UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII.

SENHOR DO BONFIM

A LINGUAGEM NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS:

ESTUDO DAS DIFICULDADES DE ALUNOS DA 7ª SÉRIE DO COLÉGIO

ESTADUAL JOSÉ DA SILVA MARQUES EM CAMPO FORMOSO-BA

SENHOR DO BONFIM, 2008

DIANA CARLA MIRANDA DA SILVA

A LINGUAGEM NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS:

ESTUDO DAS DIFICULDADES DE ALUNOS DA 7ª SÉRIE DO COLÉGIO

ESTADUAL JOSÉ DA SILVA MARQUES EM CAMPO FORMOSO-BA

Monografia apresentada ao Departamento de Educação – Campus VII da Universidade do Estado da Bahia, como parte das exigências da disciplina TCC – Trabalho de Conclusão de Curso em Licenciatura em Matemática.

Orientadora: Profª Maria Celeste de Souza Castro

SENHOR DO BONFIM, 2008

DIANA CARLA MIRANDA DA SILVA

A LINGUAGEM NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS:

ESTUDO DAS DIFICULDADES DE ALUNOS DA 7ª SÉRIE DO COLÉGIO

ESTADUAL JOSÉ DA SILVA MARQUES EM CAMPO FORMOSO-BA

Monografia apresentada ao Departamento de Educação – Campus VII da Universidade do Estado da Bahia, como parte das exigências da disciplina TCC – Trabalho de Conclusão de Curso em Licenciatura Plena em Matemática.

BANCA EXAMINADORA

______________________________________________ Profª. Maria Celeste de Souza Castro (orientadora)

______________________________________________ Profª. Mirian Brito de Santana (membro)

______________________________________________

Profª. Rita de Cássia Braz Conceição Melo (membro)

DEDICATÓRIA

Ao meu pai, Adelfo Luis (in memoriam) que me ensinou o

valor da vida, onde estiver sempre terá meu amor.

À minha mãe, Maria Miranda que foi minha parceira

incondicional durante essa jornada.

A todos que estiveram sempre presentes, dividindo comigo

as angústias, decepções, incertezas e conquistas.

AGRADECIMENTOS

Ao Senhor Deus, pela saúde e oportunidade que tive para começar; pelo consolo e

apoio quando tive que parar; pela força e coragem para reconquistar e concluir este

curso de Licenciatura Plena em Matemática.

À minha Orientadora Maria Celeste de Souza Castro, pela amizade, paciência e

empenho ao direcionar meu trabalho, servindo-me de exemplo de dedicação e

profissionalismo.

À Coordenadora do curso Professora Elizete Brito pela amizade e o otimismo que

semeou em meu caminho por meio do exemplo e das palavras que me inspiraram

confiança nos momentos difíceis.

A todos os Professores do curso por ter me permitido conhecer novos caminhos no

exercício da profissão.

Aos professores integrantes da banca de avaliação que aceitaram amavelmente o

convite e cujas críticas pertinentes e sugestões valiosas contribuíram para a elaboração

final deste trabalho

À professora e aos alunos que participaram da nossa pesquisa pela colaboração

imprescindível.

Aos amigos e colegas de curso pelos bons e maus momentos compartilhados, em

especial a Valdenira pela amizade e apoio nos momentos mais difíceis.

A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização do curso e

conclusão deste trabalho.

RESUMO

Este trabalho estuda as dificuldades que os alunos de uma turma de 7ª série enfrentam diante da resolução de problemas matemáticos e tem como principal foco a relação que estes alunos estabelecem com a linguagem no processo de resolução dos problemas. A pesquisa foi feita através de uma metodologia com caráter qualitativo fundamentada numa perspectiva intervencionista por meio de instrumentos de coleta de dados como entrevista com a professora regente da turma, observação-participante, diário de bordo e coleta de documentos escritos pelos alunos. A entrevista foi realizada com a finalidade de se estabelecer um mapeamento a cerca dos anseios e atitudes da professora considerada importante para o direcionamento dos trabalhos da pesquisa; a observação participante abrange tanto as atividades realizadas pela professora em sala de aula como as desenvolvidas pela pesquisadora, fruto da intervenção conjunta com a professora onde foram utilizados também o diário de bordo e a coleta de documentos dos alunos. As atividades foram elaboradas compreendendo os conteúdos programados pela professora e foram replanejadas a partir de uma análise de cada uma. O estudo está embasado numa análise interpretativa considerando aspectos como escrita, oralidade e capacidade de leitura e interpretação dos alunos em relação a textos matemáticos, bem como a contribuição das atividades de intervenção com enfoque nos elementos objetos desta análise. Foram levantadas sugestões de trabalhos que venham complementar este estudo em relação à atividades envolvendo resolução de problemas.

Palavras-chave: comunicação; linguagem matemática; resolução de problemas.

SUMÁRIO

RESUMO

INTRODUÇÃO..................................................................................................................9

CÁPITULO I

O ENSINO DE MATEMÁTICA – AS DIFICULDADES VIVENCIADAS

EM SALA DE AULA.......................................................................................................11

CAPÍTULO II

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA......................................................................................14

2.1. Comunicação e Linguagem Matemática..................................................................14

2.2. Linguagem na Resolução de Problemas..................................................................17

CAPÍTULO III

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS.......................................................................21

3.1. Entrevista semi-estruturada.....................................................................................22

3.2. Observação participante..........................................................................................22

3.3. Diário de Bordo........................................................................................................24

3.4. Documentos escritos pelos alunos..........................................................................25

CAPÍTULO IV

ANÁLISE DE DADOS E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS..............................27

4.1. Um olhar sobre o ensino aprendizagem dos alunos – A visão do professor...........27

4.2. Uma visão do contexto de sala de aula...................................................................30

4.3. Atividades de intervenção........................................................................................31

4.3.1. Atividade 1 – Representação decimal dos números racionais..........................31

4.3.2. Atividade 2 – Representação percentual dos números racionais.....................48

4.3.2.1. A escrita. Interpretação do texto.......................................................................49

4.3.2.2. A oralidade – Discussão do texto......................................................................53

4.3.2.3. Resolução de problemas a partir do texto..........................................................54

4.3.3. Atividade 3 – Representação percentual dos números racionais –

Dando significado aos problemas do livro didático.....................60

4.3.4. Atividade 4 – Introdução aos números irracionais..............................................66

CONCLUSÃO................................................................................................................70

REFERÊNCIAS.............................................................................................................72

ANEXOS........................................................................................................................76

ANEXO 1 – Roteiro para a entrevista com a professora

ANEXO 2 – Atividade 1 – Representação decimal dos números racionais

ANEXO 3 – Atividade 2 – Representação percentual dos números racionais - Texto

ANEXO 4 – Questões para análise do texto

ANEXO 5 – Atividade 3 – Representação percentual dos números racionais – Problema

do livro didático

ANEXO 6 – Tabela de IR de 2008

ANEXO 7 – Atividade 4 – Introdução aos números irracionais

9

INTRODUÇÃO

As dificuldades vivenciadas em sala de aula a cerca do baixo desempenho dos alunos

na aprendizagem de matemática vem sendo discutidas de modo significativo. Vários

autores já se manifestaram a respeito, como Bicudo (1999), Smole & Diniz (2001),

Cagliari (2002), Rabelo (2002), Zuchi (2004), Carvalho (2005), Koch (2006), entre

outros. Esses autores destacam a importância que a linguagem desempenha na

resolução de problemas matemáticos.

D’Ambrósio (1986, apud Rabelo, 2002, p. 82) diz que “(...) O verdadeiro espírito da

matemática é a capacidade de modelar situações reais, codificá-la adequadamente, de

maneira a permitir a utilização das técnicas e resultados conhecidos em um contexto

novo (...)” Desta forma o autor destaca o uso da linguagem nesse processo, o que para

Zuchi (2004) desempenha um papel importante na constituição do conhecimento

matemático.

Tomando como base os conceitos aqui colocados e entendendo que as dificuldades na

linguagem podem interferir na aprendizagem de conceitos matemáticos é que trazemos

nesse trabalho reflexões acerca das dificuldades que os alunos enfrentam na resolução

de problemas.

No primeiro momento, deste trabalho constrói-se uma síntese da situação educacional

em torno das dificuldades vivenciadas por professores e alunos quanto à aprendizagem

dos conceitos matemáticos com ênfase na relação que os alunos estabelecem com a

linguagem no processo de resolução de problemas. Constroem-se ainda as questões

norteadoras que envolvem o assunto e os objetivos que se deseja alcançar.

No capitulo II apresenta-se os principais conceitos fundamentais que compreendem

comunicação e linguagem matemática, e a linguagem na resolução de problemas.

10

No capítulo III são apresentados os procedimentos metodológicos, os instrumentos

utilizados para recolhimento de dados e elaboração deste estudo.

No capítulo IV, Os dados coletados e observados são apresentados de forma

ordenada, são descritos, explicitados e por fim interpretados, desvelando-se como

resultado da pesquisa.

Por fim, na conclusão apresentam-se algumas considerações referentes à elaboração

da presente monografia.

11

CAPITULO I

O ENSINO DE MATEMÁTICA – AS DIFICULDADES VIVENCIADAS EM SALA DE

AULA

É comum ouvir de professores de matemática que seus alunos enfrentam dificuldades

em aprender conceitos matemáticos, justificando que quando estes se deparam com

problemas matemáticos não sabem resolvê-los. Os alunos, por sua vez, alegam que a

matemática é uma disciplina extremamente difícil e por isso não conseguem resolver

tais problemas argumentando que não sabem qual o caminho para a resolução.

O dilema das dificuldades de aprendizagem de matemática contextualizada em sala de

aula está retratado em dados de pesquisa realizada em 2003 pelo INEP – Instituto

Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. A pesquisa que foi realizada tomando

como base as avaliações realizadas pelo Sistema de Avaliação Escolar da Educação

Básica – SAEB mostrou que 52% dos alunos da 4ª e 8ª séries do ensino fundamental,

na disciplina de matemática, estavam em situação classificada pelo estudo como

“crítica” ou “muito crítica”, sendo que este nível atingia 63% dos alunos da 3ª série do

ensino médio. O estudo apontou que estes alunos não conseguiam transpor o que era

solicitado no enunciado de uma questão, compatível com sua série, para uma

linguagem matemática.

A pesquisa retrata fielmente o que acontece na sala de aula. Durante a realização do

Estágio1 vivenciamos essas situações onde o aluno não sabe como resolver a questão

e solicita ajuda para a compreensão dos enunciados. A partir daí se começou a

questionar porque os alunos não compreendem com clareza o que o professor e os

livros didáticos querem lhes comunicar.

1 Componente obrigatório da grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática realizado em 2007.

12

Esta realidade é fundamentada por Cagliari (2002), que aponta que a dificuldade do

aluno não está na falta de conhecimento dele e, sim no impasse lingüístico criado pela

formulação das questões que lhe são apresentadas.

Diante destas questões surge a proposta de investigar as dificuldades enfrentadas por

alunos da 7ª série do ensino fundamental, em resolver problemas matemáticos, tendo

como enfoque do estudo a relação que estes alunos estabelecem com a linguagem no

processo de resolução. A opção por desenvolver a pesquisa com alunos da 7ª série

parte do pressuposto de que os conteúdos trabalhados nesta série são considerados

bastante abstratos impossibilitando desta forma, a inserção de textos matemáticos.

Segundo Bicudo (1999), a linguagem é um ato de comunicação entre pessoas, e,

sobretudo, sistematizante do pensar. Desta forma a autora destaca a importância da

linguagem na vida do ser humano.

Sendo a linguagem um instrumento essencial para a compreensão do mundo das

relações torna-se fundamental sua utilização no contexto educacional. Vários estudos

sublinham a importância da linguagem na área de ensino, considerando-a, sobretudo,

no ensino da matemática. Como ressalta Cagliari (2002, p. 27), “[...] A matemática não

se faz só com números, mas também com a linguagem [...]”.

Diante disso, destacamos Smole e Diniz, que defendem:

[...] Os alunos devem aprender a ler matemática e ler para aprender matemática durante as aulas dessa disciplina, pois para interpretar um texto matemático o leitor precisa familiarizar-se com a linguagem e os símbolos próprios desse componente curricular, encontrando sentido no que lê, compreendendo o significado das formas escritas que são inerentes ao texto matemático, percebendo como ele se articula e expressa conhecimentos (SMOLE; DINIZ, 2001, p. 71).

Embora existam muitos estudos que tratam a linguagem como ferramenta fundamental

para o ensino da matemática muitos dos insucessos de aprendizagem dos conceitos

matemáticos são relacionados, por muitos autores como Bicudo (1999), Smole e Diniz

13

(2001), Carvalho (2005) Rabelo (2002), Menezes (2000), entre outros, à deficiência de

linguagem.

