professor privilegia a discusso conceitual aprofundada dosprincpios e leis fundamentais e de como eles operam no interior dos fenmenos,trabalhando paralelamente a notao matemtica, o vocabulrio, as representaesgrficas, as escalas e as propores. Essa compreenso no alcanada pelo ensinocentrado no professor, que privilegia a soluo de exerccios e problemas numricos eque conduz atividades experimentais isoladas, apenas para reproduzir fenmenos oucomprovar o valor numrico de uma ou outra constante, e sim atravs do processoque se estabelece pelo dilogo professor-aluno, construdo a partir dos conhecimentosque os alunos j dominam. Nesse sentido, o GEF-UFSM defende uma abordagem aoensino de Fsica em que a experimentao acompanhe a seqncia lgica doscontedos, com uma estratgia de integrao teoria, motivando o dilogo em sala deaula, apoiando a discusso conceitual e vinculando-a a elementos concretos naobservao.Este caderno foi elaborado para dar ao professor uma viso mais consistente erigorosa do paradigma da Fsica, ajudando-o na elaborao de planejamentos em queos contedos sejam distribudos ao longo da carga horria disponvel de modo maiscondizente com sua importncia relativa, com estratgias de ensino mais prximas domodo de fazer cincia. O planejamento das atividades didticas no deve ser umatarefa meramente burocrtica, uma simples cpia do sumrio do livro texto, semqualquer vnculo com a importncia relativa dos contedos da disciplina em questo,com a carga horria disponvel, com os conhecimentos que seus alunos j dominam ecom a realidade do meio em que a escola est inserida. Um planejamento bemexecutado e constantemente reavaliado pode ser um instrumento til para que oprocesso de ensino-aprendizagem se estabelea e seja efetivo. Este caderno foielaborado para ser til tambm no trabalho direto com os alunos em sala de aula e,para isso, incorpora discusses detalhadas de um grande nmero de exemplos eprope exerccios de aplicao.O GEF-UFSM agradece as crticas e sugestes que possam levar essecaderno mais facilmente aos seus objetivos.

SUMRIO

Introduo

1

I. RADIAO DE CORPO NEGRO

3

I.1. Espectro Eletromagntico

3

I.2. Lei de Radiao de Planck

5

I.3. Lei do Deslocamento de Wien

10

I.4. Lei de Stefan-Boltzmann

11

II. RADIAO ELETROMAGNTICA COMO ONDA

15

II.1. Radiao Eletromagntica

15

II.2. Polarizao por Reflexo

16

III. RADIAO ELETROMAGNTICA COMO PARTCULA

19

III.1. Efeito Fotoeltrico

19

III.2. Explicao do Efeito Fotoeltrico na Teoria Eletromagntica Clssica

22

III.3. Explicao do Efeito Fotoeltrico na Teoria Quntica

24

III.4. Experimento Simples

26

III.5. Efeito Compton

27

III.6. Explicao do Efeito Compton na Teoria Eletromagntica Clssica

27

III.7. Explicao do Efeito Compton na Teoria Quntica

28

IV. O ELTRON COMO PARTCULA

33

IV.1. Primeiras Medidas da Carga do Eltron

33

IV.2. Experimento de Thomson

34

IV.3. Experimento de Millikan e Fletcher

36

V. O ELTRON COMO ONDA

39

V.1. Difrao de Bragg

39

V.2. Experimento de Davisson e Germer

41

V.3. Relaes de de Broglie

42

VI. DUALIDADE E COMPLEMENTARIDADE

45

VI.1. Dualidade Onda-Partcula

45

VI.2. Princpio da Complementaridade

46

VI.3. Princpio da Incerteza de Heisenberg

47

VII. MODELO ATMICO DE BOHR

51

VII.1. Modelo de Thomson

51

VII.2. Experimento de Rutherford

52

VII.3. Modelo de Bohr Para tomos com Um Eltron

53

VII.4. Diagrama de Nveis de Energia para o tomo de Hidrognio

56

VII.5. Experimento de Franck-Hertz

58

VII.6. Espectros Atmicos de Emisso e de Absoro

60

VII.7. Sries Espectroscpicas

61

VII.8. Ondas Estacionrias no tomo de Bohr

63

VII.9. Principio de Correspondncia

64

VIII. ALM DO MODELO DE BOHR

67

VIII.1. No Podemos Falar em rbitas Eletrnicas

67

VIII.2. Largura dos Nveis de Energia

68

VIII.3. Modelo Quntico para tomos com Um Eltron

70

VIII.4. Orbitais Atmicos

72

IX. SPIN

75

IX.1. Momento de Dipolo Magntico

75

IX.2. Partcula com Momento de Dipolo Magntico em Campo Magntico

76

IX.3. Magnton de Bohr

78

IX.4. O Experimento de Stern-Gerlach

80

IX.5. Momento Magntico de Spin

81

X. SLIDOS

85

X.1. Slidos Cristalinos

85

X.2. Bandas de Energia

88

X.3. Semicondutores

90

X.4. Luminescncia e Fosforescncia

92

XI. PROPRIEDADES MAGNTICAS DA MATRIA

95

XI.1. Diamagnetismo

95

XI.2. Paramagnetismo e Ferromagnetismo

97

XII. LASERXII.1. Emisso Estimulada

9999

XII.2. Inverso de Populao

100

XII.3. Laser de Rubi

101

IntroduoA Fsica Clssica inadequada para descrever os fenmenos em escalamicroscpica. Podemos ver isto considerando o modelo atmico no qual eltrons semovem ao redor do ncleo em rbitas circulares. Segundo a Mecnica Clssica, umapartcula em movimento circular tem acelerao centrpeta e, segundo a TeoriaEletromagntica Clssica, uma partcula carregada, em movimento acelerado, emitecontinuamente radiao eletromagntica. Como esta radiao transporta energia, ocontedo energtico da partcula diminui. Dessa forma, os eltrons devem perderenergia at colidirem com o ncleo atmico. Portanto, segundo a Fsica Clssica, ostomos no so estveis. A experincia cotidiana de permanncia dos objetos indica ocontrrio. Esse exemplo j mostra a necessidade de outra teoria para a descrio dosfenmenos atmicos, fenmenos que ocorrem com partculas de massa muitopequena, que se movem em regies muito pequenas do espao.A Fsica Quntica a teoria fundamental que descreve os fenmenos emescala microscpica. Como essa teoria se baseia em resultados experimentaisderivados de eventos que, em sua grande maioria, esto alm do alcance dossentidos humanos, no de surpreender que ela contenha conceitos e idiasestranhas experincia cotidiana. Um desses conceitos o de dualidade ondapartcula. O eltron, por exemplo, deve ser considerado como partcula, noexperimento de Thomson, que permite determinar sua razo carga/massa, e comoonda, no experimento de Davisson e Germer, que permite detectar seus efeitos dedifrao e interferncia.Os conceitos de partcula e onda provm da intuio que os seres humanosdesenvolveram ao longo do tempo, pela experincia cotidiana com o mundo dosfenmenos fsicos em escala macroscpica. Segundo essa intuio, uma partcula secomporta como um projtil. Ela pode ser localizada num ponto do espao, pode serdesviada e perde ou ganha energia, num certo ponto do espao, pela coliso comoutra partcula e no pode exibir qualquer efeito de interferncia ou difrao. Umaonda se comporta como a perturbao peridica na superfcie da gua. O seucontedo energtico est distribudo de modo contnuo no espao e no tempo e elano pode ser localizada num ponto do espao. Uma onda pode ser difratada e, aocruzar com outra onda, no desviada, mas exibe efeitos da interferncia. A FsicaClssica incorpora essa intuio humana, de modo que os conceitos de partcula eonda so considerados como sendo mutuamente exclusivos. Em termos gerais, aestranheza dos conceitos qunticos, como o de dualidade onda-partcula, deriva dofato de utilizarmos, na descrio dos fenmenos em escala microscpica, apesar detudo, certo nmero de conceitos que se revelaram apropriados para a descrio dosfenmenos em escala macroscpica.

1

2

CAPTULO IRADIAO DE CORPO NEGRO

Uma amostra metlica como, por exemplo, um prego, em qualquertemperatura, emite radiao eletromagntica de todos os comprimentos de onda. Porisso, dizemos que o seu espectro contnuo.Se a amostra est na temperatura ambiente, as radiaes eletromagnticasemitidas na faixa do visvel transportam to pouca energia que no sensibilizam osolhos humanos. Se a temperatura da amostra elevada at aproximadamente 850 K,apenas as radiaes eletromagnticas emitidas na faixa que corresponde corvermelha tm energias suficientes para sensibilizar os olhos humanos e a amostraparece ter uma cor vermelha escura. medida que a temperatura da amostraaumenta, aumenta tambm, gradativamente, a quantidade de energia das radiaeseletromagnticas de todos os comprimentos de onda. A amostra apresenta, ento, aosolhos humanos, depois da cor vermelha escura, em seqncia, as cores vermelhaviva, laranja, amarela, azul e, finalmente, branca.Espectros contnuos podem ser produzidos por slidos, lquidos ou gasesincandescentes, estes ltimos mantidos a presses muito altas. A temperatura dafonte pode ser determinada pela anlise do espectro.A Mecnica Quntica nasceu em 1900, com um trabalho de Planck queprocurava descrever o espectro contnuo de um corpo negro.I.1. Espectro EletromagnticoAs equaes clssicas de Maxwell, que governam o campo eletromagntico,aplicadas a uma regio do espao em que no existem cargas livres nem correnteseltricas, admitem uma soluo ondulatria, com o campo eltrico E e o campomagntico B variando harmonicamente, um perpendicular ao outro e, ambos,perpendiculares direo de propagao, definida pelo vetor c, que representa avelocidade da onda (Fig.1).

O mdulo da velocidade de propagao das ondas eletromagnticas no vcuo tomado, por definio, como sendo exatamente:c = 299 792 458 m/s

3

Radiao o processo de transferncia de energia por intermdio de ondaseletromagnticas.A palavra radiao, como definida acima, significa o processo de transfernciade energia por ondas eletromagnticas. Essa palavra tambm usada, na literaturacientfica e no cotidiano, como sinnimo de onda eletromagntica. usual dizer, porexemplo, que o Sol emite radiaes eletromagnticas. Assim, com a mesma palavra,podemos indicar o processo de transferncia de energia por ondas eletromagnticasou as prprias ondas eletromagnticas. Nesse texto, vamos usar a palavra radiaonestes dois sentidos. O contexto deve indicar qual significado estaremos considerandona frase correspondente.As ondas eletromagnticas podem se propagar num meio material e tambmno vcuo. O espectro das ondas eletromagnticas contnuo, isto , existem ondaseletromagnticas de todos os comprimentos de onda. usual dividir o espectro em faixas com limites mais ou menos precisos e, acada faixa, atribuir um nome especial (Fig.2).

Por exemplo, como a retina do olho humano sensvel s ondaseletromagnticas com comprimentos de onda no intervalo aproximado de 0,4 x 106 ma 0,8 x 106 m, essas ondas eletromagnticas recebem, coletivamente, o nome de luz.Esses nmeros no so absolutos porque diferentes pessoas tm retinas comdiferentes sensibilidades e a mesma pessoa tem sensibilidade diferente conforme aidade e o estado de sade de modo geral.

