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LEONS

L'LFXTRICITMAGNTISME

l'aris. - Imprimerie C.AU l'IllKH-VILI.AKS ET Kll.S, quai des Grands-Augustins,

LEONSSUR

L'LECTRICITMAGNTISME,

PAR

P. DUHEM,CHARG d'un cours complmentaire de PilYSIQUE MATHEMATIQUE

ET DE CRISTALLOGRAPHIE A LA FACULT DES SCIENCES DE LILLE.

TOME ILLES AIMANTS ET LES CORPS DILECTRIQUES.

PARIS,

GAUTHIER-VILLiVRS ET FILS, IMPRIiMEURS-LIBRAIRES

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'COLE POLYTECHNIQUE,Quai des Grands-Augustins, 55.

1892( Tous droits rservs. )

QC

LEONS

L'LECTRICITMAGNTISME.

TOME II,

LIVRE VIL

LES FORCES MAGNTIQUES.

CHAPITRE PREMIER.

PREMIRES DEFINITIONS.

1. Ples magntiques (').

Si l'on fait agir l'une sur l'autre deux aiguilles aimantes trsminces, AB, A'B', on observe que le mouvement pris par l'ai-guille AB peut toujours tre attribu quatre forces : deux sontappliques au point A et diriges suivant les droites A'A, B'A;

(') Les premires ides nettes sur les actions mutuelles des aimants sont dues Tobias Mayer [Theoria magnetica {Gtting. gel. Anz., 1760)] et ^Epinus[Examen theori magnetic a Tob. Mayero proposit {Novi CommentariiAcademi Petropolilan, t. XII, p. 3i5; 1766)].

D. IL X

2 LIVRE Vil. LES FORCES MAGNETIQUES.

deux autres sont appliques au point B et diriges suivant lesdroites A'B, B'B. Les extrmits des aiguilles auxquelles sont ap-

pliques ces forces portent le nom de ples magntiques desaiguilles.

Supposons que A, A' soient, pour nos deux aiguilles, les plesqui, Paris, se dirigent vers le nord, et B, B' les ples qui se

dirigent vers le sud. On dit que les ples A, A' renferment dumagntisme austral et les ples B, B' du magntisme boral.On observe que l'action de A' sur A et l'action de B' sur B sont

toujours rpulsives, tandis que l'action de B' sur A et l'action de A'sur B sont toujours attractives; d'o la loi :

Les ples magntiques de mme nom se repoussent ; les plesmagntiques de noms contraires s'attirent.

L'action qu'un ple magntique. A', par exemple, exerce surun autre ple magntique, A, par exemple, est gale et de senscontraire l'action que le ple magntique A exerce sur le ple A'.Les actions mutuelles des ples magntiques sont soumises la loi de l'galit entre l'action et la raction.Lorsque plusieurs aiguilles aimantes A'B', A"B", ... agissent

simultanment sur une mme aiguille AB, les forces qui sollicitentcette dernire s'obtiennent en composant entre elles les forces quila solliciteraient si elle subissait sparment l'action de l'aiguilleA'B', puis de l'aiguille A"B", ....

L'action qu'un ple magntique A' exerce sur un autre ple ma-gntique A dpend de la distance /' qui spare ces deux ples; elledcrot lorsque cette distance augmente. Tobie Majer avait djsouponn que cette action devait varier comme l'inverse du carrde la distance /. Coulomb (') et, plus tard, Hansteen (-) ont d-montr exprimentalement l'exactitude de cette proposition. Leursexpriences laissent beaucoup dsirer. Nous verrons, au prochainChapitre, comment Gauss a tabli cette loi avec une admirableprcision. Provisoirement, nous laisserons indtermine la fonction

(') Coulomb, Second Mmoire sur l'lectricit' et le Magntisme, o l'ondtermine suivant quelles loix le fluide magntique, ainsi que le fluide lec-trique, agissent, soit par rpulsion, soit par attraction {Mmoires de l'Aca-dmie royale des Sciences pour 1785, p. 578).

(') Hansteen, Lettre M. rsted, professeur l'Universit de Copenhague{Journal de Physique de Delamtherie, t. LXXV, p. 4i8; 1812).

CHAP. I. PREMIRES DKFIMTIONS. 3

de la distance qui rgit l'action nuitiielle de deux ples magn-tiques.

Si, sur le ple austral A d'une aiguille aimante AB, nous faisonsagir successivement, la mme distance R, les ples de mme noma^ a\ a"j ... de diverses aiguilles ab, a'b', a'^b", ... et les plesde nom contraire b, b', b", ... de ces mmes aiguilles, nous obser-\erons que les actions exerces sont diffrentes. Nous reprsente-rons par F, F', F",

...,/, /', /", . ces actions, les actions rpul-

sives F, F', F", . . . tant comptes positivement, et les actionsattractives y, /', /"- tant comptes ngativement.

Lorsque le ple austral A et la distance R ont t choisis unefois pour toutes, ces actions F, F', F", ..

., f, f',f". ... caract-

risent les ples a, ', a", . .., 6, b'^ b", .... On donne ces actions

le nom de masses magntiques ou de quantits de fluide ma-gntique que renferment les ples considrs.

D'aprs cette dfinition, une masse magntique australe estpositis^e; une masse magntique borale est ngative.

On voit aussi, d'aprs cette dfinition, qu'un ple de massemagntique (//i + ni!) quivaut la juxtaposition d'un ple demasse magntique m et d'un ple de masse magntique m'. Unple de masse magntique o quivaut l'absence de ple magn-tique.

L'exprience montre que les masses magntiques de signescontraires, places aux deux ples d'une mme aiguille, sontgales en valeur absolue.

Prenons les ples , ', ", . .., b^ b' ^ b", ... ; plaons-les succes-

sivement une mme distance / d'un mme ple quelconque P.Le ple P subira des actions , O', 4>", . .

.,o, o', o", L'exp-

rience montre que l'on a

Les actions que divers ples d'aimants exercent, une mmedistance, sur un ple quelconque, sont proportionnelles auxmasses magntiques que renferment ces ples.

Il est facile de tirer de l la conclusion suivante :

Soient P et P' deux ples magntiques ; soient m et m' les masses

4 LIVRE VII. LES FORCES MAGNETIQUES.

magntiques qui se trouvent en ces deux ples; soit T l'action queces deux ples exercent l'un sur l'autre la distance /, cette action

tant compte positivement lorsqu'elle est rpulsive et ngative-ment lorsqu'elle est attractive. On pourra crire

T=m/n'/(/-),

/(/) tant une fonction de la distance /', qui est la mme pourtous les ples d'aimants, qui est positive pour toute valeur de /,

qui dcrot lorsque ; augmente.

La fonction ./{?') dpend du choix du ple talon A et de ladistance R; si l'on remplace ce ple et cette distance par un autre

ple et une autre distance, on augmente ou on diminue f{r) dansun certain rapport indpendant de /.

Le choix du ple A et de la distance R est arbitraire; le pluscommode est le suivant : pour distance R, on prend l'unit delongvieur; on choisit le ple A, de faon qu'un ple identique A',

spar du ple A par l'unit de longueur, exerce sur le ple Auneaction rpulsive gale l'unit de force.

D'aprs cette dfinition, on voit que la masse magntique duple A' est gale l'unit. Il en est de mme de la masse magn-tique du ple A. La masse nagntirjue du ple talon A estV unit de masse magntique; elle est dfinie par cette pro-prit : deux masses magntiques gales l'unit, sparespar une longueur gale V unit, exercent V une sur l' autreune action rpulsive gale l^ unit de force.On volt sans peine que cette dfinition quivaut la condition

suivante : la fonction f {?) devient gale V unit lorsque ladistance r est prise gale V unit de longueur.

2. Des lments magntiques. Action d'un aimant sur un ple.

Ce qui prcde ne s'applique qu'aux actions mutuelles des ai-guilles aimantes qui sont trs longues et trs minces. Voicicomment on peut tendre les considrations exposes au prc-dent paragraphe l'tude des aimants quelconques (*).

(') Cette extension est due Coulomb [Septime Mmoire sur l'lectricitet le Magntisme : du Magntisme. Art. XXX {Mmoires de l'Acadmie desSciences, pour 178c), p. 488)].

CIIAP. I. PREMIRES DFINITIONS. 5

Prenons un corps aimant de forme quelconque et dcou-pons-le en lments de volume. Nous admettrons que chacun de ceslments de volume agit sur un ple cl^aimant extrieur Vai-mant comme s'il renfermait une certaine magntique m^ positiveou australe, place en un de ses points a et une masse magntique( ni) gale la prcdente, de signe contraire et place en unpoint h trs voisin de ; en d'autres termes, nous regarderons lesactions de cet lment comme identiques aux actions d'une petiteaiguille aimante place selon ha. Les dfinitions et les proposi-tions donnes dans ce qui prcde pour les aiguilles aimantess'tendront maintenant aisment aux actions exerces par un ai-mant quelconque sur un ple magntique qui lui est extrieur.

Considrons un lment magntique dv ou ba^ et cherchonsson action (') sur la masse magntique M place en A.La masse m, situe en , exerce sur la masse M une action

F = Mm/(/-),

/ dsignant la distance A et la force F tant dirige suivant aK.La masse ( m), situe en h^ exerce sur la masse M une ac-

tionF'= M w /(/'),

/' dsignant la distance ^ A, et la force F' tant dirige suivant 6 A.Si l'on dplace l'un par rapport l'autre le ple A et l'lment,

les forces prcdentes et les actions gales et directement oppo-ses que le ple A exerce sur l'lment effectuent un travail

rfS = Ff//'+ F'c^/-'= Mm [/(r)^/- /(/') rf/-'].

Soit C5(r) une fonction quelconque de r, telle que

nous aurons

tZG = MmS [o(r) o(/'')]-Dsignons par / la direction ba\ par dl la longueur ba; nous

aurons

dr/' = / -j dl = r -{- cos ( /. / ) dl

01

(') Tout ce qui suit est d Poisson [Mmoire sur la Thorie du magntisme{Mmoires de l'Acadmie des Sciences, t. V, p. 347; '824)].

6 LIVRI VII. - LES FORCES MAGNTIQUES.

el, par consquent,

d^ = ~M/ndlS[f{r)cos{r,l)].

Les actions mutuelles d'un lment magntique et d'un pled'aimant admettent un potentiel qui a pour valeur

(i) P = Mmdl/{r) cos(/-, rf/).

Les actions mutuelles d'un aimant quelconque et d'un pled'aimant admettent un potentiel, qui s'obtient en faisant la sommedes potentiels de chacun des lments magntiques sur le ple.

Posons

(^0 'yi)=^f(r)cos(r,l)mdl,

le signe ^ indiquant une sommation qui s'tend tous les l-

ments magntiques qui composent un aimant. La fonction X>i d-finie par cette galit, est ce qu'on nomme la fonction poten-tielle /nagntique de l'aimant au point A.Le potentiel mutuel de l'aimant et d'ime masse magntique M,

place au point A, a alors pour valeur

(3) n = Mt:>.

On voit qu'un lment magntique ne figure, dans l'expressionde la fonction potentielle, que par la direction / et la valeur duproduit mdl.La direction / ou ba est ce que l'on nomme la direction de l'ai-

mantation en un point de l'lment.Le produit mdl est ce que l'on nomme le moment magntique

de l'lment.Soit dv le volume de l'lment, et posons

m dl = D]\. dv.

.')1"L est une quantit qui a, en tout point de l'aimant, une va-leur finie, et que nous nommerons V intensit d'aimantation enun point.On voit, par ce qui prcde, que les actions mutuelles d'un

aimant et d'un ple extrieur cet aimant sont compltementdfinies lorsque l'on connat la grandeur et la direction deVaimantation en tout point de l'aimant.