Considerando que a linguagem ocupa um lugar de importante destaque na

aprendizagem dos conceitos matemáticos e concordando com a existência de um

impasse lingüístico, então se procurou respostas sobre as dificuldades buscando

desenvolver atividades de intervenção para melhor compreender a questão das

dificuldades de resolução de problemas apresentados pelos alunos. Diante disso foram

estabelecidas as seguintes questões norteadoras:

• Como se configura esta linguagem com os alunos da 7ª série do Colégio José da

Silva Marques em Campo Formoso-Ba na resolução de problemas matemáticos?

• Qual a relação que estes alunos estabelecem com a linguagem em termos de

seus componentes e suas funções na decodificação da linguagem matemática?

• Como uma atividade interventora pode contribuir para a melhoria desta relação

e, conseqüentemente, do ensino de matemática?

Estas questões serviram como eixo que norteou o estudo e para isso foi delimitado o

seguinte objetivo: analisar a relação que os alunos da 7ª série do colégio José da Silva

Marques em Campo Formoso-Ba estabelecem com a linguagem na resolução de

problemas de matemática. Para atingir este objetivo se procurou:

• Analisar a capacidade do aluno na leitura, interpretação e compreensão de

textos matemáticos;

• Analisar os problemas matemáticos trazidos pelo livro didático adotado pela

escola;

• Verificar a capacidade do aluno de comunicação oral e escrita através da

socialização de idéias e estratégias utilizadas por ele na resolução de problemas;

• Analisar a contribuição ou não das atividades de intervenção.

14

CAPITULO II

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capitulo serão trabalhados os conceitos comunicação e linguagem matemática e

linguagem na resolução de problemas utilizando teóricos que nos oferece uma clareza

quanto ao tema objeto da pesquisa.

2.1. Comunicação e Linguagem Matemática

A comunicação entre seres humanos é um processo que envolve a troca de

informações, e que para isso utiliza símbolos como suporte para este fim, como gestos

com as mãos, mensagens enviadas através da fala ou da escrita, ou qualquer outra

coisa que permita uma pessoa interagir com outra e efetuar algum tipo de troca

informacional. Para Zuchi (2004, p. 49) o meio mais eficiente de comunicação é através

da linguagem, pois segundo Freitas (1995, apud Zuchi 2004), é por meio da linguagem

que a criança é exposta ao conhecimento humano e adquire conceitos sobre o mundo

que a rodeia.

A linguagem como elemento essencial na comunicação dos seres humanos, ganha um

destaque especial no contexto educacional. Como bem coloca Menezes (2000b)

quando diz que ensinar e aprender constituem atos essencialmente comunicativos e

que os principais agentes envolvidos são os professores e os alunos.

Diante da importância que assume a linguagem nas práticas educativas, Cagliari (2002

p. 25) completa: “A escola usa e abusa da força da linguagem para ensinar e para

deixar bem claro o lugar de cada um na instituição e até na sociedade, fora dos seus

muros”.

15

Sendo a escola o lugar onde o principal instrumento de comunicação é a linguagem

cabe aos seus principais agentes, professores e alunos, criar processos de maneira

que estes processos resultem em aprendizagem significativa.

Considerando que existem inúmeras formas de linguagem utilizadas para a

aprendizagem dos conteúdos escolares, como a oral e escrita, utilizada pela Língua

Portuguesa e outras disciplinas; a utilização de desenhos que estão presentes no

estudo de outros componentes curriculares; existe também, a linguagem matemática

que é constituída por fórmulas e símbolos presente na Matemática, uma das principais

disciplinas do currículo escolar e que na maioria das vezes é vista com certa aversão.

Muito freqüentemente se ouve falar na matemática como uma ciência com uma

linguagem de difícil compreensão por se tratar de uma ciência abstrata. De fato a

matemática tem uma linguagem própria, e:

Sendo a matemática uma área do saber de enorme riqueza, é natural que seja pródiga em inúmeras facetas; uma delas é, precisamente, ser possuidora de uma linguagem própria, que em alguns casos e em certos momentos históricos se confundiu com a própria matemática (MENEZES 2000a).

A linguagem matemática é expressa pelo discurso matemático. Assim a simbologia

matemática como expressão de uma linguagem, é invenção do ser humano com a

intenção de assegurar uma capacidade maior de sintetizar idéias matemáticas e que foi

sendo transformada ao longo do tempo.

Podemos tomar um exemplo de síntese da linguagem matemática trazida por Boyer

(1974) que mostra a representação de frações unitárias (com o numerador 1) indicada

pelos egípcios. O recíproco de qualquer inteiro era indicado simplesmente colocando

sobre a notação para o inteiro um sinal oval alongado. A fração 1 / 8 era indicada por

, e 1 / 20 por . Estas representações foram sendo modificadas chegando á

representação numerador sobre denominador que utilizamos nos dias atuais.

16

Alguns estudos mostram que os livros de matemática escritos durante a Idade Média

traziam as idéias matemáticas expressas por extenso. Naquela época, a subtração era

indicada pela palavra latim minus. Com o tempo passou-se a abreviar as palavras e

minus foi substituída por sua inicial com um traço em cima. Mais tarde passou-se a usar

apenas um traço para indicar a subtração, sinal este utilizado até hoje. O sinal de

adição (+) é uma derivação da letra t da palavra et.

A compreensão e o manuseio da simbologia matemática, geralmente são vistos como

possíveis apenas para os gênios. As fórmulas e os símbolos matemáticos são

complicados para a maioria das pessoas. Mas assim como em outras áreas do

conhecimento que se utiliza de linguagem própria, a simbologia utilizada pela

matemática também é possível de ser compreendia, bastando para isso uma

aprendizagem adequada. Zucchi (2004, p. 51) alerta sobre o uso excessivo da

simbologia matemática. Para a autora “muitas vezes, o excesso de simbologia gera

dificuldades desnecessárias para o aluno, chegando, inclusive a impedir que ele

compreenda a idéia representada pelo símbolo”.

Desta forma Cândido entende que:

A tarefa dos professores em relação à linguagem matemática deve desdobrar-se em duas direções. Em primeiro lugar, na direção do trabalho sobre os processos de escrita e representação, sobre a elaboração dos símbolos, sobre o esclarecimento quanto às regras que tornam certas formas de escrita legítimas e outras inadequadas. Em segundo, em direção ao trabalho sobre o desenvolvimento de habilidades de raciocínio que, para as crianças, se inicia com o apoio da linguagem oral e vai, com o tempo incorporando textos e representações mais elaborados (CÂNDIDO, 2001, p. 17).

Diante do exposto, entende-se que o uso da linguagem matemática não pode está

desvinculado do processo de comunicação oral e escrita, pois se assim for constitui-se

num problema para o processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos.

17

2.2. A Linguagem na Resolução de Problemas

A matemática ensinada nas escolas passa atualmente por um momento crucial, uma

vez que se constitui em uma das disciplinas em que os alunos apresentam mais

insucesso, de tal forma que ela tem sido freqüentemente apontada como uma disciplina

que contribui significativamente para a elevação das taxas de retenção. E mesmo

quando o aluno é aprovado, seu conhecimento se mostra insuficiente para a aplicação

de seus conceitos no cotidiano.

Dados do Pisa2 – Programa Internacional de Avaliação, divulgados pela OCDE –

Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico, mostram o baixo

desempenho em leitura e matemática dos alunos brasileiros em 2006, sendo que o pior

resultado é apresentado em matemática. Segundo a pesquisa, numa escala que vai até

seis, 73% dos brasileiros estão situados no nível um ou abaixo disso. Isso significa que

só conseguem responder questões com contextos familiares e perguntas definidas de

forma clara. Embora o resultado seja ruim os dados apontam uma melhora em relação

à pesquisa realizada em 2003 pelo INEP3.

Diante das situações apresentadas pela pesquisa, citadas no capítulo anterior

procurou-se buscar referencial metodológico para o enfrentamento do problema. Alguns

educadores matemáticos apresentam a resolução de problemas como alternativa de

trazer o aluno para o contexto de produção, indagação e reflexão dos conceitos

matemáticos serem estudados. Bicudo em um de seus trabalhos em educação

matemática já traz como foco de estudo a resolução de problemas justificando o porque

da sua escolha:

O ponto central de nosso interesse em trabalhar o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas baseia-se na crença de que a razão mais importante para esse tipo de ensino é a de ajudar os alunos a

2 Fonte: Folha de São Paulo Online – Dezembro de 2007 3 Dados já apresentados anteriormente

18

compreender os conceitos, os processos e as técnicas operatórias necessárias dentro do trabalho feito em cada unidade temática. (BICUDO, 1999, p. 208)

Nos PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais, esta proposta encontra destaque:

[...] O ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las (BRASIL, 1998, p. 40).

Embora a resolução de problemas matemáticos seja antiga, pois estes estão presentes

nos textos de matemática desde a antiguidade (3000 a. C) tendo diferentes significados

dos seus conceitos em diferentes épocas. Os alunos ainda hoje, apresentam

dificuldades em operar os algoritmos quando estes vêem problematizados.

Segundo Cagliari (2002, p. 26), “[...] os problemas de matemática em geral têm uma

função cabalística: eles são literais nos valores numéricos, mas herméticos nas

relações entre esses números [...]” Para o autor ou se formulam questões mais abertas

ou o professor terá que ensinar o aluno a interpretar um problema, em primeiro lugar

como lê este problema e estabelecer as relações entre os números que dão sentido ao

problema.

Bicudo (1999), completa esta afirmação quando diz que a dificuldade dos alunos em ler

e compreender textos de problemas pode estar no fato de professores e livros didáticos

ainda trazerem problemas matemáticos de forma mecânica o que dificulta a

compreensão do aluno. Segundo a autora:

Como a escola é comprometida com o saber, a decoração de textos ou partes de livros didáticos, a repetição de informações apresentadas nas aulas foram mecanismos que camufla os insucessos na apropriação do saber. A memorização pode ocorrer sem compreensão. A falta de compreensão pode chegar a ponto de impedir que a informação tenha algum significado para o aluno e de comprometer sua transformação em conhecimento (BICUDO, 1999, p.15).

19

Já para Smole (2001), esta dificuldade está, entre outros fatores, ligada à ausência de

um trabalho específico com o texto do problema, e para que estas dificuldades sejam

superadas, são necessários cuidados com a leitura que o professor faz do problema,

que seja feito um projeto de intervenções didáticas destinadas a conduzir o aluno a ler e

compreender problemas de matemática com autonomia.

Polya (1978, p. 4), um dos pioneiros a trazer resolução de problema como proposta

para o ensino de matemática ressalta que “é uma tolice responder uma pergunta que

não tenha sido compreendida [...]” quando destaca os quatro estágios que compõem o

processo de resolução de problemas:

1- Compreensão do problema – O aluno analisa de forma detalhada o enunciado e

identifica as principais partes para encontrar os dados contidos no problema a

partir da leitura deste problema;

2- Estabelecimento de um plano – Neste estágio o aluno usa experiências já vividas

para disponibilizar métodos de solução que surgem após várias tentativas ou

repentinamente.

3- Execução do plano – Nesta fase o aluno examina os detalhes e seleciona o

método e o aplica para encontrar a solução.

4- Verificação da solução – O aluno verifica e interpreta a solução encontrada

checando se o resultado encontrado está correto e se há outro caminho para a

resolução do problema.

A linguagem no contexto aqui discutido é introduzida como a principal ferramenta no

âmbito de resolução de problemas. Segundo Bicudo (1999, p. 208), “ao invés de fazer

da resolução de problemas o foco do ensino da matemática, professores, autores de

livros, promotores de currículos e avaliadores de aprendizagem deveriam fazer da

compreensão (grifo nosso) seu ponto central e seu objetivo”.

20

Os PCN sustentam essas reflexões quando alertam:

Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da matemática; o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas [...], a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação de aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode aprender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas (BRASIL, 1998, p. 41).

Para Rabelo (2002, p. 25) existem duas questões básicas que geram dificuldades aos

alunos na resolução de problemas. Segundo o autor, a primeira, diz respeito à

dificuldade que os alunos têm de leitura e, portanto, de análise, causada,

principalmente, pela barreira da linguagem escrita, a segunda, diz respeito à

discriminação que o aluno tem pelos problemas matemáticos, muitas vezes típicos e

únicos trabalhados na escola.

Muitas vezes os problemas são colocados em sala de aula apenas como exercício, e

segundo Vasconcelos (2000), a resolução de problemas deve ser vista como

fundamental, e não como algo que se faz, eventualmente, no final de alguns capítulos

como aplicação dos assuntos matemáticos que até então foram aprendidos. A autora

ainda ressalta que é necessário encorajar os alunos a valorizar a matemática, a ganhar

confiança em suas capacidades matemáticas, tornar-se solucionadores de problemas

matemáticos e comunicar-se matematicamente. Menezes (2000b), completa que “a

importância do estudo do discurso da aula de Matemática advém do relevo que a

linguagem assume na interação comunicativa”.