4

As principais faixas (ou regies) do espectro eletromagntico so: raios gama,raios x, ultravioleta, luz, infravermelho, microondas, TV e ondas de rdio FM, ondascurtas, AM e ondas longas. Todas as ondas eletromagnticas transportam energia e tanto maior essa energia quanto menor for o comprimento de onda.Como j dissemos, radiao o processo de transferncia de energia porondas eletromagnticas. Assim, esse processo pode ocorrer tambm no vcuo. Oaumento de temperatura da superfcie da Terra, por exemplo, um efeito das ondaseletromagnticas recebidas do Sol.Um meio material pode ser opaco para ondas eletromagnticas numa faixa doespectro e transparente para ondas eletromagnticas em outra faixa. O vidro comum,por exemplo, transparente luz (radiao eletromagntica visvel) e opaco s ondasda faixa do infravermelho.I.2. Lei de Radiao de PlanckNo apenas o Sol, mas qualquer corpo cuja temperatura Kelvin diferente dezero, emite ondas eletromagnticas.Para discutir o espectro da radiao emitida por um corpo, isto , a energiaemitida por unidade de rea, por unidade de tempo e por unidade de comprimento deonda, vamos supor que temos um bloco a certa temperatura e que, no interior dessebloco, existe uma cavidade. A substncia que forma o bloco no transparente radiao eletromagntica.Os tomos das paredes da cavidade emitem radiao eletromagntica para oseu interior e, ao mesmo tempo, absorvem radiao eletromagntica proveniente dosoutros tomos das paredes. Quando a radiao eletromagntica no interior dacavidade atinge o equilbrio trmico com os tomos das paredes, o contedoenergtico da radiao emitida pelos tomos num dado intervalo de tempo igual aocontedo energtico da radiao absorvida no mesmo intervalo de tempo. Ento, adensidade de energia, que a quantidade de energia da radiao no interior dacavidade por unidade de volume, constante. Isto significa que a densidade deenergia associada radiao de cada comprimento de onda, ou seja, a distribuio deenergia dentro da cavidade bem definida.A distribuio de energia no depende da substncia de que feito o bloco. Naverdade, a distribuio de energia depende apenas da temperatura Kelvin do bloco.Abrindo um pequeno orifcio numa das paredes da cavidade, podemos analisara radiao que escapa por ele. A radiao que escapa uma amostra da radiao nointerior da cavidade e, portanto, tem a mesma distribuio de energia. A radiao queescapa do orifcio chamada radiao de corpo negro. O orifcio o corpo negro.Usualmente, definimos corpo negro como o corpo que absorve toda radiaoque nele incide. Como nada reflete, ele aparece, os nossos olhos, de cor negra e davem o seu nome. Assim como um absorvedor perfeito, um corpo negro tambmum emissor perfeito. Toda radiao que incide no orifcio vinda de dentro da cavidadeatravessa-o e chega ao exterior. Como absorve toda radiao que vem de dentro dacavidade e emite essa mesma radiao para fora, o orifcio um corpo negro.A energia emitida por um corpo negro por unidade de rea, por unidade detempo e por unidade de comprimento de onda, (,T), dada por:

a a (, T ) = 51 exp 2 1 T

1

com:5

a1 = 2hc2 3,75 x 1016 Jm2/se

a2 = hc / kB 1,44 x 102 mK

A expresso acima representa matematicamente a lei de radiao de Planck.Nas expresses para a1 e a2, h representa a constante de Planck, c, o mdulo davelocidade da luz no vcuo e kB, a constante de Boltzmann:h = 6,63 x 1034 Jsc = 3,00 x 108 m/skB = 1,38 x 1023 J/KA Fig.3 mostra os grficos de (,T) em funo do comprimento de onda paraquatro temperaturas diferentes.

Nota HistricaO espectro da radiao da cavidade, isto , o espectro de corpo negro, nodepende da substncia de que feito o bloco no qual existe tal cavidade. Por isso, emum modelo construdo para explicar a produo desse espectro, os irradiadoreselementares, isto , os tomos do bloco, podem ser representados por osciladoresharmnicos simples.Em 1900, Planck mostrou que, para ajustar apropriadamente os dadosexperimentais, ou seja, para obter a expresso que representa o que hoje chamamosde lei de radiao de Planck, a energia de cada oscilador harmnico no poderia terum valor qualquer, mas deveria ter, sim, um valor que fosse mltiplo inteiro darespectiva freqncia de oscilao multiplicada por uma constante universal h (agoraconhecida como constante de Planck):E = nh

(n = 1, 2, 3, ... )6

Em outras palavras, Planck mostrou que a energia dos osciladores deveria serquantizada.Desse modo, um oscilador, vibrando com freqncia , poderia absorver ouemitir radiao eletromagntica desde que a energia dessa radiao eletromagnticafosse algum mltiplo inteiros de h. Como essa radiao se propaga com velocidadede mdulo c no vcuo, devemos ter c = e, ento, possvel escrever a expressoda distribuio de energia em termos da freqncia ou do comprimento de onda.No vamos aqui demonstrar a expresso matemtica da lei de radiao dePlanck. O que nos importa enfatizar o aspecto mais importante do trabalho dePlanck, que a quantizao da energia dos osciladores harmnicos em mltiplosinteiros de h e o que isso implica, que certos conceitos da Fsica Clssica no soadequados para descrever os fenmenos em escala atmica.Quando um oscilador passa de um estado a outro, a menor variao deenergia deve ser h e, por isso, dizemos que h o quantum de energia.No modelo de Planck, a quantizao da energia era atribuda apenas aososciladores harmnicos que representavam os irradiadores elementares, isto , ostomos de que era feito o bloco no qual a cavidade estava inserida, e no radiaoeletromagntica que preenchia a cavidade. Em 1905, para explicar o efeitofotoeltrico, Einstein estendeu o conceito de quantizao prpria radiaoeletromagntica. Vamos ver mais adiante como isso foi feito.Exemplo 1Uma lmpada incandescente formada por um filamento metlico e um bulbode vidro. A passagem de corrente eltrica pelo filamento provoca um aumento na suatemperatura.A temperatura de operao de uma lmpada de 100 W com filamento detungstnio, por exemplo, de cerca de 2800 K. Vamos supor que, nesta temperatura,o espectro da radiao emitida pelo filamento pode ser aproximado pelo espectro deum corpo negro (Fig.4).

Desta forma, podemos ver que, da faixa visvel do espectro eletromagntico, asradiaes que nos parecem verde, azul e violeta transportam uma quantidade deenergia bem menor do que as radiaes que nos parecem amarela, laranja evermelha. Isso faz com que o filamento de tungstnio apresente cor amarela nessatemperatura que estamos considerando.7

Por outro lado, podemos ver tambm que as radiaes emitidas na faixa visveltransportam menos de 5% da energia total e que as radiaes emitidas na faixainfravermelha transportam a maior parte da energia. Por isso, as lmpadasincandescentes so muito pouco eficientes na produo e emisso de luz.Exemplo 2O Sol uma esfera gigantesca de plasma incandescente. O que chamamos deplasma, na Fsica, um gs ionizado, isto , um gs formado por ons de cargapositiva e os eltrons liberados, de carga negativa. A carga eltrica total praticamente nula.O raio solar equivale a aproximadamente 109 vezes o raio terrestre e vale:R = 6,96 x 108 mA Fig.5 representa esquematicamente a estrutura do Sol. Nesta figura, asespessuras das camadas, principalmente da fotosfera, da cromosfera e da coroa, noesto desenhadas em escala.

O ncleo tem raio de 2 x 108 m (cerca de 29% do raio solar), densidademxima de 150 g/cm3 e temperatura de 1,5 x 107 K. Nestas condies, desenvolvemse reaes termonucleares que produzem principalmente neutrinos e radiaeseletromagnticas. As radiaes eletromagnticas transportam a maior parte da energialiberada pelas reaes termonucleares.A camada radiativa tem espessura de 3 x 108 m (cerca de 43% do raio solar),densidade que varia de 20 g/cm3 para 0,2 g/cm3 e temperatura que varia de 7 x 106 Kpara 2 x 106 K. Nessa camada, a energia proveniente do ncleo flui por radiao. Asradiaes eletromagnticas produzidas no ncleo interagem com as partculas dessaregio de modo intermitente e aleatrio. De qualquer modo, as radiaes passamatravs da zona radiativa, sem movimento de matria.8

A camada convectiva tem espessura de 108 m (cerca de 14% do raio solar) etemperatura que varia de 2 x 106 K para 5800K. Nesta camada, a energia provenientedaa camada radiativa flui por correntes de conveco.De nenhuma das camadas mencionadas at agora sai radiao diretamentepara o exterior do Sol em quantidade aprecivel. Por isso, elas no podem serobservadas diretamente.A fotosfera tem espessura de 5 x 105 m (cerca de 0,07% do raio solar) etemperatura de 5800 K. Praticamente toda radiao eletromagntica que sai do Solprovm dessa camada e, por isso, ela considerada como sendo a superfcie solar.Devido s correntes de conveco que ocorrem na camadacamada inferior, a fotosfera seapresenta com aparncia granulada.A cromosfera tem espessura de 2 x 106 m (cerca de 0,3% do raio solar) etemperatura que varia de 5800 K at 25 000 K. Por efeito de sua densidadeextremamente baixa, a quantidade de energia da radiao emitida pela cromosfera muito pequena e, por isso, ela invisvel a olho nu, exceto durante os eclipses solarestotais, quando mostra uma cor avermelhada.A coroa solar a camada mais externa do Sol, tem espessura varivel dealguns raios solares e temperatura de 106 K. Apesar da temperatura muito alta, estacamada invisvel a olho nu porque tem densidade ainda menor do que a densidadeda cromosfera. Contudo, tambm pode ser vista durante os eclipses solares totais.Como dissemos, a temperaturatemperatura da fotosfera de 5800 K e praticamente todaradiao eletromagntica que sai do Sol provm dessa camada. Portanto, a radiaosolar que chega Terra uma amostra da radiao emitida pela fotosfera solar.

A Fig.6 mostra o espectro dessa radiao no topo da atmosfera e ao nvel domar (linhas contnuas) e, para comparao, mostra tambm o espectro da radiao deum corpo negro com a mesma temperatura (linha pontilhada). Podemos ver que umaparte importante da energia solar que alcana a superfcie da Terra transportadapelas radiaes na faixa visvel. Alm disso, a distribuio da energia nesta faixa quase uniforme, exceto no caso das radiaes que nos parecem azul e violeta, cujocontedo energtico bem menor. Por isso, o Sol parece amarelo claro brilhante,quase branco.9

I.3. Lei do Deslocamento de WienPodemos ver, na Fig.3, que, para cada temperatura, existe um comprimento deonda para o qual a energia emitida pelo corpo negro mxima. O comprimento deonda para o qual a energia emitida mxima aumenta com a diminuio datemperatura segundo a lei do deslocamento de Wien:

m =

bT

em que b, a constante de deslocamento de Wien, tem o valor:b = 2,90 x 103 mKExemploComo dissemos acima, no apenas o Sol, mas qualquer corpo cujatemperatura Kelvin diferente de zero, emite radiaes eletromagnticas em todo oespectro. Contudo, a retina dos nossos olhos sensvel apenas s radiaes na faixavisvel, que compreende comprimentos de onda no intervalo aproximado que vai de0,4 x 106 m a 0,8 x 106 m. Quando uma parte importante das radiaes emitidas porum corpo est na faixa visvel do espectro, dizemos que ele est incandescente.A energia emitida por unidade de rea, por unidade de tempo e por unidade decomprimento de onda menor para um corpo real do que para um corpo negro. Noentanto, para o objetivo de entender a cor dos corpos incandescentes, podemos suporque o espectro da radiao emitida pelos corpos reais como o espectro da radiaoemitida por um corpo negro, sem que as concluses sejam invalidadas.

