muh_eko_3

8/2/2019 Muh_Eko_3

http://slidepdf.com/reader/full/muheko3 1/76

1/65 Prof. Dr.Birol ELEVLİ Mühendislik Ekonomisi

NAKİT AKIŞ ÇİZELGESİ

Herhangi bir kişi veya kuruluşnakit kazanımlara(Gelir) ve nakit harcamalara(Gider) sahiptir. İkisinin farkı

Nakit Akışı = Gelir – Gider

olarak tanımlanır.

Aksi belirtilmediği sürece nakit akışları yıllık hesaplanır

Bir yıldaki pozitif nakit akışı NET KAZANCI , negatif nakit akışı ise NET ZARARI gösterir

8/2/2019 Muh_Eko_3



Nakit Akış Çizelgesi

Yıllık nakit akışlarının gösterimi , nakit akış çizelgesiolarak tanımlanır.

Nakit akış çizelgesi, nakit akışlarının bir zaman ölçeği Nakit akış çizelgesi, nakit akışlarının bir zaman ölçeği

üzerinde basit olarak grafiksel gösterimidir,üzerinde basit olarak grafiksel gösterimidir,

0 şimdiki zamanı(anı), 1 ise birinci dönemim sonunu0 şimdiki zamanı(anı), 1 ise birinci dönemim sonunugösterir,gösterir,

Nakit akışlarının sadece dönem sonu oluşacağı Nakit akışlarının sadece dönem sonu oluşacağıdikkate alınır dikkate alınır

8/2/2019 Muh_Eko_3



Nakit Akış Çizelgesi

N a k i t

A k ı ş ı ( T L )

-

+

1 2 3 Yıl

0

Yıllık nakit akışlarının gösterimi , nakit akış çizelgesi

olarak tanımlanır.

Çizelgenin üst kısmı pozitif akışları, alt kısmı ise negatif akışları gösterir

8/2/2019 Muh_Eko_3



Nakit Akışı ve Paranın Zaman Değeri

Yaygın semboller; Yaygın semboller; P : Paranın şimdiki değeri ( P : Paranın şimdiki değeri ( P P resent value) (TL) resent value) (TL)

F: Paranın gelecekteki değeri ( F: Paranın gelecekteki değeri ( F F uture value) uture value)

A: periyodik serilerdeki para miktarı ( A: periyodik serilerdeki para miktarı ( A Annual payment) nnual payment)

G: Düzgün eğimli seride eğim miktarı ( G: Düzgün eğimli seride eğim miktarı ( G G radient) ( radient) ( TL/dönem) TL/dönem)

n : dönem sayıları ( yıl, ay, vb.) n : dönem sayıları ( yıl, ay, vb.)

i : Faiz dönemi başı faiz oranı i : Faiz dönemi başı faiz oranı ( ( I I nterest) (%/yı

l, %/ay, vb) nterest) (%/yıl, %/ay, vb)

8/2/2019 Muh_Eko_3



Paranın Zaman Değeri

Nakit akışları paranın zaman değeri ile ölçülür,Nakit akışları paranın zaman değeri ile ölçülür,Paranın alım gücü zaman içinde azalır.Paranın alım gücü zaman içinde azalır.

Bu azalan miktar “faiz” olarak tanımlanır.Bu azalan miktar “faiz” olarak tanımlanır.

Azalma oranı da faiz oranı olarak bilinir Azalma oranı da faiz oranı olarak bilinir

Faiz Oranı (i)= (Azalma Miktarı /Asıl Miktar) x 100 (%) Faiz Oranı (i)= (Azalma Miktarı /Asıl Miktar) x 100 (%)

Faiz oranındaki zaman dilimi y

aygın olarak 1Faiz oranındaki zaman dilimi yaygın olarak 1yıldır.yıldır.

8/2/2019 Muh_Eko_3



Faiz Hesapları

P : Paranın şu andaki değeri,P : Paranın şu andaki değeri,

F F n n : P’nin n yılı sonundaki toplam değeri: P’nin n yılı sonundaki toplam değeriI I n n : P’nin artış miktarı (Faizi): P’nin artış miktarı (Faizi)

I I n n ‘nin hesaplanması ‘nin hesaplanması Basit Basit veve Bileşik Bileşik faiz olarak faiz olarak yapılıryapılır

8/2/2019 Muh_Eko_3

http://slidepdf.com/reader/full/muheko3 7/767/65 Prof. Dr.Birol ELEVLİ Mühendislik Ekonomisi

8/2/2019 Muh_Eko_3


Faiz Hesaplama (Basit Faiz)

Faizin doğrusal bir fonksiyon olduğunu kabul eder,Faizin doğrusal bir fonksiyon olduğunu kabul eder,

I I n n = P x i x n ve= P x i x n ve F F n n = P + I = P + I n n

iseise

F n = P ( 1+ ( ix n ) )P ( 1+ ( ix n ) )

olarak yazılır.

8/2/2019 Muh_Eko_3


Faiz Hesaplama (Bileşik Faiz)

Bu yaklaşımda i, paranın yığılmalı değerindeki değişimBu yaklaşımda i, paranın yığılmalı değerindeki değişimoranı olarak yorumlanır. Bu yöntemde;oranı olarak yorumlanır. Bu yöntemde;

I I n n = i x= i x F F n-1n-1

iseiseF n = F F n-1n-1 (1+ i) (1+ i) = = P ( 1+ i)( 1+ i ) n

olarak yazılır. Bileşik faiz “faiz üstüne faiz”

anlamına gelir. Toplam faiz ise aşağıdaki gibihesaplanır;

I I n n = P(1+i)= P(1+i)n -P-P

8/2/2019 Muh_Eko_3


ÖRNEK 1

Mayıs ayında 100000 TL’yi bankaya yatıran A şirketi, tamMayıs ayında 100000 TL’yi bankaya yatıran A şirketi, tam

1 yıl sonra bu parayı 106000 TL olarak geri almıştır.1 yıl sonra bu parayı 106000 TL olarak geri almıştır.Kazanılan faiz miktarını ve faiz oranını hesaplayınız.Kazanılan faiz miktarını ve faiz oranını hesaplayınız.

Faiz = Toplam Para – Yatırılan Para

= 106000 – 100000

= 6000 TlFaiz Oranı (i) = (Faiz Miktarı /Anapara) x 100 = (6000/100000) x100

= %6

8/2/2019 Muh_Eko_3


ÖRNEK 2

BBir kişi yıllık %5 faiz ile 20000 Tl borç para almak istemektedir. Buna göre ödemesi gereken faizmiktarını ve toplam ödenecek parayı hesaplayınız

Faiz = Anapara x FaizOranı

= 20000 x 0.05

= 1000 TlBu paranın gelecek değerinisormaktadır

F = P x ( 1+ i)= 20000 x ( 1 + 0.05)

= 21000 TL

8/2/2019 Muh_Eko_3


ÖRNEK 3

Yıllık %6 basit faiz ile borç verilen 1000 TL, 3 yıl sonunda Yıllık %6 basit faiz ile borç verilen 1000 TL, 3 yıl sonundakaç para olarak geri dönecektir?kaç para olarak geri dönecektir?

