matematicas_discretas_290150

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO-290150-MATEMÁTICAS DISCRETAS


ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

Luis Eduardo Castillo Méndez

290150 – MATEMÁTICAS DISCRETAS

LUIS GERARDO ARGOTY HIDALGO

(Director Nacional)

LUIS GERARDO ARGOTY HIDALGO

Acreditador

BOGOTÁ D.C.

Abril 2013

1




COMITÉ DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador Rector

Gloria Herrera Vicerrector Académico

Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones

Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General

MÓDULO

MATEMÁTICAS DISCRETAS

PRIMERA EDICIÓN

© Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

ISBN 2007

2




Dedicado a todas aquellas

personas que son anclas en mi vida.

3




ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y

VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2007 por Luis Eduardo

Castillo Méndez docente de la Unad, director del curso Matemáticas Discretas.

El documento tiene como antecedentes, la teoría de la información, la lógica, la

combinatoria, la teoría e grafos.

Como novedades de este material es la presentación por unidades, capítulos y

lecciones, que permite una fácil ubicación de temáticas específicas, según el

interés del estudiante. Además, el componente práctico para los cursos

teóricos de Matemáticas a final de cada unidad.

Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar públicamente bajo las

condiciones siguientes:

• Reconocimiento. Debe reconocer los créditos de la obra de la manera

especificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que

sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra).

• No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales.

• Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra

derivada a partir de esta obra.

• Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los términos

de la licencia de esta obra.

• Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso

del titular de los derechos de autor

• Nada en esta menoscaba o restringe los derechos morales del autor.




INTRODUCCIÓN

El presente modulo está dirigido a estudiantes de programas de pregrado que

oferta la UNAD, bajo la modalidad de educación superior a distancia.

El material está estructurado en tres unidades que son las temáticas macro del

curso académico. .

El contenido de cada una de las partes fue seleccionado, teniendo en cuenta los

saberes mínimos que se esperaría debe alcanzar un estudiante de la

Universidad Nacional Abierta y a Distancia en el campo de las Matemáticas

Discretas.

La propuesta permite que los estudiantes reconozcan los conocimientos

mínimos del curso en mención, que le permita resolver situaciones propias del

mismo y además, abordar posteriores temáticas que requieran de éstos

conocimientos.

Para el mejor aprovechamiento de este material, se recomienda que el

estudiante posea como conocimientos previos: lógica, teoría de conjuntos y la

combinatoria.




El modulo se caracteriza porque en cada lección se presentar ejemplos modelos

del tema en estudio, al final de cada capítulo se exponen ejercicios; con

respuesta, que permite a los estudiantes contextualizarse en diversas áreas del

conocimiento, con el fin de fortalecer las temáticas propias del curso. Al final

de cada unidad se presenta una Autoevaluación de un nivel medio-alto, las

cuales permiten verificar los alcances de los estudiantes en las temáticas

analizadas y detectar las debilidades y así centrarse en éstas, con el fin de

alcanzar las metas propuestas.

Finalmente, el Material pretende servir como guía de aprendizaje autónomo, se

recomienda apoyar este proceso por medio de lecturas especializadas, ayudas

audiovisuales, visitas a sitios Web y prácticas de laboratorio; entre otros, así

lograr una efectiva comprensión, interiorización y aplicación de las temáticas

estudiadas.




Índice de Contenido

Introducción.................................................................................................................. 7

Unidad 1 ARITMÉTICA MODULAR...................................................................... 9

Capítulo 1 DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS.....................................................10

Comentario inicial........................................................................................................ 10

Lección 1. Conjuntos.................................................................................................... 11

Lección 2. Partes de un conjunto................................................................................... 13

¿Qué es un subconjunto?...................................................................... …………………13

¿Qué son las partes de un conjunto?..............................................................................15

Lección 3. Operaciones entre conjuntos....................................................................... 16

Lección 4. Relación de equivalencia..............................................................................17

¿Qué es una relación entre conjuntos?.......................................................................... 17

¿Qué es una relación de equivalencia?.......................................................................... 18

Lección 5. Relación de orden........................................................................................ 21

¿Qué es una relación de orden?...................................................................................... 21

Representación gráfica de una relación de orden........................................................... 22

Lección 6 Función......................................................................................................... 24

¿Qué es una función?......................................................................................................24

Tipos especiales de funciones.........................................................................................25

Capítulo 2 DE LOS NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS.............................. 27

Comentario Inicial................................................................................................... 27

Lección 7. El principio de inducción............................................................................. 28

Característica inductiva de los números naturales..........................................................28

Demostración por inducción...........................................................................................29

Lección 8. Divisibilidad y el Algoritmo de Euclides..................................................... 31

Conceptos básicos............................................................................................................31

Algoritmo de Euclides..................................................................................................... 33

Lección 9. Números primos y el Teorema Fundamental de la Aritmética.................... 34

Números primos...............................................................................................................35

Factorización....................................................................................................................35

Lección 10. Congruencias.............................................................................................. 36

Definiciones básicas................................................................................... ……….……..37

Propiedades de las congruencias......................................................... …………….…….38




Autoevaluación de la Unidad 1............................................................................ ……..41

Unidad 2 TÉCNICAS DE CONTEO...................................................................... …42

Capítulo 3 PERMUTACIONES......................................................................... …….43

Comentario inicial....................................................................................... ………….........43

Lección 11. Definiciones básicas...................................................................................44

Enumeración.....................................................................................................................44

Lección 12. Principios básicos de conteo.................................................................................45

Lección 13. Variaciones...................................................................................................47

¿Qué es un factorial?........................................................................... …………………..47

¿Qué es una variación?............................................................................................... ….48

Lección 14. Permutaciones........................................................................................ …50

¿Qué es una permutación?.......................................................................................... ….50

Permutación con repetición donde hay más de un elementos que se repite....................51

Capítulo 4 COMBINACIONES................................................................................53

Comentario inicial....................................................................................... …………….53

Lección 15. Combinatoria.......................................................................................... …53

Definición de combinatoria........................................................................................ …54

Lección 16. Propiedades de la combinatoria.............................................................. …55

Combinatoria con repetición y permutación circular................................... …………….56

Lección 17. Combinatoria con repetición.....................................................................57

Lección 18. Permutación circular............................................................................ ……58

Autoevaluación de la Unidad 2............................................................................ …… 59

Unidad 3 RELACIONES DE RECURRENCIA..................................................... 60

Capítulo 5 RECURSIÓN........................................................................................... 61

Comentario inicial....................................................................................... …………....... 61

Lección 19.Relación de recurrencia................................................................................... .62

Definición de relación de recurrencia........................................................................ 62

Lección 20. Relación de recurrencia lineal............................................................. …....63

Lección 21. Recurrencia lineal homogénea....................................................................64

Lección 22. Recurrencia lineal no homogénea................................................................65

Capítulo 6 FUNCIÓN GENERADORA............................................................ ……67

Comentario inicial........................................................................................................ .67

Lección 23. Función generadora y sucesión asociada......................................................68

Definición de función generadora................................................................................... 68




Lección 24. Series de Taylor y Maclaurin.....................................................................69 Lección 25. Resolviendo problemas de conteo a través de un polinomio....................... 71

Autoevaluación de la Unidad 3............................................................................ …….73

Unidad 4 INTRODUCCIÓN A GRAFOS.............................................................. ….74

Capítulo 7 GRAFOS............................................................................................ ……...75

Comentario inicial.......................................................................................................... 75

Lección 26. Definiciones básicas..................................................................................... 76

¿Qué es un grafo simple?..................................................................................................76

¿Qué es un multigrafo?.....................................................................................................76

¿Qué es un digrafo?........................................................................................................ ....77

¿Qué es un multidigrafo?..................................................................................................78

¿Qué es un grafo?........................................................................................................... ..79

Lección 27. Grafos bipartidos y completos.......................................................................81

¿Qué es un grafo bipartido?.............................................................................................. 81

¿Qué es un grafo completo?............................................................................................ .82

Lección 28. Representación de grafos..............................................................................83

Matrices de adyacencias................................................................................................... 83

Matrices de incidencias.................................................................................................... 85

Lección 29. Caminos, ciclos y grafos conexos................................................................ 86

Definiciones básicas........................................................................................................ .86

Grafos conexos................................................................................................................. 87

Lección 30. Grafos eulerianos y hamiltonianos............................................................... 89

¿Qué es un grafo euleriano?............................................................................................ .89

¿Qué es un grafo halmitoniano?...................................................................................... .91

Capítulo 8 ÁRBOLES.................................................................................................93

Comentario inicial............................................................................................................ 93

Lección 31. Árboles.........................................................................................................94

Lección 32. Algunas definiciones.................................................................................... 95

Lección 33. Algoritmo en árboles.................................................................................... 96

Autoevaluación de la Unidad 4............................................................................ ……..98

RETROALIMENTACIÓN..........................................................................................99

Referencias............................................................................................................... ….105

Referencias Virtuales....................................................................................................105




Unidad 1

ARITMÉTICA MODULAR

9




Capítulo 1

DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

Objetivo general

Presentar y afianzar algunos conceptos de la Teoría de Conjuntos

relacionados con el estudio de la matemática discreta.

Objetivos específicos

Reconocer relaciones entre conjuntos.

Identificar una relación de equivalencia y clases de equivalencia.

Identificar una relación de orden.

Comentario inicial

En este capítulo se presentan conceptos básicos y notaciones de la Teoría

de Conjuntos relacionados con los temas a exponer en este módulo.

10




Lección No. 1: Conjuntos

Aunque en matemática no existe una definición para conjunto, tenemos

que un rebaño, un enjambre de abejas, un ejército, una familia y otros

similares nos dan una idea intuitiva de lo que es un conjunto.

Como es usual, pero no regla, los elementos de un conjunto se nombran

por letras minúsculas y los conjuntos se nombran con letras mayúsculas.

Así, tenemos que a A representa que a es un elemento de A ,

como también tenemos que b A representa que b no es un

elemento de A .

Se puede determinar un conjunto de dos formas: por extensión y por

comprensión. Por extensión se determina un conjunto dando una lista

de todos los elementos que conforman el conjunto. Y por comprensión

se determina un conjunto dando una propiedad o condición que deben

cumplir los elementos que conforman el conjunto. Usualmente dicha

condición tiene la siguiente estructura: xU : x es P y se lee “es el

conjunto de todos los elementos del conjunto U que satisfacen la

propiedad o condición P”. El conjunto U usualmente es llamado

conjunto referencial o universal.

El conjunto representado por es el conjunto vacío o sin elementos.

También se puede representar por .

Salvo que se indique lo contrario, los conjuntos que se van a considerar

en este módulo son finitos, es decir, conjuntos en los que podemos

contar sus elementos o en otras palabras, asociarles un número natural

que indica la cantidad de elementos que tienen dichos conjuntos.

Ejemplo 1: Pensemos en el siguiente conjunto A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 . Como puede apreciarse en el ejemplo, el

conjunto A está determinado por extensión, ya que se tiene la lista de

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los elementos que lo conforman. Sin embargo uno puede escribir el mismo conjunto por comprensión de la siguiente forma: A x N: x es un dígito , donde N es el conjunto de los números

naturales. También podemos decir por ejemplo 1 A , 11 A , 3 A

100 A y 9 A , entre otras cosas.

Ejemplo 2: Pensemos en los planetas del sistema solar y el siguiente

conjunto: son los planetas en los que hay evidencia de vida. Si llamamos B a ese conjunto de planetas, entonces por extensión B La Tierra y

por comprensión

B x S : x es un planeta con evidencia de vida ,

donde S es el conjunto de los planetas del sistema solar. También

podemos decir por ejemplo, que La Tierra es elemento de B , que

Mercurio no es elemento de B y que Plutón no es elemento de B ,

entre otras cosas.

Ejemplo 3: El conjunto de todos los libros de una biblioteca pública

es un conjunto finito, porque aunque pueden ser muchos libros, hay un

número natural que nos indica cuántos hay. Los conjuntos A y B de

los ejemplos 1.2.1 y 1.2.2 son conjuntos finitos. El conjunto vacío es

finito y su número de elementos es cero. El conjunto de los números

naturales y el conjunto de los enteros son ejemplos de conjuntos no

finitos.

EJERCICIOS

Ejercicio 1: Escriba por extensión los siguientes conjuntos:

a. El conjunto de todos los números enteros impares mayores que 0 y

menores que 10.

Sol: 1,3 ,5 ,7 ,9

b. El conjunto de las letras que son parte de la sigla de la Organización de

las Naciones Unidas.

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Sol: o, n , u

Ejercicio 2: Escriba por comprensión los conjuntos del ejercicio

1:

Sol: a . x : 0 < x < 10 , donde Z es el conjunto de los números

enteros. b. x C: x es letra en minúscula de la palabra ONU , donde C es el conjunto de las letras del alfabeto español.

Ejercicio 3: Proponga tres ejemplos de conjuntos y para cada uno de ellos

haga un desarrollo similar al presentado en los ejemplos 1, 2

3 de la lección 1.

Lección No. 2: Partes de un conjunto

¿Qué es un subconjunto?

Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B , si todos los

elementos de A son elementos de B . La notación de la relación

“...ser subconjunto de...” es A B .

Un conjunto A no es un subconjunto de B , si existe al menos un

elemento de A que no es elemento de B . La notación de la relación

“...no es subconjunto de...” es A B .

Para todo conjunto A , se tiene que A y que A A y son

llamados los subconjuntos impropios de A .

Se dice que A y B son iguales, notado A B , si y solo si A B

y B A . Se dice que A y B no son iguales, notado A B , si y

solo si A B o B A .

13




Ejemplo 1: Pensemos en los conjuntos A a, 0, b , 1, c , 2,3 y B a, l , 0, u , b , 1, i , c , s , 2,3 , entonces A B porque todos los

elementos de A están en B , pero B A ya que por lo menos s B y s A .

Ejemplo 2: Si N es el conjunto de los números naturales y Z es

el conjunto de los números enteros, entonces N .

