Szolitonjelenségek vizsgálata laboratóriumban

- Tudományos diákköri dolgozat -

Készítette:

Komjáti Bálint

harmadéves fizikushallgató

(2005)

Témavezetők:

Szabó K. Gábor

Tél Tamás

Tartalomjegyzék

I. Kedvcsináló, avagy a téma aktualitása II. A Korteweg-deVries (KdV) elmélet III. A laboratóriumi előállítás, mérés és berendezések IV. Mérési eredmények: szabad felszíni szolitonok

1. Sebesség 2. Félszélesség 3. A hullámok szimmetriája 4. A hullámok tényleges alakjának vizsgálata 5. A kvantummechanikai megfeleltetés vizsgálata 6. A felszíni szolitonokkal kapcsolatos eredmények és hipotézisek

V. Belső szolitonok VI. Kitekintés: A domborzati lépcsőre fellépő belső szoliton VII. Összefoglalás Függelék Köszönetnyilvánítás Irodalom

I. Kedvcsináló, avagy a téma aktualitása

1834 augusztusában John Scott Russel skót mérnök Edinburgh közelében kilovagolt az

egyik folyami csatorna partjára, ahol rendkívüli élményben volt része, amit emlékirataiban a

következőképpen írt le [1]:

"... figyeltem egy hajót, ahogyan a szűk csatorna mentén egy lovas fogat meglehetősen sebesen

vontatta, majd hirtelen megállt; de nem így azonban az általa mozgásban tartott víz, amely

először vadul örvénylett a hajó orra körül, majd azt hirtelen elhagyva, nagy sebességgel

hömpölygött tova, s közben felvette egy simára lekerekített, jól körülhatárolt hullám alakját,

amely a csatornában látszólag változatlan formában és nem csökkenő sebességgel haladt

tovább. Lóháton követtem hát ezt a hullámot, majd megelőztem, közben még mindig

változatlan, 8-9 mérföldnyi sebességgel haladt, s eredeti alakját, kb. 30 láb hosszúság és másfél

láb magasságú formáját megtartotta. Minekutána az egészet 1-2 mérföldnyi távon követtem,

magassága kezdett lassan csökkenni s a csatorna egyik kanyarjában szem elől tévesztettem."

John Scott Russel valami ehhez hasonlót láthatott:

1.1 ábra: Fiatalok egy csatornában kialakult szolitont üldöznek …

Amit Scott Russel megfigyelt, az nem volt más, mint egy szoliton. Szolitonokkal

modellezhető jelenségek a természetben is előfordulnak, ilyen például a nagyenergiájú tengeri

árhullám, a cúnami [2,3,4].

- 2 -

A nagy cúnamikat legtöbbször tenger borította tektonikus lemezek mozgásai keltik, a

kisebbeket pedig a gleccserekről a tengerbe szakadó jéghegyek. A nyílt vizeken, ahol a

vízmélység több km, még egy kivételesen nagy cúnami okozta vízmozgások is szinte

észrevehetetlenek, mert magasságuk a fél métert sem érik el, szélességük pedig több 100 km (!)

is lehet. A kezdeti akár 1000 km/h-s (!) sebességük a parthoz közeledve lecsökken, a hullámok

feltorlódnak, lapos alakjukból egyre inkább félelmetes hullámóriásokká alakulnak, megtörnek

és energiájukat a partra csapódva adják le (1.2 ábra). Szomorú tény, hogy a jelenség az

esetenként vele járó természeti katasztrófa által válik ismertté. A 2004. december 26-i

földrengéseket követő cúnami hullámai Szumátra szigeténél elérték a 34 méteres magasságot,

az ároszlop sebessége másodpercenként 7-8 méter volt, és az elárasztott terület 5 kilométernél

is hosszabb volt. A térség domborzati viszonyai miatt, a hullámnak a rengés epicentrumától

megtett több mint 300 km-es út alatt fel kellett lépnie a kb. 4 km magas kontinentális talapzatra

(1.3 ábra). A hullám viselkedését, amint eltérő mélységű közegbe lép, a szolitonok

legfontosabb tulajdonsága, a nemlinearitás miatt nehéz megjósolni. Az effektus párhuzamba

állítható a lineáris hullámok törésével, pl. a fény eltérő törésmutatójú közegbe lépésével.

1.2 ábra: A cúnamik leggyakoribb fajtájának vázlata. (a) Kezdő állapot: nyugodt vízfelszín.

(b) Jelentős függőleges elmozdulással járó tenger alatti földrengés, amely pillanatszerű

kiemelkedést okoz a felszínen. (c) A forrástól gyorsan távolodó, nagyon széles, kis magasságú

hullámok a sekély part menti vizekbe érve összehúzódnak, de eközben fel is torlódnak.

Ilyenkor esetenként megfigyelhető a tenger hirtelen visszahúzódása. (d) A szárazföld közelében

a meredek hullámok átbuknak (hullámtörés) és a partra csapnak, energiájuk legnagyobb része

ilyenkor szabadul fel.

- 3 -

1.3 ábra: Szumátra szigete és az Indiai óceán domborzat profilja. A 2004. decemberi

cúnami a sziget felé haladva a kb. 4 km magas kontinentális talapzatra lépett fel,

mielőtt a parthoz ért. Az effektusra a dolgozat VI. fejezete próbál kvalitatív leírást adni.

A dolgozat többek között a fent említett mechanizmus mélyebb megértését hivatott

tárgyalni, de a laboratóriumi megvalósítás új jelenségeket és problémákat eredményezett. Bár

szolitonokkal végzett laboratóriumi kísérleteket a szakirodalomban sokat találunk [5,6,7], ez

irányú eredményekről nem tudunk. Ki fog derülni, hogy a II. fejezetben bemutatott klasszikus

elmélet nem ad biztos alapot a laboratóriumi szolitonok viselkedésének leírására, mert azok

részben eltérnek az elmélet által jósoltaktól.

A dolgozat soron következő fejezeteiben megismerkedünk a szolitonokat leíró elmélettel és

azok alapvető tulajdonságaival (II), majd bevezetjük az olvasót a laboratóriumi mérés

körülményeibe (III). A IV-VI fejezetek a mérési eredményeket mutatják be. A IV. fejezet a

felszíni szolitonok viselkedésének elmélettől való eltéréseit vizsgálja, és szisztematikus

eltéréseket és törvényszerűségeket állapít meg e jelenségkörben. Az V. fejezetben belső

szolitonokat vizsgálunk, azaz két eltérő sűrűségű folyadék belső elválasztó felületén állítunk

elő hullámokat. A VI. fejezet a már említet domborzati lépcsőre fellépő szoliton viselkedésére

ad kvalitatív leírást, míg a VII. fejezetben összefoglaló jelleggel a dolgozat eredményei

olvashatóak.

- 4 -

II. A Korteweg-deVries (KdV) elmélet

A bevezetőben tárgyalt szoliton-jelenségeket leíró elméletet egy nemlineáris sekélyfolyadék-

dinamikai egyenletre lehet építeni: A KdV-egyenlet, melyet D. J. Korteweg és G. de Vries

1895-ben vezetett le [8]. Elméletük egy vízszintes, egyenes csatornában haladó, kis amplitútójú

hullám terjedését írja le sekély folyadékban, a mélységi arányban másodrendű közelítésben. A

levezetésére terjedelmi okokból nem térünk ki, csak a végeredményt vizsgáljuk részletesebben.

A hullám ξ(x,t) felszíni alakjának dinamikáját meghatározó egyenlet a következő alakú:

2 3

0 00 3

3 06 2

c H cct x x H xξ ξ ξ ξξ

⎡∂ ∂ ∂ ∂± + +⎢∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎤=⎥ , (1)

ahol H a nyugalmi vízmélység, és

0c g= H (2)

a lineáris hullámok terjedési sebessége a H mélységű, összenyomhatatlan közegben. A pozitív

előjel a jobbra haladó hullámhoz tartozik.

