notas de aula pfm v1

Sumário

1 Unidades e Medidas 1

1.1 Introdução: a abstração por trás da comparação . . . . . . . . . . . 1

1.2 Padrões de medida: a história do sistema métrico . . . . . . . . . . 2

1.3 Medida de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 O Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Regras de notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Escalas de tempo e distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 A expressão de uma medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7.1 A incerteza de uma medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.2 Medidas indiretas e incerteza combinada . . . . . . . . . . 18

1.7.3 Algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.4 Relatando uma medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8 Metrologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9 Leitura complementar: o problema das longitudes . . . . . . . . . . 22

2 Cinemática 26

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Fundamentos do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2 Sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.3 Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.4 Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Descrição Matemática do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 Funções-Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Movimento em uma dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.2 Velocidade média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.3 Velocidade instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4.4 Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

i

Sumário ii

2.4.5 Exemplos de movimentos retilíneos acelerados . . . . . . . 57

2.5 Movimento em duas ou três dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.5.1 Vetor posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.5.2 Vetor velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5.3 Distância percorrida pela partícula: integral de trajetória . . 75

2.5.4 Vetor aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.5.5 Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.5.6 Aceleração centrípeta: vetor de curvatura e centro de cur-vatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3 As Leis de Newton e Aplicações 98

3.1 A lei da inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.2 A primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2.1 Sistemas inerciais de referência . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.3 A segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4 A terceira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.5 A Força da Gravidade: O Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.6 Forças de Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.6.1 A Força Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.6.2 A Força de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.6.3 Tração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.6.4 Força de Arraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.7 Técnicas de Resolução de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.8 Partículas em Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4 Energia e Trabalho 112

4.1 Energia Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.3 Teorema Trabalho-Energia Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.4 Trabalho e energia com forças variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.5 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.6 Energia Potencial e Conservação de Energia . . . . . . . . . . . . . 116

4.6.1 Forças Conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.6.2 Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.6.3 Forças não-conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.7 Conservação da Energia Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.8 Curvas de Energia Potencial e Força . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Sumário iii

4.9 Forças externas sobre um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.9.1 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 Centro de Massa e Momento Linear 130

5.1 Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas . . . . . . 133

5.2.1 Forças Internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.2.2 Forças Externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.3 Momento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.4 Colisão e Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5 Energia Cinética, Momento Linear e Colisão . . . . . . . . . . . . . 141

5.5.1 Colisões Inelásticas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.5.2 Colisão Elástica 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6 Rotação 146

6.1 Posição, Deslocamento, Velocidade e Aceleração Angular . . . . . 146

6.2 Relacionando as Grandezas Lineares e Angulares . . . . . . . . . . 149

6.3 Cinética do Movimento de Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.4 Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.4.1 Teorema dos Eixos Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.5 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.6 Segunda Lei de Newton para Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.7 Trabalho e Energia Cinética de Rotação . . . . . . . . . . . . . . . 158

7 O movimento dos corpos rígidos 161

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.2 O rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.2.1 A cinemática do rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.2.2 O rolamento: Uma rotação pura . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.2.3 A energia do movimento de rolamento . . . . . . . . . . . . 164

7.2.4 A dinâmica do movimento de rolamento . . . . . . . . . . . 165

7.2.5 As forças de atrito no rolamento . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.2.6 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8 Torque, Momento Angular e a 2a Lei de Newton para a rotação 175

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2 O Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.3 O Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Sumário iv

8.4 A segunda Lei de Newton para as rotações . . . . . . . . . . . . . . 179

9 Sistema de muitas partículas 183

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.2 Torque e momento angular de um sistema de partículas . . . . . . . 183

9.3 Torque e momento angular de um corpo rígido . . . . . . . . . . . . 185

9.4 O movimento do giroscópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

10 A conservação do momento angular 193

10.1 O princípio da conservação do momento angular . . . . . . . . . . 193

10.1.1 Movimento de uma partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10.1.2 Movimento de um sistema de partículas . . . . . . . . . . . 195

11 Equilíbrio e Elasticidade 196

11.1 Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

11.2 Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

12 Oscilações 200

12.1 Movimento Harmônico Simples (MHS) . . . . . . . . . . . . . . . 200

12.2 A Posição no MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

12.3 A Velocidade no MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

12.4 A Aceleração no MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

12.5 O Sistema Massa-Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

12.6 Pêndulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

12.7 Energia no MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

12.8 Movimento Harmônico Simples Amortecido(MHSA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

12.9 Oscilações Forçadas e Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

13 Mecânica dos fluidos 218

13.1 Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

13.2 Densidade ou massa específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

13.3 Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

13.4 Fluidos em repouso e pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

13.5 Como pode-se medir pressão? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

13.5.1 Barômetro de mercúrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

13.5.2 Manômetro de tubo aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

13.6 Princípio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

13.6.1 Demonstração do Princípio de Pascal . . . . . . . . . . . . 224

Sumário v

13.6.2 Aplicação do Princípio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . 224

13.7 Princípio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

13.7.1 Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

13.7.2 Peso aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

13.8 Fluidos ideais em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

13.8.1 Fluidos ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

13.8.2 Linhas de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

13.9 Equação da continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

13.10Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

13.10.1 Demonstração da Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . 230

13.10.2 Passos para solucionar problemas envolvendo a Equação deBernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

13.10.3 Aplicações da Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 231

Prefácio

Caros estudantes:

este material foi preparado como uma referência auxiliar para o acompanhamento do componente curri-cular “Princípios e Fenômenos da Mecânica” do Bacharelado de Ciências e Tecnologia da Escola de Ciênciase Tecnologia. Assim sendo, ele não deve ser tratado com um livro-texto que expresse oficialmente o espectro eo nível dos assuntos previstos para o componente. De fato, em algumas ocasiões o que será visto nas aulas iráalém do que está presente neste material, enquanto que, noutros casos, ele se apresentará mais profundo do quea aula.

Ficará claro também que não existe uma unidade no texto. Isso ocorre porque cada professor ficou res-ponsável por um, dois ou três capítulos. Trata-se, portanto, de uma primeira versão. Contamos com as críticas esugestões dos estudantes para que possamos aprimorá-la de agora em diante.

Sejam bem-vindos!

Prof. Alexandre Barbosa de OliveiraProf. André Bessa MoreiraProf. Felipe BohnProf. Lucio Marassi de Souza AlmeidaProf. Marcio Assolin CorrêaProf. Manoel Silva de VasconcelosProf. Neemias Alves de LimaProf. Ronai Machado LisbôaProf. Tarciro Nortarson Chaves Mendes

vi

Capítulo 1

Unidades e MedidasAndré Bessa

1.1 Introdução: a abstração por trás da comparação

Como todas as demais ciências, a Física tem como ponto de partida a Natureza. Ohomem colhe suas impressões da realidade através dos cinco sentidos e a partir des-sas impressões ele formula conceitos em sua mente. Então, por meio do raciocínio,o homem busca organizar os conceitos de forma a simplificar seu entendimento domundo e de si mesmo.

Desde a Antiguidade, o homem percebeu que todos os seres (boi, melancia,fogo, estrela, pedra amarela, pedra branca, etc) são distintos entre si.

Figura 1.1: Para o filósofo gregoAristóteles, as idéias criadas peloshomem não são inatas, mas proce-dem da experiência, por meio doscinco sentidos.

Porém, usando abstração, o homem podia estabelecer comparações entre eles.Por exemplo, usando o critério da quantidade, um pastor estabelecia uma equivalên-cia entre um rebanho de ovelhas e um punhado de pedras, e usava isso para controlaro número de animais que saíam e voltavam do pasto. Evidentemente, um pastor nãoconfundia uma valiosa ovelha com uma simples pedra, mas quando apenas a quan-tidade estava em jogo, era conveniente fazer a associação entre ovelhas e pedras.

Figura 1.2: Ao passar um grupode cinco ovelhas, os antigos pas-tores separavam cinco pedras paramanter o controle do rebanho.

Em nosso dia-a-dia, estabelecemos uma complicada relação de equivalênciaentre os seres segundo o seu valor de mercado. Assim, julgamos natural trocaruma cédula de papel onde está escrito “Cinco reais” por um sanduíche. Apesar denão comermos papel, nossa mente estabelece facilmente uma equivalência entre umpedaço de papel e um alimento. Pelo mesmo motivo, não nos sentimos lesados aotrocar um mês de trabalho por algumas cédulas.

Analogamente, usando uma balança de pratos, podemos classificar os seres deacordo com a sua massa (vulgarmente chamada de peso). Dizemos que dois corpostêm a mesma massa se, quando colocados cada qual em um prato da balança estafica em equilíbrio. Esse tipo de comparação é de interesse da Física uma vez que omovimento do corpo vai depender de sua massa, como veremos.

Observa-se que, sob determinadas condições, o movimento dos corpos de-pende apenas de algumas poucas características, como as dimensões espaciais, amassa, o momento de inércia, a carga elétrica, etc.

1

Capítulo 1 – Unidades e Medidas 2

Nesses casos, se o corpo é de madeira; se é caro ou barato; se é comestível ounão — nada disso será importante.

Às vezes, as dimensões espaciais dos corpos também são irrelevantes para oestudo do movimento. Quando for esse o caso, diremos que o corpo é uma par-tícula. Por exemplo, quando estudamos o movimento de translação da Terra emtorno do Sol, podemos desprezar as dimensões da Terra, tratando-a como partícula.

Figura 1.3: Em uma boa apro-ximação, podemos desprezar asdimensões espaciais do planetaTerra para estudar o seu movi-mento de translação em torno doSol.

Por outro lado, quando analisamos a queda dos corpos próximos à superfí-cie da Terra, não podemos desprezar as dimensões do nosso planeta. Assim, umcorpo poderá ou não ser considerado uma partícula dependendo da situação físicade interesse.

No entanto, existem corpos na natureza que sempre se comportam como par-tículas, ou seja, em todos os experimentos realizados até hoje pudemos desprezarsuas dimensões espaciais. Essas são as chamadas partículas elementares, como oselétrons e os quarks.

Em cada caso, avaliaremos o que é essencial para a descrição do movimento.Se dois corpos possuírem as mesmas características essenciais, diferindo apenasem aspectos irrelevantes, poderemos considerá-los equivalentes. É nesse sentidoque devemos entender frases tais como: “Seja uma partícula de massa M”.

Figura 1.4: Na frase “Seja umapartícula de massa M” a tal “partí-cula” pode ser uma maçã, se ape-nas a massa M da maçã for impor-tante.

Entretanto, sempre que possível, tentaremos em nossa análise abordar aspec-tos que, embora não-essenciais ao movimento, sejam relevantes para compreendero funcionamento da ciência e sua relação com a sociedade.

1.2 Padrões de medida: a história do sistema métrico

Podemos medir a massa e as dimensões de alguns corpos por comparação com umcorpo padrão denominado unidade de medida. É conveniente usar como padrãoum corpo não muito grande e nem muito pequeno comparado ao tamanho típico deuma pessoa. Afinal, é preciso manipular esse padrão para se medirem as coisas.Nada mais natural, portanto, que escolher o próprio homem, ou partes dele, comopadrão. Por exemplo, no século XII, o rei Henrique I de Inglaterra fixou a jardacomo a distância entre seu nariz e o polegar de seu braço estendido. Em outrosreinos, a jarda (ou seu equivalente) era definida em termos de um outro rei.

Com o tempo e a ploriferação de unidades de medida (pés, polegadas, etc)os reinos sentiram a necessidade de simplificar os padrões. Assim, estabeleceramrelações, tais como: 1 jarda = 3 pés = 36 polegadas.

No final da Idade Média, as relações comerciais não respeitavam mais as fron-teiras dos reinos. Os padrões antropomórficos se tornaram, portanto, empecilhospara o comércio em larga escala e exigiam a unificação dos padrões de medidapara evitar erros e fraudes nas transações. Essa era uma questão decisiva tambémpara a ciência, uma vez que a existência de diversos sistemas de medida dificultavaenormemente a comparação entre experimentos.

A tendência era a adoção de sistemas de medida naturais, ou seja, baseadosem fenômenos físicos que pudessem ser facilmente reprodutíveis. Por exemplo,


foi proposto um padrão de comprimento baseado no movimento do pêndulo e nadefinição do segundo. Em 1675, o filósofo italiano Tito Livio Burattini denominouessa unidade de metro.

Logo após a Revolução Francesa, a assembléia nacional constituinte manifes-tou a necessidade de se estabelecer um sistema métrico decimal que fosse universal,isto é, não fizesse menção particular a nenhum povo do globo. Um sistema decimaltem a vantagem de ser simples. Por exemplo, 4 248 m = 4,248 km. Porém, 4 248pés = 118 jardas e 86 400 segundos = 24 horas. Devido às variações do movimentodo pêndulo com a localidade, um grupo de especialistas (que incluía nomes comoLavoisier, Legendre e Coulomb) preferiu adotar a definição do metro como sendo adécima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e a linha do Equador aolongo do Meridiano de Paris. A medida do meridiano durou de junho de 1792 aofinal de 1798. Por questões práticas, construiu-se uma barra de platina onde foramfeitas duas marcações a uma distância de um metro. A barra era mantida de formaa minimizar efeitos de dilatação. Os primeiros padrões do metro e

do quilograma foram feitos em1799 e guardados nos Arquivos daRepública Francesa, dedicados a“todos os homens e todos os tem-pos”.

Por convenção, o padrão de massa (1 quilograma) correspondia inicialmentea de um cubo de água com volume igual a 1 litro a temperatura de fusão do gelo.Em 1799 essa medida foi refeita a uma temperatura próxima de 4 graus Celsius (atemperatura na qual a densidade da água é maxima). Uma outra barra de platina foiescolhida para representar na prática a unidade de massa.

A unidade de tempo (segundo) era dada em termos do dia solar médio, ouseja, a média anual da duração de um dia solar. Assim, 1 segundo era igual a 1/86400 do dia solar médio.

O Brasil foi um dos primeiros países a adotar o sistema métrico francês coma Lei Imperial 1157 de 26 de junho de 1862. Dentre as medidas tomadas, estava:“Art. 2o É o Governo autorisado para mandar vir da França os necessarios padrõesdo referido systema, sendo alli devidamente aferidos pelos padrões legaes”.

O sistema métrico francês evoluiu ao longo dos séculos. Novas unidades e pa-drões foram incorporados para dar conta dos fenômenos elétricos e magnéticos. Em1875, foi reconhecido internacionalmente com a criação do Comite Internacional dePesos e Medidas (CIPM) e passou a se chamar sistema métrico internacional.

Desde a criação do sistema métrico decimal, diversas modificações forammotivadas pela demanda por padrões cada vez mais precisos. Assim, em 1960,o metro passa a ser igual a 1 650 763,73 vezes o comprimento de onda de umaradição de cor laranja emitida pelo átomo de Kripônio (Kr). Note que a definiçãomudou, mas o tamanho do metro continuou o mesmo. Como dito, o motivo é acapacidade de a nova definição ser mais precisa. Com a nova definição, podia-semedir comprimentos com precisão de uma parte em 109.

Também em 1960, um conjunto de seis unidades básicas foi proposto: metro,quilograma, segundo, ampere, candela e mol (ver a Seção 1.4). A partir dessasunidades básicas, as unidades de todas as demais grandezas poderiam ser derivadas.Esse sistema, denominado Sistema Internacional de Unidades (SI) está em vigor atéhoje.

Na definição atual, o segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da radi-ação correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental


do átomo de Césio 133 em repouso e a temperatura de 0 K. A incerteza nessa defi-nição é de espantosos 3× 10−14 s.

Mais recentemente, busca-se trabalhar com unidades definidas em termos dealgumas constantes universais. Uma dessas constantes é a velocidade da luz: c =299 792 458 m/s. Assim, em 1983, o metro passa a ser definido como a distânciapercorrida pela luz no tempo igual a 1/299 792 458 segundo.

Figura 1.5: A figura mostra opadrão de massa usado nos Es-tados Unidos. Esse quilograma-padrão fica guardado no U.S. Nati-onal Institute of Standards and Te-chnology (NIST).

O quilograma continua sendo a massa de um bloco padrão, agora feito de umaliga de platina e irídio. Pesquisas estão sendo atualmente realizadas para definir oquilograma em termos de constantes fundamentais.

Atualmente, apenas 3 países não adotam oficialmente o Sistema Internacionalde Unidades: a Libéria, a Birmânia e os Estados Unidos! A Inglaterra foi forçadaa abandonar suas unidades tradicionais em 1o de outubro de 1995 para entrar naComunidade Econômica Européia.

1.3 Medida de ângulos

Uma circunferência é uma figura geométrica simples, pois fica caracterizada por umúnico parâmetro: o raio. Para se medir ângulos em uma circunferência, podemosusar o próprio raio da circunferência. Digamos que um certo arco é definido emuma circunferência cujo raio vale R metros.

Figura 1.6: A definição do radiano: o arco com comprimento igual ao raio.

Podemos medir o comprimento do arco. Se o valor obtido para o arco é smetros, então dizemos que o ângulo definido por esse arco vale s/R. O arco quecorresponderá a 1 unidade de ângulo é o arco de comprimento igual ao raio. Por serexpressa em termos do raio, essa unidade é denominada radiano (rad) e é a maisnatural de se trabalhar. Como sabemos, o comprimento da circunferência é 2πR.Sendo assim, o ângulo correspondente ao círculo completo vale 2π rad.

Outras unidades correspondem à divisão da circunferência em um determi-nado número de partes iguais. Assim, um grau é o ângulo determinado pelo arcocom comprimento igual a 1/360 do comprimento da circunferência. Note que umângulo de θ graus vale πθ/180 rad.


1.4 O Sistema Internacional de Unidades

São sete as unidades básicas do Sistema Internacional de Medidas (SI): metro, qui-lograma, segundo, ampére, kelvin, candela e mol (ver a Tabela 1.1). Em termosdas unidades básicas, podemos escrever a unidade de todas as grandezas que uti-lizamos em Física. Em particular, na Tabela 1.2 listamos algumas grandezas queutilizaremos nesse curso.

Tabela 1.1: Tabela com informações sobre as 7 unidades básicas do SI.

Grandeza Unidade Plural Símbolo

comprimento metro metros mmassa quilograma quilogramas kgtempo segundo segundos scorrente elétrica ampère ampères Atemperatura kelvin kelvins Kintensidade luminosa candela candelas cdquantidade de matéria mol mols mol

Tabela 1.2: Grandezas cujas unidades são derivadas das unidades básicas do SI.

Grandeza Unidade Plural Símbolo Dimensão

área metro quadrado metros quadrados m2 m2

volume metro cúbico metros cúbicos m3 m3

densidade de matéria quilograma por me-tro cúbico

quilogramas por me-tro cúbico

kg/m3 kg/m3

velocidade metro por segundo metros por segundo m/s m/smomento linear kg·m/saceleração metro por segundo

ao quadradometros por segundoao quadrado

m/s2 m/s2

força newton newtons N kg· m/s2

torque kg·m2/s2

energia joule joules J kg·m2/s2

potência watt watts W kg·m2/s3

momento angular kg·m2/spressão pascal pascals Pa kg/(m·s2)frequência hertz hertz Hz 1/svelocidade angular rad/s

Os múltiplos e submúltiplos dessas unidades são construídos utilizando-se osprefixos indicados na Tabela 1.3.

Para formar o múltiplo ou submúltiplo de uma unidade, basta colocar o sím-bolo do prefixo justaposto à unidade. Exemplos: km, cg, mm, MW. O nome daunidade se constrói também por justaposição. Exemplos: quilograma, centigrama,milímetro, megawatt.


Várias unidades de uso quotidiano são construídas usando-se prefixos. Sãoexemplos: centímetro (cm), milímetro (mm), micrometro (µm), quilômetro (km) equilowatt (kW).

Tabela 1.3: Os múltiplos e submúltiplos de uma unidade são construídos usando-se os prefixos destatabela.

Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidadeyotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000zetta Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000tera T 1012 = 1 000 000 000 000giga G 109 = 1 000 000 000mega M 106 = 1 000 000quilo k 1021 = 1 000hecto h 102 = 100deca da 10deci d 10−1 = 0,1centi c 10−2 = 0,01mili m 10−3 = 0,001

micro µ 10−6 = 0,000 001nano n 10−9 = 0,000 000 001pico p 10−12 = 0,000 000 000 001

femto f 10−15 = 0,000 000 000 000 001atto a 10−18 = 0,000 000 000 000 000 001

zepto z 10−21 = 0,000 000 000 000 000 000 001yocto y 10−24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001

1.5 Regras de notação

O modo correto de escrever uma quantidade é definido pela Resolução Conmetro12/88, cujo resumo pode ser encontrado aqui. Dentre as normas, citamos as maisimportantes:

• O nome das unidades deve sempre ser escrito em letra minúscula, exceto eminício de frase. Outra exceção é a unidade grau Celsius. Exemplos: watt,newton, metro cúbico.

• Para pronunciar, o acento tônico recai sobre a unidade e não sobre o prefixo.Exemplo: micrometro, hectolitro, centrigrama. Exceções: quilômetro, hectô-metro, decâmetro, decímetro, centímetro e milímetro.

• Entre o valor numérico e a unidade deve haver um espaço. Exemplos: 120 m,8 g.

http://www.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegaisMed.asp


• O símbolo da unidade não vai para o plural. Exemplos: 5 cm, 2 kg, 8 h, 10 N.

• Ao escrever medidas de tempo, o uso correto para os símbolos de hora, mi-nuto e segundo é:

12 h 30 min 6 s

Note que há um espaço entre o valor numérico e a unidade.

• Deve-se utilizar um espaço (e não o ponto) como sepador de milhar. Exem-plos: 1 kg = 1 000 g, 25 µm = 0,000 025 m.

• Aceita-se normalmente o uso das unidades indicadas na Tabela 1.4.

Tabela 1.4: Grandezas fora do Sistema Internacional de Unidades, mas ainda bastante utili-zadas.

Grandeza Nome Plural Símbolo Equivalênciavolume litro litros l ou L 0,001 m3

ângulo plano grau graus π/180 radângulo plano minuto minutos ’ π/10 800 radângulo plano segundo segundos ” π/848 000 radmassa tonelada toneladas t 10 000 kgtempo hora horas h 3 600 stempo minuto minutos min 60 svelocidade angular rotação por minuto rotações por minuto rpm π/30 rad/s

1.6 Escalas de tempo e distância

É interessante situar os tempos e distâncias associados aos diferentes fenômenosfísicos em uma linha junto com outras referências de fora da Física. A Figura 1.7(a)e a Figura 1.7(b) mostram uma comparação (em escala logartimica) de escalas detempo e distância, respectivamente.

1.7 A expressão de uma medida

Na Física, o processo de coleta de informações é feito de forma muito controladae recebe o nome de experimento ou observação experimental. As informaçõescoletadas são denominadas medidas.

Dentre os físicos, existem aqueles que são especializados em realizar experi-mentos: são os físicos experimentais. Os físicos teóricos se concentram na buscade explicações simples para os dados experimentais. Evidentemente, é essencialque haja uma interação constante entre as essas duas grandes áreas da Física. Oexemplo mais claro dessa interação é a construção dos enormes aceleradores departícula, como o RHIC e o LHC.


(a) (b)

Figura 1.7: Escalas ilustradas de tempo (Figura 1.7(a)) e de distância (Figura 1.7(b)).

Em 1977, reconhecendo a falta de consenso internacional sobre os aspectosrelacionados à expressão de uma medida, o Comitê Internacional de Pesos e Medi-das organizou grupos de trabalho junto a diversos laboratórios nacionais para criarnormas que permitissem a comparação internacional de resultados de medições.Foi desenvolvida a Recomendação INC-1 (1980), aprovada em 1983 e ratificadaem 1986. As noções apresentadas a seguir procuram seguir a edição brasileira des-sas recomendações, disponível em [2].

A medição de uma grandeza não se resume à obtenção de um número. É pre-ciso dar uma série de outras informações importantes para se caracterizar o expe-rimento. Primeiramente, é preciso apresentar uma descrição adequada da grandezaque vai ser medida, especificando-se certas condições físicas. A seguir apresenta-mos alguns exemplos de descrições da grandeza a ser medida.

Exemplo 1.1. Aceleração da gravidade ao nível do mar na cidade de Natal.

Exemplo 1.2. Tempo de queda livre de uma bola de gude largada do repouso a 3,0m de altura.

Exemplo 1.3. Comprimento de uma barra de chumbo.

Note que a especificação da grandeza a ser medida depende da exatidão reque-rida. Por exemplo, por causa da dilatação térmica, a barra de chumbo do Exemplo1.3 aumenta de tamanho quando é aquecida. Para pequenas variações de tempera-


tura o efeito da dilatação é também pequeno e poderá ser desprezado se o compri-mento da barra tiver de ser determinado com precisão de milímetros. No entanto,se desejamos fazer uma medida com precisão de micrometros (1 µm = 10−6m) serápreciso especificar a temperatura (e talvez a pressão) na qual a medida será feita.Nesse caso, a descrição mais adequada seria:

Exemplo 1.4. Comprimento de uma barra de chumbo a temperatura T=298,15 Ke pressão p = 101 325 Pa.

Para completar a especificação da grandeza a ser medida é muitas vezes ne-cessário apresentar uma descrição do aparato e do método de medida. Essas infor-mações têm que fazer parte do relatório de cada experimento.

Exemplo 1.5. Alcance de uma esfera de raio 1,5 cm largada de uma rampa delançamento lisa a partir de uma altura y=130,0 cm. A esfera deixa a rampa hori-zontalmente a uma altura h=80,0 cm, conforme ilustrado na Figura 1.8.

Figura 1.8: Esquema da montagem experimental para a medição do alcance.

Uma vez descrita a grandeza a ser medida, realiza-se o experimento e obtém-se um ou mais números denominados dados experimentais.

No caso do Exemplo 1.3, obtém-se o comprimento da barra de chumbo dire-tamente por comparação com uma régua calibrada, como sugere a Figura 1.9

Pela Figura 1.9, o comprimento da barra é cerca de 6,2 cm.

Evidentemente, não há razão para afirmarmos que o comprimento da barrado Exemplo 1.3 seja exatamente 6,2 cm. Para começar, por inspeção visual nãosabemos ao certo se a leitura é 6,20 cm, 6,21 cm, 6,23 cm, etc. Indicar a leitura docomprimento da barra como sendo 6,200 cm ou 6,230 não faz nenhum sentido.

Além disso, diversos fatores podem influenciar o resultado da medida e temosque nos preocupar com eles e tratá-los devidamente.

Por exemplo, quando a medida envolve a leitura de réguas ou escalas de ins-trumentos pode ocorrer um erro conhecido como erro de paralaxe.

Figura 1.10: O erro de paralaxeocorre quando não há um alinha-mento visual correto.

Ele ocorre quando, na leitura de um instrumento, não alinhamos corretamenteo olho e os dois pontos que queremos comparar (no caso, a extremidade do bloco ea marcação na régua). Esse efeito está ilustrado na Figura 1.10.


Figura 1.9: Leitura do comprimento de uma barra por comparação com uma régua. No detalhe, aindicação da extremidade direita da barra.

Assim, conforme a posição em que nos colocamos, podemos ler diferentescomprimentos para a barra. Nesse caso, o ideal seria repetir o experimento com oalinhamento visual correto.

Outro erro comum é colocar a régua na posição incorreta para se medir dis-tâncias verticais, como na Figura 1.11.

Figura 1.11: Posicionamento in-correto da régua para se mediruma distância vertical.

A maneira correta de proceder é usando um fio de prumo (desses usados naconstrução civil). O fio de prumo fica, sob ação da gravidade, na posição vertical eserve como um guia visual para colocarmos a régua.

Pode acontecer também de a régua não ser confiável por não apresentar ostraços equidistantes, possuir marcações apagadas, etc, como na Figura 1.12.

Figura 1.12: Exemplo de uma régua pouco confiável.

Em medidas de massa, um erro comum é esquecer de zerar a balança antes dapesagem. Em balanças de pratos, isso é feito equilibrando-se os pratos.

Efeitos análogos podem ocorrer com todos os instrumentos usados em umamedição. Temos que saber utilizá-los e conhecer as especificações fornecidas pelosfabricantes.

Existem efeitos associados a uma mal calibração ou a um mal funcionamentodos instrumentos. Por exemplo, na medida do tempo de escoamento da areia de umaampulheta, utilizou-se um cronômetro digital com precisão de décimos de segundo.O tempo medido foi de 154,6 s. Após a medida, verificou-se que o cronômetroatrasava 1,5 s a cada minuto. Portanto, o tempo de escoamento não foi 154,6 s, masum valor maior. Temos que corrigir o tempo originalmente medido. Nesse caso ésimples: se em 60 s o cronômetro atrasa 1,5 s, então em 154,6 s ele atrasou cercade 3,9 s. Assim, o tempo corrigido será: (154,6 + 3,9) s = 158,5 s.


Outros efeitos são intrínsecos ao experimento. Um exemplo com circuitoselétricos é ilustrado na Figura 1.13. Deseja-se medir a corrente utilizando um am-perímetro. Da relação V=RI, obtém-se I = V/R = 12,0 V/(3,0 mΩ) = 4,0 kA.

Figura 1.13: Circuito elétrico poronde passa uma corrente. O ampe-rímetro que faz a leitura possui re-sistência interna não-desprezível.

No entanto, se a resistência interna do amperímetro não for suficientementepequena (dentro da precisão desejada), será preciso corrigir a leitura da correntepara levar em conta o efeito da resistência não-nula do amperímetro. Note que essacorreção depende de um modelo teórico que indique como a medida da correntedepende da resistência interna.

São muitas as fontes de erros e nem sempre estamos cientes delas. Noutrasvezes, estamos cientes, mas não sabemos como corrigi-las. Por exemplo, em umacorrida de 100 m, o vento exerce um papel importante, embora difícil de se levar emconta. O que ocorre na prática é que não são homologados recordes em competiçõesem que a velocidade do vento é superior a 2,0 m/s.

Vamos agora discutir outro tipo de efeito analisando o experimento do al-cance, como descrito no Exemplo (1.5). O experimento é realizado reproduzindo-se as condições experimentais da figura. Solta-se a bola e marca-se onde ela caiu(marca azul na Figura 1.14). Em seguida, mede-se com uma régua o alcance A.

Figura 1.14: A marcação azul indica onde caiu a bolinha lançada da rampa (ver a montagem expe-rimental do Exemplo (1.5)).

Pela Figura 1.14, A = 26,6 cm. Mais uma vez, não se pode ingenuamentepensar que o alcance vale 26,6 cm e ponto final. O que ocorrerá quando repetirmosa experiência, largando novamente a bolinha da posição prevista? Ao repetirmosesse procedimento algumas vezes, o que obtemos é algo análogo ao ilustrado naFigura 1.15.

Figura 1.15: Diferentes marcações para cada realização do experimento. A linha tracejada serveapenas para auxiliar a leitura da componente x (o alcance).

E agora? Como expressar o resultado para o alcance? O que se passa é quediversos efeitos influenciam a trajetória da bolinha: o atrito com a rampa, o modo


como a bolinha rola, os pequenos desvios ou empurrões no instante inicial, etc. Sesoubéssemos como cada um desses pequenos efeitos influenciam o experimento,poderíamos tentar corrigi-los. Esse procedimento seria extremamente complicadoe, muitas vezes, desnecessário. De fato, muitos dos pequenos efeitos citados in-fluenciam o valor medido ora para mais ora para menos e uma maneira simples dereduzir sua influência é repetir o experimento um número grande de vezes e traba-lhar com a média das observações.

No experimento do alcance, colisões da bolinha com a lateral do trilho podemalterar a direção da bolinha no momento de deixar a rampa. Embora esse seja umefeito de difícil controle, temos boas razões para acreditar que ora a bolinha saiapara um lado e ora saia por outro, de forma que esse deslocamento transversal é,na média, igual a zero. A análise feita aqui é parecida com o que fazemos nolançamento de uma moeda: embora não sejamos capazes de controlar quando vaidar cara ou coroa, é razoável admitir que em metade dos casos dará cara e emmetade dará coroa.

Efeitos desse tipo também fazem a bola cair ora mais longe, ora mais perto.Em uma situação hipotética, o experimentador A realiza o lançamento 9 vezes. Ascoordenadas x dos diferentes alcances obtidos foram anotados na Tabela 1.5. O

Tabela 1.5: Tabela com os 9 diferentes alcances obtidos pelo experimentador A.

Observação 1 x1=26,60 cmObservação 2 x2=25,20 cmObservação 3 x3=26,59 cmObservação 4 x4=26,74 cmObservação 5 x5=24,88 cmObservação 6 x6=25,68 cmObservação 7 x7=25,52 cmObservação 8 x8=26,10 cmObservação 9 x9=27,21 cm

valor médio da coordenada x é:

xA =

∑9i=1 xi9

=x1 + x2 + . . . x9

9≈ 26, 06 cm . (1.1)

Se tivéssemos que escolher um valor mais representativo para o conjunto de dadosexperimentais obtidos para o alcance, este valor seria xA = 26,06 cm.

Figura 1.16: Diferentes marca-ções para cada realização feitapelo experimentador B.

Em seguida, digamos que o experimentador B, usando uma outra rampa delançamento com a mesma geometria do primeira, tenha repetido o experimento 8vezes, como indica a Figura 1.16.

Os valores obtidos para a coordenada x do alcance foram resumidos na Tabela1.6. Novamente, o valor mais representativo para os dados obtidos pelo experimen-tador B é a média:

xB =

∑8i=1 xi8

=x1 + x2 + . . . x8

8≈ 26, 06 cm . (1.2)


Tabela 1.6: Tabela com os 8 diferentes alcances obtidos pelo experimentador B.

Observação 1 x1=26,35 cmObservação 2 x2=26,11 cmObservação 3 x3=25,61 cmObservação 4 x4=26,62 cmObservação 5 x5=25,88 cmObservação 6 x6=25,95 cmObservação 7 x7=25,75 cmObservação 8 x8=26,24 cm

Nesse exemplo didático, as médias dão aproximadamente o mesmo valor: 26, 06cm. Apesar de mesma média, os conjuntos de dados obtidos pelos experimentadoresA e B apresentam uma diferença marcante: os dados obtidos pelo experimentadorB possuem uma dispersão muito menor! Eles estão mais concentrados em torno damédia do que os dados obtidos pelo experimentador A. Essa informação tem queser relatada.

Figura 1.17: Comparação entre as observações do experimentador A (azul) e B (verde) para omesmo experimento do alcance (ver Exemplo 1.5).

Por todos os motivos aqui descritos concluímos que o resultado de uma me-dida não pode ser resumido em um número indicando quanto vale a grandeza. Épreciso dar informações acerca dos efeitos que influenciam a medida (na verdade,apenas os efeitos dos quais o experimentador está ciente).

Vimos também que podemos caracterizar esses efeitos em três tipos:

• Efeitos decorrentes de erros grosseiros de leitura e má preparação do expe-rimento — Esses efeitos devem ser evitados utilizando-se os procedimentoscorretos.

Uma vez eliminados esses efeitos, podemos dividir os demais em duas clas-ses:

• Efeitos aleatórios — Efeitos que ocorrem ao acaso, isto é, de modo não con-trolado. Tais efeitos decorrem de flutuações experimentais nas condições fí-


sicas ou de observação devido a fatores diversos. Os efeitos aleatórios intro-duzem variações ora para mais, ora para menos no valor da grandeza medida.Por sua natureza, tais efeitos podem ser atenuados repetindo-se o experimentouma série de vezes sob as mesmas condições. Se após n repetições foram ob-tidos os valores x1, x2, . . . , xn, o valor mais representativo para a grandezamedida é a média:

x =

∑ni=1 xin

=x1 + x2 + . . . xn

n. (1.3)

Quanto mais repetições forem feitas, mais informação teremos e mais repre-sentativa será a média.

• Efeitos sistemáticos (ou não-aleatórios) — Efeitos que não são atenuadosrepetindo-se o experimento uma série de vezes. Eles seguem um padrão quepode, em princípio, ser estudado. O valor de uma grandeza deve ser corrigidopara dar conta dos efeitos sistemáticos observados.

1.7.1 A incerteza de uma medida

Figura 1.18: Após todas as possíveis correções ainda há uma incerteza na medida que precisa serestimada. Essa incerteza define um intervalo cujos valores compatíveis com a medida.

Cientes dos possíveis efeitos que podem influenciar a medida, temos que ava-liar quão confiável é o valor medido. Convenciona-se fornecer, além do valor dagrandeza, um parâmetro numérico associado à qualidade da medição. Esse parâ-metro é denominado incerteza da medida e é geralmente denotado pela letra gregaσ (sigma). Ele dá uma informação numérica sobre a dispersão dos valores quepoderiam ser razoavelmente atribuídos à grandeza medida.

Assim, se x é o valor obtido (já corrigido) para a medida de uma grandeza X ,há um intervalo de valores em torno de x que são compatíveis com a medida (vera Figura 1.18).

A incerteza é a “margem de erro” que ouvimos falar quando se divulga umapesquisa eleitoral: “A pesquisa ouviu 800 eleitores e a margem de erro é de 3 pontospercentuais para mais e para menos”.


Tabela 1.7: Resultado de uma pesquisa eleitoral hipotética.

Candidato 1 31%Candidato 2 27%Candidato 3 14%Candidato 4 3%Brancos e Nulos 10%Indecisos 15%

No caso, 3% é a incerteza da pesquisa. Assim, segundo a pesquisa (ver aTabela 1.7), o candidato 1 pode ter de 28% a 34% das intenções de voto, enquantoo candidato 2 pode ter entre 24% e 30%. Dizemos que há um empate técnico.

Porém, a margem de erro não garante que o candidato 1 tenha — com certeza— de 28% a 34% das intenções de voto! A pesquisa não consulta toda a popula-ção, mas estima as intenções de voto a partir de um grupo reduzido de eleitores.No caso ilustrado, foram ouvidas 800 pessoas. Na realiade, uma incerteza de 3%está associada a um certo nível de confiança da pesquisa. Nessa mesma pesquisa,uma margem de erro de 4% para mais ou para menos corresponde a um nível deconfiança maior. Só teríamos 100% de confiança se afirmássemos que o candidato1 tem entre 0 e 100 % das intenções de votos. Note que, para serem consisten-tes, os institutos de pesquisa deveriam dizer também qual o nível de confiança dapesquisa1.

Em metrologia, a recomendação é que se divulgue a incerteza associada a umnível de confiança de 68%. É a chamada incerteza padrão. Daqui para frente, otermo incerteza e a letra σ serão utilizados com o significado de incerteza padrão.

Quanto menor σ, mais precisa é a medida. Sendo assim, quando estimamosσ para menos, atribuímos a uma medida um grau de precisão maior do que ela tem,compromentendo a qualidade. Por outro lado, quando estimamos a incerteza paramais, estamos declarando que a medida é menos precisa do que ela é. Isso poderiafazer com que comprássemos equipamentos mais caros do que precisamos ou quedescartássemos determinados produtos desnecessariamente. Portanto, o processode estimar a incerteza deve ser muito criterioso e depende muito da experiênciaprática de quem faz a medida.

Podemos classificar as incertezas em dois tipos de acordo com o método em-pregado para calculá-la. A incerteza é do tipo A quando for obtida a partir de umasérie de observações. Em outro caso, dizemos se tratar de uma incerteza do tipo B.

Veremos agora como estimar uma incerteza do tipo A. Digamos que umexperimento para medir uma grandeza X foi repetido diversas vezes, obtendo-seapós n observações os valores x1, x2, . . . , xn. Usando-se argumentos estatísticosmostra-se que uma boa estimativa para a incerteza associada ao conjunto de valoresx1, x2, x3, . . . , xn, é a chamada incerteza padrão da média ou desvio padrão da

1Alguns conceitos e definições aqui apresentados serão mais bem discutidos no curso de Proba-bilidade e Estatística.


média:

σ =

√√√√ 1

n(n− 1)

n∑i=1

(xi − x)2 (desvio padrão da média) , (1.4)

onde x é a média definida em (1.3).

Exemplo 1.6. A medida do tempo de evaporação de uma gota de água foi repetido4 vezes sob as mesmas condições. Os valores observados foram: t1 = 1,19 s, t2 =1,24 s, t3 = 1,28 s e t4 = 1,21 s. O valor médio do tempo de evaporação foi

t =1,19s + 1,24s + 1,28s + 1,21s

4= 1,23 s, (1.5)

enquanto que a incerteza da medida é:

σ =

√√√√ 1

4× 3

4∑i=1

(ti − 1, 23)2 s

=1√12

√(1, 24− 1, 23)2 + (1, 28− 1, 23)2 + (1, 19− 1, 23)2 + (1, 21− 1, 23)2 s

≈ 0, 02s.

No Exemplo 1.5 (experimento do alcance), a incerteza obtida pelo experimen-tador A foi σ ≈ 0,26 cm, enquanto que a incerteza obtida pelo experimentador Bfoi σ ≈ 0,12 cm. Como era de se esperar, uma menor dispersão dos dados obtidospelo experimentador B levou a um menor valor para a incerteza.

Pela expressão (1.4) vemos que a incerteza padrão vai ficando cada vez me-nor à medida em que n cresce. Assim, se pudéssemos repetir o experimento umainfinidade de vezes seríamos capazes de eliminar os efeitos aleatórios. Na prática,repetimos a experiência tantas vezes quanto necessário para que a incerteza fiquedentro da precisão requerida.

Recomenda-se evitar o uso do termo erro como sinônimo de incerteza: aquantidade σ na equação (1.4) não é o erro aleatório, mas uma estimativa da incer-teza da medida devido a efeitos aleatórios.

Agora vejamos como estimar uma incerteza do tipo B. Em muitas situações,não é possível ou não é prático repetir um experimento um série de vezes sob asmesmas condições. Nesse caso, a incerteza da medida é estimada por julgamentocientífico, baseando-se em todas as informações prévias disponíveis sobre a possívelvariabilidade do valor da grandeza. O conjunto de informações prévias inclui: dadosde medições prévias, especificações do fabricante, a experiência ou o conhecimentogeral do comportamento e propridades dos materiais e instrumentos.

Isso ocorre, por exemplo, ao medirmos o comprimento de uma barra comuma régua. Nesse caso, poderíamos pedir para diversas pessoas fazerem a leitura,poderíamos utilizar várias réguas, etc, e estimar a incerteza usando a expressão(1.4). Porém, por praticidade é mais vantajoso estimar a incerteza a partir das in-formações fornecidas pelo fabricante da régua. Uma regra comum utilizada em


laboratórios é considerar a incerteza igual como sendo a metade da menor divisãodo instrumento2. Assim, se a régua tem marcações de milímetros e confiamos nofabricante, admitimos que a incerteza da medida é σ = 0,5 mm.

Incertezas obtidas por julgamento científico não são necessariamente menosconfiáveis do que as obtidas por tratamentos estatísticos a partir de uma série de ob-servações. Mostra-se que, para as situações de interesse prático, as duas abordagenspossuem confiabilidades similares.

Incerteza relativa

Uma incerteza σ = 0,1 mm na medida do comprimento de uma barra pode ser consi-derada grande ou pequena, dependendo do tamanho da barra e da precisão desejada.Se a barra tem cerca de 1003,2 mm e será usada para medir tecidos, uma incertezade 0,1 mm é pequena; porém se a barra tem 1,5 mm e será usada como um compon-tente de um motor de um aparelho odontológico, a incerteza pode ser consideradagrande.

Para dar uma real noção do tamanho da incerteza σX de uma grandeza X,define-se a incerteza relativa, dada por:

σrel =σXx. (1.6)

onde x é o valor de X .

No caso da barra de 1003,2 mm, com σ = 0,1 mm, tem-se σrel = 0, 1/1003, 2 ≈10−4 = 0, 01%, enquanto que para a barra de 1,5 mm o mesmo σ leva a uma incer-teza relativa muito maior: σrel = 0, 1/1, 5 ≈ 0, 07 = 7%.

O “valor verdadeiro” de uma grandeza

A Figura 1.19 mostra dois conjuntos de dados (azul e vermelho) obtidos por doisestudantes no lançamento de um projétil, como no Exemplo 1.5. O modelo teóricoprevê um alcance na posição indicada com um ×.

Figura 1.19: Os valores em azul parecem mais corretos, por estarem centrados em torno do valorteórico. Entretanto, o valor teórico não deve ser confundico com o “valor verdadeiro” para o alcance.

2 Essa regra quase sempre superestima a incerteza da medida.


O conjunto de dados azul parece estar centrado em torno do alcance teórico, oque nos leva a pensar que o conjunto de dados vermelho esteve sujeito a algum efeitosistemático relevante. Note, entretanto, que o valor teórico não deve ser pensadocomo um “valor verdadeiro” para o alcance, uma vez que o modelo teórico podeser incompleto ou mesmo incorreto. Na realidade, é agora amplamente reconhecidoque o “valor verdadeiro” de uma grandeza é um conceito que inexiste, por estarsempre sujeito a dúvidas. Deve, portanto, ser evitado.

1.7.2 Medidas indiretas e incerteza combinada

Na maioria dos casos, o mensurando Y não é medido diretamente, mas é determi-nado a partir de N outras grandezas X1, . . . , XN através de uma função:

Y = f(X1, . . . , XN) . (1.7)

X1, . . . , Xn são chamadas grandezas de entrada e Y é grandeza de saída.

Exemplo 1.7. Medida do volume de um cilindro. O volume pode ser determinadomedindo-se o comprimento L e o raio R. É dado por:

V = πLR2 . (1.8)

No caso, V = f(L,R).

Suponhamos que os dados experimentais associados às grandezas de entradaXi não sejam conhecidos, mas apenas a sua média xi e sua incerteza σi. Sob certascondições gerais, a melhor estimativa para a média de Y = f(X1,X2, . . .,XN) é aquantidade:

Y = f(x1, . . . , xN) . (1.9)

Demonstra-se também que a incerteza de Y pode ser estimada a partir dasincertezas σi por meio da expressão aproximada:

σ2Y =

(∂f

∂X1

σ1

)2

+ . . . +

(∂f

∂XN

σN

)2

, (1.10)

onde as derivadas parciais devem ser calculadas em (x1, x2, . . . , xN). É comumreferir-se à expressão anterior como a “fórmula para propagação de erros”.

Se no Exemplo 1.7 tivermos L = 0, 15 m, σL = 0, 02 m, R = 0, 06 m,σR = 0, 01 m, então:

V = π LR2

= π × 0, 15× 0, 062 m3 = 0, 001 696 m3 = 1, 696 dm3 . (1.11)

Usando que∂V

∂L(L,R) = πR

2(1.12)

e∂V

∂R(L,R) = 2πLR, (1.13)


obtemos:

σ2V =

(πR

2σL

)2

+(2πLRσR

)2 ≈ 3, 709 39× 10−7 m6 , (1.14)

de modo que σV ≈ 0, 61 dm3.

1.7.3 Algarismos significativos

No experimento do alcance, o experimentador B obteve x = 26, 06 cm e σ = 0,117685 07. . . cm≈ 0,12 cm. Pela interpretação de σ, temos um certo grau de confiançade que o valor médio do alcance esteja no intervalo

(x− σ, x+ σ) , (1.15)

isto é:

25, 94 < alcance médio < 26, 18 (1.16)

com um determinado nível de confiança. Note que usar σ = 0, 117 685 07 . . . cmou σ = 0, 12 cm define, em termos práticos, o mesmo intervalo de valores com-patíveis com a medida. Pelo fato de a incerteza σ ser uma estimativa, não fazsentido escrevê-la com um número grande de algarismos. Recomenda-se, portanto,arredondar consistentemente o valor da incerteza, escrevendo-a com um ou, no má-ximo, dois algarismos significativos:

Algarismos significativos de uma quantidade são todos os algarismos certos maiso primeiro algarismo duvidoso.

Observe que se o experimentadorB calcula a média dos valores da Tabela 1.6usando uma calculadora, o resultado que aparecerá no visor será algo do tipo:

26, 063750000 . (1.17)

Tendo em vista o intervalo de valores compatíveis com a medida [dado na Equa-ção (1.16)], concluímos que não faz sentido escrever o valor da média com tantosalgarismos. Que o valor médio está em torno de 26, 0 cm não temos dúvida. Alémdisso, analisando o intervalo definido pela Equação (1.16) acreditamos que 26, 06cm represente bem o valor médio. No entanto, dentro da precisão obtida não sa-bemos se a média é 26, 063 cm ou 26, 064 cm. O algarismo 3 em 26, 063 cm e oalgarismo 4 em 26, 064 cm não são significativos. O mais correto é parar na segundacasa decimal e escrever x = 26, 06 cm.

Assim, no Exemplo 1.7, se escrevemos a incerteza como 0, 61 dm3, o volumecalculado 1, 696 dm3 contém algarismos que não são significativos. Seria mais cor-reto expressar o volume como 1, 70 dm3.

Todos os números em Física provém de algum experimento e, assim sendo,há alguma incerteza associda a esses números (ainda que, nos problemas, ela sejaquase sempre omitida). Admitiremos que os números relatados tenham sido escritosutilizando-se apenas algarismos significativos. Por exemplo, se a massa de uma


partícula é apresentada como sendo m = 10, 0 g espera-se que esse valor tenha sidoobtido com precisão da ordem de 0, 1 g. Se a incerteza fosse superior a 1 g, o maiscorreto seria declarar m = 10 g.

Há regras para se operar com algarismos significativos. Se estas regras nãoforem obedecidas você pode obter resultados que podem conter algarismos que nãosão significativos.

Para começar, note que algarismos 0 à esquerda não trazem informação al-guma. Assim, expressar m = 10 g como m = 0, 010 kg introduz mais algarismos,mas não altera o número de algarismos significativos.

Agora vamos supor que você queira fazer a seguinte adição:

138, 164 + 0, 0513− 23, 7 = 114, 5153 (no visor da calculadora) (1.18)

Para determinar o número apropriado de algarismos significativos em cálculosenvolvendo soma e/ou subtração, você pode seguir a regra geral [que decorre de(1.10)]:

Quando adicionamos ou subtraímos quantidades, o número de casas decimais daresposta deve coincidir com o do termo com o menor número de casas decimais.

No exemplo (1.18) observe que a quantidade 23, 7 apresenta apenas uma casadecimal, portanto a resposta final em (1.18) deverá ser aproximada para uma casadecimal: 114,5.

Também decorre da Equação (1.10) uma regra geral para o caso de operaçõesenvolvendo multiplicação e/ou divisão de quantidades:

Quando multiplicamos ou dividimos quantidades, o número de algarismos signi-ficativos da resposta final é igual àquele da quantidade com o menor número dealgarismos significativos.

Considere a seguinte situação: mediu-se o comprimento, a largura e alturade uma prateleira, obtendo-se os valores listados na Tabela (1.8) (as incertezas nãoforam fornecidas). O comprimento e a largura têm 3 algarismos significativos, en-

Tabela 1.8: Tabela com as dimensões de uma prateleira.

Comprimento Largura Altura1, 10 m 12, 6 cm 1, 3 cm

quanto que a altura só tem 2. O volume da prateleira é:

Volume = 1, 10 m× 12, 6 cm× 1, 3 cm = 0, 0018018 m3 (1.19)= 1, 8018 dm3 . (1.20)

Pela regra, devemos expressar o volume da prateleira utilizando 2 algarismos signi-ficativos:

Volume = 1, 8 dm3. (1.21)


1.7.4 Relatando uma medida

Para relatar o resultado da medida, todas as informações necessárias para a reavalia-ção da medição devem ser disponibilizadas. O montante de informações depende, éclaro, da utilização pretendida. Para os nossos objetivos, o relato da medida pode seresumir ao valor estimado da grandeza e de sua incerteza com a quantidade corretade algarismos significativos e indicando a unidade. Por exemplo, em uma medidada massa de um bloco, podemos ter:

m = 100,021 47(35) gm = 100,021 47 (0,000 35) g

m = (100,021 47 ± 0,000 35) g .

A medida do cilindro deve ser relatada como V = (1,70 ± 0,61) dm3 ou aindaV = (1,7± 0,6) dm3. A medida do alcance deveria ser relatada pelo experimentadorB como A = (26,06 ± 0,12) cm ou A = (26,1 ± 0,1) cm.

1.8 Metrologia

De acordo com o Escritório Internacional de Pesos e Medidas, a Metrologia é aciência que abrange todos os aspectos teóricos e práticos relativos às medições,qualquer que seja a incerteza em qualquer campo da ciência ou tecnologia. Tudoo que envolve controle de produção (certificações, padronização), aferição de equi-pamentos (balanças, taxímetros, radares, velocímetro, etc), controle de qualidade(brinquedos, eletrodomésticos, etc), medições precisas (telecomunicações, comuni-cações por satétile, GPS, etc) e muitas outras aplicações, tudo isso está relacionadoà Metrologia.

A Metrologia possui três grandes ramificações:

• Metrologia científica: é a parte da metrologia que trata da organização e de-senvolvimento de padrões de medida e sua manutenção nos níveis mais ele-vados.

• Metrologia industrial: é a parte da metrologia que assegura o adequado fun-cionamento dos instrumentos de medição usados na indústria bem como naprodução e nos ensaios.

• Metrologia legal: tem como objetivo principal proteger o consumidor tra-tando das unidades de medida, métodos e instrumentos de medição, de acordocom as exigências técnicas e legais obrigatórias.

A metrologia está na raiz do processo produtivo, incrementando a produti-vidade e a competitividade industrial. Hoje em dia, a consciência da cidadaniaimplica em uma forte demanda de serviços relacionados a saúde, segurança e meioambiente. Segundo o Inmetro, as operações metrológicos correspondem a cerca de5% do PIB das nações desenvolvidas. Outro dado importante: cerca de 80% do


comércio mundial é afetado por padrões, normas ou regulamentos. Vários estudosindicam que o custo com a adequações ao padrões pode chegar a 10% dos custos deprodução. Economias em desenvolvimento são particularmente afetadas.

Altos investimentos têm sido feitos em metrologia no Brasil para aumentarnossa competitiviade industrial, especialmente no setor de telecomunicações, ener-gético, etc. Dentre as medidas tomadas, podemos citar: implantação de novas áreas(Metrologia Química e de Materiais, Materiais de Referência Certificados); signi-ficativo incremento nas atividades de pesquisa e na capacitação em Ciência e Tec-nologia, com a absorção de significativo número de doutores; melhoria da infra-estrutura laboratorial com ampliação das faixas de medição e introdução de novasgrandezas.

No último concurso para o Inmetro (2007), foram abertas cerca de 638 vagas,com salário inicial variando de R$ 3.806,57 a R$ 4.652,59. Boa parte dessas vagasexigia apenas curso superior em alguma área de ciência e tecnologia. A metrologiademanda uma forte parceria entre os setores acadêmico, empresarial e o Governo.Há um incentivo muito grande para a formação de pessoal para atuar nessa área.Vale a pena visitar a página do mais recente Congresso Brasileiro de Metrologia(Salvador, 2009) e conferir as 16 áreas que foram temas do congresso.

Instituições ligadas à Metrologia no Rio Grande do Norte:

• Instituto de Pesos e Medidas do Estado do Rio Grande do Norte (IPEM/RN)

• Laboratório de Metrologia da UFRN

1.9 Leitura complementar: o problema das longitu-des

Um ponto qualquer da superfície da Terra (pensada como uma esfera) pode ser de-terminado a partir da latitude e da longitude. Por exemplo, as coordenadas do prédioda Escola de Ciências e Tecnologia são aproximadamente 5 50’ S de latitude e 35

12’ W de longitude. Na Figura 1.20, a linha pontilhada marca a latitude e a linhatracejada marca a longitude. Podemos ver a linha do Equador (linha mais grossa) eo Pólo Sul (ponto de encontro dos meridianos na parte inferior do desenho).

Figura 1.20: Indicação da latitudee longitude da cidade de Natal.

O eixo de rotação da Terra define os pólos Norte e Sul geográficos. As estrelasestão tão longe que parecem presas a um cenário de forma esférica, tendo a Terracomo centro. É a chamada esfera celeste. Podemos perceber a rotação da Terra pelomovimento circular feito pelas estrelas, como indica a Figura 1.21.

Para perceber o movimento das estrelas é preciso olhar o céu atentamente poralguns minutos. A Estrela Polar se situa praticamente em cima do prolongamentoda linha imaginária que liga o Pólo Sul ao Pólo Norte (bem em cima da cabeça dealguém que mora no Pólo Norte).

Uma pessoa se situa em um determinado ponto da superfície da Terra, nohemisfério norte (ver a Figura 1.22). A latitude do lugar é o ângulo φ indicado nafigura. É fácil perceber que a latitude pode ser visualmente obtida se soubermos

http://www.metrologia2009.org.br/


Figura 1.21: Devido ao movimento de rotação da Terra, um observador na superfície vê as estrelasrodando em torno do eixo que passa pelos pólos. A Estrela Polar, por estar sobre o um dos pólos (oNorte) fica sempre parada.

localizar a Estrela Polar. De fato, a latitude será o ângulo que aquela estrela faz como horizonte.

No Hemisfério Sul não é possível ver a Estrela Polar e tampouco há umaestrela visível situada exatamente sobre o Pólo Sul. Entretanto, pode-se determinara posição do Pólo Sul utilizando constelações próximas. Tradicionalmente utiliza-se o Cruzeiro do Sul.

É, portanto, uma tarefa simples se determinar a latitude de um lugar. O mesmonão se pode dizer da longitude. Com a informação da latitude, sabemos se estamosnuma região polar, tropical ou equatorial, mas não sabemos sobre qual meridianoestamos. Por exemplo, a latitude de Natal é a mesma de cidades da Colômbia, daTanzânia, da Indonésia, etc.

O problema da determinação da longitude foi por um longo tempo o grandeproblema das navegações. A partir do século XV, o domínio das navegações eraessencial para o desenvolvimento das economias européias. Saber traçar rotas e selocalizar nos oceanos dependia do conhecimento da longitude. Tratados como o deTordesilhas (que separava as terras portuguesas das espanholas por um meridiano)só teriam aplicação prática se fosse possível dizer com precisão onde passam osmeridianos. Pela a importância da questão, vários reis prometiam prêmios paraquem descobrisse um método razoável de se medir a longitude.

A medida da longitude está estreitamente relacionada à medida do tempo.Olhando o sol ou as estrelas é possível saber a hora local com precisão razoável.Exemplo disso são os relógios de sol. Note que um relógio de sol não fornece ahora oficial, dividida em fusos. Por convenção, fixamos o Meridiano de Greenwichcomo sendo a região com longitude igual a zero. Isso é de menor importância,uma vez que o que nos interessa para o posicionamento global é a diferença delongitudes.

Conhecendo-se a hora local e a hora de Greenwich, é possível determinar a


Figura 1.22: Podemos saber com precisão quão distante estamos dos pólos: o referido ângulo(latitude) é o ângulo que a Estrela Polar (ou o Pólo Sul) faz com horizonte.

longitude (em graus):

longitude =hora de Greenwich - hora local

duração de um dia× 90 (1.22)

Assim, se a hora local é 9 h 14 min 00 quando em Greenwich é 12 h 44 min 00,então a longitude do local é:

longitude =3, 5h12h

× 90 ≈ +52 30′ . (1.23)

Convenciona-se denotar uma longitude positiva indicando a letra W (de inglês west,oeste) e uma longitude negativa com a letra E (do inglês east, leste). Assim, indica-mos a longitude do exemplo anterior como 52 30′ W.

A dificuldade técnica do procedimento anterior é conhecer a hora local e ahora de Greenwich simultaneamente. As duas soluções historicamente adotadasforam:

• Solução astronômica: prever a hora (de Greenwich) de ocorrência de efemé-rides (por exemplo, eclipses).

Conhecendo a hora de Greenwich em que o evento vai ocorrer e observando-se a hora local de ocorrência do evento, calcula-se a longitude. O problemadessa proposta é que há muito poucos eclipses e, portanto, oportunidadespara se medir longitudes. Isso era muito pouco prático para a navegação.Uma solução proposta por Galileu foi usar os eclipses das luas de júpiter,muito mais frequentes. Outra solução usava a posição relativa da lua comrelação a uma estrela, mas essa técnica demandava complicadas correçõespara os efeitos de refração na atmosfera, bem como erros de paralaxe (vera Seção 1.7). Por conta da necessidade de catalogar efemérides e de modocada vez mais preciso, o perídio a partir do início do século XVII foi deintensa atividade científica com a construção de observatórios e a contrataçãode astrônomos.


• Construir e transportar um relógio que marque sempre a hora de Greenwich.

Aqui, o problema é a precisão dos relógios. O erro de 1 min no tempo equi-vale a um erro de 25” na longitude. Isso equivale a errar a posição de umalocalidade em 28 km. A viagem de Cabral de Portugal ao Brasil durou 43dias. Para ter uma precisão de 100 km seria preciso que o relógio atrasasse nomáximo 5 s por dia. Em 1714, o Parlamento inglês ofereceu uma quantia re-corde para quem inventasse um método prático de determinação de longitudecom erro menor que 0,5. Newton, Huygens, Leibnitz, dentre outros cien-tistas ilustres fracassaram na tentativa de resolver o problema. O problemafoi resolvido por um carpinteiro inglês chamado John Harrison. O problemamais difícil era o de compensar os efeitos de dilatação da mola espiral devidoa variações de temperatura. O “relógio marítimo” de Harrison, após 5 mesesde viagem, atrasou apenas 1 min 54 s, satisfazendo plenamente as condiçõesexigidas.

Pelos seu impacto econômico e pelo tempo que levou a ser solucionado, oproblema das longitudes é considerado um dos problemas tecnológicos mais im-portantes de todos os tempos. Ainda hoje o posicionamento global impulsiona apesquisa por padrões de tempo cada vez mais precisos. Em breve, atingiremos aprecisão da ordem de centímetros na determinação da posição. Isso possibilitará ouso de aparelhos de GPS para guiar e estacionar veículos.

Capítulo 2

CinemáticaTarciro Nortarson Chaves Mendes

2.1 Introdução

“Tudo é número, figura e movimento.”

René Descartes

Inciaremos aqui o estudo da Mecânica, que é a parte da Física que se preocupacom a descrição e compreensão do movimento. O problema do movimento foi umdos principais problemas da antiga Filosofia Natural durante séculos, cuja soluçãolevou ao nascimento da ciência Física como a conhecemos hoje que, por sua vez,se constituiu em paradigma para o desenvolvimento da Ciência durante os séculosXVIII e XIX.

Pode-se definir o movimento como mudanças num dado sistema físico quetem lugar no espaço durante um certo intervalo de tempo. Naturalmente esta de-finição não é muito rigorosa, pois não definimos exatamente o que é um sistemafísico, espaço, tempo e nem o que entendemos claramente com a palavra mudan-ças neste contexto, embora devamos ter uma noção intuitiva sobre esses conceitos.Claro está que, para que se possa fazer uma descrição matemática consistente domovimento, todas as “entidades” relevantes (sistema físico, espaço, tempo) devemser rigorosamente definidas ou, pelo menos, deve-se ter uma prescrição clara decomo quantificá-las e operar com elas mediante as Equações matemáticas que ex-pressam as leis físicas subjacentes. Durante o curso aprenderemos como fazer isso:identificar o sistema fisico e descrever seu estado de movimento, bem como fazerprevisões de seu movimento futuro.

Costuma-se dividir a Mecânica em duas grandes áreas: a Cinemática e a Di-nâmica1. A primeira trata a descrição do movimento em si, sem investigar as causasdo movimento observado; os movimentos são prescritos. Sua questão fundamentalé como um movimento ocorre. Já a segunda, a Dinâmica, investiga as relações cau-sais que levam a um determinado movimento. Preocupa-se em responder a razão de

1Costuma-se incluir também a Estática como uma das subdivisões da Mecânica. Não a consi-deramos aqui porque a Estática é apenas um caso particular da Dinâmica, onde a força e o torqueresultantes sobre um sistema (ou sistemas) de partículas são nulos.

26

Capítulo 2 – Cinemática 27

um sistema realizar um movimento específico e não outro. Sua questão fundamentalé por que um dado movimento ocorre.

Durante a primeira parte deste curso nos ocuparemos da Cinemática. Come-çaremos com as definições operacionais fundamentais à descrição do movimento:espaço, tempo, referencial e partícula. A partir destas definições definiremos asquantidades derivadas, como posição, velocidade, aceleração e trajetória, em ter-mos dos quais o movimento é diretamente descrito. Aplicaremos então estas de-finições a alguns exemplos importantes de movimentos prescritos idealizados queajudarão na fixação dos conceitos e irão ilustrar características gerais a uma grandegama de movimentos realmente encontrados na Natureza.

Para a compreensão eficiente do texto aqui apresentado é necessário apenasque o aluno já esteja familiarizado com Funções de uma variável, Cálculo elementar(limites, derivadas e integrais simples) e Vetores.

2.2 Fundamentos do Movimento

Já dissemos anteriormente que o movimento pode ser definido como mudanças quetem lugar no espaço durante um certo intervalo de tempo. Mas o que queremosdizer exatamente com esta frase? O que realmente muda? Quando falamos de mo-vimento, especialmente na Mecânica, a mudança observada refere-se à variação daposição de um corpo físico durante um dado intervalo de tempo. Vemos então que,antes de tudo, temos que prescrever como determinar posições de corpos no espaçonum dado instante de tempo. Para isso, definiremos os sistemas de referência, quenos possibilitarão especificar a posição ocupada num dado instante por um corpoou corpos, a partir da especificação de posição e tempo de corpos mais simples, aspartículas.

2.2.1 Partículas

Imaginemos o tipo de corpo físico mais simples possível. Esse corpo é tal que suasdimensões são desprezíveis quando comparadas a quaisquer distâncias relevantesno problema em questão. Neste caso, esse corpo pode ser representado por umponto geométrico. A esse corpo chamamos partícula ou ponto material.

Em muitas situações práticas o conceito de partícula pode ser aplicado nadescrição do movimento de objetos reais. Como exemplo, suponha que queira-mos descrever um automóvel em viagem de Natal a Fortaleza. Neste caso podemosconsiderá-lo uma partícula, pois a distância Natal-Fortaleza é cerca de 520 km, que émuitíssimo maior que o comprimento típico de um automóvel, em torno de 4 m. Defato, se tomarmos um mapa onde essas duas cidades estejam representadas, certa-mente representaríamos o carro nesse mapa como um ponto. Se, porém, desejarmosdescrever os movimentos de manobra desse carro dentro de uma garagem, não serámais possível considerá-lo como uma partícula porque nesse caso suas dimensõessão comparáveis as da própria garagem. Como um outro exemplo, se quisermosdescrever o movimento da Terra em torno do Sol, poderemos considerá-la uma par-


tícula, uma vez que o diâmetro da Terra (cerca de 12750 km) é desprezível quandocomparado à distância Terra-Sol (cerca de 150 milhões de kilômetros). No entanto,quando desejamos descrever o seu movimento de rotação em torno de seu próprioeixo, a Terra não mais pode ser descrita como uma partícula, pois uma partículanão possui partes que possam girar umas em torno das outras (como, estritamentefalando, uma partícula deve ter um volume nulo, não faz muito sentido falar em“partes” de uma partícula).

Os exemplos aqui apresentados (dentre muitos outros que se poderia citar)motram claramente que um mesmo corpo pode ou não ser considerado uma partí-cula, dependendo do problema em questão. Deve-se observar o tamanho do corpoem relação aos demais que tomam parte no problema, as distâncias por ele percorri-das e qual a precisão com que se deseja medir as distâncias e os intervalos de tempo.Assim, uma partícula não é apenas um corpo de dimensões desprezíveis, mas umcorpo de dimensões desprezíveis em um dado problema.

2.2.2 Sistemas de partículas

O objeto físico fundamental da Mecânica é a partícula. As leis e Equações funda-mentais dessa ciência são escritas para partículas. Podemos então utilizar as leisda Mecânica para descrever o movimento de qualquer objeto físico, seja ele umapartícula ou não? A resposta é sim. Isso é possível devido a um princípio bastantesimples, mas muito importante: qualquer corpo físico pode ser considerado comoum conjunto de partículas. De fato, em princípio, qualquer objeto pode ser reduzidoa pedaços menores. Tomemos um exemplo. Suponhamos que se deseja descreverum dado movimento de uma folha de papel. Podemos imaginá-la como formadapela união de muitos quadradinhos de 1 mm de lado. Se, no problema em questão,1mm puder ser considerado um comprimento desprezível, cada quadrado poderáser considerado uma partícula e o movimento da folha pode ser descrito em termosdo movimento de cada partícula que a compõe. Se, por outro lado, 1mm for umadistância relevante, poderíamos considerar a folha como composta de quadradosainda menores (um centésimo de milímetro, por exemplo), tais que suas dimensõespossam ser consideradas desprezíveis, ou seja, cada quadrado possa ser consideradouma partícula e, novamente, a folha de papel pode ser tomada como um conjuntode partículas.

Usando essa idéia de que qualquer corpo pode ser considerado como um con-junto de partículas, definamos um outro conceito muito útil em Mecânica: o decorpo rígido. Um corpo rígido é um conjunto de partículas no qual a distância entrequaisquer pares de partículas desse conjunto é sempre a mesma. Uma folha de pa-pel não é um corpo rígido, pois podemos mudar as distâncias entre vários pontos dafolha amassando-a, por exemplo. Por outro lado, uma barra de ferro em condiçõesnão muito extremas pode ser considerado aproximadamente um corpo rígido. Di-zemos aproximadamente por que nenhum corpo na natureza é perfeitamente rígido;trata-se de uma idealização, como o conceito de partícula.

