Mecnica CunticaCurso propedutico 7

Mauricio Forteshttp://manybody.sica.unam.mx/cursos/prop_cuant_2014/

IFUNAM

9-12/2014

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 1 / 33

Potenciales centrales

h2

2mr2(r) + V (r)(r) = E(r)

En coordenadas esfricas, la solucin general para estados estacionarios es

(r) = Elm

AElmREl (r)Ylm(, )

" h

2

2m1r2ddrr2ddr

#REl (r) +

"V (r) +

h2 l(l + 1)2mr2

#REl (r) = EREl (r)

V (r) =

8>>>>>>>:e2/r , Coulomb

12m

2r2, Oscilador armnicoV0 para r a, pozo de potencial

er/r , YukawaAr 12 Br 6 , lquidos

,

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 2 / 33

Potenciales centrales

h2

2mr2(r) + V (r)(r) = E(r)

En coordenadas esfricas, la solucin general para estados estacionarios es

(r) = Elm

AElmREl (r)Ylm(, )

" h

2

2m1r2ddrr2ddr

#REl (r) +

"V (r) +

h2 l(l + 1)2mr2

#REl (r) = EREl (r)

V (r) =

8>>>>>>>:e2/r , Coulomb

12m

2r2, Oscilador armnicoV0 para r a, pozo de potencial

er/r , YukawaAr 12 Br 6 , lquidos

,

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 2 / 33

Potenciales centrales

h2

2mr2(r) + V (r)(r) = E(r)

En coordenadas esfricas, la solucin general para estados estacionarios es

(r) = Elm

AElmREl (r)Ylm(, )

" h

2

2m1r2ddrr2ddr

#REl (r) +

"V (r) +

h2 l(l + 1)2mr2

#REl (r) = EREl (r)

V (r) =

8>>>>>>>:e2/r , Coulomb

12m

2r2, Oscilador armnicoV0 para r a, pozo de potencial

er/r , YukawaAr 12 Br 6 , lquidos

,

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 2 / 33

Potenciales centrales

h2

2mr2(r) + V (r)(r) = E(r)

En coordenadas esfricas, la solucin general para estados estacionarios es

(r) = Elm

AElmREl (r)Ylm(, )

" h

2

2m1r2ddrr2ddr

#REl (r) +

"V (r) +

h2 l(l + 1)2mr2

#REl (r) = EREl (r)

V (r) =

8>>>>>>>:e2/r , Coulomb

12m

2r2, Oscilador armnicoV0 para r a, pozo de potencial

er/r , YukawaAr 12 Br 6 , lquidos

,

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 2 / 33

Solucin de partcula libre V = 0

Con la transformacin

REl (r) =uEl (r)r

"h2

2md2

dr2

#uEl (r) +

"E V (r) h

2 l(l + 1)2mr2

#uEl (r) = 0

Si el potencial es nulo (V (r) = 0)

E h2k2

2m, kr

d2

d2+l(l + 1)

2 1uEl (r) = 0

Ecuacin diferencial para las funciones de Bessel

REl (r) =uEl (r)r

=

8>:jl (kr) !

!0l

(2l+1)!!

nl (kr) !!0 (2l1)!!

l+1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 3 / 33

Solucin de partcula libre V = 0

Con la transformacin

REl (r) =uEl (r)r"

h2

2md2

dr2

#uEl (r) +

"E V (r) h

2 l(l + 1)2mr2

#uEl (r) = 0

Si el potencial es nulo (V (r) = 0)

E h2k2

2m, kr

d2

d2+l(l + 1)

2 1uEl (r) = 0

Ecuacin diferencial para las funciones de Bessel

REl (r) =uEl (r)r

=

8>:jl (kr) !

!0l

(2l+1)!!

nl (kr) !!0 (2l1)!!

l+1

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Solucin de partcula libre V = 0

Con la transformacin

REl (r) =uEl (r)r"

h2

2md2

dr2

#uEl (r) +

"E V (r) h

2 l(l + 1)2mr2

#uEl (r) = 0

Si el potencial es nulo (V (r) = 0)

E h2k2

2m, kr

d2

d2+l(l + 1)

2 1uEl (r) = 0

Ecuacin diferencial para las funciones de Bessel

REl (r) =uEl (r)r

=

8>:jl (kr) !

!0l

(2l+1)!!

nl (kr) !!0 (2l1)!!

l+1

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Solucin de partcula libre V = 0

Con la transformacin

REl (r) =uEl (r)r"

h2

2md2

dr2

#uEl (r) +

"E V (r) h

2 l(l + 1)2mr2

#uEl (r) = 0

Si el potencial es nulo (V (r) = 0)

E h2k2

2m, kr

d

2

d2+l(l + 1)

2 1uEl (r) = 0

Ecuacin diferencial para las funciones de Bessel

REl (r) =uEl (r)r

=

8>:jl (kr) !

!0l

(2l+1)!!

nl (kr) !!0 (2l1)!!

l+1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 3 / 33

Solucin de partcula libre V = 0

Con la transformacin

REl (r) =uEl (r)r"

h2

2md2

dr2

#uEl (r) +

"E V (r) h

2 l(l + 1)2mr2

#uEl (r) = 0

Si el potencial es nulo (V (r) = 0)

E h2k2

2m, kr

d2

d2+l(l + 1)

2 1uEl (r) = 0

Ecuacin diferencial para las funciones de Bessel

REl (r) =uEl (r)r

=

8>:jl (kr) !

!0l

(2l+1)!!

nl (kr) !!0 (2l1)!!

l+1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 3 / 33

Solucin de partcula libre V = 0

Con la transformacin

REl (r) =uEl (r)r"

h2

2md2

dr2

#uEl (r) +

"E V (r) h

2 l(l + 1)2mr2

#uEl (r) = 0

Si el potencial es nulo (V (r) = 0)

E h2k2

2m, kr

d2

d2+l(l + 1)

2 1uEl (r) = 0

Ecuacin diferencial para las funciones de Bessel

REl (r) =uEl (r)r

=

8>:jl (kr) !

!0l

(2l+1)!!

nl (kr) !!0 (2l1)!!

l+1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 3 / 33

Valores en los lmites

REl (r) =uEl (r)r

=

8>:jl (kr) !

!sin(lpi/2)

nl (kr) !!

cos(lpi/2)

j0() =sin

j1() =sin 2 cos

j2() =32 1sin 3 cos 2

n0() = cos

n1() = cos

2 sin

n2() = 32 1cos 3 sin 2Z

0r2drjl (kr)jl (k

0r) = pi2k2

(k k 0)

Z Z ZElmE 0 l 0m 0 r

2drd =pi

2k2(k k 0)ll 0mm 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 4 / 33

Valores en los lmites

REl (r) =uEl (r)r

=

8>:jl (kr) !