Yıllık Faiz = Anapara x

Faiz Oranı= 1000 x 0.06

= 60 TlBu paranın gelecek değerini

sormaktadırF = P x ( 1+ ixn)= 1000 x ( 1 + (3x0.06))= 1180 TL

Burada sadece anaparaya faiz

8/2/2019 Muh_Eko_3


ÖRNEK 4

Yıllık %6 bileşik faiz ile borç verilen 1000 TL, 3 yıl Yıllık %6 bileşik faiz ile borç verilen 1000 TL, 3 yıl

sonunda kaç para olarak geri dönecektir?sonunda kaç para olarak geri dönecektir?Burada her yıl sonunda faiz hesaplanır veana para değişmiş olur

1. Yıl Faizi = 1000 x 0.06 = 60 Tl

Bu paranın gelecek değerinisormaktadırF = P x ( 1+ i) n

= 1000 x ( 1 + 0.06) 3

= 1191.02 TL

2. Yıl Faizi = 1060 x 0.06 = 63.60 Tl3. Yıl Faizi = 1123.60 x 0.06 = 67.42 Tl

3.Yıl sonundaki toplam miktar = 1123.6 +67.42 = 1191.02 TL

8/2/2019 Muh_Eko_3


Nominal ve Efektif(reel) Faiz Oranları

Ekonomik hesaplamalarda faiz için 1 yıllık dönemlerin yanında,Ekonomik hesaplamalarda faiz için 1 yıllık dönemlerin yanında,

daha kısa dönemlerle de karşılaşılır. Daha kısa dönem faizdaha kısa dönemlerle de karşılaşılır. Daha kısa dönem faizoranlarının yıllık orana çevrilmişineoranlarının yıllık orana çevrilmişine nominal faiz denir nominal faiz denir veve r harfiharfiile gösterilir,ile gösterilir,

Efektif faiz oranı ise 1 yıl içinde oluşan toplam faiz miktarının, anaEfektif faiz oranı ise 1 yıl içinde oluşan toplam faiz miktarının, anaparaya bölümü ile elde edilen orandır.paraya bölümü ile elde edilen orandır.

NominalNominal,, sözde veya görünen demektir sözde veya görünen demektir ,,

Efektif Efektif ,, etkili, etken veya gerçekleşen demektiretkili, etken veya gerçekleşen demektir

Aralarındaki ilişki Basit ve bileşik faiz oranları gibidir, Aralarındaki ilişki Basit ve bileşik faiz oranları gibidir,

8/2/2019 Muh_Eko_3


Nominal ve Efektif Faiz Oranları

Nominal faiz oranı;Nominal faiz oranı;r = i x m r = i x m Burada; Burada;

r: nominal faiz oranı,r: nominal faiz oranı,

i : dönemin faiz oranı i : dönemin faiz oranı m : 1 yıl içindeki dönem sayısı m : 1 yıl içindeki dönem sayısı

Efektif faiz oranı;Efektif faiz oranı;

i i e e = (1+i) = (1+i) m

-1 = (1 +(r/m)) -1 = (1 +(r/m)) m

-1-1Burada; Burada;

i i e : efektif faiz oranı : efektif faiz oranı

8/2/2019 Muh_Eko_3


ÖRNEK

Faiz oranı yıllık %6 yerine, çeyrek yıllık %6 bileşik faizFaiz oranı yıllık %6 yerine, çeyrek yıllık %6 bileşik faizoranı şeklinde dikkate alınırsa, dönemlik faiz oranıoranı şeklinde dikkate alınırsa, dönemlik faiz oranı%1.5 ve dönem sayısıda 4 olur. Bu koşullara 1000 TL%1.5 ve dönem sayısıda 4 olur. Bu koşullara 1000 TLborç kaç para olarak geri ödenir?borç kaç para olarak geri ödenir?

Yıllık %6 faizle borçlanmada geri ödenecek para

F = P (F/P,i,n) = 1000 (F/1000, %6,1)

= 1000 x 1.0600= 1060 TL

Yıllık %6 çeyrek dönemlik faizleborçlanmada geri ödenecek para

F = P (F/P,i,n) = 1000 (F/1000, %1.5,4)

= 1000 x 1.0614= 1061.4 TL

8/2/2019 Muh_Eko_3


22..Vadeli satışlarda aylık %1.5 oranında faiz uygulayan bir Vadeli satışlarda aylık %1.5 oranında faiz uygulayan bir

mağazanın efektif faiz oranı ne kadardır?mağazanın efektif faiz oranı ne kadardır?

i= 0.015 /dönem, m=12ödeme/yıl

iiee= (1+i)= (1+i)

m

-1 =-1 =(1+0.015)(1+0.015)1212-1-1

= 0.1956 = %19.56= 0.1956 = %19.563.Borç alınan 1000 TL, 4.5 yıl sonra faiziyle 1250 TL3.Borç alınan 1000 TL, 4.5 yıl sonra faiziyle 1250 TL

olarak ödenecektir. Faiz dönemi 6 ay ise, yıllık efektif olarak ödenecektir. Faiz dönemi 6 ay ise, yıllık efektif faiz oranı ne olur?faiz oranı ne olur?

1250 = 1000(1+i)9

Log 1250 = 9 log(1+i)i= 0.0251 6 aylık faiz oranıdır.Buradan;ie=(1+i)2-1 = 0.0508

ÖRNEK

8/2/2019 Muh_Eko_3


DEPOLU FAİZ

Bazı finans kuruluşları verdikleri kredinin bir kısmının bankada depo olarak kalmasını ister. Budurumda reel faiz artar.

i d = (i/(1-s))

i…kredi faiz oranı (%)

s….depo olarak kalan miktarın oranı(%),

id….depolu reel faiz oranı

8/2/2019 Muh_Eko_3


PEŞİN FAİZ

Alınan kredinin faizi peşin olarak kesilirse reel faizfarklı olur;

i = (F A

/P)

FA……Faiz miktarı

P……müşteriye verilen para

8/2/2019 Muh_Eko_3


ÖDEVLER

Sayfa 125…problem 3.3

Sayfa 127….problem 3.16



8/2/2019 Muh_Eko_3


NAKİT AKIŞLARININ EŞİTLENMESİ

Nakit akışları farklı zaman dilimlerinde oluşmaktadır,Farklı zaman dilimlerindeki parasal değerlerin paranın

zaman değeri kapsamında eşitlenmesi gerekir,

Bunun için önce Nakit akımları serilerini bilmek gerekir,

Başlıca 5 adet Nakit Akış (NA) serisi vardır .

