matemática...1 números inteiros, racionais e reais. 1.1 problemas de contagem. 2 sistema legal de...

MATEMÁTICA POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL

PROFª. CÁSSIA COUTINHO

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Matemática PRF – Profª. Cássia Coutinho

Aula 00

www.explicaconcursos.com.br

Sumário APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................... 1

DICA DE ESTUDO ........................................................................................................................ 5

PROVA CESPE/PRF/2013 ............................................................................................................ 6

RESOLUÇÃO COMENTADA – PROVA CESPE/PRF/2013 ................................................................. 9

CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................... 26

APRESENTAÇÃO Olá Futuros Policiais da PRF!!!! Iremos começar o nosso curso em PDF focado no concurso da Polícia Rodoviária Federal para o cargo de Policial Rodoviário aqui no Explica Concursos. É com grande satisfação que faço parte dessa equipe. Quero começar me apresentando! Sou graduada em Matemática pela Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e também graduada em Pedagogia pela Universidade Estadual de Minas Gerais (UEMG). Além disso, sou certificada em Coaching pelo Instituto Brasileiro de Coaching (IBC). Ao longo da minha jornada como professora sempre procurei me aperfeiçoar não só no que compete as disciplinas de exatas que leciono mas também em outras áreas para entender e poder ajudar melhor meus aluno a atingirem a tão sonhada vaga em um concurso público. Já trabalhei em diversos segmentos educacionais como escolas regulares, pré-vestibulares, faculdades e desde de 2008 me especializei em concursos públicos tanto de nível médio quanto de nível superior. Tenha certeza que darei o meu melhor para fazer você aprender DEFINITIVAMENTE Matemática e para fazer de você um Policial Rodoviário Federal!!! Sei que muitos alunos possuem dificuldade nas matérias de exatas. No nosso certame, teremos que amar a Matemática pois a expectativa é que sejam pelo menos 10 questões dessa matéria. Considerando como parâmetro o último concurso ocorrido em 2013, o conteúdo programático contemplou matérias desde a matemática básica até a avançada. Aproveito aqui para salientar a importância de estudar com a mesma intensidade as matérias inicias, que normalmente são consideradas mais fáceis pelos alunos. Ter uma boa base fará com que você tenha um desenvolvimento melhor em todo o nosso curso.

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Cassinha, mas eu não tenho base nenhuma! Ok! Vamos construir juntos! Quero apenas que ao estudar as matérias inicias não as subestime e lembre-se que elas irão aparecer na sua prova misturada com outros conteúdos. Às vezes, por exemplo ao estudar o conteúdo de Teoria dos Conjuntos o aluno não dá muita importância e depois erra questões de Probabilidade exatamente devido as habilidades que envolviam Teoria dos Conjuntos. Vamos basear o nosso curso inicialmente no edital de 2013 e é, claro, nas questões mais atuais do CESPE. É possível que precisaremos recorrer a exemplos de outras bancas para trabalharmos todo o conteúdo proposto, mas sempre no perfil do CESPE. Os concursos realizados pelo CESPE diferenciam-se pela forma de construção da prova sendo que, normalmente, a prova objetiva é constituída de itens para julgamento, agrupados por comandos que devem ser respeitados. O julgamento de cada item é CERTO ou ERRADO, de acordo com o(s) comando(s) a que se refere o item. A nota em cada item das provas objetivas, feita com base nas marcações da folha de respostas, é igual a: 1,00 ponto, caso a resposta do candidato esteja em concordância com o gabarito oficial definitivo das provas; 1,00 ponto negativo, caso a resposta do candidato esteja em discordância com o gabarito oficial definitivo das provas; 0,00, caso não haja marcação ou haja marcação dupla (C e E). Essa pontuação pode variar de acordo com a instituição que promove o concurso público. A nota em cada prova objetiva é igual, na maioria das vezes, à soma das notas obtidas em todos os itens que a compõem. Iremos começar o nosso curso com a correção da última prova da PRF para o cargo de Policial Rodoviário Federal. Por quê? É importante que você já tenha uma noção do estilo de prova e habilidades exigidas para esse certame. Precisamos estudar muito mas de forma certa! Além disso, é uma forma de testar os seus conhecimentos nessa matéria. Fique tranquilo! Estudaremos de forma detalhada todos os tópicos constantes nessa prova e os que constam no último edital da PRF para a disciplina de Matemática. Conteúdo Programático constante no edital de 2013