!sin(lpi/2)

nl (kr) !!

cos(lpi/2)

j0() =sin

j1() =sin 2 cos

j2() =32 1sin 3 cos 2

n0() = cos

n1() = cos

2 sin

n2() = 32 1cos 3 sin 2Z

0r2drjl (kr)jl (k

0r) = pi2k2

(k k 0)

Z Z ZElmE 0 l 0m 0 r

2drd =pi

2k2(k k 0)ll 0mm 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 4 / 33

Ejemplo: pozo esfrico

V0 para r aPara estados ligados, E < 0

r0

-V0

a

caso l = 0

d2udr2

+2m

h2(V0 + jE j)u = 0,

para r a

k 0 =r2m

h2(V0 jE j)

=

r2m

h2jE j

u =A sin k 0r , r aBer , r a

u(a); u0(a)

k 0/ = tan k 0amfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 5 / 33

Eigenvalores

k 0/ = tan k 0a

Debido al signo negativo, estaecuacin tiene soluciones a partirdel valor

k 0a pi/2(k 0a)2 2ma

2

h2(V0 jE j)

2m

h2V0a

2 ' pi2/4

No hay estados ligados si

V0 < pi2h2/8ma2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 6 / 33

Degeneracin

Partcula libre o bajo un potencial central, la ec. de Schroedinger es

"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"V (r) h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = EuEl (r)

La parte angular de la funcin de onda se puede expresar como unacombinacin lineal de los armnicos esfricos Ylm(, ).La dependencia en para cualquier l es e im, m = 1,2, ... lLos eigenvalores de la energa no dependen de m.Estados con diferentes m pero misma l tienen la misma energa:degeneracin:

H jnlm1i = En jnlm1iH jnlm2i = En jnlm2i

misma En para dos estados diferentes

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 7 / 33

Degeneracin

Partcula libre o bajo un potencial central, la ec. de Schroedinger es"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"V (r) h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = EuEl (r)

La parte angular de la funcin de onda se puede expresar como unacombinacin lineal de los armnicos esfricos Ylm(, ).La dependencia en para cualquier l es e im, m = 1,2, ... lLos eigenvalores de la energa no dependen de m.Estados con diferentes m pero misma l tienen la misma energa:degeneracin:

H jnlm1i = En jnlm1iH jnlm2i = En jnlm2i

misma En para dos estados diferentes

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 7 / 33

Degeneracin

Partcula libre o bajo un potencial central, la ec. de Schroedinger es"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"V (r) h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = EuEl (r)

La parte angular de la funcin de onda se puede expresar como unacombinacin lineal de los armnicos esfricos Ylm(, ).

La dependencia en para cualquier l es e im, m = 1,2, ... lLos eigenvalores de la energa no dependen de m.Estados con diferentes m pero misma l tienen la misma energa:degeneracin:

H jnlm1i = En jnlm1iH jnlm2i = En jnlm2i

misma En para dos estados diferentes

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 7 / 33

Degeneracin

Partcula libre o bajo un potencial central, la ec. de Schroedinger es"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"V (r) h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = EuEl (r)

La parte angular de la funcin de onda se puede expresar como unacombinacin lineal de los armnicos esfricos Ylm(, ).La dependencia en para cualquier l es e im, m = 1,2, ... l

Los eigenvalores de la energa no dependen de m.Estados con diferentes m pero misma l tienen la misma energa:degeneracin:

H jnlm1i = En jnlm1iH jnlm2i = En jnlm2i

misma En para dos estados diferentes

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 7 / 33

Degeneracin

Partcula libre o bajo un potencial central, la ec. de Schroedinger es"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"V (r) h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = EuEl (r)

La parte angular de la funcin de onda se puede expresar como unacombinacin lineal de los armnicos esfricos Ylm(, ).La dependencia en para cualquier l es e im, m = 1,2, ... lLos eigenvalores de la energa no dependen de m.

Estados con diferentes m pero misma l tienen la misma energa:degeneracin:

H jnlm1i = En jnlm1iH jnlm2i = En jnlm2i

misma En para dos estados diferentes

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 7 / 33

Degeneracin

Partcula libre o bajo un potencial central, la ec. de Schroedinger es"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"V (r) h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = EuEl (r)

La parte angular de la funcin de onda se puede expresar como unacombinacin lineal de los armnicos esfricos Ylm(, ).La dependencia en para cualquier l es e im, m = 1,2, ... lLos eigenvalores de la energa no dependen de m.Estados con diferentes m pero misma l tienen la misma energa:degeneracin:

H jnlm1i = En jnlm1iH jnlm2i = En jnlm2i

misma En para dos estados diferentes

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 7 / 33

Degeneracin

Partcula libre o bajo un potencial central, la ec. de Schroedinger es"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"V (r) h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = EuEl (r)

La parte angular de la funcin de onda se puede expresar como unacombinacin lineal de los armnicos esfricos Ylm(, ).La dependencia en para cualquier l es e im, m = 1,2, ... lLos eigenvalores de la energa no dependen de m.Estados con diferentes m pero misma l tienen la misma energa:degeneracin:

H jnlm1i = En jnlm1iH jnlm2i = En jnlm2i

misma En para dos estados diferentes

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 7 / 33

Oscilador armnico tridimensional

"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"E 1

2M2r2 h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = 0

Las soluciones son

E = (2k + l + 3/2)h, k = 0, 1, 2, ...

E = (n+ 3/2)hn = 2k + l

Para cada n los valores que puede tomar l son:

l = n 2k = n, n 2, n 4, ..., 1 o 0n = 0 l = 0 m = 0n = 1 l = 1 m = 1, 0n = 2 l = 0, 2 m = 0;2,1, 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 8 / 33

Oscilador armnico tridimensional

"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"E 1

2M2r2 h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = 0

Las soluciones son

E = (2k + l + 3/2)h, k = 0, 1, 2, ...

E = (n+ 3/2)hn = 2k + l

Para cada n los valores que puede tomar l son:

l = n 2k = n, n 2, n 4, ..., 1 o 0n = 0 l = 0 m = 0n = 1 l = 1 m = 1, 0n = 2 l = 0, 2 m = 0;2,1, 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 8 / 33

Oscilador armnico tridimensional

"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"E 1

2M2r2 h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = 0

Las soluciones son

E = (2k + l + 3/2)h, k = 0, 1, 2, ...

E = (n+ 3/2)hn = 2k + l

Para cada n los valores que puede tomar l son:

l = n 2k = n, n 2, n 4, ..., 1 o 0n = 0 l = 0 m = 0n = 1 l = 1 m = 1, 0n = 2 l = 0, 2 m = 0;2,1, 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 8 / 33

Oscilador armnico tridimensional

"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"E 1

2M2r2 h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = 0

Las soluciones son

E = (2k + l + 3/2)h, k = 0, 1, 2, ...