21

CAPITULO III

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Nesta pesquisa foi desenvolvido um estudo de caráter qualitativo uma vez que se

pretendeu uma observação mais detalhada e uma compreensão mais ampla de um

contexto educativo.

O lócus da pesquisa foi o Colégio Estadual José da Silva Marques localizado na cidade

de Campo Formoso-BA, onde foi realizada uma pesquisa-ação com uma turma de 7ª

série, considerando que a sala de aula com os sujeitos que a compõem constitui um

campo de pesquisa que direciona a observação a todos os acontecimentos provocados

pelos sujeitos no decorrer das atividades investigativas, desde os mais importantes aos

considerados triviais. Diante desta perspectiva de pesquisa, os sujeitos interagindo com

os instrumentos de pesquisa, vale citar o que diz D’Ambrósio (1996, p 103) “é

focalizada no indivíduo, com toda a sua complexidade...”

Fiorentini e Lorenzato (2006) definem este tipo de pesquisa da seguinte forma:

É um tipo especial de pesquisa participante, em que o pesquisador se introduz no ambiente a ser estudado não só para observá-lo e compreendê-lo, mas, sobretudo para mudá-lo em direções que permitam a melhoria das práticas e maior liberdade de ação e de aprendizagem dos participantes (FIORENTINI; LORENZATO, 2006 p. 112).

Quanto aos instrumentos de investigação foram utilizadas as técnicas de entrevista

semi-estruturada, observação participante, diário de bordo e documentos escritos pelos

alunos.

22

3.1. Entrevista semi-estruturada

Segundo Ludke e André (1986), a entrevista constitui um dos instrumentos básicos para

a coleta de dados numa pesquisa sendo uma das principais técnicas de trabalho em

todos os tipos de pesquisa. Segundo as autoras a entrevista apresenta vantagens

sobre outros tipos de técnicas, pois permite ao investigador coletar imediatamente e de

forma corrente a informação desejada com qualquer informante sobre questões

variadas.

A entrevista semi-estruturada é um tipo de instrumento de coleta de dados com

questões organizadas previamente podendo ser alteradas de acordo com o

desenvolvimento da entrevista. Segundo Fiorentini (2006) ela articula tanto a entrevista

estruturada que traz perguntas precisas, previamente formuladas e organizadas, e não

estruturada que não apresenta um roteiro definido de questões permitindo ao

entrevistador um diálogo aberto com o informante podendo este abordar livremente um

determinado assunto.

Este instrumento foi utilizado com a professora e teve como finalidade a coleta de

informações consideradas relevantes para diagnóstico e a partir deste direcionar a

dinâmica dos trabalhos que foram desenvolvidos.

3.2. Observação participante

Segundo Marconi (1996), a observação participante consiste na participação real do

pesquisador com o meio em que estão inseridos os sujeitos participantes da

investigação. Ele se introduz neste meio e participa das atividades normais deste.

Os trabalhos de investigação aconteceram no período de 17 de março a 26 de maio de

2008 durante as atividades de planejamento e no contexto da sala de aula,

direcionados por uma intervenção conjunta (professor e pesquisador).

23

Inicialmente foi realizada uma observação em sala de aula das atividades propostas e

desenvolvidas pela professora regente. Esta observação teve por objetivo analisar a

capacidade do aluno na leitura e compreensão de textos matemáticos. Em seguida foi

feita a análise dessas atividades cujo objeto de análise se deu através de um olhar

crítico em torno das próprias atividades observadas, uma vez que estas não

corresponderam ao objetivo traçado pela pesquisadora.

A partir dessa análise foi proposto um planejamento de novas atividades, proposta esta

feita em conjunto com a professora de onde surgiram novas análises e novos

planejamentos. Esse processo foi composto por quatro atividades, cada uma planejada

analisada e replanejada, desta forma foi desenvolvido um ciclo sucessivo como propõe

Fiorentini e Lorenzato (2006) que associam os momentos da pesquisa-ação ao

movimento de uma espiral auto-reflexiva.

Neste contexto houve o envolvimento da investigadora dentro do campo de estudo no

processo de coleta de dados, deixando claro o objetivo da investigação como destaca

Marconi (1996, p. 82), “O objetivo inicial seria ganhar a confiança do grupo, fazer os

indivíduos compreenderem a importância da investigação, sem ocultar seu objetivo”.

A turma participante da atividade investigativa e interventora é composta por 35 alunos

que foram divididos em dupla para a realização dos trabalhos por se considerar a forma

mais adequada à proposta da investigação. Inicialmente a pesquisa aconteceu durante

o horário normal da aula, sendo posteriormente, a partir das atividades de intervenção,

desenvolvida em turno oposto. Esta mudança ocorreu devido à alteração constante do

horário de aulas da escola sendo que na ultima alteração houve incompatibilidade de

horários com outras atividades já desenvolvidas paralelamente pela pesquisadora.

Todas as atividades de intervenção foram desenvolvidas dentro do conteúdo já

programado pela professora regente a ser trabalhado na unidade. As atividades aqui

trabalhadas compreendem NÚMEROS RACIONAIS: Representação decimal dos

24

números racionais e representação percentual dos números racionais, e INTRODUÇÃO

AOS NÚMEROS IRRACIONAIS.

A primeira atividade foi composta por três problemas baseados no conteúdo que estava

sendo estudado (Representação decimal dos números racionais) selecionados do livro

didático adotado pela escola e utilizado em sala de aula. Esta atividade teve como

objetivo analisar além da capacidade do aluno na leitura e interpretação de textos

matemáticos, os problemas apresentados pelo livro didático.

A segunda atividade envolveu o conteúdo Representação percentual dos números

racionais. A partir da análise da primeira atividade se propôs uma nova perspectiva de

trabalho onde se priorizou a leitura e interpretação de texto bem como a

contextualização do conteúdo a ser trabalhado para que o aluno tivesse uma melhor

compreensão do assunto. Nesta etapa se buscou a mobilização do aluno na

socialização de suas idéias e estratégias tanto na escrita como oralmente.

A terceira atividade ainda aborda o conteúdo trabalhado na segunda. Foi selecionado

um problema proposto pelo livro didático que envolve imposto de renda sendo feitas

algumas adaptações na abordagem deste problema. Nesta etapa se pretendeu fazer

um estudo prévio com caráter investigativo do assunto abordado pela questão para só a

partir deste estudo se fazer a resolução do problema.

A quarta atividade foi desenvolvida com a finalidade de introduzir números irracionais e

traz uma atividade de caráter investigativo.

3.3. Diário de Bordo

É um instrumento de coleta de dados que permite ao investigador anotar durante as

observações os acontecimentos observados. Segundo Fiorentini e Lorenzato(2006):

25

É um dos instrumentos mais ricos de informação durante o trabalho de campo. É nele que o pesquisador registra observações de fenômenos, faz descrições de pessoas e cenário, descreve episódios ou retrata diálogos (FIORENTINI; LORENZATO, 2006 p. 119).

Durante a observação participante nas reuniões de planejamento e durante as

atividades em sala de aula foi utilizado o diário de bordo. Nas reuniões foram feitas

anotações em torno das propostas de ensino do professor e das intervenções proposta

pelo investigador, e na sala de aula registramos observações em torno da exposição e

execução das atividades que foram propostas. Neste contexto foi observado o diálogo

dos alunos entre si e com o pesquisador a cerca da comunicação matemática: como

interpretaram e compreenderam os enunciados do problema e como desenvolveram as

estratégias para chegar ao resultado.

3.4. Documentos escritos pelos alunos

Segundo Guba e Lincoln (apud Ludke; André, 1986) o uso de documentos em pesquisa

apresentam vantagens por constituírem numa fonte de riqueza e estabilidade que

resiste ao longo do tempo podendo serem consultados várias vezes, e, inclusive servir

como base para outros estudos.

Para isto, foi solicitado dos alunos que fizessem anotações durante a execução das

tarefas a cerca de como entenderam o problema, quais estratégias utilizaram para a

resolução do problema e da apresentação dos resultados obtidos. Nesta etapa

pretendeu-se analisar os documentos escritos pelas duplas considerando aspectos

como a capacidade de leitura e interpretação do enunciado do problema e também, da

capacidade da linguagem escrita.

Dentre os 35 alunos que compõe a sala de aula apenas 10 alunos, ou seja, cinco

duplas foram selecionadas previamente e de modo aleatório para a coleta de

documentos para análise de todas as atividades. Todos os alunos tiveram

conhecimento desta metodologia de trabalho havendo um entendimento da turma. Esta

26

estratégia foi utilizada por se entender que um número maior de material poderia

dificultar o processo de análise, já que se trata de uma pesquisa de cunho qualitativo

dentro de uma complexidade e se pretendeu obter uma maior qualidade nas análises

desses documentos; bem como um controle maior da evolução/contribuição das

atividades. Contudo, quando foi utilizada a transcrição de alguns diálogos nas

atividades de intervenção são mencionados outros alunos uma vez que a intervenção

foi feita coletivamente.

27

CAPÍTULO IV

ANÁLISE DE DADOS E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS

Os resultados deste estudo estão organizados em três etapas. A primeiro corresponde

à entrevista realizada com a professora; Na segunda etapa serão analisadas as

atividades propostas e desenvolvidas pela professora; e a terceira discorrerá sobre as

atividades de intervenção propostas pela pesquisadora em conjunto com a professora e

estão classificadas em atividade 1, atividade 2, atividade 3 e atividade 4.

4.1. Um olhar sobre o ensino aprendizagem dos alunos – A visão do professor

A entrevista com a professora regente ocorreu no próprio espaço da escola lócus da

pesquisa. Os pontos foram abordados tomando como base um roteiro pré-estabelecido

(ANEXO 1). Houve algumas mudanças na direção das perguntas ao longo da conversa,

como era de se esperar, por se tratar de uma entrevista semi-estruturada. Com esta

dinâmica foi possível construir um mapeamento referente ao trabalho da professora,

seus anseios e atitudes diante de sua metodologia de ensino.

Através da entrevista realizada com a professora pôde-se observar que existe uma

preocupação com a escolha da metodologia de trabalho. Existe uma sintonia com a

proposta trazida pela pesquisa quando a mesma destaca a resolução de problemas e a

e o uso da linguagem como aspectos importantes para a aprendizagem de matemática.

“Considero importante, primeiramente que os alunos tenham domínio das operações, de resolução de

problemas e interpretação da linguagem”.

28

Entretanto há uma incoerência entre as falas, pois é relatado que dificilmente se

trabalha através de resolução de problemas.

“Raras vezes trabalho com resolução de problemas”.

Percebe-se uma compreensão equivocada quanto à utilização de novas metodologias

de ensino quando a escassez de material é apontada como causa da falta de

criatividade para a utilização de uma nova metodologia e que na maioria das vezes as

aulas transcorrem através de aulas expositivas, considerando que o importante é que

durante a aula se use uma linguagem acessível ao aluno.

“Ninguém nos disponibiliza material, falta fonte para se trabalhar com metodologias diferentes todos os

dias. Mas eu acredito que o importante é usar uma linguagem simples na explicação dos conteúdos para

que o aluno entenda. Muitas vezes isso é mais eficiente que qualquer tipo de metodologia, às vezes

funciona até melhor que utilizar material concreto, por exemplo”.

Sobre a abordagem dos conteúdos matemáticos através de resolução de problemas,

Bicudo entende que:

[...] Ensinar matemática através da resolução de problemas é a abordagem mais consistente com as recomendações do NCTM e dos PCN, pois conceitos e habilidades matemáticas são aprendidos no contexto e resolução de problemas (BICUDO, 1999, p. 207).

Quanto às atividades em grupo há uma ênfase na aprendizagem individualizada,

todavia a comunicação das experiências matemáticas entre os alunos é considerada

importante.

“Trabalho mais individualmente. Às vezes trabalho com eles também em grupo ou em dupla, mas é raro.

Porque eles ficam muito acomodados, uns se encostando aos outros e sempre quem acaba fazendo a

atividade é aquele que sabe mais, então o que sabe menos não aprende.”

29

“Sim, considero importante que eles se comuniquem. Porque um pode transmitir o que aprendeu para o

outro. Eles aprendem uns com os outros. Outro dia quando um aluno foi no quadro resolver uma questão

e explicou como fez, outro aluno falou: ‘Ah! professora agora eu já sei responder’”.

Sobre essa comunicação Toledo (1997), orienta que após o aluno resolver um

problema sozinho se deve formar duplas para a discussão das idéias e estratégias

utilizadas, pois isso ajuda o aluno a se expressar e entender o ponto de vista de outras

pessoas. Já para Cavalcante (2001, p. 127) para que se exista a comunicação oral a

resolução dos problemas deve ser feita em grupos. A autora diz que “[...] Propor que

resolvam em pequenos grupos é uma forma de assegurar que todas as crianças falem

e sejam ouvidas, recebendo do interlocutor suas opiniões”.

