istorija_matematike

7/30/2019 Istorija_matematike

1/33

ISTORIJA MATEMATIKE

SEMINARSKI RAD

www.BesplatniSeminarskiRadovi.com
http://www.besplatniseminarskiradovi.com/http://www.besplatniseminarskiradovi.com/


2/33

SADRZAJ:

1.MATEMATIKA MESOPOTAMIJE

OSTACI STAROG VAVILONA

SISTEMI I ZAPISI BROJEVA

KAKO SU RAUNALI?

ARITMETIKA I GEOMETRIJA

2.MATEMATIKA STAROG EGIPTA

PAPIRUS

KAKO SU RAUNALI STARI EGIPANI?

SABIRANJE I ODUZIMANJE

MNOENJE I DELJENJE

2


3/33

RAZLOMCI

GEOMETRIJA

ALGEBRA

3.MATEMATIKA DREVNE KINE

POECI RAZVOJA MATEMATIKE

LEGENDA O LO SHU

KINESKI BROJEVI

NAJVANIJA DOSTIGNUA

MATEMATIARI DREVNE KINE

4. STAROINDIJSKA MATEMATIKA


KAKO SU RAUNALI?

NAJVANIJA DOSTIGNUA

STAROINDIJSKI MATEMATIARI

5. STAROGRCKA MATEMATIKA

RAZVOJ STAROGRCKE MATEMATIKE

STAROGRCKI MATEMATICARI

6. ARAPSKI DOPRINOS MATEMATICI

ARAPSKI BROJEVI

MATEMATIKA SREDNJOVJEKOVNE EVROPE

MATEMATIARI SREDNJOVEKOVNE EVROPE

7. MATEMATIKA NOVOG VEKA

MATEMATIKA DO 20. VEKA

NOVA OTKRIA

POZNATI MATEMATIARI

3


4/33

MATEMATIKA 20. VEKA

NOVA OTKRIA

POZNATI MATEMATIARI

MATEMATIKA MESOPOTAMIJE

OSTACI STAROG VAVILONA

Mesopotamija, predruje izmeu i oko Eufrata i Tigrisa, bila je kolevka jedne od, ili,moda bolje reeno nekoliko najstarijih kultura. Govorei o matematici stareMesopotamije predrazumijevamo ostavtinu Sumerana, Babilonaca, Asiraca,Akaana, Kaldejaca i drugih naroda koji su u pojedinim razdobljima obitavali nadelovima tog predruja. Takoe se esto izraz vavilonski koristi kao sinonim zamesopotamski.

4


5/33

Veina najranijih velikih civilizacija nastala je uz velike reke. One su omoguilenavodnjavanje i time razvoj poljoprivrede, kojom su u dani uslovi da od ivotanomada, sakupljaa i lovaca pree na planiranije gospredarstvo uzgoja bilja,plodova i stoke. Osim toga, velike su reke redovno u svojim donjim tokovimasmirenije, polaganije i dovoljno iroke da bi omoguile i plovidbu te time povezalepojedina pre izolirana naselja u vee ceone, a to je bio i uslov za stvaranje veihdrava kao upravnih ceona. Takve ceone su onda razvijale svoju kulturu i civilizaciju,svaka na sebi svojstven nain, u zavisnosti od okolnosti zavisnim rasnim i drugimkarakteristikama plemena i naroda, prednebljem, prirodnim bogatstvima predruja itd.

SISTEMI I ZAPISI BROJEVA

Pismo te kulture bilo je primitivno slikovno pismo, ali je ono ve vrlo rano postaloveoma stilizovano, poprimivi oblik nazvan klinasto pismo, zbog obiaja urezivanjaznakova pomou klinu slinog pisaeg pribora u ploice od meke gline koje su kasnijepeene na suncu. Sredinom 19. stoljea deifrirano je klinasto pismo. Naeni setekstovi relativno lako itaju, a klinasto je pismo nekad bilo standardno odvavilonado Persije.

Vavilonci su za predoavanje brojeva koristili heksagezimalni brojevni sistem sistem s bazom ezdeset. To je bio prvi sistem u kojem je jedan te isti znak, mogaooznaavati razliite brojeve ve prema mestu, odnosno prema poziciji kojuzauzima.Vavilonci nisu imali ezdeset razliitih znakova za brojeve od nule do 59, vesu svaki takav broj ispisali sa samo dve vrste znakova: po jedan vertikalni, uskiomasinu klina za svaku jedinicu i po jedan tupi omasinu klina za svaku deseticu,drugim reima, pojedine znakove heksagezimalnog sistema su ispisivali aditivno udekadnom sistemu.Vavilonci taj nedostatak donekle ublaili time to bi izmeu skupine omasinua to supredoavale znakove izmeu kojih je trebala biti nula ostavili vei razmak.

S prilinom se sigurnou moe utvrditi da je glavni, iako ne i jedini, razlog to su

Vavilonci prihvatili heksagezimalni sistem bio u njihovim vrlo razvijenim astronomskimmotrenjima. Vavilonski kalendar je jo u drugoj polovini 3. veka pre n. e. delio godinuna dvanaest meseci po trideset dana, tj. raunao s godinom od 360 dana (to je estputa ezdeset); potrebne korekcije uvodile su se uklapanjem trinaestog meseca u(njihovim) prestupnim godinama. Uporeujui to s naim kalendarom s mesecimapromenjive duzine i svakom etvrtom prestupnom godinom, moemo se zapitati kojije kalendar bolji.

5
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#heksagezimalnisustavhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#heksagezimalnisustavhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Dekadskisustavhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Dekadskisustavhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#heksagezimalnisustavhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Dekadskisustav


6/33

KAKO SU RAUNALI?

Nai izvori informacija koji se odnose na nivo mesopotamijskematematike vrlo su obimni. Mnogo stotina tablica u klinastompismu bavi se problemima to bismo ih danas zvali algebarskimili se bave geometrijskim odnosima. Naeno je mnogo stotinatablica koje slue za raunanje. Vavilonci su se sluili tablicamakao to se mi danas sluimo npr. logaritamskim tablicama.Meu tablicama mnoenja bile su i tablice koje bismo mogli zvatitablicama recipronih vrednosti pomou kojih su Vaviloncideljenje mogli svoditi na mnoenje. Osim tih tablica, imali su i

tablice za kvadrat i kub te za drugi i trei koren. Naene su injihove tablice za vrednosti od u rasponu od n = 1 do n =30, kojima su na primer, mogli reavati kubne jednacine

oblika za zadano, poznato a i nepoznato n. .

ARITMETIKA I GEOMETRIJA

Mnogo stotina tablica u klinastom pismu bavi se problemima to bismo ih danas zvalialgebarskim ili se bave geometrijskim odnosima. Po svemu tome vidimo da jevavilonska aritmetika bila, relativno mereno, vrlo visoko razvijena. Naravno, pojedininjihovi rauni koji bi, s obzirom na to da rade s konkretnim brojevima, po naojuobiajenoj klasifikaciji spadali u aritmetiku, zapravo su po svome duhu, po nainukako su formirani i voeni, jasni dokazi da je tu re i o algebarskom miljenju. Naprimer, jedna suma kvadrata prvih deset brojeva pokazuje da su Vavilonci znali kakotreba postupiti da bi se dobio zbir kvadrata koliko god prirodnih brojeva, poevi odjedan redom dalje.

MATEMATIKA STAROG EGIPTA

Jedna od najranijih kultura i civilizacija to ih je ovek

stvorio na Zemlji bila je staroegipatska. I danas emo se

6
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Logaritamhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Logaritam


7/33

jo uvek ponovno i ponovno zadiviti pred ostacima te velike batine, razasutim pomuzejima sveta i u svojoj postojbini: bilo da je re o umetnikim delima u muzeju uKairu, npr. iz zbirke naene u Tutankamonovoj grobnici, bilo da motrimo ostatkeudesne graevine kraljice Hatepsut, njen hram u Der el Bahariju, ili velike piramide,hram u Luksoru ili grobnica u Dolini kraljeva, bilo da itamo ifrirane tekstove izstaroegipatske Knjige mrtvih, bilo da iz sauvanih skica i opisa pokuamorekonstruiseti kako su predizane njihove monumentalne graevine U svakom emosluaju ostati iznenaeni pred snagom duha i volje i pred dubinom misli to su nikle irazvile se u dolini Nila pre nekoliko hiljada godina.

