hypertext_syndyastikis

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

ΣΠΟΥΔΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 20: ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

ΥΠΕΡΚΕΙΜΕΝΟ ΜΕ ΘΕΜΑ

ΑΡΧΕΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ

ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ

ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

2004-2005

Βασικές διακριτές δομές και θεωρία μέτρησης

Γ. Σταματίου

ΠΛΗ 20 2

Εισαγωγή και ... οδηγίες χρήσης!.................................................................................................................... 31. Βασική θεωρία μέτρησης....................................................................................................................... 5

1.1 Ο κανόνας του αθροίσματος.............................................................................................................. 51.2 Ο κανόνας του γινομένου.................................................................................................................. 81.3 Διατάξεις αντικειμένων.................................................................................................................... 101.4 Διωνυμικοί συντελεστές.................................................................................................................. 121.5 Το τρίγωνο του Pascal..................................................................................................................... 151.6 Γρήγορες ερωτήσεις με γρήγορες απαντήσεις!.................................................................................181.7 Βασική θεωρία μέτρησης και πιθανότητες.......................................................................................22

2. Γεννήτριες συναρτήσεις και ο ρόλος τους στη θεωρία μέτρησης..........................................................252.1 Ορισμός γεννήτριας συνάρτησης και παραδείγματα.........................................................................252.2 Παραδείγματα εφαρμογής γεννητριών συναρτήσεων.......................................................................26

3. Συμμετρίες και θεωρία μέτρησης υπό το πρίσμα συμμετριών...............................................................343.1 Συμμετρίες σε προβλήματα μέτρησης περιδεραίων (necklaces) και βραχιολιών (bracelets)..............343.2 Μοντελοποιώντας τις συμμετρίες: μεταθέσεις και ομάδες μεταθέσεων............................................393.3 Κύκλοι μεταθέσεων......................................................................................................................... 423.4 Οι συμμετρίες του κύβου................................................................................................................. 433.5 Διάφορα προβλήματα μέτρησης με το βενζόλιο...............................................................................50

Συχνά χρησιμοποιούμενοι όροι...................................................................................................................... 53



ΠΛΗ 20 3

Εισαγωγή και ... οδηγίες χρήσης!

Φίλε αναγνώστη γεια σου! Το υπερκείμενο που έχεις μπροστά σου έχει σκοπό να σε

εισαγάγει με σύντομο και ευχάριστο (όσο το δυνατόν!) τρόπο στις βασικές αρχές της

συνδυαστικής, της περιοχής αυτής δηλαδή των Διακριτών Μαθηματικών που στόχο της έχει

την μέτρηση ομάδων διακριτών αντικειμένων.

Δυστυχώς, η τεχνολογία τα έχει φέρει έτσι ώστε ένα βιβλίο ή κείμενο να πρέπει να

συνοδεύεται και απο οδηγίες χρήσης! Η μόνη οδηγία σε ένα παραδοσιακό κείμενο είναι

απλά να κινείς τα μάτια σου γραμμή-γραμμή και να διαβάζεις. Τώρα πια δεν αρκεί αυτό!

Γενικά, ένα υπερκείμενο διακρίνεται από ένα απλό κείμενο στο ότι διαβάζεται σε

ηλεκτρονική μορφή (χωρίς να τυπωθεί δηλαδή). Ο λόγος που πρέπει να γίνεται αυτό είναι το

κείμενο περιέχει, ειδικά χρωματισμένες, μερικές λέξεις οι οποίες από μόνες τους δεν έχουν

κάποιο ιδιαίτερο νόημα εάν διαβαστούν. Εάν, όμως, τις επιλέξουμε μέσω του ποντικιού του

υπολογιστή μας, τότε οι λέξεις αυτές μας οδηγούν σε διάφορα πολύ ενδιαφέροντα και

διαφωτιστικά, για όσα διαβάζουμε, πράγματα! Αυτά συμπεριλαμβάνουν τα εξής:

διαδικτυακοί τόποι, περιοχές δηλαδή στο διαδίκτυο που περιέχουν πληροφορίες (πιθανότατα

σε μορφή υπερκειμένου και αυτές!) γύρω από αυτό που διαβάζουμε, εφαρμογές οι οποίες

όταν ενεργοποιηθούν μας βοηθούν να υπολογίσουμε κάτι που σχετίζεται με το αντικείμενο

του υπερκειμένου μας, και διάφορες άλλες εφαρμογές (π.χ. άλλα αρχεία κειμένου,

διαφάνειες, λογιστικά φύλλα κλπ.) που μας βοηθούν να ξεκαθαρίσουμε διάφορες έννοιες

που περιέχει το υπερκείμενο. Όλα αυτά, βέβαια, θα ήταν δύσκολο να εμφανιστούν στην

παλιά, καλή εκτυπωμένη μορφή κειμένου (παραδοσιακό βιβλίο!) και λόγω μεγάλου όγκου

σελίδων αλλά και λόγω μεγάλου κόστους αναπαραγωγής, απαιτώντας μάλιστα πολυχρωμία

που ίσως είναι αναγκαία για την ανάδειξη κάποιας έννοιας.

Φυσικά, η άποψη του γράφοντα είναι ότι σε καμιά περίπτωση δεν υποκαθιστά ένα

υπερκείμενο ένα παραδοσιακό, καλό διδακτικό βιβλίο. Ο λόγος είναι κυρίως ότι στο

παραδοσιακό διδακτικό βιβλίο ο γράφοντας έχει όλη την άνεση (χρόνου και χώρου) να

παρουσιάσει με τον δικό του, ομογενοποιημένο τρόπο το υλικό που τόσα χρόνια έχει



ΠΛΗ 20 4

αποκρυσταλλωθεί στο μυαλό του και προέρχεται από την εμπειρία και τη γνώση του ως

ειδικού επί του αντικειμένου του βιβλίου. Επίσης,

Στο υπερκείμενο που ακολουθεί έχουμε χρησιμοποιήσει τα πιο κάτω σύμβολα (δίπλα από

κάθε σύνδεσμο) με στόχο να πληροφορήσουμε τον αναγνώστη σχετικά με το τι περιέχει

αυτό στο οποίο παραπέμπει ο σύνδεσμος. Ο λόγος είναι ότι ο αναγνώστης θα πρέπει να

γνωρίζει εάν απαιτείται να υπάρχει εγκατεστημένο στον υπολογιστή του κάποιο

συγκεκριμένο λογισμικό ή εάν θα πρέπει προηγούμενα να έχει συνδεθεί στο διαδίκτυο. Τα

σύμβολα, και οι επεξηγήσεις, έχουν ως εξής:

Σύμβολο: Ερμηνεία: Απαίτηση:

Πρόγραμμα σε MAPLE

Να υπάρχει εγκατεστημένο το λογισμικό συμβολικών και αριθμητικών υπολογισμών MAPLE

JavaCup.ico

JAVA εφαρμογή

Να έχει ενεργοποιηθεί κατάλληλα το περιβάλλον εκτέλεσης JAVA

Livhead.ico

Διαδικτυακός τόποςΝα υπάρχει ενεργή σύνδεση στο διαδίκτυο

Gdiout.ico

Παρουσίαση POWERPOINT

Να είναι εγκατεστημένο το λογισμικό παρουσίασης διαφανειών POWERPOINT του MS OFFICE

Πάντως, έχει καταβληθεί κάθε δυνατή προσπάθεια έτσι ώστε το κείμενο να διαβάζεται (σε

κάποιο σημαντικό ποσοστό του) ακόμη και εάν δεν υπάρχει τίποτε από τα πιο πάνω ενώ εάν

πληρούνται οι πιο πάνω απαιτήσεις το κείμενο να εμπλουτίζεται με διάφορα επιπρόσθετα

στοιχεία!

Δεν θα σας κουράσουμε, όμως, άλλο με περισσότερη εισαγωγή! Απλά προχωρήστε στις

επόμενες υπερσελίδες και σας ευχόμαστε καλό υπερδιάβασμα!

Γιάννης Σταματίου



ΠΛΗ 20 5

1. Βασική θεωρία μέτρησης

Θα ξεκινήσουμε τη σύντομη περιήγησή μας στον κόσμο της συνδυαστικής με δύο πολύ

απλούς κανόνες μέτρησης: τον κανόνα του αθροίσματος και τον κανόνα του γινομένου. Θα

δούμε ότι από τους δύο αυτούς πολύ απλούς κανόνες θα φτάσουμε εύκολα στους

διωνυμικούς συντελεστές και στη διακριτή πιθανότητα όπως επίσης και σε διάφορα

προβλήματα μέτρησης που έχουν βάση τους κανόνες αυτούς.

1.1 Ο κανόνας του αθροίσματος

Ας υποθέσουμε ότι ένας φίλος σας γιορτάζει και θέλετε να του αγοράσετε ένα βιβλίο.

Γνωρίζοντας ότι ο φίλος σας είναι φανατικός αναγνώστης βιβλίων με βιογραφίες

διακεκριμένων επιστημόνων και βιβλίων εκλαϊκευμένης επιστήμης, κάνετε μια μικρή έρευνα

αγοράς στο βιβλιοπωλείο προσπαθώντας να εντοπίσετε τα βιβλία αυτά που είναι πιθανόν να

του αρέσουν.

Ύστερα από αρκετό ψάξιμο, φτιάχνετε την εξής λίστα βιβλίων για τις δύο κατηγορίες που

ενδιαφέρουν το φίλο σας:



ΠΛΗ 20 6

Το πρώτο βιβλίο στην κατηγορία των βιογραφιών καταγράφει και αναλύει τις πτυχές της

προσωπικότητας και της επιστημονικής συνεισφοράς του Alan Turing, του θεμελιωτή της

σύγρονης Θεωρίας των Υπολογιστών. Το δεύτερο βιβλίο στις βιογραφίες αναφέρεται στη

ζωή και στο έργο του Paul Erdös, ενός από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του

περασμένου αιώνα του οποίου η σκέψη επηρέασε μία ολόκληρη στρατιά νεώτερων

επιστημόνων που έχουν διαπρέψει στην περιοχή των Διακριτών Μαθηματικών και της

Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών.

Το πρώτο βιβλίο στην κατηγορία της εκλαϊκευμένης επιστήμης πραγματεύεται με περίτεχνο

λογοτεχικό τρόπο τον κοινό παρονομαστή πίσω από τρία μεγαλειώδη δημιουργήματα της

ανθρώπινης διανόησης: τα Μαθηματικά (Gödel), τη Ζωγραφική (Escher), και τη Μουσική

(Bach). Ο συγγραφές έχει τιμηθεί για το βιβλίο αυτό με το βραβείο Pulitzer ενώ το βιβλίο

κυκλοφορεί μεταφρασμένο και στα ελληνικά. Το δεύτερο βιβλίο της κατηγορίας

επικεντρώνεται στο βαθύ φιλοσοφικό ερώτημα του εάν η ανθρώπινη διανόηση είναι προϊόν

κάποιας μηχανιστικής διαδικασίας (αλγόριθμος). Με πιο απλά λόγια, είναι ο ανθρώπινος

νους μία πολύπλοκη μηχανή ή υπάρχει κάτι άλλο που καθιστά τον άνθρωπο να σκέφτεται

και να έχει συνείδηση; Τέλος, το τρίτο βιβλίο της κατηγορίας αφορά τους κίνδυνους της

Βιογραφίες:Alan Turing, the enigma

,του Andrew HodgesThe man who loved only

numbers, του Paul Hoffman

Εκλαϊκευμένη επιστήμη:Gödel, Escher, Bach: an

eternal golden braid, του Douglas Hofstadter

Minds, Brains, & Science, του John Searle

Profiles of the future, του Arthur C. Clarke

http://www.turing.org.uk/book/index.html

http://www.turing.org.uk/

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Erdos.html

http://www.cogs.indiana.edu/people/homepages/hofstadter.html

http://ist-socrates.berkeley.edu/~jsearle/

http://en.wikipedia.org/wiki/Arthur_Clarke



ΠΛΗ 20 7

επιστημονικής προφητείας καθώς και το γεγονός ότι οτιδήποτε είναι επιστημονική φαντασία

χθες μπορεί να γίνει πραγματικότητα κάποια στιγμή στο μέλλον.

Ας επιστρέψουμε όμως στο αρχικό μας πρόβλημα, της επιλογής ενός βιβλίου για το φίλο

μας! Όπως είδαμε, καταλήξαμε στις επιλογές που φαίνονται στον πιο πάνω πίνακα. Το

ερώτημα είναι, τώρα, πόσες δυνατές επιλογές υπάρχουν για την επιλογή ενός βιβλίου για

δώρο; Η απάντηση διαφαίνεται σχεδόν άμεσα: υπάρχουν 2 κατηγορίες βιβλίων. Η πρώτη

κατηγορία έχει 2 βιβλία ενώ η δεύτερη 3. Συνεπώς, ο συνολικός αριθμός των διαθέσιμων

επιλογών μας είναι ίσος με 2+3=5.

Προσοχή όμως! Η απλότητα που υπάρχει στα όσα είπαμε ξεγελά. Υπάρχουν περιπτώσεις

στις οποίες δεν ισχύει αυτό που είπαμε. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το πρώτο βιβλίο

της κατηγορίας με τις βιογραφίες μπορούσε να ενταχθεί και στην κατηγορία της

εκλαϊκευμένης επιστήμης (πράγμα που είναι αλήθεια στη συγκεκριμένη περίπτωση).

Συνεπώς, οι δύο κατηγορίες είναι τώρα έτσι καθορισμένες ώστε να περιέχουν ένα κοινό

στοιχείο. Πόσες δυνατές επιλογές έχουμε τώρα; Η πρώτη κατηγορία έχει περιέχει 2 βιβλία,

θα έλεγε κανείς, ενώ η δεύτερη κατηγορία περιέχει 4 βιβλία. Συνεπώς, μία βιαστική

εφαρμογή του κανόνα του αθροίσματος μας λέει ότι ο συνολικός αριθμός των επιλογών μας

είναι ίσος με 2+4=6. Είναι αυτό σωστό; Δεν είναι, βέβαια, καθώς έχουμε διπλομετρήσει το

βιβλίο που υποθέσαμε ότι ανήκει και στις δύο κατηγορίες. Ο συνολικός αριθμός των

επιλογών μας δεν είναι 2+4=6 αλλα παραμένει 2+3=5, αποφεύγοντας τη διπλομέτρηση του

βιβλίου που ανήκει και στις δύο κατηγορίες. Στην περίπτωση που δεν έχουμε κοινά στοιχεία,

λέμε ότι έχουμε αμοιβαία αποκλειόμενες επιλογές ή, γενικότερα, αμοιβαία αποκλειόμενα

ενδεχόμενα. Τα ενδεχόμενα εδώ είναι οι 2 επιλογές που έχουμε: είτε από την πρώτη

κατηγορία είτε από τη δεύτερη. Στην πρώτη περίπτωση που εξετάσαμε, τα δύο ενδεχόμενα,

δηλαδή οι δύο επιλογές, είτε από την πρώτη κατηγορία είτε απότη δεύτερη, είναι αμοιβαία

αποκλειόμενες διότι η επιλογή ενός βιβλίου μιας από αυτές, σίγουρα δεν μπορεί να είναι

επιλογή βιβλίου και από τη δεύτερη κατηγορία (καθώς οι δύο κατηγορίες δεν περιέχουν

κοινά στοιχεία). Στη δεύτερη περίπτωση, όμως, που εξετάσαμε (όπου είχαμε ένα βιβλίο να

ανήκει και στις 2 κατηγορίες) δεν ήταν οι δύο επιλογές αμοιβαία αποκλειόμενες καθώς η



ΠΛΗ 20 8

επιλογή του κοινού βιβλίου από την πρώτη κατογορία αποτελεί, ταυτόχρονα, και επιλογή

από τη δεύτερη κατηγορία!

Ας διατυπώσουμε, λοιπόν, τον κανόνα του αθροίσματος για δύο ενδεχόμενα (η γενίκευση

είναι άμεση):

Εάν ένα ενδεχόμενο (ή μία επιλογή) μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς

τρόπους ενώ ένα άλλο ενδεχόμενο (μία άλλη επιλογή) μπορεί να πραγματοποιηθεί

με διαφορετικούς τρόπους και τα δύο ενδεχόμενα δεν μπορεί να

πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα, δηλαδή είναι αμοιβαία αποκλειόμενα, τότε η

πραγματοποίηση κάποιου από τα δύο αυτά ενδεχόμενα μπορεί να γίνει με

διαφορετικούς τρόπους.