E = (n+ 3/2)hn = 2k + l

Para cada n los valores que puede tomar l son:

l = n 2k = n, n 2, n 4, ..., 1 o 0

n = 0 l = 0 m = 0n = 1 l = 1 m = 1, 0n = 2 l = 0, 2 m = 0;2,1, 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 8 / 33

Oscilador armnico tridimensional

"h2

2Md2

dr2

#uEl (r) +

"E 1

2M2r2 h

2 l(l + 1)2Mr2

#uEl (r) = 0

Las soluciones son

E = (2k + l + 3/2)h, k = 0, 1, 2, ...

E = (n+ 3/2)hn = 2k + l

Para cada n los valores que puede tomar l son:

l = n 2k = n, n 2, n 4, ..., 1 o 0n = 0 l = 0 m = 0n = 1 l = 1 m = 1, 0n = 2 l = 0, 2 m = 0;2,1, 0mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 8 / 33

Oscilador armnico tridimensional

El mismo sistema se puede escribir en coordenadas cartesianas

h2

2M

2

x2+

2

y2+

2

z2

(x , y , z)+

+

E 1

2M2(x2 + y2 + z2)

(x , y , z) = 0

(x , y , z) = X (x)Y (y)Z (z)

E = (nx + ny + nz + 3/2)h

Cuyas soluciones son polinomios de Hermite multiplicados por una funcingaussiana

En la representacin en coordenadas esfricas, las soluciones resultan de laforma Rnl (r)Ylm(, ).

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 9 / 33

Oscilador armnico tridimensional

El mismo sistema se puede escribir en coordenadas cartesianas

h2

2M

2

x2+

2

y2+

2

z2

(x , y , z)+

+

E 1

2M2(x2 + y2 + z2)

(x , y , z) = 0

(x , y , z) = X (x)Y (y)Z (z)

E = (nx + ny + nz + 3/2)h

Cuyas soluciones son polinomios de Hermite multiplicados por una funcingaussiana

En la representacin en coordenadas esfricas, las soluciones resultan de laforma Rnl (r)Ylm(, ).

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 9 / 33

Oscilador armnico tridimensional

El mismo sistema se puede escribir en coordenadas cartesianas

h2

2M

2

x2+

2

y2+

2

z2

(x , y , z)+

+

E 1

2M2(x2 + y2 + z2)

(x , y , z) = 0

(x , y , z) = X (x)Y (y)Z (z)

E = (nx + ny + nz + 3/2)h

Cuyas soluciones son polinomios de Hermite multiplicados por una funcingaussiana

En la representacin en coordenadas esfricas, las soluciones resultan de laforma Rnl (r)Ylm(, ).

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 9 / 33

Oscilador armnico tridimensional

El mismo sistema se puede escribir en coordenadas cartesianas

h2

2M

2

x2+

2

y2+

2

z2

(x , y , z)+

+

E 1

2M2(x2 + y2 + z2)

(x , y , z) = 0

(x , y , z) = X (x)Y (y)Z (z)

E = (nx + ny + nz + 3/2)h

Cuyas soluciones son polinomios de Hermite multiplicados por una funcingaussiana

En la representacin en coordenadas esfricas, las soluciones resultan de laforma Rnl (r)Ylm(, ).

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 9 / 33

Oscilador armnico tridimensional

El mismo sistema se puede escribir en coordenadas cartesianas

h2

2M

2

x2+

2

y2+

2

z2

(x , y , z)+

+

E 1

2M2(x2 + y2 + z2)

(x , y , z) = 0

(x , y , z) = X (x)Y (y)Z (z)

E = (nx + ny + nz + 3/2)h

Cuyas soluciones son polinomios de Hermite multiplicados por una funcingaussiana

En la representacin en coordenadas esfricas, las soluciones resultan de laforma Rnl (r)Ylm(, ).

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 9 / 33

Oscilador armnico tridimensional

El mismo sistema se puede escribir en coordenadas cartesianas

h2

2M

2

x2+

2

y2+

2

z2

(x , y , z)+

+

E 1

2M2(x2 + y2 + z2)

(x , y , z) = 0

(x , y , z) = X (x)Y (y)Z (z)

E = (nx + ny + nz + 3/2)h

Cuyas soluciones son polinomios de Hermite multiplicados por una funcingaussiana

En la representacin en coordenadas esfricas, las soluciones resultan de laforma Rnl (r)Ylm(, ).

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 9 / 33

Partcula libre

En una dimensin(x) =

1p2pih

e ikx

en tres dimensiones

(x , y , z) = (r) =1

(2pih)3/2e ikr

Tambin

(r) = Al jl (kr)Ylm(, )

Esto implica

e ikr =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

Escogemos el eje z en la direccin de k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 10 / 33

Partcula libre

En una dimensin(x) =

1p2pih

e ikx

en tres dimensiones

(x , y , z) = (r) =1

(2pih)3/2e ikr

Tambin

(r) = Al jl (kr)Ylm(, )

Esto implica

e ikr =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

Escogemos el eje z en la direccin de k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 10 / 33

Partcula libre

En una dimensin(x) =

1p2pih

e ikx

en tres dimensiones

(x , y , z) = (r) =1

(2pih)3/2e ikr

Tambin

(r) = Al jl (kr)Ylm(, )

Esto implica

e ikr =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

Escogemos el eje z en la direccin de k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 10 / 33

Partcula libre

En una dimensin(x) =

1p2pih

e ikx

en tres dimensiones

(x , y , z) = (r) =1

(2pih)3/2e ikr

Tambin

(r) = Al jl (kr)Ylm(, )

Esto implica

e ikr =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

Escogemos el eje z en la direccin de k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 10 / 33

Partcula libre

En una dimensin(x) =

1p2pih

e ikx

en tres dimensiones

(x , y , z) = (r) =1

(2pih)3/2e ikr

Tambin

(r) = Al jl (kr)Ylm(, )

Esto implica

e ikr =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

Escogemos el eje z en la direccin de k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 10 / 33

Partcula libre

En una dimensin(x) =

1p2pih

e ikx

en tres dimensiones

(x , y , z) = (r) =1

(2pih)3/2e ikr

Tambin

(r) = Al jl (kr)Ylm(, )

Esto implica

e ikr =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

Escogemos el eje z en la direccin de k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 10 / 33

Partcula libre

En una dimensin(x) =

1p2pih

e ikx

en tres dimensiones

(x , y , z) = (r) =1

(2pih)3/2e ikr

Tambin

(r) = Al jl (kr)Ylm(, )

