matm3soltem1

1 NÚMEROS RACIONALES

P A R A E M P E Z A R

Calcula.a) �50 � 20 � 20 � 35 c) 21 � 12 � 7 � 15b) 47 � 12 � 13 � 1 d) �56 � 12 � 31 � 89

a) �50 � 20 � 20 � 35 � �85 c) 21 � 12 � 7 � 15 � 17b) 47 � 12 � 13 � 1 � 71 d) �56 � 12 � 31� 89 � �164

Calcula.a) 5 � 12 : 6 b) (�35) � (�3) : 15 � (�2)

a) 5 � 12 � 6 � 10 b) (�35) � (�3) � 15 � (�2) � �14

Calcula.a) 12 � [27 : (�3) � (�5)] � 7 � 3 � 5 b) 5 � 3 � (�4) � (�12 � 7) � 17 � 15 : (�3)

a) 12 � [27 � (�3) � (�5)] � 7 � 3 � 5 � 12 � [�9 � (�5)] � 21 � 5 � �18b) 5 � 3 � (�4) � (�12 � 7) � 17 � 15 � (�3) � 5 � (�21) � (�5) � 17 � 5 � 83

La capacidad de un estadio deportivo es de 24 000 espectadores. Indica el número de espectadores cuandose llena la mitad, un tercio y un cuarto del mismo.

�12

� de 24 000 � 12 000

�13

� de 24 000 � 8 000

�14

� de 24 000 � 6 000

Dibuja un cuadrado de 10 centímetros de lado y colorea una zona que represente la cantidad de aguadulce en la Tierra respecto del total de agua.

El agua dulce representa los �1

300� del agua total de la Tierra.

En un cuadrado de 10 cm de lado se cuadricula en cm2.

Se forman 100 cuadrados iguales, que son cm2.

El agua dulce representa �1

300�.

Por tanto, el agua dulce representa 3 cuadrados que debes colorear.

5

4

3

2

1


A C T I V I D A D E S D E L O S E P Í G R A F E S

Fracciones y números racionales

P A R A P R A C T I C A R

Indica qué uso se hace de las fracciones en cada caso.a) Tres cuartos de kilogramo de ternera.b) Dos quintos de 100 gramos.

c) He comprado —75

— de metros de cuerda.

a) Tres cuartos de kilogramo de ternera � 750 gramos

b) Dos quintos de 100 gramos � 40 gramos

c) He comprado �75

� de metros de cuerda � �55

� m � �25

� m � 1 m � 40 cm � 140 cm

Completa el número que falta.

a) —35

— de 50 � � b) —�

3— de 30 � 20 c) —

�

1— de 10 � 5 d) —

12

— de � � 25

a) �35

� de 50 � x, luego x � 30 c) �1x

� de 10 � 5, luego x � 2

b) �3x

� de 30 � 20, luego x � 2 d) �12

� de x � 25, luego x � 50

Comprueba si las fracciones son equivalentes

a) —35

— y —1255— b) —

69

— y —46

— c) —1205— y —

290— d) —

37

— y —261—

a) �35

� � �12

55�, ya que 3 � 25 � 5 � 15 � 75 c) �

1205� � �

290�, ya que 10 � 20 � 200, y 9 � 25 � 225

Luego son equivalentes. Luego no son equivalentes.

b) �69

� � �46

�, ya que 6 � 6 � 9 � 4 � 36 d) �37

� � �261�, ya que 3 � 21 � 63, y 7 � 6 � 42

Luego son equivalentes. Luego no son equivalentes.

Escribe, en cada caso, tres fracciones equivalentes a la dada.

a) —152— b) —

2380— c) —

13

— d) —47

—

a) �152� � �

21

40� � �

31

65� � �

42

80� c) �

13

� � �26

� � �39

� � �1300�

b) �23

80� � �

11

45� � �

44

25� � �

11

45

00

� d) �47

� � �184� � �

1221� � �

4700�

Halla el valor de x para que las fracciones sean equivalentes.

a) —36

— � —1x2— b) —

155— � —

7x

— c) —6x

— � —1300— d) —

2x4— � —

34

—

Utilizamos la regla de los productos cruzados o la simplificación.a) x � 6 b) x � 21 c) x � 18 d) x � 18

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1


Utiliza el máximo común divisor del denominador y del numerador para simplificar las fracciones y hallasu fracción irreducible.

a) —1485— b) —

27050

— c) —225723

— d) —126204

—

a) m.c.d.(18, 45) � 9 c) m.c.d.(252, 273) � 3 � 7 � 21

Simplificación: �14

85� � �

25

� Simplificación: �225723

� � �1123�

b) m.c.d.(75, 200) � 25 d) m.c.d.(160, 224) � 25 � 32

Simplificación: �27050

� � �38

� Simplificación: �126204

� � �57

�

Ejercicio resuelto

Escribe las fracciones —29

—, —172— y —

158— con denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Se calcula el m.c.m. de los denominadores: m.c.m.(9, 12, 18) � 36Se multiplica el numerador y el denominador de cada fracción por un número de forma que el nuevo denominador sea 36.