Ejemplo 3: Si A 1,2 ,3 , a , e , i , o , u y Ba , e , i , o ,u ,10 ,1 ,5 ,6 ,8

entonces A B , ya que por lo menos 2 A y 2 A .

Ejemplo 4: Si A 1,2 ,3 ,4 ,5 y B 5,3 ,4, 1,2 entonces A B .

Si C a , a , b , c , d , e y Da , b , b , c , d , e entonces C D . En

ambos casos se puede confirmar la igualdad, verificando la veracidad de la

doble contenencia.

Ejemplo 5: Si A 1,2 ,3 ,4 ,5 y B5,3 ,4 ,1 ,2 ,6 ,6 entonces

A B porque B A y si C 1, b, 3, d ,5 y Da, b, c ,3 ,5 entonces, también

se cumple que C D porque C D

EJERCICIOS

Ejercicio 1: Proponga dos subconjuntos para el conjunto B del

ejemplo 1 y dos subconjuntos para el conjunto A del ejemplo 2.

Proponga dos conjuntos que no sean subconjuntos de A del ejemplo

1 y proponga dos conjuntos que no sean subconjuntos de B del

ejemplo 2 correspondientes a la lección 2.

Ejercicio 2: Proponga un conjunto de tal forma que pueda sacar tres

subconjuntos y que pueda sacar tres no subconjuntos.

Ejercicio 3: Proponga dos ejemplos de igualdad entre conjuntos y dos

ejemplos en donde no haya igualdad entre conjuntos.

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¿Qué son las partes de un conjunto?

Dado un conjunto A , el conjunto formado por todos los subconjuntos

de A se llama partes del conjunto A . Partes de A se denota

usualmente por P (A) . Cuando A tiene n elementos, el conjunto P(A) tiene 2

n elementos.

Ejemplo 1: Si A 0,1 , entonces P (A) , 0 , 1, A .

Ejemplo 2: Si Ba , b , c , entonces B tiene 2 38

subconjuntos y P (B) , a , b , c , a , b , a ,c , b , c, B .

Ejemplo 3: Tomando como referencia el conjunto A del ejemplo

1.2.1, tenemos lo siguiente: el conjunto A tiene 2 10 subconjuntos,

P (A) , 0,1,2 A , 0,1,9,11 0,1,2,4,5,7 , P 0,1,2 P (A) , 5,6 P 0,2,6 , 1,1,2, 2,1 , 4,5,6,1 3,7,8,9 y muchas otras

más relaciones que se pueden sacar!!!.

Ejercicios

Ejercicio 1: Considere el conjunto C a, b, c, d . ¿Cuántos

subconjuntos de C hay? Por extensión, ¿quién es P(C)?

Sol: El conjunto C tiene 2 416 subconjuntos.

Ejercicio 2: A partir de un conjunto que usted quiera definir,

construya 5 ejemplos de ser elemento de partes del conjunto y 5 ejemplos

de no ser elemento de partes del conjunto.

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Lección No. 3: Operaciones entre conjuntos

Si consideramos que A y B son subconjuntos de un conjunto U ,

entonces la siguiente tabla contiene un resumen de las operaciones

básicas entre conjuntos:

Operación Nombre Definició

n A

B Unió

n

x U : x A x B

A

B Intersección x U : x A x B

A-B Diferencia x U : x A x B

Ac

Complemento {x U y

xA}

Tabla 1.1.1. Resumen operaciones básicas entre conjuntos.

Dos conjuntos A y B son disyuntos si A B . Las Leyes de

Morgan para A y B son (A B) c A

c B

c y (A B) c A

c B

c .

Ejemplo 1: Si U a , 1, b , 2, c , 3, d , 4, e , 5 , A a , b , 2, d , 4,5 y

B a, 1, b , 2, c entonces A Ba ,1, b , 2, c , d , 4,5 , A Ba ,b , 2 ,

A Bd , 4,5 y Ac 1, c , 3, e .

Ejemplo 2: Si U a , b , c , d , e , A a , b , d y B a , d , e

entonces A Ba , b , d , e , A Ba , d , B Ae y Bc b , c .

Ejemplo 3: Si U 1,10 ,100 ,1000 ,10000 , A 100 y

B 1, 100 , 1000 , entonces Ac 1,10 ,1000 ,10000 , A B A y

Ac

B c 1,1000 .

Ejercicios

Ejercicio 1: A partir del ejemplo 1 encontrar B- A , Bc , (A B)

c , Ac

B c , (A B)

c y A

c B

c .

16




Sol: B-A1, c , (A B) c 3, e y (A B)

c 1, c, 3, d, 4, e ,5

Ejercicio 2: Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9 , A 3,7,9 , B 1,3,4,5 y

C 1, 5,8 encontrar (A B) (BC) -A y C c

Sol: A B BC -A1,5} y Cc = {2,3,4,6,7,9}.

Lección No.4: Relación de equivalencia

¿Qué es una relación entre conjuntos?

El producto cartesiano de A y B , notado A X B , es el conjunto a , b : a Ab B , donde a , b se denomina pareja ordenada .

Una relación del conjunto A en el conjunto B es una regla R que

asigna a elementos del conjunto A uno o varios elementos del

conjunto B .

Dicha regla se puede escribir como un conjunto de parejas ordenadas,

por lo tanto, R es un subconjunto de A X B . En símbolos R A X B . Si a , b es pareja ordenada de la relación R , se

escribe a R b y se lee a está relacionado con b mediante R .

Ejemplo 1: Si A a , b , c y B 1,2 entonces:

A X B (a , 1) , ( a , 2) , (b , 1) , ( b , 2) , ( c , 1) , ( c , 2)

pero también se tiene que:

B X A (1, a ) , ( 2, a) , ( 1, b) , ( 2,b) , ( 1, c) , ( 2, c)

Ejemplo 2: Si consideramos el producto cartesiano A X B del

ejemplo 1.5.1, tenemos que el conjunto R (a ,1) , ( b ,2) , ( c ,1) es

una

17




2

relación de A en B , ya que R A X B . En cambio, el conjunto

R1 (a ,1) , ( a ,2) , ( b ,1) , ( 2,2 ) , ( 2, c) no es una relación deA en B ,

porque R1 A X B ya que por lo menos (2,2) es un elemento de R1

pero no es elemento de A X B .

Ejemplo 3: Sea el producto cartesiano RxR donde R es el

conjunto de los números Reales,

R1 x , y X : x2+y

21 ,

R2 x , y X : 3x y 6 y R3 x , y X : x 0 son ejemplos de relaciones en los reales.

Ejercicios

Ejercicio 1: Calcule el producto cartesiano A X B , donde:

a. A es el conjunto de los números naturales y B el conjunto de las

vocales.

b. A es el conjunto cuyo elemento es a y B el conjunto de los

enteros entre -3 y 3, incluyéndolos.

Sol: a. si B a , e ,i , o , u entonces A X B a , b : a Nb B , donde

N es el conjunto de los números naturales.

Ejercicio 2: De cada uno de los productos cartesianos obtenidos en el

ejercicio 1, busque dos ejemplos de relaciones y dos ejemplos de no

relaciones.

Ejercicio 3: Proponga un ejemplo similar al presentado en el ejemplo

2.

¿Qué es una relación de equivalencia?

Una relación del conjunto A en sí mismo es una relación de

equivalencia en A si cumple las propiedades de ser reflexiva,

simétrica y transitiva.

Una relación es reflexiva, si para todo a de A , se cumple

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que a a .

Una relación es simétrica, si para todo a b , con a b ,

entonces b a .

Una relación es transitiva, si para todo a b y b c , se tiene

que a c .

Ejemplo 4: Sean A a , b , c y

R1 (a , a) , ( a , b) , ( b , b) , ( b , a) , ( c , c)

una relación en A , es claro que es reflexiva ya que (a , a) , (b , b) y (c , c) son elementos de R1 . Sea

R2 (a , a ) , ( b , b ) , (a , b ) ,

entonces es una relación en A que no es reflexiva porque c A pero

(c , c ) R2 .

Ejemplo 5: Sean A , R1 y R2 los mismos del ejemplo 1.5.4, entonces

R1 es simétrica porque (a , b) y (b , a) son elementos de R1 . La relación R2 no es simétrica porque (a , b) está en la relación

pero (b , a) no está en la relación.

Ejemplo 6: Sean A y R1 los mismos del ejemplo 1.5.3, entonces R1 es transitiva porque (a , a) y (a , b) implica (a , b) , (a , b) y (b ,b) implica (a , b) , (a , b) y (b , a) implica (a , a) , (b , a) y

(a , b) implica (b ,b) , (b , a) y (a , a) implica (b , a) , finalmente (b ,b) y (b , a) implica (b , a) . De aquí se tiene que R1 es una

relación de equivalencia en A .

Toda relación de equivalencia en un conjunto A particiona al

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conjunto en subconjuntos, tales que ninguno es vacío; la unión de todos ellos es A y son mutuamente disyuntos. Cada conjunto de la

partición se llama una clase de equivalencia.

En otras palabras, si es una relación de equivalencia en A

entonces para todo a de A se define la clase de equivalencia de a como a x A : x a . El conjunto formado por todas las clases

de equivalencia se llama conjunto cociente, usualmente notado por A .

Ejemplo 7: Retomando nuevamente A y R1 de los ejemplos 4, 5 y 6, se tiene que las clases de equivalencia de la relación

R1 en A son a a , b b y c c . El conjunto cociente dado

por la relación es: A R1 a , c .

Ejemplo 8: Sea la partición en números enteros dado ser par o impar,

está definida por la siguiente relación de equivalencia: si a y b son

enteros entonces a está relacionado con b , si y sólo si, a b al

dividirlo por 2 el residuo es 0. Las clases de equivalencia de la relación

son 0 que representa los enteros pares y 1 que representa los

números impares. Luego el conjunto cociente está dado por los elementos 0 y 1 .

Ejemplo 9: Si A 0,1 ,2 ,3 , entonces la relación en A : R 0,0 , 1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,0 , 0,1 es una relación de equivalencia, el

lector puede verificarlo. Por ser R una relación de equivalencia en A

, las clases de equivalencia son 0 0, 1 1 , 2 2 y 3 3 . El

conjunto cociente de la relación es A R 0 , 2 , 3 .

Ejercicio

Ejercicio 4: Proponga dos conjuntos y para cada uno de ellos

proponga una relación de equivalencia, describa las clases de

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equivalencia y defina quién es el conjunto cociente de la relación.

Lección No.5: Relación de orden

¿Qué es una relación de orden?

Una relación del conjunto A en sí mismo es una relación de

orden en A si cumple las siguientes propiedades: reflexiva,

antisimétrica y transitiva.

Una relación es reflexiva, si para todo a de A , se cumple

que a a .

Una relación es antisimétrica, si para todo a b y b a

entonces a b . En otras palabras, una relación es antisimétrica si

para todo a b con a b entonces no es cierto que b a .

Una relación es transitiva, si para todo a b y b c , se tiene

que a c .

Ejemplo 1: Ejemplos de relaciones reflexivas y transitivas pueden ser

los mismos presentados en los ejemplos del la sección 1.5.

Ejemplo 2: Sea A 1,2 ,3 y la relación R en A definida como

R (1,1) , ( 1,2) , ( 1,3) , ( 2,2) , ( 2,3) , ( 3,3) ,

el lector puede verificar sin dificultad que R es reflexiva y transitiva en A . También es antisimétrica porque al tomar (1,2) , (1,3) y (2,3)

de R se tiene que (2,1) , (3,1) y (3,2) no están en R . Luego R es una relación de orden en A .

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Ejemplo 3: Sea B = {a, b, c, d}y la relación R en B, R= {(a,a),(a,b),(a,c),(b,c)} es relación de orden

Ejemplo 4: La relación de contenencia entre conjuntos es una relación de orden.

Ejemplo 5: Las relaciones de orden usual definidas en los números

naturales, números enteros, números racionales y números reales son

ejemplos de relaciones de orden.

Ejercicio

Ejercicio 1: Proponga tres conjuntos y para cada uno de ellos

proponga una relación de orden. Justifique.

Representación gráfica de una relación de orden

La representación gráfica usual de una relación de orden es el

Diagrama de Hasse que es una gráfica de puntos que representan los

elementos del conjunto sobre el cual se le ha definido la relación de

orden y el diagrama indica cómo es la relación entre cada uno de los

elementos dada por esta misma relación de orden.

Ejemplo 6: Sea la relación de orden definida en el ejemplo 1.6.2 ,

entonces el diagrama de Hasse para esta relación es:

22




3

2

1

Gráfica 1.1.1. Diagrama de Hasse para ejemplo 1.6.2.

Ejemplo 7: Sea el conjunto A 1,2 ,3 ,4 ,5 , el diagrama de Hasse

para el orden usual sobre A es:

1 2 3 4 5

Gráfica 1.1.2. Diagrama de Hasse para ejemplo 1.6.7.

Ejercicios

Ejercicio 2: Construya los diagramas de Hasse para las relaciones de

orden del ejercicio 1 de esta lección.

Ejercicio 3: Construya los diagramas de Hasse para dos relaciones de

orden definidas por usted.

23




Lección No. 6: Función

¿Qué es una función?

Se llama función de un conjunto A en un conjunto B , a toda

relación de A en B que cumple la condición de que todos y cada

uno de los elementos de A está relacionado con un único elemento

de B .

Si f es una función de A en B , usualmente se denota por f : AB . El dominio de una función es el conjunto A y el rango de

una función es el subconjunto de B conformado por todos los

elementos de B que están relacionados con todos los elementos de A mediante la función f .

Si f es una función de A en B , y si x A le corresponde y B mediante la función f , entonces y es la imagen de x

mediante f y se representa por y f x .

Ejemplo 1: Si A a , b , c y B1,2 ,3 ,5 entonces la relación de A en B definida por R (a ,1), (b ,2), (c ,1) es una función. El

dominio de la función esa , b , c y el rango de la función es 1,2 .

Se tiene también que la imagen de a es 1 , es decir, f a 1 ; que la

imagen de b es 2 , es decir, f b 2 y que la imagen de c es 1 ,

es decir, f c 1 .

