Vremenski promenljive struje

Fazorski dijagram se koristi za prikazivanje relativnog odnosa dva ili više sinusnih talasnih oblika iste frekvencije. Fazor u fiksnoj poziciji se koristi da reprezentuje ceo sinusni talas jer kad se fazni ugao izmeñu dve ili više sinusoida iste frekvencije ili izmeñu sinusoide i neke reference uspostavi, fazni ugao ostaje konstantan tokom ciklusa. Na primer, na slici (a) su data dva sinusna talasna oblika koja se mogu predstaviti fazorskim dijagramom (slika (b)). Kao što se vidi, sinusni talas B prethodi sinusnom talasu A za 30° i ima manju amplitudu od amplitude sinusnog talasa A, što se naznačava dužinom fazora.

Fazorski dijagram

Primer: sinusne talasne oblike napona sa slike predstaviti fazorskim dijagramom

)V(v

Ugaona brzina fazora

Jedan ciklus sinusnog talasa se formira rotacijom fazora kroz 360° ili 2πradijana. Što je veća brzina rotacije, to je formiranje sinusoide brže. Tako su perioda i frekvencija povezane sa brzinom rotacije fazora. Brzina rotacije se zove ugaona brzina i označava se sa ω. Kada fazor rotira kroz 2π radijana, jedna kompletna sinusoida se formira. Vreme neophodno za rotaciju fazora kroz 2π predstavlja periodu sinusnog talasa T, pa se ugaona brzina može izraziti kao:

fT ππω 2/2 ==Kada fazor rotira ugaonom brzinom ω, onda je ωt ugao kroz koji fazor prolazi u nekom trenutku:

Trenutna vrednost prostoperiodičnog sinusnog napona se može izraziti kao:

Ako signal ima neko fazno kašnjenje:

tωθ =

ftVtVVv πωθ 2sinsinsin maxmaxmax ===

( ) ( ) ( )φπφωφθ +=+=+= ftVtVVv 2sinsinsin maxmaxmax

Prosta kola naizmenične struje

Kolo sa otpornikom

tVv ωsinmax=

Rv

R

Prema drugom Kirhofovom zakonu, u svakom trenutku mora biti:

gde je vR trenutni napon na otporniku R, i iR struja kroz otpornik.

0=−=− Rivvv RR

Iz jednačine za kolo, trenutna vrednost struje kroz otpornik je:

pri čemu je maksimalna vrednost struje:

Trenutna vrednost napona na otporniku je:

tIR

tV

R

viR ω

ωsin

sinmax

max ===

R

VI max

max =

tVvvR ωsinmax==

Struja kroz otpornik ima isti oblik sinωt kao i napon na otporniku (slika (a)). Nule i amplitude napona i struja se poklapaju, pa se kaže da su napon i struja u fazi, tj. ne postoji fazna razlika izmeñu napona i struje. Na slici (b) je prikazan fazorski dijagram napona na otporniku i struje kroz otpornik u nekom trenutku t, za koji je trenutna vrednost faze θ =ωt.

Kolo sa kalemom

tVv ωsinmax=

Lv

L

Ravnotežu naponu izvora u kolu održava samo indukovana elektromotorna sila eL=vL u kalemu zbog promenljive struje. Jednačina po drugom Kirhofovom zakonu je:

0=−=−dt

diLvvv L

ili:

tVdt

diL ωsinmax=

Rešavanjem ove jednačine dobija se struja kroz kalem:

tL

Vdtt

L

Vi

dttL

Vdi

L ωω

ω

ω

cossin

sin

maxmax

max

−==

=

∫

Ako se iskoristi trigonometrijski identitet , onda je struja kroz kalem:

( )2/sincos πωω −−= tt

−=

2sinmax π

ωω

tL

ViL

Trenutna vrednost struje iL kroz kalem i trenutna vrednost napona na kalemu vL su fazno pomereni za (π/2) rad ili 90°. Kaže se da struja kasni za naponom za π/2 rad.

Trenutna vrednost struje se može napisati i kao:

gde je:

−=

−=

2sin

2sin max

max πω

πω

ωtIt

L

ViL

LX

V

L

VI maxmax

max ==ω

Veličina XL:

u kolu sa kalema ima ulogu otpornosti jer ograničava struju pa se naziva prividna otpornost ili reaktansa kalema. Izražava se jedinicom om.