MATEMÁTICA: 1 Números inteiros, racionais e reais. 1.1 Problemas de contagem. 2 Sistema legal de medidas. 3 Razões e proporções; divisão proporcional. 3.1 Regras de três simples e composta. 3.2 Porcentagens. 4 Equações e inequações de 1º e 2º graus. 4.1 Sistemas lineares. 5 Funções. 5.1 Gráficos. 6 Sequências numéricas. 7 Progressão aritmética e geométrica. 8 Noções de probabilidade e estatística. 9 Raciocínio lógico: problemas aritméticos.

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Para facilitar e nortear o aluno em seus estudos, coloquei abaixo os conteúdos que iremos abordar durante o nosso curso. Já os coloquei na ordem que julgo adequada de estudo privilegiando o aprendizado consistente. MATEMÁTICA 1. Teoria dos Conjuntos 2. Conjuntos Numéricos

2.1. Números Naturais 2.2. Números Inteiros 2.3. Números Racionais 2.4. Números Irracionais 2.5. Números Reais

3. Sistema de Medidas 3.1. Medida de comprimento 3.2. Medida de área 3.3. Medida de volume 3.4. Medida de capacidade 3.5. Medida de massa

4. Equações e Sistemas do 1º grau 5. Matemática Comercial

5.1. Razão 5.2. Proporção 5.3. Números Proporcionais 5.4. Grandezas Proporcionais 5.5. Regra de três simples e composta 5.6. Porcentagem

6. Equações do 2º grau 7. Funções

7.1. Conceitos Gerais 7.2. Função do 1º grau 7.3. Função do 2º grau

8. Progressões Aritméticas (PA) e Progressões Geométricas (PG) 9. Análise Combinatória

9.1. Princípio Multiplicativo 9.2. Arranjo 9.3. Permutação 9.4. Combinação

10. Probabilidade: conceitos e propriedades 11. Noções básicas de Estatística

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Nossas aulas serão distribuídas da seguinte forma:

Aula Data Assunto

00 23/10/18 Apresentação do Curso / Cronograma das aulas / Correção da prova CESPE/PRF/2013

01 30/10/18 Teoria dos Conjuntos

02 06/11/18 Conjuntos Numéricos – Parte I

03 13/11/18 Conjuntos Numéricos – Parte II

04 20/11/18 Sistema Legal de Medidas

05 27/11/18 Equações e Sistemas do 1º grau / Sistemas Lineares

06 04/12/18 Matemática Comercial

07 11/12/18 Equações do 2º grau / Resolução de Questões CESPE

08 18/12/18 Função – Conceitos Gerais

09 25/12/18 Função Constante / Função do 1º grau

10 03/01/19 Função do 2º grau / Inequação do 1º e 2º grau

11 10/01/19 Resolução de Questões CESPE

12 17/01/19 Progressões Aritméticas

13 17/01/19 Progressões Geométricas

14 24/01/19 Análise Combinatória (Problemas de Contagem)

15 24/01/19 Probabilidade

16 31/01/19 Noções básicas de Estatística

17 07/02/19 Resumo teórico




21 28/02/19 Simulado

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Por último, quero deixar uma frase para reflexão: “Um dia sem treinamento é um dia mais distante dos seus objetivos”

Estamos juntos nessa caminhada rumo à aprovação na PRF!!! Coloco-me a disposição para possíveis dúvidas. Anote os meus contatos: Youtube: Professora Cássia Coutinho Instagram: @profcassiacoutinho Fanpage: Professora Cássia Coutinho Twitter: @pCassiaCoutinho

DICA DE ESTUDO

Gostaria de pedir para anotarem duas palavras:

PERSISTÊNCIA E PACIÊNCIA! PERSISTÊNCIA para lutar por seus objetivos mesmo diante das dificuldades. Elas irão ocorrer. Isso é um fato! Então, a diferença será a sua postura. PACIÊNCIA para entender que iremos evoluir juntos na disciplina. Iremos chegar lá! Iremos dominar as questões do CESPE de Matemática mas teremos que percorrer um caminho antes. Vários assuntos são trabalhados por diversas vezes durante o curso, então às vezes na aula específica que o trabalhei você pode não ter entendido tudo mas com o desenvolver das aulas é bem provável que as peças do quebra-cabeça se encaixem. Quando perceber já estará pensando “Ah, agora entendi”. É normal ter mais dificuldades nos primeiros exercícios. Pense nos seguintes processos:

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Existem muitas técnicas de estudo, entretanto cada aluno se adequa melhor a um método. Então, esteja sempre fazendo uma autoavaliação, ok? Proponha-se ser melhor do que você mesmo a cada dia! Verá que o resultado pode ser INCRÍVEL!!!

PROVA CESPE/PRF/2013 Sugestão: Tente resolver a prova sem consultas! Pense da seguinte forma: Se fosse eu fazendo a prova em 2013, qual teria sido o meu rendimento? Calma! O objetivo aqui é dar um “choque de realidade” rsrs e também para que você avalie seus conhecimentos acerca da disciplina de Matemática. Considerando que uma equipe de 30 operários, igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km de extensão em 30 dias, julgue os próximos itens.

1. Aprender o assunto

proposto. Foco no estudo

teórico.

2. Ver como o assunto estudado pode ser cobrado

nas provas do CESPE. (Exemplos dados ao longo

da explicação)

3. Processar a matéria

estudada. Aqui é a hora de fazer

resumos, mapas mentais, fichas...

4. Aplicar o que foi aprendido fazendo novos exercícios. O caderno de erros é uma excelente

ferramenta nesse processo.

5. Revisões periódicas e simulados.

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QUESTÃO 01 Se a tarefa estiver sendo realizada pela equipe inicial de 30 operários e, no início do quinto dia, 2 operários abandonarem a equipe, e não forem substituídos, então essa perda ocasionará atraso de 10 dias no prazo de conclusão da obra.

( ) Certo ( ) Errado QUESTÃO 02 Se, ao iniciar a obra, a equipe designada para a empreitada receber reforço de uma segunda equipe, com 90 operários igualmente produtivos e desempenho igual ao dos operários da equipe inicial, então a estrada será concluída em menos de 1/5 do tempo inicialmente previsto.

( ) Certo ( ) Errado Gráfico para os itens a seguir.

Considerando os dados apresentados no gráfico, julgue os itens seguintes.

QUESTÃO 03 A média do número de acidentes ocorridos no período de 2007 a 2010 é inferior à mediana da sequência de dados apresentada no gráfico.

( ) Certo ( ) Errado

QUESTÃO 04 Os valores associados aos anos de 2008, 2009 e 2010 estão em progressão aritmética.


QUESTÃO 05 O número de acidentes ocorridos em 2008 foi, pelo menos, 26% maior que o número de acidentes ocorridos em 2005.


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Considere que, em 2009, tenha sido construído um modelo linear para a previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas estradas brasileiras. Nesse sentido, suponha que o número de acidentes no ano t seja representado pela função F(t) = At + B, tal que F(2007) = 129.000 e F(2009) = 159.000. Com base nessas informações e no gráfico apresentado, julgue os itens a seguir. QUESTÃO 06 A diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo referido modelo linear e o número de acidentes ocorridos em 2011 dado no gráfico é superior a 8.000.


QUESTÃO 07 O valor da constante A em F(t) é superior a 14.500.


Considere que o nível de concentração de álcool na corrente sanguínea, em g/L, de uma pessoa, em função do tempo t, em horas, seja expresso por N = - 0,008(t2 – 35t + 34). Considere, ainda, que essa pessoa tenha começado a ingerir bebida alcoólica a partir de t = t0 ( N(t0) = 0 ), partindo de um estado de sobriedade, e que tenha parado de ingerir bebida alcoólica em t = t1, voltando a ficar sóbria em t = t2. Considere, por fim, a figura acima, que apresenta o gráfico da função N(t) para t ∈ [t0, t2]. Com base nessas informações e tomando 24,3 como valor aproximado de 589 , julgue os itens que se seguem.

