monografia josé matemática 2011
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Matemática 2011TRANSCRIPT
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UNIVESIDADE DO ESTADO DA BAHIA-UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS- VII
COLEGIADO DE MATEMÁTICACURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMATICA
JOSÉ MARIO MARTINS OLIVEIRA
SEQÜÊNCIA GEOMÉTRICA ATRAVÉS DE UMA FUNÇÃO EXPONÊNCIAL
Senhor do Bonfim-Bahia
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Março de 2011JOSÉ MARIO MARTINS OLIVEIRA
SEQÜÊNCIA GEOMÉTRICA ATRAVÉS DE UMA FUNÇÃO EXPONÊNCIAL
Monografia apresentada no Curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade do Estado da Bahia, em cumprimento às exigências para obtenção do Título de Licenciado em Matemática.
Orientador: Profº Ivan Souza Costa Co-orientador: Profº José Aurimar Angelim
Senhor do Bonfim/BA
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Março de 2010
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JOSÉ MARIO MARTINS OLIVEIRA
SEQÜÊNCIA GEOMÉTRICA ATRAVÉS DE UMA FUNÇÃO EXPONÊNCIAL
Monografia Aprovada em: / / ___
BANCA EXAMINADORA
______________________________________________________________Profª Assivânia Lúcia Cavalcante dos Santos
______________________________________________________________Profº Helder Luis Amorim Barbosa
______________________________________________________________Profª Mirian Brito de Santana
Profº. Ivan Souza CostaOrientador
Senhor do BonfimMarço de 2011
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Dedico este trabalho aos meus pais Mário
Nascimento e Mariêta Martins, a minha irmã Marília
Martins e meu irmão Danilo Martins que são
pessoas muito especiais em minha vida.
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AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado toda a sabedoria e
saúde. Aos meus pais Mário e Mariêta por ter me dado todo o apoio para que eu
conseguisse alcançar todos os meus objetivos, e por terem contribuído com tanto
amor para o meu crescimento pessoal e emocional, a minha irmã Marília e meu
irmão Danilo.
Aos meus amigos de faculdade, Wagner, Luis, Sávio, Bruno, Fernanda,
Ravena, Aparecida, Claudenilson, Daniel, Ana Regina, Evarista, Isaac, Eliene, a
todos os colegas da turma de 2005.1. A qual todos eu agradeço por tudo que
fizeram por mim.
Agradeço também, a todos os professores em especial ao meu orientador
Ivan Souza por ter me ajudado de forma tão dedicada neste e em outros trabalhos e,
aos professores Danton, Mirian, Elizete, Geraldo, Wagner, por ter me ensinado de
forma tão especial as disciplinas de Física I e II (Ivan), Matemática I e II (Danton),
Desenho Geométrico e outras Geometrias (Mirian), Lógica (Elizete), Calculo I e II
(Geraldo) e Matemática III (Wagner), a última em especial por ter mim inspirado ao
tema abordado neste trabalho.
Aos colegas e amigos de luta diária, Diego Mendes, Janderson, Albinha,
Jacionete, Edinha, Manoel,Joanir Santana e família, Mirelle Neris, Josimara,
Jaqueline (Naninha), Fátima Neris, Conceição, a irmã Vera, seu esposo o Pb. José
Candido, Ev. Kláudio, Lilian Teixeira e seu esposo, Eduardo Araújo, a irmã Jacira e
toda a sua família que me acolheram com tanto amor, me tiveram e trataram como
parente sanguíneo e a Amanda Nascimento por terem me proporcionado os
melhores momentos de minha vida longe da minha família.E a todos, em geral, que
me ajudaram direta ou indiretamente nessa longa e difícil caminhada.
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“Enquanto a sociedade feliz não chega, que haja
pelo menos fragmentos de futuro em que a alegria
é servida como sacramento, para que as crianças
aprendam que o mundo pode ser diferente. Que a
escola, ela mesma, seja um fragmento do futuro...”
Rubem Alves
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RESUMO
O presente trabalho tem como tema seqüências geométricas através do conceito de função. O objetivo geral parte da necessidade de construir o conceito de Seqüência Geométrica a partir do conceito de função ;os específicos foram verificar se os alunos compreendem o conceito de função, identificar que conhecimento os alunos adquiriram sobre Seqüência Geométrica e compreender Seqüência Geométricas como Função. A metodologia utilizada foi coleta de dados através de questionários que visam obter uma definição da prática pedagógica utilizada .Os sujeitos foram 25 alunos, de uma turma de 2º Ano do Ensino Médio, de uma Escola Pública da Rede Estadual no município de Senhor do Bonfim, na Bahia, na faixa etária de 16 a 20 anos, no período de agosto a novembro de 2009, no Colégio Estadual de Senhor do Bonfim.Percebeu-se quão pouco é vista e aprendida as Seqüências e, mais especificamente, as geométricas. E mais, como ela é ensinada de uma forma “convencional” restringido-a apenas ao uso de fórmulas e memorização e a tratá-la como uma simples P.G.Por outro lado, vimos como uma nova maneira, diferente para os demais professores, pode ser tão eficaz. E sem falar, no fato que ao estudarmos acabamos por revisar ou mesmo até aprender mais sobre funções.
Palavras-chave: Seqüências Geométricas. Função. Conceito. Alunos.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 08
CAPITULO I ........................................................................................................... 09
CAPÍTULO II .......................................................................................................... 10
2 - CAMINHOS PERCORRIDOS ............................................................................ 10
2.1 A História da Seqüência Geométrica e O Conceito de Função ................... 10
2.2- A Seqüência Geométrica na Sala de Aula .................................................... 13
CAPÍTULO III ………………………………………………………..…………………… 17
3.1-Possibilidades Atuais de Ensino/Aprendizagem de Aprendizagem Seqüência Geométrica a partir do Conceito de Função .............................. 17
3.2-A Sala de Aula de Matemática e a Teoria das Situações ............................. 21
CAPÍTULO IV ........................................................................................................... 23
4.1 - PESQUISA QUALITATIVA .............................................................................. 23
CAPÍTULO V ........................................................................................................... 27
5.1 - METODOLOGIA ............................................................................................. 27
5.2- A coleta dos dados ........................................................................................ 27
5.3 - Os sujeitos ..................................................................................................... 27
5.4 - O instrumento ................................................................................................ 29
CAPÍTULO VI ........................................................................................................... 30
5. 5 - Análise da Seqüência Didática ................................................................... 30
CONSIDERAÇOES FINAIS ..................................................................................... 35
A Biografia de Zenão ............................................................................................. 37
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ........................................................................ 41
ANEXOS .................................................................................................................. 44
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INTRODUÇÃO
O ensino das Seqüências Geométricas no Brasil vem enfrentando muitos
problemas, que vão desde uma abordagem inadequada desse conteúdo até ser
considerada um assunto isolado o que, às vezes, faz com que seja deixada de ser
ensinada ao enquadrá-la de forma equivocada no plano de curso. Nesse trabalho,
propomos uma abordagem que é, de fato, proposta pelos PCN’s (Parâmetros
Curriculares Nacionais) (2002). Ela pode trazer elementos e resultados para abordar
o conceito de Função para o aprendizado do conceito de Seqüência Geométrica em
uma escola pública.
Tivemos como objetivo geral construir o conceito de Seqüência
Geométrica a partir do conceito de função. E, como objetivos específicos, verificar se
os alunos compreendem o conceito de função, identificar que conhecimento os
alunos adquiriram sobre Seqüência Geométrica e compreender Seqüência
Geométricas como Função.
Inicialmente, apresenta-se no primeiro capítulo, o problema, a justificativa e
os objetivos.
A seguir, no segundo capítulo, apresentamos a História das Seqüências
Geométricas e o Conceito de Função, como também a Seqüência Geométrica na
sala de aula, exibindo os problemas que existem no seu ensino e discutindo sobre
conceito e definição.
No terceiro capítulo, temos as Possibilidades Atuais de Ensino e
Aprendizagem Seqüência Geométrica a partir do Conceito de Função, que
apresenta o que utilizamos como referencial teórico.
No quarto capítulo encontramos a abordagem utilizada, qualitativa, para
realização da pesquisa como também a metodologia, quem são os sujeitos, o local
da realização da pesquisa como também os instrumentos utilizados.
No sexto capítulo apresentamos a análise dos dados colhidos com os
recursos utilizados como também com o processo de observação e aplicação das
atividades.
E para finalizarmos, a biografia de Zenão, as referencias bibliográficas e
os anexos, com as atividades realizadas durante a coleta de dados.
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CAPÍTULO I
Nas definições da matemática pura, o mundo das coisas sensíveis não é
muito importante, como também é transformado e extrapolado por uma ordem de
outro tipo. Verificamos que a definição é a ultima etapa na construção do
conhecimento feito pelos matemáticos, eles não partem dela, ela é o ponto de
chegada. Entretanto, na sala tradicional os professores esperam que os alunos
aprendam a partir dela. No caso das Seqüências Geométricas, identificamos seu
ensino centrado na definição e memorização de fórmulas.
Muitas vezes, isso ocorre devido ao professor não estar atento às
mudanças no ensino e a falta de leitura sobre novos métodos nos quais, procuram
sempre a melhoria do aprendizado do aluno, transformando-se com o passar dos
anos, em uma maneira retrógrada de se ensinar. Outras vezes, ocorre pelo fato de o
professor seguir apenas o livro didático e esquecer que sua função é ensinar e não
transmitir conhecimentos.
Percebemos que muitos professores de matemática ao construir o
conceito de Seqüências Geométricas atentam para uma abordagem inadequada e
de forma isolada. Há livros didáticos que trazem diversas definições de Seqüências
Geométricas, mas nenhuma que faça o aluno construir seu conhecimento de modo
articulado. Definições essas que às vezes dificultam o aprendizado do aluno por
trazer símbolos e notações especiais para descrevê-las. Então, o que fazer para
facilitar a aprendizagem de Seqüências Geométricas a partir do conceito de função?
Nisso, acreditamos que este estudo possa contribuir para uma reflexão
sobre a aprendizagem de Seqüências Geométricas a partir do conceito de Função,
ajudando assim os professores entender que a aprendizagem do ensino de
matemática precisa ser desenvolvida de maneira que facilite o entrosamento pelo
aluno, onde os conteúdos não sejam vistos de maneira isolada.