Um corpo negro com temperatura de 850 K emite radiao eletromagnticavisvel apenas na faixa que corresponde cor vermelha (Fig.7). Portanto, se um corporeal tem um espectro como o de um corpo negro, ele emite radiao visvel comintensidade suficiente para que possamos perceber com nossos olhos quando suatemperatura alcana cerca de 850 K. Nesse caso, ele parece ter uma cor vermelhaescura.Para esse corpo negro, o comprimento de onda para o qual a energia emitida mxima, segundo a lei do deslocamento de Wien, :10

m =

b 2,90 10 3 mK== 3,41 10 6 mT850 K

que corresponde radiao infravermelha. A quase totalidade da energia emitida transportada pelas radiaes infravermelhas.Se a temperatura desse corpo aumenta, aumenta tambm, gradativamente, aquantidade de energia das radiaes eletromagnticas de todos os comprimentos deonda. O corpo, depois da cor vermelha escura, apresenta, em seqncia, as coresvermelha viva, laranja, amarela, azul e, finalmente, branca.I.4. Lei de Stefan-BoltzmannA energia emitida por um corpo negro por unidade de rea e por unidade detempo em todos os comprimentos de onda, isto , o fluxo da energia total emitida, proporcional quarta potncia da temperatura Kelvin (lei de Stefan-Boltzmann):(T) = T4em que , a constante de Stefan-Boltzmann, tem o valor: = 5,66 x 108 W / m2 K4O fluxo da energia total emitida por um corpo negro com temperatura T dadopela rea entre o grfico da funo (,T) e o eixo dos comprimentos de onda.ExemploVamos calcular a temperatura mdia da Terra. Para isso, vamos supor que osespectros das radiaes eletromagnticas emitidas pelo Sol e pela Terra soespectros de corpo negro.Usando a lei de Stefan-Boltzmann podemos escrever a quantidade de energiatransportada pelas radiaes solares num intervalo de tempo pequeno como:E = T4 ( 4R2 ) em que T a temperatura Kelvin da superfcie do Sol e R, o seu raio.Podemos pensar que estas radiaes esto contidas numa casca esfrica deespessura dada por s = c, onde c representa o mdulo da velocidade da luz novcuo.As radiaes so emitidas em todas as direes e se propagam com avelocidade da luz. Por isso, com o tempo, a casca esfrica vai se expandindo, massempre com a mesma espessura. Quando a casca esfrica alcana a Terra, a umadistncia d do Sol, ela tem um volume:v = 4d2sEnto, a densidade da energia dentro da casca esfrica deve ser:

11

E =

E T 4 R 2=vcd2

A Terra oferece, radiao solar, uma superfcie efetiva de rea A = r2, emque r o seu raio. Se a Terra se comporta como um corpo negro, absorvendo todaradiao que sobre ela incide, a quantidade de energia que absorve no intervalo :

E abs = E A s =

T 4R 2 r 2 d2

Por outro lado, se a Terra se comporta como um corpo negro, com temperaturaT*, no mesmo intervalo de tempo , pela lei de Stefan-Boltzmann, ela emite aquantidade de energia:Eemit = T*4 ( 4r2 ) No equilbrio, a quantidade de energia emitida igual quantidade de energiaabsorvida. Ento, igualando as duas ltimas expresses, temos:RT* = 2d

1/ 2

T

Com os valores numricos:R = 6,96 x 108 md = 1,49 x 1011 meT = 5800 Kobtemos:T* 280 KAssim, a Terra tem uma temperatura mdia de cerca de 280 K.

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Esse valor foi obtido com a hiptese de que o espectro da radiao emitidapela Terra como o espectro de um corpo negro. A Fig.8 mostra esse espectro.Podemos ver que praticamente todas as radiaes com energia significativa esto nafaixa do infravermelho.

Exerccio 1Uma pessoa veste roupas escuras e outra, roupas claras. Discuta qual delasveste roupas mais apropriadas para um dia em que a temperatura ambiente est bemabaixo da temperatura mdia do corpo humano.

Exerccio 2A temperatura no centro da exploso de uma bomba H chega a 107 K. Calculeo comprimento de onda da radiao eletromagntica associada mxima energiaemitida por unidade de rea, por unidade de tempo e por unidade de comprimento deonda. Identifique a faixa do espectro eletromagntico qual pertence essa radiao.

Exerccio 3Para um corpo negro mantido a certa temperatura, o comprimento de onda daradiao eletromagntica associada mxima energia emitida por unidade de rea,por unidade de tempo e por unidade de comprimento de onda m = 6,5 x 107 m.Calcule o valor de m se for duplicada a energia emitida por esse corpo negro porunidade de rea e por unidade de tempo em todos os comprimentos de onda.

Exerccio 4Deduza a expresso matemtica da lei de radiao de Rayleigh-Jeans a partirda expresso matemtica da lei de radiao de Planck. Para isso, tome o limite .

Exerccio 5Deduza a expresso matemtica da lei de radiao de Wien a partir daexpresso matemtica da lei de radiao de Planck. Para isso, tome o limite 0.

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14

CAPTULO IIRADIAO ELETROMAGNTICA COMO ONDA

As equaes clssicas de Maxwell, que governam o campo eletromagntico,aplicadas a uma regio do espao em que no existem cargas livres nem correnteseltricas, admitem solues ondulatrias. Essas solues ondulatrias descrevemaquilo que chamamos de radiao eletromagntica. O fenmeno de polarizao daradiao eletromagntica s pode ser explicado se ela for considerada como sendouma onda transversal. Portanto, parece no haver qualquer dvida de que a radiaoeletromagntica s pode ser descrita por um modelo ondulatrio.

II.1. Radiao EletromagnticaAs equaes clssicas de Maxwell, que governam o campo eletromagntico,aplicadas a uma regio do espao em que no existem cargas livres nem correnteseltricas, admitem uma soluo ondulatria, com o campo eltrico E e o campomagntico B variando harmonicamente, um perpendicular ao outro e, ambos,perpendiculares direo de propagao, definida pelo vetor c, que representa avelocidade da onda (Fig.1).

O mdulo da velocidade de propagao das ondas eletromagnticas no vcuo tomado, por definio, como sendo exatamente:c = 299 792 458 m/sAs ondas eletromagnticas podem se propagar num meio material e tambmno vcuo. O espectro das ondas eletromagnticas contnuo, isto , existem ondaseletromagnticas de todos os comprimentos de onda.Se admitirmos um referencial em que a direo de propagao da onda adireo do eixo x, os mdulos dos campos eltrico e magntico podem ser escritos,respectivamente:E = E 0 cos[ k ( x ct ) ]

eB = B 0 cos[ k ( x ct ) ]15

em que:

k=

2

Nesta expresso, k o nmero de onda e o comprimento de onda.As equaes clssicas de Maxwell descrevem, portanto, a radiaoeletromagntica como uma onda transversal. A Fig.1 representa uma onda planopolarizada, isto , todos os vetores campo eltrico E em todos os pontos do espaopelos quais passa a onda so paralelos e esto no mesmo plano e o mesmo vale paraos vetores campo magntico B, que esto num plano perpendicular. Como os planosde vibrao dos campos eltrico e magntico so sempre perpendiculares, paracaracterizar uma onda eletromagntica qualquer usual especificar a direo do planodo campo eltrico e a direo de propagao da onda. Assim, definimos o plano depolarizao de uma onda eletromagntica como o plano ao longo do qual oscila ocampo eltrico. A radiao eletromagntica proveniente de uma lmpadaincandescente, por exemplo, no polarizada, j que consiste de um grande nmerode ondas, cada uma vibrando segundo uma direo aleatria.

II.2. Polarizao por ReflexoVamos considerar um raio de radiao eletromagntica no polarizada,proveniente de uma fonte qualquer, incidindo sobre a superfcie de separao entredois meios (Fig.2).O vetor campo eltrico em qualquer ponto pode ser decomposto em duascomponentes perpendiculares entre si, representadas por e , a primeira no planode incidncia (plano do raio incidente, do raio refletido e da normal) e a segunda,perpendicular a esse plano.Para o vidro comum, assim como para outros materiais dieltricos, existe umngulo de incidncia chamado ngulo de polarizao ou ngulo de Brewster, para oqual a componente no se reflete. Isso acontece quando:16

i* + r* = 900ou seja, quando os raios refletido e refratado so ortogonais. Em outras palavras,quando a direo de propagao do raio refletido idntica direo da componente do raio refratado. Essa componente no pode aparecer no raio refletido porque, seassim fosse, ela teria carter longitudinal e isso no pode ser para a radiaoeletromagntica. O raio refletido, contendo apenas a componente , perpendicular aoplano da pgina, plano-polarizado.Se o ngulo de incidncia tal que os raios refletido e refratado so ortogonais,podemos relacionar esse ngulo com o ndice de refrao da substncia de que constitudo o meio 2 usando a lei de Snell:

n=

sen isen r

e as relaes trigonomtricas:sen ( 90 o ) = cos e

sen = tg cos obtendo a seguinte relao:n = tg iEsse resultado a expresso matemtica da lei de Brewster. Ela afirma que ongulo de incidncia para polarizao completa aquele cuja tangente igual aondice de refrao do material refletor. O raio refletido , portanto, plano-polarizado noplano perpendicular ao plano de incidncia.

Quando o ngulo de incidncia coincide com o ngulo de polarizao, acomponente inteiramente refratada, enquanto a componente apenasparcialmente. O raio refratado , portanto, parcialmente polarizado.17

A polarizao do raio refletido pode ser testada fazendo esse raio incidir numasegunda superfcie refletora (Fig.3). O teste se d quando o plano de incidncia dessareflexo (plano vertical que contm os pontos O, O, A e N) faz um ngulo de 900 como plano de incidncia da primeira reflexo (plano horizontal que contm os pontos B,O, O e N). Assim, o raio em questo incide na segunda superfcie refletora, de modoque, se ele fosse refletido (direo OA), teria componentes apenas na direo depropagao do novo raio refletido. Dessa maneira, a radiao eletromagntica seriaconstituda exclusivamente de componente longitudinal. A completa ausncia deradiao eletromagntica nessa direo claramente estabelece a completaimpossibilidade de reflexo de qualquer componente longitudinal que pudesse haverna radiao. Assim, esse experimento estabelece que a radiao eletromagntica uma onda transversal.A polarizao s pode ser explicada se a radiao eletromagntica forconsiderada como sendo uma onda transversal. Caso a radiao eletromagnticafosse constituda por partculas, sempre existiria uma imagem da fonte aps asegunda reflexo, ou seja, sempre existiriam partculas percorrendo a trajetriacompleta B O O A.

ExerccioDiscuta outro fenmeno em que a radiao eletromagntica s pode serdescrita por um modelo ondulatrio.