QUESTÃO 08 O nível de concentração mais alto de álcool na corrente sanguínea da referida pessoa ocorreu em t = t1 com t1 > 18 horas.


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QUESTÃO 09 O nível de concentração de álcool na corrente sanguínea da pessoa em questão foi superior a 1 g/L por pelo menos 23 horas.


QUESTÃO 10 O valor de t2 é inferior a 36.


Marque o seu gabarito aqui!

GABARITO – CESPE/PRF/POLICIAL RODOVIÁRIO FEDERAL/2013 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10.

Agora é hora de conferir seus resultados e raciocínio!!!!

RESOLUÇÃO COMENTADA – PROVA CESPE/PRF/2013

Considerando que uma equipe de 30 operários, igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km de extensão em 30 dias, julgue os próximos itens.

QUESTÃO 01 Se a tarefa estiver sendo realizada pela equipe inicial de 30 operários e, no início do quinto dia, 2 operários abandonarem a equipe, e não forem substituídos, então essa perda ocasionará atraso de 10 dias no prazo de conclusão da obra.


COMENTÁRIO: Essa questão envolve o conteúdo de Regra de três. Assunto muito exigido nas provas de concurso de forma geral e também pelo CESPE.

Vamos lá...

Na situação inicial, uma equipe com 30 operários gastaria 26 dias para terminar a obra. Repare que ao falar que “no início do quinto dia, 2 operários abandonaram a equipe” deduzimos que até aquele momento teriam ocorridos 4 dias com 30 operários trabalhando. Dessa forma, devemos encontrar quantos dias os 28 operários que sobraram irão gastar para terminar a estrada. Para isso, basta fazermos uma regra de três simples.

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30 2628

Número de operários Número de dias

x

Vejamos: quanto menor o número de operários, maior será o tempo necessário para fazer a mesma tarefa. Logo, são grandezas inversamente proporcionais. Agora iremos montar a proporção e realizar os cálculos necessários para encontrarmos o valor de x. Lembrando que, nesse caso, devemos manter a razão que contém o termo desconhecido e igualar ao inverso da outra razão. Assim temos que:

26 2830x

=

Simplificando, temos:

26 28x=

30( 28 30 2)

26

Os números e são divisíveis por

14x

= ( 26 14 2)15

Os números e são divisíveis por

Feitas as simplificações possíveis, agora basta aplicarmos a propriedade de proporção (multiplicar cruzado).

13 715

7 195195

727,86

xx

x

x

=

=

=

≈

Como já haviam se passado 4 dias, então na nova situação seriam gastos aproximadamente 31,86 dias para a realização de toda a tarefa (construção de 10 km de estrada). Ocasionando, em relação a previsão inicial de 30 dias, um atraso de cerca de 2 dias e não de 10 dias como mencionado na questão.

Gabarito: Errado

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QUESTÃO 02 Se, ao iniciar a obra, a equipe designada para a empreitada receber reforço de uma segunda equipe, com 90 operários igualmente produtivos e desempenho igual ao dos operários da equipe inicial, então a estrada será concluída em menos de 1/5 do tempo inicialmente previsto.


COMENTÁRIO: Também é uma questão que envolve Regra de três simples.

Vamos lá...

Na situação apresentada, a equipe irá receber um reforço de 90 operários ficando assim com um total de 120 operários (reparem que o número inicial de operários quadruplicou, ou seja, 4 x 30 = 120).

30 30120

Número de operários Número de dias

x

Da mesma forma que a questão anterior, as grandezas “Número de operários” e “Números de dias” são inversamente proporcionais, logo quando uma aumenta a outra diminui na mesma proporção. Sendo assim, como o número de operários foi multiplicado por quatro, o número de dias será dividido por 4. Serão gastos

então 14

do total de dias na nova situação (lembre-se que dividir um número por

4 equivale a multiplicá-lo por 14

). Na questão afirma-se que a obra será

concluída em menos de 15 do tempo inicialmente previsto o que está errado já

que 1 254 100 =

é maior do que 1 205 100 =

.

Perceba que nessa questão, não há necessidade de resolvermos a regra de três por completo. Basta analisá-la. Entretanto, caso o aluno se sinta mais confiante fazendo os cálculos também vale. Veja como seria:

30 12030x

=

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Simplificando, temos:

30 120x

= (Re 120 30 30)30

pare que os números e são divisíveis por

Feitas as simplificações possíveis, agora basta aplicarmos a propriedade de proporção (multiplicar cruzado).