CHAP. I. PREMIRES DFINITIONS. 7Sur la ligne /, dans la direction de cette ligne, portons une lon-

gueur gale Oli. Soient X, i)b, 3 les projections de cette gran-deur sur trois axes de coordonnes rectangulaires O^r, Oj', Os.Ces trois quantits Jj, al'o, G sont les trois composantes de Vai-mantation en un point de Vlement dv

.

La connaissance de ces trois quantits en tout point d'un ai-mant sufft dfinir l'action de cet aimant sur tout ple extrieur,car l'intensit de l'aimantation est alors donne en tout point parl'galit

DfL = (a.,2 + 1)1.2-1- 2)2

et la direction de l'aimantation est dfinie par

cos(/, x) CAO cos(/, z) =0\L

Ces relations permettent de donner une forme commode lafonction potentielle magntique dfinie par l'galit (2),On a, en efTet,

mdl = dKdv,cos(/-, /) = cos(/', x) cos(/, X) -H cos(/-,_;k) co%{l,y) -t- cos(/-, z) cos{l, z).

Soient x,y, z les coordonnes du point A, et ^, Tj, ^ les coor-donnes d'un point de l'lment d\^. On aura

cos(r, a?) -

,

oxcos{r, y) .. - -, cos(/-, z) =

dr

Si donc, comme nous l'avons dj fait, on dfinit la fonctiono (r) par l'galit

la fonction potentielle magntique au point A aura pour expres-sion

(5) '^{x,y,z) /[-^-*1^--^1-Dans la suite de cet Ouvrage, nous rencontrerons constamment

des expressions de la forme

f\ et/o se dduisant de/et ^, et ^2 de ^ par permutation tournante.

x =

CHAP. 1. PUEMIRES DFINITIONS. 9

(c ^-,^- dLy Les deux ples A et B renferment des masses ma-gntiques M et iM.

Soit di^' un lment de volume de l'aimant; soient (x', y', z') unpoint de cet lment; AJ

,i)l)', 3' les composantes de l'aimanta-

tion en ce point; r la distance de ce point au point A; ;, la dis-tance de ce point au point B.

D'aprs les galits (3) et (5), l'aimant et le ple A ont unpotentiel mutuel

/Il ()o(r) IlIl

x'Il

De mme, l'aimant et le ple B ont un potentiel mutuel

. = _,, /"Il X'^i-' Il rf/.J 11 x IIMais on a

et

.L^^L

MdL^^yidv,

dv tant le volume de l'lment et DL son aimantation.Le potentiel mutuel de l'aimant v' et de l'lment dv a donc

pour valeur

(7) ^=dX^d.fU\x^-\^ d,'.J L II xCette expression peut se transformer de diverses faons. On a

fAII

j\,' ^?(^) ,1^,' ^ ^ - rlLi,' M:^ di^-J dL II dx' dL dxj || ^ dx'

-+--77 / Ma -'-V dvdL dyJ II dxdz r\\ acp(7-)

^dldlj jh^ "x'^ ^' 'ce qui peut encore s'crire, d'aprs l'galit (5), en dsignant par"' (x, y, z) la fonction potentielle de l'aimant v' au point (x^j^ s),

r doir)J dL dx'

10 LIVRE VII. - LES FORCES MAGNETIQUES.

en sorle que l'galit (7) peut s'crire :

(8) e/v> dx

On voit aussi, d'aprs les calculs prcdents, que l'on peut crire

(9) l ^-'^'

J [^ oxx

J y azax

dx dy'

dydy

Ces formules trouves, on obtient aisment, par sommation, lepotentiel des actions mutuelles d'un aimant v et d'un autre ai-mant v' . D'aprs la formule (8), ce potentiel peut s'crire

(10)J II dx

ch.

Il est vident, par raison de sjmtrie, que l'on peut aussi bienl'crire

(10 bis) (P-I\ dx'

dv'.

La forme symtrique de ce potentiel est en vidence dans l'expres-sion que l'on obtient en partant de la formule (9)

l J J \, dx x dx dy

(") \ dy dx dy dy

^.^a/Va

;

^

,

:- C/ U)

r

r

p

dz dx dz dy

dx dz

dydz

ee'p-^-'^]d.d.'.dz dz

Cette dernire formule renferme les lois des forces qui s'exercent

entre deux aimants de forme quelconque. Elle nous montre quetoutes ces lois peuvent tre regardes comme les consquences dela dfinition suivante, que nous conserverons dsormais l'exclu-sion de toute autre, comme dfinition des aimants :

Un aimant est dfini par la connaissance dUine certainegrandeur gomtrique, Vaimantation, affecte chacun despoints de sa masse.

CHAP. I. PREMIERES DEFINITIONS.

Les actions mutuelles de deux aimants rigides admettent unpotentiel donn par Vune quelconque des trois formules qui-valentes (lo), (lo bis) et (i i) ;

'f(/) est une fonction de r, dont

la forme sera dtermine ultrieurement.

Tout ce qui prcde cette dfinition doit tre regard commeune simple introduction cette dfinition.

12)

g 4. Forces qui agissent sur un aimant rigide.

Un aimant rigide v est soumis l'action d'un certain nombred'autres aimants. Les actions qu'il subit peuvent toujours se r-duire une force (X, Y, Z) applique en un certain point O del'aimant, et un couple (L, M, N). On peut aisment calculercette force et ce couple lorsqu'on connat la fonction potentielle

magntique \'/ des aimants agissants.Prenons le point O pour origine des coordonnes et nous trou-

verons, en faisant usage du principe des vitesses virtuelles et dela formule (lo),

Z ^

L =.

M =

N =

-/(

-/(

-/(

-/(

-/(

-/(

aAo

aRo

dy dx

dz dx

M\>dx dy

cAodx dz y

^d^dx dz

^ dydz

o^''

12 U\HE yil. LES FORCES MAGNETIQUES.

g 5. Actions d'aimants loigns. Moment magntique.

Nous terminerons ce Chapitre par deux propositions relatives l'action d'un aimant trs loign sur un ple d'aimant et aux actionsmutuelles de deux aimants trs loigns. Ces propositions nousseront utiles au Chapitre suivant.

Le potentiel d'un aimant sur un ple d'aimant M est donn parles formules (3) et (5). Supposons le ple d'aimant M extrme-ment loign de l'aimant. Soit p la distance d'un point O (H, t), Q,intrieur l'aimant, au ple M. Le terme principal du potentielsera

Posons

( 1 3 ) \= CacIv, B = CmI, dv, G = Ta dv.

La formule prcdente pourra s'crire

p = -m/(,)(a|^b| + c|).Si l'on compare cette formule la formule (i), on arrive la

proposition suivante :

Pour calculer les actions mutuelles d'un aimant et d'unple d'aimant trs loigns l'un de l'autre, on peut remplacerl'aimant par un lment magntique situ en un de ses pointset dont le moment magntique serait la grandeur gomtrique(A, B, C), dfinie par les galits (i3).

La direction de la grandeur gomtrique (A, B, C) porte le nomA' axe magntique de l'aimant ; sa grandeur est le moment ma-gntique de l'aimant.

Le potentiel mutuel de deux aimants est donn par l'galit (i i).Supposons ces deux aimants trs loigns. Soit p la dislance d'unpoint O (i, 7), ^) du premier un point 0'(^', 'o', ^) du second.Dfinissons encore A, B, C par les galits (i3) et posons demme

A' = fx'dv\ B' = f-iiVdi^', C = fe'dv'.

rnVP. I. PREMIERES DEFINITIONS.

Le lerme principal du potentiel mutuel des deux aimants sera

- BA' ^!liP-> + BB' ^44?^ + BC "^ldrl Ot] dr^' dr.dl

d^ or/

LIVRE VII. LUS FOnCES MAGNETIQUES.

CHAPITRE IL

DETERMINATION DE LA LOI DES ACTIONS MAGNETIQUESET DE L'INTENSIT DU MAGNTISME TERRESTRE.

1. Dfinition des lments du magntisme terrestre.

La Terre agit sur les aimants; les premires ides nettes sur cesactions sont dues Coulomb ('), qui en a rsum les lois de lamanire suivante :

L'action F, que la terre exerce un instant donn sur unple magntique de masse m, plac en un point donn, est unegrandeur gomtrique donne par l'galit

F = niT,

T tant une grandeur gomtrique entirement dfinie chaque instant et en chaque point du globe.La direction de la grandeur gomtriqueTest ce que l'on nomme

la direction de U action magntique terrestre; la valeur de TestV intensit du magntisme terrestre.

L'angle que la direction T fait avec le plan horizontal du lieuest ce que l'on nomme V inclinaison ma ef/^f^e; l'inclinaison ma-gntique est compte positivement lorsque la direction T perce leplan horizontal de haut en bas 5 l'inclinaison magntique est po-sitive dans les rgions que nous habitons.

(') Coulomb, Recherches sur la meilleure manire de fabriquer les aiguillesaimantes, de les suspendre, de s'assurer qu'elles sont dans le vritable mri-dien magntique, enfin de rendre raison de leurs variations diurnes rgu-lires {Mmoires des Savants trangers, t. IX, p. i65; 1780). On trouvera unebibliographie trs complte des crits relatifs au magntisme terrestre dansVerdet : Leons sur le magntisme terrestre {uvres de Verdet, t. IV).

CriAP. II. IXTENSITK DU MAGNTISME TERRESTRIi). |5

l^e demi-plan men par la verticale du lieu d'observation et ladirection de la force magntique terrestre, et le demi-plan con-stitu par la portion du mridien gographique situe au nord dela verticale, forment un didre qui porte le nom de dclinaisonmagntique. Si le premier demi-plan est l'orient du mridiengographique, la dclinaison est compte positivement. Dans lesrgions que nous habitons, notre poque, la dclinaison est oc-cidentale, c'est--dire ngative.

Soit O un lieu d'observation. Menons en ce point un systmed'axes rectangulaires constitu de la manire suivante :

L'axe des x est tangent la mridienne du lieu et dirig vers lenord; l'axe des y est tangent au parallle du lieu et dirig versl'est; l'axe des z est vertical et dirig vers le haut. Soient X,Y, Zles composantes, suivant ces trois axes, de l'action magntiqueterrestre. Nous aurons, en dsignant par i l'inclinaison et par ola dclinaison,

X T cost cos,

Y T cosf sino,

Z T sin t.

Soit II la projection de la grandeur T sur le plan horizontal.Nous aurons

H = Tcosf

et les formules prcdentes pourront s'crire

!X :== H cos8,Yr= Hsino,

Z = H tangt.

La quantit II est ce que l'on nomme la composante horizon-

tale de l'action magntique terrestre.A la loi prcdente, qui rsume les observations faites au sujet

de l'action que la terre exerce sur un aimant, on peut substituer

la suivante, qui revient au mme lorsqu'il s'agit seulement decalculer les forces par lesquelles la terre sollicite un aimant, mais

qui peut s'tendre l'tude d'autres phnomnes :

La terre se comporte, en chaque point O qui lui est ext-

l6 LIVIIE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

rieur, comme an aimant dont la fonction potentielle magn-tique t) vrifie en ce point O les galits suivantes :

-, H coso,l dx

! V . .( '2) < -. = H SIIIO,

I-. = H tan"f,

\ az

f , i, tant trois quantits qui ont une valeur donne chaqueinstant et en chaque point du globe et que l'on nomme leslments du magntisme terrestre en ce point.

Ces lments une fois connus, il est facile d'exprimer les lois

de l'aclion de la terre sur un aimant quelconque. Nous suppose-

rons cet aimant assez petit par rapport aux dimensions de la terre

pour que l'on puisse regarder les quantits H, i, S comme des

constantes au voisinage du lieu d'observation. Alors, les trois

premires galits (12) du Chapitre prcdent, jointes aux for-mules (2), donneront pour composantes de la force applique

l'aimant^ = o, Tj = o, ^ = O.