I staroegipatska je matematika jedna od najranijih epoha razvoja te nauke. Posebnojedna od prvih grana matematike, geometrija, ve samim svojim nazivom otkriva isvoje predrijetlo. To je po postanku grka re koja bi, doslovno prevedena, znaila"merenje zemlje". A upravo kao merenje zemlje geometrija se iroko razvila ve ustarom Egiptu. Poslovina izreka, "Egipat je dar Nila", dovoljno je poznata. Bez

blatnjavih utih voda te reke to su hiljadama godina natapale zemlju, ne bi se razvilatako bogata civilizacija starog Egipta. No, posle redovnih velikih poplava Nila, svakebi se godine granice zemljinih poseda izbrisale i trebalo ih je ponovno odrediti valjalo je, dakle, premeravati zemljita. Izgradnja velianstvenih hramova, piramida,kipova, takoe je zahtevala odreena otkrica iz geometrije.

PAPIRUS

O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajvie iz dvejuglasovitih papirusa: Ahmesovog ili Rhindovog (levo) iMoskovskog (desno dolje). Rhindov papirus je 1858. otkriokotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. To je zapravo svitakduljine 6 m, irine 30 cm. Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650 g.pr. Kr. i verovatno je nastao tako to je Ahmes prepisivao nekispis star 200 godina. Danas se uva u British Museumu u

Londonu, a sadri 87 matematikih problema.

To je jedna kompletna "studijea o svim stvarima, pogled uunutranjost svega to postoji, saotkrice o tamnim tajnama",kako pie u samom papirusu. Ahmesov papirus je zbirka tablicai vebi, retorika u svojoj formi, koja je namenjena uglavnomuenju matematike. Sadri vjebe iz aritmetike, algebre,geometrije i raznih merenja. Moskovski papirus otkrio je 1893.godine V. S. Golenichev. Dug je 6 m, irok 8 cm. Sadri 25problema, od kojih mnogi nisu itljivi. uva se u Moskovskommuzeju.

7
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Algebrahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Algebra


8/33

KAKO SU RAUNALI STARI EGIPANI?

Stari Egipani imali su razvijeni decimalni sistem i svoje oznake za brojeve:

Hijeroglifskim znacima se pisalo po kamenu kako s leva nadesno, tako i obrnuto, a ponekad i odozgor prema dolje.Razliito pisanje ne stvara probleme kod itanja bojeva jeregipatski nain pisanja brojeva nije pozicijski. Hijeratiki suznaci uvedeni za brzo pisanje po papirusu, drvu ili po lonariji.

Osim navedenih, upotrebljavali su se povremeno i neki posebniznakovi za brojeve koji nisu dekadne jedinice. Npr. za broj dvacrtali bi se govei rogovi, za broj pet morska zvezda, a ljudskaglava bila je i oznaka za broj sedam (7 otvora).

Evo nekoliko primera zapisa nekih brojeva:

Koristili su brojevni sistem s bazom 10, a jedna odglavnih razlika izmeu hijeratikih brojeva i naegbrojevnog sistema jeste da hijeratiki brojevi nisubili pisani u sistemu mesnih vrednosti, tako da su

poznate mogle biti pisane bilo kojim redosledom.Hijeratiki je sistem adicijski sistem. Vidimo da

se, recimo, broj 249 zapisuje kao 249 = 2 100 + 4 10 + 9, pa u zapisu imaju dvaznaka za 100, etiri znaka za 10 i devet znakova za 1.

Egipatski brojevni sistem nije bio pogodan za raunanje, ali je trgovina zahtevalasabiranje, oduzimanje, mnoenje, deljenje te rad s razlomcima.

SABIRANJE I ODUZIMANJE

SABIRANJE

Sabiralo se skupljanjem istih simbola zajedno i pretvaranjem njih 10 u jedan simbol :

8
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Pozicijskizapis%20brojahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Aditivnizapishttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Aditivnizapishttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Pozicijskizapis%20brojahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Aditivnizapis


9/33

ODUZIMANJE

Oduzimalo se tako da se odmicao odreeni broj istih simbola. Ovo je znalo biti ikomplicirano kad se moralo oduzeti vie simbola nego to ih je bilo prisutno u prikazu.

Npr., evo kako bi izraunali 63-38.

Od 6 desetica moemo oduzeti 3 desetice, ali moemo ukloniti samo3 jedinice. Jo nam preostaje 5 jedinica za oduzimanje.

Jedna od preostalih desetica potrebna je da se omogui oduzimanjesledeih 5 jedinica jer :1 desetica 5 jedinica = 10 jedinica 5 jedinica = 5 jedinica.

Taan mehanizam oduzimanja koji su koristili nije sasvim jasan, iakoova ilustracija pokazuje kojim je redosledom pisar mogao provesti

oduzimanje.

MNOENJE I DELJENJE

MNOENJE

Mnoenje prirodnih brojeva odaje nam da su se sluili i potencijama broja 2. StariEgipani mnoili su dva broja koristei udvostruavanje brojeva. Pogledajte sliku.

9


10/33

U plavom pravougaoniku prikazan je njihov zapis, a sivi pravougaonik i raun

ispred pravougaonika objanjava metodu.

Broj su udvostruavali sabirajuci ga samog sa sobom, dakle samo su zapisali brojevejedan ispred drugoga i pretvorili svakih 10 istih simbola.

Kako nisu imali razvijen pozicijski zapis brojeva, moramo starim Egipanima priznativeliku spretnost i ekonominost u raunanju.

DELJENJE

Deljenje u starih Egipana zahtijevalo je koritenje mnoenja i vrlo esto upotreburazlomaka. Pogledajmo prvo primer deljenja kad je rezultat ceo broj.

Razmiljanje je sledee:

10


11/33

125 predeljeno s 5 daje isti rezultat kao 5 pomnoeno s ??? = 125 mnoi 5 uzastopno s viekratnicima od 2 sve dok ne dobaje 125 (kao kod

mnoenja) zbir crveno oznaenih brojeva u plavom pravougaoniku daje rjeenje.

Ova metoda temelji se na jednostavnoj matematikoj injenici koja je bila poznata iegipatskim pisarima, a to je da su mnoenje i deljenje inverzne operacije, tj.

ab = cako i samo ako je c: b = a.

RAZLOMCI

Na poseban su nain oznaavali razlomke, tako specifian da nema slinosti ni sjednom drugom kulturom. Razlomak s broilacom jedan zapisivao se tako da se iznadznaka za imenioc stavio poseban znak sa znaenjem "deo". Svi razlomci pisali su ses jedininim broilacom, a ako to nije bilo mogue, onda su ga prikazivali kao zbirtakvih.

Kad je pisar morao raunati s razlomcima, bio je suoen smnogim problemima, uglavnom vezanim za njihovozapisivanje. Njihove metode zapisivanja nisu im doputale

da piu jednostavne razlomke kao to su 3/5 ili 15/33 zatoto su svi razlomci morali biti prikazani s broilacom 1. Ako tonije bilo mogue, onda se razlomak morao zapisati kao zbirrazlomaka s broilacom 1. Razlika u tome je bio razlomak2/3. Razlomci su zapisivani tako da je iznad imeniocastavljen hijeroglif koji je oznaavao "otvorena usta"

.Danas pojednostavljeno razlomke s jedinicom u broiocu piemo s kosom crtom izakoje slijedi imenioc, npr. 1/2 zapisujemo kao /2, 1/4 kao /4, dok se razlika, 2/3,pie //3.

Stari Egipani verovali su da ih "Rx" simbol, tj. simbol boga Horusa titi od zla. Zato

su i u matematiku ugradili simboliku pa su razvili i svojevrstan brojevni sistem koji sekoristio za prepisivanje lekova, predelu zemlje ili sjemenja. Razlomke su tvorili takoto su kombinovali pojedine delove simbola oka boga Horusa. Svaki deo imao jerazliitu vrednosti. Celokupni simbol oka ima vrednosti 1, a ceo sistem se temelji napredeli na polovice. Pola od 1 je 1/2, pola od 1/2 je 1/4, itd. sve do 1/64.Npr., da bismo prikazali razlomak 5/8, kombinujemo razlomke 1/8 i 1/2.