1 430

4 30304

7,5

xx

x

x

=

=

=

=

Como o enunciado afirma que a estrada seria concluída em menos de 15 do

tempo previsto, ou seja, menos de 6 dias ( 1 130 30 65 5

de dias= × = ) constatamos

que a afirmação está errada pois seria concluída em 7,5 dias.

Gabarito: Errado

Gráfico para os itens a seguir.

Considerando os dados apresentados no gráfico, julgue os itens seguintes.

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QUESTÃO 03 A média do número de acidentes ocorridos no período de 2007 a 2010 é inferior à mediana da sequência de dados apresentada no gráfico.


COMENTÁRIO: Essa questão envolve os conceitos básicos da Estatística – média aritmética e mediana.

* Cálculo da média do número de acidentes ocorridos no período de 2007 a 2010

129000 141000 159000 183000 612000 1530004 4

soma dos elementosMédiaquantidade de elementos

+ + += = = =

* Cálculo da mediana da sequência de dados apresentada no gráfico

Para calcularmos a mediana é necessário organizarmos os dados em ordem crescente (ou decrescente). Reparem que, nesse caso, os dados já se encontram organizados. Como temos uma sequência com número ímpar de termos, a mediana será igual ao termo central. Assim temos:

110000 111000 129000 141000 159000 183000 189000

Termo central (mediana)

Dessa forma constatamos que o item está errado pois a média do número de acidentes ocorridos no período de 2007 a 2010 (=153000) é superior à mediana da sequênica de dados apresentada no gráfico (= 141000).

Gabarito: Errado

QUESTÃO 04 Os valores associados aos anos de 2008, 2009 e 2010 estão em progressão aritmética.


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+18000 +24000

COMENTÁRIO: Essa questão exige o conceito básico de Progressão Aritmética (PA), ou seja, o aluno só precisaria saber o que é uma PA. Para que uma sequência seja uma PA, cada termo a partir do segundo deve corresponder ao anterior somado a um número fixo. Vejamos então:

Em 2008 – 141000 acidentes



Então temos: 141000 159000 183000

Logo, os temos acima NÃO estão em PA.

Gabarito: Errado

QUESTÃO 05 O número de acidentes ocorridos em 2008 foi, pelo menos, 26% maior que o número de acidentes ocorridos em 2005.


COMENTÁRIO: Questão envolvendo Porcentagem. Nesse caso, basta fazermos uma regra de três simples para verificarmos a informação dada no item.

Em 2005 – 110000 acidentes (100%)


Repare que o aumento de acidentes de 2005 para 2008 foi de 31000 acidentes (x%). É esse valor em porcentagem que queremos encontrar. Assim temos que:

110000 ----------- 100%

31000 ----------- x%

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Como são diretamente proporcionais, temos:

110000 10031000110000

x=

31000100 ( 110000 31000 1000)

110

Os números e são divisíveis porx

=

10031

= ( 110 100 10)

11 103111 310

31011

28,18%

Os números e são divisíveis porx

xx

x

x

=

=

=

≈

O item afirma que o número de acidentes ocorridos em 2008 foi, pelo menos, 26% maior que o número de acidentes ocorridos em 2005 o que está correto! Repare que quando falamos “pelo menos 26% maior” significa que pode ser 26% ou mais.

Gabarito: Certo

Considere que, em 2009, tenha sido construído um modelo linear para a previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas estradas brasileiras. Nesse sentido, suponha que o número de acidentes no ano t seja representado pela função F(t) = At + B, tal que F(2007) = 129.000 e F(2009) = 159.000. Com base nessas informações e no gráfico apresentado, julgue os itens a seguir.

QUESTÃO 06 A diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo referido modelo linear e o número de acidentes ocorridos em 2011 dado no gráfico é superior a 8.000.


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COMENTÁRIO: Essa questão envolve o conceito de Função do 1º grau. Questões envolvendo função do 1º e do 2º grau são bem prováveis de serem abordadas no novo concurso! Fique de olho!!! Vamos lá...

