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CEA INFANTE

Murcia

MATEMÁTICAS

Nivel II - ESPA

Imagen de “La poesía de los números”

de Daniel Tammet

Nivel II - Primer cuatrimestre - Pág. 2

PROGRAMA MATEMÁTICAS ESPA

NIVEL I 1º Cuatrimestre 2º Cuatrimestre

Lecc. 1. NÚMERO NATURAL

1. Números naturales

2. Suma y resta

3. Multiplicación

4. División

5. Números romanos

6. Medida del tiempo

Lecc. 2. NÚMERO ENTERO 1. Números enteros

2. Suma y resta

3. Multiplicación y división

4. Operaciones combinadas

Lecc. 7. DIVISIBILIDAD

1. Múltiplos y divisores

2. Criterios de divisibilidad

3. Número primo

4. Descomposición factorial

5. M.C.D. y m.c.m.

Lecc. 8. FRACCIONES

1. Concepto de fracción 2. Fracciones equivalentes

3. Simplificar fracciones

4. Suma y resta

5. Multiplicación y división

6. Potencia

Lecc. 3. POTENCIAS

1. Concepto de potencia

2. Propiedades de las potencias

3. Operaciones combinadas .

Lecc. 4. RAICES

1. Raíz cuadrada

2. Raíz cúbica 3. Algoritmo de la raíz cuadrada

Lecc. 9. PROPORCIONALIDAD

1. Magnitud, Razón

2. Proporcionalidad directa

3. Proporcionalidad inversa 4. Cálculo de porcentajes

Lecc. 10. MONOMIOS. POLINOMIOS.

1. Álgebra

2. Monomios

3. Polinomios

Lecc. 5. DECIMALES

1. Números decimales 2. Suma

3. Resta

4. Producto

5. División

Lecc. 6. UNIDADES

1. Longitud

2. Superficie

3. Volumen

4. Capacidad - peso

5. Cambio de moneda 6. Unidades inglesas

7. Medidas tradicionales

Lecc. 11. ECUACIONES Y SISTEMAS

1. Ecuaciones 1º grado 2. Resolución de ecuaciones

3. Problemas con ecuaciones

4. Sistemas de ecuaciones (reducción)

Lecc. 12. GEOMETRÍA

1. Puntos, rectas, ángulos

2. Medida de ángulos

3. Polígonos

4. Triángulos

5. Cuadrado y rectángulo

6. Circunferencia

7. Círculo


NIVEL II 1º Cuatrimestre 2º Cuatrimestre

Lecc. 1. ENTEROS

1. Número entero

2. Operaciones

3. Prioridades entre operaciones

4. Potencias

5. Potencia de exponente negativo

Lecc. 2. FRACCIONES

1. Concepto de fracción

2. Fracciones equivalentes 3. Operaciones

4. Número mixto

5. Fracción y porcentaje.

Lecc 7. FUNCIONES. GRÁFICAS

1. Coordenadas cartesianas

2. Gráficas

3. Concepto de función.

4. Representación de rectas

5. Recta que pasa por dos puntos

6. Resolución gráfica de sistemas

7. Representación de Parábolas.

Lecc. 8. NÚMEROS REALES

1. Aproximaciones 2. Error

3. Notación científica

4. Radicales

5. Racionalización.

Lecc. 3. PROPORCIONALIDAD. INTERÉS

1. Proporción

2. Reparto proporcional

3. Regla de tres compuesta

4. Interés simple

Lecc. 4. POLINOMIOS

1. Monomios

2. Polinomios 3. Valor numérico

4. Factor común

5. Identidades notables

Lecc. 9. PORCENTAJES. HOJA CÁLCULO

1. Porcentajes

2. Aumentar un %

3. Disminuir un %

4. Hoja de cálculo

Lecc. 10. ÁLGEBRA

1. Repaso de operaciones

2. División Ruffini 3. Descomposición factorial de un polinomio

4. Simplificación de fracciones algebraicas.

Lecc. 5. ECUACIONES Y SISTEMAS 1. Ecuaciones de primer grado

2. Problemas con ecuaciones

3. Sistemas (reducción, sustitución, igualación).

4. Ecuación de segundo grado

Lecc. 6. GEOMETRÍA

1. Polígonos

2. Triángulos

3. Cuadriláteros 4. Polígono regular

5. Circunferencia y círculo

6. Cuerpos en el espacio. Áreas

7. Volúmenes

Lecc 11. SEMEJANZA. TRIGONOMETRÍA

1. Semejanza

2. Teorema de Tales

3. Mapas y escalas

4. Razones trigonométricas

5. Resolución de triángulos rectángulos

6. Relaciones fundamentales

Lecc. 12. ESTADÍSTICA

1. Estadística 2. Frecuencias

3. Medidas estadísticas

4. Gráficos estadísticos

Lecc. 13. PROBABILIDAD

1. Probabilidad de Laplace

2. Diagrama de Venn

3. Diagramas de árbol

Apuntes redactados por Juan Egea,

profesor del CEA Infante. Murcia


UNIDADES

1. LONGITUD

Kilómetro km 1000 m

Hectómetro hm 100 m

Decámetro dam 10 m

metro m 1 m

decímetro dm 0,1 m

centímetro cm 0,01 m

milímetro mm 0,001 m

2. SUPERFICIE

Kilómetro cuadrado km

2 1.000.000 m

2

Hectómetro cuadrado hm2 10.000 m

2 Hectárea

Decámetro cuadrado dam2 100 m

2 Área

metro cuadrado m2 1 m

2 centiárea

decímetro cuadrado dm2 0,01 m

2

centímetro cuadrado cm2 0,000 1 m

2

milímetro cuadrado mm2 0,000 001 m

2

3. VOLUMEN - CAPACIDAD

Kilómetro cúbico km

3 1.000.000.000 m

3

Hectómetro cúbico hm3 1.000.000 m

3

Decámetro cúbico dam3 1.000 m

3

metro cúbico m3 1 m

3 kl

decímetro cúbico dm3 0,001 m

3 l

centímetro cúbico cm3 0,000 00 1 m

3 ml

milímetro cúbico mm3 0,000 000 001 m

3

m3 dm

3 cm

3

1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Kl Hl Dl litro dl cl ml


Lecc. 1. ENTEROS 1. Número entero; 2. Operaciones; 3. Prioridades entre operaciones;

4. Potencias; 5. Potencia de exponente negativo

1. NÚMERO ENTERO Si a los números naturales (los que sirven para contar) le añadimos los enteros negativos,

obtenemos el conjunto Z de los números enteros:

Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

En Z podemos restar a un entero otro superior.

Ejemplo: tengo de saldo 15 € y cargan un recibo de 40 €, ¿Cuál es el nuevo saldo?

15 € - 40€ = -25 €

1.1. Un garaje tiene las plantas: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 , completa la tabla:

Piso en el que estás Movimiento Piso al que llegas

2 Bajas 4 pisos 2-4=

3 Bajas 4 pisos 3-4=

-2 Subes 5 pisos -2+5=

-1 Subes 2 pisos -1+2=

1.2. Completa la siguiente tabla:

Temperatura original Cambio de temperatura Temperatura final

6º C 10º C 6+10=

-4º C 2º C -4+2=

-5º C -3º C -5-3=

-10º C -4º C -10-4=

1.3. Movimientos cuenta:

Saldo inicial Cargo o abono Saldo final

150 € Factura de 200 € 150-200 =

-50 € Ingreso de 80 € -50 +80 =

30 € Factura de 50 € 30 -50 =

- 20 € Ingreso de 70 € -20 +70 =

1.4. Completa las series:

.

-7 -5


1 4

-4 -2

7 10

. .

1.5. Obtener parejas diferentes de números que sumen…:

.

Pareja Suma Pareja Suma

-1 -2

-1 -2

-3 -4

-3 -4

… .

1.6. Completa las series:

-7 -4

1 3

-4 0

6 10

.

1.7. Resuelve:

1. En un depósito hay 800 L de agua. Por la parte superior entran al depósito 25 L por minuto,

y por la parte inferior salen 30 L por minuto.

¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 90 minutos de funcionamiento?

2. Pitágoras vivió entre los años 582 y 496 a.C. ¿A qué edad murió?

3. Un día la temperatura mínima fue -12 ºC y la máxima 15 ºC.

¿Cuál es la diferencia entre ambas temperaturas?

4. Un depósito de 10 000 litros está lleno. Cada día entran 2 000 litros y salen 2 500 litros.

Indica el tiempo que tardará en vaciarse.

Sol. 1) 350 L; 2) 86 a; 3) 27º; 4) 20 días;


2. OPERACIONES SUMA Y RESTA

MISMO SIGNO:

se mantiene el signo

se suman los números

5 + 3 = 8

-5 - 3 = -8

DISTINTO SIGNO:

signo del mayor

se restan los números:

- 5 + 3 = -2

5 - 3 = 2

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Regla de los signos:

2.1. Efectúa:

1) -2 – 5 + 4 =

2) - 5 + 3 + 10 =

3) – 5 + 7 - 4 =

4) – 10 + 6 – 1 =

5) – 8 +12 – 1 =

6) 3 – 4 – 1 =

7) 5 – 3 – 2 =

8) 6 – 4 – 5 =

9) 3 – 2 + 3 =

10) 3 – 7 + 6 =

Sol.: 1) -3; 2) 8 ; 3) -2; 4) -5; 5) 3; 6) -2; 7) 0; 8) -3; 9) 4; 10) 2

PARENTESIS

Signo ante paréntesis:

9 – (-5 + 3 -2) = 9+ 5 – 3 + 2; 9 + (-5 + 3 -2) = 9 -5 + 3 - 2

2.2. Quita paréntesis y obtén el resultado final:

1) (5-8) - (-8+1) =

2) 5 - (12-3) + (-5+8) =

3) –10 + (-15+8) - (-8+19) =

4) 14 - (-8+10) =

5) 18+ (-4) - (-15+9) =

6) (-40+18) - (-16+29) =

Sol.: 1) 4; 2) -1; 3) -28; 4) 12; 5) 20; 6) -35


PARENTESIS COMBINADOS

Quitamos primero los paréntesis más interiores:

Ejemplo:

7 – [(-5+3) – (2+1) ] = 7 – [-5 + 3 -2 -1 ] = 7 + 5 – 3 + 2 + 1 = 15 – 3 = 12

2.3. Quita paréntesis y calcula el resultado final:

1) (5-2) – [3 - (2+4) + 5] =

2) 6 – [-4+6 – (-5-2)] =

3) (-4+5-1) – [5+9 + (-2+1)] =

4) (-5) · [ 5 -7 – (-5+ 2)] =

5) (5-1) – [9 + (-2+1)] =

Sol. 1) 1; 2) -3; 3) -13; 4) -5; 5) -4

2.4. Quita paréntesis y calcula el resultado final:

1) (-2) · [ 3 - (6-1+4)] =

2) 4 – [3 – (-5-2)] =

3) 6 – [ 5 - (-1+3-2)] =

4) 2(-2+5-1) – 3(-5+7) =

5) 5(5-1) – 4(-2+9) - 4(1-2) =

Sol. 1) 12; 2) -6; 3) 1; 4) – 2; 5) –4

2.5. Realiza las operaciones (primero multiplica los signos, luego los números):

1) (-2)·(-2) =

2) (-2)·(-2)·(-2) =

3) (-2)·(-2)·(-2)·(-2) =

4) (-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2) =

5) (-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2) =

6) (-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2) =

7) (-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2) =

8) (-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2) =

2.6. Realiza las operaciones (primero multiplica los signos, luego los números):

1) (-1)·(-1) =

2) (-1)·(-1)·(-1) =

3) (-1)·(-1)·(-1)·(-1) =

4) (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1) =

5) (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1) =

6) (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1) =

7) (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1) =

8) (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1) =


3. PRIORIDADES ENTRE OPERACIONES (1º) Potencia

(2º) Multiplicación – división

(3º) Suma - resta

Cuando tienen la misma prioridad, operamos de izquierda a derecha.

Ejemplos:

3 + 22· 4 = 5

2 · 4 = 100 mal (se ha sumado antes de hacer la potencia)

3 + 22· 4 = 3 + 4·4 = 3+16= 19 bien

Las calculadoras científicas respetan la prioridad de las operaciones.

Si introduces en ellas las operaciones de los ejemplos obtendrás los resultados correctos

3.1. Efectúa:

1) 3 + 5·2 =

2) 4 + 7·3 =

3) 2· (-3) + 4·3 =

4) –3·4 + 2· (-3) =

5) 4·2 + 5 – 3 =

6) -4· (-2) + 2·3 =

7) 3· 8 – 1 – 6 =

8) 20 – 8 ·2 – 6 =

Sol.: 1) 13; 2) 21; 3) 6; 4) -18; 5) 10; 6) 14; 7) 17; 8) -2

3.2. Efectúa:

1) 3 + 5·4=

2) 25 – 32·2 =

3) (3+4)· 22 =

4) 4 · 2 – 3 =

5) 6 · 2 : 3 : 2 =

6) 5 · 6 – 4 ·2 =

7) (2 +3)· 5 · 22 =

8) (6+4)· 2 : 4 =

Sol.: 1) 23; 2) 7 ; 3) 28; 4) 5; 5) 2; 6) 22; 7) 100; 8) 5

3.3. Calcula valor numérico de la última columna:

x y 4x – 3y + xy x – xy - 3 5 – 2x + xy

a) 1 2

b) 2 3

c) -3 2

d) -2 -4

e) -1 3


3.4. Calcula

1) 4 + 8 : 2 =

2) (4 + 8) : 2 =

3) 12 : 4 - 2 =

4) 12: (4- 2) =

5) 12 - 8 : 4 =

6) (12 – 8):4 =

Sol.: 1) 8; 2) 6; 3) 1; 4) 6; 5) 10; 6) 1

3.5. Calcula

1) 25 : 5 + 3 · 2 =

2) 7 + 2·3 - 4 =

3) 3 + 5 · (4 + 8) =

4) 5 - 3 · 3 + 2 =

5) 5 + 3 · (3 + 2) =

6) (5 + 3) · (3 + 2) =

Soluc.: 1) 11; 2) 9; 3) 63; 4) -2; 5) 20; 6) 40

3.6. Calcula:

1) 10 – 20 : 5 + 1 =

2) (10 – 20) : 5 + 1 =

3) (10 – 20) : (5 – 7) =

4) 5 – 20 : 5 + 7 =

5) (30 – 20) : (15 - 5) =

6) 8 + 4·2 – 15 : 3 =

7) (1 + 4)·2 – 15 : 3 + 2 =

8) (8 + 4)·2 – 15 : (3 + 2) =

Soluc.: 1) 7; 2) -1; 3) 5; 4) 8; 5) 1; 6) 11; 7) 7; 8) 21.

3.7. Realiza las operaciones:

1) 3·5 – 3·2 + 5·2 =

2) 4·2 – 3·5 + 7·3 =

3) (-6)· (-3) + 4·3 =

4) –3·4 + 2· (-3) – 10=


5) 4·2 + 5 – 3 =

6) -4· (-2) + 2·3 =

Sol.: 1) 19; 2) 14; 3) 30; 4) -28; 5) 10; 6) 14 2

3.8. Realiza las operaciones:

1) 12 : (3+1) =

2) 12 : 3 + 1=

3) (24 – 8): 4 + 4 =

4) (24 - 8) : (4+4) =

5) 4·2 + 5 =

6) 4· (2 + 5) =

Sol.: 1) 3; 2) 5; 3) 8; 4) 2; 5) 13; 6) 28.

4. POTENCIAS

Multiplicación. Bases iguales Cociente. Bases iguales Potencia elevada a otra

am·a

n = a

(m+n) a

m: a

n = a

(m-n) (a

m)

n = a

m.n

93

9)3(

2

2

4.1. Calcula el resultado en forma de potencia:

1) (-3)2 = 2) (-1)

2 =

3) -32 = 4) (-1)

3 =

5) (-5)2 = 6) (-1)

4 =

7) -52 = 8) (-1)

5 =

Sol.: 1) 9; 2) 1; 3) -9; 4) -1; 5) 25; 6) 1; 7) -25; 8) -1.


4.2. Expresa el resultado en forma de potencia:

1) x · x = 2) a ·a ·b ·b ·b ·b =

3) x· x ·x = 4) a ·a =

5) a·a·a·b·b = 6) b· b ·b · c · c · c =

7) x ·x ·x ·x = 8) a ·a ·a ·b ·b ·b =

4.3. Aplica las propiedades, y expresa el resultado en forma de potencia:

1) 35 · 3

2 = 2) 7

6 : 7

5 =

3) 35 · 3

5 = 4) (2

3)

2 =

5) 32 · 3

3 = 6) (7

5)

3 =

7) 49 : 4

7 = 8) (2

3·2

4)

2 =

9) 46 : 4

5 = 10) (29

:25)

3 =

4.4. Aplica las propiedades, y expresa el resultado en forma de potencia:

1) 33 · 3

4 · 3 2) [(5

3)4]

2 =

3) 57 : 5 4) (3

2)·(3

2)·( 3

4)

=

5) 5 · (53)4 = 6) 9·(9

3)·9·(9

3) =

7) (32) ·(3

2)

5 = 8) (2

5 · 2

4 · 2)

2 =

9) (34)

4 = 10) (27

: 26)·(2

2) =

4.5. Efectúa las potencias y da el resultado final:

1) (–2)3 = 2) (–2)

3 · (–1) =

3) -42 = 4) (–2)

3 · (–2)

2 =

5) -22 · (–1)

3 = 6) (–5)

3 : (–5)

2 =

Potencia de exponente cero

0

1

aaa

a

a

a

nn

n

n

n

n

a0 = 1


4.6. Calcula…

a) Calcula sin aplicar propiedades potencias:

3

3

5

5

b) Aplica propiedad cociente de potencias: 3

3

5

5

4.7. Calcula:

5

0 = 1,25

0 =

10 = 0,1

0 =

20 = 2

0 =

5. POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO Elevar a una potencia negativa = a una fracción con numerador uno y denominador la misma

potencia, positiva:

nn

0n-

a

1

a

aa n

n-

a

1a

5.1. Calcula el resultado, presentado como fracción

2-1

=

2-2

=

2-3

=

4-1

=

4-2

=

4-3

=

5.2. Calcula el resultado, presentado como decimal:

101=

102=

103=

10-1

=

10-² =

10-3

=

104=

105=

106=

10-4

=

10-5

=

10-6

=

107=

108=

109=

10-7

=

10-8

=

10-9

=



1-1

=

1-2

=

1-3

=

1-4

=

3-1

=

3-2

=

3-3

=

3-4

=


(-1)-1

=

(-1)-2

=

(-1)-3

=

(-1)-4

=

(-2)-1

=

(-2)-2

=

(-2)-3

=

(-2)-4

=

5.5. Efectúa las siguientes operaciones, dejando el resultado en forma de potencia *Apartados g, h: consigue misma base cambiando 4 por 22; 8 por 23, 16 por 24

a) 323 44

b) 223 55

c) 247

d) 243 77

e) 253 77

f) 339

g*) 232 48

h*) 433 816

5.6. Calcula en cada caso el valor de “a” para que se cumplan las igualdades:

a) 1425a 333

b) 62a5 222

c) 2025a555

d) 824 11a

e) 49a

12


5.7. Ejercicios de repaso

1. Calcula mentalmente dos enteros que sumen 5 y que su producto sea 4

2. Calcula mentalmente:

a) dos enteros que sumen 5 y su producto sea -6

b) dos enteros que sumen -1 y su producto sea -6.