8/2/2019 Muh_Eko_3



NAKİT AKIŞLARININ EŞİTLENMESİ

Basit NA: Bu akışta tek bir akış olup, bunun farklızamandaki değerleri aranırTekdüze NA: En çok karşılaşılan durumdur. m

dönemde eşit miktarda akış meydana gelir.Aritmetik Artan NA: Nakit akışları tek düze değil, her

dönem G gibi sabit bir değerde artar veya azalırr.Geometrik NA: Nakit akışları tek düze değil, her

dönem sabit bir oranda (%) artmakta veya azalmaktadır.Düzensiz NA: Dönemler arsında NA’ları farklılık

arzeder.

8/2/2019 Muh_Eko_3



Gelecek ve Bugünkü Değeri Bulma

P biliniyor, Gelecek F değerinin hesaplanması; F = P(1+i)n veya F = P(F/P,i,n)

(1+i)n veya (F/P,i,n) ifadeleri “Tek-ödeme gelecek değer”olarak tanımlanır.

1(1 )

(1 )

n

n P F F i

i

− = = +

+

(1+i)-n veya (P/F,i,n) ifadeleri “Tek-ödeme şimdiki değer faktörü” olarak tanımlanır.

F biliniyor, Bugünkü P değerinin hesaplanması;

8/2/2019 Muh_Eko_3



F/P Faktörü

0

2

4

6

8

10

12

14

0 4 8 12 16 20 24

Dönem (yıl)

F / P

F a k t

ö r ü

5%

10%

12%

15%

20%

8/2/2019 Muh_Eko_3



ÖRNEK

%28 faizle alınan 320000 TL kredinin 10 yıl sonraki geriödemesi ne olur?

F = 320000 x (1+0.28)10 =320000x(F/P,%28,10)

= 320000 x 179.09) = 3777893

%28 faizle ve 10 yıl vadeli alına kredi için 3777893 TLgeri ödenmiştir. Alınan kredi miktarı nedir?

P = 3777893/(1+0.28)10 = 3777893 x(P/F,%28,10)

= 3777893 x 0.0056 = 320000 TL

8/2/2019 Muh_Eko_3



ÖRNEK

Yıllık %6 bileşik faiz ile 1000 TL borç Yıllık %6 bileşik faiz ile 1000 TL borçalınmıştır. 5 yıl sonunda bir defada kaçalınmıştır. 5 yıl sonunda bir defada kaçpara geri ödenecektir?para geri ödenecektir?

Burada paranın gelecek değerini sorulmaktadır

F = P x ( 1+ i )n

= 1000 x ( 1 + 0.06)5

= 1338.2 TL

(F/P,%6,5) = 1338 TL

8/2/2019 Muh_Eko_3



Faiz ve Vadenin Bulunması

Bilinen F ve P değerine karşın bilinmeyen faiz(i)’in bulunması;

log( / )

log(1 )

F P n

i=

+

1/

1

n F

i

P

= −

Bilinen F ve P değerine karşın bilinmeyenvade(n)’nin bulunması;

8/2/2019 Muh_Eko_3



ÖRNEK

Bankaya yatırılan 1000 TL‘nin 5 yıl sonra 2000 TLBankaya yatırılan 1000 TL‘nin 5 yıl sonra 2000 TLolabilmesi için faiz oranı ne olmalıdır?olabilmesi için faiz oranı ne olmalıdır?

i= (F/P)(1/n)-1 eşitliğini

kullanarak

i= (2000/1000)(1/5)-1 = 20.2 -1

= %14.87

8/2/2019 Muh_Eko_3



ÖRNEK

Bankaya yatırılan 1000 TL ‘ninBankaya yatırılan 1000 TL ‘nin %8 faiz%8 faiz oranındaoranında2000 TL olabilmesi için bankada ne kadar süre2000 TL olabilmesi için bankada ne kadar sürekalmalıdır?kalmalıdır?

n= log(F/P)/log(1+i) eşitliğinikullanarak

n= log(2000/1000)/log(1+0.08) = log(2) /log(1.08)

= 0.3010/ 0.0334= 9 Yıl

8/2/2019 Muh_Eko_3



P ve F ile İlgili Özel Durum

Bir yıl içinde birden çok (m) dönemde faiz hesabı yapılırsa; F= P(1+(r/m))mn

P=F / (1+(r/m))mn

Burada m dönem sayısı, r ise nominal faiz

8/2/2019 Muh_Eko_3



Eşit Seri Şimdiki Değer Faktörü

Yukarıdaki nakit akış diyagramında her bir A değeri gelecek değer Yukarıdaki nakit akış diyagramında her bir A değeri gelecek değergibi alınır, ve toplam P değeri aşağıdaki gibi hesaplanırgibi alınır, ve toplam P değeri aşağıdaki gibi hesaplanır

P = AP = A11(1+i) (1+i) -1-1+A+A2 2 (1+i) (1+i) -2 -2 +A+A3 3 (1+i) (1+i) -3 -3 +…….+A+…….+A11(1+i) (1+i) -(n-1) -(n-1) +A+A11(1+i) (1+i) -n -n

Bunu genelleştirirsek; Bunu genelleştirirsek;

0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n

P=?

A:biliniyor

1

(1 )n

k

k

k

P A i −

=

= +∑

8/2/2019 Muh_Eko_3



TEKDÜZE NAKİT AKIMLARINDA HESAPLAR

Eşitliği bazı sadeleştirmelerden sonra,Eşitliği bazı sadeleştirmelerden sonra, A biliniyorsa A biliniyorsa

(1 ) 1 ; 0(1 )

n

ni P A ii i + −= ≠ +

Yukarıdaki eşitlik, A’ya göre yazılırsa; Yukarıdaki eşitlik, A’ya göre yazılırsa; P biliniyorsa P biliniyorsa

(1 )

(1 ) 1

n

n

i i A P

i

+= + −

1(1 )

nk

k

k P A i

−

== +∑

8/2/2019 Muh_Eko_3



ÖRNEK

Yıllık %6 bileşik faiz ile tasarruf hesabına yatırılan para Yıllık %6 bileşik faiz ile tasarruf hesabına yatırılan parayıllık eşit miktarlarla her defasında 2000 TL olarak 5 yılyıllık eşit miktarlarla her defasında 2000 TL olarak 5 yılboyunca geri çekilmek istenmektedir. İlk para çekme ,boyunca geri çekilmek istenmektedir. İlk para çekme ,hesaba para yatırdıktan 1 yıl sonra çekileceğine görehesaba para yatırdıktan 1 yıl sonra çekileceğine görehesaba yatırılması gereken para ne kadardır?hesaba yatırılması gereken para ne kadardır?