Esto implica

e ikr =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

Escogemos el eje z en la direccin de k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 10 / 33

Partcula libre

En una dimensin(x) =

1p2pih

e ikx

en tres dimensiones

(x , y , z) = (r) =1

(2pih)3/2e ikr

Tambin

(r) = Al jl (kr)Ylm(, )

Esto implica

e ikr =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

Escogemos el eje z en la direccin de k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 10 / 33

e ikr = e ikr cos =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

como el lado izquierdo es independiente de , slo intervienen los trminosm = 0 en la suma y

Yl0(, ) =2l + 14pi

1/2Pl (cos )

Tarea: demostrar queCl0 = i

l (2l + 1)

de modo que

e ikr cos =

l=0

i l (2l + 1)jl (kr)Ylm(, )

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 11 / 33

e ikr = e ikr cos =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

como el lado izquierdo es independiente de , slo intervienen los trminosm = 0 en la suma y

Yl0(, ) =2l + 14pi

1/2Pl (cos )

Tarea: demostrar queCl0 = i

l (2l + 1)

de modo que

e ikr cos =

l=0

i l (2l + 1)jl (kr)Ylm(, )

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 11 / 33

e ikr = e ikr cos =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

como el lado izquierdo es independiente de , slo intervienen los trminosm = 0 en la suma y

Yl0(, ) =2l + 14pi

1/2Pl (cos )

Tarea: demostrar queCl0 = i

l (2l + 1)

de modo que

e ikr cos =

l=0

i l (2l + 1)jl (kr)Ylm(, )

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 11 / 33

e ikr = e ikr cos =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

como el lado izquierdo es independiente de , slo intervienen los trminosm = 0 en la suma y

Yl0(, ) =2l + 14pi

1/2Pl (cos )

Tarea: demostrar queCl0 = i

l (2l + 1)

de modo que

e ikr cos =

l=0

i l (2l + 1)jl (kr)Ylm(, )

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 11 / 33

e ikr = e ikr cos =

l=0

m=l

m=l

Clm jl (kr)Ylm(, )

como el lado izquierdo es independiente de , slo intervienen los trminosm = 0 en la suma y

Yl0(, ) =2l + 14pi

1/2Pl (cos )

Tarea: demostrar queCl0 = i

l (2l + 1)

de modo que

e ikr cos =

l=0

i l (2l + 1)jl (kr)Ylm(, )

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 11 / 33

tomo de Hidrgeno

"h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

E ,l ,m(r , , ) = RE ,l (r)Ylm(, )

Para estados ligados, la energa es negativa:

W = jE j , energa de amarreSoluciones radiales

RE ,l (r) =uE ,lr

=

q2mW/h2r

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 12 / 33

tomo de Hidrgeno

"h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

E ,l ,m(r , , ) = RE ,l (r)Ylm(, )

Para estados ligados, la energa es negativa:

W = jE j , energa de amarreSoluciones radiales

RE ,l (r) =uE ,lr

=

q2mW/h2r

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 12 / 33

tomo de Hidrgeno

"h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

E ,l ,m(r , , ) = RE ,l (r)Ylm(, )

Para estados ligados, la energa es negativa:

W = jE j , energa de amarreSoluciones radiales

RE ,l (r) =uE ,lr

=

q2mW/h2r

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 12 / 33

tomo de Hidrgeno

"h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

E ,l ,m(r , , ) = RE ,l (r)Ylm(, )

Para estados ligados, la energa es negativa:

W = jE j , energa de amarre

Soluciones radiales

RE ,l (r) =uE ,lr

=

q2mW/h2r

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 12 / 33

tomo de Hidrgeno

"h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

E ,l ,m(r , , ) = RE ,l (r)Ylm(, )

Para estados ligados, la energa es negativa:

W = jE j , energa de amarreSoluciones radiales

RE ,l (r) =uE ,lr

=

q2mW/h2r

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 12 / 33

tomo de Hidrgeno

"h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

E ,l ,m(r , , ) = RE ,l (r)Ylm(, )

Para estados ligados, la energa es negativa:

W = jE j , energa de amarreSoluciones radiales

RE ,l (r) =uE ,lr

=

q2mW/h2r

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 12 / 33

tomo de Hidrgeno

Cmo es la funcin de onda en r ! ?

"h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

r ! "

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r)WuE ,l (r) = 0

u(1)E ,l !r! e, u(2)E ,l !r! e

y cuando r ! 0"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

r ! 0"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

" h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 13 / 33

tomo de Hidrgeno

Cmo es la funcin de onda en r ! ?"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

r ! "

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r)WuE ,l (r) = 0

u(1)E ,l !r! e, u(2)E ,l !r! e

y cuando r ! 0"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

r ! 0"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

" h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 13 / 33

tomo de Hidrgeno

Cmo es la funcin de onda en r ! ?"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

r ! "

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r)WuE ,l (r) = 0

u(1)E ,l !r! e, u(2)E ,l !r! e

y cuando r ! 0"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

r ! 0"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

" h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 13 / 33

tomo de Hidrgeno

Cmo es la funcin de onda en r ! ?"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

r ! "

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r)WuE ,l (r) = 0

u(1)E ,l !r! e, u(2)E ,l !r! e

y cuando r ! 0

"h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

r ! 0"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

" h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 13 / 33

tomo de Hidrgeno

Cmo es la funcin de onda en r ! ?"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

r ! "

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r)WuE ,l (r) = 0

u(1)E ,l !r! e, u(2)E ,l !r! e

y cuando r ! 0"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

"E + e2/r h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

r ! 0"

h2

2md2

dr2

#uE ,l (r) +

" h

2 l(l + 1)2mr2

#uE ,l (r) = 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 13 / 33

tomo de Hidrgeno

Cuando r ! 0, u00 = l(l + 1)2

u

Comportamiento de la solucin cerca del origen

u(1)E ,l !r!0 l+1, u(2)E ,l !r!0

l

Como u(2)E ,l diverge en el origen, se excluye esta solucin en cualquier reginque incluye el punto r = 0.

En resumen,

uE ,l () Cl+1 para r ! 0De para r !

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 14 / 33

tomo de Hidrgeno

Cuando r ! 0, u00 = l(l + 1)2

u

Comportamiento de la solucin cerca del origen

u(1)E ,l !r!0 l+1, u(2)E ,l !r!0

l

Como u(2)E ,l diverge en el origen, se excluye esta solucin en cualquier reginque incluye el punto r = 0.

En resumen,

uE ,l () Cl+1 para r ! 0De para r !

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 14 / 33

tomo de Hidrgeno

Cuando r ! 0, u00 = l(l + 1)2

u

Comportamiento de la solucin cerca del origen

u(1)E ,l !r!0 l+1, u(2)E ,l !r!0

l

Como u(2)E ,l diverge en el origen, se excluye esta solucin en cualquier reginque incluye el punto r = 0.