3. Escribe:

a) El número (+15) como suma de dos enteros positivos:

b) El número (–10) como suma de dos enteros negativos:

c) El número (–2) como suma de un entero positivo y otro negativo:

d) El número (+13) como suma de un entero negativo y otro positivo:

4. Rellena la siguiente tabla (cálculo mental):

5. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:

a) 48 y 32

b) 24, 16 y 40

c) 64 y 90

d) 36, 60 y 96

M.C.M. = factores comunes y no comunes, con mayor exponente

m.c.d. = factores comunes con menor exponente

Dividendo Divisor Cociente Resto ¿Exacta?

84 20

25 3 Sí

50 2 4

5 3 2

95 19 Sí


Lecc. 2. FRACCIONES 1. Concepto de fracción; 2. Fracciones equivalentes; 3. Operaciones con fracciones;

4. Número mixto. 5. Fracción y porcentaje.

1. CONCEPTO DE FRACCIÓN El concepto intuitivo de fracción corresponde a la idea de dividir una totalidad

en n partes iguales, tomando m de ellas.

1.1. Completa la tabla:

12 24 60 96 108

2

1 de

4

1 de

3

1 de

3

2 de

1.2. Completa la tabla:

20 35 40 45 60

5

1 de

5

2 de

5

3 de

5

4 de

1.3. Completa la tabla, rellenando la segunda fila: 1 kg 1/2 kg 1/4 kg 1/5 kg 3/5 kg 4/5 kg

1000 g

1.4. Completa la tabla, rellenando la segunda fila: 1 L 1/2 L 1/3 L 2/3 L 1/5 L 2/5 L

100 cl

1.5. Completa la tabla, rellenando la segunda fila: 1 L 1/2 L 3/2 L 1/4 L 2/4 L 3/4 L

1000 ml

n

m


1.6.

1. Un depósito contiene 150 litros de agua. Se consumen los 2/5 de su contenido.

¿Cuántos litros de agua se han consumido? ¿Cuántos litros quedan?

2. He recorrido 63 Km., que son los 3/4 del camino. ¿Cuántos Km. tiene el camino completo?

3. De una aldea han emigrado 2/5 de la población, quedando 150 habitantes. ¿Cuántos han

emigrado? ¿Cuántos habitantes había en la aldea en un principio?

4. ¿Cuántos tercios de litro hay en 2 l? ¿y en 4 l?.

¿Cuantos quintos de litro hay en 2 l? ¿y en 4 l?

5. Queremos cortar un cable de 95 m de longitud en tres trozos. Dos de ellos deben medir lo

mismo, y el otro la mitad. ¿Cuánto medirá cada trozo?

6. La quinta parte de un capital son 150 € ¿De qué capital se trata?

7. Un vehículo ha consumido 3/4 de su combustible y aun le quedan 12 litros.

¿Cuántos litros le caben al depósito?

8. Un vehículo circula a 160 km/h, lo que supone 1/3 por encima del límite de circulación.

¿Cuál es la velocidad máxima permitida?

Sol.: 1) 60L – 90L; 2) 84 km 3) 100; 250; 4) 6 - 12 - 10 - 20;

5) 38 m-38m-19m; 6) 750 €; 7) 48 litros; 8) 120 ;

1.7.

1. Calcula cuantos gramos son:

2

1de kg;

4

2de Kg; Observa que estas dos fracciones son equivalentes

2. Calcula cuantos cl son:

5

2de litro;

10

4de litro; Observa que estas dos fracciones son equivalentes

Nivel II – Primer cuatrimestre - Pág. 18

2. FRACCIONES EQUIVALENTES Ejemplo:

24605

2de - - - - - 2460

15

6de

mismo resultado 15

6

5

2y son fracciones equivalentes

PRODUCTO CRUZADO:

Dos fracciones son equivalentes los "productos cruzados" son iguales

Los productos cruzados: 2 x 15 = 5 x 6 son iguales

Luego 15

6

5

2y son equivalentes

2.1. Completa el término que falta, mediante la igualdad del producto cruzado: .

1) 5 3

= 10 x

2) 4 8

= 5 x

3) 4 8

= x 12

4) 10 5

= x 6

5) 2 x

= 12 18

6) 12 x

= 15 20

7) x 4

= 15 20

8) x 9

= 40 24

SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN:

Es obtener una fracción equivalente lo más reducida posible.

Simplificación en un solo paso:

Divide numerador y denominador por su m.c.d.:

Ejemplo: mcd (36, 60) = 12

5

3

12:60

12:36

60

36

Simplificación en pasos sucesivos:

Dividimos sucesivamente numerador y denominador... (prueba por 2, por 3, ... etc.)

Ejemplo:


Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros y después

continuamos simplificando

Simplificar con la calculadora:

Escribes el numerador / Pulsas la tecla c

ba

Escribes el denominador / Pulsa la tecla =

2.2. Simplifica con divisiones sucesivas y suprimiendo ceros:

1)

12

6

2) 27

18

3) 24

16

4) 60

36

5) 75

25

6) 40

25

7) 35

30

8) 162

108

9) 900

600

10) 50000

16000

11) 600

60

12) 3000

1000

2.3. Simplifica dividiendo por m.c.d.:

a) 30

=45

b) 20

=60

c) 56

=80

d) 20

=72

e) 300

=140

f) 165

=330


3. OPERACIONES CON FRACCIONES Sumas y restas

Con mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se

mantiene el denominador.

Ejemplo 1: 3

5

3

41

3

4

3

1

Ejemplo 2: 5

3

5

47

5

4

5

7

Con distinto denominador

Se reducen los denominadores a común

denominador (mcm)…

Ejemplo 1: 12

11

12

29

6

1

4

3

Ejemplo 2: 12

7

12

29

6

1

4

3

3.1. Operaciones (calcula mentalmente el denominador común)

1) 4

3

12

1

2) 3

2

5

2

3) 6

1

2

1

4) 4

1

5

2

5) 3

2

2

3

6) 4

1

3

1

3.2. Operaciones (calcula mentalmente el denominador común)

1) 2

3

4

3

6

1 S:

12

25

2) 6

5

4

3

3

1 S.

12

23

2) 3

1

2

5

6

7 S: -1

4) 6

1

4

3

5

2 S.

60

59

5) 2

1

6

5

3

1 S.

3

2

6) 6

7

4

3

5

2 S.

60

49


OPERACIONES RÁPIDAS

Ten en cuenta 1 = 2

2 = 3

3 = 4

4 = … etc. y podrás sumar y restar mentalmente:

3.3. Sumas rápidas (mentalmente):

a) 1 + 2

1 S.

2

3

b) 1 + 3

1 S.

3

4

c) 1 + 4

1 S.

4

5

d) 1 + 5

1 S.

5

6

e) 1 + 6

1 S.

6

7

f) 1 + 7

1 S.

7

8

3.4. Restas rápidas

a) 1 - 2

1 S.

2

1

b) 1 - 3

1 S.

3

2

c) 1 - 4

1 S.

4

3

d) 1 - 5

1 S.

5

4

e) 1 - 6

1 S.

6

5

f) 1 - 7

1 S.

7

6

1 + 5

2 1 -

5

2 3 +

7

2 3 -

7

2


Multiplicación

Se multiplica

[numerador x numerador] y

[denominador x denominador]. Ejemplo:

9

5

36

20

49

54

4

5

9

4

x

xx

División

Se multiplica “en cruz”:

Ejemplo:

15

16

5·3

8·2

8

5:

3

2

3.5. Multiplicaciones y divisiones

1)

14

12

7

2

S. 49

12

2)

4

3:

6

1

S. 9

2

3)

7

3:

5

4·

2

1

S. 15

14

4)

4

3:

5

4:

2

3

S. 2

5

3.6. Realiza las siguientes operaciones: (simplifica resultado)

PRIMERO

a)

4

1

6

13

24

15 b)

3

8

5

96

c)

4

2

3

6

7 d)

6

3

1

4

3

2

131

e) 2

12

6

5

3

2 f)

4

1

3

13

3

12

SEGUNDO

6

15

4

17

6

5

4

9)

8

4

9

13:

4

12

10

3)

6

2:

5

1

3

1

2

3)

14

9

42

7:

24

5)

d

cba


3.7. Realiza las siguientes operaciones: (simplifica resultado)

Sol: 9/70

Sol:

49/150

Sol:

23/240

Sol: 37/180

Sol: 7/32

3.8. Ejercicios

1. Un cuarto de Kg. de queso cuesta 3,50 €.

¿Cuánto costarán 125 g?

¿Cuánto costará 1 kg?

2. Compro 3/4 de Kg. de fruta por 2,40 Euros

¿Cuál es el precio del Kg.?.

3. Una familia ha consumido en un día de verano:

Dos botellas de litro y medio de agua.

6 botes de 1/3 de litro de zumo.

8 limonadas de 1/4 de litro.

¿Cuántos litros de líquido han bebido?

4. ¿Cuántas botellas de 3/4 de litro se pueden llenar con 60 litros de vino? (Sugerencia: si las botellas fueran de 2 litros harías 60:2… si son de ¾ 60:3/4)

5. Un Kg. de queso cuesta 24 Euro.

¿Cuántos céntimos cuesta un gramo?

¿Cuánto cuesta 75 g? ¿Y 110 g?

S: 1) 1,75 €; 14 €; 2) 3,20 €; 3) 7 litros 4) 80 botellas; 5) 2,4 cts.- 1,80 Eur.- 2,64 Eur.


4. NÚMERO MIXTO

Fracción propia: fracción con numerador denominador.

Su valor es 1

Fracción impropia: fracción con numerador > denominador.

Su valor es > 1 Fracción propia

Número mixto es una presentación de la fracción impropia en la que separamos las unidades:

Ejemplo:

Fracción

3

11

Número mixto:

3

23

4

5

4

11

4

11

4

5

4

9

4

12

4

12

4

9

CONVERTIR FRACCIÓN EN NÚMERO MIXTO:

4

12

4

9

3

23

3

11

4.1. Convierte en número mixto:

1)

8

10

2) 4

9

3) 2

5

4) 5

7

5) 2

3

6) 5

17

7) 4

25

8) 2

9


CONVERTIR NÚMERO MIXTO EN FRACCIÓN:

n

mna

n

ma

.

5

13

5

352

5

32

4.2. Convierte en fracción:

1) 5

12

2) 5

22

3) 5

32

4) 3

14

5) 4

13

6) 3

24

7) 8

31

8) 4

73

NÚMERO MIXTO Y CALCULADORA:

La calculadora puede configurarse para que presente los resultados como número mixto.

Las calculadoras de una línea en pantalla muestran: en vez de 5

32

Pulsando Shift + c

ba conviertes el número mixto en fracción

5. FRACCIÓN Y PORCENTAJE

FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD:

Se multiplica “fracción x cantidad”

Ejemplos:

1º) Calcula 3

2 de 60 €: €40

3

602€60

3

2

xx

2º) Calcula 4

3 de 100 g.: g

xgx 75

4

1003100

4

3

5.1. Calcula:

1)

3

2 de 15.000 Euros

2) 5

1de 3.800 g

3) 4

3 de 60 minutos

4) 5

4 de 4.200 votos

S: 1) 10.000 €; 2) 760 g ; 3) 45 m; 4) 3.360 votos.


CALCULO DE PORCENTAJES:

Porcentaje = fracción con denominador 100, r% =100

r

Un % se calcula multiplicando, como cualquier otra fracción

Ejemplo: 12% de 300 euros: 300x12% = 100

12300x = 36 Euros

5.2. Calculo de un porcentaje de una cantidad:

Cantidad % Resultado

300 12 300 x 0,12 = 36

900 15

1.200 16

800 5 800 x 0,05 = 40

1.500 8

650 4

PARTE Y TOTAL:

PARTE COMO FRACCIÓN DEL TOTAL PARTE COMO PORCENTAJE DEL TOTAL

Parte como fracción del total:

Se divide “parte/total” y se simplifica la fracción resultante

total

parte

Parte como porcentaje del total:

se divide “parte/total” y se multiplica por 100

el número decimal resultante

100x

total

parte

Ejemplo 1:

15 Euros de un total de 60 Euros EXPRESADO COMO FRACCIÓN EXPRESADO COMO PORCENTAJE

4

1

60

15

total

Partedel total

(1 euro de cada 4 euros)

%2510060

15100 xx

total

Parte del total

(25 euros de cada 100 euros)

(Vemos que cuarta parte y 25% es lo mismo)

Ejemplo 2:

30 gramos de un total de 40 gramos EXPRESADO COMO FRACCIÓN EXPRESADO COMO PORCENTAJE

4

3

40

30

total

Parte

(3g de cada 4g)

%7510040

30100 xx

total

Parte

(75g de cada 100g)

(Vemos que tres cuartos y el 75% es lo mismo)


5.3.

a) En 60 personas hay 12 franceses ¿Qué fracción y porcentaje suponen?

b) De 600 € llevo gastado 180 € ¿Qué fracción y porcentaje de € he gastado?

c) Un pastel de 125 g. contiene 25 g. de grasa. ¿Qué fracción y porcentaje de grasa contiene?

d) En una población de 12.000 habitantes, en el barrio de abajo viven 1440.

¿Qué fracción y porcentaje de habitantes viven en ese barrio?

5.4. Completa la siguiente tabla:

Fracción Porcentaje Porcentaje Fracción

1/2 20%

3/5 50%

3/4 60%

4/5 25%

1/4 40%

1/25 75%

5.5.

a) En 360 personas hay 96 ingleses ¿Qué fracción y porcentaje suponen?

b) De 1200 € llevo gastado 240 € ¿Fracción y porcentaje de € gastados?

c) De los 365 días del año han transcurrido 35 ¿Qué fracción y porcentaje supone?

d) En 24 votos he obtenido 9. ¿Qué fracción y porcentaje suponen?

5.6.

a) En una playa hay 80 franceses y 120 ingleses ¿Qué fracción y porcentaje suponen? (nota:

aquí el total no te lo dan. Debes obtenerlo sumando)

b) En un pastel hay 120 g de harina, 80 g de mantequilla y 50 g de azúcar ¿Qué fracción y

porcentaje hay de cada cosa?

c) Por aplazar el pago de 3200 euros tengo gastos de 260 euros ¿Qué porcentaje supone?

d) En un colegio titulan 92 alumnos y no titulan 158. ¿Qué fracción y porcentaje de alumnos

han titulado?


Lecc. 3. PROPORCIONALIDAD. INTERÉS SIMPLE 1. Proporción; 2. Reparto proporcional; 3. Regla de tres compuesta; 4. Interés simple

1. PROPORCIÓN

Magnitud es una propiedad o característica que se puede medir. La longitud, el peso,… son magnitudes. La belleza, la inteligencia… no son magnitudes

Razón es el cociente de dos magnitudes. Al numerador se le llama antecedente. Al denominador

se le llama consecuente.

Ejemplos: Kg

Eur

3

9 = 3 Euro/Kg ( razón precio);

h

Km

2

180 = 90 Km/h (razón velocidad)

En la fracción: numerador y denominador son enteros. En la razón antecedente y consecuente pueden ser decimales.

1.1. Ejercicios:

1. Calcula a, b y c:

3618

631 c

ba

2. Calcula a, b y c: c

bb

a

4

15

3

10

21

Proporcionalidad directa. Hay proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando se mantiene la razón entre ellas. O sea, cuando al aumentar (o disminuir) una, la otra aumenta (o disminuye) en la misma

proporción.

Ejemplo: Peso y precio: ...3

20,1

2

80,0

1

40,0

Kg

Eur

Kg

Eur

Kg

Eur 0,40 Euro/Kg ( razón precio);

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Es la forma tradicional de plantear, para que a partir de una razón de magnitudes directamente

proporcionales, obtengamos el término desconocido de una segunda razón.

Ejemplo: Si 2 Kg. de patatas cuestan 0.80 €, ¿cuánto costarán 5 Kg.?

1.2. Ejercicios:

1. Si 32 metros de cuerda han costado 48 €, ¿Cuánto costarán 50 metros?

2. Si 5 personas consumen 18 m3 de agua en un mes ¿Cuántos m

3 consumirán 8 personas?


Magnitudes inversamente proporcionales: hay proporcionalidad inversa entre dos magnitudes

cuando al aumentar (o disminuir) una, la otra disminuye (o aumenta) en la misma proporción. Es

decir, si una se multiplica por dos la otra se divide por dos; Si una se multiplica por 3 la otra se

divide por 3; etc.

Ejemplo: Si 8 vacas tienen pienso para 6 días, 12 vacas tendrán pienso proporcionalmente para

menos días (x días):

Solución: x = 8x6 / 12 = 4 días

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Es la forma tradicional de plantear, para que a partir de una razón de magnitudes inversamente

proporcionales, obtengamos el término desconocido de una segunda razón.

Ejemplo: Si 8 vacas tienen pienso para 6 días, ¿Para cuánto tiempo tendrán pienso 12 vacas?

1.3. Ejercicios:

1. Si a 60 km/h tardo tres horas en un trayecto, ¿Cuánto tardaré a 80 km/h?

2. Si 15 personas hacen un trabajo en 4 días ¿Cuánto tardarán 6 personas?

PROPIEDAD DE LAS PROPORCIONES

RAZÓN SUMA O RESTA DE ANTECEDENTES Y CONSECUENTES

ba

yx

b

y

a

x

ba

yx

b

y

a

x

Ejemplo: La suma de dos números es igual a 12 y son proporcionales a 1 y 2 .

¿Cuáles son los números?

8;43

12

2121

yx

yxyx


2. REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO Ejemplo. Tres personas trabajaron respectivamente 30 horas, 65 horas y 85 horas.

Reparte entre ellos 4.500 Euros.

Solución: les corresponde x, y, z euros respectivamente.