Ejemplo 2: Si A a , e , i , o , u y B2,4 ,6 entonces la relación de B en A definida por H (2,i) , ( 2, o) , ( 4, a) , ( 6, u) no es una

función, ya que el elemento 2 de B está relacionado con los

elementos i y o de A .

1 Ejemplo 3: La relación definida como A (x , y) X : y ,

x2

1

24




de A con

f x f y

Donde X es el conjunto de los números reales, es una función en los

1 reales de tal forma que se puede escribir: f x .

x 2

1

Ejercicios

Ejercicio 1: Proponga tres ejemplos de funciones y tres ejemplos de no

funciones.

Ejercicio 2: Encuentre el dominio y el rango de la función del

ejemplo 3 de esta lección, justificando su respuesta.

Sol: El dominio son los reales y el rango son los reales positivos.

Tipos especiales de funciones

La función f : AB es uno a uno o inyectiva, si para todo x y y

x y se tiene que f x f y . En otra palabras, si

entonces x y .

La función f : AB es sobreyectiva o sobre, si el rango de la función

es el mismo conjunto B .

La función f : AB es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva a la

vez.

Ejemplo 4: De nuevo, si A a , b , c y B1,2 ,3 ,5 entonces la relación de A en B definida por R (a ,1) , ( b ,2) , ( c ,3) es

una función uno a uno. Pero la relación R1 ( a ,1) , ( b ,2) , ( c ,2) es una función que no es inyectiva.

Ejemplo 5: Si A h ,i , j y B1,2 entonces la relación de

25




A en B definida por R (h ,1 ) , ( i ,1) , ( j ,2) es una función sobreyectiva. Pero la relaciónR1 ( h ,1) ,( i , 1) , ( j ,1) es una función que no es sobreyectiva, ya que el rango deR1 no es igual a B .

Ejemplo 6: La relación definida como x , y X : y x 1 ,

donde X es el conjunto de los números reales, es una función que es

biyectiva, porque es inyectiva y sobreyectiva. Como la relación

representa una recta, es claro geométricamente hablando que la función

es uno a uno y sobre.

Ejercicios

Ejercicio 3: Proponga tres ejemplos de funciones uno a uno, tres

ejemplos de funciones sobreyectivas y tres ejemplos de funciones

biyectivas. Proponga tres ejemplos de funciones que no sean uno a uno,

tres ejemplos de funciones que no sean sobreyectivas y tres ejemplos de

funciones que no sean biyectivas.

Ejercicio 4: Verifique analíticamente que la función del ejemplo

6 es biyectiva.

26




Capítulo 2

DE LOS NÚMEROS NATURALES Y

ENTEROS

Objetivo general

Presentar y afianzar algunos conceptos de los números naturales y

números enteros relacionados con el estudio de la matemática discreta.


Reconocer y comprender la divisibilidad en números enteros.

Identificar el concepto y la utilidad del concepto de congruencia en

números enteros.

Comentario inicial

En este capítulo se presentan algunos tópicos de los números naturales y

de los enteros que tienen que ver con matemática discreta. Se asume que

para el lector son conocidas la naturaleza y propiedades de los números

naturales y enteros, vistos en cursos anteriores de matemáticas.

27




Lección No. 7: El principio de inducción

Característica inductiva de los números naturales

Por la mayoría son conocidos los números naturales y su uso más común

que es el de contar. La posibilidad de contar está dada por una propiedad

propia de los naturales que se llama el Principio de inducción de los

números naturales. Para entender el principio de inducción se hace

necesario conocer los Axiomas de Peano.

Si N es el conjunto de los números naturales, los Axiomas de Peano

son como sigue:

a. 0

b. Para todo n N existe n+1 . El natural n+1 se llama el sucesor del natural n .

c. Si S tal que 0 S y n S implica que n+1 S ; entonces S ; este es el Principio de Inducción de los números naturales.

El principio de inducción en los naturales da lugar a lo que se llaman las

definiciones inductivas, algoritmos recurrentes y las demostraciones por

inducción, estas últimas se verán con detalle en la siguiente sección.

Ejemplo 1: Un ejemplo clásico de definición por inducción es xn

, donde x

es real y n es natural. La definición de xn

es como sigue: x

0 1 , x

1 x y para todo n 1 , x

n 1 x

n x .

Ejemplo 2: Un ejemplo clásico de algoritmo recurrente es la Serie de

Fibonacci dada por a01 , a11 y an 1 a n an 1 , para todo n1 .

Los primeros 8 términos de la serie son 1, 1, 2, 3, 5, 8,13 y 21.

Ejercicios

Ejercicio 1: Defina inductivamente Rn

, donde Res el conjunto

de los números reales y n es natural mayor o igual a 1.

28




Ayuda: Recordar que R2

es igual al producto cartesiano RxR.

Ejercicio 2: Proponga e implemente en MAPLE o en un lenguaje de

programación en la Serie de Fibonnacci.

Demostración por inducción

Inspirado en el principio de inducción de los números naturales, existe un

mecanismo de demostración denominado demostración por inducción.

La Demostración por inducción consiste en verificar una propiedad de

la forma P n , donde P es una propiedad acerca de un número

natural n . Si S es el conjunto de los números naturales que

satisface P n y si

i. El natural 1 S y

ii. Si para todo k S , con k+1 , k+1 S

entonces S es igual al conjunto de los números naturales. Por lo tanto,

para demostrar cualquier propiedad que satisface todos los naturales,

basta demostrar que el natural 1 satisface la propiedad y que k+1

también la satisface. La parte en la que uno supone que la propiedad es

válida para k se llama hipótesis de inducción.

Es importante aclarar que en la demostración por inducción no es

necesario que 1 S , es posible que la propiedad P n sea válida en

los naturales a partir de un natural diferente a 1 en adelante. Si esto es

cierto, se dice que P n es cierta para todos los naturales, a partir del

natural donde es válido.

Ejemplo 3: Verificar por inducción la propiedad P ( n) definida por

la igualdad 1 , 3, 5, 7,…,2n1 n2

, para todo n1 . En efecto,

para n1 , se tiene que P ( 1) se cumple, ya que 112

. Ahora

supongamos que para un natural k mayor que 1 es válida la propiedad,

es decir, P( k) es cierta, sólo falta verificar que P ( k+1) es cierta, es

decir, hay que verificar que 1 , 3, 5, 7,…2k 1 ( k +1) 2

.

29




la igualdad 1 2 3 ... n n

Pero esto es cierto, ya que, por hipótesis de inducción

1, 3, 5, 7,…,2 k 1 k 2

1, 3, 5, 7,…,(2 k 1) +(2k+1) k2+(2k+1)=(k+1)

2

De aquí P (k+1) es cierta y como ya se

verificó que P( 1) es cierta, entonces por el

principio de inducción, la propiedad P( n) es cierta para

todo n 1 .

Ejemplo 4: Verificar por inducción la propiedad P ( n)definida por n+1

, para todo n 1 . En efecto, para 2

1+1 n 1 , se tiene que P( 1) se cumple porque 1 1 . Ahora

2

supongamos que para un natural k mayor que 1 es válida la propiedad,

es decir, P ( k) es cierta, sólo falta verificar que P ( k+1) es cierta, es decir verificar que 1+2+ 3+...k+1 (k+1)[(k+1)]/2

1+2+3+…+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) =

(k+1)(k/2 +1) = (k+1)(k+2)/2

De aquí que P)k+1) es verdadera y ya se verificó que P ( 1) es cierta, por el principio de inducción, la propiedad P (n) es cierta para todo n 1 .

Ejemplo 5: Demostrar que 4n < n2 - 7 para todo n ≥ 6.

Expresemos con P(n) la proposición 4n < n2 - 7.

Para n=6: P(6) = 4.6 = 24 y 62 - 7 = 36 - 7 = 29

Por lo tanto P(6) es verdadera.

Suponemos que P(k) es verdadera para k > 6,

o sea que cumple 4k < k2 - 7

4k < k2 - 7 ⇒ 4k + 4 < (k

2 - 7) + 4 < (k

2 - 7) + (2k + 1)




ya que 2k + 1 > 4 para k ≥ 6

⇒ 4(k + 1) < (k

2 + 2k + 1) - 7 = (k + 1)

2 - 7

Por lo tanto, por el principio de inducción, P(n) es verdadera para

todo valor n ≥ 6.

Ejercicios

Ejercicio 2: Demostrar que 2n > n

2 + 4n + 5 es verdadera para n 7

Ejercicio 3: Probar que n N: 1.3+2.4+3.5+…+n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6

Lección No. 8: Divisibilidad y el Algoritmo de Euclides

Conceptos básicos

A partir de la suma y el producto de los números enteros se define la

diferencia a b como el entero c tal que a b c . Si a 0 y

31




b ac para algún c entero, diremos que a divide a b y se simboliza por ab . Esta última definición es equivalente a decir que

a es divisor de b o que b es múltiplo de a .

Teorema 2.3.1 (Algoritmo de la División)

Dados dos enteros a y b con b 0 entonces existen q y r

tales que a b.q + r , donde 0 r ≤b Además q y r son

únicos.

Ejemplo 1: 8 divide a 16, esto es 816 , ya que 16 = (8) (2), de aquí

se puede decir que 8 es divisor de 16 o que 16 es múltiplo de 8.

Ejemplo 2: 7 NO divide a 10, ya que para todo entero n , se tiene que 10 7 n .

Ejemplo 3: Se tiene que 13 y 4 son dos enteros, al aplicar el teorema

2.3.1 tenemos que 13 4 x 3+1 y 0 1≤4 . En forma similar, si

tenemos a -117 y a -6, tenemos que 117 6 x 20+3 y 03 ≤ -6.

Ejemplo 4: Se tiene que -13 y 4 son dos enteros, al aplicar el teorema

2.3.1 tenemos que 13 4 x 4+3 y 03 ≤ 4. En forma similar, si

tenemos a 117 y a -6, tenemos que 117 6 x 19+3 y 03 ≤ −6 .

Ejercicios

Ejercicio 1: Encuentre 5 ejemplos de ser divisible y 5 ejemplos de no ser

divisible.

Ejercicio 2: Use el teorema 2.3.1 siendo a. a 10 y b3 ,

b. a10 y b3 , c. a10 y b3 , d. a10 y b3 .

¿Qué se puede concluir sobre los resultados?

Sol: a. 10 3x3 + 1 y 0 1 ≤ 3 , c. 10 3 x3 +1 y 0 1 ≤ −3.

32




Algoritmo de Euclides

El Algoritmo de Euclides es un procedimiento que usa cierto número de

veces el algoritmo de la división para obtener el máximo común divisor

de dos enteros. El máximo común divisor de a y b se denota por MCD a ,b y es el mayor de los divisores comunes de a y b .

El algoritmo de Euclides se describe de la forma siguiente: Dados dos

enteros a y b cuyo máximo común divisor se desea hallar, y

asumiendo que a y b son mayores que 0 , (sin pérdida de

generalidad, funciona también si a o b son negativos), entonces se

siguen los siguientes pasos:

i. Se usa el algoritmo de la división para obtener a bq1 + r1 con 0 r1 ≤b1. Si r 10 , entonces b a y MCD a , b b .

ii. Si r 10 entonces se divide b por r 1 y se producen enteros q2 y r 2 que satisfacen br1 q1 + r 2 con 0r 2 r 1 . Si r 20 el

proceso termina y MCD a ,b r1 .

iii. Si r 20 se procede como en ii. y el proceso continúa hasta que

algún residuo cero aparece. Como a lo más habrá b residuos en este

procedimiento, entonces el proceso es finito y el MCD a , b es el

último residuo no cero del anterior proceso.

Ejemplo 5: Calcular el máximo común divisor de 80 y 1000, usando

el algortimo de Euclides. Primero se divide 1000 entre 80 y tenemos que 1000 80x12+40 , así MCD ( 1000,80) MCD ( 80,40). Ahora, se divide

80 entre 40 y tenemos que 80 40 x2+0 .

Finalmente, MCD ( 1000,80) 40 .

Ejemplo 6: Calcular el máximo común divisor de 180 y 256, usando

el algortimo de Euclides. Primero se divide 256 entre 180 y tenemos que

33




256 180 x1+76 , así MCD 256,180 MCD 180,76 . Ahora, se divide

180 entre 76 y tenemos que 180 76x2+28 , así MCD

180,76 MCD 76,28 . Enseguida, se divide 76 entre 28 y

tenemos que 76 28x2+ 20 , así MCD 76,28 MCD 28,20 . Luego

28 20x1+ 8 y MCD 28,20 MCD 20,8 . Ahora 20 8 x2+4 y MCD 20,8 MCD 8,4 . Por último, 8 4x2+0 , para que

finalmente, MCD 180,256 4 .

Ejemplo 7: Calcular el máximo común divisor de -27 y 5, usando el

algortimo de Euclides. Primero se divide -27 entre 5 y tenemos que 27 5x 6+3 , así MCD 27,5 MCD 5,3 . Ahora, se divide 5

entre 3 y tenemos que 5 3 x1 +2 , así MCD 5,3 MCD 3,2 .

Enseguida, se divide 3 entre 2 y tenemos que 3 2 x 1+1 , así MCD 3,2 MCD 2,1 . Por último, 2 2x1+0 , para que finalmente, MCD 27,5 1 .

Ejercicios

Ejercicio 3: Calcular el máximo común divisor de 425 y 51, usando

el algoritmo de Euclides. Sol: 1.

Ejercicio 2.3.4: Proponga e implemente en MAPLE o en un lenguaje de

programación el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común

divisor de cualesquiera dos enteros.

Ayuda: Buscar en Wikipedia (www.wikipedia.org) o utilice un

buscador de la Internet.

Lección No. 9: Números primos y el Teorema

Fundamental de la Aritmética

34




Números primos

Un número entero p es primo si sus únicos divisores son 1 y p .