Tekintsük először csak az első két tagot tartalmazó alakot. A ξ(x,t) = ξ0exp(iω0t-ikxx)

helyettesítéssel a lineáris, sekélyfolyadék-hullámok diszperziós relációját kapjuk:

0 0 xc kω = ± . (3)

A KdV-egyenlet linearizált változata (az első három tag) a mélységi arányban (kxH) a vezető

renden kívül tartalmazza az első lényeges korrekciót is, melyet a ξ(x,t) = ξ0exp(iω0t-ikxx)

helyettesítéssel kapott diszperziós reláció jól mutat:

( )20 0

116x xc k k Hω ⎛= ± −⎜

⎝ ⎠⎞⎟ . (4)

A (4) képletből látszik, hogy a KdV-egyenlet lineáris hullámai diszperzívek, a hullám-

csomagok ezért szétfolynak.

- 5 -

Az (1) egyenlet utolsó tagja az Euler-egyenletben szereplő advektív gyorsulás (ugrad)u

következménye, melyet a nem infimitezimálisan kicsi sebesség, ill. felszíni alakváltozás miatt

kell megtartanunk. Így a teljes KdV egyenletben mind a diszperziót, mind a nemlinearitást

kifejező tag jelen van, és e két tag hatása éppen ellensúlyozza egymást, azaz a diszperzió hatása

megszűnik. Ennek következménye a hullám állandósult alakja.

Az (1) egyenlet jobbra haladó egzakt szoliton-megoldása a következő alakú:

( ) ( )2, Ax tch x vt L

ξ =−⎡ ⎤⎣ ⎦

, (5)

ahol A az amplitúdó, v a hullám terjedési sebessége és L a félszélessége (hullámhossza). Mivel

a folyadék sekélységét feltételező (1) egyenlet megoldása, ezért a KdV-szolitonra fenn kell

állnia az A/H<<1 megszorításnak. A félszélesség az (5) összefüggés szerint az a szoliton

közepétől mért x = L távolság, ahol a felszín emelkedése A/ch²(1) (2.1 ábra). Könnyen

kiszámítható, hogy ez a magasság kb. az amplitúdó 58%-ának felel meg, felülről számítva.

2.1 ábra: A szolitonok elméleti alakja az A/ch²(x) függvény, a paraméterei

az ábrán jelöltek szerint: A-amplitúdó, L-félszélesség, v-terjedési sebesség.

Az elmélet értelmében a fent említett paramétereket a következő képletek kapcsolják össze:

43HL HA

= , (6)

- 6 -

0 01(1 )2

Av c cH

= + > (7)

A (7) alapján látható, hogy a szolitonok gyorsabbak a H folyadékmélységű közegben terjedő

lineáris hullámoknál, sebességnövekményük arányos az amplitúdójukkal. A (6) szerint a

félszélesség jóval nagyobb a vízmélységnél, hiszen A/H<<1. A nagyobb amplitúdójú szoliton

keskenyebb, de gyorsabban halad, mint kisebb társa.

Az eddig ismertetett hullámmegoldás (5) alakját már a KdV-elméletet megelőzően is

ismerték, és magányos hullámnak nevezték (angolul solitary wave). Az 1960-as években

ismerték fel, hogy az (1) KdV-egyenlet bizonyos elemirész-fizikai problémákban is előkerül,

és az (5) alakú stacionárius hullámmegoldás stabil elemi részeknek felel meg. Ebből a

szempontból is fontos tulajdonságuk, hogy ha két magányos hullám találkozik, fázistolástól

eltekintve, kölcsönhatás nélkül haladnak át egymáson, interferencia nélkül. Az ütközés

pillanatában egy ún. kétszoliton alakot vesznek fel, majd véges idő múlva, mikor már

kellőképp eltávolodtak egymástól, visszanyerik eredeti alakjukat és így sebességüket is. E

tulajdonságuk az elemi részecskék szórási folyamatokban való részvételére emlékeztet, s így

került a szolitonok nevébe a részecskékre jellemző „on” végződés [5]. (Érdemes megjegyezni,

hogy azóta hasonló tulajdonságú szoliton-megoldásokat más nemlineáris parciális

differenciálegyenletekben is felfedeztek.)

Ismeretes továbbá, hogy megfelelően lokalizált kezdeti felszíni kidudorodásból mindig

kialakul, a kidudorodás méretétől függően, legalább egy szoliton. Kellő idő elteltével, a

sebességek amplitúdó-függése miatt, a keletkezett szolitonok mindig nagyság szerinti

sorrendbe rendeződnek (2.2 ábra). A sort rendszerint kis amplitúdójú, lineáris hullámvonulat

zárja, melyek minden esetben lassabbak az előttük haladó szolitonoknál. Hasonló jelenség

figyelhető meg a 2.3-as ábrán is, ahol a Gibraltári szorostól kelet felé haladó hullámvonulat

műholdas felvétele látható [9]. Megemlítendő, hogy kezdeti felszíni horpadás esetén szolitonok

nem alakulnak ki, csupán diszperzív, lineáris hullámvonulat keletkezik.

- 7 -

2.2 ábra: Kezdeti felszíni kidudorodásból kialakult hullámvonulat. A

sort jobbról a legnagyobb szoliton vezeti, utána a nála egyre kisebbek

sorrendben, majd kis amplitúdójú lineáris hullámok zárják azt.

2.3 ábra: A Gibraltári szorosból érkező, a Földközi tenger felé haladó nemlineáris

hullámvonulat. A képen a térség egy 50 x 50 km-es része látható.(Eurpean Space Agency, 1994)

Az előzőekben tárgyalt hullámkeltési effektus megfeleltethető egy, a kezdeti ξ(x,0)

felszínalak által definiált kvantummechanikai problémának. A szolitonok száma megfelel a

-ξ(x,0) függvény, mint potenciálvölgyben lévő lehetséges kötött állapotok számával, ahol az

állapotok sajátenergiái a szolitonok amplitúdóit határozzák meg. A kis amplitúdójú lineáris

hullámok a szabad állapotoknak felelnek meg. (Ezzel összhangban van a kezdeti horpadásból

kialakult hullámvonulat, amely ez esetben potenciálhegynek felel meg, melynek nincsenek kötött

állapotai.) A pontos levezetésre nem térünk ki, csupán a h szintemelkedésű, b szélességű, jól

lokalizált felszíni lépcsővel definiált speciális eset megoldására (2.4 ábra), melyet a Függelékben

részletezünk.

- 8 -

2.4 ábra: Az ábrán látható kezdeti felszíni alakból keletkező

szolitonok számát a (8) összefüggés adja.

Ekkor a keletkező szolitonok száma [10]

3 1h bNH Hπ

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

, (8)

ahol a szögletes zárójel az egészrészt jelöli.

Az eddig tárgyalt felszíni szolitonokhoz analóg módon léteznek két, enyhén eltérő sűrűségű

réteg határán kialakult ún. belső szolitonok is [5]. Elhanyagolható külső felszíni változások

esetén a H2 és H1 átlagos vastagságú rétegek határán a pozitív x irányba haladó A amplitúdójú

belső szoliton (2.5 ábra) sebességére érvényes a

' 1 2

1 2

12

H HAv cH H

⎛ ⎞−= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (9)

képlet, ahol

' 1 2

1 2

H Hc gH H

ρρΔ

=+

, (10)

a sekély-folyadékbeli lineáris belső hullám terjedési sebessége. A ∆ρ<<ρ a sűrűségugrás értéke,

míg ρ a felső, hígabb folyadékréteg sűrűsége.

- 9 -

A (10)-ben szereplő sűrűségfaktor miatt, a belső hullámok sebessége jóval lassabb, mint a

szabadfelszíni hullámoké. A belső szolitonok elmélete szerint a félszélességet megadó képlet a

következő alakú:

( )2 2

1 2

1 2

43

H HLA H H

=−

(11)

2.5 ábra: Az eltérő sűrűségű rétegek határán kialakuló ún. belső szoliton rajza.

Megjegyzendő, hogy a 2.3-as ábrán látható hullámvonulatot valójában belső szolitonok

alkotják, az általuk keltett kis felszíni zavaroknak köszönhetően azonban jól láthatóak.

- 10 -

III. A laboratóriumi előállítás, mérés és berendezések

A kísérleteknek, ill. méréseknek az ELTE Kármán Környezeti Áramlások Laboratóriuma

adott otthont. A vízhullámok megfigyelése egy keskeny, hosszú kádban történt arra

oldalirányból néző CCD kamerával (3.1 ábra).

3.1 ábra: A laboratórium hullámkádja, középen egy pilléreken álló, néhány cm magas

domborzati lépcső, amelyre fellépő hullámokat oldalirányból kamerázva lehet megfigyelni.