Tras las tres proporciones escribimos la proporción suma:

hh

z

h

y

h

x

180

€4500

85

€

65

€

30

€

x = 180

30*4500= 750 Euro; y =

180

65*4500= 1625 Euro; z =

180

85*4500= 2125 Euro

Otra forma de hacer este problema, que en realidad es la misma forma: hay 4.500 Euros para un total de 180 horas, y

por tanto sale a 25 Euros la hora. Finalmente pagas a cada uno las horas trabajadas.

2.1. Ejercicios:

1. Queremos gastar 1200 € en tres viajes, de 4 días, 7 días y 9 días respectivamente..

¿Cuál es el reparto proporcional a cada viaje en función de su duración?

2. Tres socios aportan a un negocio 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado

6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente

proporcional a los capitales aportados?

3. Repartimos una cantidad de dinero entre tres personas, en partes directamente

proporcionales a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponden 735 €. Hallar lo que le

corresponde a la primera y tercera.

4. Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le corresponden 2500 €. ¿Cuánto

corresponde a los otros dos?

5. Se quiere repartir unos beneficios de 40.000 € entre tres trabajadores proporcionalmente a

los años que llevan en la empresa, que son 10, 12 y 18 años. ¿Cuánto recibirá cada uno?.

6. Una fuente cuenta con cuatro grifos que han arrojado un total de 12600 litros. El primero

ha estado abierto 1 hora y 20 minutos; el segundo, 90 minutos; el tercero, una hora y cuarto,

y el cuarto, dos horas menos cuarto. ¿Cuántos litros ha arrojado cada grifo?.


3. REGLA DE TRES COMPUESTA

Se emplea para relacionar tres o más magnitudes

Ejemplo modelo:

Once obreros labran 10.560 m2 en seis días.

¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar 16.800 m2 en cinco días?

Solución:

1º Copiamos los datos del enunciado:

2º Clasificación:

Columna m2

respecto a la columna x:

A más m2 necesitamos más obreros.

Directa: anotamos “D”

sobre la columna de los m2

Columna días

respecto a la columna x:

A más días necesitamos menos obreros.

Inversa: anotamos “I”

sobre la columna de los días.

3º A continuación colocamos los datos:

La columna de la x

Los m2, en el mismo orden por ser directa

Los días, “al revés” (5/6) por ser inversa

Solución:

800.100

800.5211

x obrerosx 21

800.52

800.100·11


3.1. Ejercicios:

1. Si 8 obreros realizan en 9 días un muro de 30 m., ¿Cuantos días necesitaran 12 obreros para

realizar 50 m. de muro?. S: 10.

2. Seis grifos tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 l. ¿Cuantas horas tardarán 4 grifos en

llenar un depósito de 1000 l. S: 37,5.

3. En 30 días un equipo de 12 hombres ha realizado una calle de 1.600 m. ¿Cuantos metros

realizaran 20 hombres en 10 días?. S: 888,89.

4. Una familia de 7 miembros gasta trimestralmente 105 euros en agua. ¿Cuál será el gasto diario

de una población de 150 personas? S: 25€.

5. Por 20 jornales de 8 horas diarias un obrero percibió 1.600 euros. ¿Cuánto percibirá por 60

días trabajando 6 horas diarias? S: 3600 €.

6. Seis obreros trabajando durante un mes en una reparación han cobrado 17.685 euros. Calcular

cuánto cobraran por otra reparación 10 obreros trabajando durante siete días.

S: 6877,5 €.

7. ¿Cuántas personas se necesitan para realizar un trabajo en 2 días, si se han precisado 15

personas durante 4 días para realizar 10 trabajos? S: 3 personas.

8. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel

de 15 personas durante ocho días? S: 1320 €

9. Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas

tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

S. 37,5 h .

10. El transporte de 150 toneladas de mineral de hierro a la distancia de 650 km, ha costado 2

600 €. ¿Cuánto costará el transporte de 225 toneladas de la misma mercancía a la

distancia de 200 km? S.: 1200€

11. Se necesitan 480 kg de pienso para mantener 12 caballos durante 20 días. ¿Qué cantidad de

pienso se necesitará para mantener 7 caballos durante 36 días? S: 504 kg


4. INTERÉS SIMPLE Llamamos interés:

- Si depositamos dinero: al beneficio que nos produce

- Si nos prestan dinero: al dinero que pagamos, además de la cantidad prestada.

En un préstamo:

Cantidad prestada Capital C

Tiempo del préstamo Tiempo t

Porcentaje % Rédito o tasa r

Beneficio del prestamista Interés I

Nota: en lenguaje coloquial a veces se dice “al 2 por ciento de interés…”

CÁLCULO DEL INTERÉS (fórmula del “carrete”):

t en años t en meses t en días

100

·· trcI

200.1

·· trcI 000.36

·· trCI

Ejemplos

a) Hallar el interés producido

durante cinco años,

por 30 000 €,

al 6%

Solución:

€000.9100

6·5·000.30I

b) Calcular el interés producido

en seis meses

por 10.000 €

al 3.5%.

Solución:

€175200.1

6·5,3·000.10I

4.1. Ejercicios:

1. Por 65.000 euros, a devolver en 5 años, al 6'5 % , ¿cuánto pagaremos de interés?

(Sol: 21.125 Euros)

2. Un Banco presta 12.000 euros a devolver en 10 años al 7%. Calcula los intereses

(Sol: 8.400 Euros)

3. Compramos un vehículo. Aplazamos el pago de 8.000 euros, a pagar dentro de 18 meses, al

5'5%. Calcula los intereses a pagar (Sol: 660 Euros)

4. Tenemos un préstamo de 9.000 euros a devolver en 25 días. La tasa es el 4%, ¿a cuánto

ascenderán los intereses? (Sol: 25 Euros)

5. Una empresa solicita un préstamo de 20.000 euros al 6% anual durante 25 meses. Averigua

los intereses del préstamo (Sol: 2500 Euros)


CÁLCULO DE CAPITAL, RÉDITO Y TIEMPO:

rC

It

tC

Ir

tr

IC

trCItrC

I

·

·100

·

·100

·

·100

···100100

··

Años: 100

Meses: 1200

Días: 36.000

4.2. Ejercicios:

1. ¿Qué capital debo poner al 5% para producir 3.000 euros en 3 años?

2. Una empresa pide un préstamo de 60.000 euros durante 4 años, pagando de intereses

12.000 euros. ¿Cuál fue el %? 1) 20.000 €; 2) 5%;

4.3. Ejercicios:

1. ¿Cuánto tiempo es necesario para que 10.000 euros al 3% produzcan 2.400 euros de

interés?

2. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta

en 30.000 €? (Pista: deberá producir 5.000 € )

3. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 60 000 € al 2% para que se

convierta en 63.000 €? 1) 8 años; 2) 4 años; 3) 2,5 años

4.4. Ejercicios:

1. Se prestan 45 000 € y al cabo de 6 meses hay que devolver 47 250 €.

Calcular el tanto por ciento aplicado.

2. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 4%? 1) 10%; 2) 50 años

INTERÉS COMPUESTO: El interés simple es adecuado para un periodo de tiempo, que finaliza

con un pago o un cobro. Por ejemplo, una letra a 90 días. No es adecuado para varios periodos de

tiempo. Por ejemplo, en una imposición de dinero, en cada periodo de tiempo los intereses se

acumularán al capital. O si es un préstamo, con cada pago vas debiendo menos y por tanto

también los intereses deben ir disminuyendo.

Hay fórmulas adecuadas para todos los casos. Para obtener el capital obtenido al cabo de n años, al

r% anual, y con aportación inicial C0 sería: Cn = C0(1+ r/100)^n

FUNCIÓN PAGO: es una función de la hoja de cálculo. Calcula la cuota a pagar por un

préstamo. Debes introducir Capital prestado, tasa por periodo de pago (ejemplo, 8%/12 si es al 8%

anual y hacemos pagos mensuales), y número de pagos (ejemplo, 120 pagos si son pagos

mensuales y el préstamo es a 10 años)


Lecc. 4. POLINOMIOS 1. Monomios; 2. Polinomios; 3. Valor numérico; 4. Factor común; 5. Identidades notables

1. MONOMIOS

Monomio es una expresión en la que las únicas operaciones que aparecen son

la multiplicación y la potencia (no aparecen sumas o restas).

Ejemplo: 5x2 ; 4x; 3x

3 son monomios

Coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a la incógnita.

Grado de un monomio es el exponente de la incógnita.

Monomios semejantes

Si tienen el mismo exponente.

Ejemplo: 5x2, 9x

2 y 4x

2 son semejantes.

SUMA - RESTA

Sólo podemos sumar o restar monomios semejantes.

Se mantiene el exponente y se suman o restan los coeficientes.

2x3 + 9x3- 8x3 = 3x3

1.1. Sumas y restas

1) x + x = 2) x + 3x – 5x =

3) x + x + x = 4) x + 3x + 5x =

5) x2 + 2x

2 + 3x

2 + 4x

2 = 6) x

2 + 3x

2 + 6x

2 =

7) x + 5x + x + 5x = 8) x + 2x - 7x =

1.2. Sumas y restas

1) x3 + 2x

3 = 2) x

3 + 2x

3 - x

3=

3) x4 - 4x

4 = 4) x

4 - 2x

4 + 3x

4 =

5) 5x3 - 2x

3 - 3x

3 = 6) 4x

3 - 3x

3 - x

3 =

7) 8x4 + x

4 - 12x

4 = 8) 2x

4 - 4x

4 + x

4 =

1.3. Sumas y restas

1) 5x2 - 2x

2 + 3x – x = 2) 5x

2 + 2x

2 + 3x – 3x =

3) 4x2 - x - 2x

2 - 5x = 4) 5x

2 - 6x

2 + 2x - 5x =

5) 5x - 5x2 - 2x

2 + 3x = 6) 4x - 3x

2 -3x +4x

2 =

7) 2x2 + 2x

2 + 2x + 2x == 8) 2x

2 - 2x

2 + x - x=


1.4. Sumas y restas

1) 3x3 - x

2 + 4x

3 – x

2 = 2) 3x

3 + 5x

2 - 3x

3 - x

2 =

3) 2x2 - 5x + 2x

2 + x

2 - 3 x

2 = 4) x

2 - 5x

2 + x - 3x

2 - x

2 +2x =

5) x2 + x

2 -3 - 2x - x

2 -1 = 6) 4 -2x

2 - 3x

2 + x

2 - 3 =

7) -3x2 – 1 + x

2 - 2 + x

2 = 8) 7x

2 + 4x +5 - 4x

2 – 3x – 2 =

MULTIPLICACIÓN - DIVISIÓN POR UN NÚMERO

Se multiplica o divide el coeficiente por el número.

Ejemplos: 2· 3x = 6x; 15x : 3 = 5x

1.5. Multiplicaciones:

1) 2 · 4x = 2) 15x2 : 3 =

3) 3 · 2x2 = 4) 10x

3 : 2 =

5) 3 · 2x3 = 6) 8x

2 : 4 =

7) 4x · 2 · 5 = 8) 9x : 3 =

9) 3 . 2x2 · 2 = 10) 3x : 3 =

MULTIPLICACIÓN - DIVISIÓN DE MONOMIOS

Se multiplican (o dividen) los coeficientes y se suman (o restan) los exponentes.

Ejemplos:

2x3 · 3x

5 = 6x

8 ; 12x

5: 4x

2 = 3x

3

2

3

5

3

23

29

18

9

3·6x

x

x

x

xx

1.6. Multiplicaciones:

1) 3x3· 5x

2 =

2) 4x4· 2x

2 =

3) -2x3· 5x =

4) ( -3x4) · (-2x

2) · (-2x) =

5) 2x3·5x·3x=

6) 2x·2x2·5x =


1.7. Divisiones:

1) (12x2) : (4x) =

2) (18x3) : (6x)=

3) (30x5) : (6x

2)=

4) (8x) : (12x) =

5) (12x6) : (8x

3)=

6) (2x3) : (5x

2)=

2. POLINOMIOS

Polinomio: es una suma de monomios

Grado: es el mayor exponente que contiene

Término: es cada uno de los sumandos

Término independiente: término sin x

SUMA - RESTA

a) Modo tradicional. Colocando en filas, uno bajo otro

Suma P(x) + Q(x):

Resta P(x) - Q(x): Cambia los signos a Q(X) y sumas:

2.1. Calcula:


2.2. Calcula:

1) Siendo

A(x) = -2x2 - 3x - 8

B(x) = 6x2 + 3x - 10

Calcula A(x) - B(x)

2) Siendo

A(x) = -3x2 + 5x - 4

B(x) = -5x2 + 2x + 1

Calcula A(x) – 2·B(x)

3) Siendo

A(x) = 4x2 + 3x + 5

B(x) = -2x2 + x – 1

Calcula -2·A(x) + 4·B(x)

4) Siendo

A(x) = - 3x + 2x2 - 2

B(x) = -10 + 3x2 + 7x

Ordena los polinomios y calcula

-3·A(x) – 4·B(x)

b) En la misma línea. Colocando uno tras otro, sin filas

Dados los polinomios: P(x) = 7x2 - 7x + 3; Q(x) = -5x

2 + 2x – 5

a) P(x) + Q(x) = 7x2 - 7x + 3 - 5x

2+2x -5 = 2x

2 - 5x - 2

b) P(x) - Q(x) = 7x2 - 7x +3 - (-5x

2+2x -5) = 7x

2 -7x +3 +5x

2- 2x +5 = 12x

2 - 9x + 8

2.3. Calcula:

1) (−3x2 +5x – 2) + (2x

2 − 3x + 1) =

2) (− 2x2 − 6x – 1) + (-2x

2 − 6x + 9) =

3) (x2 − 2x) – (6x – 1) – (x

2 − 6x + 1) =

4) (x2 + 5x) – (2x + 1) – (-6x

2 + 4) =

2.4. Calcula:

1) (-3x2 +2x - 6) - (2x

2 + x +2) =

2) (2x2-5x

+ 3) – (-3x

2 +x) =

3) (x2-3x+2) - (x-x

2) +3x =

4) (x2 –x +2) - (2x

2 -4x +3) =


MULTIPLICACIÓN

a) Modo tradicional

2.4. Multiplica los polinomios:

1) (-2x3 - 3x

2 - 3x - 8) · (5x + 2) =

2) (-3x2 + 5x – 4) · (2x

2 + 3) =

3) (4x3 – 2x + 3x

2 + 1) · (-2x + x

2) Ordena los polinomios antes de multiplicarlos

4) (- 3x2 + 2x

3 + 2 – 5x) · (3 -2x

2) Ordena los polinomios antes de multiplicarlos

b) En la misma línea

Se suele aplicar para multiplicaciones “cortas”

Ejemplo: (3x - 1)·(x + 2) = 3x2 - x + 6x - 2 = 3x

2 + 5x - 2

Ejemplo: (x2 + x + 1)·(x - 1) = x

3 + x

2 + x - x

2 - x - 1 = x

3 - 1

2.5. Multiplica los polinomios:

1) (2x + 5) · (2x + 3) =

2) (5x2 + 2x -3) · (4x − 2) =

3) (−5x + 6) · (4x − 3) =

4) (9x2 + x + 5) · (-2x +3)=


2.6. Multiplica:

1) (x2 − 2x + 2) · (2x

2 + 3) =

2) (3x2 − 5x + 1) · (x

2 - 7) =

3) (2x2 − 5x + 6) · (4x − 3) =

4) (x2 + x + 1) · (x

2 + 1)=

2.7. Realiza las operaciones. Ordena los resultados:

1) 2x·(5x - 6) – 2x·(4x + 2) =

2) 3x·(x - 1) - x·(x + 2) =

3) 5x – 3x(x +1) + x(x +2) =

4) x·(3x+2) - x·(4x-2) +3x =

3. VALOR NUMÉRICO

3.1. Dado el valor de x, rellena la tabla con los valores numéricos:

x 3x 3x - 4 x2 + 5 x

2 - 3

2 6 2 9 1

5

-3

4

1

-2

3.2. Dado el valor de x, rellena la tabla:

x -2x - 3 - 7x + 3 x3 + 1 -x

3 + 1

3 -9 -18 28 -26

6

-2

5

-3

0


4. FACTOR COMÚN Extraemos los factores comunes y ponemos entre paréntesis el resto de factores

Ejemplo: 12x3 + 6x

2 = 6x

2(2x

+ 1)

4.1. Extrae factor común

1) 9x3 + 6 x

2 = 4) x

3- x

2 =

2) 14x3+ 7x

2 = 5) x

3 + x =

3) 8x2+ 4x = 6) 5x3 + 15x2


1) 3x3 + 12x

2 = 4) 6x

3- 12x

2 =

2) x3+ x

2 = 5) 2x

2 + 9x =

3) 18x2+ 9x

2 = 6) 10x3 + 15x2


1) 3x3 + 6x

2 = 4) 6x

3-3x

2 + 12x =

2) 2x3 + 4x

2 + 8x = 5) 12x

3- 6x

2 + 9x

3) 8x2- 4x + 4x

2 +12x = (agrupa antes) 6) 25x3 + 30x2


1) x3 + x

2 + x = 4) x3 + x2

2) 2x3 + 24x

2 = 5) 4x3 - 2x2 + 5x

3) x3- x = 6) 8x3 + 12x4 - 16x2 =


5. IDENTIDADES NOTABLES

Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2

Cuadrado de una diferencia (a - b)2 = a

2 - 2ab + b

2

Suma por diferencia: (a + b)·(a – b) = a2 - b

2

5.1. Desarrolla:

a) (3x + 2)2=

b) (2x + 5)2=

c) (5x + 1)2 =

d) (x + 4)2 =

e) (3x- 2)2 =

f) (2x - 5)2 =

g) (3x - 4)2 =

h) (2x – 1)2=

Soluc.: (a) 9x2 + 12x + 4; (b) 4x2 + 20x + 25; (c) 25x2 + 10x +1. (d) x2 +8x + 16;

(e) 9x2 - 12x + 4; (f) 4x2 – 20x + 25; (g) 9x2 – 24x +16; (h) 4x2 – 4x+1.

5.2. Desarrolla:

a) (5x + 2)·(5x-2)=

b) (2x - 4)·(2x+4)=

c) (3x – 2)·(3x + 2)=

d) (x + 1)·(x-1) =

e) (x + 3)·(x – 3) =

f) (2x – 1)·(2x + 1)=

Soluc.: (a) 25x2 - 4; (b) 4x2 - 16; (c) 9x2 – 4; (d) x2 - 1; (e) x2 - 9; (f) 4x2 – 1.