�29

� � �44

��

29

� � �386� �

172� � �

33

��172

� � �2316� �

158� � �

22

��158

� � �1306�

Reduce a mínimo común denominador.

a) —85,— �—

170—, �—

1116— c) —

23

—, —155—, �—

75

—

b) —32

—, —76

—, �—72

— d) �—54

—, —56

—, �—11

—

a) m.c.m.(8, 10, 16) � 80 c) m.c.m.(3, 15, 5) � 15Fracciones equivalentes: �

58

00�, ��

58

60�, ��

5850� Fracciones equivalentes: �

1105�, �

155�, ��

2115�

b) m.c.m.(2, 6, 2) � 6 d) m.c.m.(4, 6, 1) � 12Fracciones equivalentes: �

96

�, �76

�, ��261� Fracciones equivalentes: ��

1152�, �

1102�, ��

1122�

Comprueba si las siguientes fracciones determinan el mismo número racional.

a) —34

—, —1126—, —

17050

—, —2376— b) —

13

—, —26—, —

39

—, —142—

a) Si simplificamos, comprobamos que: b) Si simplificamos, comprobamos que:

�11

26� � �

17050

� � �23

76� � �

34

� �13

� � �26

� � �39

� � �142� � �

13

�

Por tanto, son fracciones equivalentes. Por tanto, son fracciones equivalentes.

Luego determinan el mismo número racional. Luego determinan el mismo número racional.

Compara las siguientes fracciones.

a) —35

— y —27

— b) �—47

— y �—38

—

a) Las reducimos a común denominador. b) Las reducimos a común denominador.

�35

� y �27

� son equivalentes a �23

15� y �

3150.

� ��47

� y ��38

� son equivalentes a��3526� y ��

2516�.

Luego es mayor la primera. Luego es menor la primera.

1.10

1.9

1.8

1.7

1.6


Ordena de menor a mayor las fracciones —35

—, —130—, —

14

—.

Las reducimos a común denominador.

Denominador común: 20

Fracciones equivalentes: �12

20�, �

260�, �

250�

Ordenación: �250� � �

260� � �

12

20�

Por tanto, �14

� � �130� � �

35

�

P A R A A P L I C A R

En una sala de estudio hay 48 estudiantes. Si 20 de ellos son chicos, calcula la fracción irreducible quedeterminan las chicas.

Número de chicas: 48 � 20 � 18

Fracción de chicas: �14

88� � �

38

�

Un depósito de agua tiene una capacidad de 3 600 litros. Indica qué fracciones irreducibles representanlas siguientes cantidades de agua.a) 1 800 litros b) 900 litros c) 1 200 litros d) 2 400 litros

a) �13

86

00

00

� � �13

86� � �

12

� c) �13

260000

� � �1326� � �

13

�

b) �3960000

� � �396� � �

14

� d) �23

460000

� � �2346� � �

23

�

En un test, Carlos contesta bien 24 de las 30 preguntas, y José, 18 de 24. ¿Cuál de los dos obtendrá mayorcalificación?

Fracciones equivalentes:

�23

40� � �

45

� � �12

60�

�12

84� � �

34

� � �12

50�

Por tanto, Carlos obtiene mayor calificación.

¿Se puede afirmar que en una clase de 30 alumnos, —26

— son chicos y —45

— son chicas? Razona la respuesta.

�26

� de 30 � 2 � 5 � 10

�45

� de 30 � 4 � 6 � 24

La suma es 34, luego esa distribución no es correcta.

Un pantano con capacidad de 720 hectómetros cúbicos contiene actualmente 200 hectómetros cúbicos.¿Qué fracción de pantano queda por llenar?

Ha disminuido 720 � 200 � 520

Porcentaje: �57

22

00

� � �57

22� � �

23

66� � �

11

38�

1.16

1.15

1.14

1.13

1.12

1.11


¿Cuántos botellines de —15

— de litro son necesarios para envasar 8 000 litros de zumo de naranja?

8 000 � �15

� � 40 000 botellines

Operaciones con fracciones


Calcula y simplifica.

a) —23

— � —38

— c) —15

— � —23

—

b) —56

— � —79

— d) �—172— � —

1158—

a) �23

� � �38

� � �12

64� � �

294� � �

274� c) �

15

� � �23

� � �135� � �

1105� � ��

175�

b) �56

� � �79

� � �11

58� � �

11

48� � �

21

98� d) ��

172� � �

1158� � ��

2316� � �

3306� � ��

5316� � ��

1172�

Haz las siguientes operaciones.

a) —55

— � 5 c) —25

— � 1

b) 3 � —73

— d) 2 � —194—

a) �55

� � 5 � 1 � 5 � � 4 c) �25

� � 1 � �25

� � �55

� � �75

�

b) 3 � �73

� � �93

� � �73

� � �136� d) 2 � �

194� � �

198� � �

194� � �

49

�

Efectúa y simplifica.

a) —32

— � —58

— � —14

— b) —37

— � —221— � —

13

— c) —35

— � —275— � —

15

— d) �—34

— � —67

— � —1228—

a) �32

� � �58

� � �14

� � �182� � �

58

� � �28

� � �98

� c) �35

� � �275� � �

15

� � �1255� � �

275� � �

255� � �

1235�

b) �37

� � �221� � �

13

� � �291� � �

221� � �

271� � �

241� d) ��

34

� � �67

� � �1228� � ��

2218� � �

2248� � �

1228� � ��

298�

Haz las siguientes operaciones.