Logo, o objetivo por mim proposto é o de construir o conceito de
Seqüências Geométricas a partir do conceito de função. Tracei como objetivos
específicos:
- Verificar se os alunos compreendem o conceito de função;
- Identificar que conhecimentos os alunos adquirem sobre Seqüências
Geométricas;
- Compreender Seqüências Geométricas como Função.
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CAPÍTULO II
2 - CAMINHOS PERCORRIDOS
2.1 A História da Seqüência Geométrica e O Conceito de Função
Sabemos que a Matemática é a mais antiga das ciências e que a sua
origem se esconde nas areias da antiga civilização egípcia. Como Aristóteles
explica: “A matemática nasceu nas vizinhanças do Egito, porque aí era concedido
tempo livre à classe sacerdotal.” (BURTON, 1985, p. 32). Todo o conhecimento que
temos hoje sobre a Matemática egípcia baseia-se em vários documentos, entre eles
o Papiro de Rhind que é, sem dúvida, o mais precioso documento de quantos
existem relativos aos conhecimentos matemáticos dos egípcios.
O papiro de Rhind está escrito em hierático, da direita para a esquerda,
tem 32 cm de largura por 513 cm de comprimento. É datado de cerca de 1650 a.C.,
embora o texto diga que foi copiado de um manuscrito, de cerca de, 200 anos antes
e tem o nome do escocês Alexander Henry Rhind que o comprou por volta de 1850
em Luxor, no Egito. É também designado por papiro de Ahmes, o escriba egípcio
que o copiou. Encontra-se atualmente no Museu Britânico.
Este papiro é composto por 84 problemas triviais e suas resoluções. Entre
esses problemas, encontra-se um que cita “sete casas, 49 gatos, 343 ratos, 2.041
espigas de trigo, 16.807 hectares” é presumível que o escriba estava tratando de
Seqüências Geométricas, onde cada uma das sete casas havia sete gatos, cada um
deles come sete ratos, cada um dos quais havia comido sete espigas, cada uma
delas havia produzido sete medidas de grão (BOYER, 1996 ).
Porém, os estudos sobre seqüências não ficaram apenas no Egito, na
Grécia, principalmente com Zenão de Eléia (490--425 a.C.) ela foi desenvolvida só
que, de uma forma científica.
Ele escreveu um livro com 40 paradoxos relativos ao contínuo e ao
infinito. Pelo menos quatro dos paradoxos influenciaram o desenvolvimento da
matemática para explicar os fenômenos relevantes. Infelizmente, o livro não
sobreviveu até os tempos modernos, assim conhecemos estes paradoxos a partir de
outras fontes. Os paradoxos de Zenão sobre o movimento desconcertaram
matemáticos por séculos. No final, eles envolvem a soma de um número infinito de
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termos positivos a um número finito, o qual é a essência da convergência de uma
série infinita de números. Vários matemáticos contribuíram para o entendimento das
propriedades de seqüências e séries. Este ensaio destaca as contribuições de
alguns daqueles matemáticos que estudaram seqüências e séries.
Zenão não foi o único matemático da antiguidade a trabalhar com
seqüências. Vários dos matemáticos gregos da antiguidade usaram seu método de
exaustão (um argumento seqüencial) para mediar áreas de figuras e regiões.
Usando sua técnica refinada de raciocínio chamada de "método", Arquimedes (287--
212 a.C.) alcançou vários resultados importantes envolvendo áreas e volumes de
várias figuras e sólidos. Na verdade, ele construiu vários exemplos e tentou explicar
como somas infinitas poderiam ter resultados finitos. Dentre seus vários resultados
estavam que a área sob um arco parabólico é sempre dois terços da base vezes a
altura. Seu trabalho não foi tão completo ou rigoroso, como daqueles matemáticos
que vieram depois e desenvolveram seqüências e séries como Newton e Leibniz,
mas foi tão impressionante quanto. Embora Arquimedes tenha sido obstruído pela
falta de precisão e notação eficiente, foi capaz de descobrir muito dos elementos da
análise moderna de seqüências e séries.
O próximo contribuinte importante para esta área da matemática foi
Fibonacci (1170--1240). Ele descobriu uma seqüência de inteiros na qual cada
número é igual à soma dos dois antecessores (1,1,2,3,5,8,…), introduzindo-a em
termos de modelagem de uma população reprodutiva de coelhos. Esta seqüência
tem muitas propriedades curiosas e interessantes e continua sendo aplicada em
várias áreas da matemática moderna e ciência. Durante o mesmo período,
astrônomos chineses desenvolveram técnicas numéricas para analisar resultados
experimentais. Durante os séculos 13 e 14, matemáticos chineses usaram a idéia de
diferenças finitas para analisar tendências em seus dados. Hoje, métodos como os
deles são usados para entender o comportamento em longo prazo e os limites de
seqüências infinitas. Este trabalho inicial na Ásia levou a mais investigação e análise
de várias progressões e séries, mas teve pouca influência sobre os matemáticos
europeus.
Após isto, o estudo das seqüências restringiu-se apenas para o estudo
das séries e desenvolvimento, através delas, da Matemática avançada, como o
Cálculo Diferencial, com Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716), que também
fizeram estudos sobre funções.
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Na teoria de Newton sobre “fluentes”, termo que ele utilizou para
descrever as suas idéias de funções, estas encontravam-se bastante ligadas à
noção de curva e às “taxas de mudança” de quantidades variando continuamente. E
mais ainda, restringiam-se a “imagens geométricas de uma função real” (CARAÇA,
1952).
Mas foi Leibniz, na década de 1670, quem usou o termo “função”, para se
referir a “certos segmentos de reta cujos comprimentos dependiam de retas
relacionadas a curvas”. Logo depois, o termo foi usado para se referir a quantidades
dependentes ou a expressões. (ITÔ,1987).
As primeiras definições do conceito revelam certo encantamento pela
álgebra, onde a função é dada por uma expressão algébrica, conforme disse Jean
Bernoulli (1667-1748): “Função de uma quantidade variável é uma quantidade
composta de alguma maneira desta variável e de quantidades
constantes.”(SIERSPINSKA, 1992, p. 45).
Mas a evolução da idéia de função vem muito antes de Newton e Leibniz.
Zuff (2001) nos apresenta alguns aspectos do desenvolvimento histórico do conceito
de função. Não parecendo haver consenso entre os diversos autores sobre o
conceito de função.
Os historiadores atribuem a discriminação entre as variáveis dependente e
independente a Descartes, mas parece que os papéis das coordenadas em sua
“Geometrie” eram marcadamente simétricos.
Já alguns deles, consideram que os babilônios já possuíam um “instinto de
funcionalidade”. Pode-se encontrar este “instinto de funcionalidade”, que precede
uma idéia mais geral de função desde cerca 2000 a.C., em seus cálculos com
tabelas sexagesimais de quadrados e de raízes quadradas, as quais podem ser
tomadas como “funções tabuladas”, e que eram destinadas afim prático.
De acordo com Boyer (1996), na França há indícios de suas idéias
primárias de função anteriores a 1361, quando Nicole Oresme descreveu
graficamente um corpo movendo-se com aceleração uniforme, porém resumia-se
apenas a aspectos qualitativos, sem se utilizar de medidas.
Para Yousckevitch (1976), há três fases principais do desenvolvimento da
noção de função: 1) A Antiguidade, na qual o estudo de casos de dependência entre
duas quantidades ainda não havia isolado as noções de variável e de função; 2) A
Idade Média, onde as noções eram expressas sob uma forma geométrica e
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mecânica, mas em que ainda prevaleciam, em cada caso concreto, as descrições
verbais ou gráficas; 3) O período Moderno, a partir do século XVII, principalmente,
que comporta, a seguir, um melhor detalhadamento.
Galileu Galilei (1564-1642) contribuiu para a evolução da idéia de função,
ao introduzir o tratamento quantitativo nas suas representações gráficas. Nessa
época, o aprimoramento dos instrumentos de medida propiciaram a busca de
resultados inspirados na experiência e na observação.
Já Descartes (1696-1750) utilizou-se de equações em x e y para introduzir
uma relação de dependência entre quantidades variáveis, de modo a permitir o
cálculo de valores de uma delas, a partir dos valores da outra. Portanto, Descartes
criou a notação que utilizamos para as grandezas envolvidas no conceito de função.
2.2 A Seqüência Geométrica na Sala de Aula
A Seqüência Geométrica, assim como todos os outros conteúdos de
matemática existentes no Ensino Médio, assume um papel muito importante. E, devido a
essa importância, que ela deveria ser tratada de uma maneira diferente. Costuma-se
ensinar as Seqüências Geométricas no final do ano letivo e, às vezes, esse conteúdo não
é apresentado aos alunos por falta de tempo. Já em outros casos, ela é ensinada no
meio do ano como se fosse um assunto isolado e diferente dos demais, até porque com
excessão de Conjuntos, no Primeiro ano do Ensino Médio, todos os conteúdos são
referentes a Funções. Mas porque existe essa diferença das Seqüências Geométicas, ou
até a própria Seqüência, com relação aos demais conteúdos?
Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN(2002) em matemática propõem
que os conceitos devem possuir uma articulação lógica entre diferentes idéias e
conceitos para garantir maior significação para a aprendizagem, e assim, possibilitar ao
aluno o estabelecimento de relações de forma consciente no sentido de tornar mais
eficaz a utilização do tempo disponível. Portanto, não podemos tratar as Seqüências
Geométricas como um mero complemento de conteúdo.
Os livros didáticos seguem a organização dos conteúdos proposta no
Parâmetros Curriculares Nacionais (2002) e essa organização classifica as Seqüências
Geométricas como um conteúdo que deve ser visto após o conteúdo de funções.
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Com relação às seqüências, é preciso garantir uma abordagem conectada à idéia de função, na qual as relações com diferentes funções possam ser analisadas. O estudo da progressão geométrica infinita com razão positiva e menor que 1 oferece talvez a única oportunidade de o aluno estender o conceito de soma para um número infinito de parcelas,ampliando sua compreensão sobre a adição e tendo a oportunidade de se defrontar com as idéias de convergência e de infinito. Essas idéias foram e são essenciais para o desenvolvimento da ciência, especialmente porque permitem explorar regularidades. (BRASIL, 2002, p. 121).