L'action de la terre sur un aimant quelconque se rduit un couple.

On sait comment Coulomb a vrifi celte proposition par l'ex-prience.

Les trois dernires formules (1 2) du Chapitre prcdent, jointesaux galits (2), donnent, pour expressions des composantes de

ce couple,

X = H ( tangt / \)b

CHAP. II. IXTENSIT DU MAGNTISME TERRESTRE. 17

magntique de raimanl suivant les trois axes 0.3?, Oy, Oz,

[ l = H(Btangt+ Csino),(3)

I[x H(Gcoso -t-Atangi),

( V = H(Asino B cos8).

Ces formules servent la dtermination des trois lments dumagntisme terrestre. La dtermination de la dclinaison et del'inclinaison se fait au moyen des boussoles; nous n'tudieronspas ici ces instruments, sur lesquels les traits classiques ren-

ferment des dtails suffisants. Nous nous occuperons seulement

de la dtermination de H.Soit M le moment magntique d'un aimant. La dtermination

de H s'obtient en dterminant successivement, pour ce mme ai-M

mant, les deux quantits MH et '75 On obtient ainsi, non seule-ment la valeur de l'intensit horizontale du magntisme terrestre,mais encore la valeur du moment magntique de l'aimanLNous allons exposer les mthodes qui permettent de dterminer

successivement, pour un mme aimant, les deux quantits MHM

et y.

2. Dtermination de M H.

Coulomb (') a montr le premier comment on pouvait, pour unaimant donn, dterminer le produit de son moment magntique Mpar la composante horizontale du magntisme terrestre H; i aemploy, dans ce but, deux mthodes : l'une fonde sur les loisde la torsion, l'autre sur les lois des petites oscillations. Cette

dernire a reu de Gauss de grands perfectionnements qui la

rendent extrmement prcise; nous allons l'exposer sous la formeque Gauss lui a donne (-).

Considrons un aimant suspendu un paquet de fils de coconde telle faon que son axe magntique soit horizontal. Supposonscet aimant trs peu dvi de sa position d'quilibre et abandonn

(') Coulomb, Septime Mmoire sur l'lectricit et le magntisme : Du ma-gntisme, art. II {Mmoires de l'Acadmie des Science, p. l\bb; 1789).

(') Gauss, Intensitas vis magnetic terrestris ad mensuram absolutam rc-vocata {ommentationes de Gttingue, t. VIII; i84i. Gauss, Werke, Bd. V,p. 81).

D. - H. 2

l8 LIVRK VII. LES FOnCES MAGNETIQUES.

lui-mme. Il excutera, de part et d'autre de sa position d'-quilibre, des oscillations isochrones. Soit t la dure des oscilla-tions, K le moment d'inertie de l'appareil oscillant, S\LdM lemoment du couple qui tend ramener l'aiguille sa positiond'quilibre lorsqu'elle en est dvie d'un angle

CII\P. n. INTENSIT DU MAGNETISME TERRESTRE. Kj

Dans ces conditions, on a

A = M cos( -4- o), B = M sin(M-t- 0).

Le couple, d l'action du magntisme terrestre, qui agit surl'aiguille, a pour composante suivant la verticale, d'aprs la der-

nire galit (3),V = MH siiiM.

L'angle de torsion est (p u) et le couple de torsion a pour mo-ment par rapport l'axe de suspension

e((^ m).

tant une quantit positive qui dpend de la nature du fil, deson tat hygromtrique (influence que l'on limine par des sub-stances desschantes), enfin de la charge que porte le paquet defils.

Le couple qui agit sur l'aimant a pour moment, par rapport l'axe de suspension,

6(t' u) MH sinu.

La valeur w que prend l'angle u lorsque l'quilibre est tabli estdonc donne par l'galit

(5) MH sinw r= e(p w).

C'est cette galit qui servait Couloml) dans la dterminationde MH par la balance de torsion.

Si l'on donne u une valeur (to-|-

LIVRE VII. LES FORCES MAGNETIQUES.

de l'ordre de w-, remplacer sinw par lo et cosw par i. Posonsalors

(7) ^=-r

,el l' gaill (5) deviendraV ta

(5 bis) n ,

tandis que l'galit (6) deviendra

n

Cette valeur, reporte dans l'galit (4 ), donne

(G bis) MH = ^- .

L'quation (o bis) va nous permettre de dterminer la valeur ducoefficient n.

On ne connat, en gnral, aucune des trois directions o-v, BA,OT; on ne connat donc ni w, ni ; mais une disposition spcialepermet de faire varier l'angle de torsion d'une quantit connue.

A cet efl'et, les fils de cocons sont encastrs, leur partie inf-rieure, au centre d'un cercle divis {Jig- 2), tandis que l'lrier

Fig. 2.

qui soutient l'aimant est invariablement li une alidade mobilesur ce cercle. En faisant tourner le cercle d'un angle V de gauche

CHAP. II. INTENSIT DU MAGNTISME TERRESTRE. 21

droite, on augmente d'une quantit connue V l'angle inconnu v.L'aiguille est dvie vers l'est d'un angle , trs exactement obser-vable par la mthode de PoggendorfT. Le nouvel angle to est donc(uy

-h Q), et le nouvel angle r, (p + V). On a alors

(r-l-V) (w -f- 12)(O -+- il

ce qui, compar l'galit (5 bis), donne

V

La quantit n est alors donne en fonction de quantits mesu-rables.

Au lieu de faire une seule fois varier Tangie , on lui donne ungrand nombre de variations, de manire prendre la moyennedes dterminations obtenues pour n. Il est alors ncessaire, l'ex-prience durant trs longtemps, de tenir compte des variationssubies pendant ce temps par la dclinaison terrestre. On tientcompte de ces variations au mojen d'un second appareil semblableau prcdent. Il s'agit d'valuer un terme correctif fort petit; onpeut, dans la lecture des indications du second appareil, ngligerla torsion des fils, qui ne ferait qu'apporter une perturbation trspetite par rapport la valeur dj trs petite de ce terme.

Si l'on dsigne par d la quantit dont on a augment la dclinai-son pendant que a augment de V, on aura

(' d) (io~hii~d)(j

-h il d

ce qui, joint l'galit (5 Ois), donne

V

Si, de mme, S + d' , o +

22 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

11 suffira de prendre la moyenne des quantits

V Q

CIIAP. II. INTENSIT DU MAGNTISME TERRESTRE. i3

leinps considrable, ce que l'on peut faire avec une erreur relativetrs petite.

Ainsi, dans une des expriences cites par Gauss, la dure del'observation a t de io3io,6 secondes. L'erreur commise par unobservateur exerc sur la dlerminalion d'un intervalle de tempsne dpasse pas certainement 0,2 secondes. La dure de l'observa-lion est donc dtermine 0,00002 prs, et il en est de mme dela dure t de l'oscillation. Si, de plus, au lieu de se contenter d'uneseule observation, on dduit les rsultats cherchs de la moyenned'un grand nombre d'observations, les erreurs sur l'valuation dela dure d'oscillation, qui sont des erreurs purement fortuites,s'attnueront encore dans une notable proportion.

Reste dterminer R.L'appareil tant de forme complique, et l'homognit des

diverses pices dont il se compose tant douteuse, on ne peutsonger, pour dterminer K, employer les mthodes analytiques(jui servent au calcul des moments d'inertie. Gauss a donn unemthode exprimentale trs ingnieuse, qui permet d'valuer K;ivec toute la prcision dsirable.

A cet effet, l'trier qui porte l'aimant {fig. 3) prsente, au-dessus de l'aimant, une chape dans laquelle peut glisser une rglede bois.

Fis. 3.

iii^i5z3

Cette rgle porte, sa face suprieure, des pointes trs dlies

dont la distance au fil de suspension est marque avec grand

24 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

soin. Sur ces pointes, on peut, par des anses, suspendre despoids. On place des poids sensiblement gaux des distancessensiblement gales du fil de suspension, de manire que la rglede bois reste rigoureusement horizontale. Cherchons le nouveaumoment d'inertie K, de l'appareil.

Soit G le moment d'inertie inconnu de la barre de bois seule;soient Q et Q' les moments d'inertie des poids P et P' par rap-port des axes verticaux passant par leurs centres de gravit res-

pectifs et, par consquent, par les petites pointes de suspension;soient /',, r'^ les dislances de ces pointes au fil de suspension. Le

nouveau moment d'inertie sera

Kl = K + G -f- Q + Q'+ Pr? + P'r',2.

Suspendons les poids des dislances /'o et t\ des fils de sus-pension; l'appareil prendra un nouveau moment d'inertie

K2 == K + C + Q + Q'+ Pri +- F'/-'/.

Aux trois cas que nous venons de considrer, correspondrontdes dures d'oscillations /, ^), /g, et l'on aura

n -1- I f^

MH =

MH = ,n-r-i tl

n' est la valeur que prend n lorsque les fils de cocon portent nonseulement l'aimant, mais encore la rgle de bois et les poids ad-ditionnels.

Ces trois quations, fournies par trois observations, nous don-neront les trois inconnues K, (C + Q + Q') et MH. Si mme onne veut connatre que MH, on pourra regarder (KH-C+ Q+ Q')comme une seule inconnue et se contenter des deux derniresquations.

Au lieu de deux ou trois observations, on en fait un grandnombre; chacune d'elles fournit une quation, et, de ce grandnombre d'quations, on dduit la valeur des inconnues par lamthode des moindres carrs. Mais, chaque observation isoletant trs longue, l'ensemble de toutes ces observations dure un

temps trs considrable; il est ncessaire de tenir compte des va-

n'

CHAP. II. INTENSIT DU MAGNTISME TERRESTRE. CiS

rialions que subit MH, soit par suite des variatioDS que II prouveavec le temps, soit par suite des variations trs petites que peu-

vent produire sur M les faibles changements de temprature del'observaloire. Nous allons nous proposer de corriger les obser-

vations de manire obtenir la valeur moyenne de MH pendantla premire exprience.

Pendant la seconde exprience, M est devenu Mj et H est de-venu H,. L'quation relative cette seconde exprience doit

donc s'crire

MH =n'-hi M,Hi

MH Tr2[K + (C + Q-^Q') + P/i + P'/-;^1a

Un second appareil, analogue au premier, soumis sensiblementaux mmes variations de temprature que le premier, est plac une distance suffisante du premier pour ne pas exercer sur luid'influence notable. On le fait osciller pendant qu'on eff"ectuesur le premier la premire exprience. Soient v la valeur de n quiconvient au second magntomtre

; y le moment d'inertie del'appareil oscillant; m la valeur moyenne du moment magntiquede l'aimant qu'il porte pendant la dure de la premire exp-rience; H la valeur moyenne de la composante horizontale dumagntisme terrestre pendant le mme temps; x la dure d'oscil-lation. On a

m H '-1

On fait encore osciller ce second magntomtre pendant quel'on effectue sur le premier la seconde exprience ; m ell ayantpris les nouvelles valeurs m, et H,, t prend la nouvelle valeur t,et l'on a

niilii =

Les deux aimants ayant t soumis sensiblement aux mmesvariations de temprature, on peut admettre que l'on a sensible-ment

M_

m

et, par consquent,MH m HMiHi /iHi

L

0.6 LIVRE VII. - LES FORCES MAGNTIQUES.

L'quation relative la seconde exprience devra donc s'crire

tf ttHK -4- (C -4- Q -^ Q') -t- Vr]^P'r\^]MH ='-+- I x^ t'i

Si T, Tt , T2, . . . sont les dures d'oscillation du second magnto-mtre aux poques o l'on effectue sur le premier la premire, ladeuxime, la troisime exprience, . .

