knÄckning

KNÄCKNING

I detta kapitel studeras instabilitetsfenomen hos balkar som är utsatta för en stor tryckande normalkraft.

Byggnadsmekanik gk 10.1

INSTABILITETSFENOMENET

stabilt jämviktsläge

ickestabilt jämviktsläge

Bollen utsätts för en liten perturbation.

Jämviktsläget är stabilt om bollen återgår till samma jämviktsläge.

Jämviktsläget är ickestabilt om bollen går till ett annat jämviktsläge.

STELA BALKAR

P

spiral fjäder

k

L

stel balk

Problem : för vilka värde för P är detta jämviktsläge stabilt ?

Metod : man applicerar en liten rotation och kollar om strukturen återgå till jämviktsläget


kMf

P

d

Mf > Pd : balken återgår till vertikalt jämviktsläge

balken är i ett stabilt jämviktsläge

Mf < Pd : balken faller ( ökar)

balken är i ett instabilt jämviktsläge.

litet)(sin L L d

Lk

P PLk d PMf

lasten)(kritiska Lk

Pcr

• P < Pcr : stabilt jämviktsläge

• P > Pcr : instabilt jämviktsläge

• P = Pcr : neutralt jämviktsläge

(litet)

neutralt jämviktsläge

P

crP



Om P ökas progressivt kommer strukturen att deformeras kraftigt när P = Pcr . Det ickestabila jämviktsläget är omöjligt att nå.


Jämförelse teori - experiment

P

teori

experiment

Experimentet visar att balken börjar rotera

före Pcr och kan tåla en last större än Pcr .

crP

Förklaringar :

om blir för stor, = sin gäller inte

vid ett experiment finns det alltid imperfektioner

P

d

0fM )( o kMf

o

Ett sätt att introducera imperfektioner i ekvationerna är att anta att det obelastade

balken inte är vertikalt utan bildar en vinkel o med ett vertikalt linje.

Balkensegenvikt försummas och Mf = 0 utan

last P.


P

d

)( o kMf

Balken är i jämvikt om:

sin)( o L P k d P Mf

1 ekvsinsin

oo P Lk

P cr

P

ekv 1

ekv 1 ger en jämviktskurva som liknar experiment resultat.

crP

sinL d


EULER FALL 1

PA BEI

L

P

För en slank balk ger last P upphov till en böjning.

Den linjära teorin (föreläsning 4) ger en homogen tryckning (N = -P) och ingen böjning (M = 0), den kan därför inte beskriva verkligheten.

En olinjär teori måste användas.

I en olinjär teori ställs jämviktsekvationer upp i det utböjda jämviktsläget.

P0 M

Linjär teori : jämviktsekvationer utan att betrakta deformationer.

)(xv

v P M

Olinjär teori :

x

y

P

OBS : med jämviktsekvationer för hela balken konstateras att det inte finns några vertikala upplagskrafter i A och B.


v EI v P M

0 v P v EI

Problem : man applicerar en perturbation (liten böjning) och letar efter vilken minimal last P som behövs för att hålla jämvikten (neutralt jämviktsläget). Denna last är den kritiska lasten Pcr.

• om P < Pcr återgår balken till den raka ställningen.

• om P > Pcr kommer balken att deformeras kraftigt.

)(xv

v P M

x

y

P

Lösningen är av formen

EIP

x x xv λλλ )sin(B)cos(A)(

Konstanter A och B bestäms genom att använda randvillkoren

0

0

0

00

L

Lxv

xv

)sin(B

A

)(

)(

λ

0

00

0

L

xv

λL

)sin(

eller

böjning ingen )(B

)sin(B

λ

PA BEI

L


För att få ett jämviktsläge med böjning måste

...,,)sin( 2100 n n L L πλ

x

Ln

xv L

EIn P

ππsinB)(

2

22

)sin(B)( x xv EIP

λλ

Denna lösning innebär att det finns olika värden på den kritiska lasten. Bara det lägsta värdet, vilket fås för n = 1 har fysiskt betydelse.

x

L xv

L

EI P

crππ

sinB)(2

2

Slutsats : Euler fall 1

neutralt jämviktsläge

P

crP



2

2

L

EI P

crπ

x

L xv

πsinB)(

)/( 2Lxv

PA BEI

L

Om P ökas progressivt kommer balken att böja sig kraftigt när P = Pcr . Det ickestabila jämviktsläget är omöjligt att nå.


EULER FALL 3

P

A B

L

Problem : hitta Pcr , den minimala lasten som behövs för att hålla jämvikten i deformationsläget när en perturbation (liten böjning) appliceras.