5.3. Desarrolla:

a) (x + 1)2 =

b) (x - 1)2 =

c) (x2 -2)

2 =

d) (3x2 -2x)

2 =

e)

32

3

32

3 xx

5.4. Expresa como una identidad notable:

a) x2 + 6x + 9 =

b) x2 – 10x + 25 =

c) 4x2 – 25 =

d) 9x2 + 24x + 16 =

e) 25x2 – 20x + 4 =

f) x2 – 1 =

Soluc.: (a) (x + 3)2; (b) (x-5)2; (c) (2x + 5)·(2x – 5); (d) (3x + 4)2; (e) (5x - 2)2; (f) (x + 1)·(x – 1).


Lecc. 5. ECUACIONES Y SISTEMAS 1. Ecuaciones de primer grado; 2. Problemas con ecuaciones; 3. Sistemas (reducción, sustitución,

igualación). 4. Ecuación de segundo grado

1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ecuación: es una igualdad entre expresiones algebraicas.

Solución: es el valor de x para el que se verifica la ecuación:

Miembros de la ecuación: son las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Términos: son los sumandos que forman los miembros:

1.1. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a)

Ecuación Solución

1) 2x + 1 = 7

2) 2x – 1 = 5

3) 2x – 1 = 7

4) 5 + 2x = 7

5) 5 + 2x = 9

6) 5 + 2x = 11

1.2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) 5x = 2(2x – 3) – 4 x = -10

2) 2(x – 6) = 3x – 19 x = 7

3) 5 + 5(x – 13) = x x = 15

4) x – 2 = -3(4 – 2x) x = 2

5) 2(9x – 49) = 15x + 10 x = 36

6) 120 = 2x – (15 – 7x) x = 15


1.3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) 6x - 3 = 3(3 + x) x = 4

2) 15(x – 1) + 20(x + 1) = 75 x = 2

3) 4x + 7(2x – 1) = x + 163 x = 10

4) 3 – 4x(25 – 2x) = 8x2 + x – 300 x = 3

5) 14x + 3(8x –3) – 295 = 0 x = 8

6) 5[2x – 4(25 – 2x)] = -10x + 20 x = 26/3

ECUACIONES CON DENOMINADORES

Ejemplo: 106

5 +

x = 2 +

2

3x MCM. 6

Solución:

9x + 12 = 5x + 60 .

9x - 5x = 60 - 12 .

4x = 48 .

x = 48/4 = 12

x = 12

1.4. Resuelve:

1) 4 + x = 2 +

2

3x

2) 2

x = 8 - x

3) 3 + 7

x =

4

3x - x

4) 3 + x = 3

+x

102

5) 3

1 +

3

2x = 6 -

4

9x

6) 11 - x = 4

3x -

6

5x

7) 1 + 6

2x = 7 -

5

3x

8) 3

10

9

5x = 10 - x

9) 9

2x + 10 = x +

3

x

10) 3

x - 12 = 1 +

2

3x

Soluciones. (1) 4; (2) 16; (3) 28; (4) 1; (5) 4; (6) 12; (7) 30; (8) 15; (9) 9; (10) 6


2. PROBLEMAS CON ECUACIONES

2.1. Completa la segunda columna:

Un número: x

El doble de un número

El triple de un número

La mitad de un número

Un tercio de un número

Dos números consecutivos

Dos números que sumen 24

Dos números cuya diferencia sea 24

Dos números cuyo producto sea 24

2.2. Ejercicios

1. Halla 3 números enteros consecutivos cuya suma sea 96

2. Reparte 25 Euros entre dos personas, dando a una 11 Euros más que a la otra.

3. Dos hermanos tienen 11 y 9 años, y su madre 35. Halla el número de años que han de

pasar para que la edad de la madre sea igual a la suma de las edades de los hijos.

4. Juan tiene 10 años más que su hermana. Dentro de 6 años tendrá el doble. Halla sus

edades.

5. Víctor tiene 3 años más que su hermano. Dentro de 4 años sus edades sumarán 33 años.

Halla sus edades actuales.

6. Un padre tiene triple edad que su hijo. Dentro de 12 años será el doble. Halla sus edades.

7. Reparte 300 euros entre A,B,C de modo que B reciba el doble de A y C el triple de A.

8. Un lápiz y una lámina costaron juntos 8 euros. Si el lápiz cuesta 3 euros más que la lámina

¿Cuánto costará cada cosa?

9. Una parcela rectangular tiene 123 metros de perímetro y es doble de larga que de ancha.

¿Qué área tiene la parcela?

10. Reparte 130 euros entre A, B y C de modo que C reciba el doble de A y 15 euros menos

de lo que recibe B.

11. Tengo 1,85 euros en monedas de 10 céntimos y 5 céntimos. En total tengo 22 monedas

¿cuántas tengo de cada clase?

Soluciones: (1) 31, 32, 33. (2) 7 y 18. (3) 15 años. (4) 4 y 14. (5) 11 y 14. (6) 36 y 12.

(7) A: 50; B:100; C: 150. (8) 2,50 y 5,50. (9) 41·20,5= 840,5 m2; (10) A: 23, B: 61 y C: 46.;

(11) 15 de 10cts y 7 de 5cts


3. SISTEMAS DE ECUACIONES Están formados por varias ecuaciones con solución común.

Estudiaremos sistemas 2x2 (dos ecuaciones y dos incógnitas).

3.1. Empareja cada sistema con su solución.

a)

52

4

yx

yx b)

1

24

yx

yx c)

yx

yx

5

7 d)

156

032

yx

yx

S1) x = 3, y = 2; S2) x = -2, y = 5; S3) x = 2, y = 3; S4) x = 1, y = 3

MÉTODO DE REDUCCIÓN

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. Las sumamos y desaparece una de las incógnitas. Se resuelve.

3. Se sustituye en una de las ecuaciones iniciales obteniendo el valor de la otra incógnita.

3.2. Resuelve los siguientes sistemas por reducción:

1. 53

734

=y2x

=y+x

2. 22 -=y+x-

3=2y+3x

3. 823 -=y+x-

3=y+2x

4. 2=2y+2x

5=y-x

5. 44

333

-=y-2x

=y+x

6. 1-=3y+x-

=y-x 72

Soluciones: 1. x=1, y=1; 2. x=1, y=0; 3. x=2, y=-1; 4. x=3, y=-2; 5. x=0, y=1; 6. x=4, y=1

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye esta incógnita en la otra ecuación. Se resuelve.

3. Sustituyendo la solución en la incógnita despejada, obtenemos la otra incógnita.

3.3. Resuelve por sustitución:

1.

1332

5

yx

yx

2.

023

72

yx

yx

3.

112

1323

yx

yx

4. 0=2y+3x

1=y+x

Soluciones: 1. x=2, y=3; 2. x=2, y=-3; 3. x=5, y= 1; 4. x=-2, y= 3


MÉTODO DE IGUALACIÓN

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se despeja la misma incógnita en la otra ecuación

3. Se iguala

3.4. Resuelve por igualación:

1.

1332

5

yx

yx

2.

023

72

yx

yx

3.

112

1323

yx

yx

4. 0=2y+3x

1=y+x

Soluciones: 1. x=2, y=3; 2. x=2, y=-3; 3. x=5, y=-1; 4. x=-2, y= 3

3.5. Problemas con sistemas

1. En un corral de conejos y gallinas hay 25 cabezas y 80 patas. ¿Cuántos animales de cada

clase hay?

2. La suma de dos números es 14 y su diferencia 4 ¿Cuáles son esos números?

3. En una granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros.

¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

4. Se quieren mezclar vino de 6 euros con otro de 3,50 euros, de modo que resulte vino con un

precio de 5 euros el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de

la mezcla?

5. El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y sabemos que su base es 5 cm más larga que su

altura. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar las dimensiones del rectángulo.

3.6. Resuelve por cualquier método:

a)

502

30

yx

xy b)

1035

673

yx

yx

c)

)1(3

5

xy

xy d)

7)2(2)1(3

5)1(2

yx

yx


4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ax2 + bx + c = 0 Tiene dos soluciones: x =

a

acbb

2

42

4.1. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado, usando la fórmula:

1) x2 - 7x + 12 = 0 Sol: x=3; x=4

2) x2- 2x - 3 = 0 Sol: x=3; x= -1

3) x2- 5x+ 6 = 0 Sol: x=2; x= 3

4) x2- 2x - 15 = 0 Sol: x= 5; x= -3

5) x2 + x- 6 = 0 Sol: x= -3; x= 2

6) x2- 6x+ 9 = 0 Sol: x=3 (doble)

7) 6x2 + x -2 = 0 Sol: x=1/2 ; x= -2/3

8) 4x2 = 3 – 4x Sol: x=1/2;x=-3/2

9) 2x2 = 5x - 2 = 0 Sol: x=1/2; x=2

10) 3x2 +5x- 2 = 0 Sol: x=1/3; x= -2

11) 2x2+ 10x- 48 = 0 Sol: x=3; x=-8

12) x2- x = 20 Sol: x=-4; x=5

13) x2 = 5x + 6 Sol: x=6; x=-1

14) 2x2- 5x+ 3 = 0 Sol: x=1; x=3/2

15) x2+ 10x+ 25 = 0 Sol: -5 (doble)

16) x2+ 9 = 10x Sol: 1 y 9

17) 3x2- 39x + 108 = 0 Sol: 4 y 9

18) 2x2- 9x + 9 = 0 Sol: 3 y 3/2

19) 3x2+ 2x = 8 Sol: -2 y 4/3

20) 4x2+ 12x + 9 = 0 Sol: -3/2 (doble)

4.2. Resuelve las siguientes ecuaciones a la vista de su descomposición:

1) (x-2).(x-3)=0 Sol: 2 y 3

2) x.(2x-4)=0 Sol: 0 y 2

3) (x+1).(2x-1)=0 Sol: -1 y ½

4) (x-2)2 = 0 Sol: 2 (doble)

5) 7.(2x-6).(x+3) = 0 Sol: 3 y -3

6) (x-4).(x+3) = 0 Sol: 4 y -3


ECUACIONES 2º GRADO SIN TÉRMINO X:

Despejamos la x2 y extraemos la raíz cuadrada

Ejemplos:

Solución:

4.3. Ecuaciones 2º grado sin término de x:

a) 3x2 – 27 = 0 Sol: 3

b) 2x2 – 8 = 0 Sol: 2

c) 2x2/3 – 6 = 0 Sol: 3

d) 9x2

= 4 Sol: 2/3.

ECUACIONES 2º GRADO SIN TÉRMINO INDEPENDIENTE:

Factorizamos e igualamos a cero cada factor

Ejemplos:

2x2

- 5x = 0 x(2x - 5) = 0

052

0

x

x

2

50

x

x

4.4. Ecuaciones 2º grado sin término independiente

a) x2

- 5x = 0 Sol: 0 y 5

b) x2 + 16x = 0 Sol: 0 y -16

c) x2 + x = 0 Sol: 0 y -1

d) x2 – x = 0 Sol: 0 y 1

03 c)

0123 b)

36 a)

2

2

2

xx

x

x

2

2 2 2

2

a) 36 36 6 y 6

b) 3x 12 0 3 12 4 2 y 2

0c) 3 0 3 0

3

x x x x

x x x x

xx x x x

x


Lecc. 6. GEOMETRÍA GEOMETRÍA PLANA: 1. Polígonos; 2. Triángulos. 3. Cuadriláteros. 4. Polígono regular;

5. Circunferencia y círculo

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO: 6. Cuerpos en el espacio, Áreas; 7. Volúmenes

GEOMETRÍA PLANA

1. POLÍGONOS Polígono es una figura plana, cerrada y limitada por segmentos.

Clasificación según número de lados

Lados: son los segmentos que forman el polígono

Vértices: son los extremos de los lados

Diagonales: son los segmentos determinados por cada dos vértices no consecutivos

2. TRIÁNGULOS Triángulo es el polígono de tres lados.

Teorema: En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180º

Clasificación según sus lados:

Equilátero: 3 lados iguales

Isósceles:

2 lados iguales

Escaleno:

3 lados desiguales

Clasificación según sus ángulos:

Rectángulo:

tiene un ángulo recto

Acutángulo:

los tres ángulos agudos

Obtusángulo: un ángulo obtuso


En el triángulo rectángulo llamamos:

Catetos, a los lados del ángulo recto.

Hipotenusa, al lado opuesto al ángulo recto

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo:

cateto2 + cateto

2 = hipotenusa

2

2.1. Ejercicios:

a) Calcula en cada figura el lado que falta

b) Calcula la diagonal de un cuadrado de 9 cm de lado.

c) Calcula la altura del triángulo equilátero de 8 cm lado.

d) Completa las siguientes ternas pitagóricas: (cat, cat, hip);

(3 , 4, h); (5, c, 13); (c, 8, 17);

(c, 24, 25); (20, 21, h); (9, c, 41).

2.2. Determina si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. Sugerencia: aplica Pitágoras considerando catetos los lados más cortos; Compara con el tercer lado.

a) a = 15 cm, b = 10 cm, c = 11 cm

b) a = 35 m, b = 12 m, c = 37 m

c) a = 23 dm, b = 30 dm, c = 21 dm

d) a = 15 m, b = 20 m, c = 25 m

e) a = 11 m, b = 10 m, c = 7 m

f) a = 14 cm, b = 28 cm, c = 14 cm

Soluciones: a) Obtusángulo. b) Rectángulo. c) Acutángulo. d) Rectángulo. e) Acutángulo. f) Obtusángulo.


ÁREA DEL TRIÁNGULO

Altura de un triángulo es la recta perpendicular

trazada desde un vértice al lado opuesto (o su

prolongación).

Hay una altura sobre cada lado

2

• alturabaseÁrea

2.3. Calcula:

a) El área de un triángulo de base = 12 cm y altura = 8 cm

b) La base de un triángulo que tiene 14 cm2 de área y 4 cm de altura

c) La altura de un triángulo que tiene 735 cm2 de área y 42 cm de base

d) Área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 13 cm, y el desigual, 10 cm.

2.4. Calcula:

a) Calcula la altura sobre la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo:

b) Calcula la altura sobre la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo:

c) Calcula la hipotenusa, la altura h y los segmentos m y n


3. CUADRILATEROS Cuadrilátero es el polígono de cuatro lados

Tipos:

Área de los Cuadriláteros:

Rectángulo (y cualquier paralelogramo):

A = base · altura

En el cuadrado, base y altura coinciden con el

lado, por lo que se puede expresar:

A = lado · lado

El Rombo es un paralelogramo y sirve

A = base x altura, pero también se puede

calcular conociendo las diagonales:

A = D d•

2

Trapecio: A = B b

h

2•

3.1. Ejercicios:

a) Halla el área de un rectángulo de 12 m de base y 8 m de altura

b) Halla el área de un rombo de diagonal mayor D = 9 m y diagonal menor d = 6 m

c) En un rombo d= 8 m y Área = 60 m2, obtener la diagonal mayor D

d) Halla el área de un trapecio isósceles de bases B= 18 m; b= 12 m y lado oblicuo 5 m

e) Halla la base de un rectángulo que tiene 52 dm2 de área y 4 dm de altura

f) Halla el área de un trapecio rectángulo de bases 30 cm y 38 cm y lado oblicuo 17 cm.


4. POLÍGONO REGULAR Polígono regular es el polígono que tiene sus ángulos y lados iguales

Centro C: Punto interior que equidista de cada vértice

Radio r: segmento que une el centro con cada vértice.

Apotema a: segmento que une el centro con el punto medio de un

lado.

4.1. Ejercicios:

a) Calcula el perímetro, la apotema y el radio y de un cuadrado de lado 10 cm. Calcula su área

usando la fórmula del cuadrado y la del polígono regular.

b) Calcula la apotema y el área de un octógono regular de 7,84 m de radio y 6 m de lado

c) Calcula la apotema y el área de un pentágono regular de 5 m de radio y 5,30 m de lado

ÁREA DEL POLÍGONO REGULAR:

2

apotema • perímetroA

Un hexágono regular se descompone en seis triángulos.

El ángulo central vale 60º, por tanto los otros ángulos

de cada triángulo miden también 120/2 = 60º.

Entonces cada triángulo es equilátero

Por tanto, en el hexágono regular, . lado = radio .

Esta particularidad solo la tiene el hexágono

4.2. Ejercicios:

a) Calcula el área del hexágono regular de lado 4 cm

b) Calcula el área del hexágono regular de radio 6 m


5. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Circunferencia es la línea formada por

puntos equidistantes de otro punto llamado centro

longitud = 2··r (=3,14)

Radio: une el centro con cualquier punto de la circunferencia

Diámetro: une dos puntos de la circunf. y pasa por el centro

Cuerda: une dos puntos cualquiera de la circunferencia

Tangente: Recta exterior con un punto de contacto

El número lo da la naturaleza:

es el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro

5.1. Ejercicios:

a) Calcula la longitud de una circunferencia de 12 cm de radio.

b) Una rueda de bicicleta recorre 2,512 metros cuando da una vuelta.

¿Qué radio tiene la rueda? S: 40 cm.

c) Una rueda de un coche tiene de radio 20 cm.

¿Cuántos metros habrá recorrido cuando haya dado 15.000 vueltas?. S: 18.840 m

d) La Tierra tiene aproximadamente 40.000 Kilómetros de contorno, medido sobre el ecuador.

¿Cuál es su radio?. S: 6.369 km.

e) Una rueda tiene 25 cm de radio. ¿Cuántas vueltas debe dar para recorrer 20 km?. S: 12738 v

f) La longitud de una circunferencia es de 30 m. ¿Cuál es su diámetro?. S: 9,55

g) Una rueda dio 4000 vueltas para recorrer 10 km. Calcula su radio (en cm). S: 39,8 cm

h) La rueda de los caballitos ha dado 15 vueltas. ¿Qué distancia ha recorrido un caballito que

está a 6 m del centro de giro. S: 565 m

i) Calcula el área de cada uno de los dos cuadrados de la figura, sabiendo que el radio de la

circunferencia es de 2 m


Círculo es la superficie encerrada por

la circunferencia

Área = ·r2

Corona circular Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos

Área = ·(R2 - r

2)

5.2. Ejercicios:

a) Calcula el área de un círculo de 12 cm de radio

b) Calcula el área de una plaza circular de 30 m de diámetro (antes calcula el radio)

c) Calcula el área de una corona circular de radio mayor = 30 cm y de radio menor 15 cm

d) Calcula el área de una corona circular de radio mayor = 50 cm y de radio menor 35 cm

5.3. Ejercicios:

a) En un parque de forma circular de 40 m de radio hay situada en el centro una fuente,

también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

b) Calcula el área de la parte sombreada de la figura 1, si el lado del cuadrado mide 20 cm

c) Calcula el área de la parte sombreada de las siguientes figuras


GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

6. CUERPOS EN EL ESPACIO. ÁREAS

Poliedro es un cuerpo cerrado, limitado por

superficies planas.