.,la valeur moyenne de MH

pendant la premire de ces expriences s'obtiendra en appliquant

la mthode des moindres carrs aux quations

/i + I t^

MU ''' ^ ttHK + (C + Q + Q') + P/1 + P'r'r-]n

-r- I T^ /;

n' Tj TT^K + (C + Q H- Q')-f- P/-.I + P'/-?]Mil = , ^-- , 1

n'-f-i 'J tl

o les inconnues sont K, (C + Q + Q') et MH.On obtiendra ainsi MH avec une extrme prcision.Pour dterminer le rapport ^ .S on peut, au lieu de faire os-

ciller le second aimant, observer l'effort qu'il faut exercer, au

moyen d'une suspension bifilaire, pour le maintenir dans une po-sition invariable. Cette disposition constitue le niagnlonitrf'

bifilaire de Gauss ('), que nous ne dcrirons pas ici.

M 3. Dtermination de H

Poisson (-) a indiqu la mthode qui permet de dterminer,pour un barreau aimant, le rapport du moment magntique lacomposante horizontale du magntisme terrestre : elle consiste

(') Gauss, Ueber ein neues, zunchst zur unmUtelbaren Beobachtung derVernderungen in der Intensitt des horizontalen Theils des Erdmagnetis-inus bestimmtes Instrument (Oauss et Weber, Resultate aus den Beobach-tungen des magnetischen Vereins, p. i ; 1887. Gauss, Werke, V, p. 357). Gauss, Zur Bestimmung der Constanten des Bifilarmagnetonieters {ibid.,p. I ; i84o. Gauss, Werke, t. V, p. 4o'i).

(') Poisson, Second Mmoire sur la Thorie du Magntisme {Mmoire del'Acadmie des Sciences, t. V, p. 620; 1824).

CIIAP. II. INTEXSITK DU MAGNETISME TERRESTRE.

observer la position d'quilibre d'une aiguille, mobile dans vinplan liorizontal, d'abord sous l'action de la terre seule, puis sous

l'action simultane de la terre et du barreau. La mthode indiquepar Poisson supposait connue la forme de la fonction f{r) quientre dans l'expression de la loi des actions magntiques. Gaussa modifi cette mthode de telle faon que, non seulement elle*n'exige plus la connaissance de la fonction /{/')^ mais encore(|u'elle contribue la dtermination de cette fonction.Une aiguille, dont l'axe magntique est horizontal, est sus-

pendue un fl de cocon; si le fil tait sans torsion, l'axe magn-tique de cette aiguille se placerait suivant la mridienne ma-gntique OV (Jlg- 4)' Grce la torsion du fil, si le magntisme

terrestre n'existait pas, l'axe magntique viendrait se placer sui-vant la direction OT. En ralit, sous l'action simultane du ma-gntisme terrestre et de la torsion du fil, l'axe magntique seplace dans la direction BA. Soient c l'angle vOT, to l'angle vOA,

'^0 LIVRE VU. LES FORCES MAGNETIQUES.

m le moment magntique de l'aiguille. Nous aurons, d'aprsl'galit (5),

mH sinw = (p w).

Sur le prolongement de la ligne AB, une grande distance dupoint O, nous plaons un barreau aimant de moment M, de tellefaon que son axe magntique ab soit horizontal et normal BA.L'aimant AB se trouve alors dvi; il vient en A'B'; soit \ l'angleAOA'. Nous allons chercher la valeur de cet angle ). ou plutt dela limite vers laquelle tend cet angle lorsque les deux aimantssont extrmement loigns. Nous savons que, pour trouver cettelimite, il est permis de remplacer les deux aimants par deux l-ments magntiques avant mme direction d'axe et mme momentmagntique que les deux aimants; on peut supposer que l'un deces lments, AB, ait son milieu en O et que l'autre, 6, ait sonmilieu P sur la direction BA.Exprimons que l'aiguille aimante mobile est en quilibre lors-

que son axe magntique est dirig suivant B'A' et que, par con-squent, les actions auxquelles elle est alors soumise ont un mo-ment nul par rapport l'axe de suspension.Le magntisme terrestre exerce une action dont le moment, par

rapport l'axe de supension, a pour valeur

mH sin(a)-H .

Le couple de torsion o>, par rapport au mme axe, un moment

e(p_to_X).

Le ple a de l'lment ab renferme une quantit Q de fluideaustral. Il exerce sur le ple A de l'lment AB, qui renferme unequantit q du mme fluide, une action rpulsive dirige suivanta Pi! et ayant pour valeur

fyQ/(a7).

Le ple b exerce sur le mme ple A' une action attractive,dirige suivant A!b et qui a pour valeur

Le point A' difl're infiniment peu du point A. On peut regarderces deux forces comme ayant sensiblement mme grandeur et mme

THAP. II. INTENSITE DU MAGNETISME TERUESTRE. 29

direction que si le point A' tait en A. On a alors1.

A = 6 A ={r--i- l'-y^,

2 /tant la longueur de l'lment ab et / la distance PA. Posons

Les deux forces considres auraient une rsultante normale AB,dirige vers l'est, et ayant pour valeur

Le moment de cette force par rapport l'axe de suspension, aumoment o son point d'application est venu en A', a pour valeur

2g'Q/(p) -. Ol.cosX.

L'action de l'lment ab sur le ple B est, de mme, une forcenormale AB dirige vers l'ouest. Si /' dsigne la distance PB etsi l'on pose

cette force aura pour valeur

et lorsque le point d'application de cette force viendra en B'; sonmoment par rapport l'axe de suspension prendra la valeur

2^Q/(p') -, .B.cosX.

Soit R la distance OP ; la somme des deux moments prc-dents peut s'crire, en ngligeant les infiniment petits d'ordresuprieur,

3o LIVRE VII. LIS FORCES MAGNTIQUES.

La condition d'quilibre de notre aiguille AB est la suivante :

mil sin(w + X) ()(() w ) mM "A cosX = o.

On peut l'crire

mil sinw cosX ()(v co)-i- mil cosw sinX -+- OX = /M - r cosX.K

Mais les angles to et), sont trs petits; on peut remplacer sinw coslpar sinto en ngligeant les infiniment petits du troisime ordre, etcomme

/n H sin a ( ^ w ) = o,

la condition prcdente devient

mil cosw sinX + GX = m M ^ \- - cosX.

costo sin). peut tre remplac, en ngligeant les infiniment petitsdu troisime ordre, par sin). 5 OX peut tre, au mme degr d'ap-proximation, remplac par f)sin|jL. Si l'on pose

>7l II

l'galit prcdente deviendra

N /(R) M N

-H 1 R H

Telle est la formule qui donne la valeur limite de tang). lorsqueles deux aimants sont infiniment loigns.

Supposons que la fonction /(R) puisse, au moins pour lesvaleurs de R suprieures une certaine limite, se dvelopperen une srie uniformment convergente ordonne suivant lespuissances entires et ngatives de R,

(8) /(R)= A" A, .R/' R/^+i

L'quation prcdente deviendra

,. , >,

N M Aol.m(tangX)R =,=

^j-^ jj -^-.

Supposons les deux aimants situs distance finie ; soit Vv ladistance du centre de figure de l'aimant ab l'axe de suspension.

CIIVP. II. INTENSITE DU MAGNETISME TERRESTRE.

L'angle a aura une valeur lie R par la relation3i

3a LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

pothse exprime par la formule (8), on peut l'crire

,.. ,,, N M Aol.m(tangX)R=.=:j^-^ ^rT^-

Si l'on prend deux aimants situs distance finie, l'angle )/ auraune valeur lie la distance R du milieu des deux aimants par unerelation de la forme

N M Ao B' G'(10) tangX =:^-^ _^^^._+___ + _^^+....

Dans une exprience o R tait toujours gal ou suprieur quatre fois la longueur de l'aimant ab, Gauss a trouv que lung).

et tang // pouvaient tre reprsents par les deux formules

tangX =0,043435 1^- -f- 0,002449 .

tan g X' = o , 086 870 ^-- -i- o , 002 1 8 5 -j-::

La comparaison de ces rsultats de l'exprience nous donne

tansX"langX/R= oo

Or la comparaison des formules (9) et (10) donne

/tan

CtlAP. II. INTENSIT DU MAGNTISME TERRESTRE. 33

est la suivante : la fonction /(/") est, pour toute valeur de /,

proportionnelle -^^

Par dfinition, la fonction /"(/') doit prendre la valeur i en mmetemps que /; on a donc

MCe rsultat obtenu, nous pouvons dterminer tj* Les formules (9)et (10) deviennent, en effet,

,N M I B C

,, 2N M I B' C

Or on pourra, par l'exprience, dterminer avec une grande ap-proximation les coefficients du premier terme des sries qui re-prsentent tangX et tang)/. N pouvant tre dtermin par la m-thode que nous avons indique au l2, on pourra obtenir la valeur

du rapport j pour 1 aimant au.

Sachant, pour un mme aimant, dterminer MH et 73 , on pourraconnatre le moment magntique M de l'aimant et la composantehorizontale H du magntisme terrestre.

JNous avons rduit, dans ce qui prcde, l'expos de la mthodede Gauss ses points essentiels. Bien des dtails pourraient treajouts.Nous avons suppos, dans la dtermination de MH, que les os-

cillations de l'aimant taient infiniment petites. Ces oscillations

peuvent avoir une amplitude assez grande pour qu'il y ait lieu d'entenir compte dans l'expression de leur dure; on pourra le fairepar des mthodes que Gauss a indiques (').

Il est ncessaire de connatre la direction de l'axe magntiquede l'aimant dont on dtermine le moment magntique. Gold-

() Gauss, Anleitung zur Bestimniung der Schwingungsdauer einer Magnet-nadel {Besultate aus den Beobachtungen des mq,gnetischen Vereins, 1887,p. 58. Gauss, Werke, Bd. V, p. 374 ).

D. II. 3

34 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

schmidl (') a montr comment, sur cet aimant, on pouvait placerun miroir dont la normale concidt avec l'axe magntique de Fai-manl.

Enfin, il y a lieu de tenir compte de phnomnes d'inductionmagntique, pour l'tude desquels nous renverrons aux Mmoiresde M. Mascart (2).

(') GoLDSCHMiDT, Auszug aiis sechsjdhrigen tglichen Beobachtungen dermagnetischen Declination zu Goettingen {Ibid., 1889, p. 102).

(') Mascart, liecherches sur le magntisme {Annales de Chimie et de Phy-sique, 6" srie, t. XVIII, p. i; 1889). Sur la mesure du champ magntiqueterrestre {Ibid., t. XIX, p. 289; 1890).

CH.VP. III. FONCTION POTENTIELLE MAGNETIQUE, ETC. 35

CHAPITRE III.

TA FONCTION POTENTIELLE MAGNETIQUE ET LE POTENTIELMAGNTIQUE.

!5 1. La fonction potentielle magntique l'extrieur d'un aimant.

Nous avons vu [Chapiti'e I, galit (5)] que, si dv est un l-ment de volume, de coordonnes 5, yi, ^, intrieur un aimant;si ri,, tH, 3 sont, en un point de cet lment, les composantes del'aimantation, on donne le nom e fonction potentielle magn-tique de cet aimant, en un point (.a;, y^ z) qui lui est extrieur, la fonction

do{r)ch.

La l'onction 'j(r) elle-mme est dfinie de la manire suivante[Chapitre I, galit (4)]

do(r)dr ^-fi.r).

Nous avons admis que l'on avait [Chapitre II, galit (12)]

Nous pouvons donc prendre

et dfinir la fonction potentielle magntique en un point {x,y, z)extrieur un aimant par l'galit

(') ^'^ (^, y, -)ni '^' dv.