11


12/33

GEOMETRIJA

Posmatramo li fantastine graevine koje su stariEgipani ostavili u prilog svetskoj batini, ne moemoa da se ne zapitamo koliko su dobro imali razvijenugeometriju, stereometriju i sve ono to im je bilopotrebno za izgradnju piramida i hramova. Znamo dasu znali raunati nagib piramide, obim krnje piramidete obim piramide. Raunali su povrinu trougla kao 1/2mnozenjem dveju kraih stranica (to vredi samo zapravouglan trougao); malena odstupanja nisu imznaila previe. Znali su izraunati i povrinu pravougaonika kao proizvod duzinanjegovih stranica.

Ono to jeste fascinantno, a pronaeno je u Ahmesovom papirusu, je kako suraunali povrinu kruga:

pretpostavimo da krug ima dijametar od 9 kheta (khet je jedinica za duljinu), uzmi 1/9 dijametra, dakle 1, ostatak je 8, pomnoi 8 sa 8, dobaje 64 i to je povrina!

Kad bismo to zapisali savremenim matematikim jezikom, P = (8/9 x dijametar)2, i

usporedili rezultat s egzaktnom formulom za izraunavanje povrine kruga, ,dobali bismo zanimljiv rezultat, stari Egipani su gotovo 1000 godina pre stvarnogotkria broja znali njegovu priblinu vrednovek Naime, po njihovim raunima biiznosio priblino 3.1605!

Evo i naina na koji se moe dobati formula slina egipatskoj za povrinu kruga.Uporeujemo krug s kvadratom:

precnik kruga je 9, dakle, opii mu kvadrat stranice duljine 9 predeli svaku stranicu kvadrata na treine formiraj osmougao kao na slici povrina dobavenog osmougla priblino je jednaka povrini kruga povrina osmougla jednaka je povrini kvadrata umanjena za dva mala

kvadrata sainjena od 4 "odrezana" trougla

12
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Piramidehttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Piramide


13/33

ALGEBRA

Staroegipatska algebra bila je retorika, problemi i reenja dani su reima. Znali su

reavati jednacine prvog stepena s tim da su obavezno provodili analizu i sintezu prireavanju, tj. svako reenje su uvrtavali u poetni problem da se uvere da to uistinu ijeste pravo reenje.

Stari Egipani nisu poznavali oznake za mnoenje, deljenje, jednakost, drugi koren,decimalnu taku, nisu ak ni znali za "obini" razlomak p/q, nisu se pitali zato netofunkcionise, nisu traili univerzalnu istinu formulisanu simbolima koji bi jasno i logikipokazali njihov misaoni proces. Ali su se zato koristili i sedmeropoznatastimbrojevima, imali su neku udnu meavinu jednostavnosti i udne komplikovanosti usvojim raunima, ali taj se koncept pokazuje kao potpuno jedinstvena i zatvorenacelina.

Zato se moe rei da je egipatska matematika jedini sauvani isti primerak raunsketehnike koja je bila vrlo razvijena, koja u itavom svom razvoju nije doivela nikakavbitni diskontinuitet, ve se u potpunosti temelji na osnovi raunanja - na brojenju ipojmu razlomka.

MATEMATIKA DREVNE KINE

Obino kada se govori o matematici Istone Azije tadase u obzir uzimaju doprinosi Kine, Koreje i Japana kaojedne velike celine. Matematiari ovih zemalja smatranisu delom jedne velike zajednice koja je pisala kineskimznakovima te je kao takva bila izdvojena od drugihcivilizacija koje nisu bile upoznate s tim znakovima. Kinaje ostatku sveta postala poznata tek zahvaljujui Marku

Polu, te raznim drugim misionarima (isusovci) koji suputujui svetom i trgujui doli u kontakt s kineskom civilizacijom i matematikom.

Najstariji sauvani matematiki tekstovi potjeu tek iz doba oko 200. pre nove ere, noto je posljedica spaljivanja svih knjiga godine 213. pre nove ere po naredbi vladajuegtiranina.

O Kini se moe nai mnogo zanimljivosti, ali moda je vano spomenuti da je Kinatrea zemlja po veliini u svetu te i najmnogoljudnija zemlja sveta. Kineska kulturnatradicija je jedna od najstarijih u svetu. Pri tome, ako se gledaju sami zaeci kulturena tom predruju, ona nije starija od nekih drugih kultura npr. sumerskih i egipatskih,

ali ono to je naroito zanimljivo je to da se Kineska kultura neprekidno i kontinuirano

13


14/33

razvijala mnoga vekova, vekova u kojima su razne druge kulture i civilizacije veodavno nestale. Stoga moemo zakljuiti da po kontinuitetu trajanja nema nijednedruge kulture u svetu koja bi se mogla uporediti s kineskom.

Kineska dostignua1. prvi su proizveli papir2. otkrili su barut3. proizveli su prvi kompas4. otkrili su masinu pomou pominih znakova (mnogo pre Gutemberga)5. seizmograf6. lanani visei most . . . itd.

Osim tih ostvarenja, Kinezi su jako poznati i po svom graditeljstvu npr. Zabranjenigrad koji je nekadanja carska palata dinastije Ming i Ching je jedan od najvanijihspomenika arhitekture svih vremena.

Tu je i Veliki kineski zid koji je jedina graevinana Zemlji napravljena ljudskomrukom, a koja je vidljiva golim okom s Meseca..


Ne zna se tono kada se u Kini poela razvijati matematika, ali pretpostavlja se da jeto bilo u 3. veku pre Hrista. Prema starim kronikama uti car Huang Ti (vladaoKinom u 27.veku pre nove ere) dao je naredbe svojim predanicima tj. zadao im jezadatke ta moraju istraivati. Tako je trima naucnicima dao zadatak da proriupomou Sunca, Meseca i zvezda. etvrtom naucniku dao je zadatak da stvorimuzicke note, petom naucniku Tai Naou naredeo je da konstruise seksagezimalnisistem (Chia Tsu), esti naucnik Li Skouu dobio je zadatak da izgradi brojeve iumjetnost aritmetike, a poslednji sedmi naucnik dobio je zadatak da regulise svih tihest vetina te razradi kalendar.

Koristili su se seksagezimalno heksagezimanim sistemom. To je najstariji kineskisistem numeracije. Baza mu je broj 60, a funkcioniseo je tako da su se brojevi odjedan do ezdeset tvorili kombinovanjem elemenata jednog desetolanog i jednogdvanaestolanog ciklusa. Taj su sistem koristili za brojanje dana i godina.

Naucnici su kasnije ustvrdili da su poeci matematike u Kini imali srodnosti spoecima razvoja matematike u staroj Mezopotamiji i vjeruje se da su ne neki nainpovezani. Prvi dokazi matematike aktivnosti u Kini pronaeni su u obliku numerikihsimbola zapisanih na tankim kostima stoke i drugih ivotinja, a procenjeni su dapotiu iz 14.pre nove ere

14


15/33

LEGENDA O LO SHU

Budui da nema drugih konkretnih pisanih dokaza, svese oslanja na jednu legendu koja govori kako su Kinezidoli na ideju da stvore sistem brojeva i istraivanja kojeje dovelo do razvoja matematike:Prema legendi, kralj Yu je primio dva boanska dara.Prvi dar je primio od boanske Kornjae dok jeprelazio utu reku. Na Kornjainim leima je bila

zacrtana jedna figura, odnosno, dijagram zvan Lo shu, za koji se vjeruje da sadriosnove kineske matematike. Drugi dar, odnosno figuru, primio je od boanskogkonjonogog Zmaja kojem su kopita ostavljala tragove u blatu.