Prisma es el poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas (llamadas bases) y cuyas caras

laterales son paralelogramos

Se llama “prisma recto” si las caras son perpendiculares a la base

Si bases y caras son rectángulos, recibe el nombre de “Ortoedro”.

Pirámide es el poliedro con una cara polígono (base de la pirámide), y el resto de caras son

triángulos que se unen en un punto llamado vértice de la pirámide

Área total = Abase+Alateral =

2

·2 apotemaPerímetroa

Cuerpos redondos son las figuras del espacio cerradas no limitadas por caras planas.

Cilindro:

Se obtiene con la revolución de un

rectángulo

Área total = 2·Abase+Alateral =

2··r2 + 2··r·h

Cono:

Se obtiene con la revolución de un

triángulo rectángulo

Área total = Abase+Alateral =

·r2 + ·r· g

Esfera:

Se obtiene por revolución de una

circunferencia

Área = 4··r2


7. VOLÚMENES

Volumen del prisma y del cilindro:

hSV B

Volumen de la pirámide y del cono:

3

hSV B

Volumen de la esfera:

3

··4 3rV

Recuerda las unidades volumen y capacidad:

m3 dm

3 cm

3

1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Kl Hl Dl litro dl cl ml

7.1. Ejercicios - prisma:

a) Calcula el volumen (en litros) y área total de una habitación que tiene 3 m de largo, 5 m de

ancho y 2,5 m de altura.

b) Calcula el volumen (en litros) y área total de un tetrabrik de leche que tiene una base de 9

cm de largo y 6 cm de ancho y una altura de 19 cm.

c) Calcula el volumen (en litros) y área lateral de una piscina de 10 m de largo, 6 m de ancho y 1,60 m de profundidad.

a) A = 70 m2; V= 37500 litros. b) A= 678 cm2. V= 1,02 litros; c) A= 51,2 m2. V= 96000 litros;


7.2. Ejercicios - cilindro:

a) Calcula el volumen (en litros) y área total de un cilindro que tiene una base de 2 m de radio

y una altura de 5 m.

b) Calcula el volumen (en litros) y área total de un cilindro que tiene una base de 2,5 m de

radio y una altura de 6 m.

a) A = 87,92 m2; V= 62800 litros. b) A= 117,75 m2. V= 117750 litros;

7.3. Ejercicios - pirámide:

a) Calcula la apotema, el volumen (en litros) y área total de una pirámide que tiene una base

cuadrada de 3 m de lado y una altura de 4 m.

b) Calcula la apotema, el volumen (en litros) y área total de una pirámide que tiene una base

cuadrada de 4,5 m de lado y una altura de 5 m.

c) Calcula la apotema, el volumen (en litros) y área total de una pirámide de base cuadrada de

6 m de lado y con una apotema de la cara lateral de 5 m

a) Apot= 4,27; A = 34,62 m2; V= 12000 litros. b) Apot=5,48; A= 49,32 m2. V= 33750 litros;

7.4. Ejercicios - cono:

a) Calcula el volumen (en litros) y Área de un cono de radio base 3 m y altura 5 m.

b) Calcula el volumen (en litros) y Área de un cono de radio base 2,5 m altura 4 m.

c) Un cono tiene de volumen 1000 litros, y un radio de la base de 80 cm. Calcula su altura.

a) V= 47100 litros; g= 5,83 m; A= 83,18 m2.

7.5. Ejercicios - esfera:

a) Obtener el área y el volumen (en litros) de una esfera de 1 m de radio.

b) Calcula el área y el volumen (en litros) de una esfera de diámetro 80 cm.

c) El balón reglamentario de fútbol es de cuero o similar, con un perímetro de 68 cm

Calcula su radio y su volumen a) A = 12,56 m2; V= 4,18 m3. b) A= 80384 cm2. V= 2.143.573 cm3; c) R = 10,82cm, V= 5303 cm3

7.6. Ejercicios repaso:

a) Una caja en forma de ortoedro tiene 9 cm de larga y 6 cm de ancha. Su área total es 228

cm2. Halla su altura y su volumen.

b) El área total de un cubo es 150 cm2. Halla su arista y su volumen.

c) Una esfera tiene un área de 452,16 cm2. Calcula el radio y su volumen.

d) Un depósito cilíndrico de 10.000 litros tiene un diámetro de la base de 1,80 m

¿Cuál es su altura?

a) h=4 cm. V= 216 cm3. b) a= 5 cm. V= 125 cm3; c) R = 6cm, V= 904,32 cm3; d) 3,931 m

Apuntes redactados por Juan Egea, profesor del CEA Infante. Murcia

CEA INFANTE

Murcia

MATEMÁTICAS

Nivel II – ESPA

2º Cuatrimestre

Nivel II - Segundo cuatrimestre - Pág. 61

Lecc. 7. FUNCIONES Y GRÁFICAS

1. Coordenadas cartesianas; 2. Gráficas; 3. Concepto de función.

4. Representación gráfica de rectas. 5. Recta que pasa por dos puntos

6. Resolución gráfica de sistemas; 7. Representación de Parábolas.

1. COORDENADAS CARTESIANAS

Ejes Cartesianos o de coordenadas son dos rectas perpendiculares, con un punto en común

Eje horizontal: se llama eje X o eje de abscisas.

Eje vertical: se llama eje Y o eje de ordenadas.

Punto donde se cortan los dos ejes: se llama origen de coordenadas.

Coordenadas de un punto

Cualquier punto del plano queda determinado por sus coordenadas P(x, y)

x: se mide sobre el eje X, se llama abscisa del punto.

y: se mide sobre el eje Y, se llama ordenada del punto.

Ejemplo: P(3,2) :

El punto P tiene de abscisa 3 y de ordenada 2

o bien, la coordenada x de P es 3 y la coordenada y es 2

Su representación es:


1.1. Representa los siguientes puntos:

A (2, 3)

B (4, 3)

C (-3, 4)

D (-2, -4)

E (3, -4)

F (-2, -1)

1.2. Representa los siguientes puntos:

O (0, 0)

B (0, 3)

C (-3, 0)

D (-2, 0)

E (3, 0)

F (0, -4)

1.3. Dibuja un cuadrado de lado 3 cuyo vértice inferior izquierdo está en (-1, -2).

Escribe a continuación las coordenadas de sus cuatro vértices.

1.4. Dibuja un cuadrado de lado 5 cuyo superior derecho está en (3, 4).

Escribe a continuación las coordenadas de sus cuatro vértices.


2. GRÁFICAS

Dado un conjunto de datos (temperaturas, pesos, etc….), asociados a otros datos (horas, edad, etc. ),

podemos representarlos con sendos puntos, y unirlos mediante segmentos.

Obtenemos así una gráfica en la que observamos los datos, su variabilidad, tendencia etc.

Ejemplo 1: En la siguiente gráfica se recogen las temperaturas de un paciente a lo largo de un día

a) ¿Que temperatura tenía a las 8 de la mañana?

b) ¿A qué hora alcanzó la temperatura máxima?

c) ¿A qué hora alcanzó la temperatura mínima?

Ejemplo 2:

En la siguiente gráfica se recogen horas trabajadas cada día, a lo largo de diez días

a) ¿Cuántas horas trabajó el día cuatro?

b) ¿Qué día trabajó más horas?

c) ¿Qué día trabajó menos horas?


3. CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función y = f(x) es un criterio o fórmula que, dado un valor “x”

le hace corresponder un único valor “y”: x -----> y

Ejemplo: “Precio = 5*nº kilos + 3 de gastos envío” a cada nº de kilos corresponde un precio

3.1. Completa las tablas de valores de las siguientes funciones:

a) y = 3x + 1

Completa los valores de y:

x y

-2

-1

0

1

b) y = x2 - 2


X y

-2

-1

0

1

c) y = 2x - 5 Completa los valores de y:

x y

-2

-1

0

1

d) y = 2x2 + 1


X y

-2

-1

0

1

3.2. Completa las tablas de valores de las siguientes funciones:

a) y = -2x - 1 Completa los valores de y:

x y

-2

-1

0

1

b) y = -x2 + x - 3


x y

-2

-1

0

1

c) y = -2x2 – 3x


x y

-2

-1

0

1

d) y = -x2 - x + 1


x y

-2

-1

0

1


Representación gráfica de una función

Es un problema extenso en el que solo nos iniciaremos con funciones sencillas. Para representarlas lo más básico es el cálculo de puntos:

a) Calculamos puntos de la función mediante una tabla de valores.

b) Representamos estos puntos y los unimos. Obtenemos así una aproximación de la gráfica.

Ejemplo: Representa gráficamente y = 3x + 1

a) Obtenemos puntos

mediante una tabla de

valores:

b) Representamos los

puntos obtenidos y los

unimos

Representación gráfica de y = 3x + 1

3.3. Representa gráficamente: y = 2x - 1

a) Obtenemos puntos

mediante una tabla de

valores:

b) Representamos los

puntos obtenidos y los

unimos


4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RECTAS Representaremos cualquier función del tipo y = mx + n,

Contamos con una gran ventaja. Sabemos de antemano que para este tipo de funciones los puntos

obtenidos están alineados, o sea, forman una línea recta.

Y como dos puntos determinan una recta, es suficiente con obtener dos puntos para realizar la

representación de las funciones del tipo y = mx + n

4.1. Representa las siguientes rectas

1) y = 2x -3

2) y = - 2x + 5

3) y = 3x + 1

4) y = -x + 3

5) y = 2x + 1

6) y = -3x + 4

m = PENDIENTE

En la recta y = mx + n

m se llama "pendiente" de la recta.

m positiva, “recta hacia arriba”

m negativa, “recta hacia abajo"

Cuánto más grande es m, más crece “y”

para el mismo aumento de “x”, por lo que

hay "más inclinación" de la recta.

n = CORTE DEL EJE Y

En la recta y = mx + n

n es el valor donde la recta corta al eje y

Ejemplos:

y = -x + 3 (n=3)

corta al eje Y en y = 3

y = 3x + 1 (n=1)

corta al eje Y en y= 1


4.2. Representa las siguientes rectas

1) y = 2x -3

2) y = -3x + 1

3) y = 2

53 x

4) y = 3

12 x

5) y = 2

x - 1

PARALELISMO.

Dada la recta y = mx + n, cualquier otra recta con la misma pendiente “m” será paralela.

En particular, la paralela que pasa por P(x0, y0) es . y - y0 = m.(x-x0) .

Ejemplo:

4.3. Calcular las ecuaciones de las rectas paralelas a las siguientes rectas:

a) Paralela a y = 2x + 1 que pasa por el punto A(2,3)

b) Paralela a y = x - 3 que pasa por el punto B(1, 5)

c) Paralela a y = 3x + 1 que pasa por el punto C(-2, -2)

d) Paralela a y = x + 7 que pasa por el punto D(-3, 5)

GEOGEBRA: Si en Internet realizas la búsqueda “Geogebra online” llegarás a la página

www.geogebra.org/webstart/geogebra.html en la que, sin instalar nada, puedes realizar muy fácilmente

representaciones gráficas de rectas y de cualquier otra función.

http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html‎


5. RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS A partir de una recta hemos obtenido puntos (mediante la tabla de valores), que nos han servido para

representarla.

Ahora vamos a hacerlo al revés: dados dos puntos calcularemos la ecuación de la recta que pasa por

ellos, usando la fórmula:

),(

),(

111

000

yxP

yxP

01

0

01

0

yy

y -y

xx

x-x

Ejemplo: Obtener la recta que pasa por A(-1, 3); B(3, -5)

3-5-

3 -y

(-1)3

(-1) -x

3-5-

3 -y

13

1x

8-

3 -y

4

1x

Quitamos ahora los denominadores, igualando el

producto cruzado (producto de diagonales):

4(y - 3) = -8(x+1)

4y – 12 = -8x – 8

4y = -8x – 8 + 12

4y = -8x + 4

4

4 8x - y

y = -2x + 1

es la ecuación de la recta buscada

Recta y = -2x + 1

5.1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

a) A(1.2) y B(-1, 5).

b) A(3, -2) y B(2, 0).

c) A(0, 3) y B(3, 0).

d) A(-3, -4) y B(3, 1).

e) A(-2, -3) y B(0, 4).

f) A(-3, 0) y B(0, 2).


5.2. Obtener la ecuación de la recta que tiene la siguiente gráfica: (sugerencia: toma dos puntos por los que pase la recta, y aplica la fórmula anterior)

6. RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS Se representan las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones del sistema.

La solución del sistema será el punto de corte de las rectas.

Ejemplo:

62

15

=yx

=yx

Se despeja la y en las dos ecuaciones:

Primera ecuación: y = 5x - 1

Segunda ecuación: y = -2x + 6

Se representan esas dos rectas, y el punto de

corte es la solución del sistema

Solución = punto de corte:

x = 1

y = 4


6.1 Resuelve gráficamente los sistemas de ecuaciones:

a. 1=y-2x

=y+x 54

b. 12

12

-=y+x-

=2y+3x

c. 42 -=y+x-

3=y+2x

d. 4=y+2x

5=y-x


7. REPRESENTACIÓN DE PARÁBOLAS Al representar una función del tipo y = ax

2

+ bx + c tenemos una ventaja:

Sabemos de antemano que los puntos obtenidos formarán una parábola (curva con forma de “u”)

Orientación de la parábola:

Tendrá ramas hacía arriba si a es positivo,

El valor mínimo se llama vértice.

Tendrá ramas hacia abajo si a es negativo.

El valor máximo se llama vértice.

Vértice de la parábola:

Vértice V(x,y)

La abscisa “x” se obtiene con: a

bx

2

La ordenada “y” se obtiene en la tabla de valores

Ejemplo 1. Representa y = x2

- 4x + 1

1

4

1

c

b

a

1) Orientación:

a positivo, ramas hacia arriba:

2) Vértice: 22

4

2

a

bx

3) Tabla:

*En el centro colocamos el vértice.

*Añadimos dos valores anteriores y dos

posteriores. Calculamos:

x y

A 0

B 1

Vértice 2

C 3

D 4


Ejemplo 2. Representa y = -x2

+ 2x + 1

1

2

1

c

b

a

1) Orientación:

a negativo, ramas hacia abajo:

2) Vértice:

a

bx

2

3) Tabla:




x y

A

B

Vértice

C

D

Ejemplo 3. Representa y = x2

- 2

2

0

1

c

b

a

1) Orientación:

a=1, positivo, ramas hacia arriba:

2) Vértice:

a

bx

2

3) Tabla:




x y

A

B

Vértice

C

D


7.1. Representa las siguientes parábolas:

(a) y = x

2 + 2x +1

(b) y = -x2 – 4x

(c) y = -x2

(d) y = -x2 + 4

(e) y = x2 – 4x + 6

(f) y = -2x2

(g) y = -2x2 – 4

(h) y = x2 + 4x - 1

(i) y = -x2 - 4x + 1

(j) y = -x2 – 2x + 1

(k) y = x2 – 5x + 6

(l) y = 2x2 – 6x


Lecc. 8. NÚMEROS REALES 1. Aproximaciones; 2. Error; 3. Notación científica; 4. Radicales; 5. Racionalización.

1. APROXIMACIONES

Cuando se aborda un problema, decidimos la precisión con que daremos las cifras:

Con un decimal (aprox. a decimas); Con dos (aprox. a centésimas). Con tres3 (aprox. milésimas)

Hay dos procedimientos para aproximar:

Truncar: es simplemente tachar las cifras sobrantes

Redondear: tachar y ajustar la última cifra no tachada, para minimizar el error.

Ejemplo: aproxima 2,38 a décimas

Si 2,38 2,3 se aparta 8 centésimas del valor real

Si 2,38 2,4 se aparta 2 centésimas del valor real (aproximación más conveniente)

2,3 sería el truncamiento; 2,4 sería el redondeo

PROCEDIMIENTO PARA REDONDEAR:

Dividimos las terminaciones en dos grupos

Si la primera cifra suprimida es del primer grupo, mantenemos la última cifra.

Si la primera cifra suprimida es del segundo grupo, aumentamos en uno la última cifra.

Ejemplo: Redondea a décimas 2,35

Primera cifra a suprimir = 5 2,35 2,4

Ejemplo: Redondea a centésimas 8,457…

Primera cifra a suprimir = 7 8,457 8,46

Puedes redondear con la Hoja de cálculo. Selecciona las cifras, elige formato número y selecciona el

número de decimales a mostrar.

1.1 Realiza los siguientes redondeos:

Número

Redondeo a

décimas Número

Redondeo a

centésimas

2,37 2,3781

3,65 3,654

9,83 9,835

6,254 6,2542

12,75 5,145 Puedes comprobar en hoja de cálculo, introduciendo los números y dándoles formato de número con un decimal o con dos decimales


2. ERROR Cuando suprimimos cifras nos apartamos del valor verdadero, o sea, introducimos un error.

Error absoluto = aproximado valor - realvalor

Ejemplo: redondea 2,37 a décimas y calcula el error absoluto

Valor real: 2,37; Valor aproximado: 2,4

Error absoluto = 2,4 - 2,37 = 0,03

El error relativo da más información, pues expresa el error como porcentaje del valor real

Error relativo = 100realvalor

absolutoerror

Ejemplo: redondea 2,37 a décimas y calcula el error relativo


Error relativo = 0126,037,2

03,0

37,2

2,4 - 2,37 1,26%

Ejemplo: redondea a décimas 0.613 y calcula el error relativo


Error relativo = 0212,0613,0

013,0

613,0

0,6 - 0,613 = 2,12%

2.1 Ejercicios:

1. Redondea a centésimas 0,135 y calcula el error absoluto y relativo

2. Redondea a décimas 0,45 y calcula el error absoluto y relativo

3. Tomamos 3 como valor aproximado de ...14,3 , Obtener el error absoluto y relativo.

4. Tomamos g = 10 como valor aproximado de g = 9,81.., Obtener el error absoluto y relativo

5. En vez de 7,12 euros he cobrado 7 euros. Obtener el error absoluto y relativo.


3. NOTACIÓN CIENTÍFICA

EXPONENTE NEGATIVO (repaso):

Recordamos que nn

0n-

a

1

a

aa n

n-

aa

1

Recordamos unidades usando exponentes:

metro (m)

Submúltiplos

Múltiplos

Valor Símbolo Nombre Valor Símbolo Nombre

10−1

m dm decímetro 101 m dam decámetro

10−2

m cm centímetro 102 m hm hectómetro

10−3

m mm milímetro 103 m km kilometro

10−6

m µm micrómetro 106 m Mm megametro

10−9

m nm nanómetro 109 m Gm gigametro

10−12

m pm picometro 1012

m Tm terametro

NOTACIÓN CIENTÍFICA:

Se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Consiste en escribir los números en la forma:

a·10n siendo 1a<10 .