A szolitonok keltése a kád végében lévő kamrákba szorított folyadéklépcsővel lehetséges

(3.2 ábra), a keletkező hullámok számát és egyéb adatait a lépcső geometriai adatai jól

paraméterezik, a 2.3-as ábra szerinti módon (ld. Függelék). A kamrákból kilépő hullámok, a

róluk készülő felvétel előtt megteszik a 3.1-es ábrán látható kb. három méteres utat, a

kamráktól a lépcsőig. A 3.2-es ábrán egy belső szoliton előkészítése látszik, a zsilip kézzel

történő kihúzása után a réteghatáron balra elinduló hullám az átlátszó, felső folyadékréteg

felszínét nem deformálja. A képen a teljes folyadékmélység kb. 11 cm, ami az eltérő sűrűségű

rétegek között 1:1 ill. 9:2 arányban oszlik el. A felső réteg édesvíz, az alsó ρ = 1,09 kg/l

sűrűségű sós víz. A kamra szélessége 12,6 cm. A mérések során a jó megfigyelhetőség

érdekében egy darab különálló, nagy amplitúdójú hullám keltésére törekedtünk, de

későbbiekben a kamrákból kilépő hullámok számát is vizsgálat alá vontuk.

- 11 -

3.2 ábra: A kezdeti vízlépcső. A kádban felül édesvíz (színtelen), alul nagyobb sűrűségű, színezett

folyadék van (a festék a sűrűbb réteg felső részén nagyobb koncentrációban van jelen, de ez a

sűrűséget csak elhanyagolhatóan kis mértékben befolyásolja). A zsilippel elválasztott kamrában

lévő eltérő rétegvastagságok a fal eltávolítása után balra haladó belső hullámvonulatot keltenek.

A kamerás mérés precíz világosítást, számítógépes adatrögzítést és sok kalibrációs mérést

igényelt, cserébe jó felbontású (0,79 mm/pixel felbontással), relatíve pontos mérést tesz

lehetővé. A berendezés kádtól mért távolsága a mérések során nem változott, így felbontása

állandó érvényűnek vehető. Mivel a kamera nem azonos időközönként exponált, ezért a pontos

időmérést a képmezőbe helyezett digitális stopperrel oldottuk meg. (3.3 ábra).

3.3 ábra: Az időt a stopperóra rögzíti a hullám terjedési sebességének méréséhez.

A kiértékelés során a következő mennyiségeket mértük, az alábbi módszerekkel és hibákkal.

- Amplitúdó: A hely dimenziójú paraméterek leolvasása minden esetben számítógéppel

történt, egy pixel pontosságra, azaz ∆A = 0,79 mm.

- idő: A felvétel idejét az említett 0,01 s pontosságú stopperről leolvasva képenként kaptuk

meg. Ez két kép közti eltelt idő mérésekor ∆t = 0,02 s hibát eredményez.

- 12 -

- távolság (x): A leolvasási bizonytalanság tapasztalat szerint kb. 4 pixel, amely két felvétel

között megtett út mérésekor maximum ∆x = 8 pixel=6,4 mm hibát ad.

- rétegvastagság/folyadékmélység: Az amplitúdóhoz hasonlóan a mérési hibája egy pixel,

azaz ∆H = 0,79mm.

- jobb ill. bal félszélesség: A II. fejezetben ismertetett definíciója

alapján a hullám csúcsától számítva lefele, az amplitúdó 58%-ánál

mért félhullámhossz leolvasása eltérő hibákat eredményez. A hullám

alakjából következően (minél laposabb, annál szélesebb) a

leolvasási hiba erősen amplitúdófüggő. Az empirikus hibaértékeket

egy táblázatban foglaltuk össze, ahol ∆L értéke jobb ill. bal

félszélességekre egyaránt értendő (a mért amplitúdókhoz tartozó ∆L

értéket felfele kerekítéssel közelítettük).

A (pixel) ∆L (pixel)10 10 20 9 30 8 40 7 50 6 60 5 70 4

- sűrűség: Az eltérő sűrűségű vízrétegeket konyhasó-koncentráció növeléssel értük el

(ahogyan az óceánban is történik). Az oldat vezetését egy hordozható vezetőképesség-mérő

műszerrel mértük meg, majd egy standard fizikai-kémiai táblázatból a NaCl oldat ehhez

tartozó koncentrációját ill. sűrűségét kikerestük. Ezen eljárás hibáját a kicsinysége miatt nem

vettük figyelembe.

Az adott mérési eredményekben szereplő mennyiségek hibaszámítására vonatkozó

módszereket az adott fejezet tárgyalja.

A rögzített digitális felvételeket egy egyszerű képszerkesztő programmal (InfranView)

értékeltük ki.

A laboratóriumi körülményeknek eleget téve, meg kellett állapítanunk, hogy a vizsgált

hullámaink a KdV-elmélet által megkövetelt A/H<<1 feltételt legjobb esetben is csak A/H ≈ 0,1

értékig teljesítik. A probléma a következő gyakorlati korlátokból fakad: a zsilipek szivárgása

10-12 cm-nél magasabb folyadékmélységek esetén már nem elhanyagolható, valamint a 10-15

pixel amplitúdójú szolitonok félszélességének leolvasási bizonytalansága, a hibaterjedés

szabályait követve, az abból számolt mennyiségek relatív hibáját óriásira növeli.

Mivel az általunk vizsgált laboratóriumi hullámok az A/H<<1 feltételt nem teljesítik,

tulajdonságaikra az elmélet által jósolt összefüggések nem adhatnak pontos becslést.

- 13 -

IV. Mérési eredmények: szabad felszíni szolitonok

A kísérletsorozat célja a laboratóriumi körülmények között előállítható, nagy amplitúdójú

szolitonok és az egzakt KdV-szolitonok, megjósolt tulajdonságaik közti szisztematikus

eltérések keresése volt.

1. Sebesség

Vizsgáljuk meg a nagy amplitúdójú, laboratóriumi szolitonok sebességét. A kiértékelések

során azt találtuk, hogy lassabbak KdV-elmélet által, (7) alapján jósolt sebességeknél. A (7)

képletet megvizsgálva látszik, hogy a nem részletezett levezetése során az A/H szerinti

sorfejtésből, a matematikai korlátok miatt az első rendnél magasabb tagokat elhanyagoltuk. Így

jogos azt feltételeznünk, hogy egy (A/H)²-el arányos új taggal korrigáljuk a képletet:

2

0112

A Av cH H

η⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦. (12)

A 4.1-es ábra a mérésből leolvasott (A/H)² függvényében ábrázolja a mért (vmért) és az (7)

képlet által jósolt (velm.) sebességek különbségeinek c0-lal vett hányadosát, a dimenziótlan

(velm.-vmért)/√gH paramétert. A (12) értelmében erre illesztett f egyenes meredeksége becslést ad

az η együttható értékére. Az illesztésből η = 0,21-nek adódik 16%-os hibával. (Ez a hiba bár

nem különbözik egy konstans illesztés hibájától, de ez utóbbi az eltűnő amplitúdójú

határesetben nem adja vissza a lineáris hullámokra érvényes értéket.)

Az ábrázolt paraméterek hibáit a közvetlenül mért mennyiségek említett mérési hibái a

hibaterjedés szabályainak megfelelően a következőképpen határozzák meg:

2(( / ) ) 2( / / )A H A A Hδ = Δ + Δ H , (13)

. 112 2 2

elm mért mért mért mértv v v v vA A H A x tH H H H xgH gH gH gH

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−t

Δ Δ Δ⎛Δ = Δ + − = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Δ ⎞+ ⎟ , (14)

ahol a hibák az abszolút (∆) ill. relatív (δ) hibakorlátot (és nem a szórást) mutatják.

4.1 ábra: Mért terjedési sebességek. A feltételezett, korrigált sebességképlet (12) szerint

a KdV-elmélet által előírt sebességtől való eltérést mutatja az ábra. Az η együtthatót az

illesztett f függvény meredeksége adja. Az illesztés szerint η = 0,21, 16%-os hibával. (A

hibakorlátokat a (13), (14) összefüggések alapján becsültük.)