Nesse questão, temos duas formas de resolução.

1ª forma: Para seguir o modelo linear a taxa de variação em períodos iguais deve ser constante. Veja:

Em 2007 pelo modelo linear dado – 129.000 acidentes


Repare que em 2 anos houve um aumento de 30.000 acidentes. Para os alunos que são mais “tarados” com fórmulas temos:

159.000 129.000 30.000var 15.0002009 2007 2

yTaxa de iação At

∆ −= = = = =

∆ −

Lembrando que o “A” é o coeficiente angular de uma função do 1ª grau (F(t) = At + B).

Basta agora verificarmos se essa taxa de variação se mantém para o ano de 2011.


Em 2011 pelo gráfico – 189.000 acidentes

189.000 159.000 30.000var 15.0002011 2009 2

yTaxa de iação At

∆ −= = = = =

∆ −

Bingo!!!! Significa então que o valor fornecido pelo gráfico e o valor gerado pelo modelo linear para o ano de 2011 são iguais!!! Logo, a diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo referido modelo linear e o número de acidentes ocorridos em 2011 dado no gráfico é zero.

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Bom, mas vamos pensar? E se fossem diferentes? Como poderíamos saber se essa diferença era maior ou não do que 8.000???? Queridos alunos, devemos sempre no dia da prova buscar a solução certa e mais rápida (a que exige menos cálculos em geral rsrs), entretanto ao estudarmos temos que ser mais “psicopatas” do que quem elabora a prova e nos preparar para diversas formas que existe de cobrar o mesmo assunto. Nesse sentido, vamos resolver a questão por um outro método.

2ª forma: Devemos encontrar a função do 1º grau que representa o citado modelo linear, ou seja, precisamos encontrar os valores dos coeficientes A e B na função F(t) = At + B.

Repare que na fórmula dada, o “t” faz o papel do “x” e “F(t)” faz o papel de “y” comparando com a forma padrão de uma função do 1º grau f(x) = y = ax + b.

* Cálculo do coeficiente angular (A)

159.000 129.000 30.000var 15.0002009 2007 2

yTaxa de iação At

∆ −= = = = =

∆ −

* Cálculo do coeficiente linear (B)

Para encontramos o coeficiente linear basta substituirmos o valor encontrado de A em uma das informações dadas no enunciado da questão.

Veja:

F(2007) = 129000

Assim temos que:

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F(t) = At + B

F(2007) = 15000 × 2007 + B

129000 = 15000 × 2007 + B

129000 = 30105000 + B

B = 129000 – 30105000

B = - 29976000

Logo, a função será F(t) = 15000t – 29976000. Agora devemos encontrar o valor de F(2011). Para isso basta substituirmos o valor de t na função.

F(2011) = 15000 × 2011 + 29976000

F(2011) = 30165000 + 29976000

F(2011) = 189000

Bingo novamente! O valor encontrado através do modelo linear coincide com o valor que consta no gráfico.

Observações:

1. Repare que por esse caminho, se os valores fossem diferentes conseguiríamos saber se era maior ou não do que 8.000 como informado no enunciado da questão.

2. Para encontrarmos os valores de A e B também poderíamos ter feito um sistema do 1º grau utilizando as informações dadas no enunciado: F(2007) = 129000 e F(2009) = 159000. (Sugestão: tente resolver sozinho por esse caminho!)

Gabarito: Errado

QUESTÃO 07 O valor da constante A em F(t) é superior a 14.500.


COMENTÁRIO: Questão já resolvida anteriormente!!! Mas vamos recapitular... Quando a questão pedir apenas o coeficiente angular (coeficiente de “t”), a forma mais fácil, em geral, é através da taxa de variação.

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159.000 129.000 30.000var 15.0002009 2007 2

yTaxa de iação At

∆ −= = = = =

∆ −

O valor encontrado é superior a 14.500.