Un número entero que no es primo y no es 1 se llama compuesto. Dada

una familia de enteros, se dice que son primos entre sí, si se tiene que

el máximo común divisor de todos ellos es 1

Ejemplo 1: Los números 2, 3 y 5 son ejemplos de números primos

porque cada uno de ellos se ajusta a la definición, mientras el número

100 es compuesto porque tiene al número 2 como divisor, entre otros.

Los números 7 y 10 son primos entre sí porque MCD 10,7 1

Ejercicio

Ejercicio 1 Encontrar los números primos menores que 100.

Ayuda: Buscar en Wikipedia (www.wikipedia.org) o en algún otro

buscador de la Internet qué es la Criba de Eratóstenes.

Factorización

Teorema (Teorema Fundamental de la Aritmética)

Sea n> 1 , entonces existen números primos tales que n p1 p2 p3 ... pr y esta factorización es única.

El teorema establece la importancia de los números primos. Con estos se

construyen los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo

puede construirse como producto de números primos de manera única.

Existe un procedimiento para factorizar un número entero n acorde al

teorema 2.3.1. Los ejemplos nos indicarán en una primera instancia cómo

es el algoritmo y como ejercicio propuesto, el lector tendrá la tarea de

implementar el algoritmo de factorización.

35




Ejemplo 2: Pensemos en factorizar 260. Como es divisible por 2

entonces 260 2x135 , como 135 no es divisible por 2 pero si es

divisible por 3, 260 2x3x45. Para 45, tampoco es divisible por 2 pero si

por 3, entonces 260 2 x3 x 3 x 15. Como 15 no es divisible por 2,

pero si por 3, entonces 260 2 x 3 x 3 x 3 x 5. Como 5 es primo hasta aquí

llega la factorización luego 260 2 x 33 x5.

Ejemplo 3: Pensemos en factorizar 105. Como no es divisible por 2

pero si por 3 entonces 105 3 x35 , como 35 no es divisible por 2 ni

por 3 pero si por 5 entonces 35 5 x 7 . Como 7 es primo hasta aquí

llega la factorización, luego 105 3 x 5 x 7 .

Ejemplo 4: Pensemos en factorizar 180. Como es divisible por 2

entonces 180 2 x90 , como 90 es divisible por 2 , 90 2 x45 .

Como 45 no es divisible por 2 pero si por 3, entonces 45 3 x15 . El

número 15 es divisible, no es divisible por 2 pero si por 3, 15 3 x5 .

Como 5 es primo hasta aquí llega la factorización, luego

180 2 2

3 2

5 .

Ejercicios

Ejercicio 2: Factorizar : a. 135, b.189, c.385, d.448,

e.943

Sol: a. 135 33

5 , c. 385 5 7 11 , e. 943 23 41 .

Ejercicio 3: Implementar un algoritmo de factorización en MAPLE

o en otro lenguaje de programación.



Lección No.10: Congruencias

36




0 z : q , z 4

1z : q , z 4

2 z : q , z 4

3z : q , z 4

Definiciones básicas

Dados dos enteros a y b con b 0 y un entero m 0 entonces a y b son congruentes módulo m , si ma b . La notación es a b MOD m .

La relación de congruencia es una relación de equivalencia en los

números enteros. Esto implica que los enteros se pueden particionar por

clases de equivalencia, cada clase está representada por todos lo posibles

residuos que se pueden obtener de dividir cualquier entero entre el entero m de la definición anterior.

En este orden de ideas, el conjunto cociente de la relación de equivalencia dado por la congruencia es el conjunto definido por

a b MOD m0 , 1 , 2 , , m1 , donde k z : q , z mq+k es

cada clase de equivalencia y k varía entre 0 y m 1 .

De aquí, la íntima relación que hay entre la congruencia en enteros y el

algoritmo de la división (Teorema 2.3.1).

Ejemplo 1: Pensando en m 4 , los posibles residuos que resultan

de dividir cualquier entero entre 4 son 0, 1, 2 y 3 , lo que significa que

40 , 1 , 2 , 3 y para tener una idea de quién es cada clase de

equivalencia tenemos que: q ,16, 12,8,4 ,0 ,4 ,8,12 ,16 ,

q 1 ,15,11, 7,3,1 ,5 ,9,13 ,17 ,

q 2 ,14, 10,6, 2,2 ,6 ,10 ,14 ,18 ,

q 3 ,13, 9,5, 1,3 ,7 ,11,15 ,19 ,

Ejemplo 2: Retomando el ejemplo 1 , calcular la clase de

equivalencia a la que pertenece 85. Entonces al usar el algoritmo de la

división (Teorema 2.3.1) tenemos que 85 4 21 1 , por lo cual, 851 MOD 4 , indicando que 85 está en la clase 1 .

37




Ejemplo 3: Ahora pensando en m 11 , calcular a qué clase de equivalencia pertenece -12567. Al usar nuevamente el algortimo de la división, tenemos que 12567 11 1143 6 y 12567 6 MOD 11 ,

indicando que -12567 está en la clase 6 .

Ejercicios

Ejercicio 1: Pensando en m 7 , encontrar 7 y definir cuáles

son sus clases de equivalencia. Calcular en qué clase están a. 34, b. -34,

c.109, d.-109 y e.89

Sol: a. 6 , c. 4 y e. 5.

Ejercicio 2: Verificar que la congruencia es una relación de

equivalencia en los números enteros.

Propiedades de las congruencias

Lo que sigue a continuación son algunas de las propiedades que tienen

las congruencias:

1. Para todo entero c , se tiene que a bMOD m implica a c b c MOD m y ac bc MOD m

2. Si a bMOD m y c dMOD m entonces a c b d MOD m

y ac bd MOD m

3. Si ha , hb , MCD h , m 1 y a bMOD m ,

a h b h MOD m .

4. La ecuación aX bMOD m tiene solución si y sólo si d b ,

donde d es el MCD a , m .

5. El sistema de congruencias X b 1 MOD m1 , X b2 MOD m2 ,

38




m

X b 3 MOD m3 ,

X bs MOD m s

tiene solución única congruente con módulo m 1 m2 m3 ms ,

siempre y cuando para cada i , j de 1,2 ,3 , , s , MCD mi , m j 1 . (Propiedad conocida con el nombre del

Teorema Chino del Residuo).

Para el Teorema Chino del Residuo, si las condiciones se cumplen, la

solución del sistema es de la forma X X 0 KP para cualquier K

P entero, donde P m1 m2 m3 m s , Pi 4 , q i P i1 MOD mi y

i

X 0b 1 P1 q1 b 2 P 2 q2 bs P s q s

Ejemplo 3: Calcular la multiplicación usual de los números 423113 y

997891 usando propiedades de la congruencia en módulo 5. En efecto 423113 3 MOD 5 y 9978911 MOD 5 . Por propiedad 2, se tiene que

423113 997891 3 1 3 MOD 5

Ejemplo 4: Calcular a. 2378 + (33) (101) y b. 167 + 46, usando

módulo 7. Por un lado tenemos que 33 5 MOD 7 , 1013 MOD 7 , 2378 5MOD 7 , 1676MOD 7 y 46 4MOD 7 . Así, por la

propiedad 2:

a. 2378 33 101 5 5 3 20 6 MOD 7 y

b. 167 46 6 4 10 3 MOD 7

Ejemplo 5: Resolver la siguiente ecuación 3X 34 MOD 5 .

Usando la propiedad 1 , se tiene que 3X1 MOD 5 , al aplicar la

propiedad 4, MCD 3,5 1 y 11 , tenemos que si hay solución

única. Para calcular la solución multipliquemos por 2 la

congruencia y se obtiene 6X 2 MOD 5 y como

6X X 6 X 1 MOD 5 X 1 X , entonces es claro que X 2 MOD 5 ,

por lo cual la solución de la ecuación es X 5K

2 , para todo K entero.

Ejemplo 6: Resolver el sistema X 2 MOD 3 ,

39




X 3 MOD 5 , X 2 MOD 7 .

El lector puede verificar sin dificultad que 3, 5 y 7 son primos entre sí.

Hecha esta verificación tenemos que P 3 5 7 105 , P135 , P2 21 y P315 . Ahora usando la propiedad 4, tenemos que q 12 ,

porque 2 35 70 1 MOD 3 , q 21 porque 1 21 211 MOD 5

y q 31 porque 1 15 151 MOD 7 . De aquí X 0233 , luego la

solución para el sistema de ecuaciones es: X 105K 233 , para todo K entero.

Ejercicios

Ejercicio 3: Verifique que la congruencia lineal 12x16 20 MOD 6 no

tiene solución.

Ayuda: Use la propiedad 4.

Ejercicio 4: Calcule la solución de la congruencia lineal 10x4 3 MOD 7.

Ayuda: Use la propiedad 1 y 4.

Ejercicio 5: Uno de los usos que tiene el Teorema Chino del Residuo

es reducir la cantidades para facilitar cálculos. Pensemos entonces en una

manifestación que no pasa del millón de personas y se pidió a los

manifestantes que se agrupen de 100 en 100 y sobraron 60. Después se

pidió que se agruparan de 99 en 99 y sobró 50. Finalmente se pidió que

se organizaran de 97 en 97 y sobran 26 . ¿Cuántos manifestantes hay?

Sol: 632660 manifestantes.

40




Autoevaluación de la Unidad 1

1. Sea n un natural positivo. Dé un ejemplo de una relación de

equivalencia sobre Z tal que Z/R sea un conjunto de n

elementos.

2. Determine para que valores de n N es verdadera la desigualdad

2n > n

2 + 4n + 5

3. Resolver el sistema X 3 MOD 5 ,

X 5 MOD 7

,

X 2 MOD 2 .

4. Sea el conjunto Z el conjunto de los números enteros, se define la

siguiente relación R en los enteros de la siguiente forma: a y b son

enteros entonces aRb si a b 0 MOD 3 . Verificar que es una

relación de equivalencia.

5. Resolver el sistema 5X 3 7 MOD 11 .

6. Resolver el sistema

X 1 MOD 5 ,

X 5 MOD 11 ,

X 2 MOD 3 .

41




Unidad 2

TÉCNICAS DE CONTEO

42




Capítulo 3

PERMUTACIONES

Objetivo general

Comprender algunos conceptos de técnicas de conteo, específicamente

lo relacionado con el estudio de las variaciones y de las permutaciones.


Dominar reglas básicas de conteo.

Entender y utilizar el concepto de variación y permutación.

Resolver problemas que involucren el concepto de variación y

permutación.

Comentario inicial

El propósito de este capítulo es presentar algunos elementos teóricos

claves del conteo, de la variación y de la permutación que tienen que ver

con la matemática discreta.

43




Lección No. 11: Definiciones básicas

Enumeración

Como ya se indicó en el Capítulo 2 de la Unidad 1, una de las

características principales de los números naturales, además del principio

de inducción, es que con ellos podemos contar. Contar en matemáticas es

un concepto de mucho cuidado porque involucra ciertos principios, por el

tema central de este módulo no es necesario tratarlo con tanto rigor.

Con el propósito de no caer en malos entendidos conceptuales, es

importante recordar, que salvo se indique lo contrario, los conjuntos que

estamos considerando en este módulo son finitos. Por eso diremos que

enumerar o contar es asignar un número natural que indique la

cantidad de elementos que tiene un conjunto. A este natural se le

denomina el cardinal del conjunto.

Si A es un conjunto que tiene n elementos, entonces el cardinal de A es n . El cardinal de A se denota como Card A y para este

caso Card A n .

Ejemplo 1: El conjunto A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 tiene 10 elementos, es

decir, Card A 10 .

Ejemplo 2: Para el conjunto Ba , e , i , o , u , Card B 5 .

Ejemplo 3: Para el conjunto vacío, Card 0 .

Ejercicio

Ejercicio 1: Proponga cinco ejemplos de conjuntos de cardinalidad

2, dos conjuntos de cardinalidad 3, dos conjuntos de cardinalidad 5 y dos

44




conjuntos de cardinalidad 7.

Lección No. 12: Principios básicos de conteo

Para exponer los principios básicos del conteo y para que haya claridad,

sólo se van a considerar para los casos de dos conjuntos A y B

contenidos en un conjunto referencial U . Si el lector está interesado en

aplicar los principios en tres o más conjuntos, puede hacerlo usando el

principio de inducción de los naturales.

El principio de la adición dice que el cardinal de la unión de dos

conjuntos A y B disyuntos es igual a la suma de los cardinales de

los dos conjuntos, es decir, Card A B Card A Card B . En el caso

que A y B no sean disyuntos, entonces:

Card A B Card A Card B Card A B

El principio de la multiplicación dice que el cardinal del producto

cartesiano de dos conjuntos es igual a la multiplicación de los cardinales

de los dos conjuntos, es decir Card A X B Card A Card B .

El principio de distribución (o del palomar) dice que si se distribuyen m objetos en n cajas, entonces alguna caja deberá contener una

cantidad mayor o igual a m/n.

El principio de inclusión y exclusión dice que el cardinal del complemento de un conjunto es la cardinalidad del conjunto referencial

menos la cardinalidad del conjunto, es decir,

Card Ac Card U Card A

Ejemplo 4: En un grupo de 100 estudiantes de computación, se tiene

45




que 50 de ellos están estudiando el sistema operativo Linux-Ubuntu, 60 de ellos estudian el sistema operativo Windows y 20 estudian ambos

sistemas operativos. ¿Cuántos estudian un sistema operativo?. Si A

representa los estudiantes que estudian Linux-Ubuntu y B los

estudiantes que estudian Windows, tenemos que Card A 50 , Card B 60 y Card A B 20 . Para saber la respuesta, se usa el

principio de la adición, luego Card A B 90 , es decir, 90 estudiantes

estudian un sistema operativo.

Ejemplo 5: Se desea saber cuántas palabras de 5 letras se pueden

formar, sin importar la coherencia de la palabra. En efecto, sea P el

conjunto de todas las palabras de cuatro letra que se pueden formar y sea A el conjunto de las letras del abecedario, usando el principio de la

multiplicación, Card P Card A 527

5 .