Izrazi li se Lo Shu brojevima (na slici levo koliko na pojedinom mjesteu ima uskupinu povezanih toaka) dobava se taj magini kvadrat sa svojstvom da je zbirbrojeva u bilo kojem njegovom retku, stupcu ili po dijagonalama jednak 15 ( na slicidesno).Taj prvi dijagram, Lo - Shu, kasnije nazvan arobni kvadrat doveo je do razvojadualistike teorije Yina i Yanga, odnosno do dualistikog razvoja brojeva.

Yang predstavlja neparne brojeve (1, 3, 5, 7, 9, 11...).

Yin predstavlja parne brojeve (2, 4, 6, 8, 10...)

Kasnije su Kinezi uz parne i neparne brojeve usvojili koncept nule. Znak za nulu jedugo vremena nepoznat. U osmom se veku nula oznaava takom, a krug ili kvadratkao simboli za nulu se pojavljuju tek u 13. veku.

KINESKI BROJEVI

U Kini su ljudi, kao i u veini drugih zemalja, najpre raunali na prste, a ve u 2.veku pre nove ere u Kini su imali simbole za brojeve, a oni su prikazani u tablici:

15


16/33

2000.god. pre nove ere

Kasnije se u Kini raunalo pomou tapia (od bambusa, slonove kosti ili metala). Svitapii su bili jednake veliine, a trgovci i su ih najee nosili stalno sa sobom u torbi.Brojevi od 1 - 5 bili su prikazivani kao horizontalne crtice, odnosno kao polegnutibambusovi tapii, brojevi od 6 9 su prikazivani kao jedan vertikalni tapi tekombinacija od nekoliko horizontalnih tapia.

400.god pre nove ere

Nakon uvoenja negativnih brojeva, tapii za raunanje su se izraivali u dve boje -crveni za pozitivne i crni za negativne brojeve.

Mnogo kasnije, tek u 16. stoljeu e se pojaviti abakus. Abakus je pretea dananjihkalkulatora, a sastojao se od drvenog okvira i niza ica po kojima su se moglipomerati kamenii. On se koristio do usvajanja arapskih brojeva, a zanimljivo je toda se ponegde u Kini trgovci jo uvek njime slue.

Kineski Abakus

S vremenom kinesko se pismo malo promenilo i oblikovalo. U sledeoj tablicimoemo videti savremene kineske znakove za brojeve. Isti zapis brojeva moe senai i u Japanu i Koreji.

savremeni kinesko-japansko-korejski brojevi

16
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Abakushttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Abakus


17/33

Razlomci su se pojavili u upotrebi gotovo istovremeno s prirodnim brojevima.Osnovne raunske operacije izvodile su se slino kao i danas, s tim da su mnoenje ideljenje objanjavali na konkretnim primerima. Dalje se matematika razvijala iz skupaalgoritama za raunanje i metoda za reavanje praktinih zadataka.

NAJVANIJA DOSTIGNUA

Kao i indijska, kineska matematika nije deduktivnog tipa, nego orjentisana nanalaenje algoritama za rjeavanje konkretnih zadataka. Mnoga od otkria ipostignua u matematici Kineza ouvana su u nekoliko starih i veoma vanih knjigapisanih u periodu od 1. do 13.vek

Dela:Knjiga o menama (I Ching) - jedna od najstarijih ouvanih knjiga. Koristila se zaproricanje i gatanje. Sadri elemente binarne notacije brojeva.

Sveta knjiga o aritmetici(Chou Pei) - nastajala je u periodu od 2. 12. veka. Sadripredatke, tvrdnje, razgovore i rasprave o matematici, filozofiji, numerologiji,astronomiji ...U toj knjizi se prvi put spominje tekst koji na indirektan nain govori oAritmetika u devet knjiga (Chiu Chang Suan Shu ) - je najstariji matematiki tekvekNjen autor je Chang Tsang. U toj je knjizi niz od 246 zadataka s reenjimanamenjenih meraima, inenjerima, inovnicima i trgovcima. U svakoj od knjigaraspravlja se o jednom matematikom problemu:

1. daje se postupak izraunavanja povrine trougla, etverouglakruga,krunog odseka i iseka. Obrauju se i razlomci; date su korektnemetode za njihovo sabiranje, oduzimanje, mnoenje i deljenje

2. obrauje se kamatni raun3. govori o produenim razmerama4. obrauje se vaenje drugog i treeg korena, te priblini proraun

opsega kruga date povrine i precnika kugle datog obima5. ui se kako se rauna obim prizme, piramide, valjka, prikraene (krnje)

piramide

6. obrauje se ono to bismo zvali raunom smese7. obrauju se problemi sistema od dveju jednacina sa dve nepoznate8. ispituju se problemi to vode na sistem od vie linearnih jednacina sa

vise nepoznatih9. reava se pravougaoni trougao pomou Pitagorine teoremae,neke

oblike kvadratne jednacine

17
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Numerologijahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Astronomijahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Numerologijahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Astronomija


18/33

MATEMATIARI DREVNE KINE

Zhang Qiu-Jian (5. vek) razvija ideje prethodnika i donosi nove matematikeprobleme o nizovima brojeva, jednacinama vieg reda i teoriji brojeva. Dao je formuluza sumu aritmetikog niza.

Tsu Chung chih (430 201) za tanu vrednost broja uzima vrednosti , todaje est tanih decimalnih mesta (ista vrednosti u Europi se pojavljuje tek 1600.god,odnosno vek kasnije).

Quin Jiu - Shao (1202 -1261) - reava sisteme kongruencija, a posmatra ialgebarske jedncine, povrine geometrijskih likova i sisteme linearnihjednacina.Traio je i reenja jednadbi metodom koju nazivamo Hornerova (WilliamHorner, 1819.), iako je u Kini bila poznata 500 godina ranije.Chu Shih - kieh (1270 - 1330.) - napisao je dva vana teksta: Uvod u matematiku zapoetnike i Dragoceno ogledalo etiri elementa (1303.) koje je vrhunac kineskematematike i nakon njega duze vremena nema napretka u matematici. Sadri metodutransformacija za reavanje jednacina, koju koristi do stepena 14, te Pascalovtrougao binomnih koeficijenata, koji je u Kini poznat etiri veka pre no to ga je Pascal

otkrio.

STAROINDIJSKA MATEMATIKA

Matematika nije nezavisna od ljudi koji je stvaraju. Staroindijska matematika bila jepreteno aritmetiko-algebarski orjentisana, za razliku od starogrke matematikekoja je bila preteno geometrijski orjentisana. Naravno, Grka matematika nije bilaiskljuivo geometrija, niti je staroindijska matematike bila bez geometrije; re je samoo usmerenju koje je dominiralo.

U staroindijskoj literaturi nema velikih dela iskljuivo posveenih matematici;matematika je prisutna tek kao deo, kao pojedinano poglavlje u astronomskim iliastrolokim delima.

18


19/33


Uvoenje posebnih znakova za brojeve od nula do devet u staroindijskom dekadnomsistemu, donosi bitan napredak staroindijske matematike.Ti znakovi za brojeve vrlo su slini naima, dakako zbog toga to su nai znakovi isami nastali od indijskih uz modifikacije do kojih je dolo njihovim prenosom to gaEuropa zahvaljuje Arapima.

Pozicioni sistem ve su ranije koristili Vavilonci i upotrebljavali i za oznaavanjerazlomka, a ne samo celih brojeva. Stari su Indijci pozicioni sistem pisanja brojevaupotrebljavali samo za cele brojeve, a ne i za razlomke.

Otkrie nule kod Indijaca novijeg je datuma nego vavilonsko (nije iskljueno da jemoda bilo i pred njegovim uticajem). Kao to je ve spomenuto, bitan napredakstaroindijske matematike bilo je uvoenje znakova za brojeve. Vavilonci takav zapisbrojeva nisu imali u svome heksagezimalnom sistemu, ve su brojevi od jedan dopedeset i devet ispisivali aditivno znacima za deseticu i jedinicu.Najstariji zapisi koji su nam sauvani, a sadre rane oblike indijskih cifara nalaze sena kamenim stubovima to ih je u svakom znaajnom gradu stare Indije dao prediivladar Maurya-carstva, kralj Asoka, sredinom 3. veka pre nove ere.Indijsko otkrie nule, ukoliko je uopstenezavisno od vavilonskog, bilo je uskopovezano sa indijskom filozofijom i religijom.Svakako je znak za nulu Indijcima omoguio spretnije raunanje. Vie nije bilapotrebna raunska ploa sa stupcima ili poljima, gde je prazno polje znailo nita ibilo bez posebnog znaka.