18

CAPTULO IIIRADIAO ELETROMAGNTICA COMO PARTCULA

O efeito fotoeltrico foi descoberto por Hertz em 1887, observando que aintensidade da descarga eltrica entre dois eletrodos aumentava quando fazia incidir,sobre eles, radiao ultravioleta. No ano seguinte, Hallwachs observou a emisso deeltrons quando iluminava placas metlicas de zinco, sdio, potssio e rubdio. Em1905, Einstein interpretou os resultados experimentais do efeito fotoeltrico atravs deum modelo corpuscular para a radiao eletromagntica, considerando tal efeito comoum processo de coliso entre um eltron e um fton. Por outro lado, nos primeirosanos da dcada de 1920, Compton observou o espalhamento de raios x por eltronslivres e tambm interpretou os resultados experimentais considerando o processocomo uma coliso entre um fton e um eltron.O efeito fotoeltrico e o efeito Compton s podem ser explicados se a radiaoeletromagntica descrita com um modelo corpuscular. Em outras palavras, essesdois efeitos no encontram explicao dentro da Teoria Eletromagntica Clssica, quedescreve a radiao eletromagntica com um modelo ondulatrio.

III.1. Efeito FotoeltricoO efeito fotoeltrico o arrancamento de eltrons (chamados fotoeltrons) deum corpo, geralmente metlico, por efeito da incidncia de radiao eletromagntica.As caractersticas do efeito fotoeltrico no podem ser explicadas se a radiaoeletromagntica for considerada como sendo uma onda, em flagrante contradio coma explicao do fenmeno de polarizao j discutido. Todas as caractersticas doefeito fotoeltrico podem ser explicadas se a radiao eletromagntica for consideradacomo um conjunto de partculas (chamadas ftons).

No dispositivo experimental que permite estudar as caractersticas do efeitofotoeltrico (Fig.1), entre as placas metlicas A e B, existe uma diferena de potencialvarivel V igual a VA VB. Sem a incidncia de radiao eletromagntica, no existecorrente eltrica no circuito. Com a incidncia de radiao eletromagntica na placa B,mantida num potencial menor do que a placa A, existe uma corrente eltrica que podeser medida pelo galvanmetro. Mesmo que a placa B seja mantida num potencialmaior do que a placa A, ainda assim pode aparecer corrente eltrica no circuito. A19

corrente eltrica aparece por causa da radiao eletromagntica, que arranca eltronsda superfcie da placa B.Com a incidncia de radiaes eletromagnticas de mesma freqncia, mascom intensidades diferentes, obtemos um comportamento linear da corrente (i) emfuno da intensidade (I) da radiao (Fig.2). Isso significa que o nmero de eltronsarrancados diretamente proporcional intensidade da radiao eletromagnticaincidente.

Com a incidncia de radiaes eletromagnticas de mesma freqncia, mascom intensidades diferentes, obtemos o comportamento mostrado na Fig.3 para acorrente (i), em funo da diferena de potencial (V) entre as placas.

Isso significa que, para uma dada intensidade da radiao incidente, existecorrente se V positiva (VA > VB) e tambm existe corrente mesmo que V sejanegativa (VA < VB) at certo valor V0. Em outras palavras, existe corrente at que:VA VB = V0ouVA + V0 = VBA diferena de potencial V0, a partir da qual se interrompe a corrente, chamada de diferena de potencial de corte.Com essa diferena de potencial, os eltrons arrancados da placa B comenergia cintica mxima adquirem uma acelerao negativa no seu movimento emdireo placa A, acelerao esta cujo mdulo tal que eles ficam em repousomomentneo a apenas uma distncia infinitesimal dessa placa. Desse modo, como otrabalho realizado pelo campo eltrico, que existe entre as placas, sobre cada eltronque se desloca da placa B at a placa A, igual ao produto da carga do eltron pela20

diferena de potencial entre as placas,po teorema trabalho-energiaenergia cintica, expressomatematicamente por W = K, permite escrever: eV0 = 0 K MAX

ou seja, a diferena de potencial de corte V0 est relacionada energia cinticamxima dos eltrons arrancados pelo efeito fotoeltrico pela expresso:eV0 = K MAX

Tomando radiaes eletromagnticas de diferentes freqncias, obtemos ocomportamento mostrado na Fig.4 para a diferena de potencial de corte (V( 0) emfuno da freqncia da radiao (),( ), independentemente da intensidade da radiao.Isso significa que a energia dos fotoeltrons independente da intensidade daradiao eletromagntica incidente e depende, isso sim, da freqnciafreqncia da radiao.

A freqncia mnima (( 0) da radiao eletromagntica para que exista o efeitofotoeltrico chamada de limiar vermelho do efeito fotoeltrico e depende dasubstncia de que feita a placa sobre a qual incide a radiao.Finalmente,e, tomando radiaes eletromagnticas de diferentes freqncias eintensidades, nenhum retardo observado entre o instante em que a radiaoeletromagntica atinge a superfcie da placa B e o instante em que os eltrons soarrancados.Em resumo, as caractersticasactersticas do efeito fotoeltrico so as que se seguem.1. O nmero de eltrons arrancados diretamente proporcional intensidadeda radiao eletromagntica incidente (Fig.2).2. A diferena de potencial de corte a mesma qualquer que seja a intensidadeintensda radiao eletromagntica incidente (Fig.3).3. A energia dos eltrons arrancados depende da freqncia e no daintensidade da radiao eletromagntica incidente (Fig.4).4. No existe retardo entre o instante em que a radiao eletromagntica atingea superfcie da placa e o instante em que aparecem os eltrons arrancados.

21

III.2. Explicao do Efeito Fotoeltrico na Teoria Eletromagntica ClssicaA primeira caracterstica do efeito fotoeltrico o fato de que o nmero deeltrons arrancados diretamente proporcional intensidade da radiaoeletromagntica incidente. Isso pode ser explicado pela Teoria EletromagnticaClssica de Maxwell. A intensidade (I) de uma onda qualquer definida como aquantidade de energia que passa, por unidade de tempo, atravs de uma superfcie derea unitria perpendicular direo de propagao da onda. Assim, como a energiaabsorvida pela placa por unidade de tempo aumenta com o aumento da intensidadeda radiao eletromagntica incidente, aumenta tambm, por unidade de tempo, onmero de eltrons que absorvem energia suficiente para escapar da placa. Dessaforma, como a corrente eltrica a quantidade de carga que atravessa uma superfciede rea unitria na unidade de tempo, com o aumento da intensidade da radiao,aumenta a corrente eltrica no circuito.A segunda caracterstica do efeito fotoeltrico o fato de que a diferena depotencial de corte tem o mesmo valor, independentemente da intensidade da radiaoeletromagntica incidente. Isso no pode ser explicado pela Teoria EletromagnticaClssica. Como a diferena de potencial de corte V0 est relacionada energiacintica mxima dos eltrons arrancados pelo efeito fotoeltrico pela expresso:KMAX = eV0a energia cintica mxima dos fotoeltrons no pode depender da intensidade daradiao eletromagntica. Contudo, a teoria clssica diz justamente o contrrioporque, segundo ela, quanto maior a intensidade da radiao, maior deveria ser aenergia absorvida pelos eltrons e, ento, maior sua energia cintica mxima depoisde serem arrancados.Note-se, de passagem, que o outro resultado mostrado na Fig.2, ou seja, o fatode que, para uma dada diferena de potencial V, a corrente maior quando aintensidade da radiao eletromagntica mais intensa, j foi discutido acima e podeser perfeitamente explicado pela teoria clssica.Um slido metlico formado a partir de tomos com alguns eltronsfracamente ligados nas camadas mais externas, eltrons esses que passam a semover por todo o slido quando de sua formao. Assim, um slido metlico constitudo por uma rede ordenada de ons positivos, que so mantidos juntos por umaespcie de gs de eltrons livres.A terceira caracterstica do efeito fotoeltrico refere-se ao fato de que a energiados eltrons arrancados depende da freqncia e no da intensidade da radiaoeletromagntica incidente. Isso tambm no pode ser explicado pela TeoriaEletromagntica Clssica, quer esses eltrons provenham do gs de eltrons livres daplaca metlica, quer provenham dos ons da rede ordenada subjacente.Se a direo de propagao da onda eletromagntica a direo do eixo x, omdulo do campo eltrico pode ser escrito da seguinte forma:E = E 0 cos[ k ( x ct ) ]

Levando em conta as relaes k = 2 / e = c, em que a freqncia daradiao eletromagntica, e tomando apenas a dependncia temporal do campoeltrico, podemos escrever:E = E 0 cos ( 2 t )22

Porm, se os eltrons de um metal podem ser considerados como se movendolivremente, sua energia cintica, para uma dada intensidade da radiaoeletromagntica incidente, deveria diminuir quando aumentamos a freqncia daradiao eletromagntica. De fato, se um eltron livre fica sob o efeito do campoeltrico de uma onda eletromagntica, a equao que descreve o seu movimento,dada pela segunda lei de Newton, :ma = eE = eE 0 cos ( 2 t )

de modo que o mdulo da sua velocidade e a energia cintica ficam, respectivamente: eE 0 v= sen ( 2 t ) 2m e e 2E 02K = 21 mv 2 = 2 2 8m

sen 2 ( 2 t )

Nesta ltima expresso, o fator multiplicativo entre parnteses tem o quadradoda freqncia no denominador. Portanto, segundo a Teoria Eletromagntica Clssica,a energia cintica dos eltrons livres no aumenta com o aumento da freqncia daradiao eletromagntica, mas, pelo contrrio, diminui.Por outro lado, esse resultado poderia estar mostrando, realmente, que o efeitofotoeltrico no envolve os eltrons livres, mas os eltrons ligados aos ons da redecristalina da placa, sobre a qual incide a radiao eletromagntica. Para mostrar queesse tambm no o caso, vamos considerar que os eltrons ligados podem oscilarharmonicamente com freqncia natural . Assim, os mdulos das foras que ligamesses eltrons ao resto do material crescem linearmente com suas distncias deseparao aos respectivos pontos de equilbrio no resto do material. Ento, sob oefeito do campo eltrico da radiao eletromagntica incidente, que variaharmonicamente no tempo com uma freqncia , esses eltrons devem oscilar comuma amplitude que tanto maior quanto mais prximos estiverem os valores dasfreqncias e . Portanto, a diferena de potencial de corte deveria apresentar umcomportamento ressonante em funo da freqncia da radiao eletromagnticaincidente (Fig.5). Dessa forma, a teoria clssica no pode explicar a dependnciaobservada de V0 com , nem considerando que o efeito fotoeltrico ocorre com oseltrons livres da placa, nem considerando que ocorre com os eltrons ligados.

A quarta caracterstica do efeito fotoeltrico o fato de que no existe retardoentre o instante em que a radiao eletromagntica atinge a superfcie da placa e oinstante em que aparecem os eltrons arrancados, independentemente da freqncia23

e da intensidade da radiao. Essa outra caracterstica que a teoria clssica noexplica. Com efeito, segundo essa teoria, quando uma onda eletromagnticaatravessa uma regio da placa onde se encontra um eltron, este deveria oscilar comuma dada freqncia, movido pela fora de interao com o campo eltrico varivel daonda. Com o passar do tempo, e por efeito da transferncia de energia da onda para oeltron, a amplitude das oscilaes do eltron deveria crescer mais e mais at o pontoem que ele se desligaria do material e seria ejetado. No caso de radiaeseletromagnticas pouco intensas, isto , com pequena densidade de energia, o clculoclssico para o tempo que deveria durar tal processo de arrancamento pode dar comoresultado minutos ou horas.