P = A[((1+i)P = A[((1+i)nn-1)/(i(1+i)-1)/(i(1+i)nn )]; )];

= 2000[((1+0.06)= 2000[((1+0.06) 4 4-1)/ -1)/ (0.06(1+0.06)(0.06(1+0.06)55 )]; )];

1 2 3

P=?

4 5

A=2000 TL

=2000 [0.3382/0.0803]= 8424.8 TL

8/2/2019 Muh_Eko_3



ÖRNEK 3Bir önceki örnekte İlk para çekme , hesaba paraBir önceki örnekte İlk para çekme , hesaba para

yatırdıktan 3 yıl sonra çekilmeye başlansa hesabayatırdıktan 3 yıl sonra çekilmeye başlansa hesabayatırılması gereken para ne kadar olmalıdır?yatırılması gereken para ne kadar olmalıdır?

Yıllık birikimleri t=2’de tek seferdeYıllık birikimleri t=2’de tek seferde

çekecek gibi düşünürsek çekecek gibi düşünürsek

P= 2000[((1+0.06)P= 2000[((1+0.06) 4 4

-1)/(0.06(1+0.06)-1)/(0.06(1+0.06)55

)]; )];

1 2 3

P=?

4 5

A=2000 TL

6 7

8424.8Tl

Değerinin bugünkü değerinide bulmamızgerekir

P=F(P/F,%6,2)=8424.8x0.8900 = 7498 TL

=2000[0.3382/0.0803]

= 8424.8 TL

8/2/2019 Muh_Eko_3



TEKDÜZE(Eşit) Seri Gelecek Değer Faktörü

Yukarıdaki nakit akış diyagramında her bir Yukarıdaki nakit akış diyagramında her bir A Adeğerinin şimdiki eşdeğeri n.döneme taşınarakdeğerinin şimdiki eşdeğeri n.döneme taşınaraktek toplamtek toplam F eşdeğerineF eşdeğerine dönüştürülür.dönüştürülür.

(1 ) 1ni F A

i

+ −=

0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n

F=?

A:biliniyor

(1 ) 1n

i A F

i

= + −

8/2/2019 Muh_Eko_3



ÖRNEK

Bir tasarruf hesabında, 30 yıl süreyle yıllık 1000 TLBir tasarruf hesabında, 30 yıl süreyle yıllık 1000 TLyatırılırsa, %8 bileşik faiz koşullarında son parayatırılırsa, %8 bileşik faiz koşullarında son parayatırıldıktan hemen sonra ne kadar para birikmişyatırıldıktan hemen sonra ne kadar para birikmişolur?olur?

(1 ) 1n

i F Ai

+ −=

F=1000[(1+0.08)30-1) /0.08

Eşitliğinde değerleri yerine koyarsak

= 1000(113.238)= 113283 TL

8/2/2019 Muh_Eko_3



ÖRNEK

Bir tasarruf hesabında 15 yıl sonra 150000 TLBir tasarruf hesabında 15 yıl sonra 150000 TLolması isteniyorsa, yıllık %8 bileşik faizolması isteniyorsa, yıllık %8 bileşik faizkoşullarında her yıl ne kadar para yatırılmalıdır?koşullarında her yıl ne kadar para yatırılmalıdır?

A=150000[0.08 /(1+0.08)15-1) ]

Eşitliğinde değerleri yerine koyarsak(1 ) 1n

i A F i

= + −

= 150000(0.0368)

= 5524.4 TL

8/2/2019 Muh_Eko_3



Faiz Faktörleri

Herhangi bir problemde, faiz oranı ve dönemini içerenHerhangi bir problemde, faiz oranı ve dönemini içerenfaiz formülleri doğrudan kullanılabildiği gibi, bufaiz formülleri doğrudan kullanılabildiği gibi, buformüllerde yer alan bazı faktörler çizelgelerdenformüllerde yer alan bazı faktörler çizelgelerdenbulunabilir.bulunabilir.

Değişik faktörler için standart yazım biçimi geliştirilmiştirDeğişik faktörler için standart yazım biçimi geliştirilmiştir

(X/B,i,n) (X/B,i,n)

X…X… hesaplanacak değer hesaplanacak değer

B…B… bilinen değer bilinen değer

i…i… faiz oranı faiz oranı

n…n…dönem sayısı dönem sayısı

8/2/2019 Muh_Eko_3



Faiz Faktör

Faktör İsmi İstenen Bilinen Faktör Eşitlik

Tek ödeme şimdikideğer

P F (P/F,i,n) P=F(P/F,i,n)

Tek ödeme gelecek değer

F P (F/P,i,n) F=P(F/P,i,n)

Eşit seri şimdiki değer P A (P/A,i,n) P=A(P/A,i,n)

Eşit seri dönemlik ödeme

A P (A/P,i,n) A=P(A/P,i,n)

Eşit seri gelecek değer F A (F/A,i,n) F=A(F/A,i,n)

Dönemlik ödeme,gelecek değer

A F (A/F,i,n) A=F(A/F,i,n)

8/2/2019 Muh_Eko_3



Eğimli Nakit Akışları P,F ve A Değerleri Bulma;

Harcama veya gelirlerin belirli bir eğimle azalıpHarcama veya gelirlerin belirli bir eğimle azalıp

çoğaldığı nakit akışlarıdır. Azalan veya artançoğaldığı nakit akışlarıdır. Azalan veya artanmiktar eğim olarak tanımlanmaktadır.miktar eğim olarak tanımlanmaktadır. Tekdüze veya doğrusal eğimli seriler,Tekdüze veya doğrusal eğimli seriler,

Geometrik eğimli serilerGeometrik eğimli serilerNakit akışlarındaki bu değişim miktarı derece veyaNakit akışlarındaki bu değişim miktarı derece veyaeğim olarak adlandırılarak eğim olarak adlandırılarak G G harfi ile gösterilir.harfi ile gösterilir.

G yıllık kazanç veya harcama miktarındaki değişimiG yıllık kazanç veya harcama miktarındaki değişimi

gösterir.gösterir.