KAKO SU RAUNALI?

Na primeru emo ilustrovati kako su stari Indijci na raunskim ploama predijeljenim

na polja obavljali mnoenje,ispisujui i briui brojeve na pesku kojim bi posipaliplou.Ako je trebalo, recimo, pomnoiti 415 sa 327 ispisali bi te brojeve u glavni redak i stubraunske ploe. U svako dijagonalom predeljeno polje ispisali bi zatim parcijalniproizvod odgovarajuih poznatih, npr. u tree polje prvog reda ispisali bi poznatejedan i pet, jer je pet puta tri jednako petnaevek Kada su tako sva polja bila ispunjena(znak za nulu tu nije potreban jer ga moe nadomestiti prazno polje).Sabirali su brojeve po dijagonalnim prugama poevi od donjega desnog ugla (uzprenos u dalju prugu ulevo eventualnih desetica kao i pri naem mnoenju).

19
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Heksagezimalnisustavhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Heksagezimalnisustavhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Heksagezimalnisustav


20/33


21/33

Imali su i odlinu aproksimaciju za broj tonu na pet decimalnih mesta.

Takoe, Indijci su vrlo rano znali i za staroegipatski trougao sa stranicama 3, 4, 5,kao u za pravougaoni trougao sa stranicama 15, 36, 39.

STAROINDIJSKI MATEMATIARI

Najvei i najvaniji staroindijski matematiari:- Aryabhatta (V vek)- Brahmagupta (VI. vek)- Mahavira (IX vek)- Bhaskara (XII vek)

Aryabhatta, ve je meu ostalim, znao vaditi drugi i trei koren predelom radikanda ugrupe sa po dve odnosno tri poznate (u naelu isto kao to radimo danas).

Brahmagupta nalazi celobrojna reenja nekih kvadratnih jednacina oblika:

Ovakvo ispitivanje, gde se trae samo celobrojna reenja neke jednacine ili nekogsistema jednacina, dobilo je ime po grkom matematiaru Deofantu, iako je Indijcimave poznato od ranije. Govori se o deofantskim jednacinama, iako otkrivene odIndijaca.Stari su Indijci rjeavali i deofantsku kvadratnu jednacinu oblika

i to metodom koju je na Zapadu tek u 18. veku ponovno otkrio L. Euler.

Mahavira se bavio elementarnom matematikom.

Bhaskara dokazuje Pitagorin dokaz iskoricavanjem svojstava slinosti trougla (UEuropi je ovakav dokaz otkriven tek u XVII. vek)

Nakon Bhaskare indijska je matematika, opste uzevi, stagnirala i ak nazadovalasve do novijeg vremena. Tek u 20. veku ona se izvanredno razvila tako da je danasne samo meu prvima u Aziji, ve ima svoje mesto i u svetskim razmerama.Najvea zvezda novije indijske matematike svakako je bio Srinivasa Ramanujan(1887-1920). On je naroito za est poslednjih godina svog kratkog ivota to ih jeproveo u Engleskoj radei kod velikog matematiara G. H. Hardya, dao matematicivelike nove priloge trajne vrednosti.

21


22/33

STAROGRKA MATEMATIKA

Vrlo se esto tvrdi da je i najstarija grka naukasamonikla i da nema veze s vavilonskom i egipatskomcivilizacijom. Meutim, izmeu rane grke nauke i prvihcivilizacija postoji jasna veza. Mnogi starogrki tekstovispominju putovanja grkih naucnika i filozofa, posebnoTalesa i Pitagore, u te zemlje, istiui da su ti naucnicitamo upoznali pojedina matematika otkrica. Nisu Grciponovno otkrili ona otkrica koja su ve bila poznata uBabilonu i Egiptu, oni su to otkrice preuzeli i interpretiraliih na nov nain. Do Grka matematika je bila pretenoempirijska. Stari su Grci bili prvi koji su sebi, svesnitoga to time ine, postavili zadatak da sva predjanja i sva nova matematika otkricaskupe i poveu u skladan i celovit sistem unutar kojeg e svaka teorema i svakaformula biti dokazani. Prelo se u matematici na apstraktna razmiljanja i dokaze.

RAZVOJ STAROGRKE MATEMATIKE

O epohi formiranja grke matematike moemo da zakljuujemo samo na osnovumanjih fragmenata, koji se nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovu zapaanjafilozofa i drugih autora koji nisu bili samo matematiari.

U vreme pojave prvih zapisa o grkoj matematici, grki pomorci i trgovci su bilive nauili od svojih egipatskih muterija, da za pisanje upotrebljavaju papirus, koji semogao lake nositi i uvati nego glinene tablice starih semitskih civilizacija. Umeusobno udaljenim zajednicama istoga jezika, bogati trgovci i pomorci ovladali su

pismenou, bez uticaja neke mone svestenike kaste. Oni su bili spremni daprilagode korisno znanje, sticano na putovanjima, paktinim potrebama.

Period tokom koga su grke mediteranske zajednice dale trajan doprinosrazvoju matematike moe se podeliti u tri velike faze. Prva, koja nije ostavila nikakvihpisanih tragova, protee se od Talesa i Pitagore do Demokrita, priblino od 600-400.godine pre n.e. Osnovu druge faze predstavlja uenje Platona (430-349. godine pren.e.). Ona kulminira u Euklidovom sistemu, koji se veoma oslanjao na Eudoksa (408-355. godine pre n.e.), Platonovog uenika. Euklidova smrt prethodi za nekolikogodina Arhimedovom roenju (oko 287. godine pre n.e.) ija naklonost kapronalascima predstavlja poetak tree faze. Treu fazu tj. aleksandrijsku fazu

odlikuje odstupanje od formalizama i jak oseaj za praktinu primenu matematike.

22


23/33

STAROGRKI MATEMATIARI

Grka tradicija istie Talesa kao osnivaa grke matematike mada o tome nemadokumentovanih podataka, ranijih od jednog veka posle Talesove smrti. Premapodacima drugih autora, on je napisao samo dve rasprave: O solsticiju i O ekvinociju -jer je mislio da se ostalo ne moe saznati. Izgleda da je, prema nekim autorima, prviprouavao astrologiju, da je prvi predskazao Suneva pomraenja i utvrdioravnodnevice. Tako tvrdi Eudem u svojoj Istoriji astrologije. (Astrologija znaiprouavanje zvezda" i ima u Grka samo to znaenje; dakle, isto to i astronomija.)To je bio razlog divljenja koje su prema njemu oseali Ksenofan i Herodot. S njime seslau i Heraklit i Demokrit.

Tales je poznat po tome to se smatra prvim Helenom koji je izlagao i dokazaoteoreme, te stoga i ocem helenske matematike.

Pripisuje mu se sledeih 5 teorema:1) Prenik polovi krug.2) Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki.3) Naspramni uglovi koje formiraju dve prave koje se seku su jednaki.4) Ugao upisan u polukrug je prav.5) Trougao je odreen jednom stranicom i uglovima naleglim na nju.

U matematici se vie zna i pominje Pitagora, verovatno zbog toga toje za sobom ostavio kolu tzv. pitagorejce koji su se uprkos inajeem proganjanju, odrali dugo posle njegove smrti. Smatra seda je Pitagora, kao i Tales svoje znanje doneo u mnogome iz Egipta.

Pitagorina teorema je jedna od osnovnih i najznaajnijih matematikih teorema. Naosnovu nje je stvoren fraktalkoji se naziva pitagorino drvo.

Pitagora za sobom nije ostavio nikakva pisana dela, a za nekoliko spisa koji su uantici kruili pod njegovim imenom utvreno je da su nesumnjivo apokrifni.Pitagorino uenje bilo je tajnog karaktera i prenosilo se samo usmeno na neposredne

23
http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B0http://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB&action=edit&redlink=1http://sh.wikipedia.org/w/index.php?title=Apokrif&action=edit&redlink=1http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B0http://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB&action=edit&redlink=1http://sh.wikipedia.org/w/index.php?title=Apokrif&action=edit&redlink=1


24/33

uenike, koji su njegov nauk obino citirali uz izraz (lat. ipse dixit= "lino jerekao").