Chama-se um sistema físico a qualquer parte do universo que esteja bem de-finida, ou seja, quando está exatamente estabelecido o que pertence e o que nãopertence a essa parte. Em Mecânica, um sistema físico é sempre constituído por um


ou vários corpos. Como cada corpo é um conjunto de partículas, todo sistema físico(em Mecânica) é um conjunto de partículas ou, em outras palavras, um sistema departículas. Um sistema de corpos rígidos (mesmo que haja apenas um corpo rígido)é chamado de sistema rígido.

Pode-se ser levado a pensar que exemplos aproximados de sistemas rígidos nanatureza devem necessariamente se constituir de objetos “duros”, como vigas me-tálicas, rochas, peças de madeira, etc. Isso está longe de ser verdade. A constelaçãoCruzeiro do Sul (como qualquer outra constelação catalogada), por exemplo, é umótimo exemplo de sistema rígido. Constitui-se de cinco estrelas bem separadas, masonde as distâncias relativas entre elas mantem-se invariáveis há milhares de anos.Constelações como o Cruzeiro do Sul, portanto, constituem um exemplo bem maiseloquente de sistema rígido do que os corpos que encontramos sobre a superfícieda Terra, pois estes últimos estão sujeitos a uma série de interferências que os de-formam e tranformam ao longo do tempo, provocando variações perceptíveis nasdistâncias relativas entre suas partes e, portanto, não mais satisfazendo à definiçãode sistema rígido.

Os conceitos de corpo rígido e de sistema rígido são muito importantes emMecânica e, futuramente, uma parte considerável deste curso de Princípios e Fenô-menos da Mecânica será dedicado ao estudo mais detalhado dos sistemas rígidos.De imediato, porém, esses conceitos nos serão úteis pois os usaremos na definiçãode referencial, sem o qual é impossível uma descrição consistente do movimento.

2.2.3 Eixos Coordenados

Consideremos uma reta sobre a qual escolhemos um ponto O, ao qual chamaremosorigem. A reta fica então dividida em duas semiretas que começam na origem. Es-colhemos então uma das semiretas para ser chamada de semieixo positivo e nelamarcamos uma seta para indicar isso. A outra semireta é chamada de semieixonegativo. A cada ponto do semieixo positivo associamos o número dado por suadistância até a origem. A cada ponto do semieixo negativo associamos o númerodado pelo negativo de sua distância até a origem e, à própria origem O associamoso número zero. Desse modo, estabelecemos uma correspondência biunívoca entrecada ponto da reta e o conjunto dos número reais: a cada ponto corresponde umúnico número e a cada número, um único ponto. A reta na qual foram especifica-das a origem, os semieixos positivo e negativo e a correspondência entre númerose pontos, conforme acabamos de descrever, é chamada de eixo coordenado. O nú-mero que corresponde a um ponto do eixo é chamado de coordenada do ponto noeixo, ou em relação ao eixo. Desse modo fica claro que a origem tem coordenadazero, os pontos do semieixo positivo tem coordenada positiva e os pontos do semi-eixo negativo tem coordenadas negativas. As coordenadas são dadas em unidadesde comprimento, como o metro (m) ou seus múltiplos e submúltiplos (cm, km,etc.). Neste texto, a menos que se diga o contrário, as unidades das coordenadasserão dadas em metros. Vale notar que a especificação de um eixo coordenado emuma situação concreta exige o uso de réguas para medir distâncias e especificar ascoordenadas.

Para identificar um eixo coordenado (o que se faz necessário quando vários


são usados num dado problema) usamos, além do O da origem, uma outra letraque é sempre escrita junto ao semieixo positivo. O eixo é identificado pelo par deletras. Por exemplo, se a segunda letra é X , chamamos o eixo coordenado de eixoOX . A Figura 2.1 mostra um eixo coordenado OX com um ponto arbitrário P esua coordenada x.

Figura 2.1: Eixo coordenadoOXe o ponto P de coordenada x.

Já dissemos anteriormente que uma partícula é representada geometricamentepor um ponto geométrico, como o ponto P ilustrado. Assim, descrever matemati-camente o movimento de uma partícula equivale a descrever o movimento do pontoP . Em muitas situações práticas um único eixo coordenado é suficiente na descri-ção do movimento de um dado ponto P , ou seja, uma única coordenada é suficientepara especificar a posição do ponto P . Dizemos então que o movimento é unidi-mensional ou retilíneo, pois ocorre sobre uma linha reta. Dicutiremos vários casosimportantes de movimento retilíneo no estudo da Cinemática.

Figura 2.2: Sistema de eixos co-ordenadosOXY Z e o ponto P decoordenadas (x, y, z).

Vejamos agora o caso geral da especificação da posição de um ponto P qual-quer no espaço. Ao eixo da Figura 2.1, consideremos mais dois eixos coordenadosOY eOZ, todos com a mesma origemO, perpendiculares entre si e ao eixoOX . Aesse conjunto de eixos coordenados ortogonais de sistema de eixos OXY Z. Dadoum ponto P qualquer, sabemos que existe um único plano Σx perpendicular ao eixoOX e que contém o ponto P . O plano Σx intersepta o eixo OX no ponto Px decoordenada x. Do mesmo modo, existe um único plano Σy perpendicular ao eixoOY e que contém o ponto P . Σy intersepta o eixo OY no ponto Py de coordenaday. Equivalentemente, o plano Σz intersepta OZ no ponto Pz de coordenada z.

Dessa maneira, para cada ponto P existe um único conjunto de pontos Px, Pye Pz de coordenadas x, y e z. Isso significa que a posição do ponto P no espaçofica completamente determinada pela trinca ordenada (x, y, z). Dizemos que estassão as coordenadas do ponto P em relação ao sistema de eixos OXY Z.

O sistema de eixos coordenados é uma estrutura rígida em relação a qualpodemos especificar a posição de qualquer partícula no espaço. A posição de qual-quer corpo em relação os eixos coordenados também pode ser especificada, poispara isso é suficiente especificar as posições de todas as partículas que o compõe.Com esse procedimento, portanto, o problema de determinar posições no espaçofica completamente resolvido.

2.2.4 Referencial

Refinando melhor a definição de movimento dada no início da seção 2, podemosdizer que: movimento é a variação na posição de uma partícula (ou várias partí-culas) durante um dado intervalo de tempo. Está claro que essa definição implicasermos capazes de medir tanto a posição de uma partícula como o instante de tempoem que ela ocupa essa posição. Como vimos na seção anterior, o estabelecimentode um sistema de eixos coordenados nos possibilita medir posições de modo inam-bíguo. Vimos também que para que um eixo coordenado seja útil é imprescindívela existência de réguas para se medir distâncias e, por sua vez, atribuir uma coorde-nada a um ponto sobre o eixo. De modo análogo, para que possamos determinar oinstante de tempo em que uma partícula ocupa uma dada posição, vamos supor que


dispomos de relógios.

Suponhamos que, associado a um sistema de eixos coordenados, temos umaquantidade ilimitada de relógios (tantos quanto forem necessários) todos sincroniza-dos e em repouso em relação ao sistema de eixos. O sistema de eixos coordenados,juntamente com as réguas e relógios, é uma estrutura para medir posições e instan-tes de tempo. A essa estrutura chamamos sistema de referência ou simplesmentereferencial. Um agente fixo num referencial e capaz de fazer medições (ler as ré-guas e relógios) é chamado de observador. O observador pode ser uma pessoa ouum aparelho programado para realizar as medições.

A exigência de que os relógios de um dado referencial estejam sicronizadosentre si é para que um único instante de tempo seja atribuído a um dado evento.Quanto à exigência de que os relógios estejam em repouso, não há justificativa naMecânica de Newton, com a qual nos ocuparemos neste curso. De fato, para New-ton, o estado de movimento de um relógio não pode afetar a marcha do tempo porele medida. Essa idéia, aliás, está extremamente enraizada em nossa concepçãode tempo. Vejamos um exemplo. Vamos supor que você resolva sair de casa emdireção à universidade. Nesse instante, você compara seu relógio de pulso com orelógio de parede na sala de estar. Ambos marcam exatamente o mesmo horário:7:40 da manhã. Assim que você chega na universidade, consulta o relógio de pulsoe constata que ele marca 8:00 da manhã. Você naturalmente vai inferir que o re-lógio que ficou em casa marca o mesmo horário e que portanto sua viagem durou20 min em ambos os relógios (estamos supondo que os relógios não tem defeitos defabricação ou devido a mau uso e que, portanto, funcionam perfeitamente). Essa na-tural conclusão, contudo, não está correta. O movimento sempre afeta o andamentode um relógio, qualquer que ele seja. Desse modo, dois relógios inicialmente sin-cronizados só poderão permanecer sicronizados se permanecerem em repouso umem relação a outro. No exemplo dado, seu relógio de pulso estará de fato um poucoatrasado em relação ao relógio de parede que ficou em casa (embora esse atraso sejapraticamente imperseptível). Esse é um resultado importante da Teoria da Relativi-dade Restrita de Einstein, que você terá a oportunidade de aprender posteriormente.O que importa para nós no momento é que a definição aqui dada para referencialpermite especificar completamente posições e instantes de tempo de modo total-mente consistente para os fins da Mecânica.

Figura 2.3: Sistema de eixoscoordenados OXY Z fixos numasala.

Nos referimos ao sistema de eixos coordenados como uma estrutura rígida.Em situações práticas, para garantir essa rigidez, nós recorremos a algum sistemarígido de partículas para nele fixar o sistema de eixos. Por exemplo, se pretende-mos descrever o movimento de um mosquito numa sala, podemos escolher um dosvértices da sala como a origem O e nas quinas (linha de interseção entre duas pa-redes ou entre uma parede e o piso ou o teto) que se encontram em O podemosfixar os três eixos coordenados, como indicado na Figura 2.3. No exemplo dado(como em qualquer outro), simplesmente imaginamos os eixos fixos nas paredes.Diríamos que o referencial é fixo na sala, ou na Terra, pois a sala e a Terra formamum sistema rígido.

Dissemos que um referencial é um sistema de eixos coordenados munido deréguas e relógios. É comum, porém, não se fazer referências aos relógios na especi-ficação de um referencial. Escolhe-se o sistema de eixos e a existência de relógios


fica subentendida. Desse modo, quando nos referimos a um dado referencial, cos-tumamos especificar apenas o sistema de eixos.

Estamos agora em posição de dar uma definição rigorosa de movimento (nosentido da Mecânica). Vamos apresentar a definição para uma partícula, já que a de-finição para um sistema de partículas decorre da definição para uma partícula. Umapartícula está em movimento em relação a um dado referencial quando sua posiçãoem relação a esse referencial muda com o tempo. A posição da partícula muda sepelo menos uma de suas coordenadas mudar. No caso de um corpo, dizemos queele está em movimento se pelo menos uma das partículas que o compõe estiver emmovimento em relação ao referencial. Se uma partícula ou um corpo não está emmovimento num dado referencial, dizemos que está em repouso nesse referencial.

Vemos, pela definição anterior, que o conceito de movimento é sempre rela-tivo a um referencial. Não há sentido em se falar de movimento sem um referenciala ele subjacente, em relação ao qual esse movimento está sendo medido. Ao se falarde movimento, fala-se de mudança de posição e o conceito de posição depende deum referencial. Comumente falamos de movimentos sem mencionar referenciais,mas isso não significa que não os estamos utilizando. Temos o hábito, por exem-plo, de localizar referenciais na Terra. Assim, quando dizemos que uma pedra, umcarro, ou o Sol se movem, estamos usando um referencial fixo na Terra, emborausualmente não tenhamos consciência disso.

Como bem ilustra a citação no início deste capítulo, o movimento é essencialpara a compreensão do mundo. Ele é o objeto fundamental da Física, especial-mente da Mecânica. Vimos até aqui alguns dos conceitos fundamentais que permi-tem definí-lo de modo claro e consistente. No próximo capítulo iremos apresentaros conceitos matemáticos que permitirão uma descrição matemática completa domovimento e, assim, nos munirmos de todos fundamentos necessários para atin-girmos a compreenção mais profunda possível do movimento, como abordado pelaMecânica.

2.3 Descrição Matemática do Movimento

Na seção anterior, discutimos as noções básicas sobre o movimento. Definimoso movimento de uma partícula como a mudança na sua posição com o passar dotempo em relação a um dado referencial, e o movimento de corpos extensos foi de-finido em termos do movimento das partículas que o compõem. Nesta seção, vamosapresentar os conceitos matemáticos que permitirão uma descrição precisa do mo-vimento e, com os quais, poderemos descrever com a exatidão desejada qualquertipo de movimento.

2.3.1 Funções-Movimento

Suponhamos que temos interesse no movimento de uma partícula que ocorre en-tre os instantes ti e tf . Esse intervalo é representado por [ti, tf ], onde tf > ti. Apergunta que desejamos responder é qual o conceito matemático que descreve com-


pletamente o movimento da partícula nesse intervalo. Conhecemos o movimento deuma partícula se sabemos qual a sua posição em cada instante de tempo no intervalode interesse, ou seja, se conhecemos as coordenadas x, y e z da partícula em cadainstante do intervalo [ti, tf ]. Em outras palavras, o movimento fica determinado sepossuimos uma regra que, para cada t ∈ [ti, tf ], especifique o valor da coordenadax, uma outra regra que especifique a coordenada y e outra que especifique a coorde-nada z. No instante t, a partícula pode ter apenas um único valor para a coordenadax (o mesmo vale para as outras duas coordenadas) pois, de outro modo, a partí-cula estaria ocupando duas (ou mais) posições ao mesmo tempo, o que é absurdo.Em matemática, a uma regra que satisfaça essas características, damos o nome defunção; no presente caso, trata-se ainda de uma função contínua no intervalo deinteresse. Vamos chamar à função que a cada instante t fornece a coodenada x defx. Assim,

x = fx(t) . (2.1)

A Equação anterior deve ser entendida da seguinte forma. Seja o instante de tempo tmarcado por um relógio apropriado num dado referencial. Então, se executarmos asoperações especificadas pela regra representada por fx, obteremos a coordenada xda posição da partícula nesse instante. Como exemplo, suponha que a regra fx seja:para cada valor de t, em segundos, tome o quadrado desse valor e multiplique por 5para obter o valor da coordenada x, em metros. Então, de maneira mais compacta,escreveríamos

x = fx(t) = 5t2 .

É importante frisar que x e t são números, enquanto fx é uma função. x é umnúmero, medido com o auxílio de uma régua, que dá a posição de um ponto emrelação a outro ponto escolhido como origem; t é um número lido em um relógio eque representa o tempo decorrido entre o instante em que o cronômetro é zerado e oinstante em que a particula se encontra numa posição cuja coordenada no eixo OXé x; fx é a regra que permite calcular x a partir de t. É importante não confundí-los. Insistimos nesse ponto porque é comum a utilização de uma mesma letra paraespecificar tanto a coordenada como a função. No exemplo dado, é comum escrever

x(t) = 5t2 .

Esta notação, embora comum, não é clara, pois na Equação acima a letra x, queé geralmente usada para representar a coordenada de uma partícula (que é um nú-mero), está sendo usada para especificar a função que dá a coordenada da partículapara um dado instante de tempo. Temos, portanto, uma mesma letra representandoduas coisas totalmente diferentes em um mesmo contexto. Sempre que possível,neste texto, procuraremos evitar isso utilizando um símbolo para cada conceito.

Com um raciocínio inteiramente análogo podemos escrever, para as outrascoordenadas,

y = fy(t) , (2.2)z = fz(t) . (2.3)

As funções fx, fy e fz são chamadas funções-movimento da partícula. Elassão o conceito matemático mais importante da Mecânica. Toda a teoria e os méto-dos desenvolvidos na Mecânica têm por finalidade encontrar as funções-movimento


numa dada situação e/ou tirar as informações possíveis dessas funções (quando jáconhecidas).

O domínio das funções-movimento é o intervalo [ti, tf ] que, geralmente, não éespecificado. Em muitos casos de interesse é conveniente extender o domínio a todareta real, ou seja, [−∞,∞]. Isso significa que o movimento estudado pode durarum longo intervalo de tempo, desde um passado remoto até um futuro longíncuo.Exemplos desse tipo de movimento são o movimento de um pêndulo simples ou omovimento da Terra em torno do Sol. O contra-domínio das funções-movimento éo conjunto dos números reais. Isso é natural, uma vez que a imagem das funções-movimento são as coordenadas da partícula e estas estão definidas sobre os eixoscoordenados.

Vejamos alguns exemplos de funções-movimento:

Exemplo 2.1.

Sejam as funções-movimento de uma partícula dadas por fx(t) = 2, fy(t) = 5 efz(t) = 0.

Observa-se que os valores das coordenadas dessa partícula não mudam como tempo. A partícula está fixa na posição (2, 5, 0) nesse referencial, para qual-quer instante de tempo t. Dizemos então que estas são funções-movimento de umapartícula em repouso.

Exemplo 2.2.

Sejam as funções-movimento de uma partícula dadas por fx(t) = 5t2, fy(t) = 0 efz(t) = 0.

Vê-se imediatamente que as coordenadas y e z da partícula possuem valornulo e permanecem inalteradas com o tempo, isto é, y = 0 e z = 0 para qualquert. A coordenada x varia com o tempo segundo a Equação x = 5t2. Assim, omovimento da partícula se dá unicamente sobre o eixo coordenado OX . Trata-se portanto de um movimento retilíneo. Para t < 0 a partícula se aproxima daorigem pelo semieixo positivo (move-se no sentido negativo do eixo), enquanto parat > 0 a partícula se afasta da origem também pelo semieixo positivo (move-se nosentido positivo do eixo). Em t = 0, portanto, a partícula se encontra na origemdo referencial e inverte o sentido de seu movimento (do sentido negativo para osentido positivo); qualquer que seja o intervalo de tempo observado, a partículaestá confinada ao semieixo positivo, pois a coordenada x pode assumir apenasvalores positivos. Dizemos então que a trajetória da partícula no intervalo de tempo

Figura 2.4: Trajetória retilínea noplano OXZ. A Equação da traje-tória é z = 3x.

[−∞,∞] é o semieixo positivo do eixo coordenado OX .

Exemplo 2.3. Sejam as funções-movimento de uma partícula dadas por fx(t) = t,fy(t) = 0 e fz(t) = 3t.

Neste caso, vemos que a coordenada y é constante e igual a zero, enquanto ascoordenadas x e z variam com o tempo. O movimento, portanto, ocorre no planoOXZ. Pelas funções-movimento dadas temos x = t e z = 3t. O movimento tam-bém é retilíneo e ocorre sobre a reta que passa pelos pontos (0, 0, 0) e (1, 0, 3), cujaEquação é z = 3x. Dito de outra maneira, a Equação da trajetória da partícula éz = 3x, conforme mostrado na Figura 2.4.


Exemplo 2.4. Sejam as funções-movimento de uma partícula dadas por fx(t) = 0,

Figura 2.5: Trajetória parabólicano planoOY Z. A Equação da tra-jetória é z = y − y2.

fy(t) = 2t e fz(t) = 2t− 4t2.

Como a coordenada x é sempre nula o movimento só pode ocorrer no planoOY Z. Usando as esquações para as outras coordenadas, y = 2t e z = 2t − 4t2,podemos escrever a Equação da trajetória como z = y − y2. A trajetória dapartícula é uma parábola no plano OY Z, conforme mostrado na Figura 2.5.

Exemplo 2.5. Sejam as funções-movimento de uma partícula dadas por fx(t) =sen t, fy(t) = cos t e fz(t) = t/5.

Neste exemplo a partícula realiza um movimento circular no sentido horário(quando observado de cima para baixo), com 1 m de raio, no plano OXY . Aomesmo tempo, ela realiza um movimento retilíneo no sentido positivo do eixo OZ.O resultado combinado dos dois movimentos é uma trajetória helicoidal, como es-quematizado na Figura 2.6.

Figura 2.6: Trajetória helicoidal.

Nos exemplos 2 a 5 fizemos referência a um outro conceito importante naMecânica: o de trajetória. Como deve ter ficado claro, chamamos trajetória àlinha imaginária percorrida pela partícula no espaço durante um dado intervalode tempo. Esta linha tem de ser contínua porque as funções-movimento são funçõescontínuas do tempo. A trajetória é exatamente a figura que veríamos a partícula“desenhar” durante o seu movimento.

Nos exemplos 2 e 3 essa figura é uma linha reta (ou semireta), daí o nomede movimento retilíneo. Este movimento pode ser inteiramente descrito usandoapenas um eixo coordenado para especificar a posição da partícula (as outras duascoordenadas são irrelevantes). No caso do exemplo 2 este eixo é o próprio eixoOX .No caso do exemplo 3, podemos usar um eixo coordenado que coincida com a retaz = 3x. Este eixo pode ser obtido pela rotação do plano OXZ em torno do eixoOY no sentido horário (quando visto de algum ponto de semieixo OY positivo) deum ângulo θ = arctg 3 ' 71,6o. Com esse processo, obtemos um novo sistema deeixos coordenadosOX ′Y ′Z ′ no qual o movimento da partícula ocorre inteiramentesobre o novo eixo OX ′ e sua posição é representada pela trinca (x′, 0, 0), onde x′ éa coordenada da partícula no eixo OX ′, y′ = 0 é coordenada da partícula no eixoOY ′ e z′ = 0 é coordenada da partícula no eixo OZ ′. Este procedimento ilustrao fato de que, para qualquer movimento retilíneo, é sempre possível encontrar umeixo coordenado paralelo à trajetória e com o qual se pode descrever completamenteo movimento. Dizemos, então, que o movimento é unidimensional pois é precisoapenas uma coordenada para descrevê-lo.

No exemplo 4, a figura formada é uma parábola. Este exemplo ilustra o caso(dentre inúmeros) de um movimento num plano. Para descrevê-lo é suficiente usarduas coordenadas. Não há como encontrar um novo sistema de eixos coordenadosno qual uma das coordenadas seja eliminada, como fizemos no parágrafo anteriorpara o exemplo 3. Dizemos então que o movimento é bidimensional, pois é precisoutilizar pelo menos duas coordenadas para descrevê-lo. Diferentemente dos movi-mentos retilíneos, onde as trajetórias são sempre retas, semiretas ou segmentos dereta, as trajetórias nos movimentos bidimensionais podem ter quaisquer formas, de-finidas apenas pela forma das funções-movimento que determinam as coordenadas.


No exemplo 5 mostramos as funções-movimento de um movimento tridimen-sional, no caso, as que levam a uma trajetória helicoidal para a partícula. Chamamosde tridimensional por que é preciso usar os três eixos coordenados para descrevê-lo. Não há meios de, por quaisquer transformações de eixos coordenados, eliminaralgum deles e descrever a posição da partícula usando apenas duas (como no casodo movimento no plano) ou uma (como no caso do movimento retilíneo) coordena-das. Os movimentos retilíneo e bidimensional são casos particulares de movimentostridimensionais, onde duas e uma coordenadas, respectivamente, tornam-se irrele-vantes na descrição do movimento. O movimento tridimensional é o mais geralpossível, pois esgota todas as trajetórias possíveis que uma partícula pode realizar,para qualquer conjunto de funções-movimento admissíveis.

Exceto para uma partícula em repouso (cuja trajetória se reduz a um únicoponto) e uma partícula em movimento retilíneo (cuja trajetória é uma reta, semi-reta ou segmento de reta), determinar a trajetória de uma partícula em movimentoem geral não é um processo trivial, pois determinar uma trajetória consiste em des-cobrir como as coordenadas se relacionam entre si. Consideremos o caso de ummovimento bidimensional no plano OXY . Neste caso as coordenadas relevantespara a descrição do movimento da partícula são as coordenadas x e y determinadaspelas funções-movimento segundo as Equações (12.35) e (2.2)

x = fx (t) ,y = fy (t) .

Vamos admitir que fx possua uma função inversa f−1x (poderíamos escolher qual-

quer uma das funções-movimento). Então podemos escrever

t = f−1x (x)

e a relação entre a coordenada y e a coordenada x será

y = fy(f−1x (x)

). (2.4)

Esta é a Equação da trajetória de uma partícula num movimento bidimensional.Seu gráfico no plano OXY é uma linha contínua que dá a trajetória da partículanesse plano.

No caso do movimento tridimensional é necessário o uso das três coordenadaspara especificar a posição da partícula, de modo que às Equações (12.35) e (2.2)devemos acrescentar a Equação (2.3)

z = fz (t) .

Seguindo o mesmo procedimento, temos

y = fy(f−1x (x)

), (2.5)

z = fz(f−1x (x)

). (2.6)

Estas são as Equações da trajetória de uma partícula num movimento em três di-mensões. Com estas Equações, para cada valor da coordenada x, conhecemos osvalores das coordenadas y e z. O gráfico desse sistema de Equações em relação


ao sistema coordenado OXY Z é uma linha contínua que constitui a trajetória dapartícula em seu movimento no espaço.

A dificuldade de se obter Equações da trajetória reside no fato de que nemsempre é possível obter a inversa de uma das funções-movimento. Naturalmenteisso não significa que a trajetória não exista, mas simplesmente que não sabemosescrever a Equação (ou Equações) da trajetória. Neste caso, usamos diretamente asEquações (12.35), (2.2) e (2.3) para calcular as coordenadas da partícula para umdado instante t e marcamos o ponto com essas coordenadas no sistema OXY Z.Repetindo esse procedimento para vários instantes de tempo de diferentes, maisou menos igualmente espaçados num dado intervalo, ver-se-á que os pontos caemsobre uma linha que é a trajetória da partícula no intervalo considerado.

Durante este curso de Mecânica daremos uma particular ênfase ao movimentoretilíneo. O motivo principal, além de sua simplicidade, é que ele ilustra muitas daspropriedades de movimentos mais gerais. Também tem o mérito de modelar muitosmovimentos reais encontrados na natureza. Entre os exemplos mais importantes,discutiremos aqui os movimentos uniforme e uniformemente acelerados, as oscila-ções unidimensionais, etc. Veremos também alguns casos particulares de movimen-tos no plano, como o movimento de projéteis e o movimento circular, onde algumasgrandezas não definidas no movimento retilíneo podem ter grande importância nadescrição do movimento de uma partícula ou sistema de partículas em duas e trêsdimensões, tais como aceleração centrípeta, momento angular e torque.

2.4 Movimento em uma dimensão

Na seção anterior nós apresentamos o conceito de função-movimento, com o qualé possível descrever completamente o movimento de uma partícula. Demos algunsexemplos simples de funções-movimento, com os quais pudemos ilustrar movi-mentos em uma, duas e três dimensões. Neste capítulo iremos nos dedicar exclu-sivamente ao movimento retilíneo. Definiremos conceitos derivados das funções-movimento que são extremamente úteis na construção da trajetória da partícula,como deslocamento, velocidade e aceleração.

2.4.1 Deslocamento

Admitamos que uma partícula pode mover-se apenas ao longo de uma reta. Vamosescolher nosso sistema de eixos coordenados de tal forma que o eixo OX coincidacom a reta sobre a qual a partícula se move. Neste caso, a posição da partícula é dadapela trinca (x, 0, 0), ou seja, as coordenadas y e z da partícula são sempre nulas. Asfunções-movimento que determinam as coordenadas y e z, obviamente, tambémsão nulas: fy(t) = fz(t) = 0. Assim, para estudar o movimento da partícula ésuficiente estudarmos a Equação

x = fx(t) , (2.7)

onde, como já sabemos, fx é a função-movimento que dá a coordenada x da partí-cula no instante t. A coordenada x é geralmente chamada de posição da partícula


já que, uma vez que as outras coordenadas são sempre nulas, a posição da partículafica completamente determinada quando conhecemos x.

Consideremos um intervalo de tempo [t1, t2] durante o movimento da partí-cula. Seja x1 a posição da partícula no instante t1 e x2 sua posição no instante t2.Definimos o deslocamento ∆x da partícula nesse intervalo como

∆x = x2 − x1 = fx (t2)− fx (t1) . (2.8)

Como a posição é medida em unidades de comprimento o deslocamento, natural-mente, também o é.

O deslocamento será posivo se x2 > x1. Isso significa que o sentido dodeslocamento da partícula da posição x1 à posição x2 é o sentido positivo do eixoOX (se o eixo OX aponta para a direita, dizemos que a partícula se deslocouda esquerda para a direita). Se x2 < x1, o deslocamento será negativo e o seusentido será o sentido negativo do eixo OX (a partícula se deslocou da direita paraa esquerda).

Durante um movimento qualquer da partícula podem ocorrer deslocamen-tos positivos ou negativos. Se, num dado intervalo de tempo [t1, t2], todos osdeslocamentos da partícula são positivos, quaisquer que sejam os intervalos de

Figura 2.7: Projeção do movi-mento de Marte sobre a ecliptica(eixoOX) visto de um referencialfixo na Terra. Na figura, t1 < t′ <t′′ < t2.

tempo considerados dentro do intervalo [t1, t2], dizemos que o movimento da par-tícula tem sentido positivo. Se, contudo, todos os deslocamentos são negativos,dizemos que o movimento tem sentido negativo. Pode ocorrer também que numdado intervalo o movimento tenha sentido positivo numa parte dele e negativo emoutra.

Tomemos um exemplo. Se um observador na Terra acompanhar o movimentode Marte usando um referencial fixo na Terra e projetar esse movimento sobre aecliptica, observará algo semelhante ao mostrado na Figura 2.7.

O planeta passa pela posição x1 no instante t1 e atinge a posição x′ no instantet′, com x′ > x1. O deslocamento observado no intervalo [t1, t

′] é, portanto, positivo.Do instante t′ até o instante t′′ o planeta sai da posição x′ e atinge a posição x′′, comx′′ < x′. No intervalo [t′, t′′] seu deslocamente é, portanto, negativo. Assim, nesseintervalo, ele realiza um movimento retrógrado quando observado de um referencialfixo na Terra. Do instante t′′ ao instante t2 o planeta sai da posição x′′ e atinge aposição x2, com x2 > x′′. Portanto, no intervalo [t′′, t2], o deslocamento observadoé positivo. Contudo, como mostrado na figura, x2 > x1, o que implica que odeslocamento total no intervalo [t1, t2] é positivo.

Embora em todo o intervalo [t1, t2] o deslocamento seja positivo, dentro desseintervalo podem ocorrer deslocamentos positivos e deslocamentos negativos. Re-sulta então que, um deslocamento positivo num dado intervalo de tempo não signi-fica necessariamente que a partícula se moveu apenas no sentido positivo nesse in-tervalo. Afirmação equivalente se aplica se o deslocamento for negativo num dadointervalo. Com esse exemplo, vemos então que o deslocamento em um intervalonos dá apenas uma informação global, e não detalhada, do movimento. Se, paraum dado movimento, conhece-se apenas o deslocamento da partícula num intervalo[t1, t2], podemos saber qual a distância entre a posição inicial (x1) e a posição final(x2) da partícula e o sentido do deslocamento realizado, mas não há como dizer de


que maneira a partícula se moveu nesse intervalo. Ela pode ter se movido apenas nosentido do deslocamento total, mas pode também ter realizado vários deslocamen-tos no sentido inverso inverso ao do deslocamento total.

Como outro exemplo, suponha que alguém jogue uma pequena pedra verti-calmente para cima. Consideremos o sentido positivo do eixo OX para cima. Noinstante t1 a pedra está na posição x1 e inicia o seu movimento no sentido positivode OX . Vamos supor que, nesse instante, a pedra esteja na origem do referencial,de modo que x1 = 0. Por experiência, sabemos que a pedra subirá até atingir aaltura máxima em x′ = h num instante t′. Após esse instante a pedra começa amover-se para baixo, no sentido negativo do eixoOX , até retornar à posição inicialnum intante t2. No intervalo [t1, t

′], o deslodamento da partícula é

∆x1 = x′ − x1 = fx(t′)− fx(t1) = h− 0 = h , (2.9)

que é positivo. No intervalo [t′, t2] o deslocamento é dado por

∆x2 = x2 − x′ = fx(t2)− fx(t′) = 0− h = −h , (2.10)

que é negativo. O deslocamento total no intervalo [t1, t2], contudo, é dado por

∆x = x2 − x1 = fx(t2)− fx(t1) = 0− 0 = 0 .

Vemos que o deslocamento total é zero, embora a partícula tenha se movido nesseintervalo. Note que o deslocamento no intervalo [t1, t2] pode ser escrito como

∆x = fx(t2)− fx(t′) + fx(t′)− fx(t1) = x2 − x′ + x′ − x1 = ∆x2 + ∆x1 ,

ou seja, o deslocamento no intervalo [t1, t2] é igual à soma algébrica dos desloca-mentos nos intervalos [t1, t

′] e [t′, t2], onde t1 < t′ < t2. Esta é uma propriedadegeral do deslocamento. Vamos generalizá-la para um número arbitrário de interva-los.

Seja um intervalo [ti, tf ] durante o qual uma partícula realiza um dado movi-mento unidimensional. O deslocamento da partícula nesse intervalo será

∆x = xf − xi = fx(tf )− fx(ti) .

Suponha que façamos medições da posição da partícula nos instantes t1, t2, ..., tj,tj+1, ..., tn−1 e tn, onde ti < t1 < t2 < ... < tj < tj+1 < ... < tn−1 < tn < tf e n éum número natural arbitrário (número de medições realizadas). Seja ℘n o conjuntodos intervalos [ti, t1], [t1, t2], ..., [tj, tj+1], ..., [tn−1, tn], [tn, tf ] tais que

[ti, t1] ∪ [t1, t2] ∪ ...∪[tj, tj+1] ∪ ... ∪ [tn−1, tn] ∪ [tn, tf ] = [ti, tf ] , (2.11)[tj−1, tj] ∩ [tj, tj+1] = φ ,∀ 0 < j ≤ n , n > 0 (2.12)

onde φ ≡ [t, t], ti ≤ t ≤ tf , é o intervalo de tamanho nulo. Então, ℘n é um conjuntode partições de [ti, tf ] onde cada elemento de ℘n é um intervalo contido no intervalo[ti, tf ] e cujo número total de elementos é n+ 1. O deslocamento da partícula numintervalo [tj, tj+1] ∈ ℘n será dado por

∆xj = xj+1 − xj = fx (tj+1)− fx (tj) .


Então, o deslocamento no intervalo [ti, tf ] pode ser escrito em termos dos desloca-mentos associados a cada intervalo [tj, tj+1] ∈ ℘n como

∆x = fx(tf )− fx(tn) + fx(tn)− fx(tn−1) + fx(tn−1)− ...− fx(tj+1) + fx(tj+1)− fx(tj) + fx(tj)− ...− fx(t2) + fx(t2)− fx(t1) + fx(t1)− fx(ti)

= ∆xn + ∆xn−1 + ...+ ∆xj + ...+ ∆x1 + ∆x0 =n∑j=0

∆xj ,

onde fizemos tf ≡ tn+1 e ti ≡ t0. Assim, podemos escrever

∆x =n∑j=0

∆xj =n∑j=0

(fx (tj+1)− fx (tj)) . (2.13)

O resultado anterior é válido para qualquer conjunto ℘n de partições de [ti, tf ]. Noteque enquanto o tamanho de ℘n é n + 1, o número total de conjuntos de partiçõespossíveis de [ti, tf ], ou seja, o número total de conjuntos ℘n possíveis, é infinito poisexiste um número infinito de modos de se dividir o intervalo [ti, tf ] em intervalostais que satisfaçam as condições (2.11) e (2.12) para qualquer n > 0 (para n = 0 sóexiste um conjunto possível: o conjunto unitário cujo elemento é o próprio intervalo[ti, tf ]).

Podemos enunciar o resultado dado em (2.13) da seguinte forma: no mo-vimento retilíneo, o deslocamento num intervalo qualquer [ti, tf ] é igual à somade todos os deslocamentos associados a um conjunto arbitrário de intervalos quecompõem o intervalo [ti, tf ].

Para finalizar, note também que o deslocamento sofrido por uma partícula é,em geral, diferente da distância total percorrida por ela durante o seu movimento.No exemplo do lançamento vertical há pouco dado, vimos que o deslocamento dapedra no intervalo é nulo, enquanto a distância total percorrida por ela é 2h: umadistância h na subida e outra igual na descida. Neste caso, a distância total s per-corrida pela pedra pode ser escrita como

s = |∆x1|+ |∆x2| , (2.14)

com ∆x1 e ∆x2 dados pelas Equações (2.9) e (2.10).

Não se pode, porém, generalizar esse resultado para um conjunto qualquerde partições de um intervalo [ti, tf ], como foi feito para o deslocamento. Tomandonovamente o exemplo do lançamento vertical da pedra, consideremos partições di-ferentes do intervalo [ti, tf ] ≡ [t1, t2]. Seja o tempo t′′ o instante em que a pedra seencontra na posição x′′ = h/2 e se movendo no sentido negativo do eixo OX . Odeslocamento da pedra no intervalo [t1, t

′′] será

∆x1 = x′′ − x1 = fx(t′′)− fx(t1) = h/2− 0 = h/2. (2.15)

No tempo t2, como já vimos, a partícula se encontra novamente na posição inicial,de maneira que o deslocamento no intervalo [t′′, t2] é dado por

∆x2 = x2 − x′′ = fx(t2)− fx(t′′) = 0− h/2 = −h/2. (2.16)


O deslocamento total no intervalo [t1, t2] é

∆x = x2 − x1 = ∆x1 + ∆x2 = h/2− h/2 = 0

e a distância percorrida continua sendo s = 2h. Porém, a soma dos módulos dosdeslocamentos nos intervalos [t1, t

′′] e [t′′, t2] é |∆x1|+ |∆x2| = |h/2|+ | −h/2| =h 6= 2h, de modo que

s 6= |∆x1|+ |∆x2| (2.17)

quando ∆x1 e ∆x2 são dados pelas Equações (2.15) e (2.16). Em verdade, a ine-quação (2.17) é válida para qualquer ℘1 = [t1, t], [t, t2], exceto para t = t′, ondet′ é o instante em que a partícula atinge a altura máxima.

Em geral, para um movimento retilíneo qualquer num intervalo [ti, tf ], o re-sultado (2.17) pode ser generalizado para um conjunto ℘n qualquer como

s 6=n∑j=0

|∆xj| =n∑j=0

|fx (tj+1)− fx (tj)| . (2.18)

Esse resultado pode parecer não muito útil, já que não nos diz como obtera distância percorrida pela partícula no intervalo de interesse, mas sim como nãocalculá-la para um movimento retilíneo qualquer. Contudo, nem tudo está perdido.Suponha que façamos o número de partições de [ti, tf ] arbitrariamente grande e, aomesmo tempo, que o tamanho de qualquer dessas partições se torne arbitrariamentepequeno. Isso significa que o tamanho de um ℘n qualquer cresce indefinidamente (nse torna arbitrariamente grande) e que tj+1 − tj ≤ δt para qualquer [tj, tj+1] ∈ ℘n,onde δt é um número positivo que pode ser feito tão pequeno quanto se queira.Então, no limite n → ∞ e tj+1 − tj ≤ δt → 0 para qualquer [tj, tj+1] ∈ ℘n, adesigualdade dada em (2.18) se torna numa igualdade, isto é,

s = limn→∞

n∑j=0

lim∆xj→0

|∆xj| = limn→∞

n∑j=0

limtj+1→tj

|fx (tj+1)− fx (tj)| . (2.19)

Num movimento retilíneo, a distância percorrida por uma partículanum intervalo [ti, tf ] qualquer é igual a soma dos módulos de todos osdeslocamentos associados a um conjunto arbitrário de partições quecompõem o intervalo [ti, tf ] no limite em que o número de partições vaipara infinito e o tamanho de cada partição vai para zero.

2.4.2 Velocidade média

Até aqui nossa discussão sobre o movimento se baseou unicamente na obtenção daposição x da partícula para um dado instante de tempo t ou, em outra palavras, noconhecimento da função-movimento da partícula. De fato, de acordo com a defini-ção de movimento dada nas seções 2.2.4 e 2.3.1, conhecer a função-movimento éconhecer o movimento. Toda a informação possível que se pode obter sobre o mo-vimento está contida na função-movimento. Contudo, vimos que é útil buscarmos


construir algumas grandezas a partir das funções-movimento que auxilam na com-preensão do movimento. Uma outra razão (e a mais importante) é que essas grande-zas auxiliares são fundamentais para a obtenção das funções-movimento a partir daLeis da Mecânica, pois estas últimas são afirmações sobre a natureza que utilizamgrandezas derivadas das funções-movimento e não as próprias funções-movimento.A primeira dessas grandezas, que definimos na seção anterior, é o deslocamento dapartícula num dado intervalo do movimento.

Vimos que o deslocamento nos fornece uma informação global do movimentoda partícula no intervalo de interesse: a variação da posição da partícula (distânciaentre as posições inicial e final) e o sentido dessa variação (se no sentido positivo ounegativo do eixo coordenado). Há portanto uma infinidade de funções-movimentoque para um dado intervalo [ti, tf ] fornecem o mesmo deslocamento, o que implicaque o deslocamento por si só não permite discriminar que movimento a partícularealiza. Pode ocorrer também que tenhamos um mesmo deslocamento para váriosintervalos diferentes. Isso sujere que busquemos outras quantidades derivadas dasfunções-movimento que, juntamente com o deslocamento, auxiliem numa descriçãomais detalhada do movimento. Com esse fim, definamos a velocidade média de umapartícula num dado intervalo.

Considere um intervalo de tempo [t1, t2] com t2 > t1. Chamamos de duração∆t do intervalo à diferença

∆t = t2 − t1 .Seja x1 a posição da partícula no instante t1 e x2 a posição da partícula no instantet2. Então o deslocamento da partícula no intervalo [t1, t2] é

∆x = x2 − x1 = fx(t2)− fx(t1) .

Chamamos de velocidade média da partícula no intervalo [t1, t2] à razão entre odeslocamento da partícula nesse intervalo e a duração do intervalo, isto é,

vx =∆x

∆t=fx(t2)− fx(t1)

t2 − t1. (2.20)

A letra v significa “velocidade”, a barra sobre o v significa “média” e o sub-índice“x” indica que o movimento se dá sobre o eixo OX .

Sendo a velocidade média a razão entre um deslocamento e a duração dessedeslocamento, a unidade de velocidade média é, naturalmente, a razão entre uni-dades de comprimento e unidades de tempo. Se usamos o metro (m) para compri-mento e o segundo (s) para tempo, a velocidade média será medida em m/s.

Uma vez que a duração é positiva (já que t2 > t1), o sinal da velocidade mé-dia é o mesmo do deslocamento da partícula no intervalo de interesse. A velocidademédia é positiva se o deslocamento no intervalo de interesse ocorre no sentido posi-tivo do eixo OX; é negativa se o deslocamento ocorre no sentido negativo do eixoOX e é nula se o deslocamento for nulo nesse intervalo.

Do mesmo modo que o deslocamento, a velocidade média nos dá apenas umainformação global sobre o movimento da partícula. Isso significa que, se conhe-cemos apenas o deslocamento da partícula num dado intervalo, e por conseguintea velocidade média nesse intervalo, não podemos saber que movimento a partícula


realizou durante o intervalo em questão, ou seja, não temos como obter a função-movimento da partícula.

Pode-se perguntar então qual a utilidade de se definir a velocidade média deuma partícula num dado intervalo se, aparentemente, ela não fornece informaçõesmelhores que as fornecidas pelo deslocamento nesse intervalo. Na verdade, o fatode a velocidade média ser definida como a razão entre o deslocamento e a dura-ção dá expressão (mesmo que de modo impreciso) à noção intuitiva de rapidez.Como exemplo, consideremos mais uma vez a distância entre Natal e Fortaleza,que é cerca de 520 km. Se uma pessoa fizer uma viagem de carro entre as duascidades gastará cerca de 6,5 h, enquanto se fizer a mesma viagem de avião gas-tará aproximadamente 50 min. O deslocamento nos dois casos é o mesmo, mas aduração do deslocamento não. A velocidade média da pessoa viajando de carro é520 km/6,5 h≈ 80 km/h, enquanto a velocidade média da pessoa viajando de aviãoé 520 km/50 min≈ 620 km/h. Dizemos então que o avião se moveu mais rapida-mente que o carro, pois sua velocidade média é maior que a velocidade média docarro. No exemplo aqui apresentado essa afirmação é uma boa expressão da rea-lidade porque sabemos que um avião, devido a sua natureza, se move bem maisrapidademente que um carro, bem como sabemos qual a distância total percor-rida por cada veículo. Se, contudo, o avião fizer o percurso entre Natal e Forta-leza 11 vezes (indo e voltando), o deslocamento final do avião será o mesmo en-quanto a duração do movimento (desprezando-se o tempo que o avião permaneceem solo) será 11×50 min= 550 min≈ 9,2 h, de modo que sua velocidade média será520 km/9,2 h≈ 57 km/h, que é menor que a velocidade média de um carro que fazo percurso apenas uma vez. Se dispuzéssemos apenas das velocidades médias, semsaber qual a distância total percorrida em cada caso, não poderíamos dizer que o pri-meiro veículo (cuja velocidade média foi ≈ 80 km/h) se moveu mais rapidamenteque o segundo (cuja velocidade média foi ≈ 57 km/h). Neste caso, a velocidademédia não dá uma informação correta da rapidez com que uma partícula realiza seumovimento pois, como o deslocamento, não permite distinguir exatamente o que apartícula faz durante o seu deslocamento.

Mesmo assim, a velocidade média é um conceito muito útil, pois a partir delepoderemos definir, mais tarde, o conceito de velocidade instantânea que, esse sim,leva em conta todos os detalhes de um dado movimento e dá um significado pre-ciso para o conceito intuitivo de rapidez (contudo, veremos como fazer isso usandoapenas o conceito de velocidade média no caso particular do movimento retilíneouniforme). Na verdade, a velocidade instantânea vai bem mais além pois, comoveremos mais tarde, ela não só define a rapidez com que uma partícula realiza ummovimento mas também a própria trajetória da partícula.

Movimento retilíneo uniforme (MRU)

Dissemos anteriormente que o conhecimento da velocidade média num dado inter-valo, por si só, em geral não permite descobrir qual a função-movimento da par-tícula nesse intervalo. Contudo, existe um único tipo de movimento que pode serperfeitamente descrito com o conceito de velocidade média: o movimento retilíneouniforme.


Considere um intervalo qualquer [t1, t2] com t2 > t1. A velocidade média dapartícula nesse intervalo é dada pela Equação (2.20). Definimos um movimento re-tilíneo uniforme (MRU) como aquele no qual, qualquer que seja o intervalo [t1, t2],a velocidade média tem sempre o mesmo valor vx ≡ v. De (2.20), portanto, temos

v =x2 − x1

t2 − t1, (2.21)

onde x2 = fx(t2) e x1 = fx(t1) são as posições da partícula nos tempos t2 et1, respectivamente. Como o resultado anterior é válido para qualquer intervalo,consideremos o intervalo no qual o instante inicial é t1 = 0 e o instante final ét2 = t. Fazendo x = fx(t) e x0 = fx(0), a Equação (2.62) toma a forma

v =x− x0

t− 0=⇒ x = x0 + vt , (2.22)

onde x é a posição da partícula no tempo t e x0 é a posição da partícula em t1 = 0.x0 é também chamada de posição inicial da partícula.

A Equação (2.22) nada mais é que a função-movimento de uma partícula querealiza um MRU com velocidade média v.

fx(t) = x0 + vt . (2.23)

Com ela nós podemos obter qualquer informação possível que desejarmos sobre oMRU por ela descrito. Vejamos primeiramente o caso em que v = 0. Da função-movimento dada em (2.23), temos x = x0 + 0 × t = x0 para qualquer instantet, isto é, a partícula permanece em repouso na posição x0 durante todo o intervalo[0, t] para qualquer t > 0. Embora esse resultado seja trivial para o MRU, nãoo é para movimentos mais gerais, já que o fato de a velocidade média ser nulanum dado intervalo não implica necessariamente que a partícula tenha permanecidoem repouso durante esse intervalo. Consideremos agora uma velocidade médiapositiva: v > 0. Nesse caso, usando a Equação (2.23), o deslocamento em qualquerintervalo [t1, t2] é dado por

∆x = fx(t2)− fx(t1) = x2 − x1 = v (t2 − t1) .

Como t2 − t1 > 0 e v > 0, decorre do resultado anterior que o deslocamento numintervalo qualquer de um MRU é sempre positivo, ou seja, a partícula sempre semove no sentido positivo do eixo OX quando v > 0. Resultado análogo ocorrepara v < 0: a partícula sempre se move no sentido negativo do eixo OX quandov < 0. Esses resultados podem ser resumidos na seguinte afirmação: todos osdeslocamentos num dado MRU têm o mesmo sentido (positivo ou negativo) ou,dito de outro modo, em qualquer MRU a partícula jamais inverte o sentido de seumovimento.

Uma decorrência importante dessa afirmação é que, uma vez que no MRU osdeslocamentos nunca mudam de sentido, a distância total que a partícula percorrenum dado intervalo é sempre igual ao módulo do deslocamento nesse intervalo.Portanto, para o MRU, a desigualdade em (2.18) se torna numa igualdade, isto é,

s =n∑j=0

|∆xj| =n∑j=0

|fx (tj+1)− fx (tj)| (2.24)


para qualquer conjunto ℘n de partições de um intervalo [ti, tf ] qualquer. Usando afunção-movimento (2.23) e o fato de que tf > ti, a Equação anterior leva a

s = |v| (tf − ti) . (2.25)

É importante frisar que não é só ao MRU que a Equação (2.24) se aplica.Em verdade, ela é válida para qualquer movimento retilíneo onde os deslocamentosnão mudam de sinal no intervalo de interesse. Como exemplo, consideremos omovimento retilíneo descrito pela função-movimento

fx(t) = at3 , (2.26)

onde a é uma constante positiva. É evidente que este movimento não se trata de umMRU, pois a função-movimento que o descreve é diferente da função-movimentodo MRU dada pela Equação (2.23). O deslocamento no intervalo [t1, t2] é

∆x = fx(t2)− fx(t1) = a(t32 − t31

).

Como t2 > t1, o deslocamento dado pela Equação anterior é sempre positivo, qual-quer que seja o intervalo [t1, t2] e, portanto, a Equação (2.24) é valida para ummovimento descrito pela função-movimento dada pela Equação (2.26).

Continuando nossa discussão do MRU, consideremos dois intervalos diferen-tes, [t1, t2] e [t′1, t

′2], que possuem a mesma duração: t2 − t1 = t′2 − t′1. Da função-

movimento (2.23) ou, o que é equivalente, do fato de que a velocidade média numMRU independe do intervalo considerado, temos

x′2 − x′1t′2 − t′1

=x2 − x1

t2 − t1,

onde x′2 − x′1 é o deslocamento da partícula no intervalo [t′1, t′2] e x2 − x1 é o des-

locamento no intervalo [t1, t2]. Como consideramos intervalos de durações iguais,a Equação anterior leva a

x′2 − x′1 = x2 − x1 . (2.27)

Desse resultado concluímos que, em intervalos de mesma duração a partícula emMRU percorre distâncias iguais. Esta propriedade costuma ser enunciada na se-guinte forma: no MRU a partícula percorre distâncias iguais em tempos iguais(“tempos” aqui significa durações de intervalos). Esta afirmação é, frequentemente,enunciada como uma definição para o MRU.

Finalizemos esse estudo do MRU comparando dois movimentos retilíneosuniformes com diferentes velocidades médias. A título de simplificação suporemosque ambas as velocidades sejam positivas, sem perda de generalidade. Sejam osmovimentos das duas partículas dadas pelas funções-movimento

x = x0 + vt e x′ = x′0 + v′t , (2.28)

com a condição de quev′ > v . (2.29)


Considerando um dado intervalo [t1, t2], podemos comparar os deslocamentos so-fridos por cada partícula nesse intervalo. Das Equações (2.28) e (2.29), temos

x′2 − x′1x2 − x1

=v′ (t2 − t1)

v (t2 − t1)=v′

v> 1 ,

de onde concluímos que a partícula de maior velocidade média sofre o maior des-locamento. Como estamos tratando de movimentos retilíneos uniformes, podemosafirmar que a partícula com maior velocidade média percorre uma maior distância,de onde decorre que, a distância percorrida por uma partícula em MRU num dadointervalo é tanto maior quanto maior for sua velocidade média.

Comparemos agora o tempo gasto para cada partícula percorrer a mesma dis-tância, ou seja, as durações dos intervalos [t′1, t

′2] e [t1, t2] para os quais os desloca-

mentos x′2 − x′1 e x2 − x1 são os mesmos. Usando novamente as Equações (2.28) e(2.29), temos

t′2 − t′1t2 − t1

=v

v′< 1 .

Dessa Equação concluímos que: no MRU, o tempo gasto para uma partícula per-correr uma dada distância é tanto maior quanto menor for sua velocidade média.Essas duas propriedades elementares do MRU é que dão fundamento à noção intui-tiva de rapidez. O MRU mais rápido é aquele no qual se percorre a maior distâncianum dado intervalo de tempo, ou no qual de demora menos tempo para percorreruma dada distância. Pela análise que fizemos acima, fica claro que o MRU maisrápido é aquele com maior velocidade média e, portanto, o conceito de velocidademédia é suficiente para caracterizar a rapidez de um MRU. Para caracterizar a rapi-dez de quaisquer tipos de movimento é necessário um conceito mais poderoso, aoqual já nos referimos antes: o de velocidade instantânea ou, simplesmente, veloci-dade.

2.4.3 Velocidade instantânea

Vimos que a velocidade média da partícula num dado intervalo [ti, tf ] fornece poucainformação sobre o movimento nesse intervalo, pois existe uma infinidade de movi-mentos possíveis que podem levar à mesma velocidade média. Isso significa que avelocidade média não é um conceito que permita descrever o movimento com pre-cisão, exceção feita ao MRU, que é o único movimento que pode ser perfeitamentedescrito pela velocidade média.

Para ilustrar esse fato num movimento retilíneo qualquer, considere o instantetm = (ti + tf )/2; este é o instante médio do intervalo [ti, tf ]. Podemos entãoescrever

[ti, tm] ∪ [tm, tf ] = [ti, tf ] .

Considere um movimento (que chamaremos movimento A) tal que vim = v é avelocidade média no intervalo [ti, tm] e vmf = V é a velocidade média no intervalo[tm, tf ], com V > v. Então, a velocidade média no intervalo [ti, tf ] é dada por

vif =xf − xitf − ti

=∆xfm + ∆xmi∆tfm + ∆tmi

,


onde ∆xfm = xf −xm e ∆xmi = xm−xi são os deslocamentos e ∆tfm = tf − tme ∆tmi = tm − ti são as durações dos intervalos [tm, tf ] e [ti, tm], respectivamente.Como tm é o ponto médio do intervalo [ti, tf ], então ∆tfm = ∆tmi = ∆t, demaneira que a velocidade média no intervalo [ti, tf ] pode ainda ser escrita como

vif =∆xfm + ∆xmi

2∆t=vmf + vim

2=V + v

2.

Consideremos agora um outro movimento (que chamaremos movimento B) nomesmo intervalo, onde vim = V e vmf = v. Para esse movimento, a velocidademédia no intervalo [ti, tf ] será

vif =∆xfm + ∆xmi

2∆t=vmf + vim

2=v + V

2,

que é exatamente a mesma velocidade média do movimento A no intervalo [ti, tf ].Isso significa que, se soubéssemos apenas a velocidade média no intervalo [ti, tf ],não poderíamos distingir o movimento A do movimento B. Porém, sabemos queos dois movimentos são diferentes porque conhecemos as velocidades médias nosintervalos menores [ti, tm] e [tm, tf ]. No movimento A a partícula tem velocidademédia menor no primeiro intervalo e velocidade média maior no segundo intervalo,enquanto no movimento B ocorre exatamente o contrário. Esse exemplo ilustraum fato importante: conhecer as velocidades médias nos vários sub-intervalos quecompõem o intervalo [ti, tf ] nos dá mais informações sobre o movimento do queconhecer apenas a velocidade média no intervalo [ti, tf ].

Consideremos um conjunto ℘n de partições de [ti, tf ], como definido na seção2.4.1. A velocidade média em cada intervalo [tj, tj+1] ∈ ℘n é dada por

vj =∆xj∆tj

=fx (tj+1)− fx (tj)

tj+1 − tj, (2.30)

onde ∆xj = xj+1 − xj é o deslocamento da partícula durante o intervalo [tj, tj+1],∆tj = tj+1− tj é a duração desse intervalo e fx é a função-movimento da partícula.Seja Vn o conjunto de todos os vj associados a todos os intervalos [tj, tj+1] perten-centes a ℘n. O conjunto Vn, portanto, possui n+1 elementos assim como ℘n e cadaelemento de Vn é um número que dá a velocidade média vj num dado intervalo[tj, tj+1] pertencente a ℘n. Então, existe uma correspondência biunívoca entre ℘ne Vn: para cada elemento de ℘n podemos associar um, e somente um, elemento deVn.

℘n −→ Vn[tj, tj+1] 7−→ vj . (2.31)

Pelo que foi dito no parágrafo anterior, se conhecermos cada vj ∈ Vn para cada[tj, tj+1] ∈ ℘n saberemos mais sobre o movimento no intervalo [ti, tf ] e esse conhe-cimento melhora quanto maior for n e quanto menor for a duração ∆tj = tj+1 − tjde cada intervalo [tj, tj+1] ∈ ℘n. Nesse raciocínio, se conhecemos o conjunto Vnpara um dado conjunto ℘n no limite em que n → ∞ e ∆tj → 0, ∀ [tj, tj+1] ∈ ℘n,deveremos ser capazes de distinguir um dado movimento de qualquer outro possívelno intervalo [ti, tf ].


Consideremos o instante inicial tj ≡ t de um dado intervalo [tj, tj+1] ∈ ℘n.Se a duração desse intervalo é ∆tj ≡ ∆t, então o instante final desse intervalo serátj+1 = t+ ∆t e a velocidade média associada a esse intervalo será

vj ≡ vx =fx (t+ ∆t)− fx (t)

∆t.

O que acontece com essa razão no limite em que ∆t → 0? Como a função-movimento fx da partícula deve ser uma função contínua de t, no limite ∆t → 0a razão dada na Equação anterior tende a um valor que coincide com o valor daderivada da função fx no instante t. A esse valor, damos o nome de velocidadeinstantânea ou, simplesmente, velocidade da partícula no instante t. Simbolizandoa velocidade instantânea por vx, temos

vx = lim∆t→0

∆x

∆t= lim

∆t→0

fx (t+ ∆t)− fx (t)

∆t=

dx

dt. (2.32)

A velocidade instantânea num dado instante t mede a rapidez com que a po-sição da partícula varia nesse instante. Dizemos que é instantânea, porque ela éobtida como o limite do valor da velocidade média da partícula num dado intervaloquando a duração desse intervalo tende a zero. Assim como a velocidade média,a velocidade instantânea se mede em unidades de comprimento sobre unidades detempo. No S.I., a unidade é m/s.

Com o conceito de velocidade instantânea, temos uma ferramenta muito po-derosa para a descrição de um movimento num dado intervalo [ti, tf ]. Para isso,contudo, precisamos conhecer o valor da velocidade instantânea em todos os pon-tos do intervalo [ti, tf ].

Consideremos novamente um dado conjunto ℘n de partições do intervalo[ti, tf ]. Cada elemento de ℘n é um intervalo [tj, tj+1] sujeito aos vínculos (2.11)e (2.12). Cada intervalo [tj, tj+1] ∈ ℘n é indexado por um número natural j,0 ≤ j ≤ n, onde n ≥ 0 está relacionado ao número total de elementos de ℘n,que é dado por n+ 1. Portanto, para cada j existe um único intervalo [tj, tj+1] cor-respondente em ℘n. Podemos também indexar um dado intervalo pertencente a ℘npor um número real, por exemplo, o instante inicial tj do intervalo [tj, tj+1]. Dessemodo, para cada instante tj ∈ [ti, tf ] existe um único intervalo [tj, tj+1] ∈ ℘n.Chamemos de Tn ao conjunto de todos os instantes tj ∈ [ti, tf ] associados a cadaintervalo [tj, tj+1] de ℘n. Então, existe uma correspondência biunívoca entre oselementos de Tn e ℘n:

Tn −→ ℘ntj 7−→ [tj, tj+1] . (2.33)

De (2.31), concluímos que também existe uma correspondência biunívoca entre Tne Vn, de modo que para cada tj ∈ Tn existe um único vj ∈ Vn, isto é,

Tn −→ Vntj 7−→ vj . (2.34)

Deve-se enfatizar que a expressão (2.34) não significa que exista uma velocidademédia vj para um dado instante tj , pois isso não faria sentido uma vez que a velo-cidade média só pode ser definida num dado intervalo. (2.34) significa que existe


um, e somente um, valor para a velocidade média vj ∈ Vn associada ao intervalo[tj, tj+1] ∈ ℘n indexado pelo elemento tj ∈ Tn.

Tomemos agora o limite em que n se torna arbitrariamente grande ao mesmotempo que a duração ∆tj de cada intervalo [tj, tj+1] ∈ ℘n se aproxima de zero. Issosignifica que os extremos tj e tj+1 do intervalo [tj, tj+1] se aproximam idefinida-mente um do outro de modo que, no limite, tj+1 → tj para qualquer 0 ≤ j ≤ n,com n → ∞. De (2.33) temos que, no limite, o conjunto Tn se torna um conjuntodenso2 onde cada elemento está em correspondência biunívoca com os pontos dointervalo [ti, tf ], ou seja,

limn→∞

Tn −→ [ti, tf ]

tj 7−→ t . (2.35)

Naturalmente, em (2.35) está implícito que a duração de cada intervalo [tj, tj+1] seanula quando n→∞, isto é, ∆tj → 0 ∀ [tj, tj+1] ∈ ℘n. O que acontece com o con-junto Vn nesse limite? Como a duração de cada intervalo [tj, tj+1] pertencente a ℘ntende a zero, cada elemento vj pertencente Vn e associado a cada intervalo [tj, tj+1]de ℘n e, por sua vez, a cada elemento tj pertencente a Tn, tende à velocidade ins-tantânea no instante tj . Como, no limite, Tn se torna um conjunto denso segundo(2.35), por (2.34) Vn também se torna um conjunto denso onde cada elemento estáem correspondência biunívoca com um elemento do conjunto dos números reais <,uma vez que a velocidade instantânea da partícula pode assumir qualquer valor real.Portanto,

limn→∞

Vn −→ <vj 7−→ vx . (2.36)

Combinando (2.34), (2.35) e (2.36), podemos escrever

[ti, tf ] −→ <t 7−→ vx . (2.37)

O resultado anterior implica que deve existir uma função contínua cujo domínioé o intervalo [ti, tf ] e cujo contradomínio é o conjunto dos números reais que, acada instante de tempo t associa um único único valor para a velocidade instantâ-nea da partícula. A essa função chamaremos de função-velocidade, por analogia àfunção-movimento que, a cada instante t, associa um único valor para a posição dapartícula. Simbolizando a função-velocidade por fx, podemos escrever

vx = fx(t) . (2.38)

Como vimos na seção 2.3.1, para que possamos descrever completamente omovimento de uma partícula num dado intervalo de tempo é suficiente conhecer afunção-movimento da partícula nesse intervalo. Para o movimento retilíneo sobre oeixo OX isso implica que a posição x da partícula é dada por

x = fx(t) . (2.39)2Dizemos que um conjunto é denso quando se pode estabelecer uma correspondência biunívoca

entre o conjunto dos números reais e subconjunto qualquer desse conjunto.


Uma vez conhecida fx tem-se toda a informação possível sobre o movimento, oque inclue o valor da velocidade instantânea da partícula em qualquer instante tdo intervalo de interesse. Isso significa, portanto, que a função-velocidade fx nãopode ser uma função independente de fx, ou seja, deve-se ser capaz de obter afunção-velocidade conhecendo apenas a função-movimento. De fato, este é o caso.Combinando as Equações (2.38) e (2.32), concluímos que a função-velocidade dapartícula é dada pela função derivada da função-movimento, ou seja, a função quea cada instante t atribui o valor da derivada de fx nesse instante e esse valor corres-ponde justamente o valor da velocidade instantânea no instante t. Portanto,

fx(t) = lim∆t→0

fx (t+ ∆t)− fx (t)

∆t=

d

dtfx (t) . (2.40)

Para finalizar esta seção, vejamos como o deslocamento e a distância per-corrida pela partícula no intervalo [ti, tf ] estão relacionados à velocidade instantâ-nea. Consideremos novamente a Equação (2.13), que dá o deslocamento da partí-cula no intervalo [ti, tf ] em termos dos deslocamentos associados a cada intervalo[tj, tj+1] ∈ ℘n.

∆x =n∑j=0

∆xj =n∑j=0

(fx (tj+1)− fx (tj)) . (2.41)

Usando a Equação (2.30), podemos escrever

∆x =n∑j=0

∆xj∆tj

∆tj =n∑j=0

vj∆tj . (2.42)

No limite em que n → ∞ e ∆tj → 0 ∀ [tj, tj+1] ∈ ℘n, o valor da velocidademédia vj no intervalo [tj, tj+1] se aproxima do valor da velocidade instantânea vx noinstante tj = t e a duração ∆tj se torna na diferença infinitesimal (ou no diferencial)dt. Como vx no instante t é dado pela Equação (2.38), a soma anterior se torna umaintegral da função-velocidade no intervalo [ti, tf ], isto é,

∆x =

∫ tf

ti

fx(t)dt . (2.43)

Sem perda de generalidade, podemos fazer ti = 0 e tf = t. Se a posição da partículaem ti = 0 é x0 e sua posição em tf = t é x, então seu deslocamento no intervalo[0, t] é ∆x = x− x0. Da Equação (2.43), temos então

x = x0 +

∫ t

0

fx(t′)dt′ . (2.44)

Comparando esta Equação com a Equação (2.39), vemos que o lado direito de(2.44) é justamente a função-movimento da partícula em termos da sua a função-velocidade. Se conhecemos a função-velocidade da partícula e sua posição numinstante inicial t = 0, esta Equação permite saber qual a sua posição num instantet qualquer. Perceba que o conhecimento da função-velocidade apenas não é sufici-ente para determinar completamente o movimento da partícula; é preciso dar umainformação a mais: a posição inicial da partícula.


Para calcularmos a distância percorrida pela partícula, consideremos nova-mente a Equação (2.19).

s = limn→∞

n∑j=0

lim∆xj→0

|∆xj| = limn→∞

n∑j=0

limtj+1→tj

|fx (tj+1)− fx (tj)| . (2.45)

Usando a Equação (2.30), temos

s = limn→∞

n∑j=0

lim∆xj→0

|∆xj|∆tj

∆tj = limn→∞

n∑j=0

lim∆tj→0

|vj|∆tj , (2.46)

onde usamos o fato de que a duração ∆tj é um número positivo já que tj+1 > tj .Seguindo argumentação semelhante à utilizada na obtenção de (2.43), pode-se mos-trar que Equação anterior é justamente a integral do módulo da função-velocidadeno intervalo [ti, tf ], ou seja,

s =

∫ tf

ti

∣∣∣fx(t)∣∣∣ dt . (2.47)

Assim, uma vez conhecida a função-velocidade da partícula num dado intervalo deinteresse, as Equações (2.43) e (2.47) determinam completamente o deslocamentoe a distância percorrida pela partícula nesse intervalo, respectivamente.

Façamos agora uma primeira aplicação de (2.44). Consideremos um movi-mento cuja velocidade instantânea da partícula tem o mesmo valor em qualquerinstante t: vx = v. De (2.38), temos que a função-velocidade é uma função cons-tante cujo valor para qualquer t é v. Aplicando (2.44) temos

x = x0 +

∫ t

0

vdt′ = x0 + vt . (2.48)

Esta Equação tem exatamente a mesma forma da Equação (2.23) que dá a função-movimento de um MRU cuja velocidade média é v. Porém, a Equação (2.48) foideduzida a partir da Equação (2.44), onde a constante v é a velocidade instantâneada partícula num instante qualquer do intervalo [0, t]. Então, comparando (2.23)e (2.48), concluímos que, num MRU, a velocidade instantânea em qualquer ins-tante de um dado intervalo é igual à velocidade média nesse intervalo. O resultado(2.48) também permite que demos a seguinte definição para o movimento retilí-neo uniforme: o MRU é aquele no qual a velocidade instantânea da partícula éconstante.

Para a distância percorrida pela partícula num intervalo [ti, tf ], a Equação(2.47) fornece

s =

∫ tf

ti

|v|dt = |v| (tf − ti) ,

que concorda exatamente com o resultado (2.25).

2.4.4 Aceleração

Nas duas últimas seções nós definimos e exploramos os conceitos de velocidademédia e velocidade instantânea. Vimos que a velocidade média mede a variação da


posição da partícula num dado intervalo de tempo, enquanto a velocidade instan-tânea mede a radidez com que a posição da partícula muda num dado instante detempo. Portanto, ambos os conceitos referem-se à mudança na posição da partícula.Nesta seção, nós estudaremos conceitos semelhantes aos de velocidade média e ve-locidade instantânea, só que aplicados não à variação de posição e sim à variaçãode velocidade. Estudaremos o conceito de aceleração.