Quando perguntada sobre os critérios utilizados para a seleção dos problemas a serem

trabalhados em sala de aula, a professora diz que procura fazer todos os problemas

trazidos pelo livro didático, embora em outro trecho da entrevista diga que estes

problemas trazidos pelo livro estejam com alto nível de dificuldade, inclusive para o

próprio professor.

Diniz (2001, p. 101) traz uma reflexão em torno dos problemas dos livros didáticos.

Segundo ela, “é preciso destacar que não é possível realizar o trabalho que se propôs

com todos os problemas de livro. Há problemas tão pobres e desinteressantes, que não

permitem qualquer exploração”. Esta dinâmica será percebida ao longo da pesquisa.

Com referência à exploração de problemas existe um entendimento de que o aluno

deve ler o problema e interpretá-lo para descobrir as estratégias de resolução.

“Como eu exploro? Ah, o aluno deve primeiramente ler o problema, depois interpretar para descobrir

quais as operações que ele deve utilizar para resolver o problema”.

Existe uma coerência entre fala da professora, a proposta da pesquisa e com o que

defende Carvalho (2005 p. 18). Para a autora “Na resolução de problemas, o aluno

30

deve ler e interpretar as informações nele contidas, criar uma estratégia de solução,

aplicar e confrontar a solução encontrada [...]”.

Outra observação considerada relevante diz respeito ao fato de ser dito que é

priorizado mais a escrita do que a oralidade.

“O que eu puder fazer para que eles se comuniquem eu faço, embora seja raro. Quando estimulo a

comunicação, desenvolvo mais a escrita, mas também trabalho com a oralidade”

Considera-se que ambas sejam importantes para a aprendizagem dos conceitos

matemáticos. Como ressalta Cândido (2001, p. 23) “... A escrita junta-se ao oral e ao

desenho pra ser usada como mais um recurso de representação das idéias dos

alunos”.

Quanto à linguagem, oralidade e comunicação, a professora aponta que os alunos que

se comunicam têm mais facilidade na resolução dos problemas o que reforça a teoria

de Carvalho (2005) que destaca que a linguagem desempenha um papel fundamental

na resolução de problemas matemáticos.

4.2. Uma visão do contexto de sala de aula

Após a entrevista, foi realizada uma observação das atividades realizadas pela

professora em sala de aula que tinha por objetivo analisar a capacidade do aluno em

ler, interpretar e compreender textos matemáticos.

Esta observação teve duração de duas semanas e traz alguns elementos que precisam

ser considerados:

1)As atividades foram aplicadas após uma aula expositiva;

2) O livro didático foi utilizado como base para a seleção das atividades;

31

3) Nessas atividades foram trabalhadas questões mais tradicionais e diretas como, por

exemplo: Escreva as frações abaixo na forma decimal, Destaque as dízimas periódicas

simples das compostas;

4) Não houve resolução por parte dos alunos

5) A resolução foi feita pela professora no quadro ela mesma fazendo a leitura das

questões e buscando a participação dos alunos na interpretação das mesmas.

O método de resolução de problemas aqui não foi utilizado, havendo apenas resolução

de exercícios, contradizendo esta situação Carvalho (2005), diz que é importante

contextualizar as operações a serem trabalhadas em uma atividade sob pena de se

está apenas reforçando um exercício.

Durante esta observação percebeu-se que foram poucos os alunos que participaram

efetivamente da aula e estes alunos apresentaram certa facilidade de comunicação

oral.

Não foi possível fazer uma análise atendendo ao primeiro objetivo da pesquisa através

das atividades que foram trabalhadas durante as aulas como previsto, ou seja, não foi

possível detectar nesse momento se os alunos seriam capazes de compreender os

enunciados de problemas. Diante disso surgiu a proposta de desenvolver uma nova

atividade onde se pudesse fazer esse tipo de análise.

4.3. Atividades de Intervenção

4.3.1. Atividade 1 – Representação decimal dos números racionais

Essa atividade foi desenvolvida no horário normal de aula. A turma foi dividida em dupla

e entregue para cada dupla uma folha com as questões e mais duas folhas em branco

32

onde eles deveriam fazer as anotações. Antes do início do trabalho, foram escolhidas

aleatoriamente 05 (cinco) duplas para recolhimento das atividades. A orientação da

atividade era feita pela pesquisadora e professora havendo um acompanhamento maior

da pesquisadora com as duplas selecionadas que foram classificadas em:

JA e WD - LE e JAN - MAY e MA - LU e RAF - JAC e RAV

Os códigos acima foram adotados diante da necessidade de preservação da identidade

dos alunos participantes da pesquisa como orientam Fiorentini e Lorenzato (2006) que

defendem que no relato de pesquisa é necessário que se preserve a integridade física e

a imagem pública dos sujeitos. Para a identificação da fala da pesquisadora durante os

diálogos foi utilizada a letra P.

Foram selecionados quatro problemas do livro didático4 utilizado em sala de aula e

solicitado aos alunos que lessem as questões propostas, escrevessem o que

entenderam e após a resolução explicassem como chegaram ao resultado. (ANEXO 2).

No desenvolvimento da atividade cada dupla leu também os enunciados em voz alta

para a pesquisadora.

A realização dessa atividade teve como finalidade analisar além da capacidade do

aluno de leitura e interpretação de enunciado dos problemas, a clareza das questões

apresentadas pelo livro didático, motivo pelo qual se decidiu utilizá-lo nessa etapa da

investigação.

4 BONJORNO, José Roberto. Matemática: fazendo a diferença/ José Bonjorno, Regina Azenha Bonjorno,

Ayrton Alivares –. 1 ed. – São Paulo: FTD, 2006.

33

O primeiro problema pede para encontrar a média da idade e da altura das atletas de

um time de basquete através da leitura dos dados apresentados em forma de tabela.

Das cinco duplas, apenas duas (JA e WD, MAY e MA) leram e interpretaram o

problema corretamente como mostram os textos abaixo:

Interpretação da dupla JA e WD

Interpretação da dupla MAY e MA

Apesar de terem compreendido o enunciado do problema as duplas acima

apresentaram resultados errados. O resultado da soma da idade seria 103 que

dividindo por 5 teria como resultado da média da idade 20,6 anos. Ambas as duplas

apresentaram como resultado 2,6. A segunda dupla fez a soma corretamente errando

apenas na divisão enquanto que a primeira errou também na soma.

34

JA e WD MAY e MA

Os alunos enfrentaram dificuldade em interpretar seus resultados, ou não se atentaram

para a verificação deste. Não cumprindo, desta forma, a última fase de resolução de

problema trazida por Polya (1978) e citado no início deste trabalho que trata da

verificação e interpretação do resultado, verificando se este está correto.

Houve uma intervenção no sentido de fazer com que esses alunos relacionassem suas

respostas com o que estava sendo solicitado no problema, verificando se havia ou não

uma relação entre as mesmas. Caso não houvesse eles deveriam analisar

cuidadosamente o problema e buscar uma nova estratégia de resolução.

JA e WD

P – A resposta foi qual?

WD – Dois vírgula seis.

JA – Que é a média da idade das jogadoras.

P – Certo. Jogadoras de que?

JA – De basquete.

P – Uma pessoa com menos de três anos de idade pode jogar basquete?

WD – Depende da disposição (risos).

JA – Não. São pequenininhas de mais, a resposta está errada.

MAY e MA

MA – Dois vírgula seis.

35

P – Dois vírgula seis, o que?

MAY – Anos.

P – É uma criança não é?

MAY – É.

MA – Então ainda não joga basquete.

P – Exatamente. Isso mostra que nós erramos em algum lugar na divisão. Vamos fazê-la novamente?

MAY – Vamos.

Esta intervenção encontra embasamento no que diz Carvalho (2005, p. 20), “Se o

problema não tem insuficiência de dados e tem uma resposta, o que há são diferentes

estratégias para se chegar à solução, por isso o aluno deve ser questionado sobre a

forma como ele resolveu o problema para repensar a sua resposta”.

Os alunos cometem erros, por enfrentarem dificuldades em operar com número

decimal. Essas dificuldades são expressas pelos próprios alunos como se pode

observar pelos diálogos durante a intervenção do pesquisador:

JA e WD

P – Como vocês obtiveram um número decimal como resultado da soma?

JA – Porque na hora de dividir tivemos que colocar a vírgula entre o dois e o seis, por isso tinha que

colocar a vírgula também entre o 10 e o 3.

..........................................................................................................................................................

WD – Ah, mas eu não sei resolver essa conta não!!

JA – Professora a gente não sabe onde colocar a vírgula.

MAY e MA

MAY – E agora professora, como é que faz? Aqui tem uma vírgula, mas eu não sei como eu coloco. A

gente coloca um zero ou não?

36

Após uma breve intervenção os alunos conseguem solucionar a questão sem

apresentarem muitas dificuldades. Sobre os erros do aluno e a intervenção do professor

Carvalho se manifesta:

O aluno que se sente acolhido pelo professor e pela classe não tem medo ou vergonha de explicitar seu raciocínio, não tem medo de errar. Se o aluno erra ao dar uma resposta e explica como “pensou” para encontrá-la, o professor sabe onde e quando intervir, identificando as relações que o aluno está fazendo para construir as respostas (CARVALHO, 2005, p. 20).

A dupla JA e WD encontraram a média da altura das jogadoras sem dificuldade, porém

a dupla MAY e MA ainda apresentaram dificuldade ainda com a operação com os

números decimais.

MAY e MA

Os alunos LE e JAN demonstraram dificuldade em compreender como se encontra a

média. Isso fica perceptível quando apresentaram como resultado da média da idade

das jogadoras 10,3. Resultado que após o aluno refazer a soma encontra o resultado

103. Para esses alunos o resultado da soma seria a média que após uma rápida

intervenção percebem que para encontrar a média tem que dividir pelo número de

jogadoras. A partir dessa intervenção os alunos fizeram a resolução encontrando

corretamente tanto a média da idade quanto a média da altura das jogadoras

apresentadas pela questão.

37

A dupla LU e RAF de início não tentou resolver o problema, solicitando a ajuda da

pesquisadora. Uma das alunas que compõe a dupla apresentou resistência em resolver

o problema e se mostrou incomodada com a atividade demonstrando insegurança em

resolver os problemas propostos. Mesmo quando solicitado para que essa aluna fizesse

a leitura do problema ela resistiu.

LU – Professora, nós não estamos entendendo é nada! Meu Deus! Se eu soubesse que ia fazer esse

negócio aqui eu nem tinha vindo hoje.

P – Calma! Por que tanta angústia?

LU – Eu não entendo nada. Explique pra ela (apontando para a colega) porque eu não vou entender

mesmo.

....................................................................................................................................................

P – Leia a questão então.

LU – Não, a RAF lê. Vai RAF lê!

Essa dupla resolveu a questão com o auxílio da pesquisadora. Sobre esta situação

Toledo e Toledo (1997, p. 84) ressalta que “cabe ao professor criar um ambiente de

tranqüilidade, em que o aluno não tenha medo de estabelecer e testar hipóteses

mesmo correndo o risco de errar”. A autora ressalta ainda que cabe ao professor

também mostrar possíveis estratégias de resolução.

Já a dupla JAC e RAV nem tentaram resolver o problema nem aceitaram a ajuda da

pesquisadora.

JAC – Uns problemas, chatos, difíceis!

Percebe-se uma certa discriminação quanto ao problema proposto. Sobre isso Rabelo

(2002), traz uma reflexão:

Como a ênfase do ensino está na informação, procura-se fornecer o maior número possível de problemas típicos. Mas esses são enfrentados com certa discriminação pelo próprio fato de serem desconhecidos (RABELO, 2002 p. 64).

38

O segundo problema pede para o aluno desenhar uma reta como todos os elementos

(origem e seta indicando o sentido positivo) adotando dois centímetros como unidade

de medida. Na letra a é solicitado que o aluno marque dois pontos que distem 6 cm da

origem e em seguida aponte qual é abcissa de cada um desses pontos. Na letra b,

pede que sejam marcados os pontos A, B e C de abcissas respectivamente iguais a -2,

+1 e +2 cm.

Apenas as duplas JA e WD, MAY e MA resolveram o problema, ambas com a

intervenção da pesquisadora. Os alunos alegaram não saber como resolver a questão e

mesmo com a ajuda se mostraram confusos na interpretação do problema. Os alunos

reclamam que a questão traz muita informação, e ainda apresentam desconhecimento

de algumas palavras contidas no enunciado do problema. Smole e Diniz atribuem essas

dificuldades enfrentadas pelo aluno à forma como os problemas são escritos:

O estilo no qual os problemas de matemática geralmente são escritos, a falta de compreensão de um conceito envolvido no problema, o uso de termos específicos de matemática que, portanto, não fazem parte do cotidiano do aluno... – podem constituir-se em obstáculos para que ocorra a compreensão (SMOLE; DINIZ 2001, p. 72).