Ejemplos:

Distancia media tierra/sol: 150 000 000 000 m = 1,5·1011

m

Masa de un electrón: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 9 g = 9,109·10–28

g

3.1. Escribe en notación científica:

a) 210 000 000 000

b) 2 500 000 000 000

c) 58 400 000 000

d) 0,000 000 372

e) 0,000 000 004

f) 0,000 978


3.2. Ajusta a notación científica:

a) 210 • 106 = 2,10 • 10

8

b) 0,024 • 10-4

= 2,4 • 10-6

c) 345,2 • 105 =

d) 21,54 • 106 =

e) 0,75 • 104 =

f) 0,75 • 10-4

=

g) 3210 • 109 =

h) 54,21 • 107 =

3.3. Pasa de notación científica a notación decimal:

a) 2,10 • 108 =

b) 2,4 • 10-6

=

c) 7,3 • 10-7

=

d) 3,741 • 107 =

e) 9,34 • 10-5

=

f) 4,92 • 105 =

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Ejemplo. Multiplica 3,75·10-4

por 8,5· 107 y expresa el resultado en notación científica

Solución: 3,75·10-4

· 8,5· 107 = 31,875 · 10

3= 3,1875 · 10

4

Ejemplo. Multiplica 7,5 ·105 por 2,75 ·10

7 y expresa el resultado en notación científica

Solución: 7,5·105 · 2,75·10

7 = 20,625·10

12 = 2,0625·10

13

3.4. - Multiplica y expresa el resultado en notación científica

a) 9,25·10-2

· 3,2· 107

b) 7,5·10-3

· 9,2· 107

c) 5,75 ·105 · 6,05 ·10

-9 =

d) 8,12 ·106 · 4,5 ·10

8 =

e) 2,16 · 106 · 8,5 ·10

-7 =

f) 1,75 ·108 · 6,45 ·10

-4 =


SUMA DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Ejemplo. Suma 4,5·105 + 1,27·10

3 + 5,3·10

4 y expresa el resultado en notación científica.

1º. Llevamos las cantidades a la potencia más elevada (en este caso a 5):

4,5·105 = 4,5·10

5

1,27·103 = 0,0127·10

5

5,3·104 = 0,53·10

5

2º. Sumamos:

4,5·105 + 0,0127·10

5 + 0,53·10

5 = (4,5 + 0,0127 + 0,53)·10

5 = 5,0427·10

5

3.5. Suma y expresa el resultado en notación científica

a) 1,8·104 + 1,43·10

7 + 2,53·10

3 =

b) 2,7·109 + 1,1·10

6 + 2,62·10

8 =

c) 1,4·10-7

+ 2,93·10-4

+ 2,53·10-6

=

d) 2,8·10-8

+ 6,52·10-5

+ 2,53·10-7

=

4. RADICALES

Propiedad fundamental:

baba .· b

a

b

a

No se cumple para sumas o restas: baba

4.1. Calcula los resultados:

a) 2·2

b) 3·3

c) 4·4

d) 5·5

e) 6·6

f) 7·7

g) 8·8

h) 9·9

Sol: a) 2; b) 3; c) 4; d)5; e) 6; f) 7; g) 8; h) 9 .


4.2. Calcula los resultados:

a) 2·18

b) 2·50

c) 4·9

d) 3·12

e) 8·2

f) 8·18

g) 20·5

h) 2·32

Sol: a) 6; b) 10; c) 6; d) 6; e) 4; f) 12; g) 10; h) 8 .

4.3. Escribe bajo la forma a b :

a) 18 232·92·9

b) 50 =

c) 72 =

d) 450 =

e) 27

f) 45

g) 75

h) 125

Sol: a) 23 ; b) 25 ; c) 26 ; d) 215 ; e) 33 ; f) 53 ; g) 35 ; h) 55 ;

4.4. Escribe bajo la forma a b y agrupa los resultados:

a) 33752275 =

b) 45612552 =

c) 3122272 =

d) 32218502 =

Sol: a) 38 ; b) 511 c) 3 ; d) 25

5. RACIONALIZACIÓN Racionalizar una fracción consiste en quitar del denominador las raíces, y conseguir que en su lugar

haya un número entero.

Y… por qué se hace esto, ¿qué más da?. El motivo es que con denominador entero, la fracción está

preparada para operar con ella y para posibles simplificaciones. Una fracción con raíces en el

denominador es poco manejable.

Ejemplo de racionalización:

2

25

2·2

2·5

2

5


5.1. Racionaliza:

a)

3

2

b) 5

3

c) 7

2

d) 2

1

e) 3 3

2 2

f) 3

2 3

g) 12

34

h) 2

85

Soluc: a)3

32; b)

5

53; c) ;

7

72 d)

2

2; e)

9

6 2; f) 6 ; g) 2; h) 10

5.2. Racionaliza:

a)

7

3

b) 87

5 2

c) 2

9

d) 3

25

e) 3

2 16

f) 5

12

Soluc: a)7

73; b)

14

5; c) ;

2

23 d)

3

35; e) 12; f) ;

5

152

5.3. Realiza las siguientes operaciones, usando identidades notables:

a) 2)21(

b) 2)53(

c) 2)23(

d) 2)27(

e) 2)32(

f) )25)·(25(

Sol: a) 3+ 22 ; b) 14-6 5 c) 5+2 6 ; d) 1429 ; e) 7 - 4 3 ; f) 23 .


Racionalización usando identidades notables

Ejemplo 1:

23

)25(3

225

)25(3

)25)·(25(

)25(3

25

3

Hemos multiplicado numerador y denominador por el conjugado del denominador

Ejemplo 2:

5.4. Racionaliza:

a) 13

1

b) 33

2

c) 23

2

d) 31

5

e) 23

3

Soluc: a)2

13 ; b) 3

33; c)

7

)23(2 ; d)

2

)31(5

; e) 63 .


Lecc. 9. PORCENTAJES. HOJA DE CÁLCULO

1. Porcentajes; 2. Aumentar un %; 3. Disminuir un %; 4. Hoja de cálculo

1. PORCENTAJES

Porcentaje = fracción con denominador 100, r% =100

r

Un % se calcula multiplicando, como cualquier otra fracción

Ejemplo: 12% de 300 euros: 300x12% = 100

12300x = 36 Euros

Problema directo: dada una cantidad calcula un %

1.1. Calcula:

Cantidad % Resultado

300 12 100

12300x = 300 x 0,12 = 36

900 15

1.200 16

800 5 100

5800x = 800 x 0,05 = 40

1.500 8

650 4

Problema inverso: dado un % , calcula la cantidad original

1.2. Calcula:

% de una cantidad Cantidad original

El 12% de una cantidad es 36 36 : 0,12 = 300

El 15% de una cantidad es 675


El 5% de una cantidad es 800 800 : 0,05 = 16000




1.3.

a) El 18% de retención de IRPF de un sueldo son 342 Euros. ¿Cuál es el sueldo?

b) Gasto 15% de la gasolina del depósito y quedan 42,5 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?.

1.4. Rellena los siguientes recuadros con los datos que faltan



2. AUMENTAR UN % Problema directo: Dada una cantidad, aumentarla un % determinado

2.1. Calcula:

Cantidad % Cantidad aumentada

300 12 300 x 1,12 = 336

900 12

1.200 16

800 5 800 x 1,05 = 840

1.500 8

2.800 2

Problema inverso: Dada una cantidad aumentada en un %, calcular la cantidad original

2.2. Calcula:

Precio aumentado Precio original

Precio aumentado un 12% = 336 336 : 1,12 = 300

Precio aumentado un 15% = 690

Precio aumentado un 14% = 10 260

Precio aumentado un 5% = 840 840 : 1,05 = 800



2.3. Completa las tablas:

Precio base

Precio con IVA 21%

300

825

225

2.150

5.400

700

Precio base

Precio con IVA 18%

400

650

325

1.950

6.500

800



2.5.

a) Una factura de 1600 Euros sube un 2,5%, ¿Cuál es el nuevo importe?

Sol. 1640 €

b) El coste de la vida ha subido un 9% un año y un 6% en el año siguiente.

¿Qué porcentaje ha subido en total en esos 2 años?

(Sugerencia, parte de 100 como cantidad inicial en el primer año, y observa su evolución

hasta el final del segundo año).

Sol: 15,54 %

3. DISMINUIR UN % (PRECIO REBAJADO)

Problema directo: Dada una cantidad, rebajarla un % determinado.

Lo que haremos es, en vez de calcular el % que nos rebajan, calcular el % que se debe pagar.

Por ejemplo, si rebajan 12% hay que pagar 88%

3.1. Calcula:

Cantidad % Cantidad rebajada

300 12 300 x 0,88 = 264

900 15

1.200 16

800 5 800 x 0,95 = 760

1.500 8

2.400 9


Problema inverso: dada una cantidad rebajada en un %, calcular la cantidad original

3.2. Calcula:

Precio rebajado Precio original

Precio rebajado un 12% = 264 264: 0,88 = 300

Precio rebajado un 25% = 1200

Precio rebajado un 12% = 1 056

Precio rebajado un 5% = 760 760 : 0,95 = 800



3.3. Completa las tablas:

Precio Precio rebajado un

30%

300

180

280

420

500

175

Precio Precio rebajado

un 15%

400

900

425

1.275

6.500

1105



3.7.

a) Un traje marcaba 150 euros. En rebajas el mismo traje cuesta 120 euros.

a) ¿Qué rebaja han hecho (en %)?

b) Si la rebaja hubiera sido del 15% ¿cuál sería el precio? Sol: a) 20%; b) 127,5

b) El precio de dos artículos sin IVA es de 25 euros y 17,6 euros.

Averigua cuál es el precio si se aplica un IVA 16%. Sol: 29 euros; 20,42 euros

c) Si un precio ha subido de 400 a 500 Euros,

¿Cuál ha sido el aumento en %?. Sol: 25%

d) El precio de un balón después de un 5% de descuento es de 9 euros.

¿Cuál era el precio inicial?. Sol: 9,47 euros.

e) Por un objeto de 800 euros nos cobran 640 euros.

¿Qué tanto por ciento de descuento nos han hecho? Sol: 20%

3.8.

a) En un supermercado el precio de un litro de leche es de 90 cts., y en la segunda unidad hacen

un 50% de descuento. Compro diez paquetes

a) ¿Cuánto debo pagar en total?

b) ¿Cuánto me cuesta en conjunto cada litro de leche?

c) ¿Qué porcentaje de rebaja supone en el total del precio?

Sol. a) 6,75 euros; b) 0,675 cada litro; c) un 25%

b) En las elecciones en una empresa el porcentaje de abstención fue del 25%.

El número de votos emitidos fue de 240. ¿Cuántos trabajadores tiene la empresa?.

Sol: 320 trabajadores

c) Después de haber subido el precio un 40% un objeto cuesta ahora 301 euros.

¿Cuál era su precio inicial?

Sol: 215 euros

d) La cantidad de agua de un embalse ha aumentado en un 35% respecto a la que había la

semana pasada. Ahora contiene 87,75 millones de litros.

¿Cuáles eran sus reservas la semana anterior?

Sol: 65 millones de litros


4. HOJA DE CÁLCULO

El paquete OFFICE de Microsoft incluye varios programas:

Word: procesador de textos

Access: gestor de base de datos

Power Point: aplicación de presentaciones de diapositivas

Excel: hoja de cálculo, o sea, un programa con el que se pueden realizar cálculos automáticos de números

que están en una tabla, y representaciones gráficas de los mismos.

El paquete OPENOFFICE (Software libre, de uso gratuito) incluye:

Writer: procesador de textos

Base: base de datos

Impress: presentaciones de diapositivas

Calc: hoja de cálculo.

LIBREOFFICE es otro paquete de uso gratuito, análogo a OpenOffice

En un mismo ordenador pueden estar instalados OpenOffice o LibreOffice y Microsoft Office sin

tener conflictos entre ellos.

4.1 En una hoja de cálculo…

a) Copia los datos de la figura:

b) TOTALES EN COLUMNA C

Clic en la celda C4

Introduce la fórmula =A4*B4 (para calcular cantidad * precio)

Pasa el puntero del ratón por la esquina

inferior derecha, y cuando aparezca el

“tirador de relleno” mantienes el clic y

“tiras” hacía abajo, hasta C8


c) SUMA DE LOS TOTALES

Inserta en C9 la fórmula =SUMA(C4:C8)

que sumará los datos de la columna C

Para ello es suficiente que sitúes el cursor

en C9 y hagas clic en el botón Suma:

d) Sombrea las filas 3 y 9 para que quede

finalmente así:

4.2. En una hoja de cálculo nueva

a) Copia los datos de la siguiente figura, y

"tira" hasta llegar al domingo:

b) Copia de la figura las ventas de Lunes a

Domingo


c) Introduce en B10 la función

=SUMA(B3:B9)

y en B11 la función

=PROMEDIO(B3:B9).

Puedes usar

Da a B10 y B11 formato número sin

decimales. Quedará finalmente:

Gráfico

Selecciona el rango B3:B9, y haz clic en el botón “Gráfico” de la barra de herramientas.

Selecciona alguno del tipo columnas.

Prueba las opciones hasta que te quede aproximadamente así:

4.3. En una hoja de cálculo nueva

a) Copia los datos de la siguiente figura:

v


b) En C2 introduce la fórmula =B2*(1+F2) = B2*(1+$F$2)

En D2 introduce la fórmula = C2*(1+F2) = C2*(1+$F$2)

(El signo $ se introduce para que al “tirar” de las fórmulas hacía abajo, F2 no se adapte.

Si tiras de las fórmulas sin añadir estos signos la referencia F2 se adapta a F3, F4… cuyo contenido es 0%, por lo que

no habría aumentos)

La referencia F2 se llama "referencia relativa"

La referencia $F$2 se llama "referencia absoluta"

Selecciona a la vez C2 y D2 y “tira” del tirador de relleno hacía abajo

Añade totales en fila 7, y da a las celdas formato número con dos decimales

4.4. Crea una hoja de cálculo nueva/ plantilla. Selecciona "Amortización de préstamos", y rellena

con los datos de algún préstamo ficticio para ver cómo funciona:

4.5 Ejercicio opcional: Envía un e-mail a tu profesor adjuntando las actividades Excel resueltas


Lecc. 10. ÁLGEBRA 1. Repaso de operaciones; 2. División Ruffini; 3. Descomposición factorial de un polinomio;

4. Simplificación de fracciones algebraicas.

1. REPASO DE OPERACIONES

1.1 Suma y resta.

a) 2x- 3x2 -2 - (x

2+3x+4) = Sol.: -4x

2-x-6

b) 5-3(x2+1) + x

2 + 2x = Sol.: -2x

2+2x+2

c) (3x2 - 5x + 12) + ( 4x

2 – 2x + 1) = Sol: 7x

2 -7x + 13

d) (6x2 - 5x + 2) - ( x

3 - 3x

2 - 12) = Sol: -x

3 +9x

2 -5x +14

1.2 Multiplicación

a) 2x7 · 4x

5 Sol.: 8x

12

b) 6x2 · 2x

4 Sol.: 12x

6

c) 5x9 · 4x Sol.: 20x

10

d) (7x - 3) · (4x + 2) = Sol.: 28x2 +2x – 6

e) (x2 + x - 6) · (2x - 5) = Sol.: 2x

3 -3x

2 – 17x +30

1.3 División de monomios:

a) 10x5: (2x

3) = Sol: 5x

2

b) 8x2 : (4x

2) = Sol: 2

c) 9x4 : (3x) = Sol: 3x

3

1.4 Factor común:

a) 3x3 + 6x

2 =

b) 2x3 + 4x

2 + 8x =

c) x2-3x + 4x

2 +12x = (agrupa antes de sacar factor común)

d) 6x3-3x

2 + 12x =

e) 12x3- 6x

2 + 9x

Sol: a) 3x2(x+2); b) 2x(x2+2x+4); c) x(5x+9); d) 3x(2x2-x+4). e) 3x(4x2 – 2x + 3)


DIVISIÓN EUCLÍDEA DE POLINOMIOS:

Se ordenan los polinomios. (Se dejan los "huecos" en el dividendo si los hay)

Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

Con ello se obtiene el primer término del cociente

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este

producto –con signo cambiado- debajo del dividendo, y se suma...

Se continúa de esta manera hasta que el resto sea cero o no pueda ser dividido...

Ejemplos:

1.5 Divisiones Euclídeas:

a) (x5 + 2x

3 − x − 8):(x

2 − 2x + 1) =

b) (x4 − 2x

3 − 11x

2 + 30x − 20) : (x

2 + 3x − 2) =

c) (x6

+ 5x4 + 3x

2 − 2x) : (x

2 − x + 3) =


2. DIVISIÓN POR RUFFINI:

A) Coeficientes de un polinomio:

Polinomio Coeficientes del polinomio

x3 + 2x -1 1 0 2 -1

x5- 2x

3 + x

2 -1

2x4- 3x

2 + x-1

x3- 3x + 2

4x2 -1

B) División por Ruffini: solo para divisiones del tipo P(x) : (x+a) o P(x) : (x- a)

EJEMPLO: (3x4

- 8x2

+5x -1) : ( x -2)

1) Escribimos los coeficientes del dividendo, y el opuesto del término independiente del divisor:

2) Se baja el primer coeficiente (3) y se multiplica por 2, y vas sumando y multiplicando dos...

Cociente: 13x4x6x3 23 , resto: 25

2.1. Divide por Ruffini, obteniendo cociente y resto [no olvides los ceros en los huecos]:

a) (x3- 3x + 2) : (x-1) Sol. c(x) = x

2+ x – 2; resto = 0

b) (x5- 2x

3 + x

2 -1) : (x-2) . Sol. c(x) = x

4+2x

3 + 2x

2+ 5x +10; resto = 19

c) (2x4- 3x

2 + x-1) : (x+1) Sol. c(x) = 2x

3 -2x

2 – x + 2; resto = -3

d) (3x3 + 2x

2 -3) : (x+2) Sol. c(x) = 3x

2 - 4x + 8; resto = -19

e) (x5 – 1) : (x -1) Sol. c(x) = x

4 + x

3 + x

2 + x + 1; resto = 0


Paolo Ruffini (1765–1822)

Matemático y médico italiano. Estudió matemáticas, literatura, filosofía, medicina y biología en la Universidad de

Módena. Se graduó en 1788, y llegó a ser rector en esa universidad.