No dia a dia nós frequentemente utilizamos esse conceito. Quando se diz queum carro está sendo acelerado, entendemos que o valor de sua velocidade está au-mentando com o tempo. Quando, pelo contrário, se diz que um carro está sendofreado, significa que ele está desacelerando e entendemos que o valor de sua velo-cidade diminue com o tempo. Esta noção intuitiva de aceleração é muito próximado conceito físico, ao qual daremos uma definição matemática precisa.

Consideremos mais uma vez a função-movimento de uma partícula num mo-vimento unidimensional.

x = fx(t) . (2.49)

Vimos que a velocidade instantânea da partícula é dada pela função-velocidade que,uma vez conhecida a função-movimento da partícula, é obtida por derivação destaem relação ao tempo:

vx = fx(t) . (2.50)

Consideremos um intervalo [t1, t2], onde t2 > t1. Seja vx1 a velocidade dapartícula no instante t1 e vx2 sua velocidade no instante t2. Definimos aceleraçãomédia ax no intervalo [t1, t2] pela razão

ax =vx2 − vx1

t2 − t1=fx(t2)− fx(t1)

t2 − t1. (2.51)

À quantidade ∆vx = vx2 − vx1 chamamos de variação da velocidade no intervalo[t1, t2] e à quantidade ∆t = t2− t1, como já vimos, chamamos de duração do inter-valo [t1, t2]. Portanto, a aceleração média é a razão entre a variação da velocidadenum dado intervalo e a duração desse intervalo.

Vimos que a velocidade se mede em unidades de comprimento por unidadesde tempo que, no S.I., é em m/s. A variação da velocidade, portanto, também semede em m/s. Como a duração se mede em segundos, temos que a unidade deaceleração média é m/s por s, ou seja, m/s2.

Sendo a duração t2 − t1 um número positivo, a aceleração média será po-sitiva apenas se a variação da velocidade no intervalo [t1, t2] for positiva, ou seja,se a velocidade aumenta nesse intervalo de tempo. Do mesmo modo, podemosafirmar que a aceleração média é negativa somente se a velocidade diminui nesseintervalo de tempo. Se a aceleração média for nula no intervalo [t1, t2], podemosapenas afirmar que a velocidade no instante t1 tem exatamente o mesmo valor quea velocidade no instante t2. Isso não significa que a velocidade da partícula tenhapermanecido constante durante o intervalo [t1, t2], significa apenas que, nesse caso,só com o conhecimento da aceleração média nesse intervalo não é possível saber sea velocidade mudou ou não durante o intervalo.

Do mesmo modo que o deslocamento e a velocidade média, a aceleraçãomédia dá apenas uma idéia global sobre o movimento num dado intervalo. Para se


ter uma informação mais detalhada de como a velocidade varia num dado intervalo,precisamos do conceito de aceleração instantânea.

Consideremos um instante t durante o movimento da partícula e sua veloci-dade nesse instante que, pela Equação (2.50), é dada por fx(t). Tomemos agora umoutro instante t + ∆t, com ∆t 6= 0. A velocidade nesse instante será fx (t+ ∆t).A variação da velocidade no intervalo [t, t+ ∆t] será dada por

∆vx = fx (t+ ∆t)− fx(t) ,

e a aceleração média nesse intervalo é

ax =∆vx∆t

=fx (t+ ∆t)− fx(t)

∆t.

Chamamos de aceleração instantânea da partícula no instante t ao limite da razãoanterior quando ∆t tende a zero. Representando por ax a aceleração instantânea (ousimplesmente aceleração), podemos escrever

ax = lim∆t→0

∆vx∆t

= lim∆t→0

fx (t+ ∆t)− fx(t)∆t

=dvxdt

. (2.52)

Como a aceleração média, a aceleração instantânea se mede em m/s2. Na Equaçãoanterior vemos que o limite dado só existirá e, portanto, a aceleração instantâneano instante t, se a função-velocidade for uma função contínua de t. Sendo este é ocaso, o valor da aceleração num tempo t é dado pelo valor da derivada da função-velocidade nesse instante. Podemos dizer então que existe uma função de t que, paracada instante de tempo t atribui um único valor para a aceleração da partícula. Aesta função, chamaremos de função-aceleração. Simbolizando a função-aceleraçãopor fx, da Equação (2.52) podemos escrever

ax = fx(t) =d

dtfx(t) . (2.53)

Vejamos agora como obter a variação de velocidade e o deslocamento da par-tícula num dado intervalo [ti, tf ] quando conhecemos a função-aceleração nesseintervalo.

Do mesmo modo que para o deslocamento, é uma tarefa trivial mostrar que avariação da velocidade no intervalo [ti, tf ] pode ser escrita como a soma das varia-ções da velocidade nos subintervalos menores [tj, tj+1] ∈ ℘n para um ℘n arbitrário(ver seção 2.4.1). Portanto

∆vx =n∑j=0

∆vj =n∑j=0

(fx (tj+1)− fx (tj)

), (2.54)

onde ∆vj = vj+1 − vj , sendo vj+1 a velocidade da partícula no instante tj+1 e vja sua velocidade no instante tj . Usando a definição dada em (2.51), a aceleraçãomédia para um dado inetervalo [tj, tj+1] ∈ ℘n será

aj =∆vj∆tj

=vj+1 − vjtj+1 − tj

.


Combinando esse resultado com a Equação (2.54), podemos escrever

∆vx =n∑j=0

∆vj∆tj

∆tj =n∑j=0

aj∆tj . (2.55)

Tomando o limite n→∞ e ∆tj → 0, ∀ [tj, tj+1] ∈ ℘n, a aceleração média aj tendeao valor da aceleração instantânea ax no instante tj e a soma anterior se aproximade uma integral. Fazendo tj = t e usando a Equação (2.53), o resultado (2.55) nolimite n→∞ e ∆tj → 0 pode ser escrito como

∆vx =

∫ tf

ti

fx(t)dt . (2.56)

A variação da velocidade instantânea da partícula num dado intervalo [ti, tf ] éigual à integral da função-aceleração nesse intervalo. Assim, conhecendo a função-aceleração para dado movimento, a Equação (2.56) nos permite saber qual a varia-ção da velocidade em qualquer intervalo onde fx esteja definida.

Tomemos agora um instante inicial ti = 0 e um instante final tf = t. Seja vx0

a velocidade da partícula no instante inicial ti = 0 e seja vx a velocidade da partículano instante t. Logo, a variação da velocidade no intervalo [0, t] será ∆vx = vx−vx0

e, de (2.56), poderemos escrever

vx = vx0 +

∫ t

0

fx(t′)dt′ . (2.57)

Este resultado afirma que, se conhecemos a função-aceleração em todo o intervalode interesse e se também sabemos qual o valor da velocidade num dado instanteinicial, sabemos determinar qual a sua velocidade em qualquer instante t posterior.Comparando a Equação anterior com a Equação (2.50), concluímos que o lado di-reito de (2.57) é exatamente a função-velocidade da partícula, isto é,

fx(t) = vx0 +

∫ t

0

fx(t′)dt′ . (2.58)

Uma vez conhecida a função-velocidade, o deslocamento ∆x da partícula nointervalo [ti, tf ] fica completamente determinado pela Equação (2.43).

∆x =

∫ tf

ti

fx(t)dt

=

∫ tf

ti

(vx0 +

∫ t

0

fx(t′)dt′

)dt

= vx0 (tf − ti) +

∫ tf

ti

dt

∫ t

0

fx(t′)dt′ . (2.59)

Tomando novamente o [ti, tf ] ≡ [0, t], chamemos de x0 a posição da partícula emti = 0 e de x sua posição em tf = t. Logo, o deslocamento da partícula no intervalo[0, t] é ∆x = x− x0, de modo que, pela Equação (2.59), temos

x = x0 + vx0t+

∫ t

0

dt′∫ t′

0

fx(t′′)dt′′ . (2.60)


Este resultado mostra que, se conhecemos a posição e a velocidade da partícula numdado instante inicial, bem como sua função-aceleração no intervalo de interesse,a posição da partícula num instante posterior t fica completamente especificada.Ao par x0 e vx0 (posição e velocidade iniciais), num dado problema de Mecânica,damos o nome de condições iniciais do problema. Comparando a Equação ante-rior com a Equação (2.49), concluimos que o lado direito de (2.60) é justamente afunção-movimento da partícula.

fx(t) = x0 + vx0t+

∫ t

0

dt′∫ t′

0

fx(t′′)dt′′ . (2.61)

Já comentamos anteriormente (ver seção 2.3.1) que o objetivo fundamentalda Mecânica é descobrir a função-movimento num dado problema pois, uma vezencontrada, o movimento da partícula fica completamente especificado. A Equa-ção (2.61) é, portanto, uma solução do problema fundamental da Mecânica. Pode-mos enunciar essa solução da seguinte forma: se, num dado intervalo, a função-aceleração da partícula é conhecida, bem como as condições iniciais do problema,o movimento da partícula fica univocamente determinado nesse intervalo. A Equa-ção (2.61) de fato fornece a classe de todos os movimentos possíveis que são com-patíveis com a função-aceleração. Cada movimento dessa classe de movimentospossíveis, no entanto, é determinado pelos valores atribuídos às condições iniciais,o que significa que para cada par (x0, vx0) temos um único movimento possívelcompatível com a função-aceleração dada.

Com essa abordagem, o problema de encontrar o movimento da partícula seresume em encontrar a função-aceleração para essa partícula. Naturalmente, essaabordagem só faz sentido quando encontrar a função-aceleração é uma tarefa maissimples do que encontrar a própria função-movimento diretamente. De fato, emmuitas situações importantes, é exatamente isso o que acontece. Um dos motivospara isso, é que a função-aceleração contém menos informação sobre o movimentoque a função-movimento, uma vez que à primeira é necessário acrescentar aindaas condições iniciais para determinar o movimento (se assim não fosse ela seria aprópria função-movimento), o que pode tornar mais fácil a tarefa de encontrá-la. Omotivo principal, porém, está na estrutura da própria Mecânica.

A estrutura teórica da Mecânica é composta pelas três Leis de Newton, queserão estudadas com mais detalhes ao longo deste curso de Fenômenos e Princípiosda Mecânica. Por ora, basta sabermos que a lei fundamental da Dinâmica (a Se-gunda Lei de Newton), a partir da qual se resolve praticamente todos os problemasem Mecânica, é uma afirmação sobre a aceleração. Ela diz que, uma vez definidoum referencial apropriado (pertencente a uma classe de referenciais chamados dereferenciais inerciais cuja existência é determinada pela Primeira Lei de Newton),a aceleração de uma partícula é diretamente determinada pela força que sobre elaatua. Mais precisamente, ela afirma que a aceleração e a força são proporcionaisentre si e que a constante de proporcionalidade é uma uma propriedade da partículae que independe do movimento desta.

Em Mecânica, a palavra força é praticamente um sinônimo de interação. Umapartícula só poderá sofrer a ação de uma força se ela possuir uma vizinhança, que éo conjunto de todas as partículas do universo que podem influenciar no movimento


da partícula em estudo. Essa influência é percebida como uma ação aceleradorasobre a partícula, ação essa a qual damos o nome de força. A uma partícula que nãopossui vizinhança damos o nome de partícula isolada, que é definida como umapartícula que está infinitamente distante de todas as outras do universo de maneiraque nenhuma delas pode influenciar no seu movimento. Desse modo, a força sobreuma partícula isolada tem de ser nula e, por conseguinte, sua aceleração também(quando usamos um referencial inercial).

Portanto, se conhecermos como a partícula interage com sua vizinhança, aSegunda Lei de Newton nos dirá qual é sua aceleração. Em geral, isso não signi-fica que tenhamos a função-aceleração diretamente. O que a experiência mostra éque a aceleração da partícula é determinada pela sua posição e velocidade e pelasposições e velocidades das partículas da vizinhança. Isso quer dizer que a acele-ração da partícula é determinada, a menos de um fator de proporcionalidade, poruma função das posições e velocidades de todas as partículas envolvidas no pro-blema (partícula+vizinhança); a essa função daremos o nome de função-força. Afunção-aceleração, no entanto, é uma função do tempo somente. Naturalmente, seconhecermos as funções-movimento de todas as partículas do problema poderemosescrever a função-força como uma função apenas do tempo, de modo que ela seriaa própria função-aceleração a menos de um fator constante. Contudo, se conhecer-mos todas as funções-movimento de todas as partículas do problema, já resolvemoso problema e não há mais necessidade de determinar a função-aceleração para cal-cular o movimento da partícula a partir da Equação (2.61). Felizmente, existe umconjunto de problemas importantes em Mecânica para os quais podemos encontrara forma da função-aceleração de maneira relativamente simples, o que permite de-terminar o movimento da partícula usando a Equação (2.61). Um outro conjuntode problemas, também de grande importância (talvez maior), não podem ser resol-vidos usando a Equação (2.61), pois embora neles se possa obter a aceleração dapartícula a partir de princípios simples, não há como conhecer a função-aceleraçãosem que antes se resolva o problema. Para esses problemas, métodos alternativos àEquação (2.61) são necessários e, ao longo deste curso, estudaremos alguns dessesmétodos.

Antes de encerrar esta seção, vale a pena mais um comentário. Desde quedefinimos a função-movimento no início da seção 2.3, vimos acrescentando outrosconceitos auxiliares derivados da função-movimento: deslocamento, velocidade eaceleração médias, velocidade e aceleração instantâneas. A justificativa que de-mos para a introdução paulatina dessas quantidades foi que facilitariam a descriçãodetalhada e evidenciação de propriedades importantes do movimento em estudo.De fato, propriedades cinemáticas como rapidez, trajetória, curvatura (para movi-mentos em 2 ou 3 dimensões) e dinâmicas como força, energia e momento (queestudaremos mais tarde) são definidas a partir dos conceitos de posição, velocidadee aceleração. O fato de que todo problema em Mecânica (direta ou indiretamente)é resolvido a partir da Segunda Lei de Newton e de que esta é uma afirmação sobrea aceleração, mais que justifica todo o processo realizado para a sua definição.

Lembrando que velocidade e aceleração são dadas pela primeira e segundaderivadas da função-movimento, respectivamente, pode-se perguntar porque nãocontinuamos o processo que vimos realizando até aqui e definimos outras grandezas


que sejam dadas por derivadas superiores da função-movimento, como a terceira oua quarta derivadas, por exemplo. A resposta é que estas grandezas não trariam maisnenhuma informação útil à descrição do movimento. Em verdade, elas não teriamnenhum significado físico, pois as Leis da Mecânica fazem afirmações apenas sobrea função-movimento e suas duas primeiras derivadas. Portanto, estes conceitossão os conceitos necessários e suficientes para a descrição matemática completa domovimento na Mecânica, não sendo necessário buscar outros conceitos derivadosda função-movimento além dos de velocidade e aceleração.

2.4.5 Exemplos de movimentos retilíneos acelerados

Nesta seção veremos alguns exemplos simples de funções-aceleração que podem serusadas para a obtenção de funções-movimento e funções-velocidade via as Equa-ções (2.61) e (2.58).

Exemplo 2.6. O exemplo mais simples que pode ser dado corresponde, natural-mente, àquele no qual a aceleração é sempre nula em qualquer instante do intervalode interesse, isto é:

ax = 0 .

Logo, a função-aceleração é sempre nula e as Equações (2.58) e (2.61) levam a

vx = vx0 , (2.62)x = x0 + vx0t . (2.63)

Estas são exatamente as Equações que caracterizam um MRU com velocidade vx0.De fato, como a aceleração é definida como a a taxa de variação da velocidadeum dado instante e, uma vez que ela é sempre nula, a velocidade instantânea dapartícula em qualquer instante t não pode variar, ou seja, a função-velocidadedeve ser uma função constante. Como vimos anteriormente, esta é a definição deMRU: o movimento no qual a velocidade da partícula é constante.

Exemplo 2.7. Consideremos agora o caso em que a aceleração é uma constantenão nula,

ax = a ,

com a 6= 0. Neste caso, a velocidade da partícula num instante t será dada por

vx = vx0 +

∫ t

0

adt′ = vx0 + at

e sua posição no instante t será

x = x0 + vx0t+

∫ t

0

dt′∫ t′

0

adt′′

= x0 + vx0t+

∫ t

0

at′dt′ = x0 + vx0t+1

2at2 .

Em resumo,

vx = vx0 + at , (2.64)

x = x0 + vx0t+1

2at2 . (2.65)


As Equações anteriores descrevem um tipo de movimento muito importante ao qualdá-se o nome de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Discutire-mos esse movimento em mais detalhe depois.

Exemplo 2.8. Seja um movimento no qual a função-aceleração é dada por

ax = fx(t) = −a0e−t/τ , (2.66)

onde a0 é uma constante real e τ é uma constante real positiva. A velocidade dapartícula é dada por

vx = vx0 − a0

∫ t

0

e−t′/τdt′ = vx0 − a0τ

[−e−u

]u=t/τ

u=0= vx0 − a0τ

(1− e−t/τ

)e sua posição é dada por

x = x0 + vx0t− a0

∫ t

0

dt′∫ t′

0

e−t′′/τdt′′

= x0 + vx0t− a0τ

∫ t

0

(1− e−t

′/τ)

dt′

= x0 + (vx0 − a0τ) t+ a0τ2(1− e−t/τ

).

Em resumo,

vx = vx0 − a0τ(1− e−t/τ

), (2.67)

x = x0 + (vx0 − a0τ) t+ a0τ2(1− e−t/τ

). (2.68)

Figura 2.8: Funções-movimentodadas pela Equação (2.68) paradiferentes condições iniciais. Ográfico em azul é da função-movimento com condições inici-ais x0 = 0 m e vx0 = 1,0 m/s. Ográfico em vermelho é da função-movimento com x0 = 0 m evx0 = 0,8 m/s. Os valores dosparâmetros a0 e τ utilizados são:a0 = 1 m/s2 e τ = 1 s.

Nas Equações anteriores as constantes a0 e τ são determinadas, como co-mentamos na seção anterior, pelo tipo de interação que a partícula possui com suavizinhança e pelo estado de movimento da própria partícula e das partículas quecompõem a vizinhança. De um modo geral, a não ser em casos especiais, não sepode atribuir valores arbitrários para essas constantes. Alterar essas constantessignifica, em geral, alterar a própria vizinhança da partícula e/ou o modo comoessa vizinhança interage com a partícula. Neste último caso, é mais provável quea própria função-aceleração mude de forma, o que acarretaria uma mudança naforma das funções-movimento possíveis. Já as contantes x0 e vx0, que são as condi-ções iniciais do problema, podem assumir, em geral, quaisquer valores arbitrários,e para cada condição inicial diferente teremos um movimento diferente. Como ilus-tração, os gráficos mostrados na Figura 2.8 referem-se a às funções-movimentodadas pela Equação (2.68) para duas condições iniciais diferentes.

Um caso particular muito importante da função-movimento (2.68) ocorrequando a constante a0 é considerada não mais como uma constante independente,mas sim dependendo da velocidade inicial vx0 ≡ v0 da partícula da seguinte ma-neira:

a0 =v0

τ.

Nesse caso, as Equações (2.66), (2.67) e (2.68) tomam a forma

ax = −v0

τe−t/τ , (2.69)

vx = v0e−t/τ , (2.70)x = x0 + v0τ

(1− e−t/τ

). (2.71)


O domínio da função-movimento neste caso é o intervalo [0,∞]. Da Equação (2.71)vemos que a posição inicial (em t = 0) da partícula é x0 e sua posição final (emt = ∞) é x = x0 + v0τ , de modo que o deslocamento total da partícula durantetodo o movimento é

∆x = x− x0 = v0τ . (2.72)

De (2.70) concluímos que o sinal da velocidade jamais muda durante o movimento,de onde se conclui que a distância total percorrida pela partícula nesse intervalo éigual ao módulo do deslocamento da partícula,

s = |v0|τ .

Observe que para que a partícula percorra essa distância é necessário esperar umtempo infinito, ou seja, apenas no limite ∆t→∞, onde ∆t = t−0 = t é a duraçãodo movimento, é que a partícula percorre a distância |v0|τ , que é finita. Portanto,concluímos que a velocidade média vx = ∆x/∆t da partícula tende a zero nolimite ∆t → ∞. Na prática, isso quer dizer que o deslocamento (2.72) jamais éatingido. Se considerarmos, contudo, um intervalo finito [0, t] mas com t τ , odeslocamento total da partícula nesse intervalo será muito próximo do valor dadopela Equação (2.72). No outro limite, t τ , podemos aproximar a aceleração noinstante t por seu valor em t = 0, e as Equações (2.69), (2.70) e (2.71) assumem aforma

ax ≈ −v0

τ, (2.73)

vx ≈ v0 −v0

τt , (2.74)

x ≈ x0 + v0t−v0

2τt2 , (2.75)

que é aproximadamente um movimento retilíneo uniformemente variado com ace-leração ax = −v0/τ .

Combinando as Equações (2.69) e (2.70), temos

ax = −vxτ. (2.76)

Assim, a aceleração da partícula num instante qualquer depende apenas do valorde sua velocidade nesse instante. A aceleração é proporcional a velocidade e seusentido é sempre contrário ao sentido da velocidade: se a velocidade aponta nosentido positivo do eixo OX a aceleração aponta no sentido negativo do eixo OX ,e vice-versa. Isso significa, portanto, que o valor do módulo da velocidade semprediminue durante o movimento, ou seja, a partícula está sempre desacelerando eessa desaceleração é tanto maior quanto maior for o valor absoluto da velocidade.

A Equação (2.76) é caracterítica do movimento de uma partícula se moventonum fluido (líquido ou gás) em repouso e apenas sob a ação viscosa desse fluido.Ela contém toda a informação dinâmica sobre o movimento e, por conseguinte,leva à função-movimento (2.71). Veremos mais tarde no curso que ela representatambém um dos modelos mais importantes para a descrição de sistemas onde hádissipação de energia mecânica.


Exemplo 2.9. Consideremos um movimento onde a função-aceleração é uma fun-ção oscilante do tempo dada por

ax = fx(t) = −a0 cos (ωt+ φ) , (2.77)

onde a0 e φ são constante reais e ω é uma constante real positiva. Usando no-vamente as Equações (2.57) e (2.60), a velocidade da partícula no instante t serádada por

vx = vx0 − a0

∫ t

0

cos (ωt′ + φ) dt′ = vx0 −a0

ω[senu]u=ωt+φ

u=0

vx = vx0 +a0

ωsenφ− a0

ωsen (ωt+ φ)

e a posição é

x = x0 + vx0t− a0

∫ t

0

dt′∫ t′

0

cos (ωt′′ + φ) dt′′

= x0 + vx0t−a0

ω

∫ t

0

(sen (ωt′ + φ)− senφ) dt′

= x0 +(vx0 +

a0

ωsenφ

)t− a0

ω2(cosφ− cos (ωt+ φ)) ,

ou seja,

vx = vx0 +a0

ωsenφ− a0

ωsen (ωt+ φ) , (2.78)

x = x0 −a0

ω2cosφ+

(vx0 +

a0

ωsenφ

)t+

a0

ω2cos (ωt+ φ) . (2.79)

O lado direito da Equação (2.79) dá a função-movimento compatível com a função-aceleração (2.77). Poderíamos aqui discutir vários movimentos possíveis a partirda especificação de diferentes condições iniciais, mas deixaremos isso como exer-cício. Contudo, iremos discutir um caso particular de (2.79) que descreve um mo-vimento de extrema importância para a Física.

Vamos considerar o caso em que as constantes a0 e φ se relacionam às con-dições iniciais da seguinte forma:

x0 =a0

ω2cosφ ,

vx0 = −a0

ωsenφ .

Neste caso, as Equações (2.77), (2.78) e (2.79) tomam a forma

ax = −a0 cos (ωt+ φ) , (2.80)

vx = −a0

ωsen (ωt+ φ) , (2.81)

x =a0

ω2cos (ωt+ φ) . (2.82)

A Equação (2.82) descreve um movimento oscilatório com período constantedado por T = 2π/ω e amplitude constante dada por A = a0/ω

2. Isso significa


que para qualquer intervalo de tempo [t1, t2] de duração fixa ∆t = t2 − t1 = Ta posição e a velocidade da partícula em t2 têm os mesmos valores que em t1 eque o movimento da partícula é limitado ao intervalo espacial [−A,A], ou seja, aposição x da partícula só pode assumir valores tais que x ∈ [−A,A]. Combinandoas Equações (2.80) e (2.82) temos

ax = −ω2x . (2.83)

Portanto, o valor da aceleração da partícula num instante qualquer depende ape-nas do valor de sua posição nesse instante. A aceleração é proporcional à posiçãoe aponta sempre para a origem do eixo OX . Tomando o sentido positivo do eixoOX da esquerda para a direita, isso quer dizer que se x > 0 a partícula se en-contra à direita do ponto O e o sentido de sua aceleração é o sentido negativo doeixo OX; se x < 0 a partícula se encontra à esquerda da origem e o sentido desua aceleração coincide com o sentido positivo do eixoOX; se x = 0 a aceleraçãoé nula e, se nesse ponto tivermos também vx = 0, então a partícula permanecerásempre em repouso na origem O. Dizemos então que o ponto O é um ponto deequilíbrio estável. Em Mecânica definimos os pontos de equilíbrio como aquelespara os quais a aceleração da partícula é nula, ou seja, as posições onde ax = 0.O ponto O será de equilíbrio estável se, ao colocarmos a partícula em repouso emO ela permanecer em repouso e se afastarmos a partícula do ponto O ela tendersempre a retornar a ele. Este é exatamente o caso aqui. Veremos futuramente queesta é uma caracterítica fundamental de todos os sistemas ligados, que são defini-dos justamente como sistemas de partículas nos quais as partículas que o compõemse movem em torno de pontos de equilíbrio estável. Esses sistemas são de longe ossistemas físicos mais importantes, pois a imensa maioria dos sistemas de interesseem Física constituem-se de sistemas ligados.

A Equação (2.83) descreve o sistema ligado mais simples possível: o oscila-dor harmônico simples (OHS). O OHS é a base para a descrição de praticamentetodos os fenômenos onde há oscilações: sistema massa-mola, música, ondas sísmi-cas, movimentos de corpos celestes, absorção e emissão de radiação por átomose moléculas, etc. Sua generalidade está no fato de que para praticamente todosos sistemas ligados os movimentos das partículas nas proximidades dos pontos deequilíbrio estável podem ser modelados por osciladores harmônicos. Mais tarde,neste curso, aprenderemos mais sobre o OHS e sua aplicação a alguns fenômenososcilatórios importantes.

Movimento retilíneo uniformentente variado

Considere um dado intervalo [t1, t2]. Definimos o movimento retilíneo uniforme-mente variado (MRUV) como aquele no qual a aceleração média ax da partículano intervalo [t1, t2] é sempre a mesma quaisquer que sejam os valores de t1 e t2,t2 > t1. Em particular, tomando t1 = 0 e t2 = t, da Equação (2.51) temos

ax =vx − vx0

t− 0=⇒ vx = vx0 + axt , (2.84)

onde vx é a velocidade da partícula no instante t2 = t e vx0 é a velocidade da par-tícula no instante t1 = 0. Comparando a Equação anterior para vx com a Equação


(2.64), concluímos que a aceleração ax da partícula em qualquer instante num in-tervalo [t1, t2] qualquer é igual à sua aceleração média ax nesse intervalo. Esta éuma outra definição para o MRUV. Note a semelhança com as definições que demospara o MRU, onde o papel lá realizado pela posição x e a velocidade vx agora é feitopela velocidade vx e a aceleração ax, respectivamente.

Fazendo vx0 = v0 e ax = a, podemos escrever a função-movimento (2.65)para o MRUV como

x = fx(t) = x0 + v0t+1

2at2 . (2.85)

Esta é uma função polinomial de segundo grau em t. Portanto, um gráfico de xcontra t é uma parábola, onde x0 é representado no gráfico como o ponto no quala parábola corta o eixo dos x. A constante a representa a concavidade da parábola:quanto maior o valor absoluto de a mais fechada é a parábola, quanto menor maisaberta; se a for positivo, significa que a concavidade da parábola é para cima; se afor negativo, a concavidade é para baixo. O parâmetro v0 determina a posição doextremo da parábola em relação à origem do eixo dos t: se v0/a < 0 o extremo daparábola ocorre num instante à direita do ponto t = 0 do eixo dos t (isso significaapenas que o sentido do movimento é invertido num instante posterior a t = 0); sev0/a > 0 o extremo está à esquerda, o que significa que a inversão do movimentoocorre num instante anterior a t = 0. Isso fica claro quando olhamos a solução daEquação (2.64) para vx = 0:

0 = v0 + at0 =⇒ t0 = −v0

a. (2.86)

Consideremos o caso em que v0 > 0 e a > 0. Tomemos o intervalo [−∞, t0]. Entãoa velocidade vx em qualquer instante t < t0 é negativa, pois

v0 + at < v0 + at0 =⇒ vx < 0 .

Logo, no intervalo [−∞, t0], a partícula se move no sentido negativo do eixo OX .Se agora consideramos o intervalo [t0,∞], para qualquer t0 < t temos

v0 + at > v0 + at0 =⇒ vx > 0 ,

o que implica que no intervalo [t0,∞] a partícula se move no sentido positivo doeixo OX . Portanto, a partícula inverte o seu movimento em t = t0. A posição dapartícula em t = t0,

Figura 2.9: Gráfico da posiçãocontra o tempo de um MRUVonde x0 > 0, a > 0 e v0 < 0.

xr = x0 + v0t0 +1

2at20 = x0 −

v20

2a, (2.87)

é chamado de ponto de retorno do MRUV. Na Figura 2.9 nós mostramos um gráficode (2.85) com a > 0 e v0 < 0.

Chamamos a atenção para que não se confunda o gráfico da função-movimentocontra o tempo com a forma da trajetória da partícula. A trjetória da partícula emqualquer intervalo finito é sempre um segmento de reta, qualquer que seja a função-movimento, pois estamos tratando de uma partícula que se move apenas sobre oeixo OX .


Consideremos agora o deslocamento ∆x = x2−x1 da partícula num intervalo[t1, t2] de duração ∆t = t2 − t1. De (2.85), temos

∆x = v0 (t2 − t1) +1

2a(t22 − t21

)= v0∆t+

1

2a∆t (t2 + t1)

∆x =(v0 + at

)∆t , (2.88)

onde t = (t1 + t2) /2 é o instante médio do intervalo [t1, t2]. Combinando o re-sultado anterior com a Equação (2.64), temos que o deslocamento da partícula querealiza um MRUV num intervalo [t1, t2] é igual ao produto da velocidade instantâ-nea no ponto médio do intervalo pela duração do intervalo. Usando ainda a Equação(2.64) temos

v0 + at =(v0 + at1) + (v0 + at2)

2=vx1 + vx2

2,

onde vx1 é a velocidade da partícula no instante t1 e vx2 é sua velocidade no instantet2. Combinando este resultado com a Equação (2.88), podemos escrever

vx =∆x

∆t=vx1 + vx2

2. (2.89)

Esta é uma propriedade muito importante do MRUV: a velocidade média numintervalo é igual à média aritmética das velocidades instantâneas nos extremos dointervalo. Esta propriedade é válida apenas para o MRUV e para o MRU. No casodeste último, ela é trivial uma vez que vx = vx1 = vx2 = v0 qualquer que seja ointervalo [t1, t2].

Usando a Equação (2.89) podemos ainda encontrar uma relação muito útilentre o deslocamento num intervalo e as velocidades nos extremos do intervalo.A partir da Equação (2.64) pode-se mostrar que a duração ∆t do intervalo estárelacionada à variação da velocidade ∆vx = vx2 − vx1 no intervalo por

∆vx = a∆t =⇒ ∆t =vx2 − vx1

a.

Inserindo esse resultado em (2.89) temos

∆x =vx1 + vx2

2∆t =

v2x2 − v2

x1

2a,

de modo que

v2x2 = v2

x1 + 2a∆x . (2.90)

Esta Equação é normalmente conhecida como Equação de Torricelli.

Consideremos agora a distância percorrida por uma partícula em MRUV numdado intervalo. Como discutimos anteriormente, a inversão do sentido do movi-mento ocorre apenas uma vez no instante t0 dado por (2.86). Isso quer dizer quepara qualquer intervalo [t1, t2] tal que t0 6∈ [t1, t2], o sentido do movimento perma-nece sempre o mesmo e a distância percorrida nessse intervalo é igual ao módulodo deslocamento no intervalo.

s12 = |∆x12| = |x2 − x1| =|v2x2 − v2

x1|2|a|

, (2.91)


onde usamos a Equação (2.90). Se, contudo, o intervalo [t1, t2] é tal que t1 < t0 <t2, o sentido do movimento se inverte e a Equação (2.91) não é mais válida. Porém,nesse caso, o deslocamento no intervalo [t1, t2] pode ser escrito como a soma dosdeslocamentos nos intervalos [t1, t0] e [t0, t2],

∆x12 = ∆x10 + ∆x02 ,

onde ∆x02 = xr − x1 e ∆x10 = x2 − xr com xr dado por (2.87). Como já vimos,qualquer que seja o intervalo [t′, t′′] ⊂ [−∞, t0] ou [t′, t′′] ⊂ [t0,∞], não há inversãono sentido do movimento da partícula, de maneira que a distância percorrida emcada um dos intervalos [t1, t0] e [t0, t2] é

s10 = |∆x10| e s02 = |∆x02| .

Portanto, a distância total percorrida pela partícula no intervalo [t1, t2] com t1 <t0 < t2 é simplesmente a soma das distâncias percorridas nos dois intervalos,

s12 = |∆x10|+ |∆x02| = |xr − x1|+ |x2 − xr| =v2x2 + v2

x1

2|a|, (2.92)

onde usamos o fato de que a velocidade da partícula é nula em x = xr.

Existem muitos problemas físicos em que o movimento de uma partícula podeser modelado por um MRUV. O mais importante deles, talvez, é problema da quedalivre dos corpos.

No início do século XVII Galileu (1564-1642) fez uma descoberta crucialpara o nascimento e desenvolvimento da Física. Ele descobriu que todos os corpos,idependentemente de suas formas, constituição e peso, caem com a mesma acelera-ção nas proximidades da superfície da Terra (quando são eliminados os efeitos deresistência do ar) e que essa aceleração é constante. Se considerarmos agora o eixoOY com origem em um ponto sobre a superfície da Terra e cujo sentido positivoé para cima, a posição de uma partícula sobre esse eixo fica completamente espe-cificada por sua coordenada y. De acordo com a descoberta de Galileu, qualquerpartícula estará então sugeita à mesma aceleração dada por

ay = −g ,

com g > 0. A quantidade g é geralmente chamada de aceleração da gravidade localporque seu valor depende das coordenadas do pontoO (origem do eixo coordenadoOY ) sobre a superfície da Terra (latitude e longitude). O valor médio aceito para gsobre a superfície da Terra é

g ≈ 9,807 m/s2 .

A aceleração é negativa porque o movimento de queda é sempre acelerado no sen-tido da superfície da Terra e, portanto, no sentido negativo do eixo OY . Portanto, omovimento na direção vertical de qualquer partícula nas proximidades da superfícieda Terra é um MRUV, cuja posição y é dada por

y = y0 + vy0t−1

2gt2 . (2.93)


Se o ponto O está sobre a superfície, então a posição da partícula só pode assumirvalores positivos ou zero, y ≥ 0. Consideremos o instante t = 0 como o instanteem que o movimento inicia, de modo que qualquer instante posterior do movimentotem valor positivo, t > 0. De (2.86),

t0 =vy0

g,

e haverá inversão no sentido do movimento se e somente se t0 > 0, ou seja, seinicialmente a partícula se move para cima com velocidade vy0 > 0. Neste caso, deacordo com (2.87), o ponto de retorno é

yr = y0 +v2y0

2g. (2.94)

Nesse ponto, a partícula começa a mover-se para baixo até que atinja a superfícieem y = 0. O deslocamento da partícula durante o intervalo de duração ∆t = tf − t0necessário para ir de y = yr em t = t0 para y = 0 em t = tf é ∆y = 0− yr = −yr.De (2.90) vemos que o módulo da velocidade vy2 da partícula ao atingir o solo édada por

v2y2 = −2g∆y = 2gyr = v2

y0 + 2gy0 . (2.95)

A variação da velocidade no intervalo [t0, tf ] será ∆vy = vy2−0 = vy0, e a duraçãoda queda será dada por

∆vy = −g∆t =⇒ ∆t = −vy2

g=

1

g

√v2y0 + 2gy0 ,

onde usamos o fato de que vy2 < 0 pois a partícula está se movendo no sentido nega-tivo de OY nesse instante. A duração total do movimento, que ocorre no intervalo[0, tf ], é então dada por

tf = t0 + ∆t =vy0 +

√v2y0 + 2gy0

g, (2.96)

e a distância total percorrida no intervalo [0, tf ] é, usando a Equação (2.92),

s12 =v2y2 + v2

y0

2g= y0 +

v2y0

g. (2.97)

As Equações (2.94) a (2.97) são válidas para a descrição do lançamento ver-tical, quando o corpo é jogado para cima com uma velocidade inicial positiva. Paraobter as Equações para a queda livre, onde a partícula é solta de uma altura y0 = h,basta fazer vy0 = 0 nas Equações anteriores. O caso em que a partícula é atiradacom uma velocidade inicial para baixo será deixado como exercício.

Para finalizar nossa discussão sobre o MRUV, vamos mostrar que qualquermovimento retilíneo acelerado pode ser considerado um MRUV desde que se ob-serve o movimento durante intervalos suficientemente curtos.


Seja um dado intervalo [t1, t2] durante o qual a partícula realiza um movi-mento descrito pela função-movimento x = fx(t), com t ∈ [t1, t2]. Logo, a partí-cula possui uma função-velocidade e uma função-aceleração dadas por

vx = fx(t) e ax = fx(t) ,

onde fx e fx são as funções dadas pela primeira e segunda derivadas de fx, respec-tivamente.

Seja vx1 a velocidade da partícula em t1 = t e vx2 sua velocidade em t2 =t+ ∆t, onde ∆t = t2− t1 é a duração do intervalo. Então, a variação da velocidade∆vx = vx2 − vx1 nesse intervalo é dada pela Equação (2.56),

∆vx =

∫ t+∆t

t

fx(t′)dt′ . (2.98)

Suponhamos agora que o intervalo [t1, t2] seja tal que o valor da aceleração da par-tícula em qualquer instante desse intervalo seja praticamente o mesmo, ou seja,

fx(t′) ≈ fx(t1) ≈ fx(t2) , ∀ t′ ∈ [t1, t2] .

Neste caso, podemos substituir o integrando em (2.98) por seu valor num instantet′′ qualquer do intervalo, isto é,

∆vx ≈∫ t+∆t

t

fx(t′′)dt′ = fx(t

′′)

∫ t+∆t

t

dt′ = fx(t′′)∆t (2.99)

=⇒ fx(t′′) = a′′x ≈

∆vx∆t

= ax , (2.100)

onde a′′x é a aceleração da partícula no instante t′′ e ax é a aceleração média nointervalo [t, t+∆t]. A Equação anterior diz que a aceleração média no intervalo emquestão é aproximadamente igual à aceleração num instante qualquer do intervalo,o que implica que o movimento em questão é aproximadamente um MRUV comaceleração cujo valor no intervalo considerado é

ax =fx (t+ ∆t)− fx (t)

∆t≈ fx(t) = ax1 .

Assim, a posição x2 e a velocidade vx2 da partícula no instante t + ∆t podemser obtidos a partir das Equações (2.64) e (2.65) se conhecemos sua posição x1

e velocidade vx1 no instante t:

vx2 ≈ vx1 + ax1∆t , (2.101)

x2 ≈ x1 + vx1∆t+1

2ax1 (∆t)2 . (2.102)

Portanto, o movimento da partícula no intervalo pode ser aproximado por um MRUV,a menos que ax ≈ 0 nesse intervalo, para o qual a partícula realizaria um MRU. Háapenas duas situações em que isso pode acontecer: se o movimento for exatamenteum MRU ao longo de todo o intervalo ou se existe um extremo da função-velocidade


no interior do intervalo, isto é, se existe um t′ ∈ [t, t+ ∆t] tal que fx(t′) = 0. Pode-mos então fazer o seguinte enunciado: qualquer movimento retilíneo num intervalosuficientemente pequeno pode ser aproximado por um MRUV com aceleração igualà aceleração ax no início do intervalo, a menos que ax ≈ 0, de onde o movimentopode ser aproximado por um MRU com velocidade igual à velocidade no instanteinicial do intervalo.

O critério para a escolha do tamanho adequado para duração ∆t depende decada intervalo escolhido bem como do tipo de movimento estudado. No exemplo2.8 da seção 4.5 vimos um caso desse tipo, em que o movimento da partícula podeser descrito como um MRUV para instantes no intervalo [0, t] quando t τ , comomostrado nas esquações (2.73) a (2.75). Portanto, o critério para ∆t nesse exemploé ∆t τ , para qualquer intervalo [t1, t2].

A importância das Equações (2.101) e (2.102) está no fato de que a aceleraçãopode ser obtida diretamente das forças que atuam sobre a partícula quando usamosreferenciais inerciais na descrição do movimento, como veremos em detalhes noestudo da Dinâmica. De um modo geral, é muito difícil obter a função-movimentoexata de uma partícula num intervalo [ti, tf ] qualquer de duração ∆tif = tf − ti.Assim, se conhecemos a posição x0 e a velocidade v0 da partícula no instante ini-cial t0 = ti, as leis da Dinâmica (Segunda Lei de Newton) permitem sabermosqual a aceleração a0 sofrida pela partícula nesse instante desde que saibamos, na-turalmente, como a partícula interage com sua vizinhança. Usando as Equações(2.101) e (2.102), podemos calcular a posição x1 e a velocidade v1 da partículanum instante t1 = ti + ∆t1, com ∆t1 ∆tif . Sabendo x1 e v1, podemos usarnovamente a Segunda Lei de Newton para saber a aceleração a1 da partícula noinstante t1. Recorrendo novamente às Equações (2.101) e (2.102), podemos cal-cular a posição x2 e a velocidade v2 da partícula num instante t2 = t1 + ∆t2,com ∆t2 ∆tif , que por sua vez permite sabermos o valor de a2 através daSegunda Lei de Newton e calcularmos as novas posição x3 e velocidade v3 numinstante t3 = t2 + ∆t3. Continuando esse procedimento até o instante tf te-remos obtido um conjunto Xn = x0, x1, x2, ..., xj, ..., xn−1, xn de posições eVn = v0, v1, v2, ..., vj, ..., vn−1, vn de velocidades da partícula em cada instantepertencente ao conjunto Tn = ti, t1, t2, ..., tj, ..., tn−1, tf, de maneira que tere-mos a função-movimento e a função-velocidade da partícula por interpolação detodos os pontos de Xn e Vn em função de Tn. Essa interpolação será tanto melhorquanto maiores forem os conjuntos Xn e Vn, o que implica quanto menores foremos ∆tj = tj+1 − tj . Assim, poderemos conhecer qualquer movimento por esseprocedimento, justificando ainda mais a importância do MRUV.

2.5 Movimento em duas ou três dimensões

Nas seções 2 e 3 nós fomos iniciados nos conceitos fundamentais que definem epermitem a descrição completa do movimento de uma partícula: os conceitos dereferencial e função-movimento. Na seção 2.4 nos dedicamos exclusivamente àdescrição de movimentos cuja posição da partícula em qualquer instante de tempo(e portanto o seu movimento) fica completamente especificada quando se conhece


apenas uma coordenada, ou seja, estudamos os movimentos unidimensionais ouretilíneos. Ao longo da última seção nos dedicamos a desenvolver conceitos deri-vados da função-movimento, como velocidade e aceleração, que auxiliam bastantena descrição cinemática do movimento e permitem (quando referenciais apropri-ados são utilizados) obter a função-movimento da partícula a partir das Leis daMecânica. Discutimos também, em detalhe, alguns tipos de movimento retilíneo degrande importância física, como o MRU e o MRUV.

Nesta seção nós iremos fazer um percurso semelhante ao que fizemos na seção2.4, só que para a descrição de movimentos no plano e no espaço, ou seja, movimen-tos bi e tridimensionais, que definimos (seção 2.2) como movimentos que precisamde duas e três coordenadas, respectivamente, para serem descritos. É desnecessá-rio dizer que os movimentos em 2 e, principalmente, em 3 dimensões representama esmagadora maioria dos movimentos encontrados na natureza. Diferentementedo que foi feito até agora, onde nos concentramos no conceito de ponto geomé-trico para a descrição do movimento de uma partícula, iremos utilizar um conceitomatemático extremamente eficiente e poderoso para a representação de um grandenúmero de quantidades físicas: o conceito de vetor. Definiremos então as quan-tidades fundamentais para a descrição do movimento de uma partícula em 2 e 3dimensões: o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração, e estudare-mos alguns exemplos de movimentos especiais, como o lançamento de projéteis eo movimento circular.

2.5.1 Vetor posição

Na seção 2 vimos como representar a posição de uma partícula em relação a umsistema de eixos coordenados OXY Z: a posição fica completamente determinadaquando damos a trinca (x, y, z) de coordenadas do ponto P que representa a partí-cula em relação a OXY Z. Consideremos agora uma outra forma, mas totalmenteequivalente, de especificar a posição do ponto P . Considere um vetor cujo móduloé igual ao comprimento do segmento de reta OP e cujo sentido é de O para P ,onde O é a origem do referencial, cujas coordenadas são (0, 0, 0), e P é o ponto noespaço de coordenadas (x, y, z) que representa a partícula. Em outras palavras, eleé o vetor que liga a origem do referencial à partícula. A esse vetor, damos o nomede vetor posição. Especificando o vetor posição da partícula estamos especificandoa posição da partícula (por isso ele tem o nome de vetor posição). Portanto, o vetorposição pode ser escrito em termos das cordenadas da partícula como

r = (x, y, z)− (0, 0, 0) = (x, y, z) . (2.103)

Nesta Equação, as coordenadas x, y e z do ponto P dão exatamente as componentesdo vetor posição ao longo dos eixos coordenadosOX ,OY eOZ, respectivamente.

Aprendemos que conhecemos o movimento de uma partícula quando paraqualquer instante t num dado intervalo [t1, t2] nós sabemos a posição da partícula,isto é, conhecemos suas coordenadas x, y e z em relação ao referencial OXY Z.Essa afirmação nos levou diretamente ao conceito das funções-movimento, que per-mitem determinar cada coordenada para um dado instante t dentro do intervalo de


interesse, ou seja,

x = fx(t) , (2.104)y = fy(t) , (2.105)z = fz(t) , (2.106)

onde fx, fy e fz são funções contínuas de t.

Combinando as Equações (2.104), (2.105) e (2.106) com a Equação (2.103),podemos escrever

r = f(t) = (fx(t), fy(t), fz(t)) . (2.107)

A Equação anterior dá o vetor posição da partícula para qualquer instante t do do-mínio das funções-movimento das coordenadas. A função f é uma função que acada instante t fornece o vetor posição da partícula. O domínio dessa função é omesmo das funções-movimento das coordenadas e o contra-domínio é o conjuntode todos os vetores que ligam a origem do sistema de eixos coordenados a todos ospontos do espaço. A função f consiste numa regra que especifica para cada t umúnico vetor cujas componentes ao longo dos eixos coordenados dão as coordenadasda partícula. Essa regra diz: cada componente do vetor posição num dado instantet é determinada pela função-movimento associada à coordenada correspondente. Afunção f é chamada de função-movimento vetorial. Ela tem esse nome porque seuvalor para um dado t é um vetor, especificamente, o vetor posição. Já as funções-movimento fx, fy e fz usuais, fornecem um número para cada valor de t.

Uma outra maneira de representar o vetor posição é escrevê-lo em termos dosvetores unitários com a mesma direção e sentido dos eixos coordenados. Conside-remos o sistema de eixos coordenados OXY Z. Seja x um vetor unitário paraleloao eixo coordenado OX e que aponta no sentido positivo de OX . Seja y um vetorunitário paralelo ao eixo OY e que aponta no sentido positivo de OY e seja z umvetor unitário paralelo ao eixoOZ e que aponta no sentido positivo deOZ3. Então,definir o sistema OXY Z, é completamente equivalente a definir esses vetores, quedevem satisfazer às Equações

x · x = y · y = z · z = 1 , (2.108)x · y = x · z = y · z = 0 , (2.109)

x× y = z , y × z = x , z× x = y , (2.110)

onde o símbolo “·” representa o produto escalar entre dois vetores enquanto o sím-bolo “×” representa o produto vetorial entre dois vetores. As Equações (2.108) e(2.109) definem o que chamamos em álgebra linear de uma base ortonormal. É umabase porque constitui-se de três vetores linearmente independentes em termos dosquais pode-se escrever quaisquer vetores no espaço tridimensional. É ortonormalporque os vetores da base são vetores de módulo unitário e perpendiculares entresi. As Equações (2.110) acrescentam uma outra propriedade à base: cada vetor da

3Frequentemente se usa os símbolos i, j e k no lugar dos símbolos x, y e z para se representaros vetores unitários associados aos eixos coordenados OX , OY e OZ, respectivamente. Optamospor esses últimos porque seus nomes lembram diretamente os eixos coordenados aos quais fazemreferência.


base pode ser obtido a partir do produto vetorial dos outros dois vetores seguindo aregra da mão direita.

Em termos dos vetores x, y e z, o vetor posição definido pela Equação (2.103)em termos das coordenadas pode ser escrito como

r = x x + y y + z z . (2.111)

Em termos das funções-movimento, de acordo com a Equação (2.107), podemosainda escrever o vetor posição como

r = f(t) = fx(t) x + fy(t) y + fz(t) z . (2.112)

Num dado movimento, à medida que o tempo passa, as coordenadas da partí-cula mudam de acordo com as Equações (2.104), (2.105) e (2.106), o que significaque as componentes do vetor posição nas direções dos vetores x, y e z mudam se-gundo as mesmas Equações e que o vetor posição muda de acordo com a Equação(2.112). Como, durante o movimento, apenas as coordenadas do ponto P mudamenquanto as coordenadas de O permanecem constantes, o início do vetor posiçãofica fixo na origem do sistema de eixos coordenados enquanto seu ponto final (oponto P ) vai traçando uma linha no espaço, que é justamente a trajetória da par-tícula. Obter a função f constitui, portanto, o problema fundamental da Mecânicapois, conhecendo-a, conhecemos a trajetória da partícula num dado intervalo detempo. Mais que apenas a trajetória, a partir da função f podemos saber o sentidodo movimento em cada ponto da trajetória e a rapidez com que o vetor r muda acada instante, o que nos leva à definição de um outro vetor que reúne essas infor-mações para cada ponto da trajetória: o vetor velocidade.

2.5.2 Vetor velocidade

Considere que num dado instante t1 a partícula esteja num ponto P1 e no instante t2esteja num ponto P2 de sua trajetória, com t2 > t1. Então, os vetores posição r1 er2 da partícula nos instantes t1 e t2 são dados por

r1 = f (t1) = x1x + y1y + z1z , (2.113)r2 = f (t2) = x2x + y2y + z2z , (2.114)

onde x1 = fx(t1), y1 = fy(t1) e z1 = fz(t1) são as coordenadas do ponto P1 noinstante t1, e equivalentemente para o ponto P2. Definimos de vetor deslocamento∆r no intervalo [t1, t2] à diferença

∆r = r2 − r1 = ∆x x + ∆y y + ∆z z , (2.115)

onde ∆x = x2 − x1, ∆y = y2 − y1 e ∆z = z2 − z1 são as projeções do vetordeslocamento da partícula ao longo dos eixos coordenados OX , OY e OZ, res-pectivamente. Essas projeções têm exatamente a forma de um deslocamento nummovimento unidimensional (ver Equação (2.8)), de modo que as chamaremos dedeslocamentos ao longo dos eixos ou simplesmente deslocamentos. Da Equação(2.115), portanto, vemos que o vetor deslocamento da partícula no intervalo [t1, t2]


é o vetor cujas componentes são os deslocamentos da partícula ao longo dos eixoscoordenados nesse intervalo.

Vimos na seção 2.4.1 que o deslocamento ∆x ao longo do eixo OX , porexemplo, determina a variação da coordenada x da partícula durante o intervaloconsiderado; que o sinal do deslocamento especifica o seu sentido em relação aoeixo e que seu módulo dá a distância entre as coordenadas da partícula nos instantesinicial e final do intervalo. O vetor deslocamento é exatamente o equivalente veto-rial do deslocamento. Ele determina a variação da posição da partícula num dadointervalo e seu módulo determina a distância entre os pontos P1 e P2 que especi-ficam as posições da partícula nos extremos do intervalo. Ele especifica tambémqual a direção e em que sentido esse deslocamento ocorreu. A direção é a da retaque passa pelos pontos P1 e P2 ou, em outras palavras, da reta secante à trajetórianos pontos P1 e P2. O sentido é o que aponta de P1 para P2. Em termos de suascomponentes, o módulo do vetor deslocamento é dado por

|∆r| =√

(∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 , (2.116)

e sua direção e sentido são dados pelos ângulos diretores δx, δy e δz, que são osângulos que o vetor deslocamento faz com cada um dos vetores unitários dos eixoscoordenados e cujos cossenos são dados por

cos δx =∆x

|∆r|, cos δy =

∆y

|∆r|, cos δz =

∆z

|∆r|. (2.117)

Os cossenos dos ângulos diretores são chamados de cossenos diretores e esses cos-senos podem assumir valores no intervalo [−1, 1]: valores positivos correspondem aângulos agudos (0 ≤ δ < π/2), valores negativos correspondem a ângulos obtusos(π/2 < δ ≤ π) e um valor nulo corresponde ao ângulo reto (δ = π/2).

Do mesmo modo que o deslocamento usual, o vetor deslocamento dá apenasuma informação global do movimento. Ele apenas “diz” que a partícula partiudo ponto P1 e chegou ao ponto P2 num instante posterior. Não há como saber,conhecendo apenas o vetor deslocamento, como a partícula chegou a P2 partindode P1. De fato, existe uma infinidade de maneiras de se ir de um ponto a outro doespaço.

Como exemplo, considere uma viagem de Natal a Recife. Se rrec for a posiçãode Recife em relação a um dado referencial e rnat for a posição de Natal nessemesmo referencial, nosso vetor deslocamento após a viagem será ∆r = rrec − rnat.Não importa de que maneira façamos nossa viagem de Natal a Recife. Podemosir por João Pessoa (que é o caminho mais natural) ou podemos ir para Mossoró,depois para Fortaleza, depois para Petrolina e de lá para Recife: o deslocamento seráexatamente o mesmo, ∆r = rrec − rnat. Não importa por quais cidades se passou;para o vetor deslocamento o que importa é o resultado líquido da viagem: partidade Natal e chegada em Recife. Dizemos então que, apenas com o conhecimentodo vetor deslocamento num dado intervalo, não há como saber qual a função-movimento vetorial da partícula.

Do mesmo modo que o deslocamento em uma dimensão, podemos escrevero vetor deslocamento num dado intervalo [ti, tf ] como a soma vetorial dos veto-res deslocamento associados aos subintervalos menores que compõem o intervalo


[ti, tf ]. Seguindo exatamente o mesmo raciocínio realizado na seção 2.4.1 para aobtenção da Equação (2.13), podemos escrever

∆r =n∑j=0

∆rj =n∑j=0

(f (tj+1)− f(tj)) , (2.118)

onde

∆rj = rj+1 − rj = ∆xj x + ∆yj y + ∆zj z (2.119)

é o vetor deslocamento da partícula no intervalo [tj, tj+1] ∈ ℘n, sendo ℘n um con-junto arbitrário de partições do intervalo [ti, tf ] cujos elementos satisfazem às condi-ções (2.11) e (2.12). Para a distância s percorrida pela partícula durante o intervalo[ti, tf ], pode-se mostrar que

s = limn→∞

n∑j=0

lim∆rj→0

|∆rj| = limn→∞

n∑j=0

limtj+1→tj

|f (tj+1)− f(tj)| , (2.120)

onde |∆rj| é calculado segundo a Equação (2.116). Note que ∆rj → 0 se e somentese ∆xj → 0, ∆yj → 0 e ∆zj → 0 simultaneamente no intervalo [tj, tj+1] quandotj+1 → tj , o que está garantido pela continuidade das funções-movimento fx, fy efz.

Consideremos agora o vetor velocidade média. Ele é definido com a razãoentre o vetor deslocamento ∆r = r2 − r1 no intervalo [t1, t2], t2 > t1, e a duração∆t = t2 − t1 do intervalo,

v =∆r

∆t=f(t2)− f(t1)

t2 − t1, (2.121)

onde usamos as Equações (2.113) e (2.114). A partir de (2.115), podemos escrevero vetor velocidade média em termos de suas componentes como

v =∆x

∆tx +

∆y

∆ty +

∆z

∆tz = vx x + vy y + vz z , (2.122)

onde vx, vy e vz são as velocidades médias ao longo dos eixos OX , OY e OZ,respectivamente, definidas segundo a Equação (2.20). O sentido e a direção do vetorvelocidade média são os mesmos do vetor deslocamento, ou seja, eles possuem osmesmos cossenos diretores dados pelas Equações (2.117). Seu módulo

|v| ≡ v =√v2x + v2

y + v2z

mede a rapidez com que a variação da posição da partícula mudou no intervaloconsiderado.

Consideremos novamente o exemplo da viagem entre Natal e Recife. Se fizer-mos a viagem de carro indo pelo caminho 1 (passando por João Pessoa), gastaremoscerca de 3,5 h para fazer um percurso de 280 km, que corresponde aproximadamenteao módulo do vetor deslocamento entre as duas cidades. Logo, o módulo do vetorvelocidade média neste caso é v ≈ 280/3,5 = 80 km/h. Se, porém, escolhermos ir


pelo percurso 2 (passando por Mossoró, Fortaleza e Petrolina), o tempo de viagemserá cerca de 35 h (admitindo que haja parada para descanso) enquanto o módulodo vetor deslocamento é o mesmo, 280 km. Portanto o módulo do vetor velocidademédia neste caso é v ≈ 280/35 = 8,0 km/h. Logo, baseados apenas no valor davelocidade média, podemos afirmar que o deslocamento entre Natal e Recife foirealizado mais rapidamente no primeiro caso que no segundo.

Contudo, do mesmo modo que o vetor deslocamento, o vetor velocidade mé-dia dá apenas uma informação global sobre o movimento. No exemplo dado, oconhecimento dos valores calculados da velocidade média apenas levariam alguéma supor que o valor mais alto (80 km/h) significa que a viagem foi muito prova-velmente feita num automóvel, enquanto o segundo valor (8,0 km/h) indicaria queprovavelmente a viagem foi realizada a pé ou em algum veículo de tração animal(como uma carroça). Se se dissesse que as duas viagens foram feitas no mesmoveículo, esse alguém concluiria que na segunda viagem o veículo deve ter passadomuito tempo parado ou seguiu por um outro percurso muito mais longo do que onormalmente utilizado e, mesmo que lhe fosse dito que este é justamente o caso, nãopoderia dizer qual foi o caminho real tomado (por quais cidades passou) e como essecaminho foi percorrido (em que trechos o veículo parou, andou mais rapidamente,que direções e sentidos tomou, etc.). Portanto, apenas o conhecimento do vetor ve-locidade média não é suficiente para definir a trajetória da partícula e nem a rapidezcom que ela é percorrida. Para isso, definiremos o vetor velocidade instantânea ousimplesmente vetor velocidade.

Considere um intervalo [t1, t2] ≡ [t, t + ∆t]. Então, pela definição (2.121), ovetor velocidade média da partícula nesse intervalo é dado por

v =∆r

∆t=f (t+ ∆t)− f(t)

∆t.

Definimos o vetor velocidade ao limite da razão anterior quanto ∆t→ 0, isto é,

v = lim∆t→0

∆r

∆t= lim

∆t→0

f (t+ ∆t)− f(t)

∆t=

dr

dt. (2.123)

Devido à continuidade das funções-movimento (2.104) a (2.106), o limite∆t → 0 implica r2 → r1, o que significa que o ponto P2 tende a ponto P1 e que,no limite, coincidem num único ponto P cujo vetor posição é r = f(t). Portanto, areta secante à trajetória nos pontos P1 e P2, que define a direção do vetor velocidademédia, tende à reta tangente à trajetória no ponto P quando ∆t → 0. O sentido dovetor velocidade média, como já comentamos, é o mesmo sentido do vetor deslo-camento. No limite ∆t → 0, o vetor velocidade média tende ao vetor velocidadeno ponto P ; seu sentido dá o sentido do movimento da partícula e seu módulo dáa rapidez com que o vetor posição varia no instante t. Como cada instante t cor-responde a um ponto P da trajetória, podemos afirmar que o vetor velocidade é umvetor sempre tangente à trajetória da partícula num ponto P que mede a rapidezcom que a posição da partícula varia e que indica o sentido do movimento da par-tícula nesse ponto. Portanto, se conhecermos o vetor velocidade para cada ponto P ,o que significa saber seu valor em cada instante t do intervalo de interesse, pode-mos construir a trajetória da partícula nesse intervalo. Isso significa que, para cada


t deve exitir um, e apenas um, vetor velocidade v pois, se assim não fosse, não sepoderia definir uma única tragetória para a partícula: se num instante t a partículapudesse ter um vetor velocidade v′ e outro v′′, por exemplo, num instante t + ∆tela teria dois vetores posição r′ e r′′, para ∆t suficientemente pequeno, dados por

r′ ≈ r + v′∆t e r′′ ≈ r + v′′∆t ,

onde r é o vetor posição da partícula no instante t. Se v′ 6= v′′ então r′ 6= r′′,significando que a partícula estaria ocupando duas posições diferentes no mesmoinstante de tempo, o que é absurdo.

Existe então uma função que para um t ∈ [t1, t2] permite calcular um único vcorrespondente cujo domínio é o intervalo [t1, t2] e cujo contradomínio é o conjuntode todos os vetores velocidade tangentes a todos os pontos de todas as curvas con-tínuas possíveis pertencentes ao espaço definido pelo sistema de eixos coordenadosOXY Z. Da definição (2.123), vemos que essa função corresponde exatamente àfunção derivada da função-movimento vetorial. Representando essa função por f ,temos,

v = f(t) . (2.124)

Em termos das componentes ao longo dos eixos coordenados, podemos escrever aEquação (2.123) como

v = lim∆t→0

∆x

∆tx + lim

∆t→0

∆y

∆ty + lim

∆t→0

∆z

∆tz = vx x + vy y + vz z , (2.125)

onde vx, vy e vz são as velocidades instantâneas definidas segundo a Equação (2.32)para cada eixo coordenadoOX ,OY eOZ, respectivamente. Para um dado instantet, as componentes de v são portanto obtidas a partir de suas funções-velocidadecorrespondentes, ou seja,

vx = fx(t) , (2.126)vy = fy(t) , (2.127)vz = fz(t) . (2.128)

Combinando as Equações (2.124) a (2.128), podemos escrever a função f como

f(t) = fx(t) x + fy(t) y + fz(t) z , (2.129)

que é uma função que a cada valor de t (que é um número) associa um vetor cujascomponentes são dadas pelas Equações (2.126) a (2.128). A essa função damos onome de função-velocidade vetorial.

O conhecimento da função-velocidade vetorial num dado intervalo [ti, tf ] ésuficiente para determinar o vetor deslocamento e a distância percorrida pela partí-cula ao longo da trajetória durante esse intervalo. Consideremos novamente a Equa-ção (2.118). Cada termo da soma corresponde ao vetor deslocamento num intervalofinito [tj, tj+1] ∈ ℘n de duração ∆tj = tj+1 − tj > 0. Dividindo e multiplicandocada parcela da soma em (2.118) por ∆tj e usando a definição (2.121), temos

∆r =n∑j=0

∆rj∆tj

∆tj =n∑j=0

vj∆tj , (2.130)


onde vj é o vetor velocidade média da partícula no intervalo [tj, tj+1]. Assim como(2.118), a Equação anterior é válida para qualquer conjunto ℘n de partições dointervalo [ti, tf ]. Tomando o limite de n→∞ e ∆tj → 0, para qualquer [tj, tj+1] ∈℘n, o vetor velocidade média vj tende ao vetor velocidade no instante tj = t e asoma anterior tende à integral do vetor velocidade (dado pela Equação (2.124)) nointervalo [ti, tf ],

∆r =

∫ tf

ti

f(t)dt . (2.131)

Sem perda de generealidade, podemos considerar o intervalo [ti, tf ] ≡ [0, t].Se r0 = x0 x + y0 y + z0 z é o vetor posição da partícula em ti = 0 e r = x x +y y + z z é seu vetor posição em tf = t, a Equação anterior leva a

r = r0 +

∫ t

0

f(t′)dt′ . (2.132)

Esta Equação é o equivalente vetorial da Equação (2.44), que é válida para omovimento retilíneo. Comparando esse resultado com a Equação (2.112), vemosque o lado direito de (2.132) é justamente a função-movimento vetorial f da partí-cula em termos de sua função-velocidade vetorial f e do vetor posição num instanteinicial. Combinando (2.112) e (2.129), vemos que (2.132) é totalmente equivalenteao conjunto de Equações

x = x0 +

∫ t

0

fx(t′)dt′ , (2.133)

y = y0 +

∫ t

0

fy(t′)dt′ , (2.134)

z = z0 +

∫ t

0

fz(t′)dt′ , (2.135)

para cada coordenada x, y e z da partícula no instante t em relação ao referen-cial OXY Z. Portanto, a Equação (2.132) afirma que, se conhecemos a função-velocidade vetorial da partícula (o que significa conhecer as três funções-velocidadefx, fy e fz) e sabemos o vetor posição num dado instante inicial (o que significa co-nhecermos as três coordenadas x0, y0 e z0 da partícula), seu vetor posição para qual-quer t fica especificado, ou seja, conhecemos totalmente o movimento da partículano intervalo de interesse.

2.5.3 Distância percorrida pela partícula: integral de trajetória

Consideremos agora a distância s percorrida pela partícula no intervalo [ti, tf ]. Po-demos escrever a Equação (2.120) como

s = limn→∞

n∑j=0

lim∆rj→0

|∆rj|∆tj

∆tj = limn→∞

n∑j=0

lim∆tj→0

|vj|∆tj , (2.136)


onde usamos o fato de que ∆tj > 0 ∀ [tj, tj+1] ∈ ℘n. A Equação anterior éjustamente a integral

s =

∫ tf

ti

|f(t)|dt =

∫ tf

ti

√f 2x(t) + f 2

y (t) + f 2z (t) dt . (2.137)

Logo, se conhecemos as funções-velocidade fx, fy e fz, a Equação anterior nospermite calcular a distância percorrida pela partícula durante o intervalo [ti, tf ].

Diferentemente do vetor deslocamento, que depende apenas das posições finale inicial, a distância percorrida depende da forma da trajetória. Isso sugere que,se conhecermos as Equações da trajetória da partícula, deveremos ser capazes decalcular a distância percorrida pela partícula durante seu movimento.

Consideremos novamente as Equações (2.5) e (2.6),

y = fy(f−1x (x)

)≡ Ty(x) , (2.138)

z = fz(f−1x (x)

)≡ Tz(x) , (2.139)

onde f−1x é a função inversa da função-movimento fx. Para cada ponto P da traje-

tória, as funções Ty e Tz fornecem as coordenadas y e z de P se conhecemos suacoordenada x. Logo, se no instante ti a coordenada da partícula em relação ao eixoOX é x = xi e no instante tf a coordenada é x = xf , o conhecimento das funçõesTy e Tz no intervalo [xi, xf ] do eixo coordenado OX permite conhecer a trajetóriada partícula no intervalo de tempo [ti, tf ]. Eis porque as Equações (2.138) e (2.139)são chamadas de Equações da trajetória. Realizando a diferenciação de (2.138) e(2.139), temos

dy = T ′y(x)dx , (2.140)dz = T ′z(x)dx , (2.141)

onde T ′y e T ′z são as funções obtidas pela derivação de Ty e Tz em relação a x.

Diferenciemos também as Equações (2.104) a (2.106).

dx = fx(t)dt , (2.142)dy = fy(t)dt , (2.143)dz = fz(t)dt . (2.144)

Combinando as Equações anteriores entre si, podemos escrever as diferenciais emy e z em termos da diferencial em x, ou seja,

dy =fy(t)

fx(t)dx , (2.145)

dz =fz(t)

fx(t)dx . (2.146)

Comparando as Equações anteriores com as Equações (2.147) e (2.148) segue ime-diatamente que

T ′y(x) ≡ fy(t)

fx(t), (2.147)

T ′z(x) ≡ fz(t)

fx(t). (2.148)


Deve-se lembrar que nas Equações anteriores x e t não são variáveis independen-tes, pois estão relacionadas pela Equação (2.104): x = fx(t) =⇒ t = f−1

x (x).Retornando à Equação (2.137), podemos escrever

s =

∫ tf

ti

√f 2x(t) + f 2

y (t) + f 2z (t) dt =

∫ tf

ti

[1 +

f 2y (t)

f 2x(t)

+f 2z (t)

f 2x(t)

]1/2 ∣∣∣fx(t)∣∣∣ dt .Combinando o resultado anterior com os resultados (2.142), (2.147) e (2.148), te-mos

s =

∫ xf

xi

√1 + T ′y

2(x) + T ′z2(x) |dx| , (2.149)

onde xi = fx(ti) e xf = fx(tf ).