8/2/2019 Muh_Eko_3



Eğimli Nakit Akışları grafiksel gösterim

1 2 30 n

A1

A1+G

A1+2G

A1+(n-1)G

Artan eğim

1 2 30 n

A1 A1-GA

1

-2G

A1-(n-1)G

Azalan eğim

Taban ödeme

8/2/2019 Muh_Eko_3



Eğimli Nakit Akışları;

Tekdüze eğim, şimdiki değer formülüTekdüze eğim, şimdiki değer formülü

2

1 (1 ) (1 )n nni i P G

i

− − + +=

(1 ) 1nG i F n

i i

+ −= −

1

(1 ) 1n

n A G

i i

= − + −

Tekdüze eğim gelecek zaman değeriTekdüze eğim gelecek zaman değeri

Tekdüze eğimi yıllık eşdeğere dönüştürmeTekdüze eğimi yıllık eşdeğere dönüştürme

( / , , )( / , , ) ( / , , ) A G P G i n A P i n G A G i n= =

( / , , ) F G F G i n=

( / , , ) P G P G i n=

8/2/2019 Muh_Eko_3



1

Örnek

Yıllık %6 bileşik faizin ödendiği tasarruf hesabında her yıl birer adet Yıllık %6 bileşik faizin ödendiği tasarruf hesabında her yıl birer adet

hisse senedi biriktirilecektir. İlk değeri 300TL olan senet her yılhisse senedi biriktirilecektir. İlk değeri 300TL olan senet her yıl100 TL’lik artış göstermektedir. Yapılan beş tasarruf sonunda100 TL’lik artış göstermektedir. Yapılan beş tasarruf sonundahesapta ne kadar para birikmiş olur?hesapta ne kadar para birikmiş olur?

1 2 30 4

300400

500

5

Buradaki eğimli seri öncelikle eşit ödemeler serisine dönüştürülür. G(A/G,i,n)faktörünü çizelgeden bulur ve A= G(A/G,i,n) ‘de yerine koyarsak;

A=G(A/G,i,n)=100(A/100,%6,5)=Artış olduğuna göre yıllık eşit toplam değer 300+188.36=488.36TL’dir.Bu eşit seri bir gelecek değere dönüştürülürse;

F=A(F/A,%6,5)=188.36(5.6375)=

100(1.8836)=188.36TL

2572.93 TL

1 2 3 4 5

3002 3 4 5

100

200300

400

8/2/2019 Muh_Eko_3



100

Örnek

Yıllık %8 bileşik faiz ödemesi yapan bir fonda 5 yıllık tasarruf Yıllık %8 bileşik faiz ödemesi yapan bir fonda 5 yıllık tasarruf

yapılmıştır. İlk tasarruf miktarı 800TL olup, diğer tasarruflar her yılyapılmıştır. İlk tasarruf miktarı 800TL olup, diğer tasarruflar her yıl100 TL azalmıştır. Yapılan beş tasarruf sonunda hesapta ne kadar100 TL azalmıştır. Yapılan beş tasarruf sonunda hesapta ne kadarpara birikmiş olur?para birikmiş olur?

1 2 30 4

800700

600

5

Buradaki eğimli seri öncelikle eşit ödemeler serisine dönüştürülür. G(A/G,i,n)faktörünü çizelgeden bulur ve A= G(A/G,i,n) ‘de yerine koyarsak;

A=G(A/G,i,n)=100(A/100,%8,5)=Azalma olduğuna göre toplam yıllık eşit değer 800-184.65=615.35 TL’dir.Bu eşit seri bir gelecek değere dönüştürülürse;

F=A(F/A,%8,5)=615.35(5.8666)=

100(1.8465)=184.65TL

3610.01 TL

500400

1 2 3 4 5800

1 2 3 4 5

200300

400

8/2/2019 Muh_Eko_3



100

Örnek

Yıllık %8 bileşik faiz ödemesi yapan bir fonda 5 yıllık tasarruf Yıllık %8 bileşik faiz ödemesi yapan bir fonda 5 yıllık tasarruf

yapılmıştır. İlk tasarruf miktarı 800TL olup, diğer tasarruflar her yılyapılmıştır. İlk tasarruf miktarı 800TL olup, diğer tasarruflar her yıl100 TL azalmıştır. Yapılan beş tasarruf sonunda hesapta biriken100 TL azalmıştır. Yapılan beş tasarruf sonunda hesapta birikenparanın bugünkü değeri nedir?paranın bugünkü değeri nedir?

1 2 30 4

800700

600

5

Bir önceki örnek gibi yapıp, bugünkü değeri hesaplarız

P=A(P/A,%8,5)=615.35(3.9927)=İki ayrı serinin farkı gibide hesaplarız 2456.91 TL

500400

1 2 3 4 5800

1 2 3 4 5

200300

400

P=A(P/A,%8,5)-G(P/G,%8,5)=800(3,9927)-100(7,372)

P= 3194,16-737,2 =2456,96

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek

Aşağıdaki akış şeması için %8 bileşik faiz oranı için eşdeğer Aşağıdaki akış şeması için %8 bileşik faiz oranı için eşdeğer

yıllık seriyi ve şimdiki değeri hesaplayınız.yıllık seriyi ve şimdiki değeri hesaplayınız.

Kırmızı yıllar için taban değer 40 TL olup, artış 10 TL, bunun yıllık eşdeğeri aşağıdakigibi bulunur;

P=A(P/A,%8,4)(P/F,%8,3) = 142,074 TL

0 1 2 3 4 5 6 7

100110

120130

A1=60

0 1 2 3 4

A=G(A/G,i,n)=10(A/10,8,4)=10(1.404)=14.04TLArtış olduğuna göre yıllık eşit toplam değer 40+14.04=54.04TL’dir.Bunun bugünkü değeri ise; eşit seri bir gelecek değere dönüştürülürse;

54,04x3,3121x0,7938=

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek ..

Bugünkü değerin yıllık ödemelerini hesaplarsak ,

P=A(P/A,%8,7) = 454,46 TL

A=P(A/P,%8,7)=142,074x0,1921=27,29 TL

Bu değere 60 TL yıllık ödemeyi eklersek, yıllık eşdeğer seri

= 60+27,2=87,29TLolur. Buradan da toplam bugünkü değer

87,29x5,2064=

olarak hesaplanır

8/2/2019 Muh_Eko_3



Geometrik Eğimli (Eskalasyonlu) Nakit Akışları;

Nakit artış veya azalışı bir dönemden sonrakineNakit artış veya azalışı bir dönemden sonrakinesabit bir % ile değiştiği durumdur. Uygulamadasabit bir % ile değiştiği durumdur. Uygulamadaenflasyon veya deflasyonun etkilediği nakitenflasyon veya deflasyonun etkilediği nakitakışıdır.akışıdır.

g,g, ödemelerin yıllık değişim oranıdırödemelerin yıllık değişim oranıdır

1 2 30 n

A1

A1(1+g)1

Taban ödemeA1(1+g)2

A1(1+g)n-1

8/2/2019 Muh_Eko_3



Geometrik Eğimli Nakit Akışları;