Ejemplo 6: En una reunión de 368 personas, hay dos de ellas que

cumplen un mismo día. En efecto, Por el principio de distribución hay

368 personas que cumplen en cualquiera de los 365 días del año, luego as

del desea saber cuántas palabras de 5 letras se pueden formar, sin

importar la coherencia de la palabra. En efecto, sea P el conjunto de

todas las palabras de cuatro letra que se pueden formar y sea A el

conjunto de las letras del abecedario, usando el principio de la

multiplicación, Card P Card A 527

5 .

Ejercicios

Ejercicio 2: Retomando el ejemplo 5 ¿Cuántas palabras de cinco letras

se pueden formar, sin importar la coherencia si la segunda letra es una

vocal?.

Sol: 5 274

Ejercicio 3: En una encuesta a 60 pasajeros de una agencia de

transporte terrestre se obtiene la siguiente información: a 24 les gusta el

vino, a 39 les gusta las bebidas preparadas y a 33 el té helado. Además a

46




10 !

18 les gusta dos de las tres bebidas y a 12 las tres bebidas. ¿Cuántos pasajeros les gusta sólo té? ¿Cuántos pasajeros les gusta exactamente dos

de las tres bebidas?

Sol: 15 y 18 respectivamente.

Lección No. 13: Variaciones

¿Qué es un factorial?

Sea un entero n un número natural, diremos inductivamente hablando que n factorial, notado n ! , se define como 0 !1 y para n>0 ,

define como n ! n n1 n2 ... 3 2 1 .

Ejemplo 1: Calcular el factorial de 5, 7 y 11. En efecto, 5 ! 5 4 3 2 1 120

7 ! 7 6 5 4 3 2 1 5040

11 ! 11 10 9 8 7 5 4 3 2 1 39916800

Ejemplo 2: Calcular 5!+ 3!

. En efecto,

5! +3! / 10! = (120)+ (6) / (3.628.800) = 126/ 3.628.800 = 3,4 X 10

-5 = 0,00003472

Ejercicios

Ejercicio 1: Implementar un algoritmo que calcule factoriales en

MAPLE o en otro lenguaje de programación.

Ejercicio 2: Calcular a. 8! / 2! y

b. 8!/ 5!3!

Sol: a. 40318 y b. 56

47




¿Qué es una variación?

Una variación de orden r en A es hacer una lista de r elementos

distintos de A sin repetir e importando el orden, siendo r Card A .

Se usa V n , r para denotar el número de variaciones de un conjunto A , con Card A n , del cual se van a tomar r elementos sin

repetir e importando el orden.

V n , r n !

n (n 1)( n 2) ... ( n r1) nr !

Una variación con repetición de orden r en A es una variación de un conjunto de Card A n , del cual se van a tomar r elementos con

repetición e importando el orden. De aquí se tiene que

V n , r nr

Una variación con repetición es también conocida como ordenación con

repetición con reemplazo.

Ejemplo 3: Hacer una lista de todas las variaciones de orden 2 para A 1,2 ,3 . En efecto, en este caso el tamaño de la lista es de V 3,2 3 2 6 elementos y son 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,3 , 3,1 , 3,2 .

Ejemplo 4: En una carrera de 100 participantes, determinar el número

de todos los posibles resultados en el pódium de ganadores (sobre los tres

primeros lugares). Como hay 100 participantes cualquiera de ellos puede

ser el ganador. Una vez está el ganador quedan 99 que pueden ocupar el

segundo lugar y habrán 98 posibles participantes que ocupo en el

tercer lugar. Así, el número de todos los

posibles resultados es V 100,3 100 99 98 970200

Ejemplo 5: Hacer una lista de todas las variaciones con repetición de

48




orden 2 para A 1,2,3 . En efecto, en este caso el tamaño de la lista es de V 3,2 3

29 elementos y son

1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3

Ejemplo 6: El ejemplo 1.2.5 la idea es encontrar el número de

palabras de cinco letras que se puede formar sin importar la coherencia.

Esto se enmarca en una variación con repetición, luego V 27,5 275 .

Ejercicios

Ejercicio 3: Proponga un conjunto de 4 elementos de tal forma que usted

haga una lista de los posibles arreglos siempre y cuando:

a. Sea una variación sin repetición de orden 3. b.

Sea una variación con repetición de orden 3.

Ejercicio 4: Calcular pensando en variación con repetición y en

variación sin repetición lo que se indique:

a. V 2,1 b. V 10,7 c. V 5,3 d. V 154,3 e. V 8,6

Sol: Para b. la variación sin repetición es 604800 y con repetición es

107 .

Ejercicio 5: Se va a escoger 4 personas de un grupo de 60 para

ocupar cargos de una mesa directiva. En el orden en que se elijan van a

ocupar los cargos. ¿De cuántas formas se pueden escoger?.

Ejercicio 6: Un byte es un conjunto de ocho posiciones, donde cada

posición se recibe o no un impulso eléctrico. ¿Cuántos bytes se pueden

formar?

49




Lección No. 14: Permutaciones

¿Qué es una permutación?

Una permutación es una variación en un conjunto A de n

elementos de tal forma que r Card A n . En otras palabras, es hacer una lista de todos los elementos distintos de A , importando el orden. Se usa P n para denotar el número de permutaciones de un

conjunto A , con Card A n , en este caso, P nV n , n n ! .

Análogamente, una permutación con repetición en un conjunto A es

una variación con repetición del conjunto A de tal forma que r Card A n , del cual se van a tomar todos los elementos de A

con repetición e importando el orden. De aquí se tiene que n

P nV n , n n .

En algunos textos, se asume que permutación y variación son la misma cosa. Está en libertad de asumir variación como permutación o viceversa,

siempre y cuando el lector tenga claro en donde está la similitud.

Ejemplo 1: Hacer una lista de todas las permutaciones para A 1,2 ,3 . En efecto, en este caso el tamaño de la lista es de P 336 elementos y son

1,2 ,3 , 1,3 ,2 , 2,1,3 , 2,3 ,1 , 3,1,2 , 3,2 ,1

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras se pueden sentar en una mesa de 6

puestos 6 personas diferentes? La respuesta es P 66720 maneras.

Ejemplo 3: Hacer una lista de todas las permutaciones con repetición para

A 1, 2,3 . En efecto, en este caso el tamaño de la lista es de

V 3,2 3327 elementos y son

1,1 ,1 , 1,1 ,2 , 1,1 ,3 , 1,2 ,1 , 1,2 ,2 , 1,2 ,3 , 1,3 ,1 , 1,3 ,2 , 1,3 ,3 ,

50




2,1 ,1 , 2,1 ,2 , 2,1 ,3 , 2,2 ,1 , 2,2 ,2 , 2,2 ,3 , 2,3 ,1 , 2,3 ,2 , 2,3 ,3 ,

3,1 ,1 , 3,1 ,2 , 3,1 ,3 , 3,2 ,1 , 3,2 ,2 , 3,2 ,3 , 3,3 ,1 , 3,3 ,2 , 3,3 ,3

Ejercicios



a. Sea una permutación.

b. Sea una permutación que admite repetición.

Ejercicio 2: Calcular pensando en permutación y en permutación con

repetición:

a. P2 b. P7 c. P5 d. P3 e. P8

Sol: Para b. la permutación es 5040 y con repetición es 7 7

.

Ejercicio 3: Se van a distribuir 4 personas en 4 cargos diferentes

que hay en una empresa. ¿De cuántas formas se pueden distribuir estos

cargos?

Ejercicio 4: ¿De cuántas formas se puede ordenar las letras de la

palabra escuela?

Permutación con repetición donde hay más de un elemento que se

repite

Una permutación con repetición en un conjunto A , con cardinal n ,

que tiene s elementos que se repiten es una permutación con repetición

que considera todos los elementos de A y todos los elementos que se

repiten e importando el orden.

El número de permutaciones con repetición de un conjunto A con n elementos y con s elementos que se repiten un número n1 , n2 ,..., n s de veces, está dado por

51




3, 2

P n , s n

n !

! n ! n ! 1 2 s

Este tipo de permutación es llamada ordenación con repetición sin reemplazo.

Ejemplo 4: Hacer una lista de todas las palabras que se pueden

escribir al reordenar la palabra ESE. En efecto, en este caso el número

de palabras que se pueden formar es P 3 3 elementos, donde 2

2

representa el número de repeticiones de la letra E y las palabras son

ESE , SEE , EES

Ejemplo 5: Se quiere formar 5 equipos de 10 jugadores cada uno de

un grupo de 50 personas. ¿De cuántas formas se puede elegir los 5 50 !

equipos?. La respuesta es P50,5 10 ! 10 ! 10 ! 10 ! 10 !

.

Ejercicios

Ejercicio 5: En un país se establece un sistema de matriculación de

vehículos en el que la matrícula está formada por las tres letras seguidas

de tres números. Determinar el número de matrículas que salen.

Ejercicio 6: Determinar el número de ordenaciones que hay de las letras

de la palabra ladrillo.

Sol: 6720

52




Capítulo 4

COMBINACIONES

Objetivo general

Comprender algunos conceptos y tópicos relacionados con

combinaciones.


Entender y utilizar el concepto de combinación.

Resolver problemas que involucren el concepto de combinación.

Comentario inicial

El propósito de este capítulo es presentar algunos elementos teóricos

claves de combinación que tienen que ver con la matemática discreta.

Lección No. 15: Combinatoria

53

Definición de combinatoria

Una combinación de un conjunto A , con Card A n , son todos




los subconjuntos de A que tienen r elementos, donde r n . La

notación C n , r y algunas veces la notación de la forma n

llamada combinatoria, indica el número de subconjuntos de un

conjunto que tiene r elementos, luego

C n , r n n !

r nr ! r !

Ejemplo 1: Hacer una lista de todos los subconjuntos de tamaño 2 para A 1,2 ,3 . En efecto, en este caso el tamaño de la lista es de

C3, 2 = 3!/(2! (3-2)!) = 6/(2x1) = 6/2 = 3;

los elementos son {(1,2), (1,3), (2,3)}

Ejemplo 2: Un estudiante presenta un examen con 10 preguntas, pero el profesor indica que solo debe escoger 7 preguntas de las 10. ¿De

cuántas maneras se pueden escoger las preguntas?. La respuesta es

C10,7 = 10! / 7! (10-7)! = 10! / (7!)(3!) = 3.628.800 / (5040) (6) = 3.628.800 / 30240 = 120

Ejemplo 3: Determinar el número de todas las posibles combinaciones para armar un equipo de baloncesto con 10 personas.

Un equipo de baloncesto tiene 5 integrantes activos.

C10, 5 = 10! / (5!)(5!) = 3.628.800 / (120) (120) = 3.628.800 / 14.400 = 252

Ejercicios



a. Sea una permutación.

b. Sea una permutación que admite repetición.

54




r

Ejercicio 2: Calcular pensando en permutación y en permutación con repetición:

a. P2 b. P7 c. P5 d. P3 e. P8

Sol: Para b. la permutación es 5040 y con repetición es 7 7

.

Ejercicio 3: Se van a distribuir personas 4 en 4 cargos diferentes que

hay en una empresa. ¿De cuántas formas se pueden distribuir estos

cargos?.

Ejercicio 4:¿De cuántas formas se puede ordenar las letras de la palabra

papaya?.

Lección No. 16: Propiedades de la combinatoria

Lo que sigue a continuación son algunas de las propiedades que tiene la

combinatoria:

1. Si r n entonces C n , r n r 0 .

2. n

r

3. n

n

n r

n 1 r 1

n1

r

4. Dados los enteros x,y y n , con n0 , entonces se n

n n

nr r

cumple que x y r 0 r x

y (Teorema del binomio).

Ejemplo 4: ¿Cuántos subconjuntos de dos elementos tiene un conjunto de 100 elementos?. La respuesta es

C100, 98 = 100! / 98! 2! = 100.99.98! /2! 98! = 100.99/ 2 = 4950




462

1

(Se está usando la propiedad 2).

Ejemplo 5: ¿Cuál es el coeficiente que hace parte del término a 5 b

6

en el binomio (a+b) 11 ?. Usando la propiedad 4, tenemos que el

coeficiente es 11

. 6

Ejemplo 6: S ab i en do que , calcular n .

En efecto, usando la propiedad 2,

Se obtiene que n -10 = 7 por lo tanto n = 17

Ejercicios

Ejercicio 4: Sabiendo que C14,r = C14,r-1 Halle el valor de r

Sol: r 15/2

n n

Ejercicio 5: Usando el la propiedad 4, calcular r 0 r y

n

r 0

r n

r .

Ejercicio 6: Consulta que es el Triángulo de Pascal. Una vez hecho esto, qué relación tiene el Triángulo de Pascal con la propiedad 3 y con la propiedad 4. Ayuda: Buscar en Wikipedia (www.wikipedia.org) o en algún otro

buscador de la Internet qué es el Triángulo de Pascal.

Lección No. 17: Combinatoria con repetición y

permutación circular

56




Combinatoria con repetición

Una combinación con repetición de un conjunto A de n elementos,

es la selección no ordenada de r en r elementos, con posibles

repeticiones. La notación CR n , r indica el número de combinaciones

con repetición de un conjunto de n elementos tomados de r en r

luego

CR n , r C n r1, r n r1

r

Ejemplo 1: Se extrae de una baraja de cartas española 6 cartas de

manera simultánea, el número de posibilidades es

CR 40,6 40 61

6

45 6 8145060

Ejemplo2: Una persona va a tener 10 invitados y les va a ofrecer 3 bebidas diferentes. ¿De cuántas maneras puede distribuirse las bebidas?.

Como son 3 bebidas diferentes para 10 personas, tenemos que el

número de posibilidades es

CR 3,10 3 101

10

12 10 66

Ejemplo 3: ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación x1 x2 x3 x47 ?. Si se piensa que cada variable de la

ecuación es una categoría, entonces cada variable tiene la posibilidad de

ser cualquiera de los 8 primeros enteros no negativos (del 0 al 7) , luego el número de soluciones enteras es

CR 4,8 4 8 1

8

11 8 1320

57




Ejercicios

Ejercicio 1: ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la

ecuación x1 x2 x3 x4 x5 25 ? Sol: 23751 .