1.2 Ο κανόνας του γινομένου

Ας υποθέσουμε, τώρα, ότι θέλετε το δώρο σας να περιλαμβάνει δύο βιβλία και όχι μόνο ένα

και μάλιστα να αποτελείται από ένα βιβλίο από την κατηγορία βιογραφίες και ένα βιβλίο από

την κατηγορία εκλαϊκευμένης επιστήμης. Τώρα, πόσες δυνατές επιλογές είναι στη διάθεσή

σας;

Στην περίπτωση αυτή, θα βοηθούσε στην κατανόηση του προβλήματός μας ο πιο κάτω

πίνακας:

Gödel, Escher, Bach: an eternal golden braid, του Douglas Hofstadter

Minds, Brains, & Science, του John Searle

Profiles of the future, του Arthur C. Clarke

Alan Turing, the enigma, του Andrew Hodges

Alan Turing, the enigma, του Andrew Hodges,Gödel, Escher, Bach: an eternal golden

Alan Turing, the enigma, του Andrew Hodges,Minds, Brains, & Science, του John

Alan Turing, the enigma, του Andrew Hodges,Profiles of the future, του Arthur C. Clarke



ΠΛΗ 20 9

braid, του Douglas Hofstadter

Searle

The man who loved only numbers, του Paul Hoffman

The man who loved only numbers, του Paul Hoffman,Gödel, Escher, Bach: an eternal golden braid, του Douglas Hofstadter

The man who loved only numbers, του Paul Hoffman,Minds, Brains, & Science, του John Searle

The man who loved only numbers, του Paul Hoffman,Profiles of the future, του Arthur C. Clarke

Στον πίνακα αυτό, στην κόκκινη στήλη, φαίνονται τα βιβλία που ανήκουν στην κατηγορία

των βιογραφιών. Στην μπλε γραμμή έχουμε τα βιβλία που ανήκουν στην κατηγορία της

εκλαϊκευμένης επιστήμης. Σε κάθε ένα λευκό κουτάκι του πίνακα, τώρα, συναντιέται μία

γραμμή (που ξεκινά από κόκκινο κουτάκι) και μία στήλη (που ξεκινά από μπλε κουτάκι) που

αντιστοιχούν σε ένα ζεύγος βιβλίων: ένα από την κατηγορία βιογραφίες και ένα από την

κατηγορία εκλαϊκευμένης επιστήμης. Άρα, πόσα ζεύγη βιβλίων μπορούμε να σχηματίσουμε

που περιέχουν ένα βιβλίο από την πρώτη κατηγορία και ένα από τη δεύτερη; Μα όσα είναι

και τα λευκά κουτάκια του πίνακα! Ο αριθμός από τα κουτάκια αυτά είναι ίσος με το

γινόμενο του αριθμού των γραμμών και του αριθμού των στηλών του πίνακα αυτού ή,

ισοδύναμα, ίσος με το γινόμενο του αριθμού των βιβλίων της πρώτης κατηγορίας και του

αριθμού των βιβλίων της δεύτερης κατηγορίας, δηλαδή .

Προσοχή, πάλι, όμως! Όπως και στην περίπτωση του κανόνα του αθροίσματος, θα πρέπει

και εδώ να είμαστε προσεκτικοί! Κι εδώ υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες αυτό που μόλις

είπαμε δεν ισχύει. Υποθέστε ότι η επιλογή του πρώτου βιβλίου της κατηγορίας των

βιογραφιών αποκλείει την επιλογή του πρώτου βιβλίου της κατηγορίας εκλαϊκευμένης

επιστήμης λόγω συνάφειας του αντικειμένου που πραγματεύονται. Δεν θα θέλαμε να

κάνουμε δώρο στο φίλο μας δύο βιβλία με συνάφεια στο θέμα που πραγματεύονται. Τώρα

πόσες είναι οι δυνατές επιλογές δύο βιβλίων από τις δύο κατηγορίες μας; Είναι πάλι 23=6;

Δεν είναι, βέβαια, γιατί η επιλογή του πρώτου βιβλίου από την πρώτη κατηγορία αυτόματα

αποκλείει κάποια επιλογή από τη δεύτερη κατηγορία, δηλαδή οι δύο επιλογές μας δεν είναι

ανεξάρτητες. Συνεπώς, οι επιλογές μας είναι μόνο 5.

Ας διατυπώσουμε, τώρα, και τον κανόνα:



ΠΛΗ 20 10

Εάν ένα ενδεχόμενο μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους ενώ

ένα άλλο, ανεξάρτητο, ενδεχόμενο μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς

τρόπους, τότε ο συνδυασμός των δύο ενδεχομένων μπορεί να πραγματοποιηθεί με


1.3 Διατάξεις αντικειμένων

Στην ενότητα αυτή θα δούμε μία πολύ απλή εφαρμογή των κανόνων του αθροίσματος και

του γινομένου η οποία θα μας οδηγήσει σε μία πολύ σημαντική έννοια της συνδυαστικής,

την έννοια της μετάθεσης των στοιχείων ενός συνόλου.

Έστω ένα σύνολο που περιέχει 3 στοιχεία, το 1 το 2 και το 3. Με πόσους διαφορετικούς

τρόπους μπορούμε να τα τοποθετήσουμε το ένα δίπλα στο άλλο; Ένας τρόπος, για

παράδειγμα, είναι και ο εξής:

Ένας άλλος τρόπος είναι ο εξής:

Ακόμη ένας άλλος τρόπος είναι ο εξής:

1 2 3

2 1 3

3 2 1



ΠΛΗ 20 11

Πόσες, όμως, διαφορετικές διατάξεις μπορούμε να σχηματίσουμε από τα δοσμένα 3

στοιχεία; Μπορούμε να σχηματίσουμε 6 διατάξεις και αυτό μπορούμε να το δούμε ως εξής:

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τρία κενά, αριθμημένα κουτάκια στα οποία θέλουμε να

τοποθετήσουμε τις τρεις δοσμένες μπάλες:

Ας ξεκινήσουμε τη διαδικασία

τοποθέτησης των μπαλών στα κουτιά. Στο πρώτο κουτί μπορούμε να τοποθετήσουμε είτε τη

μπάλα 1 είτε τη μπάλα 2 είτε την μπάλα 3, αλλά όχι ταυτόχρονα περισσότερες από μία.

Σύμφωνα με τον κανόνα του αθροίσματος, το πρώτο κουτί (με αριθμό 1) μπορεί να γεμίσει

με 3 τρόπους. Αφού μπει μία από τις 3 μπάλες στο πρώτο κουτί, το δεύτερο κουτί μπορεί να

γεμίσει μόνο με 2 διαφορετικούς τρόπους. Τέλος, το τρίτο κουτί μπορεί να γεμίσει μόνο με 1

τρόπο, με την μπάλα που απομένει μετά την τοποθέτηση των 2 μπαλών στα πρώτα 2 κουτιά.

Συνεπώς, συνοψίζοντας, το πρώτο κουτί μπορεί να γεμίσει με 3 τρόπους, το δεύτερο με 2

και το τρίτο με 1 τρόπο. Άρα, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου, τα τρία κουτιά μαζί

μπορούν να γεμίσουν με διαφορετικούς τρόπους.

Τώρα η γενίκευση είναι απλή! Εάν έχουμε στη διάθεσή μας όχι 3 αντικείμενα αλλά, γενικά,

, με πόσους διαφορετικούς τρόπους γεμίζουν κουτιά; Το πρώτο κουτί μπορεί να γεμίσει

με τρόπους. Το δεύτερο κουτί με τρόπους. Το τρίτο κουτί με .

Επαναλαμβάνοντας τη λογική αυτή, φτάνουμε στο τελευταίο κουτί το οποίο, βέβαια, μπορεί

να γεμίσει με 1 μόνο τρόπο. Συνολικά, με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να

γεμίσουν και τα κουτιά; Εφαρμόζοντας τον κανόνα του γινομένου, παίρνουμε ότι ο

αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να γεμίσουν τα κουτιά είναι ίσος με

.

1 2 3

1 2 3



ΠΛΗ 20 12

Η ποσότητα αυτή είναι γνωστή ως «νι παραγοντικό» και συμβολίζεται με Έχει, δε,

μεγάλη σημασία στη συνδυαστική και ανακύπτει σε πλήθος άλλων εφαρμογών, μία από τις

οποίες θα δούμε στην αμέσως επόμενη ενότητα.

1.4 Διωνυμικοί συντελεστές

Ας εξετάσουμε, τώρα, το εξής πρόβλημα: πόσες διαφορετικές ομάδες των 3 ατόμων

μπορούμε να σχηματίσουμε από 5 διαθέσιμα άτομα; Δύο ομάδες θεωρούνται διαφορετικές

όταν διαφέρουν σε τουλάχιστον ένα μέλος.

Ας υποθέσουμε ότι τα 5 διαθέσιμα άτομα είναι τα εξής: . Μια από τις δυνατές

ομάδες των 3 ατόμων είναι και η . Μια άλλη ομάδα είναι και η . Ακόμη μία από

τις δυνατές ομάδες είναι και η . Πόσες, όμως, συνολικά ομάδες υπάρχουν και ποιες

είναι αυτές; Με λίγη υπομονή μπορούμε να σχηματίσουμε όλες τις δυνατές ομάδες των

τριών ατόμων, οι οποίες είναι οι εξής:

{ }, , , , , , , , ,{ }, ,2 3 4 { }, ,1 3 4 { }, ,1 2 4 { }, ,1 2 3 { }, ,1 2 5 { }, ,1 3 5 { }, ,1 4 5 { }, ,2 3 5 { }, ,2 4 5 { }, ,3 4 5

Προσέξτε ότι στο σχηματισμό μίας ομάδας, π.χ. της , δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των

μελών της. Με άλλα λόγια, οι ομάδες και θεωρούνται ίδιες και αναφέρουμε,

συνηθως, εκείνη που τα μέλη της είναι τοποθετημένα σύνμφωνα με μία διάταξη (εδώ τα

μέλη είναι τοποθετημένα σύμφωνα με αύξουσα διάταξη των αριθμών-μελών).

Στο σημείο αυτό, είναι καλό να ελέγξετε ότι, πράγματι, έχουμε συμπεριλάβει όλες τις

δυνατές τριάδες στην πιο πάνω λίστα!

Πόσες είναι οι τριάδες αυτές; Όταν έχουμε 5 διαθέσιμα άτομα, υπάρχουν 10 ομάδες των 3

ατόμων όπως δείχνει και η λίστα που σχηματίσαμε. Πόσες ομάδες των 4 ατόμων υπάρχουν;



ΠΛΗ 20 13

Η λίστα, τώρα, είναι η εξής και περιέχει 5 δυνατές ομάδες των 4 ατόμων από 5 διαθέσιμα

άτομα:

{ }, , , ,{ }, , ,1 2 3 4 { }, , ,1 2 3 5 { }, , ,1 2 4 5 { }, , ,1 3 4 5 { }, , ,2 3 4 5

Εάν είχαμε 6 άτομα στη διάθεσή μας, πόσες ομάδες των 4 ατόμων θα υπήρχαν; Η λίστα μας

είναι η εξής (με λίγη υπομονή μπορείτε να την ελέγξετε!):

{ }, , ,1 2 3 4 { }, , ,1 2 3 5 { }, , ,1 2 4 5 { }, , ,1 3 4 5 { }, , ,2 3 4 5 { }, , ,1 2 3 6, , , , , ,{

{ }, , ,1 2 4 6 { }, , ,1 2 5 6 { }, , ,1 3 4 6 { }, , ,1 3 5 6 { }, , ,1 4 5 6 { }, , ,2 3 4 6, , , , , ,

{ }, , ,2 3 5 6 { }, , ,2 4 5 6 { }, , ,3 4 5 6, , }

Η λίστα, όπως παρατηρούμε, έχει 15 δυνατές ομάδες των 4 ατόμων από 5 διαθέσιμα άτομα.

Όλα καλά μέχρι εδώ. Όμως δεν μπορούμε να προσπαθούμε να κατασκευάσουμε κάθε φορά

την λίστα των δυνατών ομάδων για να μάθουμε πόσες δυνατές ομάδες των ατόμων

μπορούμε να σχηματίσουμε από διαθέσιμα άτομα! Ήδη για τις τόσο μικρές τιμές των

και που δοκιμάσαμε η διαδικασία ήταν πολύ κοπιαστική.

Ας σκεφτούμε λίγο το πρόβλημά μας γενικότερα. Έχουμε ένα σύνολο από διαφορετικά

αντικείμενα, έστω . Στόχος μας είναι να βρούμε τον αριθμό των διαφορετικών

ομάδων αντικειμένων που μπορούμε να σχηματίσουμε από μέλη του δοσμένου συνόλου

. Ας συμβολίσουμε με τον αριθμό των υποσυνόλων αυτών και ας επιλέξουμε ένα

από αυτά, το οποίο βέβαια περιέχει στοιχεία. Θεωρήστε ότι έχετε παρατεταγμένα

κουτάκια το ένα δίπλα στο άλλο και στα πρώτα από αυτά τοποθετείτε τα στοιχεία του

συνόλου που επιλέξατε. Εάν, για παράδειγμα, και το σύνολο που επιλέξαμε είναι το

σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία 1, 3, και 4 θα είχαμε την πιο κάτω τοποθέτηση:

1 2 3 4 n



ΠΛΗ 20 14

Περισσεύουν, βέβαια, στοιχεία (τα στοιχεία 2, 5, 6 ... ) τα οποία και

τοποθετούμε στα υπόλοιπα κουτάκια. Με πόσους τρόπους, τώρα, μπορούμε να διατάξουμε

τα στοιχεία στα πρώτα κουτάκια; Με 3!=6 τρόπους φυσικά (δείτε τον τύπο που δίνει

τον αριθμό των μεταθέσεων των στοιχείων ενός συνόλου)! Με πόσους τρόπους μπορούμε

να διατάξουμε τα στοιχεία στα υπόλοιπα κουτάκια; Με τρόπους. Συνολικά, τότε, με

πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τα συγκεκριμένα 3 στοιχεία στα πρώτα 3

κουτάκια και τα υπόλοιπα στοιχεία στα υπόλοιπα κουτάκια; Από τον κανόνα του γινομένου

έχουμε ότι ο αριθμός των τοποθετήσεων αυτών είναι ίσος με

Η διαδικασία που περιγράψαμε μπορεί να επαναληφθεί για οποιοδήποτε από τα

σύνολα 3 στοιχείων. Προσέξτε ότι δεν υπάρχει περίπτωση να πάρουμε δύο όμοιες

τοποθετήσεις από διαδικασίες που προέρχονται από διαφορετικά σύνολα 3 στοιχείων! Άρα,

οι τοποθετήσεις που παράγονται από κάθε ένα από τα υποσύνολα 3 στοιχείων είναι

διαφορετικές, ίσες στον αριθμό και (προσοχή τώρα!) όλες μαζί δίνουν τις δυνατές

τοποθετήσεις στοιχείων σε κουτάκια (σκεφτείτε το λίγο!). Άρα, ισχύει ότι

από το οποίο παίρνουμε ότι

.

Η γενίκευση πρέπει πια να είναι προφανής! Ο αριθμός των διαφορετικών συνόλων

αντικειμένων που μπορούμε να σχηματίσουμε από μέλη του δοσμένου συνόλου που περιέχει

αντικείμενα δίνεται από τον τύπο

1 2 3 n



ΠΛΗ 20 15

.

Οι αριθμοί ονομάζονται διωνυμικοί συντελεστές και είναι κεντρικής σημασίας στα

διακριτά μαθηματικά. Συμβολίζονται, επίσης, και .

Εάν στις επιλογές των στοιχείων επιτρέπονται και επαναλήψεις (δηλαδή επιλογή ενός

στοιχείου περισσότερες από μία φορές) τότε μπορεί αν αποδειχθεί (δείτε διδακτικό βιβλίο)

ότι ο αριθμός των επιλογών δίνεται από τον τύπο

.

1.5 Το τρίγωνο του Pascal

Υπάρχει ένας πολύ ενδιαφέρων, μα και διασκεδαστικός συνάμα, τρόπος αναπαράστασης

των διωνυμικών συντελεστών που αποκαλύπτει πολλά στοιχεία για τη δομή τους. Ο τρόπος

αυτός αναπαράστασης λέγεται τρίγωνο του Pascal.

Το τρίγωνο του Pascal σχηματίζεται από τους διωνυμικούς συντελεστές όταν τοποθετηθούν

με κατάλληλο τρόπο σε ένα πίνακα.