P

A

Bx

y

AX

AY

AM

BY

L YM YY PX BABAA

Jämviktsekvationer för hela balken

2 ekvationer och 3 obekanta. Systemet är statiskt obestämt av grad 1.

AY

x

y

P

MAM

)(xv

vP x Y LY M v EI

vP x Y M M

AA

AA 0

)(A Lx Y vP v EI


)(A Lx Y vP v EI

P

A B

L

EIP

x x xv )sin(B)cos(A)(h λλ

Homogen lösning

Partikulär lösning

)()( Ap Lx

PY

xv

Totala lösning

)()sin(B)cos(A

)()()(

A Lx P

Y x x

xvxv xv

ph

λλ

3 randvillkor behövs för att bestämma A, B och YA.

)()sin(B)cos(A)(

BB)(

AA)(

AA

AA

100

000

000

L L Lv

P Y

P

Y v

LP

Y L

PY

v

λλ

λλ

01

01

L LL Y

LP

Y L

PLY

)sin()cos(

)sin()cos()(

A

AA

λλ

λ

λλ

L L L

xv Y

01

00

1

)sin()cos(

eller

böjning ingen)(

)(

A

λλ

λ


01

L L L )sin()cos( λλ

λ

För att få ett jämviktsläge med böjning måste

L L λλ )tan(EIP

Det minsta värdet för (och därför P) som uppfyller ekvationen ovan är

L

EIP

L cr

πλλ

431431

..

2042

L

EI P

2

crπ

.

4 EULER FALLEN

L

P(1)

P

(2)

P(3)

P(4)

2

2

L

EI P

crπ

2042

L

EI P

2

crπ

.

2

24L

EI P

cr

π

2

2

4 L

EI P

crπ


EFFEKTIV KNÄCKNINGSLÄNGD

L

P(1)

1

2

2

β

π

L

EI P

cr

Den kritiska lasten för alla 4 fallen kan uttryckas

2

2

L)

EI P

crβ

π(

För Euler fall 1

Den kritiska lasten för fall 2 och 4 kan bestämmas utan beräkning genom att använda resultatet för fall 1.

För Euler fall 2

Bägge balkar har samma Pcr

2

2

2L)

EI P

cr

(

πför balk (1)

och därför för balk (2) 2

2

2L)

EI P

cr

(

π

= 2 för Euler fall 2

(2)

P(1)

L L

P


För Euler fall 4

(4)P

L / 2L / 4 L / 4

(1) P

(2)

P P

(2)

Inflexionspunkt M = 0

Balkar (1) (2) och (4) har samma Pcr

för balk (1) 2

2

2

2 4

2 L

EI

)L

EI P

crππ

/

(

2

2

2

2 4

44 L

EI

L

EI P

crππ

/

)(för balk (2)

och därför för balk (4) 2

24

L

EI P

crπ

= 1 / 2 för Euler fall 4


Exempel 1L

EI EI

A

B

C

4 N

12 LEI

60 45

Problem : beräkna säkerhetsfaktorn mot knäckningen för detta fackverk

Jämvikt av knutpunkt B ger

N N N 072932 .N. BCAB

Kritiska laster

N.AB L

EI

L

EI Pcr 407

4

3

3

22

2

2

2

ππ

N.BC

L

EI

L

EI Pcr 934

222

2

2

2

ππ

Säkerhetsfaktorer för stängerna

522932

407.

.

.AB Sf 382

072

934.

.

.BC Sf

Säkerhetsfaktor för fackverket

382. Sf


JÄMFÖRELSE TEORI - EXPERIMENT

Experimentet visar att balken börjar böja sig

före Pcr och kan tåla en last större än Pcr .

P

teori

experiment

)/( 2Lxv

crP

PA BEI

L

Teorin som har används för att beräkna Pcr förutsätter :

ingen imperfektion

M v EI

Två enkla sätt att introducera imperfektionerna i ekvationerna är att anta att den obelastade balken inte är rak utan ha en sinusformad initialbojning eller att anta att lasten P inte angriper vid tvärsnittets tyngdpunkt utan med en viss excentritet.

A BEI

Lx

xv

π

in sinV)( o

P


Denna ekvation förutsätter små deformationerna, vilket inte är fallet om P >Pcr .

• Teorin som vi har sett i detta kapitel ger ej deformationerna utan endast den kritiska lasten Pcr, dvs trycklasten för vilken utböjningen blir plötsligt stor.

• Vill man beskriva utböjningsförloppet efter Pcr kan inte approximationen EI v = – M användas.

M v EI

knÄckning

Documents