mita_nina_paper_alpha.pdf

7/27/2019 Mita_Nina_Paper_alpha.pdf

1/4

ANALISIS KESTABILAN PADA BANDUL SFERIS 2D MENGGUNAKAN

MATLAB 2011a

Arumjeni Mitayani1, B. E. Gunara2, F.T. Akbar2, Nina Siti Aminah21Program Studi Teknik Elektro, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB2Program Studi Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam ITB

Abstrak

Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat diperoleh dengan

meninjau posisi dan kecepatan sebagai koordinat. Sebuah bentuk umum alternatif kemudian diberikan

oleh Hamilton, yang menggunakan posisi dan momentum. Telah dilakukan simulasi suatu persoalan

klasik dalam mekanika, yaitu partikel yang terbatasi untuk berada pada permukaan sferis yang licin di

bawah pengaruh gravitasi (bandul sferis) yang persamaan geraknya diperoleh dengan dengan

menggunakan fungsi Lagrangian. Persoalan yang dipilih merupakan persoalan yang representatif,

baik dari segi analitis maupun kompleksitas. Untuk mendapatkan solusi kestabilan dari persoalan

tersebut diperlukan analisis dengan bantuan perangkat lunak Matlab 2011b.

Keywords: Mekanika Lagrangian, bandul sferis, stabilitas sistem, Matlab

1. PendahuluanDalam jurnal ini kami menganalisis

gerak sebuah benda yang terbatasi

pada permukaan sferis yang licin di

bawah pengaruh gravitasi atau

dinamakan juga bandul sferis.

Persoalan yang dihadapi bukan hanya

pada bentuk gaya yang bekerja, akan

tetapi penggunaan koordinat sehinggaHukum Newton tidak dapat diterapkan.

Oleh karena itu, dibahas suatu

pendekatan yang lebih efektif dalam

mencari persamaan gerak sistem yang

pertama kali dikembangkan oleh

matematikawan Perancis, Joseph Louis

Lagrange yang disebut formalisme

Lagrange. Lagrangian memiliki bentuk

energi kinetik dikurangi energipotensial[Goldstein,].

Prediksi prilaku keseluruhan sistem

dapat ditentukan dengan

mempertimbangkan model secara

sederhana dari sistem fisik yang

kompleks. Dengan demikian, analisis

kestabilan sistem melibatkan

pemodelan matematis, penurunan

persamaan yang mengatur solusi dari

persamaan matematis tersebut,

interpretasi sistem dan analisis

kestabilan.

Metodologi yang kami gunakan

adalah dengan membuat simulasi

bandul sferis menggunakan matlab.

Penelitian ini bertujuan untuk

mempermudah melakukan percobaan

serta mengamati gejala fisika tentang

sistem bandul sferis, serta dapatmengetahui hasil yang diperoleh

dengan melakukan perubahan variabel

pada sistem.

Strategi Umum: Secara garis besar,

prosedur umum yang harus dilalui

untuk sistem mencapai kestabilan

diberikan dalam langkah-langkah

berikut:

a. Mulailah dengan menurunkanpersamaan yang menggambarkan

sistem mekanis dengan menggunakan

Lagrangian yaitu energi kinetik

dikurangi potensial.

b. Tuliskan persamaan gerak untuk

sistem.

c. Lakukan linierisasi model

matematika non-linier.

d. Simulasi dengan menggunakan

Matlab, Matlab merupakan software


2/4

yang dikembangkan The

Mathworks.Inc yang merupakan

software paling efisien untuk

perhitungan numerik berbasis matriks.

Matlab (Matrix Laboratory) adalahsebuah bahasa pemrograman dengan

kinerja tinggi untuk komputasi

masalah teknik. Matlab

mengintegrasikan komputasi,

visualisasi dan pemrograman dalam

suatu model yang sangat mudah untuk

digunakan dan dalam penyelesaiannya

diekspresikan dalam notasi matematika

yang familiar [Sahid, 2006].

2. Bandul SferisTinjau sebuah partikel bermassa m

dan berjari-jari r yang terbatasi untuk

berada pada permukaan sferis berjari-

jari R dari suatu kubus bermassa M

yang licin di bawah pengaruh gravitasi,

seperti yang ditunjukkan pada gambar

1.

Gambar 1. Bandul sferis pada sebuah kubus

Kubus hanya dapat bergerak bebas

di sepanjang garis horizontal yang

licin. Diketahui permukaan sferistersebut berada di tengah-tengah

kubus. Dalam persoalan ini terdapat

dua derajat kebebasan, sehingga kita

butuhkan dua koordinat untuk

menggambarkan keadaan sistem yang

kita tinjau. Kita akan memilih

koordinat x1 dan x2 yang masing-

masing menyatakan pergeseran dalam

arah horisontal bidang terhadap titikacuan dan pergeseran partikel dari titik

acuan terhadap bidang seperti yang

ditunjukkan pada gambar 2.