ΠΛΗ 20 16

Το τρίγωνο αυτό έχει μερικές πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες:

Κάθε αριθμός, κάθε σειράς του τριγώνου (εκτός, βέβαια, του αριθμού 1 που βρίσκεται

στις «παρυφές» του τριγώνου) ισούται με το άθροισμα των δύο πλησιέστερων σε αυτόν

αριθμών της προηγούμενης σειράς (δηλαδή του πάνω αριστερά και του πάνω δεξιά

αριθμού). Αυτό αντανακλά την γνωστή ιδιότητα

.

Προσθέστε τους αριθμούς κάθε σειράς και σημειώστε τους δίπλα στην αντίστοιχη σειρά.

Θα πρέπει να πάρετε τον ακόλουθο πίνακα:



ΠΛΗ 20 17

Γιατί παρουσιάζονται οι αριθμοί αυτοί στα αθροίσματα των αριθμών κάθε σειράς; Ο

λόγος είναι ότι σε κάθε σειρά το άθροισμα είναι ίσο με τον αριθμό όλων των δυνατών

των υποσυνόλων ενός συνόλου τόσων στοιχείων όσων ο εκθέτης στη δύναμη του 2 στα

δεξιά. Ας δούμε την τελευταία σειρά που αναφέρεται σε υποσύνολα συνόλου 5

στοιχείων. Ο πρώτος αριθμός, το 1 ισούται με τον αριθμό των υποσυνόλων 0 στοιχείων.

Υπάρχει ένα τέτοιο υποσύνολο, το κενό. Ο δεύτερος αριθμός, το 5, ισούται με τον αριθμό

των υποσυνόλων με 1 στοιχείο. Ο τρίτος αριθμός, το 10, ισούται με τον αριθμό των

υποσυνόλων με 2 στοιχεία. Ο τέταρτος αριθμός, το 10, ισούται με τον αριθμό των

υποσυνόλων με 3 στοιχεία. Ο πέμπτος αριθμός, το 5, ισούται με τον αριθμό των

υποσυνόλων με 4 στοιχεία ενώ ο έκτος αριθμός, το 1, ισούται με τον αριθμό των

υποσυνόλων με 5 στοιχεία που είναι ίσος με 1. Αθροίζοντας, συνεπώς, τους αριθμούς των

δυνατών υποσυνόλων θα πρέπει να πάρουμε τον αριθμό 25, καθώς αυτός είναι ο αριθμός

των υποσυνόλων ενός συνόλου 5 στοιχείων. Δεν έχουμε περιγράψει παρά τη γνωστή

ταυτότητα

για

Τώρα, πόσες επιτροπές με 0, 1, 2, 3, και 4 μέλη μπορούν να σχηματιστούν από 4

ανθρώπους; Βέβαια, η απάντηση δίνεται από τον τύπο που μας δίνει τους διωνυμικούς

συντελεστές για εφαρμογή με και αντίστοιχα. Εναλλακτικά, μπορούμε

να υπολογίσουμε τους αριθμούς αυτούς από το τρίγωνό μας! Αρκεί να εντοπίσουμε την

κατάλληλη σειρά! Μπορείτε να βρείτε ποια είναι η κατάλληλη σειρά του τριγώνου για το

πρόβλημά μας; Είναι η σειρά που ξεκινά με τους αριθμούς 1 και 4 (5η σειρά).

Συγκρίνετε, τώρα, τους αριθμούς που βρίσκονται στην τελευταία σειρά του τριγώνου με

τους συντελεστές που βλέπετε πιο κάτω του αναπτύγματος του .



ΠΛΗ 20 18

a5 5 a4 b 10 a3 b2 10 a2 b3 5 a b4 b5

Τι παρατηρείτε; Οι συντελεστές στο ανάπτυγμα είναι οι ίδιοι αριθμοί (και με την ίδια

σειρά, με μειούμενες δυνάμεις του ) που βρίσκονται στην τελευταία σειρά του

τριγώνου! Κτυπήστε εδώ για να υπολογίσετε οποιοδήποτε ανάπτυγμα, το οποίο μπορεί

να δειχθεί (δείτε τα όσα είπαμε εδώ και προσπαθήστε να βρείτε την απόδειξη) ότι έχει την

εξής μορφή:

.

1.6 Γρήγορες ερωτήσεις με γρήγορες απαντήσεις!

Έφτασε η ώρα να εφαρμόσουμε όλα όσα μάθαμε! Προσπαθήστε να απαντήσετε στις πιο

κάτω ερωτήσεις:

1. Βρείτε το ανάπτυγμα της έκφρασης σύμφωνα με μειούμενες δυνάμεις του .

Κοιτώντας την γραμμή του τριγώνου του Pascal που ξεκινά με τους αριθμούς 1 και 5

(κοιτάξτε τον εκθέτη της έκφρασης!), μπορούμε να γράψουμε το ανάπτυγμα ως εξής:

a5 5 a4 b 10 a3 b2 10 a2 b3 5 a b4 b5

Τέλος, μπορείτε να κτυπήστε εδώ για αριθμητική επαλήθευση του αποτελέσματος.



ΠΛΗ 20 19

2. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε μία ομάδα 7 παιδιών

από 10 διαθέσιμα παιδιά;

Ο αριθμός των επιλογών δίνεται από τον διωνυμικό παράγοντα . Κτυπώντας εδώ

μπορείτε να υπολογίσετε τον διωνυμικό παράγοντα και να γενικεύσετε το πρόβλημα

απαντώντας στο ερώτημα «Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε

μία ομάδα παιδιών από διαθέσιμα παιδιά (φυσικά θα πρέπει να ισχύει );».

3. Πόσες λέξεις των 9 ψηφίων 0 και 1 περιέχουν ακριβώς 4 μηδενικά; Ένα παράδειγμα

τέτοιας λέξης είναι η 011010110.

Η απάντηση, ξανά, δίνεται από τους διωνυμικούς συντελεστές . Στη συγκεκριμένη

περίπτωση και , οπότε ο αριθμός των λέξεων 9 δυαδικών ψηφίων (0 και 1) που

περιέχουν ακριβώς 4 μηδενικά είναι ίσος με . Ένα πρόβλημα όμοιο με αυτό που

είδαμε, ζητά με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε στη σειρά 4 μικρής διάρκειας

νότες και 5 μεγαλύτερης διάρκειας ώστε να σχηματιστεί μία ακολουθία από 9 νότες. Αυτό το

πρόβλημα ονομάζεται προσωδία και ήταν το αντικείμενο ενδιαφέροντος πολλών

μαθηματικών που μελέτησαν τους διωνυμικούς συντελεστές στην ΙνδίαLivhead.ico

.

4. Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούν να εμφανιστούν με τη ρίψη τριών

ζαριών;

Ο αριθμός αυτός είναι ίσος με (δείτε τον τύπο επιλογών με επαναλήψεις), όπου

, ο αριθμός των διαφορετικών αποτελεσμάτων κάθε ζαριού, και , ο αριθμός των

ζαριών, δηλαδή των επιλογών ενός από τους 6 αριθμούς, με επαναλήψεις να επιτρέπονται

(καθώς, π.χ., δύο από τα ζάρια μπορούν να φέρουν το ίδιο αποτέλεσμα). Κάνοντας την

αντικατάσταση βρίσκουμε ότι υπάρχουν διαφορετικές εμφανίσεις

http://binomial.csuhayward.edu/India.html



ΠΛΗ 20 20

αποτελεσμάτων μετά τη ρίψη των τριών ζαριών. Πατήστε εδώ για να κάνετε

υπολογισμούς με διάφορα και .

5. Πόσες διαφορετικές λύσεις υπάρχουν στην εξίσωση με

όλα τα μη αρνητικά;

Υπάρχουν 56 λύσεις! Μπορείτε να δείτε γιατί (χρησιμοποιήστε το αποτέλεσμα στην άσκηση

4 πιο πάνω);

6. Πόσες διαφορετικές λύσεις υπάρχουν στην εξίσωση με όλα τα

μη αρνητικά;

Υπάρχουν διαφορετικές λύσεις.

7. Έστω ότι έχουμε σφαιρίδια του ίδιου χρώματος (και, συνεπώς, μη

διακεκριμένα μεταξύ τους ή, με άλλα λόγια, όμοια αντικείμενα) και κουτιά

αριθμημένα από το 1 έως και το (και, συνεπώς, διακεκριμένα ή, με άλλα λόγια, εάν

είναι γεμάτο ένα από αυτά τα κουτιά, έχει σημασία ποιο κουτί είναι αυτό). Πόσοι

διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν για την τοποθέτηση των σφαιριδίων στα κουτιά;

Ξανά η απάντηση είναι . Γιατί όμως;

8. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν τα σφαιρίδια εάν

κανένα κουτί δεν επιτρέπεται να περιέχει περισσότερα από ένα σφαιρίδιο;

Η απάντηση δίνεται από την παράσταση . Προσέξτε, ότι για η παράσταση

αυτή ισούται με 0.

9. Με πόσους τρόπους γίνεται η τοποθέτηση εάν κάθε κουτί πρέπει να περιέχει

τουλάχιστον ένα σφαιρίδιο;



ΠΛΗ 20 21

Η αριθμός των τοποθετήσεων δίνεται από την παράσταση . Η παράσταση αυτή

ισούται, εξ ορισμού, με 0 εάν .

Γενικά, υπάρχουν τα εξής τρία μοντέλα τοποθέτησης σφαιριδίων σε κουτιά (στον πίνακα

βλέπετε περιγραφή του μοντέλου, τους περιορισμούς που θέτει στα σφαιρίδια και στα

κουτιά, καθώς και τον αριθμό των τοποθετήσεων σφαιριδίων στα κουτιά σύμφωνα με τους

περιορισμούς του μοντέλου – δείτε και άσκηση 7):

Μοντέλο Περιορισμός Αριθμός τοποθετήσεων

διακεκριμένα σφαιρίδια σε

διακεκριμένα κουτιά

Δεν έχει σημασία η σειρά

εμφάνισης των σφαιριδίων

στα κουτιά (Maxwell -

Boltzmann statistics Livhead.ico

)

διακεκριμένα σφαιρίδια σε

διακεκριμένα κουτιά

Έχει σημασία η σειρά


στα κουτιά

μη διακεκριμένα σφαιρίδια

σε διακεκριμένα κουτιά

Δεν έχει σημασία η σειρά


στα κουτιά (Bose - Einstein

statisticsLivhead.ico

)

μη διακεκριμένα σφαιρίδια

σε διακεκριμένα κουτιά,

Κάθε κουτί περιέχει το πολύ

ένα σφαιρίδιο (Fermi - Dirac

statisticsLivhead.ico

)

Το πρόβλημα των κατανομών σφαιριδίων σε κουτιά μοντελοποιεί προβλήματα κατανομών

υποατομικών σωματιδίων σε ενεργειακά επίπεδα στη Στατιστική Φυσική γι’ αυτό και έχουμε

συμπεριλάβει σχετικού συνδέσουμε στη μεσαία στήλη στον πιο πάνω πίνακα. Χωρίς να

επεκταθούμε περισσότερο στα πλαίσια του υπερκειμένου αυτού, θα συνιστούσαμε στον

http://www.answers.com/main/ntquery?method=4&dsid=2222&dekey=Fermi-Dirac+statistics&gwp=8&curtab=2222_1

http://www.answers.com/main/ntquery?method=4&dsid=2222&dekey=Fermi-Dirac+statistics&gwp=8&curtab=2222_1

http://www.answers.com/topic/bose-einstein-statistics

http://www.answers.com/topic/bose-einstein-statistics

http://www.answers.com/main/ntquery?method=4&dsid=2222&dekey=Maxwell-Boltzmann+distribution&gwp=8&curtab=2222_1

http://www.answers.com/main/ntquery?method=4&dsid=2222&dekey=Maxwell-Boltzmann+distribution&gwp=8&curtab=2222_1



ΠΛΗ 20 22

αναγνώστη που θα ήθελε να διαβάσει περισσότερα για την πολύ ενδιαφέρουσα αυτή σχέση

μεταξύ Μαθηματικών και Φυσικής να επισκεφτεί αυτήLivhead.ico

την περιοχή του διαδικτύου καθώς

και αυτήLivhead.ico

.

1.7 Βασική θεωρία μέτρησης και πιθανότητες

Ας θεωρήσουμε το εξής πρόβλημα: σας δίνουν τα 52 χαρτιά μιας τράπουλας (ανακατεμένα!)

και σας ζητούν να τραβήξετε ένα χαρτί. Ποιά είναι η πιθανότητα να τραβήξετε «Άσο»;

Γενικά, για τους σκοπούς μας, η πιθανότητα να συμβεί κάτι που μας ενδιαφέρει όταν

εκτελούμε ένα τυχαίο πείραμα (π.χ. τράβηγμα ενός φύλλου της τράπουλας) είναι ίση με το

πηλίκο του αριθμού των αποτελεσμάτων του πειράματος που υλοποιούν το γεγονός που μας

ενδιαφέρει προς το συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων του πειράματος. Έτσι, στην

περίπτωση του τραβήγματος ενός χαρτιού (το πείραμά μας) η πιθανότητα να προκύψει

«΄Ασος» στο τράβηγμα ενός χαρτιού είναι ίση με 4/52 καθώς ο αριθμός των άσων είναι ίσος

με 4 και ο συνολικός αριθμός των χαρτιών είναι ίσος με 52.

Ποια είναι, τώρα, η πιθανότητα να έχω άσο και στο πρώτο και στο δεύτερο τράβηγμα

χαρτιών; Το πείραμά μας, τώρα, είναι η επιλογή ενός χαρτιού δύο συνεχόμενες φορές. Ας

υποθέσουμε ότι μετά το πρώτο τράβηγμα, δεν επανατοποθετούμε το φύλο που τραβήξαμε

πίσω στην τράπουλα. Ποια είναι, πρώτα-πρώτα, η πιθανότητα να έχουμε άσο στο πρώτο

τράβηγμα; Την υπολογίσαμε αμέσως πιο πάνω και είναι ίση με 4/52. Ποια, είναι, τώρα η

πιθανότητα να είναι άσος το χαρτί από το δεύτερο τράβηγμα; Τώρα, φυσικά, τα χαρτιά που

είναι 51 στον αριθμό. Οπότε η πιθανότητα θα έχει στον παρονομαστή αντί για 52 το 51. Τι

θα έχει, όμως, στον αριθμητή; Δυστυχώς η απάντηση δεν είναι μονοσήμαντη! Εξαρτάται

από το τι χαρτί έτυχε στο πρώτο τράβηγμα! Εάν έτυχε άσος, τότε η πιθανότητα να έχουμε

άσο στο δεύτερο τράβηγμα είναι ίση με 3/51. Εάν, όμως, δεν έτυχε άσος στο πρώτο

τράβηγμα τότε η πιθανότητα να έχουμε άσο στο δεύτερο τράβηγμα είναι ίση με 4/51. Τα δύο

http://www.physics.unlv.edu/~lepp/jbe/

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/disfcn.html



ΠΛΗ 20 23

ενδεχόμενα, «Άσος στο πρώτο τράβηγμα» και «΄Ασος στο δεύτερο τράβηγμα», καλούνται

εξαρτημένα καθώς η υλοποίηση ή μη του πρώτου από αυτά έχει επίδραση στην πιθανότητα

υλοποίησης του δεύτερου ενδεχόμενου.

Όμως η ταυτόχρονη ρίψη ενός αριθμού ζαριών ή νομισμάτων σχηματίζει ενδεχόμενα που

δεν είναι εξαρτημένα! Για παράδειγμα, εάν ρίξουμε δύο νομίσματα, η πιθανότητα του να

έρθει H (Heads – Κεφαλή) το πρώτο δεν επηρεάζει την πιθανότητα να έρθει T (Tails –

Γράμματα) το δεύτερο και αντίστροφα, φυσικά. Εάν υποθέσουμε ότι η πιθανότητα να έρθει

ένα από αυτά τα νομίσματα H είναι ίση με και η πιθανότητα να έρθει T ίση με , όπου

φυσικά (βασική ιδιότητα των πιθανοτήτων για δύο ενδεχόμενα που η εμφάνιση του

ενός αποκλείει την εμφάνιση του άλλου), τότε οι πιθανότητες για όλα τα δυνατά

αποτελέσματα στα δύο νομίσματα είναι οι εξής:

Νόμισμα 1 Νόμισμα 2 Πιθανότητα

T T

H T

H T

H H

Η πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα τα δύο ενδεχόμενα που φαίνονται στις δύο πρώτες

στήλες είναι ίση με το γινόμενο των επί μέρους πιθανοτήτων ακριβώς γιατί τα δύο

ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα (το τι έφερε το πρώτο ζάρι δεν μπορεί να έχει κάποια σχέση με

αυτό που έφερε το δεύτερο ζάρι και αντίστροφα).