a) —53

— � —192— � —

76

— � —158— b) —

35

— � 1 � —26

— � —145— c) 4 � —

134— � —

76

— � —145— d) �—

192— � 3 � —

76

— � —118—

a) �53

� � �192� � �

76

� � �158� � �

31

08� � �

21

48� � �

2118� � �

158� � �

3128� � �

196�

b) �35

� � 1 � �26

� � �145� � �

13

80� � �

33

00� � �

1300� � �

380� � ��

1300� � ��

13

�

c) 4 � �134� � �

76

� � �145� � �

41

82� � �

51

62� � �

1142� � �

4152� � ��

3192� � ��

143�

d) ��192� � 3 � �

76

� � �118� � ��

23

76� � �

13068

� � �4326� � �

326� � ��

13765

�

1.21

1.20

1.19

1.18

1.17


Opera y simplifica el resultado.

a) —35

— � —76

— b) �—49

— � —141— c) ��—

53

—� � ��—175—� d) —

68

— � ��—32

—�a) �

35

� � �76

� � �23

10� � �

170� c) ��

53

�� 175��

3455� � �

79

�

b) ��49

� � �141� � ��

19

69� d) �

68

� � ��32

�� 1186� � ��

98

�


a) �3 � —56

— b) —37

— � 4 c) ��—35

—� � 4 d) —182— � (�3)

a) �3 � �56

� � ��165� � ��

52

� c) ��35

�� 4 � ��230�

b) �37

� � 4 � �172� d) �

182� � (�3) � ��

48

� � ��12

�

Realiza las siguientes operaciones combinadas.

a) —32

— : ��—14

—� � —56

— b) —23

— � —65

— � 7 c) —15

— � —130— : ��—

26

—� d) —23

— : 4 � —65

—

a) �32

� � ��14

�� 56

� � ��122� � �

56

� � ��61

02� � �5 c) �

15

� � �130� � ��

26

�� 2

b) �23

� � �65

� � 7 � �81

45� � �

258� d) �

23

� � 4 � �65

� � �15

�

Calcula.

a) �—23

—�3

b) �—35

—�4

c) �—12

—�5

d) �—27

—�2

a) ��23

��3

� �287� b) ��

35

��4

� �68215

� c) ��12

��5

� �312� d) ��

27

��2

� �449�


Problema resuelto

En una guardería, los niños representan —173— del total. ¿Qué fracción hay de niñas?

La fracción que corresponde a las niñas es el total menos los �173� que corresponden a los niños.

El total es la unidad, luego:

Fracción de niñas: 1 � �173� � �

11

33� � �

173� � �

163�

En un grupo de amigos, —140— van al cine, —

175— al teatro y el resto se queda en casa. ¿Qué fracción del grupo

se queda en casa?

Fracción del grupo que se queda en casa: 1 � �140� � �

175� � �

3300� � �

1320� � �

1340� � �

340� � �

125�

Por tanto, se quedan en casa �125� de los amigos.

1.27

1.26

1.25

1.24

1.23

1.22


Te dicen que entre los grupos de tercero, —34

— han elegido inglés; —51,— francés, y —

230—, alemán. ¿Es posible?

Suma de fracciones: �34

� � �15

� � �230� � �

1250� � �

240� � �

230� � �

2220� � �

1110�

Por tanto, no es posible, ya que la suma de las partes es mayor que el total.

Halla el área de un triángulo cuya base mide —356— metros, y su altura, —

340— metros.

Área de un triángulo: �12

� de base � altura.

Cálculo del área: �12

� � �356� � �

340� � 27 m2

Calcula el perímetro de cada figura.

a) b)

a) Perímetro: �25

� � �11

25� � �

165� � �

11

25� � �

1185� � �

65

� � 1,2 cm b) Perímetro: 6 � �27

� � �172� � 1,71 cm

Calcula el volumen de cada cubo.

a) b)

a) Volumen: ��89

��3

� �57

12

29

� cm3 � 0,70 cm3 b) Volumen: ��76

��3

� �324136

� cm3 � 1,59 cm3

Jerarquía de las operaciones

Ejercicio resuelto

Calcula �3 � —12

—� � —15

— � 2 : �—23

—�2

� —35

— � 1.

Recuerda que los números enteros se pueden escribir como fracciones con denominador 1.

3 � �31

�; 2 � �21

�; 1 � �11

�

Se realizan las operaciones teniendo en cuenta la jerarquía de las mismas.

�3 � �12

�� 15

� � 2 � ��23

��2

� �35

� � 1 � �72

� � �15

� � 2 � ��23

��2

� �35

� � 1 � �72

� � �15

� � 2 � �49

� � �35

� � 1 � �170� � �

148� � �

35

� � 1�

� �170� � �

52

40� � 1� �

12

40� � �

52

40� � �

22

00� � ��

2200� � �1

1.32

1.31

1.30

1.29

1.28

1—5

6—15

cm

cm

2—7

cm

8—9

cm

7—6

cm



Calcula.

a) 2 � —34

— � �—25

— � —13

—� b) —13

— � �—54

— � —192—� � 1 c) �—

76

— � —34

—� � —1132— d) —

56

— � 3 � �1 � —1108—�

a) 2 � �34

� � (�25

� � �13

�) � �84

� � �34

� � (�165� � �

155�) � �

54

� � �115� � �

7610�

b) �13

� � ��54

� � �192�� 1 � �

13

� � �162� � 1 � �

142� � �

162� � �

1122� � ��

1142� � ��

76

�

c) ��76

� � �34

�� 11

32� � �

11

42� � �

192� � �

11

32� � �

1102� � �

56

�

d) �56

� � 3 � �1 � �11

08��

56

� � 3 � �188� � �

1158� � �

5148� � �

188� � �

6118�

Opera y simplifica.