Gambar 2. Dua koordinat pada sistem

Sehingga diperoleh,

= + 12 + ( ) = + ( )1

Dan konsekuensinya

= + ( ) = + ( )

2

Untuk penyederhanaan, gerak

partikel hanya dibatasi dalam dua

dimensi. Jika pada kubus yang

dimaksud kami beri gaya sebesar F,

maka akan timbul energi kinetik pada

kubus dan sekaligus pada partikel itu

sendiri, sehingga energi kinetik sistem

adalah

Gambar 3.

= 12 +

+ 12 +

+ 12

3

Adapun energi potesial sistem adalah

= 4Kendala

= 0 5

Dan


3/4

( ) = 6Guna mendapatkan model matematika

untuk sistem dapat digunakan

persamaan Lagrange untuk gerak

mekanik, yaitu

" = 7Dengan menggunakan persamaan di

atas maka diperoleh fungsi Lagrange

berikut:

" =12

+ + 12

+( )+ 12( )

+ 12+( )+ 12( )

+ 12

+ + ( ) + + $ + $( ) $

8

Dengan memperhatikan gerak vertikal

dan horizontal, maka persamaan

Lagrange untuk sistem ini adalah

&&' "*

" = 0

&&' " *

" = 0

9

Untuk gerak osilasi dan

&&'

"*

" = 0&

&' "*

" = 0

10

Untuk gerak translasiDari persamaan di atas dapat diperoleh

+ ( ) + ( ) = 0

11

Substitusi yang diperoleh daripersamaan (10) dan momen inersia

bola pejal, menghasilkan

+

[75 ( ) ( )

+ ]= 0

12

Linierisasi dapat dilakukan dengan

beberapa cara, antara lain dengan

menganggap bahwa sudutnya ()

adalah kecil sehingga diperoleh

persamaan osilasi kecil0

)()(

5

7

8.9=

+

+

mM

rRmrR

&& 13

(Kasus linierisasi dari masalah ini

dianggap dalam [12].) Contoh ini

menunjukkan efektivitas metode untuk

stabilisasi sistem keseimbangan.

Simulasi: Kami menunjukkan hukum

kontrol dengan MATLAB simulasi

sistem pendulum-cart di mana M=2,

m=1, R=2, dan r=1. Kami membiarkan

kecepatan keranjang yang diinginkan

menjadi konstan tanpa gaya luar (F=0).

3. Analisis KestabilanAgar mempermudah pencarian solusi

kestabilan, maka sistem diasumsikan

berosilasi pada sudut kecil seperti padapersamaan 13, dan disederhanakan

notasinya menjadi:

0=+ z&& 14

Sehingga solusi untuk adalah

)sin()cos()( 21 tzCtzCt += 15

Dengan asumsi bahwa nilai z selalupositif. Selanjutnya, definisikan

keadaan awal untuk sistem tersebut,

yaitu:

1.0)0( = 16

0)0( =& 17

Sehingga

)cos(1.0)( tzt = 18


4/4

Selanjutnya, didefinisikan P dan Px

yang diperoleh dari rumus:

&

=

LP 19

x

LP

x&

= 20

Hingga diperoleh hasil akhir, yaitu:

))sin(1.0)((5

7tzrRm

mM

mP

+=

21

0=xP 22

Lalu, masing-masing variable yang ada

pada persamaan 21 diisi dengan nilai

tertentu, yaitu: M=2, m=1, R=2, dan

r=1. Kedua persamaan 18 dan 21

kemudian dikuadratkan dan

dijumlahkan, sehingga diperoleh hasil:

101.0012.0

22

=+

P

23

Persamaan 23 akan membentuk sebuah

orbit yang berupa elips yang hampir

menyerupai lingkaran, yang dalam

fungsi kestabilan merupkan penanda

bahwa fungsi tersebut stabil.

Selanjutnya hasil di atas dibuktikan

dengan plot fungsi menggunakan

MATLAB, sehingga akan menjadi

seperti di bawah ini:

Sedangkan Px merupakan aspek kekal

dari sistem bandul sferis di atas.

4. KesimpulanDari metode yang digunakan padapenyelesaian masalah di atas, analisis

kestabilan pada suatu sistem bandul

sferis dapat diselesaikan dengan

mencari Lagrangian dari komponen-

komponen dinamis, membuat

persamaan gerak dari Lagrangian,

mencari solusi persamaan gerak,

mencari momentum dari Lagrangian,

dan mencari orbit di ruang fasa dari

persamaan geraknya.

Untuk mencari solusi numerik dan plot

dari ruang fasa dapat digunakan

bantuan software seperti MATLAB.

Daftar Pustaka

1. Goldstein. Classical Mechanics

3rd

edition. Pearson Education.

2. Sahid (2006). Panduan Praktis

Matlab. Jakarta: Erlangga.

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

mita_nina_paper_alpha.pdf

Documents