III.3. Explicao do Efeito Fotoeltrico na Teoria QunticaTodas as caractersticas do efeito fotoeltrico podem ser explicadas seconsiderarmos a radiao eletromagntica no como uma onda, mas como umconjunto de partculas (os ftons), cada qual com uma energia dada por:E = h

em que a freqncia da radiao eletromagntica e h, a constante de Planck:h = 6,6261 x 1034 Js = 4,1357 x 1015 eVsEventualmente, usamos a constante h (leia-se ag cortado) dada por:

h = h/2 = 1,0546 x 1034 Js = 6,5822 x 1016 eVsQuando a radiao eletromagntica de freqncia atinge a placa em questo,os ftons associados radiao interagem com os eltrons da placa. Cada eltron queabsorve um fton ganha uma energia h e, se for arrancado, a mxima energiacintica que ele pode ter, pelo princpio de conservao da energia, dada por:K MAX = h

em que , chamada funo trabalho e caracterstica da substncia que constitui aplaca, representa a energia necessria para arrancar um eltron da superfcie daplaca.A primeira caracterstica do efeito fotoeltrico o fato de que o nmero deeltrons arrancados diretamente proporcional intensidade da radiaoeletromagntica incidente na placa, para uma dada freqncia (Fig.2). Isso pode serexplicado facilmente pela Teoria Quntica. Como j foi dito acima, a intensidade (I) deuma onda qualquer definida como a quantidade de energia que passa, por unidadede tempo, atravs de uma superfcie de rea unitria perpendicular direo depropagao da onda. Ento, a intensidade da radiao eletromagntica de freqncia deve ser dada por:I = N hem que N representa o nmero de ftons que cruzam, por unidade de tempo, umasuperfcie de rea unitria perpendicular direo de propagao da radiao. Um24

aumento na intensidade da radiao eletromagntica implica um aumento no nmerode ftons. Isso promove um aumento no nmero de interaes desses ftons com oseltrons da placa e, portanto, um aumento no nmero de eltrons arrancados.A segunda caracterstica do efeito fotoeltrico o fato de que a diferena depotencial de corte tem o mesmo valor, independentemente da intensidade da radiaoeletromagntica incidente (Fig.3). Isso pode ser explicado pela Teoria Quntica seconsiderarmos que a corrente fotoeltrica se interrompe quando a diferena depotencial de corte tal que:eV0 = K MAX

Ento:eV0 = h

Dessa expresso, conclumos que, para uma dada substncia na placa (dada) e uma dada freqncia da radiao incidente, a diferena de potencial de corteno depende da intensidade da radiao, isto , no depende do nmero de ftonsque incidem na placa por unidade de tempo e por unidade de rea.Por outro lado, quanto mais profundamente no interior da placa se encontra oeltron que vai ser arrancado, menor ser a sua energia cintica ao sair dela. Isso porque a energia de cada fton absorvido fica repartida entre o eltron arrancado e osoutros eltrons e tomos que constituem a placa considerada. Assim, para uma dadadiferena de potencial V negativa entre as placas (ou seja, VA < VB), apenas oseltrons que so arrancados da placa B com energia cintica maior do que eVchegam placa A e contam para a corrente eltrica do circuito. Ento, com adiminuio da diferena de potencial entre as placas, isto , para V cada vez maisnegativa, menos eltrons alcanam a placa A e menor a corrente eltrica no circuito.A terceira caracterstica do efeito fotoeltrico o fato de que a energia doseltrons arrancados depende da freqncia e no da intensidade da radiaoeletromagntica incidente (Fig.4). Esta caracterstica pode ser explicada pela TeoriaQuntica exatamente pela afirmao de que a radiao eletromagntica deve serconsiderada como um conjunto de ftons, cada qual com uma energia E = h, em que a freqncia da radiao eletromagntica.Para radiaes eletromagnticas com dada freqncia, a mxima energiacintica que cada eltron arrancado pode ter corresponde situao em que o eltron arrancado da superfcie da placa, de modo que toda a energia do fton absorvidapor ele. Para uma dada substncia, o valor mnimo 0 da freqncia da radiaoeletromagntica que produz o efeito fotoeltrico dado por h0 = . Esse valor para 0corresponde situao em que o eltron, aps ser arrancado da superfcie da placa,fica com energia cintica nula. Da:

0 =

h

Nos metais, vale, no mnimo, cerca de 2 eV. Assim, o efeito fotoeltrico nosmetais s possvel com radiaes eletromagnticas de freqncias maiores que:

3,2 10 19 J 4,8 10 14 Hz6,6 10 34 Js25

ou cujos comprimentos de onda sejam menores que:=

c 3 10 8 m / s 6,2 10 7 m 4,8 1014 Hz

Essa freqncia e esse comprimento de onda correspondem radiaoeletromagntica da parte visvel do espectro, mais precisamente, quela radiao que,ao olho humano, parece alaranjada.A quarta caracterstica do efeito fotoeltrico o fato de que no existe retardoentre o instante em que a radiao eletromagntica atinge a superfcie da placa e oinstante em que aparecem os eltrons arrancados, independentemente da freqnciae da intensidade da radiao. Isso pode ser explicado pela Teoria Quntica. Oconceitoeito de partcula est associado transferncia instantnea de energia de umente fsico a outro, numa coliso. Assim, considerando os ftons como partculas, aTeoria Quntica garante que existe uma transferncia de energia instantnea aoseltrons, que tambm so considerados como partculas.A teoria quntica da radiao eletromagntica explica muito bem ascaractersticas do efeito fotoeltrico. A radiao eletromagntica, que se propaga noespao como uma onda, no efeito fotoeltrico, manifesta propriedadespropriedades inerentes apartculas. Com igual clareza, as propriedades corpusculares (qunticas) da radiaoeletromagntica se manifestam no efeito Compton.

III.4. Experimento SimplesA noo de fora eltrica tem origem em experimentos simples. Por exemplo,exese, num dia seco, um basto de plstico esfregado com pelo de animal e depoisaproximado de alguns pedacinhos de papel, estes sero atrados. Como resultado dafrico, o basto fica eletrizado com carga eltrica negativa. A presena de cargaeltricaica em excesso no basto (e em qualquer outro corpo) pode ser detectada pormeio de um eletroscpio.Um eletroscpio pode ser construdo com uma garrafa de vidro, uma rolha euma haste metlica, em que uma pequena lmina, tambm metlica, est articulada(Fig.6(a)).Fig.6(a)). Se o basto est carregado quando encostado haste, a pequena lmina26

passa a formar um ngulo com ela (Fig.6(b)), assinalando a presena de carga noeletroscpio.O sinal da carga em excesso no eletroscpio (e no basto) pode serdeterminado pelo efeito fotoeltrico. Se fizermos incidir radiao eletromagntica defreqncia apropriada sobre a haste do eletroscpio e o ngulo formado pela pequenalmina diminui, assinalando uma diminuio da carga em excesso no eletroscpiodevido emisso dee eltrons causada pelo efeito fotoeltrico, a carga negativa(Fig.6(c)).

III.5. Efeito ComptonO efeito Compton a variao do comprimento de onda da radiaoeletromagntica dispersada por eltrons livres.No dispositivo experimental que permite estudar as caractersticas do efeitoCompton (Fig.7), os raios x, gerados em um tubo de raios catdicos, passam por umfiltro que separa, do conjunto de radiaes eletromagnticas produzidas, a radiaocom o comprimentoento de onda de interesse. Essa radiao , ento, dispersada pelaamostra. Um detetor apropriado analisa a radiao espalhada pela amostra em funodo ngulo .. Normalmente, o funcionamento do detetor se baseia no fenmeno dedifrao de Bragg pelos tomostom de um slido cristalino.

A difrao de Bragg acontece com radiaes cujos comprimentos de onda somenores ou da ordem de 1010 m, isto , da ordem de grandeza da distncia deseparao entre os tomos de um slido cristalino. No espectro eletromagntico,eletromagntiosraios x tm comprimento de onda dessa ordem de grandeza e justamente por isso elesso usados nos experimentos de espalhamento Compton.Estudando a disperso dos raios x pela amostra, observamos que a radiaoespalhada consiste de radiao com o comprimento de onda original e de radiaocom comprimento de onda maior que o original. Observamos, ainda, que a diferenaentre esses dois comprimentosrimentos de onda tanto maior quanto maior o ngulo deespalhamento e que tal diferena independente da substncia da amostra.

III.6. Explicao do Efeito Compton naa Teoria Eletromagntica ClssicaSegundo a Teoria Eletromagntica Clssica, a radiaoradiao eletromagntica umaonda transversal, com um campo eltrico E e um campo magntico B variandoharmonicamente, um perpendicular ao outro e ambos perpendiculares direo depropagao.27

A componente de campo eltrico da radiao eletromagntica, oscilando com afreqncia da radiao, ao interagir com os eltrons livres da amostra, faz com queeles oscilem com a mesma freqncia. Como qualquer partcula carregada emmovimento acelerado emite radiao eletromagntica, estes eltrons oscilantes devememitir radiao eletromagntica com a freqncia do seu movimento, ou seja, com amesma freqncia da radiao incidente original, e isso independentemente do ngulode disperso. Contudo, na radiao espalhada pelo efeito Compton, observamos umacomponente de comprimento de onda maior do que o comprimento de onda daradiao original, com a diferena entre esses comprimentos de onda dependendo dongulo de espalhamento. Portanto, a teoria clssica no pode explicar ascaractersticas do efeito Compton.

III.7. Explicao do Efeito Compton na Teoria QunticaAssim como no caso do efeito fotoeltrico, as caractersticas do efeito Comptonpodem ser explicadas se considerarmos a radiao eletromagntica como umconjunto de partculas (os ftons), todas com a mesma quantidade de energia, que dada pela expresso:E = hem que a freqncia da radiao eletromagntica e h, a constante de Planck.Desse modo, no efeito Compton, a interao da radiao eletromagntica comcada eltron livre da amostra se d atravs de um processo elementar de coliso entreum fton e um desses eltrons. Na coliso, o eltron absorve parte da energia do ftone este, por conseguinte, passa a ter uma freqncia menor e, portanto, umcomprimento de onda maior.Pela Teoria da Relatividade Especial de Einstein, a energia E, a quantidade demovimento p e a massa de repouso m de uma partcula livre, isto , a massa dapartcula livre medida no referencial inercial em que ela est em repouso, estorelacionadas pela expresso:E 2 = p 2c 2 + m 2c 4Essa expresso vlida tambm para o fton, se ele for considerado comosendo uma partcula com massa de repouso nula. Portanto, para o fton, vale arelao:E = pcNesse ponto interessante observar que esta expresso idntica quelaprevista pela Teoria Eletromagntica Clssica em que E e p representam,respectivamente, a energia e a quantidade de movimento associadas ondaeletromagntica.Para estudar o efeito Compton e explicar as suas caractersticas, vamosconsiderar o processo elementar de coliso de um fton com um eltron livre,processo este que vamos descrever no referencial em que o eltron est inicialmenteem repouso.Nesse referencial, p1 a quantidade de movimento do fton incidente, isto ,do fton antes da coliso, p2 a quantidade de movimento do fton espalhado, isto ,28

do fton depois da coliso, e pe a quantidade de movimento do eltron depois dacoliso (Fig.8).