Ejercicio 2: ¿De cuántas formas se pueden distribuir 7 balones

idénticos en 4 cajas diferentes?.

Ejercicio 3: Proponga tres problemas con sus respectivas soluciones,

donde se involucre combinación con repetición.

Lección No.18: Permutación circular

Una permutación circular de n objetos de orden r es una permutación cuyos elementos están distribuidos en forma circular la

idea de una curva cerrada en el que importa el orden. Se denota por PC n , r C n , r r 1 ! .

Ejemplo 4: Se dispone de 10 sillas para sentar 6 personas en una

mesa circular ¿De cuántas maneras puede distribuirse las personas en las

sillas de la mesa?

PC 10,6 10 6

5 25.200

Ejercicio

Ejercicio 4: Consultar qué es permutación circular y plantear dos

problemas que involucren permutación circular.


buscador de la Internet qué es permutación circular.

58





1. Supongamos que se fabrican llaves haciendo incisiones en varias

posiciones de una llave virgen. Suponiendo que haya 8 profundidades

posibles para las incisiones, ¿cuál es el menor número de posiciones que

permite fabricar 1000000 de llaves diferentes?

2. Mario ha sido invitado por Don Pedro a consumir comidas de 4 platos

diferentes a elegir entre un menú de 10 platos. El mecenas pagará día

tras día mientras la imaginación del comensal alcance a no repetir una

comida ya seleccionada en algún día anterior. ¿Por cuántos días, como

máximo, subsistirá Mario a costa de Don Pedro?

3. La junta directiva de una asociación está formada por 8 mujeres y 7

hombres. ¿De cuántas formas posibles puede constituirse un comité

formado por 3 mujeres y 4 hombres? ¿Y con la restricción adicional de

que la Sra. Mercedes y el Sr. García no figuren simultáneamente en el

comité?

4. Demuestre que cuando se arrojan tres dados indistinguibles el número

de resultados posibles es 56.

5. Usar el Teorema del Binomio para calcular (1 + x) 4 .

59




Unidad 3

RELACIONES DE RECURRENCIA

60




Capítulo 5

RECURSIÓN

Objetivo general

Conocer en forma introductoria los conceptos propios de la recurrencia

en relación con matemática discreta.


Conocer y entender las reglas básicas de la recurrencia.

Comprender el concepto de recurrencia lineal homogénea y no

homogénea.

Resolver problemas que involucren recursión lineal.

Comentario inicial

Para muchos la recursión es expresar algo sobre sí mismo. Dentro de la

matemática discreta y en general en la computación, ciertos algoritmos y

programas de cálculo se han facilitado cuando se usa la recursión. Lo que

sigue es una introducción a un vasto tema como lo es la recursión, así

como su relación con la matemática discreta.

61




0 1 n n1 n2

n

Es probable que el lector ya esté familiarizado con el contenido de este capítulo visto en curso anteriores, por eso no se va entrar con el debido

detalle en algunos temas.

Lección No. 19: Relación de recurrencia

Definición de relación de recurrencia

Diremos que una relación de recurrencia para una sucesión a0 , a1 , a 2 , ... , a n ,... es una expresión que relaciona an con uno o más

términos precedentes a 0 , a1 , a 2 , ... , a n1 , para cualquier n entero mayor o igual que un entero inicial k. Las condiciones iniciales son los primeros términos necesarios para empezar a calcular en una relación

de recurrencia.

Ejemplo 1: La relación a11 y an a n1 2n 1 para todo n

natural mayor que 1, es un ejemplo de relación de recurrencia.

Ejemplo 2: La sucesión de Fibonacci es otro ejemplo de relación de

recurrencia definido como sigue: a11 , a21 y an an1 a n 2 para todo n natural mayor que 2.

Ejemplo 3: La relación a 0 2 y an an1 0.5 para todo n

natural mayor que 0, es otro ejemplo de relación de recurrencia.

Ejemplo 4: La relación a 0 , a 2 y a 4a 4a n2 para

todo n natural mayor que 1, es también ejemplo de relación de

recurrencia.

Ejercicios

Ejercicio1: Proponga dos ejemplos más de relación de recurrencia.

62




Ejercicio 2: Proponga e implemente en MAPLE o en un lenguaje de programación las relaciones de recurrencia dados en los ejemplos

anteriores.

Lección No. 20: Relación de recurrencia lineal

En matemática discreta es usual trabajar con relaciones de recurrencia

de tipo lineal de coeficientes constantes. Una relación de recurrencia es

de tipo lineal de coeficientes constantes de orden m, si la relación de

recurrencia es de la forma a n c1 a n 1 c2 a n2 c3 an3 cm a nm g n , donde c1 , c2 , ... , cm son constantes.

Ejemplo 5: La relación a11 y an a n1 2n 1 para todo n

natural mayor que 1, del ejemplo 1.2.1 es una relación de recurrencia

lineal de coeficientes constantes de orden 1.

Ejemplo 6: La sucesión de Fibonacci (ejemplo 2) es otro ejemplo

de relación de recurrencia de coeficientes constantes de orden 2.

Ejercicios

Ejercicio 3: Ve r i f i que si las relaciones dadas por los ejemplos 1.2.3

y 1.2.4 son relaciones de recurrencia lineal de coeficientes constantes y si

es así, diga de qué orden son.

Ejercicio 4: Proponga un ejemplo de recurrencia lineal de coeficientes

constantes de orden 3.

63




3

n 1 1 2 2 3 3

s s

i

2

1

1 2 m

Lección No. 21: Recurrencia lineal homogénea

Diremos que una relación de recurrencia lineal de coeficientes

constantes de orden m es homogénea, si g n 0 . Una ecuación

característica de una relación de recurrencia lineal de coeficientes

constantes homogénea de orden n es una ecuación de la forma t

nc t

n1 c t

n2 c t

n3 c t

nm y las raíces de esta ecuación se

llaman raíces características.

1.3.1 Teorema Sea a n una sucesión definida por recurrencia lineal

homogénea como en la definición 4.3, y sean b 1 , b2 , ... , bs las raíces

características con multiplicidades r 1 , r2 , ... , r s , entonces:

a P n bn P n b

n P n b

n P n b

n

Donde cada P i n A0 A1 n Ar 1 n ri 1 , con i1,. .. , s .

Ejemplo 1: Retomando la sucesión de Fibonacci a00 , a11 y

a n an1 + an 2 para todo n natural mayor que 2, podemos decir que es

una relación lineal homogénea, cuya ecuación característica es

t 2t 1 0 , cuyas raíces son

1 5 y

15 2

, y usando las

condiciones iniciales junto con procedimientos algebraicos de

simplificación tenemos que

an5 n

1 + 5 2

n

1 5 ,

2

para todo n natural mayor que 1.

64




n k

n k

Ejercicios

Ejercicio 1: ¿Es la siguientes relación lineal a0 23 y an 3an1

homogenea?. Si es así, hacer un desarrollo similar al ejemplo 1.

Ejercicio 2: Proponga dos ejemplos similares al ejercicio 1

Lección No. 22: Recurrencia lineal no homogénea

Diremos que una relación de recurrencia lineal de coeficientes

constantes de orden m es no homogénea, si g n 0 . Aunque no

existe una solución general para este tipo de relaciones de recurrencia,

existe el método de los coeficientes indeterminados que va a

proporcionar una solución particular en función de cómo esté definido g n .

Si g( n) es un polinomio de grado k, entonces a Q n nr , donde

Q k n es un polinomio de grado k y r es la multiplicidad de la raíz 1 de la ecuación característica de la relación lineal homogénea asociada.

Si g ( n) es un polinomio de grado k, entonces a Q n nr a

n , donde

Q k n es un polinomio de grado k y r es la multiplicidad de la raíz a de la ecuación característica de la relación lineal homogénea

asociada.

Ejemplo 1: Cuál es la solución de la relación de recurrencia

an =6an-1-9an-2+F(n) cuando F(n)=3n, F(n)=n3n?

65




.

De la ecuación de recurrencia lineal homogénea asociada (an=6an-1-9an-2) tenemos que (r-3)

2=0, luego tiene una raíz de valor 3, con multiplicidad 2.

Aplicando el teorema con respecto a las funciones F(n) se obtienen las soluciones particulares: Para F(n)=3n. Dado que s=3=r con multiplicidad 2 (m), entonces: Solución particular an

(p)=n

2(p0)3

n.

Para F(n)= n3

n. Dado que s=3=r con multiplicidad 2 (m), entonces:

Solución particular an

(p)=n

2(p1n+ p0)3

n.

Ejercicios

Ejercicio 1: ¿Es la relación de recurrencia del ejemplo 1.2.4 lineal

no homogenea?. Justifique su respuesta. Si es así, hacer un desarrollo

similar al ejemplo 1. 55

n 1 2

Sol: an n 2 54

3n 4n 27

Ejercicio 2: Con base al primer ejemplo, encuentre las soluciones particulares para F(n) = n

2.2

n

Ejercicio 3: Con base al primer ejemplo, encuentre las soluciones particulares para F(n) = (n

2+1).3

n

66




Capítulo 6

FUNCIÓN GENERADORA

Objetivo general

Entender cómo se relaciona un problema de conteo con un polinomio

usando el concepto de función generadora.


Conocer el concepto de función generadora y sucesión asociada.

Resolver problemas que involucren el concepto de función

generadora.

Comentario inicial

El problema de contar algunas veces no resulta tan sencillo. El propósito

central de este capítulo es conocer cómo es un problema de conteo con

un polinomio. Es básicamente encontrar una generalización del teorema

del Binomio.

67




Es muy probable que el lector ya esté familiarizado con el contenido de este capítulo visto en curso anteriores, por eso no se va a tratar con el

debido detalle algunos temas.

Lección No. 23: Función generadora y sucesión

asociada

Definición de función generadora

Una serie de sumas de potencias de x , de la forma

n 2 n

f x n0

an x a0 a1 x a 2 x an x

finita o infinita, se llama función generadora de la sucesión a 0 , a1 , a2 ,... , an ,... formada con los coeficientes de x .

Ejemplo 1: La sucesión a 0 a1 a 2 a3 a41 y an 0 para todo n natural mayor que 4, tiene como función generadora asociada a

f x 1 x x

2 x

3 x

4

Ejemplo 2: La sucesión asociada a la función generadora

f x 1 2x 4x2

5x 4

7x 7

es la sucesión 1, 2,4,0,5,0,0,7,0,0,0,. .. , 0,0,0,. ..

Ejemplo 3: La sucesión asociada a la función generadora

f x x 1 3x 10x 2

9x5

es la sucesión 0,1,3,10,0,0,9,0,0,0,. .. ,0,0,0,. ..

68




n

n

Ejemplo 4: La sucesión a01 y an an12 para todo n natural

mayor que 0, tiene como función generadora a

f x n0 2n 1 x

n

Ejercicios

Ejercicio 1: ¿Cuál es la sucesión asociada a la función generadora

f x x4

x5

x 2

x3 ?

Sol: 0,0,0,0,0,0,1,2,1,0,0,0,. .. , 0,0,0,. .. .

Ejercicio 2: ¿Cuál es la función generadora asociada a la sucesión 1,1,1, 1,1,1,1,. .. ?

Sol: f x n0

1 xn

Ejercicio 3: Proponga 5 ejercicios para los cuales se da la sucesión asociada a una función generadora y encontrar dicha función.

Ejercicio 4: Proponga 5 ejercicios para los cuales se da la función

generadora y encontrar la sucesión asociada a dicha función generadora.

Lección No. 24: Series de Taylor y Maclaurin

La serie de Maclaurin y la serie de Taylor son mecanismos muy usados para

encontrar la sucesión asociada a una función generadora.

Una función generadora f(x) = , donde an =

f(n) 0 es la enésima derivada de f(x) evaluada en cero.

Una serie de Taylor es toda función de la forma f x n0

an x a ,

69




m

n0 n

n n

n

si anf

n a

n , donde f

a es la n-ésima derivada de la función

f x evaluada en a .

Las series de Maclaurin son un caso especial de las series de Taylor

cuando a 0 .

Ejemplo 5: La función f(x) = log (1-x) es función generadora ya que al

aplicar las series de Maclaurin se tiene que log (1-x) = para

x<1

De aquí se deduce que la sucesión asociada es an = -1/n para todo x<1

Ejemplo 6: La función f ( x) ex es función generadora ya que al

aplicar las series de Maclaurin, se tiene que ex

1 x

n

y de aquí se

deduce que la sucesión asociada es a 1

, para todo n natural

mayor o igual que 0.

Ejercicios

Ejercicio 5: Encontrar la función asociada a la función generadora de a. f

(x) = con 1<1; b. f(x) = Sen (x);

c. f(x) = Cos (x) ; d. f(x) = EXP (-x)

NOTA: En Internet encontrará las series de estas funciones o en un libro de

cálculo.

Ejercicio 6: Proponga otros dos ejemplos de funciones generadoras,

de las cuales haya que encontrar la sucesión asociada usando series de

Maclaurin.

70




Lección No. 25: Resolviendo problemas de conteo a través de un polinomio

Las combinaciones de n elementos tomados en grupos de r

elementos son los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton

(a +b) n (Teorema del Binomio). Esto permite pensar en encontrar

métodos o maneras para resolver problemas de conteo a través de los

coeficientes de polinomios.

Lo que sigue son dos ejemplos clásicos que permiten mostrar una manera

de cómo un problema de conteo se resuelve a través de coeficientes de

polinomios.

Ejemplo 1: Un bibliotecario va a entregar 7 libros a dos personas, de

tal forma que a uno le toque al menos 4 libros y al otro le toque al menos

2 libros. ¿De cuántas formas puede entregar los libros el bibliotecario?

En efecto, por la manera en que surgen los coeficientes del binomio de

Newton, se puede asociar a este problema el siguiente polinomio:

f ( x) x4

x5

x 2

x3 . De acuerdo con el problema, el primer factor

corresponde el número de libros posibles que le corresponden a la

primera persona y esto es 4 o 5. A la segunda persona le corresponden 2

o 3. De aquí surge el planteamiento del polinomio. Al multiplicar estos

dos factores tenemos que f (x) x6

2x 7

x8 y como son 7 libros, se

tiene que hay 2 formas de entregar los libros.