Gabarito: Certo

Considere que o nível de concentração de álcool na corrente sanguínea, em g/L, de uma pessoa, em função do tempo t, em horas, seja expresso por N = – 0,008(t2 – 35t + 34). Considere, ainda, que essa pessoa tenha começado a ingerir bebida alcoólica a partir de t = t0 ( N(t0) = 0 ), partindo de um estado de sobriedade, e que tenha parado de ingerir bebida alcoólica em t = t1, voltando a ficar sóbria em t = t2. Considere, por fim, a figura acima, que apresenta o gráfico da função N(t) para t ∈ [t0, t2]. Com base nessas informações e tomando 24,3 como valor aproximado de 589 , julgue os itens que se seguem. Observação: Aqui iremos inverter a ordem das questões. Vocês já devem ter reparado que o CESPE usa o mesmo enunciado para formar várias questões, né? Então, é importante que antes de sair resolvendo igual a um “doido desvairado” que analise o que os itens estão pedindo assim poderá planejar melhor os passos a serem seguidos evitando retrabalho e contas desnecessárias. Todas as questões seguintes referem-se a Função do 2º grau. Caso o aluno ainda não tenha uma base em Matemática, é provável que aqui role um pequeno desespero rsrs mas fique tranquilo!!! Ao longo das nossas aulas iremos ver todos os assuntos abordados nessas questões de forma detalhada. QUESTÃO 10 O valor de t2 é inferior a 36.


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COMENTÁRIO: Pelo gráfico, constatamos que o valor solicitado corresponde a uma das raízes da função dada. Lembre-se que o gráfico de uma função do 2º grau intercepta o eixo x (eixo das abscissas) nas raízes.

Para calcularmos as raízes de uma função, basta igualarmos a zero e resolvermos a equação encontrada. Assim temos:

– 0,008(t2 – 35t + 34) = 0

Muitos alunos aqui ficarão atentados a fazer a propriedade distributiva – multiplicar todos os termos dentro do parênteses por (-0,008). É uma operação correta, porém irá gerar mais cálculos desnecessários. Dica: pense sempre qual é o melhor caminho a ser seguido antes de sair fazendo as contas!

Resolvendo a equação, temos:

2

2

0( 35 34)0,008

35 34 0

t t

t t

− + =−

− + =

Agora vamos aplicar a fórmula de Báskara!

Recordando...

Considere a equação ax2 + bx + c = 0.

Fórmula de Bháskara

2, 42

bx sendo b aca

− ± ∆= ∆ = −

Voltando a equação da questão, temos:

a = 1 // b = - 35 // c = 34

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Aula 00


Substituindo na fórmula de Bháskara, temos:

2

2

0

2

4( 35) 4 1 341225 1361089

35 33 2 1( 35) 1089 35 33 2 235 33 682 1 2 34

2 2

b ac

tt

t

∆ = −

∆ = − − × ×∆ = −∆ =

−= = =

− − ± ±= =

+×= = =

Dessa forma, o item está certo pois t2 = 34 é inferior a 36 como dito na questão.

Dica: Para calcularmos 1089 podemos usar o método da fatoração.

Como temos uma raiz quadrada a cada dois fatores iguais sai um da raiz, logo:

2 21089 3 11 3 11 33= × = × =

Outra forma seria por aproximação (só é um bom caminho para raízes quadradas!)

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Aula 00


A ideia é procurarmos números que possuem raízes exatas próximas do número dado. Sugestão: pense nos múltiplos de 10 (10, 20, 30, 40,...)

2 2

900 1089 1600

30 1089 40

30 1089 40

< <

< <

< <

Logo, o número que estamos procurando está entre 30 e 40. Repare que só pode ser 33 ou 37, pois o último algarismo de 1089 é 9 (temos que pensar: que número multiplicamos por ele mesmo e gera como resultado um número terminado em 9? Só pode ser 3 ou 7!). Agora basta testarmos as duas opções!

33 × 33 = 1089 (Bingo!!!)

37 × 37 = 1369

Gabarito: Certo

QUESTÃO 08 O nível de concentração mais alto de álcool na corrente sanguínea da referida pessoa ocorreu em t = t1 com t1 > 18 horas.


COMENTÁRIO: Através da análise do gráfico, constatamos que t1 é a abscissa do vértice da parábola. Como já encontramos as raízes da função no exercício anterior, o melhor caminho é usarmos a propriedade do xv (nesse caso, xv = tv = t1).

Propriedade: A abscissa do vértice de uma parábola é equidistante das raízes (está no meio certinho das raízes!!!).