a) —45

— � —37

— � —23

— b) —45

— � —37

— � —23

— c) —15

— � —37

— � —365— d) —

15

— � —37

— � —12

—

a) �45

� � �37

� � �23

� � �45

� � �27

� � �13

85�

b) �45

� � �37

� � �23

� � �13

25� � �

23

� � ��13045

�

c) �15

� � �37

� � �365� � �

335� � �

365� � ��

335�

d) �15

� � �37

� � �12

� � �15

� � �134� � �

17

40� � �

17

50� � ��

710�

Haz las operaciones siguientes.

a) �—35

— � —170—� � —

37

— b) ��—14

— � —152—� � ��—

64

—� c) —25

— : �—49

— � —13

—� d) —13

— � �—25

— � —130—� : —

32

—

a) ��35

� � �170��

37

� � �11

30� � �

37

� � �37

90�

b) ��14

� � �152��

64

�� 132� � �

152��

64

�� 182� � ��

32

�� 2244� � 1

c) �25

� � ��49

� � �13

�� 25

� � ��49

� � �39

�� 25

� � �79

� � �1385�

d) �13

� � ��25

� � �130��

32

� � �13

� � �110� � �

32

� � �310� � �

32

� � �920� � �

415�

1.35

1.34

1.33


Efectúa las operaciones.

a) —12

— � �—23

—�2

b) —75

— � �—43

—�4

c) —35

— � �—32

—�3

d) —130— � �—

72

—�5

a) �12

� � ��23

��2

� �12

� � �49

� � �198� � �

188� � �

1178�

b) �75

� � ��43

��4

� �75

� � �28516

� � �54

60

75

� � �1420850

� � ��741035

�

c) �35

� � ��32

��3

� �35

� � �287� � �

24

40� � �

14305

� � ��14101

�

d) �130� � ��

72

��5

� �130� � �

1638207� � �

39260

� � �50

94621� � ��

5091601�

Calcula.

a) —43

— � �—12

— � 1� � —35

— : —64

— b) —57

— � �—12

— � —56

—� : —35

— � �—45

— � —170—�

a) �43

� � ��12

� � 1� � �35

� � �64

� � �43

� � �32

� � �1320� � �

4300� � �

4350� � �

1320� � ��

1370�

b) �57

� � ��12

� � �56

�� 35

� � ��45

� � �170��

16

03�

Realiza las siguientes operaciones combinadas.

a) —34

— � �—15

— � —32

—� � �—32

—�2

� —57

— � 1 b) —27

— � —15

— � —92

— � �—15

— � —47

— � 3� c) 2 � —15

— � —92

— � �—35

—�2

� �—45

— � —74

—�a) �

34

� � ��15

� � �32

�� 32

��2

� �57

� � 1 � �251�

b) �27

� � �15

� � �92

� � ��15

� � �47

� � 3� � ��17707

�

c) 2 � �15

� � �92

� � ��35

��2

� ��45

� � �74

�� 214010

�


Teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones, completa el siguiente laberinto fraccionario.

Camino primero: �12

� � �23

� � �35

� � �1145�

Camino segundo: �12

� � �23

� � �27

� � �211�

Camino tercero: �12

� � �13

� � �14

� � �161�

Camino cuarto: �12

� � �13

� � �56

� � 0

1.39

1.38

1.37

1.36

1—2

2—3

1—3

3—5

2—7

1—4

5—6

·

+

+

–

:

–

=

=

=

=


Javier y Pedro tienen dos calculadoras que operan fracciones, pero no saben si respetan la jerarquía de

las operaciones. Para comprobarlo, cada uno realiza la operación —14

— � —13

— � �—12

—�2

Si Javier obtiene como resultado —13

—, y Pedro —142—, ¿respetan sus calculadoras la jerarquía de las opera-

ciones?

Puesto que �13

� � �142�, la respuesta es sí.

María ha copiado de la pizarra la siguiente opera-ción.

Cuando va a realizarla, recuerda que, en la pizarra,algunas de las operaciones tenían paréntesis.

Si el resultado de la operación es �—170—, ¿dónde es-

taban separados los paréntesis?

��170� � �

12

� � ��43

� � �35

�� 23

�

Resolución de problemas con fracciones

Problema resuelto

En un quiosco de prensa se han vendido a lo largo de la mañana —35

— de un lote de periódicos, y por la

tarde, —13— de los que quedaban. Si al finalizar la tarde quedaban 12 periódicos sin vender, ¿cuántos

periódicos había inicialmente?Lote inicial Fin de la mañana Fin de la tarde

�23

� de �25

� del total son 12; �145� del total son 12; �

115� del total son 3; total: 3 � 15 � 45, por lo que al principio de la mañana

había un lote con 45 periódicos.


Calcula las siguientes cantidades.

a) —15

— de 200 euros. b) —23

— de 10 kilogramos. c) —56

— de 300 litros. d) —172— de 600 kilómetros.

a) �15

� de 200 euros � 40 euros. c) �56

� de 300 litros � 250 litros.

b) �23

� de 10 kilogramos � 6,67 kilogramos. d) �172� de 600 kilómetros � 350 kilómetros.