- 15 -

2. Félszélesség A nagy amplitúdójú szolitonok félszélességének vizsgálatához a mért értékeket

összevetettük a mért paraméterekből számolt elméleti értékekkel. Az első ponthoz hasonlóan az

elmélet által jósolt félszélességtől való eltérést ismét egy dimenziótlan paraméteren, a 4.2-es

ábra mutatja, a szintén dimenziótlan A/H kontrollparaméter függvényében. A dimenziótlan

paraméter a két félszélesség (Lbal, Ljobb) átlagának az elméleti félszélességből (Lelm) vett

különbsége, osztva az elméleti félszélességgel. Az elméleti félszélességet a mért A és H

paraméterekből a (6) alapján számoltuk. A mérési pontokat vizsgálva megállapíthatjuk, hogy

az A/H értékével együtt növekszik a félszélesség eltérésének szórása az elméleti érték körül.

Érdemes megjegyezni, hogy a szolitonok csak a legritkább esetben voltak teljesen

szimmetrikusak, ezért a grafikonban a félszélességek szimmetrizált átlaga szerepel. A

szemléltetésként berajzolt egyenes meredeksége ± 0,4.

4.2 ábra: Félszélességek. A többnyire aszimmetrikus szolitonok két félszélességének

átlagával számolva a KdV elmélettől való eltérés A/H függvényében. Két különálló

pontot leszámítva, az azonos hullámhoz tartozó, de időben eltérő mérési pontok

hibalába összeér ill. szürke vonallal vannak összekötve.

- 16 -

A 4.2-es ábrán lévő grafikon paramétereinek hibáit a következő képletekkel számoltuk:

( )/ / /A H A A H Hδ = Δ + Δ , (15)

3 33

3 3 32 2 12 4 2 24

3

b j b jelm

b j

elm

L L L LL L L

5

3L A A HL H HH

A

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎛ ⎞+Δ Δ Δ⎜ ⎟Δ = Δ − = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

AA H

,(16)

ahol a hibák az abszolút (∆) ill. relatív (δ) hibakorlátot mutatják.

- 17 -

3. A hullámok aszimmetriája

Levi-Civita elmélete szerint [11], ideális folyadékra egy véges anyagmennyiséget hordozó,

stacionárius alakú haladó hullám a függőleges tengelyre szimmetrikus alakú. Ez tükröződik a

KdV-szolitonok (5) képletében is. A mérések során megvizsgáltuk, hogy az elmélet mennyire

teljesül a laboratóriumi szolitonokra. A 4.3-as ábrán az A/H függvényében ábrázoltuk a szolitonok aszimmetriáját kifejező

Lbal-Ljobb/Lelm dimenziótlan paraméter értékeit. (A mérési pontokhoz tartozó hullámok

megegyeznek a 4.2-es ábrán lévőkkel.) Kiderül, hogy a közel azonos A/H-hoz tartozó

különböző hullámok más és más alakot öltenek, aszimmetriájuk még előjelben is különbözhet,

azaz nem is azonos irányban torzultak. Ez arra utal, hogy az általunk használt módszerrel

keltett hullámok reprodukálhatósága korlátozott.

4.3 ábra: Az asszimetriát kifejező dimenziótlan paraméter A/H függvényében. (Az ugyanazon

hullámhoz tartozó pontokat szürkével kötöttük össze.) Megfigyelhetők a különböző méréshez

tartozó, ám eltérő alakú hullámok.

- 18 -

A 4.3-as ábrán lévő értékek hibáit a következő képletek alapján számoltuk:

( )/ / /A H A A Hδ = Δ + Δ H , (17)

( )

( )

3.

3 3

34

3 1 32 2

bal jobbbal jobb

elm

bal jobb

L L AL LL H

5

3 3A AL L L A HH H A

⎡ ⎤−⎛ ⎞Δ = Δ − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛ ⎞= Δ + − Δ + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠H

(18)

ahol a hibák az abszolút (∆) ill. relatív (δ) hibakorlátot mutatják.

- 19 -

4. A hullámok tényleges alakjának vizsgálata

A nagy amplitúdójú szolitonok eddig vizsgált tulajdonságai figyelemreméltó eltérést

mutattak a KdV-szolitonokétól. A félszélességekben megjelenő eltérésük és az aszimmetriájuk

mind inkább arra ösztönöznek, hogy a hullámok alakját részletesebben is megvizsgáljuk. Vajon

mennyire tesznek eleget az (5) függvény tényleges alakjának? Amennyiben nem illeszkedik

rájuk tökéletesen az 1/ch² alak, az eddig tárgyalt eltérések magyarázatot nyernek. A kérdés

megválaszolására a felvételeken a számítógépes élkeresést és függvényillesztést alkalmaztuk,

és kivételesen izgalmas eredményekre jutottunk! Vizsgálatunk tárgyául a mérések során készült

képek közül kiválasztottunk különböző amplitúdójú és szimmetriájú felszíni szolitonokat. A

4.4-es ábrán a többnyire szimmetrikus és szép szolitonok pixelhelyes alakját láthatjuk.

Szürkével a hullámalakokra illesztett 1/ch² függvény látható. Az előzetes várakozásainkat

megcáfolva a szolitonok rendkívül jól illeszkednek az (5) által jósolt alakra, azonban az ábrákat

megvizsgálva új jelenség látott napvilágot. A képeken látható összes szolitont, melyek egytől

egyig balra haladnak, az eredeti vízmélységhez képest pár pixeles szintemelkedés követ! Ez a

4.5-ös ábrán a legszembetűnőbb, ahol az említett négy szoliton alakjának a rájuk illesztett

görbétől mért eltérése látható.

4.4 ábra: A kiértékelések során a négy legszebbnek ítélt szoliton ξmért(x) felszíni alakjának rajza

(fekete vonal). A rájuk illesztett (5) alakú ξelm.(x) függvénnyel (szürke vonal) meglepően jó egyezést

mutatnak. (A tengelyek az egy ábrán való ábrázolás miatt torzítottak.) A négy balra haladó

hullámot azonban folyadékszint-emelkedés követ.

- 20 -

ξmért - ξelm

4.5 ábra: A 4.4-es ábrán látható négy megfigyelt hullámalak és a rájuk illesztett (5)

függvények különbsége sorrendhelyesen. (A tengelyek torzítottak.)

A jelenség mélyebb vizsgálata előtt ismerkedjünk meg egy másik nemlineáris

hullámmal, a torlóhullámmal (angolul bore). Ez a nemlineáris folyadékdinamikai

hullámok közül azon kevesek egyike, melyet jól ismerünk [12]. Kialakulhat

folyadékrétegek határán és a felszínen is, amennyiben egy folyadékrétegen hirtelen

nagy mennyiségű folyadék terül szét, ugrásszerű szintváltozással (4.6 ábra). Véges

mennyiségű folyadék esetén nyilvánvaló, hogy a torlóhullám véges időn belül

szétterül a folyadék felszínén, és ez alatt amplitúdója is lecseng. Ilyen lecsengő

amplitúdójú torlóhullám létrehozható laboratóriumban is, a megfelelően preparált

zsilipkamrás módszerrel. Megjegyzendő, hogy a kisebb méretű folyadéklépcsőből az

ábrán látható turbulens ugrás helyett hullámzással kísért vízszintemelkedés jelenik

meg.

.

4.6 ábra: Torlóhullám (bore) mozgása

- 21 -

A torlóhullám sebességét, kis amplitúdójú közelítés mellett a következő képlet adja [10]:

2 21

1 1

1 12

h hu ghh h

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠, (19)

ahol h1 és h2 a 4.6-os ábrán látható módon a vízmélységeket jelölik, g pedig a gravitációs

gyorsulás éréke. A torlóhullám amplitúdóját ekkor az Ab = h2-h1 szerint definiáljuk. A (19)

képletből az előbbi összefüggéssel Ab-t kiküszöbölve, és a kis amplitúdójú közelítés alapján

Ab/h1<<1 szerint a gyököket sorbafejtve, rendezés után a következő képlet adódik:

314

bAu gHH

⎛ ⎞= +⎜⎝ ⎠

⎟ , (20)

ahol visszatértünk az eddigi jelöléseinkhez, ugyanis a bore azonos mélységű folyadékban

halad, mint a vele együtt mozgó szoliton, tehát h1 = H.