Nas escolas, quase sempre é seguido à estrutura apresentada no livro
didático, mas a forma trabalhada nem sempre é a recomendada. Os professores não
trabalham com conceitos, e sim, com muitas definições. Estas levam o aluno a decorar
essas informações apenas para o momento que lhes forem necessários e futuramente
virão a esquecer.
Um conceito é uma entidade psíquica abstrata e universal que serve para
designar uma categoria ou classe de entidades, eventos ou relações. Ele é o elemento
de uma proposição como uma palavra é o elemento de uma sentença. Conceitos são
abstratos porque omitem as diferenças entre as coisas em sua extensão, tratando-as
como se fossem idênticas. Conceitos são universais ao se aplicarem igualmente a todas
as coisas em sua extensão.
Conceitos são portadores de significado. Um único conceito pode ser expresso
em qualquer número de linguagens. O conceito "cão" pode ser expresso como "Hund"
em alemão, "dog" em inglês, "perro" em espanhol. O fato de que conceitos são, de uma
certa forma, independentes das linguagens torna a tradução possível; palavras em várias
línguas "querem dizer" o mesmo porque expressam um e o mesmo conceito.
Para Cassirer (1923) os conceitos matemáticos surgem, através do
estabelecimento intelectual de uma conexão construtiva. Eles são diferentes dos
conceitos empíricos, que têm por objetivo serem meramente cópias de certos fatos
característicos de uma realidade.
Nas definições da matemática pura, no entanto, o mundo das coisas
sensíveis não é muito importante, como também é transformado e suplantado por
uma ordem de outro tipo.
A definição é a última etapa na construção do conhecimento feita pelos
matemáticos, eles não partem dela, ela é o ponto de chegada. Entretanto, na sala de
aula tradicional os professores esperam que os alunos aprendam a partir dela.
No caso das Seqüências Geométricas, identificamos seu ensino centrado
na definição e memorização de fórmulas.
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Muitas vezes, isso ocorre devido ao professor não estar atento às mudanças
no ensino e a falta de leitura sobre novos métodos nos quais, procuram sempre a
melhoria do aprendizado do aluno, o que acaba se transformando com o passar dos
anos, em uma maneira antiquada de se ensinar. Outras vezes, ocorre pelo fato de o
professor seguir apenas o livro didático e esquecer que sua função é ensinar e não de
transmitir conhecimentos.
Os livros didáticos trazem diversas definições diferentes para as Seqüências
Geométricas, mas nenhuma que faça o aluno construir seu conhecimento de modo
articulado. Definições essas que às vezes dificultam o aprendizado do aluno por trazer
símbolos e notações especiais para descrevê-las.
Aqui está descrita uma das definições de Seqüências Geométricas mais
encontradas nos livros didáticos. Toda seqüência de números reais não-nulos em que o
quociente entre cada termo, a partir do segundo, e seu antecessor é uma constante.
Essa constante é chamada razão da P.G. E a indicamos por q. (BIANCHINI, 1998, p.
187).
Pode-se observar claramente que, em nenhum momento foi relacionado o
conceito de função. Além disso, usou de termos que identifiquem posteriormente no uso
de fórmula (o termo “q”) e simplificou por P.G., (abreviatura de Progressões Geométricas)
as Seqüências Geométricas. Termo esse que já se tornou popular entre professores e
alunos, estes últimos, que às vezes, nem sabe o significado do termo em questão.
Em geral, tanto no Ensino Médio quanto nos outros ciclos de ensino, não se
trabalha a idéia de conceito. E, muitas vezes, não sabem nem o que significa.
Os PCN (2002) propõem que, as Seqüências de forma geral e, mais
especificamente, as Geométricas, admita uma conexão a idéia (conceito) de função. E
mais, aproveitar do uso das relações com diferentes funções para a análise da mesma. A
idéia é que, com essa relação das Seqüências Geométricas com Funções, seja possível
associar às Seqüências Geométricas, seus gráficos obtidos talvez a partir da lei de
formação, e relacionar os conceitos de seqüência crescente ou decrescente aos
correspondentes gráficos, permite ao aluno compreender melhor as idéias envolvidas, ao
mesmo tempo em que dá a ele a possibilidade de acompanhar o comportamento de uma
seqüência sem precisar decorar informações, o que seria ideal para um melhor
aprendizado.
Portanto, com essa relação podemos compreender Seqüências Geométricas
como uma função que associa a cada número natural o valor dado pela determinada lei
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de formação e, que essa função é a restrição aos números naturais da função
exponencial. De modo geral, podem dizer que as Seqüências Geométricas são Funções
Exponenciais cujo domínio é o conjunto dos números naturais diferente de zero.
Diferentemente do gráfico da Função Exponencial com domínio real, o gráfico da
Seqüência Geométrica é formado por uma seqüência de pontos pertencentes ao gráfico
de uma função exponencial. Conforme figura abaixo:
Figura 1 – gráfico exponencial real
Figura 2 – gráfico exponencial natural
Com toda essa relação, seria mais simples, para o aluno, obter um conceito de
Seqüência Geométrica. E deixando explícito que, o tratamento diferenciado dado pelos
professores às Seqüências Geométricas não deve existir. E mais, o fato de ser uma
componente curricular do Primeiro Ano do Ensino Médio, deve ser levado em
consideração, dando o merecido respeito à importância que as Seqüências Geométricas
possuem.
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CAPÍTULO III
3.1 Possibilidades Atuais de Ensino/Aprendizagem de Aprendizagem Seqüência Geométrica a partir do Conceito de Função
Décadas atrás, o ensino de Matemática era muito mecânico, não deixava
que os educandos pensassem, apenas obedecessem a comandos. Com o passar
dos anos, foi visto que era necessário que houvesse uma mudança, e a
transformação começou com a nova Lei de Diretrizes e Bases (LDB) de 1996 a Lei
9394/96, que levou uma nova proposta para o ensino.
Mudanças mais claras já podem ser vistas no Ensino Fundamental e no
Médio. Essas mudanças ainda são pouco notadas, mas já apresentam resultados
significativos, pois grupos de professores há muito já fazem pesquisas na área para
ajudar a melhorar, sobretudo, com a utilização dos Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) que apresentam propostas que direcionam o
educador a melhor conduzir o seu trabalho. As
Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio - DCNEM vieram para
direcionar o significado da LDB/96, mostrando que o ensino deve levar o aluno a
raciocinar e interpretar as mudanças e constantes no mundo em que vivem e que
aprendam de maneira interdisciplinar, ou seja, de forma contextualizada, facilitando
o seu entendimento e aprendizagem e, acima de tudo, sabendo para que estão
aprendendo.
As DCNEM consideram o Ensino Médio composto por três áreas do
conhecimento:
( i ) Ciência da Natureza, Matemáticos e suas Tecnologias;
( ii ) Linguagens, Códigos e suas Tecnologias;
( iii ) Ciências Humanas e suas Tecnologias.
Em especial o Ensino de Matemática deve também ser contextualizado,
mostrando as diversas utilizações no cotidiano, nas ciências e em tudo que estiver
ao nosso redor, fazendo, com isso, com que o aluno tome gosto pela disciplina e
torne o seu aprendizado mais prazeroso.
Os outros vêem as DCNEM e os PCNEM, como instrumentos que podem
ajudar a melhorar a educação, mas também observam uma dose elevada de sonho
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e desejo.
Os autores apresentam problemas graves no atual ensino, sobretudo o de
Matemática. Enfocam com bastante ênfase as desigualdades sociais existentes em
nosso país, que dá oportunidades de apenas uma parte da população ter um ensino
mais próximo do ideal.
Eles mostram ainda que a falta de contextualização é bastante freqüente
no ensino de Matemática, tornando essa ciência muito abstrata e sem significado,
quando se sabe muito do que se ensina em Matemática tem um propósito de
utilização. Também observam que o problema não está apenas no ensino da
Matemática, que ocorre também no ensino de outras disciplinas, vendo que o
problema está na educação em geral.
Lellis e Imenes (2001) nos mostram que toda a culpa do fracasso
educacional está sendo jogada nos vestibulares, pois é para isso que se deve
ensinar, eles nos mostram que isso não é verdade, pois o vestibular é mutável e
pode sim ser elaborado para atrair pessoas com uma boa formação. Sendo assim,
ficaria claro que não há boa vontade de mudar-se o sistema, enquanto houver a
quem culpar.
Esses autores nos mostram que o atual ensino de Matemática não está
contribuindo muito para uma boa formação do aluno. Mostram ainda que há a
possibilidade de mudança, pois a autonomia é dada à escola, é só ela querer fazer e
parar de culpar sempre alguém por isso e passar a utilizar os 11 anos letivos dos
alunos para realmente formá-los para uma melhor convivência em sociedade.
Também exemplificam situações em que o ensino de Matemática, o certo
conteúdo matemático, não é necessário para o nosso educando, e mostram ainda
que as nossas leis dão espaço para que haja uma mudança que convirja para isso,
ou seja, para que haja a seleção de conteúdos que sejam realmente necessários e,
sobretudo, que sejam transmitidos de maneira coerente, levando os educandos a
saberem o significado do que estão fazendo ou aprendendo.
Os autores mostram uma seleção de idéias sobre os conteúdos
matemáticos mais interessantes para serem ensinados e os que não necessitam de
uma abordagem tão significativa, mostram ainda o quanto facilita a aprendizagem no
Ensino Médio, se mostrado a ligação que o conteúdo tem com o Ensino
Fundamental, seria para eles excursões nas utilizações do conteúdo, facilitando
assim, o entendimento/aprendizado.
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É apresentado pelos autores, a importância de ter-se um método de
ensino mais apropriado para a realidade de seus educandos, levando em
consideração as referências pedagógicas apresentadas pelas DCNEM e os PCNEM,
que enfatizam a resolução de problemas e raciocínios lógico para melhor
desenvolver a autonomia do aluno e a ética da identidade.