Desde 1807 fue director de la escuela militar de Milán (durante la invasión de Napoleón)

3. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

A) Descomponer usando Ruffini

Descomponer: P(x) = 652 xx

El término independiente es 6 sus

divisores son: 1 ; 2 ; 3.

Seleccionamos uno de estos valores que de

cero al final ...

Entonces: P(x) = 32 xx

Descomponer: P(x) = 672 2 xx

El término independiente es 6 sus

divisores son: 1 ; 2 ; 3; 6.

Seleccionamos uno de estos valores que de

cero al final ...

Entonces: P(x) = 322 xx

3.1. Factoriza los siguientes polinomios usando Ruffini:

1) x2 - x - 2

2) 3x2- 7x - 6

3) x2 - 9

4) 2x2-5x- 3

5) 3x2+ 10x + 7

6) 7x2 + 12x – 4

Sol: 1) (x+1).(x-2); 2) (3x + 2).(x-3); 3) (x + 3).(x - 3); 4) (2x+1)(x-3); 5) (3x+7).(x+1); 6) (7x-2).(x+2).

B) Descomponer resolviendo la ecuación

ax2 + bx + c también se puede descomponer como a·(x - s1)·(x - s2) = 0,

siendo s1 y s2 las soluciones de ax2 + bx + c = 0.

Lógicamente se llega a la misma descomposición que con Ruffini.


3.2. Factoriza los siguientes polinomios, realizando la ecuación:

1) x2 - x - 2

2) x2- 5x - 6

3) x2 - 9

4) x2 - 7x + 12

Sol: 1) (x+1).(x-2); 2) (x + 1).(x-6); 3) (x + 3).(x - 3); 4) (x-3)(x-4) .

C) Descomponer: “diferencia de cuadrados = suma x diferencia”

Recuerda a2 – b

2 = (a+b)·(a-b)

3.3. Factoriza los siguientes polinomios usando diferencia de cuadrados:

a) 4x2 – 9 =

b) x2 – 4 =

c) x2 – 1 =

d) 4x2 – 25 =

e) 16x2 – 16 =

f) 9x2 – 49 =

Soluc.: (a) (2x+3).(2x-3); (b) (x+2).(x-2); (c) (x+1).(x-1);

(d) (2x+5).(2x-5); (e) (4x+4).(4x-4); (f) (3x+7).(3x-7);

4. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Podemos simplificar cuando numerador y denominador están formados por producto de factores

Bien simplificado, se mantiene el valor.

La fracción vale 3 antes de simplificar y 3 después de simplificar

No podemos simplificar cuando hay sumas o restas en numerador o denominador

Mal simplificado, no se mantiene el valor.

La fracción vale 2 antes de simplificar y 3 después de simplificar

Para simplificar una fracción algebraica debes factorizar numerador y denominador.

Para ello usa uno de estos recursos, en el siguiente orden:

(1º) Factor común

(2º) Diferencia de cuadrados = suma x diferencia

(3º) Ruffini o resolver ecuación 2º grado

Una vez factorizado tachas los factores iguales:


4.1 Simplifica:

a) 1

1

x

x2

b) 2)+(x 2

2)+(x x

c) x 3

2x-x2

d) 2)+(x x

2)+(x x 3 2

e) 4 -x

2-x2

f) x

5x+x2

2

g) x 3

2)-(x x2

h) 1)+(x x

1)+(x x3

Sol: a) x-1; b) x/2; c) (x-2)/3; d) 3x; e) 1/(x+2); f) (x+5)/x; g) (x-2)/3x; h) x2

4.2 Simplifica:

a) 3 + x

9 + x 3

b) 1)+(x 2

2x+x2 2

c) 2)-(x x

x2-x23

d) 1)-(x x

1 + 2x - x2

e) 16 - x

4x-x2

2

f) 6-x-x

4+4x+x2

2

g) 6-x-x

9-x2

2

h) 2x + x

2x - x + x2

23

Sol: a) 3; b) x; c) x; d) (x-1)/x; e) x/(x+4); f) (x+2)/(x-3); g) (x+3)/(x+2); h) x-1 .


Lecc. 11.- SEMEJANZA. TRIGONOMETRÍA 1. Semejanza; 2. Teorema de Tales; 3. Mapas y escalas; 4. Razones trigonométricas.

5. Resolución de triángulos rectángulos; 6. Relaciones fundamentales

1. SEMEJANZA Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma (una es como la otra “tras aplicarle zoom”).

Si dos figuras son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales.

Si los siguientes triángulos son semejantes

Los lados correspondientes serán proporcionales:

)('''

semejanzaderazónkc

c

b

b

a

a

1.1. Ejercicios

a) Calcula las medidas que faltan en el segundo triángulo, y la razón de semejanza (la razón del

mayor al menor).

b) Sabiendo que los siguientes rectángulos son semejantes, obtener el ancho del mayor

c) Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 12 cm. Se construye otro semejante cuyo lado menor

mide 9 cm. Obtener los otros dos lados y la razón de semejanza (la razón del mayor al

menor).

d) Una varilla de un metro proyecta una sombra de 60 cm. ¿Qué altura tiene un árbol que en ese

mismo momento proyecta una sombra de 7,20 m?

e) Un rectángulo tiene unas dimensiones de 15 cm x 20 cm. Si el lado menor de otro rectángulo

semejante a él mide 6 cm, ¿cuánto mide el lado mayor?


Tales de Mileto Nacido en Mileto, Grecia (actualmente Turquía), en el año 624 a.C. Filósofo y matemático.

En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría y astronomía. Fue maestro de Pitágoras.

2. TEOREMA DE THALES Si tres o más rectas paralelas

Son cortadas por dos rectas

transversales

Los segmentos determinados

son proporcionales. Ejemplo:

x

9

4

6

6x = 36 x = 6

Sugerencia: busca en YouTube, “Les Luthiers, Teorema de Tales”

2.1. Ejercicios

a) Las rectas a, b y c son paralelas. Obtener la longitud x

b) Calcular los valores x e y:


3. MAPAS. ESCALAS

La escala indica la razón entre el mapa y la realidad.

Por ejemplo, 1:50 000 indica que por cada unidad en el mapa hay 50 000 en la realidad.

1 cm en el mapa = 50.000 cm en la realidad (50.000 cm = 500 m = 0,5 km)

3.1. Ejercicios

Escala 1: 50 000 Escala 1: 200 000

distancia en mapa

cm

distancia real

km

distancia en mapa

cm

distancia real

km

6 cm 3 cm

15 cm 7 cm

1 km 12 km

2,4 km 25 km

3.2. Ejercicios

a) En un mapa escala 1:50 000 la distancia que separa dos ciudades es de 8 cm.

¿A qué distancia real se encuentran ambas ciudades?

b) En un mapa de escala 1:200 000, ¿Cuál será la distancia entre dos ciudades A y B cuya

distancia real es 360 km?

c) ¿Qué distancia real medida en kilómetros hay entre dos ciudades que están separadas por 4,5

cm en un mapa a escala 1:500.000?

d) Si en un mapa 1 kilómetro equivale a 4 centímetros, ¿cuál es la escala de ese mapa?


4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Si consideramos un ángulo agudo

de un triángulo rectángulo:

Seno de A

sen A = hipotenusa

opuestocateto

Coseno de A

cos A =

hipotenusa

adyacentecateto

Tangente de A

tg A = adyacentecateto

opuestocateto

Ejemplos:

sen A = 5

3= 0,60

cos A = 5

4= 0,8

tg A = 4

3= 0,75

sen B = 5

4= 0,80

cos B = 5

3= 0,60

tg B = 3

4= 1,33

4.1. Ejercicios:

a) Obtener las razones de los ángulos A y B:

b) Obtener las razones de los ángulos A y B. Racionaliza los resultados:


RAZONES DE 45º Se parte un cuadrado de lado 1, y calculamos la diagonal por Pitágoras

Con esta figura calculamos las razones de 45º

Figura 1

RAZONES DE 30º y 60º

En un equilátero de lado 2, calculamos la altura por Pitágoras.

Con esta figura calculamos las razones de 30º y 60º

Figura 2

Llegamos a los siguientes resultados, ya racionalizados:

30º 45º 60º

seno

coseno

tangente

1


5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un es calcular sus tres lados y sus tres ángulos.

Para resolver un rectángulo nos darán dos lados o un lado y un ángulo.

5.1. Resuelve los triángulos:

Conociendo dos lados: Indicación: Calcula el lado que falta (Pitágoras), y el ángulo A a partir del arco tangente (calculadora)

5.2. Resuelve los triángulos:

Conociendo un lado y un ángulo

Indicación: Calcula el lado C usando la tg A

5.3. Ejercicios:

a) Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más

alto de la torre bajo un ángulo de 60º. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el

ángulo es de 80º. Halla la altura de la torre.


b) Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:

(a) Calcula la altura del árbol. (b) ¿A qué distancia está Pablo del árbol?

c) Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:

Halla el valor de c y la longitud del cable (a+b).

d) Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:

e) Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60º. Nos alejamos 6

metros en línea recta y este ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura del edificio?

f) Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y

sus ángulos.


6. RELACIONES FUNDAMENTALES

Para todo ángulo A se cumple:

1ª) 1cos22 AAsen 2ª) tg A = A

Asen

cos

6.1. En los siguientes ejercicios suponemos que A es un ángulo agudo de un rectángulo

a) Sabiendo que sen A = 0,6 obtener cos A y tg A

b) Sabiendo que cos A = 0,4 obtener sen A y tg A

c) Sabiendo que 5

3Asen obtener cos A y tg A

d) Sabiendo que 2

1cos A obtener sen A y tg A

e) Sabiendo que 4

1Asen obtener cos A y tg A

f) Sabiendo que 4

3cos A obtener sen A y tg A

g) Sabiendo que 3,0Asen obtener cos A y tg A

h) Sabiendo que 8,0cos A obtener sen A y tg A

i) Simplifica las expresiones:

a) AAsenAsen 23 cos.

b) AAsen 44 cos

c) AsenAtgAtg 222 ·


Lecc. 12. ESTADÍSTICA 1. Estadística; 2. Frecuencias. 3. Medidas estadísticas (Moda; Mediana; Moda);

4. Gráficos estadísticos (Diagrama de barras, Histograma, Diagrama de sectores)

1. ESTADÍSTICA

Estudio estadístico: es la organización y representación de una gran cantidad de datos.

Población: es el conjunto que se estudia.

Individuo: cada uno de los elementos de la población.

Muestra: parte de la población que se estudia con objeto de sacar conclusiones válidas para toda la

población (ya que generalmente es imposible o antieconómico estudiar la población completa)

Variable Estadística:

Es la característica que queremos estudiar.

Sus posibles valores se llaman modalidades.

Estos valores pueden ser palabras (ejemplo nacionalidades), números aislados (ejemplo

número de hijos), o números continuos (ejemplo peso de personas)

El tipo de valor que puede adoptar da lugar a la siguiente clasificación:

Variable Estadística

Cualitativa

modalidades

son palabras

Cuantitativa modalidades

son números

Discreta: números “sueltos”

Continua números agrupados

en intervalos

Variable Cualitativa (modalidades son palabras)

Variable: Nacionalidad; Modalidades: Español, Francés, Inglés…

Variable: Estado civil; Modalidades: Soltero, casado, viudo, separado.

Variable Discreta (modalidades son números sueltos)

Variable: Nº hermanos; Modalidades: 0, 1, 2, 3, 4…

Variable Continua (modalidades son números en intervalos)

Variable: Altura; Modalidades: [1,50 a 1,60); [1,60 a 1,70); [1,70 a 1,80).

Variable: Peso; Modalidades: [45 a 55); [55 a 65); [65 a 75); [75 a 85).

Nota, en los intervalos:

Corchete: incluye al valor;

Paréntesis: no incluye al valor que pasa al siguiente intervalo


2. FRECUENCIAS Frecuencia absoluta (fi) es el número de veces que aparece una modalidad o valor (xi).

Las frecuencias se recogen en tablas. Frecuencia acumulada (Fi) es la suma de las primeras fi

TABLAS DE FRECUENCIAS

Para valores aislados o cualitativa

Tabla de dos columnas:

1ª columna) modalidades (xi)

2ª columna) frecuencias (fi).

Para valores en intervalo:

Tabla de tres columnas:

1ªcolumna) modalidades (intervalos)

2ª columna) valor central intervalo (xi)

3ª columna) frecuencias (fi).

Ejemplo:

Edades en un grupo deportivo de 40 personas....

Edad (xi) fi Fi

16 4 4

17 14 18

18 11 29

19 6 35

20 5 40

Total 40

Ejemplo:

Sueldos en una empresa de 30 trabajadores…

Intervalos Sueldo

(xi) fi Fi

[600, 700) 650 3 3

[700, 800) 750 4 7

[800, 900) 850 9 16

[900, 1000) 950 8 24

[1000, 1100) 1050 6 30

Total 30

2.1.

Elabora una tabla de frecuencias para la variable: "Número de hijos".

Colectivo estudiado: 40 familias.

Datos: Con 0 hijos: 4 familias; con 1 hijo: 6 familias; con 2 hijos: 10 familias;

con 3 hijos: 12 familias; con 4 hijos: 8 familias.

2.2.

Elabora una tabla de frecuencias para la variable: "Peso en kg".

Colectivo estudiado 200 alumnos de sexto de primaria. Los pesos oscilan entre 24 y 32

Datos: en [24, 26) hay 39; [26, 28) hay 71; [28, 30) hay 62; [30, 32) hay 28.

2.3.

Elabora una tabla de frecuencias con columnas xi, fi, Fi, para los siguientes datos:

3 5 2 6 4 2 6 1 1 3

1 0 1 2 3 2 1 2 4 5

2 4 2 1 2 2 3 2 1 3


3. MEDIDAS ESTADÍSTICAS Son valores numéricos que resumen la información del total de datos.

Son muy numerosas. Estudiaremos tres: Moda, Mediana y Media.

MODA

La Moda, Mo, es el valor más frecuente (el de frecuencia más alta)

(Si hay dos valores empatados, los dos son moda)

Ejemplos

En la siguiente tabla aparecen las edades

de un grupo de 40 personas:

Edad (xi) fi

16 6

17 14

18 11

19 6

20 3

Mo = 17 años

Es el valor correspondiente a la frecuencia

más alta

En la siguiente tabla aparecen los sueldos

de 30 trabajadores de una empresa:

Intervalos Sueldo (xi) fi

[600, 700) 650 3

[700, 800) 750 4

[800, 900) 850 9

[900, 1000) 950 8

[1000, 1100) 1050 6

Mo = 850 euros

Es el valor correspondiente a la frecuencia más alta

3.1. Obtener la Moda (Mo)

Mo = ……….

Nº de hijos (xi) fi

0 4

1 8

2 13

3 10

4 3

Total:

Mo = ……….

Altura xi fi

[40, 44) 6

[44, 48) 8

[48, 52) 10

[52, 56) 8

[56, 60) 7

Total:


MEDIANA

La Mediana, Me, es el el valor que queda en el centro, si ordenamos los datos de menor a mayor, y

“parte” en dos a la población.

OBTENCIÓN CON NÚMERO IMPAR DE DATOS:

En un examen tenemos 9 calificaciones: 1, 2, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 9

Mediana Me = 5, pues es la nota que está en el centro.

OBTENCIÓN CON NÚMERO PAR DE DATOS:

En un examen tenemos 10 calificaciones: 1, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8

No hay una nota en el centro, sino una pareja. Me = (5+6)/2 = 5,5.

Ejemplo 1: Obtener la mediana:

Edad (xi) fi Fi

16 6 6

17 14 20

18 11 31

19 6 37

20 3 40

Total 40

De los 40 datos x1, x2, …, x39, x40

Los datos centrales son x20 y x21:

Me =

2

2120 xx5,17

2

1817

Observa en la columna Fi que x20 tiene 17 años y

que x21 tiene 18 años

Ejemplo 2: Obtener la mediana:

Intervalos Sueldo (xi) fi Fi

[600, 700) 650 3 3

[700, 800) 750 4 7

[800, 900) 850 9 16

[900, 1000) 950 8 24

[1000, 1100) 1050 6 30

Total 30

De los 30 datos x1, x2, …, x29, x30

Los datos centrales son x15 y x16:

Me =

2

1615 xx850

2

850850

Observa en la columna Fi que x15 y x16 tienen

un sueldo de 850 €


3.3. Obtener la Mediana (Me)

Nº de ventas (xi) fi Fi

0 4

1 8

2 13

3 10

Total:

Respuesta:

Clientes/día (xi) fi Fi

10 3

11 4

12 9

13 7

14 2

Total:

Respuesta:

3.4. Obtener la Mediana (Me)

Edad xi fi Fi

[24, 28) 4

[28, 32) 11

[32, 36) 15

[36, 40) 10

Total:

Respuesta:

Altura xi fi Fi

[40, 44) 6

[44, 48) 9

[48, 52) 10

[52, 56) 8

[56, 60) 7

Total:

Respuesta:

Percentiles: de la misma forma que la mediana parte en dos la población, los percentiles la dividen

en 100 tramos. En sicología y medicina se usan mucho. Si pesan a un bebe y el pediatra consulta la

tabla y dice que está en el percentil 90 quiere decir que de cada cien bebés, hay 10 que pesan más

que él y 89 que pesan menos. Si en un test de inteligencia estoy en el percentil 15, mi posición es

muy mejorable, tengo 14 por debajo y 85 por encima..


MEDIA o PROMEDIO x

x = datosden

datoslostodosdeSuma

º

OBTENCIÓN:

En la tabla de frecuencias, añadimos la columna fi·xi

Ejemplo: Obtener la media de los datos expresados en la tabla.

Edad (xi) fi fi·xi

16 6 96

17 14 238

18 11 198

19 6 114

20 3 60

Total 40 706

x = datosden

datoslostodosdeSuma

º

n

xf ii = 65,17

40

706 años

Ejemplo: Obtener la media de los datos de la tabla.

Intervalos

sueldos xi fi fi·xi

[600, 700) 650 3 1.950

[700, 800) 750 4 3.000

[800, 900) 850 9 7.650

[900, 1000) 950 8 7.600

[1000, 1100) 1050 6 6.300

Total 30 26.500

x = datosden

datoslostodosdeSuma

º

n

xf ii = 33,883

30

26500 euros

Observaciones:

La media puede verse afectada por los valores extremos.

Por ejemplo, el cálculo del sueldo medio de una empresa puede verse distorsionado con el sueldo

del director general. A veces se apartan los valores extremos para calcular la media (media acotada).

La mediana no tiene este problema, no le afectan los datos extremos, pues en su cálculo no

intervienen los datos sino las frecuencias.