Vizsgálataink szerint, az általunk keltett hullámok ideális szolitonok és torlóhullámok

összetapadt változatai. A nem-linearitásuk miatt az ilyen hullámkeverékekkel kapcsolatos

mindennemű kijelentésünket csupán hipotézisként kell kezelni. Felkínálkozik a lehetőség a

laboratóriumban vizsgált szolitonok lassabb sebességének magyarázatára, abban az esetben, ha

a megfelelően kis amplitúdójú torlóhullám terjedési sebessége kisebb, mint az adott KdV-

szolitoné, vagyis összetapadásukkal alkotott hullám sebessége a két sebességérték között van.

A (7) és (20) sebességképletek alapján ennek az a feltétele, ha az amplitúdókra fennáll az

23bA A< (21)

reláció. Ez a feltétel az általunk vizsgált összes szolitonra igaz volt. Habár az új nemlineáris

hullám sebességét megadó képletet nem ismerjük, ez a gondolatmenet a KdV-szolitonoknál

lassabb terjedési sebességet szükségképpen megmagyarázza. Sőt az is látszik, hogy a szoliton

sebessége csak akkor lehet hozzávetőlegesen azonos a torlóhulláméval, ha az előbbiben

megjelenik egy (A/H)²-el arányos és negatív korrekció. Mivel esetünkben Ab/H<<1, ilyen

korrekcióra torlóhullám sebességében nem kell gondolnunk.

- 22 -

Az eddig tárgyalt gondolatmenet megköveteli az aszimmetrikus hullámok gondosabb

vizsgálatát is. Míg a fentiekben bemutatott, szemre szimmetrikusnak és szoliton-alakúnak ítélt

hullámok mindegyikére szépen simult az elméleti görbe, addig a szabad szemmel is láthatóan

aszimmetrikus hullámok egymástól is eltérő tulajdonságokat mutattak. Az alábbi három képen

(4.7, 4.8, 4.9 ábra) az egyes balra haladó szolitonok fotói láthatóak méretarányosan, felette a

hozzájuk tartozó x tengelyében pixelhelyes, y tengelyében nyújtott felszínalakok. (A kiválasztott

hullámok a kiértékelések során eltérő félszélességűnek ill. a csúcsán deformáltnak mutatkoztak.)

A 4.7-es ábrán látható szoliton, a fejezetben eddig vizsgáltakhoz hasonlóan, kis torló-

hullámmal párosul, a rá illesztett görbe azonban már nem simul tökéletesen. A 4.8-as ábrán lévő

hullám a legbeszédesebb: A nemlineáris-hullámkeverék jelleg erős aszimmetriával párosul. Az

utolsó 4.9-es ábra kis-amplitúdójú szolitonra (A/H = 0,24) meglepően jól illeszkedik az elméleti

görbe, és nem párosul torlóhullámmal sem. Ez a hullám alakját tekintve megfelel a KdV-

szolitonok tulajdonságainak.

4.7 ábra: Balra haladó külső szoliton méretarányos fotója, felette az x tengelyében megegyező

ξ(x) felszínalak. A rá aránylag jól illeszkedő elméleti görbe (szaggatott vonal) mellett most is

megjelenik egy torlóhullám. (A felvétel a kádra pontosan merőlegesen készült, csak a csalóka

tónusok keltik azt a benyomást, mintha az aszimmetriát a ferdeszögű nézőpont okozná.)

- 23 -

4.8 ábra: 4.7-hez hasonlóan külső szoliton fotója, a hozzá tartozó felszínalakkal. A szolitonhoz

tapadt torlóhullám mellett jól látható az elméleti alaktól való eltérés, az aszimmetria.

4.9 ábra: A kis amplitúdójú szolitonra tökéletesen simul az elméleti görbe és

torlóhullám sem jelenik meg mögötte. Vajon ez egzakt KdV-szoliton?

A szoliton- ill. torlóhullám keltési mechanizmusok főleg méret-arányaiban való eltérésének

következtében, a laboratóriumban használható hullámkeltési módszer valahol a két effektus

határán mozog. A laboratórium által megengedett paraméterek közt maradva megállapíthatjuk,

hogy nagy amplitúdójú szolitonok csak torlóhullámmal kombinálva kelthetők. Ezen torlóhullám

mérete mindig a szoliton amplitúdójának töredéke. Kellő idő elteltével a torlóhullám szétterül a

folyadékfelszínen és csak a szoliton marad utána.

- 24 -

Ez a szétterülés a kis amplitúdójú hullámok esetén hamarabb bekövetkezik; a kis

szintemelkedésű torlóhullám rövid úton elhal. Elképzelhető, hogy a 4.9-es ábrán látható szoliton

is a keltés után közvetlen még torlóhullámmal párosult, azonban a felvétel elkészüléséig megtett

kb. három méteres út alatt a torlóhullám mérete méréshatár alá csökkent. Szintén feltehető, hogy

az aszimmetriában is fontos szerepet játszhat a torlóhullámmal párosult szoliton-jelenség. A 4.8-

as ábrán megfigyelhető aszimmetriát elképzelhető, hogy egy olyan torlóhullám okozza,

amelynek hatása a szoliton csúcsán túl is elér.

Az eddigiekben bemutatásra került, nemlineáris hullámkeverékre sokáig nem találtuk utalást

a szakirodalomban, azonban vizsgálódásaink során érdekes helyen véltük fellelni a jelenséget:

Az ilyen torlóhullám és szoliton összeolvadását az óceanográfiai szakirodalom [9,13,14]

solibore néven ismeri, ezt a nemrég felfedezett jelenséget eddig különböző sűrűségű tengeri

vízrétegek határán, az árapály hatására kialakuló belső szoliton és belső torlóhullám

egybeolvadásaként írták le. Egy ilyen megfigyelést mutat be a 4.10-es ábra.

4.10 ábra Belső solibore. Egy észak-atlanti tengeröbölben mért függőleges hőmérséklet-

profil napi változásán megfigyelhető az árapálymozgás által keltett belső solibore-hullámok

áthaladása. A hideg vízen az árapály ritmusát követve melegebb vízréteg terül szét.[14]

- 25 -

5. A kvantummechanikai megfeleltetés vizsgálata

Végezetül vizsgálat alá vontuk a II. fejezetben tárgyalt kvantummechanikai megfeleltetés

teljesülését. A kád háromféle b kamraszélességet tett lehetővé (1. 2. és 3. kamra, melyek hossza

rendre az 1. kamra kettő- és háromszorosai). Ezt kombináltuk a különböző indítási feltöltési

magasságokkal (h) illetve a közeg mélységével (H). A kilépő szolitonok számát szabad szemmel

számoltuk meg. Mivel az utolsó, legkisebb szoliton általában egy nagyságrendbe esett az őt

követő legnagyobb lineáris hullámmal, és egyben a mérési hibahatárral, kis bizonytalanság

lépett fel a mért eredményben. Ennek csökkenése érdekében a következő módszert dolgoztuk ki:

egyszerre hárman számoltuk meg a szolitonok számát és az ítélt mennyiségek kerekített átlagát

vettük végleges eredménynek. A kiértékelés során a mért adatok hibáit nem vettük figyelembe.

A 4.11-es ábrán mindhárom kamrával végzett eredmények együtt láthatóak. A pontok

melletti szám az előfordulás gyakoriságát, míg az átlós egyenes végén lévők, azok összegét

jelölik. A (8) képletnek való egzakt megfelelés az origón ármenő 45 fokos egyenes felelne meg,

ám az eloszlásból jól látszik, hogy az elméleti értéktől sokszor 1-2 szolitonnal kevesebb

keletkezett.

4.11 ábra: A felszíni lépcsőből a kísérletek során megfigyelt kilépő szolitonok száma (n) a (8)

összefüggés által jósoltak (N) függvényében. A pontok melletti számok az azonos kimenetelű

mérések számát jelölik, az átlós egyenesek végére azok összege került. Így megfigyelhető az

eloszlás, mely szerint a szolitonokból az elméleti értéknél szignifikánsan kevesebb keletkezett.