Geometrik eğim, şimdiki değer formülüGeometrik eğim, şimdiki değer formülü

1

1

1 (1 ) (1 ) );

( )

;1

n n g i A i g

i g P

n A i g

i

− − + +≠ − =

= +

Tekdüze eğim gelecek zaman değeriTekdüze eğim gelecek zaman değeri

1

1

1

(1 ) (1 ) );

( )

(1 ) ;

n n

n

i g A i g

i g F

A n i i g −

+ − +≠ −=

+ =

1

1

[1 ( / , , )( / , , );

( )

( / , ,1);

A P F i n F P g ni g

i g P

A n P F i i g

− ≠

−= =

1 1( / , , , ) P A P A g i n=

1 1( / , , , ) F A F A g i n=

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek

Bir işletmede bugün 1000 TL olan giderler, gelecek Bir işletmede bugün 1000 TL olan giderler, gelecek 5 yıl boyunca enflasyon nedeniyle her yıl %105 yıl boyunca enflasyon nedeniyle her yıl %10artacağı, ve bu sürede faiz oranının %8 olacağıartacağı, ve bu sürede faiz oranının %8 olacağıbeklenmektedir. Bu harcama serisinin bugünkübeklenmektedir. Bu harcama serisinin bugünküeşdeğeri ne olur?eşdeğeri ne olur?

1

1

1 (1 ) (1 ) )

( )

n g i P A

i g

− − + + = = −

Bu problemde, i=0.08, g=0.1, n=5, ve A1=1000 TL’dir.

Görüldüğü gibi g>i. Formülde değerleri yerine koyarsak;

5 51 (1 0.1) (1 0.08) )1000

(0.08 0.1)

− − + + = − 4804TL

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek

Bir yatırıma yönelik ödemelerin 5 yıl boyunca her yılBir yatırıma yönelik ödemelerin 5 yıl boyunca her yıl%4 oranında artacağı tahmin edilmektedir. İlk %4 oranında artacağı tahmin edilmektedir. İlk ödeme 1000 TL ve faiz oranı %10 olursa, buödeme 1000 TL ve faiz oranı %10 olursa, buserinin bugünkü eşdeğeri ne olur?serinin bugünkü eşdeğeri ne olur?

1

1

1 (1 ) (1 ) )

( )

n g i P A

i g

− − + + = = −

Bu problemde, i=0.1, g=0.04, n=5, ve A1=1000 TL’dir.Görüldüğü gibi g<i. Formülde değerleri yerine koyarsak;

5 51 (1 0.04) (1 0.1) )1000

(0.1 0.04)

− − + +=

− 4076TL

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek

Yıllık %6 bileşik faiz ödemesi yapılan bir tasarruf Yıllık %6 bileşik faiz ödemesi yapılan bir tasarruf hesabında, her yıl tasarruf edilen hisse senetlerininhesabında, her yıl tasarruf edilen hisse senetlerininher biri yıllık kazanç sağlamaktadır. Senetlerinher biri yıllık kazanç sağlamaktadır. Senetlerindeğer artışı her yıl %5, ilk tasarruf ise 500 TL’dir.değer artışı her yıl %5, ilk tasarruf ise 500 TL’dir.10.tasarruftan hemen sonra fonda ne kadar para10.tasarruftan hemen sonra fonda ne kadar para

birikmiştir?birikmiştir?

1 1( / , , , )500( / 500, %5, %6,10)

F A F A g i n F

==

Bu problemde, i=0.6, g=0.05, n=10, ve A1=500 TL’dir.

Formülde değerleri yerine koyarsak;

8095.00TL=500 16.190 x=

8/2/2019 Muh_Eko_3



Geometrik Eğimli Akış Özel durumu

Dikkate alınan ödeme dönemi boyunca nakitDikkate alınan ödeme dönemi boyunca nakitakışlarındaki değişim geometrik eğimli serilerdeakışlarındaki değişim geometrik eğimli serilerdeolduğu gibi belirli bir yüzde (%) ile değişir. Bu türolduğu gibi belirli bir yüzde (%) ile değişir. Bu türnakit akışlar eskalayonlu nakit akışı olarak nakit akışlar eskalayonlu nakit akışı olarak isimlendirilir.isimlendirilir.

Burada, g yerine E; ABurada, g yerine E; A1 yerine D simgesi kullanılır.yerine D simgesi kullanılır.

1 2 30 n

D

D(1+E)1

D(1+E)2

D(1+E)n-1

P=?

8/2/2019 Muh_Eko_3



Eskalasyonlu akış, şimdiki değer;

Şimdiki değer formülüŞimdiki değer formülü

(1 ) /(1 ) ) 1;

( )

;1

n n

E

E i D E i

E i P

n D E i E

+ + −≠ − =

= +

Ö

8/2/2019 Muh_Eko_3



1

Örnek

8000 TL’ye satın alına bir makinenin, 6.yıl sonunda 1300 TL hurda8000 TL’ye satın alına bir makinenin, 6.yıl sonunda 1300 TL hurda

bedelle elden çıkarılabileceği beklenmektedir. Makineninbedelle elden çıkarılabileceği beklenmektedir. Makineninçalıştırma giderleri ilk yıl 1700 TL, sonraki yıllarda ise %8çalıştırma giderleri ilk yıl 1700 TL, sonraki yıllarda ise %8oranında artacağı beklenmektedir. Yıllık faiz %10 ise, makineninoranında artacağı beklenmektedir. Yıllık faiz %10 ise, makinenineşdeğer şimdiki gideri ve eşdeğer yıllık giderini hesaplayınız,eşdeğer şimdiki gideri ve eşdeğer yıllık giderini hesaplayınız,

2 30

1700

1700(1.08)

1700(1.08)2

1700(1.08)5

PE=?

4 5 6

8000

1700(1.08)3

1700(1.08)4

1300

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek (dev.)

E, i’ye eşit olmadığı için aşağıdaki bağıntı ile 1.yıldaki DE, i’ye eşit olmadığı için aşağıdaki bağıntı ile 1.yıldaki D

miktarı ile başlayan eskalasyonlu bir serinin şimdikimiktarı ile başlayan eskalasyonlu bir serinin şimdikideğeri bulunurdeğeri bulunur

Buradan da toplam bugünkü maliyet aşağıdaki bağıntı ile

hesaplanır;

(1 ) /(1 ) ) 1

( )

n n

E

E i P D

E i

+ + −= −

0.104317000.02

− = − −

8862TL= −

P T=(-8000)+(-8862)+1300(P/F,%10,6)

=-16862 + 1300x0.5645=-16128.5

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek(dev.)