Os autores concluíram que é necessário que haja esforços para que a
educação chegue ao nível que eles desejam e consideram melhor, mas não deixam
de verificar que para esse novo modelo de ensino ser implantado é necessário
muitas mudanças, pois os professores não são formados para isso, mas com a
ajuda de toda a sociedade e de todos que fazem a educação brasileira, isso é
possível.
O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenomenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. Assim, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar no conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções.(BRASIL,2002,p.45).
O trabalho investigativo realizado por Angelim e Gomes Ferreira (2002),
fez uma abordagem de funções dos livros didáticos utilizado nas escolas de Ensino
Médio, a fim de conhecer mais profundamente a atual forma de ensino de função
nessas escolas, tendo como objetivo analisar a qualidade dos livros didáticos e
paradidáticos que estão sendo utilizados nas escolas do Recife. Pretendeu contribuir
para a qualidade do ensino estabelecendo como uma das prioridades de ação o
aprimoramento do livro didático. Os pesquisadores trazem que esta melhoria é
fundamental ao processo ensino – aprendizagem, pois o livro didático ainda se
apresenta como instrumento básico do trabalho pedagógico desenvolvido pelo
professor, dentro e fora da sala de aula, quando não único.
O livro didático não deve apenas repassar informações, mas sim,
apresentar atividades e conteúdos que favoreçam a aquisição do conhecimento
através da reflexão e resolução de exercícios, visando um desenvolvimento crítico e
criativo por parte dos alunos.
A existência de livros que contrariam essa expectativa por conterem erros
e/ou informações equivocadas apontam para a necessidade de uma avaliação
qualitativa do livro didático.Os investigadores remetem a importância de tal pesquisa
21
no que se propõe elaborar guias que subsidie a escolha do livro didático pelos
professores, estabelecer critérios de avaliação que induzam à melhoria de qualidade
da produção do livro didático. Eles apontam em tal projeto a definição de uma
função bem como a função e suas representações caracterizando cada tipo de
função e os equívocos ocorridos nos livros didáticos.
Os pesquisadores se detiveram na sua pesquisa, na análise do livro de
Kátia e Roku e do de Marcondes, Gentil e Sérgio concluindo que com este trabalho
investigativo perceberam que alguns livros não estão de acordo com as propostas
feitas no PCNs, pois não se utilizam de exemplos práticos para definir diferentes
famílias de função, surgindo a partir daí a necessidade de se utilizar mais de um livro
na elaboração das aulas de Matemática e a necessidade também da elaboração de
atividades para a sala de aula que busquem que os alunos comparem funções em
suas diferentes famílias.
Smole, Centurión & Diniz (1989) discutem o ensino de funções, tendo em
vista que este é trazido tardiamente nos currículos de Matemática, apenas no final
do ensino fundamental. O que acontece é que este instrumento tão rico em
possibilidades e abordagens é ensinado em poucos momentos nas 7ªs ou 8ªs
séries. Mas, o ensino de funções pode ser explorado já nas primeiras séries do
ensino fundamental como meio de familiarizar o aluno com tal temática.
As autoras do artigo trazem o conceito de função que esperam passar aos
nossos alunos, sendo ele:“Função é uma lei ou associação entre dois conjuntos que
a cada elemento do primeiro conjunto associa um único elemento do outro.”
(CENTURIÓN, DINIZ & SMOLE ,1989,p.14) .
Tendo em mente que, função é uma espécie de máquina na qual colocamos
um dado do primeiro conjunto e ela atua sobre este dado e nos dá uma resposta que
depende dele (que é o segundo conjunto), as atividades em sala de aula podem ser
orientadas como meio de apropriar esses alunos desses conhecimentos, antes do
estudo de funções. Tal sugestão dos
autores visa um meio pelo qual o aluno possa construir e interpretar tabelas e
gráficos. O trabalho com gráficos, nas primeiras séries escolares, se mostra como
um instrumento complementar das atividades de classificação, ordenação e
visualização das operações aritméticas simples.
22
As autoras posteriormente trazem atividades que propõem a participação do
aluno nos acontecimentos e não apenas expectador, já que a experimentação
fornece oportunidades para a descoberta e formulação de leis e propriedades. São
explorados nessas atividades meios que proporcionem o envolvimento do aluno no
registro de suas observações. As autoras também trazem a preocupação de enfocar
que os gráficos de barra e coluna devem ser utilizados nas aulas de Matemática,
não só para que o aluno entenda este tipo de gráfico, mas como um meio a mais
para alcançar o conceito de função.
As atividades, dentre outras, também propõem a ordenação de dois eixos, o
conceito de função periódica e questionamento sobre o perímetro e área do
quadrado, e gráficos como meio de desenvolver o espírito crítico do aluno a partir do
raciocínio.
Finalmente, concluem trazendo que estas são sugestões que exemplificam o
que pode ser feito com crianças ao longo do ensino fundamental, no sentido de
encaminhar melhor o ensino de funções, através da representação gráfica.
3.1 A Sala de Aula de Matemática e a Teoria das Situações
Segundo Almouloud (1997), o objeto central da Teoria das Situações é a
Situação Didática. A Situação A - Didática é uma parte essencial da situação
didática. É uma situação na qual desaparece a intenção de ensinar, mas é
específica do saber.
Cada conhecimento pode ser caracterizado por uma (das) situação(ões) a
- didática(s) que preserva seu sentido e que Brousseau (1986) chama situações
fundamentais.Uma situação fundamental é um grupo restringido de situações cuja
noção a ensinar é a resposta otimal, situações que permitem introduzir os
conhecimentos em sala de aula numa epistemologia propriamente científica.
Para Legrand (apud Almouloud, 1997, p. ) a situação será fundamental se
tiver o poder de modificar o conformismo escolar; favorecer os conflitos de
racionalidade; e permite a devolução do projeto saber. A situação fundamental deve
ser capaz de transmitir ao aluno o projeto saber sob três formas: (1) possibilite ao
aprendiz “epistemológico” encarar uma mudança de ponto de vista no conhecimento
estudado; (2) permite ao aprendiz psicológico estudar como ele poderia aceitar a
transformação da sua relação ao saber; (3) indica ao aprendiz o tipo de trabalho a
23
fazer para transformar em saber as noções estudadas na situação.
Uma situação didática se caracteriza pelo jogo das interações do
professor com problema que ele propõe ao aluno. O aluno não distingue sempre, na
situação o que é a – didática e o que é de origem didática, isto é, aquilo que o
professor quer ensinar e o que não quer. O processo de ensino-aprendizagem
apóia-se na noção devolução1 que é definida por Brousseau (1986) como o ato pelo
qual o professor faz o aluno aceitar a responsabilidade de uma situação de
aprendizagem (a-didática) ou de um problema e aceita as conseqüências dessa
transferência.
São quatro fases diferentes pelo qual a Teoria das Situações analisa o
processo de aprendizagem, são eles: ação, formulação, validação e
institucionalização. Brousseau (1986) modeliza as situações a-didáticas em termos
de jogo e a situação é caracterizada pelas variáveis.
As variáveis didáticas são aquelas para as quais as escolhas diferentes
provocam modificações ao nível das estratégias ótimas. A determinação dessas
variáveis e o valor do salto informacional a efetuar serão pontos importantes para a
construção das situações. A Teoria das Situações desenvolveu-se a partir de
situações caracterizadas por três tipos de interações fundamentais, tais como: trocas
diretas para uma ação ou uma tomada de decisão, trocas de informações numa
linguagem codificada, trocas dos argumentos.
A dialética da ação consiste em colocar o aprendiz numa situação
chamada ação. A de formulação tem como objetivo a troca de informações. A da
validação, por sua vez, é a etapa na qual o aprendiz deve mostrar porque o modelo
que criou é válido, tem como objetivo principal o debate sobre a certeza das
asserções e as interações com o meio são organizados em conseqüência.
Por fim, a dialética da institucionalização, se feita muito cedo, interrompe
a construção do sentido, impede uma aprendizagem adequada, leva bastantes
dificuldades para o professor e os alunos. Se adiantada, ela reforça interpretações
inexatas, atrasa a aprendizagem e incomoda as aplicações e, ela está negociada
numa dialética.Após a institucionalização feita pelo professor, o saber torna-se como
saber o saber oficial que os alunos devem reter e podem utilizar na resolução de
problemas matemáticos.
1 A devolução era um ato através do qual o rei - por direito divino - abandonava seu poder para remetê-lo a uma câmara. A "devolução" significa: "já não se trata de minha vontade, mas do que vocês devem querer, porém, eu lhes confiro este direito porque vocês não podem reivindicá-lo por si mesmos" (Brousseau, 1996).
24
CAPÍTULO IV
M ETODOLOGIA
4.1 - PESQUISA QUALITATIVA
Este estudo tem uma abordagem qualitativa.
A abordagem qualitativa tem se tornado fundamental no desenvolvimento
sistemático de estudos diversos, especialmente em Educação Matemática. Segundo
Gunther (2006) o que une os mais diversos métodos e técnicas de pesquisa
incluídos nas três grandes famílias de abordagens (analítica, quantitativa ou
qualitativa) é o fato de todos partirem de perguntas essencialmente qualitativas.
Entretanto, esta abordagem qualitativa não está sendo definida por si só, mas em
contraponto à pesquisa quantitativa.
Um técnica qualitativa é aquela em que o investigador sempre faz alegações de conhecimento com base principalmente ou em perspectivas construtivistas (ou seja, significados múltiplos das experiências individuais, significados social e historicamente construídos, com o objetivo de desenvolver uma teoria ou um padrão) ou em perspectivas reivindicatórias/ participatórias (ou seja, políticas orientadoras para a questão; u colaborativas, orientadas para mudanças) ou em ambas. Ela também usa estratégias de investigação como narrativas, fenomenologias, etnografias, estudos baseados em teoria ou estudo de teoria embasado na realidade. O pesquisador coleta dados emergentes abertos com o objetivo principal de desenvolver temas a parir dos dados. (CRESWELL, 2007, p. 35)
Segundo Minayo (2004), a abordagem qualitativa solidifica no campo da
subjetividade e do simbolismo, de forma que a compreensão das relações humanas
e seus significados são dados através das observações e experimentações.