P – Agora vamos entender.

WD – Professora é muita coisa que essa questão pede!

...........................................................................................................................................

P – Já leram?

MAY – Já, mas não entendemos. É muita coisa pra gente compreender.

Para essas duplas, foi solicitado que refizessem a leitura e a partir daí se auxiliou cada

uma na interpretação do problema direcionando os alunos a considerarem cada uma

das informações trazidas pela questão por parte. Ambas as duplas compreendem a

origem como sendo o zero. Os alunos JA e WD disseram não saber o significado da

39

palavra extremidade, e a MAY e MA mostram não ter segurança do significado dessa

palavra.

JA e WD

WD – “... marque uma seta em uma das extremidades para indicar o sentido positivo...” Mas eu não sei o

que significa extremidade.

P – Vocês sabem o significado da palavra extremidade JA?

JA – hummm... Não

P – Extremidade, como o nome já diz é relativo aos extremos, ou seja, são as pontas da reta.

O aluno WD marcou uma seta em cada uma das extremidades da reta, considerando o

que foi explicado sobre o significado da palavra extremidade pela pesquisadora:

“Extremidade, como o nome já diz é relativo aos extremos, ou seja, são as pontas da

reta”. Houve uma priorização no que se escutou e não foi feito uma nova leitura do do

problema para compreensão do mesmo.

P – Porque você colocou a seta nas duas pontas?

WD – Porque são as duas extremidades.

Foi solicitado aos alunos que refizessem a leitura do problema e tentassem

compreender o que estava sendo solicitado:

P – Vamos entender a questão. Ela diz que é para colocar a seta onde mesmo?

JA– Em uma das extremidades.

P – Certo, e o que mais ela diz?

JA – Para indicar o sentido positivo.

P – Então onde fica a seta?

WD – Já sei, no sentido a direita do zero.

P – Isso! Agora tentem resolver a letra a

Após algum tempo os alunos chamam a pesquisadora e apresentam seu resultado e

justificando o mesmo.

40

JA e WD

WD – Professora, eu já sei. Os dois pontos é três e menos três, porque a unidade de medida é dois

centímetros, como a distância é seis centímetros a gente divide por dois.

MAY e MA

P – E ela pede pra colocar a seta onde?

MAY – nas extremidades.

P – E vocês sabem o que são extremidades?

MAY – Aqui? (a aluna aponta para as duas pontas da reta)

Uma observação considerada relevante: A dupla marcou a seta no sentido negativo da

reta. Essa atitude não foi de desconhecimento dos alunos e sim de não ter feito uma

leitura correta do problema.

P – A questão pede pra colocar a seta em que sentido?

MAY – No sentido positivo.

P – E os valores que estão à esquerda do zero são positivos ou negativos?

MAY – Negativos.

P – Então, se eu quero colocar a minha seta no sentido positivo eu devo colocá-la pra que lado do zero?

MA – À direita.

Ambas as duplas disseram desconhecer o significado das palavras abscissas e

respectivamente. E isso fica claro nas respostas apresentadas.

41

Para resolver a primeira questão, a Dupla MAY e MA desenhou uma reta com o

primeiro ponto a partir da origem representado pela letra B e o segundo ponto

representado pela letra A.

MAY e MA

P – Com esses pontos que você colocou a distância de zero a B é quanto?

MA – É dois centímetros.

P – E de A?

MA – Quatro centímetros.

P – E qual é a distância que a questão atribui de zero a cada ponto?

MAY – Seis centímetros, a questão diz “distem” que quer dizer distância não é?

Após a intervenção a dupla apresentou como resultado os pontos -3 e 3.

Na resolução da segunda questão, a dupla JA e WD desenhou a reta colocando o zero

no centro, coloca uma seta em cada uma das extremidades da reta e marca os três

pontos A, B e C, porém nenhum desses pontos são respectivamente iguais aos valores

-2, +1 e +2 como solicita a questão.

Os alunos explicaram (por escrito) que pelo que entenderam da questão teria que

colocar o ponto A antes do -2, o ponto B depois do -2 e o ponto C depois do +2. A partir

42

da interpretação da resposta da dupla foi feita uma intervenção como mostra o diálogo

a seguir:

P – Agora a questão diz que esses pontos devem ter abscissas respectivamente iguais a...?

WD – A menos dois, um e dois.

P – Vocês sabem o que significa a palavra respectivamente?

JA – Eu não sei.

WD – Significa que vem depois, não é não?

P – Será?

P – Respectivamente significa que cada letra tem que se corresponder com cada número dado na ordem

em que estão.

WD – então o A tem que se relacionar com o dois...

P – Com o dois ou o menos dois?

WD – Ah, o menos dois, e o B com o um e o C com o dois. É isso?

A dupla MAY e MA se mostram confusos em resolver a segunda questão.

MA - Professora essa questão aqui é na mesma reta, não é?

Esse questionamento do aluno mostra que os problemas trazidos pelo livro didático

apresentam ambigüidade. O aluno só chega a uma conclusão de que não é possível

representar a situação apresentada na segunda questão na mesma reta que a situação

apresentada pela primeira, a partir de uma análise detalhada com ajuda do

pesquisador. De fato, o problema não deixa claro essa condição. Concordamos com

Diniz (2001) quando diz que não se pode atribuir o fracasso da resolução de um

problema convencional à falta de interpretação de textos do aluno. Existem casos que,

de fato existe uma imprecisão nos textos dos problemas a serem trabalhados.

O terceiro problema pede para verificar se a dízima 6,32455532... encontrada a partir

do cálculo de √40, é uma dízima infinita e periódica ou infinita e não periódica.

43

Das cinco duplas selecionadas apenas uma (LU e RAF) não respondeu a questão. As

demais duplas utilizaram conhecimento adquirido durante a aula para sistematizarem

suas respostas.

Duas das quatro duplas (JA e WD, MAY e MA) afirmam que a representação é uma

dízima infinita e periódica. Esses alunos Justificam a infinidade da dízima pela

existência da reticência, e não periodicidade pela existência de partes não periódica.

A dupla JA e WD atribui a repetição do número 5 como sendo período, mas como

existem números antes e depois destes que não se repetem os alunos concluem que a

dízima é não periódica.

JA e WD

A dupla MAY e MA vão além e já atribuem essa dízima como sendo um número

irracional.

MAY e MA

Analisando a resposta da dupla LE e JAN se percebe que a resposta está confusa, não

se compreende o que de fato os alunos querem responder.

44

LE e JAN

A partir de um diálogo com os alunos se constata que os alunos sabem qual a resposta,

porém apresentam dificuldade em se expressar na escrita. Rabelo (2002, p. 63) explica

essa situação lembrando que “Durante toda a tarefa da aprendizagem, o aluno

encontra-se constantemente sob ‘pressão verbal’ e por isso se esbarra na barreira

idiomática – a linguagem escrita”.

P – Qual é a resposta?

JAN – É uma dizima não periódica.

P – Por quê ela é não periódica?

LE – Ah porque os números não se repetem.

Pela resposta da dupla JAC e RAV se percebe uma falta de dedicação em responder a

questão, como que querendo concluir logo a atividade.

JAC e RAV

O quarto problema diz que a idade de Ana Paula dividida pela idade de Andréia gerou a

dízima 0,3888... e pede para que se encontre a idade de cada uma.

Para solucionar este problema os alunos teriam que encontrar como resultado uma

fração, onde o numerador seria a idade de Ana Paula e o denominador seria a idade de

Andréia. Nas atividades anteriores e que a professora quem respondeu no quadro

tinham questões que envolviam fração geratriz, porém tinham resolução de forma direta

como, por exemplo, encontre a fração que gerou a dízima 1,222...

45

As duplas LU e RAF, JAC e RAV se recusaram a resolver o problema e as outras

duplas que se dispuseram a resolver o problema apresentaram dificuldade tanto na

compreensão do enunciado quanto na resolução. Pois este apresenta uma situação

diferente dos exemplos apresentados pelo livro e trabalhados durante a aula.

Os alunos JA e WD disseram não compreender o problema. Entenderam que o

problema lembra de fração geratriz pela palavra gerou. Embora eles lembrassem que

já haviam sido trabalhados em sala de aula exemplos de fração geratriz, não

conseguiram compreender que, no contexto do problema, o resultado da idade de Ana

e de Andréia forma uma fração que é a fração geratriz.

JA e WD

WD – Não entendemos essa questão.

P – Leia ela pra mim.

O aluno WD lê a questão corretamente

P – O que entendeu?

WD – Não entendi nada.

P – E você JA, entendeu o que?

JA – Também nada.

P – Lembram que a professora trabalhou com vocês em sala a fração geratriz?

JA – Sim.

P – Essa questão lembra a vocês alguma coisa sobre fração geratriz?

W – Sim, existe a palavra gerou que significa gerar como a professora falou.

P – Isso!!

WD – Mas lá a gente achava uma fração, aqui ta pedindo pra achar a idade!

A dupla LE e JAN não compreenderam o problema e mesmo quando os alunos foram

orientados pela pesquisadora mostraram total desconhecimento do assunto. É como se

nunca tivessem visto o conteúdo.

P – Vocês podem ler a questão pra mim?

A leitura foi feita pelo aluno LE

46

P – O que é que ela está pedindo?

LE – Não sei, eu não lembro desse assunto.

..........................................................................................

P – Mas vocês sabem o que quer dizer fração geratriz?

J AN – Também não.

Após a intervenção da pesquisadora os alunos entenderam que o problema tem como

solução uma fração, onde o numerador é a idade de Ana Paula e o denominador é a

idade de Andréia, porém mesmo assim disseram não saber como resolver.

P – A idade de Ana Paula dividida pela idade de Andréia... Isso não pode ser representado por uma

fração?

LE – Pode.

P – por que?

LE – Por que um ta dividindo pelo outro.

P – E quem está no numerador e quem está no denominador?

LE – Eu não lembro disso.

P – E você JAN?

JAN – Não

P – O numerador fica sobre o denominador. Então vocês podem me dizer onde fica o número que

representa a idade de cada uma?

LE – Sei não.

P – Qual idade vai ser dividida?

JAN – A idade de Ana Paula. Então é ela que fica em cima?

P – Sim, o número que divide é sempre o numerador.

LE – Entendi, mas eu não lembro como se resolve a fração geratriz

P – Você não lembra como acha a geração geratriz, é isso?

LE – Sim.

MAY e MA

A dupla leu e interpretou corretamente a questão, porém apresentou dificuldade na

resolução pelo fato do problema apresentar uma dízima com parte não periódica.

MAY – Professora eu compreendi a questão só que eu não sei como resolver porque tem uma parte não

periódica e a gente não aprendeu fazer assim.

P – O que vocês entenderam?

47

MAY – Aqui nós vamos ter que encontrar uma fração, não é isso?

P – E você sabe como faz?

MAY – Não

MA – Nós nunca fizemos um exemplo com essa parte não periódica aqui.

Como todos os alunos apresentaram grandes dificuldades com o problema foi feita uma

intervenção da pesquisadora fazendo a leitura e resolução do problema no quadro com

a participação dos alunos na leitura e no processo de resolução. Segundo Carvalho

(2005), para que o aluno possa ler e entender o problema é interessante que esse

problema seja explorado oralmente.

Processo de resolução do problema:

x = 0,3888

100x = 38,88

(nessa etapa com a resolução que foi trabalhada em sala de aula era só

subtrair a 2ª linha pela 1ª para encontrar 99x e do outro lado da igualdade

apenas o número inteiro. O que nessa questão não é possível, pois existe

na dízima uma parte não periódica, necessitando para isso mudança de

estratégia. Tarefa que nenhuma das duplas conseguiu fazer)

x = 0,3888

100x = 38,88

100x = 38 + 0,88 → x = 0,88 → 10x = 8,88 → 9x = 8 → x = 8/9

100x = 38 + 8

9

900x = 342 + 8

900x = 350

x = 350

900

x = 7

18

48

Todos os alunos apresentaram dificuldade em compreender o mmc, alegando que

nunca estudaram esse assunto. Foi necessário se trabalhar o processo de resolução de

mmc para solucionar o problema.

Alguns alunos ainda enfrentam dificuldade em apontar a idade de Ana Paula e a idade

de Andréia.

A partir dessa análise houve um planejamento de uma atividade com uma nova

perspectiva, onde há a priorização de trabalhar o conteúdo através da leitura e

interpretação de texto desta forma contextualizando o conteúdo a ser trabalhado.