Il est vident qu' l'extrieur de l'aimant cette fonction est

36 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

uniforme, finie et continue ainsi que ses drives partielles de

tous les ordres par rapport aux variables a;, y, z. A l'infini, ellese comporte comme une fonction potentielle lectrostatique.

Si, au point (.r, y, z), se trouvait une quantit de fluide ma-

gntique austral gale l'unit, cette masse magntique subirait,de la part de l'aimant, une action dont les composantes X, Y, Z

seraient donnes par les galits [Chapitre I, galit (6)]

^ ^ dx^

dy Oz

L'expression (i) est susceptible d'une transformation trs re-

marquable. Une intgration permet de l'crire

(3) 'C>(a:-,jK,z) =-^ |.l,cos(N,-,;r) __y''^"''^

- dv

,

dS tant un lment de la surface qui limite l'aimant et N, la nor-male cet lment vers l'intrieur de l'aimant.

L'galit (3) peut s'interprter de la manire suivante :Luaginons un fluide fictif, susceptible de se distribuer en des

volumes ou sur des surfaces la manire du fluide lectrique.Supposons que l'on distribue de ce fluide l'intrieur d'un ai-

mant, de manire qu'il ait au point (i, tj, Q une densit solide

(4) P = -

et que l'on distribue aussi de ce fluide la surface de l'aimant

avec une densit superficielle

(5) a = liXcos(N,-, a7)||.

D'aprs la formule (3), la fonction

CUAP. III. FONCTION POTENTIELLE MAGNTIQUE, ETC. 87

ordinaire, que l'on a, en tout point extrieur l'aimant

((}) ^{x,y,z) = o.

La Jonction potentielle magntique est harmonique en toutpoint extrieur Vaimant.

2. La fonction potentielle magntique l'intrieur d'un aimant.

Nous venons d'indiquer quelles sont les proprits fondamen-tales de la fonction potentielle magntique d'un aimant en unpoint (.t:, jK, ^) extrieur cet aimant. Considrons maintenantun point (.r, jk? ^) intrieur l'aimant, et voyons dans quelle me-

sure on peut lui tendre les propositions prcdentes.Pour les points (^, r,, ^) infiniment voisins du point (.r, y^ z),

la quantit - devient infinie. On peut donc se demander si l'in-

tgrale

d'-

dv

conserve un sens.

Entourons le point (i, v], ') d'une petite surface convexe t.

Soit"

, I

J =l

du

l'intgrale s' tendant tous les lments du du volume u com-pris entre les surfaces t et S. La question qu'il s'agit d'examinerest la suivante : l'intgrale J tcnd-elle vers une limite dterminelorsque la surface t se resserre autour du point (^, y, ;;), de ma-nire revenir s'vanouir en ce point par une srie quelconquede formes?

La quantit - tant finie pour tous les points (^, t), Q du vo-lume M, on peut toujours, au moyen d'une intgration par par-ties, amener la quantit J la forme

CI. /TVT ^ \ d^ CI II . /^T X ^^ C I ^=^9J = V UIdCos(N,-, a?) 1 V Xcos(Nj, a?) / -^^ -du.

r

(]ette transformation faite, contractons la surface t.

38 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

Le premier terme de J demeure invariable.Dsignons par di l'angle sous lequel, du point {x^y, 5), oti

voit l'lment

CHAP. III. FONCTION POTENTIEILE MAGNTIQUE, ETC. 89

que nous savions dj tre exacte dans le cas o le point (x, y, z)est extrieur l'aimant.

La fonction potentielle magntique d'un aimant en un pointquelconque est donc la somme des fonctions potentielles ordi-naires au mme point de deux distributions fictives : l'une a pourdensit solide, en tout point intrieur l'aimant, la quantit pdfinie par l'galit (4); l'autre a pour densit superficielle, entout point de la surface de l'aimant, la quantit o- dfinie par l'-galit (5).

Les proprits connues de la fonction potentielle ordinairefournissent alors autant de proprits de la fonction potentiellemagntique. Enumrons ces proprits :

1 Si la quantit p a une valeur finie en tout point intrieur a

l'aimant, la fonction - [x, y^ z) est continue et admet des dri-ves partielles du premier ordre par rapport x, jk, ^, en toutpoint intrieur l'aimant. Ces drives ont pour expression

dx V c/la C0S(]V,-, X)

(7)

dz -S

JId cos(N,-, x)

Jlo cos(Nj, x)

r

dx

d-

J II ^^r

dxdi',

dl/

,cr\\dx

-r- dS -r^ -T di'.dz

2" Si la quantit p admet en tout point intrieur l'aimant desdrives partielles du premier ordre qui soient finies, la fonctionpotentielle magntique V{3C^ y, z) admet, en tout point intrieur l'aimant, des drives partielles du second ordre qui sont finies,

et ces drives vrifient la condition suivante

(8) At?(a.,^,5) = 4Tr( dx dydedz

3" La fonction ' varie d'une manire continue, mme la tra-verse de la surface S, si la densit o- est finie; mais ses drives

partielles subissent une brusque variation au passage de cette sur-

face; suivant une direction tangente la surface S, la drive par-

tielle du premier ordre de la fonction t? n'prouve aucune dis-

continuit la traverse de la surface S ; mais il n'en est pas de

4o LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

m me pour la drive suivant la normale la surface S. SoienlN,-, Ne les deux directions de la normale en un point cette sur-face ; on aura

(9) ||_ + |^^=4^1i"^^cos(N,,^)|l.

4 Nous avons suppos, dans tout ce qui prcde, que lesquan-tis ,.A.,il!>, variaient d'une manire continue d'un point l'autrede l'aimant; il peut arriver que ces quantits soient discontinues

le long d'une certaine surface; celte surface devra alors porter

une distribution de fluide fictif qui aura pour densit

cr = ||cvl>iCOs(Ni,ar)II H ,.1,2 cos (N2, cp)\\,

JLf, 1)1)), G) tant les valeurs de X, il'o, G d'un ct de la surfacede discontinuit; 2, i))2, 2 les valeurs des mmes quantits del'autre ct de la surface; N(, N2 les deux directions de la nor-male cette surface.Aux divers points de cette surface, on aura

(10) 5^+5^2 =|Ul.,, cos(N,,^)|| + |M,2COs(N2,a7)I|.

5 Si l'on place, en un point (^, y, z) intrieur l'aimant, une

quantit de fluide magntique gale l'unit, la distribution fic-tive dfinie par les galits (4) et (5) exercera sur cette masseune action parfaitement dtermine, dont les composantes X,Y, Z seront donnes par les formules

Peut-on noncer cette proposition, ainsi qu'on serait tent dele faire, de la manire suivante : Un aimant exerce sur unemasse magntique gale V unit place en un point int-rieur (x, y, z) une action parfaitement dtermine , dont lescomposantes sont donnes par les formules (i i)?Nous allons voir que cette expression : action d'un aimant

sur une niasse magntique concentre en un point qui lui estintrieur, ne peut avoir aucun sens si l'on admet que la loi donnepar Coulomb et Gauss pour les actions mutuelles des particulesmagntiques demeure exacte, mme pour les particules au contact.

CHVP. m. FONCTION POTENTIELLE MAGNTIQUE, ETC. 4l

L'aimant est limit par une surface S; entourons le point

M(x,y, z) intrieur cet aimant par une petite surface con-vexe a-. Dsignons par A l'aimant donn, dont le volume est v, etpar B l'aimant, de volume , compris entre les surfaces S et '7.

Soit XD [x, y, z) la fonction potentielle au point M de l'aimant B ;soient 3, H, Z les composantes de l'action que cet aimant Bexerce sur une masse magntique gale l'unit place au point M.Le point M n'appartenant pas au volume occup par l'aimant B,on a

xH = Z=

z'

D'aprs les galits (7), la premire de ces deux galits peuts'crire

-Si .1,cos(N/,j:) t-^c?S-Waxa

Z' M 1 (1

Sal,cos(N/, 0?) --di7-hl -Tv"I

" " ^ dx J II d^ dxdu.

Les quantits H et Z sont susceptibles de s'exprimer d'unemanire analogue.

Supposons que l'on contracte la surface 1 autour du point Mde manire qu'elle vienne s'vanouir au point M. La quantitprcdente varie. Si elle tendait vers une limite dont la valeur

ft indpendante de la srie des formes par lesquelles la surface na pass pour venir s'vanouir au point M, novis pourrions dire

que cette limite reprsente la composante parallle Ox de l'ac-tion exerce au point M par l'aimant A. Mais nous allons voirqu'il n'en est pas ainsi.

Examinons sparment les trois termes dont se compose S.Le premier terme ne varie pas lorsque la surface rs varie.L'existence dj prouve de l'intgrale

J II \

d'-

xdv

quivaut ce fait que, lorsque la surface t vient s'vanouir au

point M, la quantit

r\\ dxJ lU - duox

4>. LIVIIK MI. I.KS FORCES MAGNETIQUES.

tend vers une limite finie, indpendante de la srie des formespar lesquelles a pass la surface c.

Mais il n'en est plus de mme du second terme de S,

y-^Il

c.'l,cos(N/,a7)Ilj^ ch.

INous allons dmontrer que, si l'on contracte la surface t de ma-nire qu'elle vienne s'vanouirau pointM par une srie de formesliomothtiqiies les unes des autres par rapport au point M, laquantit prcdente tend vers une limite dtermine, mais que lavaleur de cette limite dpend de la forme initiale de la surface o-.

Prenons, en effet, une des surfaces par lesquelles passe

CII.VP. in. FONCTION POTENTIELLE MAGNTIQUE, ETC.

oui la mme valeur, on verra sans peine que l'on a43

limy = a V cos(N,-, x) cos{r, x) ^

-

44 MVnE VII. LES FORCES MAGNETIQUES.

pour la base B', on a, en tout point,

cos(N,-, x) = I.

Donc, pour notre cjlindre, on a

Sdrs r\ cos(r,x) n cos(r,x)

cos{^,;x)cos{r,x)= S^ ch- \^^

'-di.

Dsignons par to l'angle sous lequel la base B est vue dupoint M, et par lo' l'angle sous lequel la base B' est vue du mmepoint. Il est ais de voir que l'galit prcdente peut s'crire

^ cos{^i,x)cos{r,x)^d(s

,

On voit bien alors que cette quantit dpend de la forme du cy-lindre et de la position du point M dans ce cjlindre.

Ainsi l'expression : action d'un aimant sur une masse ma-gntique concentre en un point qui lui est intrieur n'a aucunsens. C'est une proposition capitale dans l'tude du magntisme;beaucoup d'erreurs ont t commises par les auteurs qui l'ont m-connue.

La plupart des propositions dmontres dans ce qui prcde sontdues Poisson ('), bien que les travaux de Poisson sur ces ques-

tions renferment quelques inexactitudes (-).

3. Du potentiel magntique.

D'aprs ce que nous avons vu au Chapitre 1, et d'aprs la dter-mination de la fonction

'f (/) obtenue au dbut de ce Chapitre, lepotentiel des actions magntiques mutuelles de deuxaimants A, A'

(') Poisson {Bulletin de la Socit Philomathique, dcembre i8i3). M-moire sur la thorie du Magntisme, lu l'Acadmie des Sciences, le 2 fvrier1824 {Mmoires de l'Acadmie des Sciences, annes 1821 et 1822, t. V, p. 247).(') Voir, au sujet des inexactitudes commises par Poisson, notre tude histo-

rique sur l'aimantation par influence {Annales de la Facult des Sciences deToulouse, t. If, 1887).