A abordagem qualitativa realiza uma aproximação fundamental e de intimidade entre o sujeito e objeto, uma vez que ambos são da mesma natureza: ela se envolve com empatia aos motivos, às intenções, aos projetos dos atores, a partir dos quais as ações, as estruturas e as relações tornam-se significativas. (MINAYO, 2004, P. 02)
Para Garnica apud Borba (2004), pesquisa qualitativa deve apresentar
algumas características fundamentais que a qualifique como tal:
(a)a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade de uma hipótese a priori, cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou refutar; (c) a não neutralidade do pesquisador que, no processo interpretativo, vale-se de
25
suas perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se desvencilhar; (d) que a constituição de suas compreensões dá-se não como resultados, mas numa trajetória em que essas mesmas compreensões e também os meios de obtê-las podem ser (re)configuradas; e (e) a impossibilidade de estabelecer regulamentações em procedimentos sistemáticos, prévios, estáticos e generalistas. (BORBA, 2004, P.2)
Araújo e Borba apud Borba (2004) ressalvam que pesquisa qualitativa
deve ter por trás uma visão de conhecimento vinculada a diversos procedimentos,
tais como entrevistas, análise de vídeos, etc. e interpretações. A pesquisa qualitativa
prioriza procedimentos descritivos.
Borba (2004) afirma ser através dos procedimentos conhecidos como
qualitativos, a maneira de se compreender que o conhecimento não é ausente de
valores, de intenção e da história de vida do pesquisador, e tudo depende do
contexto sócio-político então existente.
Dessa forma o autor apresenta uma crítica às pesquisas quantitativas inclusive
relacionadas à educação:
As políticas públicas em educação se pautem por pesquisas quantitativas baseadas em testes, muitas vezes com seus resultados sendo pouco interpretados... Já se pode notar críticas à pesquisa qualitativa, com tons que insinuam que estudos abrangentes (de cunho quantitativo) poderiam torna-se o caminho a ser seguido... Independente do caminho que a comunidade, em que todo movimento de pesquisa qualitativa vê exatamente como uma crítica às pesquisas empiricistas, quantitativas com resultados gerais, com “poder de previsão” para políticas públicas. (BORBA, 2004, p.14)
4.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A realização de um trabalho de pesquisa de modo geral, e inclusive na
área de educação, especialmente matemática, requer um embasamento teórico.
Para que a pesquisa tenha fundamento, e possivelmente se alcance o resultado
esperado, diversos procedimentos devem ser tomados, tais como literaturas de
livros, artigos, teses, definições dos objetivos propostos, pesquisa de campo, se
necessário, e escolha do método a se adotar. Segundo Barros (1990) é necessário
que se defina a priori o procedimentoda investigação.
Todo instrumento tem a natureza de estratégia ou tática para a ação e a habilidade em pesquisar, ou seja, definir qual a melhor maneira, proporcionando o desenvolvimento da investigação cientifica. Dá-se, assim, uma articulação entre os instrumentos e as técnicas durante todo o processo de estudo. (BARROS, 1990, p. 70)
26
Assim as estratégias de investigação fornecem uma direção especifica
para os procedimentos da pesquisa. (CRESWELL, 2007). Optou-se por realizar uma
pesquisa social de caráter qualitativo e quantitativo sustentada numa abordagem
teórica. A análise de abordagem quantitativa serviu de referencial para a realização
do objeto de trabalho qe engloba em sua maior parte uma análise qualitativa.
Dessa forma, a pesquisa compreendeu as seguintes etapas: Leitura de
diversos livros relacionados à educação matemática, PCN’s, pesquisas de artigos
em sites científicos, escolha da problemática, escolha da clientela a ser investigada,
observação da escola, entrevistas com alunos e análise de dados.
4.2.1 A coleta dos dados
Os dados foram coletados através de questionários que visam obter uma
definição da prática pedagógica utilizada para o processo de ensino-aprendizagem
da matemática fazendo referencia aos conteúdos já estudados/trabalhados em sala
de aula para melhor aproveitamento da disciplina por parte destes mesmos alunos.
Para operacionalizarmos os objetivos propostos, trabalhamos com 25 alunos, de
uma turma de 2º Ano do Ensino Médio, de uma Escola Pública da Rede Estadual no
município de Senhor do Bonfim, na Bahia, na faixa etária de 16 a 20 anos, no
período de agosto a novembro de 2009, no Colégio Estadual de Senhor do Bonfim.
Utilizamos uma Seqüência Didática como metodologia de ensino e pesquisa.
A Seqüência Didática foi planejada para ser desenvolvida em três
momentos:
1. Pré-teste;
2. Desenvolvimento das aulas e
3. Pós-teste.
O Pré-teste foi feito individualmente, contendo 6 questões, com o objetivo
de identificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre o conceito de Função e
Seqüências Geométricas. Além disso, pudemos aproveitar sua análise para planejar
o desenvolvimento das aulas.
A seguir, passamos a desenvolver as aulas planejadas com o objetivo de
promover a aprendizagem das Sequencias Geométricas a partir do conceito de
Função.Concluída a etapa anterior, passamos à aplicação do Pós-teste. Neste
27
momento, utilizamos as mesmas questões do pré-teste, para identificarmos o nível
de rendimento e de absorção do conteúdo trabalho durante as aulas.
4.2.2 Os sujeitos
Fizeram parte da minha pesquisa, 25 alunos da 2ª série do Ensino Médio
do turno matutino, tendo a faixa etária variante de 16 a 20 anos, alguns repetentes.
Participaram desta pesquisa, 25 (vinte e cinco) alunos, sendo que não houve
seleção para participação, todos quanto desejava tiveram a oportunidade de
acompanhar e realizar o trabalho.
A escolha desta turma se deu a partir de uma análise da grade curricular
da série em questão, pois os conteúdos essenciais para realização e comprovação
da pesquisa, já foram trabalhados, facilitando o processo de entendimento e
desenvolvimento das atividades.
Como a pesquisa em questão é de caráter estritamente acadêmico, e que podem
ser divulgadas futuramente em trabalhos oportunos, as informações obtidas durante
este estudo, serão utilizadas neste trabalho e em nenhum momento será
mencionado o nome dos participantes envolvidos neste estudo.
4.2.3 O instrumento
O instrumento utilizado para esta pesquisa foi a coleta de dados através de
questionários aplicados diretamente aos alunos.
Os mesmos foram produzidos através de observações em sala de aula das
necessidades apresentadas pelos alunos ao falarem de sequência geométrica (PG),
pois os mesmos não acreditavam a aproximação deste conteúdo com nenhum outro.
28
CAPÍTULO V
5 Análise da Seqüência Didática
O Pré-teste foi realizado na Escola Estadual de Senhor do Bonfim (CESB),
numa turma de segundo ano no período da tarde no mês de Agosto. O tempo dado
aos alunos para a resolução foi de 90 minutos. Estavam presentes 25 alunos.
O pré-teste era composto por 6 questões: a primeira e segunda questões
abordavam uma situação-problema relacionada com a variação de grandezas que
exposta por tabelas em ambas as questões – o objetivo era verificar se os alunos
sabiam se essas variações de grandezas tratavam-se ou não, de funções. A terceira
abordava o termo geral de uma seqüência geométrica; a quarta pedia que
encontrasse a razão; a quinta tratava-se da soma dos termos da seqüência
geométrica; a sexta era uma questão dividida em 7 itens, que abordava um
problema onde trabalhava com variação de grandezas de forma exponencial – o
intuito desta questão era promover uma relação entre função exponencial e
seqüências geométricas. Assim como, a sétima e oitava questões trabalhavam com
a função exponencial, sendo que, em ambas, traziam o uso de porcentagem.
A tabela abaixo, mostra o rendimento referente aos 18 alunos que
participaram de todo o trabalho, o restante, por motivos desconhecidos, não vieram
mais para as aulas.
Quadro avaliativa das questões
Questão Acertos
Totais
Acertos
Parciais
Erros Branco
1ª 4 (22,24%) 1 (5,56%) 3 (16,67%) 10 (55,5%)
2ª 2 (11,11%) 1 (5,56%) 3 (16,67%) 12 (63%)
3ª 13 (72,28%) 1 (5,56%) 3 (16,67%) 1 (5,56%)
4ª 1 (5,56%) ----- 9 ( 50%) 8 (44,44%)
5ª 3 (16,67%) ----- 5 (27,8%) 10 (55,6%)
6ª ----- 5 (27,8%) 2 (11,11%) 11 (61,16%)
29
A primeira e segunda questões eram bem simples a respeito de funções.
Os alunos não a fizeram satisfatoriamente, porque não leram com atenção e
também, os que fizeram, não justificaram corretamente.
A terceira, quarta, quinta questões tratavam de questões sobre
seqüências geométricas. A terceira questão teve um alto índice de acertos.
Entretanto, a quarta e quinta questões tiveram baixíssimos índices de acertos.
A sexta questão era a mais extensa do teste, e penso que, por esta razão,
ela foi deixada em branco pela maioria dos alunos e, os que tentaram, fizeram
alguns itens apenas.
Após o Pré-teste, passamos ao desenvolvimento das aulas. Na primeira
aula, foi abordada a compreenção do conceito de função como variação de duas
grandezas, de acordo com o que é proposto nos PCN (2002). Nessa aula, os alunos
trabalharam uma atividade em dupla, esta trazia questões referentes a construções
de gráficos a partir de tabelas já estabelecidas. O objetivo dessa atividade era levar
os alunos a explorar tabelas de dados a fim de descrever comportamentos usando
esboços de gráficos. Liberando os alunos da tarefa de aplicar técnicas pré-
estabelecidas, tais como trabalhar com escalas e plotar pontos cuidadosamente nos
gráficos, e esperando que, eles sejam levados a observar tabelas em seus aspectos
mais gerais, preocupando-se com seu significado qualitativo.
O maior desafio foi justamente liberá-los do método da plotagem dos
pontos. Aos poucos, fui desencorajando-os a manter essa prática. Além disso, a
necessidade de descrever o comportamento dos gráficos foi difícil para eles. A todo
o momento me perguntavam como era pra escrever e muitos tentaram não fazer
essa descrição. Assim como na construção dos gráficos, a minha atitude junto a
eles, fez com que conseguissem, pelo menos nessa atividade, que escrevessem o
que tinham entendido. Fato este que pude perceber que não eram de seus
costumes.