- 26 -

4.12 ábra: Az 1. zsilipből kilépő szolitonok száma

(b = 126 mm )

A mérési és elméleti eredmények H (mm) h (mm) b (mm) n (db) N (db)

70 70 126 1 1 64 40 126 1 1 63 24,5 126 1 1 65 61 126 1 2 42 25 126 1 2 85 42,5 256 2 2 81 60 256 2 2 41 39 126 2 2

4.13 ábra: A 2. zsilipből kilépő szolitonok száma

(b = 256 mm )

H (mm) h (mm) b (mm) n (db) N (db)43 4 256 1 2 44 7 256 1 2 45 9 256 1 2 42 11 256 2 2 85 42,5 256 2 2 81 60 256 2 2 41 17 256 2 3 45 20 256 2 3 46 26 256 3 3 48 31 256 3 3 50 40 256 3 3 56 44 256 3 3 39 33 256 3 4 53 44 256 4 3

4.14 ábra: A 3. zsilipből kilépő szolitonok száma

(b = 386 mm )

H (mm) h (mm) b (mm) n (db) N (db)39 7 386 1 3 40 11 386 2 3 68 51 386 3 3 73 60 386 3 3 79 68 386 3 3 87 81 386 3 3 62 51 386 3 4 44 18 386 3 4 58 50 386 3 4 63 50 386 3 4 41 26 386 3 5 46 31 386 4 4 53 42 386 4 4 48 40 386 4 5

- 27 -

A 4.12, 4.13, 4.14-es ábrán a zsilipméret szerinti felbontást láthatjuk. (A grafikonok mellet

táblázatokba szedve a mérési adatok olvashatóak.) A grafikonokból megfigyelhető, hogy a b

paraméter növelésével a kamrákból kilépő szolitonok számának az elmélettől való eltérése nő.

Az összehasonlítást még részletesebbé tettük azzal, hogy kiszámoltuk az elmélet (a

kvantummechanikai megfeleltetés) szerint mekkorák lennének a kezdeti vízlépcsőből kilépő

szolitonok amplitúdói. (Ennek képletét a Függelékben adjuk meg.) Olyan eseteket vizsgáltunk,

melyekben a megfigyelt szolitonok száma megegyezett az elmélet által jósolttal. Azt találtuk,

hogy a mért amplitúdók mindig kisebbek voltak az elméleti értékeknél, ld. 1. táblázat. Ez az

eltérés szignifikáns, és nagysága miatt nem magyarázható a kád falán fellépő kis súrlódás

disszipáló hatásával.

Értékek (cm) b (cm) h (cm) H (cm)

mért elméleti

12,6 4 6,4 A1= 1,66 2,33

A1= 2,29 3,2 12,6 3,9 4,1

A2= 0,9 1,3

A1= 1,7 2,25 12,6 2,7 3,4

A2= 0,7 1,05

1. táblázat: Az elméleti ill. a mért amplitúdókat összehasonlító táblázat, mely azokat az

eseteket mutatja, melyekben a keletkezett szolitonok száma megfelelt az elméleti értékeknek.

A mért amplitúdók kb. 30%-kal kisebbek, mint azt az elmélet (25) képlete jósolná.

- 28 -

6. A felszíni szolitonokkal kapcsolatos eredmények és hipotézisek

Az előző öt alfejezetben bemutatásra kerültek a nagy amplitúdójú laboratóriumi szolitonok

eddig kevéssé ismert, új, izgalmas tulajdonságai. Az eredmények mindenképpen magyarázatra,

diszkusszióra szorulnak; ezen alfejezet az előzőekben felmerülő problémákra, jelenségekre és

hipotézisekre kíván összefoglalást adni.

Sorrendben haladva először tekintsük a sebességekben megjelenő eltéréseket. A jelenség

magyarázatára két állítást fogalmaztunk meg:

- A KdV-elmélet a kis amplitúdójú közelítés miatt nem érvényes pontosan a

laboratóriumi szolitonok sebességére. Egy új korrekciós taggal bővítve, a (12)

összefüggés pontosabb becslést a szolitonok sebességére.

- A laboratóriumi szolitonok tényleges alakjának vizsgálatából napvilágra került a

solibore-jelleg.

E két állítás egymással összhangban van, hiszen a solibore-jelleg képes jelentős sebességbeli

eltéréseket okozni.

Az alaki tulajdonságokban fellépő eltérések, bár számszerűsíthetők, egyértelmű

törvényszerűségeket nem mutatnak. Az eddig feloldatlan problémát egyetlen, nehezen

definiálható körülménnyel sikerült kapcsolatba hozni: A szolitonok keletkezésének

körülményei erősen befolyásolják későbbi viselkedésüket, azaz a zsilipes módszerrel

reprodukált hullámok eltérőek lehetnek. A zsilip kézzel történő kihúzása magában rejti az

annak gyorsaságából származó, bonyolult tényezőt is. Egyszerű megfigyeléseket is végeztünk

annak érdekében, hogy megtudjuk, milyen hatásai lehetnek az eltérő zsilip-kihúzással való

keltésnek. Azt találtuk, hogy a lassan kihúzott zsilip mögül előbukó hullám rendszerint

aszimmetrikusabb és erősebb solibore-jelleget mutat, mint a gyorsan kihúzott zsilip mögül

kilépő társa, de a pillanatszerűen kirántott zsilip a véges vastagsága miatt turbulenciát okoz,

éppen a kilépő hullám előtt. Ezen körülmények hatása, bonyolultsága miatt nehezen

kivizsgálható, ezért a problémát a rendelkezésre álló legegyszerűbb módszerrel próbáltuk

kiiktatni; mindig az egyforma, közepes gyorsaságú zsilipkihúzásra törekedtünk. Ennek nehezen

reprodukálható jellegével megmagyarázható a félszélességekkel kapcsolatos eredményekben

látott viselkedés.

- 29 -

A vízlépcsőből kilépő szolitonok számában és amplitúdójában talált eltérést szintén a

solibore jelenséggel hozhatjuk kapcsolatba. Az elmélet szerint a kamrában lévő folyadéklépcső

paraméterei által meghatározott energiamennyiséget, az abból kilépő, meghatározott számú

szolitonok szállítják el. A valóságban azonban az effektust rendszerint egy gyenge torlóhullám

kíséri, vagyis feltehetjük, hogy a szolitonok számának és amplitúdójának csökkenését a

torlóhullám által szállított véges mennyiségű energia okozza. Ebben az esetben az 5. fejezet

eredményeként kapott tendencia szerint, az energiamérleg annál inkább a torlóhullám javára

dől, minél szélesebb zsilipből keltjük a hullámokat. Ez az állítás összhangban van a

torlóhullám általános keletkezésének azon tulajdonságaival, mely szerint nagy mennyiségű

folyadék ugrásszerű szétterülésekor keletkezik.

- 30 -

V. Belső szolitonok

Folyadékrétegek határán kialakuló szolitonok főleg abban térnek el szabad felszíni

társaiktól, hogy sebességük jóval lassabb a (10) képletben lévő ∆ρ/ρ sűrűségfaktor miatt, ami

könnyebb megfigyelést tesz lehetővé. Laboratóriumi megvalósításuk viszont sokkal

körültekintőbb előkészületeket igényel. A hullámkádat először kékre festett, sós vízzel töltjük

fel, majd egy szivacson keresztül rá édesvizet rétegezünk. (A 3.1-es kép jobb oldalán látható a

szivacs használat közben.) A két réteg közti határvonal így éles marad, míg a szolitonok által

keltett turbulencia el nem mossa; ez kb. 4-5 mérést tesz lehetővé egy alkalommal. (A

molekuláris diffúzió hatása csak egy-két nap alatt tenné tönkre a rendkívül éles határvonalat.)

Ebben az esetben a zsilippel elválasztott rekeszt is egy szivaccsal kombinált tölcsérrel kellett

feltölteni, hisz ott az alsó rétegvastagságot kellett növelni. A teljes vízmélység a kádban és a

rekeszben azonos, hogy külső szoliton ne indulhasson el. A tapasztalat azt mutatta, hogy a csak

sós vízzel feltöltött kamrából a kétrétegű közeg határára erősen aszimmetrikus, turbulens

hullám lép ki. Ezért a hullámkeltéshez elszeparált térrészbe is minden esetben rétegzett

folyadékot töltöttünk. Úgy találtuk, hogy szimmetrikus és magányos szoliton csak a

legrövidebb, 1-es kamrából lép ki, így a mérések során mindig azt használtuk. A kísérleti

összeállítás komplikáltabb preparálása és a korlátozott reprodukálhatóság erősen befolyásolja a

kiértékelhető adatok mennyiségét. A helyzetet fokozza az a tény, hogy a komplexebb

geometria miatt a jelenséget befolyásoló dimenziótlan paraméterek száma a szabad felszíni

szolitonok esetéhez képest növekszik.