Ejemplo 2: Retomando el ejemplo 1, ahora son 10 libros, esto

significa que f ( x) x4

x5

x6

x7

x8

x2

x3

x4

x5

x 6 , porque a la

primera persona le corresponden entre 4 y 8 libros y a la segunda persona

le corresponden entre 2 y 6 libros. Al desarrollar el polinomio tenemos

que f (x) x6

2x7

3x 8

4x9

5x 10

4x 11

3x 12

2x 13

x14 , como son 10

libros, entonces hay 5 formas de entregar los libros.

71




Ejercicio

Ejercicio 1: Proponga y resuelva un problema similar al presentado

en el ejemplo 1.

72





1. Sea la sucesión recurrente an 4an1 con a 09 . Encontrar el

término general de la sucesión.

2. Dada la sucesión 1,7,21,35,35,21,7,1,0,0,....,0,... ¿A qué función

generadora corresponde?

3. Hallar la sucesión asociada a la función generadora f x cos x .

4. Usando coeficientes de polinomios, ¿de cuántas formas se pueden

repartir 12 objetos iguales entre cuatro personas. A la primera hay que

darle al menos tres objetos, a la segunda al menos 2 objetos, a la tercera y

cuarta 1 objeto?

73




Unidad 4

INTRODUCCIÓN A GRAFOS

74




Capítulo 7

GRAFOS

Objetivo general

Entender los conceptos y definiciones básicas de la Teoría de Grafos.


Utilizar las diferentes representaciones de un grafo.

Resolver problemas que involucren la Teoría de Grafos.

Comentario inicial

Desde su aparición, los grafos han sido de mucha utilidad, por ejemplo

en el diseño de modelos de redes de ordenadores, la implementación de

un circuito en un tablero plano, distinguir compuestos químicos con la

misma fórmula molecular o encontrar el camino más corto entre dos

ciudades en problemas de transporte. Lo que se verá aquí es una

introducción a través de algunas definiciones y tópicos teóricos de la

teoría de los grafos relacionados con la matemática discreta.

75




Lección No. 26: Definiciones básicas

¿Qué es un grafo simple?

Un grafo simple G es un par (V , E) , donde V es un conjunto,

llamado conjunto de vértices y E es un subconjunto de

a , b : a , bV a b , llamado conjunto de aristas. Una arista es el

conjunto a , b

Ejemplo 1: Un ejemplo de grafo simple es V 1,2,3 ,4 y E 1,2 , 1,3 , 1,4 . Un diagrama de este grafo es como sigue:

3

1

4

2

Gráfica 1.2.1. Grafo simple del ejemplo 1.2.1

Ejercicio

Ejercicio 1: Proponga dos ejemplos de grafo simple y haga sus

respectivos diagramas.

¿Qué es un multigrafo?

76




Un multigrafo G es un par V , E , donde V es un conjunto de vértices y E el conjunto de aristas de tal forma que admite aristas con

los mismos extremos o aristas con extremos iguales.

Ejemplo 2: Un ejemplo de multigrafo es V a , b , c , d y E a , a , a , b , a , b ,b , c . Un diagrama de este grafo es como sigue:

a

b

d

c

Gráfica 1.2.2. Multigrafo del ejemplo 1.2.2

Ejercicio

Ejercicio 2: Proponga dos ejemplos de multigrafo y haga sus


¿Qué es un digrafo?

Un digrafo es un par V , E , donde V es el conjunto de vértices y E es un subconjunto de V X V D , donde D x , x : xV . En

este caso las aristas están dirigidas.

Ejemplo 3: Un ejemplo de digrafo es V a , b , c y

77




E a , b , a , c , b , c , c , b . Un diagrama de este digrafo es como

sigue:

b

a

1 c

Gráfica 1.2.3. Digrafo del ejemplo 1.2.3

Ejercicio

Ejercicio 3: Proponga dos ejemplos de digrafo y haga sus


¿Qué es un multidigrafo?

Un multidigrafo G es un par V , E , donde V es un conjunto de

vértices y E el conjunto de aristas de tal forma que se comportan

como un digrafo y que admite aristas con los mismos extremos o aristas

con extremos iguales.

Ejemplo 4: Un ejemplo de multidigrafo es V a , b , c , d y E a , b , b , a , b , c , c , d . Un diagrama de este multidigrafo es

como sigue:

78




a

b

d

c

Gráfica 1.2.4. Multidigrafo del ejemplo 1.2.4

Ejercicio

Ejercicio 4: Proponga dos ejemplos de multidigrafo y haga sus


¿Qué es un grafo?

Salvo que se indique lo contrario, para nosotros un grafo G es un par V , E , que es un grafo simple o un multigrafo o un digrafo o un

multidigrafo.

Si a , b es la arista de un grafo, los vértices a y b se denominan

extremos. Cuando dos extremos de una arista son iguales, se llama

bucle.

Dos vértices a y b se dicen que son adyacentes, si entre ellos

existe la arista a , b . El grado de un vértice es el número de aristas

de las que es extremo. Si v es un vértice, entonces su grado se denota

como gr v .

Dados dos grafos G V , E y G' V

' , E

' , hay isomorfismo entre

estos dos grafos, si existe una función biyectiva f entre G y G' ,

de tal forma que para cada a y b vértices de G , la arista a , b

le corresponde de manera biunívoca la arista f a , f b de G' . En

otras palabras, si G y G' son isomorfos, entonces son

79




matemáticamente iguales y solo varían en su apariencia.

Ejemplo 5: Lo presentado en los ejemplos 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 y 1.2.4

son ejemplos de grafos.

Ejemplo 6: Dado el grafo del ejemplo 1.2.2, se tiene el bucle a , a , gr a 4 , gr b 3 , gr c 1 y gr d 0 . También se tiene que a , b es una arista, entonces a y b son extremos, son adyacentes y

los vértices c y d no son adyacentes.

Ejemplo 7: Lo que sigue es un ejemplo de dos grafos que son

isomorfos. Como puede apreciarse se puede hacer una correspondencia

biunívoca entre vértices y aristas.

d

3

1

4

b a

c 2

Gráfica 1.2.5. Ejemplo de grafos isomorfos

Ejercicios

Ejercicio 5: Proponga dos ejemplos de grafos y para cada uno de

ellos mirar cuáles son los vértices extremos, el grado de cada vértice y

cuáles vértices son adyacentes y cuáles no.

Ejercicio 6: Proponga dos ejemplos de grafos isomorfos y un

ejemplo de dos grafos que no sean isomorfos.

Ejercicio 7: Averiguar en qué consiste el problema de los puentes de

80




Königsberg y qué relación tiene con la teoría de grafos. Además averiguar qué son grafos planos.



Lección No. 27: Grafos bipartidos y completos

¿Qué es un grafo bipartido?

Un grafo es bipartido si es un grafo simple, el conjunto de vértices V

se pueden expresar como la unión de dos conjuntos disyuntos V 1 y V 2 de tal forma que cada arista que tiene su vértice en V 1 está

conectado si y sólo si con un vértice de V 2 .

Un grafo bipartido es regular si para cada uno de los conjuntos de

vértices, todos sus vértices tienen el mismo grado, se denota K m , n ,

donde m y n es el grado de cada conjunto disyunto de vértices.

Ejemplo 1: El siguiente diagrama representa un grafo K 2,2 regular

V1 V2

Gráfica 1.3.1. Ejemplo de grafo bipartido K(2,2) regular

Ejemplo 2: El siguiente diagrama representa un grafo K 2,3 regular

81




Gráfica 1.3.2. Ejemplo de grafo bipartido K(2,3) regular

Ejercicio

Ejercicio 1: Proponga dos ejemplos de grafos bipartidos regulares y un

ejemplo de un grafo que no es bipartido.

¿Qué es un grafo completo?

Un grafo es completo cuando hay siempre una arista entre cada par de

vértices. Un grafo completo con n vértices se denota K n .

Ejemplo 3: Los siguientes diagramas son ejemplos de grafos

completos.

Gráfica 1.3.3 Grafos completos, K1, K2, K3, K4 respectivamente.

82




Ejemplo 4: El siguiente grafo no es completo.

Gráfica 1.3.4 Grafo que no es completo.

Ejercicio

Ejercicio 2: Proponga dos ejemplos de grafos completos y un

ejemplo de un grafo que no es completo.

Lección No. 28: Representación de grafos

Matrices de adyacencias

Además de la representación en diagramas, un grafo se puede

representar por medio de una matriz que se llama matriz de adyacencia.

Una matriz de adyacencia es una matriz de orden n que representa

qué vértices son adyacentes en un grafo con n vértices. Las filas y las

columnas representan cada uno de estos vértices y si V a 1 , a2 , , an es el conjunto de vértices y si A a ij es la matriz de adyacencia,

entonces a ij 1 si a i y a j son adyacentes y a ij 0 en el caso que no lo sean.

En el caso que existan aristas diferentes con los mismos extremos, a ij

toma el valor del número de arista que hay entre a i y a j . En el caso

que un grafo no sea digrafo o multidigrafo hay simetría, es decir, a ij

a ji

83




Ejemplo 1: La matriz de adyacencia del grafo del ejemplo 1.2.1 es

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0


1 2 0 0

2 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 0


0 1 1

0 0 1

0 1 0

En este ejemplo hay que tener en cuenta que es un digrafo, por eso no hay simetría.


0 1 0 0

1 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

En este ejemplo hay que tener en cuenta que es un multidigrafo, por eso no hay simetría.

Ejercicios

Ejercicio 1: Proponga cuatro ejemplos de matrices adyacentes.

84




0 2 0 0

2 0 1 0

0 1 0 1

0 0 1 0

Ejercicio 2: Describa y trace el diagrama de los grafos que representan las siguientes matrices adyacentes.

0 2 1 1 1 1 a. 0 0 1 b. 1 0 1 c. 0 1 0 1 1 0

Matrices de incidencias

Una matriz de incidencia es una matriz de orden nm que representa

si un vértice hace parte de una arista en un grafo con n vértices y con m arista diferentes. Las filas representan los vértices que previamente

han sido ordenados y las columnas representan cada una de las

diferentes aristas que han sido previamente ordenadas. Si V a 1 , a2 , , a n es el conjunto de vértices previamente ordenadas y si A a ij es la matriz de incidencia, entonces a ij 1 si a i es extremo

de la arista y ai , a j y a ij 0 en el caso que no lo sea.

Ejemplo 5: La matriz de incidencia del grafo del ejemplo 1.2.1,

conservando el mismo orden que se enuncia en el ejemplo es

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Ejemplo 6: La matriz de incidencia del grafo del ejemplo 1.2.2, conservando el mismo orden que se enuncia en el ejemplo es

85




1 1 1 0

0 1 1 1

0 0 0 1

0 0 0 0

Ejemplo 7: La matriz de incidencia del grafo del ejemplo 1.2.3, conservando el mismo orden que se enuncia en el ejemplo es

1 1 0 0

1 0 1 1

0 1 1 1

Ejemplo 8: La matriz de incidencia del grafo del ejemplo 1.2.4, conservando el mismo orden que se enuncian en el ejemplo es

1 1 0 0

1 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

Ejercicio

Ejercicio 3: Proponga cuatro ejemplos de matrices incidentes.

Lección No. 29: Caminos, ciclos y grafos conexos

Definiciones básicas

Sean a y b dos vértices, se dice que hay un camino en el grafo G

de a hacia b , si existe una sucesión finita no vacía de aristas

a , v1 , v1 , v2 , v2 , v3 , ... , v n1 , vn , vn , b . En este caso a y b se

llaman los extremos del camino.

86




El número de aristas del camino se llama la longitud del camino. Si los vértices no se repiten el camino se dice camino simple.

Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama

camino cerrado o circuito. Se llama ciclo a un circuito simple.

Un vértice a se dice accesible desde el vértice b , si existe un

camino entre ellos.

Ejemplo 1: De nuevo el grafo del ejemplo 1.2.2, la sucesión

E a , a , a , b , b , c es un camino simple de a hacia b de longitud 3. Es un camino simple pero que no es ni circuito ni ciclo.

Ejemplo 2: En el ejemplo 1.2.3, el camino b , c , c , b es un

circuito que es ciclo.

Ejercicio

Ejercicio 1: Proponga cuatro ejemplos de grafos de los que pueda sacar

ejemplos de camino, camino simple, circuito y ciclo.

Grafos conexos

Un grafo G se dice conexo, si cada par de vértices está unido al

menos por un camino.

La relación entre vértices dada por: a está relacionado con b si

hay un camino que los une es de equivalencia. Las clases de

equivalencia de esta relación se llaman las componentes conexas del

grafo.

Un método para comprobar si un grafo es conexo es el siguiente: Hallar

la matriz de adyacencia A y elevarla a la n1 -ésima potencia,

después se calcula la suma de las potencias de A hasta An1 y ver

87




si todos sus elementos son 0. Si es así, el grafo es conexo.

Ejemplo 3: El siguiente diagrama es un ejemplo de un grafo que es

conexo.

Gráfica 1.5.1 Grafo que es conexo.

Ejemplo 4: El siguiente diagrama es un ejemplo de un grafo que no

es conexo.

Gráfica 1.5.2 Grafo que no es conexo.

Ejemplo 5: Sea un grafo G cuya matriz de adyacencias es

0 1 0 A 1 0 1

0 1 0

88




entonces al calcular la matriz I A A2 es igual a la matriz nula, luego

el grafo G es conexo.

Ejercicios

Ejercicio 2: Proponga dos grafos cuyos diagramas evidencien que

son conexos.

Ejercicio 3: Proponga dos grafos cuyos diagramas evidencien que no son

conexos.

Ejercicio 4: Verificar que el grafo del ejemplo 1.2.1 no es conexo,

usando el criterio de la matriz de adyacencia.