Na segunda aula, a atividade trabalhada foi também em duplas e era
referente às Seqüências Geométricas. Essa tinha duas questões, a primeira contém
um tabuleiro de xadrez e através deste, poderia ser feita à resolução dos três itens
propostos. Esses itens exploravam o “termo geral” de uma seqüência iniciada no
próprio enunciado da questão, se essa seqüência era geométrica ou não e o motivo
e que escrevessem uma expressão matemática que facilitassem os cálculos feitos
30
anteriormente. Essa questão foi facilmente resolvida pelos alunos, que desta vez,
não se impuseram a escrever a sua justificativa.
A segunda questão, além de se tratar de Seqüências Geométricas, trazia
algo que eles sabiam, mas demonstraram esquecimento: a porcentagem.
Fiz uma ligeira revisão sobre porcentagem, mais verbal do que escrita.
Usei de exemplos com quantidade de dinheiro para relembrá-los do assunto. Logo
após, começaram a resolução de mesma que, assim como a primeira, tinha três
itens.
A curiosidade dessa questão era que, trabalhava com uma incógnita, que
na questão foi denominada P0. Os dois primeiros itens, a solução se concentrava em
escrever, não diretamente, uma expressão matemática em relação a P0.
Expressão matemática, que já foi trabalhada também na primeira questão,
para descrever a seqüência estabelecida pelo tabuleiro de xadrez, e que facilitou, de
certo modo, a encontrar a soluções acima citadas.
O objetivo dessa atividade, e da aula, era analisar os conhecimentos pré-
adquiridos sobre Seqüências Geométricas. E, além disso, ir mostrando aos poucos,
que tais expressões matemáticas encontradas por eles, que representavam
Seqüências Geométricas, tratavam-se também de funções.
A terceira e última aula, antes do pós-teste, era a conclusão dos objetivos
específicos, e do geral, conseqüentemente. Como as atividades anteriores,
trabalhamos também em duplas e, era proposta uma questão que envolvia as
Seqüências Geométricas e Função.
A primeira e única questão era formada por cinco itens. Em seu enunciado,
descrevia a mesma situação da atividade proposta na segunda aula, a do tabuleiro
de xadrez. Porém, pedia-se que a expressão matemática encontrada por eles, fosse
trabalhada como “função” e a partir desta, pedia-se o esboço do gráfico, que eles já
tinham visto de antemão, na primeira aula, e que justificassem o comportamento do
gráfico. A seguir, fazia-os as seguintes perguntas: Podemos dizer que se trata do
gráfico das Seqüências Geométricas? Por quê? A resposta dos alunos foi precisa, e
a justificativa também, pois perceberam que aquela situação se tratava se uma
Seqüência Geométrica e que estavam ali, representados no gráfico.
A última pergunta da atividade era a seguinte: Podemos dizer que as
Seqüências Geométricas são funções? Por quê? Essa pergunta foi a mais
importante, pois com ela trazia a conclusão do meu trabalho. Todos os alunos a
31
fizeram corretamente e, ao pergunta-lhes oralmente, sobre isto, me responderam
com convicção de que realmente entenderam o trabalho por mim realizado.
No final da atividade, construímos o gráfico e questionamos que função
era aquele gráfico. Todos responderam que era o da Seqüência Geométrica, mas
para a surpresa de todos, eu os disse que não! Falei que o gráfico exposto no
quadro, era de uma Função Exponencial. Alguns alunos, disseram “É mesmo, eu me
lembro disso! Era do primeiro ano!” já outros retrucaram “Mas você não tinha dito
que era das Seqüências Geométricas?” Foi aí então, que mostrei a diferença.
Expliquei que a função exponencial tinha o domínio real, e por isso aquele gráfico
feito por mim, não era das Seqüências Geométricas e, que o gráfico das Seqüências
tinha o domínio no conjunto dos números naturais, e por esta razão era diferente
deste.
Logo após, fiz o esboço do gráfico, desta vez com o domínio natural. E
logo, em seguida me perguntaram: “Professor, não vai ligar os pontos não?”
Respondi que não, e disse o motivo, de uma maneira bem direta, mas, ao mesmo
tempo, mais simples de se entender, “Vocês já viram 0,7 grãos de milho?” A
resposta foi não, logicamente, mas mesmo assim alguns ainda perguntaram por que
não ligava um ponto ao outro. Logo, disse que essa “ligação” só existiria se existisse
0,7 grãos de milho, pois os números reais compreendem todos os números e os
naturais não. Após isso, a discussão chegou ao fim.
Finalmente chegamos ao pós-teste. Este, como nossa metodologia
propunha, era idêntico ao pré-teste. Estavam presentes 18 alunos e teve uma
duração de 90 minutos.
Quando os entreguei o teste, as reações foram diversas. Uns gostaram do
fato de fazer o teste que de fato já o conheciam, outros então, não queria fazer
novamente o teste que lhe deu tanta “dor de cabeça”. Mas, no final todos fizeram e
satisfatoriamente bem. Diferentemente do pré-teste, eles tomaram a atitude de
responder as questões e me chamaram poucas vezes. O índice de questões em
branco foi baixíssimo e as questões completamente erradas quase não existiu.
A tabela avaliativa abaixo mostra o desenvolvimento dos alunos no pós-teste,
exibindo detalhadamente a quantidade e porcentagem das questões com acertos
totais, parciais, erros e questões em branco, dos 18 alunos que fizeram o pré e o
pós-teste
32
Quadro avaliativa das questões
Questão Acertos
Totais
Acertos
Parciais
Erros Branco
1ª 18(100%) ----- ----- -----
2ª 18(100%) ----- ----- -----
3ª 17(94,44%) ----- 1(5,56%) -----
4ª 8(44,8%) 3(16,67%) 2(11,11%) 5(27,5%)
5ª 6(33,36%) 4(22,24%) 2(11,11%) 6(33,36%)
6ª 5(27,8%) 6(33,36%) 2(11,11%) 5(27,8%)
Os resultados expostos acima mostram a eficiência do trabalho realizado,
como as primeiras questões tiveram 100% de acerto e também questões que no
pré-teste deixaram de ser feitas como a última questão, tiveram um melhor
aproveitamento. E sem falar do fato que eles entenderam as Seqüências
Geométricas como Função, esse trabalho fez com que, vissem novamente, o
conceito de função, a função exponencial e a construção de gráficos, este último,
que apresentou certa dificuldade para os alunos.
Foi uma experiência muito interessante, pois é como se ensinasse vários
conteúdos de uma vez só, mas de uma forma homogênea. E trabalhar seguindo os
PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) (2002), foi a garantia do sucesso do
trabalho. Além disso, o diálogo constante e a troca de idéias entre mediador
(professor) e alunos fez com que os ajudasse bastante.
E o fato mais importante pra mim, aconteceu no fim da terceira aula,
quando ouvi de um aluno a seguinte frase, “Quer dizer que as Seqüências
Geométricas são Funções Exponenciais com domínio nos Naturais!” Isto marcou o
fim de meu trabalho e decretou em mim, a certeza de que tudo foi bem absorvido
pelos alunos e mais, esse método de se ensinar as Seqüências Geométricas, é bem
mais simples e eficaz que os métodos tradicionais, que costumam ainda ser
ensinados.
33
CONSIDERAÇOES FINAIS
Através deste Trabalho Acadêmico Orientado, percebi o quão pouco é
vista e aprendida as Seqüências e, mais especificamente, as geométricas. E mais,
como ela é ensinada de uma forma “convencional” restringido-a apenas ao uso de
fórmulas e memorização e a tratá-la como uma simples P.G.
Por outro lado, vimos como uma nova maneira, diferente para os demais
professores, pode ser tão eficaz. E sem falar, no fato que ao estudarmos acabamos
por revisar ou mesmo até aprender mais sobre funções.
Foi um projeto que, até pelos próprios alunos foi considerado “estranho” e
apenas ao fim, puderam perceber isto. Fato este, que pode ser comprovado com as
análises do Pré/Pós teste, onde houve no pós-teste 73,6 % de acertos totais e
parciais, totalizando numa melhora de 51% em seus resultados.
Melhora esta que por mim foi muito satisfatória, pois foi um trabalho feito de
forma não prolongada e tivemos diversos obstáculos no nosso caminho, que vão
desde a falta de interesse por alguns alunos até a falta de ocasiões para fazê-lo.
No decorrer de nosso trabalho, algumas questões não houve avanço por
parte dos alunos, uma delas foi à justificativa das questões, pois tanto no pré-teste
quanto no pós-teste, pedia-se a justificativa, mas, em ambos, isso não foi totalmente
satisfeito. Creio que pelo fato de terem se desenvolvido numa cultura escolar, onde
não se promoveu o ato de escrever.
Especificamente, nossos objetivos eram de verificar se os alunos
compreendem o conceito de função, este que os alunos mostraram mais afinidade
com esse conceito; identificar que conhecimento os alunos adquiriram sobre
Seqüências Geométricas, onde alguns alunos, quase a metade, disseram que
praticamente não viram as Seqüências Geométricas, o que no final, tornou para
estes, um aprendizado inovador deste conteúdo; compreender Seqüências
Geométricas como Função, este que foi alcançado com o término do
desenvolvimento das aulas.
O meu objetivo geral era construir o conceito de Seqüências Geométricas
a partir do conceito de função e, felizmente, com o cumprimento dos objetivos
específicos, pode ser concluído.
De modo geral, podemos finalizar dizendo que, a nossa pesquisa, que foi
toda baseada nos PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) (2002) e em Smole,
34
Centurión & Diniz (1989) e Imenes & Lellis (2001) fez com que obtivesse-mos
determinado êxito. E que se todos os professores o seguissem corretamente os
PCN’s e tentassem trabalhar com dedicação e procurando sempre o melhor
aprendizado dos alunos, acabaríamos por ter, para os nossos alunos e, futuros
guiadores de nossa sociedade, uma educação a qual todos a mereciam, uma
educação de qualidade.
35
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da Didática da Matemática e Metodologia de Pesquisa. Caderno de Educação Matemática Vol. III PUC - SP, 1997.