Buradan da söz konusu makinenin tekdüze yıllık gideri bulunur

A=P T(A/P,%10,6)

=-16128.5x0.2296

=-3703 TL/YIL

Ö

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek

20000 TL’ye satın alınan bir makinenin, 12 yıl sonunda 3000 TL hurda20000 TL’ye satın alınan bir makinenin, 12 yıl sonunda 3000 TL hurda

bedelle elden çıkarılabilecektir. Makinenin çalıştırma giderleri ilk 3 yılbedelle elden çıkarılabilecektir. Makinenin çalıştırma giderleri ilk 3 yılboyunca 2000 TL/yıl, sonraki 5 yıl boyunca %6 daha fazla, kalanboyunca 2000 TL/yıl, sonraki 5 yıl boyunca %6 daha fazla, kalanyıllarda ise 4000 TL/yıl olacağı beklenmektedir. Makineden bekleneyıllarda ise 4000 TL/yıl olacağı beklenmektedir. Makineden beklenegelir ise ilk iki yıl 5000 TL/yıl, sonraki 5 yıl bir önceki yıla göre 2000gelir ise ilk iki yıl 5000 TL/yıl, sonraki 5 yıl bir önceki yıla göre 2000TL daha fazla, ve sonraki yıllarda ise her yıl 1000 TL daha düşük TL daha fazla, ve sonraki yıllarda ise her yıl 1000 TL daha düşük

olacağı tahmin edilmiştir. Yıllık faiz %10 ise;olacağı tahmin edilmiştir. Yıllık faiz %10 ise; Problemin akış şemasını çiziniz,Problemin akış şemasını çiziniz, Nakit akışı eşdeğer şimdiki değeri bulunuz,Nakit akışı eşdeğer şimdiki değeri bulunuz, Nakit akışı eşdeğer gelecek değeri bulunuz,Nakit akışı eşdeğer gelecek değeri bulunuz,

Nakit akışı eşdeğer yıllık değeri bulunuz,Nakit akışı eşdeğer yıllık değeri bulunuz,

Yatırım kararını irdeleyiniz Yatırım kararını irdeleyiniz

8/2/2019 Muh_Eko_3



1

Örnek-Çözüm

a) Akış şeması aşağıda verilmiştir.a) Akış şeması aşağıda verilmiştir.

2 30

2000 TL/yıl

3000TL

4000 TL/yıl

PE=?

4 5 6

20000TL

g=%8

G=-1000TL/yıl

5000TL

7 8 9 10 11 12

G=1000TL/yıl

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek

b) Nakit akışı eşdeğer şimdiki değeri; b) Nakit akışı eşdeğer şimdiki değeri; çizelgedeki tüm değerleriçizelgedeki tüm değerleri bugüne indirgersek; bugüne indirgersek;

P=P= 5000(P/A,%10,12)+5000(P/A,%10,12)+ 2000(P/G,%10,5)(P/F,%10,1)2000(P/G,%10,5)(P/F,%10,1)

++1000(P/G,%10,6)(P/F,%10,6)+1000(P/G,%10,6)(P/F,%10,6)+3000(P/F,%10,12)3000(P/F,%10,12)

--[[2000020000++2000(P/A,%10,2)2000(P/A,%10,2)++2000(P/A1,%6,%10,6)(P/F,%10,2)2000(P/A1,%6,%10,6)(P/F,%10,2)++4000(P/A,%10,4)(P/F,%10,8)4000(P/A,%10,4)(P/F,%10,8)]]

==5000(6.8137)+5000(6.8137)+2000(6.862x0.9091)2000(6.862x0.9091) ++1000(4.3553)(0.5645)1000(4.3553)(0.5645)

++

3000(0.3186)3000(0.3186)

--[[2000020000

++

2000(1.7355)2000(1.7355)

++

2000(4.982)(0.8264)2000(4.982)(0.8264)

++4000(3.1699)(0.4665)4000(3.1699)(0.4665)]]

= 29000 TL= 29000 TL

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek

c)c) Nakit akışı eşdeğer gelecek değeri Nakit akışı eşdeğer gelecek değeri

F= P(F/P,%10,12)= 29000 x (3.138) = 91002 TLF= P(F/P,%10,12)= 29000 x (3.138) = 91002 TL

d) Nakit akışı eşdeğer yıllık değeri bulunuz,d) Nakit akışı eşdeğer yıllık değeri bulunuz,

A=P(A/P,%10,12)=29000x(0.1468) = 4257 TL/YILA=P(A/P,%10,12)=29000x(0.1468) = 4257 TL/YIL

A=F(A/F,%10,12)=91002x(0.0468) = 4259 TL/YILA=F(A/F,%10,12)=91002x(0.0468) = 4259 TL/YIL

e) Yatırım kararını irdeleyinize) Yatırım kararını irdeleyiniz

Bugünkü eşdeğer pozitif olduğu için yatırım kararı olumluBugünkü eşdeğer pozitif olduğu için yatırım kararı olumlugörülmektedir görülmektedir

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek Araba satın almak için size iki seçenek sunulmuş. HangisiniAraba satın almak için size iki seçenek sunulmuş. Hangisini

seçersiniz;seçersiniz;a) Arabanın vadeli bugünkü fiyatı 26200 TL ve %1.9 yıllık a) Arabanın vadeli bugünkü fiyatı 26200 TL ve %1.9 yıllık efektif faiz oranlı ve aylık eşit ödeme ile 36 ay ödeyeceksiniz.efektif faiz oranlı ve aylık eşit ödeme ile 36 ay ödeyeceksiniz.

b) Peşin ödeyerek arabayı 24048 TL’ye alacaksınız, Ancak b) Peşin ödeyerek arabayı 24048 TL’ye alacaksınız, Ancak

bu parayı bir fona yatırsaydın %5 yıllık faizli ancak aylık bu parayı bir fona yatırsaydın %5 yıllık faizli ancak aylık ödemeli gelir elde edecektin.ödemeli gelir elde edecektin.

1.Seçenekte aylık ödemeler; aylık faiz oranı = %1,9/12

A = P[((1+i) A = P[((1+i)nn-1)/(i(1+i)-1)/(i(1+i)nn )]; )];

= 26200[( ((0.019/12)(1+(0.019/12))= 26200[( ((0.019/12)(1+(0.019/12))3636 )/ )/

(1+(0.019/12)(1+(0.019/12)3636-1)];-1)]; = 749.29 TL

8/2/2019 Muh_Eko_3



Örnek(dev.)