Ejercicio 5: ¿El grafo K 6 es conexo?. Verificar a través de un

diagrama y usando el criterio de la matriz de adyacencia.

Lección No. 30: Grafos eulerianos y hamiltonianos

¿Qué es un grafo euleriano?

Se llama camino euleriano a un camino que contiene a todas las aristas

del grafo, apareciendo cada una exactamente una vez. Un ciclo

euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo

vértice. Un grafo que admite un ciclo euleriano diremos que es un grafo

euleriano. Si un grafo es isomorfo a un solo ciclo, siempre tiene ciclo

euleriano.

El Algoritmo de Fleury es un algoritmo de búsqueda de caminos

eulerianos en grafos eulerianos. Para grafos no dirigdos, estos son lo

pasos generales del algoritmo:

89




(1) Si el grafo es euleriano, a partir de un vértice cualquiera de G,

construiremos una cadena simple de forma que no se repitan

aristas y no se elijan aristas de corte a no ser que no haya otra

alternativa. Al finalizar este proceso, es decir, cuando hayamos

agotado todas las aristas, habremos obtenido un recorrido

euleriano.

(2) Si el grafo contiene un camino euleriano comenzaremos con un

vértice de grado impar siguiendo el proceso descrito.

Ejemplo 1: Los siguientes diagramas son ejemplos de un grafo no

euleriano y de un grafo euleriano respectivamente:

Gráfica 1.6.1 Ejemplos de grafos eulerianos.

Ejercicios

Ejercicio 1: Proponga un algoritmo de búsqueda de caminos

eulerianos en grafos o implemente el algoritmo de Fleury para grafos no

dirigidos y para grafos dirigidos. Ayuda: Buscar los pasos de este

algoritmo en Google.

Ejercicio 2: Una vez implementado el algoritmo del ejercicio 1.6.1,

aplicarlo en los grafos de los ejemplos 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 y 1.2.4.

90




¿Qué es un grafo halmitoniano?

Un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vértices

de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice. Si el camino es

cerrado se dice un ciclo hamiltoniano. Un grafo G se dice

hamiltoniano si tiene un ciclo hamiltoniano. A diferencia de los grafos

eulerianos, no hay una caracterización de cuándo un grafo tiene un ciclo

o un camino hamiltoniano.

Lo que sigue son unas reglas para construir caminos y ciclos

halmitonianos:

Regla 1. Si G no es conexo, no posee ciclos Hamiltonianos.

Regla 2. Si G es un grafo con n vértices, entonces un camino

Hamiltoniano debe tener exactamente n − 1 aristas, y un ciclo

Hamiltoniano n aristas.

Regla 3. Si v es un vértice del grafo, entonces un camino Hamiltoniano

debe tener al menos una arista incidente con v y a los más dos.

Regla 4. Si v ∈ V tiene grado 2, entonces las dos aristas incidentes con v

deben aparecer en cualquier ciclo Hamiltoniano de G.

Regla 5. Si v ∈ V tiene grado mayor que 2, entonces cuando se intenta

construir un ciclo Hamiltoniano, una vez que se pase por v, las aristas no

utilizadas incidentes se dejan de tener en cuenta.

Ejemplo 2: El siguiente diagrama es el ejemplo clásico de

construcción de un camino halmitoniano en un grafo K 12 :

91




Gráfica 1.6.2 Ejemplo clásico de construcción de un camino halmitoniano.

Ejercicio

Ejercicio 2: Proponga tres ejemplos de grafos en los cuales se les

puede extraer un camino halmitoniano y tres ejemplos de grafos en los

cuales se pueda extraer un ciclo halmitoniano.

92




Capítulo 8

ÁRBOLES

Objetivo general

Entender los conceptos y definiciones básicas de árboles.


Utilizar las diferentes representaciones de un árbol.

Conocer los algoritmos propios en árboles.

Comentario inicial

Los árboles son un tipo especial de grafo que desde su aparición han

servido en la planeación y en la estructuración de diseños industriales,

como en el diseño e implementación de algoritmos, en todos estos

ejemplos se aprecia la importancia de la jerarquías.

93




Lección No. 31: Árboles

Un grafo se dice un árbol si es conexo y no tiene ciclos. Un grafo se dice

un bosque si sus componentes conexas son árboles.

Teorema Sea G V , E un grafo. Son equivalentes

a) G es un árbol.

b) Cada par de vértices distintos de V esta conectado por un único

camino.

c) G es conexo y toda arista de G es de separación.

d) G no tiene ciclos y Card V Card E 1 .

e) G es conexo y Card V Card E 1 .

f) G no tiene ciclos pero al añadirle una arista a G se crea un único

circuito.

Ejemplo 1: El siguiente diagrama es un ejemplo gráfico de un árbol

Gráfica 2.2.1 Ejemplo clásico de árbol.

94




Ejemplo 2: El ejemplo 1.2.1 del capítulo 1 es un árbol.

Ejercicio

Ejercicio 1: Proponga tres ejemplos de grafos que sean árboles.

Lección No. 32: Algunas definiciones

Sea G un grafo, un árbol generador de G es un subgrafo conexo de G

que tiene los mismos vértices que G y no tiene circuitos . Un árbol

generador se puede crear de 2 modos: 1) Suprimir aristas que no sean

de separación y 2) Partiendo de los vértices coger aquellas aristas de

forma que no creemos ningún circuito.

Supongamos que a cada arista se le asocia un número positivo (su

peso). Un árbol generador se dice de peso mínimo si la suma de los

pesos de las aristas que lo componen es lo menor posible.

Para calcular el árbol de peso mínimo existen 2 algoritmos: Kruskal: Se

van cogiendo las aristas de menor peso hasta conseguir un árbol de peso

mínimo. Prim: Consiste en ir borrando las aristas de mayor peso posible

y que no sean aristas de separación.

Puede haber más de un árbol generador de peso mínimo, pero todos

deben tener el mismo peso.

Un árbol con un vértice sobresaliente o destacado se llama raíz. En este

tipo de árbol los vértices se llaman nodos. Se llama hijo de un nodo al

vértice adyacente que esta más alejado de la raíz que el nodo del que es

hijo. Los nodos sin hijos se llaman hojas.Un árbol se dice n-ario

cuando todos los nodos excepto los terminales tienen a lo sumo n hijos.

Se llama nivel de un vértice al número de aristas que le separan de la

raíz. La raíz tiene nivel 0. Se llama altura de un árbol al máximo nivel de

95




sus vértices.

Ejemplo 1: El siguiente diagrama representa un grafo al cuál le se

extrae un árbol generador. El de la izquirda es el grafo y el de la derecha

es el árbol generador del grafo.

Gráfica 2.3.1 Un grafo (izquierda) con un árbol generador del grafo (derecha).

Ejercicio

Ejercicio 1: Para cada definición vista proponer dos grafos que sean

árboles y cumplan la definición.

Lección No.33: Algoritmo en árboles

Lo que sigue son algunos algoritmos propios en árboles:

ALGORITMO DE DIJKSTRA es un algoritmo para determinar el camino

más corto en un árbol dado un vértice origen al resto de vértices ajustado

a un valor de ponderación que tienen previamente las aristas. Este

algoritmo es aplicable a grafos.

96




ALGORITMO DE KRUSKAL es un algoritmo para encontrar un árbol de peso mínimo en un grafo conexo y ponderado.

ALGORITMO DE PRIM es otro algoritmo que encuentra un subconjunto

de aristas en un grafo no dirigido para formar un árbol con todos los

vértices del grafo donde el árbol es de peso mínimo.

Ejercicios

Ejercicio 1: Consultar en qué consisten cada uno de los anteriores

algoritmos .

Ejercicio 2: Implementar cada uno de estos algoritmos en MAPLE u otro

lenguaje de programación. Ayuda: Buscar en Internet, en Wikipedia

o en otro buscador.

Ejercicio 3: Proponer un ejemplo de aplicación por cada algoritmo .

97





Con base en la siguiente información se van a responder las preguntas de

esta autoevaluación: sea la siguiente matriz una matriz de adyacencia de

un grafo simple G V , E

1. Determinar el número de vértices y el número de aristas de G .

2. Determinar los grados de cada uno de los vértices.

3. Determinar si G es conexo.

4. Determinar si

G

es euleriano.

5. Determinar, si es posible, un árbol generador de G .

98




RETROALIMENTACIÓN

99




Retroalimentación Unidad 1

1. Para n 1 es cierto porque 1 a

11 a1 a 1 . Se supone

válido para n y se desea verificar que para n 1 es cierto. Pero

esto es cierto porque

1 a n 1 1 a

n 1 a 1 an 1 a

como 1 an 1 a 1 a an a 2 n y a

2 n 0 entonces

1 an 1 a 1 a an1 a n 1 luego por transitividad

1 a n 11 a n 1 . Como es cierto para n 1 , así es válido

para todo n .

2. Utilizando el Teorema Chino de los Restos se tiene que la solución

es de la forma X 68 70K , donde K es un entero.

3. Es reflexiva porque a a 0 MOD 3 , es simétrica porque si a b0 MOD 3 se tiene que ba0 MOD 3 y es trasitiva

porque si ab0 MOD 3 y bc0 MOD 3 se tiene que

a c ab b c 0 MOD 3 .

4. En efecto 5X 37 MOD 11es quivalente a 5X 4 MOD 11

como 5 9 1 MOD 11 , se multiplica la congruencia por 9 y se

tiene que X 3 MOD 11 para concluir que la solución es de la

forma X 11K 3 , donde K es un entero.

5. Utilizando el Teorema Chino de los Restos se tiene que la solución

es de la forma X 71 165K , donde K es un entero.

100




10

3

4

3

7

6 7


1. El orden entre las posiciones es importante y las incisiones se

pueden repetir, por lo que las diferentes llaves corresponden a

variaciones con repetición de 8 incisiones elegidas p veces, siendo

p el número de posiciones de cada llave. La pregunta del

enunciado equivale a hallar el menor valor de p tal que

8 p

1000000 usando logaritmos tenemos que ese valor es 7.

2. Como los 4 platos tienen que ser diferentes, no se permiten

repeticiones. Sin embargo, del enunciado no queda claro si el

orden entre los platos importa o no. Por ello, vamos a considerar

las dos posibilidades. Si el orden entre los platos importa, las

selecciones son variaciones sin repetición y su número total es

igual a V 10,4 10 9 8 7 5040 . En el caso que el orden no

importa, las selecciones son combinaciones sin repetición y es

4 210

3. Consideramos la selección de hombres y mujeres por separado: se

pueden seleccionar 3 mujeres entre 8 de 8

formas diferentes

pues el orden no importa pero no se pueden repetir las personas. Se

pueden seleccionar 4 hombres entre 7 de 7

formas diferentes.

Luego el número total es igual a 8

4 1960

. Si en el comité

particpan el señor y la señora mencionados tenemos que

2 3 420 . Pero como la idea es que ni el señor ni la señora

101




56

4

.

figuren simultáneamente entonces 1960 420 1540

4. Como los dados son indistinguibles, el orden no importa. Además

los resultados de cada dado (de 1 a 6) se pueden repetir. Por tanto,

los resultados de los 3 dados son combinaciones con repetición de

6 valores tomados de 3 en 3, cuyo número total es igual 6 31

3

4 4 4 r 2 3

5. 1 x r 0 x 1 4x 6x 4x x r

102




n


1. El término general de la sucesión es an 9 4 .

2. Cuando se observa la sucesión de 8 términos y que a partir de la mitad se repite entonces la función generadora es f x 1 x

7

porque 1 x 71 7x 21x

2 35x

3 35x

4 21x

5 7x

6 x

7 .

3. La sucesión asociada a la función generadora f x cos x es 1

n

an 2n , ya que al usar las series de Maclaurin tenemos que

1 n

2n

cos x n0

x . 2n

4. El máximo de objetos que puede tener la primera persona es 8, el máximo para la segunda persona es 7, el máximo para la tercera y

cuarta persona es 6, luego el polinomio que representa esta

situación es

x 3

x 4

x5

x6

x7

x8

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x x2

x3

x4

x5

x6 2

El coeficiente que acompaña el término de grado 12 del polinomio

es la respuesta a la pregunta.

103





1. Para responder se va a mirar la sucesión de los grados del grafo,

que respetando el orden de las entradas de la matriz, tenemos que

los grados son respectivamente 5,1, 3, 3, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 3,3, 2, 2,3 .

Así tenemos 15 vértices y 20 aristas.

2. Como ya se indicó en la respuesta 1, los grados son 5, 1, 3, 3, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 3,3, 2, 2, 3 respectivamente.

3. Sí es conexo y basta con hacer un diagrama del grafo para apreciar

la conexidad del grafo.

4. El grafo no es euleriano porque tiene vértices de grado impar.

5. Como el grafo es conexo, admite un árbol generador que debe

tener 14 aristas. De este modo hay que quitar 7 aristas que van

formando ciclos.

104




Referencias

COMELLAS, Francesc, FABREGA, Joseph, SÁNCHEZ, Anna y SERRA, Oriol. Matemática

Discreta. Alfa Omega, México, 2.002

GARCIA, Carlos, LOPEZ, Joseph, RUIGJANER, Dolors. Matemáticas Discretas. Prentice

Hall, Madrid, 2.002 .

GRIMALDI, Ralph, Matemáticas Discretas y Combinatorias. Tercera Edición, Prentice Hall,

México, 1.998 .

REYES, Araceli, Álgebra Superior. Thomson, México, 2.005

ROSEN, Kenneth, Matemática Discreta y sus aplicaciones. Mc Graw Hill, Quinta Edición,

España, 2.004 .

SCHEINERMAN, Edward, Matemáticas Discretas. Thomson, México, 2.001

Referencias Virtuales

http://www.wikipedia.org/

http://perso.wanadoo.es/ebuitron/mdiscreta.htm

http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=5057

http://docencia.udea.edu.co/MatematicasDiscretas/

http://valle.fciencias.unam.mx/~lugo/uce-mate/ap_imd.pdf

http://www.escet.urjc.es/~rmunoz/discreta.html

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