CHAP. Iir. FONCTION POTENTIELLE MAGNTIQUE, ETC. 45

est susceptible de deux expressions distinctes. On peut l'crire[Cliap. I, galit (i i)]

(,..)

e'AO^A;)

l)bx'

G-.l.'

c)^l

dx dx'

\

X\'^^'

d^

dy dx'

r

z dx'

/

x y'

dydy

+ .1,3'

111,3'

au'o'r

zdy'

'--

dx z

r

dyjz'

dzdz'dv dv'.

chacune des intgrations s'tendant l'un des deux aimants. Onpeut aussi, en dsignant par O la fonction potentielle magntiquede l'aimant A, par t)' la fonction potentielle magntique de l'ai-mant A', donner (P l'une des deux formes quivalentes [Cliap. 1,galits (lo) et (lo bisy\

t/x 'i 'yy il

De ces galits, on dduit

z' Il ^o' Il r II(i3) i = o-hX')'.

Considrons la fonction ^ dfinie par l'galit

ni dO r'\ ()

(6 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

forme ni son aimantation, la quantit / 1 -l,' -,-7 dv' gardera une

valeur invariable. Si donc on dplace l'un par rapport l'autreles deux aimants sans changer leur forme ni leur aimantation, onaura l'galit

qui permet d'noncer le thorme suivant :

Loi'squ'on dplace l'an par rapport Vautre deux aimantsdont on maintient constantes la forme et l'aimantation, lesactions mutuelles de ces deux aimants effectuent un travailgal, au signe prs, la variation que ce dplacement faitsubir la quantit ^T, dfiniepar Vgalit (i5).

Nous donnerons dsormais cette quantit ij le nom e poten-tiel magntique du systme des deux aimants. Cette dfinitions'tend videmment un systme form d'un nombre quelconqued'aimants.

Soit S la surface qui limite le volume v de l'aimant A; soit ]\/ lanormale cette surface vers l'intrieur de l'aimant; soit S' la sur-

face qui limite le volume v' de l'aimant A'; soit N^ la normale cette surface vers l'intrieur de l'aimant. Posons

a^his)

(5 bis)

dXdx

dX'dx'

,=-\\Xcos{^i,x)\\, y = _||,V(N:-, ;r)l

Les galits ('j) nous permettront d'crire

()X

- '-.

l

S,'' d^"^^'^S/'^ i'^s''- (^' ^'^'^'^f/^ -fx"^'^^

r dsignant, dans ces diverses intgrales, les distances respectivesdu point (x, y^ z) aux lments c/S|,

ClUP. ni. FONCTION POTENTIELLE MAGNETIQUE, ETC.

permet lent d'crire

0-

\in runissant ces divers rsultats, on voit que l'galit (l) |)euts'crire

dv'

.

Une intgration par parties permettra de remplacer cette galiic'par la suivante

^^ '- f f ^dvd., -^- f f ^^dv'd.\

Cette galit (i6) nous dmontre une importante proposition

48 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

potentiel des actions mutuelles de ces charges Jicti^'es sera pr-cisment gal au potentiel magjiticpie du systme.

Ainsi, il est permis de substituer des aimants la distributionfictive dfinie par les galits (4 his) et (5 bis), non seulementlorsqu'on veut calculer les actions que ces aimants exercent sur unple magntique extrieur, mais encore lorsque l'on veut calculerles actions qu'ils exercent les uns sur les autres.

L'galit (i6) donne ^ une forme analogue celle d'un poten-tiel lectrostatique. Les proprits connues du potentiel lectro-statique vont nous j)ermeltre de donner une nouvelle forme cetteexpression de ^. Remarquons que la distribution fictive dontj estle potentiel a pour fonction potentielle ordinaire la fonction po-tentielle magntique V, et nous pourrons crire [Livre I, Cliap. IX,galit (9)] :

l'intgration s'tendant tout l'espace.

Cette galit (17) nous montre que^T^st essentiellement positif, moins que l'on n'ait dans tout l'espace

CHAP. III. FONCTION POTENTIELLE MAGNTIQUE, ETC. {gen lout point intrieur chacun des aimants Tgalit

()-l, dWU ()3

5o LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

O "k reprsente une constante arbitraire, dfinit dans l'espaceune famille de surfaces. Nous donnerons ces surfaces, que nousaurons souvent considrer, le nom de sur/aces isodynamiques.Une charge magntique, parcourant les divers points d'une sur-face isodjnamique extrieure aux aimants, subit de la part de cesaimants une force dont la valeur absolue ne varie pas.

M 199

CH.VP. IV. DISTRIBUTIONS EQUIVALENTES A UN AIMANT.

CHAPITRE IV.

LES DISTRIBUTIONS FICTIVES QUIV\LENTES A UN AIMANT.

1. Les distributions fictives quivalentes un aimant.

Ayant un aimant, limit par une surface S, imaginons qu'l'intrieur de cet aimant, ou bien sur la surface S elle-mme, ondistribue un certain fluide fictif jouissant des proprits sui-vantes :

1 Une quantit q de fluide fictif, situe une distance /' d'unequantit M de fluide magntique, exerce sur ce dernier une forcerpulsive qui a pour valeur

et rciproquement.2 Deux quantits q et ^'de fluide fictif, situes la distance /

Tune de l'autre, exercent l'une sur l'autre une action rpulsive

Soit

la fonction potentielle ordinaire de ce fluide fictif.Supposons que nous ajons pu, la surface de l'aimant ou

son intrieur, distribuer du fluide fictif de manire que la fonctionpotentielle ordinaire du fluide fictif soit, en tout point extrieur Vaimant, gale la fonction potentielle magntique de l'ai-mant. Nous dirons que nous avons obtenu une distribution fic-tive quivalente l'aimant.

La distribution dfinie par les galits (4) et (5) du Chapitre

52 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

prcdent nous offre un exemple de distribution fictive quiva-lente l'aimant.

Cette dernire distribution fictive possde cette proprit, quesa fonction potentielle ordinaire est gale la fonction potentielle

magntique de l'aimant, non seulement dans le champ extrieur l'aimant, mais encore en tout point intrieur l'aimant. Elleest d'ailleurs la seule, parmi les distributions fictives, qui possdecette dernire proprit, car il est vident que deux distributionsfictives qui ont, dans tout l'espace, la mme fonction potentielleordinaire sont identiques.

Ainsi, en gnral, lorsqu'on aura trouv une distribution fic-

tive quivalente un aimant, la fonction potentielle ordinaire de

cette distribution, identique la fonction potentielle de l'aimant

en tout point situ l'extrieur de l'aimant ou sa surface, endiffrera aux points situs l'intrieur de l'aimant.

Une distribution fictive quivalente un aimant exerce lamme action que Vaimant sur tout ple magntique extrieur cet aimant.

A cette proposition, qui rsulte immdiatement de la dfini-tion d'une distribution fictive quivalente un aimant, nous ajou-terons la suivante, qui est un peu plus cache, et que nous avons

dj dmontre au Chapitre prcdent pour la distribution fictiveparticulire que nous y avons tudie :

Les actions mutuelles de deux aimants sont les mmes quecelles de deux distributions fictives, respectivement quiva-lentes ces deux aimants.

Soient A et A' deux aimants; soient X9 et 'O' leurs fonctionspotentielles magntiques. Le potentiel magntique de ces deuxaimants a pour valeur, d'aprs l'galit (ly) du Chapitre prc-dent,

^=^( f'n\DdV'+- CuVdv^ nX)dv'-^ WO'dv'-+- fnvdv"-h fn\D'dv"^i fY-?-^-?'Adv

/- Il ^dtr

|| , , rII^ ^' d"\

CHAP. IV. DISTRIBUTIONS QUIVALENTES A UN AIMANT. 53

A" tant l'espace extrieur aux deux aimants et dv" un lmentde cet espace.

D'autre part, si nous considrons deux distributions fictivesrespectivement quivalentes aux deux aimants A et A'; si U et U'sont leurs fonctions potentielles ordinaires, le potentiel des ac-

tions mutuelles des deux distributions fictives sera

Y=-/-/ fui]dv-\- CnUdi'-^ fuVdv'^ fai]'di>'''^ VA

-'a -V -^A'r r r\'di] dU' '\

rIIdV dV

II ^ , r II '^u dij' |i ,

J , I OX OX II JK"\\ "-^ '^'^ I'

Il s'agit de prouver que, si l'on dplace les deux aimants, l'unpar rapport l'autre, sans altrer leur forme ni leur aimantation,on aura

8iT = oY.

Or, en premier lieu, on a, dans les espaces A' et A",

1') = U,

et, dans les espaces A et A",t')'=U'.

En second lieu, les termes

fuvdv, f nu di>, fnXD'di', fnu'dv',^K ''a ^A' '',V

irent invariables dansdonc, toute rduction faite,demeurent invariables dans la modification dont il s'agil. On a

dV \ dVYU~dx ) dx \\

dv

rII

fd-o' dV\ dx)Il ,

;i

Jy II \ ''^ OX J X \\ J

Le thorme de Green permet de transformer la quantit entrecrochets en

+ f {U 0)V'dv-h f {{]' - V )W dv'

.

54 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

Mais, en tout point de la surface S, on a

U t') = o;

en tout point de la surface S', on a

U' iT^o;

tout point de l'aimant A tant extrieur l'aimant A', on a,en tout point de l'aimant A,

At)'=o;

tout point de l'aimant A' tant extrieur l'aimant A, on a,

en tout point de l'aimant A',

At') = o.

On a doncJ SY = o,

ce qui dmontre la proposition nonce.tant donn un aimant, on peut trouver une infinit de distri-

butions fictives quivalentes cet aimant. Toutes ces distributions

prsentent cette proprit : La quantit totale de fluide fictijquiforme une distribution quivalente un aimant donn estla mme pour toutes les distributions quivalentes cet ai-mant.

Cette proposition peut se dmontrer bien aisment de la ma-nire suivante :

Soient un aimant limit par une surface S et une distributionquivalente cet aimant. Cette distribution, qui renferme unequantit Q de fluide fictif, a une fonction potentielle ordinaire U.

Entourons l'aimant d'une surface ferme S' {flg- 7). Soit N^ lanormale extrieure cette surface ferme. D'aprs les lemmes deGausS; on a

Mais, en tout point extrieur l'aimant, la fonction potentielle

ordinaire de la distribution fictive est identique la fonction po-

tentielle magntique t) de l'aimant. On a donc

CHAP. IV. DISTRIBUTIONS QUIVALENTES A UN AIMANT. 55

Cette galit montre que, conformment la proposition non-ce, la quantit Q est dtermine quand l'aimant est connu; elleest la mme pour toutes les distributions fictives- quivalentes un mme aimant.

Fig. 7.

S'

Pour calculer la quantit Q, nous pouvons, d'aprs le tho-rme prcdent, prendre une distribution fictive quelconque qui-valente cet aimant, par exemple la distribution fictive tudieau Chapitre prcdent, qui a, en tout point intrieur l'aimant,une densit solide

et, en tout point de la surface de l'aimant, une densit superfi-cielle

(2) a=:-||.^cos(N,-,a7)lI.

Pour cette distribution, on aura

On peut intgrer immdiatement le premier des deux termesqui composent Q; on le trouve gal et de signe contraire au se-cond ; on a donc

Q = o.

D'o la proposition suivante :

Toute distribution fictive quivalente un aimant renfermeautant de fluide fictifpositif que de fluide fictif ngatif

.