Pelo princpioio de conservao da quantidade de movimento, temos:

p2 + pe = p1Passando o termo p2 para o lado direito da igualdade e tomando o quadrado doresultado vem:p 2e = p12 + p 22 2p1p 2 cos Se m a massa do eltron, o princpio de conservao da energia permitepescrever:p1c + mc 2 = p 2 c +

p 2e c 2 + m 2 c 4

Passando o termo p2c para o lado esquerdo da igualdade e tomando oquadrado do resultado, temos:p12 + p 22 + 2p1mc 2p1p 2 2mp 2 c = p 2eAgora, substituindo o termo pe2, que aparece nesta ltima expresso, pelo seuvalor dado na expresso que obtivemos usando o princpio de conservao daquantidade de movimento, resulta:p1mc p1p 2 p 2 mc = p1p 2 cos

Passando o termo p1p2 para o lado direito da igualdade e dividindo oresultado por mcp1 p2, vem:

111=( 1 cos )p 2 p1 mcFinalmente, levando em conta que, para o fton, so vlidas as relaes:E = pcE = h29

e = ctemos:

h( 1 cos )mc

2 1 =

Esta expresso d a diferena entre os comprimentos de onda dos ftonsincidente e espalhado ou, o que d no mesmo, a diferena entre os comprimentos deonda das radiaes eletromagnticas incidente e espalhada, em funo do ngulo deespalhamento. Segundo esta expresso, a diferena entre os comprimentos de ondano depende do comprimento de onda da radiao incidente.A grandeza h / mc chamada de comprimento de onda Compton do eltron.Com os valores:h = 6,63 x 1034 Jsm = 9,11 x 1031 kgec = 3,00 x 108 m/sobtemos o valor:

c =

h= 2,43 10 12 mmc

Por outro lado, com os valores das constantes fsicas dadas acima e levandoem conta que1 J = 6,24 x 1018 eVo clculo da energia de um fton com um comprimento de onda ~ 1010 m resulta:

E = h =

hc= 1,24 10 4 eV

Esta energia muito maior do que a energia de ligao dos eltrons devalncia nos tomos formadores da amostra dispersora, que de alguns eltrons-volt.Portanto, podemos afirmar que, nas condies do experimento com raios x, o efeitoCompton a variao do comprimento de onda da radiao eletromagnticadispersada por eltrons livres. por isso, tambm, que a diferena 2 1 nodepende de nenhuma caracterstica da substncia que compe a amostra dispersora.

Exerccio 1Ftons com energia E = 6,2 eV incidem numa placa de tungstnio. Calcule omdulo da velocidade mxima dos eltrons arrancados sabendo que, para otungstnio, a funo trabalho vale = 4,5 eV.

30

Exerccio 2Discuta a possibilidade de um feixe de luz branca arrancar eltrons ao incidirsobre uma placa de tungstnio.

Exerccio 3Um estudante de Fsica, estudando, no laboratrio, o efeito fotoeltrico em umaplaca de ltio, montou a seguinte tabela. (nm)

433,5

404,5

364,8

312,6

252,9

V0 (V)

0,54

0,71

1,08

1,68

2,54

em que o comprimento de onda da radiao eletromagntica incidente e V0 adiferena de potencial de corte. A partir desses dados, (a) descubra o valor da funotrabalho do ltio e (b) estime o valor da constante de Planck.

Exerccio 4Um fton com energia de 2 x 104 eV colide com um eltron livre em repousonum dado referencial. O fton dispersado segundo um ngulo de 45o com a direoinicial. Calcule (a) a energia do fton dispersado e (b) os comprimentos de onda dofton antes e depois da coliso.

Exerccio 5Considere o exerccio anterior. (a) Calcule a energia do eltron depois dacoliso com o fton. (b) Determine a direo em que se move o eltron aps a coliso.

31

32

CAPTULO IVO ELTRON COMO PARTCULA

Os experimentos clssicos que permitiram determinar, com maior ou menorpreciso, a carga do eltron, so importantes, em primeiro lugar, porque comprovam aquantizao da carga eltrica, isto , o fato de que a carga de qualquer corpo ummltiplo inteiro de uma carga elementar e, em segundo lugar, porque comprovam queos eltrons so partculas, j que a propriedade de carga eltrica s pode ser atribudaa partculas.

IV.1. Primeiras Medidas da Carga do EltronAs primeiras medidas do valor da carga do eltron foram feitas por Faraday,em 1832-1833, utilizando o fenmeno da eletrlise. Para compreender o fenmeno daeletrlise, vamos considerar uma soluo de cloreto de sdio (NaCl) em gua. Devido dissociao das molculas de cloreto de sdio, existem ons Na+ e ons Cl livres,deslocando-se pela soluo em direes aleatrias. Mergulhando, na soluo, duasplacas metlicas ligadas a um gerador de corrente contnua (Fig.1), por efeito docampo eltrico que existe entre as placas, os ons Cl passam a se movimentar emdireo placa positiva e os ons Na+, em direo placa negativa.

A soluo condutora de eletricidade chamada eletrlito. Solues de cidos,bases e sais em gua so eletrlitos. As placas metlicas so chamadas eletrodos. Oeletrodo positivo chamado nodo e o eletrodo negativo, ctodo. A existncia de umacorrente eltrica em um eletrlito o que chamamos de eletrlise.Durante a eletrlise, ocorrem reaes qumicas no nodo e no ctodo. Os onsnegativos, ao atingirem o nodo, cedem eltrons e se transformam em tomosneutros. Os ons positivos, ao atingirem o ctodo, recebem eltrons e tambm setransformam em tomos neutros. Por isso, passa a existir uma corrente eltricaatravs da soluo e pelo circuito externo.33

Com seus experimentos, Faraday estabeleceu o seguinte: na eletrlise, umequivalente qumico de substncia liberada ou depositada em cada eletrodo paracada 9,649 x 104 C de carga que passa atravs da soluo. Quando se trata de umelemento qumico, um equivalente qumico a massa de um mol da substnciadividida pela sua valncia.Na eletrlise do nitrato de prata (AgNO3) com eletrodos de prata, ons Ag+ semovimentam em direo ao ctodo e ons NO3 se movimentam em direo ao nodo.No ctodo, os ons Ag+ recebem eltrons, transformam-se em tomos neutros e sedepositam nesse mesmo eletrodo. No nodo, em vez dos ons NO3 cederem eltrons,o que acontece que tomos de prata se ionizam e os correspondentes ons Ag+abandonam o eletrodo, entrando na soluo. Desse modo, o nmero de ons Ag+ e onmero de ons NO3 permanecem constantes na soluo.Na eletrlise do nitrato de prata, para a quantidade de carga 9,649 x 104 C quepassa atravs da soluo, so depositados 107870 g de prata, exatamente a massade um mol de tomos de prata. Portanto, durante a eletrlise do nitrato de prata, cadaon Ag+ transporta, em mdia, a carga:e=

9,649 10 4 C6,022 10 23

= 1,602 10 19 C

Usamos, aqui, o valor 9,649 x 104 C para a quantidade de carga que depositaum equivalente qumico da substncia considerada e, para o nmero de Avogadro,usamos o valor 6,022 x 1023. Esses so os valores aceitos atualmente at a terceiracasa decimal e, por isso, o resultado para o mdulo da carga do eltron deu tambm ovalor aceito atualmente at a terceira casa decimal. O que importa, realmente, nesseexperimento de Faraday, que ele mostra que se for verdadeira a hiptese de que assubstncias simples so formadas de tomos, ento deve ser tambm verdadeira aconcluso de que a carga eltrica quantizada, isto , a carga de qualquer corpo ummltiplo inteiro de uma carga elementar.

IV.2. Experimento de ThomsonUm tubo de raios catdicos um tubo de vidro ou quartzo fechado, comeletrodos nas extremidades, contendo, no seu interior, um gs a baixa presso. Comuma diferena de potencial de vrios milhares de volts entre o eletrodo positivo(nodo) e o eletrodo negativo (ctodo), acontece uma descarga eltrica atravs dogs.34

O experimento de Thomson, realizado com um tubo de raios catdicos (Fig.2),permite medir a razo carga/massa do eltron. Do filamento C, mantido altatemperatura pela corrente gerada com a diferena de potencial V1, so emitidoseltrons (emisso termoinica). Esses eltrons so acelerados desde o filamento Cat a placa colimadora A pela diferena de potencial V2. Passando pela placacolimadora, os eltrons entram numa regio de campo eltrico E e magntico B,perpendiculares entre si e trajetria inicial dos eltrons. Da vo ao anteparofluorescente S, onde produzem pontos luminosos visveis. Para que os eltrons nosejam desviados dessa trajetria por colises com as molculas de ar no interior daampola, esta mantida em alto vcuo.Num referencial fixo no tubo, o campo eltrico E tende a desviar os eltrons,cuja carga negativa, para cima, com uma fora de mdulo eE. O campo magntico Btende a desviar os eltrons para baixo, com uma fora de mdulo evB, em que e omdulo da carga dos eltrons e v o mdulo da sua velocidade. Para uma dadavelocidade dos eltrons, os valores de E e B podem ser ajustados de modo queeE = evB

isto , com a fora eltrica sobre os eltrons balanceando a fora magntica. Dessaforma, os eltrons se deslocam em linha reta com velocidade horizontal de mdulo v,desde a sua fonte C at o anteparo S, onde produzem um ponto luminoso. Assim, omdulo da velocidade horizontal dos eltrons pode ser determinado a partir dosvalores conhecidos de E e B:

v=

EB

Thomson observou, originalmente, a posio do ponto luminoso no anteparofluorescente com E e B nulos. Ento, com um campo eltrico E uniforme, fixo e nonulo, observou a nova posio do ponto luminoso no anteparo e mediu a deflexo d3resultante. Finalmente, ajustou a intensidade do campo magntico B para que o pontoluminoso voltasse sua posio original, com o que pode determinar o mdulo davelocidade horizontal.A fora peso dos eltrons pode ser desprezada. Na regio do campo eltrico Euniforme, fixo e no nulo, sobre os eltrons atua apenas a fora eltrica, que vertical,est dirigida de baixo para cima e tem mdulo eE constante. O movimento doseltrons nessa regio um movimento bidimensional, composto de um MRUhorizontal e um MRUV vertical. A tangente trigonomtrica do angulo de deflexopode ser calculada por:tg =

d3 v Y=d2v

em que vY representa o mdulo da componente vertical da velocidade dos eltrons,componente essa que eles adquirem ao passar pela regio de campo eltrico. Como omovimento horizontal dos eltrons um MRU, o tempo que eles levam para percorrera distncia d1 :

t=

d1v35

O movimento vertical dos eltrons um MRUV com acelerao de mduloconstante:

a=

eEm

em que m representa a massa. Durante o tempo t, esses eltrons adquirem umavelocidade vertical de mdulo: eE d1 eEd1vY = at = =mv m v Ento, desta expresso e da expresso para o angulo de deflexo, temos:d v2e= 3m d1d 2E

Assim, com os valores ajustados de E e B, Thomson determinou v. Medindo d1,d2 e d3 e usando os valores de E e v, ele determinou a razo carga/massa do eltron.O desvio do ponto luminoso no anteparo fluorescente, quando o campo eltricopassa de E = 0 para E 0, s pode ser explicado se os raios catdicos tm cargaeltrica (negativa). Portanto, como a carga eltrica s pode ser atribuda a partculas, oexperimento de Thomson mostra que os eltrons so partculas.