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Ρίχνουμε, ταυτόχρονα, 4 νομίσματα τα οποία είναι δίκαια,

δηλαδή η πιθανότητα να έρθει H ή T είναι ίση με ½. Ποια είναι η πιθανότητα να έρθουν

τουλάχιστον 3 από τα 4 νομίσματα H; Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να βρούμε όλα



ΠΛΗ 20 24

τα δυνατά αποτελέσματα της ρίψης των 4 νομισμάτων, να μετρήσουμε αυτά που μας

ενδιαφέρουν και μετά να διαιρέσουμε με τον αριθμό όλων των δυνατών αποτελεσμάτων. Τα

δυνατά αποτελέσματα από τη ρίψη των 4 νομισμάτων φαίνονται στον εξής πίνακα:

HHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHTTT,,, HHHHHHTTTHHH,,, HHHTTTHHHHHH,,, TTTHHHHHHHHH

HHHHHHTTTTTT,,, HHHTTTHHHTTT,,, HHHTTTTTTHHH,,, TTTHHHHHHTTT,,, TTTHHHTTTHHH,,, TTTTTTHHHHHH

HHHTTTTTTTTT,,, TTTHHHTTTTTT,,, TTTTTTHHHTTT,,, TTTTTTTTTHHH

TTTTTTTTTTTT

Ποια είναι τα αποτελέσματα που μας ενδιαφέρουν; Είναι εκείνα που αντιστοιχούν σε ρίψεις

των 4 νομισμάτων όπου τουλάχιστον 3 νομίσματα έχουν δείξει H. Τα αποτελέσματα αυτά

βρίσκονται στις δύο πρώτες γραμμές του πίνακά μας και ο αριθμός τους είναι ίσος με 5. Το

σύνολο, δε, των δυνατών αποτελεσμάτων είναι ίσο με 16. Συνεπώς, η πιθανότητα

τουλάχιστον 3 νομίσματα να δείξουν H είναι ίση με 5/16.

Τώρα, οι αριθμοί 1,4,6,4,1 που φαίνονται με άσπρη γραμματοσειρά στην τελευταία στήλη

του πίνακά μας κάτι θα πρέπει να σας θυμίζουν! Τους συναντήσαμε λίγο πιο πάνω! Είναι οι

διωνυμικοί συντελεστές που φαίνονται στην πέμπτη γραμμή του πίνακα που περιέχει το

τρίγωνο του Pascal ! Θα πείτε, τώρα, πώς είναι δυνατόν να εμφανίζονται οι διωνυμικοί

συντελεστές στο πρόβλημα υπολογισμού πιθανότητας που εξετάσαμε. Η απάντηση έχει ως

εξής. Έχουμε στη διάθεσή μας νομίσματα και θέλουμε να υπολογίσουμε τον αριθμό των

τρόπων να έρθουν από αυτά H (heads). Ο τρόπος αυτός ισούται με τον αριθμό των

επιλογών υποσυνόλων των αυτών νομισμάτων μεγέθους . Κάθε μία επιλογή αντιστοιχεί

στο να έρθουν όλα τα επιλεγμένα νομίσματα H με τα υπόλοιπα να έχουν έρθει T. Ο αριθμός

αυτός των επιλογών δεν είναι άλλος από οπότε εμφανίζονται οι διωνυμικοί συντελεστές.



ΠΛΗ 20 25

Απλά θέστε και από 0 έως και 4 για να πάρετε τα όσα εμφανίζονται πιο πριν στον

πίνακά μας.

ΕδώLivhead.icoJavaCup.ico

θα βρείτε μία εφαρμογή (σε γλώσσα προγραμματισμού Java) με την οποία

μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα εμφάνισης ενός συγκεκριμένου αριθμού επιτυχιών

σε ένα πείραμα συνεχόμενων ρίψεων νομισμάτων, μεταβάλλοντας την πιθανότητα επιτυχίας

καθώς και τον αριθμό των επιτυχιών που σας ενδιαφέρουν.

2. Γεννήτριες συναρτήσεις και ο ρόλος τους στη θεωρία μέτρησης

Στα μαθηματικά είναι σημαντικό να ανακαλύπτουμε συνδέσμους μεταξύ δύο διαφορετικών

πεδίων, έτσι ώστε να εφαρμόσουμε τις γνώσεις από το ένα πεδίο στο άλλο, ή τουλάχιστον

να πάρουμε ένα πρόβλημα σε ένα πεδίο και να το αλλάξουμε σε ένα πρόβλημα στο άλλο

πεδίο. Αυτή η γενική ιδέα βρίσκεται πίσω από την έννοια της γεννήτριας συνάρτησης

(generating function), η οποία αποτελεί μία απεικόνιση μιας ακολουθίας πραγματικών

αριθμών σε μία πραγματική συνεχή συνάρτηση και το αντίστροφο. Σε όσα ακολουθούν, θα

εξερευνήσουμε την έννοια της γεννήτριας συνάρτησης και θα δούμε μερικές εφαρμογές της

στη θεωρία μέτρησης διακριτών αντικειμένων.

2.1 Ορισμός γεννήτριας συνάρτησης και παραδείγματα

Έστω μια ακολουθία πραγματικών αριθμών . Τότε, η συνήθης γεννήτρια

συνάρτηση (ή, απλώς, γεννήτρια συνάρτηση) της ακολουθίας αυτής, που θα συμβολίζεται με

, ορίζεται ως εξής:

http://binomial.csuhayward.edu/applets/appletBarGraph.html



ΠΛΗ 20 26

.

Δοθείσας της ακολουθίας, το άπειρο αυτό άθροισμα εξαρτάται μόνο από τον πραγματικό

αριθμό , γι’ αυτό και είναι συνάρτηση μόνο του .

Ας υπολογίσουμε τη γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας με γενικό όρο . Η

γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας αυτής είναι . Με τι

ισούται αυτό το άθροισμα; Προσέξτε ότι μέσα στο άθροισμα εμφανίζεται η ακολουθία

. Όμως η ακολουθία αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο .

Υποθέτοντας ότι , που είναι ισοδύναμο με το να υποθέσουμε ότι , εφαρμόζουμε

τα όσα μάθαμε στην προηγούμενη ενότητα, για να καταλήξουμε στο ότι

.

Υπολογίστε τη σειρά της ακολουθίας με γενικό όρο . Από τον ορισμό,

. Όπως μπορεί να αποδειχθεί (π.χ. με επαγωγή), το άθροισμα ισούται με .

Συνεπώς, ενώ κτυπώντας εδώ μπορείτε να εκτελέσετε τον υπολογισμό.

Η έννοια της γεννήτριας συνάρτησης ορίστηκε από τον DeMoivre 1730 με στόχο την

ευκολότερη επίλυση αναδρομικών σχέσεων.



ΠΛΗ 20 27

2.2 Παραδείγματα εφαρμογής γεννητριών συναρτήσεων

Μια κατηγορία προβλημάτων στα οποία η χρήση των γεννητριών συναρτήσεων είναι

ιδιαίτερα σημαντική είναι προβλήματα εύρεσης γενικού όρου ακολουθιών που ορίζονται

μέσω αναδρομικής σχέσης, δηλαδή ακολουθιών των οποίων ο γενικός όρος δίνεται ως

συνάρτηση προηγούμενων όρων της. Σε αναδρομικές σχέσεις οδηγούμαστε πολύ συχνά κατά

την ανάλυση αλγορίθμων που ακολουθούν την τακτική του «διαίρει και βασίλευε» (divide

and conquer) όπως είναι ο πολύ γνωστός αλγόριθμος quicksort.

Για να δούμε, όμως, ένα παράδειγμα χειρισμού μίας αναδρομικής σχέσης. Ας υπολογίσουμε

ένα κλειστό τύπο για το γενικό όρο της ακολουθίας που ορίζεται, αναδρομικά, ως εξής:

. Καθώς η ακολουθία εμπλέκει έναν προηγούμενο όρο, χρειαζόμαστε την τιμή

της ακολουθίας σε κάποια αρχική θέση, έστω τη θέση 0. Συνεπώς, πρέπει να ορίσουμε την

τιμή του όρου . Έστω ότι . Ο καθορισμός του όρου αυτού μας επιτρέπει να ορίσουμε

τον κάθε όρο της ακολουθίας. Για παράδειγμα, ο επόμενος όρος της ακολουθίας, ο όρος ,

δίνεται ως εξής: θέτοντας στην αναδομική σχέση παίρνουμε τη σχέση από

την οποία εύκολα υπολογίζουμε (καθώς ) την τιμή . Ομοίως εργαζόμαστε για τον

επόμενο όρο και, σιγά σιγά, υπολογίζουμε οποιονδήποτε όρο μας ενδιαφέρει! Όμως εμείς

θέλουμε έναν τύπο, που να εμπλέκει μόνο την παράμετρο , που άμεσα θα μας δίνει την

τιμή χωρίς να χρειάζονται οι βήμα-βήμα υπολογισμοί που περιγράψαμε πιο πάνω για την

εύρεση του όρου .

Ο πρώτος μας στόχος είναι να υπολογίσουμε τη γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας

χρησιμοποιώντας τη δοσμένη αναδρομική σχέση. Δεν έχουμε και άλλη επιλογή, βέβαια,

καθώς δεν έχουμε το γενικό όρο της ακολουθίας. Άλλωστε αυτό ακριβώς είναι που θέλουμε

να βρούμε!

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν. Αρχικά, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της αναδρομικής

σχέσης με τον όρο παίρνοντας την ισοδύναμη σχέση

.



ΠΛΗ 20 28

Στη συνέχεια, θα σχηματίσουμε αθροίσματα και στα δύο μέλη, ξεκινώντας από τον αριθμό

που μας δείχνει ποιος είναι ο «πιο προηγούμενος» όρος της ακολουθίας που εμπλέκεται στην

αναδρομική σχέση. Στη συγκεκριμένη σχέση που έχουμε, ο όρος αυτός είναι ο πρώτος

προηγούμενος από τον . Συνεπώς θα αθροίσουμε από το 1 (κοιτάξτε το κάτω όριο του

κάθε αθροίσματος):

.

Έχουμε, τώρα, τρία αθροίσματα να χειριστούμε. Το πρώτο άθροισμα (αριστερά της

ισότητας) δεν είναι άλλο από τη γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας μείον τον όρο

(προσέξτε το κάτω όριο του δεύτερου αθροίσματος!):

.

Ας συνεχίσουμε. Στο δεύτερο άθροισμα της σχέσης ,

παρατηρούμε ότι εμφανίζεται κάτι σαν τη γεννήτρια συνάρτηση της μόνο που υπάρχει

ένα 5 που πολλαπλασιάζει κάθε όρο του αθροίσματος και ο εκθέτης του , που είναι ίσος με

, δεν συμφωνεί με τον δείκτη του όρου που είναι . Τι κάνουμε τώρα; Απλά γράφουμε

το άθροισμα αυτό βγάζοντας έξω από το άθροισμα το 5 και το παίρνοντας το εξής:

.

Όσο για το τελευταίο άθροισμα, αυτό υπολογίζεται από τη γνωστή μας σχέση που δίνει το

άθροισμα των όρων μίας γεωμετρικής προόδου:



ΠΛΗ 20 29

.

Συγκεντρώνοντας τα όσα βρήκαμε, μπορούμε να γράψουμε τα εξής:

.

Καθώς θέλουμε να βρούμε τη γεννήτρια συνάρτηση , λύνουμε την σχέση της δεύτερης

γραμμής ως προς κάνοντας λίγες αλγεβρικές πράξεις έτσι ώστε να φέρουμε το

αριστερά της ισότητας (πολλαπλασιασμένο με κάτι) και τα υπόλοιπα δεξιά της ισότητας:

.

Συνεπώς, έχουμε το εξής:

.

Αναλύοντας την παράσταση στο δεξί μέρος σε μερικά κλάσματα (partial fractions) (δηλαδή

κλάσματα της μορφής ) όπως εξηγείται στο διδακτικό σας βιβλίο βρίσκουμε την

εξής παράσταση:

.



ΠΛΗ 20 30

Έχοντας την ανάλυση αυτή, μπορούμε να ανακτήσουμε την ακολουθία που αντιστοιχεί

στη γεννήτρια συνάρτηση (δείτε το διδακτικό σας βιβλίο για περιγραφή της

διαδικασίας αυτής):

.

Άλλη μια χρήση των γεννητριών συναρτήσεων είναι στην επίλυση προβλημάτων μέτρησης.

Τα περισσότερα προβλήματα μέτρησης που συναντάμε στα διακριτά μαθηματικά ανάγονται

στην εύρεση του γενικού όρου μιας ακολουθίας που αντιστοιχεί σε αυτό που πρέπει να

μετρηθεί σύμφωνα με το πρόβλημα. Για να καταλάβουμε πώς οι γεννήτριες συναρτήσεις

εμπλέκονται σε διάφορα προβλήματα μέτρησης, ας εξετάσουμε το πώς σχηματίζεται ο

συντελεστής του όρου στο ανάπτυγμα του . Γράφοντας πιο αναλυτικά την

παράσταση αυτή έχουμε το εξής:

.

Τότε κάθε όρος στο ανάπτυγμα του γινομένων θα σχηματίζεται από την επιλογή ενός από

τους 2 όρους που υπάρχουν στις παραστάσεις , δηλαδή είτε από το 1 είτε από το σε

κάθε μία από αυτές τις παραστάσεις. Συνεπώς, ο όρος δηλώνει ότι έχει προέλθει από τη

συμμετοχή επιλογών του και επιλογών του 1. Εάν θέλαμε να είμασταν πιο

αναλυτικοί, θα γράφαμε ότι ο όρος είναι στην πραγματικότητα ο . Ποιος είναι όμως

ο συντελεστής του ; Θα είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούμε

να επιλέξουμε από τις παραστάσεις φορές το και φορές το 1. Ο αριθμός των

τρόπων αυτών είναι ίσος με (δυωνυμικό θεώρημα). Συνεπώς, ο συντελεστής του



ΠΛΗ 20 31

είναι ίσος με και ισούται με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να

επιλέξουμε φορές το .

Ας δούμε ένα άλλο πρόβλημα. Σε μία βιβλιοθήκη υπάρχουν 5 μαύρα βιβλία (δεν μας

ενδιαφέρει ο τίτλος, τα θεωρούμε ίδια!), 4 κόκκινα βιβλία και 3 κίτρινα βιβλία. Με πόσους

τρόπους μπορεί ένας φοιτητής να δανειστεί 2 βιβλία από κάθε χρώμα, δηλαδή 2 μαύρα, 2

κόκκινα και 2 κίτρινα βιβλία; Σκεπτόμαστε ως εξής. Πόσες δυνατές επιλογές μπορούμε να

κάνουμε από κάθε χρώμα; Βέβαια, μας ενδιαφέρει η επιλογή 2 βιβλίων από κάθε χρώμα

αλλά ας εξετάσουμε τον μέγιστο αριθμό επιλογών από κάθε χρώμα και θα επικεντρώσουμε

στο τέλος στην επιλογή 2 βιβλίων. Ας αρχίσουμε με τα μαύρα βιβλία. Μπορούμε είτε να μην

επιλέξουμε κανένα, είτε να επιλέξουμε 1, είτε 2, είτε 3, είτε 4, είτε, τέλος, 5 (κάθε μια από

τις επιλογές αυτές μπορεί να γίνει με ένα τρόπο, καθώς τα βιβλία δεν θεωρούνται

διακεκριμένα). Ομοίως για τα κόκκινα βιβλία: μπορούμε είτε να μην επιλέξουμε κανένα από

αυτά, είτε 1, είτε 2, είτε 3, είτε 4 κόκκινα βιβλία. Τέλος, για τα κίτρινα βιβλία ισχύει κάτι

παρόμοιο: μπορούμε είτε να μην επιλέξουμε κανένα από αυτά, είτε 1, είτε 2, είτε 3 κίτρινα

βιβλία. Στη συνέχεια, για κάθε διαφορετικό χρώμα βιβλίου, κωδικοποιούμε τις δυνατές

επιλογές με χρήση γεννητριών συναρτήσεων που όμως τις έχουμε περικόψει έτσι ώστε να

αντικατοπτρίζουν το γεγονός ότι ο μέγιστος αριθμός των επιλογών από κάθε κατηγορία

αντικειμένων είναι συγκεκριμένος:

Κάθε δύναμη μιας από τις μεταβλητές κωδικοποιεί τον αριθμό των επιλογών ανά χρώμα

ανάλογα με τη δύναμη στην οποία είναι υψωμένη. Έτσι, για παράδειγμα, στη στήλη του

κόκκινου χρώματος, το κωδικοποιεί 3 επιλογές από τα κόκκινα βιβλία ενώ το

κωδικοποιεί 0 επιλογές.