En resumen,

uE ,l () Cl+1 para r ! 0De para r !

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 14 / 33

tomo de Hidrgeno

Cuando r ! 0, u00 = l(l + 1)2

u

Comportamiento de la solucin cerca del origen

u(1)E ,l !r!0 l+1, u(2)E ,l !r!0

l

Como u(2)E ,l diverge en el origen, se excluye esta solucin en cualquier reginque incluye el punto r = 0.

En resumen,

uE ,l () Cl+1 para r ! 0De para r !

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 14 / 33

tomo de Hidrgeno

Cuando r ! 0, u00 = l(l + 1)2

u

Comportamiento de la solucin cerca del origen

u(1)E ,l !r!0 l+1, u(2)E ,l !r!0

l

Como u(2)E ,l diverge en el origen, se excluye esta solucin en cualquier reginque incluye el punto r = 0.

En resumen,

uE ,l () Cl+1 para r ! 0De para r !

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 14 / 33

Ecuacin radial

(2mW/h2)1/2, = r

2d2

d2

uE ,l () +

"2 + e2/ l(l + 1)

2

2

#uE ,l () = 0

Debido al comportamiento asinttico, r ! , la solucin es de la formauE ,l evE ,l

u0E ,l = evE ,l + ev 0E ,l

u00E ,l = evE ,l ev 0E ,l ev 0E ,l + ev 00E ,l

= evE ,l 2ev 0E ,l + ev 00E ,l

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 15 / 33

Ecuacin radial

(2mW/h2)1/2, = r

2d2

d2

uE ,l () +

"2 + e2/ l(l + 1)

2

2

#uE ,l () = 0

Debido al comportamiento asinttico, r ! , la solucin es de la formauE ,l evE ,l

u0E ,l = evE ,l + ev 0E ,l

u00E ,l = evE ,l ev 0E ,l ev 0E ,l + ev 00E ,l

= evE ,l 2ev 0E ,l + ev 00E ,l

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 15 / 33

Ecuacin radial

(2mW/h2)1/2, = r

2d2

d2

uE ,l () +

"2 + e2/ l(l + 1)

2

2

#uE ,l () = 0

Debido al comportamiento asinttico, r ! , la solucin es de la formauE ,l evE ,l

u0E ,l = evE ,l + ev 0E ,l

u00E ,l = evE ,l ev 0E ,l ev 0E ,l + ev 00E ,l

= evE ,l 2ev 0E ,l + ev 00E ,l

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 15 / 33

Ecuacin radial

(2mW/h2)1/2, = r

2d2

d2

uE ,l () +

"2 + e2/ l(l + 1)

2

2

#uE ,l () = 0

Debido al comportamiento asinttico, r ! , la solucin es de la formauE ,l evE ,l

u0E ,l = evE ,l + ev 0E ,l

u00E ,l = evE ,l ev 0E ,l ev 0E ,l + ev 00E ,l

= evE ,l 2ev 0E ,l + ev 00E ,l

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 15 / 33

Ecuacin radial

(2mW/h2)1/2, = r

2d2

d2

uE ,l () +

"2 + e2/ l(l + 1)

2

2

#uE ,l () = 0

Debido al comportamiento asinttico, r ! , la solucin es de la formauE ,l evE ,l

u0E ,l = evE ,l + ev 0E ,l

u00E ,l = evE ,l ev 0E ,l ev 0E ,l + ev 00E ,l

= evE ,l 2ev 0E ,l + ev 00E ,l

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 15 / 33

Ecuacin radial

2evE ,l 2ev 0E ,l + ev 00E ,l

+

+

"2 + e2/ h

2 l(l + 1)2

2m2

#evE ,l = 0

d2vE ,ld2

2dvE ,ld

+

e2 l(l + 1)

2

vE ,l = 0

= (2MW/h2)1/2

Se propone una solucin de la forma

vE ,l = l+1

k=0

Ck k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 16 / 33

Ecuacin radial

2evE ,l 2ev 0E ,l + ev 00E ,l

+

+

"2 + e2/ h

2 l(l + 1)2

2m2

#evE ,l = 0

d2vE ,ld2

2dvE ,ld

+

e2 l(l + 1)

2

vE ,l = 0

= (2MW/h2)1/2

Se propone una solucin de la forma

vE ,l = l+1

k=0

Ck k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 16 / 33

Ecuacin radial

2evE ,l 2ev 0E ,l + ev 00E ,l

+

+

"2 + e2/ h

2 l(l + 1)2

2m2

#evE ,l = 0

d2vE ,ld2

2dvE ,ld

+

e2 l(l + 1)

2

vE ,l = 0

= (2MW/h2)1/2

Se propone una solucin de la forma

vE ,l = l+1

k=0

Ck k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 16 / 33

Ecuacin radial

2evE ,l 2ev 0E ,l + ev 00E ,l

+

+

"2 + e2/ h

2 l(l + 1)2

2m2

#evE ,l = 0

d2vE ,ld2

2dvE ,ld

+

e2 l(l + 1)

2

vE ,l = 0

= (2MW/h2)1/2

Se propone una solucin de la forma

vE ,l = l+1

k=0

Ck k

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 16 / 33

Ecuacin radial

vE ,l = l+1

k=0

Ck k

v 0E ,l =

k=0(l + k + 1)Ck

l+k

v 00E ,l =

k=0(l + k + 1)(l + k)Ck

l+k1

La ecuacin diferencial es

k=0 Ck [(l + k + 1)(l + k)l+k1 2(l + k + 1)l+k

+e2l+k l(l + 1)l+k1 ] = 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 17 / 33

Ecuacin radial

vE ,l = l+1

k=0

Ck k

v 0E ,l =

k=0(l + k + 1)Ck

l+k

v 00E ,l =

k=0(l + k + 1)(l + k)Ck

l+k1

La ecuacin diferencial es

k=0 Ck [(l + k + 1)(l + k)l+k1 2(l + k + 1)l+k

+e2l+k l(l + 1)l+k1 ] = 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 17 / 33

Ecuacin radial

vE ,l = l+1

k=0

Ck k

v 0E ,l =

k=0(l + k + 1)Ck

l+k

v 00E ,l =

k=0(l + k + 1)(l + k)Ck

l+k1

La ecuacin diferencial es

k=0 Ck [(l + k + 1)(l + k)l+k1 2(l + k + 1)l+k

+e2l+k l(l + 1)l+k1 ] = 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 17 / 33