IV.3. Experimento de Millikan e FletcherO experimento de Millikan e Fletcher consiste, basicamente, em observar omovimento de uma gotcula de leo numa regio de campo eltrico para determinar ovalor da carga eltrica elementar.

O aparato experimental consiste de um par de placas paralelas, que formamum capacitor, encerradas num recipiente de vidro para evitar correntes de ar, e de umatomizador, para produzir gotculas de leo (Fig.3). O atomizador deixa as gotculaseletricamente carregadas. Uma dessas gotculas entra na regio entre as placas por36

um orifcio na placa superior e passa a se mover nessa regio. Com uma iluminaointensa e um microscpio de pequena ampliao, podemos observar o movimento dagotcula num referencial fixo no aparato. O movimento determinado, primeiro, naausncia de campo eltrico e depois, com um campo eltrico conhecido entre asplacas.Na ausncia de campo eltrico, a gotcula fica sob a ao de trs foras: afora peso, a fora de resistncia do ar e a fora de empuxo. Os mdulos dessasforas podem ser escritos, respectivamente:P = mg =

43

R 3 g

F = 6 vReFe =

43

R 3 ar g

Nestas expresses, R o raio da gotcula, a sua densidade, g o mduloda acelerao gravitacional, o coeficiente de viscosidade do ar, v o mdulo davelocidade da gotcula e ar a densidade do ar.A partir do instante em que a gotcula, em seu movimento de descida, passa ase mover com velocidade terminal constante, de mdulo vT, a resultante das forasque atuam sobre ela zero e podemos escrever:43

R 3 g = 6 v T R + 34 R 3 ar g

e da:

9v TR = 2 ( ar ) g

1/ 2

Como todas as grandezas do lado direito dessa expresso so conhecidas oupodem ser determinadas, podemos calcular o raio da gotcula. O mdulo davelocidade terminal, vT, determinado com o auxlio do microscpio, medindo ointervalo de tempo que a gotcula leva para percorres uma distncia conhecida.Com uma pequena diferena de potencial V1 entre as placas, de modo que seestabelece um campo eltrico de baixo para cima, com mdulo E1, a gotcula, comcarga q1, fica sob a ao de mais uma fora, a fora eltrica, de mdulo:FE1 = q1E 1

Escolhendo a diferena de potencial V1 de modo que a gotcula se move paracima, a partir do instante em que ela, em seu movimento de subida, passa a se movercom velocidade terminal constante, de mdulo v1, a resultante das foras que atuamsobre ela zero e podemos escrever:q1E 1 =

43

R 3 g + 6 v 1R 34 R 3 ar g

Como conhecemos E1 e como todas as grandezas do lado direito tambm soconhecidas ou podem ser determinadas, esta expresso permite calcular a carga q1 dagotcula.37

A carga da gotcula , ento, mudada pela ionizao do ar entre as placas comraios-x ou com a radiao proveniente de uma amostra radioativa. Alguns onsproduzidos dessa maneira se ligam gotcula, de modo que a sua carga muda de q1para q2. Como as massas dos ons provenientes do ar, que se ligam gotcula, somuito pequenas comparadas com a massa da gotcula, esta permanece praticamentea mesma. Agora que a gotcula tem carga q2, para que ela possa atingir umavelocidade terminal constante de mdulo v2, a diferena de potencial deve ser mudadade V1 para V2, de modo que o mdulo do campo eltrico entre as placas passa deE1 para E2. Dessa forma, vale para a gotcula uma expresso anloga anterior:q 2E 2 =

43

R 3 g + 6 v 2 R 43 R 3 ar g

A nova carga q2 da gotcula pode ser calculada, ento, da mesma forma queantes.Esse procedimento repetido muitas vezes para a mesma gotcula de leo, demodo que obtemos um grande nmero de valores para suas diferentes cargas. Amenos dos respectivos sinais, todos esses valores so mltiplos inteiros de uma cargaelementar, que podemos atribuir ao eltron.

ExerccioA razo carga/massa de uma partcula pode ser determinada por umdispositivo chamado espectrmetro de massa. Descreva o funcionamento dessedispositivo.

38

CAPTULO VO ELTRON COMO ONDA

Em 1924, de Broglie sugeriu a hiptese de que os eltrons poderiamapresentar propriedades ondulatrias alm das suas propriedades corpusculares jbem conhecidas. Esta hiptese se justificava por uma questo de simetria, j que aradiao eletromagntica apresentava, em certos fenmenos, propriedadesondulatrias e, em outros fenmenos, propriedades corpusculares. Se a hiptese dede Broglie fosse verdadeira, experimentos de interferncia e difrao poderiam serrealizados com eltrons. Em 1927, Davisson e Germer mostraram experimentalmenteque a intensidade de um feixe de eltrons espalhados apresentava o padro demximos e mnimos tpico do fenmeno da difrao.

V.1. Difrao de BraggNuma rede cristalina, os tomos esto regularmente espaados a distncias daordem de 1010 m (Fig.1). Esses tomos podem servir de centros espalhadores pararaios x e raios , que so radiaes eletromagnticas com comprimentos de onda damesma ordem de grandeza dessas distncias.

Quando um cristal atravessado por raios x ou raios , os raios espalhadostm um padro de intensidade que depende da interferncia das ondas espalhadasem cada tomo do cristal e de um fator caracterstico dos tomos. Num cristal formadopor vrios tipos de tomos, cada tipo contribui diferentemente para o espalhamento.39

Para concretizar a discusso, vamos considerar um cristal cbico formado portomos de um nico tipo e com um tomo em cada vrtice da estrutura cristalina(Fig.2). Nesta figura, representamos a interseo do cristal com o plano da pgina. Ostomos da estrutura cristalina definem uma srie de conjuntos de planos paralelosigualmente espaados. Na Fig.2, representamos apenas trs conjuntos de planos.Agora, consideremos uma onda plana, de comprimento de onda , incidentesobre um conjunto de planos paralelos separados de uma distncia d (Fig.3). Nestafigura, representamos os raios incidentes R1 e R2, associados onda plana emquesto, os planos AA e BB, pertencentes ao conjunto de planos considerados, e ongulo entre cada raio da onda plana e cada plano do conjunto considerado.

As ondas espalhadas interferem construtivamente, produzindo um mximo deintensidade na direo dos raios difratados R1 e R2, desde que sua diferena depercurso seja igual a um nmero inteiro de comprimentos de onda:2d sen = n

( n = 1, 2, 3, ... )

Esta a expresso matemtica da lei de Bragg. Os valores de n estolimitados pela condio sen 1.

Embora o argumento tenha sido levado a cabo com os planos AA e BB, todosos outros planos do conjunto de planos paralelos considerado tambm contribuem,dando lugar a um mximo muito intenso.40

Para radiaes com um dado comprimento de onda e para um dado conjuntode planos paralelos, isto , para uma dada distncia d, a variao do ngulo produzdirees alternadas de mximos e mnimos de intensidade para a radiao espalhada,correspondentes, respectivamente, interferncia construtiva e interfernciadestrutiva (Fig.4).

V.2. Experimento de Davisson e GermerO experimento de Davisson e Germer mostra, para os eltrons, umcomportamento tpico de ondas. Nesse experimento, o filamento A, mantido a altatemperatura pela corrente gerada pela diferena de potencial V1, emite eltrons(emisso termoinica). Esses eltrons so acelerados desde o filamento A at a placacolimadora B pela diferena de potencial V2 (Fig.5). Passando pela placa colimadora,os eltrons, formando agora um feixe estreito, incidem sobre um cristal e sodispersados.

Um detector permite medir a intensidade do feixe de eltrons dispersados emfuno do ngulo = 2, para diferentes valores da diferena de potencial V2, isto ,para diferentes energias dos eltrons incidentes no cristal.

A Fig.6 representa um diagrama polar da distribuio da intensidade de umfeixe de eltrons com energia de 60 eV, dispersado por um cristal de nquel. Pelafigura, podemos observar que a intensidade do feixe de eltrons dispersados tem ummximo para 2 = 50 ou = 25.41

A Fig.7 mostra os resultados de experimentos nos quais a intensidade foimedida para um dado ngulo , mas com valores diferentes para a diferena depotencial aceleradora. No eixo das abcissas, colocamos a raiz quadrada dessadiferena de potencial para que os mximos e mnimos de intensidade ficassem maisou menos a mesma distncia uns dos outros.

Os resultados apresentados nas duas figuras so tpicos da distribuio deintensidades da disperso de ondas. Mximos e mnimos de difrao iguais a essesaparecem nos experimentos de Bragg, em que raios x e raios so espalhados pelostomos que constituem um cristal.No experimento de Davisson e Germer, os eltrons difratados so observadoscom a mesma geometria dos experimentos de difrao de Bragg com raios x.Verificamos, ento, que a corrente de eltrons registrada pelo detector mxima todavez que satisfeita a condio de Bragg. Portanto, o experimento de Davisson eGermer mostra, para os eltrons, um comportamento tpico das ondas.

V.3. Relaes de de BrogliePara os ftons, a freqncia , a energia E, o comprimento de onda e omdulo da quantidade de movimento p tm as seguintes relaes:

=

Eh

=

hp

e

A segunda expresso vem da primeira porque, para os ftons, valem, tambm,as relaes E = pc e = c.J que os eltrons, assim como os ftons, tm comportamento de onda e departcula, de se esperar que os eltrons, quando se comportam como ondas, tenhamfreqncias e comprimentos de onda dados pelas mesmas expresses acima. Estasrelaes, quando aplicadas aos eltrons, chamam-se relaes de de Broglie. Naverdade, aplicam-se a quaisquer corpos, quer sejam microscpicos, quer sejammacroscpicos. Mas, para corpos macroscpicos, o comprimento de onda de deBroglie est alm de qualquer possibilidade de observao ou medida.42

Por exemplo, para um corpo com massa de 1 kg, que se move com umavelocidade de mdulo 1 m/s, temos:=

6,63 10 34 Js= 6,63 10 34 m1kg ( 1m / s )

No possvel observar o comportamento ondulatrio de tal corpo, porexemplo, por interferncia ou difrao, j que no existe qualquer abertura ouobstculo dessa ordem de grandeza. Os ncleos atmicos, que so os menoresobstculos que poderiam ser usados, tm dimetros da ordem de 1015 m.

Exerccio 1Calcule o comprimento de onda dos eltrons usados no experimento deDavisson e Germer, sabendo que tinham uma energia de 54 eV.

Exerccio 2Compare o comprimento de onda de um fton com energia de 10 MeV com ocomprimento de onda de um eltron livre com energia cintica do mesmo valor.

Exerccio 3Um microscpio eletrnico opera com eltrons de 12 keV e pode resolverestruturas com dimenses tpicas de pelo menos 15 vezes o comprimento de onda dede Broglie do eltron. (a) Calcule as dimenses tpicas da menor estrutura que podeser resolvida por esse microscpio eletrnico. (b) Identifique algumas estruturas comtais dimenses.