Ας πάρουμε το γινόμενο των παραστάσεων που έχουμε για τα 3 χρώματα:



ΠΛΗ 20 32

.

Η παράσταση αυτή μας λέει ότι έχουμε 3 ειδών αντικείμενα, κάθε ένα από τα οποία μπορεί

να επιλεγεί με αριθμό τρόπων που κωδικοποιείται από τις δυνάμεις της μεταβλητής . Στο

ανάπτυγμα, τώρα, της παράστασης αυτής θα παρουσιαστούν όροι της μορφής , με τα

να αντιστοιχούν σε επιλογές μαύρων βιβλίων, μαζί με επιλογές κόκκινων

βιβλίων, μαζί με επιλογές κίτρινων βιβλίων. Συνεπώς, για το αρχικό μας πρόβλημα, ο

αριθμός των επιλογών 2 μαύρων βιβλίων, 2 κόκκινων και 2 κίτρινων βιβλίων αντιστοιχεί

στο συντελεστή του όρου . Υπολογίζοντας το ανάπτυγμα

με υπομονή ή με χρήση ενός προγράμματος συμβολικών υπολογισμών βρίσκουμε ότι ο

συντελεστής του όρου είναι ίσος με 1. Συνεπώς, υπάρχει ένας μόνο τρόπος να πάρει

ο φοιτητής στο σπίτι του 2 μαύρα βιβλία, 2 κόκκινα και 2 κίτρινα. Ο «κατάλογος» όλων των

δυνατών επιλογών βιβλίων που μπορεί να κάνει ο φοιτητής δίνεται από την εξής παράσταση,

που αποτελεί και το ανάπτυγμα του :



ΠΛΗ 20 33

1 x x y2 z3 x y z3 x2 y3 z x y x5 y2 z2 x2 y2 z3 x3 y z3 x5 y2 z3 x y z2

x3 y2 z x4 y4 z2 x2 y4 z x3 y z x2 y4 z3 x3 y z2 x4 y2 z3 x3 y2 z3 x y4 z3

x4 y4 z3 x4 y z2 x5 y z3 y x4 y2 z x4 y z3 x y2 z x3 y3 z3 x5 y z x3 y3 z2

x3 y3 z x4 y3 z3 x2 y3 z3 x y4 z2 x3 y4 z3 x2 y3 z2 x2 y z x2 y2 z2 x2 y4 z2

x y3 z x5 y3 z3 x4 y z x4 y2 z2 x y z x2 y z2 x4 y3 z2 x5 y2 z x2 y2 z

x y3 z3 x3 y4 z x y4 z x5 y z2 x2 y z3 x y2 x5 y4 z2 x5 y3 z x y3 x2 y3

x4 y4 z x5 y4 z3 x2 y2 x2 y x y4 x y2 z2 x5 y3 z2 x3 y4 z2 x2 y4 x y3 z2

x3 y x5 y4 z x4 y3 z x3 y2 z2 x3 y2 x3 y3 x3 y4 x4 y x4 y2 x4 y3 x4 y4

x5 y x5 y2 x5 y3 y z3 y z2 y z x z3 x z2 x z x5 y4 y4 z3 y4 z2 y4 z

y3 z3 y3 z2 y3 z y2 z3 y2 z2 y2 z x5 z3 x5 z2 x5 z x4 z3 x4 z2 x4 z

x3 z3 x3 z2 x3 z x2 z3 x2 z2 x2 z z x2 x3 x4 x5 y2 y3 y4 z2

z3

Για παράδειγμα, το 1 στην αρχή του αναπτύγματος μας λέει ότι ο φοιτητής μπορεί να μην

πάρει κανένα βιβλίο μαζί του. Το μετά, μας λέει ότι ο φοιτητής μπορεί να πάρει μαζί του

μόνο ένα μαύρο βιβλίο. Τέλος, το στο τέλος του αναπτύγματος, μας λέει ότι ο φοιτητής

μπορεί να φύγει έχοντας μαζί του κίτρινα βιβλία.

Ας πάμε, τώρα, σε κάτι ποιο ενδιαφέρον σε σχέση με τα βιβλία! Με πόσους διαφορετικούς

τρόπους, ρωτάμε τώρα, μπορεί να δανειστεί ο φοιτητής 6 βιβλία; Τώρα τα πράγματα

διαφέρουν λιγάκι από το πρόβλημα που εξετάσαμε προηγουμένως. Δεν μας ενδιαφέρει

ακριβώς η σύνθεση του συνόλου των 6 βιβλίων, μας ενδιαφέρει ο αριθμός των τρόπων με

τους οποίους ο φοιτητής μπορεί να φτιάξει ένα τέτοιο σύνολο. Θα στηριχθούμε πάλι στην

παράσταση μόνο που, τώρα, δεν θα

έχουμε διαφορετική μεταβλητή για κάθε χρώμα. Ας αντικαταστήσουμε όλες τις μεταβλητές,

π.χ., με τη μεταβλητή . Τότε παίρνουμε την παράσταση

.



ΠΛΗ 20 34

Ο αριθμός των τρόπων που μας ενδιαφέρει, τότε, δεν είναι άλλος από τον συντελεστή του

όταν υπολογίσουμε το ανάπτυγμα της παράστασης αυτής:

1 3 z 6 z2 10 z3 14 z4 17 z5 18 z6 17 z7 14 z8 10 z9 6 z10 3 z11 z12

Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής αυτός είναι ο 18. Συνεπώς, υπάρχουν 18 διαφορετικοί

τρόποι με τους οποίους ο φοιτητής μπορεί να δανειστεί 6 βιβλία, ανεξαρτήτως χρώματος.

3. Συμμετρίες και θεωρία μέτρησης υπό το πρίσμα συμμετριών

3.1 Συμμετρίες σε προβλήματα μέτρησης περιδεραίων (necklaces) και βραχιολιών

(bracelets)

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 4 χάντρες περασμένες σε ένα σχοινάκι του οποίου τα άκρα

έχουμε δεμένα, ένα βραχιολάκι δηλαδή. Θέλουμε να χρωματίσουμε τις χάντρες του

βραχιολιού χρησιμοποιώντας 2 διαφορετικά χρώματα, π.χ. μπλε και κίτρινο:



ΠΛΗ 20 35

Το πρόβλημα που θα μας απασχολήσει είναι το να μετρήσουμε τον αριθμό των

διαφορετικών χρωματισμών των χαντρών που μπορούμε να επιτύχουμε.

Μια γρήγορη (αλλά λάθος, όπως θα διαπιστώσουμε!) απάντηση μπορεί να δοθεί από τον

απλό κανόνα του γινομένου: κάθε μία χάντρα μπορεί να βαφτεί με 2 χρώματα, έχουμε 4

χάντρες, άρα ο αριθμός των δυνατών χρωματισμών είναι ίσος με . Μάλιστα,

οι χρωματισμοί αυτοί είναι οι εξής:

Είναι έτσι, όμως, τα πράγματα; Θα δούμε ότι τα πράγματα είναι πολύ διαφορετικά και θα

περιγράψουμε μια μεθολογία η οποία θα μας επιτρέψει να μετρήσουμε σωστά τους δυνατούς

χρωματισμούς στο πρόβλημά μας αλλά και σε πλήθος παρόμοιων προβλημάτων.

Ας εξετάσουμε τον χρωματισμό που έχει μπλε μόνο τη χάντρα 4 και το χρωματισμό που έχει

μπλε μόνο τη χάντρα 3. Τι συμβαίνει με τους δύο αυτούς χρωματισμούς; Πατήστε εδώGdiout.ico

για να δείτε!

Πρέπει τώρα να είναι προφανές ότι στο πρόβλημα που εξετάζουμε πολλοί χρωματισμοί

μπορούν να θεωρηθούν ίδιοι καθώς ο ένας προκύπτει από τον άλλον με κάποια κίνηση στο

επίπεδο ή στο χώρο. Οι κινήσεις αυτές από τις οποίες προκύπτουν ισοδύναμοι σχηματισμοί

είναι αποτέλεσμα των φυσικών συμμετριών του προβλήματός μας, δηλαδή των συμμετριών

που προκύπτουν στο τετράγωνο από περιστροφές και καθρεπτίσματα.

Στη θεωρία μέτρησης οι συμμετρίες αυτές κωδικοποιούνται με κάποιες ειδικές δομές που

ονομάζονται μεταθέσεις. Οι μεταθέσεις μας λένε πώς τα αντικείμενα ενός συνόλου, που

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4

1

3 2

4



ΠΛΗ 20 36

συνήθως είναι οι αριθμοί από το 1 έως κάποιον δοσμένο αριθμό, μετατίθενται μεταξύ τους,

πώς, δηλαδή, αλλάζουν αμοιβαία θέσεις. Ας δούμε ένα παράδειγμα μετάθεσης:

Η μετάθεση αυτή δηλώνει ότι σε ένα σύνολο που αποτελείται από τα «αντικείμενα» 1, 2, 3,

4 που έχουν παραταχθεί το ένα δίπλα στο άλλο με αυτή τη σειρά, το αντικείμενο 1 πηγαίνει

στη θέση του 4, το αντικείμενο 2 πηγαίνει στη θέση του 3, το αντικείμενο 2 πηγαίνει στη

θέση του 2 και το αντικείμενο 4 πηγαίνει στη θέση του 1. Μια άλλη μετάθεση είναι και η

εξής:

Μην σας παραξενεύει το ότι η μετάθεση αυτή φαίνεται ότι δεν έχει καμιά επίδραση στην

αρχική διάταξη των αντικειμένων. Απλά τυχαίνει στη μετάθεση αυτή κάθε στοιχείο να

«πηγαίνει» στη θέση που ήδη καταλαμβάνει! Η μετάθεση αυτή έχει ένα ειδικό όνομα:

ταυτοτική μετάθεση.

Ας επανέλθουμε, όμως, στις συμμετρίες του προβλήματός μας. Οι συμμετρίες αυτές

μπορούν να αναπαρασταθούν, σχηματικά, ως εξής, όπου αριστερά κάθε τόξου φαίνεται η

αρχική θέση των χαντρών του βραχιολιού και στα δεξιά οι θέσεις που προκύπτουν από την

εφαρμογή ενός μετασχηματισμού των χαντρών με βάση τις φυσικές συμμετρίες του

σχήματος:



ΠΛΗ 20 37

Ακολουθεί, τώρα η αναπαράσταση των συμμετριών ενός βραχιολιού με 10 χάντρες. Οι

συμμετρίες, όπως και στην περίπτωση του βραχιολιού με τις 4 χάντρες που μόλις εξετάσαμε,

είναι ως προς περιστροφές αντίθετα προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ως προς

καθρεπτισμούς γύρω από άξονες που διέρχονται από τα μέσα απέναντι πλευρών, και ως

προς καθρεπτισμούς γύρω από άξονες που διέρχονται από απέναντι κορυφές.



ΠΛΗ 20 38



ΠΛΗ 20 39

Οι μεταθέσεις που αντιστοιχούν στις συμμετρίες αυτές του δεκαγώνου (εύκολα μπορεί ο

αναγνώστης να τις καταγράψει) είναι 20 στον αριθμό και σχηματίζουν μία ομάδα

συμμετρίας, την ομάδα συμμετρίας του δεκαγώνου. Η ομάδα αυτή έχει ειδικό όνομα:

διεδρική ομάδα (Dihedral GroupLivhead.ico

) και συμβολίζεται με (το 10 υπάρχει γιατί

αναφερόμαστε σε 10-γωνο).

Γενικά, οι συμμετρίες του κανονικού -γωνου περιγράφονται από τη διεδρική ομάδα

συμμετρίας η οποία περιέχει μεταθέσεις (μπορείτε να δείτε γιατί;). Οι χρωματισμοί

βραχιολιών εμπίπτουν σε συμμετρίες που περιγράφονται από διεδρικές ομάδες συμμετρίας.

Αντίθετα, οι χρωματισμοί περιδεραίων (στις οποίες θεωρούμε μόνο περιστροφές γύρω από

άξονα κάθετο στο κέντρο τους), περιγράφονται από μία πιο περιορισμένη ομάδα από την

, που καλείται κυκλική ομάδα (Cyclic Group) και συμβολίζεται με . Η κυκλική αυτή

ομάδα περιέχει μεταθέσεις οι οποίες περιγράφουν συμμετρίες που παράγονται μόνο από

τις περιστροφές κατά γωνία αντίθετα από τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού.

3.2 Μοντελοποιώντας τις συμμετρίες: μεταθέσεις και ομάδες μεταθέσεων

Πώς, όμως, σχετίζονται οι φυσικές συμμετρίες σε ένα γεωμετρικό σχήμα, όπως το

τετράγωνο, με τα συνδυαστικά αντικείμενα που καλούμε μεταθέσεις; Στα πιο κάτω σχήματα,

στο αριστερό μέρος φαίνονται οι μετασχηματισμοί που προκύπτουν από τις συμμετρίες του

τετραγώνου ενώ στο δεξί μέρος δίνεται η αναπαράσταση του μετασχηματισμού αυτού με

χρήση μεταθέσεων, μοντελοποιώντας, έτσι, τις συμμετρίες του σχήματος. Στην δεύτερη

γραμμή κάθε μετάθεσης φαίνονται οι νέες θέσεις των κορυφών του τετραγώνου, μετά την

εφαρμογή του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroup.html



ΠΛΗ 20 40



ΠΛΗ 20 41



ΠΛΗ 20 42

Ωραία όλα αυτά, θα πείτε. Πού, όμως, μας βοηθούν στο αρχικό μας πρόβλημα, αυτό της

μέτρησης των διαφορετικών χρωματισμών των χαντρών του βραχιολιού; Η σημαντική

παρατήρηση είναι ότι οι μεταθέσεις που ορίστηκαν αποτελούν μία ειδική αλγεβρική δομή,

που καλείται ομάδα (Group). Αυτό το γεγονός, με τη σειρά του, οδηγεί σε έναν τρόπο

μέτρησης των διαφορετικών χρωματισμών δομών οι οποίες παρουσιάζουν συμμετρίες όπως

αυτές που εξετάσαμε πιο πριν για τα βραχιόλια (τετράγωνα). Ο τρόπος αυτός συνοψίζεται

στο περίφημο Λήμμα του Burnside. Αντ’ αυτού, όμως, θα αναφερθούμε στην πολύ

γενικότερη Θεωρία μέτρησης του Pólya η οποία μπορεί να λύσει προβλήματα πιο γενικά από

αυτά της μέτρησης διαφορετικών χρωματισμών. Τα προβλήματα αυτά είναι του τύπου



ΠΛΗ 20 43

μέτρησης διαφορετικών χρωματισμών αλλά προσμετρώνται μόνο χρωματισμοί που πληρούν

κάποιες επιθυμητές ιδιότητες.

3.3 Κύκλοι μεταθέσεων

Μία από τις πιο σημαντικές ιδιότητες μιας μετάθεσης είναι ο αριθμός και το μήκος των

κύκλων που περιέχει. Ας εξετάσουμε την εξής μετάθεση:

.

Κοιτώντας την προσεκτικά βλέπουμε ότι η μετάθεση αυτή (καθώς και κάθε άλλη μετάθεση)

ορίζει μονοπάτια που ακολουθώντας τα καταλήγουμε στο σημείο από το οποίο ξεκινήσαμε.