Ecuacin radial

vE ,l = l+1

k=0

Ck k

v 0E ,l =

k=0(l + k + 1)Ck

l+k

v 00E ,l =

k=0(l + k + 1)(l + k)Ck

l+k1

La ecuacin diferencial es

k=0 Ck [(l + k + 1)(l + k)l+k1 2(l + k + 1)l+k

+e2l+k l(l + 1)l+k1 ] = 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 17 / 33

Ecuacin radial

vE ,l = l+1

k=0

Ck k

v 0E ,l =

k=0(l + k + 1)Ck

l+k

v 00E ,l =

k=0(l + k + 1)(l + k)Ck

l+k1

La ecuacin diferencial es

k=0 Ck [(l + k + 1)(l + k)l+k1 2(l + k + 1)l+k

+e2l+k l(l + 1)l+k1 ] = 0

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 17 / 33

Ecuacin radial

k=0 Ck [(l + k + 1)(l + k)l+k1 2(l + k + 1)l+k

+e2l+k l(l + 1)l+k1 ] = 0

hacemos k ! k 1

k=0fCk+1 [(l + k + 2)(l + k + 1) l(l + 1)]+Ck [e2 2(l + k + 1)]gl+k = 0

relacin de recurrencia para Ck

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 18 / 33

Ecuacin radial

k=0 Ck [(l + k + 1)(l + k)l+k1 2(l + k + 1)l+k

+e2l+k l(l + 1)l+k1 ] = 0hacemos k ! k 1

k=0fCk+1 [(l + k + 2)(l + k + 1) l(l + 1)]+Ck [e2 2(l + k + 1)]gl+k = 0

relacin de recurrencia para Ck

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 18 / 33

Ecuacin radial

k=0 Ck [(l + k + 1)(l + k)l+k1 2(l + k + 1)l+k

+e2l+k l(l + 1)l+k1 ] = 0hacemos k ! k 1

k=0fCk+1 [(l + k + 2)(l + k + 1) l(l + 1)]+Ck [e2 2(l + k + 1)]gl+k = 0

relacin de recurrencia para Ck

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 18 / 33

Ecuacin radial

k=0 Ck [(l + k + 1)(l + k)l+k1 2(l + k + 1)l+k

+e2l+k l(l + 1)l+k1 ] = 0hacemos k ! k 1

k=0fCk+1 [(l + k + 2)(l + k + 1) l(l + 1)]+Ck [e2 2(l + k + 1)]gl+k = 0

relacin de recurrencia para Ck

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 18 / 33

Ecuacin radial

k=0 Ck [(l + k + 1)(l + k)l+k1 2(l + k + 1)l+k

+e2l+k l(l + 1)l+k1 ] = 0hacemos k ! k 1

k=0fCk+1 [(l + k + 2)(l + k + 1) l(l + 1)]+Ck [e2 2(l + k + 1)]gl+k = 0

relacin de recurrencia para Ck

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 18 / 33

Ecuacin radial

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)

Criterio de convergencia: k grandes

Ck+1Ck

!k!

2k

Corresponde a los coecientes de una serie de Taylos de la funcin e2.Entonces

u el+1e2 = l+1e ! para grandesEs necesario cortar la serie para que la solucin radial sea nita.

Existe una kmax determinada tal que Ck+1 = 0

2(kmax + l + 1) = e2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 19 / 33

Ecuacin radial

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)Criterio de convergencia: k grandes

Ck+1Ck

!k!

2k

Corresponde a los coecientes de una serie de Taylos de la funcin e2.Entonces

u el+1e2 = l+1e ! para grandesEs necesario cortar la serie para que la solucin radial sea nita.

Existe una kmax determinada tal que Ck+1 = 0

2(kmax + l + 1) = e2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 19 / 33

Ecuacin radial

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)Criterio de convergencia: k grandes

Ck+1Ck

!k!

2k

Corresponde a los coecientes de una serie de Taylos de la funcin e2.Entonces

u el+1e2 = l+1e ! para grandesEs necesario cortar la serie para que la solucin radial sea nita.

Existe una kmax determinada tal que Ck+1 = 0

2(kmax + l + 1) = e2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 19 / 33

Ecuacin radial

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)Criterio de convergencia: k grandes

Ck+1Ck

!k!

2k

Corresponde a los coecientes de una serie de Taylos de la funcin e2.Entonces

u el+1e2 = l+1e ! para grandes

Es necesario cortar la serie para que la solucin radial sea nita.

Existe una kmax determinada tal que Ck+1 = 0

2(kmax + l + 1) = e2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 19 / 33

Ecuacin radial

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)Criterio de convergencia: k grandes

Ck+1Ck

!k!

2k

Corresponde a los coecientes de una serie de Taylos de la funcin e2.Entonces

u el+1e2 = l+1e ! para grandesEs necesario cortar la serie para que la solucin radial sea nita.

Existe una kmax determinada tal que Ck+1 = 0

2(kmax + l + 1) = e2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 19 / 33

Ecuacin radial

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)Criterio de convergencia: k grandes

Ck+1Ck

!k!

2k

Corresponde a los coecientes de una serie de Taylos de la funcin e2.Entonces

u el+1e2 = l+1e ! para grandesEs necesario cortar la serie para que la solucin radial sea nita.

Existe una kmax determinada tal que Ck+1 = 0

2(kmax + l + 1) = e2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 19 / 33

Ecuacin radial

Ck+1Ck

=2(k + l + 1) e2

(k + l + 2)(k + l + 1) l(l + 1)Criterio de convergencia: k grandes

Ck+1Ck

!k!

2k

Corresponde a los coecientes de una serie de Taylos de la funcin e2.Entonces

u el+1e2 = l+1e ! para grandesEs necesario cortar la serie para que la solucin radial sea nita.

Existe una kmax determinada tal que Ck+1 = 0

2(kmax + l + 1) = e2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 19 / 33

Se tendra una serie divergente para vE ,l a menos que la serie termine paraalgn valor de k = kmax :

e2 = 2(kmax + l + 1)

e2(2mW/h2)1/2 = 2(kmax + l + 1)

E = W = me4

2h2(kmax + l + 1)2

Denimos el nmero cuntico principal

n = kmax + l + 1

Frmula de Bohr (1913)

En = me4

2h2n2, n = 1, 2, 3, ...

y para cada valor de n los valores posibles de l son

l = n k 1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 20 / 33

Se tendra una serie divergente para vE ,l a menos que la serie termine paraalgn valor de k = kmax :

e2 = 2(kmax + l + 1)

e2(2mW/h2)1/2 = 2(kmax + l + 1)

E = W = me4

2h2(kmax + l + 1)2

Denimos el nmero cuntico principal

n = kmax + l + 1

Frmula de Bohr (1913)

En = me4

2h2n2, n = 1, 2, 3, ...