56 MVRE VI!. LES FORCES MAGNTIQUES.

2. La distribution superficielle quivalente un aimant et leproblme driv de Lejeune-Dirichlet.

La disiribulion fictive particulire dfinie par les galits (i)

et (2) comporte du fluide fictif distribu l'intrieur de l'aimantet du fluide fictif distribu sa surface. Dans certains cas, cettedernire distribution existe seule. C'est ce qui arrive, par exemple,

si l'aimantation est uniforme. On dit que l'aimantation d'un corpsest uniforme lorsque l'intensit de l'aimantation a la mme gran-deur et la mme direction en tous les points de l'aimant. Les troisquantits al., i)\), S ont alors des valeurs indpendantes de .r, j', 5,en sorte que l'on a

d.%_

d\s\^_

dZ_

Ox ^ Oy ^ z

et, par consquent,p = o.

Dans ce cas, la distribution superficielle quivalente l'aimant

a pour densitff =

Ilr,il,cos(N/, x)\\.

Il est ais d'en obtenir une reprsentation gomtrique. Don-nons la surface S qui limite l'aimant une translation infiniment

petite parallle l'aimantation uniforme (-1., ii), S) de l'aimant.Soit S' la nouvelle position de la surface S. La densit superfi-

cielle T en un point de la surface S sera proportionnelle la dis-

tance de ce point la surface S', cette distance tant comptepositivement lorsqu'au voisinage du point considr la surface S'est extrieui^e la surface S.

D'une manire plus gnrale, la distribution superficielle existeseule toutes les fois que -l>, ill), 3 varient l'intrieur de l'aimanl,de telle sorte que l'on ait en tout point

dX ^\\^^ dB-

-h -. H -V- = O.ox oy z

Un tel aimant est ce que Sir W. Thomson ( ' ) nomme un aimant

(') Voir Chapitre VU, 1.

CHAP. IV. DISTRIBITIONS KyUlVALEXTKS \ LX AIMANT. 67

solnoidal; lorsque nous tudierons, au Livre VIII, la ihorie,donne par Poisson, de l'aimantation par influence, nous verronscombien est importante l'tude des aimants solnodaux.Dans le cas o l'aimant est solnoidal, son action extrieure est

la mme que celle d'une distribution fictive purement superficielle,dont la densit est donne par l'galit (2).Dans tous les cas possibles, on peut trouver d'une et d'une

seule manire une distribution fictive, entirement rpanduesur la surface d'un aimant et quivalente cet aimant. Seule-ment, dans le cas o l'aimant n'est pas solnoidal, la densit su-perficielle de cette couche fictive n'a plus la valeur donne parl'galit (2).La dmonstration de ce thorme rsulte immdiatement des

principes poss au Livre III, Chapitre V, 1, 2 et 3. Nous avonsvu, en effet, que Ton pouvait, d'une et d'une seule manire, distri-buer une quantit donne de fluide (elle est ici gale o) sur unesurface S, de telle manire que la fonction potentielle de ce fluidesoit identique, l'extrieur de la surface S, une fonction harmo-nique donne, qui est ici la fonction potentielle magntique t;; del'aimant.

Un aimant tant donn, comment dterminera-t-on cette distri-bution superficielle qui lui est quivalente? La rponse cettequestion dpend de la manire dont l'aimant est donn.

Si l'on se donne l'aimantation en chaque point de l'aimant, onpourra calculer la valeur de la fonction potentielle magntique entout point de l'espace extrieur l'aimant ou de sa surface; ilsuffira alors de rsoudre le problme de Dirichlet pour l'espaceintrieur l'aimant, et l'on connatra la distribution superficiellequi lui est quivalente, conformment aux principes qui ont texposs au Livre III, Chapitre V.On oprera encore de mme si, au lieu de se donner l'aimantation

en chaque point de l'aimant, on se donne directement la fonctionpotentielle magntique dans tout l'espace extrieur cet aimant.

Si l'on se donne seulement la valeur de la fonction potentiellemagntique aux divers points de la surface de l'aimant, on aura,pour dterminer la distribution superficielle qui lui est quivalente, rsoudre le problme de Dirichlet pour l'espace extrieur l'ai-mant et pour l'espace intrieur l'aimant.

58 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

Ce n'est sous aucune de ces formes que se pose le problme un physicien auquel on donne un aimant rel et auquel on demandede dterminer la distribution superficielle quivalente cet ai-mant.

Ce physicien n'a aucun moyen de dterminer la grandeur et ladirection de l'aimantation en chaque point intrieur l'aimant; iln'a, non plus, aucun moyen de dterminer la valeur de la fonctionpotentielle magntique aux divers points du champ magntique oude la surface de l'aimant. Tout ce qu'il peut dterminer, par desmthodes que nous tudierons au paragraphe suivant, ce sont lescomposantes X, Y, Z de l'action que l'aimant exercerait sur unple magntique gal l'unit plac en un point [x, y, z) ext-rieur l'aimant et pas trop loign de l'aimant.On sait que ces composantes sont lies la fonction potentielle

magntique par les relations

V- - d-ox Oy oz

On voit donc que l'exprience permet seulement de dterminerles drives partielles de la fonction potentielle magntique auxdivers points du champ.Ds lors, voici sous quelle forme se prsentera, pour le physi-

cien, le problme qui consiste dterminer la distribution magn-tique superficielle quivalente un aimant.Ayant dterminpar Vexprience la valeur que prend, aux

divers points extrieurs Vaimant et infiniment voisins de sasurface S, la drive

-^rr de la fonction potentielle magntiquesuivant la normale extrieure Vaimant, trouver la distribu-tion superficielle fictive qui quivaut cet aimant.

Soit U la fonction potentielle de la distribution fictive cherche.Considrons l'espace extrieur l'aimant. Dans cet espace, lafonction U est harmonique ; l'infini, elle se comporte comme unefonction potentielle; sur la surface S, -rrp prend des valeurs don-

Nous savons (Livre II, Chap. V, 3) qu'il existe une seulefonction U satisfaisant ces conditions. Dterminer cette fonction,c'est rsoudre, pour l'espace extrieur la surface S, le problme

CHAP. IV. DISTRIBUTIONS QUIVALENTES A UN AIMANT. 5)

auquel nous avons donn le nom e problme driv de Lejeune-Dirichlet.

Ce problme rsolu, nous connatrons les valeurs u que prend Usur la surface S. Envisageons l'espace intrieur la surface S. Lafonction U est harmonique dans cet espace et elle prend, sur lasurface S, des valeurs donnes u. U n'existe qu'une fonction U quisatisfasse ces conditions; elle s'obtiendra en rsolvant, pour

l'espace intrieur la surface S, le problme de Lejeune-Diri-chlet.

La fonction U tant alors connue dans tout l'espace, la densit tdu fluide fictif en un point quelconque de la surface S s'obtiendrapar la formule

(3)i.

()o LivnE vir. LES fokcks magntiques.

l'espace extrieur l'aimant; il est inutile de rsoudre le problmede Lejeune-Dirichlet pour l'espace intrieur l'aimant.

3 Pendant trs longtemps, les physiciens, et notamment Jamin,ont eu l'gard de la dtermination de la couche fictive quiva-lente un aimant les ides les plus errones. Ils prenaient simple-ment, pour expression de la densit de cette couche fictive,

,_i_ t^

Cette expression ne pourrait tre exacte, comme on le voit en \n

comparant l'galit (3), que si l'on avait, en tout point de la sur-

face de l'aimant,

La fonction U serait alors harmonique l'intrieur de la surface Set vrifierait l'galit (4) en tous les points de la surface S. D'aprsce que nous avons vu (Livre II, Chap.V, 3), toutes les fonctions Uqui satisfont ces conditions l'intrieur de la surface S ne diff-rent les unes des autres, l'intrieur de cette surface, que par une

constante. Comme d'ailleurs la fonction U = o satisfait ces con-ditions, on voit que toute fonction qui satisfait ces conditions

est constante l'intrieur de la surface S et sur la surface S elle-

mme. La couche fictive serait en quilibre d'elle-mme sur la sur-face S.

La couche fictive renferme autant de fluide fictif positif que defluide fictif ngatif; nous savons qu'une semblable couche nepourrait tre en quilibre d'elle-mme sur la surface S sans que sadensit ft gale o en tout point de cette surface. Ainsi l'hypo-thse admise par Jamin pour la dtermination de la couche fictivequivalente un aimant ne serait exacte que si la densit de lacouche fictive tait, en tout point, gale o, cas auquel l'aimantn'aurait aucune action sur les points extrieurs.

3. Mthodes exprimentales pour l'tude de la distribution fictive.

Nous avons vu que, pour qu'il soit possible de dterminer ana-lytiquement la distribution superficielle fictive qui quivaut unaimant, il tait ncessaire, tout d'abord, de dterminer expri-

CHAP. IV, DISTRIBUTIONS EQUIVALENTES A UN AIMANT. 6i

mentalement la valeur de -r^ aux divers points de l'aimant. Les

mthodes qui servent cette dtermination peuvent se classer endeux tjpes :

i" La mthode de Coulomb;vi" La mthode de Van Rees.LIne autre mthode, dite mthode de Varrachement , a t

propose par Jamin ('), et employe par ce physicien et parM. Duter. Nous verrons plus loin (Livre IX, Chap. IX, 4)

.11 , 1 , . d^)cfue cette mthode ne neut servu- a dterminer t^t*

i" Mthode de Coulomb ('-). Supposons qu'une aiguille ai-mante, fine et trs longue, soit suspendue au fil de cocon de labalance de torsion. Elle est en quilibre sous l'aclion de la terredans une certaine position horizontale AB {^fig. 8). La torsiondu fil a une valeur inconnue.

Fi g. 8.

On approche l'aimant pour lequel on veut dterminer la valeurd

62 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

L'orientation de l'aiguille est alors modifie-, par un contrepoidset par une torsion convenable du fil de suspension, on ramnel'aiguille sa position primitive.

Soit DV^ le moment magntique que possdait l'aiguille ABavant l'approche de l'aimant. Soit l'angle que la direction BAfait avec le mridien magntique vers l'est. Soit lo l'angle de tor-sion du fil lorsque l'aiguille est en quilibre d'elle-mme en AB;w est compt positivement dans le mme sens que . Au momento l'aiguille est en quilibre, on a

011 H sin-h 6co = o,

8 tant le coefficient d'lasticit de torsion du fil.L'aimant tant plac, l'aiguille ramene en AB, soit tj. la masse

magntique concentre au ple A de l'aiguille. Supposons quel'aimant exerce sur une masse magntique gale l'unit uneforce F, dont la composante suivant MA ou N^ soit F^. Suppo-sons, en outre, l'aimant plac de telle manire qu'il tende dvierl'aiguille BA vers l'est. Soit a l'angle (il sera ngatif) dont on ad augmenter la torsion pour ramener l'aiguille en AB. Soit 2 /lalongueur de l'aiguille AB. La nouvelle condition d'quilibre del'aiguille sera, en ngligeant l'action de Vaimant su?- le ple B,

0,1x111 sin8 4-FN[J.^-t-(w-Ha) = o.

La distribution magntique sur l'aiguille place en prsence del'aimant n'est pas forcment la mme que sur l'aiguille soumiseseulement l'action terrestre. Le moment magntique 011 n'estpas forcment gal au moment magntique 2[ji./.Nous admettrons que les variations subies par Vaimanta-

tion de Vaiguille lorsqu'on Vapproche de l'aimant tudiersont ngligeables. Nous aurons alors

et nos deux quations d'quilibre nous donneront

F>4--a=o.

Nous obtiendrons ainsi la composante, suivant la normale lasurface de l'aimant, de l'action que l'aimant exerce sur une masse

CHAP. IV. DISTRIBUTIONS QUIVALENTES A UN AIMANT. 63

magntique gale l'unit place au point A; mais, dans la dfi-nition de cette action, il ne faut pas oublier que la distribu-lion sur l'aimant est celle qui se produit en prsence de l'ai-guille AB. Nous admettrons que Vapproche de Vaiguille ABne modifie pas sensiblement la distribution magntique surCaimant tudi. Moyennant celte nouvelle approximation, laforce Y^ sera bien celle qui est produite parla distribution magn-tique que l'on veut tudier sur un ple d'aimant gal l'unilinfiniment voisin de la surface de l'aimant. On aura donc bien

T^ ayant la mme signitication que dans les raisonnements quiprcdent.