Razvoj matematike se sastojao pored nalaenja novih injenicageometrije i u korienju deduktivne metode u geometriji.To e datiEuklidove elemente. Euklidje bio Platonov student u Atini, dok jeveinu ivota proveo radei u Aleksandriji, u Egipatu, gde jeosnovao matematiku akademiju.

Euklid je napisao brojna dela, od kojih neka nisu sauvana i poznata su samo ponaslovu. Sauvana su dela: Elementi, Data, Optika i dr. Negevo najuvenijedelo su "Elementi", koje je uticalo na zapadno akademsko miljenje. Smatra seda su nastali oko 325-te godine pre n.e. dok je Euklid jo iveo u Atini. Elementisu podeljeni u trinaest knjiga; cetiri prve posvecene su geometriji u ravni i bave se

proucavanjem poligonalnih ili kruznih figura. Tu je najpre definicija tacke, ono stonema delova; zatim linije duzina bez sirine; povrsi ima samo duzinu i sirinu;prava linija je jednako postavljena izmedju tacaka i ravan je jednako postavljenaizmedju svojih pravih.

Arhimed iz Sirakuze, smatra se jednim od trojice najgenijalnijih matematiara svihvremena, bio je vrhunac helenske matematike i najvei fiziar starog veka.

Heureka! Heureka!(gr. prefiks glagola heursiko - naem, izraunam, izmislim) Naaosam, uzviknuo je Arhimed kada je, sedei u kupatilu, otkrio fiziki zakon da svakotelo, potopljeno u tenost, gubi od svoje teine onoliko kolika je teina njime istisnute

tenosti ( ili gasa ). Taj gubitak je u stvari potisak tenosti ili gasa.

Najpoznatija dela su: O kvadraturi parabole, O lopti i valjku, O raunu sa peanimzrncima, O ravnotei ravnih likova, O merenju kruga, O plivanju tijela, O konoidima isferoidima.

U ratu sa Rimljanima 47. godine pre n.e. izgorela je Aleksandrijska biblioteka.Godine 342. unitena je i druga biblioteka u naletu rulje koja je bila fanatizovana odhrianskog arhiepiskopa. Poslednji matematiari nestaju iz Aleksandrije u V veku.Time se zavrava cvetanje nauke u Aleksandriji.Posle toga je sredite naunog ivotabila stara Platonova Akademija u Atini. Ve oko 100 godina kasnije, 529. godine, carJustinijan je zabranio, pagansku nastavu i zatvorito Akademiju.

24


25/33

ARAPSKI DOPRINOS MATEMATICI

Mnogi smatraju da u razdoblju od kraja grke antike nauke do kasnog srednjeg vekau Europi nije bilo vanih dogaaja u matematici osim prevoenja grkih tekstova naarapski koji su tako - ne direktno preko rimskog naslea, ve indirektno prekoarapskih osvajanja - postali dostupni Europi srednjeg veka. No, zapravo je doprinosarapskog predruja matematici mnogo vei od samog prevoenja i prenosapredataka. Dananja matematika zapadnog stila mnogo je slinija matematici kakvususreemo u arapskim doprinosima, nego onoj u starogrkim. Mnoge ideje koje supripisane Europljanima kasnog srednjeg veka i renesanse pokazale su se zapravo

arapskim. Ovde emo opisati razdoblje od 8. do 15. veka.Prvi predstavnik nauke i prevoenja grkih tekstova (npr. Euklidovih Elemenata) naarapski bio je kalifal-Hajjaj, koji je na vlast stupio 786.g. Glavni naucni centar postajeKuamudrosti, vrsta akademije ili sveuilista u Bagdadu (koji je osnovan 762.g.), kojuje poetkom devetog stoljea osnovao al-Hajjajev sin kalif al-Ma'mun.

Prvi veliki arapski matematiar je Al-Khwarizmi (punim imenom Abu'Abdallah Muhammad ibn Musa al-Magusi al-Khwarizmi al-Choresmi). ivio je otprilike 780.g. - 850.g. i bio je uenik u Kuimudrosti, a kasnije je delovao pred zatitom kalifa al-Ma'muna.Pisao je o algebri, geometriji i astronomiji. Al-Khwarizmi donosi

odmak od grke matematike, koja se veim delom odnosila nageometriju, prema algebri. Algebra je omoguavala tretiranjeracionalnih i iracionalnih brojeva, geometrijskih veliina i dr. kao

algebarskih objekata, to je dovelo do potpuno novog razvoja matematike. Glavnodelo mu je udbenik algebre Hisab al-jabr w'al-muqabala. Iz njegovog nazivaizvedena je re algebra (al jabr). Al-Khwarizmi svojom knjigom eli olakati reavanjesvakodnevnih problema (npr. pitanja nasljeivanja u muslimanskim zakonima), noprvi deo se moe smatrati i ozbiljnije algebarskim: bavi se linearnim i kvadratnimjednacinama.

Al-Karaji (punim imenom Abu Bekr Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji,953.g. - 1029.g.),bagdatski matematiar i ininjer, smatra se prvomosobom koja je potpuno oslobodila algebru od geometrijskih operacija izamenila ih aritmetikim, to je osnova moderne algebre. Tako npr.svoenje na potpun kvadrat provodi isto algebarski.

Al-Haytham (punim imenom Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham,965.g. - 1040.g.) je verovatno prvi koji je pokuao klasificirati parnesavrene brojeve, kao one oblika 2k-1(2k - 1) gde je 2k - 1 prost

broj. Takoe je prva poznata osoba koja je izrekla Wilsonovu

25
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Kalifhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Geometrijahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Prostbrojhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Prostbrojhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Kalifhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Geometrijahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Prostbrojhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Prostbroj


26/33

teorema (Ako jep prost broj, ondap dijeli 1 + (p - 1)!) Nije jasno je li to znao dokazati.A teorema se zove po Johnu Wilsonu jer mu je njegovo poznavanje (ne i dokaz)pripisano 1770.g. Prvi poznati dokaz dao je Lagrange 1771.g. Al-Haytham se bavio ioptikom, kvadraturom kruga i sistemima kongruencija.

ARAPSKI BROJEVI

Indijski nain zapisivanja brojeva bio je temelj europskom nainu zapisivanja koji jedanas jako proiren. No, oni nisu odmah preneseni iz Indije u Europu ve je njihovmedij bio arapski narod.

Poprilino razliiti brojevni sistemi su simultano koriceni na arapskom poluotoku duginiz godina.

Postojalo je najmanje 3 razliita brojevna sistema:- raunanje na prste: brojevi se piu reima; ovaj nain rauna su koristili trgovci iraunovoe;- seksagesimalni sistem: brojevi oznaeni arapskim slovima, koristio se najee zaastronomiju;-indijski dekadni sistem: poznate su preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupasimbola, tako da se u raznim krajevima koristilo donekle razliite oblike poznatih;ispoetka su ih koristili na pranjavim ploama koje su omoguavale isto to i danasploa i kreda;

Poslednji sistem je omoguio napredak numerikih metoda, npr. raunanje korena(Abu'l-Wafa, Omar Khayyam), otkrie binomnog teoremaa za prirodne eksponente(al-Karaji), aproksimaciju transcendentnih realnih brojeva i raunanje n-tih korena (al-Kashi).

26


27/33

MATEMATIKA SREDNJOVEKOVNE EVROPE

Smatra se da je srednji vek razdoblje mraka i razdoblje u kojem se nije dogaalo nitavano u naucnom pogledu.Mladi su europski narodi do kraja 12. veka prihvatili relativno siromano starorimskomatematiko nasljee: meu ostalim tzv. quadrivium koji se je sastojao od aritmetike,muzike, geometrije i astronomije. Ta su se otkrica pred imenom matematike estoi (zlo)upotrebljavala u astrologiji, pa nije udno da neki spisi toga vremena, govorei omatematiarima i drugim mranjacima , ne nalaze za njih mnogo lepih rei.Sve do 11. veka poznavanje Euklidovih Elemenata u Europi je bilo vrlo oskudno.