ANGELIM, B., GOMES FERREIRA, V. G. Abordagem de funções: uma análise de livros didáticos para o ensino médio. In: Anais do V Encontro Pernambucano de Educação Matemática. Garanhuns: 2002.
BARALDI, Ivete. Matemática na Escola: que ciência é esta? Bauru: Edsc.1999
BARROS, Aidil de Jesus Paes de, LEHFELD, Neide Aparecida de Souza. Projeto de pesquisa: proposta metodológicas. Petrópolis: Vozes, 1990.
BIANCHINI, E., PACCOLA, H. Curso de Matemática - volume único. São Paulo: 2ª edição. Moderna, 1998.
BORBA, Marcelo C. – Pesquisa qualitativa em educação – MG, 21-24 Nov. 2004.
BOYER, C. História da matemática. São Paulo: 2 ed. Edgard Blücher, 1996.
BRASIL. PCN + ENSINO MÉDIO: Orientações Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias / Secretaria de Educação Tecnológica – Brasília: MEC; SEMTEC, 2002.
BROUSSEAU, G. Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 7 (2),p.33-16, 1986.
BURTON, D. The History of Mathematics - An Introduction. Dubuque: Wm. C. Brown Publishers, 1985, p. 10.
CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da Matemática – Tipografia Matemática, Lisboa, 1952.
36
CASSIRER, E .Substance and function: New York: Dover, 1923.
CRESWEL, Jhon W. – Projeto de pesquisa: métodos qualitativos, quantitativos e misto. – 2. Ed – Porto Alegre: Artmed, 2007.
GUNTHER, Hartmut – Pesquisa qualitativa versus pesquisa quantitativa: Esta é a questão? Universidade de Brasília – psicologia: teoria e pesquisa Maio-Agosto 2006, vol. 22 n.2.
LEGRAND, M. (1988.) Genèse et etude sommaire d'une situation co-didatique: débat cientifique en situation d'enseignement. Actes du premier colloque de didactique des mathématiques et l'informatique, Grenoble: La Pensée Sauvage,
LELLIS, M., IMENES, L.M. A matemática e o novo ensino médio. In: Educação Matemática em Revista. SBEM - 2001, nº 9/10 - pp.40-48.
MEDEIROS, K.M. O Contrato Didático e a Resolução de Problemas Matemáticos em Sala de Aula. In: Educação Matemática em Revista, SBEM, nº9/10, 2001.
MINAYO, Maria Cecilia de S. e Odécio Sanches – Qualitativo – Quantitativo : oposição ou complementariedade ? – Cad. Saúde Pública. Vol. 9 nº3. Rio de Janeiro July/Sept. 1993.
MANZANO, A. Iniciação ao xadrez. Trad. Abrão Aspis – 6. ed. – Porto Alegre: Artmed, 2002.
YOUCKEVITCH (1976), The compacto of funcionation up to the middle of the 19th century.
SMOLE, KC.C. , CENTURIÓN, M.R. DINIZ, M.IV.S. A interpretação gráfica e o ensino de funções. In: Revista do Professor de Matemática, SBM. 1989.
SIERSPINSKA, A. (1992). On understanding the notion of function. Em G. Harel & E.Dubinsky (Eds.), The concept of function (pp. 25-58). Washington, EUA:Mathematical Association of America.
37
ZUF, E.M. Alguns aspectos do desenvolvimento histórico do conceito de função. In: Educação Matemática em Revista. SBEM - 2001, nº 9/10 - pp.10-16.
Site Consultado:http://pt.wikipedia.org/wiki/Conceito 19/08/2009.
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ANEXOS E APÊNDICES
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A Biografia de Zenão
Filho de Teleutágoras, Zenão de Eléia (cerca de 495 a.C. - 430 a.C.)
nasceu em Eléia, hoje Vélia, Itália. Pertenceu à escola eleática, ostensivamente
contrário aos pitagóricos em defesa das idéias de seu mestre e amigo Parmênides,
procurava atacar as idéias dos adversários partindo das premissas deles e as
reduzindo ao absurdo e se fez conhecido pelos seus sofismas, visando provar a
doutrina da imutabilidade do ser. Método definido como a dialética de Zenão e
notabilizado em seguida por Sócrates.
Com isso expôs exercícios de lógica aplicáveis à matemática e
demonstrou o paradoxo do movimento. Contrário a matemática e as ciências,
defendia a literatura no ensino das crianças, dentro de um núcleo educacional
denominado de trivium, formado pela gramática, retórica e dialética.
Cronologicamente situado entre Parmênides e Melisso, foi também o segundo em
importância da escola a que pertenceu, destacando-se mais que todos pela sua
dialética e retórica.
Tornou-se um professor muito respeitado em sua cidade, e devido a isso,
envolveu-se bastante com a política local. Juntamente com outros companheiros e
conspiradores, Zenão tentou derrubar o tirano que governava a cidade. Foi preso e
torturado até a morte. A partir de sua morte, tornou-se um herói, deixando uma
marca na lembrança de seus compatriotas contemporâneos. Muitas lendas surgiram
sobre as circunstâncias em que verdadeiramente tudo aconteceu.
Uma dessas versões nos conta que, Zenão ao ser torturado
impiedosamente pelo tirano, em praça pública, e querendo este arrancar-lhe a todo
custo a confissão dos nomes de seus companheiros conspiradores, Zenão primeiro
delatou todos os amigos do tirano como sendo participantes ativos da rebelião e
posteriormente, insultou o próprio tirano, frente a frente, como sendo a peste do
Estado.
Diz-se que Zenão, já todo ensangüentado, postou-se como se quisesse
dizer ainda alguma coisa aos ouvidos do tirano, mordendo-lhe, no entanto, a orelha
e cerrando tão firmemente os dentes, que para soltar teve que ser trucidado pelos
soldados, que o mataram ali naquele instante.
41
Tal história de bravura e coragem espalhou-se posteriormente entre os
cidadãos de Eléia, que por fim reagindo contra a tirania, ergueram-se contra seu
governante, e ganharam a liberdade.
Outros narram que, ao invés da orelha, Zenão teria ferrado seus dentes
contra o nariz do tirano. E outros dizem ainda que, após enormes torturas, Zenão
cortou sua própria língua com os dentes e a cuspiu no rosto do tirano, para lhe
mostrar que jamais delataria nenhum de seus companheiros.
No pensamento panteístico de Zenão, as seguintes características são
por ele atribuídas a Deus:
O primeiro atributo deduzido pelo filosófo para compor o conceito Deus é
a eternidade. Assim, Zenão nos diz: “É impossível que, quando algo é surja; pois
teria que surgir ou do igual ou do desigual. Ambas as coisas são, porém,
impossíveis; pois não se pode atribuir, ao igual, que dele se produza mais do que
deve ser produzido, já que os iguais devem ter entre si as mesmas determinações.
Tampouco pode surgir o desigual do desigual; pois se do mais fraco se originasse o
mais forte, ou do menor o maior, ou do pior o melhor, ou se, inversamente, o pior
viesse do melhor, originar-se-ia o Não-Ser do Ser, o que é impossível; portanto,
Deus é Eterno.”
O segundo atributo que Zenão atribui à divindade é a Unidade, como pode
ser visto nesse argumento: “Se Deus é o mais poderoso de tudo, então lhe é próprio
que seja Um; pois, na medida em que dele houvesse dois ou ainda mais, ele não
teria poder sobre eles; mas enquanto lhe faltasse o poder sobre os outros não seria
Deus. Se, portanto, houvesse mais deuses, eles seriam mais poderosos e mais
fracos um em face do outro; não seriam, por conseguinte, deuses; pois faz parte da
natureza de Deus não ter acima de si nada mais poderosos; pois o igual não é nem
pior nem melhor que o igual – ou não se distingue dele. Se, portanto, Deus é e se
ele é de tal natureza, então só há um Deus; não seria capaz de tudo o que quisesse,
se houvesse mais deuses.”
Quanto à figura, Zenão propõe que Deus tem a forma de uma esfera –
“Sendo Um, é em toda parte igual, ouve, vê e possui também, em toda a parte, os
outros sentimentos, pois, não fosse assim, as partes de Deus dominariam uma
sobre a outra, o que é impossível. Como Deus é em toda parte igual, possui ele a
forma esférica; pois não é aqui assim, em outra parte de outro modo, mas em toda
parte igual.”
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Por fim, Zenão conclui que Deus não é nem limitado nem ilimitado, nem
móvel nem imóvel. Visto que o ilimitado e o imóvel são características do Não-Ser;
e, que o limitado e o móvel são características do Múltiplo, Zenão afirma: “O Um,
portanto, não está nem em repouso nem se movimenta; pois não se parece nem
com o Não-Ser nem com o Múltiplo. Em tudo isso, Deus se comporta assim; pois ele
é eterno e uno; idêntico a si mesmo e esférico, nem ilimitado nem limitado, nem em
repouso nem em movimento.”
Seguindo o pensamento de seu mestre Parmênides, que afirmava a
unidade do Ser, Zenão concebeu contra a pluralidade os seguintes argumentos ou
paradoxos:
”Se a pluralidade existe, as coisas serão ao mesmo tempo limitadas e
infinitas em número.” – De fato, se há mais de uma coisa, vemos que entre a
primeira e a segunda existe, então, uma terceira. Assim, entre a primeira e a
terceira, existirá uma quarta; e assim, ao infinito.
”Se a pluralidade existe, as coisas, ao mesmo tempo, serão infinitas em
tamanho e não terão tamanho algum.” – Igualmente aqui, se duas coisas possuem
cada qual sua espessura, e entre essas duas espessura há uma terceira espessura,
há que se concluir que entre a primeira espessura e essa terceira espessura, haverá
também uma quarta espessura; e assim, ao infinito.
No pensamento dos eleatas, o movimento, tal como as mudanças e as
transformações físicas, nada mais eram do que ilusões provocadas pelos nossos
sentidos. Para propor que o movimento não existe, Zenão concebeu os seguintes
argumentos ou paradoxos, que até hoje são objeto de muita discussão entre
filósofos e cientistas.