A Equação anterior permite o cálculo da distância percorrida pela partículano intervalo [ti, tf ] desde que conheçamos as funções Ty e Tz que determinam suatrajetória. Contudo, as Equações (2.138) e (2.139), e consequentemente a Equa-ção (2.149), dependem da existência da função inversa de fx em todos os pontosdo intervalo [ti, tf ] o que, em geral, não é garantido para qualquer fx. Frequente-mente acontece, no entanto, de a função fx possuir uma função inversa numa partedo intervalo e uma outra no restante desse intervalo. Neste caso pode-se calcular aintegral em (2.149) nos sub-intervalos separadamente, usando a função f−1

x corres-pondente a cada um, e depois somar os resultados para obter a distância percorridano intervalo todo. Esse procedimento pode ser utilizado para um número arbitrá-rio de subintervalos de [ti, tf ]. Nos problemas que abordaremos, isso sempre serápossível.

Agora, investiguemos melhor a Equação (2.149). Ela consiste numa integralcujo valor depende do caminho utilizado para calculá-la, ou seja, da trajetória esco-lhida. Para ilustrar esse fato, consideremos o caso particular em que xi = xf = x0.Poder-se-ia ingenuamente afirmar que o resultado da integração (2.149) é semprezero neste caso, pois como o limite inferior é igual ao limite superior de integração,qualquer que seja a função primitiva4 do integrando em (2.149) o valor da integraldeve ser a diferença entre os valores da função primitiva no limites de integração,ou seja, se

S(x) =

∫ √1 + T ′y

2(x) + T ′z2(x) dx ,

então ∫ xf =x0

xi=x0

√1 + T ′y

2(x) + T ′z2(x) dx = S(x0)− S(x0) = 0 . (2.150)

Este resultado está correto, mas ele não representa a distância s percorrida pelapartícula porque a integral em (2.150) é diferente da integral em (2.149) pois, emgeral, dx 6= |dx|. Isso significa que, em geral, não existe uma função tal que aintegral em (2.149) possa ser calculada como a diferença entre os valores dessa

4Dizemos que uma função F (x) é a função primitiva da função f(x) se, e somente se, f(x) =F ′(x), onde F ′(x) é a derivada de F (x) em relação a x.


função nos extremos de integração; para calculá-la, é preciso especificar o caminhoutilizado para ir de xi a xf . Vamos ilustrar isso com um exemplo.

Considere uma partícula que permanece em repouso durante o intervalo [ti, tf ] ≡[0, 2π/ω], onde ω > 0, na posição cujas coordenadas são (A, 0, 0), com A > 0. Asfunções-movimento da partícula nesse intervalo são

x = A , y = 0 , z = 0 ,

o que implica que as Equações da trajetória são dadas por

Ty(x) = Tz(x) = 0

em todo o intervalo [ti, tf ] considerado. Logo

s =

∫ fx(tf )=x0

fx(ti)=x0

|dx| = 0 ,

qualquer que seja o sinal de dx.

Suponhamos agora que a partícula realize o movimento descrito pelas funções-movimento

x = A cosωt , (2.151)y = A senωt , (2.152)z = 0 . (2.153)

Por essas Equações, vê-se que o movimento da partícula ocorre apenas no planoOXY , de maneira que a posição da partícula fica completamente especificada sesoubermos suas coordenadas x e y apenas.

No instante t = 0 a posição da partícula é dada pelas coordenadas (A, 0) eno intante t = 2π/ω ela se encontra novamente na posição (A, 0). Qual a distânciapercorrida no intervalo [ti, tf ] ≡ [0, 2π/ω]? Elevando ao quadrado as Equações(2.151) e (2.152) e depois somando-as, temos

y2 + x2 = A2 =⇒ y = T (±)y (x) = ±

√A2 − x2 . (2.154)

Temos portanto duas funções Ty no intervalo [0, 2π/ω], T (+)y e T (−)

y . A funçãoT

(+)y corresponde ao intervalo temporal [0, π/ω], no qual a coordenada y assume

apenas valores positivos, enquanto a função T (−)y correponde ao intervalo temporal

[π/ω, 2π/ω], no qual a coordenada y assume apenas valores negativos. Podemosentão escrever a integral (2.149) como a soma de duas integrais:

s =

∫ fx(π/ω)=−A

fx(0)=A

√1 +

[T′(+)y (x)

]2

|dx|+ (2.155)

+

∫ fx(2π/ω)=A

fx(π/ω)=−A

√1 +

[T′(−)y (x)

]2

|dx| , (2.156)

ondeT ′(±)y (x) = ∓ x√

A2 − x2


é a derivada de T (±)y (x) em relação a x.

A componente x da velocidade num instante t é dada por

vx = fx(t) = −ωA senωt = −ωy . (2.157)

Como já sabemos, o sinal de vx dá o sentido do movimento ao longo do eixo OX .Logo, a partícula sempre se move no sentido negativo do eixo OX no intervalo[0, π/ω], pois y ≥ 0 nesse intervalo, o que pela Equação (2.160) implica vx ≤0. Assim, qualquer deslocamento associado a qualquer sub-intervalo de [0, π/ω]é negativo, de modo que |dx| = −dx nesse intervalo. Seguindo argumentaçãoidêntica, no intervalo [π/ω, 2π/ω] temos vx ≥ 0 o que implica |dx| = dx. Como

[T ′(±)y (x)

]2 ≡ T ′ 2y (x) =x2

A2 − x2,

a Equação (2.155) pode ser escrita como

s = −∫ −AA

√1 + T ′ 2y (x) dx+

∫ A

−A

√1 + T ′ 2y (x) dx

= 2

∫ A

−A

√1 + T ′ 2y (x) dx = 2A

∫ A

−A

dx√A2 − x2

. (2.158)

Fazendo x = A senu, então dx = A cosu du e a integral anterior dá

s = 2A

∫ π/2

−π/2du = 2πA . (2.159)

Este é exatamente o comprimento de uma circunferência de raioA e, de fato, a traje-tória da partícula no intervalo considerado é uma circunferência de raio A centradana origem, como se depreende da primeira Equação (2.154).

Portanto, embora as posições final e inicial da partícula sejam as mesmas,vemos que a distância percorrida é igual a zero no primeiro caso (a partícula per-manece em repouso) e diferente de zero no segundo caso (a partícula se move numacircunferência). Conclui-se então que a integral em (2.149), em geral, dá resultadosdiferentes para trajetórias diferentes, ou seja, o resultado da integração depende docaminho de integração. A essas integrais damos o nome de integrais de caminho ouintegrais de trajetória.

Integrais desse tipo são muito importantes em Física e a integral (2.149) é aprimeira dentre muitas outras com as quais ainda teremos contato. Veremos que agrande maioria dessas integrais que têm interesse físico têm raiz num conceito fun-damental da Mecânica: o conceito de trabalho de uma força, que é definido comouma integral de trajetória. No estudo da Dinâmica, ainda neste curso, voltaremos aesse assunto com mais profundidade.

Antes de concluir esta seção, calculemos a distância percorrida pela partículaque segue as funções-movimento (2.151) a (2.153) usando diretamente a Equação(2.137). Para essas funções-movimento, as funções-velocidade são

vx = −ωA senωt ,


vy = ωA cosωt ,vz = 0 ,

de modo que no intervalo [0, 2π/ω] a distância percorrida é

s =

∫ 2π/ω

0

√(−ωA senωt)2 + (ωA cosωt)2 + 02 dt

= A

∫ 2π

0

√sen2 u+ cos2 u du = 2πA ,

que é exatamente o resultado que obtivemos usando a Equação (2.149) (como deve-ria ser) só que com um esforço muito menor. Por que então perdemos tanto tempona Equação (2.149) ao invés de usar logo a Equação (2.137)? De fato, quando co-nhecemos as funções-velocidade da partícula, como é o caso aqui, não é vantajosoo uso da Equação (2.149) em detrimento da Equação (2.137). O problema estáem quando não conhecemos as funções-velocidade, o que é uma situação relativa-mente comum. Em muitos casos é mais fácil obter as Equações da trajetória dapartícula, ou seja, as funções Ty e Tz, do que encontrar suas funções-velocidade. Seconhecemos ainda alguma informação adicional, como o sentido em que ocorreu omovimento ao longo da trajetória, podemos usar (2.149) para calcular a distânciapercorrida. Uma outra razão para termos usado (2.149) ao invés de (2.137) é deorigem didática. Calculando a distância por (2.149) utilizamos métodos comunsao cálculo de todo tipo de integrais de caminho, o que será importante mais tardequando encontrarmos exemplos de integrais mais importantes em Mecânica, Ter-modinâmica e Eletromagnetismo, que estudaremos em cursos posteriores.

2.5.4 Vetor aceleração

Nesta seção vamos estudar a contrapartida vetorial da aceleração definida na seção2.4.4 para o movimento retilíneo, ou seja, o vetor aceleração. Como o raciocíniopara se chegar à sua definição é uma extensão simples do utilizado para se chegar àdefinição de aceleração em uma dimensão, nos restringiremos a apenas apresentaras definições de uma maneira um tanto lacônica, sem nos preocuparmos com os de-talhes das deduções. Se o leitor sentir necessidade desses detalhes, poderá retornarà seção 2.4.4 e à seção 2.5.3, onde as deduções realizadas são muito semelhantes àsque são utilizadas para as definições apresentadas nesta seção.

Seja v1 o vetor velocidade da partícula no instante t1 e v2 o vetor velocidadeda partícula no instante t2. Definimos o vetor aceleração média no intervalo [t1, t2],com t2 > t1, pela a razão

a =∆v

∆t=

v2 − v1

t2 − t1=f(t2)− f(t1)

t2 − t1. (2.160)

Em termos das componentes ao longo dos eixos coordenados OX , OY e OZ, te-mos

a =∆vx∆t

x +∆vy∆t

y +∆vz∆t

z = ax x + ay y + az z , (2.161)

onde ax, ay e az são as acelerações médias nas direções dos eixos coordenadosdefinidas segundo a Equação (2.51).


Fazendo o intervalo [t1, t2] ≡ [t, t + ∆t] e tomanto o limite ∆t → 0, o vetoraceleração média definido pela razão dada em (2.160) tende ao vetor aceleraçãoinstantânea, ou simplesmente vetor acelaração, no instante t, isto é,

a = lim∆t→0

∆v

∆t= lim

∆t→0

f(t+ ∆t)− f(t)

∆t=

dv

dt. (2.162)

Da definição anterior, para cada instante t, o vetor aceleração é dado pelo valor daderivada da função-velocidade vetorial no instante t, o que significa que

a = f(t) = fx(t) x + fy(t) y + fz(t) z , (2.163)

onde fx, fy e fz são as funções-aceleração que dão dos valores das acelerações aolongo dos eixos coordenados para cada instante t, ou seja,

ax = fx(t) , (2.164)ay = fy(t) , (2.165)az = fz(t) . (2.166)

A função f é chamada de função-aceleração vetorial.

A partir do conhecimento da função-aceleração vetorial num dado intervalo[ti, tf ] podemos obter os vetores velocidade e posição da partícula para qualquerinstante desse intervalo. Seja v0 o vetor velocidade da partícula no instante ti = 0.Então, o vetor velocidade v num instante t ∈ [ti, tf ] fica completamente determi-nado pela Equação

v = v0 +

∫ t

0

f(t′)dt′ , (2.167)

que é a forma vetorial da Equação (2.57) obtida para o movimento retilíneo. AEquação anterior é totalmente equivalente ao conjunto de Equações

vx = vx0 +

∫ t

0

fx(t′)dt′ , (2.168)

vy = vy0 +

∫ t

0

fy(t′)dt′ , (2.169)

vz = vz0 +

∫ t

0

fz(t′)dt′ , (2.170)

onde vx, vy e vz são as componentes do vetor v e vx0, vy0 e vz0 são as componentesdo vetor v0. Se, além de v0, conhecemos também o vetor posição r0 da partículano instante ti = 0, podemos determinar o vetor posição r da partícula num instantet qualquer do intervalo [ti, tf ] pela Equação

r = r0 + v0t+

∫ t

0

dt′∫ t′

0

f(t′′)dt′′ , (2.171)

que é exatamente o equivalente vetorial da Equação (2.60) obtida para o movimentounidimensional. Em termos das componentes, a Equação anterior é equivalente ao


conjunto de Equações

x = x0 + vx0t+

∫ t

0

dt′∫ t′

0

fx(t′′)dt′′ , (2.172)

y = y0 + vy0t+

∫ t

0

dt′∫ t′

0

fy(t′′)dt′′ , (2.173)

z = z0 + vz0t+

∫ t

0

dt′∫ t′

0

fz(t′′)dt′′ , (2.174)

onde x, y e z são as componentes do vetor r e x0, y0 e z0 são as componentes dovetor r0.

Os lados direitos das Equações (2.167) e (2.171) dão exatamente a função-velocidade e função-movimento vetoriais da partícula, respectivamente. Da Equa-ção (2.171), se conhecemos a função-aceleração vetorial no intervalo de interessebem como os vetores posição e velocidade num dado instante inicial do intervalo,então conhecemos o movimento da partícula nesse intervalo. Isso significa que, seconhecemos 6 números (as componentes dos vetores r0 e v0) e 3 funções do tempo(as funções-aceleração fx, fy e fz) o movimento da partícula fica completamente es-pecificado. Esses 6 números são as chamados de condições iniciais do movimentoda partícula.

A discussão feita na parte final da seção 2.4.4 sobre a importância da acele-ração no movimento unidimensional se aplica inteiramente ao caso do vetor ace-leração aqui discutido. A importância da Equação (2.171) reside no fato de que,quando é utilizado um referencial inercial qualquer para se descrever o movimento,o vetor aceleração está relacionado diretamente às interações entre a partícula e suavizinhança por meio da Segunda Lei de Newton. Quanto às limitações da Equação(2.171), estas são as mesmas levantadas para a Equação (2.60). Embora a SegundaLei nos dê diretamente o vetor aceleração a partir das interações entre as partícu-las, ela não nos dá a função-aceleração vetorial porque as interações são escritasem termos das posições e velocidades de todas as partículas do problema (partí-cula+vizinhança). Isso significa que o vetor aceleração obtido a partir da SegundaLei de Newton é dado por uma função das posições e velocidades das partículasdo problema e não por uma função do tempo, como é o caso da função-aceleraçãovetorial. Ainda assim, a Equação (2.171) pode ser utilizada para a obtenção do mo-vimento de uma partícula em muitas situações físicas importantes em que podemosencontrar a função-aceleração vetorial. Vejamos alguns desses exemplos.

Exemplo 2.10. Considere um movimento cujo vetor aceleração de dado por

a = f(t) = a0 , (2.175)

para qualquer t do intervalo de interesse, onde a0 é um vetor constante. Logo,pelas Equações (2.167) e (2.171), temos

v = v0 + a0t , (2.176)

r = r0 + v0t+1

2a0t

2 . (2.177)

Exploremos agora essas Equações para alguns valores do vetor a0 e paraalgumas condições iniciais.


1. Seja a0 o vetor nulo (a0 = 0). Então as Equações anteriores tomam a forma

v = v0 , (2.178)r = r0 + vt . (2.179)

Se escolhermos o eixoOX de tal modo que v = vx x e r0 = x0 x, a Equação(2.177) será idêntica ao conjunto de Equações

x = x0 + vxt , (2.180)y = 0 , (2.181)z = 0 , (2.182)

que constitui exatamente um MRU com velocidade vx constante ao longo doeixo OX . Logo, o movimento descrito pela Equação (2.177) é sempre umMRU, pois sempre é possível escolher os eixos coordenados de tal formaque a direção do vetor velocidade da partícula (que é um vetor constante)coincida com a direção do eixo OX (ou qualquer outro).

2. Consideremos agora a situação onde tanto a0, v0 e r0 são vetores não nulosque possuem a mesma direção, por exemplo, a direção do eixoOX . Portanto,a0 = ax x, v0 = vx0 x, r0 = x0 x e as Equações (2.176) e (2.177) podemser resumidas a apenas suas componentes ao longo do eixo OX (as outrascomponentes são nulas), ou seja,

vx = vx0 + axt , (2.183)

x = x0 + vx0t+1

2axt

2 , (2.184)

que é um MRUV ao longo do eixo OX .

3. Consideremos agora o caso em que a0, v0 e r0 não são mais paralelos entresi. Escolhamos o eixoOY de maneira que sua direção seja a mesma do vetora0 e o eixo OX de tal forma que o vetor v0 esteja no plano OXY . Logo,o vetor r0 também estará no plano OXY e poderemos escrever a0 = ay y,v0 = vx0 x + vy0 y e r0 = x0 x + y0 y, de maneira que a Equação (2.177) emtermos das componentes pode ser escrita como

x = x0 + vx0t , (2.185)

y = y0 + vy0t+1

2ayt

2 , (2.186)

z = 0 . (2.187)

Dessas Equações vemos que o movimento está restrito a plano OXY , e seconstitui da composição de um MRU ao longo do eixo OX e de um MRUVao longo do eixo OY . Encrevendo t em função de x na Equação (2.185) esubstituindo o resultado na Equação (2.186) encontraremos a Equação datrajetória da partícula,

y = Ty(x) = y0 +vy0

vx0

(x− x0) +ay

2v2x0

(x− x0)2 , (2.188)


que é a Equação de uma parábola no plano OXY .

Um problema físico de grande importância no qual as Equações (2.185) a(2.188) se aplicam é o lançamento oblícuo de projéteis. Este consiste nomovimento de uma partícula apenas sob a ação da gravidade nas proximi-dades da superfície da Terra, onde a velocidade inicial v0 da partícula fazum ângulo θ com a direção horizontal, definida pelo vetor x. Neste caso, ascomponentes da aceleração e da velocidade inicial da partícula são

ay = −g , vx0 = v0 cos θ e vy0 = v0 sen θ , (2.189)

onde v0 = |v0|. Aplicando as Equações (2.189) à Equação (2.188), a Equa-ção da trajetória fica

y = Ty(x) = y0 + tg θ (x− x0)− g

2v20 cos2 θ

(x− x0)2 . (2.190)

Esta Equação descreve uma parábola cuja concavidade está voltada parabaixo, o que implica que há um valor máximo para a coordenada y que cor-responde à altura máxima y = ym que pode ser alcançada pela partícula. Oponto de altura máxima, (xm, ym), é a solução da Equação

T ′y(xm) = tg θ − g

v20 cos2 θ

(xm − x0) = 0 ,

o que leva a

xm = x0 +v2

0

2gsen 2θ , (2.191)

ym = y0 +v2

0

2gsen2θ . (2.192)

A Equação (2.190) possui duas raízes, que representam os valores da coor-denada x para os quais a altura da partícula é zero. As raízes x± são

x± = xm ± v0tm cos θ , (2.193)

onde xm e ym são dados pelas Equações (2.191) e (2.192) e

tm =

√2ymg

(2.194)

é o tempo de queda da partícula desde a altura máxima y = ym até a alturay = 0, quando toca o solo. Nesta afirmação fica claro que consideramos oponto O, origem do sistema de coordenadas, num ponto sobre a superfícieda Terra. Logo, apenas valores positivos de y são permitidos.

Os instantes de tempo t± correspondentes às raízes x± são obtidos pela com-binação das Equações (2.193) e (2.185), o que leva a

t± =v0

gsen θ ± tm . (2.195)


Admitindo que o movimento se inicia no instante t = 0, a única soluçãoaceitável da Equação anterior para y0 > 0 é t+, pois

tm >v0

g| sen θ|

neste caso. Para y0 = 0 (a partícula inicialmente está à altura zero) t− = 0,o que corresponde ao instante inicial do movimento.

Definimos o alcance A do projétil como o módulo do deslocamento do projé-til, ao longo do eixo OX , entre os instantes t = 0 e t = t+, ou seja,

A = |x+ − x0| =v2

0

g|cos θ|

∣∣∣∣∣ sen θ +

√sen2θ +

2gy0

v20

∣∣∣∣∣ . (2.196)

Para o caso especial em que 0 < θ < π/2 e y0 = 0, o alcance da partículatoma a forma

A =v2

0

gsen 2θ . (2.197)

Deste resultado, vemos que o valor máximo do alcance é aquele para o qual

sen 2θ = 1 =⇒ θ = π/4 ,

ou seja, o projétil terá o maior alcance possível, para uma dada velocidadev0, quando o ângulo entre o vetor velocidade inicial e a direção horizontal(ou vertical) for de θ = 45o.

Finalmente, usando a Equação (2.149), podemos calcular a distância totalpercorrida pela partícula em sua trajetória. Para o caso em que 0 < θ < π/2e y0 = 0, será deixado como exercício mostrar que o comprimento total datrajetória no intervalo [0, t+], com t+ definido pela Equação (2.195), é dadopor

Figura 2.10: O gráfico em azulmostra o alcance do projétil, dadopela Equação (2.197), e o grá-fico em vermelho mostra o com-primento da trajetória dado pelaEquação (2.198), ambos em fun-ção do ângulo de lançamento θ eem unidades de v2

0/g.

s =v2

0

g

[sen θ + cos2 θ ln (tg θ + sec θ)

]. (2.198)

Na Figura 2.10 mostramos os gráficos do alcance A e a distância s dadospelas Equações (2.197) e (2.198), respectivamente, em função do ângulo delançamento θ.

Com os exemplos (a), (b) e (c), esgotamos todos os tipos de movimento possí-veis descritos pelas Equações (2.176) e (2.177). É fácil ver que o movimento dadono exemplo (c), que contém os exemplos (a) e (b) como casos particulares, contémtodas as informações dadas pela Equação (2.177) pois, uma vez que o vetor ace-leração é constante, sempre podemos escolher um dos eixos coordenados de modoque sua direção coincida com a do vetor aceleração, bem como podemos escolherum dos outros dois eixos de maneira que os vetores velocidade e posição iniciaisestejam no mesmo plano.


Exemplo 2.11. Considere agora um vetor aceleração cujas componentes são dadaspor

ax = fx(t) = −a0 cos (ωt+ φ) , (2.199)ay = fy(t) = −b0 senωt , (2.200)az = fz(t) = 0 , (2.201)

onde a0, b0 e φ são números reais e ω é um número real positivo. Usando asEquações (2.172), (2.173) e (2.174), as componentes x, y e z do vetor posição numinstante t serão dadas por

x = x0 −a0

ω2cosφ+

(vx0 +

a0

ωsenφ

)t+

a0

ω2cos (ωt+ φ) , (2.202)

y = y0 +

(vy0 −

b0

ω

)t+

b0

ω2senωt , (2.203)

z = z0 + vz0t . (2.204)

Existem vários tipos de movimento que podem ser descritos pelas Equações an-teriores, dependendo dos valores das condições iniciais e de sua relação com asconstantes a0, b0 e φ. Vejamos alguns desses movimentos.

1. Consideremos condições iniciais tais que

y0 = z0 = 0 , vy0 = vz0 = 0 , b0 = 0 , a0 6= 0 ,

x0 =a0

ω2cosφ , vx0 = −a0

ωsenφ . (2.205)

Neste caso, temos exatamente o movimento descrito no exemplo 2.9 da seção2.4.5: um oscilador harmônico que oscila em torno do ponto x = 0 ao longodo eixo OX com período T = 2π/ω e amplitute A = a0/ω

2.

2. Consideremos as mesmas condições iniciais do exemplo (a), exceto que agoravy0 6= 0. Logo, as coordenadas num instante t serão dadas por

x =a0

ω2cos (ωt+ φ) , (2.206)

y = vy0t , (2.207)z = 0 . (2.208)

O vetor aceleração da partícula permanece paralelo ao eixoOX mas, como

Figura 2.11: Trajetória de umapartícula dada pela Equação(2.209).

agora existe uma componente não nula da velocidade ao longo do eixo OY ,o movimento está restrito ao plano OY . A trajetória da partícula não é maisretilínea, como ocorre no exemplo (a), mas segue a Equação

x =a0

ω2cos

(ω

vy0

y + φ

). (2.209)

Na Figura 2.11 mostramos a trajetória de uma partícula que segue as funçõesmovimento (2.206) a (2.207).


3. Considere os seguintes valores dos parâmetros

y0 = z0 = 0 , vz0 = 0 , b0 = a0 6= 0 , vy0 =b0

ω,

x0 =a0

ω2cosφ , vx0 = −a0

ωsenφ . (2.210)

Então, as componentes do vetor posição serão dadas por

x =a0

ω2cos (ωt+ φ) , (2.211)

y =a0

ω2senωt , (2.212)

z = 0 . (2.213)

Comparando estas Equações com as Equações (2.199) a (2.201), podemosescrever

a = −ω2r . (2.214)

Esta é a versão vetorial da Equação (2.83), que é válida para o osciladorharmônico em uma dimensão. A Equação (2.214) é a Equação do movi-mento de um oscilador harmônico tridimensional, que se move em torno deum ponto de equilíbrio estável que coincide com a origem O. As funções-movimento (2.211), (2.212) e (2.213) descrevem completamente o movimentodesse oscilador no caso em que existe uma única frequência ω de oscilação.Neste caso, o oscilador é chamado de oscilador harmônico isotrópico. Em-bora esteja além de nossos objetivos, pode-se mostrar que qualquer sistemaque obedeça à Equação (2.214) só pode descrever trajetórias num plano, demodo que podemos escolher o referencial de tal modo que o plano em que apartícula se move coincida com um dos planos coordenados. Aqui, escolhe-mos o plano OXY .

Figura 2.12: Trajetória de umapartícula dada pela Equação(2.215). A linha azul representauma trajetória onde a0/ω

2 = 1e φ = π/4. As linhas tracejadasvermelha e verde representam oscasos limites onde φ = ±π/2. Alinha pontilhada representa o casoφ = 0.

A Equação da trajetória da partícula é

x2 + y2 + 2xy senφ = r20 cos2 φ , (2.215)

onde

r0 =|a0|ω2

.

A Equação (2.215) é a Equação de uma elipse centrada na origem com semi-eixos A+ e A− cujos valores são dados por

A± =r0| cosφ|√1± senφ

. (2.216)

Na Figura 2.12 mostramos as trajetórias para alguns valores de φ. Para φ =±π/2 a partícula realiza o movimento de um oscilador harmônico simples,com amplitude r0

√2 e período 2π/ω, ao longo de um dos eixos bissetores aos

eixos coordenados, dados pelas retas y = −x e y = x. Para quaisquer outrosvalores de φ a trajetória da partícula é uma elipse. Para φ = 0, a trajetóriaé uma circunferência. Discutiremos este caso com mais profundidade logodepois.


4. Consideremos o caso em que

y0 = z0 = 0 , vz0 6= 0 , b0 = a0 6= 0 , vy0 =b0

ω, x0 =

a0

ω2, vx0 = 0 .

(2.217)As funções movimento da partícula, portanto, assumem a forma

x =a0

ω2cosωt , (2.218)

y =a0

ω2senωt , (2.219)

z = vz0t , (2.220)

e o movimento descrito pela partícula tem exatamente o mesmo aspecto domovimento discutido no exemplo 2.5, onde a partícula realiza uma trajetóriahelicoidal no espaço.

2.5.5 Movimento Circular Uniforme

Consideremos novamente as funções-movimento (2.211) a (2.213). Para φ = 0,vemos que a Equação (2.215) se reduz à Equação de um círculo de raio r0. Con-sideremos a0 > 0. Neste caso, as componentes do vetor velocidade da partículasão

vx = −ωr0 senωt , (2.221)vy = ωr0 cosωt , (2.222)vz = 0 , (2.223)

Para t = 0, a partícula se encontra sobre o eixo OX na posição r = r0 x comvelocidade v = ωr0 y, o que significa que nesse instante a partícula se move nosentido positivo do eixo OY . Para t = π/2ω, a partícula se encontra sobre o eixoOY na posição r = r0 y com velocidade v = −ωr0 x, o que significa que nesseinstante a partícula se move no sentido negativo do eixo OX . No instante t =π/ω, a partícula está novamente sobre o eixo OX só que na posição r = −r0 xcom velocidade v = −ωr0 y, de modo que nesse instante ela se move no sentidonegativo do eixo OY . No instante t = 3π/2ω a posição da partícula é r = −r0 y esua velocidade é v = ωr0 x, de modo que ela se move no sentido positivo do eixoOX e, enfim, no instante t = 2π/ω a partícula está na mesma posição e com amesma velocidade que tinha no instante t = 0. Portanto, a partícula se move numcírculo em sentido anti-horário para a0 > 0 (se a0 < 0, o sentido do movimento éinvertido).

O que dizer do módulo do vetor velocidade, v = |v|? Elevando ao quadradoas Equações (2.221) a (2.223) e depois somando-as, temos

v2 = v2x + v2

y + v2z = ω2r2

0

(sen2ωt+ cos2 ωt

)= ω2r2

0 . (2.224)

Logo, o módulo do vetor velocidade é constante e dado por v = ωr0. Isso quer dizerque a rapidez com que a partícula se move é a mesma qualquer que seja o instantede tempo considerado durante o movimento. O leitor atento deve se lembrar de um


outro movimento que tem essa mesma característica, a de rapidez constante: é omovimento retilíneo uniforme. Contudo, o movimento que estamos discutindo aquiestá longe de ser um MRU, pois este é definido como um movimento no qual ovetor velocidade é um vetor constante, o que não é o caso aqui, como se pode verpelas Equações (2.221) a (2.223). Além do mais, a trajetória do MRU é uma linhareta enquanto a do movimento em questão é uma circunferência. Se o módulo dovetor velocidade é constante neste movimento, o que está mudando então? Sabemosque um vetor é definido por três quantidades: módulo, direção e sentido. Portanto,para que um vetor mude basta que apenas uma dessas quantidades mude de valor.No caso presente, o módulo do vetor velocidade é constante, mas sua direção e seusentido mudam constantemente com o tempo. A este movimento dá-se o nome demovimento circular uniforme (MCU), pois sua trajetória é um círculo e a radidezcom que a partícula a descreve é constante.

Podemos explorar essa semelhança do MCU com o MRU para obter as Equa-ções horárias do MCU em coordenadas polares. Seja θ o ângulo que o vetor posiçãor faz com o vetor x no instante t. Logo, podemos escrever

r = x x + y y

comx = r cos θ e y = r sen θ , (2.225)

e onde r = |r|. Logo, se conhecemos os números r e θ num dado instante, sabemosa posição da partícula nesse instante. r e θ são chamadas de coordenadas polaresda partícula.

Em termos de r e θ, podemos escrever o vetor r também como

r = r ur , (2.226)

onde ur é um vetor unitário definido por

ur = cos θ x + sen θ y . (2.227)

Comparando estas Equações com as Equações (2.211) e (2.212) e considerandoa0 > 0 (sentido anti-horário de rotação), podemos escrever

θ = ωt . (2.228)

Usando esse resultado nas Equações (2.221) a (2.223) poderemos escrever o vetorvelocidade no MCU em termos de r e θ como

v = ωr uθ , (2.229)

onde uθ é o vetor unitário definido por

uθ = −sen θ x + cos θ y . (2.230)

Note queur · uθ = 0 (2.231)


qualquer que seja o valor de θ. Isso significa que ur e uθ, além de vetores unitários,são também ortogonais. Logo, assim como os vetores x e y, os vetores ur e uθpodem ser usados como uma base em termos da qual qualquer vetor no planoOXYpode ser escrito.

As Equações (2.226) e (2.229) dão o vetor posição e o vetor velocidade deuma partícula em MCU em termos das coordenadas polares r e θ ou, equivalente-mente, escritos na base formada por ur e uθ. Note que os módulos dos vetores r e vsão os mesmos em qualquer instante t, já que r e ω são constantes no MCU, mas adireção e o sentido de cada um muda constantemente à medida que o tempo passa.Note também que, pela Equação (2.231), r e v são sempre perpendiculares entre si.

Uma vez que no MCU o sentido de rotação (horário ou anti-horário) nãomuda, a distância percorrida pela partícula num dado intervalo [t1, t2] é igual aocomprimento do arco varrido pela partícula nesse intervalo. De fato, aplicando aEquação (2.137) para o MCU no intervalo [t1, t2], temos

s =

∫ t2

t1

|v|dt = ωr

∫ t2

t1

dt = rω (t2 − t1) . (2.232)

O comprimento do arco varrido pela partícula no mesmo intervalo [t1, t2] é

s = r∆θ = r (θ2 − θ1) . (2.233)

Comparando (2.232) com (2.233), podemos escrever

ω =∆θ

∆t=θ2 − θ1

t2 − t1. (2.234)

Na Equação anterior, ∆θ é a variação angular no intervalo [t1, t2] e ∆t é a duraçãodo intervalo. Comparando a Equação (2.234) com a definição (2.20) para veloci-dade média num intervalo, vemos que elas são matematicamente idênticas, excetoque em (2.234) ∆θ faz o papel que o deslocamento ∆x realiza em (2.20). Baseadosnessa analogia, chamaremos também ∆θ de deslocamento angular.

À semelhança da velocidade média num movimento retilíneo, definiremosa velocidade angular média ω num intervalo como a razão entre o deslocamentoangular e a duração desse intervalo, isto é,

ω =∆θ

∆t=θ2 − θ1

t2 − t1. (2.235)

Definiremos também a velocidade angular instantânea, ou simplesmente veloci-dade angular θ, como o limite da razão dada em (2.235) quando ∆t tende a zero,ou seja,

θ = lim∆t→0

∆θ

∆t=

dθ

dt. (2.236)

Usando a definição de vetor velocidade dada pela Equação (2.123), temos

v =dr

dt= r0

d

dt(cos θ x + sen θ y) = r0

dθ

dt(−sen θ x + cos θ y) = r0θ uθ ,

(2.237)


onde usamos as Equações (2.226), (2.227), (2.230) e (2.236). Comparando esteresultado com a Equação (2.229), concluímos que

θ = ω .

Combinando esta Equação com as Equações (2.235) e (2.234), poderemos definiro MCU da seguinte forma: uma partícula está em MCU no intervalo [t1, t2] se eladescreve um arco de círculo nesse intervalo e sua velocidade angular num instantet ∈ [t1, t2] é igual à sua velocidade angular média no intertalo, quaisquer quesejam os instantes t1 e t2, com t2 > t1. Fazendo t1 = 0, t2 = t e usando a Equação(2.234) temos

θ = θ0 + ωt , (2.238)

onde θ0 é o ângulo no instante t1 = 0 e θ é o ângulo no instante t2 = t. EstaEquação é formalmente idêntica à Equação (2.23) para uma partícula em MRU,com a diferença de que os papéis lá realizados pela posição x e velocidade v sãofeitos aqui pelo ângulo θ e a velocidade angular ω. Enfatizamos mais uma vez queisto não significa que os dois movimentos sejam idênticos, pois o MRU é definidocomo um movimento onde a aceleração da partícula é nula, enquanto o MCU é ummovimento acelerado, como deixamos claro na discussão que fizemos logo após àEquação (2.224).

Vejamos agora a aceleração no MCU. Como no MCU a direção e o sentido dovetor velocidade mudam com o tempo mas não o seu módulo, a partícula está sujeitaà uma acelação que não tem componente na direção do vetor velocidade, ou seja,o vetor aceleração no MCU deve ser sempre perpendicular ao vetor velocidade. Defato, usando as Equações (2.214), (2.226), (2.229) e (2.231), temos

a · v = 0 ,

para qualquer instante de tempo t.

Como o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória, a Equação anteriormostra que o vetor aceleração no MCU é sempre perpendicular à trajetória. Osentido do vetor aceleração é dado pela Equação (2.214). Ele é sempre contrárioao sentido do vetor posição (quando o centro do círculo coincide com a origemdo sistema de coordenadas) o que implica que o vetor aceleração sempre apontapara o centro de curvatura da trajetória que, neste caso, é o centro do círculo. Àaceleração que é sempre perpendicular à trajetória e que aponta sempre para o centrode curvatura da trajetória, dá-se o nome de aceleração centrípeta acp. Usando oconceito de aceleração centrípeta, podemos definir o MCU como: uma partículaestá em movimento circular uniforme quando em qualquer instante de tempo seuvetor aceleração a é igual à aceleração centrípeta acp e o módulo dessa aceleraçãoé uma constante diferente de zero.

Podemos encontrar uma relação muito útil entre a aceleração centrípeta, o raiode curvatura e o módulo do vetor velocidade. Combinando as Equações (2.214) e(2.224) para o caso particular de um MCU, temos

acp = −ω2r ur = −v2

rur . (2.239)


Esta Equação, que diz que a aceleração centrípeta aponta no sentido contrário aoraio vetor, varia com o quadrado da velocidade e com o inverso do raio, pode serconsiderada como a definição de aceleração centrípeta. De fato, embora tenhamosdeduzido a Equação (2.239) apenas para o MCU, ela é aplicável para qualquer traje-tória desde que o raio r e o vetor ur sejam escolhidos de forma apropriada. Faremosisso nesta próxima seção.

2.5.6 Aceleração centrípeta: vetor de curvatura e centro de cur-vatura.

Qualquer que seja a trajetória da partícula, o vetor aceleração em um ponto P datrajetória pode ser escrito como a soma de dois vetores: um na direção do vetorvelocidade, ao qual chamamos de aceleração tangencial at, e o outro perpendicularao vetor velocidade, que chamamos de aceleração centrípepa acp, ou seja,

a = at + acp . (2.240)

Para mostrar que o resultado (2.239) é bem mais geral, consideremos apenasmovimentos num plano, de maneira que o vetor posição da partícula possa ser des-crito apenas em termos das coordenada polares r e θ, de acordo com a Equação(2.226). A Equação da trajetória da partícula tem então a forma

r = R (θ) , (2.241)

onde R é uma função de θ. O domínio de R é a reta real e o contra-domínio éo semieixo real positivo, incluindo o zero, pois a coordenada r dá a distância dapartícula à origem do referencial e, portanto, tem de ser um número positivo. Porexemplo, a Equação (2.215) em coordenadas polares é

r = R (θ) =r0| cosφ|

(1 + senφ sen 2θ)1/2. (2.242)

Consideremos agora o vetor velocidade da partícula numa trajetória descritapela Equação (2.241). Podemos sempre escrever um vetor A qualquer como o pro-duto de seu módulo pelo vetor unitário de mesma direção e sentido que A. Portanto,podemos escrever o vetor velocidade v como

v = v sgn[θ] uv , (2.243)

onde v = |v|, uv é um vetor unitário e

sgn[x] =x

|x|, (2.244)

para x pertencente aos reais. Da Equação (2.243), se o ângulo θ entre o vetorposição da partícula e o vetor x cresce com o tempo, então θ > 0 (a partícula semove no sentido anti-horário) e v = v uv; no caso contrário, θ < 0 (a partícula semove no sentido horário) e v = −v uv.


Para determinar uv, consideremos novamente o vetor posição dado pela Equa-ção (2.226). Usando a Equação (2.241), temos

r = R (θ) ur . (2.245)

Então, o vetor velocidade é

v =dr

dt= θR′ (θ) ur +R (θ) θ uθ = rθ (uθ + ur tg ξ) , (2.246)

onde o ângulo ξ é definido de modo que

tg ξ =d

dθ[lnR (θ)] . (2.247)

Da Equação (2.246), módulo do vetor velocidade pode ser escrito na forma

v = r|θ| sec ξ . (2.248)

Nesta Equação fica evidente que escolhemos o ângulo ξ de tal modo que seu cossenoseja sempre um número positivo, pois o módulo de um vetor (no caso, o vetorvelocidade) não pode ser um número negativo. Logo,

− π

2< ξ <

π

2. (2.249)

Combinando (2.248), (2.246) e (2.243), podemos escrever

uv = ur sen ξ + uθ cos ξ . (2.250)

Para um MCU com centro em O, o módulo do vetor posição é constante, ou seja,R (θ) = r0. Da Equação (2.247) e de (2.249), isso implica sen ξ = 0, de modo que

uv = uθ . (MCU)

Usando a definição (2.162) de vetor aceleração e combinado esta com asEquações (2.243), (2.248) e (2.250), poderemos escrever, após alguma paciênciacom manipulações algébricas,

a =dv

dt= r sec ξ

[(θ + θ

(θ + ξ

)tg ξ)

uv − θ(θ − ξ

)uρ

], (2.251)

onde

ξ = θd2

dθ2[lnR (θ)] cos2 ξ , (2.252)

uρ = ur cos ξ − uθ sen ξ , (2.253)

e θ é a aceleração angular definida como

θ = lim∆t→0

∆θ

∆t=

dθ

dt. (2.254)


Das Equações (2.250) e (2.253) temos

uρ · uv = 0 , (2.255)

para qualquer valor de ξ, de modo que o vetor uρ é um vetor unitário sempre perpen-dicular à trajetória. Logo, o vetor aceleração dado na Equação (2.251) está escritocomo a soma se dois vetores, um paralelo ao vetor velocidade e outro perpendicu-lar ao vetor velocidade. Comparando então as Equações (2.251) e (2.240), podemosescrever

at = r sec ξ[θ + θ

(θ + ξ

)tg ξ]uv , (2.256)

acp = −rθ sec ξ(θ − ξ

)uρ . (2.257)

Discutamos estes resultados para o caso em que a aceleração tangencial é ovetor nulo, isto é, at = 0. Pela Equação (2.256), isto fica garantido se

θ = 0 eθ = −ξ ou tg ξ = 0

. (2.258)

Logo, neste caso, a Equação (2.257) fica

acp = −rθ2 sec ξ uρ . (2.259)

Esta Equação mostra que a aceleração centrípeta aponta sempre no sentido contrárioao vetor uρ e que seu módulo é

|acp| ≡ acp = rθ2 sec ξ .

Podemos então fazer a pergunta: como se comporta o módulo da aceleração cen-trípeta, dado pela Equação anterior, à medida que o tempo passa? Poderemosrespondê-la calculando a derivada de acp em relação ao tempo, que dá

dacpdt

= 2rθ sec ξ[2θ + θ

(θ + ξ

)tg ξ]

= 0 . (2.260)

onde usamos as Equações (2.258). Logo o módulo da aceleração centrípeta acp éuma constante. Um movimento onde a aceleração da partícula é toda centrípetae com o módulo constante é um MCU, como definimos na seção anterior. Pode-mos então afirmar que a condição necessária e suficiente para que um movimentoacelerado seja um MCU é que a aceleração tangencial da partícula seja nula emqualquer instante de tempo. Para o caso especial em que a partícula realiza umMCU com centro na origem do sistema de coordenadas, tg ξ = 0 e θ = 0, o queimplica uρ = ur e

acp = −rθ2ur = −v2

rur , (2.261)

que é exatamente o resultado dado na Equação (2.239).

Podemos extender o resultado anterior (2.261) para qualquer tipo de trajetó-ria num plano, isto é, podemos escrever a aceleração centrípeta num ponto P decoordenadas polares r e θ numa dada trajetória como

acp = −v2

ρuρ , (2.262)


onde ρ é o chamado raio de curvatura da trajetória no ponto P . Comparando asEquações (2.257) e (2.262), temos

ρ =r sec ξ

1− d2

dθ2[lnR (θ)] cos2 ξ

. (2.263)

Vemos que ρ depende unicamente do valor da coordenada θ para um dado pontoP da trajetória, pois tanto r como ξ são determinados por funções de θ segundo asEquações (2.245) e (2.247), respectivamente. Deve-se notar também que, em prin-cípio, ρ pode assumir tanto valores positivos como negativos, dependendo do sinaldo denominador do lado direito da Equação (2.263). Logo, o raio de curvatura ρ nãosignifica necessariamente uma “distância”, pois distâncias devem ser estritamentepositivas. ρ é a componente do vetor de curvatura Rc ao longo da direção definidapelo vetor uρ. Mais precisamente,

Rc = ρuρ , (2.264)

o que implica |Rc| = |ρ|. Combinando as Equações (2.262) e (2.264) pode-mos ainda escrever a aceleração centrípeta como

acp = −ω2 Rc , (2.265)

onde

ω = |θ|∣∣∣∣1− d2

dθ2[lnR (θ)] cos2 ξ

∣∣∣∣ . (2.266)

Figura 2.13: Os vetores posiçãoda partícula, do centro de curva-tura da trajetória e vetor de curva-tura no ponto P .

A Equação (2.265) tem a mesma forma da Equação (2.214), porém, o con-teúdo físico das duas é bastante diferente. A Equação (2.214) relaciona o vetor ace-leração e o vetor posição de uma partícula cujas funções-movimento são dadas pelasEquações (2.211), (2.212) e (2.213). Logo, ela é válida em princípio apenas paraos movimentos que podem ser descritos por essas funções-movimento que, comovimos, levam apenas à trajetórias elípticas, circulares ou retilíneas segundo esque-matizado na Figura 2.12. Já a Equação (2.265) (assim como a Equação (2.262)) é adefinição geral para a componente centrípeta do vetor aceleração (ou simplesmenteaceleração centrípeta) num dado ponto de uma trajetória, qualquer que ela seja. As-sim, a Equação (2.265) é válida para qualquer conjunto de funções-movimento fx,fy e fz de uma partícula, ou seja, para qualquer movimento que ela realize.

Na Equação (2.214), o vetor r é o vetor que liga o pontoO (que é a origem dosistema de coordenadas) ao ponto P (cujas coordenadas dão a posição da partícula).Portando, o vetor r coincide com o segmento de reta OP e seu sentido é de O paraP . Portanto, na Equação (2.265), podemos interpretar o vetor Rc como sendo ovetor que liga um dado ponto Oc ao ponto P , ou seja, o vetor que coincide comosegmento de reta OcP e cujo sentido é de Oc para P . Portanto, se rc é o vetor cujascomponentes dão as coordenadas de Oc, então a relação entre rc, o vetor posição rda partícula e o vetor de curvatura Rc no ponto P é dada por

r = rc + Rc , (2.267)


conforme esquematizado na Figura 2.13. Combinando as Equações (2.226), (2.227),(2.230), (2.253), (2.264) e (2.267) poderemos escrever o vetor rc em coordenadascartesianas como

rc = xc x + yc y ,

onde

xc = r cos θ − ρ cos (θ − ξ) , (2.268)yc = r sen θ − ρ sen (θ − ξ) . (2.269)

Ao ponto Oc damos o nome de centro de curvatura da trajetória da partículano ponto P . As Equações anteriores dão exatamente as coordenadas xc e yc docentro de curvatura Oc em relação aos eixos OX e OY , respectivamente, para umdado ângulo θ (lembre-se que r, ρ e ξ dependem apenas de θ). Vemos, portanto,que para cada ponto de uma trajetória qualquer podemos associar um único centrode curvatura Oc cujas coordenadas são dadas pelas Equações (2.268) e (2.269) oque, em geral, implica que existe um número infinito de centros de curvatura parauma dada trajetória. A exceção é o círculo, que possui um único centro de curvaturaque coincide com o seu centro geométrico. De fato, consideremos uma trajetóriacircular tal que

R (θ) = r0 ,

onde r0 é uma constante. Logo, pela Equação (2.247) temos

ξ = 0 ,

o que implica, pela Equação (2.263), em

ρ = r0

para qualquer ponto P da trajetória. Usando esses resultados nas Equações (2.268) e(2.269), teremos xc = 0 e yc = 0, de maneira que o centro de curvaturaOc coincidecom a origem do sistema de coordenadas para qualquer ponto P da trajetória.

Podemos agora dar uma interpretação bastante simples para os conceitos decentro de curvaturaOc, raio de curvatura ρ e vetor de curvatura Rc num dado pontoP de uma trajetória: se colocarmos uma partícula no ponto P se movendo apenassob uma aceleração centrípeta acp cujo valor nesse ponto é dado pela Equação(2.265), então ela realizará um MCU cuja trajetória é um círculo de raio |ρ| ecentroOc e cuja velocidade angular ω é dada pelo seu valor no ponto P segundo aEquação (2.266).

2.6 Conclusões

Neste capítulo nós aprendemos os conceitos básicos sobre o movimento. Vimosque para a descrição de qualquer movimento precisamos antes de tudo definir umreferencial em relação ao qual as medidas de posição e tempo são realizadas. De-mos então uma definição de movimento a partir do conhecimento da posição da


partícula em cada instante de tempo dentro de um intervalo de interesse, e ao con-ceito matemático que contém toda a informação sobre o movimento nós chamamosde funções-movimento que, por definição, são as funções que para cada instante detempo fornecem a posição da partícula. Dedicamo-nos então ao estudo de movi-mentos ao longo de uma reta, aos quais demos o nome de movimentos retilíneos, edefinimos as quantidades derivadas da função-movimento, a função-velocidade e afunção-aceleração, com as quais obtemos a velocidade e a aceleração da partículapara cada instante de tempo. Essas quantidades estão associadas a conceitos comorapidez e sentido de um movimento num dado instante. Estudamos então algunsmovimentos retilíneos especiais, o MRU e o MRUV, e discutimos alguns outrosmovimentos, como o oscilador harmônico e o movimento retilíneo sob a ação deum fluido viscoso, a partir do conhecimento das funções-aceleração corresponden-tes. Nesse estudo, discutimos o papel das condições iniciais na determinação dosmovimentos compatíveis com uma dada função-aceleração.

Finalizado o estudo das características básicas de movimentos retilíneos, es-tendemos todos os conceitos e definições aprendidos para esses movimentos aosmovimentos em 2 e 3 dimensões. Definimos os conceitos de vetor posição, vetorvelocidade e vetor aceleração, bem como a relação desses vetores com as funções-movimento, funções-velocidade e funções-aceleração, respectivamente. A partirdas funções-movimento, aprendemos a como obter as Equações da trajetória deuma partícula e a como calcular a distância total percorrida via uma integral detrajetória. Por fim, discutimos alguns exemplos de movimentos no plano, comoo lançamento de projétéis e movimentos de trajetória elíptica, enfatizando o casoespecial do MCU. Com o estudo das propriedades deste último, introduzimos osconceitos de aceleração tangencial e aceleração centrípeta e, estendendo sua apli-cação para quaisquer trajetórias num plano introduzimos os conceitos de centro decurvatura e raio de curvatura num dado ponto da trajetória.

Agora que estamos munidos das ferramentas fundamentais à descrição cine-mática do movimento, estamos prontos para discutir o movimento num nível maiscompleto e profundo. Estudaremos, neste próximo capítulo, o movimento sob oponto de vista da Dinâmica, cujos pilares são as três Leis de Newton.

Capítulo 3

As Leis de Newton e AplicaçõesNeemias Alves de Lima

Por que os corpos começam a se mover? O que faz com que a velocidade de umcorpo aumente ou a direção de seu movimento seja alterada? A teoria que descreveestes fenômenos é a mecânica clássica, ou simplesmente mecânica. Ela foi fun-dada por Galileo e Newton e aperfeiçoada por seus seguidores, notavelmente porLagrange e Hamilton. O sucesso da teoria clássica vai desde a descrição acurada dadinâmica de objetos de cada dia até o entendimento detalhado dos movimentos dasgaláxias.

3.1 A lei da inércia

Galileo (1544-1642) foi o primeiro a desenvolver uma abordagem quantitativa parao estudo do movimento. Ele procurou responder perguntas tais quais - que proprie-dade do movimento de um objeto está relacionada à força? É a sua posição? É a suavelocidade? Ou é a taxa de variação da velocidade? A resposta a esta questão podeser obtida apenas a partir de observações; este é um fator básico que separa a físicada filosofia propriamente dita. Galileo observou que a força influencia a variaçãona velocidade (aceleração) de um objeto e que, na ausência de forças externas (porexemplo, atrito), nenhuma força é necessária para manter um objeto em movimentoem uma linha reta com velocidade constante. Esta lei básica observável é chamadade lei da inércia. É, talvez, difícil para nós apreciarmos o impacto das novas idéiasde Galileo concernente ao movimento. O fato que um objeto em repouso em umasuperfície horizontal permanece em repouso a menos que algo que nós chamamosde força é aplicada para mudar seu estado de repouso era, naturalmente, bem co-nhecido antes da época de Galileo. Entretanto, o fato de um objeto continuar a semover após a força deixar de ser aplicada gerou dificuldades conceituais conside-ráveis para os filósofos antigos. A observação que, na prática, um objeto alcança orepouso devido às forças de atrito e da resistência do ar foi reconhecido por Galileocomo sendo um efeito colateral, e não o centro da questão fundamental do movi-mento. Aristóteles, por exemplo, acreditava que o estado natural do movimento erao de repouso. É instrutivo considerar a conjuntura de Aristóteles a partir do pontode vista do Princípio da Relatividade: as leis de movimento tem a mesma forma em

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Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 99

todos sistemas de referência que se move com velocidade constante em uma linhareta com respeito uns aos outros.

Durante seus primeiros vinte anos, Newton postulou três leis do movimentoque forma a base da mecânica clássica. Ele usou elas para resolver uma grandevariedde de problemas incluindo a dinâmica de planetas. As leis do movimento,primeiro publicados na Principia em 1687, desempenha um papel fundamental nateoria de Newton da Gravitação; apresentaremos elas a seguir.

3.2 A primeira Lei de Newton

Tradução da primeira lei do latim para o português:

“Lei I. Todo corpo permanece em estado de repouso, ou de mo-vimento uniforme em linha reta a menos que seja compelido a mudaresse estado em virtude de forças exercidas sobre ele.”

Esta lei é conhecida como a lei da inércia, porque “inércia” significa resis-tência a uma mudança, e a lei afirma que um objeto tende naturalmente a manter avelocidade vetorial que tiver.

Se ~F1, ~F2, etc, representam as forças individuais exercidas sobre um objeto,definimos a força resultante como∑

~F = ~F1 + ~F2 + ~F3 + · · · , (3.1)

e lembrando que a variação da velocidade ~v do objeto em relação ao tempo é a suaaceleração, a primeira de lei de Newton pode ser enunciada da seguinte forma:

“1a lei de Newton: Se a força resultante sobre um objeto é zero(∑ ~F = 0), então a aceleração do objeto é zero (~a = 0).”

3.2.1 Sistemas inerciais de referência

Um ponto importante que deve ser dito acerca da primeira lei de Newton é que elanão é válida para qualquer sistema de referência, isto é, para qualquer observador.Consideremos uma caixa depositada em uma calçada. Há duas forças atuando sobreela: a força gravitacional ~FT exercida pela Terra, e uma força igual e oposta ~FCexercida pela calçada. A força resultante sobre a caixa é zero:

∑ ~F = 0. A primeiralei de Newton afirma que a aceleração da caixa é zero porque a força resultante ézero. A aceleração é realmente zero? A resposta depende do sistema de referênciautilizado para medir a aceleração.

Se escolhermos um sistema de referência fixo na calçada, então a caixa estáem repouso, de modo que sua aceleração é zero. Mas se escolhermos um sistema dereferência fixo a um carro que se move com aceleração em relação à calçada, entãoa aceleração da caixa não é nula. Concluímos assim que a primeira lei de Newton é


válida para um sistema de referência fixo na calçada, mas não o é para um sistemafixo ao carro.

É esta característica que nos leva a definir um tipo especial de sistema dereferência chamado de sistema inercial de referência.

“Um sistema inercial de referência é um sistema em que a primeiralei de Newton é válida ou seja, um sistema em relação ao qual ~a = 0para qualquer objeto com

∑ ~F = 0.”

Esta definição implica que qualquer sistema que se mova com velocidadeconstante em relação a um sistema inercial é também um sistema inercial e, con-sequentemente, qualquer sistema que acelere em relação a um sistema inercial dereferência é um sistema não-inercial.

Um sistema de referência que usaremos constantemente para estudar a dinâ-mica de um objeto na superfície da Terra é um com origem fixo em relação a umponto próximo à superfície da Terra e eixos cartesianos fixos em relação à horizontale à vertical.

Como sabemos, a Terra completa um giro sobre seu eixo em um dia, e com-pleta uma revolução em torno do Sol em um ano. Em virtude do movimento derotação da Terra em torno de seu eixo, um sistema de referência fixo em sua super-fície na linha do equador tem uma aceleração de 0,034 m/s2 dirigida para o centroda Terra, e em razão do movimento orbital, o centro da Terra tem uma aceleração de0,006 m/s2 dirigida para o Sol. Como essas acelerações são pequenas, seus efeitoscostumam ser insignificantes quando usamos as leis de Newton para estudar muitassituações que ocorrem na superfície terrestre. Portanto, admitiremos como uma boaaproximação que um sistema de referência fixo na superfície da Terra é um sistemainercial de referência.

Aristóteles acreditava que o estado natural do movimento era o de repouso. Éinstrutivo considerar a conjuntura de Aristóteles a partir do ponto de vista do Prin-cípio da Relatividade: as leis de movimento tem a mesma forma em todos sistemasde referência que se move com velocidade constante em uma linha reta com res-peito uns aos outros. É o estado natural de repouso consistente com o princípiogeral da Relatividade? Um observador em um sistema de referência movendo comvelocidade constante em um linha reata com respeito ao sistema de referência naqual o objeto está em repouso poderia concluir que o estado natural do objeto é umde velocidade constante em uma linha reta, e não o de repouso. Todos observado-res inerciais, em um número infinito de sistemas de referência, chegariam a mesmaconclusão. Vemos, portanto, que a conjuntura de Aristóteles não é consistente comeste Princípio Fundamental.

3.3 A segunda Lei de Newton

A tradução da segunda lei de Newton do latim para o português é:

Lei II. A variação do movimento é proporcional à força motriz im-primida e atua na direção da reta segundo a qual a força é dirigida.”


Na nossa linguagem atual “movimento” é o que chamamos de “momentolinear”, o produto da massa do objeto por sua velocidade, ~p = m~v, e “força motriz”é a “força resultante”,

∑ ~F . Assim a segunda lei de Newton afirma que:∑~F =

d~p

dt. (3.2)

Se supormos que a massa do objeto em estudo é constante segue que:

d~p

dt=

d

dt(m~v) = m

d~v

dt= m~a, (3.3)

e portanto temos o famoso enunciado da 2a lei de Newton:

∑~F = m~a. (3.4)

De acordo com esta equação, para uma dada força resultante, um objeto commaior massa terá menor aceleração. A massa é a propriedade de um objeto que fazcom que ele resista a qualquer variação de sua velocidade vetorial. Como inérciasignifica resistência a uma variação, a massa que aparece na definição da segundalei de Newton é também chamada de massa inercial.

A segunda lei de Newton proporciona uma definição do conceito de força:força é o que faz com que um objeto acelere. Se existe apenas uma força atuandosobre um objeto, então a aceleração do objeto em relação a um sistema de referên-cia inercial é proporcional ao módulo da força e tem a mesma direção desta. NoSistema Internacional de Unidades (SI) a unidade de força é o “newton” (N), cujadefinição a partir da Equação (3.4) é:[∑

~F]

= [m~a] = 1 kg ·m/s2 ≡ 1N (3.5)

Se um objeto de massa 1 kg tem uma aceleração de 1 m/s2 em relação a umsistema de referência inercial, então a força resultante exercida sobre o objeto éde 1 N. Podemos usar essa definição para calibrar instrumentos destinados a medirforças.

Enfim, comparando a primeira com a segunda lei de Newton, você pode serinduzido a concluir qeu a primeira lei é simplesmente um caso particular da se-gunda lei. Como

∑ ~F = m~a, segue-se que ~a = 0 quando∑ ~F = 0. Entretanto,

utilizamos a primeira lei para definir o tipo de sistema de referência em relação aoqual deve ser medida a aceleração na segunda lei de Newton, ou seja, um sistemade referência inercial. Com esta interpretação, a primeira lei define sistemas de re-ferência inerciais e dá um critério para determinar se um sistema de referência éinercial.

Podemos também usar a Equação (3.4) para comparar massas com a massapadrão e, portanto, medir massas. Suponha que aplicamos uma força resultante∑ ~F sobre um objeto de massa conhecidam1 e achamos uma aceleração de módulo


a1. Podemos a seguir aplicar a mesma força a um outro objeto de massa m2 e acharuma aceleração de módulo a2. Então, e acordo com a Equação (3.4),

m1a1 = m2a2

m2

m1

=a1

a2

(mesma força resultante) (3.6)

Ou seja, para a mesma força resultante, a razão entre as massas é o inverso darazão entre as acelerações. Embora possamos usar este procedimento para mediruma massa desconhecida m2, é mais prático determinar a massa indiretamente pelamedida do peso do corpo.

3.4 A terceira Lei de Newton

A tradução do latim para o português da terceira lei de Newton é:

“Lei III. A toda ação se opõe uma reação igual; ou, as ações mú-tuas de um corpo sobre outro têm sempre direções opostas.”

Suponhamos que os objetos a e b exercem forças um sobre o outro; ~Fab éforça exercida por a sobre b, e ~Fba é a força exercida por b sobre a. A terceira lei deNewton afirma que essas duas forças são iguais e opostas, ou

~Fab = −~Fba (3.7)

Ou seja, se o objeto b exerce uma força sobre o objeto a, então o objeto aexerce sobre b uma força igual e oposta. As forças ocorrem em pares, não podeexistir uma força solitária.

As duas forças ~Fab e ~Fba costumam ser chamadas par ação-reação. Uma dasforças é chamada força de ação e a outra, força de reação. É arbitrário dizer qualdelas é a ação e qual é a reação.

Algumas Forças EspeciaisPara aplicarmos as leis de Newton na resolução de vários problemas de me-

cânica precisamos definir algumas forças básicas. Hoje sabemos que todas as di-ferentes forças observadas na natureza podem ser explicadas a partir das quatrointerações básicas que ocorrem entre partículas elementares: 1) A força gravitaci-onal responsável pela atração mútua entre os corpos; 2) A força eletromagnéticaentre as cargas elétricas; 3) A força nuclear forte entre partículas subatômicas; e4) A força nuclear fraca entre partículas subatômicas durante um certo processo dedecaimento radioativo. As forças que observamos no nosso dia a dia entre objetosmacroscópicos são devidas às forças gravitacionais ou às forças eletromagnéticas.


3.5 A Força da Gravidade: O Peso

Quando um objeto está em queda livre próximo a superfície da Terra, a única forçaque atua sobre ele é a força gravitacional ~Fg que a Terra exerce sobre o objeto.Assim, na queda livre, a força resultante é igual à força gravitacional:

∑ ~F = ~Fg, eaplicando a segunda lei de Newton,

∑ ~F = m~a, obtemos que

~Fg = m~g (3.8)

onde g ' 9, 8 m/s2 é o módulo da aceleração do objeto medido a partir de umsistema de referência inercial. A experiência mostra que qualquer objeto em quedalivre em determinado lugar tem a mesma aceleração que qualquer outro objeto emqueda livre no mesmo lugar. Isto é, ~g é independente da massa do objeto.

A definição de peso ~P de um objeto de massa m é:~P = m~g∗ (3.9)

onde ~g∗ é aceleração da queda livre do objeto medida em relação ao sistema dereferência da pessoa que toma a medida. Isto significa que o peso de um objetoé proporcional a sua massa e depende do sistema de referência em que é feita amedida. Também, esta definição corresponde à leitura de uma balança de molaem qualquer sistema de referência, quer o sistema seja inercial ou não-inercial. Sóquando a medida de um peso é feita em um sistema de referência inercial é quetemos ~P = ~Fg, uma vez que só neste caso temos ~g∗ = ~g. Nesta disciplina faremossempre uso da aproximação de que um sistema na superfície da Terra é um sistemade referência inercial, assim ~P = m~g quando o peso for medido a partir de umponto fixo ou que se desloca com velocidade constante em relação à superfície daTerra.

3.6 Forças de Contato

As forças de contato estão tão presentes em nosso cotidiano, que é praticamenteindispensável a compreensão do seu comportamento. Um efeito óbvio das forçasde contato é impedir que os objetos se interpenetrem. A interação fundamental res-ponsável por esta forças é a força eletromagnética entre átomos e moléculas. Nestenível microscópico, as forças de contato envolvem muitas partículas, são muitocomplexas e ainda não conhecidas completamente. Felizmente, o comportamentomacroscópico de tais forças é muito mais simples.

Há uma forma conveniente de descrever as forças de contato entre superfíciesplanas de dois sólidos. O método envolve a decomposição de uma força de contatoem duas forças - uma paralela à superfície de contato e a outra perpendicular a ela -tratando cada uma delas como uma força separada.

3.6.1 A Força Normal

Se você ficar em pé em um colchão a Terra o puxará para baixo, mas você nãoafundará no colchão além de um limite. Isso acontece porque o colchão se deforma


com o seu peso e empurra você para cima. Da mesma forma acontece quando vocêestá sobre o piso, ele se deforma ainda que você não perceba a olho nú, e o empurrapara cima. O empurrão exercido pelo colchão ou pelo piso é uma força normal ~N .O nome vem do termo matemático normal, que significa perpendicular. A força queo piso exerce sobre você é perpendicular à superfície do piso.

“Quando um corpo exerce uma força sobre uma superfície, a super-fície (ainda que aparentemente rígida) se deforma e empurra o corpocom uma força normal ~N que é perpendicular à superfície.”

3.6.2 A Força de Atrito

Quando um corpo está em movimento ou em uma superfície ou em um meio viscosotal como o ar ou água, existe resistência ao movimento porque o corpo interage comsua vizinhança. Chamamos esta resistência como força de atrito. Forças de atritosão muito importantes na nossa vida cotidiana. Elas permitem-nos caminhar oucorrer e são necessárias para o movimento dos veículos automotivos. A força deatrito é a componente paralela da força que uma superfície ou meio exerce sobreum objeto com o qual está em contato.

Consideremos um livro sobre uma mesa. Se aplicarmos uma força horizontal~F no livro, o livro permanece em repouso se ~F não é suficientemente grande. Aforça ~Fat,e que contrabalanceia ~F e mantém o livro parado é chamada de força deatrito estática. Experimentos mostram que esta força surge a partir dos pontos decontato entre a superfície do livro e a superfície da mesa.

Se aumentarmos a intensidade de ~F , a intensidade da força ~Fat,e também au-mentará mantendo o livro em repouso no mesmo lugar. A força ~Fat,e não pode con-tinuar aumentando para sempre, entretanto. Eventualmente a superfície de contatonão poderá mais suprir força de atrito suficiente para contrabalancear ~F , e o livroentra em movimento. No instante em que o livro entra em movimento ~Fat,e atingiuseu valor máximo. Os dados experimentais mostram que ~Fat,emax é proporcional aomódulo N da força normal exercida por uma superfície sobre a outra:

Fat,emax = µeN (3.10)

onde a constante adimensional µe (pronuncia-se: “mi, índice e”), chamada de coefi-ciente de atrito estático, depende da natureza das superfícieis em contato. Em geral,pode-se escrever

Fat,e ≤ µeN. (3.11)

Quando ~F excede ~Fat,emax, o livro é acelerado na direção da força ~F . Uma vez emmovimento, chamamos a força de atrito de força de atrito cinética ~Fat,c. Em muitoscasos verifica-se experimentalmente que o módulo da força de atrito cinético Fat,cé proporcional ao módulo N da força normal. Em tais casos, podemos escrever

Fat,c = µcN (3.12)

onde µc é o coeficiente de atrito cinético que, como µe, depende da natureza dassuperfícies de contato. µc é em geral menor do que µe e é constante para velocidades


na faixa de aproximadamente 1 cm/s até vários metros por segundo - as únicassituações que consideraremos nos nossos estudos. Valores típicos de µe e µc estãoentre 0,03 e 1,0.

Atrito de rolamento

Sabemos que é mais fácil mover uma geladeira sobre um carrinho com rodas doque arrastá-lo pelo piso. Mas, quanto mais fácil? Podemos definir um coeficientede atrito de rolamento µr como a força necessária para um deslocamento com ve-locidade constante sobre uma superfície plana dividida pela força normal de baixopara cima exercida pela superfície. Os engenheiros de transportes chamam µr deresistência de tração. Valores típicos de µr são de 0,002 a 0,003 para rodas de açosobre trilhos de aço e 0,01 e 0,02 para pneus de borracha sobre concreto. Esses va-lores mostram o motivo pelo qual um trem que se desloca sobre trilhos gasta muitomenos combustível do que um caminhão em uma auto-estrada.

3.6.3 Tração

Quando uma corda, um fio, cabo ou outro objeto do mesmo tipo, é presa a umcorpo e então esticada, surge uma força ~T orientada ao longo da corda. Essa forçaé chamada de força de tração porque a corda está sendo tracionada (puxada). Atensão da corda é o módulo T da força exercida sobre o corpo.

Uma corda é frequentemente considerada sem massa (ou de massa desprezívelem comparação com a massa do corpo ao qual está presa) e inextensível (isto é, elanão se estica, mudando de comprimento). Assim a corda apenas serve para ligardois corpos.

3.6.4 Força de Arraste

Se você coloca sua mão para fora da janela de um carro que se move com altavelocidade, você se dá conta de que existe uma força que o ar exerce sobre umcorpo que se move através dele. O que acontece é que o corpo que se move exerceuma força sobre o fluido para afastá-lo de seu caminho. Pela terceira lei de Newton,o fluido exerce sobre o corpo uma força igual e contrária.

A força da resistência de um fluido, ou força de arraste, possui direção e sen-tido sempre contrários aos da velocidade do corpo em relação ao fluido. O módulodesta força normalmente cresce com a velocidade do corpo através do fluido. Parabaixas velocidades, a força de arraste é aproximadamente proporcional à veloci-dade do corpo; para velocidades mais altas, ela é aproximadamente proporcional aoquadrado da velocidade.

Partículas em EquilíbrioNesta e nas próximas duas aulas vamos aplicar as leis de Newton para resolver

vários problemas de partículas em equilíbrio e de dinâmica de partículas.