4.3.2. Atividade 2 – Representação percentual dos números racionais Nesta etapa se introduziu o conteúdo através de um texto com a finalidade de discutir o

conteúdo dentro de um contexto. Para isso foi selecionado um texto que trata da

inflação dos preços dos ingressos no Campeonato Paulista, extraído da Folha Online

em 12 de abril de 2008 (ANEXO 3). A escolha deste texto teve como critério a busca de

um material em que se pudesse abordar o conteúdo a ser estudado e que tivesse uma

linguagem acessível ao nível escolar dos alunos. Segundo Dante (2005, p. 24) 5, “Os

alunos podem melhorar a leitura e interpretação de textos lendo notícias de jornais e

revistas que contenham dados numéricos”.

Para direcionar o estudo foram estabelecidas as seguintes estratégias metodológicas:

• Leitura (em dupla) do texto e discussão sobre o tema abordado;

• Escrita da interpretação de cada dupla;

5 Manual Pedagógico do Professor

49

• Discussão do texto com mediação da professora (Socialização da interpretação

de cada dupla);

• Análise do texto tendo como orientação algumas questões exploratórias;

• Estudar, a partir das questões exploratórias, as formas de resolução de

porcentagem.

Inicialmente, foi solicitado aos alunos que, lessem o texto discutissem entre si, em

seguida escrevessem o que entenderam. Para Smole (2001, p. 47) “... Desenvolver

habilidades de leitura e escrita deve ser tarefa de todos os professores em qualquer

área do conhecimento”. Segundo a mesma autora o trabalho de escrita em sala de aula

leva o aluno a descobrir a importância da língua escrita enquanto aprendem as idéias

matemáticas.

4.3.2.1. A escrita – Interpretação do texto

A maioria das duplas apresenta as interpretações em forma de resumos, mostrando

apenas cópias de trechos do texto e não a compreensão do aluno em relação ao texto.

Isso demonstra a pouca habilidade do aluno em compreensão de texto, ou de se

expressar através da escrita. O que coube algumas intervenções.

LU e RAF

50

Smole (2001, p. 41) se manifesta à cerca da escrita da seguinte forma: “A escrita em

matemática também é marcada por idas e vindas, no qual os cuidados do professor são

determinantes[...]” Já sobre compreensão de texto essa mesma autora diz que a

compreensão de um texto é difícil por envolver interpretação. Decodificação, análise,

síntese, seleção e autocorreção. Quanto maior a compreensão do texto mais o leitor

poderá aprender a partir da leitura deste texto.

Algumas duplas apresentam, ainda que discretamente, uma interpretação própria como

pode ser observado nos textos abaixo:

Primeiro parágrafo – JA e WD

Primeiro parágrafo – MAY e MA

Primeiro parágrafo – LE e JAN

51

Embora o estudo tenha sido em dupla as respostas têm características individuais como

“entendi que” com exceção da interpretação apresentada pela dupla MAY e MA que

traz uma impessoalidade no texto mostrando uma interpretação própria.

Como mostram os textos acima, os alunos JA e WD entenderam que o aumento do

valor dos ingressos aumentam por conta dos clássicos, enquanto que LE e JAN

disseram que o que aumenta são as vendas do ingresso; ambas as duplas fizeram uma

interpretação equivocada do texto.Sobre interpretação de texto koch diz:

[...] atividade de interpretação do texto deve sempre fundar-se na suposição de que o produtor tem determinadas intenções e de uma compreensão adequada exige justamente, a captação dessas intenções por parte de quem lê: é preciso compreender-se o querer dizer com um querer fazer (KOCH, 2006, p. 160).

Ainda sobre interpretação de texto Bicudo (1999) diz que o aluno age, observa e

seleciona os aspectos que mais chamam sua atenção estabelecendo relações dos

aspectos do objeto de estudo até chegar uma interpretação própria. E a autora faz um

alerta para os resultados desta interpretação. “Este processo é complicado e a

interpretação pode não ser a esperada pelo professor; como os ‘tropeços’ fazem parte

da construção do conhecimento, são acolhidos como naturais” (p.158).

De fato os resultados obtidos não foram os esperados. Diante disso foram elaboradas

duas questões que direcionassem a interpretação dos alunos e em seguida foram

iniciadas as discussões a partir de uma nova leitura do texto.

A primeira questão trazia uma pergunta direta sobre o tema principal do texto. São

apresentadas algumas respostas consideradas relevantes

JA e WD

52

LU e RAF

MAY e MA

A primeira dupla apresentou uma visão geral do texto. A segunda seguiu os passos da

primeira, entretanto cometeu um equívoco dizendo que o texto fala dos aumentos dos

ingressos. A resposta pode levar o leitor a entender que o texto fala do aumento da

quantidade de ingressos vendidos. A terceira dupla também mostrou uma interpretação

equivocada quando disse que são os preços da meia-entrada que estão alto. Esses

equívocos mostram que os alunos não compreenderam com clareza o tema abordado

pelo texto.

Na segunda questão foi perguntado sobre a causa do aumento dos ingressos para as

semifinais do Paulista.

Foram apresentadas respostas diferentes, o que dá um entendimento de que cada

dupla interpretou um texto de forma peculiar. Os alunos JA e WD que já tinham

respondido no primeiro momento da interpretação do texto continuaram afirmando que

o aumento dos ingressos é devido o aumento de clássicos, a dupla MAY e MA disseram

que é por conta do aumento de ingressos pago com carteira de estudante, enquanto

que LU e RAF entendem que o aumento foi devido a não apresentação das carteiras de

estudante nos estádios.

53

4.3.2.2. A oralidade – Discussão do texto

Após a escrita foi solicitado que cada dupla apresentasse sua interpretação fazendo a

leitura do seu texto e respondendo as questões que lhes foram propostas. Cada dupla

leu o que havia entendido do texto e foi feita uma discussão, sobre o tema abordado

com mediação da pesquisadora onde foi apontado pelos alunos que existia um

conteúdo matemático presente no texto e que se tratava de porcentagem.

Alguns alunos se mostraram entusiasmados em lê e outros apresentaram medo ou

timidez de expor suas idéias em relação ao texto, chegando a pedir para o colega fazer

a leitura, porém durante o trabalho em dupla esses alunos discutiram sobre o texto

naturalmente. A atitude desses alunos reforça a proposta da pesquisa de levar os

alunos a desenvolverem os trabalhos em dupla. Essa postura é defendida por

Cavalcante quando diz:

As crianças que não gostam de se expor nos momentos de discussão na classe precisam de um espaço assegurado de discussão nos grupos e duplas. Essa é uma forma de garantir que falem e sejam ouvidas, opinem e recebam sugestões e pontos de vista de seu interlocutor (CAVALCANTE, 2001, p. 127).

Iniciou-se a discussão do texto onde cada dupla defendeu suas idéias como se observa

através do diálogo a seguir:

P – Quem quer ler a letra b?

WD – “Segundo o texto, qual a causa do aumento do valor do ingresso para as semifinais do paulista?”.

WD – Eu respondi que é porque agora os estádios estão maiores, estão tendo mais clássicos e mais

reformas nos estádios do Rio de Janeiro e em São Paulo.

MAY - Mas não é por isso não!

WD – É sim. Porque o texto também fala dos clássicos, por isso que a gente colocou essa resposta.

P – E qual foi a outra resposta?

MAY - Porque a maioria dos ingressos é vendida com carteira de estudante.

54

Foi feita uma nova leitura do texto em voz alta por um dos alunos e a partir daí se

desencadeou uma nova discussão. Ao se discutir novamente o texto alguns alunos

alegaram desconhecimento do significado das palavras majoração, tendência,

disseminação e defasagem. A partir da nova interpretação todos concluíram que o

aumento dos ingressos era provocado em parte pelo aumento de ingressos vendidos

pela metade do preço (meia-entrada), o que para os clubes não é rentável. Concluíram

ainda que um dos meios utilizados para se pagar meia-entrada é com a apresentação

da carteira de estudante.

4.3.2.3. Resolução de problemas a partir do texto

Seguindo a orientação de Dante (2005), que diz que após solicitar a leitura de um texto,

o professor pode formular questões e problemas sobre ele. Após a discussão do texto

através de elementos não exatamente matemáticos, foi feita uma análise do texto a

partir da resolução de alguns problemas.

O primeiro problema que traz as informações presentes no segundo parágrafo do texto,

diz que o preço mínimo do preço da arquibancada subiu de R$ 15,00 para R$ 20,00.

Pede para aluno dizer de quanto foi o aumento e se esse aumento pode ser

representado em porcentagem.

Como era de se esperar, os alunos não apresentaram dificuldades em responder o

valor do aumento, inclusive justificando a resposta.

Quanto à segunda pergunta, após resolver o problema, a dupla JA e WD diz que não é

possível representar o valor em porcentagem dando seguinte justificativa: “Não, porque

a gente encontra um período e não uma porcentagem”.

55

Nesse momento o aluno ainda não entendia que o valor em decimal poderia ser

representado em forma de percentual. Os demais alunos disseram que sim, é possível

encontrar um valor percentual, porém não justificaram.

Todos os alunos utilizaram o processo de razões equivalentes como estratégia de

resolução, conhecimento já adquirido em séries anteriores. Embora a estratégia

utilizada tenha sido a mesma cada dupla apresentou resultados diferentes como pode

ser observado nas figuras a seguir:

LE e JAN MAY e MA

56

LU e RAF JAC e RAV

Em seguida cada dupla apresentou seus resultados e estratégias de resolução, pois

segundo Cândido:

A oportunidade para os alunos falarem nas aulas de matemática faz com que eles sejam capazes de conectar sua linguagem, seu conhecimento e suas experiências pessoais com a linguagem da classe e da área do conhecimento que se está trabalhando (CÂNDIDO, 2001, p. 17).

A dupla LE e JAN apresentaram 133; MAY e MA, 133,33; LU e RAF, 1,333...; JA e WD,

133,3; e JAC e RAV, 1333. Os alunos utilizaram todos os dados contidos no problema,

contudo um dos dados que eles deveriam utilizar não estava explícito no problema.

RESOLUÇÃO CORRETA: 5/15 = x/100 → 15x = 500 → x = 33,33, logo houve um

aumento de 33,33%

LU – A gente pegou os dois valores que a gente tinha que é quinze reais e vinte reais, aí ficou quinze

sobre vinte e fez a conta por cem sobre x que é o valor desconhecido que a gente quer encontrar.

P – E os outros como entenderam?

MA – Nós entendemos assim também.

P – E os outros?

WD – Eu não entendi esse problema não

57

Os demais alunos responderam que entenderam da mesma forma que LU e RAF.

Todos apresentaram resultados errados devido a um erro de estratégia de resolução

fruto de uma compreensão equivocada do problema. Segundo Bicudo (1999, p. 157) “A

falta de compreensão pode chegar a ponto de impedir que a informação tenha algum

significado para o aluno e de comprometer sua transformação em conhecimento”.

Como a maioria dos alunos teve a mesma compreensão do problema e utilizou a

mesma estratégia de resolução, o trabalho do erro aconteceu de maneira coletiva,

ajudando os alunos na interpretação do problema e fazendo com que eles

descobrissem que os resultados apresentados estavam errado e que deveriam buscar

outra estratégia.

Uma observação interessante: diante da proposta de se fazer uma nova leitura do

problema e buscar um outro olhar na interpretação, um aluno fez um questionamento:

MA – Professora, mas é assim mesmo que resolve. No problema a gente só tem dois valores: o quinze e

o vinte que fica quinze sobre vinte, e a gente coloca o x sobre cem pra dizer que é a porcentagem. Não

tem outro jeito de resolver.

Esse questionamento do aluno nos remete ao que diz Stancanelli (2001) quando trata

de problemas sem solução. Segundo ela quando se trabalha com esse tipo de

problema ajuda o aluno a aprender a duvidar, e que isso faz parte do pensamento

crítico. No nosso caso o problema tem solução, mas o aluno duvida da existência de

uma nova solução para o problema deixando claro que tem uma posição quanto à

situação envolvida. Para Cândido (2001), se os alunos são encorajados a se comunicar

matematicamente, eles têm a oportunidade de organização de pensamento e aquisição

de novos conhecimentos.

Através de uma nova leitura e interpretação, os alunos identificaram os elementos

contidos no problema discernindo quais elementos deveriam usar e como deveriam ser

usados. Dessa forma refletiram o que de fato se estava procurando e assim chegaram à

solução do problema. Desta forma os alunos utilizam todos os estágios propostos por

58

Polya (1978): compreensão, estabelecimento e execução de um plano, e verificação da

solução.

MA – O aumento do ingresso foi de cinco reais.

P – E você quer encontrar o que mesmo?

MA – A porcentagem.

.........................................................................................................................................................................

P – E essa porcentagem representa que valor?

JAC – Cinco reais.

P – Que foi o aumento, não é isso?

JAC – É.