Trenutna vrednost napona na kalemu je:

LX L ω=

tXItVdt

diLv LL ωω sinsin maxmax −=−=−=

Kolo sa kondenzatorom

tVv ωsinmax=

Cv

C

U kolu naizmenične struje, kondenzator se naizmenično puni i prazni i ovo kretanje naelektrisanja predstavlja struju. Ravnotežu naponu napajanja u kolu predstavlja napon na kondenzatoru usled trenutne količine elektriciteta koja se nalazi na oblogama kondenzatora:

tVvvvv CC ωsin0 max==⇒=−

Iz definicije kapacitivnosti ( ), trenutna količina naelektrisanja na oblogama kondenzatora je:

CvqC /=

tVCvCq C ωsinmax==

Kako je struja kroz kondenzator jednaka promeni količine nalektrisanja u vremenu, to je:

tVCdt

dqiC ωω cosmax==

Ako se iskoristi trigonometrijski identitet , onda je struja kroz kondenzator:

( )2/sincos πωω += tt

+=

2sinmax

πωω tVCiC

Trenutna vrednost struje iC kroz kondenzator i trenutna vrednost napona na kondenzatoru vC su fazno pomereni za (π/2) rad ili 90°. Kaže se da struja prednjači naponu za π/2 rad.

Maksimalna vrednost struje kroz kondenzator je:

CX

VVCI max

maxmax ==ω

gde je:

CXC ω

1=

veličina koja u kolu sa kondenzatorom ima ulogu otpornosti i naziva se reaktansa kondenzatora, a izražava se u omima.

RLC redno kolo

Rv Lv Cv

tVv ωsinmax=

Struja u kolu će se, u odnosu na primenjeni napon, vremenski menjati po sledećoj jednačini:

gde je φ fazni ugao (ili fazna razlika) izmeñu napona napajanja i struje u kolu. Cilj je odrediti Imax i φ.

( )φω −= tIi sinmax

Da bi smo odredili nepoznate parametre trenutnih vrednosti struje u kolu, moraćemo analizirati fazorski dijagram za kolo. Kako su elementi u kolu vezani redno, kroz sve elemente u kolu struja mora biti jednaka u bilo kom

trenutku vremena (u svim tačkama kola u nekom trenutku struja ima istu amplitudu i fazu).

Naponi na pojedinim elementima kola imaju različite amplitude i faze, kao što se vidi sa slike:

Pojedinačno, napon na otporniku je u fazi sa strujom, napon na kalemu prednjači struji za 90°, i napon na kondenzatoru kasni za strujom za 90°. Koristeći ove fazne relacije, mogu se napisati izrazi za trenutne vrednosti napona na pojedinim elementima kola:

otpornik kalemkondenzator

( )( ) tVtXIv

tVtXIv

tVtRIv

CCC

LLL

RR

ωπω

ωπω

ωω

cos2/sin

cos2/sin

sinsin

max

max

max

−=−=

=+=

==

Trenutna vrednost napona napajanja u kolu mora biti jednaka sumi napona na pojedinim elementima kola:

Iako je ovaj analitički pristup korektan, ovu sumu je jednostavnije dobiti pomoću fazorskog dijagrama koji je prikazan na slici (sva 3 fazorska dijagrama sa prethodne slike su prikazana ovde preko jednog dijagrama (slika a)).

CLR vvvv ++=

(a)

Ukupni napon se može dobiti vektorskim zbirom (slika (b)). Vektorska suma amplituda napona VR , VL i VC jednaka je fazoru čija je dužina jednaka amplitudi primenjenog napona.

Ovaj fazor sa fazorom struje dužine Imax zaklapa ugao φ. Potrebno je napomenuti da su fazori napona VL i VC u suprotnim smerovima na istom pravcu, pa je bilo potrebno formirati njihovu razliku VL – VC koja je normalna na fazor VR .