Embora as leis de Newton possuam formas muito simples, a sua aplicação emsituações específicas pode apresentar grandes desafios. Três princípios úteis parasolução de quaisquer problemas referentes às leis de Newton são:

1. A primeira e a segunda leis de Newton se aplicam a um corpo específico.Portanto, você precisa definir logo de início o corpo sobre o qual você estáfalando.

2. Só importam as forças que atuam sobre o corpo. Portanto, depois de esco-lher o corpo a ser analisado, você deve identificar todas as forças que atuamsobre ele. Não confunda as forças que atuam sobre esse corpo com as forçasexercidas por ele sobre os outros corpos.

3. Os diagramas do corpo livre são essenciais para ajudar a identificar as forçasrelevantes. Um diagrama de corpo livre é um diagrama que mostra o corpoescolhido ‘livre’ das suas vizinhanças, com vetores desenhados para mostraro módulo, a direção e o sentido de todas as forças que atuam sobre o corpo eque são resultantes de vários outros corpos que interagem com ele.

Estes princípios são a essência das seguintes técnicas de resolução de proble-mas.

3.7 Técnicas de Resolução de Problemas

A segunda lei de Newton,∑ ~F = m~a, constitui o princípio fundamental para a

resolução de um problema. Como a segunda lei de Newton é uma relação vetorialpodemos separar-la em suas componentes. Em duas dimensões temos:∑

Fx = max∑

Fy = may (3.13)

Cada componente origina uma equação que pode ser utilizada em um problema.Uma vez escrito a segunda lei em termos de suas componentes, temos o seguintealgoritmo útil para a resolução de problemas:

1. Desenhe um modelo idealizado do sistema para ajudar a conceitualizar o pro-blema.

2. Categorize o problema: se qualquer componente i = x, y da aceleração ézero, a partícula está em equilíbrio naquela direção e

∑Fi = 0. Caso contrá-

rio, a partícula está acelerada, e portanto o problema é de não-equilíbrio nestadireção, e

∑Fi = mai.

3. Analise o problema isolando o objeto cujo movimento será analisado. Dese-nhe um diagrama de corpo-livre para o objeto. Para sistemas contendo maisde um objeto, desenhe diagramas de corpo-livre separados para cada objeto.Não inclua no diagrama de corpo-livre forças exercidas pelo objeto na suavizinhança. Dica: Use símbolos para cada grandeza utilizando uma notaçãoque facilite a memorização da grandeza.


4. Escolha um eixo de coordenadas coveniente para cada objeto e encontre ascomponentes das forças ao longo dos eixos. Os eixos devem ser escolhidosde modo a simplificar os cálculos subsequentes. Aplique a segunda lei deNewton na forma de componentes, Equação (3.13).

5. Resolva as equações de componentes para as quantidades desconhecidas. Re-lembre que você deve ter tantas equações independentes quanto o número dequantidades desconhecidas para obter uma solução completa.

6. Finalize verificando se seus resultados são consistentes com o diagrama decorpo-livre. Também verifique as predições de suas soluções para valores li-mites das variáveis. Fazendo assim, você pode frequentemente detectar errosem seus resultados.

3.8 Partículas em Equilíbrio

Vamos aplicar as técnicas que acabamos de apresentar na resolução de um problemaque envolve partículas em equilíbrio. Um corpo está em equilíbrio quando está emrepouso ou em movimento retilíneo uniforme em um sistema de referência inercial.Uma lâmpada suspensa, um avião voando em linha reta a uma velocidade constantesão alguns exemplos.

Exemplo 3.1. Blocos de granito estão sendo retirados de uma pedreira e trans-portados para cima de um plano inclinado de 15o. Por razões ambientais, o barrotambém está sendo despejado na pedreira para preencher buracos antigos. Para

Figura 3.1: Balde cheio de barropuxa carrinho com bloco de gra-nito.

simplificar o processo, você projeta um sistema no qual o bloco de granito sobreum carrinho com rodas de aço (peso p1, incluindo o bloco e o carrinho) é puxadopara cima sobre trilhos de aço por um balde cheio de barro (peso p2, incluindoo barro e o balde) que cai verticalmente para o interior da pedreira (Figura 3.1).Desprezando o peso do cabo e os atritos na polia e nas rodas, determine a relaçãoentre os pesos p1 e p2 para que o sistema se mova com velocidade escalar constante.Retirado da referência [5]:

Vamos resolver este problema seguindo passo a passo o algoritmo de “técni-cas de resolução de problemas”:

Figura 3.2: Modelo idealizado dosistema.

1. Desenhe um modelo idealizado para o sistema, como mostrado na Figura3.2.

2. O problema é de equilíbrio de partículas ou de dinâmica de partículas? Ocarrinho e o balde se movem com uma velocidade constante (ou seja, em li-nha reta e com velocidade escalar constante), logo cada corpo está em equi-líbrio e podemos aplicar para cada um deles a primeira lei de Newton:∑

Fx = 0∑

Fy = 0 (3.14)

3. (e .4) Construa diagrama(s) de corpo-livre para o(s) objeto(s) relevantes paraa solução do problema. Os objetos relevantes são o balde e o carrinho. Os


diagramas de corpo-livre são respectivamente apresentados na Figura 3.3 eFigura 3.4:

Figura 3.3: Diagrama do corpo li-vre para o balde.

Observe que o problema implicitamente despreza a força de atrito, o enun-ciado diz que o carrinho tem rodas de aço e está sobre trilhos de aço!!! Revise aseção sobre força de atrito na aula anterior.

5. Resolva as equações de componentes para as quantidades desconhecidas.Para o carrinho temos pela primeira lei de Newton, Equação (3.14):

Figura 3.4: Diagrama do corpo li-vre para o carrinho.

∑Fx = T + (−p1 sin 15o) = 0 logo T = p1 sin 15o (3.15)

Para o balde: ∑Fy = T + (−p2) = 0 logo p2 = T (3.16)

Substituindo a Equação (3.15) na Equação (3.16) obtemos que:

p2 = p1 sin 15o = 0, 26p1 (3.17)

6. Concluímos portanto que o peso do balde com barro é apenas cerca de 26%do peso do carrinho com o granito quando o sistema está equilíbrio. O queaconteceria se p2 > 0, 26p1? E se p2 < 0, 26p1? Observe que nem precisa-mos usar

∑Fy = 0 para o carrinho com o bloco; isso seria útil apenas para

obter o valor da força normal n. Você é capaz de mostrar que n = p1 cos 15o?

Dinâmica das PartículasNesta aula aplicaremos os princípios e técnicas de resolução de problemas

que aprendemos na aula anterior para resolver problemas de dinâmica de partículas.Nestes casos, a força resultante sobre um corpo é diferente de zero e, portanto,elenão está em equilíbrio; mas sim em aceleração. A força resultante, dada pela Se-gunda Lei de Newton, sobre o corpo é igual ao produto da massa pela aceleraçãodo corpo: ∑

~F = m~a (3.18)

Figura 3.5: Um frasco de leite euma bandeja sendo empurrados.

Como comentamos na aula anterior, usaremos esta relação na forma dos com-ponentes: ∑

Fx = max∑

Fy = may (3.19)

Exemplo 3.2. Você empurra uma bandeja de 1,0 kg pelo balcão do refeitório comuma força constante de 9,0 N. Conforme a bandeja se move, ela empurra um frascode leite de 0,50 kg (Figura 3.5). A bandeja e o frasco deslizam sobre uma superfíciehorizontal que está tão encerada que o atrito é desprezível. Calcule a aceleraçãoda bandeja e do frasco e a força horizontal que a bandeja exerce sobre o frasco.Retirado da referência [5].


Para se resolver um problema antes de qualquer coisa temos que ter em mentequais as variáveis que se quer conhecer. Neste caso elas são a aceleração da ban-deja e a força horizontal que a bandeja exerce sobre o frasco. Estas variáveis estãorelacionadas com a segunda lei de Newton, Equação (3.19). Seguindo o algoritmode “técnicas de resolução de problemas” dado na aula anterior, temos que o pri-meiro passo para resolver o problema é construir o diagrama de corpo livre paracada um dos objetos envolvidos.

Figura 3.6: Diagrama de corpo li-vre para o frasco de leite.

O diagrama de corpo livre para o frasco de leite (FL) é apresentado na Figura3.6.

Figura 3.7: Diagrama de corpo li-vre para a bandeja.

Note que as acelerações do frasco de leite e da bandeja são iguais! As equa-ções do componente x da segunda lei de Newton para a bandeja e para o frascosão:

Frasco :∑

Fx = FB em FL = mFLax (3.20)

Bandeja :∑

Fx = F − FFL em B = F − FB em FL = mBax (3.21)

São duas equações simultâneas para as duas variáveis que queremos determinar:ax e FB em FL. (Duas equações e duas incógnitas... é fácil demais!!!) Substituindoa Equação (3.20) na Equação (3.21) podemos obter a aceleração:

F −mFLax = mBax (3.22)

ax =F

mB +mFL

=9, 0 N

1, 0 kg + 0, 50 kg= 6, 0 m/s2. (3.23)

Então, substituindo este valor na Equação (3.20) obtemos que:

FB em FL = mFLax = (0, 50 kg)(6, 0 m/s2) = 3, 0 N.

O Sears&Zemansky [5] apresenta um segundo método para se resolver este pro-blema. Vale a pena conferir!

Dinâmica do Movimento Circular UniformeO movimento circular uniforme (ou aproximadamente) é comum na natureza

e em engenhos mecânicos. Exemplos são as órbitas dos planetas em torno do Sol eo movimento de engrenagens, roldanas e rodas. Desde que neste tipo de movimentoa direção da velocidade varia, embora seu módulo seja constante, a partícula possuiuma aceleração que aponta sempre para o centro do círculo, vimos isto na aula x deCinemática, cujo módulo é:

arad =v2

R(3.24)

(movimento circular uniforme)


O índice inferior “rad” é um lembrete de que a aceleração da partícula é sem-pre orientada para o centro do círculo de raio R, perpendicular à velocidade instan-tânea. Por isto que esta aceleração é chamada de aceleração centrípeta.

Pela segunda lei de Newton se uma partícula está acelerada é porque ela estásujeita a uma força resultante que aponta na mesma direção da aceleração. Não édiferente no caso do movimento circular uniforme, como

∑ ~F = m~a e ~a apontapara o centro do círculo e possui um módulo v2/R,

∑ ~F também aponta para ocentro do círculo e seu módulo é∣∣∣∑ ~F

∣∣∣ = marad = mv2

R. (3.25)

Assim como a aceleração, esta força resultante dirigida para o centro do cír-culo é chamada de força centrípeta (Figura 3.8). Note-se que a expressão “forçacentrípeta” não se refere a qualquer tipo de interação, como é o caso com a forçagravitacional ou uma força elétrica; indica simplesmente que a força resultante édirigida para o centro do movimento circular, sem nenhuma referência a origem detal força.

Figura 3.8: Em um movimentocircular uniforme, tanto a acelera-ção, como a força resultante sãoorientadas para o centro do cír-culo.

Em alguns casos, é fácil identificar a fonte da força centrípeta, como quandoum aeromodelo preso por um fio-guia voa em um círculo horizontal. A unica forçaque puxa o avião para dentro é a tração do fio, logo esta força sozinha (ou umacomponente dela) é a força centrípeta. Quando um carro se move com velocidadeescalar constante em uma curva sem inclinação lateral, a força centrípeta que man-tém o carro sobre a curva vem do atrito estático entre a estrada e os pneus. Trata-sedo atrito estático, e não do atrito cinético, pois os pneus não estão deslizando emrelação à direção radial. Se a força de atrito estático for insuficiente, para umadada velocidade escalar e um raio da curva, o carro irá derrapar para fora da es-trada. Veremos nos exemplos e problemas que seguem a força centrípeta em ação eperceberemos que às vezes a sua fonte não é óbvia.

Exemplo 3.3. Um inventor propõe a construção de um pêndulo usando um peso demassa m na extremidade de um fio de comprimento L. Em vez de oscilar para afrente e para trás, o peso se move em um círculo horizontal com velocidade escalarconstante v, e o fio faz um ângulo β constante com a direção vertical (Figura 3.9).Esse sistema é chamado de pêndulo cônico porque o fio de suspensão descreve umcone. Ache a tensão F no fio e o período T (o tempo para uma revolução de peso)em função do ângulo β. Retirado da referência [5]

Para achar as duas variáveis, a tensão F e o período T precisamos de duasequações. Estas serão os componentes horizontal e vertical da segunda lei de New-ton aplicada ao peso. Encontraremos a aceleração do peso em direção ao centro docírculo usando uma das equações do movimento circular. O primeiro passo para asolução do problema é fazer o diagrama do corpo livre para o peso como mostradona Figura 3.10.

As forças que atuam sobre o peso são a tensão FT o fio e o peso P . A compo-nente horizontal da tensão é a força que produz a aceleração horizontal centrípetaarad. Aplicando a segunda lei de Newton ao peso temos:


∑Fx = FT sin β = m

v2

R(3.26)∑

Fy = FT cos β + (−mg) = 0 (3.27)

ou

Figura 3.9: A situação.

Figura 3.10: Diagrama do corpolivre para o peso.

x : FT sin β = mv2

R(3.28)

y : FT cos β = mg (3.29)

Destas duas equações tiramos facilmente a tensão FT em função do ângulo β:

FT =mv2

R sin βou FT =

mg

cos β(3.30)

e que (dividindo as duas equações):

tan β =v2

gR. (3.31)

Para relacionar β com o período T , usamos a definição de aceleração centrípeta:

arad =v2

R=

(2πR/T )2

R=

4π2R

T 2=

4π2L sin β

T 2(3.32)

Mas da Equação (3.31) temos que

v2

R= g tan β, (3.33)

e substituindo esta expressão na Equação (3.32) tiramos que:

g tan β =4π2RL sin β

T 2(3.34)

e portanto,

T = 2π

√L

gcos β. (3.35)

Observe que para um dado comprimento L, à medida que o ângulo β diminuio período T se torna menor. Também note que se o ângulo β aumenta a tensãoFT = mg/ cos β no fio aumenta. Tendo em vista tal dependência do período comβ, o pêndulo cônico não serviria como um bom relógio. (Pensem nisto... que valoresteriam o período, a tensão no fio e a velocidade do peso para β = 90o? Tal situaçãopoderia existir?)

Capítulo 4

Energia e TrabalhoMarcio Assolin Corrêa

Definir o significado de energia para a física é uma tarefa não trivial, principalmentedevido as diferentes formas de energia que podem estar associadas a uma partículaou a um sistema de partículas. Energia térmica, energia elétrica, energia magné-tica e energia mecânica são exemplos de energias que podem ser transferidas deum objeto para outro em um determinado sistema físico. Pesquisando em diver-sas literaturas, percebe-se que tentar discutir o conceito de energia separadamentedo conceito de trabalho é uma tarefa difícil, pois estas duas grandezas físicas es-tão intimamente ligadas. Podemos definir a energia como uma quantidade escalarassociada ao estado físico de uma partícula ou sistema de partículas que pode sertransformada em trabalho. Contudo, através de analises experimentais percebe-seque a energia associada a um sistema físico fechado e isolado se conserva sempre,ou seja, energia não pode ser criada ou destruída e sim transformada em outros tiposde energia ou trabalho, fato sintetizado pelo princípio de conservação de energia.Na mecânica Clássica existem muitos problemas físicos que necessitariam de umtratamento vetorial adequado e aplicações da cinemática para serem resolvidos. Noentanto, com um estudo energético adequado estes mesmos problemas podem serresolvidos com maior facilidade, uma vez que estamos trabalhando com grandezaspuramente escalares. Vamos mostrar esta facilidade no decorrer deste capítulo. Epara isso, iniciaremos definindo a energia associada ao estado de movimento deuma partícula (Energia Cinética), o Trabalho e a Potência.

4.1 Energia Cinética

Podemos associar uma forma de energia ao estado de movimento de uma partícula.Denominamos esta energia de Energia Cinética o qual vamos simbolizar aqui porEc. Esta energia está diretamente relacionada a velocidade em que a partícula seencontra em um determinado instante de tempo. Quanto maior a velocidade dapartícula maior será a energia cinética, porém esta relação entre Ec e v não é linear,ela segue a seguinte expressão:

Ec =1

2mv2 (4.1)

112

Capítulo 4 – Energia e Trabalho 113

onde m é a massa e v a velocidade da partícula. Como mencionado anteriormente,dimensionalmente temos, no SI de unidades (ver a Seção 1.4), que

[Ec] =kg ·m2

s2= Joule (J) . (4.2)

4.2 Trabalho

Intuitivamente temos em mente o significado cotidiano da palavra trabalho, dize-mos que ao deslocar um objeto de uma posição inicial até uma posição final reali-zamos trabalho. Contudo, em alguma situações, realizar um determinado trabalhonão significa deslocar um objeto mas sim dissipar energia “pensando” em um de-terminado problema. Para a física, o significado de trabalho tem uma formulaçãomatemática bem definida e está diretamente relacionado à força (~F ) necessária paravariar a posição (~d) de um objeto. Podemos entender fisicamente o trabalho (W)como a energia transferida para o/do objeto mediada por uma força:

W = ~F · ~d. (4.3)

Perceba que a equação (4.3) é um produto escalar entre dois vetores, de modoque o resultado é um escalar (o trabalho). Dimensionalmente, no SI temos que:

[W ] = N ·m =kg ·m

s2·m =

kg ·m2

s2= J . (4.4)

O produto escalar na Equação (4.3) nos permite realizar algumas análisesimportantes. Podemos calcular o módulo do trabalho tomando o módulo do produtoescalar (~F · ~d). Desta forma, outra maneira de escrever o trabalho é:

W = Fdcos(θ). (4.5)

Na equação 4.5, θ é o ângulo entre os vetores ~F e ~d. Quando este ânguloé zero (θ = 0) temos que cos(0) = 1, assim W = Fd. No entanto, quando oângulo entre os vetores é normal (θ = 90) então teremos um trabalho dado porW = Fdcos(90) = 0, ou seja, o trabalho é nulo para uma força sendo aplicadanormal ao deslocamento do objeto. Desta forma, podemos ter situações em quea força tem uma componente na direção oposta ao deslocamento do objeto, o quelevará a um trabalho negativo. Posteriormente, quando for analisado o TeoremaTrabalho-Energia Cinética vamos discutir em mais detalhes o que significa trabalhonegativo.

Exemplo 4.1. Considere um objeto que sofre um deslocamento ∆~d devido a umaforça ~F como mostrado na Figura 4.1. Conhecendo o ângulo θ entre estas duasgrandezas físicas é possível calcular o trabalho realizado sobre o objeto. Consi-derando θ = 60, F = 30N e supondo que o deslocamento da partícula em umdeterminado intervalo de tempo seja de ∆d = 10m então o trabalho é calculadofacilmente por:

W = Fdcos(θ) = 30N · 10m · cos(60) = 150J . (4.6)


Figura 4.1: Objeto sendo deslocado por uma distância ∆~d sob influência de uma força ~F ..

4.3 Teorema Trabalho-Energia Cinética

Quando uma força constante é aplicada sobre um objeto, esse sofre uma alteração nasua velocidade, uma vez que esta submetido a uma aceleração constante (SegundaLei de Newton). Podemos associar a variação da velocidade do objeto com suaaceleração a partir de equação do movimento para o MRUV:

v2f = v2

i + 2ad, (4.7)

considerando que o deslocamento d está na mesma direção da força, responsávelpela aceleração, podemos relacionar esta equação com a Segunda Lei de Newton.Para isso inicialmente vamos resolver a equação (4.7) para a aceleração:

ax =v2f − v2

i

2d, (4.8)

onde o sub-índice x refere-se a aceleração na direção do deslocamento (direção x).Substituindo esta aceleração na Segunda Lei de Newton temos:

F = max = mv2f − v2

i

2d(4.9)

e manipulando a equação (4.9) encontramos,

Fd =1

2mv2

f −1

2mv2

i . (4.10)

Perceba que o lado esquerdo da equação (4.10) é exatamente o trabalho rea-lizado pela força ~F sobre o objeto e o lado direito é a variação da energia cinética∆Ec. Assim, temos o teorema trabalho-energia cinética,

W = Ecf − Eci = ∆Ec. (4.11)

Podemos discutir novamente neste ponto o significado de trabalho positivo ounegativo. Quando a força está na mesma direção do deslocamento do objeto temosum trabalho positivo, deste modo há um aumento na energia cinética. Contudo,quando a força resultante está na direção contrária ao movimento, então teremosum trabalho negativo o que acarreta em uma diminuição da energia cinética dapartícula.


4.4 Trabalho e energia com forças variáveis

Em muitas situações a força atuante sobre a partícula não é constante, o que in-fluencia diretamente no trabalho realizado. Esta variação da força pode ser tantoem módulo como em direção e sentido. Como vimos anteriormente, força é umagrandeza vetorial e, variando uma de suas componentes, estamos variando o vetorcomo um todo. Nesta situação o cálculo do trabalho realizado pela força sobre oobjeto deve ser ligeiramente diferente do que foi discutido anteriormente. Devemoscalcular o trabalho realizado pela força para cada elemento ∆xi (mudamos aqui avariável d para x para facilitar a representação dos diferenciais e integrais) do des-locamento do objeto. O trabalho total será a soma de cada “elemento de trabalho”separadamente. No limite de ∆xi → dxi temos:

W = lim∆x→0

∑i

Fx∆xi . (4.12)

Por definição este limite é na verdade a integral de Fx ao longo de x. Conside-rando que o objeto sofreu um deslocamento desde uma posição xi até uma posiçãoxf devido a uma força variável Fx, o trabalho realizado por esta força pode sercalculado como sendo

Figura 4.2: Gráfico de Fx vs. xonde representamos uma funçãovariável. A área sob a curva é otrabalho realizado pela força sobrea partícula de acordo com a equa-ção 4.13.

W =

∫ xf

xi

Fxdx. (4.13)

Como sabemos, calcular graficamente a integral significa obter a área sobuma determinada função gráfica. Assim, considerando uma força Fx que tem umcomportamento mostrado na Figura 4.2 podemos calcular o trabalho a partir da área.

4.5 Potência

Descrevemos nas seções anteriores as diferentes formas de realizar trabalho sobreum objeto. Muitas vezes estamos interessados em realizar este trabalho em um certointervalo de tempo ∆t. A partir destas necessidades podemos definir uma outragrandeza física denominada potência. Definimos potência como a taxa temporal darealização de um trabalho:

P =dW

dt. (4.14)

Podemos denominar a equação (4.14) como a potência Instantânea. Noentanto, quando um trabalho W é realizado em um intervalo de tempo ∆t podemoscalcular a potência média:

Pm =W

∆t. (4.15)

Tomando uma análise dimensional da equação (4.15) no SI temos:

[P ] =N · d

s=

Js

= W (Watt). (4.16)


Podemos encontrar em alguns equipamentos, automóveis, entre outros, valo-res de potência expressos em outras unidades como o Horse Power (hp). A relaçãoentre hp e Watt é:

1 hp = 746 W. (4.17)

Temos ainda o cavalo-vapor (CV) que tem uma relação com o Watt dada por:

1 cv = 735, 5 W. (4.18)

Existem algumas formas de apresentar a unidade de trabalho, utilizando adefinição de potência. Observando a equação (4.14) podemos expressar a unidadede trabalho em quilowatt-hora que é usada no nosso cotidiano nas contas de luz denossas residências. A relação entre quilowatt-hora e joule é:

1 quilowatt-hora = 1 kW · h = 103 W · 3600 s = 3, 6× 106 J. (4.19)

Podemos reescrever a equação 4.14 em função da força aplicada sobre o ob-jeto e a sua velocidade. Considerando um objeto com movimento linear sujeitoa uma força ~F aplicada em uma direção θ com relação a direção do movimentotemos:

P =dW

dt=Fcosθdx

dt. (4.20)

Lembrando que dx/dt = v, temos:

P = Fcosθ′ ,dx

dt= Fcosθ v = ~F · ~v. (4.21)

4.6 Energia Potencial e Conservação de Energia

4.6.1 Forças Conservativas

Quando elevamos um objeto de uma altura h0 até uma altura hf realizamos umtrabalho positivo dado por W = mg∆h. No entanto, a força gravitacional realizaum trabalho W = −mg∆h, pois a força gravitacional está no sentido oposto aodeslocamento ∆h. Se deslocarmos este mesmo objeto de volta para a altura h0 ecalcularmos o trabalho da força gravitacional desde o início do movimento até estemomento teremos um trabalho total nulo. Vale ressaltar que isso será independentese a posição final da partícula é exatamente a mesma posição inicial, basta que aaltura inicial e final sejam as mesmas para o exposto acima ser verdadeiro. Issoocorre devido a força da gravidade ser uma força conservativa. Desta forma, pode-mos definir que uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela, sobre umobjeto que descreve uma trajetória fechada, for nulo.

4.6.2 Trabalho e Energia Potencial

Baseado na definição de força conservativa atuando sobre um objeto, podemos de-finir uma nova função denominada energia potencial U . Relacionando a energia


com o trabalho, podemos definir que o trabalho realizado por uma força conserva-tiva deve ser igual à diminuição da energia potencial:

W =

∫ 2

1

~F · d~s = −∆U , (4.22)

onde 1 e 2 são as posições inicial e final, respectivamente.

Trabalho e energia potencial gravitacional

A partir da definição de trabalho da Equação (4.22) podemos calcular o tra-balho realizado pela força gravitacional sobre um objeto. Considerando um objetosendo suspenso de uma altura inicial y = h0 até uma altura final y = hf sujeita aforça gravitacional dada por Fy = −mg podemos calcular o trabalho realizado apartir de

W =

∫ hf

h0

−Fydy = −∫ hf

h0

mgdy, (4.23)

Resolvendo a integral temos que:

W = mghi −mghf = −∆Ug . (4.24)

O lado direito da Equação (4.24) é exatamente a variação da energia potencial gravi-tacional. Desta forma podemos definir a energia potencial gravitacional da seguinteforma,

Ug = mgh. (4.25)

Trabalho e energia potencial elástica

Figura 4.3: Sistema massa-molaonde K é a constante elástica damola e m a massa da partícula.Neste sistema será desprezado oatrito entre a partícula e a super-fície.

Com o mesmo procedimento da seção anterior, podemos calcular o trabalhorealizado por uma força elástica utilizando a equação 4.13 e substituindo Fx pelalei de Hooke, onde Fx = −kx. Imaginando um sistema físico como o indicado naFigura 4.3, onde um objeto preso a uma mola de constante elástica k é deslocado deuma posição inicial x0 até uma posição xf podemos calcular o trabalho a partir de

W =

∫ xf

x0

Fxdx =

∫ xf

x0

−kxdx . (4.26)

A solução desta integral é dada por:

W =1

2kx2

i −1

2kx2

f = −∆Ue , (4.27)

onde podemos definir a energia potencial elástica associada a uma mola com cons-tante elástica k da seguinte forma:

Ue =1

2kx2. (4.28)


4.6.3 Forças não-conservativas

Ao empurrarmos uma caixa sobre uma superfície em que o atrito está presente te-remos um trabalho diferente de zero quando descrevemos uma trajetória fechada.Neste caso dizemos que a força de atrito não é uma força conservativa, de modoque não temos a possibilidade associar a esta força uma energia potencial. Outroexemplo de força não conservativa é a força de arrasto que surge durante a descidade um objeto em queda livre. Este conceito, associado ao conceito de forças con-servativas serão importantes para definir a Conservação da Energia Mecânica queserá discutida na próxima seção.

4.7 Conservação da Energia Mecânica

Definimos como Energia Mecânica a soma da energia potencial (U ) e da energiacinética Ec de um objeto. A energia potencial pode ser tanto a energia potencialgravitacional (Ug), energia potencial elástica (Ue) ou a soma destas duas formas deenergias (Ug + Ue). Assim,

Emec = Ec + U. (4.29)

Partindo da suposição que temos um sistema isolado (nenhuma força externaatua sobre o sistema) contendo um determinado objeto, e que este sistema está su-jeito a apenas forças conservativas, o trabalho realizado sobre um objeto acarretaráem uma transformação de uma forma de energia em outra. Por exemplo, quandoarremessamos um objeto para cima, desprezando o atrito com o ar, o sistema irátransformar a energia cinética inicial em energia potencial gravitacional. Podemoscalcular a variação da energia cinética através do trabalho,

∆Ec = W . (4.30)

Lembrando que,∆U = −W (4.31)

e substituindo (4.31) em (4.30) temos:

∆Ec = −∆U (4.32)

Os termos ∆Ec e ∆U indicam a variação destas energias em função de duasposições distintas que chamaremos aqui de posição inicial (sub-índice i) e posiçãofinal (sub-índice f). Reescrevendo (4.32) em função destes sub-índices ficamos coma forma

Ecf + Uf = Eci + Ui. (4.33)

Observando (4.33) podemos deduzir que a soma da energia mecânica emqualquer posição e instante de tempo deve sempre constante, deste modo conclui-mos que a energia mecânica deste sistema é sempre constante. Por outro lado,analizando a variação da energia mecânica (∆Emec) teremos, para um sistema onde


somente forças conservativas estão atuando, a variação da energia mecânica nula,este é exatamento o princípio da conservação da energia mecânica.

∆Emec = ∆Ec + ∆U = 0. (4.34)

4.8 Curvas de Energia Potencial e Força

Se considerarmos um objeto sujeito a forças conservativas movimentando-se emuma única direção (x por exemplo), podemos, através de sua curva de energia po-tencial, obter informações importantes sobre o comportamento da força resultanteaplicada no objeto. Para isso, devemos tomar derivada espacial da energia potencialatuante no objeto da seguinte forma,

F (x) = −dU(x)

dx. (4.35)

Como exemplo podemos observar a figura 4.4 onde no primeiro gráfico estárepresentada a energia potencial atuante sobre o objeto em função da posição x.

Figura 4.4: Gráfico da energia potencial em função da posição (linha azul) e derivada espacial destegráfico, indicando a força atuante (linha vermelha) sobre o sistema em função da posição.

Podemos observar os mínimos e os máximos desta função que representamas posições onde existem os máximos e os mínimos de potencial, respectivamente.Quando observamos simultaneamente os dois gráficos verificamos que exatamentenestes pontos a força atuante sobre a partícula é nula. Com isso, podemos definir ospontos de equilíbrio onde o objeto pode estar em uma situação estável ou instável.Por exemplo, quando temos um mínimo na energia potencial a força nula indicauma situação onde temos um ponto de equilíbrio estável, ou seja, se o objeto for


retirado desta posição através de pequenas forças gerando pequenos deslocamentos,ele tenderá a retornar a esta posição. Contudo, para a situação onde temos ummáximo na energia potencial, encontramos uma posição de equilíbrio instável, demodo que pequena perturbação na força acarreta em um deslocamento do objeto,não retornando mais a posição anterior.

Se considerarmos um sistema tri-dimensional, onde existe uma componenteda força para cada direção de um sistema cartesiano então a força pode ser escritacomo sendo

Fx = −∂U∂x

, Fy = −∂U∂y

, Fz = −∂U∂z

. (4.36)

Assim podemos escrever ~F na forma:

~F = −~∇U , (4.37)

onde ~∇ é um operador definido por

~∇ =∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk. (4.38)

4.9 Forças externas sobre um sistema

Existem forças externas a um sistema físico que podem influenciar no balanço daenergia total. Por exemplo, a força de atrito, atua sobre o sistema dissipando energiana forma de ruído e aumentando a temperatura da superfície e do objeto em questão(aumento da energia interna do sistema). Assim, é importante encontrar a energiatotal dissipada ou recebida por um sistema físico para descrever corretamente alei conservação da energia mecânica. Como já discutimos anteriormente, o atritorealiza trabalho sobre o objeto, sendo este um trabalho negativo, pois o atrito atuasempre na direção oposta ao sentido das velocidades relativas de escorregamentono contato, de cada uma das superfícies. O trabalho realizado pela força de atrito(Wext) é exatamente igual ao negativo da variação da energia interna do sistema(∆Uint), de modo que

∆Uint = −Wext. (4.39)

Com isso a equação 4.33 toma a forma:

Eci + Ui −∆Uint = Ecf + Uf , (4.40)

de onde podemos reescrever a Lei da Conservação da Energia como sendo

∆Ec + ∆U + ∆Uint = 0 . (4.41)

Este resultado é extremamente importante, pois mostra que apesar de existirvariações da energia cinética, potencial e interna de um sistema físico a soma destasvariações é sempre igual a zero. Assim concluímos que energia nunca pode sercriada ou destruída, mas simplesmente transformada de uma forma para outra.


4.9.1 Potência

Com o conhecimento da Lei da Conservação da Energia é possível expandir nossoconceito de potência. Podemos definir potência como a taxa na qual uma a energiaé transformada. Assim,a potência média é calculada na forma,

Pmed =∆E

∆t, (4.42)

ou ainda, a potência instantânea na forma:

P =dE

dt. (4.43)

4.10 Exercícios resolvidos

1. Uma caixa de 15 kg, inicialmente em repouso, percorre uma distância d =5, 70 m, puxado por um cabo em uma rampa sem atrito, até uma alturah = 2, 5 m, parando em seguida. (a) Qual é o trabalho W realizado pelaforça gravitacional ~Fg sobre a caixa durante a subida? (b) Qual o trabalho Wrealizado sobre a caixa pela força ~T exercida pelo cabo durante a subida?

Solução: (a) Para calcular o trabalho realizado pela força gravitacional ~Fgdevemos utilizar a equação (4.5) onde, neste caso, θ é o ângulo entre a forçagravitacional e o deslocamento da caixa. Assim, temos que

W = Fgdsen(θ). (4.44)

Figura 4.5: Figura referente aoExercício 1. Considere o atritonulo entre a caixa e o plano incli-nado (figura retirada de[4]).

Contudo, não conhecemos o valor do ângulo de inclinação desta rampa, po-rém sabemos que o ângulo entre ~d e ~Fg é maior que 90 de modo que otrabalho é negativo. Fisicamente o trabalho negativo é obtido quando a com-ponente da força que realiza o trabalho está no sentido oposto ao do deslo-camento. Observando a Figura 4.5 é possível obter do triângulo-retângulo arelação:

dsen(θ) = h . (4.45)

Substituindo esta última igualdade e lembrando que Fg = mg, temos que,

W = −mgdsen(θ) = −mgh , (4.46)

que é exatamente a energia potencial gravitacional, onde o sinal negativo estárelacionado a discussão do parágrafo anterior. Substituindo os valores numé-ricos, vem:

W = −(15 kg)(9, 8 m/s2)(2, 5) = −368 J . (4.47)

2. Dois rebocadores puxam um navio petroleiro. Cada rebocador exerce umaforça constante de 1, 8 × 106 N, uma a 14 na direção noroeste e outro a 14

na direção nordeste, direções estas referentes a direção norte. Com isso opetroleiro é puxado uma distância de 0, 75 km do sul para o norte. qual é otrabalho total realizado sobre o petroleiro?


Solução:

Figura 4.6: Navio sendo rebo-cado por doi rebocadores indica-dos pela forças ~F1 e ~F2.

Considerando a figura 4.6 podemos encontrar a força resultante na direçãodo deslocamento do navio para posteriormente encontrar o trabalho realizadopor estes dois rebocadores sobre o navio petroleiro. Para encontrar a forçaresultante basta tomar as componentes das forças na direção norte.

Forças na direção x:

Fx = F2sen(14)− F1sen(14) = 0. (4.48)

Forças na direção y:

Fy = F1cos(14) + F2cos(14) = FR. (4.49)

Com isso podemos calcular o trabalho tomando

W = FR · d, (4.50)

onde d é a distância percorrida pelo navio petroleiro. Assim, substituindo osvalores numéricos, temos:

W = (1, 8× 106 · cos(14) + 1, 8× 106 · cos(14)) · 0, 75× 103 J (4.51)= 2, 62× 109 J. (4.52)

3. Uma força age sobre um objeto de 3, 0 kg, que pode ser tratado como umapartícula, de tal forma que a posição do objeto em função do tempo é dadapor x = 3, 0t− 4, 0t2 + 1, 0t3, com x em metros e t em segundos. Determineo trabalho realizado sobre o objeto pela força de t = 0 até t = 4s.

Solução:Podemos calcular o trabalho sobre esta partícula utilizando o teorema trabalho-energia cinética. Desta forma, basta calcular a velocidade da partícula para osdois tempos determinados e encontrar a variação da energia cinética. O cál-culo da velocidade é feito a partir da derivada temporal da posição da seguinteforma:

v =dx

dt= 3− 8t+ 3t2. (4.53)

Substituindo os tempos nesta última expressão temos v(0) = 3 m/ s e v(4) =19 m/ s. Desta forma a variação da energia cinética é dada por:

∆Ec = Ecf − Eci =1

2mv2

f −1

2mv2

i (4.54)

= Ecf − Eci =1

23 · 192 − 1

23 · 32 = 528 J. (4.55)

Assim, pelo teorema trabalho-energia cinética temos:

W = ∆Ec = 528 J. (4.56)


4. A força que atua em um objeto varia conforme a figura 4.7. Encontre o traba-lho sobre o objeto para os seguintes intervalos. (a) x = 0 m até x = 8 m, (b)de x = 8 m até x = 10 m e (c) de x = 0 m até x = 10 m.

Figura 4.7: Navio sendo rebo-cado por doi rebocadores indica-dos pela forças ~F1 e ~F2.

Solução: O cálculo do trabalho pode ser feito a partir da equação (4.13), destaforma, basta calcular a área sob o gráfico para encontrar o trabalho para umdeterminado intervalo de tempo. Assim, temos:

(a) O trabalho para o intervalo de x = 0 m até x = 8 m é:

W = 24 J. (4.57)

(b) O trabalho para o intervalo de x = 8 m até x = 10 m é:

W = −6 J. (4.58)

(c) O trabalho para o intervalo de x = 0 m até x = 10 m é:

W = W0−8 +W8−10 = 24 J− 6 J = 18 J. (4.59)

5. Uma força é expressa por Fx = Ax−3, onde A = 8 N · m3. (a) Para valorespositivos de x, a energia potencial associada a essa força aumenta ou diminuicom o aumento de x? (b) Determine a função energia potencial U associadaa essa força, de modo que U tende ao zero quando x tende a infinito. (c) Façaum esboço da curva U vs. x.

Solução:

(a) Como vimos a energia potencial poder ser calculada a partir da integralno espaço da força aplicada ao sistema. Assim, conhecendo a força podemosencontrar U da seguinte forma:

U(x) = −∫F (x) = −

∫Ax−3dx (4.60)

calculando a integral temos que

U(x) =1

2

A

x2+ U0 , (4.61)

onde U0 é uma constante devido a integral ser indefinida, o valor desta cons-tante irá depender das condições iniciais da energia do sistema físico. Obser-vando esta última equação podemos verificar que com o aumento de x temosuma diminuição do potencial U(x).

(b) Inicialmente vamos tomar x→∞:

U(x→∞) =1

2

A

∞2+ U0. (4.62)

Assim temos que U(x) = U0 = 0 como o próprio enunciado determina.Conhecendo U0 podemos reescrever a função potencial na forma:

U(x) =4

x2N ·m3. (4.63)


(c) Para fazer o gráfico do enunciado vamos utilizar um programa matemá-tico para resolver a função em um determinado intervalo em x (o programautilizado para solução deste exemplo foi o Mathematica).

Figura 4.8: Potencial vs. a posição para a função do exemplo 5.

Figura 4.9: Relógio com as mas-sas M e m do exemplo 06.

6. A Figura 4.9 mostra uma novidade em relógios de parede: O relógio (demassa m) é suportado por dois cabos leves que circundam duas polias e sus-tentam dos contrapesos, cada um de massa M . (a) Determine a energia po-tencial do sistema em função da distância y. (b) Calcule o valor de y para oqual a energia potencial do sistema é mínima. (c) Se a energia potencial é mí-nima, então o sistema esta em equilíbrio. Aplique a segunda Lei de Newtonao relógio e mostre que ele está em equilíbrio para o valor de y obtido no item(b). Este ponto de equilíbrio é estável ou instável?

Solução:Para resolver este problema vamos inicialmente considerar que o potencialé nulo para a altura das polias. Assim a energia potencial relacionado aoscorpos de massa m e M . Assim temos:

(a) A energia potencial é a energia potencial para o relógio somada a energiapotencial das duas massas M . De acordo com a Figura 4.9 a altura do relógioé −y e a altura para as massas M é L−

√y2 + d2. A energia é então:

U(y) = −mgy − 2Mg(L−√y2 + d2). (4.64)

Para encontrar os máximos e mínimos da energia potencial podemos tomar aderivada do mesmo em função da posição e igualar a zero. Para verificar seas raízes, ou as posições y, são máximos ou mínimos basta tomar a derivadasegunda e verificar se o mesmo é positivo (o potencial neste ponto será ummínimo) ou negativo (o potencial neste ponto será um máximo). No caso:

dU(y)

dy= − d

dy[mgy + 2Mg(L−

√y2 + d2)]. (4.65)

Resolvendo esta derivada e igualando a zero para encontrar os máximos emínimos temos que

U ′(y) = −[mg − 2Mgy′√

y′2 + d2] = 0 , (4.66)


onde y′ indica a posição dos máximos e mínimos. Isolando y′ nesta últimatemos que

y′ = d

√m2

4M2 −m2. (4.67)

Tomando a derivada segunda da função potencial temos que

d2U(y)

dy2= − d

dy[mg − 2Mg

y√y2 + d2

] (4.68)

=2Mgd2

(y2 + d2)32

(4.69)

Substituindo agora y por y′ temos que

d2U(y′)

dy2=

2Mgd

( m2

4M2−m2 + 1)32

. (4.70)

Percebemos que a expressão do lado direito da igualdade acima é uma quan-tidade positiva, de forma que

d2U(y′)

dy2> 0 , (4.71)

ou seja, y = d√m2/(4M2 −m2) é um minimo da função pontencial.

Figura 4.10: Forças atuantes so-bre o nó do sistema relógio.

(c) Aplicando a segunda lei de Newton, podemos mostrar que este sistemaestá em equilíbrio, para isso vamos tomar o somatório da força atuantes emum ponto do sistema, o ponto em questão será o nó que une a cordas dorelógio, como mostrado na figura 4.10.

Para verificar o equilíbrio temos que o somatório das forças na direção x ey são nulas. Na direção x pela própria simetria das forças na figura 4.10 épossível verificar esta igualdade. Na direção y temos que:∑

Fy = 0 . (4.72)

Substituindo as forças, vem:

2Mgsen(θ)−mg = 0, (4.73)

de onde encontramos a relação angular na forma:

sen(θ) =m

2M. (4.74)

Em termos das distâncias y e d o seno do mesmo ângulo θ é

sen(θ) =y√

y2 + d2. (4.75)

Igualando estas duas últimas equações temos que

m

2M=

y√y2 + d2

, (4.76)


que é equivalente à equação para a derivada de U(x) em função de y igualadaa zero para encontrar os máximos e mínimos.

(d) Este é um ponto de equilíbrio estável, pois qualquer pequena variação noângulo ∆θ fará com que o sistema retorne a posição inicial levando nova-mente ao ângulo inicial θ.

Figura 4.11: Plano inclinado comângulo θ referente ao exemplo 07.Figura retirada da referência [7].

7. Um bloco de massa m está em repouso em um plano inclinado de θ com ahorizontal. O bloco está preso por uma mola de constante elástica k, comomostrado na figura 4.11. Os coeficientes de atrito estático e cinético entreo bloco e o plano são µs e µd, respectivamente. A mola é puxada muitolentamente, para cima, ao longo do plano, até o bloco iniciar um movimento.(a) Obtenha uma expressão que descreva a distensão d da mola no instante emque o bloco encontra em movimento. (b) Determine o valor de µd de formaque o bloco saia do repouso quando a mola está na condição relaxada, isto é,nem estendida nem comprimida.

Solução:

(a) Para encontrar uma função para a distensão d da mola no momento emque inicia o movimento vamos utilizar a segunda lei de Newton. Desta formapodemos observar na figura 4.12 o diagrama de corpo livre do sistema.

Figura 4.12: Diagrama de forçapara o bloco sobre o plano incli-nado com atrito do Exercício 7.

Fazendo o somatório das forças na direção x e na direção y temos:∑Fx = Fm − fat −mgsen(θ) = 0 (4.77)

e ∑Fy = Fn −mgcos(θ) = 0 . (4.78)

Utilizando a Equação (4.78) e substituindo a força normal Fn na equação paraforça de atrito temos que

kd− µsmgcos(θ)−mgsen(θ) = 0 , (4.79)

onde o primeiro termo é a força devido a lei de Hooke, o segundo é a forçade atrito e o terceiro componente é o componente do peso na direção x. Destaforma, podemos isolar d para encontrar a função desejada na letra (a) doexercício:

d =mg

k(sen(θ) + µscos(θ)). (4.80)

(b) Nesta situação temos o atrito no sistema, de forma que uma variação daenergia interna devido a energia térmica surge. Assim podemos escrever alei da conservação da energia para tentar alcançar o valor do coeficiente deatrito. Assim o trabalho realizado pelas forças externas é

Wext = ∆EM + ∆ET , (4.81)

onde ∆EM é a energia mecânica e ∆ET é a energia dissipada em forma decalor devido ao atrito. Substituindo a energia mecânica e considerando quetanto no início da análise quanto no final a energia cinética é nula, assim:

Wext = ∆Ug + ∆Ue + ∆ET . (4.82)


Podemos escrever, através da conservação da energia que

∆Ug + ∆Ue + ∆ET = 0 . (4.83)

Considerando que a energia potencial do sistema é nulo na posição inicial dosistema, então a variação da energia potencial pode ser escrita como sendo:

∆Ug = mgh− 0, (4.84)

onde, observando a figura 4.12, temos que h = dsen(θ). Com isso,

∆Ug = mgdsen(θ). (4.85)

Com relação a energia armazenada na mola, temos que inicialmente ela encontra-se distendida de um valor d e como o enunciado descreve, devemos encontrarµd quando a mola esta relaxada, ou seja a deformação da mola é nula, assim:

∆Ue = −1

2kd2. (4.86)

A energia térmica, como mencionado anteriormente é a energia dissipada pelaforça de atrito, para encontrar este energia basta calcular o trabalho realizadopela força de atrito durante o deslocamento d do bloco. Com isso podemosescrever ∆ET na forma:

∆ET = −Fat · d = −µdFnd = −µdmgdcos(θ). (4.87)

Substituindo estas ultimas equações na expressão para conservação de ener-gia, temos:

mgdsen(θ)− 1

2kd2 − µdmgdcos(θ) = 0. (4.88)

Portanto o coeficiente de atrito µd tem a forma

µd =1

2(tan(θ)− µs) , (4.89)

onde d foi substituído pela expressão encontrada no item (a).

Figura 4.13: Sistema com umbloco de massa M preso a duasmolas de constantes elásticas k.Figura retirada da referência [7].

8. Um bloco de madeira (massa M) está conectado a duas molas de massas des-prezíveis, como mostrado na figura 4.13. Cada mola tem comprimento nãoesticado L e constante de mola k. (a) Se o bloco é deslocado de uma dis-tância x, como mostrado, qual é a mudança na energia potencial armazenadanas molas? (b) Qual é o módulo da força que empurra o bloco para fora daposição de equilíbrio? (c) Usando um programa gráfico, trace o gráfico daenergia potencial U como uma função de x para 0 ≤ x ≤ 0, 2. Considereque k = 1 N/ m, L = 0, 1 m e M = 1 kg. (d) Se o bloco é deslocado deuma distância x = 0, 1 m e abandonado, com que velocidade ele passará pelasua posição original de equilíbrio? Admita que o bloco está parado em umasuperfície sem atrito.

Solução


(a) Considerando apenas a energia armazenada nas molas temos que inici-almente calcular a elongação de cada uma das molas. Para isso podemosobservar a figura 4.13 e mostrar que

∆L = hip− L, (4.90)

onde a hipotenusa (hip) é dada por

hip =√L2 + x2 . (4.91)

Assim,∆L =

√L2 + x2 − L. (4.92)

A variação de energia potencial armazenada nas molas é então:

∆U = Uf − Ui = 21

2k(∆L)2. (4.93)

O fator 2 está relacionado a energia nas duas molas do sistema físico. Aenergia armazenada é

∆U = k(√L2 + x2 − L)2. (4.94)

(b) Para calcular a força basta fazer uma soma vetorial das forças de cada umadas molas, esta força pode ser escrita como sendo,

Fm = 2Fcos(θ) = 2k∆Lcos(θ). (4.95)

Observando a Figura 4.13 podemos escrever

cos(θ) =x√

L2 + x2, (4.96)

de modo queFm = 2k∆L

x√L2 + x2

. (4.97)

Usando ∆L da solução (a) vem que

Fm = 2kx(1− L√L2 + x2

). (4.98)

Outra forma de resolver este ítem basta derivar a expressão encontrada para aenergia potencial, pois

F = −dUdx

=d

dx(k(√L2 + x2 − L)2) = 2kx(1− L√

L2 + x2). (4.99)

(c) Para traçar o gráfico da energia potencial (Figura 4.14(b)), vamos utili-zar o programa Mathematica com os parâmetros indicados no exercício. Aestrutura do programa pode ser como indicado na Figura 4.14(a).


(a) Exemplo de programa na linguagem Mathematica. (b) Saída do programa da Figura 4.14(a).

Figura 4.14: Grafico de U vs. x no intervalo indicado no enunciado do exercício 8.

Capítulo 5

Centro de Massa e Momento LinearAlexandre Barbosa de Oliveira

Neste capítulo serão introduzidas diversas novas grandezas físicas, tais como centrode massa, momento linear e impulso. Todas essas grandezas são extremamente im-portantes para descrever várias situações da física mecânica que envolve dinâmicaou estática de corpos extensos, ou seja, de corpos que não podem ser aproximadospor uma massa pontual. Por exemplo: Como aplicar a segunda lei de Newton paradescrever quantitativamente o movimento de um asteróide?

5.1 Centro de Massa

O centro de massa (CM) é uma posição geométrica de um objeto que pode pertencerao seu interior ou não. Portanto, as coordenadas do CM devem ser expressas emunidade de distância (m, cm, mm, etc). Para determinar a Equação matemática doCM devemos separar dois tipos de sistema: (i) Um sistema discreto de partículas,por exemplo: um conjunto de massas pontuais distribuídas no espaço (ver Figura5.1) e (ii) Um sistema contínuo de partículas, por exemplo: um corpo rígido (verFigura 5.2).

Figura 5.1: Ilustração de distribuição discreta (a) bidimensional e (b) unidimensional de partículasde massas diferentes.

Figura 5.2: Corpo sólido comoexemplo de sistema contínuo departículas.

Inicialmente será tratado o caso do sistema discreto de partículas como o ilus-trado na Figura 5.1. As coordenadas do CM são obtidas realizando uma médiaponderada das posições das partículas, cuja ponderação é feita pela massa de cada

130

Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 131

partícula. Portanto, para um sistema de N partículas cujas posições são descritaspelas coordenadas cartesianas (x, y, z):

xCM =m1x1 +m2x2 +m3x3 + . . .+mNxN

m1 +m2 +m3 + . . .+mN

=1

M

N∑i=1

mixi, (5.1a)

yCM =m1y1 +m2y2 +m3y3 + . . .+mNyN

m1 +m2 +m3 + . . .+mN

=1

M

N∑i=1

miyi, (5.1b)

zCM =m1z1 +m2z2 +m3z3 + . . .+mNzN

m1 +m2 +m3 + . . .+mN

=1

M

N∑i=1

mizi, (5.1c)

onde o índice i indica a indexação da i-ésima partícula cuja posição é dada por(xi, yi, zi), a massa igual a mi e M é o somatório de todas as massas mi, ou seja, éa massa total do sistema. No caso da Figura 5.1(a) o sistema é descrito no plano xy.Assim não há a necessidade de envolver a coordenada z no problema. Portanto asEquações (5.1a) e (5.1b) para o CM do sistema ilustrado na Figura 5.1(a) ficam:

xCM =m1x1 +m2x2 +m3x3 +m4x4

m1 +m2 +m3 +m4

=m2x2 +m3x3

m1 +m2 +m3 +m4

, (5.2a)

yCM =m1y1 +m2y2 +m3y3 +m4y4

m1 +m2 +m3 +m4

=m1y1 +m2y2

m1 +m2 +m3 +m4

. (5.2b)

Nas Equações (5.2a) e (5.2b) considere que as coordenadas (xi, yi) da Figura 5.1(a)tenham aproximadamente o mesmo módulo ou tenham a mesma ordem de gran-deza. Isto implica que

|x1| ≈ |x2| ≈ |x3| ≈ |x4| ≈ |y1| ≈ |y2| ≈ |y3| ≈ |y4| . (5.3)

Como a massa m3 é maior do que as outras massas, isto implica que as coor-denadas x e y do CM serão mais próximas da posição de m3. No caso limitede m3 >> m1,m2,m4, então m3x3 >> m1x1,m2x2,m4x4 e m3y3 >>m1y1,m2y2,m4y4. Sendo assim as coordenadas do CM ficam aproximadamenteas mesmas da massa m3:

xCM ≈m3x3

m3

= x3 e yCM ≈m3y3

m3

= y3. (5.4)

A Figura 5.1(b), mostra um caso unidimensional composto por duas partí-culas cujas ordenadas são zero e as abscissas de mesmo módulo. Neste caso, ascoordenadas do CM ficam:

xCM =m1x1 +m2x2

m1 +m2

=(−m1 +m2)x

m1 +m2

, (5.5a)

yCM =m1y1 +m2y2

m1 +m2

= 0. (5.5b)

Observando a Equação (5.5a) é possível concluir que se m1 = m2, então o CMficará localizado na origem do sistema de coordenadas xy. Novamente, se uma das


massa for maior do que a outra, m2 por exemplo, fica claro a partir da Equação(5.5a) que a posição do CM ficará mais próxima da massa de maior valor, m2, nesteexemplo.

É possível escrever as coordenadas do CM de uma forma mais formal e com-pacta usando notação vetorial. Para isto considere que a posição da massami é dadapelo seguinte vetor: ~ri = xii+yij+zik. Usando as Equações (5.1a), (5.1b) e (5.1c)podemos escrever o vetor posição do CM para um sistema de partículas discretascomo:

~rCM = xCM i+ yCM j + zCM k

=

(1

M

N∑i=1

mixi

)i+

(1

M

N∑i=1

miyi

)j +

(1

M

N∑i=1

mizi

)k

=1

M

N∑i=1

mi

(xii+ yij + zik

)=

1

M

N∑i=1

mi~ri (5.6)

O sistema contínuo de partículas tal como um corpo rígido possui as coordena-das do CM expressas na forma integral. Para passar as Equações (5.1a), (5.1b),(5.1c) e (5.6) do sistema discreto de partículas, para o sistema contínuo de par-tículas é necessário o uso da densidade volumétrica do corpo rígido. Seja ρ =massa/volume, a densidade volumétrica do corpo que pode ser constante (uni-forme, ρ = constante) ou depender da posição (não uniforme, ρ = ρ (x, y, z)).Considerando um corpo rígido formado por partículas de massas infinitesimais dmcuja posição é (x, y, z), então a média da posição de dm ponderada pela massa dmfica:

xCM =1

M

∫x dm, (5.7a)

yCM =1

M

∫y dm, (5.7b)

zCM =1

M

∫z dm, (5.7c)

onde M é a massa total do corpo rígido, ou seja, M =∫ρ dV e as coordenadas

(x, y, z) pertencem ao interior do corpo rígido. A integral é realizada apenas nointerior do corpo rígido. A densidade volumétrica ρ pode ser escrita em função deinfinitésimos da massa dm e do volume dV da seguinte forma:

ρ =dm

dV⇒ dm = ρ dV. (5.8)

Substituindo a Equação (5.8 ), nas Equações das coordenadas do CM para sistemacontínuo de partículas (Equações (5.7a), (5.7b) e (5.7c)), podemos reescrever suas


coordenadas como:

xCM =1

M

∫x ρ(x, y, z) dV, (5.9a)

yCM =1

M

∫y ρ(x, y, z) dV, (5.9b)

zCM =1

M

∫z ρ(x, y, z) dV. (5.9c)

Observe que as Equações (5.9a), (5.9b) e (5.9c) foram escritas explicitando a pos-sível dependência espacial da densidade volumétrica, quando ρ não é uniforme. Nocaso em que ρ é uniforme podemos simplificar as Equações (5.9a), (5.9b) e (5.9c)usando o fato de que ρ = M/V = constante, onde V é o volume total do corporígido. Portanto:

xCM =1

M

∫x ρ(x, y, z) dV =

ρ

M

∫x dV =

1

V

∫x dV, (5.10a)

yCM =1

M

∫y ρ(x, y, z) dV =

ρ

M

∫y dV =

1

V

∫y dV, (5.10b)

zCM =1

M

∫z ρ(x, y, z) dV =

ρ

M

∫z dV =

1

V

∫z dV. (5.10c)

Lembrando novamente que a integração deve ser realizada no interior do corporígido e NÃO em todo o espaço.

5.2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema dePartículas

Nos capítulos anteriores, foi estudada a segunda lei de Newton aplicada a uma únicapartícula de massa m. Este tratamento quantitativo da dinâmica de uma partículafoi imprescindível para entendermos e prevermos o movimento dos objetos. Nestecaso, foi visto que a soma de todas as forças atuando sobre uma partícula m estárelacionada com sua aceleração ~a, de forma linear, onde o coeficiente de proporci-onalidade é a massa m

~F = m~a. (5.11)

A aproximação de um objeto real para uma partícula nem sempre é factível e deresultado satisfatório. Por exemplo, não podemos aproximar um sistema discretode partícula como da Figura 5.1, para uma única partícula. O mesmo ocorre, porexemplo, ao explicar o movimento de um asteróide de forma geométrica arbitrária.Inicialmente será tratado um sistema discreto de partículas e em seguida os resulta-dos serão estendidos aos sistemas contínuos de partículas. Para explicar a dinâmicade um sistema de N partículas podemos aplicar a segunda lei de Newton a cada umadas partículas constituintes do sistema, obtendo o seguinte sistema de Equações:

~FR,1 = m1~a1; ~FR,2 = m2~a2; ~FR,3 = m3~a3; · · · ~FR,N = mN~aN , (5.12)

onde ~FR,i é a força resultante atuando sobre a partícula i e mi e ~ai são a massae a aceleração da partícula i, respectivamente. No caso de sistemas de partículas


é importante separar as forças que atuam sobre cada uma das partículas em forçasinternas e externas. A classificação de forças internas e externas do sistema dependefortemente do sistema tratado! Inicialmente será abordado o caso de forças internase em seguida forças externas.

5.2.1 Forças Internas

Todas as forças internas do sistema obedecem à 3ł Lei de Newton, ou seja, obede-cem à lei da ação-reação. As forças internas são forças que as partículas do sistemaexercem uma sobre as outras. Exemplos de forças internas são as forças gravitacio-nal e elétrica entre as partículas (ver Figura 5.3). Na Figura 5.3, ~Fi→j é a força queatua sobre a partícula j devido à alguma interação (gravitacional ou elétrica, no casoda Figura 5.3) com a partícula i. Em termos da lei de ação-reação podemos dizerque ~F1→2 é a força que a partícula 1 “exerce” sobre a partícula 2 (ação) e ~F2→1 é aforça que a partícula 2 “exerce” sobre a partícula 1, embora não haja contato físico.As ilustrações da Figura 5.3(a), são baseadas na força de atração gravitacional (~Fg)existente entre um par de partículas de massa mi e mj , separadas por uma distânciad (~Fg ∝ mimj/d

2). No caso da Figura 5.3(b), a força existente entre as partículas éde origem elétrica (~Fe) que pode ser atrativa ou repulsiva dependendo do sinal dascargas qi e qj (~Fe ∝ qiqj/d

2).

Figura 5.3: Ilustração de forças internas de um sistema composto por três partículas; (a) atraçãogravitacional entre as massas m1, m2 e m3; (b) atração e repulsão eletrostática entre as cargas q1,q2 e q3.

Como as forças internas podem ser tratadas pela 3a. Lei de Newton, então~Fi→j = −~Fj→i para qualquer par ij. Levando esta relação em consideração, osomatório das forças internas dos sistemas da Figura 5.3 tem o seguinte resultado:

~F1→2 = −~F2→1; ~F1→3 = −~F3→1; ~F2→3 = −~F3→2

⇒ ~F1→2 + ~F2→1 + ~F1→3 + ~F3→1 + ~F2→3 + ~F3→2 = 0. (5.13)

Este resultado pode ser generalizado para qualquer sistema de partículas (discretoou contínuo), ou seja, o somatório das forças internas de um sistema qualquer de Npartículas é sempre nulo:

N∑i,j; i 6=j

~F internasi→j = 0. (5.14)


Note que o somatório na Equação (5.14) é realizado com i e j variando de 1 até N,de tal forma que i 6= j. Se i = j estaremos somando a força que uma partícula“exerce” sobre ela mesma.

5.2.2 Forças Externas

As forças externas são forças cujos agentes estão fora do sistema tratado. Portanto,as forças gravitacional e elétrica também podem ser tratadas como forças externas.Por exemplo, considere que o sistema em estudo é composto apenas pelas partículas1 e 2 na Figura 5.3. Então, as forças gravitacional ou elétrica entre as partículas 1 e2 são consideradas como forças internas (~F1→2 e ~F2→1) e as forças que atuam sobreas partículas 1 e 2 oriundas da interação com a partícula 3 são consideradas comoforças externas (~F3→1 e ~F3→2).

Todas as forças internas de um sistema obedecem a 3a. Lei de Newton, masnem todas as forças que obedecem a 3a. Lei de Newton podem ser consideradascomo forças internas dos sistema!

Após estabelecer a diferença entre forças internas e externas de um sistemavamos retornar ao problema da dinâmica de um sistema discreto de partículas (Equa-ção (5.12)), onde aplicamos a segunda lei de Newton individualmente às partículas.Observe que os termos ~FR,i, onde i = 1, 2, 3...N, possuem contribuições de forçasinternas e externas

~FR,i = ~F internaR,i + ~F externa

R,i . (5.15)

As forças internas dependem das posições das partículas, ou seja, ~F internaR,i =

~F internaR,i (~r1, ~r2, ~r3, . . . , ~rN). Isto implica que as Equações (5.12) são acopladas e

portanto não podem ser resolvidas independentemente. Assim é necessário resolveras Equações deste sistema simultaneamente. Para isto vamos somar todas as suasEquações, resultando em

~FR,1 + ~FR,2 + ~FR,3 + · · ·+ ~FR,N =

m1~a1 +m2~a2 +m3~a3 + · · ·+mN~aN ,

⇒ ~F internaR,1 + ~F externa

R,1 + ~F internaR,2 + ~F externa

R,2 + · · ·+ ~F internaR,N + ~F externa

R,N =

m1~a1 +m2~a2 + · · ·+mN~aN . (5.16a)

Usando o fato de que o somatório de todas as forças internas de um sistema é semprenulo (Equação (5.14)), podemos reescrever a Equação (5.16a) como

~F externaR,1 + ~F externa

R,2 + · · ·+ ~F externaR,N = m1~a1 +m2~a2 + · · ·+mN~aN , (5.17)

ou de modo resumidoN∑i=1

~F externaR,i =

N∑i=1

mi~ai. (5.18)

O lado esquerdo da Equação (5.18), é o somatório apenas das forças externas atu-ando no sistema, ou seja, é a força externa resultante atuando sobre o sistema(~F externa

sistema )

~F externasistema = ~F externa

R,1 + ~F externaR,2 + · · ·+ ~F externa

R,N =N∑i=1

~F externaR,i . (5.19)


O significado físico do lado direito da Equação (5.18) está relacionado com a di-nâmica do CM. Para mostrar isto é necessário voltar à Equação das coordenadasdo CM do sistema (Equação (5.6)). Derivando duas vezes em relação ao tempo aEquação (5.6), obtemos o seguinte resultado:

d2~rCMdt2

= ~aCM =d2

dt2

(1

M

N∑i=1

mi~ai

)=

1

M

N∑i=1

mid2~ridt2

=1

M

N∑i=1

mi~ai

⇒ M~aCM =N∑i=1

mi~ai. (5.20)

O resultado mostrado na Equação (5.20) é válido apenas nos casos de sistemas queconservam a massa, isto é, a massa total do sistema M e a massa individual daspartículas é constante no tempo. Portanto, a Equação (5.20) mostra que o ladodireito da Equação (5.18) está relacionado com a aceleração do centro de massa dosistema. Usando os resultados das Equações (5.19) e (5.20), pode-se reescrever aEquação (5.18) da seguinte forma

~F externasistema = M~aCM . (5.21)

Apesar da Equação (5.21) ter sido deduzida para um sistema discreto de partículas,vale ressaltar que esta relação também é válida para um sistema contínuo de partí-culas. Observe que a Equação (5.21) tem a forma vetorial e pode ser decompostanas direções x, y e z (

F externasistema

)x

= M (aCM)x = Md2xCMdt2

, (5.22a)(F externasistema

)y

= M (aCM)y = Md2yCMdt2

, (5.22b)(F externasistema

)z

= M (aCM)z = Md2zCMdt2

. (5.22c)

A Equação (5.21) é a segunda lei de Newton para um sistema (discreto ou contínuo)de partículas. Esta Equação nos permite concluir que o movimento de translaçãodo CM de um sistema qualquer (discreto ou contínuo) de partículas é o mesmo deuma única partícula, cuja massa é igual à massa do sistema, cuja posição é a mesmado CM e está submetida a uma força externa igual à resultante que atua sobre osistema. Em outras palavras, o movimento de translação de um conjunto de partí-culas discreto ou de um corpo sólido pode ser descrito como se toda a sua massaestivesse concentrada no CM e a força resultante do sistema estivesse sendo apli-cada no CM. O movimento de translação de um asteróide, por exemplo, é descritocomo se toda a sua massa estivesse localizada no seu CM. O movimento de rotaçãodo asteróide será estudado no capítulo seguinte. Existem diversos movimentos detranslação de sistemas discretos e contínuos que são explicados pela segunda lei deNewton da Equação (5.21). Por exemplo, o movimento de um corpo sólido comouma pessoa realizando um movimento acrobático como o ilustrado na Figura (5.4).Este movimento pode ser dividido em translação e rotação da pessoa. Naturalmente,observa-se a rotação da pessoa em torno de um eixo cujas propriedades física serãoestudadas no capítulo seguinte. O movimento de translação pode ser descrito como


se toda a massa da pessoa (mp) fosse localizada em seu centro de massa e a forçaexterna, neste caso a força gravitacional (~F externa

sistema = ~P = mp~g), fosse aplicada noCM. Por isto, vemos o CM realizando um movimento parabólico, assim como umapartícula de massa mp.

Figura 5.4: Ilustração do movimento de translação e rotação de uma pessoa durante um movimentoacrobático. A translação da pessoa é descrita como um movimento parabólico como se toda suamassa estivesse concentrada no centro de massa.

Uma outra situação muito comum vem da Equação (5.21), que pode ser usadapara explicar e prever os resultados é o caso de colisões. Nestes casos, em geral,não existem forças externas resultante atuando sobre o sistema, como será mostradonos exemplos a seguir. Portanto, ~F externa

sistema = 0 = M~aCM , e isto implica que aaceleração do centro de massa (~aCM ) é nula. Assim o centro de massa irá se movercom velocidade constante qualquer que seja o processo de colisão. Lembre-se que aEquação (5.21) é válida apenas para sistemas que conservam a massa durante todoo seu movimento. O movimento de um foguete é um caso particular de sistema quenão conserva a massa.

5.3 Momento Linear

Nesta seção, será introduzida uma nova grandeza física chamada de momento li-near. O momento linear pode ser associado a uma única partícula ou a um sistema(discreto ou contínuo) de partículas. A motivação para o estudo desta nova gran-deza física está em sua utilidade para resolver problemas principalmente de colisõesde uma ou mais partículas. Foi visto em capítulos anteriores situações físicas emque a conservação da energia mecânica é uma ferramenta muito útil na resolução dediversos problemas de física. Como veremos mais adiante existem situações físicasque há a conservação do momento linear, e nestes casos o momento linear podeser utilizado como uma ferramenta muito útil na resolução do problema. O motivode chamarmos de momento linear é para distinguir do momento angular que seráestudado no capítulo seguinte. É comum falarmos apenas a palavra momento paradenominar o momento linear. O momento linear (~p) de uma partícula é definidocomo

~p = m~v, (5.23)


onde m e ~v são a massa e a velocidade da partícula, respectivamente. Note que omomento linear é uma grandeza vetorial e sua unidade no sistema internacional émassa × velocidade = kg.m/s.

Originalmente a 2a. Lei de Newton para uma única partícula foi expressausando o momento linear da seguinte forma

~FR =d~p

dt, (5.24)

onde ~FR é a força resultante sobre a partícula e ~p seu momento. A Equação (5.24)significa que a força resultante aplicada sobre uma partícula faz variar seu momentolinear. Em outras palavras, a única forma de variar o momento linear de uma par-tícula é aplicando uma força resultante não nula na partícula. No caso de umapartícula cuja massa não varia com o tempo, o lado direito da Equação (5.24) fica

d~p

dt=

d

dt(m~v) = m

d~v

dt= m~a. (5.25)

Desta forma obtemos o resultado da Equação (5.11).