43

44

CAPTULO VIDUALIDADE E COMPLEMENTARIDADE

O conceito de partcula e o conceito de onda provm da intuio que os sereshumanos desenvolveram ao longo do tempo, pela experincia cotidiana com o mundodos fenmenos fsicos em escala macroscpica. Segundo essa intuio, uma partculase comporta como um projtil. Ela pode ser localizada num ponto do espao, pode serdesviada e perde ou ganha energia, num certo ponto do espao, pela coliso comoutra partcula e no pode exibir qualquer efeito de interferncia ou difrao.Uma onda se comporta como a perturbao peridica na superfcie da gua. Oseu contedo energtico est distribudo de modo contnuo no espao e no tempo eela no pode ser localizada num ponto do espao. Uma onda pode ser difratada e, aocruzar com outra onda, no desviada, mas exibe efeitos da interferncia.A Fsica Clssica incorpora essa intuio humana, de modo que os conceitosde partcula e de onda so considerados como sendo mutuamente exclusivos. Emtermos gerais, a estranheza dos conceitos qunticos, como a dualidade ondapartcula, deriva do fato de utilizarmos, na descrio dos fenmenos em escalamicroscpica, apesar de tudo, certo nmero de conceitos que se revelaramapropriados para a descrio dos fenmenos em escala macroscpica.

VI.1. Dualidade Onda-PartculaNa Fsica Clssica, apenas o modelo ondulatrio d conta de descrevercompletamente os fenmenos de interferncia, polarizao, refrao e difrao,associados aos entes fsicos que, nessa teoria, so chamados de ondas. Ainda naFsica Clssica, apenas o modelo corpuscular d conta de descrever completamenteos fenmenos associados aos entes fsicos que, nessa teoria, so chamados departculas.Na Fsica Quntica, os dois modelos so necessrios para descrevercompletamente qualquer ente fsico, embora no nas mesmas circunstncias. a issoque se refere a expresso dualidade onda-partcula. Por exemplo, nos fenmenos deinterferncia, polarizao, refrao e difrao, a radiao eletromagntica deve serdescrita em termos de um modelo ondulatrio. No efeito fotoeltrico e no efeitoCompton, a radiao eletromagntica deve ser descrita em termos de um modelocorpuscular. No experimento de Thomson, os eltrons devem ser descritos em termosde um modelo corpuscular. No experimento de Davisson e Germer, os eltrons devemser descritos em termos de um modelo ondulatrio.Aos sentidos humanos, os objetos macroscpicos se apresentam como setivessem uma estrutura contnua. Na verdade, esses objetos so compostos deunidades bsicas distintas, como prtons, nutrons e eltrons, agrupadas de muitasmaneiras diferentes. Por outro lado, como os objetos se apresentam, aos sentidoshumanos, com dimenses, formas e posies bem definidas, existe a tendncia deextrapolar tais propriedades inclusive s unidades bsicas que constituem tais objetos.Os experimentos de Fsica Quntica no fundamentam essa extrapolao.Atualmente, o termo partcula aplicado a entes fsicos que tm propriedadescomo massa e carga eltrica, que so usualmente atribudas quilo que, na FsicaClssica, chamamos de partcula, e propriedades como comprimento de onda efreqncia, que so usualmente atribudas quilo que, na Fsica Clssica, chamamosde onda.45

Existem quatro interaes fundamentais: gravitacional, eletromagntica,nuclear fraca e nuclear forte. A cada uma delas, est associada uma propriedadechamada fonte. A massa a fonte da interao gravitacional. A carga eltrica a fonteda interao eletromagntica. A carga de cor, caracterstica dos quarks, a fonte dainterao nuclear forte. A carga fraca a fonte da interao fraca. As leisfundamentais das interaes so formuladas em termos de fontes pontuais e as forasentre dois ou mais corpos, sempre podem ser reduzidas a resultantes de foras entrepares de fontes. Por isso, quando uma partcula detectada por algum tipo deinterao, atua no sentido de ser localizada e deve, nesta circunstncia, ser descritaem termos de um modelo corpuscular. Quando se desloca no espao, uma partculapode experimentar interferncia e, ao passar atravs de fendas estreitas, podeexperimentar difrao. Nessas circunstncias, ela deve ser descrita em termos de ummodelo ondulatrio.

VI.2. Princpio da ComplementaridadeSegundo o princpio da complementaridade, o modelo ondulatrio e o modelocorpuscular so complementares: se uma medida prova o carter ondulatrio de umapartcula, a mesma medida no pode provar seu carter corpuscular, e vice-versa. Aescolha do modelo a usar, se o modelo corpuscular ou o modelo ondulatrio, determinada pelo carter da medida ou pelo tipo de experimento. Alm disso, acompreenso da variedade de fenmenos em que toma parte uma dada partcula estincompleta, a menos que se leve em conta tanto o seu carter ondulatrio quanto oseu carter corpuscular.A ligao entre os modelos ondulatrio e corpuscular realizada por meio deuma interpretao probabilstica da dualidade onda-partcula. A intensidade (I) de umaonda definida como a energia que flui por unidade de tempo atravs de umasuperfcie de rea unitria perpendicular direo de propagao. Para uma ondaeletromagntica, por exemplo, propagando-se na direo do eixo x, com os mdulosdos campos eltrico e magntico dados por:

E = E 0 cos [ k ( x ct ) ]e

B = B 0 cos [ k ( x ct ) ]as densidades de energia associadas a esses campos so:

e E = 21 0E 2e

eB =

B22 0

Como as amplitudes E0 e B0 esto relacionadas pela expresso E0 = cB0 e omdulo da velocidade de propagao dado por:

c=

10046

temos que:e B = eEEnto, a densidade de energia total da onda eletromagntica pode ser escrita:e = 0 E2e a sua intensidade fica:

I = ce = c 0E 2Assim, no modelo ondulatrio, a intensidade da radiao eletromagntica proporcional ao quadrado da amplitude E da onda. Aqui, bem entendido, E representao vetor campo eltrico instantneo, dado pela soluo de uma equao de onda obtidadas equaes de Maxwell para o Eletromagnetismo Clssico.No modelo corpuscular, a intensidade da radiao eletromagntica dada pelaexpresso:I = N hem que N representa o nmero de ftons, com energia h, que cruzam, por unidadede tempo, uma superfcie de rea unitria perpendicular direo de propagao.A ligao entre o modelo ondulatrio e o modelo corpuscular se d pelainterpretao de E2 como uma medida do nmero de ftons por unidade de volume ou,em termos de um nico fton, como a probabilidade, por unidade de volume, deencontrar o fton numa dada regio do espao num certo instante de tempo.Isto que discutimos para os ftons e a radiao eletromagntica vale tambmpara as outras partculas, como eltrons, prtons e nutrons.O princpio da complementaridade estabelece que os fenmenos atmicos nopodem ser descritos com a completude exigida pela Dinmica Clssica. Algunselementos que se complementam para constituir uma descrio clssica completaso, realmente, mutuamente exclusivos. Esses elementos complementares so todosnecessrios para a descrio de todos os aspectos do fenmeno em questo.O princpio da complementaridade assegura que o aparato fsico disponvelpara o sujeito humano experimentador tem propriedades tais que no podem ser feitasmedidas mais precisas do que aquilo que estabelece o princpio de incerteza deHeisenberg. E isso no pode ser imputado a deficincias do sujeito humanoexperimentador nem a deficincias do seu aparato fsico de medida. , antes, uma leida Natureza.

VI.3. Princpio da Incerteza de HeisenbergNa Fsica Clssica, est implcita a idia de que qualquer grandeza demovimento de uma partcula pode ser medida e descrita de modo exato. Por exemplo,podemos medir simultaneamente a posio e a velocidade de uma partcula semperturbar o seu movimento.De acordo com a Fsica Quntica, o ato de medir perturba a partcula emodifica o seu movimento.47

Para discutir esta ltima afirmao, vamos considerar a tarefa de determinar acoordenada x da posio de um eltron que se move ao longo do eixo Y. Paraconseguir fazer isso, podemos observar se esse eltron passa ou no atravs de umafenda de largura b (Fig.1).Existe uma indeterminao x na medida da coordenada x da posio doeltron, que deve ser da ordem da largura da fenda:x bO eltron, ao passar pela fenda, apresenta comportamento ondulatrio eproduz um padro de mximos e mnimos associado difrao. Assim, o movimentodo eltron perturbado ao passar pela fenda, de modo que esta introduz umaindeterminao px na componente da quantidade de movimento do eltron ao longodo eixo X.

Esta indeterminao px est relacionada ao ngulo , correspondente aomximo central do padro de difrao, j que mais provvel que a trajetria doeltron esteja contida dentro do ngulo 2.Da Teoria Eletromagntica Clssica, sabemos que:

sen =

b

e com a relao de de Broglie:

p=

h

segue-se que: h hp x p x = p sen = b xou48

x p x h

Esta expresso mostra que o produto das incertezas x e px da ordem degrandeza da constante de Planck. De qualquer modo, embora o valor da constante dePlanck seja muito pequeno, ele no zero. Alm disso, a expresso acima mostraque, diminuindo uma das incertezas, a outra cresce na mesma proporo.Assim, quando promovemos um estreitamento da fenda (diminuio de b) paradiminuir a incerteza na medida da coordenada x da posio do eltron, ocorre umalargamento do mximo central do padro de difrao e, conseqentemente, umaumento na incerteza da componente x da quantidade de movimento desse eltron.Por outro lado, para diminuir a incerteza da componente x da quantidade demovimento do eltron, devemos diminuir a largura do mximo central do padro dedifrao e isso se consegue aumentando a largura da fenda, o que leva ao aumentoda incerteza na medida da coordenada x da posio do eltron.Este fato constitui um exemplo particular de aplicao do princpio de incertezade Heisenberg, cujo enunciado pode ser o seguinte: no podemos determinarsimultaneamente, com preciso arbitrria, a posio e a quantidade de movimento deuma partcula.Matematicamente:

x p x

h2

De acordo com a Mecnica Clssica, a perturbao introduzida num sistemaqualquer, para medir a posio e a quantidade de movimento de cada partcula que oconstitui, pode ser to pequena quanto queiramos e, a partir da, podemos determinarexatamente o movimento subseqente das partculas.Segundo a Mecnica Quntica, impossvel tal descrio exata no caso desistemas microscpicos, que envolvem pequenas distncias e pequenas quantidadesde movimento, j que, pelo princpio de incerteza, no podemos determinarsimultaneamente, e com preciso arbitrria, a posio e a quantidade de movimentode cada partcula que constitui tais sistemas.De modo anlogo, se queremos medir a energia de uma partcula e determinaro instante em que ela tem essa energia, as respectivas indeterminaes E e t estorelacionadas pela expresso:

t E

h2

Nesse caso, o princpio de incerteza de Heisenberg pode ser enunciado comosegue: no podemos determinar simultaneamente, com preciso arbitrria, a energiade uma partcula e o instante de tempo no qual ela tem essa energia.

Exerccio 1Considere um ncleo atmico de forma esfrica, com 1,3 x 1014 m dedimetro. (a) Calcule a energia mnima de um eltron confinado no interior dessencleo. (b) Sabendo que a energia de ligao mdia de um prton ou de um nutronnesse ncleo de 8,2 MeV, discuta a possibilidade de encontrar um eltron no interiordesse ncleo.49

Exerccio 2Considere o tempo de vida de um eltron no estado com n = 2 no tomo dehidrognio como sendo da ordem de 108 s. (a) Calcule a incerteza na energia desseestado. (b) Compare esta incerteza com a prpria energia do estado.

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CAPTULO VIIMODELO ATMICO DE