y para cada valor de n los valores posibles de l son

l = n k 1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 20 / 33

Se tendra una serie divergente para vE ,l a menos que la serie termine paraalgn valor de k = kmax :

e2 = 2(kmax + l + 1)

e2(2mW/h2)1/2 = 2(kmax + l + 1)

E = W = me4

2h2(kmax + l + 1)2

Denimos el nmero cuntico principal

n = kmax + l + 1

Frmula de Bohr (1913)

En = me4

2h2n2, n = 1, 2, 3, ...

y para cada valor de n los valores posibles de l son

l = n k 1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 20 / 33

Se tendra una serie divergente para vE ,l a menos que la serie termine paraalgn valor de k = kmax :

e2 = 2(kmax + l + 1)

e2(2mW/h2)1/2 = 2(kmax + l + 1)

E = W = me4

2h2(kmax + l + 1)2

Denimos el nmero cuntico principal

n = kmax + l + 1

Frmula de Bohr (1913)

En = me4

2h2n2, n = 1, 2, 3, ...

y para cada valor de n los valores posibles de l son

l = n k 1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 20 / 33

Se tendra una serie divergente para vE ,l a menos que la serie termine paraalgn valor de k = kmax :

e2 = 2(kmax + l + 1)

e2(2mW/h2)1/2 = 2(kmax + l + 1)

E = W = me4

2h2(kmax + l + 1)2

Denimos el nmero cuntico principal

n = kmax + l + 1

Frmula de Bohr (1913)

En = me4

2h2n2, n = 1, 2, 3, ...

y para cada valor de n los valores posibles de l son

l = n k 1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 20 / 33

Se tendra una serie divergente para vE ,l a menos que la serie termine paraalgn valor de k = kmax :

e2 = 2(kmax + l + 1)

e2(2mW/h2)1/2 = 2(kmax + l + 1)

E = W = me4

2h2(kmax + l + 1)2

Denimos el nmero cuntico principal

n = kmax + l + 1

Frmula de Bohr (1913)

En = me4

2h2n2, n = 1, 2, 3, ...

y para cada valor de n los valores posibles de l son

l = n k 1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 20 / 33

Se tendra una serie divergente para vE ,l a menos que la serie termine paraalgn valor de k = kmax :

e2 = 2(kmax + l + 1)

e2(2mW/h2)1/2 = 2(kmax + l + 1)

E = W = me4

2h2(kmax + l + 1)2

Denimos el nmero cuntico principal

n = kmax + l + 1

Frmula de Bohr (1913)

En = me4

2h2n2, n = 1, 2, 3, ...

y para cada valor de n los valores posibles de l son

l = n k 1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 20 / 33

Se tendra una serie divergente para vE ,l a menos que la serie termine paraalgn valor de k = kmax :

e2 = 2(kmax + l + 1)

e2(2mW/h2)1/2 = 2(kmax + l + 1)

E = W = me4

2h2(kmax + l + 1)2

Denimos el nmero cuntico principal

n = kmax + l + 1

Frmula de Bohr (1913)

En = me4

2h2n2, n = 1, 2, 3, ...

y para cada valor de n los valores posibles de l son

l = n k 1

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 20 / 33

Degeneracin

n = 1 l = 0 m = 0n = 2 l = 1; 0 m = 1, 0; 0n = 3 l = 2; 1; 0 m = 2,1, 0;1, 0; 0n = 4 l = 3; 2; 1; 0 m = 3,2,1, 0;2,1, 0;1, 0; 0Para cada valor de n la degeneracin es

n1l=0(2l + 1) = n2

Tarea: demostrar la ecuacin anterior para la degeneracin del tomo dehidrgeno

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 21 / 33

Degeneracin

n = 1 l = 0 m = 0n = 2 l = 1; 0 m = 1, 0; 0n = 3 l = 2; 1; 0 m = 2,1, 0;1, 0; 0n = 4 l = 3; 2; 1; 0 m = 3,2,1, 0;2,1, 0;1, 0; 0Para cada valor de n la degeneracin es

n1l=0(2l + 1) = n2

Tarea: demostrar la ecuacin anterior para la degeneracin del tomo dehidrgeno

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 21 / 33

Degeneracin

n = 1 l = 0 m = 0n = 2 l = 1; 0 m = 1, 0; 0n = 3 l = 2; 1; 0 m = 2,1, 0;1, 0; 0n = 4 l = 3; 2; 1; 0 m = 3,2,1, 0;2,1, 0;1, 0; 0Para cada valor de n la degeneracin es

n1l=0(2l + 1) = n2

Tarea: demostrar la ecuacin anterior para la degeneracin del tomo dehidrgeno

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 21 / 33

Notacin espectroscpica

Por razones hstticas, los estados se clasican como sigue

l = 0! sl = 1! pl = 2! dl = 3! fl = 4! g

1s ! (n = 1, l = 0)2s ! (n = 2, l = 0)2p ! (n = 2, l = 1)3d ! (n = 3, l = 2)

Unidad de energa "Rydberg"

Ry =me4

2h2= 13.6 eV

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 22 / 33

Notacin espectroscpica

Por razones hstticas, los estados se clasican como sigue

l = 0! sl = 1! pl = 2! dl = 3! fl = 4! g

1s ! (n = 1, l = 0)2s ! (n = 2, l = 0)2p ! (n = 2, l = 1)3d ! (n = 3, l = 2)

Unidad de energa "Rydberg"

Ry =me4

2h2= 13.6 eV

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 22 / 33

Espectro

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 23 / 33

Modelo de Bohr

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 24 / 33

Transiciones

E = Ry

"1n21 1n22

#= h =

hc

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 25 / 33

E = Ry

"1n21 1n22

#= h =

hc

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 26 / 33

Funciones de onda

d2vE ,ld2

2dvE ,ld

+

e2 l(l + 1)

2

vE ,l = 0

= (2m/h2W )1/2

rRE ,l = uE ,l evE ,lEn = me

4

2h2n2

La solucin son los polinomios asociados de Laguerre L

Rnl elL2l+1nl1(2)

= =

q2mW/h2r =

me2

h2nr

Unidad de longitud: Radio de Bohr

a0 =h2

Me2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 27 / 33

Funciones de onda

d2vE ,ld2

2dvE ,ld

+

e2 l(l + 1)

2

vE ,l = 0

= (2m/h2W )1/2

rRE ,l = uE ,l evE ,lEn = me

4

2h2n2

La solucin son los polinomios asociados de Laguerre L

Rnl elL2l+1nl1(2)

= =

q2mW/h2r =

me2

h2nr

Unidad de longitud: Radio de Bohr

a0 =h2

Me2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 27 / 33

Funciones de onda

d2vE ,ld2

2dvE ,ld

+

e2 l(l + 1)