O momento linear de um sistema discreto de N partículas (~P ) é naturalmenteo somatório do momento linear de todas as N partículas constituintes do sistema.Portanto,

~P = ~p1 + ~p2 + · · ·+ ~pN = m1~v1 +m2~v2 + · · ·+mN~vN

= m1d~r1

dt+m2

d~r2

dt+ · · ·+mN

d~rNdt

=d

dt(m1~r1 +m2~r2 + · · ·+mN~rN)

=d

dt

(N∑i=1

mi~ri

)=

d

dt(M~rCM) = M

d~rCMdt

⇒ ~P = M~vCM , (5.26)

onde M é a massa do sistema de partículas e ~vCM é a velocidade do centro demassa. O resultado mostrado na Equação (5.26) foi obtido usando a Equação (5.6)e considerando que a massa total do sistema de N (M) partículas não varia com otempo. Novamente note a possibilidade de descrever as propriedades físicas de umsistema de partículas, neste caso o momento linear, em função do CM.

A dedução da Equação (5.26) foi realizada considerando um sistema discretode partículas, contudo é possível realizar o mesmo procedimento de dedução consi-derando um sistema contínuo de partículas. Para isto os somatórios sobre as partí-culas devem ser substituídos por suas respectiva integrais. Assim, a Equação (5.26)também é válida para sistemas contínuos de partículas, como por exemplo um corposólido. A Equação (5.26) significa que o momento linear de um sistema qualquer(discreto ou contínuo) é o mesmo de uma única partícula cuja massa é igual a massado sistema (M) e cuja velocidade é a mesma do CM. Usando os resultados das Equa-ções (5.26) e (5.21) pode-se reescrever a segunda lei de Newton para um sistema(discreto ou contínuo) de partículas em função do seu momento linear

~F externasistema =

d~P

dt. (5.27)


A Equação (5.27) significa que apenas uma força externa resultante não nula é capazde mudar o momento linear do sistema de partículas. Em algumas situações físicasa força resultante sobre a partícula ou sobre o sistema (discreto ou contínuo) departículas é nula. Isto implica que o momento linear não varia com o tempo, ouseja, é constante. Será mostrado nos exemplos resolvidos que este resultado é muitoimportante para entendermos e prevermos o que ocorre em colisões.

5.4 Colisão e Impulso

Nesta seção, será introduzido o conceito de impulso que é uma grandeza física útilna descrição de situações físicas onde a força sobre os objetos é aplicada por umtempo finito. Exemplos destes tipos de situações são as colisões, onde a força sobreas partículas envolvidas na colisão existe apenas durante o intervalo de tempo emque elas estão em contato físico. Também será mostrado como relacionar o impulsocom a variação do momento linear. O impulso (~I) está relacionado com a integralda força que atua sobre a partícula durante o intervalo de tempo que a mesma foiaplicada. Por exemplo, considere uma bola de futebol colidindo com uma parede(ver Figura 5.5).

Figura 5.5: Ilustração de uma co-lisão entre a bola de futebol coma parede. Note que há deformaçãoda bola devido as suas proprieda-des elásticas.

O impulso da colisão é definido como:

~I =

∫ tf

ti

~F (t) dt, (5.28)

onde ~F (t) é a força que atua sobre a bola de futebol devido à colisão com a parede,ti e tf são os instantes em que a colisão inicia e finaliza, respectivamente. A unidadedo impulso no sistema internacional é força × tempo = N.s =kg.m/s3. Observe queo impulso ~I é uma grandeza vetorial e por isto possui componentes x, y e z:

Ix =

∫ tf

ti

Fx(t) dt; Iy =

∫ tf

ti

Fy(t) dt; Iz =

∫ tf

ti

Fz(t) dt (5.29)

O gráfico da Figura 5.6(a) mostra uma situação típica da força que atua sobrea bola de futebol durante a colisão. Os tempos ti e tf são os instantes que o contatoentre a bola e a parede inicia e termina, respectivamente. Note que a força apresentaum pico que corresponde ao instante de tempo em que a deformação da bola émáxima. Assim, como a Figura 5.6(a) indica, o impulso é a área abaixo da curva.

Em geral a expressão matemática para a força ~F (t) pode depender de diversaspropriedades físicas dos objetos envolvidos na colisão tais como o material que abola é feito, a pressão interna da bola, o material que a parede é feita, a área decontato, etc. Por isto em várias situações físicas a força ~F (t) não é conhecida,sendo muito comum realizar uma aproximação, assim como é mostrada na Figura5.6(b). Nesta figura, os tempos ti e tf são os mesmos da Figura 5.6(a) e o valor daforça média Fmed é tal que a área abaixo da curva da Figura 5.6(b) é a mesma daFigura 5.6(a). Portanto, embora a dependência temporal das forças de colisão sejadiferente nas Figuras 5.6(a) e 5.6(b) os impulsos possuem o mesmo valor. A Figura5.6(c), mostra dois gráficos da dependência temporal da força em duas colisões


(a) (b)

(c)

Figura 5.6: Dependência temporal da força existente em colisões. A área abaixo da curva é oimpulso dado ao objeto; (a) dependência temporal da força numa colisão real; (b) aproximação daforça por um valor médio para facilitar no cálculo do impulso; (c) comparação entre duas colisõesreais onde a dependência temporal da força é diferente, mas o impulso é o mesmo.

distintas. Na colisão 1 a força é dada por F1(t) e na colisão 2 a força é dada porF2(t). A área abaixo de ambas as curvas é a mesma, ou seja, os impulsos em ambasas colisões é o mesmo. Um exemplo real de colisões mostradas na Figura 5.6(c) éuma pessoa pulando do décimo andar de um prédio e colidindo diretamente com ochão, que proporciona um alto valor de força num intervalo de tempo curto (colisão1, na Figura 5.6(c)) e colidindo com um colchão de ar, que proporciona um baixovalor de força durante um tempo longo (colisão 2, na Figura 5.6(c)). Portanto acolisão 2 exemplifica um tipo de colisão não letal, enquanto a colisão 1 é um tipode colisão letal.

A partir da definição de impulso (Equação (5.28)) é possível correlacioná-locom a variação do momento linear da partícula. Para isto a segunda lei de New-ton expressa com o momento linear (Equação (5.24)) será substituída na Equação(5.28), resultando em:

~I =

∫ tf

ti

d~p

dtdt =

∫ ~pf

~pi

d~p = ~pf − ~pi, (5.30)

onde ~pi e ~pf são o momento linear inicial e final da partícula. Lembrando queos instantes inicial e final referem-se à aplicação da força ~F (t) como ilustrado naFigura 5.6. A Equação (5.30) é conhecida como o teorema impulso-momento linear,pois estabelece uma igualdade entre o impulso, numa colisão, por exemplo, com avariação do momento linear da partícula na colisão. Embora o momento linear e aenergia cinética sejam duas grandezas físicas distintas que dependem da massa e davelocidade, diferenciando apenas na forma matemática, elas possuem significado


físico completamente diferente. Esta diferença será esclarecida na próxima seçãoque abordará os tipos de colisões e suas características.

5.5 Energia Cinética, Momento Linear e Colisão

Nesta seção, será mostrado como as novas grandezas físicas momento linear e im-pulso são úteis na investigação de colisões de uma ou mais partículas. Outra gran-deza física que possui papel importante nas colisões é a energia cinética das partí-culas. É comum, na física, classificarmos as colisões segundo as grandezas físicasque são conservadas no processo de colisão, isto é, aquelas grandezas que perma-necem constantes antes e depois da colisão. Por exemplo, existem colisões em quea energia cinética do sistema antes e depois da colisão não possui o mesmo valor,ou seja, não é conservada. Este tipo de colisão é chamado de colisão inelástica. Jáem outros tipos de colisões a energia cinética é conservada. Desta forma, o valorda energia cinética antes e depois da colisão é mesmo. Estes tipos de colisões sãochamados de colisões elásticas. A conservação do momento linear não influenciana classificação do tipo de colisão, mas tem um papel importante no entendimentoda física nos processos de colisões. Observe na Equação (5.23) que o momentolinear fornece informação sobre a direção do vetor velocidade, por exemplo, se omomento linear tiver um valor negativo significa que o vetor velocidade é contrárioao sentido positivo adotado. No caso da energia cinética, o sentido do vetor velo-cidade (positivo ou negativo) não afeta o sinal da energia cinética, pois a mesmapossui uma dependência quadrática na velocidade e sempre será positiva

Ec =1

2mv2, (5.31)

onde m é a massa e v é a velocidade da partícula, respectivamente. Nos exemploscomentados será mostrado com mais detalhe a importância do momento linear e daenergia cinética nos processos de colisões.

Antes de iniciar o estudo das colisões elásticas e inelásticas, que dependemapenas da conservação da energia cinética, serão investigadas as condições em queo momento linear é conservado. A Equação (5.27) é a segunda lei de Newton paraum sistema (discreto ou contínuo) de partículas e descreve quantitativamente a taxade variação do momento linear do sistema. Note que esta Equação é vetorial. Con-sidere o caso que em alguma(s) da(s) direção(ões) (x, y, z) a força externa resultanteseja nula, então a taxa de variação do momento linear nesta(s) direção(ões) é nula.Por exemplo, imagine uma situação em que a bola de futebol colide com a parededa forma ilustrada na Figura 5.7, onde a aceleração da gravidade ~g deve ser levadaem conta. Neste caso o sistema é composto por uma partícula, a bola de futebol, eum obstáculo, a parede. Na direção x não há força externa resultante antes, durantee depois da colisão. Por isto o valor do momento linear na direção x antes da colisãoé o mesmo que depois da colisão. Na direção y há a força gravitacional entre a bolae a terra (que não faz parte do sistema considerado). Por isto a força externa resul-tante na direção y não é nula e o momento linear na direção y varia com o tempo


Figura 5.7: Ilustração da colisão de uma bola de futebol com uma parede em que a aceleração dagravidade é levada em conta. A conservação do momento linear da bola ocorre apenas na direção x,pois não há força externa resultante nesta direção.

(não é constante). Então, a Equação (5.27) para este exemplo fica

dPxdt

= 0⇒ Px = constante⇒ Px,antes = Px,depois (5.32a)

dPydt

= −mg ⇒ Py = −mgt+ constante⇒ Py,antes 6= Py,depois.(5.32b)

Note que para haver conservação do momento linear é necessário que a forçaexterna resultante seja nula (sistema isolado) e a massa do sistema seja constante,isto é, não entra nem sai partícula dos sistema (sistema fechado). Na seção deexemplos comentados serão discutidos exemplos quantitativos como o ilustrado naFigura 5.7.

5.5.1 Colisões Inelásticas 1D

Nas colisões inelásticas a energia cinética do sistema (discreto ou contínuo) de par-tículas não é conservada. Isto significa que a soma da energia cinética de todasas partículas (Equação (5.31)) antes da colisão é diferente daquela depois da co-lisão. Os casos de colisões que podem ser tratados de forma quantitativa simplessão aqueles em que a força externa resultante do sistema é nula. Portanto nestescasos há a conservação do momento linear em pelo menos uma das três direções demovimento. As grandezas físicas antes da colisão recebem um índice i (inicial) edepois da colisão f (final). Considere um sistema (discreto ou contínuo) de N par-tículas que na direção x a força externa resultante é nula, então podemos escrever a


conservação do momento linear nesta direção como

(Pi)x = (Pf )x ⇒(p1,i)x + (p2,i)x + · · ·+ (pN,i)x = (p1,f )x + (p2,f )x + · · ·+ (pN,f )x ⇒

m1 (v1,i)x +m2 (v2,i)x + · · ·+mN (vN,i)x = m1 (v1,f )x +m2 (v2,f )x + · · ·+mN (vN,f )xN∑k=1

mk (vk,i)x =N∑k=1

mk (vk,f )x , (5.33)

onde mk é massa da k-ésima partícula, (vk,i)x e (vk,f )x são as componentes x da ve-locidade da k-ésima partícula antes e depois da colisão, respectivamente. A Equa-ção (5.33) pode ser reescrita em qualquer outra direção (y ou z) contanto que a forçaresultante externa nestas direções seja nula.

A Figura 5.8 ilustra uma colisão inelástica de um sistema composto por doisobjetos (projétil e alvo) que podem ser tratados como duas partículas. Antes dacolisão o projétil tem velocidade ~vi,p e o alvo ~vi,a. Note que na ilustração da Figura5.8 haverá colisão em duas situações: (i) quando estes dois vetores velocidadesestiverem no mesmo sentido é necessário que |~vi,p| > |~vi,a| ou (ii) para qualquervalor de ~vi,p e ~vi,a quando estes dois vetores velocidades estiverem em sentidosopostos.

Figura 5.8: Ilustração de um caso particular de colisão onde o projétil e o alvo possuem seus vetoresvelocidade em sentidos contrários antes da colisão e no mesmo sentido após a colisão.

A ilustração da colisão na Figura 5.8 é um caso particular, pois os sentidosdos vetores velocidades antes e depois da colisão podem ser quaisquer, dependendodo tipo de colisão (elástica ou inelástica). Usando o fato da força externa resultantedo sistema, neste caso composto pelo alvo e pelo projétil, ser nula na direção domovimento dos objetos podemos usar o resultado da Equação (5.33) obtendo

mpvi,p +mavi,a = mpvf,p +mavf,a. (5.34)

A Equação (5.34) foi escrita apenas com os escalares, pois a direção do movimentonão muda. Note que dada as velocidades do projétil (vi,p) e do alvo (vi,a) antesda colisão é possível encontrar mais de uma solução para a igualdade da Equação(5.34). Isto significa que é possível combinarmos, de diferentes maneiras, os valo-res das velocidades do projétil (vf,p) e do alvo (vf,a) depois da colisão para que aEquação (5.34) seja satisfeita. Isto ocorre devido ao fato de termos duas variáveis(vf,p e vf,a) e apenas uma Equação. Estas situações serão abordadas nos exemploscomentados. Note que o momento linear individual das partículas pode variar, maso momento linear do sistema permanece inalterado.


5.5.2 Colisão Elástica 1D

As colisões elásticas são colisões em que a energia cinética do sistema (discreto oucontínuo) de partículas é conservada. A energia cinética do sistema antes da colisão(Ec,i) é igual àquela depois da colisão (Ec,f ). Considere εc a energia cinética de umaúnica partícula (Equação (5.31)). Então para um sistema (discreto ou contínuo) deN partículas cuja energia cinética é conservada podemos escrever

Ec,i = Ec,f ⇒ε

(1)c,i + ε

(2)c,i + · · ·+ ε

(N)c,i = ε

(1)c,f + ε

(2)c,f + · · ·+ ε

(N)c,f ⇒

1

2m1v

2i,1 +

1

2m2v

2i,2 + · · ·+ 1

2mNv

2i,N =

1

2m1v

2f,1 +

1

2m2v

2f,2 + · · ·+ 1

2mNv

2f,N

N∑k=1

1

2mkv

2i,k =

N∑k=1

1

2mkv

2f,k, (5.35)

onde mk é massa da k-ésima partícula, vi,k e vf,k são os módulos da velocidade dak-ésima partícula antes e depois da colisão, respectivamente.

Agora considere que na colisão ilustrada na Figura 5.8 o sistema conserva suaenergia cinética. Isto nos permite escrever a seguinte igualdade:

1

2mpv

2i,p +

1

2mav

2i,a =

1

2mpv

2f,p +

1

2mpv

2f,p. (5.36)

Em geral nas colisões elásticas os sistemas físicos, além de conservar suaenergia cinética (Equação (5.35)), também conservam o momento (Equação (5.33)).No caso de colisão unidimensional entre duas partículas como ilustrado na Figura5.8 e dada as velocidades do projétil e do alvo antes da colisão (vi,p e vi,a), é pos-sível resolver os problema quantitativamente. Desta forma teremos um sistema deEquações formado pelas Equações (5.34) e (5.36)

mpvi,p +mavi,a = mpvf,p +mavf,a1

2mpv

2i,p +

1

2mav

2i,a =

1

2mpv

2f,p +

1

2mpv

2f,p. (5.37)

No sistema de Equações (5.37) as variáveis vi,p e vi,a são conhecidas e oobjetivo é prever os valores de vf,p e vf,a. Assim o sistema é composto por duasEquações e duas incógnitas sendo possível encontrar apenas uma solução. Nesteexemplo fica claro a importância das grandezas energia cinética e momento linearna investigação de colisões.

Foi visto que nas colisões elásticas a energia cinética do sistema (discreto oucontínuo) de partículas é conservada, enquanto que na colisão inelástica isto nãoocorre. A pergunta que fica é qual a propriedade física das partículas para resul-tar numa colisão elástica ou inelástica? Para responder esta pergunta é necessárioobservar a interface entre as partículas no momento da colisão. Por exemplo, noexato momento em que o alvo e o projétil colidem na Figura 5.8 existe o contatofísico entre estes dois objetos. No intervalo de tempo que ocorre este contato osmateriais das partículas sofrem deformação (quer seja no nível microscópico ou


macroscópico). Isto ocorre como o resultado da conversão da energia cinética emdeformação mecânica, ou seja, em energia potencial elástica. Alguns materiais,por exemplo, a borracha ou uma mola, possui a propriedade física de após sofrerdeformação mecânica retornar a sua forma original antes da colisão (sem defor-mação), convertendo a energia potencial elástica em energia cinética. Assim, noexemplo da Figura 5.8 se um dos objetos (projétil ou alvo) for de borracha haverá,durante a colisão, conversão da energia cinética em energia potencial elástica e emseguida a energia potencial elástica será “re-convertida” em energia cinética. Poristo nesta colisão o sistema das duas partículas conserva energia cinética e é cha-mada de colisão elástica. No caso de materiais que não possuem a propriedadefísica de retornar a sua forma original (sem deformação), por exemplo, papel nãohaverá a “re-conversão” de energia potencial elástica em energia cinética. Portantodurante a colisão a energia cinética é convertida em energia potencial elástica e oobjeto continua deformado após a colisão. Este tipo de colisão é chamado de coli-são inelástica. Vale lembrar que as deformações mecânicas ocorridas nas colisõespodem ser de dimensões macroscópicas (como em acidentes de carro) ou micros-cópicas (como em experimentos de colisões entre átomos). Na prática, mesmo apósuma colisão inelástica, há “re-conversão” parcial da energia potencial elástica emenergia cinética, de forma que após uma colisão inelástica as partículas ainda semovem com velocidade diferente de zero.

Capítulo 6

RotaçãoAlexandre Barbosa de Oliveira

No capítulo anterior foram estudadas diversas grandezas físicas, tais como centrode massa, momento linear e impulso, que estão relacionadas com o movimento detranslação de um sistema (discreto ou contínuo) de partículas. Neste capítulo serãoestudadas novas grandezas físicas que estão relacionadas com o movimento de rota-ção de um sistema (discreto ou contínuo) de partículas. Inicialmente o movimentotratado será puramente de rotação, ou seja, não haverá um movimento misto de ro-tação e translação. Isto implica que o referencial inercial usado é aquele em que oeixo de rotação do sistema permanece em repouso. A Figura 6.1(a) ilustra um mo-vimento puramente rotativo (o eixo de rotação permanece em repouso), enquantoque a Figura 6.1(b) ilustra um movimento composto por rotação e translação.

Para exemplificar a necessidade de distinguir os movimentos de rotação etranslação, considere a ilustração da Figura 6.1. Na Figura 6.1(a), a energia ciné-tica da roda é originada apenas da rotação com velocidade angular ω, enquanto naFigura 6.1(b), a energia cinética possui duas contribuições: (i) a rotação das rodascom velocidade angular ω e (ii) a translação das rodas com velocidade ~v. Comofoi mostrado no capítulo anterior o movimento de translação de um sistema (dis-creto ou contínuo) de partículas pode ser descrito pelo movimento do seu centrode massa. Em outras palavras, todas as grandezas físicas (posição, velocidade eaceleração) pertinentes ao movimento de translação do sistema podem ser descritaspelo movimento do seu centro de massa. A descrição do movimento de rotação dosistema é o assunto deste capítulo.

6.1 Posição, Deslocamento, Velocidade e AceleraçãoAngular

Quando mencionamos, no capítulo anterior, que o sistema poderia ser um sistemadiscreto ou contínuo de partículas não foi feita nenhuma restrição à interação entreas partículas. Desta forma as distâncias entre as partículas que constituem o sis-tema poderiam ser constante ou mudarem com o tempo. Neste capítulo os sistemas(discretos ou contínuos) de partículas que serão estudados serão aqueles onde asdistâncias entre as partículas permanecem fixas, isto é, não variam com o tempo.

146

Capítulo 6 – Rotação 147

Figura 6.1: Ilustração do movimento de rotação; (a) uma roda de bicicleta realizando um movimentode rotação pura, onde o eixo de rotação está em repouso; (b) a bicicleta andando, onde além darotação das rodas existe o deslocamento linear dos seus eixos de rotação com velocidade ~v. Asvelocidades angulares das rodas são iguais porque seus raios são iguais.

Desta forma quando qualquer partícula (no caso de sistema discreto) ou qualquerelemento infinitesimal de massa (no caso de sistema contínuo) realizar uma rota-ção de um ângulo ∆θ, todas as outras partículas do sistema também realizaram amesma rotação. Um sistema contínuo de partículas que possui esta propriedade

Figura 6.2: Ilustração do movimento de rotação pura, cujo eixo de rotação é o eixo-z, mostrandoas posições inicial e final; (a) sistema discreto de três partículas cujas distâncias entre si são asmesmas antes, durante e após a rotação; (b) corte transversal de um corpo rígido de forma geométricaarbitrária ressaltando a posição e o deslocamento angular de um infinitésimo de massa do corporígido.

é chamado de corpo rígido. As Figuras 6.2(a) e 6.2(b) ilustram sistemas discretoe contínuo, respectivamente, realizando uma rotação em torno do eixo-z, onde asdistâncias entre as partículas permanecem constantes durante a rotação. Na maio-ria dos exemplos reais o sistema estudado será o corpo rígido, isto é, um sistemacontínuo de partículas, como o mostrado na Figura 6.2(b).

Nesta seção serão estudados os equivalentes angulares das grandezas físicasassociadas ao movimento linear tais como posição, deslocamento, velocidade e ace-leração. A posição de um objeto é sempre relativa a algum referencial que definimospor origem. No caso do movimento linear, a origem em geral é um ponto de par-tida. No caso angular o referencial é um dos eixos cartesianos, em geral o eixo-x,e o sentido positivo é convencionado como sendo anti-horário. Para exemplificara posição angular de um corpo rígido observe o objeto de contorno pontilhado naFigura 6.2(b). Lembre-se que num corpo rígido as distâncias entre os infinitési-mos de massa não mudam, portanto todas as partes infinitesimais do objeto giramem conjunto. Por isto pode-se escolher qualquer parte infinitesimal do objeto pararepresentar sua posição angular. No caso da Figura 6.2(b), a distância entre o infini-tésimo de massa e o eixo de rotação (eixo-z) é r. O arco de circunferência descrito


pelo infinitésimo de massa é s, então sua posição angular é definida como sendo

θ =s

r. (6.1)

A posição angular definida desta forma é medida em radianos (rad). Note que onumerador e denominador da Equação 6.1 tem unidade de comprimento, portanto aposição angular é adimensional. A relação entre o radiano com unidades de posiçãoangular é obtida da seguinte forma:

1 revolução = 1 rev = 3600 =comprimento da circunferência

raio da circunferência=

2πr

r= 2π rad,

(6.2)onde a terceira e quarta igualdade foram escritas com base na Equação (6.1).

O deslocamento angular é medido subtraindo a posição angular final da ini-cial. Esta definição é similar àquela do deslocamento linear, ou seja, é a posiçãofinal menos a inicial:

∆θ = θfinal − θfinal. (6.3)

Na Figura 6.2(b), o deslocamento angular da rotação foi realizado de tal formaque θfinal > θinicial, portanto ∆θ > 0. Desta forma, as rotações no sentido anti-horário resultam em deslocamento angular positivo e no sentido horário resultamem deslocamento angular negativo.

A velocidade angular da rotação de um objeto é definida pelo seu desloca-mento angular por unidade de tempo, similarmente à velocidade linear. Duranteuma rotação arbitrária, o objeto da Figura 6.2(b), por exemplo, pode girar de formaconstante resultando numa velocidade angular constante ou pode girar com veloci-dade angular dependente do tempo. Por isto é importante distinguir a velocidadeangular média (ωm) e a velocidade angular instantânea (ω):

ωm =θfinal − θinicialtfinal − tinicial

=∆θ

∆t, (6.4)

onde θinicial e θfinal são as posições angulares nos instantes tinicial e tfinal, respec-tivamente. A velocidade angular instantânea é a derivada de primeira ordem notempo da posição angular.

ω = lim∆t→0

∆θ

∆t=dθ

dt. (6.5)

Note que o sinal da velocidade angular depende do sinal do deslocamento angular.Assim, em rotações no sentido anti-horário a velocidade angular é positiva e nosentido horário é negativa. As unidades mais comuns de velocidade angular sãoradianos por segundo (rad/s) ou revoluções por minuto (rpm)

1 rpm =2π rad

60 s≈ 0, 105 rad/s. (6.6)

Da mesma forma que a velocidade angular foi definida com a variação da po-sição angular no tempo, pode-se definir a aceleração angular como sendo a variação


da velocidade angular no tempo. Assim, as definições da aceleração angular média(αm) e da aceleração angular instantânea (α) ficam

αm =ωfinal − ωinicialtfinal − tinicial

=∆ω

∆t, (6.7)

onde ωinicial e ωfinal são as velocidades angulares nos instantes tinicial e tfinal, res-pectivamente. A aceleração angular instantânea tem a forma

α = lim∆t→0

∆ω

∆t=dω

dt. (6.8)

Note que se a dependência temporal da posição angular θ(t) for conhecida,então todas as outras grandezas físicas associadas ao movimento angular podem serobtidas através da derivação temporal. Isto também ocorre com o movimento linear.

Uma observação final é que devido ao fato das distâncias entre as partícu-las, num corpo rígido, permanecerem constantes, todas as suas partes infinitesimaispossuem o mesmo valor do deslocamento, da velocidade e da aceleração angular.A posição angular depende da parte infinitesimal do corpo rígido que está sendoobservada.

6.2 Relacionando as Grandezas Lineares e Angula-res

Quando um corpo rígido ou uma partícula executa um movimento de rotação, amesma descreve um caminho linear dado pelo arco de circunferência s, assim comoilustrado na Figura 6.3. Esta seção é dedicada ao estabelecimento das relaçõesmatemáticas entre as grandezas lineares e angular no movimento de rotação. Nailustração da Figura 6.3, por exemplo, a posição do infinitésimo de massa é dadapelo arco que o mesmo descreve a partir do eixo-x (eixo de referência). Assim,a posição do ponto observado no movimento circular pode ser expressa na formalinear por:

s = r θ, (6.9)

onde r é a menor distância entre o ponto observado (no caso da Figura 6.3 é o infi-nitésimo de massa) ao eixo de rotação e θ é a posição angular do ponto observado.Na Equação (6.9) o ângulo deve ser expresso em radianos. Note que quanto maisdistante do eixo de rotação, maior será o valor de r, consequentemente o arco decircunferência descrito pelo objeto terá o comprimento maior. Este aumento escalalinearmente com r.

A velocidade linear do ponto observado num movimento circular é encontradamedindo a taxa temporal de seu deslocamento linear s. Usando a Equação (6.9),encontramos que a velocidade instantânea linear ou simplesmente velocidade lineardo ponto observado num movimento circular pode ser expressa por:

v =ds

dt= r

dθ

dt= rω. (6.10)


Na Equação (6.10) a velocidade angular instantânea ω deve ser expressa emrad/s. Observe que a Equação 6.10 é válida apenas quando a distância r é cons-tante no tempo, o que é sempre verdade num corpo rígido. Lembre-se que o ve-tor velocidade linear (~v) no movimento circular é sempre tangente à circunferên-cia descrita pelo ponto observado (ver Figura 6.3). Portanto podemos escrever ovetor velocidade linear com módulo dado pela Equação 6.10 e direção do versorθ(t) = −sen(θ)i+ cos(θ)j:

~v = rωθ. (6.11)

Outra conclusão importante da Equação (6.10) é quanto mais distante do eixo derotação, maior será o valor de r e portanto maior será a velocidade linear do pontoobservado.

Figura 6.3: Ilustração do mo-vimento de rotação em torno doeixo-z de um corte transversal deum corpo rígido de forma arbitrá-ria, mostrando as grandezas linea-res e angulares. Em especial noteos vetores da aceleração e veloci-dade angular ~v, ~atg e ~ac.

A aceleração linear de um ponto observado num movimento circular pode sercalculada pela variação temporal da velocidade linear da Equação (6.11). Portanto,a aceleração linear num movimento circular fica

~a =d~v

dt= r

(dω

dtθ + ω

dθ

dt

)= r

[αθ + ω

(−cos(θ)dθ

dti− sen(θ)

dθ

dtj

)]= r

[αθ + ω

(−ωcos(θ)i− ωsen(θ)j

)]= r

[αθ − ω2

(cos(θ)i+ sen(θ)j

)]= r

(αθ − ω2r

)(6.12)

logo,~a = rαθ − rω2r, (6.13)

onde o versor r(t) = sen(θ)i+cos(θ)j foi utilizado para simplificar a notação e α =dωdt

é a aceleração angular. Note que ao derivar um vetor com notação polar (Equação6.11) resultou em dois outros vetores que também foram escritos em coordenadaspolares (Equação 6.13). É possível reescrever a Equação (6.13) em função dosvetores cartesianos.

A Figura 6.3 ilustra geometricamente como o vetor aceleração linear obtidona Equação 6.13 se comporta durante a rotação. O vetor aceleração linear no mo-vimento circular possui duas componentes vetoriais, uma tangente ~atg (na direçãode θ(t)) e outra perpendicular ~ac (na direção de r(t)) ao movimento. Note que ~acaponta para o centro da circunferência (sinal negativo). O módulo da componentetangencial é o resultado da derivação da Equação (6.10)

~atg = rdω

dtθ = rαθ. (6.14)

A componente da aceleração na direção de r(t) é a aceleração centrípeta:

~ac = −rω2r = −r(vr

)2

r = −v2

rr. (6.15)

6.3 Cinética do Movimento de Rotação

Nas seções anteriores foram introduzidas as grandezas físicas relevantes para o es-tudo do movimento de rotação. Agora será estudada a cinética do movimento de


rotação. Portanto, o primeiro passo é obter uma expressão matemática para a ener-gia cinética de rotação. Para obter esta expressão será considerado inicialmenteum sistema discreto de N partículas cujas distâncias entre si são constantes, assimcomo no corpo rígido. Em seguida esta dedução será estendida para um sistemacontínuo de partículas, corpo rígido. A energia cinética total (K) de um sistema deN partículas é a soma da energia cinética de cada partícula, portanto

K =1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 +

1

2m3v

23 + · · ·+ 1

2mNv

2N =

N∑i=1

1

2miv

2i , (6.16)

onde mi e vi são a massa e a velocidade da i-ésima partícula do sistema em rotação.Lembre que vi depende da distância da respectiva partícula ao eixo de rotação ri(ver Equação (6.10)). Substituindo a Equação (6.10) na Equação (6.16) temos que:

K =N∑i=1

1

2mi (riω)2 =

1

2

(N∑i=1

mir2i

)ω2 =

1

2Iω2, (6.17)

onde

I =N∑i=1

mir2i (6.18)

é o momento de inércia de um sistema discreto de N partículas. Note que foi possí-vel escrever a Equação (6.17) dessa forma simplificada pelo fato de todas as partí-culas do sistema possuírem a mesma velocidade angular ω. Isto só é verdade se asdistâncias entre as partículas permanecerem constantes ao longo do movimento derotação.

No caso de um sistema contínuo de partículas, um corpo rígido, o cálculo é si-milar e no lugar do somatório aparece a integral. Considere o corpo rígido ilustradona Figura 6.3. No sistema discreto realizamos a soma da energia cinética sobrecada partícula, no sistema contínuo (corpo rígido) será feita uma integração sobreo infinitésimo de massa. Cada infinitésimo de massa dm do corpo está localizado auma distância r do eixo de rotação. Portanto a energia cinética de um infinitésimode massa é:

dK =1

2(dm) v2, (6.19)

onde v é a velocidade linear tangencial do infinitésimo de massa dm. A energiacinética total do sistema é dada pela integração da Equação (6.19) sobre o corporígido:

K =

∫dK =

∫1

2v2dm =

1

2

∫(rω)2 dm =

1

2

(∫r2dm

)ω2 =

1

2Iω2, (6.20)

ondeI =

∫r2dm (6.21)

é o momento de inércia de um sistema contínuo de partículas e a integração é re-alizada sobre o sistema (onde há massa). Para obter o resultado final da Equação(6.20) foi usada a Equação (6.10). Observe que o momento de inércia é um fa-tor geométrico, ou seja, só depende das dimensões do objeto e de sua massa, não


depende da velocidade e nem da aceleração angular. É importante ressaltar que omomento de inércia depende do eixo de rotação do sistema, pois isto acarreta numamudança do valor de r no cálculo de I. As Equações (6.17) e (6.20) são chamadas deenergia cinética de rotação. Observe que estas Equações possuem uma similaridadecom a energia cinética de translação, onde o momento de inércia I faz o papel damassa e a velocidade angular ω faz o papel da velocidade linear. Lembre-se que estemovimento é de rotação pura e deve ser distinguido do movimento de translação.

6.4 Momento de Inércia

Nesta seção será mostrado como realizar o cálculo do momento de inércia em sis-temas discreto e contínuo de partículas. Inicialmente será calculado o momentode inércia de um haltere relativo a dois eixos de rotação diferentes. Em seguidaserá calculado o momento de inércia de uma barra delgada relativo a dois eixos derotação diferentes.

A Figura 6.4 ilustra um haltere composto por duas massasm1 em2 de mesmovalor que estão separadas por uma distância d. No cálculo do momento de inérciaserá desconsiderado a massa da barra que liga as duas massas.

Figura 6.4: Ilustração da rotação de um haltere em torno de dois eixos paralelos, mas em posiçõesdiferentes.

Aplicando a Equação (6.18) do momento de inércia, para rotação em torno doeixo 1, para sistema discreto de duas partículas da Figura 6.4, obtemos

I1 = m1r21 +m2r

22 = m1

(d

2

)2

+m2

(d

2

)2

=1

2md2, (6.22)

onde m1 = m2 = m. No caso do eixo de rotação 2, o momento de inércia fica

I2 = m1r21 +m2r

22 = m10 +m2d

2 = md2. (6.23)

O momento de inércia para rotações em torno do eixo 1 (I1) é menor do que aquelepara rotações em torno do eixo 2 (I2). Isto implica que para girar o haltere em torno


do eixo 1 é mais fácil do que girá-lo em torno do eixo 2. Isto se deve ao fato de queo eixo 1 passa através do centro de massa do sistema.

A Figura 6.5, ilustra uma barra cilíndrica cujo comprimento L é muito maiordo seu raio, ou seja, é uma barra delgada. Na prática esta barra será tratada comouma “linha” de comprimento L. O material da qual a barra é feita é homogêneo deforma que sua densidade volumétrica é constante, isto é, ρ = massa/volume =dm/dV = constante. Aplicando a Equação (6.21) do momento de inércia, pararotação em torno do eixo 1, para sistema contínuo da Figura 6.5 obtemos:

I1 =

∫r2

1dm =

∫r2

1ρ dV

= ρ

∫ L/2

−L/2x2dx

∫dy dz = ρA

(x3

3

)L/2−L/2

=M

VAL3

12=

M

ALAL3

12I1 =

1

12ML2. (6.24)

Para obter o resultado final da Equação (6.24) foram usadas duas relações: (i) adensidade do material da barra é constante e pode ser escrita como sendo a massatotal da barra (M) sobre seu volume total (V): ρ = M

V; (ii) volume da barra é escrito

como a área transversal (A) vezes seu comprimento (L): V = AL. No caso do eixode rotação 2, o momento de inércia fica

I2 =

∫r2

2dm =

∫r2

2ρ dV

= ρ

∫ L

0

x2dx

∫dy dz = ρA

(x3

3

)L0

=M

VAL3

3=

M

ALAL3

3=

1

3ML2. (6.25)

Portanto é mais difícil girar a barra em torno do eixo 2 do que em torno do eixo 1,pois I2 > I1. Isto se deve ao fato de que o eixo 1 passa pelo centro de massa dabarra.

Figura 6.5: Ilustração da rotação de uma barra delgada em torno de dois eixos paralelos em posiçõesdiferentes.


Nesses exemplos fica claro que o momento de inércia depende fortementedo eixo de rotação escolhido. Agora será mostrado um teorema que relaciona omomento de inércia entre dois eixos de rotação paralelos entre si, sendo um delespassando pelo centro de massa do sistema.

6.4.1 Teorema dos Eixos Paralelos

Para demonstrar este teorema considere o corpo rígido da Figura 6.6. Os eixos derotação são dois: (i) eixo-z, que passa pela origem do sistema cartesiano e (ii) eixoparalelo ao eixo-z que passa pelo ponto P. O centro de massa do corpo rígido estálocalizado na origem do sistema cartesiano da Figura 6.6. Existem duas observa-ções que devem ser levadas em conta: 1) O eixo-z de rotação passa pelo centro demassa. O momento de inércia relativo a este eixo será denominado ICM . Sendor =

√x2 + y2 a distância entre o infinitésimo de massa dm e o eixo-z de rotação e

usando Equação (6.21) para o momento de inércia de sistema contínuo de partículas

ICM =

∫r2dm =

∫ (x2 + y2

)dm. (6.26)

2) Pelo fato do centro de massa estar localizado na origem do sistema cartesiano,então todas as suas coordenadas são nulas, isto é

xCM = yCM = zCM = 0. (6.27)

Recuperando as Equações das coordenadas do centro de massa do capítulo anterior,temos que

xCM =1

M

∫x dm, (6.28a)

yCM =1

M

∫y dm, (6.28b)

zCM =1

M

∫z dm. (6.28c)

onde as coordenadas do infinitésimo de massa dm são (x, y, z) e M é a massa total docorpo rígido. Usando o resultado da Equação (6.27) nas Equações (6.28a - 6.28c),temos que ∫

x dm = 0, (6.29a)∫y dm = 0, (6.29b)∫z dm = 0. (6.29c)

Lembrando que as integrais nas Equações (6.28a - 6.28c ) e (6.29a - 6.29c )são realizadas sobre o corpo rígido. De acordo com a notação usada na Figura 6.6o ponto P está localizado nas coordenadas (xP = a, yP = b). A distância entre o


infinitésimo de massa e o ponto P é dada por rP =√

(x− a)2 + (y − b)2. Portanto,o momento de inércia relativo ao eixo de rotação que passa pelo ponto P é

IP =

∫r2Pdm =

∫ [(x− a)2 + (y − a)2] dm

IP =

∫ (x2 + y2

)dm− 2a

∫xdm− 2b

∫ydm+

(a2 + b2

) ∫dm,(6.30)

onde as variáveis a e b não participam da integral pois são constantes. Usando asEquações (6.26) e (6.29a - 6.29c) e o fato de que a massa total M =

∫dm pode-se

reescrever a Equação (6.30) da forma

IP = ICM +Md2, (6.31)

onde d =√a2 + b2 é a menor distância entre o eixo-z e o eixo que passa pelo ponto

P. A Equação (6.31) é o teorema dos eixos paralelos do momento de inércia. Comoponto de observação fica como exercício verificar a veracidade da Equação (6.31)nos resultados das Equações (6.22), (6.23), (6.24) e (6.25).

Figura 6.6: Ilustração de um corte transversal de um corpo rígido de forma arbitrária mostrando asvariáveis relevantes para a demonstração do teorema dos eixos paralelos, assim como os eixos derotação usados.

6.5 Torque

Nesta seção, será introduzida uma nova grandeza física de muita utilizada no es-tudo quantitativo e qualitativo da dinâmica e estática de movimentos de rotação.Para exemplificar isto considere o exemplo de equilíbrio numa gangorra ilustradona Figura 6.7. Sabemos que se as massas forem iguais, então para equilibrar estesistema os comprimentos entre as massas e o ponto de apoio devem ser iguais. Masno caso das massas serem diferentes? O comprimento entre o ponto de apoio e amassa (m1) localizada no lado esquerdo é d1. A outra massa (m2) deve ser colo-cada no lado direito numa posição tal que a gangorra fique em equilíbrio. Para istoé necessário que a mesma fique na horizontal, caso contrário a gangorra irá deslizarsobre o ponto de apoio. Qual é a distância (d2) entre o ponto de apoio e a massam2 para que isto ocorra? Para responder esta pergunta de equilíbrio estático é ne-cessário analisar uma grandeza chamada torque. Intuitivamente sabemos que para


Figura 6.7: Ilustração de equilíbrio numa gangorra.

equilibrar a gangorra ilustrada na Figura 6.7 é necessário balancear os comprimen-tos com o valor das massas.

Para definir o torque considere o sistema formado por uma barra de compri-mento L ligada a um eixo de apoio para rotação que está perpendicular à página (verFigura 6.8), despreze a ação da gravidade. O movimento de rotação ocorre no planoda página. Para girar a barra é necessário vencer o atrito existente no eixo de rota-ção. Intuitivamente sabemos que para girar a barra é necessário aplicar uma forçaperpendicular à mesma (ϕ = 900 na Figura 6.8). A componente de força paralelaà barra não interfere no movimento de rotação. Experimentalmente sabemos queé mais fácil girar a barra aplicando uma força na extremidade oposta do ponto deapoio (r = L na Figura 6.8). Quanto mais próximo do ponto de apoio (menor valorde r), maior será a força necessária para girar a barra. A definição de torque (τ ) estáassociada a localização em que a força perpendicular à barra (F⊥) é aplicada e aoseu módulo

τ = rF⊥ = r∣∣∣~F ∣∣∣ senϕ. (6.32)

A componente da força F⊥ é sempre tangente à circunferência descrita pelo movi-mento de rotação. Note que a unidade de torque é comprimento x força. Portanto,para girar a barra, isto é, para vencer o atrito no eixo, é necessário aplicar um torquemínimo τ0. Considere que o torque mínimo τ0 = 40 N.m e a distância r = 40 cm,então o valor mínimo da componente perpendicular da força necessária para girar abarra é F⊥ = 100 N. Qualquer força acima deste valor também provocará uma rota-ção na barra. É possível girar a mesma barra com uma força menor. Para isto deveser aplicada numa distância r maior. Por exemplo, se quisermos girar a mesma barraaplicando F⊥ = 50 N teríamos que aplicá-la num ponto duas vezes mais distantespara obter o torque mínimo τ0.

Assim, como a velocidade e a aceleração angular possuem natureza vetorial,o torque também tem propriedades de vetores e pode ser escrito na seguinte formavetorial

~τ = ~r × ~F , (6.33)

onde ~r é um vetor que aponta do eixo de rotação para o ponto onde a força é aplicada(ver Figura 6.8) e ~F é o vetor força aplicada. No caso da Figura 6.8 o torque apontapara fora da página e é sempre perpendicular à ~r e ~F .

Finalmente é possível entender o problema de equilíbrio da gangorra ilustradona Figura 6.7. Para haver o equilíbrio estático, ou seja, a gangorra fique parada, énecessário que a soma vetorial dos torques seja nula. Assim o vetor torque provo-cado pela massa m1 deve ter o mesmo módulo, mas de sentido oposto, ao torque


Figura 6.8: Ilustração do movimento de rotação de uma barra apoiada num eixo, mostrando asgrandezas físicas relevantes.

provocado pela massa m2. A força que origina o torque é a força peso. Portanto

P1d1 = P2d2 ⇒ m1d1 = m2d2, (6.34)

A igualdade da Equação (6.34) é a condição necessária do equilíbrio estático naFigura 6.8. Note que a gangorra na horizontal implica que as forças peso são per-pendiculares à barra de apoio.

6.6 Segunda Lei de Newton para Rotações

Nesta seção será mostrada a lei física que rege a dinâmica de rotação de corposrígidos. Esta lei possui uma similaridade com a segunda lei de Newton para omovimento linear de uma partícula de massa m. Na seção anterior foram abordadassituações físicas nas quais a dinâmica de todo o objeto não foi levada em conta.Por exemplo, na situação da gangorra os blocos foram aproximados por massaspontuais localizadas na extremidade da barra. No caso da barra da Figura 6.8, aforça foi analisada pontualmente e não foi levado em conta o que ocorre ao longoda barra. Considere o movimento de rotação em torno do eixo-z do corpo rígidoda Figura 6.9. Esta rotação é o resultado de uma força resultante que atua sobretodas as partículas do corpo rígido. Neste momento a origem desta força resultantenão é relevante. Sobre cada infinitésimo de massa (dm) atua uma força resultanteinfinitesimal (d~F ). Portanto, de acordo com a Figura 6.9 e usando a definição detorque da Equação 6.32, o torque resultante infinitesimal (dτ ) em cada infinitésimode massa é

dτ = rd ~F⊥, (6.35)

onde r é a menor distância do infinitésimo de massa ao eixo de rotação e d~F⊥ éa componente perpendicular ao vetor ~r da força resultante, ou seja, é tangente àcircunferência descrita pelo movimento de rotação de dm. Aplicando a segunda lei


de Newton para o movimento linear do infinitésimo de massa dm obtemos que

d~F⊥ = (dm) atg, (6.36)

onde atg é o módulo da componente tangencial do vetor aceleração linear resul-tante no movimento de rotação de dm e definida na Equação (6.14). Substituindo aEquação (6.14) e (6.36) na Equação (6.35) temos que

dτ = (dm) rα = αr2 (dm)⇒ τ =

∫dτ = α

∫r2dm = αI, (6.37)

onde τ é o torque total sobre o corpo rígido e I é o momento de inércia de um sis-tema contínuo de partículas (6.21). A integral na Equação (6.37) deve ser realizadasobre o corpo rígido. Como se trata de um corpo rígido a aceleração angular αé a mesma para qualquer parte do corpo, por isso ela não pertence ao integrando.A Equação (6.37) é a segunda lei de Newton para o movimento de rotação. Elarelaciona o torque resultante sobre o corpo rígido com o momento de inércia e aaceleração angular. Ao comparar a segunda lei de Newton para movimento de ro-tação com aquela do movimento linear pode-se observar que o momento de inérciado corpo rígido faz o papel da massa e a aceleração angular faz o papel da acele-ração angular. A Equação (6.37) diz que para girar um corpo rígido em torno deum determinado eixo de rotação com aceleração angular α0 é necessário aplicar umtorque τ = α0I . Portanto, quanto maior o momento de inércia do corpo relativoa um determinado eixo de rotação, maior será o torque necessário para girá-lo emtorno deste eixo. Isto significa que quanto maior o momento de inércía, o corpo pa-recerá mais “pesado” para girar. Note que a Equação (6.37) implica em torque nulono caso de velocidade angular constante (α = 0) e ausência de atrito. Ou seja, nãoé necessário realizar torque externo para girar um corpo à velocidade angular cons-tante que não apresenta atrito. Note que a Equação (6.37) só é válida se a distânciaentre as partículas (sistema discreto) ou infinitésimos de massa (sistema contínuo)permanecerem constantes durante movimento de rotação. A Equação (6.37) não éaplicável, por exemplo, nos casos de um furacão ou um redemoinho onde as partí-culas se movem umas em relação às outras.

6.7 Trabalho e Energia Cinética de Rotação

Em capítulos anteriores foi mostrado o teorema trabalho energia cinética do movi-mento linear. Este teorema relaciona o trabalho realizado por uma força externa aosistema com sua variação da energia cinética linear. Para relembrar este teoremaconsidere o sistema como sendo um bloco de massa m. Esta demonstração pode serrealizada em duas situações distintas:

• O bloco repousa sobre uma superfície sem atrito, e uma pessoa aplica umaforça ~Faplicada paralela à superfície, empurrando o bloco para frente;

• O bloco está em queda livre sem resistência do ar, onde o peso faz o papel daforça aplicada (~Faplicada = ~F = m~g) sobre o bloco.


Figura 6.9: Ilustração do movimento de rotação da seção transversal de um corpo rígido de formageométrica arbitrária, mostrando as variáveis relevantes para a dedução da segunda lei de Newtonda rotação.

Nas duas situações não existe força de atrito, a força externa aplicada ao corpoé não nula e o movimento é unidimensional. Nestes casos o trabalho realizado (W)pela força externa pode ser escrito como

W =

∫ xf

xi

Faplicadadx, (6.38)

onde x é a posição do centro de massa do bloco, xi e xf são as posições inicial e finaldo bloco e Faplicada é a força externa aplica ao bloco na direção do seu movimento(qualquer componente de força perpendicular à direção do movimento não realizatrabalho). Em ambas as situações (1) e (2) a força aplicada pode ser escrita como:

~Faplicada = ~Fresultante = m~a. (6.39)

Note que a Equação (6.39) não é verdadeira no caso de existência do atrito, poiso atrito aparece como uma segunda força externa atuando no bloco. Neste caso, aEquação (6.39) seria escrita da seguinte forma

~Faplicada + ~Fatrito = ~Fresultante = m~a, (6.40)

onde a força de atrito ~Fatrito é sempre contrária ao movimento do bloco.

Portanto, no caso sem atrito a Equação (6.38) fica

W =

∫ xf

xi

Faplicadadx =

∫ xf

xi

madx

=

∫ xf

xi

mdv

dtdx =

∫ vf

vi

mdx

dtdv =

∫ vf

vi

mv dv

=1

2mv2

f −1

2mv2

i = ∆K, (6.41)


onde vi e vf são as velocidades inicial e final do centro de massa do bloco. AEquação (6.41) é o teorema trabalho energia cinética para o movimento linear.

Para movimentos de rotação existe um teorema que relaciona o trabalho rea-lizado por um torque externo aplicado com a variação da energia cinética rotacionaldo corpo rígido. Para encontrar esta relação considere a ilustração na Figura 6.9. Arotação do corpo rígido é o resultado do torque externo devido a componente dF⊥da força externa resultante que atua sobre os infinitésimos de massa (dτ = dF⊥r).Seguindo o mesmo raciocínio e considerações feitas para deduzir a Equação (6.41),ou seja, não existe atrito na rotação do corpo rígido da Figura 6.9 e a componenteinfinitesimal perpendicular da força externa aplicada dFaplicada = dF⊥ (responsávelpelo torque) pode ser escrita da seguinte forma

dFaplicada = dF⊥ = (dm) atg, (6.42)

onde atg é a aceleração tangencial à circunferência descrita pelo movimento de rota-ção e dm é a massa infinitesimal. No movimento de rotação o deslocamento lineardo corpo rígido é descrito por um arco de circunferência. Portanto, o diferenciallinear unidimensional dx na Equação (6.38) se torna um diferencial linear de arcode circunferência dx = ds = rdθ. Usando este fato e substituindo a Equação (6.42)na Equação (6.38) temos que o trabalho infinitesimal realizado pela força dF⊥ paragirar o infinitésimo de massa dm é:

dW =

∫ θf

θi

F⊥rdθ =

∫ θf

θi

(dτ) dθ =

∫ θf

θi

(dm) atgrdθ =

∫ θf

θi

(dm) rαrdθ

= (dm) r2

∫ θf

θi

dω

dtdθ = (dm) r2

∫ ωf

ωi

dθ

dtdω = (dm) r2

∫ ωf

ωi

ωdω

= (dm) r2 1

2

(ω2f − ω2

i

), (6.43)

onde dτ é o torque infinitesimal no infinitésimo de massa dm, atg é a aceleraçãotangencial do infinitésimo de massa, ωi e ωf são a velocidade angular inicial e finaldo infinitésimo de massa (que é igual para todo o corpo rígido). O trabalho realizadopela força aplicada sobre todo o corpo rígido é:

W =

∫dW =

∫1

2r2(ω2f − ω2

i

)dm =

1

2

(ω2f − ω2

i

) ∫r2dm =

1

2

(ω2f − ω2

i

)=

1

2Iω2

f −1

2Iω2

i = ∆Krot, (6.44)

onde a integral é realizada sobre a massa do corpo rígido, a diferença (ω2f −ω2

i ) nãodepende da massa, por isto não participa da integral, e I é o momento de inérciado corpo rígido relativo ao eixo da rotação. A Equação (6.44) é o teorema trabalhoenergia cinética de rotação, que relaciona o trabalho realizado por um torque apli-cado (devido a uma força aplicada) com a variação da energia cinética de rotaçãodo corpo rígido.

Capítulo 7

O movimento dos corpos rígidosRonai Machado Lisbôa

7.1 Introdução

Desde o início do nosso curso, o estudo da Física aparentemente ficou mais com-plicado. Iniciamos com a cinemática e a dinâmica para uma partícula e depoispara um sistema de muitas partículas. Aprendemos que os corpos extensos sãoanalisados como partículas porque o movimento de todas as partículas do corpo ésubstituido pelo movimento do centro de massa. Portanto, o sistema de muitas par-tículas tem somente o movimento de translação pura porque vislumbramos apenaso movimento do seu centro de massa. Podemos dizer que a Física complica porqueos fenômenos naturais tornam-se mais complexos, mas mais interessantes. Por essemotivo, aprendemos no capítulo anterior que quando o movimento de um corpoextenso não pode ser abordado como uma partícula, isto é, através do movimentodo seu centro de massa, devemos levar em conta o movimento de rotação em tornode um eixo fixo. A partir de agora, estudaremos a combinação dos movimentosde translação e de rotação dos corpos extensos e que são observados em situaçõescotidianas: uma bola num jogo de futebol, a bola de boliche, as bolas de bilharapós uma tacada, as rodas dos automóveis e motocicletas numa estrada, etc. Todosesses exemplos são muito complexos, mas é possível, e necessário, simplificar ossistemas físicos para que possamos interpretá-los.

7.2 O rolamento

7.2.1 A cinemática do rolamento

Para examinar o movimento mais geral de um corpo rígido é essencial definir umreferencial inercial o qual o observador, nesse referencial, verá o corpo rígido sedeslocar. Um cordo rígido adequado, nesse momento, tem simetria esférica e umeixo imaginário fixo que atravessa o seu centro de massa, o eixo de rotação (Figura7.1).

Figura 7.1: Uma esfera que giraem torno de um eixo imaginárioque atravessa o centro de massa.

Define-se rolamento, o movimento do corpo rígido sobre uma superfíciecomo uma combinação da translação do seu centro de massa em relacão ao refe-rencial inercial e de uma rotação de um ponto material do corpo em relacão ao eixo

161

Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 162

de rotação. Para um observador num referencial inercial as trajetórias do centrode massa e de um ponto na periferia da esfera são uma linha reta e uma ciclóide,observadas na Figura 7.2.

Figura 7.2: Trajetórias do centro de massa e de um ponto na periferia da esfera. A trajetória curvaé uma ciclóide.

A condição de rolamento é escrita matematicamente por

s = θr (7.1)

e diz que para uma esfera de raio r, o ponto de contato com a superfície desloca-sede uma distância s enquanto a posição angular do mesmo ponto gira de um ânguloθ em torno do eixo de rotação. Se esse vínculo é satisfeito a esfera rola sem deslizarcomo mostrado na Figura 7.3.

Figura 7.3: Quando a condiçãode rolamento é satisfeita a esferatem o deslocamento s = θr.

A derivada da equação (7.1) em relação ao tempo é a forma escalar para avelocidade de quaisquer pontos materiais da esfera em relação ao centro de massa

vp = ωr, (7.2)

onde vp é a velocidade tangencial, ω é a velocidade angular e r é a distância do pontoconsiderado ao eixo de rotação. Na Figura 7.4(a), temos uma seção reta da esferae recordamos que a velocidade angular tem natureza vetorial com a direção e osentido convencionados pela regra da mão direita. Na forma vetorial, a velocidadede qualquer ponto se escreve como ~vp = ~ω × ~r e, somente no caso particular davelocidade angular ~ω na direcão do eixo de rotação e perpendicular ao vetor posição~r a forma escalar é dada pela Equação (7.2). Na Figura 7.4(b), todos os pontos sobre

(a) (b) (c)

Figura 7.4: Em (a) recordamos que a velocidade ~vp = ~ω × ~r é uma grandeza vetorial. A esferatranslada com a velocidade do centro de massa (b) e gira com a velocidade angular (c).

a esfera têm a mesma magnitude e a direção da velocidade do centro de massa ~vcme na Figura (7.4(c), eles giram com a mesma velocidade angular ~ω, mas para uma


dada distância r a partir do centro da esfera a magnitude da velocidade ~vp muda deacordo com a Equação (7.2). A resultante vetorial dessas velocidades é

~v = ~vcm + ~vp. (7.3)

A partir dessa Equação (7.3) é possível calcular a velocidade resultante de quais-quer pontos sobre o corpo rígido que rola sem deslizar. Na esfera da Figura 7.5,

Figura 7.5: A velocidade resul-tante em cada ponto da esfera é asoma ~v = ~vcm + ~ω × ~r. No topo~v = 2~vCM e no ponto de contatocom a superficie ~v = 0.

o ponto em contato com a superfície está instantaneamente em repouso (~v = 0)porque ~vcm = −~vp. No topo da esfera a velocidade é máxima ~v = 2~vcm. Esseresultado justifica a imagem borrada na parte superior e mais nítida na parte inferiorda logomarca do fabricante do pneu do carro de Fórmula 1.

O centro de massa permanece diretamente acima do ponto de contato e semove também, pela distância s = θr, como podemos ver na Figura 7.3. Portanto,derivando a condição de rolamento para o deslocamento, em relação ao tempo, avelocidade do centro de massa é dada segundo a Equação

vcm = vp = ωr . (7.4)

Por esse motivo, nas Figuras 7.4(b) e 7.4(c) tomamos o cuidado de desenhar osvetores velocidades ~vcm e ~vp na periferia da esfera com o mesmo módulo.

Exemplo 7.1. A barra mostrada na Figura 7.6 é confinada a se mover de acordocom as trajetórias dos pinos em suas extremidades. No instante mostrado, o pontoA tem o movimento indicado. Determine a velocidade do ponto B nesse instante. A

Figura 7.6: A haste rígida possuium movimento de translação e ro-tação.

barra tem o movimento vinculado. A velocidade do ponto B é

~vB = ~vA + ~ω × ~rAB (7.5)

onde ~ω é a velocidade angular da barra e ~rAB é o vetor posição do ponto A aoponto B. O módulo rAB é o comprimento da barra. Dos dados do problema temosque ~vA = 6i, ~rAB = −4i − 3j e ~ω = ωz. Substituindo esses valores na Equação(7.5), temos

vB j = 6i+ [ωz × (−4i− 3j)] (7.6)

e calculando o produto vetorial na segunda parcela do lado esquerdo da Equação,nós encontramos a soma vetorial

0 = (6 + 3ω)i

vB j = −4ωj .(7.7)

Igualando as equações para as componentes chegamos num sistema de equações,

x : 0 = 6 + 3ω −→ ω = − 2k rad/s

y : vB = − 4ω −→ vB = 8j cm/s.(7.8)

O sinal negativo para a velocidade angular indica que o sentido é para dentro dopapel.


7.2.2 O rolamento: Uma rotação pura

Na sessão anterior escolhemos um eixo de rotação atravessando o centro de massado corpo rígido. Nada impede que a escolha do eixo de rotação seja deslocado parao próprio ponto de contato, chamado eixo instantâneo de rotação. Nesse caso, orolamento é possível através de uma rotação pura, onde a velocidade angular domovimento de rotação em torno do centro de massa é igual à velocidade angularda rotação em torno do eixo instantâneo de rotação, pois todos os pontos do corporígido têm a mesma velocidade angular ~ω.

Figura 7.7: No rolamento puro aesfera gira ao redor do eixo instan-tâneo de rotação em contato com asuperfície.

Num rolamento puro ao redor do ponto de contato, como mostrado na Figura7.7 a velocidade do ponto de contato é nula porque r = 0 e para um ponto diame-tralmente oposto a velocidade e máxima, v = ω (2 r) = 2 vcm. Logo, os mesmosresultados quando consideramos o eixo de rotação atravessando o centro de massa.

7.2.3 A energia do movimento de rolamento

Aprendemos o cálculo do momento de inércia de um sistema de partículas e de al-guns corpos rígidos simétricos em relação a um eixo de rotação. Vamos utilizar esseconhecimento para obter a Equação da energia do rolamento de um corpo rígido.Para um observador no referencial inercial a energia cinética do rolamento puro emrelação ao eixo instantâneo de rotação, no ponto P da Figura 7.7 é

K =1

2Ipω

2. (7.9)

Recordando o teorema dos eixos paralelos, Ip = Icm+MD2 onde Icm é o momentode inércia de um eixo atravessando o centro de massa, M é a massa total e D é adistância entre o ponto P e o centro de massa do corpo rígido. Desse modo, a energiacinética é reescrita

K =1

2(Icm +Mr2)ω2 =

1

2Icmω

2 +1

2Mr2ω2 =

1

2Icmω

2 +1

2Mv2

cm. (7.10)

A primeira parcela do lado direito da Equação (7.10) é a energia cinética de rotaçãode um ponto em relação ao centro de massa e a segunda parcela é a energia ciné-tica de translação do centro de massa em relação ao referncial inercial. A energiacinética total de um corpo rígido pode sempre ser calculada com a Equação (7.9)quando conhecemos o eixo instantâneo de rotação ou a partir da soma da energiacinética de rotação mais a energia cinética de translação usando a Equação (7.10).

Exemplo 7.2. Uma barra fina e homogênea, de comprimento L e massa M, ar-ticulada em uma das extremidades, como mostrado na Figura 7.8, é largada dorepouso, de uma posição horizontal. Desprezando o atrito e a resistência do ar,determine a rapidez angular da barra, quando ela passa pela posição vertical.

Figura 7.8: O centro de massada barra executa uma rotação puraem torno da extremidade pivotada.

Aplicando a conservação da energia para relacionar as energias mecânicas


inicial e final do centro de massa

Kf + Uf = Ki + Ui1

2Iω2

f +Mg ycm,f =1

2Iω2

i +Mg ycm,i (7.11)

1

2Iω2

f +Mg (−L2

) = 0

e explicitando para ωf

ωf =

√MgL

I. (7.12)

O momento de inércia do centro de massa da barra é I = 1/3ML2, logo

ωf =

√3g

L. (7.13)

Esse resultado mostra que a rapidez angular, no movimento de queda livre, nãodepende da massa da barra, mas somente da aceleração da gravidade e do com-primento.

7.2.4 A dinâmica do movimento de rolamento

Um corpo rígido pode rolar sem deslizar mesmo que esteja acelerado desde que ascondições de rolamento sejam satisfeitas. Derivando a Equação (7.4) em relação aotempo obtemos condição de rolamento sem deslizamento

acm = α r (7.14)

que relaciona a aceleração do centro de massa e a aceleração angular. Exemplosdesses rolamentos acelerados são os corpos rígidos sob a ação da força da gravi-dade como o ioiô e uma bola que sobe ou desce um plano inclinado sem deslizar.Também podemos citar os corpos rígidos que rolam acelerados num plano, mas soba ação de uma força de atrito estático como uma bola de boliche em contato com apista ou as bolas de um jogo de sinuca sobre o tecido da mesa.

As causas dos movimentos de translação e rotação sobre o corpo rígido são aforça e o torque resultantes, respectivamente∑

~Fres = M~acm (7.15)

e ∑~τres = Icm~α (7.16)

desde que o eixo de rotação que atravessa o centro de massa seja um eixo de simetriae não mude de direção em relação ao referencial inercial adotado. A aplicação deambas as equações ficará mais evidente no avançar do curso.

Exemplo 7.3. Um taco atinge uma bola de bilhar horizontalmente em um ponto auma distância d acima do centro da bola Figura 7.9(a). Determine o valor de d


(a) (b)

Figura 7.9: (a)Uma bola de sinuca é golpeada por uma força horizontal e acima do centro de massa.(b) O diagrama do corpo livre para a bola de sinuca.

para o qual a bola rolará, sem deslizar, desde o início. Escreva sua resposta emtermos do raio R da bola.

Quando a bola está apoiada sobre a mesa de bilhar as forças que atuantessão mostradas no diagrama de corpo livre da Figura 7.9(b). Na direção vertical,as linhas de ação das forças gravitacional e contato atravessam o centro de massada bola, o torque é nulo. Não há atrito entre as superfícies, portanto, o torqueresultante é da força aplicada durante a tacada

τ = F d. (7.17)

Aplicando a segunda lei de Newton para os movimentos de translação

F = macm (7.18)

e de rotaçãoτ = Icmα (7.19)

podemos utilizar a condição de rolamento acm = αR, e escrever

F

m=

τ

IcmR =

Fd

IcmR. (7.20)

O momento de inércia de uma esfera em relação a um eixo que passa pelo centrode massa é Icm = 2/5mR2. Portanto, a distância d que a força deve ser aplicada é

d =IcmmR

=2

5R. (7.21)

Atingindo a bola em um ponto mais alto ou mais baixo do que a d = 2R/5 docentro resultará na bola rolando e deslizando.

7.2.5 As forças de atrito no rolamento

Força de atrito estático

Nas nossas situações físicas os corpos rígidos são considerados indeformáveis bemcomo as superfícies sobre as quais eles rolam sem deslizar. Essa aproximação teó-rica da realidade permite-nos dizer que o corpo rígido e a superfície estão em con-tato apenas por um único ponto. Então, quando o ponto de contato está instanta-neamente em repouso isso equivale a condição de rolamento sem escorregamento


porque v = 0. De outra forma, a velocidade relativa entre o corpo rígido e a super-fície é nula, eles não escorregam entre si. Isto implica que, se existe atrito entre assuperfícies em contato, ele é necessariamente estático, mesmo se o corpo rígido es-tiver rolando sobre a superfície. Portanto, enquanto o corpo rígido rola sem deslizarsobre a superfície, o atrito será sempre estático.

Uma força aplicada num ponto afastado do eixo de rotação de um corpo rí-gido pode provocar uma aceleração do centro de massa na direção do movimentoe também uma aceleração angular em torno do eixo de rotação. Quando a relaçãoentre as acelerações do centro de massa e angular não satisfizerem a Equação derolamento sem deslizamento dada pela Equação (7.14), a força de atrito estáticoopõe-se à tendência de deslizamento no ponto de contato de tal modo que ela podeproduzir um aumento ou diminuição da aceleração angular.

Devemos enfatizar que se o ponto de contato está sempre instantaneamenteem repouso, a variação da energia cinética é nula, daí pelo teorema trabalho energia,o trabalho da força de atrito estático é nulo; logo não há dissipação de energia.

Exemplo 7.4. Vários objetos com simetria esférica e cilíndrica descem rolando umplano inclinado de um ângulo ϕ sem deslizar, conforme ilustrado na Figura 7.10.Determine a força de atrito e a aceleração do centro de massa dos corpos rígidos.

Figura 7.10: a) Vários corpos arredondados rolam plano abaixo a partir da mesma altura.

A secção reta de todos os objetos é ilustrada na Figura 7.11 e no diagramado corpo livre, nós estabelecemos um eixo de coordenadas solidário ao centro demassa. Os módulos das forças paralelas ao eixo x são a força de atrito estáticofe e a componente da força peso Px = mg senϕ e na direção do eixo y a forçade contato N e a componente da força peso Py = mg cosϕ. As componentes das

Figura 7.11: O diagrama docorpo livre para os corpos rígidosarredondados.

forças na direção do eixo y não nos interessam nesse problema, pois a linha deação dessas forças passam pelo centro de massa da esfera e produzem um torquenulo. Aplicando a segunda lei de Newton na direção do eixo x,∑

Fx = macm,

mg senϕ− fe = macm, (7.22)

onde m pode ser a massa de qualquer um dos ojetos. A segunda lei de Newton paraas rotações, no eixo x, se deve somente à força de atrito estático fe porque tembraço de alavanca não nulo, logo∑

τx = Icmα

feR = Icmα, (7.23)


onde Icm pode ser o momento de inércia de qualquer um dos ojetos. Se a esferadesce o plano inclinado sem deslizar a condição de rolamento

acm = αR (7.24)

deve ser satisfeita. Portanto temos um sistema de três equações e três incógnitas.Resolvendo para fe na Equação (7.22), e para α na Equação (7.24) e substituindoos resultados na Equação (7.23),

(mg senϕ−macm)R = IcmacmR

(7.25)

determinamos a aceleração do centro de massa

acm =g senϕ

1 + Icm

mR2

. (7.26)

Levando essa última expressão na Equação (7.22), finalmente obtemos a força deatrito estático

fe =mg senϕ

1 + mR2

Icm

(7.27)

Os momentos de inércia desses corpos rígidos em relação do centro de massapodem ser escrito como Icm = γ mR2, onde γ assume os valores constantes mos-trados na tabela 7.1.

corpo esfera maciça esfera oca cilindro maciço anelγ 2/5 2/3 1/2 1

Tabela 7.1: A constante γ assume valores diferentes para cada corpo rígido arredondado.