3.5. Obtener la Media ( x ), Moda (Mo) y Mediana (Me).

Nº de hermanos (xi) fi fi·xi

0 2

1 10

2 5

3 3

Total:

Respuestas:

Nº de clientes/día (xi) fi fi·xi

10 6

11 7

12 8

13 4

Total:

Respuestas:

3.6. Obtener la Media ( x ), Moda (Mo) y Mediana (Me).

Edad xi fi fi·xi

[24, 28) 4

[28, 32) 9

[32, 36) 7

[36, 40) 5

Total:

Respuestas:

Altura xi fi fi·xi

[40, 44) 4

[44, 48) 7

[48, 52) 6

[52, 56) 3

Total:

Respuestas:


3.7. Ejercicios

a) En la siguiente tabla aparecen datos del “nº de visitas al médico" en un balneario.

Obtener Media ( x ), Moda (Mo), Mediana (Me).

Nº de visitas (xi) fi fixi

0 7

1 16

2 17

3 10

Total:

b) En la siguiente tabla aparecen datos de “nº de días de baja” de trabajadores de una empresa.


Nº de días (xi) fi fixi

0 3

1 4

2 9

3 7

4 4

5 3

Total:

.

c) En la tabla aparecen las edades de clientes de un gimnasio, de 24 a 40 años.


.

Edad xi fi fixi

[24, 28) 34

[28, 32) 21

[32, 36) 15

[36, 40) 10

Total:

d) En la tabla aparecen “alturas en cm” de 40 niños de una guardería.


Altura (xi) xi fi fixi

[40, 44) 6

[44, 48) 11

[48, 52) 12

[52, 56) 9

[56, 60) 7

Total:


4. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Los gráficos estadísticos generalmente se hacen con un programa de hoja de cálculo.

No hay más que seleccionar la tabla de datos y clic en Insertar/ gráfico.

Puedes realizar de esa forma todos los ejercicios de esta sección.

DIAGRAMA DE BARRAS (COLUMNAS)

Se usa para valores aislados (variable discreta).

En el eje X se colocan los datos y en el eje Y las frecuencias.

Sobre cada dato se coloca una barra de altura = frecuencia.

Datos de edades

alumnos guardería:

Edad fi

1 16

2 21

3 34

4 29

4.1. Realiza los diagramas de barras (columnas) de las siguientes tablas de datos

Nº de hermanos (xi) fi

0 10

1 50

2 25

3 15

Nº de clientes/día (xi) fi

10 10

11 14

12 16

13 10

15 8

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4

Nº niños

Edades

Edades niños guardería

1

2

3

4


HISTOGRAMA

Se usa para valores en intervalos (variable continua).

En el eje X se colocan los intervalos y en el eje Y las frecuencias.

Sobre cada intervalo se coloca un rectángulo de superficie proporcional a la frecuencia del

intervalo.

Si los intervalos son de igual amplitud: altura = frecuencia

Ejemplo:

Peso fi

[40, 44) 6

[44, 48) 9

[48, 52) 15

[52, 56) 12

[56, 60] 8

4.2.

Realiza el histograma correspondiente a la siguiente tabla:

Edad fi

[16, 20) 10

[20, 24) 16

[24, 28) 14

[28, 32) 12

[32, 36) 8

0

2

4

6

8

10

12

14

16

[40, 44) [44, 48) [48, 52) [52, 56) [56, 60]

Distribución de pesos

[40, 44)

[44, 48)

[48, 52)

[52, 56)

[56, 60]


DIAGRAMA DE SECTORES

Se usa para variables cualitativas

Se divide un círculo en tantas porciones como clases existan, de modo que a cada clase le

corresponde un arco de círculo proporcional a su frecuencia absoluta o relativa.

Ejemplo:

Diagrama de sectores correspondiente a

los siguientes datos.

Partido Votos (fi) fi·360/n

A 15 54º

B 30 108º

C 55 198º

Total n= 100

4.3.

Los votos obtenidos por tres partidos son: partido A= 550; B= 250; C = 400.

Dibuja un diagrama de sectores

Partido Votos (fi) fi·360/n

A 550

B 250

C 400

Total n=

4.4.

Las ¾ partes del planeta tierra están recubiertas por el mar, ¼ restante por tierra.

Representa esta distribución con un diagrama de sectores.

Planeta tierra Partes fi·360/n

Agua 3

Tierra 1


Lecc. 13. PROBABILIDAD 1. Probabilidad de Laplace; 2. Diagrama de Venn; 3. Diagramas de árbol

Vocabulario:

Experiencia determinista:

Cada vez que ponemos agua a presión normal a 100º C, esta entra en ebullición.

Se trata de una experiencia determinista, pues a las mismas condiciones obtienes el mismo resultado.

Experiencia aleatoria:

Si tiras un dado y obtienes un cinco, aunque vuelvas a tirar procurando que se den las mismas

condiciones, tal vez no obtengas un cinco de nuevo.

Esta experiencia en la que no se puede predecir el resultado, se llama experiencia aleatoria.

De este tipo de experiencias se ocupa la probabilidad.

Espacio muestral E:

Es el conjunto de resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplo. En el lanzamiento del dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso: Es cada resultado o agrupación de resultados.

Ejemplos: Salir 5 = {5}; Salir par = {2, 4, 6}; Salir 3 = {3, 4, 5, 6}

Suceso seguro, está formado por todos los resultados posibles. O sea, es el espacio muestral

completo

Ejemplo: al tirar un dado el suceso seguro es salir 1, o 2, o 3, o 4, o 5, o 6

S = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso imposible, no tiene ningún elemento. Se denota con el signo:

Ejemplo: al tirar un dado el suceso imposible es no salir 1, ni 2, ni 3, ni 4, ni 5, ni 6

S =

Suceso contrario del suceso A, se realiza cuando no se realiza A. Se denota por A

Ejemplos:

Contrario de salir par: 5,3,1parsalir

Contrario de salir cinco, 6,4,3,2,15 salir

Sucesos compatibles, los que sí pueden darse simultáneamente

Ejemplo: salir par y salir más de tres son sucesos compatibles

Sucesos incompatibles, si no pueden darse simultáneamente

Ejemplo: salir par y salir impar son sucesos incompatibles


1. PROBABILIDAD DE LAPLACE La probabilidad de un suceso es:

p = posiblescasosden

favorablescasosden

º

º

(Fórmula intuitiva, no científica, válida en experimentos con resultados “igualmente probables”)

Ejemplo:

Experiencia: lanzamiento de un dado. Obtener la probabilidad de…

p(salir par) = 6

3= 0,50 (50%)

p(salir 3) = 6

4= 0,67 (67%)

1.1. Ejercicios:

Sugerencia: haz los ejercicios escribiendo el espacio muestral y contando los casos favorables:

a) Lanzamos dos monedas. Obtener la probabilidad de obtener

(1) una cara y una cruz. (2) dos caras. (3) dos cruces

b) Lanzamos tres monedas. Obtener la probabilidad de obtener

(1) tres caras; (2) dos caras y una cruz. (3) una cara y dos cruces; (4) tres cruces

BARAJA ESPAÑOLA:

Cuatro palos (oros, copas, espadas, bastos)

Diez cartas en cada palo:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sota, caballo, rey.

“Figuras” = sotas, caballos y reyes

NO SIEMPRE ES VÁLIDA LA REGLA DE LAPLACE…

Ejemplo: me presento a un examen. Hay dos casos posibles, aprobar y suspender

Entonces: p(aprobar) = 2

1= 0,50 (50%) … ¡MAL!

¿Porque está mal? Porque los dos sucesos posibles aprobar y suspender no son equiprobables


1.2. Ejercicios:

a) Extraemos una carta de la baraja, obtener la probabilidad de

(1) sea copa; (2) sea caballo; (3) sea figura;

b) Tengo en la mano las doce figuras de la baraja. Extraigo una carta.

Calcular las siguientes probabilidades:

(1) Que la carta extraída sea caballo; (2) Que la carta extraída sea oro

c) Extraemos una carta de la baraja, obtener la probabilidad de

(1) sea caballo o rey; (2) sea copa o figura;

d) Extraemos una carta de la baraja, obtener la probabilidad de

(1) sea caballo y copa; (2) sea copa y figura;

Las dos caras opuestas del dado de parchís suman siete

1.3. Ejercicios:

a) Lanzamos un dado, obtener la probabilidad de

(1) Sacar un cinco; (2) sacar cifra par; (3) sacar mayor o igual que cinco

b) Lanzamos dos dados. Calcular las siguientes probabilidades:

(1) Que la suma sea par; (2) Que ambos sean pares; (3) Que alguno sea par

c) Lanzamos dos dados. Calcular las siguientes probabilidades:

(1) Obtener algún cinco; (2) Que la suma sea siete; (3) Que la suma sea superior a 9

d) Lanzamos un dado y una moneda

(1) Probabilidad de que salga cara y par; (2) Probabilidad de que sea cruz y 5 o cruz y 6


2. DIAGRAMA DE VENN Lo utilizamos para organizar datos referidos a sucesos no excluyentes.

Ejemplo:

En un grupo de alumnos:

10 han aprobado Inglés

15 han aprobado Lengua

3 han aprobado Lengua e Inglés

8 no han aprobado nada.

¿Cuántos alumnos tiene el grupo?

Observa en el diagrama de Venn como se organizan estos datos.

Puede verse que el grupo tiene 7+3+12+8 = 30 alumnos

2.1. Ejercicios:

a) En un curso de 40 alumnos:

5 han aprobado Inglés y Lengua


20 han aprobado Lengua.

Calcula cuantos no han aprobado ninguna de las dos.

Sugerencia: rellena un diagrama con los datos, comenzando

por la intersección

b) En un curso de 50 alumnos:

12 han aprobado Matemáticas y Lengua

30 han aprobado Matemáticas

4 no han aprobado ninguna.

¿Cuántos han aprobado Lengua?.

c) En un curso de 40 alumnos:

9 no han aprobado nada


25 han aprobado Lengua.

Calcula cuantos han aprobado las dos.


SUCESO AoB ; SUCESO AyB

Ocurrir A o ocurrir B = A B

Ocurrir A y ocurrir B = A B

)()()()( BAPBPAPBAP

Ejemplo: En una baraja:

Copa o Figura = 19 cartas

Contando directamente:

P(C o F) = 475,040

19 = 47,5 %

Con la fórmula:

P(CF) = P(C) + P(F) – P(C F) =

%5,47475,040

19

40

3

40

12

40

10

Copa y Figura = 3 cartas

P(C y F) = 075,040

3 = 7,5 %

2.2. Ejercicios:

a) En un colectivo de personas mayores:

La probabilidad de ser miope es P(M)=0,40

La probabilidad de tener cataratas es P(C)= 0,30

La probabilidad de las dos cosas es P(M y C) =0,15.

¿Cuál es la probabilidad de tener Miopía o tener

Cataratas?

b) En un determinado curso:

La probabilidad de aprobar Matemáticas P(M) = 0,60

La probabilidad de aprobar Lengua p(L) = 0,70

La probabilidad de suspender las dos P( LyM )=0,10

¿Cuál es la probabilidad de aprobar Matemáticas o

aprobar Lengua?


2.3. Ejercicios:

a) En un grupo:

La probabilidad de ser mujer es P(M)=0,40

La probabilidad de fumar es P(F)= 0,20

La de las dos cosas simultáneamente es

P(M y F) =0,15.

Preguntas:

¿Cuál es la probabilidad de ser mujer no

fumadora?

¿Cuál es la probabilidad de ser hombre no

fumador?

¿Cuál es la probabilidad de ser hombre o fumador?

b) En un determinado grupo, la probabilidad de que te guste la cerveza es de 0,65. La

probabilidad de que te guste el vino es de 0,30, y la de que te gusten las dos cosas es de

0,15. ¿Cuál es la probabilidad de que te guste la cerveza o el vino?

c) En un determinado grupo, hay 30 mujeres de las que 18 hacen deporte, y hay 20 hombres de

los que 12 hacen deporte. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de ese grupo haga deporte?

d) En una facultad universitaria tenemos los siguientes datos:

Practica

deporte

No practica

deporte Total

Varón 189 301 490

Mujer 165 335 500

Total 354 636 990

Calcula la probabilidad de que elegido un alumno al azar:

a) Practique deporte.

b) Sea mujer y no practique deporte.

c) Practique deporte sabiendo que es mujer.

d) Sea varón si el alumno elegido no practica deporte.


3. DIAGRAMAS DE ÁRBOL Se usan cuando el problema se puede desglosar en disyuntivas.

O sea, en opciones incompatibles y que cubran todos los casos (sumen 1 = 100%)

Ejemplo 1:

Una urna contiene 4 bolas rojas y 2 verdes. Extraemos dos bolas consecutivamente.

Calcula: (1º) Probabilidad de que ambas sean rojas; (2º) de que una sea roja y otra verde.

Se puede hacer con diagramas de árbol, ya que cada vez que extraes una bola tienes dos alternativas

incompatibles: ser roja o verde, y entre las dos suman 100% ya que sucede una o sucede la otra

LA SITUACIÓN SE REFLEJA EN EL SIGUIENTE DIAGRAMA DE ÁRBOL:

Probabilidad ambas rojas:

P(RR) = 30

12

5

3·

6

4 = 0,40 --> 40%

Probabilidad de verde y roja:

P(RV) +P(VR) =

= 30

16

30

8

30

8

5

4·

6

2

5

2·

6

4 = 0,53 --> 53%

Ejemplo 2:

En un curso de 50 alumnos: 12 han aprobado Matemáticas y Lengua; 30 han aprobado

Matemáticas; 4 no han aprobado ninguna. ¿Cuántos han aprobado Lengua?

Este ejercicio NO se puede hacer con diagramas de árbol, ya que aprobar matemáticas, aprobar lengua

NO son alternativas incompatibles. No sucede una cosa O la otra (puede suceder una cosa Y la otra, o

sea, no son incompatibles)

3.1. Ejercicios:

a) En un examen de 20 preguntas me he estudiado 15. Me van a poner dos preguntas

1º) Cuál es la probabilidad de saber las dos

2º) Cuál es la probabilidad de no saber ninguna

3º) Cuál es la probabilidad de saber una sí y otra no

b) De una baraja de 40 cartas se toman dos cartas. Calcula la probabilidad de que:

1º) Sean pareja de copas

2º) Sean pareja de caballos

3º) Sean una copa y una espada

c) En una urna hay 12 bolas blancas y 8 negras. Extraemos tres bolas. Calcula (primero suponiendo

que las bolas se reponen, y segundo suponiendo que las bolas no se reponen):

1º) Probabilidad de que las dos primeras sean negras y la tercera blanca

2º) Se obtengan dos negras y una blanca en cualquier orden.


d) En una cesta hay seis huevos. Cuatro sanos y dos podridos. Sacamos dos huevos.

(1º) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean podridos?

(2º) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean sanos?

(3º) ¿Cuál es la probabilidad de que uno sea sano y el otro podrido?

e) Un producto tiene dos fases de fabricación. En la primera fase la probabilidad de tener

defecto es de 0,06 y en la segunda fase, la probabilidad de tener defecto es 0,02. ¿Cuál es la

probabilidad de que el producto salga sin defecto alguno?

f) En un examen de 20 preguntas he estudiado 16. En el examen salen dos preguntas. Se pide:

1º) La probabilidad de saber al menos una pregunta de las dos

2º) La probabilidad de saber las dos preguntas

3º) La probabilidad de no saber ninguna pregunta

g) Hay un grupo de 7 mujeres y 3 hombres. Entre ellos se eligen a tres personas. Se pide:

1º) La probabilidad de que sean tres mujeres

2º) La probabilidad de que sean dos hombres y una mujer

h) Esta semana la probabilidad de que un día llueva es 60%, y la de que no llueva es 40%. Se pide:

1º) La probabilidad de que llueva hoy y mañana

2º) La probabilidad de que no llueva ni hoy ni mañana


Actividad final:

Ingestión de Alcohol

A veces se piensa que hay bebidas alcohólicas peligrosas y otras

“inofensivas”. Vamos a realizar algunas valoraciones

El % de volumen de alcohol que lleva cada bebida va escrito en su etiqueta

Cerveza, 5%VOL

O sea, en cada litro (=100 cl), 5 cl son alcohol

Vino, 14%VOL

O sea, en cada litro (=100 cl), 14 cl son alcohol

EN GRAMOS:

Agua. 1 cl = 10 gramos.

Alcohol. 1 cl = 8 gramos (el alcohol es menos denso, por tanto “más ligero”)

Cerveza, 5%VOL

O sea, en cada litro hay 40 g de alcohol

Vino, 14%VOL

O sea, en cada litro hay 112 g de alcohol

Gramos de alcohol en nuestras bebidas

BEBIDA ALCOHOL EN UN LITRO

En centilitros En gramos

1 litro de Oporto (20% Vol.) 20 cl 20 cl x 8 g = 160 g

1 litro de Sidra (4% Vol.) 4 cl 4 cl x 8 g = 32 g

1 litro de Ginebra (40% Vol.) 40 cl 40 cl x 8 g = 320 g

1 litro de Whisky (43% Vol.) 43 cl 43 cl x 8 g = 344 g


1. A la vista de la tabla anterior, calcula la última columna de esta tabla

TIPO DE BEBIDA CONSUMICIÓN

GRAMOS DE ALCOHOL DE

ESTA CONSUMICIÓN

Cerveza - 5%VOL

Caña = 20 cl

Bote = 33 cl

Pinta = 60 cl

Vino - 14%VOL “chato” = 10 cl

Vaso = 20 cl

Ginebra - 40%VOL Copa = 5 cl

Whisky - 43%VOL Copa = 5 cl

2. Calcula

a) Gramos de alcohol ingeridos al tomar cuatro cañas y tres gin-tonics

b) Gramos de alcohol ingeridos al tomar un litro de cerveza y dos copas de Whisky

Cálculo del índice de alcoholemia en sangre

El cálculo de la alcoholemia máxima previsible después de consumir bebidas alcohólicas es

relativamente sencillo, especialmente si se trata de un consumo en poco tiempo y con el estómago

vacío. Se calcula en gramos/ litro utilizando la siguiente fórmula:

3. Calcula

a) Gramos de alcohol por litro de sangre que previsiblemente tendrá un hombre de 70 kg que

acaba de ingerir medio litro de vino y un gin-tonic

b) Gramos de alcohol por litro de sangre que previsiblemente tendrá una mujer de 55 kg que

acaba de ingerir un pinta (600 ml) de cerveza

Más información sobre este tema:

http://www.msssi.gob.es/ciudadanos/accidentes/docs/modulo2.pdf

http://www.msssi.gob.es/ciudadanos/accidentes/docs/modulo2.pdf

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