Na Siciliji su se neki matematiki tekstovi prevodili na latinski i neposredno s grkogizvora. U poslednjoj treini srednjega veka javlja se ve nekoliko domaiheuropskih matematiara, koji to ime zasluuju ne samo kao reproizvodivni ve i kaokreativni umetnici. Meu najistaknutije spadaju Fibonacci i Jordanus Nemorarius.

Pred kraj srednjeg veka matematikom se ozbiljnije bave i neki vrlo istaknutinematematiari, posebno slikari, Leonardo da Vinci i Albrecht Drer, koji sezauzimaju, pored ostalog, za geometrijske konstrukcije koje se mogu provestisamo upotrebom estara s fiksnim otvorom.Za matematiku je srednji vek u Europi bio tek prelazni period unutar kojeg su searapskim posredstvom pomalo uila zaboravljena otkrica starih Grka. No ta su otkrica

posluila kao odskona daska za ulaz u matematiku novog veka Evrope.U poslednjih pedesetak godina istraivanja su pokazala da je to razdoblje mnogobogatije nego to se smatralo, te da je srednji vek vrlo vana spona izmeu starog inovog veka.

MATEMATIARI SREDNJOVEKOVNE EVROPE

Anicius Manlius Severinus Boethius roen je oko 480. godine ublizini Rima. Boetije je bio vrlo dobro kolovan. Teno je govoriogrki i bio je vrlo dobro upoznat s radom grkih filozofa, papovjesniari smatraju da je studirao u Atini ili Alexandriji, iako zato nema dokaza. Obrazovanje je Boetiju bilo vrlo vano. Svoj jetalenat koristio za pisanje i prevoenje. Njegovo razumevanjematematike je bilo na vrlo niskom nivou, a i tekstovi koje je pisaoo aritmetici bili su vrlo loi.Naspram tome njegovi matematiki

tekstovi bili su najbolji koji su bili dostupni u to vreme i bili su korisceni mnogo vekova

Upravo su Boetijevi tekstovi bili glavni izvor materijala za quadrivium.

27


28/33

Postavio je ambiciozan projekt da prevede i napie komentare na ceo rad Platona iAristotela. Cilj mu je bio pokazati ideje u kojima su se ova dva Grka filozofa slagalajedan s drugim. Boetije nije uspeo dovriti svoj projekt.Ali je uspeo prevesti na latinski Aristotelove Categories i De interpretatione. Do 12.veka njegovog dela i prevodi su bili glavna dela o logici u Europi koja su poznata poimenu Logica vetis, odnosno stara logika.Boetije se je bavio i politikom, to ga je dovelo i do optube za izdaju, kao i optubeza svetogre i bavljenje magijom. U zatvoru je napisao svoje najpoznatije delo Deconsolatione philosophiae. De consolatione philosophiae je postala vrlo popularnaknjiga u srednjem veku i renesansi.

Gerbert je roen oko 940. godine u Aurillacu, regiji Auvergne, centralna Francuska.Gerbert je uio arapske brojeve, tako da je mogao raunati u glavi, to je bilo vrloteko s rimskim brojevima. Takoe je prouavao abakus, ak je i konstruiseo jedan

divovski. Oznaio je pred lae u Reimskoj katedrali kao abakus i napravio je mnogovelikih diskova umesto zrna abakusa. Skupio je oko ezdeset i etiri lanakatedralske kole da mu pomognu. Dao im je tapove kojima su gurali diskove, a onje seo na crkveni kor od kuda je mogao videti ceo pred. On je davao instrukcije, aasistenti su micali diskove kao da igraju shuffleboard. Na ovaj nain je mogaoraunati s brojevima manjim i veim od brojeva s kojima se do tada raunalo. Nakontoga je napisao knjigu o abakusu koja je postala standard u novim katedralskimkolama koje su budile i revolucionirale studije matematike na zapadu.Gerbertovo veliko otkrie je i pronalazenje duzina kateta pravougaonogtrougla kojem je poznata duzina hipotenuze i povr1ina.(Iz a2+b2=c2 iab=2P tj. a2b2=4P2 proizlazi da su a2, b2 resenja kvadratne jednacine x2-

c2

x +4P2

=0) .Gerbert je 999. godine postao papa Sylvester II. Umro je u Rimu 1003. godine.

Gereard (Gherardo, Gerhard) roen je 1114. godine u Cremoni, Italija.Gerard je preveo oko osamdeset dela s arapskog na latinski jezik. Neka od tih delabila su arapska, a neka su bila grka dela prevedena na arapski. Ta dela nisu bila svamatematika, bilo je tu medicine i nauke uopsteno. No najvanija su bila oastronomiji, geometriji i drugim granama matematike. . Gerard je preveo Alhvarizijevualgebru te arapski prevod s grkog Euklidovih Elemenata i PtolomejevaAlmagesta.

Teko je verovati da je Gerard imao vremena za bavljenjem neim drugim osimprevoenjem, zbog veliine posla kojega se je primio, ali ipak je odravao javnapredavanja i imao je reputaciju oveka od velikoga otkrica.Jedna od odluka koju je Gerard doneo bila je kod prevoenja arapske rei za sinusna latinsku rije sinus. Interesantno je za zakljuiti da je Gerard doneo drugaijuodluku u prevoenju, ova funkcija bila bi poznata danas pod drugaijim imenom.Gerard je umro 1187 u Toledu.

28
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Abakushttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Shuffleboardhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Abakushttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Shuffleboard


29/33

MATEMATIKA NOVOG VEKA

Kao to je nekad starogrka matematika svojim ostvarenjima veoma zasenila sve toje u toj nauke dotle uinjeno u prijanjim velikim kulturama Azije i Afrike, tako jenovovekovna matematika Evrope neuporedivo nadmaila sve to je u matematicidotle bilo ostvareno.

MATEMATIKA DO 20. VEKA

U razdoblju od sredine 17. do sredine 19. veka dakle unutar nekih dvesta godina -matematika je obogaena mnogo vie negoli tokom itava svog dotadanjeg razvojaza vreme vie od dve hiljade godina. U 17. su veku za matematiku nastupila, sazrelisu uslovi za njen veliki procvat.U korenima su tog sazrevanja svakako mnoga otkria koja su tek pripremila put zakasniji gotovo eksplozivni rast: bez tih otkria do njega ne bi bilo dolo.

NOVA OTKRIA

Algebra je zakoraila daljim koracima napred kada su tri italijanska renesansnamatematiara nasla resenje kubne jednacine. Matematiari renesanse znaju da sesvaka kubna jednacina moze svesti na oblik bez kvadratnog lana putem linearnesupstitucije. Stoga je dovoljno znati resiti jednacine oblika x3+px+q=0. Napomenimojos i da u renesansi, iako su ponegde poznati, negativni brojevi jos nisuopsteprihvaeni te su stoga u renesansnom shvatanju jednacine x3+px=q i x3=px+q

razliiti tipovi kubne jednacine.

29


30/33

POZNATI MATEMATIARI

Za razvoj algebre tokom renesanse posebno je zasluan poznati francuskimatematiar koji to nije bio, FranoisVite (1540.-1603.) koji je po struci bio pravnik.Kao matematiar iz hobija, dvaput se naao u prilici pomoi svojoj dravi otkricemmatematike.Prvi put bilo je to kad je panski kralj Filip II., poznati borac protiv reformacije,zagovornik inkvizicije i pokreta armade protiv Engleske, 1590. godine postaviozahtev za francuskim prestolom na osnovi rodbinskih veza. Tadanji francuski kraljHenrik IV., protestant, odbija zahteve te dolazi do rata. U tom ratu slane su razneifrirane poruke te iz tog doba potie jedna od najpoznatijih matematikih anegdota izkriptografije. Francuzi su presreli jednu pansku poruku te ju je kralj dao Viteu da jedeifrira. To Vite i uspeva, panjolcima postaje jasno da Francuzi znaju za njihove

namjere, a Filip II. tuio je Francusku papi da se koristi crnom magijom.Vite je poeo razvijati i tehniko raunanje s algebarskom notacijom ne samo dase proizvoljna i nepoznata veliina oznaavala slovom, ve se s takvim slovimapoelo i manipulisati. U svojem delu In artem analyticam isagoge (1591) Vieteupotrebljava samoglasnike za nepopoznatice, a suglasnike za poznate, date veliine.