Várakozásaink szerint a nagy amplitúdójú belső szolitonok sebessége a felszíni

szolitonokhoz hasonlóan lassabb, mint az elmélet által feltételezett, ezért a (9) sebességképletet

a következő korrigált alakban gondoljuk helyesnek:

2

' '1 2 1

1 2 2 2

12

H H HA Av c fH H H H

η⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟= + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

, (16)

ahol f a két mélységi paraméter hányadosának egy ismeretlen, dimenziótlan függvénye, η’

pedig egy szintén ismeretlen együttható. Az elvégzett kísérletek közül összesen kettő volt

kvalitatíve kiértékelhető, melyek az elméletinél lassabb terjedést (η’>0 ) jól mutatják (5.1-es

ábra) Ezek az adatok azonban η’ és f becslésére túl kevés információt hordoznak.

- 31 -

5.1 ábra: A belső szolitonok sebességére sem teljesül a KdV képlet (9), az

eltérés előjelét az ábra jól mutatja.

Az 5.2-es ábra szintén csak kvalitatív jelleggel, a félszélességek eltéréseit mutatja. A szórás

az elméleti érték körül a mélységekből és amplitúdóból kombinált paraméterrel itt is növekedni

látszik.

5.2 ábra: A belső szolitonok félszélességei sem követik az egzakt képletet,

szórásuk az x tengelyen ábrázolt paraméterrel növekedni látszik.

A belső szolitonok jobb és bal félszélességei és a keletkezett szolitonok száma, amplitúdója

természetesen ebben az esetben sem követték az elmélet által jósoltakat, de a jelenség

részletesebb elemzésére nem áll elegendő adat rendelkezésünkre.

- 32 -

VI. Kitekintés: A domborzati lépcsőre fellépő belső szoliton

Az alábbi ábrákon bemutatjuk a részleteiben még meg nem értett mechanizmust, amint egy

belső szoliton domborzati lépcsőre lép fel. Az ugrásszerűen változó vízmélység, amely a

terjedési sebességet szükségképpen megváltoztatja (a mélységfüggő c’ hirtelen lecsökken),

elektromágneses hullámok esetén megfelel az eltérő törésmutatójú közegbe való lépésnek.

Ekkor általánosan egy visszavert hullámot és egy az új közegben haladó, de terjedési

sebességében és irányában megváltozott hullámképet várunk. Persze nemlineáris hullámok

esetében a vélt párhuzamot fenntartásokkal kell kezelni. A kísérletekben a felső réteg édesvíz,

míg az alsó festett, ρ = 1,09 kg/l sűrűségű sós víz volt. Az egzakt KdV szoliton terjedési

sebességétől rendszerint kismértékben eltérő v ≈ 14 cm/s-mal érkező hullám kb. 4,5 s alatt tette

meg a vizsgált útszakaszt. Általános érvényű az a megfigyelés, hogy jól mérhető effektusok

csak az alsó folyadékréteg mélységével közel azonos szintemelkedésű akadály esetén voltak. A

kis szintemelkedésű akadályoknak a szolitonokra nézve elenyésző volt a hatásuk. A jól

megfigyelhető esetekben azonban úgy tűnt, hogy az említett, várt hullámkép jó alapjául szolgál

a kísérletekben megfigyeltek elemzéséhez. Nézzük, miképp viselkedtek hullámaink:

- 33 -

(a)

(a) Magányos belső hullám közeledik jobbról a fenéken fekvő akadály felé. (Az akadály fehérrel utólag kiszínezve!)

(b)

(b) Az akadályhoz közeledve a hullám lelassul és kissé deformálódik.

(c)

(c) Az eredeti hullám szinte megáll (!) és a lépcsőn megjelenik a párja, egy furcsa kettős szoliton állapotban.

(d)

(d) A hátsó hullám lassulás és csillapodás közben egyre veszít energiájából,

(e)

(e) miközben az első egyre nagyobbra duzzad. Az első alakja még instabil, folyamatosan változik. Talán az 1/ch² alak attraktorként funkcionál?

(f)

(f) Visszavert hullám is megjelenik, mérete a mérési hiba hátárára esik.

(g)

(g) Az eredeti hullám majdnem teljes energiája átadódott a keletkezettnek, miközben kis fázistolást szenvedett.

6.1 ábra: Domborzati lépcsőre fellépő belső szoliton. A jelenség kvalitatív leírása fázisokra bontva az

ábrák mellett olvasható. A hullám v ≈ 14 cm/s-os sebességgel kb. 4,5 s alatt haladt keresztül a kádnak a

képen látható 125 cm hosszú részén. A képek közt eltel idők eltérőek a fellépés részletes ábrázolása

érdekében.

- 34 -

(a) (a)

(b) (b)

(c) (c)

(d) (d)

(e) (e)

(f)

(f)

5.2ábra: Bal oldalról belső szoliton érkezik a lépcsőre, a jelenség az 5.1-es ábrán bemutatottakkal teljesen megegyezik, a tükrözésre nyilvánvalóan invariáns a probléma.

5.3 ábra: Az előzőektől eltérő paraméterekkel rendelkező belső szoliton alig reagál a domborzati ugrásra. A tapasztalat szerint jól megfigyelhető effektusok az alsó folyadék-mélységgel majdnem azonos emelkedésű lépcső esetén voltak. A képen látható esetben ez az arány ~ 0,5 volt.

- 35 -

VII. Összefoglalás

A hidrodinamika figyelemreméltó sokszínűségének egyik ékes bizonyítéka a nemlineáris

folyadékhullámok világa. A nemlinearitásból fakadó nehézségek és megjósolhatatlan

jelenségek tárháza kifogyhatatlan, azok megértése véget nem érő feladat. A dolgozat célja ezen

jelenségkör vizsgálata volt, kiemelt figyelmet fordítva a szolitonok laboratóriumi

körülményekben való viselkedésének.

Megmutattuk, hogy a nagy amplitúdójú szolitonok haladási sebességben fellép egy, az

amplitúdó négyzetével arányos korrekció, vagyis lassabbak a KdV-szolitonoknál. Láttuk, hogy

a félszélességekben tapasztalt eltérés szórása az elméleti érték körül arányos az amplitúdóval,

valamint, hogy alakjuk függ a keltési mechanizmustól is. Az alakok számítógépes feldolgozása

azt mutatta, hogy a nagy amplitúdójú szolitonok alatt mindig megjelent egy torlóhullám (bore)

is. A kettő együttesen egy ún. solibore-t alkot és ez magyarázza a KdV elmélettől való eltérést.

Tudomásunk szerint a solibore-jelenséget, eddig csak folyadékrétegek határán, óceánokban

figyelték meg. Kiderült, hogy az adott felszíni vízlépcsőből kilépő szolitonok száma kevesebb,

amplitúdójuk kisebb, mint ahogy azt az elmélet megjósolta, és ez az eltérés a folyadéklépcső

szélességével növekedni látszik. A vizsgálatainkat kiterjesztettük nagy amplitúdójú belső

szolitonokra is, melyekről kiderült, hogy terjedési sebességük és alakjuk szintén eltér az

elmélet által jósolt értékektől. Végezetül, kitekintésképpen megvizsgáltuk a domborzati

lépcsőre fellépő szoliton viselkedését.

- 36 -

Függelék

A szolitonok paraméterei és a kvantummechanikai sajátérték-probléma

közötti kapcsolat

Az inverz szórás elmélete [5] szerint az adott kezdeti felszíni kidudorodásból keletkező

szolitonok paraméterei úgy kaphatók, hogy a felszíni alak megfordításával kapott gödröt

potenciálvölgynek tekintjük, s megvizsgáljuk, hogy az ilyen alakú völgyben melyek a kötött

kvantummechanikai állapotok. Az eljárást a derékszögű kezdeti kidudorodás és az annak

megfelelő potenciálgödör példáján mutatjuk be:

8.1 ábra: A derékszögű kezdeti felszíni kiemelkedés dimenziótlan alakja (a),

és az azzal megfeleltethető dimenziótlan potenciálvölgy (b).