Assim, a aceleração independe da massa e do raio dos corpos

acm =g senϕ

1 + γ, (7.28)

enquanto a força de atrito estático depende somente da massa

fe =mg senϕ

1 + γ−1. (7.29)

Para uma esfera maciça, γ = 2/5 e aceleração do centro de massa é

acm =5

7g senϕ (7.30)

que é menor que aceleração da mesma esfera por um fator 5/7 quando comparadoà uma superfície sem atrito. A aceleração é menor devido à força de atrito estáticoda esfera

fe =7

5mg senϕ. (7.31)


No exemplo anterior, conclui-se que o atrito cinético é responsável pela rota-ção do corpo e pela diminuição da aceleração do centro de massa do corpo sólidoque desce (ou sobe) sobre o plano inclinado. As equações (7.28) e (7.29) são vá-lidas para qualquer corpo com simetria esférica ou cilíndrica que possa rolar numplano inclinado e tenha o centro de massa coincidente com o centro geométrico.Porém, devido ao momento de inércia dos corpos, os fatores numéricos mostradosna tabela (7.1) são diferentes para cada corpo rígido. Por esse motivo numa compe-tição de vários corpos rígidos arredondados deixando-os rolar do alto de um planoinclinado, aquele que chegará primeiro à base do plano inclinado será o corpo rí-gido com menor valor da constante γ porque ele terá maior aceleração do centro demassa. Através dos valores de γ da Tabela 7.1 a ordem de chegada na base do planoé: qualquer esfera maciça, qualquer cilindro maciço, qualquer esfera oca e qualquercilindro oco. Verifique !

Para um corpo rola sobre um plano inclinado a força de atrito estático fe deveser grande o suficiente para evitar o deslizamento. Nesse caso, seu valor deve serfe ≤ µeN , onde N = mg cosϕ. Portanto, a partir da Equação (7.29), obtemos que

tanϕ ≤ (1 + γ−1)µe (7.32)

Para a esfera γ = 2/5, logo tanϕ = 7/2µe. Conclui-se que para tanϕ for maiorque 7/2µe, a esfera deslizará sobre o plano inclinado.

Força de atrito cinético

Quando o corpo rígido rola com deslizamento, o ponto de contato possui uma ve-locidade diferente de zero, isto é, há uma velocidade entre o corpo e a superfície.Nesse caso, existe uma força de atrito cinético (fc) que está relacionado ao mo-vimento relativo das superfícies de contato. Quando isso ocorre, a Equação (7.4)ou (7.14) não podem ser aplicadas, mas a força de atrito cinético atuará até que acondição de rolamento seja satisfeita.Sistematicamente, devemos usar as equações(7.22) e (7.23) com fe trocado por fc.

Exemplo 7.5. Uma bola de boliche, de massa M e raio R, é lançada no nívelda pista, de forma a iniciar um movimento horizontal sem rolamento, com rapidezv0 = 5, 0m/s. O coeficiente de atrito cinético entre a bola e o piso é µc = 0, 080.Determine (a) o tempo que a bola leva derrapando na pista ( após o qual ela passaa rolar sem deslizar ) e (b) a distância na qual ela derrapa.

(a) Durante a derrapagem, vcm > ωR. Calculamos vcm e ω como funçõesdo tempo, fazemos vcm igual a ωR e resolvemos para o tempo. As aceleraçõeslinear e angular são encontradas pelas equações (7.15) e (7.16). Tome o sentidodo movimento como positivo. Como existe deslizamento, o atrito é cinético ( e nãoestático). Isto significa que a energia é dissipada pelo atrito, não se podendo usarconservação da energia mecânica para resolver este problema. A partir do esboço

Figura 7.12: Uma bola de bolicheque rola sobre uma superfície comatrito cinético µc.

do diagrama do corpo livre para a bola de boliche (Figura 7.12), a força resultantesobre ela é a força de atrito cinético fc, que atua no sentido negativo do eixo x.


Aplicando a segunda lei de Newton∑Fx = Macm,x

−fc = Macm,x. (7.33)

A aceleração tem o sentido negativo do eixo x e acm,y = 0. A força normal éN = Mg e permite determinar a força de atrito cinético∑

Fy = Macm,y = 0⇒ N = Mg

−fc = µcN = µcMg. (7.34)

A aceleração do centro de massa é obtida substituindo o resultado (7.34) na Equa-ção (7.33),

− µcMg = Macm,x ⇒ acm,x = −µcg. (7.35)

A Equação cinemática que relaciona a velocidade linear com a aceleraçãoconstante e o tempo é

vcm,x = v0 + acm,xt = v0 − µcgt. (7.36)

A segunda lei de Newton para as rotações fornece a aceleração angular∑τx = Icmα

µcMgR =2

5MR2α⇒ α =

5

2

µcg

R. (7.37)

A Equação cinemática que relaciona a velocidade angular com a aceleraçãoangular constante e o tempo é

ω = ω0 + αt =5

2

µcg

Rt. (7.38)

Portanto, substituindo as equações (7.36) e (7.37) quando a condição de rola-mento é satisfeita, a velocidade do centro de massa é vcm = ωR fornece a expressão

(v0 − µcgt) = (5

2

µcg

Rt)R. (7.39)

Resolvendo para o tempo t, obtemos

t =2v0

7µcg= 1, 8s. (7.40)

b) A distância percorrida durante a derrapagem vale

∆x = v0t+1

2acmt

2

∆x = v0(2v0

7µcg) +

1

2(−µcg)(

2v0

7µcg)2

∆x =12

49

v20

µcg= 7, 8m. (7.41)


Força de atrito de rolamento

Quando os corpos não são idealizados surgem deformações que implicam que as zo-nas de contato não são pontuais ou lineares, mas abrange uma pequena área. Nessecaso, dizemos que há um atrito de rolamento, como ocorre entre os pneus de ummeio de transporte e o asfalto. Na realidade, existe sempre uma ligeira deforma-ção por contato de modo que no rolamento sem deslizamento de um corpo rígido(não ideal) sempre há perdas de energia devido as deformações das superfícies decontato. É devido ao atrito de rolamento e à resistência que ocorre dissipação deenergia durante o movimento. Na Figura 7.13(a), ilustramos um instante de umaesfera de aço que rola sobre uma superfície macia e vemos a deformação na partefrontal da esfera que aumenta a região de contato. No diagrama de corpo livre daFigura (7.13(b), força de contato resultante ~Fr se concentra nessa região mais ex-tensa, e tem como componentes a força de contato normal, ~N , e a força de atrito derolamento, ~fe. A força ~N produz um torque que se opõe a rotação e a força ~fe pro-vocam um deslizamento da esfera sobre a superfície deformada dissipando energia.

(a) (b)

Figura 7.13: (a) Uma esfera de aço deforma uma superfície macia. (b) O diagrama do corpo livreilustra as forças que agem sobre a esfera de aço.

Exemplo 7.6. 1) Considere, então, uma esfera sólida que rola sem escorregar numasuperfície horizontal macia. Mostre que a aceleração do centro de massa é acm =57g θ.

As forças de contato ~N e ~fr originam a força resultante ~Fr, orientada e apli-cada como mostra a Figura 7.13.b. O ponto de aplicação de ~Fr está deslocado deum comprimento λ em relação ao ponto p que representa uma situação de rola-mento sem deformação. A segunda lei de Newton para Equação de movimento detranslação aplica-se à força de atrito

fr = −macm, (7.42)

onde o sinal negativo indica que a força de atrito tem o sentido oposto à taxa devariação da velocidade do centro de massa, isto é, a aceleração do centro de massa.A Equação do movimento de rotação é

frh−Nλ = Icmα (7.43)


onde N = mg e para uma esfera Icm = 25mR2. Como a esfera rola sem desli-

zar, a condição de rolamento acm = αR é satisfeita. Após algumas substituições,chegamos a seguinte Equação

−macmh−mgλ =2

5mR2acm

R. (7.44)

onde λ = Rsen θ ∼= Rθ, para ângulos muito pequenos. Resolvendo para a acele-ração do centro de massa, nós encontramos

acm = − 5

5h+ 2Rg R θ. (7.45)

A altura h e o raio da esfera R se relacionam pela expressão h = Rcos θ, e comosupomos que θ é muito pequeno (isso equivale a dizer que a deformação da super-fície macia é ínfima), temos que h ∼= R. Consequentemente,

acm = −5

7g θ. (7.46)

2) Calcule a força externa ~F aplicada ao centro de massa para manter aesfera do exemplo anterior num movimento uniforme.

Figura 7.14: No movimento uni-forme a linha de ação da força decontato resultante passa pelo cen-tro de massa.

Na Figura 7.14, a força de contato resultante, ~Fr, deve passar pelo eixo docilindro de modo que as acelerações de translação e rotação sejam nulas, poisqueremos um movimento uniforme. Assim, as equações de movimento ficam

F − fr = 0 (7.47)

efrR−Nλ = 0. (7.48)

Como N = P = mg, encontramos que

F =λmg

R(7.49)

Multiplicando ambos os lados da Equação anterior por R,

FR = λmg →M = λP (7.50)

onde M = frR ≡ FR„ é chamado de momento de resitência ao rolamento. Agrandeza λ, expressa em unidades de comprimento, é normalmente chamada decoeficiente de resistência ao rolamento, dependendo essencialmente dos materiaisem contato. Para corpos rígidos ideais o coeficiente λ é muito pequeno.

7.2.6 Aplicações

O ioiô

O ioiô, Figura 7.15(a), é um brinquedo que permite estudar as equações de movi-mento de translação e de rotação e também a conservação da energia mecânica. As


(a) (b)

Figura 7.15: (a) Ilustração de um ioiô típico. (b) As forças que atuam num ioiô.

forças que atuam sobre o disco são: a força peso, ~P , que atua no centro de massado ioiô e a tensão, ~T , da corda que atua tangencialmente ao raio do ioiô, como estáilustrado na Figura 7.15(b). As equações de movimento de translação

mg − T = macm (7.51)

e de rotaçãoTr = Icmα. (7.52)

Considerando que o ioiô role e não deslize sobre o barbante, a condição de rola-mento acm = αr é satisfeita. Substituindo o momento de inércia do disco Icm =1/2mR2 e resolvendo esse sistema de equações, a aceleração do centro de massa é

acm =2

3g, (7.53)

portanto, menor que a aceleração de um corpo em queda livre por um fator de 2/3.Se o ioiô possuir uma forma que não é de um disco, a Equação da aceleração seráidência à expressão (7.26). As equações do movimento retilíneo uniformementeacelerado fornecem a velocidade e o tempo de queda do disco de uma altura h, apartir do repouso:

h =1

2gt2 (7.54)

vcm = acmt→ vcm = 2

√gh

3, (7.55)

onde conferimos que a velocidade de queda é independente da massa e do raio dodisco, como deveria ser.

Figura 7.16: As posições inicial efinal de um ioiô.

O mesmo resultado é obtido a partir da conservação da energia mecânica.Para tal, comparamos a posição inical do disco, em repouso, com a situação finaldo disco, após desenrolar todo o barbante, Figura 7.16. Na posição final, o centrode massa do disco se move com velocidade do centro de massa e gira ao redor deum eixo que passa pelo seu centro de massa com velocidade angular ω = vcm/r.No nosso referencial, enquanto o ioiô cai, a energia potencial diminui do seu valormáximo Ep = mgh até zero e a energia cinética aumenta de zero até o seu valormáximo Ec = 1/2mv2

cm + 1/2Icmω2. Portanto, o princípio de conservação de


energia se escreve

Ei = Ef (7.56)

mgh =1

2mv2

cm +1

2Icmω

2 (7.57)

mgh =1

2mv2

cm +1

2Icm(

vcmr

)2. (7.58)

Resolvendo para a velocidade do centro de massa, obtemos

vcm = 2

√gh

3. (7.59)

(a) (b)

Figura 7.17: (a) A força impulsiva age num curto intervalo de tempo. (b) A velocidade do centrode massa tem o sentido invertido, mas a velocidade angular mantém o mesmo sentido.

Quando o disco alcança o final do barbante tem um momento linear ~p = m~vorientado para baixo. O movimento para baixo é interrompido e se inverte graças àelasticidade da corda. A duração do tempo t até a inversão do sentido da velocidadedo centro de massa é muito pequeno. A energia cinética de translação do disco seconverte em energia elástica do barbante que se alonga imperceptivelmente. Estaenergia é transferida ao disco como energia cinética de translação com o movimentovertical para acima do seu centro de massa, quando o barbante recupera seu com-primento normal sem deformação. A energia cinética de rotação não muda, já quea velocidade angular de rotação não muda de sentido.

Para que o disco mude seu momento linear de ~p a −~p é necessário uma forçaintensa f(t) que atua durante um intervalo de tempo muito curto t, Figura 7.17(a).O impulso é igual à variação do momento linear e é numericamente igual à áreasombreada da Figura 7.17(b).

I =

∫Fdt = ∆p = mv − (−mv) = 2mv. (7.60)

Como vemos na Figura 7.17.a, a tensão do barbante T é constante e aumentabruscamente durante um pequeno intervalo de tempo t.

Capítulo 8

Torque, Momento Angular e a 2a Leide Newton para a rotação

Ronai Machado Lisbôa

8.1 Introdução

No estudo da cinemática de rotação percebemos a analogia entre as grandezas fí-sicas lineares (s, v, a) e as angulares (θ, ω, α). A partir de agora, vamos ver queexiste uma analogia entre as grandezas físicas lineares e angulares na dinâmica derotação. Na aula anterior aprendemos que os movimentos mais gerais são combina-ções dos movimentos de translação do centro de massa e de rotação em torno de umeixo. Agora, analisaremos as causas da rotação de uma partícula em torno de umponto fixo no espaço e encontraremos as equações que governam o seu movimentode rotação. Isso é suficiente para entender o movimento atômico clássico do elé-tron ao redor do núcleo e com alguma extrapolação até o movimento da Terra emtorno do Sol. Esses são os primeiros passos para que na próxima aula sejamos ca-pazes de compreender movimentos de rotações mais complexos como por exemplo,a habilidade dos pilotos sobre as motos cruisers , o princípio de funcionamento dosveículos individuais como os Segway utilizados como um moderno meio de trans-porte, as cambalhotas de um gato no ar que chega sempre de pé no solo e também afamosa bicicleta do Rei Pelé.

8.2 O Torque

Aprendemos que o torque é igual ao produto vetorial entre a posição e a força re-sultante

~τ = ~r × ~F (8.1)

e no SI de unidades é expresso em N.m. A natureza vetorial da Equação (8.1)

Figura 8.1: O polegar aponta nadireção e sentido do produto veto-rial ~r × ~F .

implica que o torque é perpendicular ao plano formado pelos vetores ~r e ~F e osentido é dado pela regra da mão direita: o polegar aponta na direção e no sentidodo torque quando os outros dedos da mão direita giram ~r para encontrar ~F , masvarrendo o menor ângulo entre eles, Figura 8.1. A forma vetorial é também um

175

Capítulo 8 – Torque, Momento Angular e a 2a Lei de Newton para a rotação 176

meio de resumir as componentes do torque que em coordenadas cartesianas sãoobtidas a partir do cálculo do determinante,

τxi+ τy j + τzk =

∣∣∣∣∣∣i j kx y zFx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣ . (8.2)

Na Figura 8.2, o torque em torno da origem O do referencial inercial é per-pendicular ao movimento da partícula que está momentaneamente no plano x′y′ .Em termos das suas componentes a magnitude do torque no eixo z′ se escreve comoτz′ = x′Fy′ − y′Fx′ , onde no segundo membro dessa expressão as forças Fy′ e Fx′

são perpendiculares as posições x′ e y′, respectivamente. As outras componentesdo torque são obtidas usando a Equação (8.2).

Figura 8.2: O torque em torno da origem do referencial inercial O está na direção do eixo z′

perpendicular ao movimento da partícula no plano x′y′.

Outra forma de calcular a magnitude do torque é escrevê-lo em função doângulo entre os vetores posição e força

τ = rFsen(θ) = rF⊥ = r⊥F. (8.3)

No movimento mostrado na Figura 8.3, somente a componente da força F‖ =F sen θ tangente à trajetória é eficaz na produção da rotação visto que a componenteda força F⊥ perpendicular à trajetória passa pelo eixo de rotação e exerce apenasuma tração ou tensão sobre o eixo. Para a força aplicada ~F , o torque é mais efetivoquanto maior o braço de alavanca r⊥ = b = r sen θ. Aplicando a regra da mãodireita, o torque é perpendicular ao plano da página e aponta para fora. A seguir,

Figura 8.3: O torque de umaforça move a partícula em tornodo ponto O.

vamos mostrar que no movimento de uma partícula no plano e contendo a origem,o torque e a aceleração angular têm a mesma direção. Em coordenadas cilíndricaspolares, a força resultante é ~F = F⊥r + F‖ϕ e a partir da Equação (8.1), o torqueda componente F⊥ é nulo, porque o produto vetorial dos unitários são r × r = 0 er × ϕ = z, daí

~τ = rr × (F‖r + F⊥ϕ) = rF⊥z. (8.4)

Se usarmos a segunda Lei de Newton para o módulo da força tangencial, F‖ = mate at = αr para aceleração, obtemos

~τ = mr2αz = I0~α, (8.5)


onde I0 = mr2 é o momento de inércia da partícula em torno da origem O. AEquação (8.5) significa que o torque da força resultante tem a direção da aceleraçãoangular da partícula. Se a compararmos com a segunda Lei de Newton, ~F = m~acm,é possível afirmar que o torque na dinâmica da rotação é o análogo da força nadinâmica da translação.

Exemplo 8.1. Uma placa metálica quadrada de lado igual a 0, 180 m possui umeixo pivotado perpendicularmente ao plano da página passando em seu centro O (Figura 8.4.a ). Calcule o torque resultante em torno desse eixo produzido pelas trêsforças mostradas na Figura, sabendo que os módulos das forças são F1 = 18, 0 N,F2 = 26, 0 N e F3 = 14, 0 N. O plano da placa e de todas esssas forças é o planoda página.

Figura 8.4: O torque resultante é a soma vetorial dos torques da cada uma das forças.

Usamos a Equação (8.3) para calcular a magnitude de cada torque e aplica-mos a regra da mão direita para determinar a direção do torque. Podemos estabe-lecer o sentido antihorário como positivo. Na Figura 8.4, temos que

r1 = r2 = r3 =√

(0.090)2 + (0.090)2 = 0, 127 m. (8.6)

Os torques das forças são

τ1 = −l1F1 = r1sen φ1F1

τ1 = −0, 127sen 13518 = −1, 62N.m (8.7)

τ2 = +l2F2 = r2sen φ2F2

τ2 = +0, 127sen 13526 = +2, 34N.m (8.8)

τ3 = +l3F3 = r3sen φ2F3

τ3 = +0, 127sen 9014 = +1, 78N.m (8.9)

O torque resultante é positivo tendendo a produzir uma rotação no sentido antiho-rário e tem a direção para fora do papel.∑

τ = τ1 + τ2 + τ3 = −1, 62 + 2, 34 + 1, 78 = +2, 50N.m. (8.10)


8.3 O Momento Angular

Na Figura 8.5, um partícula de massa m e momento linear ~p = m~v tem sua posiçãomedida em relação à origem O do referencial inercial pelo vetor posição ~r. O mo-mento angular da partícula é igual ao produto vetorial entre a posição e o momentolinear,

~L = ~r × ~p. (8.11)

As unidades no SI do momento angular são Kg.m2/s.

Figura 8.5: O momento angular em torno da origem do referencial inercial O está na direção doeixo z′ perpendicular ao movimento da partícula no plano x′y′.

O produto vetorial da Equação (8.11) implica que o momento angular temsempre a direção perpendicular ao plano formado pelos vetores posição e momentolinear e o sentido é dado pela regra da mão direita. Na Figura 8.5, se o planodo movimento da partícula coincide com o plano do referencial inercial, então omomento angular em torno da origem é paralelo ao eixo z. As componentes dovetor momento angular em coordenadas cartesianas são obtidas a partir do cálculodo determinante

~L =

∣∣∣∣∣∣i j kx y zpx py pz

∣∣∣∣∣∣ . (8.12)

Para uma partícula que se move no plano xy o momento angular é paralelo ao eixoz com uma intensidade Lz = xpy − ypx. Similarmente, a intensidade do momentoangular em função do menor ângulo entre os vetores posição e momento linear

L = rpsen(θ) = rp⊥ = r⊥p (8.13)

onde p⊥ = p sen(θ) é a componente do momento linear perpendicular à direçãor e r⊥ = r sen(θ) é a componente do vetor posição perpendicular ou o braço dealavanca à direção ~p, conforme ilustrado na Figura 8.6.

Figura 8.6: O momento angu-lar de uma partícula em torno doponto O é perpendicular ao planodo papel.

Na seção anterior, mostramos que o torque e aceleração angular têm a mesmadireção se o movimento da partícula está contida num plano contendo a origem.Agora, mostraremos que o momento angular e a velocidade angular têm a mesmadireção nesse tipo de movimento. O raio vetor ~r que liga a partícula à origem e asvelocidades ~v e ~ω se relacionam através do produto vetorial

~v = ~ω × ~r, (8.14)


implicando que a velocidade ~v está numa direção perpendicular ao plano determi-nado por ~ω e ~r. Se escrevermos os vetores nas coordenadas polares: ~ω = ωz e~r = rr, a velocidade da partícula é ~v = ωrϕ. O momento angular nas coordenadaspolares

~L = rr ×mωrϕ = mr2ωz =⇒ ~L = I0~ω (8.15)

onde I0 = mr2 é o momento de inércia da massa m em torno da origem O. EssaEquação significa que o momento angular tem a direção da velocidade angular dapartícula.

Exemplo 8.2. Com uma boa aproximação, podemos supor que a órbita terrestre écircular. Então, aplicam-se as relações da Figura 8.5. A massa da Terra é 5, 98 ×1024Kg e sua distância média ao Sol é 1, 49 × 1011m. O período de revolução daTerra em volta do Sol é 3, 16 × 107s. Assim, (a) qual a velocidade angular médiada Terra em torno do Sol e (b) qual o momento angular da Terra em volta do Sol edeste em volta da Galáxia?

A relação entre a frequência angular e o período é dada pela Equação

ω =2π

T=

2π

3, 16× 107= 1, 98× 10−7s−1. (8.16)

Portanto, o momento angular da Terra em relação ao Sol é

L = mωr2 = (5, 98× 1024).(1, 49× 1011).(1, 98x10−7) = 2, 67× 1041Kg.m2s−1.(8.17)

De forma idêntica, o Sol move-se em volta do centro da Galáxia e descreve umatrajetória que é aproximadamente um círculo de raio 3, 0 × 1020m com uma velo-cidade angular de 10−15s−1. O momento angular do Sol em volta da Galáxia é daordem de 1055Kg.m2s−1.

8.4 A segunda Lei de Newton para as rotações

Quando uma força resultante atua sobre uma partícula, sua velocidade linear e seumomento linear variam

d

dt~P = ~F . (8.18)

Analogamente, vamos mostrar que o torque de uma força resultante sobre uma par-tícula, sua velocidade angular e seu momento angular variam. Derivando ambos osmembros da Equação (8.11) em relação ao tempo

d

dt~L = (

d

dt~r ×m~v) + (~r ×m d

dt~v) (8.19)

e identificamos que a primeira parcela do segundo membro é zero, pois é o produtovetorial da velocidade pela própria velocidade, e a segunda parcela é força resultantesobre a partícula. A Equação fundamental do movimento de rotação é

d

dt~L = ~r × ~F = ~τ . (8.20)


que se traduz como taxa de variação do momento angular de uma partícula é igualao torque da força resultante que atua sobre ela. Devemos ter a atenção que ~τ tema direção da variação do momento angular d~L, mas não do vetor momento angular~L.

Na Figura 8.7, ilustramos a mesma partícula em dois instantes distintos afim de ver claramente as direções do torque e do momento angular. Eles têm amesma direção do eixo de rotação z, logo da velocidade angular ~ω. Mas dissemosanteriormente que o torque tem a direção da variação do momento angular, mas naFigura aparentemente o torque tem a direção do momento angular. Adiantamos quea nossa afirmação é correta e vamos justificá-la.

Figura 8.7: O momento angular e o torque de uma partícula em torno da origem O.

Na Figura 8.8, representamos a trajetória circular da mesma partícula, masusamos as variáveis da cinemática da rotação: à esquerda temos as relações entreas velocidades e à direita as relações entre as acelerações. Sabemos que o vetor ~v éperpendicular ao plano determinado pelos vetores ~ω e ~r, isto é ~v = ~ω×~r. Derivando

Figura 8.8: O momento angular de uma partícula em torno do ponto O.

a velocidade em relação ao tempo temos a aceleração da partícula,

~a =d

dt(~ω × ~r) = (

d~ω

dt× ~r) + (~ω × d~r

dt) =⇒ ~a = (~α× ~r) + (~ω × ~v), (8.21)

onde associamos a primeira parcela do segundo membro como a aceleração tangen-cial à trajetória ~at = ~α × ~r, e a segunda parcela como a aceleração perpendicular àtrajetória ~acp = ~ω × ~v. A expressão para a aceleração nas coordenadas cilíndricaspolares assume a forma

~a = αrϕ− ωvr = αrϕ− ω2rr =⇒ ~a = atϕ− acpr, (8.22)


onde o sinal negativo indica que a aceleração perpendicular é dirigida para o centroda trajetória circular, isto é, acp é a aceleração centrípeta.

No movimento circular acelerado, o torque não é nulo e a força que o produzé a força tangencial. Isso fica evidente ao substituir a aceleração (8.22) na Equaçãono torque (8.20)

~τ = rr ×m(atϕ+ acpr) =⇒ ~τ = mr2αz = I0~α, (8.23)

e recuperamos a Equação (8.5): o torque resultante é igual ao momento de inérciaem torno da origem vezes a aceleração angular. Portanto, o torque paralelo ouantiparalelo produz, respectivamente, um aumento ou diminuição da velocidadeangular da partícula em torno da origem. Em outras palavras o torque tem a direçãoda variação do momento angular ou da variação da velocidade angular

~τ =d

dt~L = I0

d

dt~ω = I0~α (8.24)

Entretanto, no movimento circular uniforme, a velocidade angular ~ω é constante ea aceleração angular é nula, logo o torque também é nulo, pela Equação ou (8.24). Outra interpretação é que a velocidade linear ~v tem módulo constante, mas mudade direção enquanto a partícula se move na trajetória circular dando origem à ace-leração centrípeta. Nesse caso, a força resultante é a centrípeta e o torque é nulo.

Na próxima aula veremos que um toque resultante externo nulo significa queo momento angular se conserva ou que ω é constante. Essa é a lei de conservaçãodo momento angular da mesma forma que uma força resultante externa nula leva àlei de conservação do momento linear, isto é, a velocidade linear é constante.

Exemplo 8.3. Uma partícula, de massa m, viaja com uma velocidade constante~v ao longo de uma linha reta que dista b da origam O. Seja dA a área varridapelo vetor posição da partícula, em relação a O, durante o intervalo de tempo dt.Mostre que dA/dt é constante e igual a L/2m, onde L é a magnitude da quantidadede movimento angular da partícula em relação à origem.

Figura 8.9: Ilustração da segunda lei de Kepler, ou lei das áreas.

A área varrida é numericamente igual a área de um triângulo. Na Figura 8.9,essa área é

dA =1

2(v dt) b. (8.25)


Dividindo ambos os membros por dt, obtemos

dA

dt=

1

2v b = constante (8.26)

onde, a partir da figura, b = r sen θ. Assim,

dA

dt=

1

2v r sen θ. (8.27)

Multiplicando o numerador e o denominador pela massa m,

dA

dt=

1

2mmv r sen θ, (8.28)

reconhecemos o momento angular L = mr v sen θ, e finalmente mostramos que

dA

dt=

1

2mL. (8.29)

Como o momento angular L é uma constante, esta quantidade dA/dt também éconstante. No curso de gravitação, ela é reconhecida como a segunda lei de Kep-pler, ou comumente chamada a lei das áreas.

Capítulo 9

Sistema de muitas partículasRonai Machado Lisbôa

9.1 Introdução

Quando falamos em sistema de muitas partículas não precisamos nos preocupar emenumerar todos os objetos, pois a nossa primeira suposição é que todos eles sãoidênticos. Também não é preciso estudar o movimento de centenas ou milharesde objetos, pois como sabemos todos eles transladam juntamente com o centro demassa. Assim, se há forças externas aplicadas sobre cada objeto podemos substituirtodas essas forças por uma única força resultante sobre o centro de massa e o sistemase move acelerado em relação a algum referencial inercial. Entretanto, se a forçaexterna resultante não é aplicada sobre o centro de massa, o sistema vai girar emtorno um ponto ou eixo do referencial inercial ao mesmo tempo que as própriaspartículas do sistemas giram em torno do referencial do centro de massa. Essesmovimentos de rotação são primordiais, pois são responsáveis pela formação dasgalaxias, estrelas, planetas e até buracos negros. O próprio movimento de rotação daTerra em torno do seu eixo dá-nos a noção de dia e noite, enquanto o de translação,isto é, de rotação da Terra em torno do Sol o ano.

9.2 Torque e momento angular de um sistema de par-tículas

O momento angular de uma partícula é facilmente estendido ao de um sistema demuitas partículas quando usamos o princípio de superposição. Portanto, o momentoangular total de um sistema de partículas em relação ao mesmo ponto é definido pelasoma vetorial

~L =n∑i=1

~Li, (9.1)

onde ~Li é o momento angular da partículo i que compõe o sistema.

O torque total das forças externas que atuam num sistema de partículas é

183

Capítulo 9 – Sistema de muitas partículas 184

obtido derivando a Equação (9.1) em relação ao tempo,

d~L

dt=

n∑i=1

d~Lidt

=n∑i=1

~τi. (9.2)

Mas devemos ser cautelosos na interpretação dessa Equação porque no segundomembro, o torque resultante se deve a soma dos torques das forças de vínculos edas forças externas, isto é,

n∑i=1

~τi = ~τvin + ~τext, (9.3)

onde considerando a hipótese de que a linha de ação das forças de vínculo entrecada par de partícula interajente está dirigida segundo a linha que as une, o torqueresultante correspondente é nulo, ~τvin = 0. Assim, a lei fundamental da dinâmicapara um sistema de partículas

d~L

dt= ~τext (9.4)

que significa que a taxa de variação no tempo do momento angular de um sistema departículas, em relação a um ponto arbitrário, é igual à soma dos torques, em relaçãoao mesmo ponto, das forças externas que atuam sobre as partículas do sistema.

Na Equação (9.4), o ponto o qual o momento angular e o torque resultantessão calculados é arbitrário, mas deve estar em repouso num referencial inercial.Contudo, se o ponto escolhido é o centro de massa a Equação (9.4) é válida mesmoque o centro de massa não seja inercial, isto é, esteja acelerado. Isso é decorrenteda mesma hipótese que a linha de ação da força de vínculo de qualquer partículaestá dirigida segundo a linha que as une. Portanto, a força resultante nesse caso,é a força externa em relação ao centro de massa. Isso deve ficar mais evidente aoanalisarmos o primeiro membro da Equação (9.1), onde o momento angular totaldo sistema de partículas é a soma

~L = ~Lint + ~Lorb. (9.5)

A primeira parcela é o momento angular interno em relação ao centro de massa ea segunda é o momento angular orbital do centro de massa em torno da origem doreferencial inercial. Para esclarecer o significado dessa última Equação podemosexemplificar com a Figura (9.1), onde a Terra possui um momento angular internoem relação ao seu centro de massa e um momento angular orbital ao redor do Sol.

Derivando ambos os membros em relação ao tempo, obtemos a lei fundamen-tal das rotações,

d~L

dt=d~Lintdt

+d~Lorbdt

. (9.6)

Vamos analisar algumas particularidades. Na Equação acima, se o centro demassa do sistema esta em repouso em relação à origem do referencial inercial temosque ~Lorb = 0 e

~τext = ~τcm =d~Lintdt

(9.7)


Figura 9.1: Momento angular orbital e interno do sistema Terra-Sol.

implicando que a taxa de variação no tempo do momento angular interno é igualao torque resultante em relação ao centro de massa do sistema de partículas. AEquação (9.4) é válida quando o momento angular e o torque são calculados emrelação a um ponto fixo no sistema inercial. A Equação (9.7) é válida para o centrode massa, inclusive se estiver acelerado.

9.3 Torque e momento angular de um corpo rígido

Num corpo rígido as posições das muitas partículas que o constituem são fixas de-vido as forças de vínculo e as forças externas aplicadas são incapazes de provocarqualquer deformação. Isso traz vantagens no estudo do movimento da rotação por-que todas as partes do corpo têm a mesma velocidade angular. Contudo, os resul-tados obtidos para o momento angular e torque são dependentes do eixo de rotaçãoque passa por um ponto fixo num referencial inercial, ou se passa pelo centro demassa.

Na figura 9.2, o corpo rígido gira com velocidade angular ~ω = ωz em tornodo eixo de rotação que possui uma direção fixa no espaço. Um elemento de massa∆mi numa seção reta do corpo rígido está a uma distância ~ri = rir do eixo derotação com uma velocidade ~vi = ωriϕ. Portanto o momento angular do corporígido em relação ao eixo é

~L =∑i

(~ri ×∆mi~vi) =⇒ ~L =∑i

∆mir2i ~ω. (9.8)

Tomando o limite do contínuo de ∆m→ 0 e o somatório→∞, temos

~L = I~ω. (9.9)

ondeI =

∫r2dm (9.10)

é o momento de inércia do corpo rígido em torno ao eixo de rotação. Então, nocaso de um corpo rígido plano, que gira em torno de um eixo fixo perpendicularao sólido, o momento angular tem a mesma direção que a velocidade angular. Por


Figura 9.2: Momento angular de um elemento de massa ∆mi de um corpo rígido plano que giraem torno de um eixo fixo perpendicular ao sólido.

seguinte, o torque resultante em relação ao mesmo eixo de rotação é

~τ =d

dt~L = I~α (9.11)

que siginifica que o torque tem a direção da aceleração angular. Esses são os mes-mos resultados obtidos anteriormente no estudo da dinâmica de rotação de umapartícula cujo o seu movimento no plano contém a origem.

Figura 9.3: O momento angular e o toque de um elemento de massa ∆m de um corpo rígidoarbitrário que gira em torno de um ponto não têm a mesma direção no espaço.

Nem sempre o torque e o momento angular têm a mesma direção, por exem-plo, se o corpo rígido possui uma forma arbitrária e gira com velocidade angular ~ωconstante ao redor de um eixo fixo. Essa situação é ilustrada na Figura 9.3. O ele-mento de massa ∆m é localizado em relação a origem O por ~r e possui velocidadelinear ~v = ω × ~r. Visto que o movimento é circular uniforme a força resultantesobre o elemento de massa é a força centrípeta,

~F = ∆m~acp, (9.12)

onde a aceleração centrípeta é

~acp =d

dt(~ω × ~r) = ( ~α︸︷︷︸

0

×~r) + (~ω × ~v). (9.13)

Essa Equação mostra que a direção da acelereção centrípeta independe da origem eé perpendicular ao plano determinado pelas velocidades ~ω e ~v. O módulo da força


é facilmente calculado porque ~ω e ~v são perpendiculares,

F = ∆mωv. (9.14)

O torque, em torno da origem O, da força resultante sobre o elemento demassa

~τ =d~L

dt= ~r × ~F (9.15)

tendo a direção e o sentido determinados a partir da regra da mão direita. Nessecaso, o torque tem o sentido horário, como ilustrado na Figura 9.3. A intensidadecalcula-se com o auxílio da definição do produto vetorial

τ = rFsen(θ +π

2) = rFcos(θ). (9.16)

onde reconhecemos o ângulo (θ + π/2) entre os vetores ~r e ~F . Substituindo aEquação (9.14) na Equação (9.16), obtemos

τ = rFsen(θ +π

2) = r∆mωvcos(θ). (9.17)

Lembrando que o momento angular, em torno da origem O, é L = r∆mv podemosreescrever a Equação para o torque

τ = ωLcos(θ) (9.18)

mas na Figura 9.3, cos(θ) = sen(π/2 − θ) é o ângulo entre os vetores ~ω e ~L.Portanto, vemos que o torque e o momento angular não têm a mesma direção nessesistema físico

~τ = ~ω × ~L. (9.19)

Figura 9.4: A componente do momento angular de um corpo rígido arbitrario que gira em torno deum eixo de simetria tem a mesma direção da velocidade angular.

Porém, se o eixo de rotação passa pelo centro de massa do corpo rígido, istoé, é um eixo de simetria, para cada elemento de massa ∆mi há outro elemento demassa ∆mi localizado simetricamente ao eixo de rotação, como ilustrado na Figura9.4. Consequentemente, o momento angular total pode ser escrito em termos dassuas componentes paralela e perpendicular ao eixo de rotação

~L =∑i

~L‖,i + ~L⊥,i, (9.20)


e observamos que as componentes do momentos angular perpendicular ao eixo derotação são iguais e contrárias, de modo que se cancelam ao somar as contribuições.Por outro lado, as componentes paralelas são iguais e no mesmo sentido e a soma éo momento angular resultante na direção do eixo de rotação,

L‖ = Icmωz (9.21)

onde Icm é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro demassa. A diferença dessa Equação para a (9.9) é que na última a direção do eixode rotação pode varia no espaço e o momento angular é independente da origem Oporque é calculado em relação ao eixo de simetria. Além disso, a Equação (9.21)é independente da forma do corpo. Então, é importante determinar se o momentoangular e o torque são calculados em relação a um ponto em repouso no referencialinercial ou em relação ao centro de massa.

Finalmente, para um corpo rígido que gira em torno de um eixo de simetria otorque resultante tem a mesma direção da variação do momento angular,

~τ =d~L

dt= Icm~α. (9.22)

Para cada corpo rígido, mesmo assimétrico, existem pelo menos três direçõesperpendiculares entre si, para as quais o momento angular é paralelo ao eixo derotação ou a velocidade angular de tal modo que as suas componentes ao longodesses eixos são Li = Iωi (i = x, y, z). Esses são chamados de eixos principais deinércia e os momentos de inércia calculados em relação a eles são os momentos deinércia principais. Quando o corpo é simétrico ( esfera, cilindro, quadrado, etc ), oseixos principais coincidem com os eixos de simetria. Assim, o momento angulartotal é ~L =

∑i Ii~ω. É fácil perceber isso para um bloco quadrado da Figura 9.5

onde os eixos principais de inércia são também os eixos de simetria. O momentoangular ao longo dos eixos principais de inércia enquanto o bloco gira em torno docentro de massa com velocidade angular ω é

~L = Ixωii+ Iyωj j + Izωzk (9.23)

onde i, j, k são os vetores unitários ao longo desses eixos principais de inércia.

Figura 9.5: Os eixos principais de um corpo simétrico coincidem com os eixos de simetria.


9.4 O movimento do giroscópio

O pião

Quando o torque tem a direção do momento angular ele é capaz de aumentar oudiminuir a taxa de variação da velocidade angular do corpo rígido em torno do eixode rotação. Mas nem sempre o torque tem a direção do momento angular e o efeitodo torque é observado, por exemplo, no pião que gira rapidamente em torno doseu eixo de simetria com a ponta fixa na origem O num referencial inercial. Aomesmo tempo que o pião gira com uma velocidade angular ω ao redor do seu eixode simetria ele tem uma velocidade angular de “precessão” em torno do eixo z doreferencial inercial. Na Figura 9.6, o momento angular inicial do pião ~L faz um

Figura 9.6: O movimento de precessão do pião em torno do eixo z enquanto gira em torno doseu eixo de simetria. O torque é perpendicular ao momento angular, mas é paralelo à variação domomento angular.

ângulo φ com o eixo z. As forças que atuam sobre ele são a força gravitacional~F = m~g aplicada no centro de massa e a força de reação na origem O. O torqueda força de contato é nulo porque o braço de alavanca é nulo, mas o torque da forçagravitacional é

~τ = ~r ×m~g, (9.24)

onde ~r é o vetor posição do centro de massa em relação à origem O. Devido anatureza do produto vetorial, o torque é perpendicular ao plano determinado por ~re m~g e tem o sentido antihorário. De outro modo, o torque é calculado como

~τ =d~L

dt, (9.25)

indicando que o torque tem a direção da variação do momento angular. Na Figura9.6 o momento angular do pião é mostrado em dois instantes de tal modo que du-rante esse intervalo de tempo,

d~L = ~τdt (9.26)

e ao final do intervalo infinitesimal dt o novo momento angular é a soma vetorial ~L+d~L, isto é, tem o mesmo módulo, mas direção diferente porque d~L é perpendiculara ~L. Notamos que ~τ , ~L e ~r giram em relação ao eixo z de um mesmo ânguloinfinitesimal dϕ,


A velocidade angular de precessão é obtida a partir da derivada

ωp =dϕ

dt(9.27)

onde o ângulo infinetesimal dϕ = dL/Lsen(θ). Portanto,

ωp =τ

Lsen(θ)=rmgsen(θ)

Iωsen(θ)=⇒ ωp =

rmg

Iω, (9.28)

significando que a velocidade angular de precessão não depende do ângulo θ e éinversamente proporcional ao momento angular do pião ao redor do seu eixo desimetria.

Se o momento angular inicial do pião é grande isso significa que a velocidadeangular de precessão é muito pequena e a direção do eixo de simetria do pião va-ria lentamente e se mantém numa posição fixa em relação ao eixo z do referencialinercial. Costuma-se dizer coloquialmente que o ~L persegue o ~τ na tentativa de sealinhar com ~τ , mas como ~τ é perpendicular a ~L, jamais o alcança. Essa “persegui-ção” acarreta o movimento de precessão.

O giroscópio

O giroscópio é um aparelho cuja construção mais simples consiste de um disco livrepara girar em torno de um eixo de simetria. A outra extrimidade do eixo é pivotadasobre uma base fixa e é livre para girar em torno do pivô em qualquer direção. NaFigura 9.7 ilustramos um giroscópio típico. Para analisar o movimento do giroscó-pio é útil escolher um referencial inercial com origem sobre o pivô. Posicionamos oeixo do giroscópio paralelamente ao eixo y do referencial inercial a fim de estudaro comportamento em duas situações: a roda com e sem uma rotação inicial.

Figura 9.7: Um giroscópio típico sem a rotação sob a ação de um binário. O torque da força pesotem a direção do eixo y no sentido negativo.

Quando a roda não está girando as únicas forças que atuam no giroscópio sãoa força gravitacional ~F = −Mg k aplicada no centro de massa do disco e a forçade reação do pivô ~F = F k, onde F = M g. A força resultante externa é nula, masessas duas forças formam um binário de braço de alavanca igual ao comprimento


do eixo ~l = l j. O torque da força de reação do pivô é nulo, mas o toque da forçapeso em relação à origem O tem a direção do eixo x no sentido negativo

~τ = ~l × ~F = −Mlg i. (9.29)

A partir da Equação fundamental das rotações

d~L = −τdt i. (9.30)

percebemos que a variação do momento angular do giroscópio deve ter a mesmadireção do torque. Portanto, o momento angular inicial aumenta de zero até umvalor final ~Lf em incrementos adicionais d~L na direção do torque, à medida que ointervalo de tempo dt cresce. O giroscópio cai girando ao redor do eixo x no sentido

Figura 9.8: Um giroscópio típico sem a rotação sofre uma queda girando com uma aceleraçãoangular na direção e sentido do torque resultante.

horário com uma velocidade angular crescente até atingir o chão, como mostradona Figura 9.8

O movimento do giroscópio é diferente quando o disco tem uma rotação rá-pida em torno do seu eixo de simetria, Figura 9.9.

Figura 9.9: Um giroscópio típico com uma rotação rápida tem um movimento de precessão emtorno do eixo z.

Nesse caso, o momento angular inicial não é nulo e tem a direção do eixode rotação, mas tal como antes o torque é dado pela Equação (9.29) e a variaçãodo momento angular pela (9.30). Portanto, o torque muda a direção do momento


angular e do eixo do disco sempre, mas sempre no plano horizontal ( no plano xy )num movimento de precessão ao redor do eixo z. A velocidade angular de precessãopode ser obtida a partir do mesmo desenvolvimento feito para o o caso do pião, maso mesmo resultado é obtido a partir da Equação (9.19) que podemos reescrever naforma escalar

τ = ωpLsen(θ), (9.31)

e substituindo o torque calculado na Equação (9.29)

ωp =τ

Lsen(θ)=lmg

Iω. (9.32)

No giroscópio, quando o atrito entre o disco e eixo é elevado a velocidadeangular do disco diminui e a velocidade angular de precessão aumenta.

Capítulo 10

A conservação do momento angularRonai Machado Lisbôa

10.1 O princípio da conservação do momento angu-lar

10.1.1 Movimento de uma partícula

Quando estudamos a dinâmica no movimento de translação aprendemos que se aforça externa resultante é nula o momento linear é uma grandeza conservada. Issose traduz como o princípio da conservação do momento linear. Posteriormente,vimos que há analogias entre as grandezas da dinâmica de translação e de rotação.Portanto, se o torque externo resultante é nulo deve existir uma grandeza conservadaassociada. Seja o torque nulo escrito na sua forma vetorial

~r × ~F = 0. (10.1)

A igualdade na Equação (10.1) é satisfeita se ~F = 0 ou se ~F tem a direção de ~r. Noprimeiro caso, o objeto é livre, isto é, não há força resultante externa capaz de alterara condição do movimento de modo que ele está em repouso ou em movimentoretilíneo uniforme em relação ao referencial inercial adotado. Isso significa que ovetor momento linear mantém o módulo, direção e sentido à medida que o tempoavança, Figura 10.1.a. No segundo caso, o torque é nulo pela própria definição doproduto vetorial: rFsen(θ) = 0 com θ = 0 (paralelos) ou θ = π (antiparalelos).Fenomenologiamente, o torque é nulo porque a direção da força resultante passapela origem o qual é calculado não sendo capaz de produzir uma rotação em tornodessa origem. Diz-se que o objeto está sob a ação de uma força central, isto é, umaforça cuja linha de ação passa sempre por um ponto fixo chamado centro de força,Figura 10.1.b.

Outra forma de expressar a Equação (10.1) é em termos do momento angular,

d~L

dt= 0 (10.2)

significando que o vetor ~L é uma constante do movimento, isto é, ~L é a grandezaconservada no movimento. A Equação (10.2) traduz-se como a lei de conservaçãodo momento angular.

193

Capítulo 10 – A conservação do momento angular 194

(a) (b)

Figura 10.1: Quando o torque é nulo a força é nula ou central. Em ambos os casos o momentoangular é conservado e perpendicular ao plano do movimento.

Quando dizemos que o momento angular é uma constante, o princípio daconservação do momento angular, também pode ser interpretada na seguinte forma

~Li = ~Lf (10.3)

implicando que o momento angular total em um certo instante inicial é igual aomomento angular em um certo instante final quando o torque externo resultante énulo. E como o momento angular e o torque são grandezas vetoriais para seremcompletamente definidos é essencial que os módulos, as direções e os sentidos se-jam indicados. Conclui-se que se resultante dos torques externos em relação a umdado ponto se anula, o momento angular do sistema em relação a esse ponto seconserva. Além disso, se uma dada componente do torque resultante se anula, acomponente correspondente do momento angular total se conserva, independentedas demais componentes. Aliás, na natureza nunca foi observada a violação desseprincípio de conservação.

Para um objeto livre (~F = 0) na Figura 10.1.a ou sob a ação de uma forçacentral (~r ‖~F ) na Figura 10.1.b o momento angular é perpendicular à trajetória etem o módulo, a direção e o sentido constantes. Por esse motivo, numa boa aproxi-mação, os movimentos sob a ação de forças centrais como a trajetória dos elétronsem torno do núcleo e até dos planetas ao redor do Sol estão contidas num plano quecontém o centro de forças. Um outro exemplo da conservação do momento angulare que enfatiza a sua natureza vetorial é o movimento sob a ação de uma força axial,isto é, uma força cuja a linha de ação sempre passa por um eixo fixo. Na Figura10.2, temos uma força axial que é orientada para o ponto Q sobre o eixo z. Emrelação à origem O, o torque é perpendicular ao plano determinado por ~r e ~F e omomento angular ao plano determinado por ~r e ~P . Portanto, o torque está no planoxy e tem componente nula na direção do eixo z,

dLzdt

= τz = 0 =⇒ Lz = constante . (10.4)

Apesar do momento angular total não ser constante, a sua componente no eixoz é conservada (módulo, direçao, sentido) porque a componente do torque nessadireção é nula. Por esse motivo, há uma precessão de ~L e ~τ em torno da origem O.

Capítulo 10 – A conservação do momento angular 195

Figura 10.2: A componente do momento angular no eixo z é constante porque o torque permaneceno plano xy.

10.1.2 Movimento de um sistema de partículas

A conservação do momento angular é válida tanto no caso de uma partícula comode um sistema de partículas, incluindo os corpos rígidos. No caso de um sistema departículas quando o torque externo resultante é nulo, o momento angular do sistemase conserva,

τext =d~L

dt= 0 =⇒ ~Lint = constante (10.5)

A aplicação prática da Equação (10.6) justifica o aumento da velocidade an-gular de rotação de um patinador ao afastar seus braços do corpo. Desprezando aforça de atrito entre os patins e o piso, não há a ação de forças externas, logo otorque é nulo. Considerando que o corpo do patinador com os braços abertos giraao redor de um eixo principal de inércia, o momento angular tem a direção da velo-cidade angular do patinador, L = Iω. O aumento da velocidade angular quando opatinador aproxima os braços do corpo se explica pela diminuição do momento deinércia. A lei de conservação do momento angular do patinador se escreve

Iiωi = Ifωf (10.6)

e como If > Ii por ter os braços próximos do eixo de rotação do seu corpo, a velo-cidade angular deve aumentar ωf > ωi a fim de satisfazer a igualdade da Equação(10.6).

Nos movimentos de dos atletas do salto de trampolim e em disância e mesmode um gato em queda livre que consegue sempre cair de pé, a única força resultantesignificativa é a força gravitacional. Nesses casos, a força gravitacional atua nocentro de massa dos corpos implicando que o torque externo resultante é nulo emrelação ao centro de massa. Mas como esses corpos formam um sistema isoladopodem alterar as velocidades de rotação em torno do eixo que passa pelo centro demassa através de forças internas para modificar o momento de inércia em relação aoeixo, mas mantendo o momento angular constante. Por isso, os atletas aproximamou afastam os membros em relação ao centro de massa do corpo para aumentar oudiminuir a velocidade angular no movimento. O gato, por exemplo, faz os mesmocom as patas e enrola ou desenrola a calda para poder girar em torno do seu centrode massa, ainda no ar, para cair seguramente com as quatro patas no chão.

Capítulo 11

Equilíbrio e ElasticidadeRonai Machado Lisbôa

11.1 Equilíbrio

A dinâmica dos corpos rígidos é regida pelas seguintes equações de movimento

d~P

dt= ~F , (11.1)

d~L

dt= ~τ . (11.2)

A primeira é responsável pela translação do corpo rígido ou do seu centro de massasob a ação da força externa resultante, enquanto a segunda, governa a rotação dequaisquer pontos do corpo rígido em torno do centro de massa sob o efeito dotorque externo resultante.

Caso as forças e torques externos se cancelem as equações de movimento são

d~P

dt= 0 (11.3)

d~L

dt= 0. (11.4)

e dizem respeito aos princípios de conservação do momento linear e do momentoangular, respectivamente. Dizemos que o corpo rígido está em equilíbrio quandoessas leis de conservação são satisfeitas, isto é, se ~Pf = ~Pi e ~Lf = ~Li. O equilíbrioé dito equilíbrio estático se ~Pi = 0 e ~Li = 0, isto é, as velocidades linear e angularsão nulas em quaisquer instantes e o corpo rígido não translada e nem rotacionano sistema de referência em que é observado. Portanto, as condições de equilíbrioestático resumem-se no conjunto de equações vetoriais

~P = 0, ~F = 0, ~τ = 0. (11.5)

Devemos enfatizar que devido à natureza vetorial da força e do torque, ascondições de equilíbrio se extendem as componentes das equações (11.1) e (11.2),

Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0, (11.6)

196

Capítulo 11 – Equilíbrio e Elasticidade 197

Figura 11.1: O movimento da tábua é vinculado ao plano xy. O torque resultante está no eixo y.Para o equilíbrio estático e ~F = 0 e ~τ = 0.

τx = 0, τy = 0, τz = 0. (11.7)

Esse conjunto de seis equações é reduzido a três equações quando o movimento évinculado ao plano. Por exemplo, na Figura 11.1, o movimento do corpo rígido ésolidário ao plano xy, as equações remanescentes são

Fx = 0, Fy = 0, τz = 0. (11.8)

Nesse caso, uma das componentes da Equação (11.6) simplesmente não exisitirá e,consequentemente haverá somente a componente do torque perpendicular ao planodefinido pelas componentes remanescentes da força resultante.

A maior parte dos problemas que vamos resolver sobre o equilíbrio estáticodos corpos rígidos se deve à tendência ou não do equilíbrio sobre a ação de forçasexternas e uma delas é a força gravitacional. A força gravitacional atua sobre todaa extensão dos corpos rígidos, mas podemos considerar que a resultante, a forçapeso esteja concetrada em um único ponto chamado centro de gravidade que é de-finido simplesmente pelo efeito gravitacional. Nas proximidades da superfície daTerra, onde ~g é o mesmo para todas as partes do corpo rígido, o centro de gravidadecoincide com o centro de massa. Esse resultado é uma aproximação que facilitabastante a determinação das condições de equilíbrio porque o sistema de forças gra-vitacionais é equivalente à força-peso resultante aplicada no centro de massa, que éjustamente o centro de gravidade.

11.2 Elasticidade

Os problemas de equilíbrio analisados até agora têm três equações e três incógnitase é possível resolvê-los. Caso existam mais incógnitas que o número de equaçõestemos um equilíbrio indeterminado. Se na natureza os corpos rígidos fossem re-almente indeformáveis seria impossível obter a solução desse sistema, mas comodissemos os corpos rígidos são idealizações para facilitar o estudo e a interpretaçãodas fenomenologias observadas. No mundo real, todos os corpos são deformáveissob a ação de forças externas aplicadas e quando isso ocorre, temos que levar emconta a elasticidade dos corpos que se deformam. Assim, os problemas de equilíbrioindeterminado são suplementados pelas equações da elasticidade.


A deformação de uma mola obedece à Lei de Hooke,

κ = − F

∆L(11.9)

onde a constante elástica κ é uma constante de proporcionalidade entre a força apli-cada e a deformação provocada e no SI tem as unidades N/m. A lei de Hooke éválida apenas para um pequeno intervalo da força aplicada em torno da posição deequilíbrio. Caso contrário a mola é derfomada definitivamente acima de um limiteelástico Le e pode se romper acima do limite de ruptura Lr.

Nos corpos reais os átomos interagem com os átomos vizinhos através deforças interatômicas que podem ser tratadas mecanicamente como uma mola cujaa constante elástica simula a rigidez ou maleabilidade do corpo. Desse modo, to-dos corpos têm uma elasticidade e podem ser tracionados, comprimidos e torcidos.Visto que os corpos rígidos possuem dimensões físicas é conveniente definir a ten-são de dilatação como o módulo da força perpendicular por unidade de área

Tensão de dilatação = T =F⊥A, (11.10)

onde T no SI tem as unidades de N/m2. Diferente da força que é uma grandeza veto-rial, a tensão é um escalar porque é definida como o módulo da força perpendicularà área como ilustrado na Figura 11.2 .

Figura 11.2: O efeito da tensão T = F⊥/A sobre o cilindro é uma dilatação linear (tração) porunidade de comprimento.

Observa-se experimentalmente que na tração e na comprensão, a razão en-tre a tensão de dilatação e a deformação do corpo por unidade de comprimento, éconstante

Y =Tensão de dilatação

deformação por unidade de comprimento=F⊥/A

∆L/L, (11.11)

onde Y é a constante de proporcionalidade denominada de módulo de Young e no SItem unidades de N/m2. Apesar dessa Equação servir para a medida da elasticidadede tração e comprensão, o módulo de Young assume valores diferentes de acordocom o material constituinte do corpo rígido, portanto a escolha desses materiais parafins práticos deve ser condizente com o efeito desejado. Por exemplo, o concreto ea pedra podem suportar tensão de comprensão, mas não suportam tensão de tração.


A Equação (11.11) assume uma forma diferente quando o corpo é submetido auma comprensão em todas as direções de modo a provocar uma variação de volume.Na Figura 11.3, vemos que isso é possível se o corpo é imerso em um fluido queexerce uma pressão P sobre todas as partes do corpo,

Tensão volumétrica = P =F⊥A. (11.12)

Figura 11.3: O efeito da pressão P = F⊥/A sobre o cilindro imerso num fluido é uma compresãovolumétrica por unidade de volume.

A pressão sobre a superfície do corpo imerso é a mesma seja qual for a orien-tação da superfície. Portanto, a pressão é uma grandeza escalar, não uma grandezvetorial. O efeito da pressão é uma variação volumétrica por unidade de volume docorpo, de modo que definimos o módulo de elasticidade volumétrico

B =Tensão volumétrica

deformação por unidade de volume= − ∆P

∆V/V, (11.13)

onde o sinal negativo é incluído porque o aumento pressão acarreta uma diminuiçãodo volume e B é uma grandeza positiva com unidades N/m2 no SI. O inverso domódulo de compreensão denomina-se compressibilidade

κ =1

B, (11.14)

e as unidades são m2/N.

Em todos os casos anteriores, as forças aplicadas são perpendiculares à áreado corpo de modo que o efeito das tensões é de provocar uma tração ou comprensão,seja de dilatação ou volumétrica. A componente da força paralela à superfície deum corpo sólido é uma tensão de cisalhamento

Tensão de cisalhamento = C =F‖A, (11.15)

e provoca uma deformação de cisalhamento

∆d =X

L, (11.16)

como apresentado na Figura 11.4. Portanto, o módulo de cisalhamento define-se

Figura 11.4: O efeito da tensão decisalhamento C = F‖/A sobre ocilindro sólido é um cisalhamento∆d.

como

S =Tensão de cisalhamento

deformação de cisalhamento=F‖/A

X/L. (11.17)

Capítulo 12

OscilaçõesLucio Marassi

Oscilações podem ser grosseiramente definidas como movimentos que se repetem.Muitos fenômenos físicos estão em uma situação de estabilidade, de equilíbrio;quando alguma perturbação externa retira esses sistemas físicos do equilíbrio, a ten-dência natural é retornar ao mesmo ponto de equilíbrio inicial, e em muitos casos abusca desse estado requer movimentos repetitivos em torno do ponto de estabilidadeoriginal; a esses movimentos, consequentemente, damos o nome de oscilações.

Exemplos desses tipos de movimento podem ser encontrados em barcos (su-jeitos às ondulações da água), nas cordas de violões e guitarras, nos alto-falantes,nos telefones (o diafragma interno do telefone oscila continuamente pelas ondassonoras que recebe, durante uma conversa rotineira), nos relógios (muitos delesfuncionam através de oscilações dos cristais de quartzo internos), nas antenas derádio e de tv (os elétrons oscilam continuamente nelas, recebendo as informações,transmitidas em ondas eletromagnéticas pelo ar), e mesmo onde imaginamos nãohaver oscilações, como as construções onde vivemos e nos deslocamos (os prédios,as casas e as pontes oscilam!). Os átomos e moléculas oscilam também: as molé-culas oscilantes do ar transmitem as ondas sonoras, e os átomos oscilantes de umsólido determinam a temperatura deste último. As oscilações podem ser rotinei-ramente encontradas em catástrofes naturais pelo mundo, como em terremotos oumaremotos (os últimos causados pelas ondas gigantes, ou tsunamis). Vamos a partirde agora estudar os fenômenos oscilatórios, tão predominantes em nosso cotidiano.

12.1 Movimento Harmônico Simples (MHS)

O termo oscilação (osc) está associado a uma vibração localizada, enquanto o termoonda está associado a uma propagação de alguma coisa pelo espaço. A definiçãodo termo onda está bastante vaga no momento, mas não podemos avançar maisneste assunto, sem antes nos deteremos nas oscilações, nas vibrações localizadas,estudando seus fundamentos físicos e matemáticos - o que formará a base paraposteriormente estudarmos as ondas propriamente ditas.

O número de oscilações por segundo determina uma quantidade denominadafreqüência (f ). A unidade de freqüência é o Hertz (Hz), equivalente a uma oscila-

200

Capítulo 12 – Oscilações 201

ção dada em um segundo.

[f ] = 1Hz = 1 osc/s . (12.1)

Figura 12.1: Analisando umapartícula sujeita a um movimentoharmônico, podemos medir obser-vacionalmente sua velocidade esua posição ao longo do tempo,como mostrado no painel es-querdo a: partindo do pontox = 0, vemos como a veloci-dade da partícula decresce até seanular, no ponto de máximo des-locamento espacial positivo (má-xima amplitude positiva, +xm,em t = 0), para então inverterseu movimento, aumentar nova-mente sua velocidade até o pontox = 0, e novamente ir decres-cendo a mesma até zero, no pontode máximo deslocamento espacialnegativo (máxima amplitude ne-gativa, −xm, em t = T/2 - ouseja, quando o movimento está nametade do seu período T total,medido a partir de t=0); o pro-cesso continua, fazendo a partí-cula oscilar entre os mesmos pon-tos de forma harmônica - note queo tempo para a partícula sair deuma posição e retornar à mesmaposição original é sempre o pe-ríodo T . No painel b vemos comoo movimento anterior aparece emum gráfico ‘Posição X Tempo’.

O tempo que um sistema físico leva para dar uma oscilação completa é deno-minado de período (T ).

Exemplo 12.1. Se em um segundo temos três oscilações, em quanto tempo teremosuma oscilação apenas?

O tempo para uma oscilação apenas é chamado de período (T ). Usando essadefinição, podemos fazer a ‘regra de três’ abaixo:

3 osc → 1 s (12.2)1 osc → T (tempo para uma osc)

Multiplicando cruzado, teremos então a seguinte resolução (lembrando dadefinição de freqüência, dada anteriormente):

(3 osc) · T = (1 osc) · 1s (12.3)

T =(1 osc) · 1s

(3 osc)=

(1 osc)(3 osc)

1s

=1 osc

f=

1

f

Esse resultado nos leva à relação entre o período (T ) e a freqüência (f ), ouseja, um é o inverso do outro:

T =1

f. (12.4)

Os dois painéis da Figura 12.1 mostram a análise cinemática de uma partícula,sujeita a um movimento harmônico simples. Medindo sua posição ao longo dotempo, podemos ver como o comportamento oscilatório harmônico se comportafisicamente.

12.2 A Posição no MHS

Iremos a partir de agora estudar a cinemática do Movimento Harmônico Simples(MHS). Começaremos estudando como a posição de uma partícula muda com otempo, em um movimento oscilatório desse tipo.

No MHS, os movimentos são periódicos ou harmônicos, ou seja, repetem-sea intervalos regulares. Para podermos tratar matematicamente um sistema desses,precisamos encontrar uma função matemática que seja periódica. Mas nem todafunção periódica leva a um movimento oscilatório. Precisamos seguir as caracterís-ticas físicas do movimento oscilatório, para saber qual função matemática periódicausar.

Já comentamos antes que o movimento oscilatório é provocado por uma per-turbação do estado de equilíbrio de um sistema físico, e que este sistema procuraretornar ao ponto de equilíbrio, gerando oscilações em torno deste ponto no pro-cesso. Quando uma partícula deste sistema passa pelo seu ponto de equilíbrio e


segue em uma direção, sofre a ação de uma força, que opera no sentido de fazera partícula retornar ao ponto de equilíbrio original. A esta força damos o nomede força restauradora, e ela apontará sempre em direção contrária ao movimentoda partícula (de modo a restaurar a mesma à sua posição anterior, aproximando-ado ponto de equilíbrio). Ou seja, matematicamente esta força restauradora, ~F , terásinal contrário à posição atual da partícula, ~x(t), e será proporcional ao módulodesta posição (quanto mais distante do equilíbrio, maior a força será, para restaurara partícula ao seu ponto de estabilidade original). Assim, em módulo, podemosescrever

F ∝ −x(t). (12.5)

Matematicamente, podemos, ao invés de usar a proporcionalidade (∝), usar aigualdade (=), se utilizarmos uma constante geral (chamemos esta de k) ao segundotermo da equação acima. Deste modo teremos

F = −k x(t). (12.6)

Usando a segunda lei de Newton, onde qualquer força é o produto da massada partícula pela aceleração da mesma, e sabendo que a aceleração é a derivadasegunda da posição, teremos

ma = −kx(t), (12.7)

a = −(k

m

)x(t), (12.8)

d2x(t)

dt2= −

(k

m

)x(t). (12.9)

Como k e m são constantes, substituimos o termo entre parênteses pela cons-tante genérica C , para simplificarmos o tratamento matemático. Fazendo isso ereordenando a equação, podemos reescrevê-la como

d2x(t)

dt2+ C x(t) = 0. (12.10)

A equação acima é uma Equação Diferencial Ordinária Linear Homogêneade 2 ordem, que tem a solução complexa geral na forma

z(t) = exp(pt), (12.11)

onde p é um número complexo, e t é a variável de tempo. Como z(t) é a soluçãoesperada para x(t), tiramos a segunda derivada de z(t)

d2z

dt2= p2z (12.12)

e substituimos a solução complexa geral e sua derivada segunda, 12.11 e 12.12 , naequação original 12.10, obtendo assim

p2z + C z = 0. (12.13)


Colocando o termo z em evidência, podemos eliminá-lo, obtendo a equaçãoabaixo em relação ao número p:

p2 + C = 0. (12.14)

A equação acima é uma equação do 2 grau em relação a p, cujas raízes sãoobtidas abaixo (onde i =

√−1)

p = ±i√C. (12.15)

Como√C é um termo constante, chamemos este termo de outra constante

genérica, ω (por mera simplificação) de modo que

p = ±iω. (12.16)

Portanto, a solução geral z(t) da equação 12.10 será uma combinação dassoluções usando as duas raízes de p

z(t) = a exp(p+t) + b exp(p−t),

z(t) = a exp (+iωt) + b exp (−iωt) , (12.17)

onde a e b são constantes reais. Podemos eliminar a constante b e utilizar apenas araiz p+ para escrevermos a solução z(t), se substituirmos a constante real a pelo nú-mero complexo geral xm exp(iφ), onde xm e φ são igualmente constantes. Fazendoassim, teremos então

z(t) = a exp (iωt) ,

z(t) = xm exp(iφ) exp (iωt) ,

z(t) = xm exp (i [ωt+ φ]) . (12.18)

Usando a fórmula de Euler (exp(ix) = cos(x) + i · sen(x)) na exponencialacima, e tomando apenas a parte real (ou seja, o termo cosseno), teremos finalmentea solução x(t) para a equação 12.10, que é precisamente a posição de uma partí-cula (em função do tempo), sujeita a um movimento oscilatório periódico simples(MHS)

x(t) = xm cos(ωt+ φ), (12.19)

onde

x(t) → Deslocamento no tempo txm → Amplitude do deslocamento

(ωt+ φ) → Faseω → Frequência Angulart → Tempoφ → Ângulo de fase

Como o período T é o tempo para perfazer uma oscilação completa em umapartícula (de um sistema físico qualquer), podemos dizer que após somarmos T ao


tempo t inicial, em qualquer posição da partícula, a mesma voltará a essa mesmaposição de origem (pois terá completado a volta toda, retornando ao mesmo ponto).

Figura 12.2: No painel a, os doismovimentos apresentam o mesmoperíodo T , e da equação 12.24concluimos que também terão amesma freqüência f e a mesmafreqüência angular ω; como ospontos de máximo e de mínimode cada curva estão em sincronia,vemos também que os dois movi-mentos possuem a mesma fase, eportanto também terão o mesmoângulo de fase φ; a única diferençaentre os dois movimentos é na am-plitude dos mesmos (no caso xm ex′m). No painel b notamos comoum dos movimentos possui umperíodo T que é exatamente duasvezes maior que o período do se-gundo movimento, T ′; como o pe-ríodo é o inverso da freqüência,vemos que o movimento de maiorperíodo (T ) possuirá uma freqüên-cia menor que que o movimentode período menor (T ′), e obser-vamos facilmente este comporta-mento no gráfico acima. No painelc os dois movimentos têm mesmaamplitude e mesmo período (logo,também possuem mesma freqüên-cia e mesma freqüência angular,como observamos anteriormenteno painel a); contudo, os movi-mentos apresentam uma pequenamudança no ângulo de fase φ, epodemos observar como esta di-ferença se manifesta graficamente,no painel c acima.

Assim, podemos escrever matematicamente que

x(t) = x(t+ T ). (12.20)

Usando a equação 12.19 na definição acima, teremos

xm cos(ωt+ φ) = xm cos(ω[t+ T ] + φ). (12.21)

Vemos assim que as fases da função cosseno, de ambos os lados da equaçãoacima, podem ser igualadas. Desse modo

ωt+ φ = ω[t+ T ] + φ, (12.22)ωt = ω[t+ T ].

Também sabemos que, se somarmos 2π radianos à qualquer fase, a mesmavoltará à quantidade original; assim, utilizando essa informação e o desenvolvi-mento acima, podemos escrever

ω[t+ T ] = ωt+ 2π, (12.23)ωt+ ωT = ωt+ 2π,

ωT = 2π.

Ou seja, da definição matemática da posição da partícula no MHS, chegamosà relação entre a freqüência angular ω e o período T do movimento dessa partícula.Se lembrarmos ainda que o período é o inverso da freqüência (equação 12.4), entãopodemos escrever que

ω =2π

T= 2πf. (12.24)

A equação acima mostra que a freqüência angular é diretamente proporcionalà freqüência da oscilação, e inversamente proporcional ao período do movimento.