1.43

1.42

1.41

1.40

�12

� � �43

� � �35

� � �23

�


Calcula el total de la cantidad en cada caso.

a) —35

— del total son 120 euros. c) —37

— del total son 36 litros.

b) —14

— del total son 80 kilogramos. d) —49

— del total son 240 kilómetros.

a) Total: 40 � 5 � 200 euros. c) Total: 12 � 7 � 84 litros.

b) Total: 80 � 4 � 320 kilogramos. d) Total: 60 � 9 � 540 kilómetros.


Un grupo de amigos quedan para salir juntos, pero al final no se ponen de acuerdo en el sitio adonde

ir, —140— del grupo se van al cine, —

175— se van al teatro y el resto se vuelve a casa.

¿Qué fracción del grupo se queda en casa?

Fracción que se queda en casa: 1 � ��140� � �

175��

125�

Si un kilo de manzanas cuesta —45

— de euro, ¿cuánto cuestan cuatro kilos y medio de manzanas?

�4 � �12

�� 45

� � �92

� � �45

� � �31

60� euros � �

158� euros

Con 42 litros de gasolina, el marcador del depósitodel coche está en la posición de la figura.¿Cuántos litros tiene el depósito cuando está lleno?

El depósito con �34

� tiene 42 litros.

Por tanto, �14

� del depósito es x � 14 litros.

Luego el depósito lleno es: 4 � 14 � 56 litros.

Luis pagó como entrada de una bicicleta —13

— de los —27

— de los 420 euros que costaba.

¿Sería lo mismo si hubiera pagado los —27

— de —13

— de los 420 euros?

�13

� de �27

� de 420 � �13

� de 120 � 40 euros.

�27

� de �13

� de 420 � �27

� de 140 � 40 euros.

Por tanto, el proceso es igual ya que se obtiene la misma entrada.

Un regante tiene un depósito de 12 000 litros. Gasta —13

— de su capacidad y luego 600 litros. ¿Es lo mismo

que si gastase primero 600 litros y luego —13

— del resto?

Primer proceso: �13

� de 12 000 � 600 � 4 600 litros.

Segundo proceso: 600 � �13

� de 11 400 � 600 � 3 800 � 4 400 litros.

Los resultados son diferentes, luego los procesos son distintos.

1.49

1.48

1.47

1.46

1.45

1.44


Los —35

— de las calculadoras que vende una tienda son científicas, y de estas, los —152— son programables.

a) ¿Qué fracción representan las calculadoras programables?b) De cada 100 calculadoras vendidas, ¿cuántas son programables?

a) Calculadoras programables: �152� de �

35

� � �152� � �

35

� � �1650� � �

14

�

b) Son programables �14

� � 100 � 25 %

El Ayuntamiento de una ciudad decide utilizar 12 000 m2 de un solar de la siguiente forma: —15

— de terreno

para la construcción de viviendas de protección oficial, —13

— de lo que queda para construir un centro de

salud, y los metros cuadrados restantes para un parque? ¿Cuántos metros cuadrados tiene el parque?

Terreno para viviendas: �15

� de 12 000 � 2 400 metros cuadrados.

Terreno que queda: 9 600 metros cuadrados.

Terreno para el centro de salud: �13

� de 9 600 � 3 200 metros cuadrados.

Terreno para el parque: 12 000 � 5 600 � 6 400 metros cuadrados.

1.51

1.50


Matemáticas aplicadas


Escribe como fracciones las siguientes expresiones.a) Tres cuartos de kilo. b) Cuatro kilos y medio. c) Dos tercios de kilo.

a) �34

� b) 4 � �12

� � �92

� c) �23

�

Se sabe que 1 kilo de naranjas cuesta 1,20 euros. ¿Cuánto son dos kilos y cuarto de naranjas?

Coste: �2 � �14

�� 1,20 � �94

� � �11

20� � �

14008

� � �2170� � 2,70 €

Las latas de refresco suelen ser de —13

— de litro. ¿Cuántas latas son necesarias para envasar 100 litros derefresco?

100 � �13

� � 300 latas

1.54

1.53

1.52


Actividades finales

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Copia y completa los huecos que faltan para que se cumpla la igualdad.

—35

— � —195— � —

160— � —

2475—

Una clase tiene 36 alumnos.

a) ¿Es lo mismo —13

— de los alumnos de la clase que —142— de los alumnos de la clase?

b) ¿Hay otras fracciones que representen el mismo número de alumnos?c) ¿Cuántas fracciones hay?

a) Tenemos: �13

� de 36 � 12 y �142� de 36 � 12. Las dos fracciones son equivalentes.

b) Son todas las fracciones equivalentes a �13

� ⇒ �13

� � �26

� � �39

� � �142� � … � �

3kk�

c) Por tanto, hay infinitas fracciones equivalentes.

La producción de zumo de naranja de una empresa es de 20 000 litros. ¿Cuántas botellas de —34

— de litropueden llenar?

Número de botellas: 20 000 � �34

� � 26 666,66… � 26 667

El agua al congelarse aumenta —110— de volumen. ¿Qué volumen ocuparán 1 000 metros cúbicos de agua

después de congelarse?

1 m3 ocupa después de helarse 1 � �110� � �

1110� ⇒ Volumen de 1 000 m3: 1 000 � �

1110� � 1 100 m3

¿Qué fracción del cuadrado representa cada figura coloreada?Calcula la fracción que representa la suma de las siguientes áreas.

a) II � IIIb) I � IIIc) IV � II

I � �392�; II � �

126� � �

18

�; III � �126� � �

18

�; IV � �1352�

a) �14

� b) �13

32� c) �

1392�

En una empresa con 1400 empleados, un día con mucha nieve, —35

— de ellos llegan tarde al trabajo. ¿Cuántostrabajadores han llegado tarde?