Dessa forma, podemos calcular t1 através da média aritmética das raízes. Assim temos:

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0 21

1 34 35 17,52 2 2

t tt + += = = =

Como t1 = 17,5h < 18h, o item está errado!

Essa questão também poderia ser resolvida usando a fórmula do xv.

Recordando...

( )2v

bx abscissa do vértice da parábolaa−

=

Voltando a questão... Basta substituirmos os valores na fórmula. Assim temos:

( 35) 35 17,52 2 1 2v

bxa− − −

= = = =×

Bom, sei que você deve estar pensando: “Mas Cassinha, qual o melhor caminho?” Veja bem, depende do aluno e do contexto! Nessa questão, como teríamos que encontrar as raízes de qualquer forma para resolvermos a questão 10, considero que através da média das raízes um caminho melhor. Entretanto, em uma outra situação que não precisássemos das raízes, a fórmula é um caminho mais rápido. Gera menos conta.

Gabarito: Errado

QUESTÃO 09 O nível de concentração de álcool na corrente sanguínea da pessoa em questão foi superior a 1 g/L por pelo menos 23 horas.


COMENTÁRIO: Considero essa a questão mais difícil dessa prova! Aqui não tem como fugir dos cálculos. Antes que se desespere, vamos pensar: de 10 questões, uma estava em um nível bem elevado! Então, vamos tratar de garantir as outras noves ok?

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Aula 00


Vamos lá...

Observe o gráfico dado e a marcação feita.

Para encontramos o tempo que o nível da concentração de álcool na corrente sanguínea da pessoa foi superior a 1g/L, temos que encontrar os valores de t3 e t4. Reparem que para o intervalo de tempo t3 < t < t4, temos F(t) > 1g/L (parte da parábola que está acima da reta horizontal vermelha).

* Cálculo de t3 e t4

Para encontramos esses valores, basta igualarmos a função a 1 (Pois F(t3) = 1 e F(t4) = 1). Assim temos que:

2

2

0,008( 35 34) 1135 34

0,008

1 1 1000: 1 12580,008 81000

t t

t t

Cálculo auxiliar

− − + =

− + =−

= = × − = − − −

t3 t4

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Poderíamos também ter aplicado a propriedade distributiva, porém gera mais conta. Continuando...

2

2

2

35 34 12535 34 125 035 159 0

t tt tt t

− + = −

− + + =

− + =

Resolvendo a equação do 2º grau encontrada, temos:

a = 1 // b = - 35 // c = 159

Substituindo na fórmula de Bháskara, temos:

2

2

3

4

4( 35) 4 1 1591225 636589

( 35) 5892 2 1

35 24,3 10,7 5,3535 24,3 2 235 24,3 59,32 29,65

2 2

b ac

bta

tt

t

∆ = −

∆ = − − × ×∆ = −∆ =

− ± ∆ − − ±= =

×

−= = =

±=

+= = =

Lembre-se que o valor de 589 foi dado na questão!!!

Dessa forma, o tempo que o nível da concentração de álcool na corrente sanguínea da pessoa foi superior a 1g/L é igual a 29,65h – 5,35h = 24,30h. Logo, o item está certo pois ao afirmar que foi “pelo menos 23 horas” significa que pode ter sido 23h ou mais.

Gabarito: Certo

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Aula 00


CONSIDERAÇÕES FINAIS

Acabamos aqui a nossa Aula 00!!! Nas próximas aulas iremos trabalhar os conteúdos propostos de acordo com o nosso cronograma de aulas.

Se você sentiu muita dificuldade, fique tranquilo!!! A ideia aqui era apresentar como é a prova da PRF elaborada pelo CESPE para o cargo de Policial Rodoviário Federal. É importante que você já tenha uma noção do tipo de assuntos e questões que devemos dominar para gabaritar a prova.

Iremos do básico ao avançado!

No decorrer do nosso curso, muitos assuntos trabalhados aqui farão mais sentido. Tenho certeza que você é capaz de aprender Matemática!!!

Bons estudos!!!

Beijo carinhoso, Profª. Cássia Coutinho (Cassinha).

matemática...1 números inteiros, racionais e reais. 1.1 problemas de contagem. 2 sistema legal de...

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