Az elmélet szerint a ΔH/H dimenziótlan kiemelkedési magasság 3/2-szeresét kell

tekintenünk a kvantummechanikai potenciálvölgy dimenziótlan mélységének:

( )0

3 ha 2

0 ha

H bV xH HV x

bxH

Δ⎧ − = − <⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩

(16)

- 37 -

A dimenziótlan távolságot H, az energiát ħ2/2mH2 egységekben mérve az időfüggetlen

Scrödinger-egyenlet

( )2

2

d V x EdxΨ

− + Ψ = Ψ . (17)

Az |x| >b/H tartományban V≡0, ezért

2

2 , ,d E xdx HΨ

− = Ψ ≥b (18)

míg a völgyben V≡ -V0,

( )2

02 , .d E V xdx HΨ

− = − + Ψ <b (19)

Kötött állapotok csak negatív energiákon fordulhatnak elő, s a Ψ hullámfüggvénynek nagy

távolságra el kell tűnnie, ezért a differenciálegyenlet megoldása:

( )( ) ( )( )

0 0

exp ha

sin cos ha

exp ha

bA E x xHbB V E x C V E x xHbD E x xH

Ψ = < −

Ψ = − + − <

Ψ = − >

(20)

A peremfeltételekből (Ψ-nek folytonosan differenciálhatónak kell lennie) egyszerű

átalakításokkal, következő egyenletrendszer kapható [15]:

tg =ctgβ β α β β α= − , (21)

ahol

0 bE VH H

α β= =bE− . (22)

- 38 -

Az α és β paraméterek tartalmazzák az energiát, így ez utóbbi lehetséges értékei a (21)

egyenletek megoldásai. Mivel a (22) definíció alapján

2

2 2 20 2 ,bV R

Hα β+ = ≡ (23)

ez grafikusan azt jelenti, hogy az x = β, y = α koordinátarendszerben felrajzolt (21)

görbesereget metszenünk kell az R sugarú, origó középpontú körrel (8.2 ábra). Az első

síknegyedbe eső megoldások αn koordinátái adják a keresett En energiákat az En= αn2H2/b2

szabály szerint.

8.2 ábra: A (21), (23) egyenletrendszer grafikus megoldása. A kötött állapotok

számát a megoldások száma, míg az energiákat azok αn koordinátái adják.

Az ábráról leolvasható, hogy legalább egy megoldás mindig található. Tetszőleges V0 esetén

a kötött állapotok száma annyi, ahányszor a π/2 hosszú intervallum ráfér az R hosszúságú

intervallumra, az utolsó tört részt is beleszámítva.

- 39 -

A kötött állapotok száma tehát

3 21 1

2 2R HN

H Hπ πb⎡ ⎤⎡ ⎤ Δ

= + = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, (24)

ahol a szögletes zárójel az egészrészt jelöli.

Az elmélet [5] szerint, annyi jobbra ill. balra haladó szoliton-pár keletkezik, mint a kötött

állapotok száma. Az n-edik (n=1…N) szoliton amplitúdóját, félszélességét és sebességét az En

sajátenergiák határozzák meg az

3

22

4 43 3n n n

HA E Hb

α= = (25)

nnn

H bLE α

= = (26)

2

20 0 2

2 21 13 3n n n

Hc c E cb

α⎛ ⎞⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (27)

szabály szerint. Ebből azonnal következik a (6), (7) tulajdonság.

Kísérleti elrendezésünk (2.4, 8.3 a.) ábra) a fal jelenléte miatt nem felel meg teljesen a

derékszögű kezdeti kidudorodásnak. A tapasztalatok szerint [6], rögtön a zsilip kihúzása után a

vízlépcső h/2 magasságban terjed szét, s hamarosan kialakul egy közelítőleg h/2 magasságú, 2b

szélességű felszínalak (8.3 b.) ábra). Ez az állapot már megfeleltethető a 8.1 a.) ábrán

bemutatott helyzetnek, hiszen csak ettől kezdve tekinthetünk el a fal jelenlététől. Célszerű tehát

ezt a helyzetet kezdeti feltételnek vennünk.

- 40 -

8.3 ábra: A zsilip kihúzásával a kezdeti állapotból a.) kisvártatva olyan állapot jön létre b),

mely a faltól éppen elszakadni készülő, kétszeres szélességű felszínalakkal közelíthető.

Esetünkben tehát ΔH = h/2, a félszélesség b, s a számolásban használt sugár

4 ,3

h bRH H

= (28)

tehát a keletkező szolitonok száma

3 1h bNH Hπ

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

, (29)

a (8) képlettel összhangban.

Ha például b = 12,6 cm a zsilipszélesség, és H = 3,4 cm befogadó vízmélységnél h = 2,7 cm,

akkor a számolásban felhasznált sugár R = 2,86, ami összesen N = 2 metszéspontot ad, melyekhez

α1 = 2,61, és α2 = 1,78. Az ezekből adódó amplitúdók A1 = 2,3 cm, és A2 = 1,0 cm (ld. 1. táblázat).

Ugyanakkor a (26), (27) képletek értelmében a félszélességek L1 = 4,8cm, L2 = 7,1cm a

sebességek c1 = 76,8cm/s és c2 = 66,4 cm/s, vagyis a sekélyvízi lineáris hullámok c0 = √gH

sebességének 1,33 ill. 1,15-szöröse.

- 41 -

Köszönetnyilvánítás

Mindenek előtt kiemelt köszönet illeti Jánosi Imrét ill. témavezetőimet Szabó K. Gábor és

Tél Tamás tanár urakat, akik lehetővé tették számomra, hogy bekapcsolódjak a laborban folyó

tudományos munkába és nélkülözhetetlen segítséget nyújtottak a dolgozat megírásában.

Szeretném megköszönni Gyüre Balázsnak a laborban nyújtott mindenre kiterjedő,

nélkülözhetetlen segítségét, valamint Fehér Tamásnak a számítástechnikai téren nyújtott

segítséget.

- 42 -

Irodalom

1. Szőcs Károly: A cúnami és ami mögötte rejtőzik;

<http://www.hhrf.org/nepujsag/05jan/5nu0106.htm>

2. Czelnai Rudolf: A világóceán; Vince Kiadó, Budapest (1999).

3. Czelnai Rudolf: Tsunami; Természet világa, 136, évf. 4. sz. 155. o.

4. Jánosi Imre: Mindentudás az iskolában: A Cúnami; Fizikai Szemle, Budapest (2005),

megjelenés előtt

5. M. J. Ablowitz, H. Segur: Solitons and the Invere Scottering Transform; SIAM,

Philadelphia (1981)

6. J. L. Hammack, H. Segur: The Korteweg-de Vries equation and water waves;

Journal of Fluid Mechanics 65 (1974), p.289-314

7. Chiang C. Mei and Yile Li: Evolution of solitons over a randomly rough seabed;

Physical Review E 70, 016302 (2004)

8. D. J. Korteweg, G de Vries: On the Change of Form ol Long Waves advancing in a

Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves; Philosophical

Magazine, 5. sorozat, xxxix. kötet, 422-443 old. (1895)

9. John R. Apel: Oceanic Internal Waves and Solitons; An Atlas of Oceanic Internal

Solitary Waves by Global Ocean Associates - code 322PO (2002)

10. Tél Tamás: Környezeti áramlások hidrodinamikája; Jegyzet kézirat, ELTE Elméleti

Fizikai Tanszék, Budapest (2003)

11. L. M. Milne-Thomson: Theoretical Hydrodynamics; Dover Publ., New York (1996)

14.75 fejezet

12. J. E. Simpson: Grarvity Currents; Cambridge, University Press (1997)

13. Henyey, F.S. and A. Hoering: Energetics of borelike internal waves (1997). Journal of

Geophysical Research 102 (C2), 3323-3330.

14. J. R. Apel at al: An Overwiev of the 1995 SWARM Shallow-Water Internal Wave

Acoustic Scattering Experiment; IEEE J. Oceanic Eng. vol. 22, pp. 465-500 (1995)

15. F. Constantinescu, E. Magyari: Kvantummechanika feladatok Tankönyvkiadó,

Budapest (1972), 44-49. oldal.

- 43 -