Trabajadores que llegan tarde: �35

� de 1 400 � 840

1.60

1.59

1.58

1.57

1.56

1.55

I IV

II

III


Calcula el resultado de las siguientes expresiones:

a) 3 � 4�—13

— � —12

—�—14

— � —15

—� � 3 : �—13

— : —12

—�� c) �—13

— � —12

—��—12

— � —14

—� � 5 � 3�4 : —35

— � 1�b) (3 � 4)��—

13

— � —12

—��—14

— � —15

—� � �3 : —13

—� : —12

—� d) �—13

— � —12

—�—12

— � —14

—� � 5� � 3�4 : �—35

— � 1��

a) 3 � 4��13

� � �12

��14

� � �15

�� 3 � ��13

� � �12

�� 43807

� c) ��13

� � �12

��12

� � �14

�� 5 � 3�4 � �35

� � 1� � ��42247

�

b) (3 � 4)��13

� � �12

��14

� � �15

�� 3 � �13

�� 12

�� 2112509

� d) ��13

� � �12

��12

� � �14

�� 5� � 3�4 � ��35

� � 1�� 4294�

Mónica ha recorrido en coche los —58

— de un trayecto. ¿Cuál es la longitud de este si todavía le quedan120 kilómetros por recorrer?

Quedan por recorrer: �88

� � �58

� � �38

� Un octavo será: �1230

� � 40 km

Tres octavos son 120 km. Longitud del trayecto: 8 � 40 � 320 km

Los alumnos de 3.o de ESO han recogido 1 200 euros para una ONG durante una campaña de tres

semanas. La primera semana recogieron —23

— del total; la segunda, —15

—, y la tercera el resto.

a) ¿Qué fracción recogieron en la tercera semana?b) ¿Cuántos euros recogieron la tercera semana?

Fracción de la tercera semana: 1 � �23

� � �15

� � �1155� � �

1105� � �

135� � �

125�

Dinero recogido la tercera semana: �125� de 1 200 � 160 €.

En una escuela de música, —13

— de los alumnos asisten a las clases de percusión; —14

—, a piano, y el resto,

50 alumnos, estudian guitarra. Si cada alumno estudia un instrumento, ¿cuántos alumnos estudian percusión?

Alumnos que estudian percusión y piano: �13

� � �14

� � �142� � �

132� � �

172�

Alumnos que estudian guitarra: 1 � �172� � �

152�

Por tanto, �152� son 50 alumnos.

Luego �112� son 10 alumnos.

Como �13

� � �142�, los alumnos que estudian percusión son 40.

Como �14

� � �132�, los alumnos que estudian piano son 30.

Número de alumnos: 120.

Después de un incendio, la Consejería de Medio Ambiente decide repoblar —35

— del terreno con pinos, y

los —34

— del resto, con encinas. ¿Qué parte se ha dejado sin repoblar?

Pinos: �35

� � �160�. Resto: �

25

�. Encinas: �34

� de �25

� � �260� � �

130�. Sin repoblar: 1 � �

190� � �

110�

1.65

1.64

1.63

1.62

1.61


P A R A R E F O R Z A R

Calcula.

a) —35

— de 400 b) —171— de 121 c) —

35

— de 125 d) —79

— de 210

a) �35

� de 400 � 240 b) �171� de 121 � 77 c) �

35

� de 125 � 75 d) �97

� de 210 � 270

Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes.

a) —25

— y —160— b) —

45

— y —165— c) —

49

— y —188— d) —

122— y —

138—

Un camino sencillo es reducir las fracciones a común denominador.

a) �140� � �

160� b) �

11

25� � �

165� c) �

188� � �

188� d) �

366� � �

366�

No son equivalentes. No son equivalentes. Sí son equivalentes. Sí son equivalentes.

Escribe en orden creciente las fracciones:

a) —38

—, —1151,

— —270— b) —

172—, —

13

—, —34

—

a) �38

�, �11

15�, �

270� b) �

172�, �

31,� �

34

�

Fracciones con el mismo denominador: 120 Fracciones con el mismo denominador: 12

�38

� � �14250

�, �11

15� � �

18280

�, �270� � �

14220

� �13

� � �142�, �

34

� � �192�

Ordenación: �270� � �

38

� � �11

15� Ordenación: �

13

� � �172� � �

34

�


a) —35

— � —74

— b) —67

— � —23

— c) —26

— � —35

— d) —79

— : —2115—

a) �35

� � �74

� � �12

20� � �

32

50� � �

42

70� b) �

67

� � �23

� � �1281� � �

1241� � �

241� c) �

26

� � �35

� � �360� � �

15

� d) �79

� � �2115� � �

110859

� � �3653� � �

59

�

Opera y simplifica.

a) —45

— � —13

— � —28

— � —56

— b) 1 � �—13

— � —25

—� � —34

—

a) �45

� � �13

� � �28

� � �56

� � �19260

� � �14200

� � �13200

� � �110200

� � ��11240

� � ��670�

b) 1 � (�13

� � �25

�) � �34

� � 1 � �13

� � �25

� � �34

� � �6600� � �

2600� � �

2640� � �

4650� � �

6610�

Calcula.

a) —23

— � —52

— � —26

— � �—43

— � —172—� b) —

57

— � �—23

— � —56

—� : —25

— � �—45

— � —175—�

a) �23

� � �52

� � �26

� � ��43

� � �172��

34

� b) �57

� � ��23

� � �56

�� 25

� � ��45

� � �175��

2258�

1.71

1.70

1.69

1.68

1.67

1.66


Al tostarse, el café pierde un quinto de su peso. ¿Cuánto pesarán 80 kilogramos de café después detostarse?