Iz bilo kog od ova dva trougla je:

Odavde se može dobiti prvi nepoznati parametar trenutne vrednosti struje:

( ) ( ) ( )

( )22maxmax

2maxmax

2max

22max

CL

CLCLR

XXRIV

XIXIRIVVVV

−+=

−+=−+=

( ) Z

V

XXR

VI

CL

max

22

maxmax =

−+=

Impedansa kola Z se definiše kao:

( )2

222 1

−+=−+=

CLRXXRZ CL ω

ω

Uklanjanjem zajedničkog faktora Imax iz svakog fazora sa prethodnog dijagrama, konstruiše se trougao impedansi:

Iz ovog fazorskog dijagrama se može odrediti fazni ugao izmeñu napona napajanja i struje u kolu:

−=

R

XX CLarctgφ

Iz trougla impedansi se takoñe vidi da je . Kada je XL>XC (obično na visokim frekvencijama), fazni ugao je pozitivan, što znači da struja kasni za primenjenim naponom. Kada je XL<XC fazni ugao je negativan, označavajući da struja prednjači primenjenom naponu. Kada je XL=XC , fazni ugao je jednak nuli, i impedansa je jednaka otpornosti. Struja ima maksimalnu vrednost, datu sa Vmax/R. Frekvencija na kojoj se ovo dešava se naziva rezonantna frekvencija (više o ovom kasnije!!!).

ZR /cos =φ

element kola impedansa Z fazni ugao φ

0°

–90°

+90°

negativan, izmeñu –90° i 0°

pozitivan, izmeñu 0° i 90°

negativno, ako je XC > XL

pozitivno, ako je XC < XL

Primer: U rednom RLC kolu, amplituda napona napajanja je 120V i osciluje na frekvenciji 60 Hz. Kolo se sastoji od kalema čija se induktivnost može menjati, otpornika otpornosti R=200Ω i kondenzatora kapacitivnosti C=4µF. Odrediti vrednost induktivnosti L tako da napon na kondenzatoru kasni za primenjenim naponom za 30°.

Na slici je prikazan fazorski dijagram napona na elementima kola. Sa slike se vidi da je fazni ugao

, zato što su fazori Imax i VR u fazi. Iz jednačine za φ, dobija se:

o60−=φ

φπ

πφω

ω

φφ

tg2

12tg

1

tgarctg

RCf

LfRC

L

RXXR

XXCL

CL

+=⇒+=

+=⇒

−=

Tražena induktivnost je:

H84.0tg2

1

2

1=

+= φ

ππR

CffL

Primer: Redno RLC ac kolo ima sledeće parametre: R=425Ω, L=1.25H, C=3.5µF, ω=377s–1 i Vmax=150V.

a) Odrediti reaktanse i impedansu kola;b) Odrediti maksimalnu struju u kolu;c) Naći fazni ugao izmeñu napona i struje;d) Odrediti trenutne vrednosti napona na svakom elementu.

a) Reaktanse kola i impedansa su jednake:

( ) ( ) ( ) Ω513

Ω758

Ω471

=Ω−Ω+Ω=−+=

==

==

2222 758471425

/1

CL

C

L

XXRZ

CX

LX

ω

ω

b) Maksimalna struja u kolu je:

A0.292=Ω

==513

V150maxmax

Z

VI

c) Fazni ugao je:

Kako kolo ima kapacitivni karakter, φ je negativno i struja prednjači primenjenom naponu.

d) Amplitude napona na pojedinim elementima kola su:

Trenutne vrednosti napona na pojedinim elementima kola su:

o34−=

Ω

Ω−Ω=

−=

425

758471arctgarctg

R

XX CLφ

221V

138V

124V

=Ω⋅==

=Ω⋅==

=Ω⋅==

758A292.0

471A292.0

425A292.0

max

max

max

CC

LL

R

XIV

XIV

RIV

tv

tv

tv

C

L

R

377cosV221

377cosV138

377sinV124

⋅−=

⋅=

⋅=

Metod kompleksnih brojeva

Pokazali smo da se električna kola mogu rešavati primenom fazorskog dijagrama (odreñivanje amplitude i faze u odreñenom vremenskom trenutku). Da bi se zadržala jednostavnost rešenja, a izbegao precizan i grafički rad, uvodi se kompleksan račun.

Umesto vektora (fazora) uvodi se kompleksan broj, a umesto grafičkog rešavanja uvodi se jednostavnije i lakše analitičko rešavanje samo sa kompleksnim brojevima.

+ realna osa– realna osa + i

ma

gin

arn

a o

sa–

ima

gin

arn

a o

sa

U kompleksnoj ravni, horizontalna osa se naziva realna osa, a vertikalna osa je imaginarna osa. Kod analize električnih kola, prefiks ±j se koristi za označavanje brojeva koji leže na imaginarnoj osi kako bi se napravila razlika u odnosu na brojeva sa realne ose. U matematici se obično koristi ikao oznaka za ovaj imaginarni operator.