Για παράδειγμα, ας σταθούμε στον αριθμό 3 της πρώτης γραμμής. Ο αριθμός 3

απεικονίζεται στον 4 στη δεύτερη γραμμή. Ο 4, με τη σειρά του, στην πρώτη γραμμή,

απεικονίζεται στον 1. Τέλος, ο 1 απεικονίζεται στον 3 και διαπιστώνουμε ότι έχουμε

επιστρέψει στον αριθμό από τον οποίο ξεκινήσαμε. Αυτό το μονοπάτι καλείται κύκλος

μετάθεσης και το μήκος του είναι ίσο με το πόσους διαφορετικούς αριθμούς μπορέσαμε να

βρούμε κατά τη διαδρομή. Εδώ βρήκαμε τους αριθμούς 3, 4, και 1. Συνεπώς το μήκος του

κύκλου αυτού είναι ίσο με 3. Επίσης, υπάρχει και ένας κύκλος που ξεκινά από το 2 και

καταλήγει αμέσως στο 2. Αυτός ο κύκλος έχει μήκος 1. Άρα η μετάθεση αυτή έχει 1 κύκλο

μήκους 3 και 1 κύκλο μήκους 1. Με τον τόπο αυτό μπορούμε να αντιστοιχίσουμε κάθε

μετάθεση σε μία αναπαράσταση των κύκλων της, που ονομάζεται δείκτης κύκλων (θα δείτε

πώς στην επόμενη ενότητα). Ο αριθμός των κύκλων καθώς και το μήκος τους στις

μεταθέσεις μίας ομάδας μεταθέσεων, βρίσκονται στην καρδιά του πώς οι μεταθέσεις αυτές

κωδικοποιούν τις συμμετρίες και αποτελούν τη βάση κάθε θεωρίας μέτρησης υπό την

επίδραση συμμετριών.



ΠΛΗ 20 44

3.4 Οι συμμετρίες του κύβου

Ας θεωρήσουμε τον κύβο και το χρωματισμό των εδρών του με 3 χρώματα, το πράσινο, το

μπλέ και το κόκκινο. Θα έλεγε κάποιος ότι ο αριθμός των διαφορετικών χρωματισμών του,

σύμφωνα και με τον κανόνα του γινομένου, εναι ίσος με .

Βέβαια, αν θεωρήσουμε ότι ο κύβος μπορεί να περιστραφεί ελεύθερα στο χώρο γύρω από

άξονα που διέρχεται είτε από τα μέσα δύο απέναντι εδρών είτε από δύο αντιδιαμετρικές

κορυφές, τότε τα πράγματα αλλάζουν δραστικά!

Ας γίνουμε πιο συγκεκριμένοι και ας θεωρήσουμε ένα κύβο τοποθετημένο σε ένα

συγκεκριμένο σημείο του χώρου (γιατί να μην φανταστούμε ότι αιωρείται, μπροστά στα

μάτια μας!):

Ένας τρόπος για να χρωματιστούν οι έδρες του κύβου είναι ο εξής:



ΠΛΗ 20 45

Ένας άλλος τρόπος βαφής των εδρών του κύβου είναι ο εξής:

Με μια πρώτη ματιά, οι δύο αυτοί χρωματισμοί μπορούν να ειδωθούν ως δύο διαφορετικοί

χρωματισμοί των εδρών του κύβου. Είναι, όμως, πραγματικά διαφορετικοί; Για να δούμε!

Ας πάρουμε τον κύβο που έχει βαφτεί σύμφωνα με τον πρώτο χρωματισμό και ας

θεωρήσουμε ένα άξονα (ο άξονας που φαίνεται με μπλε χρώμα στο επόμενο σχήμα) που

περνά από το κέντρο της «επάνω» έδρας και το κέντρο της «κάτω» έδρας. Πιάνοντας τα δύο

μέρη του άξονα εκατέρωθεν του κύβου, περιστρέφουμε σύμφωνα με τη φορά των δεικτών

του ρολογιoύ κατά 90Ο:

Εάν κάνουμε, νοερά, την περιστροφή αυτή, τότε θα δούμε ότι εμφανίζεται ο δεύτερος

χρωματισμός! Συνεπώς, η φυσική συμμετρία του κύβου από περιστροφές γύρω από άξονα

που διέρχεται από τα κέντρα των απέναντι εδρών έχει ως συνέπεια το ότι οι δύο



ΠΛΗ 20 46

χρωματισμοί που αρχικά φαινόντουσαν διαφορετικοί είναι, στην πραγματικότητα, ίδιοι. Πώς

όμως μπορούμε να μετρήσουμε πόσοι είναι οι πραγματικά διαφορετικοί χρωματισμοί; Ας

δούμε με ποιον τρόπο μπορούμε να κάνουμε τον υπολογισμό αυτό.

Έστω το σύνολο των το σύνολο των χρωματισμών των

εδρών του κύβου με 3 χρώματα, εάν παραβλέψουμε το ότι κάποιοι από αυτούς τους

χρωματισμούς είναι όμοιοι μεταξύ τους λόγω συμμετριών του κύβου. Ας αριθμήσουμε τις 6

έδρες του κύβου ως εξής:

Όπως έχουμε ήδη πει, οι συμμετρίες σε ένα πρόβλημα μέτρησης εκφράζονται μέσω μιας

κατάλληλης ομάδας μεταθέσεων οι οποίες εκφράζουν αυτές τις φυσικές συμμετρίες. Στην

περίπτωση του κύβου μας, η ομάδα αυτή θα μοντελοποιεί τα τρία είδη περιστροφών: γύρω

από άξονα που διέρχεται από τα κέντρα δύο απέναντι εδρών, γύρω από άξονα που διέρχεται

από δύο απέναντι ακμές και το κέντρο του κύβου και γύρω από άξονα που διέρχεται από δύο

απέναντι κορυφές και το κέντρο του κύβου. Πατήστε εδώJavaCup.ico

για να δείτε τις συμμετρίες του

κύβου.

Όπως έχουμε δει, οι συμμετρίες μοντελοποιούνται με μία κατάλληλη ομάδα συμμετριών που

περιέχει τις μεταθέσεις που περιγράφουν το πώς το σχήμα μας κινείται ελεύθερα στο χώρο

με βάση τις φυσικές του συμμετρίες. Στην περίπτωση του κύβου, οι μεταθέσεις αυτές είναι

οι εξής:

Η ταυτοτική μετάθεση (αλλιώς, η μη περιστροφή):



ΠΛΗ 20 47

Η μετάθεση αυτή έχει δείκτη κύκλων το οποίο δηλώνει ότι η μετάθεση περιέχει 6

κύκλους μήκους 1 (δηλαδή 6 κύκλοι, εκθέτης της μεταβλητής , μεγέθους 1, δείκτης

της μεταβλητής ).

Ας θεωρήσουμε τις περιστροφές κατά 90 μοίρες, είτε κατά τη φορά των δεικτών του

ρολογιού είτε αντίθετα από τη φορά αυτή, γύρω από άξονα που διέρχεται από τα

κέντρα απέναντι εδρών. Οι περιστροφές αυτές είναι 6 στον αριθμό (2 ανά άξονα).

Έστω, για παράδειγμα, η περιστροφή κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού γύρω

από άξονα που διέρχεται από τις έδρες 1 και 2 (να έχετε πάντα κατά νου το σχήμα

μας). Τότε η αντίστοιχη μετάθεση είναι η εξής:

Η μετάθεση αυτή έχει δείκτη κύκλων (δηλαδή 2 κύκλοι, εκθέτης της πρώτης

μεταβλητής , μεγέθους 1, δείκτης της πρώτης μεταβλητής καθώς επίσης και 1

κύκλος, εκθέτης της δεύτερης μεταβλητής μεγέθους 4, δείκτης της δεύτερης

μεταβλητής ).

Οι υπόλοιπες 5 μεταθέσεις έχουν ακριβώς τον ίδιο δείκτη κύκλων καθώς η δράση

τους είναι παρόμοια με τη δράση της μετάθεσης που εξετάσαμε.

Θα θεωρήσουμε, τώρα, τις περιστροφές κατά 180 μοίρες γύρω από άξονα που

διέρχεται από τα κέντρα απέναντι εδρών (στην περίπτωση αυτή, δεν έχει διαφορά

είτε περιστρέψουμε κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού είτε αντίθετα από τη

φορά αυτή). Στην περίπτωση του άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των εδρών 1

και 2 έχουμε τη μετάθεση



ΠΛΗ 20 48

με δείκτη κύκλων .

Τώρα θα αφήσουμε τις περιστροφές γύρω από άξονες που διέρχονται από τα κέντρα

απέναντι εδρών. Ας θεωρήσουμε περιστροφές γύρω από άξονες που διέρχονται από

απέναντι ακμές και το κέντρο του κύβου. Ο αριθμός αυτών των περιστροφών είναι

ίσος με 6 καθώς τόσα είναι τα δυνατά ζεύγη «αντιδιαμετρικών» ακμών. Έστω η

περιστροφή γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το μέσο της ακμής που ορίζεται

από την τομή των εδρών 1 και 5 και από το μέσο της ακμής που ορίζεται από την

τομή των εδρών 2 και 3. Η περιστροφή αυτή, για να δράσει συμμετρικά, πρέπει να

πραγματοποιηθεί κατά 180ο (δεν έχει σημασία η φορά της περιστροφής, το

αποτέλεσμα είναι το ίδιο). Τότε η περιστροφή αυτή αναπαρίσταται από τη μετάθεση

με δείκτη κύκλων (δηλαδή, 3 κύκλοι μεγέθους 2 ο καθένας).

Και ένα μυστικό για τις περιστροφές σε ακμές: Σε περίπτωση που μπερδεύεστε

με τις περιστροφές αυτές, υπάρχει ένας ευρετικός κανόνας που μπορει να σας

οδηγήσει στη σωστή μετάθεση! Εάν ο άξονας περιστροφής διέρχεται από τα μέσα

των ακμών τομής των εδρών , και , αντίστοιχα τότε αλλάζουν αμοιβαία

θέσεις τα μέλη των ζευγών αυτών καθώς και οι 2 έδρες που απομένουν, δηλαδή

αλλάζουν θέσεις μεταξύ τους οι και όπως επίσης και οι και ενώ επίσης

αλλάζουν μεταξύ τους θέσεις οι δύο έδρες που απομένουν.

Ας δούμε, τέλος, και τις περιστροφές γύρο από «αντιδιαμετρικές» κορυφές.

Υπάρχουν 4 τέτοιες περιστροφές κατά 120ο σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του

ρολογιού και 4 περιστροφές αντίθετα με τη φορά αυτή. Ας επικεντρώσουμε σε μία

από αυτές τις περιστροφές καθώς οι άλλες έχουν παρόμοια δομή, όπως συνέβηκε και



ΠΛΗ 20 49

με τις προηγούμενες περιστροφές που είδαμε. Κοιτάξτε το πιο κάτω σχήμα και

θεωρήστε άξονα που διέρχεται από τις κορυφές 4 και 6 (αριστερό μέρος του

σχήματος). Οι κορυφές αυτές ανήκουν στις τομές των εδρών 1, 4, 5 και 2, 3, 6

αντίστοιχα (δεξί μέρος του σχήματος).

Ας περιστρέψουμε αντίθετα προς τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού (όπως

κοιτάμε τον άξονα από την κορυφή 4 προς την 6). Τότε την κίνηση αυτή περιγράφει η

μετάθεση

με δείκτη κύκλων την παράσταση .

Συνοψίζοντας τα πιο πάνω, έχουμε τα εξής:

Δείκτης κύκλων Αριθμός

μεταθέσεων

Σύνολή συνεισφορά(γινόμενο

παράστασης πρώτης στήλης επί αριθμού

στη δεύτερη)1

6

3



ΠΛΗ 20 50

6

8

Αθροίσματα 2ης και

3ης στήλης:24

Κάνοντας τις αντικαταστάσεις , , ,

, και διαιρώντας με το 24, που είναι ο συνολικός αριθμός των μεταθέσεων

της ομάδας μεταθέσεων του κύβου, παίρνουμε την εξής παράσταση:

2 R G B4 2 R4 G B 3 R G2 B3 3 R2 G B3 3 R2 G3 B 3 R G3 B2 2 R G4 B

3 R3 G B2 6 R2 G2 B2 3 R3 G2 B R6 G6 B6 R G5 R B5 2 R3 B3

2 R3 G3 2 R4 B2 2 R4 G2 R5 B R5 G 2 R2 G4 2 R2 B4 G B5 2 G3 B3

2 G4 B2 G5 B 2 G2 B4

Στο σημείο αυτό, η πλήρης λύση στο πρόβλημα μέτρησης διακριτών χρωματισμών των

εδρών του κύβου με τρία χρώματα βρίσκεται μπροστά μας! Το πώς θα προχωρήσουμε

εξαρτάται από τι το ζητάμε. Εάν ζητάμε απλά τον αριθμό των διαφορετικών χρωματισμών,

θέτουμε απλά και υπολογίζουμε την παράσταση. Κάνοντας τις πράξεις,

βρίσκουμε τον αριθμό 57. Εάν, τώρα, μας ενδιαφέρουν χρωματισμοί των εδρών με

περιορισμούς τότε μπορούμε να κοιτάξουμε την παράσταση που βρήκαμε, η οποία μπορεί

να παρομοιαστεί με έναν κατάλογο όλων των δυνατών χρωματισμών και από ποια χρώματα

συντίθενται αυτοί. Για παράδειγμα, ας δούμε πόσοι χρωματισμοί υπάρχουν με 2 κόκκινες

(R) έδρες, 3 πράσινες (G), και 1 μπλε (B). Απλά κοιτάμε το συντελεστή του μονωνύμου

. Ο συντελεστής αυτός είναι ο 3 (δείτε πρώτη γραμμή). Συνεπώς, υπάρχουν 3

χρωματισμοί με 2 κόκκινες (R) έδρες, 3 πράσινες (G), και 1 μπλε (B).



ΠΛΗ 20 51

3.5 Διάφορα προβλήματα μέτρησης με το βενζόλιο

Το βενζόλιο (benzene) είναι μια οργανική χημική ένωση (δηλαδή ένωση που εμπεριέχει

άτομα άνθρακα, τα οποία συμβολίζονται με ), με συντακτικό τύπο , που αποτελείται

από 6 άτομα άνθρακα και 6 άτομα υδρογόνου βαλμένα σε κυκλική διάταξη. Κτυπήστε εδώ

JavaCup.ico για μία απεικόνιση του μορίου του βενζολίου. Το χαρακτηριστικό, γενικά, των

οργανικών ενώσεων και του βενζολίου ειδικότερα (το οποίο θα μελετήσουμε πιο κάτω) είναι

ότι τα άτομα του υδρογόνου μπορεί εύκολα να αντικαθίστανται από άτομα άλλων χημικών

στοιχείων, δημιουργώντας ένα μεγάλο πλήθος νέων ενώσεων, ιδιότητα που είναι, εν μέρει,

και υπεύθυνη για την ύπαρξη τεράστιου αριθμού οργανικών χημικών ενώσεων σε σχέση με

τις ανόργανες. Σκοπός μας είναι να μετρήσουμε τις διαφορετικές χημικές ενώσεις του πιο

κάτω τύπου, λαμβάνοντας υπόψη τις συμμετρίες που αναφέρθηκαν πιο πάνω, δηλαδή τις

στροφές και τους καθρεφτισμούς και βρίσκοντας τις κυκλικές αναπαραστάσεις και δείκτριες

συναρτήσεις των αντίστοιχων μεταθέσεων.

1) Τις χημικές ενώσεις της μορφής , όπου δύο άτομα υδρογόνου έχουν

αντικατασταθεί από ένα άτομο χλωρίου και ένα άτομο βρωμίου.

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την εύρεση των διαφορετικών τρόπων χρωματισμού των

κορυφών του εξαγώνου με διαθέσιμα χρώματα που αντιστοιχούν με τα άτομα που

αποτελούν τις χημικές ενώσεις που επιθυμούμε να μετρήσουμε. Δύο χημικές ενώσεις-

χρωματισμοί θα είναι όμοιοι εάν η μία μπορεί να προέλθει από την άλλη μέσω των

συμμετριών που δημιουργούνται μέσα από περιστροφές του εξαγώνου και από

καθρεφτισμούς των απέναντι κορυφών σε διάφορους άξονες που διαπερνούν το εξάγωνο

(όπως ακριβώς είχαμε κάνει και στο χρωματισμό των κορυφών ενός τριγώνου ή ενός

τετραγώνου). Αρχικά ζητάμε τον αριθμό των διαφορετικών ενώσεων της μορφής

, δηλαδή τον αριθμό των χρωματισμών του εξαγώνου με τρία χρώματα, π.χ.