Si se tuesta 1 kg, quedan �45

� de kg. 80 � �45

� � 64 kg, peso del café tostado

Los —35

— de un listón de madera miden 27 centímetros. ¿Cuánto mide el listón?

�35

� de listón miden 27, luego �15

� medirá 9 cm.

Por tanto, �55

� serán 45 cm.

La madera mide 45 cm.

Se pintan de blanco los de un poste. ¿Cuál es la longitud del poste si la parte sin pintar mide 6 metros?

La zona sin pintar son 1 � �58

� � �38

� �38

� miden 6 metros, por tanto �18

� medirá 2 metros.

Por tanto, �88

� medirán 16 m. El poste mide 16 m.

1.74

1.73

1.72


P A R A A M P L I A R

El cociente entre la medida de los lados de dos parcelas cuadradas es 5. ¿Cuál será la relación entre sus áreas?

Sean x e y los lados de las parcelas cuadradas.Cociente de las áreas: x2 � y 2 � (x � y)2 � 52 � 25

Escribe tres fracciones comprendidas entre —69

— y —79

—.

Las fracciones se pueden escribir así: �69

00� y �

7900�

Fracciones intermedias pueden ser: �69

00� � �

6910� � �

6950� � �

6970� � �

7900�

Martín recorre en su coche 60 kilómetros en tres cuartos de hora, y Ángela, 36 kilómetros en 27 minutos.¿Cuál de los dos va más despacio?

Velocidad por hora:

Martín: 60 � �34

� � 80 km/h Ángela: 36 � �2670� � 80 km/h

Por tanto, los dos van a la misma velocidad.

Un grifo llena un depósito de agua en 2 horas y otro lo llenaría en 3. ¿Cuánto tiempo tardarían los dosa la vez?

Consideramos el volumen como unidad.

Volumen que llenan ambos en una hora: �12

� � �13

� � �56

�

Tiempo que tardan en llenar el depósito: 1 � �56

� � �65

� � 1 hora más �15

� de hora � 1 h 12 min.

Un tren tarda 2 horas en recorrer el trayecto AB, y otro, 4 horas en sentido BA. Suponiendo que hayuna vía doble y que ambos salen a la vez, ¿cuánto tiempo tardan en encontrarse?

Consideramos el trayecto como unidad.

Trayecto que recorren ambos en una hora: �12

� � �14

� � �68

� � �34

�

Tiempo que tardan en encontrarse: 1 � �34

� � �43

� � 1 h 20 min

El cubo de la figura está formado por 27 cubos pequeños.

Pintamos de color cada una de las 6 caras visibles.

a) ¿Qué fracción representa los cubos pequeños que tienen una cara pintada?

b) ¿Qué fracción representa los cubos pequeños que tienen dos caras pintadas?

c) ¿Qué fracción representa los cubos pequeños que tienen tres caras pintadas?

d) ¿Qué fracción representa los cubos pequeños que tienen cuatro caras pintadas?

a) Cubos con una cara pintada: �267� � �

29

� c) Cubos con tres caras pintadas: �287�

b) Cubos con dos caras pintadas: �12

27� � �

49

� d) Cubos con cuatro caras pintadas: 0

1.80

1.79

1.78

1.77

1.76

1.75


P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

La ley D’Hont

La ley electoral determina que los escaños correspondientes a una circunscripción electoral se otorga-rán según la ley D’Hont.

Los votos obtenidos por cada partido se dividen sucesivamente por 1, 2, 3, 4, etc., y los resultados secolocan en una tabla como la siguiente.

Si hay n escaños para repartir, se adjudican a los n números mayores de la tabla.

Distribuye los 8 escaños que corresponden a una determinada circunscripción en la que el partido A ob-tuvo 185 244 votos; el partido B, 164 004; el partido C, 88 020, y el partido D, 30 123.

El Consejo EscolarLa legislación educativa de un país regula la composición de los consejos escolares de los centros do-centes, en los que deberán estar representados los alumnos, los profesores, los padres, el personal nodocente y la administración educativa con las proporciones indicadas en la siguiente tabla.

Indica una posible composición de un Consejo Escolar si se quiere que tenga exactamente 20 integrantes.

Tanto el personal no docente como la Administración deben contar con dos representantes cada uno.Los alumnos deben estar representados con un mínimo de 5 y un máximo de 6.Los profesores deben estar representados con un mínimo de 7 y un máximo de 10.Los padres deben estar representados con un mínimo de 4 y un máximo de 5.La única posible composición sería: alumnos 5; profesores 7; padres 4; personal no docente 2; administración 2.

1.82

1.81

Partido /1 /2 /3 /4 Escaños

A 185 244 92 622 61 748 46 311 4

B 164 004 82 002 54 668 41 001 3

C 88 020 44 010 1

D 30 123 0

Partido /1 /2 /3 /4 ...