1. kvadrant2. kvadrant

3. kvadrant 4. kvadrant

Ugaone pozicije se prikazuju u kompleksoj ravni kao na slici. Pozitivni realni broj predstavlja 0°, +j označava ugao od 90°, negativni realni broj odgovara uglu od 180°, –j je tačka od 270°, i nakon pune rotacije od 360° sledi povratak na realni pozitivni broj.

Predstavljanje tačke u kompleksnoj ravni

Realni broj +4 Realni broj –2 Imaginarni broj +j6 Imaginarni broj –j5

Ukoliko broj ne leži na nekoj od osa, nego se nalazi u nekom od 4 kvadranata, to je kompleksan broj i definiše se obema kordinatama.

Ako se pozitivni broj, npr. 2, pomnoži sa j, rezultat je 2j. Množenje efektivno premešta broj 2 za 90° do +j ose. Slično, kada se broj 2 pomnoži sa –j, on rotira do –j ose, pa se j može smatrati operatorom rotacije. Matematički, joperator ima vrednost . Prema tome, množenjem pozitivnog realnog broja sa j2, dobija se negativni realni broj, što u stvari znači rotaciju od 180° u kompleksnoj ravni.

1−

Kompleksan broj se može pisati u obliku:

gde je A projekcija vektora (fazora) na realnu osu, a B projekcija na imaginarnu osu.

jBAC +=

Ako je θ ugao koji fazor zaklapa pozitivnom realnom osom, a C dužina fazora, onda je:

Kompleksan broj se sada može napisati u obliku:

koji se naziva trigonometrijski oblik.

θθ

sin

cos

CB

CA

=

=

( )θθ sincos jCC +=

Prema Ojlerovoj transformaciji:

kompleksan broj dobija oblik:

koji se naziva polarni ili eksponencijalni oblik. Na slikama se najčešće označava sa .

θθθ sincos je j +=

θjCeC =

θ∠C

Prelaz izmeñu pojedinih oblika vrši se preko sledećih relacija:

=+=

==

A

BBAC

CBCA

arctg,

sin,cos

22 θ

θθ

Matematičke operacijeSabiranje

Kompleksni brojevi moraju biti u opštem obliku da bi se mogli sabirati: Sabiraju se realni delovi svih kompleksnih brojeva da bi se dobio realan deo sume. Sabiraju se imaginarni delovi svih kompleksnih brojeva da bi se dobio imaginaran deo sume.

( ) ( ) ( ) ( ) j432−=+−++=++− 61012206121020 jjj

Oduzimanje

Kompleksni brojevi moraju biti u opštem obliku da bi se mogli oduzimati: Oduzimaju se realni delovi svih kompleksnih brojeva da bi se dobio realan deo razlike. Oduzimaju se imaginarni delovi svih kompleksnih brojeva da bi se dobio imaginaran deo razlike.

( ) ( ) ( ) ( ) j235 +=−−+−=−−+ )8(1510158101515 jjj

Množenje

Množenje dva kompleksna broja se izvodi tako što se svaki član jednog broja množi sa svakim članom drugog broja:

Množenje kompleksnih brojeva je lakše ako su oni izraženi u eksponencijalnom obliku: Amplituda rezultujućeg broja se dobija množenjem amplituda svih brojeva koji učestvuju u multipliciranju, a ukupna faza se dobija algebarskim sabiranjem faza množitelja.

( )( ) j1422 −=++−=−+ 12620104235 jjjj

°∠==⋅=⋅

°∠==⋅=⋅°°−°°−°

°°+°°°

3088e

655050e

j30

j65

)3060()30(60

)2045(2045

)42(42

)510(510jjj

jjj

eee

eee

Deljenje

Deljenje dva kompleksna broja se izvodi tako što se i imenilac i brojilac pomnože konjugovano-kompleksnim brojem imenioca:

Deljenje kompleksnih brojeva je lakše ako su oni izraženi u eksponencijalnom obliku: Amplituda brojioca se podeli amplitudom imenioca da bi se dobilaamplituda količnika. Fazni ugao imenioca se oduzme od faznog ugla brojioca da bi se dobila faza količnika.

( )( )( )( )

j1.52 −=−

=+

+−=

−+−+

=++

20

3040

164

203020

4242

42510

42

510 jj

jj

jj

j

j

°∠===

°∠===

°°−−°−

°

°°−°°

°

4055e

3044e

j40

j30

))30(10()30(

10

)2050(20

50

3

15

3

15

25

100

25

100

j

j

j

j

j

j

ee

e

ee

e