Descartes, veliki filozof (1596.-1650.) upotrebio je (ve od prepoznatu) metodu koordinatnog prouavanja ovisnosti jedne veliine(funkcije) o drugoj (varijabli) da bi povezao geometriju s algebrom:geometrijska su se pitanja sada mogla formulisati, izuavati i reavatialgebarskim sredstvima, a algebarske veze mogle su se ilustrovatigeometrijski.

Pascalje bio udo od deteta od rane mladosti. S dvanaest godina sam je ponovnootkrio mnogo toga iz elementarne geometrije. Sa etrnaest godina ve je prisustvovaosastancima francuskih matematiara koji su kasnije stvorili Francusku akademiju. Nobio je slabogzdravlja i s 27 godina napustio je (iako ne zauvek) matematikaistraivanja i posvetio se gotovo potpuno religioznim razmiljanjima. Pred kraj svogkratkog ivota napisao je glasovite Penses (Misli), moda jedno od najvrednijih

dela francuske knjievnosti.Gottfried Wihelm Leibniz (1646-1716) bio je ne samo jedan od najveihmatematiara, ve i jedan od najveih filozofa svoga doba (teorija monada!). Veinukapitalnih matematikih dela, poznatih u njegovoj mladosti, prouio je Leibniz dok munije bilo jo ni dvadeset godina.

30
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Funkcijahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Varijablahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Funkcijahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Varijabla


31/33

MATEMATIKA 20. VEKA

U ovom razdoblju razvila su se mnoga predruja matematike kao to su teorijaverovatnosti, matematika logika, teorija skupova te infinitezimalni raun. Zaposlednjih stotinak godina stvoreno je u matematici vie od svega onoga to jestvoreno u itavoj istoriji te nauke do poetka toga razdoblja.Matematika 20. veka belei veliki broj poznatih matematiara koji su uvelike doprinelionom to danas nazivamo modernom matematikom.

NOVA OTKRIA

Teorija skupova predstavlja vaan temelj matematike, a trenutno se najvie vezujeuz matematiku logiku. Njena istorija bitno se razlikuje od istoriji ostalih predrujamatematike. Mnoge grane matematike dugo su se razvijale dokle god njihove ideje nebi evoluirale do ultimatnog flasha ili inspiracije, najee doprinosom veeg brojamatematiara koji bi, veinom istovremeno, doli do otkria istaknute vrednosti. Sdruge strane, teorija skupova nastala je zahvaljujui jednom oveku GeorguCantoru, da bi tek kasnije, od 1890. do 1930. postala sredinjim predmetommatematikih rasprava.

Pojam infinitezimal predstavlja broj koji je beskonano malen, a ipak vei od nule.Zaeci ovog pojma seu jo iz antike, Aristotel (utemeljitelj sistematske logike)prognao je iz geometrije beskonano maleno i veliko, no do punog procvatainfinitezimalnog rasuivanja dolo je s generacijama nakon Pascala: Newtonom,Leibnizom, braom Bernoulli i Leonhardom Eulerom.

POZNATI MATEMATIARI

Albert Einstein (Ulm,1879. - 1955.), fiziar-teoretiar i najistaknutijistvaratelj novog doba u fizici.

Sve do svoje tree godine Albert nije progovorio, ali je pokazivaoneverovatnu radoznalost i briljantnu mo shvaanja kompliciranihmatematikih koncepata. U doba od 12 godina sam je sebe nauiogeometriju. Otkrio je niz osnovnih zakona prirode (brzinu svetlosti kao

maksimalnu brzinu, dilataciju vremena i novu interpretaciju dilatacije duina, te

31
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Teorijaskupovahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Diletacijavremenahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Teorijaskupovahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Diletacijavremena


32/33

ekvivalentnost mase i energije, korpuskularnu prirodu svetlosti i princip ekvivalencijete osnovu opste teorije relativnosti).

Einstenovo najpoznatije delo je teorija relativnosti koja je ne samo od osnovne

vanosti kao temeljni okvir za daljnji razvoj teorijske fizike, ve duboko zahvata i ufilozofske koncepcije, o prostoru i vremenu, a povrh toga u probleme kosmologije ikosmogonije.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845.Vek Petersburg, Russia1918. Halle, Germany) bio je nemaki matematiar. Najpoznatiji je kaoosniva teorije skupova. Uspostavio je vanost bijekcije meuskupovima, definisao beskonane i dobro ureene skupove. Definisaoje kardinalne i ordinalne brojeve i njihovu aritmetiku. Bio je prvi koji jeprouavao hipotezu kontinuuma koja se bavi tezom da ne postoji skupija je snaga vea od skupa prirodnih brojeva, a manja od skupa realnih

brojeva.Hilbert je za njega rekao:Niko nas ne sme izbaciti iz raja koji je Cantor stvorio.

David Hilbert (1862.-1943.) bio je nemaki matematiar, prepoznat je kao jedan odnajuticajnijih matematiara 20-tog veka. Otkrivao je i razvijao veliki spektarfunadamentalnih matematikih ideja. Bavio se funkcionalnom analizom, sanaglaskom na Hilbertovom prostoru. Takoe je poznat kao jedan od osnivaadokazne teorije te matematike logike..

John Forbes Nash roen je 1928. u Zapadnoj Virdziniji. Na sveuilitu Princeton, uvreme kad su tamo radili naucnici poput Alberta Einsteina i Johna von Neumanna, bio

je smatran udom od deteta. Ve pre navrene 30. godine bio je poznat naPrincetonu i kasnije matematikom odseku na MIT-u po sposobnosti razumevanja ireavanja tekih matematikih problema koji su za njegove kolege bili gotovonereivi. Njegov je najvei doprinos na predruju teorije igre koja jerevolucionalizirala ekonomiju, a izneo ju je u svojoj disertaciji od 27 stranica"Nekooperativne igre" koju je napisao u doba od 21 godine. Postao je izvanredniprofesor u svojim 20-tim godinama i smatrali su ga genijem.

1958., u doba od 30 godina, neposredno pre nego to je trebao postati redovniprofesor na MIT-u obolio je od paranoidne shizofrenije s bizarnim iluzijama. Napustioje MIT i sledeih je 30 godina u mnogo navrata hospitalno leen, esto i protiv svojevolje. 1994. godina, kad je imao 66 godina, njegovo se psihiko stanje stabilizovalo,uao je u remisiju, a istovremeno i nenadano dodeljena mu je Nobelova nagrada zaekonomiju.

Prema njegovoj biografiji "Beautiful Mind" Sylvije Nasar snimljen je istoimeni film kojije dobitnik 4 Oskara za 2001. godinu.

32
http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Op%E6eteorijerelativnostihttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Bijekcijahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Hilbertovprostorhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Hilbertovprostorhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Teorijeigrehttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Nobelovanagradahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Op%E6eteorijerelativnostihttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/af.htm#Bijekcijahttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Hilbertovprostorhttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/oz.htm#Teorijeigrehttp://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/gnj.htm#Nobelovanagrada


33/33

LITERATURA

1. Stefan Barker,Filozofija matematikeBeograd, 1973.

2. Mirko Deji Tajni svet matematike

Nolit, Beograd, 1990.

3. Vladimir Devid Matematika kroz kulture i epohe kolska knjiga, Zagreb, 1979.

4. Lanselot Hogben Stvaranje matematike Vuk Karadi, Beograd, 1972.

5. Mala enciklopedija PROSVETAProsveta, Beograd, 1972.

6. http://www.matf.bg.ac.yu/~zlucic/zlucic.html

www.BesplatniSeminarskiRadovi.com
http://www.besplatniseminarskiradovi.com/http://www.besplatniseminarskiradovi.com/

istorija_matematike

Documents