2.Seçenek de bir fırsat maliyeti oluşmuştur. Bunu mukayese etmek 2.Seçenek de bir fırsat maliyeti oluşmuştur. Bunu mukayese etmek için, 1. seçenekteki durumun bugünkü değerini %5 yıllık faizdeniçin, 1. seçenekteki durumun bugünkü değerini %5 yıllık faizdenhesaplamak gerekir.hesaplamak gerekir.

i= 0.05/12=0.004167P=A(P/A,%5/12,36)= 749.29 [((1+0.05/12) [((1+0.05/12)36-1)/ -1)/ (0.06/12(1+0.06/12)(0.06/12(1+0.06/12)36 )]; )];

= 25000 TL

İ İ İ İ İ İ

8/2/2019 Muh_Eko_3



İSKONTO (İNDİRİM) İŞLEMLERİ

İşletmelerin sık karşılaştığı bir durumdur Gelecekte elde edilecek paranın belirli bir iskontooranı üzerinden vadesinden önce tahsiline denir.

İSKONTO

Bileşik

Basir

İç İskont

o

Dışİskont

o

İç İskont

o

Dışİskont

o

İ k (İ d )

8/2/2019 Muh_Eko_3



Basit İskonto (İndirim)

Basit İskonto: Vadenin tamamı gözönüne alınarak bir defada iskonto yapılır

Örnek: A firması 1800 ton saçı toptancıdan alırsa

%15 iskonto yapılacaktır. Saçın kilosu 3TL iseiskonto miktarı ne kadardır?

İmiktarı = 1800x3x0.15x1000

=810000 TL

i İ k

8/2/2019 Muh_Eko_3



Basit Dış İskonto

Bir alacağı vadesinden önce nakite çevirmek istediğinizde, vade

sonundaki değerinden yapılan iskonto miktarıdır.

Dış İskonto (İ d ) = (F x i x n)/360 bağıntısıyla hesaplanır

Burada n…vadeye kalan gün sayısı,i…..iskonto oranı (%)F…alacağın vade sonundaki değeri

Peşin değer (P) = F – İ d

8/2/2019 Muh_Eko_3


B it İ İ k t

8/2/2019 Muh_Eko_3



Basit İç İskonto

Bir alacağı vadesinden önce nakite çevirmek istediğinizde, senedin

bugünkü değerinden yapılan iskonto miktarıdır.

İç İskonto (İ i ) = (F x n)/((360/i)+n) bağıntısıyla hesaplanır

Burada n…vadeye kalan gün sayısı,i…..iskonto oranı (%)F…alacağın vade sonundaki değeri

Peşin değer (P) = F – İ d

B it İ İ k t (Ö k)

8/2/2019 Muh_Eko_3



Basit İç İskonto(Örnek)

Vadesine 90 gün kalan 25000 TL’lik senet %23 deniskonto ettirilmiştir. İç iskonto ne kadardır?.

Dış İskonto (İ d ) = (25000 x 90)/((360 /0.23)+90)

= 1359.34TL

Ele geçene Peşin değer (P) = F – İ d

=25000 – 1359.34 =23640.66 TL

ış iskonto miktarı iç iskonto miktarından herzaman daha faz

Bil ik İ k t

8/2/2019 Muh_Eko_3



Bileşik İskonto

Herhangi bir F değerinin %i faiz oranı üzerinden n dönemsonundaki P değerinin bulunmasıdır

Bileşik İskonto (İ bi ) = F – F(P/F,%i,n)

Pratikte uygulanmamaktadır

Ö

8/2/2019 Muh_Eko_3



ÖDEV SORULARI11 İki yıl sonra bir ev almayı planlıyorsunuz. O zamanki evin değerininİki yıl sonra bir ev almayı planlıyorsunuz. O zamanki evin değerinin

( 250000 TL) %20 sini peşin ödemek için aylık bankaya para yatırmaya( 250000 TL) %20 sini peşin ödemek için aylık bankaya para yatırmaya başlıyorsunuz. Banka sizin birikiminize aylık %5 faiz ödüyor. İki yıl başlıyorsunuz. Banka sizin birikiminize aylık %5 faiz ödüyor. İki yıl

sonra peşinatı ödeyebilmek için her ay bankaya kaç para yatırmalısınız?sonra peşinatı ödeyebilmek için her ay bankaya kaç para yatırmalısınız?

2.2. Yirmisekiz(28) yıl sonra emekli olmayı planlıyorsunuz. Bunun için her üçYirmisekiz(28) yıl sonra emekli olmayı planlıyorsunuz. Bunun için her üç

ayda bir bankaya para yatıracaksınız. Emekli olduktan bir yıl sonrada 15ayda bir bankaya para yatıracaksınız. Emekli olduktan bir yıl sonrada 15yıl boyunca her yıl 65000 Tl alacaksınız. Eğer yatırdığınız paranın 3 aylık yıl boyunca her yıl 65000 Tl alacaksınız. Eğer yatırdığınız paranın 3 aylık bileşik faizi %4 ise, kaç para bankaya yatırmanız gerekiyor? bileşik faizi %4 ise, kaç para bankaya yatırmanız gerekiyor?

33 Değeri 20000 TL olan bir arabayı alacaksınız. Satıcı 2000 TL peşin veDeğeri 20000 TL olan bir arabayı alacaksınız. Satıcı 2000 TL peşin ve

geri kalanı 48 ay boyunca 495.25 TL/ay ödemeni teklif etti. Sizde 2000geri kalanı 48 ay boyunca 495.25 TL/ay ödemeni teklif etti. Sizde 2000TL’yi peşin ödemek için bankadan%12.25 faiz oranında aylık hesaplananTL’yi peşin ödemek için bankadan%12.25 faiz oranında aylık hesaplanan borç almayı istiyorsunuz. 4 ayda borcu ödemek için Aylık ödemeleriniz borç almayı istiyorsunuz. 4 ayda borcu ödemek için Aylık ödemelerinizne olur?ne olur?

Ç l S l

8/2/2019 Muh_Eko_3



Çalışma Soruları

Sayfa 182 ….problem 4.8 ve 4.9

Sayfa 184….problem 4.12

Sayfa 187…problem 4.17 ve 4.18

Sayfa 204…problem 4.21 ve 4.26



8/2/2019 Muh_Eko_3


FAİZ HESAPLAMALARI SONU

N kit Ak l

8/2/2019 Muh_Eko_3



1

Nakit Akışları

2 30

Fn

Pn-1

n1 2 30

P

n-1

A A A A AnA

BASİT NAKİT AKIŞI

TEKDÜZE NAKİT AKIŞI

NAKİT AKIŞLARI

8/2/2019 Muh_Eko_3



1

NAKİT AKIŞLARI

Aritmetik Artan/Azalan Nakit AkışıAritmetik Artan/Azalan Nakit Akışı

2 30

PE=?

4 5 6

g=%8

G=-1000TL/yıl

7 8 9 10 11 12

G

8/2/2019 Muh_Eko_3


muh_eko_3

Documents