A 120 60 40 30

B 60 30 20

C 30 15

Mínimo Máximo

Alumnos —14

— del total —13

— del total

Profesores —13

— del total —12

— del total

Padres —15

— del total —14

— del total

Personal no docente —110— del total —

18

— del total

Administración —110— del total —

18

— del total


A U T O E V A L U A C I Ó N

Halla el valor de las siguientes expresiones.

a) —39

— de 63 b) —163— de 169

a) �39

� de 63 � 3 � �19

� de 63 � 3 � 7 � 21 b) �163� de 169 � 6 � �

113� de 169 � 6 � 13 � 78

Copia y completa los números que faltan.

—35

— � —2�

5— � —

1�

8— � —

5�

0—

Utilizando las fracciones equivalentes tenemos: �35

� � �1255� � �

1380� � �

3500�

Expresa las fracciones —23

—, —56

— y —1112—.

a) Con denominador 24. b) Con denominador 48. c) Con denominador común.

a) �12

64�, �

22

04�, �

22

24� b) �

3428�, �

4408�, �

4448� c) �

182�, �

1102�, �

1112�

Calcula las siguientes cantidades.

a) —25

— de 250 kilogramos de café. b) El total de un saco de café si —37

— son 120 kilogramos.

a) �25

� de 250 � 2 � �25

50

� � 2 � 50 � 100 kg de café. b) Si �37

� son 120 kg, entonces �17

� son 40 kg

Por tanto, el saco de café pesa: 40 � 7 � 280 kg

Calcula y simplifica las siguientes operaciones.

a) —46

— � —182— b) —

46

— : —284— c) —

165— � 3 d) —

1320— : (�2)

a) �46

� � �182� � �

37

22� � �

49

� b) �46

� � �284� � �

23

� � �13

� � �63

� � 2 c) �165� � 3 � �

1185� � �

65

� d) �1320� � (�2) � ��

1620� � ��

15

�

Calcula y simplifica las siguientes operaciones.

a) —23

— � 1 b) —172— � —

65

— c) �—34

— � —161— d) 2 � —

95

—

a) �23

� � 1 � �23

� � �33

� � ��13

� c) ��34

� � �161� � ��

192� � �

2122� � �

1132�

b) �172� � �

65

� � �36

50� � �

76

20� � �

16007

� d) 2 � �95

� � �150� � �

95

� � �159�

Calcula.

a) —35

— � �—32

— � —140—� b) �—

23

— � ��—76

— � —152—�

a) �35

� � ��32

� � �140��

160� � �

11

50� � �

140� � ��

150� � ��

12

�

b) ��23

� � ��76

� � �152��

182� � �

11

42� � �

152� � �

112�

Calcula y simplifica

a) ��—52

— � —13

—� � 3 � —158— � —

112— b) —

13

— � —35

— � —72

— � �—32

—�2

: —65

— � �—54

— : 3�a) ��

52

� � �13

�� 3 � �158� � �

112� � ��

52

� � �13

� � �56

� � �112� � ��

3102� � �

142� � �

1102� � �

112� � ��

3152�

b) �13

� � �35

� � �72

� � ��32

��2

� �65

� � ��54

� � 3� � �13

� � �2110� � �

94

� � �65

� � �152� � �

13

� � �2110� � �

4254� � �

152� �

� �14200

� � �21

52

20

� � �21

22

50

� � �15200

� � ��418270

�

1.A8

1.A7

1.A6

1.A5

1.A4

1.A3

1.A2

1.A1


E N T R E T E N I D O

Obtener la mayor suma

Cada jugador necesita un tablero como el de la figura.

Reglas del juego:

1. Toma un número cualquiera del tablero y tacha la fila y la columna quese cruzan en él. Toma otro de los números que quedan sin tachar y tachala fila y la columna que se cruzan en él. Sigue haciendo lo mismo hastaque queden tachados todos los números del tablero.

2. Suma los números elegidos.

3. Gana el juego quien obtenga la mayor suma.

Al cabo de algunas tentativas, los alumnos se consultan unos a otros. A todos les da 40. Está claro que cada número ha sido selec-cionado al azar.Pero independientemente de los números que se elijan, parece que su suma es siempre la misma. Se les plantea entonces el proble-ma de si están seguros de haber hecho todas las elecciones posibles. ¿Cuántas hay?

16 � 9 � 4 � 1 � 576Como sería muy incómodo comprobar una por una que las 576 elecciones dan la misma suma, veamos cómo demostrar que la sumaes siempre la misma.A primera vista, parece no tener ley de formación: construido al azar. El truco funciona siempre porque la matriz de números no esmás que una tabla de sumar de las usadas antiguamente. Veamos cómo está construida:– La tabla está generada por dos conjuntos de números: (1, 2, 3, 4) y (0, 5, 10, 15)– Cada uno de los números de la matriz es la suma de un par de números de los dos conjun-

tos. Al elegir los 4 números, lo que se está haciendo es seleccionar 4 pares que contienen ensu totalidad los 8 números generadores. Así pues, la suma de los números rodeados es siem-pre igual a la suma de los números generadores: 1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 10 � 15 � 40

– Las elecciones posteriores a la primera tienen que recaer obligatoriamente en un número per-teneciente a una fila y a una columna que aún no se han eliminado.

– Las reglas del juego obligan siempre a elegir el resultado de una fila y una columna diferen-tes y hacer la suma total, que tiene que ser necesariamente la de los números generadores.

1 2 3 4

6 7 8 9

11 12 13 14

16 17 18 19

1 2 3 4

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

matm3soltem1

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