2

vE ,l = 0

= (2m/h2W )1/2

rRE ,l = uE ,l evE ,lEn = me

4

2h2n2

La solucin son los polinomios asociados de Laguerre L

Rnl elL2l+1nl1(2)

= =

q2mW/h2r =

me2

h2nr

Unidad de longitud: Radio de Bohr

a0 =h2

Me2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 27 / 33

Funciones de onda

d2vE ,ld2

2dvE ,ld

+

e2 l(l + 1)

2

vE ,l = 0

= (2m/h2W )1/2

rRE ,l = uE ,l evE ,lEn = me

4

2h2n2

La solucin son los polinomios asociados de Laguerre L

Rnl elL2l+1nl1(2)

= =

q2mW/h2r =

me2

h2nr

Unidad de longitud: Radio de Bohr

a0 =h2

Me2

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 27 / 33

Funciones de onda

d2vE ,ld2

2dvE ,ld

+

e2 l(l + 1)

2

vE ,l = 0

= (2m/h2W )1/2

rRE ,l = uE ,l evE ,lEn = me

4

2h2n2

La solucin son los polinomios asociados de Laguerre L

Rnl elL2l+1nl1(2)

= =

q2mW/h2r =

me2

h2nr

Unidad de longitud: Radio de Bohr

a0 =h2

Me2mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 27 / 33

Funciones de onda normalizadas

nlm

nlm =

s2na0

3 (n l 1)!2n[(n+ l)!]3

er/na0hL2l+1nl1(2r/na0)

iYlm(, )

1,0,0 =

1

pia30

!1/2er/a0

2,0,0 =

1

32pia30

!1/2 2 r

a0

er/2a0

2,1,0 =

1

32pia30

!1/2ra0er/2a0 cos

2,1,1 =

164pia30

!1/2ra0er/2a0 sin ei

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 28 / 33

Signicado del radio de Bohr

Probabilidad de encontrar al electrn en una cscara esfrica de radio r?

Consideremos el estado n con momento angular mximo l = n 1

n,n1,m ' er/na0 rn1Ymn1(, )Zr2drd(n,n1,mn,n1,m) ' e2r/na0 r2ndr

a=1, n=1a=1, n=3

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 29 / 33

Signicado del radio de Bohr

Probabilidad de encontrar al electrn en una cscara esfrica de radio r?Consideremos el estado n con momento angular mximo l = n 1

n,n1,m ' er/na0 rn1Ymn1(, )Zr2drd(n,n1,mn,n1,m) ' e2r/na0 r2ndr

a=1, n=1a=1, n=3

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 29 / 33

Signicado del radio de Bohr

Probabilidad de encontrar al electrn en una cscara esfrica de radio r?Consideremos el estado n con momento angular mximo l = n 1

n,n1,m ' er/na0 rn1Ymn1(, )

Zr2drd(n,n1,mn,n1,m) ' e2r/na0 r2ndr

a=1, n=1a=1, n=3

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 29 / 33

Signicado del radio de Bohr

Probabilidad de encontrar al electrn en una cscara esfrica de radio r?Consideremos el estado n con momento angular mximo l = n 1

n,n1,m ' er/na0 rn1Ymn1(, )Zr2drd(n,n1,mn,n1,m) ' e2r/na0 r2ndr

a=1, n=1a=1, n=3

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 29 / 33

Signicado del radio de Bohr

Probabilidad de encontrar al electrn en una cscara esfrica de radio r?Consideremos el estado n con momento angular mximo l = n 1

n,n1,m ' er/na0 rn1Ymn1(, )Zr2drd(n,n1,mn,n1,m) ' e2r/na0 r2ndr

a=1, n=1a=1, n=3

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 29 / 33

Signicado del radio de Bohr

Probabilidad de encontrar al electrn en una cscara esfrica de radio r?Consideremos el estado n con momento angular mximo l = n 1

n,n1,m ' er/na0 rn1Ymn1(, )Zr2drd(n,n1,mn,n1,m) ' e2r/na0 r2ndr

a=1, n=1

a=1, n=3

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 29 / 33

Signicado del radio de Bohr

Probabilidad de encontrar al electrn en una cscara esfrica de radio r?Consideremos el estado n con momento angular mximo l = n 1

n,n1,m ' er/na0 rn1Ymn1(, )Zr2drd(n,n1,mn,n1,m) ' e2r/na0 r2ndr

a=1, n=1a=1, n=3

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 29 / 33

El mximo est en

ddre2r/na0 r2n = 0

r = n2a0

a0 es el valor ms probable para el estado base. Es una medida del "tamao"del tomo (n = 1). Para valores de n mayores, Se puede demostrar que elvalor de expectacin en el estado n, l ,m

hrinlm =a02[3n2 l(l + 1)]

Tarea, demostrar esto.

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 30 / 33

El mximo est en

ddre2r/na0 r2n = 0

r = n2a0

a0 es el valor ms probable para el estado base. Es una medida del "tamao"del tomo (n = 1). Para valores de n mayores, Se puede demostrar que elvalor de expectacin en el estado n, l ,m

hrinlm =a02[3n2 l(l + 1)]

Tarea, demostrar esto.

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 30 / 33

El mximo est en

ddre2r/na0 r2n = 0

r = n2a0

a0 es el valor ms probable para el estado base. Es una medida del "tamao"del tomo (n = 1). Para valores de n mayores, Se puede demostrar que elvalor de expectacin en el estado n, l ,m

hrinlm =a02[3n2 l(l + 1)]

Tarea, demostrar esto.

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 30 / 33

El mximo est en

ddre2r/na0 r2n = 0

r = n2a0

a0 es el valor ms probable para el estado base. Es una medida del "tamao"del tomo (n = 1). Para valores de n mayores, Se puede demostrar que elvalor de expectacin en el estado n, l ,m

hrinlm =a02[3n2 l(l + 1)]

Tarea, demostrar esto.

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 30 / 33

Algunos valores

Unidad de energa, electrn volt

1 eV = 1.6 1012 ergmec2 = 0.511 MeV

mpc2 = 938.28 MeV

1 = 108 cm

Ry =Me4

2h2= 13.6 eV

Es til acordarse de algunosvalores de constantes fsicas

hc = 1973.3 eV

=e2

hc 1137

a0 = h2/me2

=

hcmc2

hce2

(2000/0.511)(137)' 0.55

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 31 / 33

Energas

En = Ryn2E1 = 13.6 eV

E1 es la energa de ionizacin del hidrgeno.Longitud de onda Compton del electrn

a0 =h2

me2e2

hc

=hmc

= c

.004

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 32 / 33

mfb (IFUNAM) MQ 2014 9-12/2014 33 / 33