μαύρο (H), γκρι (Cl) και άσπρο (Br), έτσι ώστε να υπάρχουν τέσσερις μαύρες κορυφές, μία

γκρι και μία άσπρη. Με βάση αυτή την αντιστοιχία, ο χρωματισμός



ΠΛΗ 20 52

3

4 5

1

6

2

πράγματι αντιστοιχεί σε μια ένωση της μορφής : την ένωση που στα άτομα

άνθρακα 4 και 6 έχει ενωμένα ένα άτομο βρωμίου (άσπρο) και ένα άτομο χλωρίου (γκρι),

αντίστοιχα, ενώ στα άτομα 1, 2, 3 και 5 υπάρχουν τα τέσσερα άτομα υδρογόνου (μαύρο).

Με ακριβώς ανάλογο τρόπο μοντελοποιούμε την εύρεση των διαφορετικών χημικών

ενώσεων με τύπο 2226 BrClHC και 226 IClBrHC

ως προβλημάτων χρωματισμού των

κορυφών ενός εξαγώνου με τρία (υδρογόνο, χλώριο και βρώμιο) και τέσσερα χρώματα

(υδρογόνο, ιώδιο, χλώριο και βρώμιο), αντίστοιχα, έτσι ώστε στην πρώτη περίπτωση να

υπάρχουν δύο κορυφές μαύρου, δύο κορυφές γκρι και δύο κορυφές άσπρου χρώματος, ενώ

στη δεύτερη περίπτωση να υπάρχουν δύο κορυφές μαύρου χρώματος, μία γκρι, δύο άσπρες

και μία του χρώματος που αντιστοιχεί στο ιώδιο, έστω κόκκινο. Πατήστε εδώ για να

υπολογίσετε τον αριθμό όλων των μορίων που μπορεί να προέλθουν από το βενζόλιο και

άλλα άτομα. Για το παράδειγμά μας, δώστε ως είσοδο τα άτομα H, Cl, και Br και βρείτε

πόσα άτομα περιέχουν 4 άτομα H, ένα άτομο Cl και ένα άτομο Br (θα πρέπει να βρείτε 3).

Τώρα βρείτε τον αριθμό των χημικών ενώσεων που προκύπτουν από το βενζόλιο με

προσθήκη ατόμων H, Cl, και Br. Πατήστε εδώ για να υπολογίσετε τον αριθμό τους,

δίνοντας αντί για τα άτομα H, Cl και Br τους αριθμούς 1, 1, και 1. Θα πρέπει να βρείτε 92

δυνατές ενώσεις.

2) Τις ενώσεις της μορφής , όπου τέσσερα άτομα υδρογόνου έχουν

αντικατασταθεί από δύο άτομα χλωρίου και δύο άτομα βρωμίου.



ΠΛΗ 20 53

Σκεφτόμενοι με τρόπο παρόμοιο με το σκέλος 1 πιο πάνω, βρίσκουμε ότι ο αριθμός των

ενώσεων αυτών είναι ίσος με 11. Πατήστε εδώ για να επιβεβαιώσετε το αποτέλεσμα!

3) Τις ενώσεις της μορφής , όπου τέσσερα άτομα υδρογόνου έχουν

αντικατασταθεί από ένα άτομο ιωδίου, ένα άτομο χλωρίου και δύο άτομα βρωμίου.

Τώρα πια μάθαμε! Ο αριθμός είναι ίσος με 16 και πατώντας εδώ μπορείτε να

επιβεβαιώσετε το αποτέλεσμά σας! Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορετικών ενώσεων που

προκύπτουν από το βενζόλιο και τα άτομα H, I, Cl, Br; Είναι 430. Πατήστε εδώ για

επιβεβαίωση!



ΠΛΗ 20 54

Συχνά χρησιμοποιούμενοι όροι

Ακολουθία (Sequence): Μια ακολουθία είναι μια διατεταγμένη λίστα από αριθμούς, οι

οποίοι καλούνται όροι της ακολουθίας. Στα προβλήματα μέτρησης οι ακολουθίες που

προκύπτουν περιέχουν συνήθως άπειρους όρους, οι οποίοι, επιπλέον, είναι μη αρνητικοί

ακέραιοι και αναπαριστούν τον αριθμό κάποιων μετρούμενων αντικειμένων ως συνάρτηση

της θέσης του όρου στην ακολουθία. Μερικές πολύ γνωστές ακολουθίες μπορούν να

βρεθούν εδώLivhead.ico

(δικτυακός τόπος του εξωτερικού που όμως υποστηρίζει τα ελληνικά!).

Πειραματιστείτε δίνοντας τους πρώτους όρους από γνωστές ακολουθίες (ή και από

ακολουθίες που έχετε βρει εσείς!) και δείτε την απάντηση που σας επιστρέφεται! Για

παράδειγμα, δίνοντας 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... και πατώντας την επιλογή «Αναζήτηση» το

σύστημα θα σας επιστρέψει εκείνες τις ακολουθίες που περιέχουν στην αρχή τοους τους

όρους που δώσατε! Πρώτη-πρώτη θα είναι η «Ακολουθία Fibonacci» μαζί με πλήθος

στοιχείων γύρω από την ακολουθία αυτή! Μπορείτε να ψάξετε δίνοντας και το όνομα της

ακολουθίας που σας ενδιαφέρει. Εάν δώσετε «Fibonacci» το σύστημα θα σας επιστρέψει

πλήθος πληροφοριών για την ακολουθία αυτή!

Αμοιβαία Αποκλειόμενα Ενδεχόμενα (Mutually Exclusive Events): Δύο ενδεχόμενα

καλούνται αμοιβαία αποκλειόμενα εάν δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα.

Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα (Independent Events): Δύο ενδεχόμενα ενός χώρου πιθανοτήτων

καλούνται ανεξάρτητα εάν η πιθανότητα να συμβεί κάποιο από αυτά δεν επηρεάζεται από

την εμφάνιση ή όχι του άλλου ενδεχομένου.

Αναδρομική Σχέση (Recurrence Relation): Αναδρομική σχέση καλείται μια μαθηματική

έκφραση που συνδέει την τιμή του όρου μιας ακολουθίας με «προηγούμενους» όρους

.

http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexgreek.html



ΠΛΗ 20 55

Αναδρομική Σχέση Γραμμική (Linear Recurrence Relation): Μια αναδρομική σχέση που

δίνει τον όρο μιας ακολουθίας ως συνάρτηση των όρων καλείται γραμμική εάν η

σχέση είναι γραμμική όσον αφορά τους όρους , δηλαδή οι μόνες επιτρεπτές πράξεις

στους όρους είναι ο πολλαπλασιασμός τους με σταθερές και η πρόσθεση μεταξύ τους.

Παράδειγμα γραμμικής αναδρομικής σχέσης είναι η αναδρομική σχέση του Fibonacci

, με και . Η τάξη μιας γραμμικής αναδρομικής σχέσης είναι η

μέγιστη τιμή του μεταξύ όλων των όρων . Για παράδειγμα, η τάξη της

αναδρομικής σχέσης του Fibonacci είναι ίση με 2 (δηλαδή για ).

Αναδρομική Σχέση Μη Γραμμική (Non-Linear Recurrence Relation): Μια αναδρομική

σχέση που δίνει τον όρο μιας ακολουθίας ως συνάρτηση των όρων καλείται μη

γραμμική εάν η σχέση δεν είναι γραμμική (δείτε τον ορισμό της γραμμικής αναδρομικής

σχέσης) όσον αφορά τους όρους . Παράδειγμα μη γραμμικής αναδρομικής σχέσης

είναι η αναδρομική σχέση που δίνει τον αριθμό των δυαδικών δέντρων με κόμβους:

, με . Παρατηρήστε ότι η σχέση δεν είναι γραμμική, καθώς

εμφανίζονται σε αυτή γινόμενα όρων της ακολουθίας.

Αντίστροφο Στοιχείο (Inverse Element): Σε μια ομάδα με ορισμένη την πράξη «*», το

αντίστροφο στοιχείο ενός στοιχείου της ομάδας είναι το μοναδικό στοιχείο της ομάδας, το

οποίο συμβολίζεται με , για το οποίο ισχύει για κάθε στοιχείο της

.

Burnside Λήμμα (Burnside Lemma): Το Λήμμα του Burnside χρησιμεύει για τη μέτρηση

διαφορετικών διακριτών δομών έτσι ώστε να λαμβάνονται υπόψη οι συμμετρίες που

υπάρχουν μεταξύ τους (εκφρασμένες με μια κατάλληλη ομάδα μεταθέσεων).



ΠΛΗ 20 56

Γεννήτρια Συνάρτηση Εκθετική (Exponential Generating Function – EGF): Η εκθετική

γεννήτρια συνάρτηση μιας ακολουθίας ορίζεται ως η σειρά .

Η διαφορά μεταξύ της εκθετικής γεννήτριας συνάρτησης και της συνήθους γεννήτριας μιας

ακολουθίας είναι το ότι στην εκθετική γεννήτρια συνάρτηση οι όροι της ακολουθίας

διαιρούνται με . Οι εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις χρησιμοποιούνται σε προβλήματα

μέτρησης συνδυαστικών αντικειμένων όπου με διατάξεις των μερών που απαρτίζουν ένα

αντικείμενο προκύπτουν διαφορετικά αντικείμενα (δηλαδή η διάταξη των μερών έχει

σημασία).

Γεννήτρια Συνάρτηση Συνήθης (Ordinary Generating Function – OGF): Η συνήθης

γεννήτρια συνάρτηση μιας ακολουθίας ορίζεται ως η σειρά .

Σε αντίθεση με τις εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις, οι συνήθεις γεννήτριες συναρτήσεις

χρησιμοποιούνται σε προβλήματα μέτρησης συνδυαστικών αντικειμένων όπου οι διατάξεις

των μερών που απαρτίζουν ένα αντικείμενο δε δίνουν διαφορετικά αντικείμενα (δηλαδή η

διάταξη των μερών δεν έχει σημασία).

Γεωμετρική Πρόοδος (Geometric Progression): Γεωμετρική πρόοδος καλείται κάθε

ακολουθία μη μηδενικών όρων με στην οποία ο λόγος δύο

οποιωνδήποτε συνεχόμενων όρων ισούται με μια συγκεκριμένη σταθερά: . Η

σταθερά αυτή καλείται λόγος της γεωμετρικής προόδου.

Γεωμετρική Σειρά (Geometric Progression): Δοθείσας μιας γεωμετρικής προόδου με

λόγο , το άθροισμα των όρων της προόδου αυτής καλείται γεωμετρική σειρά. Το άθροισμα

των πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο , .



ΠΛΗ 20 57

Δειγματοχώρος ή Δειγματικός Χώρος (Sample Space): Σε ένα πείραμα τύχης, π.χ. ρίψη

ενός νομίσματος ή ενός ζαριού, δειγματοχώρος καλείται το σύνολο των δυνατών

αποτελεσμάτων του πειράματος αυτού. Στο πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος, ο

δειγματοχώρος αποτελείται από δύο δυνατά αποτελέσματα, κεφαλή ή γράμματα. Στο

πείραμα της ρίψης ενός ζαριού, ο δειγματοχώρος αποτελείται από έξι αποτελέσματα, τους

αριθμούς από το 1 μέχρι το 6. Στα Διακριτά Μαθηματικά οι δειγματοχώροι είναι συνήθως

πεπερασμένοι. Τα δυνατά αποτελέσματα ενός τυχαίου πειράματος καλούνται και στοιχειώδη

ενδεχόμενα.

Δείκτρια Συνάρτηση Μετάθεσης (Cycle index of Permutation): Εάν για μια μετάθεση

συμβολίσουμε με τον αριθμό των κύκλων της μετάθεσης μήκους που υπάρχουν

στην κυκλική αναπαράστασή της, τότε η δείκτρια συνάρτηση κύκλων της μετάθεσης δίνεται

από την παράσταση .

Δείκτρια Συνάρτηση Κύκλων Ομάδας Μεταθέσεων (Cycle Index of Permutation

Group): Δοθείσας μιας ομάδας μεταθέσεων και της κυκλικής αναπαράστασης αυτών, η

δείκτρια συνάρτηση κύκλων της ομάδας αυτής ορίζεται ως ,

με τη δείκτρια συνάρτηση της μετάθεσης .

Δέντρο Δυαδικό με Ρίζα (Rooted Binary Tree): Το δυαδικό δέντρο είναι μια συνδυαστική

δομή που αποτελείται από έναν αριθμό κόμβων συνδεδεμένων μεταξύ τους έτσι ώστε να μη

σχηματίζονται κύκλοι (ακυκλικότητα) και κάθε κόμβος να μπορεί να επικοινωνήσει με κάθε

άλλον κόμβο (συνεκτικότητα). Στο δυαδικό δέντρο με ρίζα υπάρχει ένας ξεχωριστός κόμβος

που καλείται ρίζα (εκτός εάν το δέντρο είναι κενό), ενώ δεξιά και αριστερά από τη ρίζα

υπάρχουν «κρεμασμένα» δύο άλλα δυαδικά δέντρα (που μπορεί να είναι και κενά).



ΠΛΗ 20 58

Διακριτά Μαθηματικά (Discrete Mathematics): Τα Διακριτά Μαθηματικά είναι εκείνος ο

κλάδος των Μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη οντοτήτων τα οποία μπορεί να

ιδωθούν το καθένα ξεχωριστά, χωρίς να υπάρχει κάποια έννοια συνέχειας μεταξύ τους. Το

πρωταρχικό σύνολο διακριτών οντοτήτων είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών, που είναι

σε αντίθεση με το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο δεν είναι διακριτό αλλά

συνεχές.

Διακεκριμένα (Distinguished): Δοθέντος ενός συνόλου διακριτών αντικειμένων, τα

αντικείμενα αυτά καλούνται διακεκριμένα εάν καθένα φέρει ένα χαρακτηριστικό που το

ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα (π.χ. αρίθμηση).

Διάταξη (Permutation): Δοθέντων αντικειμένων, η τοποθέτηση αντικειμένων από

αυτά σε μια σειρά έτσι ώστε το ένα αντικείμενο να είναι δίπλα στο άλλο ονομάζεται διάταξη

αντικειμένων από . Ο αριθμός των δυνατών διατάξεων αντικειμένων από

συμβολίζεται με και ισούται με .

Δυναμοσύνολο (Power Set): Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου είναι το σύνολο όλων των

δυνατών υποσυνόλων του (μαζί και του κενού) και συμβολίζεται με . Εάν το σύνολο

είναι πεπερασμένο και περιέχει στοιχεία ( ), τότε ο αριθμός των υποσυνόλων του

είναι ίσος με .

Διωνυμικό Θεώρημα (Binomial Theorem): Σύμφωνα με το διωνυμικό θεώρημα, δοθέντων

δύο αριθμών και και ενός θετικού ακεραίου , ισχύει (διωνυμικό

ανάπτυγμα). Εάν το δεν είναι θετικός ακέραιος, τότε

.



ΠΛΗ 20 59

Διωνυμικοί Συντελεστές (Binomial Coefficients): Οι διωνυμικοί συντελεστές, που

συμβολίζονται με (συνηθέστερα) ή , εκφράζουν τον αριθμό των συνδυασμών

αντικειμένων από και εμφανίζονται στο ανάπτυγμα , που δίνεται από το διωνυμικό

θεώρημα.

de Moivre Θεώρημα (de Moivre’s Theorem): To θεώρημα αυτό αποδείχθηκε από το

Γάλλο Μαθηματικό Abraham de Moivre και είναι γνωστό ως Θεώρημα de Moivre. Σύμφωνα

με το θεώρημα αυτό, για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει

, όπου η φανταστική μονάδα. Το θεώρημα

αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση δυνάμεων οποιουδήποτε μιγαδικού αριθμού

, καθώς, σύμφωνα με αυτό, .

Ενδεχόμενο (Event): Στη Θεωρία Πιθανοτήτων, το ενδεχόμενο είναι ένα υποσύνολο του

συνόλου των στοιχειωδών ενδεχομένων (ή αποτελεσμάτων) ενός τυχαίου πειράματος.

Fibonacci Αναδρομική Σχέση (Fibonacci Recurrence Relation): Η αναδρομική σχέση του

Fibonacci είναι η αναδρομική σχέση δεύτερης τάξης , με και .

Κανόνας Αθροίσματος (Addition Rule): Σύμφωνα με τον κανόνα του αθροίσματος, εάν

ένα ενδεχόμενο μπορεί να πραγματοποιηθεί με τρόπους ενώ ένα άλλο με τρόπους και

τα δύο αυτά ενδεχόμενα είναι αμοιβαία αποκλειόμενα, τότε η πραγματοποίηση κάποιου από

τα δύο αυτά ενδεχόμενα μπορεί να γίνει με τρόπους.