.........................................................................................................................................................................

P – E esse aumento foi em cima de que?

JA – De quinze reais.

P – Certo. Então como deve ficar a minha primeira fração?

JA – Ah!! Então é cinco sobre quinze.

.........................................................................................................................................................................

P – A outra fração representa o que?

Os alunos ficam em silêncio

P – A outra fração representa a por...

MAY – Porcentagem.

P – Isso. E como é que a gente representa essa fração?

RAF – Cem sobre x.

....................................................................................................................................................................

P – Vamos supor que eu tenha isso aqui, (escrevo 2% no quadro) como eu leio?

ALUNOS – dois por cento

P – O que quer dizer a palavra “cento”?

KE – Cem.

P – Isso, cem. E se eu digo dois por cento, eu quero dizer o que?

MA – Que é dois por cem.

P – E como eu represento isso sobre fração?

59

RO – Dois sobre cem.

P – Então voltando para o nosso problema, eu quero encontrar uma porcentagem não é? Então o

número que eu quero achar tem que ser sobre cem. Certo?

ALUNOS – Certo.

P – Então a minha segunda fração é o valor que eu quero achar sobre cem. É isso mesmo?

ALUNOS – É.

P – E eu tenho esse valor sobre cem?

MAY – Não, é o que nós vamos achar.

P – Como eu não sei ainda quem é esse valor eu o chamo de que?

WD – De x. Então a fração fica x sobre cem.

O segundo problema que traz um trecho do nono parágrafo do texto diz que no estádio

do Morumbi 48% dos 41.211 bilhetes no clássico de São Paulo com o Corinthians

foram vendidos com meia-entrada. Daí surge a pergunta em relação ao número de

meia-entrada que foi vendido no estádio.

Este problema foi resolvido sem dificuldades em relação ao conceito de porcentagem.

Embora o problema apresente um dado com um valor relativamente alto e não tenha o

mesmo formato do problema anterior, os alunos resolveram-no sem embaraço. Isso

mostra já existe uma compreensão no processo de resolução de problemas envolvendo

porcentagem.

Após o problema ter sido resolvido utilizando o processo de resolução em que os

alunos já estavam habituados (processo de razões equivalentes) os alunos utilizaram

outro processo de resolução: primeiro transformando a porcentagem em um número

decimal e em seguida multiplicando pelo valor dado. Desta forma eles perceberam que

existe uma outra forma de resolver um problema envolvendo porcentagem e

compreenderam melhor que um número racional também pode ser representado em

forma percentual.

60

Foram resolvidos outros problemas de forma manual e também utilizando a calculadora

com a finalidade de desenvolver a habilidade dos alunos também em operar esse

instrumento. Para Dante6:

[...] Quando a criança já tiver dominando as várias idéias associadas às operações e o relacionamento entre as operações e suas regras de cálculo, é importante iniciá-la no uso da calculadora. Esse instrumento é mais um recurso didático que pode ser utilizado para facilitar a aprendizagem da Matemática. (DANTE, 2005, p. 21)

4.3.3. Atividade 3 – Representação percentual dos números racionais – Dando

significado aos problemas do livro didático

A atividade anterior teve uma boa contribuição para a aprendizagem dos alunos no que

diz respeitos aos conceitos de porcentagem. Porém, houve a necessidade de se

trabalhar algo que envolvesse uma maior complexidade.

Diante disso foi selecionado um problema trazido pelo livro didático escola já citado

anteriormente, onde aborda imposto de renda (ANEXO 4). O problema traz uma tabela

de Imposto de Renda referente a 2005 e pede para calcular primeiramente o valor do

imposto a ser pago por um contribuinte que tenha tido uma renda líquida de R$

2.500,00, e depois calcular o valor pago pelo mesmo contribuinte caso ele tivesse

ganho R$ 200,00 a menos. O problema fornece a fórmula para resolução: i (base de

cálculo) . alíquota – parcela a deduzir.

A proposta do trabalho não foi fazer a resolução do problema de forma mecânica, mas

dar um significado a este problema e assim contribuir para uma aprendizagem

significativa. Primeiramente foi feito um estudo sobre o conceito de Imposto de Renda

para só depois foi realizado o trabalho de resolução do problema.

6 Manual Pedagógico do Professor

61

Inicialmente foi solicitado aos alunos que respondessem qual o significado das palavras

imposto e renda separadamente.

Embora não se tenha trabalhado ainda a idéia de Imposto de Renda, os alunos MA e

MAY trouxeram em sua resposta uma relação de imposto com o salário do cidadão.

Já os alunos JA, WD, LE e JAN entendem imposto como sendo juros.

JA e WD

LE e JAN

Os alunos apresentaram suas respostas, daí se surgiu uma discussão a cerca da

palavra, chegando a conclusão de se trata de uma taxa que o cidadão paga ao

governo.

Algumas colocações dos alunos merecem destaque:

WD – Minha mãe falou que quando ela foi comprar uma chuteira para mim ela pagou um monte de

dinheiro de imposto

.........................................................................................................................................................................

62

MAY - Professora, Pra que o governo quer o nosso dinheiro?

P – O valor arrecadado dos impostos que a gente paga o governo tem que aplicar na saúde, na

educação e em obras sociais. Por exemplo, construir hospitais, escolas, melhorar o serviço da saúde, da

educação e outros serviços.

JÁ – Então, tudo que o governo faz para a gente é com o dinheiro do imposto que a gente paga.

P – Exatamente!

LE – Pois o governo não esta fazendo muita coisa não.

.........................................................................................................................................................................

LE – É, até uma bala a gente paga imposto, não é professora?

Diante das falas dos alunos observadas no diálogo acima se confirma o que defende

Koch:

Ao professor cabe a tarefa de despertar no educando uma atitude crítica diante da realidade em que se encontra inserido preparando-o para ‘ler o mundo’: a princípio, o seu mundo, mas daí em diante, paulatinamente, todos os mundos possíveis (KOCH, 2006 p. 159).

Após a discussão foi iniciado o estudo do conceito de renda, utilizando o mesmo

processo que foi utilizado para o estudo do conceito de imposto. Alguns alunos

entendem renda como sendo um desconto.

JA e WD

Outros, como algo a receber.

LE e JAN

63

Após a leitura e discussão sobre o conceito da palavra renda se formou o conceito de

Imposto de Renda contextualizando com as notícias veiculadas pela televisão sobre a

declaração anual do IR.

Foi entregue aos alunos uma tabela de IR referente a 2008 e solicitado aos alunos que

fizessem uma análise dessa tabela. (ANEXO 6)

Todos os alunos apresentaram as palavras BASE DE CÁCULO, ALÍQUOTA e VALOR

A DEDUZIR como fruto de suas análises. Alguns em forma de texto e outros em forma

de tabela.

JA E WD

MAY E MA

Desta forma os alunos mostraram que ainda não sabiam fazer leitura de tabela, apenas

transcrevem dados. Tomando como base as respostas dos alunos surgiu o estudo em

torno de cada palavra que tinha sido apresentada e a partir desse estudo se percebeu

que os alunos não sabiam o significado de cada uma ou apresentaram outro significado

fora deste contexto.

MAY – Base é uma base que a gente faz quando não tem certeza de alguma coisa, e cálculo é a conta

que a gente faz dessa base.

.........................................................................................................................................................................

64

P – Olhe muitas palavras têm mais de um significado, certo?

MAY – É mesmo. Isso a gente aprende em português.

.........................................................................................................................................................................

P – E a parcela a deduzir?

RAF – Parcela é uma parte?

P – Sim, parcela quer dizer parte de um todo. E deduzir, o que significa?

MAY – A aí é a mesma coisa da base. Por exemplo, minha colega passa de farda, aí eu deduzo que ela

vai para escola.

P - Deduzir, pra você significa imaginar?

MAY – É

P – Se a gente for trazer esse conceito para esta tabela, esse significado vai servir?

JAC – Vai não. Porque a gente não pode imaginar um valor em matemática, tem que ser um valor certo.

P – Isso. E você sabe qual o significado?

JAC – Sei que não é imaginar, mas eu não sei dizer a resposta.

P – A palavra deduzir aqui, quer dizer diminuir.

MAY – Eu já sei, então é a parte que vai diminuir do valor da base do cálculo e pagar para o governo.

Segundo Cagliari (2002), muitas vezes o aluno não resolve um problema de

matemática não só porque não conhece as relações matemáticas em jogo, mas

também porque não compreende o português que a matemática usa. Por isso para

melhorar a compreensão do aluno, como mostra o trecho do diálogo acima foi se

esclarecendo o que cada palavra significava dentro deste contexto para que os alunos

pudessem resolver o que propunha o problema. Essa situação lembra o que diz Chica:

[...] O objetivo do professor é ajudar o aluno a familiarizar-se com termos ou palavras que comumente aparecem em problemas e que, muitas vezes, causam certas dificuldades na resolução especialmente aquelas que possuem significados diferentes do usado em matemática (CHICA, 2001, p. 165).

Após a compreensão de cada palavra foi feita uma nova análise da tabela, desta vez

considerando todas as informações nela contida, como os valores para a base de

cálculo, as alíquotas para cada valor e os valores da parcela a deduzir.

65

MAY – Professora, eu “tô” olhando na tabela que se a pessoa receber um mil trezentos e setenta e dois

reais e oitenta e dois centavos já paga o imposto de renda.

P – Exatamente. Quanto a mais?

MAY – Um centavo.

P – E qual é a alíquota cobrada?

MAY – quinze por cento

WD – Deveria não pagar, só um centavo de diferença!

P – Pois é, mas tem que pagar.

Em seguida foi apresentada a tabela referente a 2005 trazida pelo livro para que se

fizesse a resolução.

Os alunos resolveram a primeira questão corretamente. Pegaram o valor R$ 2.500,00

fornecido pelo problema e multiplicam por 15% que é a alíquota estabelecida pela

tabela, obtendo assim como resultado R$ 687,00, em seguida deduziram deste valor

R$ 465,00 como vem explicado na tabela obtendo como resposta ao problema.

Contudo, ao resolverem a segunda questão não se atentaram para o que dizia o

problema, e ao invés de subtraírem R$ 200,00 de R$ 2.500,00 que era o valor ganho,

subtraíram de R$ 222,15 que era o valor a ser pago.

JA e WD MAY E MA

66

Após a correção do erro algumas das duplas ainda não se atentam para outro detalhe

aplica a alíquota de 27,5% sobre o valor de R$ 2.300,00 e deduz do valor obtido R$

465,00; quando segundo a tabela, deveria aplicar a alíquota de 15% e deduzir R$

174,00. Os alunos ainda se embaraçam com o excesso de informações contidos em um

problema.

JA E WD LE E JAN

4.3.4. Atividade 4 – Introdução aos números irracionais

Essa atividade foi proposta com a finalidade de se introduzir o conceito de números

irracionais a partir da investigação de uma situação-problema, onde os alunos

resolveriam a situação, apresentariam seus resultados e estratégias e em seguida se

introduziria o conteúdo. Sobre Investigação em matemática Ponte diz:

O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-apresndizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína... O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com seus colegas e o professor (PONTE, 2005, p. 23).

67

Já sobre resolução de problemas com o fim de introdução de um conteúdo Mendonça

(apud Rabelo, 2002 p. 78) diz que “Pensar a resolução de Problemas como um ponto

de partida significa olhar o problema como um elemento que pode disparar um

processo de construção do conhecimento matemático”.

Na atividade foi pedido que os alunos lessem as situações expostas, escrevessem o

que entenderam e em seguida respondessem conforme estava sendo solicitado.

(ANEXO 7).

O primeiro problema pede para encontrar o lados do quintal da casa de Leandro que

tem área medindo 4 m 2.

Todos os alunos apresentaram “um metro” como resposta justificando que se a área

mede 4 m2 e o quintal tem quatro lados então cada lado media um metro.

JA e WD

Os alunos confundiram área com perímetro, mas bastou uma breve intervenção para

que todos compreendam a situação mudando a estratégia de resolução. Entendendo

que se o número é ao quadrado então se deve resolver extraindo a raiz quadrada de 4.

JA e WD

68

O segundo problema diz que o quintal da casa de Bruno tem área igual à metade da

área do quintal da casa de Leandro. Pede para encontrar a área e a medica de cada

lado do quintal.

Os alunos compreenderam que como a área nesta situação era a metade da primeira

então se devia calcular a raiz quadrada de 2. Assim os alunos se depararam com

impasse. Alguns alunos disseram que não tem como calcular a raiz quadra de 2 e a

maioria deles pararam por aí.

MAY E MA LE e JAN

Outros apresentaram dificuldade quanto ao conceito de raiz quadrada, como na

primeira situação a raiz quadrada de 4 foi 2, a dupla JAC e RAV entende que a raiz de

2 é 1, ou seja, compreendem que os valores multiplicados por dois daria o valor da raiz.