Argumento da dicotomia – Imagine um móvel que está no ponto A e
quer atingir o ponto B. Este movimento é impossível, pois antes de atingir o ponto B,
o móvel tem que atingir o meio do caminho entre A e B, isto é, um ponto C. Mas
para atingir C, terá que primeiro atingir o meio do caminho entre A e C, isto é, um
ponto D. E assim, ao infinito.
Argumento de Aquiles – Imagine uma corrida entre um atleta velocista
(Aquiles) e uma tartaruga. Suponhamos que é dada para a tartaruga uma vantagem
inicial em distância. Aquiles jamais a alcançará, porque quando ele chegar ao ponto
de onde a tartaruga partiu, ela já terá percorrido uma nova distância; e quando ele
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atingir essa nova distância, a tartaruga já terá percorrido uma outra nova distância, e
assim, ao infinito.
Argumento da flecha – Uma flecha em vôo está a qualquer instante em
repouso. Ora, se um objeto está em repouso quando ocupa um espaço igual às suas
próprias dimensões e se, a flecha em vôo sempre ocupa espaço igual às suas
próprias dimensões, logo a flecha em vôo está em repouso.
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEBDEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO- CAMPUS VII
COLEGIADO DE MATEMÁTICA
TEMA: Sequencia Geométrica através de Função ExponêncialPESQUISADOR: José Mario Martins Oliveira
Atividade I
A partir da tabela abaixo, esboce um gráfico
relacionando a altura do balão com o alcance de
visão do balonista.
Altura do balão (m) 5 10 20 30 40 50 100 500 1000
Alcance de visão (km) 8 11 16 20 23 25 36 80 112
Do conjunto de gráficos ao lado, escolha
o que melhor representa cada uma das
situações abaixo. Alguns gráficos podem
se relacionar com mais de uma tabela.
Em cada caso, copie o gráfico escolhido,
nomeando seus eixos, e explique o
motivo da escolha. Se não houver um
gráfico adequado, desenhe sua própria
versão.
1. Esfriando Tempo 0 5 10 15 20 25 30
45
(minutos)
café Temperatura
(Co)
90 79 70 62 55 49 44
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
2.
Cozinhando
Peso (kg) 6 8 10 12 14 16 18 20
o peru Tempo (horas) 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
3.
Crescimento
Idade (meses) 2 3 4 5 6 7 8 9
do feto Comprimento
(cm)
4 9 16 24 30 34 38 42
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
4. Após três Tempo (horas) 1 2 3 4 5 6 7
46
Copos de
chopp
Álcool no sangue
(mg/l)
90 75 60 45 30 15 0
_______________________________
_____________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
5. Pássaros em Ano (horas) 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940
uma ilha
vucânica
No de
espécies
0 1 5 17 30 30 30
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
6.
Expectativa
Idade (anos) 0 5 10 20 30 40 60 80 90 100
de vida sobrevivente
s
1000 979 978 972 963 950 808 248 325 1
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEBDEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO- CAMPUS VII
COLEGIADO DE MATEMÁTICA
TEMA: Sequencia Geométrica através de Função ExponêncialPESQUISADOR: José Mario Martins Oliveira
Atividade II
1. Nas casas de um tabuleiro de xadrez numeradas de 1 até 64 foram colocados: 1
grão de arroz na 1ª casa; 2 grãos de arroz na 2ª; 4 grãos na 3ª; 8 grãos na 4ª; e
assim por diante até a última casa.
a) Quantos grãos de arroz irão conter a 8ª casa?
b) Essa situação trata-se de uma seqüência geométrica? Justifique.
c) Encontre uma expressão matemática que facilite o cálculo feito
anteriormente.
2. A torcida de um determinado clube é atualmente dada por P0, mas está
aumentando 3% ao ano. Se esse fato continuar a ocorrer, qual será a torcida
desse clube daqui a:
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a) 5 anos?
b) t anos?
c) Essa situação trata-se de uma seqüência geométrica? Justifique.
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEBDEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO- CAMPUS VII
COLEGIADO DE MATEMÁTICA
TEMA: Sequencia Geométrica através de Função ExponêncialPESQUISADOR: José Mario Martins Oliveira
Atividade III
1. Nas casas de um tabuleiro de xadrez numeradas de 1 até 64 foram colocados: 1
grão de arroz na 1ª casa; 2 grãos de arroz na 2ª; 4 grãos na 3ª; 8 grãos na 4ª; e
assim por diante até a última casa.
a) Encontre uma expressão (função) que satisfaça a seqüência exposta
acima.
b) Com esta expressão, construa o seu gráfico.
c) Justifique o comportamento do gráfico.
d) Podemos dizer que se trata do gráfico de uma Seqüência Geométrica?
e) Podemos dizer que as Seqüências Geométricas são Funções?
50
51
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEBDEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO- CAMPUS VII
COLEGIADO DE MATEMÁTICA
TEMA: Sequencia Geométrica através de Função ExponêncialPESQUISADOR: José Mario Martins Oliveira
Pré/Pós Teste
QUESTÔES:
1. Um trabalhador recebe R$ 10,00 por cada bola de futebol que costura. Ele
consegue costurar de 20 a 25 bolas por mês. O seu salário mensal S está
determinado pelo nº de bolas n que costura, conforme tabela abaixo:
n 20 21 22 23 24 25
S (em
reais)
200 210 220 230 240 250
A representação acima trata-se de uma relação? Justifique a sua resposta.
2. O Instituto de Meteorologia de Porto Alegre quis fazer um estudo da variação da
temperatura à sombra, e media-se de hora em hora. A tabela abaixo expressa o
resultado das medições ao longo de certo dia.
Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Temperatur
a
7 6 5 4 3 2 2 3 5 7 12 15 18
Hora 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Temperatur
a
7 6 5 4 3 2 2 3 5 7 12
A correspondência feita acima é uma relação? Justifique sua resposta.
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3. Seu Antônio abriu uma caderneta de poupança com R$ 20,00 para sua neta,
quando ela completou um ano, e decidiu, para os próximos aniversários,
depositar sempre o dobro do presente do aniversário anterior. Quanto a neta
receberá quando completar 5 anos?
4. Numa pequena cidade com 98.415 habitantes surgiu um boato que se espalhou
da seguinte maneira. No primeiro dia 5 pessoas ficam sabendo e no décimo dia
toda a cidade fica sabendo. A que proporção por dia o boato se espalha?
5. Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de Segunda à
Sábado nas duas últimas semanas que antecediam o Natal. O patrão ofereceu
R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela
recebera no dia anterior, a moça, que não reconhecia P.G., achou a proposta
humilhante, recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a oferta, quanto teria
recebido pêlos 12 dias de trabalho?
6. Ao receitar pílulas para dormir, os médicos devem estar atentos para que os
efeitos da droga tenham desaparecido na manhã seguinte. Para isso, eles
utilizam certas fórmulas para determinar quando o efeito do medicamento terá
acabado. A tabela abaixo mostra essas fórmulas para quatro marcas de pílulas
para dormir diferentes.
Nome Fórmula
TRIZOLAN y =A . (0,84)x
NITROZAN y = A . (0,97)x
PENTOBOM y = A . (1,15)x
METATON y = A . (0,50)x
A = dose inicial da droga (mg)
y = quantidade de droga no sangue (mg/l)
x = tempo após ingestão da droga (h)
Exemplo: 3 horas após ter ingerido 4 mg de Trizolan, uma pessoa terá 2 mg/l de
droga no sangue. y = 4 . (0,84)3 = 2,0
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— Tomando como base o TRIZOLAN, complete a tabela abaixo para mostrar como
a quantidade de droga no sangue se comporta nas 10 primeiras horas.
Tempo (h)
Qtde de droga (mg/l)
— Qual dos gráficos abaixo poderia descrever seus dados?
x
y
x
y
x
y
— Em um mesmo par de eixos, represente o gráfico do comportamento das quatro
drogas citadas, para uma mesma dose inicial de 4 mg. Discuta esse gráfico.
— Uma das drogas não é real. Qual é? Por quê? O que aconteceria se você
tomasse essas pílulas?
— No caso do Trizolam, após quantas horas a droga no sangue é reduzida à
metade?
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— Ainda no caso do Trizolam, explique como a “meia-vida” da droga depende da
dose inicial.
— Investigue os efeitos de tomar uma dose de 4 mg de Metaton a cada 4 horas.
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Termo de Consentimento Livre e EsclarecidoPesquisa envolvendo questionários
Título do estudo: Seqüência Geométrica através de Função ExponencialPesquisador: José Mario Martins OliveiraInstituição/Departamento: Universidade do Estado da Bahia – Departamento de Educação – Colegiado de Matemática – Campus VIITelefone: (74) 9137-5994Local da coleta de dados: Colégio Estadual de Senhor do Bonfim - CESB
Prezado(a) Senhor(a):
Você está sendo convidado(a) a responder às perguntas deste questionário de forma totalmente voluntária;
Antes de concordar em participar desta pesquisa e responder este questionário, é muito importante que você compreenda as informações e instruções contidas neste documento.
O pesquisador deverá responder todas as suas dúvidas antes que você se decidir a participar.
Você tem o direito de desistir de participar da pesquisa a qualquer momento, sem nenhuma penalidade e sem perder os benefícios aos quais tenha direito.
Objetivo do estudo: Construir o conceito de Seqüências Geométricas através do conceito de Função. Essa pesquisa será feita com os alunos da 2ª e 3ª série do Ensino Médio da cidade de Senhor do Bonfim do CENEC – Professora Isabel de Queiroz.
Procedimento: Sua participação nesta pesquisa consistirá apenas no preenchimento deste questionário, respondendo às perguntas formuladas.
Benefícios: Esta pesquisa trará maior conhecimento sobre o tema abordado, sem benefício direto para você.
Riscos: O preenchimento deste questionário não representará qualquer risco de ordem física, moral ou psicológica para você.
Sigilo: As informações fornecidas por você serão confidenciais e de conhecimento apenas do pesquisador responsável. Os sujeitos da pesquisa não serão identificados em nenhum momento, mesmo quando os resultados desta pesquisa forem divulgados em qualquer forma.
Senhor do Bonfim, ___________ de Maio de 2010.
Aluno(a)
_____________________________________José Mário Martins Oliveira
Pesquisador