ΠΛΗ 20 60

Κανόνας Γινομένου (Product Rule): Σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου, εάν κάποιο

ενδεχόμενο μπορεί να πραγματοποιηθεί με τρόπους ενώ ένα άλλο με τρόπους, τότε ο

συνδυασμός των δύο αυτών ενδεχομένων μπορεί να πραγματοποιηθεί με


Καρκινική σε Ανάγνωση Συμβολοσειρά (Palindrome): Μια συμβολοσειρά καλείται

καρκινική σε ανάγνωση εάν διαβάζεται το ίδιο είτε τη διαβάσουμε από την αρχή προς το

τέλος είτε από το τέλος προς την αρχή. Για παράδειγμα, η συμβολοσειρά είναι

καρκινική σε ανάγνωση, ενώ η δεν είναι. Πασίγνωστη καρκινική σε ανάγνωση

φράση είναι η περίφημη καρκινική επιγραφή «ΝΙΨΟΝ ΑΝΟΜΗΜΑΤΑ ΜΗ ΜΟΝΑΝ

ΟΨΙΝ». Εδώ θα βρείτε ένα δικτυακό τόπο (αρκετά διασκεδαστικό) αφιερωμένο σε

συμβολοσειρές και φράσεις καρκινικές στην ανάγνωση.

Κυκλική Αναπαράσταση (Cycle Representation): Δοθείσας μιας μετάθεσης, η κυκλική

της αναπαράσταση ορίζεται ως το σύνολο των κύκλων που προκύπτουν από τη δράση της

μετάθεσης. Για παράδειγμα, στη μετάθεση σχηματίζονται οι κύκλοι και

, οι οποίοι και αποτελούν την κυκλική αναπαράσταση της μετάθεσης αυτής.

Λόγος Γεωμετρικής Προόδου (Ratio of Geometric Progression): Δοθείσας μιας

γεωμετρικής προόδου, ο λόγος της προόδου αυτής είναι το πηλίκο οποιωνδήποτε δύο

συνεχόμενων όρων της: , για οποιοδήποτε .

Μερικά Κλάσματα, Ανάλυση σε (Partial Fraction Expansion): Δοθείσας μιας ρητής

συνάρτησης, η ανάλυσή της σε μερικά κλάσματα τη διασπά σε άθροισμα πάλι ρητών

συναρτήσεων, οι οποίες όμως έχουν στους αριθμητές και παρονομαστές τους πολυώνυμα

μικρότερου βαθμού από τη δοθείσα συνάρτηση. Για παράδειγμα, η ρητή συνάρτηση

http://www.palindromes.org/



ΠΛΗ 20 61

μπορεί να αναλυθεί ως . Η ανάλυση σε μερικά κλάσματα

χρησιμοποιείται πολύ κατά την αντιστροφή των γεννητριών συναρτήσεων, έτσι ώστε να

εμφανιστεί η ακολουθία που κωδικοποιούν.

Μετάθεση (Permutation): Δοθέντων διαφορετικών αντικειμένων, μια τοποθέτησή τους

σε μια σειρά έτσι ώστε το ένα αντικείμενο να βρίσκεται δίπλα στο άλλο ονομάζεται

μετάθεση. Ο αριθμός των δυνατών μεταθέσεων αντικειμένων ισούται με

.

Μιγαδικοί Αριθμοί (Complex Numbers): Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί της

μορφής , με πραγματικούς αριθμούς και τη φανταστική μονάδα.

Δοθέντος ενός μιγαδικού αριθμού , το μέτρο του είναι ίσο με και η

γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα που αναπαριστά το μιγαδικό αριθμό με τον άξονα των

πραγματικών αριθμών ισούται με , δηλαδή η γωνία είναι τέτοια ώστε η

εφαπτομένη της να είναι ίση με . Με βάση αυτές τις ποσότητες, ο μιγαδικός αριθμός

γράφεται με τη μορφή .

Μονώνυμο (Monomial): Ένα πολυώνυμο που αποτελείται από ένα μόνο όρο (δηλαδή από

μία μόνο δύναμη μεταβλητής, πολλαπλασιασμένης με σταθερά, ή από μόνο ένα γινόμενο

δυνάμεων περισσότερων της μιας μεταβλητής) καλείται μονώνυμο. Παράδειγμα μονωνύμου

σε μια μεταβλητή είναι το , ενώ μονώνυμο σε δύο μεταβλητές είναι το .

Ομάδα (Group): Ένα σύνολο εφοδιασμένο με μια πράξη καλείται ομάδα εάν για την πράξη

αυτή ισχύουν οι εξής τρεις ιδιότητες: α) η πράξη είναι προσεταιριστική, β) υπάρχει

ταυτοτικό στοιχείο και γ) για κάθε στοιχείο του συνόλου υπάρχει το αντίστροφό του.



ΠΛΗ 20 62

Ομάδα Μεταθέσεων (Permutation Group): Ένα σύνολο μεταθέσεων καλείται ομάδα

μεταθέσεων εάν οι μεταθέσεις που περιέχει ικανοποιούν τα αξιώματα της ομάδας, με πράξη

αυτή της σύνθεσης δύο μεταθέσεων.

Παράδοξο των Γενεθλίων (Birthday Paradox): Παράδοξο των γενεθλίων καλείται το ότι η

πιθανότητα εύρεσης δύο ατόμων ανάμεσα σε 23 που να έχουν γεννηθεί την ίδια ημέρα είναι

μεγαλύτερη από 1/2, υποθέτοντας ότι σε καθένα από τα 23 άτομα η ημέρα γέννησης

ανατίθεται ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα και με επιλογή ανάμεσα από 365 δυνατές ημέρες

γέννησης.

Πολυώνυμο μιας Μεταβλητής (Univariate Polynomial): Πολυώνυμο (μιας μεταβλητής)

καλείται κάθε άθροισμα που εμπεριέχει δυνάμεις μιας μεταβλητής πολλαπλασιασμένες με

σταθερές. Παράδειγμα πολυωνύμου μιας μεταβλητής είναι το .

Πολυώνυμο Πολλών Μεταβλητών (Multivariate Polynomial): Πολυώνυμο πολλών

μεταβλητών καλείται κάθε άθροισμα που εμπεριέχει γινόμενα δυνάμεων μεταβλητών

πολλαπλασιασμένων με σταθερές. Παράδειγμα πολυωνύμου πολλών μεταβλητών είναι το

.

Πράξη (Operation): Μια πράξη σε ένα σύνολο στοιχείων είναι μια απεικόνιση ζευγών των

στοιχείων αυτών σε στοιχεία του συνόλου αυτού. Παράδειγμα πράξης είναι η γνωστή μας

πρόσθεση δύο φυσικών αριθμών που αντιστοιχίζει σε κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών το

φυσικό αριθμό που αντιστοιχεί στο άθροισμά τους.

Πράξη Προσεταιριστική (Commutative Operation): Μια πράξη «*» ορισμένη σε ένα

σύνολο καλείται προσεταιριστική εάν για κάθε τρία στοιχεία του ισχύει

. Παράδειγμα προσεταιριστικών πράξεων είναι η πρόσθεση και ο

πολλαπλασιασμός στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Παράδειγμα μη προσεταιριστικής



ΠΛΗ 20 63

πράξης είναι η διαίρεση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, καθώς, γενικά,

.

Πρόβλημα Βραχιολιού (Bracelet Problem): Πρόβλημα χρωματισμού χαντρών σε σχοινάκι

με ενωμένα τα άκρα όπου η ομοιότητα εκφράζεται και μέσω περιστροφών και μέσω

καθρεφτισμών. Δείτε σχετικά και το Πρόβλημα του Περιδεραίου.

Πρόβλημα Περιδέραιου (Necklace Problem): Πρόβλημα χρωματισμού χαντρών σε

σχοινάκι με ενωμένα τα άκρα όπου η ομοιότητα εκφράζεται μόνο μέσω περιστροφών. Δείτε

σχετικά και το Πρόβλημα του Βραχιολιού.

Pólya, Θεωρία Μέτρησης (Pólya Counting Theory): Η Θεωρία μέτρησης του Pólya

γενικεύει τη μεθοδολογία μέτρησης που χρησιμοποιεί το Λήμμα του Burnside έτσι ώστε να

μπορεί να μετρηθεί ο αριθμός των διαφορετικών δομών, υπό την ύπαρξη συμμετριών, που

έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες.

Ρητή Συνάρτηση (Partial Function): Ρητή καλείται κάθε συνάρτηση που μπορεί να

γραφτεί ως πηλίκο δύο πολυωνύμων. Παράδειγμα ρητής συνάρτησης είναι η , ενώ

η συνάρτηση δεν είναι ρητή, καθώς η συνάρτηση στον αριθμητή δεν είναι

πολυωνυμική.

Σειρά (Series): Η σειρά μιας ακολουθίας είναι μια άλλη ακολουθία της

οποίας ο όρος τάξης δίνεται από τη σχέση με .

Συμμετρίες (Symmetries): Οι συμμετρίες, κατά τη μέτρηση συνδυαστικών δομών,

καθορίζουν τους τρόπους με τους οποίους από μια συγκεκριμένη δομή λαμβάνονται



ΠΛΗ 20 64

ισοδύναμες με αυτή δομές. Οι συνήθεις συμμετρίες που ορίζονται στα συνδυαστικά

αντικείμενα που συναντώνται στα προβλήματα μέτρησης δίνονται από περιστροφές και

καθρεφτισμούς γύρω από σταθερούς άξονες που αντανακλούν τις γεωμετρικές συμμετρίες

των δομών.

Συνάρτηση Πιθανότητας (Probability Function): Συνάρτηση πιθανότητας καλείται κάθε

απεικόνιση p από το σύνολο των στοιχειωδών ενδεχομένων n ,,, 21 ενός

τυχαίου πειράματος στο σύνολο των πραγματικών αριθμών έτσι ώστε να ισχύουν τα εξής:

(α) για κάθε δείγμα ni ,,, 21 , και (β) . Η ποσότητα

καλείται πιθανότητα του δείγματος .

Συνδυασμοί (Combinations): Δοθέντος ενός συνόλου αντικειμένων διαφορετικών

μεταξύ τους, μια επιλογή αντικειμένων από αυτά χωρίς επαναλήψεις ονομάζεται

συνδυασμός αντικειμένων από . Ο αριθμός των διαφορετικών συνδυασμών

αντικειμένων από συμβολίζεται με ή και είναι ίσος με . Οι αριθμοί

καλούνται και διωνυμικοί συντελεστές.

Συνδυαστική (Combinatorics): Η Συνδυαστική είναι ο κλάδος των Διακριτών

Μαθηματικών που έχει ως αντικείμενο μελέτης τη μέτρηση αντικειμένων με συγκεκριμένες

ιδιότητες (π.χ. συνδυασμοί με επαναλήψεις).

Συνδυαστικό Επιχείρημα (Combinatorial Argument): Το συνδυαστικό επιχείρημα είναι

ένας τρόπος απόδειξης σχέσεων μεταξύ ποσοτήτων που ορίζονται στη συνδυαστική χωρίς

την εκτέλεση αλγεβρικών πράξεων, αλλά με τον παραλληλισμό της προς απόδειξη σχέσης

με κάποιο συνδυαστικό πείραμα. Για παράδειγμα, μπορούμε να αποδείξουμε ότι

χωρίς να εκτελέσουμε πράξεις, απλώς παρατηρώντας ότι το αριστερό



ΠΛΗ 20 65

μέρος της ισότητας είναι ίσο με τον αριθμό των τρόπων να επιλέξουμε από αντικείμενα,

ενώ το δεξί μέρος είναι ίσο με τον αριθμό επιλογής από . Καθώς αυτοί οι τρόποι

επιλογής είναι ισοδύναμοι, προκύπτει η ισότητα.

Συνέλιξη (Convolution): Δοσμένων δύο ακολουθιών και ,

η συνέλιξη (convolution) των δύο αυτών ακολουθιών είναι μια τρίτη ακολουθία

, που συμβολίζεται με και που έχει γενικό όρο

.

Σύνολο (Set): Σύνολο καλείται μια συλλογή από αντικείμενα (χωρίς να μας ενδιαφέρει η

διάταξη των αντικειμένων της συλλογής). Ένα σύνολο μπορεί να περιέχει άπειρα στοιχεία ή

να είναι πεπερασμένο, ενώ στην περίπτωση που περιέχει άπειρα στοιχεία μπορεί να είναι

αριθμήσιμο (π.χ. τα σύνολα των φυσικών και των ρητών αριθμών) ή μη αριθμήσιμο (π.χ. το

σύνολο των πραγματικών αριθμών).

Συνοριακές Τιμές/Συνθήκες (Boundary Values/Conditions): Οι συνοριακές τιμές ή

συνθήκες καθορίζονται και χρησιμοποιούνται κατά την επίλυση μιας αναδρομικής σχέσης

για να προσδιορίσουν μοναδικά την ακολουθία που αποτελεί τη λύση στη σχέση αυτή. Για

παράδειγμα, σε μια γραμμική αναδρομική σχέση τάξης χρειάζεται, για να προσδιοριστεί

μοναδικά η λύση, να δοθούν οι τιμές οποιωνδήποτε συνεχόμενων όρων της ακολουθίας οι

οποίες αποτελούν τις συνοριακές τιμές (συνήθως δίνονται οι πρώτοι όροι, δηλαδή οι όροι

).

Στοιχειώδες Ενδεχόμενο (Elementary Event): Στη Θεωρία Πιθανοτήτων, κάθε

αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος καλείται στοιχειώδες ενδεχόμενο. Για παράδειγμα, στη

ρίψη ενός νομίσματος τα δυνατά αποτελέσματα/στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι δύο: η κεφαλή

και τα γράμματα. Στο πείραμα της ρίψης ενός ζαριού, τα δυνατά αποτελέσματα/στοιχειώδη

ενδεχόμενα είναι έξι: οι έξι αριθμοί που είναι χαραγμένοι στις έδρες του ζαριού.



ΠΛΗ 20 66

Σφαιρίδια σε Κουτιά (Balls in Bins/Urns): Τυχαίο πείραμα στο οποίο έχουμε την

τοποθέτηση ενός συνόλου σφαιριδίων, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, σε ένα σύνολο

κουτιών. Το πείραμα αυτό είναι κεντρικής σημασίας, καθώς μοντελοποιεί ένα μεγάλο

αριθμό σημαντικών προβλημάτων που προέρχονται από τη Συνδυαστική και την Επιστήμη

των Υπολογιστών.

Ταυτοτικό Στοιχείο (Identity Element): Σε μια ομάδα με ορισμένη την πράξη «*», το

ταυτοτικό στοιχείο είναι το μοναδικό στοιχείο της ομάδας για το οποίο ισχύει

για κάθε στοιχείο της . Εάν η πράξη ορίζεται πολλαπλασιαστικά, τότε το

ταυτοτικό στοιχείο λέγεται μοναδιαίο (Unit Element), ενώ, εάν η πράξη ορίζεται

προσθετικά, τότε το ταυτοτικό στοιχείο λέγεται ουδέτερο ή μηδενικό (Zero Element).

Τετράγωνη Εξίσωση (Quadratic Equation): Τετράγωνη εξίσωση είναι κάθε εξίσωση της

μορφής (δηλαδή πολυωνυμική εξίσωση δευτέρου βαθμού). Οι εξισώσεις

αυτές έχουν δύο ρίζες, a

acbbr

2

42

1

και , και το πολυώνυμο

μπορεί να γραφτεί ως . Πατήστε εδώ για να λύσετε

οποιαδήποτε εξίσωση (και τετράγωνη φυσικά!).

Φανταστική Μονάδα (Imaginary Unit): Η φανταστική μονάδα ορίζεται ως και

οδηγεί στην επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών στο σύνολο των μιγαδικών

αριθμών έτσι ώστε να έχει ρίζα η εξίσωση , η οποία δεν έχει ρίζα στο σύνολο των

πραγματικών αριθμών.

Χώρος Πιθανοτήτων (Probability Space): Γενικά, δοθέντος ενός τυχαίου πειράματος,

χώρος πιθανοτήτων καλείται ένα σύνολο κατάλληλα επιλεγμένων ενδεχομένων ορισμένων

ως υποσυνόλων του δειγματοχώρου, μαζί με μια κατάλληλα ορισμένη συνάρτηση

πιθανότητας γι’ αυτά.

hypertext_syndyastikis

Documents

eternal golden

linear recurrence

x3

alan turing

a1

iy

paul hoffman

geometric