Ainsi, moyennant des approximations dont il est assez difficiled'apprcier le degr d'exactitude, la mthode de Coulomb four-nil les donnes exprimentales qu'il est ncessaire de connatrepour tudier la distribution fictive du magntisme.Coulomb a aussi employ, pour mesurer la force Fi^, au lieu de

la balance de torsion, une mthode fonde sur la dure des oscil-lations d'une petite aiguille en prsence de l'aimant. La mthodepeut tre justifie peu prs par les mmes considralions que laprcdente ; elle est soumise aux mmes approximations.

2 Mthode de Van Rees, modifiepar MM. Mascart etJou-bert. Van Rees a eu le premier l'ide d'avoir recours aux ph-nomnes d'induction lectromagntique pour tudier la distribu-tion du magntisme. 11 a employ cette mthode, comme nous leverrons au Chapitre suivant, dans l'examen des aimants linaires.MM. Mascart et Joubert (') ont montr comment on pouvait mo-difier cette mthode, de manire en faire usage pour l'tude dela distribution magntique sur des aimants quelconques.

Prenons un trs petit circuit ferm, plan, d'aire Q. Dplaons-ledans le champ magntique d'un aimant. Soit N la normale laface positive de ce petit circuit. A l'instant

64 LlVRIi: VII. LKS FORCKS MAGNTIQUES.

d'induction C, qui a pour valeur (') [Livre XV, Chap. III, ga-Iit(7)],

dN \Ti dt d^

expression qui est exacte, soit que l'aimantation de l'aimant aitvari pendant ce dplacement, soit qu'elle n'ait pas vari.

Cela tant, relions par un double fil le petit circuit un gal-vanomtre balistique (Livre XII , Chap. Vil) plac trs loin del'aimant. Plaons initialement {fig. 9) ce petit circuit trs prs

de l'aimant, de manire que son plan soit parallle au plan tan-gent en M la surface de l'aimant et que la normale N sa facepositive concide avec la normale Ng. Le fil n'est parcouru paraucun courant; l'aimant est donc dans son tat naturel; la valeur

initiale (-rir de -r^, est donc bien la quantit -tt- cf ne nous voulons

dterminer.Enlevons rapidement le petit circuit pour ne l'arrter qu'

une distance extrmement grande de l'aimant; la valeur finale'dV\

dedV

,^, , v^v. ^iTr est extrmement petite.

Le petit circuit est l'tat neutre au dbut de l'exprience et la fin. Soit E la force lectroraotrice dont ce circuit serait le sige l'instant f, si le courant qui le traverse tait uniforme. Soit R

(') tj esl la constante fondamentale des actions lectromagntiques.

CHAP. IV. DISTRIBUTIONS QUIVALENTES A UN AIMANT. C)

la rsistance totale du systme dont il fait partie. Il rsulte desconsidrations qui seront exposes au Livre XIV, Chapitre VII,que la quantit totale Q d'lectricit mise en mouvement dansnotre petit circuit peut se calculer par la formule

Mais on a^-JE^C

Edt.

C' tant la force leclromotrice intgrale que le circuit induiraitsur lui-mme l'instant t, si le courant qui le traverse tait toutinstant uniforme.

Le circuit tant indformable, le courant qui le traverse tantgal o, au dpart comme l'arrive, on a

/ C'd/ = o.

11 reste donc

ou, d'aprs ce qui prcde,

Le galvanomtre balistique permettant de connatre Q, nous

pourrons connatre-.-^ par une mthode qui n est plus soumise

aux approximations incertaines de la mthode de Coulomb.

dN,]

D. - II.

66 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

CHAPITRE Y.

LE PROBLME DRIV DE LEJEUNE-DIRICHLET.

1. Le problme driv de Lejeune-Dirichlet pour les cylindres.

Nous avons vu que la dtermination, d'aprs les donnes exp-rimentales, de la distribution magntique fictive quivalente unaimant plein conduisait rsoudre, pour l'espace extrieur cetaimant, le problme driv de Lejeune-Dirichlet. Ce problmes'nonce de la manire suivante :

Soitp la surface de Vaimant; soit N^ la normale extrieure cette surface; on demande de trouver une fonction x?, harmo-nique dans tout l'espace extrieur la surface S, se com-portant Vinfini comme une fonction potentielle et telle que

-^ prenne sur la suiface S des valeurs donnesfinies, variables

d^une manire continue.

Il serait dsirable que l'on et, pour rsoudre ce problme, desmthodes aussi puissantes que celles qui ont t cres pour r-soudre le problme mme de Dirichlet. Malheureusement, il s'enfaut bien qu'il en soit ainsi, et l'on ne sait rsoudre le problmeen question que dans quelques cas assez particuliers.

Supposons, en premier lieu, que l'aimant ait la forme d'un cy-lindre pratiquement trs long et thoriquement illimit, dont lesgnratrices sont parallles l'axe des 5, et admettons que l'ai-mantation de cet aimant soit la mme en tout point d'une lignequelconque parallle l'axe des z. La fonction potentielle magn-tique " sera alors indpendante de z.

Soit L le contour de la section du cjlindre par le plan XOY.

CHAP. V. LE PROBLME DRIV DE LEJEUNE-DIRICHLET. 67

Soit Nff la normale la courbe L vers l'extrieur de l'aire limitepar cette courbe. Le problme propos se rduira alors celui-ci :

Trouver une fonction t? des deux variables x et y, harmo-nique en tout point de l'aire plane illimite extrieure lacourbe L, se comportant Vinfini comme une fonction poten-

tielle et telle que-y^prtine, en tout point de la courbe L, des

valeurs donnes,finies, variables dUine manire continue.

Ce problme n'est autre chose que le problme driv de Le-jeune-Dirichlet, rduit au cas de deux variables.

Or, dans ce cas, si l'on sait rsoudre le problme de Lejeune-Dirichlet pour traire illimite extrieure la courbe L, onsait, pour la mme aire, rsoudre le problme driv de Le-jeun e-Dirich let

.

Commenons par dterminer une fonction v{x^y)^ harmoniqueen tout point de l'aire illimite extrieure la courbe L, se com-portant linfni comme une fonction potentielle, et prenant en

tout point de la courbe L une valeur constante et positive donne a.On sait faire cette opration puisque, par hypothse, l'on sait r-soudre le problme de Lejeune-Dirichlet pour la rgion extrieure la courbe L.

Considrons les deux familles de courbes

V = const.,

u = const.,

les coui'bes de la seconde familUe tant les trajectoires orthogo-nales des courbes de la premire famille. Ces deux familles decourbes forment un systme de coordonnes curvilignes orthogo-nales. Dans ce systme, l'lment linaire est reprsent par l'ex-

pression

A et B tant deux fonctions positives de u et de v. D'aprs ce qui at dmontr ailleurs (Livre V, Chap. V, 2), le systme decoordonnes orthogonales dont il s'agit forme un systme iso-therme, en sorte que l'on a

k = Y{u,v)f{u),B = {u,v)g{v),

F(m, p), /(u), g{v) tant trois fonctions positives.

38 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

D'aprs les principes exposs ailleurs (Livre II, Ghap. VII, 1),l'quation

deviendra, dans le nouveau systme de coordonnes,

A 'dv )d /A (Jt?\ ^ /B d-Cn

bien

Prenons deux nouvelles variables a, [i, lies respectivement u

et t^ par les relations

^0

dv.

La fonction F(/, i') deviendra (a, [i). Le carr de Tlment li-naire aura pour nouvelle expression

(i) rf52=^4>2(a, p)(Ja2+rfj32).

L'quation qui exprime que la fonction \'^ est harmonique deviendrasimplement

()2-C>

ICHAP V. LE PROBLEME DRIV DE LEJEUNE-DIRICHLET. 69

si la fonction " vrifie l'qviation (2), la fonction XD(a:,y) dfiniepar

vrifiera aussi cette mme quation. Cette fonction est donc har-monique dans la rgion extrieure la courbe L.Nous remarquerons en second lieu qu'on a, en tout point de la

courbe L,

We ~ (K, P) "diou bien

La fonction XD prend donc, en tout point de la courbe L, des va-leurs qui peuvent tre regardes comme donnes.La fonction XD sera alors dtermine en rsolvant le problme de

Lejeune-Dirichlet pour la rgion extrieure la ligne L.Une fois la fonction VJ connue, on obtiendra la valeur de la

fonction t;> en un point de coordonnes a, (3, par la formule

-(?(, P)- f 0(a, |3)c/a,

en sorte qu'une quadrature achvera la solution du problme.

2. Le problme driv de Lejeune-Dirichlet pour la sphre.

Dans le cas o deux variables seulement figurent dans la ques-tion, le problme driv de Lejeune-Dirichlet se ran^ne, commenous venons de le voir, au problme de Lejeune-Dirichlet. Cetterduction repose essentiellement sur la possibilit de faire figurerle contour de l'aire tudie au nombre des lignes qui composentun systme divisant le plan en carrs infiniment petits.Une rduction analogue s'oprerait dans l'espace si la surface

de l'aimant pouvait faire partie d'un systme triplement orthogonaldivisant l'espace en cubes infiniment petits.Dans quel cas la surface de l'aimant possdera-t-elle une sem-

blable proprit ?

70 LIVRE VII. LES FORCES MAGNTIQUES.

Le systme classique des coordonnes rectangulaires forme unsystme divisant l'espace en cubes infiniment petits; ce systmecorrespond au cas o l'aimant a la forme d^une plaque thorique-ment illimite, comprise entre deuxplans parallles.Dans ce cas, si l'on suppose que l'une des faces de la plaque

soit forme par le plan XOY, l'aimant tant situ au-dessous dece plan, on commencera par dterminer une fonction '0(x, y, z),harmonique dans tout l'espace situ au-dessus du plan XOY, secomportant l'infini comme une fonction potentielle, et prenantaux divers points du plan XOY des valeurs gales aux valeursde

-j- donnes par l'exprience. Cela fait, la fonction ' sera dter-

mine en tout point de l'espace considr par la formule

\9 = / t) dz.-l

Peut-on trouver un autre systme triplement orthogonal divisantl'espace en cubes infiniment petits ? Si l'on remarque qu'un sem-blable systme constituerait une reprsentation conforme du pre-mier et si l'on se souvient du thorme dmontr par Liouville(Livre II, Chap. VIII, 3), on voit qu'un semblable systme doitse dduire du prcdent par inversion. Un plan se transformanten sphre par inversion, nous arrivons cette conclusion que lamthode par laquelle, dans le cas de deux variables, on ramne leproblme driv de Dirichlet au problme de Dirichlet, est appli-cable l'espace extrieur une sphre, mais non une autre formed'espace illimit. Comme on sait rsoudre le problme de Dirichletpour l'espace extrieur une sphre, on saura aussi rsoudre leproblme driv de Lejeune-Dirichlet pour cet espace. Voici lamanire la plus simple et la plus pratique de rsoudre effective-ment ce problme :Marquons la situation d'un point l'extrieur de la sphre par

sa distance r au centre de la sphre, sa longitude occidentale t]> etsa colatitude septentrionale 8.

La fonction *

CH.VP. V. LE PROBLEME DERIVE DE LEJKUNE-DIRICHLET. Jl

de - Comme, d'ailleurs, celle fonction est la fonction potentielle

d'une masse totale gale o de fluide fictif, le dveloppement com-

mencera par un terme en On aura donc1 /2