JAC e RAV

69

A dupla JA e WD tomou posse de uma calculadora e encontrou como resultado a

dízima 1,4142135... e justificou que se tratava de uma dízima infinita não periódica,

logo era irracional. Foi a partir dessa descoberta que se foi introduzido o conceito de

número irracional.

Desta forma entendemos que a aprendizagem aconteceu de forma significativa. Quanto

a isso Baraldi afirma que:

O ensino por descoberta representa um meio para ocasionarmos a aprendizagem significativa. Numa situação de ensino e aprendizagem por descoberta os conceitos e princípios não estão apresentados explicitamente cabendo ao aluno ‘induzi-los’ através de exemplos ou problemas propostos pelo professor (BARALDI, 1999, p.55).

70

CONCLUSÃO

A realização deste trabalho nos trouxe uma perspectiva maior sobre o que é fazer

educação. Não existe uma fórmula de ensinar, mas através dos caminhos que lhe são

mostrados como neste caso, a resolução de problemas, torna possível um trabalho que

contribua para uma aprendizagem significativa.

Esta pesquisa procurou estudar se as limitações que os alunos enfrentam diante da

resolução de problemas estão ligados às dificuldades de linguagem. Procurou-se não

apenas investigar essas limitações, mas, sobretudo desenvolver um trabalho de

intervenção. Dentro dos conceitos estudados e através dos resultados analisados é

possível traçar algumas considerações.

A partir da primeira atividade é possível concluir que existe uma dificuldade dos alunos

em relação ao seu desempenho com a leitura e interpretação de textos matemáticos. A

leitura é fluente, porém é demonstrada uma insegurança na interpretação do que lê.

Muitos não compreendem os enunciados dos problemas e outros precisam de ajuda

para compreendê-los. É necessário um acompanhamento da leitura de forma pautada

para que de fato eles compreendam sua própria leitura. Fica claro o impasse dos

alunos em relação ao desconhecimento de palavras essenciais para a compreensão

dos problemas.

Os problemas trazidos pelo livro didático utilizado não têm características que se

pretende que estejam presentes numa verdadeira situação-problema. Alguns deles,

inclusive apresentam ambigüidade em seu enunciado como foi visto na segunda

situação do segundo problema e questionado por um aluno. Diniz (2001, p. 99), diz que

na maioria das vezes os problemas convencionais dos livros didáticos não apresentam

um texto significativo para o aluno. Segundo a autora, “O trabalho centrado

exclusivamente na proposição e na resolução de problemas convencionais gera nos

alunos atitudes inadequadas frente ao que significa aprender e pensar em matemática”.

71

A segunda, terceira e quarta atividades que surge com a finalidade de se desenvolver

um trabalho em torno das dificuldades encontradas, mostra que quando estimulados os

alunos tendem a produzirem. Há uma participação efetiva dos alunos Inclusive

daqueles que no início dos trabalhos se mostraram resistentes. Embora muitos alunos

ainda apresentassem dificuldades com a escrita e a oralidade, foi possível estimular

tanto a escrita como a oralidade e ainda o raciocínio matemático se estabelecendo

assim uma comunicação dos alunos entre eles e o professo/pesquisador. Segundo

Cândido (2001), a comunicação exerce um papel fundamental para auxiliar os alunos

na construção do vínculo entre suas noções básicas e informais e a linguagem

matemática. Existiu esse estímulo durante a execução destas atividades.

Os resultados da segunda atividade permitem ver que é possível se trabalhar com um

problema convencional do livro didático com outra dimensão trazendo grandes

contribuições para a pesquisa e, sobretudo para a aprendizagem dos alunos.

Com essa reflexão conclui-se que a relação estabelecida pelos alunos com a linguagem

na resolução de problemas matemáticos, ou seja, como eles decodificam a linguagem

matemática para a linguagem em termos de seus componentes e funções, apresenta

lacunas, porém ao se desenvolver um trabalho específico em torno dessa lacuna é

possível se obter resultados positivos.

Embora este trabalho seja considerado bastante produtivo e que tenha uma

colaboração significativa para a educação matemática, acreditamos que ainda há algo a

ser feito. Quando se trata de resolução de problemas não se trata apenas de um texto

escrito no papel, mas de uma situação que caracterize um problema. Como coloca

Carvalho (2005, p. 14) “Há várias situações do cotidiano da escola, da sala de aula nas

quais se está trabalhando com resolução de problemas sem necessariamente estarem

escritos na lousa, no livro ou no caderno”. Esta é uma sugestão para trabalhos

posteriores.

72

REFERÊNCIAS

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76

ANEXOS

77

ANEXO 1

Roteiro para a entrevista com a professora

1- Há quanto tempo ensina Matemática?

2- O que considera fundamental que os alunos aprendam nesta fase da

escolaridade?

3- Quais aspectos que considera mais importantes na aprendizagem da

Matemática?

4- Como costuma trabalhar os conteúdos de matemática em suas aulas?

5- Na suas aulas os alunos trabalham mais individualmente ou em grupo? Porque?

6- Costuma trabalhar com resolução de problemas? De que forma?

7- Quais critérios que você utiliza para a seleção dos problemas a serem

resolvidos/ estudados pelos alunos?

8- Como você explora os problemas que são apresentados?

9- Qual a sua opinião em relação aos problemas matemáticos trazidos pelo livro

didático?

10- Considera importante que os seus alunos comuniquem as suas experiências de

aprendizagem na Matemática? Por quê?

11- Qual a relação que os alunos estabelecem com a linguagem matemática?

12- Você estimula a oralidade e a escrita nas aulas de matemática? Como?

78

ANEXO 2

Atividade 1 – Representação decimal dos números racionais

Responda às questões propostas abaixo:

Leia as questões, explique o que entendeu e após a resolução explique como chegou

ao resultado.

1- A tabela indica a idade e a altura das atletas do principal time de basquete feminino

de uma cidade.

NOME IDADE (em anos) Altura (em metros)

Andréia 18 1,78

Simone 21 1,80

Natália 17 1,81

Fernanda 23 1,71

Vânia 24 1,85

a)Qual é a média de idade nesse time?

b)Qual é a altura média das jogadoras do time?

2- Desenhe uma reta em seu caderno. Escolha uma origem (ponto zero) e marque uma

seta em uma das extremidades para indicar o sentido positivo. Adote 2cm como

unidade de medida.

79

a) Marque dois pontos que distem 6cm da origem. Qual é a abscissa de cada um

desses pontos?

b) Marque os pontos A, B e C, de abscissas respectivamente iguais a -2, +1, e +2

cm.

3-Usando uma calculadora, Beto calculou √40. Veja o resultado que ele obteve:

6,32455532... A representação decimal de √40 é infinita e periódica ou infinita e não

periódica?

4- A idade de Ana Paula dividida pela idade de Andréia gerou a dízima 0,3888... Qual a

idade de cada uma?

80

ANEXO 3

Atividade 2 – Representação percentual dos números racionais

Texto

12/04/2008 - 09h00

Meia- entrada inflaciona preço dos ingressos no Paulista

RODRIGO MATTOS

da Folha de S.Paulo

O aumento do valor dos ingressos para as semifinais do Paulista reflete uma onda de

majoração de entradas no futebol brasileiro. Uma das explicações para essa tendência

é o crescimento da meia-entrada nos estádios, principalmente com a disseminação do

uso das carteiras de estudantes. A outra é a defasagem de preços, alegada por

cartolas.

No Paulista, pela fase classificatória, o preço mínimo da arquibancada subiu de R$ 15

para R$ 20, neste ano. E as semifinais dobraram de valor, chegando a R$ 40.

No Rio, os clássicos e os jogos decisivos também dobraram de preço, atingindo R$ 40.

O Brasileiro-2007 viu o valor médio do bilhete (R$ 12,15) crescer 7% sobre 2006.

Levantamento da reportagem nos borderôs de clássicos do Rio de Janeiro e São Paulo

comprova que fatia significativa de ingressos é negociada pela metade do valor padrão.

Em 2008, os seis jogos entre os quatro grandes do Estadual de São Paulo tiveram 40%

de seus bilhetes vendidos como meia-entrada. Esse patamar atingia 37% nos clássicos

81

do ano passado. Estudantes, aposentados e professores são beneficiados --estes

últimos por conta de leis estaduais.

No Rio de Janeiro, a participação da meia-entrada nos ingressos foi ainda maior. Nos

nove clássicos do Estadual até agora, 60% das pessoas pagaram metade do preço.

Diante desses números, neste ano, alguns clubes e seus parceiros passaram a exigir a

apresentação da carteira de estudante nas entradas nos estádios. Antes, bastava

apresentá-la na compra dos bilhetes.

"Há três partidas, pedimos a quem controla a entrada [a BWA] que exija a carteira de

estudante. Acho que vai diminuir [o número de meias-entradas] e reduzir o prejuízo dos

clubes", afirmou o diretor financeiro do São Paulo, Oswaldo de Oliveira Abreu, que

atribui a majoração de bilhetes à defasagem dos preços.

No Estado, o Morumbi é o estádio que apresenta os maiores percentuais de meia-

entrada. Foram 48% dos 41.211 bilhetes no clássico do São Paulo com o Corinthians.

Mas não chega ao patamar do Maracanã. Quando Fluminense e Vasco se enfrentaram,

pelo Estadual, quatro em cada cinco ingressos foram vendidos pela metade do preço.

"Estamos iniciando um movimento, que vamos levar ao Rio e a Minas Gerais, para

exigir as carteiras na entrada", explicou o sócio da BWA, Bruno Balsimelli, que controla

o sistema de entrada dos principais estádios do país e defende revisão das regras das

carteiras.

No Parque Antarctica, sua empresa já barrou cerca de mil torcedores no jogo entre

Palmeiras e São Caetano, por falta de carteira. No Rio, a partida entre Fluminense e

LDU, pela Libertadores, vai dar início à conferência do documento

"Não dá para baixar o preço dos ingressos porque cerca de 70% ou 80% dos ingressos

é com carteira de estudante", contou o presidente do Flamengo, Márcio Braga.

82

Cartolas também atribuíram o aumento dos bilhetes aos baixos preços praticados nos

últimos anos. Lembram que os jogos ainda custam bem menos do que shows musicais.

83

ANEXO 4

Questões e problemas para análise do texto

1- De que fala o texto?

2- Segundo o texto, qual a causa do aumento do valor dos ingressos para as semifinais

do Paulista?

3- Segundo o texto no paulista, pela fase classificatória, o preço mínimo da

arquibancada subiu de R$ 15 para R$ 20, neste ano. (2º Parágrafo)

a) De quanto foi o aumento do ingresso?

b) É possível encontrar o valor deste aumento em porcentagem,?

4 - O texto diz que no Estado de São Paulo, o Morumbi é o estádio que apresenta os

maiores percentuais de meia-entrada. Foram 48% dos 41.211 bilhetes no clássico do

São Paulo com o Corinthians. (9º parágrafo). Qual o número de meia-entrada que foi

vendido no estádio?

84

ANEXO 5

Atividade 3 – Representação percentual dos números racionais

1- O imposto de renda é calculado pela fórmula:

i = base de cálculo . alíquota – parcela a deduzir

Em 2005, para calcular o imposto i, o contribuinte deveria usar a seguinte tabela:

Imposto de Renda retido na fonte

Base de cálculo (R$) Alíquota (%) Parcela a deduzir (R$)

Até R$ 1164,00 - -

De R$ 1164,01 a R$

2326,00

15,0 174,60

Acima de R$ 2326,00 27,5 465,35

a) Qual é o valor do imposto a ser pago por um contribuinte que teve renda líquida de

R$ 2500,00?

b) Se o mesmo contribuinte tivesse ganho R$ 200,00 a menos, qual seria o valor de seu

imposto?

85

ANEXO 6

Tabela do Imposto de Renda - 2008

Base de cálculo (R$) Alíquota (%) Parcela a deduzir (R$)

Até R$ 1372, 81,00. - -

De R$ 1372,82 a R$

2743,25

15,00 205,92

Acima de R$ 2743,25 27,5 584,82

Fonte: Wikipédia

ANEXO 7

86

Atividade 4 – Introdução aos números irracionais

Atividade de exploração

Leia as situações abaixo e escreva o que você entendeu, em seguida responda

conforme está sendo solicitado:

1- O quintal da casa de Leandro tem área igual a 4 m 2 e está representado pela figura

abaixo.

A x B

x x

C x D

(Figura 33)

a) Quantos metros medem cada lado do quintal? Explique como chegou ao

resultado.

2- A área do quintal da casa de Bruno é a metade da área do quintal da casa de

Leandro.

a) Desenhe uma figura para representar o quintal da casa de Bruno.

b) Qual é a área desse quintal?

4 m 2

87

c) Agora encontre a medida de cada lado do quintal. O que você observou?