Na Figura 12.2 observamos como as quantidades físicas do movimento osci-latório estudadas até agora apresentam-se visualmente, em um gráfico ‘Posição XTempo’.

12.3 A Velocidade no MHS

A velocidade de uma partícula, submetida a um movimento periódico simples (MHS),pode ser definida como a derivada no tempo da posição da partícula, neste mesmosistema de MHS. Usando a equação 12.19 para a posição da partícula no tempo t,teremos:

v(t) =d [x(t)]

dt=d [xm cos(ωt+ φ)]

dt. (12.25)


Derivando a expressão acima usando a regra da cadeia (ou seja, derivamosa função, e depois multiplicamos pela derivada do argumento desta função), e sa-bendo que a amplitude do deslocamento (xm) é constante, teremos

v(t) = −ω xmsen(ωt+ φ), (12.26)

onde podemos observar que a nova constante, ω xm, representa agora a amplitudeda velocidade da partícula. Se chamarmos esta amplitude de vm (onde vm = ω xm),teremos a equação

v(t) = −vmsen(ωt+ φ). (12.27)

A velocidade será portanto uma função seno, que tem uma diferença de fasede π/2 radianos em relação à função cosseno (que é a função que escolhemos paradescrever a posição da partícula). O sinal negativo na equação da velocidade sugereque o “deslocamento” da função cosseno, para virar a função seno, ocorrerá nosentido decrescente do tempo. Ou seja, a velocidade seria obtida do deslocamentoda posição da partícula - uma função cosseno - de π/2 radianos para a esquerda (nocaso de um gráfico onde o tempo crescesse para a direita).

Deslocando-se o gráfico da posição versus tempo, de exatos π/2 radianos, nosentido inverso do tempo, obteremos portanto o gráfico da função da velocidade dapartícula no MHS. Como a fração π/2 é igual a 2π/4, e o numerador 2π radianosrepresenta uma volta completa do sistema (que é equivalente em tempo ao períodoT do movimento), podemos escrever que

π

2=

2π

4=T

4. (12.28)

Concluindo que o deslocamento do gráfico ‘posição X tempo’, para se trans-formar no gráfico ‘velocidade X tempo’, deverá ser de π/2 radianos no sentidoinverso do tempo, ou seja, um quarto do período do movimento.

12.4 A Aceleração no MHS

A aceleração no MHS é obtida simplesmente derivando a velocidade. Ou seja

a(t) =d [v(t)]

dt=d [−ω xm · sen(ωt+ φ)]

dt= −ω xm

d [sen(ωt+ φ)]

dt. (12.29)

Derivando a expressão acima, usando a regra da cadeia, teremos

a(t) = −ω2 xm cos(ωt+ φ). (12.30)

Como a equação 12.19 está contida na equação acima, podemos escrever que

a(t) = −ω2 [xm cos(ωt+ φ)],

~a(t) = −ω2 ~x(t). (12.31)

A aceleração da partícula, no MHS, mostra uma propriedade importante dessetipo de movimento: derivando-se duas vezes a posição da partícula, obtemos umaexpressão que envolve novamente a posição da mesma.


A Figura 12.3 apresenta todo o comportamento cinemático do movimento

Figura 12.3: Temos acima os grá-ficos da posição, da velocidade eda aceleração, ao longo do tempo,de uma partícula submetida a ummovimento harmônico simples, deacordo com as equações 12.32,12.33 e 12.34. Observe que a am-plitude das curvas segue estrita-mente a das equações cinemáti-cas. Note que o deslocamento notempo gera uma curva da funçãocosseno; se deslocarmos a fasedesta curva de 90o - π/2 radianos- para a direita, e modificarmosa amplitude de acordo, teremos ográfico da velocidade ao longo dotempo, que será o da função se-noidal (invertida, por causa do si-nal negativo da equação 12.33); senovamente deslocarmos o gráficode 90o - π/2 radianos - para adireita (e modificarmos mais umavez a amplitude de acordo), obte-remos de novo o gráfico da fun-ção cosseno, que como vimos eraa função periódica do desloca-mento (mas neste caso invertida,por causa do sinal negativo daequação 12.34), configurando estaa característica singular do gráficoda aceleração pelo tempo, no mo-vimento harmônico simples.

harmônico simples, mostrando como a sua posição, sua velocidade e sua acelera-ção variam ao longo do tempo, a partir das equações 12.19, 12.26 e 12.30, abaixorepetidas:

x(t) = xm cos(ωt+ φ), (12.32)

v(t) = −ω xmsen(ωt+ φ), (12.33)

a(t) = −ω2 xm cos(ωt+ φ). (12.34)

12.5 O Sistema Massa-Mola

Agora que temos a expressão da aceleração da partícula no MHS (equação 12.31),podemos deduzir a equação da força no MHS, a partir da definição de força clássica(a 2o Lei de Newton):

~F = m [~a(t)] ,

~F = m[−ω2 ~x(t)

],

~F = −mω2 [~x(t)] . (12.35)

Substituindo a constante mω2 pela constante k (ou seja, fazendo k = mω2),obteremos assim a equação

~F = −k~x(t). (12.36)

A equação acima é exatamente a Lei de Hooke (que descreve matematica-mente a força do sistema massa-mola). A equação 12.36 acima é matematicamenteidêntica à equação 12.6, anteriormente estudada, que como vimos é uma força res-tauradora (ou seja, é uma força proporcional ao deslocamento da partícula, mascom sinal contrário ao mesmo; é uma força que tende sempre a restituir a posiçãooriginal da partícula).

Concluimos assim que o sistema massa-mola é um sistema MHS, ou seja, ématematicamente um Oscilador Harmônico Simples Linear (OHS Linear). O tram-polim de uma piscina ou as cordas de um violino são também exemplos de OHSLineares; no entanto, tanto no trampolim quanto nas cordas do violino, a flexibili-dade (elasticidade) do sistema está acoplada à massa do mesmo - ou seja, a inérciae a elasticidade precisam ser tratadas em conjunto. No sistema massa-mola, comopodemos ver a partir da Figura 12.4, o componente inercial (a massa de um bloco) écompletamente dissociado do componente elástico (no caso, a mola), fazendo destesistema o ideal para os estudos básicos sobre os Osciladores Harmônicos SimplesLineares.

No MHS, a partir das equações 12.36, 12.35 e 12.24, podemos relacionar aconstante k com a freqüência angular ω, o período T e a massa m da partícula. Dadefinição de k abaixo (equações 12.36 e 12.35)

k = mω2, (12.37)


podemos reescrevê-la como

ω =

√k

m, (12.38)

o que fornece a freqüência angular ω do movimento, a partir da massa m da partí-cula e da constante k do sistema.

Figura 12.4: Sistema Massa-Mola padrão.

Para analisarmos o período do movimento, usamos a equação 12.24 e iguala-mos ao resultado acima, obtendo

ω =2π

T=

√k

m,

T = 2π

√m

k. (12.39)

No sistema massa-mola, como já observamos, a massa do sistema está todacontida no bloco (uma vez que assumimos idealmente que a massa da mola é des-prezível), e a elasticidade do sistema está toda contida na mola, sendo representadapela constante k (que descreveria as propriedades elásticas do material da mola).Analisando as equações 12.38 e 12.39, concluimos que se o bloco for muito leve(massa m pequena), e se a mola for muito rígida (constante k grande), o sistemamassa-mola em movimento possuirá uma grande freqüência angular ω, e portantoum pequeno período T . Inversamente, se o sistema massa-mola for composto porum bloco muito pesado (grande m) e uma mola muito pouco rígida (pequeno k),esperamos obter uma freqüência angular (ω) muito baixa, e um grande período (T )para o movimento MHS do sistema.

12.6 Pêndulos

Os pêndulos são exemplos de Osciladores Harmônicos Simples (OHS), onde a forçagravitacional age como a força restauradora do sistema, provocando o seu movi-mento periódico.

Podemos imaginar um pêndulo simples, onde um objeto pequeno de massam está preso no teto por um fio de massa desprezível, de comprimento L (Figura12.5(a)). O sistema massa-fio oscila em um plano bidimensional onde, a cada ins-tante do tempo, o fio esticado perfaz um ângulo θ em relação à linha vertical ima-ginária do centro das oscilações. As únicas forças atuantes no sistema são a tração~T do fio e a força gravitacional ~Fg = m~g atuando no objeto de massa m, sempredirigida para baixo, na vertical (Figura 12.5(b)).

Se decompormos a força gravitacional em um componente perpendicular (Fg cos θ)e outro tangencial (Fgsenθ) ao movimento, notaremos que apenas o componentetangencial contribui para o movimento do sistema, pois o perpendicular anula-secom a tração do fio (Figura 12.5(b)). Ainda, o componente tangencial atua comoa força restauradora no sistema, propiciando seu movimento periódico (portanto,possuirá um sinal negativo, como na equação 12.36).

Figura 12.5: Pêndulo simples.Contudo, como o movimento pendular é um movimento angular - ou seja, um

movimento cujo deslocamento é quantitativamente obtido pela mudança angular ao


longo do tempo - a força restauradora será também uma força angular, chamada detorque (~τ ), e definida como

~τ = ~r × ~F , (12.40)

onde ~r é o raio do centro do movimento angular até o objeto (portanto, seu móduloé o comprimento L da corda), e ~F , como já analisamos acima, é o componentetangencial da força da gravidade, com sinal negativo (−Fgsenθ). Como o ânguloentre ~r e ~F é de 90, o produto vetorial da equação 12.40 é trivial, e o módulo dotorque será então

τ = rF,

τ = L (−Fgsenθ) ,τ = −Lmg senθ. (12.41)

Relembrando a 2 Lei de Newton na forma angular

τ = Iα, (12.42)

onde τ é a força angular (o torque), I é a inércia de rotação do sistema, e α é aaceleração angular. Podemos substituir o torque encontrado na equação 12.41, eisolar a aceleração angular, obtendo assim

− Lmg senθ = Iα,

α = −(mgL

I

)senθ. (12.43)

Se o a amplitude da oscilação do pêndulo for pequena, ou seja, se o ângulomáximo de oscilação for muito pequeno, podemos fazer a aproximação senθ ∼ θna equação 12.43, obtendo

α = −(mgL

I

)θ, (12.44)

onde α é a aceleração angular (o análogo angular da aceleração a(t) do MHS), e θ éa posição angular (o análogo angular da posição x(t) do MHS). Dito isso, podemosconcluir que a equação acima é o equivalente angular da equação 12.31, reescritaabaixo

~a(t) = −ω2 ~x(t). (12.45)

Desse modo, a freqüência angular do movimento do pêndulo é facilmenteobtida, comparando as duas equações anteriores (onde ~x(t) = θ na equação acima)

ω =

√mgL

I, (12.46)

e como ω = 2π/T , obtemos igualmente o período das oscilações do movimentopendular, escrevendo

T = 2π

√I

mgL. (12.47)


Como I = mr2, e já vimos que r = L (o comprimento do fio do pêndulo),então I = mL2. Substituindo na equação acima, obtemos

T = 2π

√mL2

mgL,

T = 2π

√L

g. (12.48)

Considerando a aceleração da gravidade g constante, deduzimos da equaçãoacima que o período de oscilação de um pêndulo simples (T ) só depende do com-primento do fio deste pêndulo (L). Podemos assim tirar as constantes da equaçãoacima e dizer simplesmente que T é proporcional a

√L

T ∝√L. (12.49)

Uma conclusão interessante. Para pequenas oscilações (onde vale a aproxi-mação senθ ∼ θ), o período da oscilação do pêndulo não depende da amplitudeda mesma, mas apenas do comprimento do fio. Essa conclusão foi descoberta porGalileu Galilei, observando as oscilações dos candelabros da catedral de sua univer-sidade, quando estudava medicina, ainda em sua juventude. Ele usou sua pulsaçãocardíaca para contar o tempo das oscilações, na época.

Mais tarde, Newton mediu observacionalmente os períodos de pêndulos sim-ples, e obteve resultados que comprovavam a equação 12.48 acima, indicando aequivalência entre a massa inercial (m) e a massa gravitacional (mg). Veja como:

O arco descrito pela oscilação de pêndulo (de comprimento de fio L e distân-cia angular θ ao longo do tempo) poderia ser aproximado pela distânciaX . Sabemosque a relação entre X , o raio de curvatura (L) e o ângulo que perfaz o arco (θ) é

X = Lθ. (12.50)

Usando a 2 Lei de Newton, e substituindoX pela equação acima, escrevemosportanto

F = ma = md2X

dt2= mL

d2θ

dt2, (12.51)

onde a massa m acima representa a massa inercial, pois é obtida da 2 Lei deNewton do movimento.

Já mostramos que a componente tangencial da força gravitacional, com sinalnegativo (−mg senθ), é a força restauradora do movimento do pêndulo, e a únicaque atua no sistema. Como a massa m desta força tangencial está relacionada àatração gravitacional da Terra, ela será a massa gravitacional (escrita a partir deagora como mg). Igualando a força tangencial do pêndulo com a equação 12.51acima, teremos

mLd2θ

dt2= −mg g senθ. (12.52)

Se supusermos que a massa inercial é equivalente à massa gravitacional, en-tão m = mg. Fazendo isso e considerando pequenas oscilações (senθ ∼ θ)


reescrevemos a equação acima como

d2θ

dt2+( gL

)θ = 0. (12.53)

Comparando com a equação 12.35 da lei de força no MHS, reescrita abaixo

~F = −mω2~x(t),

md2~x(t)

dt2= −mω2~x(t),

d2~x(t)

dt2+ ω2 · ~x(t) = 0, (12.54)

podemos observar um paralelo matemático claro entre as equações 12.54 e 12.53,levando à conclusão que

ω2 =g

L,

ω =

√g

L, (12.55)

e como ω = 2π/T , teremos o período do movimento do pêndulo

T = 2π

√L

g, (12.56)

que é exatamente a equação 12.48 deduzida anteriormente. Ou seja, Newton con-cluiu, baseado em suas observações sobre o período dos pêndulos, que a equaçãoacima descrevia os fenômenos reais, mas para isso, a equivalência entre a massainercial e a massa gravitacional precisaria existir, conforme mostramos anterior-mente.

No início do século XX, Einstein usou a equivalência entre a massa gravitaci-onal e a massa inercial para construir sua Teoria da Relatividade Geral, que permitiua partir de então equacionarmos o comportamento do Universo, e iniciarmos os es-tudos da Cosmologia moderna.

12.7 Energia no MHS

Antes de estudarmos como se comporta a energia no MHS, precisamos fazer umabreve revisão sobre trabalho e energia potencial no sistema massa-mola (pois jávimos anteriormente que a equação de movimento deste sistema é essencialmenteo de qualquer sistema MHS).

No sistema massa-mola, a força é dada pela Lei de Hooke

~F (x) = −k~x (12.57)

e o trabalho do sistema é dado pela equação

W =

∫ xf

xi

~F (x) · d~x. (12.58)


Se a força atuante no sistema é conservativa (e consideramos este caso idealaqui), então a variação da energia potencial elástica se relaciona com o trabalho daseguinte forma

∆U = −W = −∫ xf

xi

~F (x) · d~x. (12.59)

Substituindo a força do sistema massa-mola na equação acima, obtemos

∆U = −∫ xf

xi

(−k~x) · d~x,

∆U = +k

∫ xf

xi

~x · d~x,

∆U =1

2kx2

f −1

2kx2

i . (12.60)

Se tomarmos a referência xi = 0 no ponto onde a mola está relaxada (Ui = 0),teremos a equação padrão para a energia potencial elástica do sistema massa-mola:

U(x) =1

2kx2. (12.61)

A energia cinética de qualquer sistema é definida como

K =1

2mv2. (12.62)

Usando as equações para a posição x e a velocidade v do MHS (equações12.19 e 12.27), abaixo reescritas,

x(t) = xm cos(ωt+ φ), (12.63)v(t) = −ω xmsen(ωt+ φ), (12.64)

e substituindo nas equações das energias potencial e cinética acima, teremos

U(x) =1

2k x2

m cos2(ωt+ φ), (12.65)

eK =

1

2mω2 x2

msen2(ωt+ φ). (12.66)

Usando a equação 12.38, deduzida a partir da força no MHS e reescrita abaixo,

ω =

√k

m, (12.67)

substituimos ela na equação da energia cinética acima, obtendo

K =1

2k x2

msen2(ωt+ φ). (12.68)


A equação 12.68 e a equação 12.65 agora possuem as mesmas variáveis, epodem ser melhor estudadas em conjunto. De fato, relembrando que a energia me-cânica de um sistema (E) é a energia potencial somada à energia cinética, teremosentão, para o MHS

E = U +K,

E =1

2k x2

m

[cos2(ωt+ φ) + sen2(ωt+ φ)

]. (12.69)

Pela trigonometria, sabemos que o termo em colchetes na equação acima éigual a 1, de modo que a energia mecânica do MHS assume a forma simples

E =1

2k x2

m. (12.70)

Ou seja, a energia mecânica no MHS é sempre constante, ou seja, é inde-pendente do tempo. Na Figura 12.6-a temos o gráfico ‘Energia X Tempo’, ondeobservamos a curva constante, horizontal, da energia mecânica total; no mesmográfico observamos que o comportamento temporal da energia cinética segue umafunção senoidal, enquanto o da energia potencial mostra uma curva cossenoidal, deacordo com as equações 12.68 e 12.65, respectivamente.

O gráfico ‘EnergiaX Posição’ (Figura 12.6(b)) pode mostrar ao mesmo tempoa energia cinética, a energia potencial e a energia mecânica total no MHS. Vemosque as parábolas de U e K se complementam, e a soma é sempre a constante E.As curvas são completamente simétricas, e podemos inclusive achar o ponto exatono eixo vertical (o eixo das energias) onde a energia cinética é exatamente igual àenergia potencial:

U = K =1

2(E) =

1

2

(1

2k x2

m

)=

1

4k x2

m. (12.71)

Figura 12.6: O comportamentográfico, em um sistema harmô-nico simples, da energia cinética,da energia potencial, e da ener-gia mecânica total, é mostradonos dois painéis acima. No pai-nel a temos o comportamento dasenergias em função do tempo, en-quanto no painel b observamos asmesmas ao longo da posição.

12.8 Movimento Harmônico Simples Amortecido(MHSA)

Até agora estudamos o MHS no caso ideal, ou seja, em sistemas conservativos, ondenão havia perda de energia. Nestes sistemas conservativos não havia atrito, nem for-ças de arrasto, que provocassem qualquer tipo de amortecimento ao movimento. Opêndulo ou o sistema massa-mola, se colocados em movimento, oscilariam indefi-nidamente.

No mundo real, o pêndulo sofre atrito nas juntas do fio com o objeto de massam e com o teto, e sente a resistência do ar. Nos casos reais, onde o atrito e asforças de arrasto existem, os sistemas oscilatórios perdem continuamente energia,até pararem por completo.

Podemos imaginar um sistema constituido por um suporte rígido, que sustentauma mola e um bloco de massam ligado à mola. Preso ao bloco teríamos uma hastelonga, tendo na extremidade inferior um disco de pequena espessura (chamemos


este objeto de “pá”). A pá está imersa em um líquido (Figura 12.7). Considere-mos a massa da mola e da pá desprezíveis. Quando o sistema massa-mola-pá éposto a oscilar, o mesmo sofre amortecimento, onde a energia mecânica diminuicontinuamente, transformando-se em energia térmica ao contato com o líquido.

Figura 12.7: Exemplo de movi-mento harmônico simples amor-tecido: um sistema massa-mola-pá, perfazendo oscilações com apá imersa em um líquido.

Para pequenas oscilações, o líquido exercerá uma força de amortecimento(~Fd) proporcional à velocidade ~v do sistema massa-mola-pá

~Fd = −b~v, (12.72)

onde o sinal negativo indica que a força se opõe ao movimento, e b é a constante deamortecimento - em unidades de kg/s - que depende das características do sistemamassa-mola-pá e do líquido.

Como a força do sistema massa-mola-pá segue a força já estudada do MHS(~F = −k~x), escreveremos então a 2 lei de Newton do movimento deste sistemaamortecido como

~F = m~a = −b~v − k~x, (12.73)

reescrevendo a equação acima e dividindo tudo pela massa m, obteremos

~a+

(b

m

)~v +

(k

m

)~x = 0,

d2~x

dt2+

(b

m

)d~x

dt+

(k

m

)~x = 0. (12.74)

Substituindo os termos γ =(bm

)e ω2 =

(km

), teremos portanto a Equação

Diferencial Ordinária Linear Homogênea de 2 ordem abaixo:

d2~x

dt2+ γ

d~x

dt+ ω2~x = 0, (12.75)

que tem a solução complexa geral na forma

z(t) = exp(pt), (12.76)

onde p é um número complexo, e t é a variável de tempo. Como z(t) é a soluçãoesperada para ~x(t), tiramos a primeira e a segunda derivada de z(t)

dz

dt= pz, (12.77)

d2z

dt2= p2z, (12.78)

e substituimos as equações 12.76, 12.77 e 12.78 em 12.75, obtendo assim

p2z + γpz + ω2z = 0. (12.79)

Colocando o termo z em evidência, podemos eliminá-lo, obtendo a equaçãoabaixo em relação ao número p

p2 + γp+ ω2 = 0. (12.80)


A equação acima é uma equação do 2 grau em relação a p, cujas raízes sãoobtidas facilmente

p = −γ2±√(γ

2

)2

− ω2. (12.81)

Analisando o termo dentro da raiz quadrada, observamos que se γ2< ω, tere-

mos uma raiz quadrada de um termo negativo (um número complexo). Este caso échamado de amortecimento subcrítico, e gera as raízes abaixo

p = −γ2± i√ω2 −

(γ2

)2

, (12.82)

podemos ainda substituir o termo da raiz pela expressão (lembrando que γ =(bm

)e ω2 =

(km

))

ω′ =

√ω2 −

(γ2

)2

=

√k

m−(

b

2m

)2

, (12.83)

de modo a reescrevermos as raízes de p como

p = −γ2± iω′. (12.84)

Portanto, a solução geral z(t) da equação do MHS amortecido (equação 12.75),para o caso subcrítico, será uma combinação das soluções usando as duas raízes dep, tiradas anteriormente

z(t) = a exp(p+t) + b exp(p−t),

z(t) = a exp([−γ

2+ iω′

]t)

+ b exp([−γ

2− iω′

]t),

z(t) = exp(−γ

2t)· a exp (iω′t) + b exp (−iω′t) , (12.85)

onde a e b são constantes reais. Podemos eliminar a constante b e utilizar apenas araiz p+ para escrevermos a solução z(t), se substituirmos a constante real a pelo nú-mero complexo geral xm exp(iφ), onde xm e φ são igualmente constantes. Fazendoassim, teremos então

z(t) = exp(−γ

2t)a exp (iω′t) ,

z(t) = exp(−γ

2t)xm exp(iφ) exp (iω′t) ,

z(t) = xm exp(−γ

2t)

exp (i [ω′t+ φ]) . (12.86)

Substituindo γ =(bm

), usando a fórmula de Euler (exp(ix) = cos(x) + i ·

sen(x)) na segunda exponencial, e tomando apenas a parte real, teremos finalmentea solução x(t) para a equação 12.75, que rege o MHS amortecido no caso subcrítico:

x(t) = xm exp

(− b

2mt

)cos(ω′t+ φ), (12.87)


onde ω′ é a freqüência angular do oscilador amortecido

ω′ =

√k

m−(

b

2m

)2

. (12.88)

Figura 12.8: Gráfico da soluçãoda posição em função do tempo,para um movimento harmônicosimples amortecido, no caso sub-crítico.

No gráfico da solução acima (Figura 12.8), xm marca a amplitude inicial domovimento oscilatório cos(ω′t + φ), que vai gradualmente decaindo no tempo se-guindo a fórmula xm exp

(− b

2mt). Desse modo, podemos escrever a energia mecâ-

nica total (E) para o caso amortecido e compará-la com o caso não-amortecido jáestudado anteriormente

E =1

2k x2

m =⇒ Caso não-amortecido,

E =1

2k x2

m exp

(− b

mt

)=⇒ Caso amortecido subcrítico.

Analisando a freqüência angular ω′ do caso amortecido (equação 12.88), ve-

mos que ela é ligeiramente menor do que a do caso não-amortecido (ω =√

km

), epodemos igualmente ver que ela tenderá a zero quando o coeficiente de amorteci-mento b for tão grande que

k

m−(

b

2m

)2

= 0, (12.89)

b = 2√km.

Ou seja, se b = 2√km, temos que ω′ = 0, e o sistema amortecido não oscilará

mais; esse é o chamado amortecimento crítico (se o sistema for tirado de seu estadode equilíbrio, ele retornará a este sem oscilar). Se b > 2

√km, teremos o amorteci-

mento supercrítico (o sistema retorna a seu ponto de equilíbrio também sem oscilar,como no amortecimento crítico, porém de modo mais lento). Quando b < 2

√km,

vemos que ω′ é maior do que zero, e estamos então no caso do amortecimento sub-crítico (o sistema oscila com uma amplitude que decai continuamente no tempo,segundo a equação 12.87). Observe ainda que, se a constante de amortecimento for

nula (b = 0), ou se for muito pequena (b 2√km), então ω′ = ω =

√km

e

x(t) = xm cos(ωt+ φ), (12.90)

recuperando assim a solução anteriormente estudada do MHS não-amortecido.

Podemos então classificar os movimentos harmônicos simples de acordo como coeficiente de amortecimento (b) dos mesmos, compondo assim a tabela abaixo

Coeficiente b Tipo de Movimento Característicab = 0 amortecimento nulo Oscila sem pararb < 2

√km amortecimento subcrítico Oscila até parar

b = 2√km amortecimento crítico Retorna sem oscilar

b > 2√km amortecimento supercrítico Retorna lentamente sem oscilar


Exemplo 12.2. O sistema de amortecimento dos carros é composto por um pistãohidráulico dentro de um cilindro. A parte de cima do cilindro fica presa estatica-mente ao chassi do carro, enquanto que a parte de baixo é móvel e prende-se àsrodas do veículo. Os engenheiros que desenvolveram este sistema precisaram es-tabelecer um movimento oscilatório ao pistão, para que o mesmo amortecesse ocarro - quando este passasse em cima de um quebra-molas, por exemplo.

Pergunta: Analise o efeito que cada movimento oscilatório - resumido natabela acima - teria no sistema de amortecimento de um carro. Qual seria o movi-mento ideal a ser introduzido no pistão, para um resultado excelente?

Resposta: Se o amortecimento for nulo, o carro oscilaria eternamente aopassar por um quebra-molas, o que seria terrível para os passageiros. Se o amor-tecimento for supercrítico, o carro tenderia a voltar ao estado anterior após pas-sar por um quebra-molas, mas faria isso muito lentamente, de modo que qualquerquebra-molas posterior seria muito desconfortável para todos. Se o amortecimentofor muito subcrítico, o carro oscilaria muito até parar. No caso do amortecimentocrítico, ou pouco subcrítico (quase tendendo a ser crítico), teríamos o movimentoideal, pois após o obstáculo, o carro retornaria à condição anterior ao quebra-molas a tempo de enfrentar novos obstáculos, de modo confortável a todos os pas-sageiros.

12.9 Oscilações Forçadas e Ressonância

Imagine-se em um balanço: você dá um impulso inicial e começa a balançar, indoe vindo em oscilações livres. Se nada for feito a partir de então, você sentirá que acada volta a amplitude da oscilação diminui um pouquinho, e continua a diminuiraté que eventualmente o balanço irá parar. Agora imagine que algum amigo seuapareça e comece a empurrar seu balanço, a cada nova volta. As oscilações aumen-tam de amplitude de repente. Se o seu amigo mantiver a mesma força a cada volta,a nova amplitude se manterá sempre. Se o seu amigo aumentar a força continua-mente, mantendo o rítimo certo, a oscilação crescerá cada vez mais em amplitude.Se o seu amigo perder o rítimo de empurrões, de modo a empurrar várias vezes o

Figura 12.9: A amplitude deum movimento harmônico for-çado aumenta cada vez mais,quanto mais a freqüência natu-ral do movimento (ω) se apro-ximar da freqüência da oscilaçãoforçada (ωd). No ponto de am-plitude máxima, onde ω = ωd,a razão ωd/ω = 1, no gráficoacima. Note também, na figuraacima, que quanto menor o coe-ficiente de amortecimento do sis-tema (b), maior será a amplitudede ressonância do movimento.

balanço quando este está ainda retornando, e não empurrá-lo várias vezes antes delese afastar, as oscilações vão ficar bastante descompassadas, e o movimento ficarábastante complexo. Esse é um exemplo bastante claro de uma oscilação forçada,onde temos sempre atuando duas freqüências angulares: A freqüência angular na-tural ω da oscilação livre, e a freqüência angular ωd da força externa aplicada (ouseja, a freqüência da oscilação forçada).

A equação da posição do oscilador forçado pode ser escrita na forma

x(t) = xm cos(ωdt+ φ), (12.91)

onde a amplitude xm é uma função bastante complexa de ωd e ω. Da equação acimapodemos obter igualmente a da velocidade, e a amplitude da velocidade, vm, serámáxima quando ωd = ω, condição esta que chamamos de ressonância. Na Figura12.9 podemos observar graficamente essas afirmações.


A ressonância é um fator muito importante a ser observado em diversos sis-temas físicos. Nos aviões, a freqüência angular de oscilação das asas deve ser me-ticulosamente controlada para nunca se aproximar da freqüência do motor, casocontrário a ressonância asa-motor poderá quebrar a aeronave, causando um sérioacidente aéreo. Os prédios, pontes e viadutos precisam ser criteriosamente cons-truidos, principalmente em áreas de terremotos, pois se a freqüência de oscilaçãodas construções se aproximar da freqüência dos terremotos locais, os prédios e pon-tes desabarão, causando sérios prejuízos e possíveis mortes a centenas de pessoas.O fator de ressonância pode ser usado ainda na afinação de instrumentos musicais,dentre diversos outros exemplos.

Capítulo 13

Mecânica dos fluidosFelipe Bohn

Os fluidos estão presentes no cotidiano das pessoas e desempenham papéis funda-mentais em diversas situações. Relacionado ao aspecto vital, propriamente dito,bebem-se e respiram-se fluidos. Associado ao cotidiano, navios flutuam sobre eaviões voam através de fluidos. Por outro lado, dentro do contexto de tecnologia, afísica dos fluidos e diversas aplicações são encontradas em vários ramos da enge-nharia.

Neste capítulo, serão abordados conceitos relacionados aos fluidos em re-

Figura 13.1: Porque a água apre-senta tal efeito quando o aviãopassa sobrevoando próximo aomar?

pouso, também denominado hidrostática, da Seção 13.1 a 13.7, tais como pressãoem um fluido, princípio de Pascal e princípio de Arquimedes, bem como tópicosassociados aos fluidos ideais em movimento, ou hidrodinâmica, como as equaçõesda continuidade e de Bernoulli, serão discutidos nas seções 13.8 a 13.10.

13.1 Fluidos

Em contraste com um sólido, denomina-se fluido qualquer substância que pode fluir.Além disto, diferentemente dos sólidos, que sob a ação de uma força, estes reagemcom uma força de mesma intensidade e sentido contrário, um fluido caracteriza-sepor não apresentar resistência quando submetido às tensões de cisalhamento.

Em particular, o termo “fluido” pode ser utilizado para designar tanto gases,quanto líquidos. Como exemplos de fluidos muito conhecidos, destacam-se a água,o ar e o sangue. Menos conhecidos, como fluidos, são o vidro e o asfalto.

Até o momento, ao discutir assuntos sobre partículas e corpos rígidos, termoscomo massa e força foram vastamente utilizados. Entretanto, tratando-se de fluidos,os conceitos mais utilizados são os de densidade e de pressão.

13.2 Densidade ou massa específica

A densidade ou massa específica, ρ, corresponde a uma propriedade intrínseca dequalquer substância ou material. Em particular, embora, aqui, seja utilizado um

218

Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 219

fluido para sua definição, não é necessário que a substância esteja no estado líquidoou gasoso para definir sua densidade. Assim, através da consideração de um fluidoqualquer e tomando-se um pequeno elemento de volume ∆V , em torno de um pontoqualquer, cuja massa contida neste elemento de volume é ∆m, tem-se que a densi-dade, neste ponto, é dada por

ρ =∆m

∆V. (13.1)

Mais precisamente, a densidade em um ponto qualquer de um fluido deve ser de-finida no limite desta razão, quando ∆V → 0. Entretanto, no caso de um fluidohomogêneo, ou seja, no qual a massa está distribuída uniformemente sobre todo ovolume, a densidade pode ser definida simplesmente como a razão entre a massa me volume V considerados

ρ =m

V. (13.2)

A unidade de densidade, no SI, é [ρ] = kg/m3. Entretanto, outra unidade muitoempregada é g/cm3, onde

1 kg/m3 = 1000 g/cm3. (13.3)

A Tabela 13.1 apresenta a densidade de algumas substâncias. É importantesalientar que a densidade pode depender de parâmetros como temperatura e pressão.Para os exemplos apresentados na Tabela, é possível observar que a densidade de umgás, como o ar, varia consideravelmente com uma modificação de pressão, enquantoque a densidade de um líquido, como a água, não varia, indicando que os gases sãocompressíveis.

Tabela 13.1: Densidade de algumas substâncias.

Material Densidade (kg/m3)Ar (1 atm, 20C) 1,21

Ar (50 atm, 20C) 60,50Gelo 0,92 · 103

Água (1 atm, 20C) 0,998 · 103

Água (50 atm, 20C) 1,000 · 103

Água do mar (1 atm, 20C) 1,024 · 103

Sangue 1,060 · 103

Al 2,7 · 103

Fe 7,8 · 103

Cu 8,9 · 103

Pb 11,3 · 103

Hg 13,6 · 103

13.3 Pressão

Como citado anteriormente, um fluido pode fluir, de modo que ele acaba por semoldar aos contornos do recipiente que o contém. Porém, este fluido em repouso


exerce uma força normal sobre qualquer superfície que esteja em contato com ele.Por exemplo, a força normal à superfície do recipiente que o contém e a força sobrequalquer corpo nele imerso. Embora macroscopicamente observa-se que o fluidoesteja em repouso, as moléculas que o constituem estão em movimento, dando ori-gem a estas forças de contato.

Figura 13.2: Considerando umasuperfície hipotética, de área dA,o fluido exerce forças normaisiguais em ambos os lados da su-perfície. Retirada da referência[11].

Assim, como mostrado na Figura 13.2, considerando uma superfície hipoté-tica dentro de um fluido, tem-se que o fluido em torno desta exerce forças normaisiguais e contrárias em ambos os lados da superfície. Deste modo, a pressão p, nesteponto da superfície onde a força é aplicada, é definida como

p =dF⊥dA

, (13.4)

onde dF⊥ é a força normal que atua que atua sobre o elemento de superfície comárea dA. No caso da força ser uniforme, ou seja, quando a força está uniformementedistribuída por todos os pontos da superfície, sobre uma área plana, tem-se quep = F⊥/A.

É importante salientar que a força dF⊥, em um ponto particular do fluido, éa mesma independentemente da orientação da superfície hipotética, ou seja, tem amesma magnitude qualquer que seja a sua direção. Assim, a pressão é uma grandezaescalar, não tendo propriedades direcionais.

A unidade de pressão, no SI, é [p] = N/m2 ≡ Pa, chamada de Pascal. Equi-valentemente, outras unidade podem ser empregadas, como atmosfera (atm), queindica a pressão média da atmosfera ao nível do mar, o milímetro de mercúrio(mmHg), o torr, em homenagem a Evangelista Torricelli, e, por fim, a libra porpolegada quadrada (lb/in2). Estas unidades estão relacionadas por

1, 01 · 105 Pa = 1 atm = 760 mmHg = 760 Torr = 14, 7 lb/in2. (13.5)

Exemplo 13.1. Porque, ao andar na neve, fica mais fácil caminhar utilizando-seraquetes, em vez de tênis, nos pés?

13.4 Fluidos em repouso e pressão

No caso de um mergulhador, à medida que este mergulha para maiores profundida-des, ele sente um aumento de pressão; por outro lado, um alpinista, à medida quealcança maiores altitudes em uma montanha, ele sente uma redução de pressão. Emambos os casos, a pressão considerada é a chamada de pressão hidrostática, umavez que se devem a fluidos estáticos, nestes casos, a água e o ar, respectivamente.Sendo assim, para fluidos em repouso, é verificado que a pressão varia de acordocom a profundidade ou altitude. Neste caso, é possível determinar uma expressãogeral que relaciona a pressão em um dado ponto e a profundidade/altura.

Para tanto, inicialmente, considera-se um fluido em equilíbrio estático em umrecipiente qualquer, como mostrado na Figura 13.3. Para este fluido, tem-se quea densidade ρ e a aceleração da gravidade g permanecem constantes em todos ospontos do fluido. De acordo com a Figura, é possível definir um eixo de coorde-nadas y, que apresenta sentido crescente orientado para cima e y = 0 coincidindo


com a interface fluido-ar. Além disto, considera-se uma pequena porção de fluido,

Figura 13.3: Um fluido em um re-cipiente, onde é definido um eixode coordenadas y, com sentidocrescente orientado para cima ey = 0 coincidindo com a inter-face fluido-ar, e é delimitada umapequena porção de fluido, atravésde um cilíndro hipotético (linhatracejada), com bases de área A,onde y1 e y2 são as profundidadesdas bases superior e inferior, res-pectivamente. Neste caso, sobreo fluido delimitado pelo cilindro,são observadas uma força ~F1, so-bre a base superior, uma força ~F2,sobre a base inferior e a força gra-vitacional, m~g, associada à massado fluido que está no interior docilindro hipotético. Retirada dareferência [10].

contido em um cilindro hipotético (sua visão lateral é indicada pela linha tracejadano desenho), de bases inferior e superior A, onde y1 e y2 são as profundidades dasbases superior e inferior, respectivamente.

Como o fluido está em equilíbrio estático, ou seja, está em repouso e a forçaresultante sobre ele é nula, então sobre a porção delimitada pelo cilindro hipotético,tem-se

∑ ~F = 0. Neste caso, três forças podem ser identificadas: a força ~F1,que age sobre a base superior e se deve à quantidade de fluido que está acima docilindro hipotético, a força ~F2, que age sobre a base inferior do cilindro e se deve àquantidade de fluido que está abaixo do cilindro, e m~g, que se deve ao próprio pesoda porção de fluido delimitada pelo cilindro hipotético. Considerando as forçasindicadas na Figura, na direção y, tem-se∑

Fy = 0, (13.6)

F2 − F1 −mg = 0. (13.7)

Uma vez que a densidade do fluido é considerada constante, ρ = m/V , onde m eV são a massa e o volume da porção de fluido delimitado, respectivamente, e como,neste caso, é possível utilizar a aproximação p = F/A, tem-se

p2A− p1A− ρV g = 0, (13.8)

mas V = A(y1 − y2), logo

p2A− p1A− ρAg(y1 − y2) = 0, (13.9)

p2 − p1 − ρg(y1 − y2) ⇒ p2 − p1 = ρg(y1 − y2). (13.10)

p2 − p1 = −ρg(y2 − y1). (13.11)

Figura 13.4: Fluido em um reci-piente, onde po é a pressão atmos-férica e p é a pressão é uma pro-fundidade h. Retirada da referên-cia [10].

No limite (y2 − y1)→ 0, logo pode-se escrever

dp

dy= −ρg. (13.12)

Embora esta expressão tenha sido obtida considerando-se uma fluido como o daFigura, ela é uma expressão geral que mostra a dependência de p com y, sendoválida para qualquer ρ e g, constantes ou não. No caso discutido até o momento,sendo ρ e g constantes, se p1 e p2 são, respectivamente, as pressões nas alturas y1 ey2, logo ∫ p2

p1

dp = −ρg∫ y2

y1

dy, (13.13)

p2 − p1 = −ρg(y2 − y1). (13.14)

Considerando y1 = yo = 0, logo p1 = po = pressão atmosférica, e sendo∆y = −h, conforme a Figura 13.4, tem-se

p = po + ρgh, (13.15)

onde po é a pressão atmosférica e h indica a profundidade.


Neste caso, o termo ρgh ou (p − po) corresponde à chamada pressão mano-métrica, ou seja, a diferença entre a pressão absoluta p, em uma profundidade h, ea pressão atmosférica po. Este pressão é devida ao líquido acima do nível conside-rado.

Figura 13.5: Todas as colunasapresentam a mesma altura inde-pendentemente da forma do reci-piente. Note que a pressão no topode cada coluna de líquido é igual àpressão atmosférica, enquanto quea pressão na base de cada colunapossui o mesmo valor p. Retiradada referência [11].

Como ponto interessante, tem-se que a pressão em um dado ponto de umfluido, dada pela equação 13.15, depende apenas da profundidade deste ponto, nãosendo dependente de qualquer dimensão horizontal, ou seja, independentemente deposição horizontal e do formato do recipiente, como mostrado na Figura 13.5.

A Equação 13.14 também pode ser utilizada considerando-se um ponto acimada interface fluido-ar e ela fornece a pressão atmosférica a uma dada distância acimada interface. Sendo assim, considerando y1 = yo = 0, logo p1 = po = pressãoatmosférica, e sendo ∆y = h, tem-se

p = po − ρgh. (13.16)

Neste caso, levando-se em consideração a densidade do ar, ρ = ρar e, mais impor-tante, considera-se que a densidade é uma constante.

Na determinação da pressão em situações nas quais ρ não é uma constante oudependa de h, as expressões 13.15 e 13.16 não devem ser aplicadas.

Exemplo 13.2. A expressão 13.12 também pode ser aplicada para gases, como noscasos nos quais ρ depende da altura h. Neste caso, qual é a dependência da pressãoem função da altitute?

Considerando que o ar é um gás ideal, utilizando-se a equação geral dosgases, tem-se

pV = nRT, (13.17)

onde p é a pressão absoluta, V é o volume do gás, n = m/M sendo n o número demols, m é a massa do gás e M é a massa molar do gás, R é a constante universaldos gases e T é a temperatura. Assim, sendo a densidade ρ = m/V , tem-se

PM

RT= ρ. (13.18)

Utilizando a Equação 13.12, e substituindo-se ρ, tem-se

dp = −ρg dy, (13.19)

dp = −pMRT

g dy, (13.20)

A integração deve ser feita de y = 0, onde a pressão po é igual à pressão atmosfé-rica, até uma altura y = h, onde visa-se determinar o valor de pressão, logo∫ p

po

dp

p= −Mg

RT

∫ h

0

dy, (13.21)

ln p|ppo= −Mg

RTy|h0 , (13.22)

ln p− ln po = −Mg

RTh, (13.23)

p = poe−Mg

RTh. (13.24)


Exemplo 13.3. Um tubo em forma de U, como mostrado na Figura 13.6 contémdois líquidos em equilíbrio hidrostático, onde do lado direito existe água, com den-sidade ρagua = 998 kg/m3, e no lado esquerdo existe um óleo de densidade desco-nhecida ρoleo. Expresse ρoleo em função de d, l e ρagua.

Tem-se que a pressão na interface (pint) óleo-água depende da densidade doóleo acima da interface. No lado direito, a água, à mesma altura, está submetidaa uma pressão igual a pint. Isto ocorre pois, como o sistema está em equilíbrio hi-drostático, as pressões, em quaisquer pontos no mesmo nível, são necessariamenteiguais. Sendo assim, no lado esquerdo, a interface está a uma profundidade l + dabaixo da superfície do óleo, de modo que

Figura 13.6: Tubo em forma deU, no qual no lado esquerdo háóleo, que fica mais alto do que aágua no lado direito pois sua den-sidade é menor do que a densi-dade da água. Como ponto impor-tante, em ambos os lados do tubo,na altura da interface, a pressão éa mesma. Retirada da referência[10].

pint = po + ρoleog(l + d). (13.25)

No mesmo nível, do lado direito, a pressão pode ser escrita como

pint = po + ρaguagl. (13.26)

Igualando as duas expressões, tem-se

pint = po + ρoleog(l + d) = po + ρaguagl, (13.27)

ρoleog(l + d) = ρaguagl, (13.28)

ρoleo = ρagual

(l + d). (13.29)

13.5 Como pode-se medir pressão?

Dentre os inúmeros dispositivos que podem ser utilizados para medir pressão, destacam-se o barômetro de mercúrio e o manômetro de tubo aberto.

13.5.1 Barômetro de mercúrio

A Figura 13.7 mostra um barômetro de mercúrio, que consiste em um longo tubo devidro, fechado em uma extremidade, que foi previamente preenchido com mercúrioe, posteriormente, foi invertido em um recipiente que também contém mercúrio.Sendo assim, o espaço acima da coluna de mercúrio contém apenas vapor de mer-cúrio, de modo que sua pressão é extremamente baixa e pode ser considerada p ∼ 0.

Utilizando a Equação 13.15 na interface ar-mercúrio, fora do tubo, tem-sep = po. Dentro do tubo, ao mesmo nível, tem-se

Figura 13.7: Barômetro de mer-cúrio. Retirada da referência [11].p = ρgh, (13.30)

logo, considerando as pressões dentro e fora do tubo, no mesmo nível, chega-se a

po = ρgh, (13.31)

onde ρ é a densidade do mercúrio.

Sendo assim, o barômetro de mercúrio mede a pressão atmosférica po direta-mente a partir da altura de uma coluna de mercúrio. Ao nível do mar, o valor obtidoé po = 760 mmHg.


13.5.2 Manômetro de tubo aberto

A Figura 13.8 mostra um manômetro de tubo aberto barômetro de mercúrio, queconsiste em um tubo em forma de U que contém um líquido de densidade conhecidaρ, geralmente mercúrio ou água, com uma das extremidades ligadas a um recipientecuja pressão manométrica deseja-se medir e outra aberta para a atmosfera, p = po.Deste modo, a pressão na interface líquido-recipiente, pode ser escrita como

p = po + ρgh⇒ p− po = ρgh (13.32)

Sendo assim, o manômetro de tubo aberto é usado para medir a pressão mano-métrica de um gás. Neste caso, a pressão manométrica é diretamente proporcionala h.

Figura 13.8: Manômetro de tuboaberto. Retirada da referência[11].

A pressão manométrica pode ser positiva ou negativa, dependendo se p > poou p < po. Por exemplo, em pneus e no sistema circulatório, a pressão absoluta émaior que a pressão atmosférica, de modo que (p−po > 0). Por outro lado, quandousa-se um canudo para tomar um líquido, a pressão nos pulmões, e na boca, é menordo que a pressão atmosférica, de modo que (p− po < 0).

13.6 Princípio de Pascal

O Princípio de Pascal pode ser enunciado como:

“Uma mudança na pressão aplicada em um fluido confinado é trans-mitida integralmente para todas as porções do fluido e para as paredesdo recipiente que o contém.”

13.6.1 Demonstração do Princípio de Pascal

Figura 13.9: No interior de umcilindro há um líquido incompres-sível confinado, com êmbolo sub-metido a uma pressão externa pext

devido às bolinhas de chumbo. Semais bolinhas forem colocadas so-bre o êmbolo, a pext aumentará,fazendo com que o mesmo au-mento seja transmitido a todas asporções do líquido. Retirada dareferência [10].

Considerando um líquido incompressível contido em um cilindro, como indicado naFigura 13.9, fechado por um êmbolo no qual repousam bolinhas de chumbo. Nestecaso, a atmosfera e as bolinhas exercem uma pressão externa pext sobre o êmbolo e,consequentemente, sobre o líquido. Assim, a pressão sobre um ponto qualquer dolíquido é

p = pext + ρgh. (13.33)

No caso de mais bolinhas serem adicionadas, aumentando pext por um valor ∆pexte como ρ, g e h são constantes, tem-se que

∆p = ∆pext. (13.34)

13.6.2 Aplicação do Princípio de Pascal

Uma das aplicações do Princípio de Pascal é o elevador hidráulico, como mostradona Figura 13.10. Neste caso, tem-se que uma força ~Fi é aplicada sobre o êmbolo, deáreaAi, de modo que a pressão aplicada p = Fi/Ai é transmitida integralmente para


todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente, inclusive para o êmbolode área Ao. Assim, como a pressão nos dois êmbolos é a mesma, sendo pi e po apressão no êmbolo de entrada e saída, respectivamente, é possível escrever

pi = po, (13.35)

FiAi

=FoAo⇒ Fo = Fi

AoAi, (13.36)

ou seja, Fo será maior que Fi se Ai < Ao.

Figura 13.10: Dispositivo hidráulico, como um elevador hidráulico, corresponde a uma aplicação doprincípio de Pascal. Neste caso, embora a força seja amplificada, o trabalho realizado não é, ou seja,tem-se o mesmo trabalho realizado pelas forças ~Fi e ~Fo, de modo que o princípio de conservação deenergia não é violado. Retirada da referência [10].

Considerando que o êmbolo de entrada se desloque di e o êmbolo de saída,do e que o volume de líquido deslocado na entrada, ∆Vi é o mesmo deslocado nasaída, ∆Vo, tem-se

∆Vi = ∆Vo ⇒ Aidi = Aodo ⇒ do = diAiAo, (13.37)

de modo que o trabalho, considerando as equações 13.36 e 13.37, pode ser escritocomo

W = Fodo =

(FiAoAi

)(diAiAo

)= Fidi, (13.38)

ou seja, como ponto interessante, o trabalho realizado por Fo tem mesmo valor queo trabalho realizado por Fi e, portanto, o princípio de conservação de energia não éviolado.

Exemplo 13.4. Em um elevador hidráulico, o ar comprimido exerce uma força emum pistão, que tem uma Seção reta de raio de 5 cm. Esta pressão é transmitida porum líquido incompressível para um pistão de raio de 15 cm. Qual deve ser a forçadeve haver no pistão maior para levantar um carro com peso de 15000 N? E qualé a força aplicada sobre o pistão menor?

A força aplicada sobre o pistão maior, para levantar um carro com peso de15000 N, deve ser, no mínimo, exatamente 15000 N.


Para determinar-se a força aplicada no pistão menor, primeiramente é neces-sário obter-se a pressão exercida pelo líquido sobre o pistão maior. Esta é dadapor

po =FoAo, (13.39)

po =Foπr2

o

=15000

π(0, 15)2= 212314, 23 Pa. (13.40)

De acordo com o Princípio de Pascal, toda variação da pressão sobre o fluido serátransmitida para todas as partes do fluido, logo é possível inferir que a pressão nopistão de área maior é a mesma que a pressão sobre o fluido de área menor. Assim

pi = po = 212314, 23 Pa, (13.41)

FiAi

=Fiπr2

i

=Fi

π(0, 05)2= 212314, 23 Pa, (13.42)

Fi = (212314, 23)(π(0, 05)2) = 1666, 67 N. (13.43)

13.7 Princípio de Arquimedes

O Princípio de Arquimedes pode ser enunciado como:

“Um corpo completa ou parcialmente imerso em um fluido sofre aação de uma força, exercida pelo fluido, dirigida de baixo para cimacom módulo igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo.”

13.7.1 Empuxo

Para demonstrar tal princípio, a Figura 13.11(a) mostra uma região do espaço deli-mitada, dentro de um fluido, na qual as setas representam as forças exercidas pelofluido vizinho sobre a superfície que delimita a região. Considerando, inicialmente,que esta região delimitada esteja preenchida pelo fluido, de modo que é possíveldizer que esta porção de fluido está em repouso, ou seja, está em equilíbrio, a forçaresultante sobre a porção deve ser igual a zero. Neste caso, a componente x das for-ças exercidas pelo fluido acaba por se anular. Entretanto, na componente y, a somadas componentes y das forças que atuam sobre a superfície deve ser uma força re-sultante, de baixo para cima, com módulo igual ao peso mg do fluido no interiorda superfície. Ela existe porque a pressão do fluido que envolve a região delimitadaaumenta com a profundidade. Assim, a pressão na parte inferior é maior do quena parte superior, resultanto na força com sentido de baixo para cima. Esta forçaresultante, na direção y, recebe o nome de empuxo.

Considerando que a região delimitada seja um cilindro, com bases A e to-mando apenas as componentes y das forças atuantes na parte superior e na parteinferior da região delimitada, Fsup e Finf , respectivamente, tem-se que o empuxo,~E, tem módulo dado por

E = Finf − Fsup, (13.44)


E = pinfA− psupA = A (po + ρghinf − po − ρghsup) = Aρg (hsup − hinf ) ,(13.45)

E = ρliqVliqdeslg = mg, (13.46)

onde ρliq é a densidade do fluido, Vliqdesl é o volume do fluido deslocado, g é aaceleração da gravidade e m é a massa do líquido deslocado.

Figura 13.11: (a) O fluido queestá em volta da região delimitada,dentro do fluido, produz um em-puxo resultante para cima sobrequalquer material que ocupe a re-gião. (b) No caso de uma pedra, aforça gravitacional é maior que oempuxo, enquanto que (c) no casode um pedaço de madeira, a forçagravitacional é menor que o em-puxo. Retirada da referência [10].

Voltando a Figura 13.11, parte (b), ao substituir a porção de fluido delimitadapor um corpo sólido, com forma extamente igual, tem-se que as forças devido àpressão do líquido serão as mesmas. Assim, o empuxo, da mesma forma, seránovamente igual ao peso mg do líquido deslocado que abriu espaço para o corpo.Em particular, a linha de ação da força empuxo passa pelo centro de gravidade dofluido deslocado, o que não necessariamente coincide com o centro de gravidadedo corpo. Ao contrário da situação anterior, na qual havia uma porção de fluidodelimitada e esta estava em equilíbrio, neste situação, onde o corpo sólido é umapedra, a força gravitacional que age, para baixo, sobre a pedra tem módulo maiorque o empuxo, de modo que esta acelera para baixo, afundando.

Na Figura 13.11(c), a pedra é substituida por um pedaço de madeira. Damesma forma, nada mudou, quando relacionada a força empuxo. Entretanto, comoa força gravitacional é menor, a madeira acelera para cima, flutuando.

Conclusão: em todas as situações é considerada uma região delimitada devolume constante, logo, a força empuxo é igual em todas as situações. Logo,considerando-se a densidade do corpo e do fluido, conclui-se que se ρcorpo = ρfluido,o corpo nem afunda, nem flutua (Ex: balão utilizado para vôos, quando em equi-líbrio, deve ter peso igual ao peso do ar deslocado). Se ρcorpo > ρfluido, o corpoafunda (Ex: pedra em um rio) e se ρcorpo < ρfluido, o corpo flutua (Ex: isopor emuma piscina).

13.7.2 Peso aparente

Um corpo quando imerso em um fluido parece possuir um peso menor do que noar. De fato, medindo o peso de um corpo fora de um fluido e, em seguida, dentro,na segunda situação, o que será medido é chamado de peso aparente Pap. O pesoaparente é dado por:

Peso aparente = Peso real− Empuxo (13.47)

Pap = P − E (13.48)

Exemplo 13.5. Um iceberg no mar possui grande parte de seu volume escondidoabaixo do nível da água. Que fração do iceberg não pode ser vista?

Tem-se que o peso de um iceberg de volume Vi é

Pi = ρiVig, (13.49)

onde ρi = 917 kg/m3 é a densidade do gelo. O empuxo E, sobre o iceberg, é igualao peso da água do mar deslocada, ou seja,

E = Pa = ρaVag, (13.50)


onde ρa1024 kg/m3 é a densidade da água do mar e Va é o volume da água deslo-cada, que corresponde também ao volume submerso do iceberg. No caso do icebergflutuante, Pi = Pa, logo

ρiVig = ρaVag. (13.51)

A fração do iceberg que não pode ser vista é dada por

Vi − VaVi

= 1− VaVi

= 1− ρiρa

= 1− 917

1024= 0, 10→ 10%. (13.52)

13.8 Fluidos ideais em movimento

O escoamento dos fluidos reais, geralmente, é muito complexo, como no caso deuma correnteza de um rio, de modo que muitos pontos sobre o assunto ainda nãosão completamente entendidos. Entretanto, algumas situações podem ser descritasutilizando-se um modelo idealizado, ou seja, considerando o movimento de umfluido ideal.

13.8.1 Fluidos ideais

Um fluido ideal apresenta tais características:

• Escoamento uniforme ou laminar, ou seja, a velocidade do fluido, em qual-quer ponto fixo, não muda, com o tempo, em módulo, direção e sentido.

• Escoamento incompressível, ou seja, sendo um fluido ideal, dizer que este éincomporessível implica que sua densidade ρ é constante;

• Escoamento não-viscoso ou seja, em um fluido ideal, a viscosidade, que éuma medida da resitência que o fluido oferece ao seu deslocamento, é des-considerada. Além disto, um objeto se movendo através dele não observaqualquer força resistiva, como forças de atrito ou de arraste, devido à viscosi-dade;

• Escoamento irrotacional.

Figura 13.12: Linhas de fluxo.No desenho, “fluid element” cor-responde ao elemento de fluido,enquanto que “streamline” é a li-nha de fluxo.

13.8.2 Linhas de fluxo

O escoamento de um fluido pode ser representado por linhas de escoamento oulinhas de fluxo. Mais precisamente, uma linha de fluxo corresponde à trajetóriarealizada por um pequeno elemento de fluido, chamado de “partícula de fluido”.A Figura 13.12 mostra um exemplo de linhas de fluxo. Enquanto que a partículade fluido se move, sua velocidade pode variar em módulo, direção e sentido emdiferentes pontos. Neste caso, a velocidade é sempre tangente à linha de fluxo noponto em consideração. Em particular, duas linhas de fluxo jamais se cruzam pois,se o fizessem, uma partícula que chegasse ao ponto de interSeção poderia ter aomesmo tempo duas velocidades diferentes.


13.9 Equação da continuidade

Figura 13.13: Um tubo de fluxocom Seção reta variável. Quandoo fluxo é incompressível, a vazãopermanece constante em todos ospontos ao longo do tubo de fluxo.Retirada da referência [11].

O fato da densidade do fluido ideal não variar ao longo de determinado escoamentoleva a uma importante relação denominada Equação da Continuidade. A Figura13.13 mostra um tubo de escoamento, que corresponde a um feixe de linhas de fluxoe funciona como um tubo pois nenhuma partícula de fluido pode passar através desuas paredes, delimitado por duas seções retas de área A1 e A2. Nestas seções, asvelocidades do fluido são v1 e v2, respectivamente. Como trata-se de um tubo deescoamento, durante um intervalo de tempo dt, o fluido que estava emA1 se deslocauma distância v1 dt, de modo que um cilindro de fluido com altura v1 dt e volumedV1 = A1v1dt escoa para o interior do tubo através de A1. Neste mesmo intervalode tempo, um cilindro de volume dV2 = A2v2dt escoa para fora do tubo através deA2.

Como tem-se um fluido incompressível, logo ρ = constante, a massa dm1

que flui para o interior do tubo, através de A1, em um tempo dt, é dm1 = ρdV1 =ρA1v1dt. Da mesma forma, a massa dm2 que flui para fora do tubo é dm2 = ρdV2 =ρA2v2dt. O princípio de conservação da massa mostra que o escoamento dentro deum tubo de corrente obedece a

dm1 = dm2 (13.53)

A1v1 dt = A2v2 dt (13.54)

logoQ = A1v1 = A2v2 (13.55)

Vazão ≡ Q = Av = constante. (13.56)

Esta relação entre a velocidade e a área da Seção reta é chamada de equaçãoda continuidade para o escoamento de um fluido ideal. Tem-se que Q, ou seja,o produto Av corresponde à vazão volumétrica dV/dt, ou seja, a taxa no qual ovolume de fluido atravessa a Seção reta do fluido. Neste caso, [Q] = m/s3.

É posível generalizar a Equação 13.56 para o caso do escoamento de um fluidoque não é incompressível. Sendo ρ1 e ρ2 as densidades nas seções 1 e 2, respectiva-mente, tem-se

ρ1A1v1 = ρ2A2v2 (13.57)

13.10 Equação de Bernoulli

Uma importante consequência do princípio de conservação de energia, aplicado afluidos em movimento, é a chamada Equação de Bernoulli. Esta equação relacionaa pressão, velocidade e altura do escoamento de um fluido ideal, sendo, assim,corresponde a uma importante ferramenta para a análise de diversos fenômenos,como será verificado no final da Seção.


13.10.1 Demonstração da Equação de Bernoulli

Figura 13.14: Diagrama esque-mático de um fluido que escoa,com vazão constante, através deum tubo, partindo da extremidadede entrada, na esquerda, em di-reção da extremidade de saída,na direita. Em um instante detempo inicial, uma quantidade defluido, representada em azul es-curo, entra pela extremidade es-querda do tubo e, após um inter-valo de tempo, uma quantidadeigual de fluido, representada emverde escuro, sai pela extremidadedireita.

A Figura 13.14 mostra um fluido com vazão constante fluindo em um tubo de esco-amento. A velocidade na extremidade inferior é v1 e na extremidade superior é v2.As áreas das seções retas nas duas extremidades são, respectivamente, A1 eA2 e, damesma forma, as pressões são p1 e p2. Senso assim, como o fluido é incompressível,de acordo com a Equação da Continuidade, o volume dV que passa através de qual-quer Seção reta durante um intervalo de tempo ∆t é sempre o mesmo. O fluido queestá entre os dois planos verticais, separados por uma distância L, não muda suaspropriedades durante o escoamento, de modo que podem ser consideradas somenteas mudanças que ocorrem nas extremidades de entrada e de saída.

Para a dedução da Equação de Bernoulli, aplica-se o princípio de conservaçãode energia a uma quantidade de fluido ideal neste tubo de escoamento, quando ele semove do estado inicial, parte (a) da Figura, para o estado final, parte (b) da Figura.Em particular, a Equação de Bernoulli é estritamente válida para fluidos ideais,ou seja, não há viscosidade, de modo que as únicas forças não-gravitacionais querealizam trabalho sobre o elemento de fluido são as da pressão do fluido circundante.

Aplicando o teorema trabalho-energia cinética, W = ∆K, tem-se que a vari-ação da energia cinética do sistema deve ser igual ao trabalho total realizado sobreo sistema. A variação da energia cinética é uma consequência da variação da velo-cidade do fluido nas extremidades do tubo, e é dada por

W = ∆K (13.58)

W =1

2mv2

2 −1

2mv2

1 (13.59)

mas, tem-se que m = ρ∆V , que é a massa do fluido que entra em uma extremidadee sai pela outra extremidade durante um intervalo de tempo ∆t, logo

W =1

2

(v2

2 − v21

)(∆V ρ) =

1

2ρ(v2

2 − v21

)∆V. (13.60)

O trabalho realizado sobre o sistema tem duas origens. O primeiro, associadoà força gravitacional ∆m~g, sobre o fluido de massa ∆m é

Wg = −∆U (13.61)

Wg = −mg∆y (13.62)

Wg = −(ρ∆V ) g∆y (13.63)

Wg = −ρg∆y∆V. (13.64)

O segundo corresponde ao trabalho externo realizado sobre o sistema, na ex-tremidade de entrada, para empurrar o fluido para dentro do tubo e pelo sistema, naextremidade de saída, para empurrar o fluido que está mais adiante no tubo. O tra-balho realizado por uma força de módulo F , agindo sobre uma quantidade de fluidocontida em uma região com Seção retaA para mover o fluido em uma distância ∆x,chamado de trabalho realizado por uma bomba, é

Wb = F ∆x = pA∆x = p(A∆x) = p∆V. (13.65)


O trabalho realizado sobre o sistema é, portanto, p1 ∆V , enquanto que o trabalhorealizado pelo sistema é −p2 ∆V . Sendo assim,

Wp = −p2 ∆V + p1 ∆V, (13.66)

Wp = −(p2 − p1)∆V. (13.67)

Assim, somando-se as duas contribuições, tem-se que

W = Wg +Wp = ∆K, (13.68)

de modo que, combinando as equações 13.60, 13.67 e 13.64, tem-se

− ρg∆y∆V − (p2 − p1)∆V =1

2ρ(v2

2 − v21

)∆V, (13.69)

onde, cancelando ∆V e reagrupando os termos, obtém-se a chamada Equação deBernoulli, dada por

p1 + ρgy1 +1

2ρv2

1 = p2 + ρgy2 +1

2ρv2

2, (13.70)

ou, como os índices se referem a qualquer par de pontos ao longo do tubo, tem-se

p+ ρgy +1

2ρv2 = constante (13.71)

13.10.2 Passos para solucionar problemas envolvendo a Equa-ção de Bernoulli

Alguns passos podem ser considerados a fim de facilitar a solução de problemasenvolvendo a Equação de Bernoulli. São os seguintes:

• Identifique os pontos 1 e 2 mencionados na Equação de Bernoulli;

• Defina o sistema de coordenadas, indicando o nível no qual y = 0;

• Liste as grandezas conhecidas e desconhecidas na Equação 13.70;

• Muitas vezes é necessário utilizar a Equação 13.55 para determinar algumadas grandezas;

• Confirme os resultados, verificando se estes fazem sentido. Procure utilizaras unidades em SI, ou seja, Pa, kg/m3, m/s, entre outras.

13.10.3 Aplicações da Equação de Bernoulli

Tubo de Venturi

O dispositivo mostrado na Figura 13.15 é conhecido como tubo de Venturi, queé utilizado para medir a velocidade de um fluido incompressível. Determina-se avelocidade de escoamento no ponto 2 se a diferença de pressão p1−p2 é conhecida.


Figura 13.15: Tubo de Venturi. A pressão em 1 é maior do que a pressão em 2 pois v1 < v2. Deacordo com a Figura, define-se que A ≡ A1 e a ≡ A2.

Neste caso, como tem-se que y1 = y2, aplicando-se a Equação de Bernoulli,logo

p1 +1

2ρv2

1 = p2 +1

2ρv2

2, (13.72)

e utilizando a Equação da Continuidade, tem-se

v1 =A2

A1

v2. (13.73)

Substituindo a expressão 13.73 em 13.72, obtem-se

p1 +1

2ρ

(A2

A1

)2

v22 = p2 +

1

2ρv2

2, (13.74)

Figura 13.16: A água sai de umtanque por um furo situado a umadistância h da superfície da água.

v2 = A1

√2(p1 − p2)

ρ(A21 − A2

2), (13.75)

sendo que p1 − p2 = ρgh.

Tanque de água

Considerando um tanque contendo água, com densidade ρ, que apresenta um furo,muito menor do que o diâmetro do tanque, como indicado na Figura 13.16. Deter-mine a velocidade com que o líquido deixa o buraco quando o nível do líquido é h,acima do buraco.

Considerando, inicialmente, que a água desce com uma velocidade vo, pas-sando por uma Seção reta A, e depois se move horizontalmente com velocidade vpelo furo, com Seção reta a, como tem-se a mesma vazão, pode-se utilizar a Equa-ção da Continuidade, ou seja,


Q = av = Avo, (13.76)

logovo =

a

Av. (13.77)

Como a A, tem-se que vo v. Sendo assim, aplicando a Equação de Bernoulliem y = 0 e y = h, tem-se

po +1

2ρv2

o + ρgh = po +1

2ρv2 + ρg(0). (13.78)

Como vo v, tem-se que v2o é desprezível, de modo que chega-se a

v =√

2gh. (13.79)

Exemplo 13.6. Quebra-cabeça!!!

1. Porque, em dias de muito vento, janelas estouram e telhados saem voando?

2. Conseguiste explicar o efeito da água na Figura 13.1?

3. Como funciona um vaporizador?

4. Como funciona o tubo de Pitot?

Referências Bibliográficas

[1] H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica - Volume 1 - Mecânica, 4a edição -São Paulo: Edgard Blücher, 2002.

[2] INMETRO, ABNT e SBM, com o apoio do GT3/RBC, Grupo Técnico paraIncerteza de Medição da Rede Brasileira de Calibração (RBC); Segunda Edi-ção Brasileira do Guia para Expressão da Incerteza de Medição (ISO GUM),ISBN: 85-86768-03-0 (Biblioteca Nacional, G943).

[3] J. H. Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros, 1a edição - São Paulo: EdgardBlüher, 1992.

[4] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física - Volume 1 - Me-cânica, 8a Edição, LTC Editora, Rio de Janeiro (2008).

[5] H. D. Young e R. A. Freedman, Física I - Mecânica - Sears & Zemansky, 12a

Edição, Editora Pearson Addison Wesley, New York (2008).

[6] Frederick J. Keller, W. Edward Grettys e Malcolm J. Skove, Física Volume 1,2a Edição, LTC Editora, Rio de Janeiro (2004).

[7] Paul A. Tipler e Gene Mosca, Física Volume 1: Mecânica, 5a Edição, LTCEditora LTC, Rio de Janeiro (2006).

[8] Carlos Farina e Marcus V. C. Pinto, Física 1A, Volume 1, Fundação CECI-ERJ/Consórcio CEDERJ, Rio de Janeiro (2005).

[9] Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, Volume 1, (1988).

[10] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física - Volume 2 -Gravitação, ondas e termodinâmica, 8a Edição, LTC Editora, Rio de Janeiro(2008).

[11] H. D. Young e R. A. Freedman, Física II - Termodinâmica e ondas - Sears &Zemansky, 12a Edição, Editora Pearson Addison Wesley, New York (2008).

[12] M. Alonso e E. J. Finn, Física, Editora Pearson Addison Wesley, Madri(1999).

[13] H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica - Volume 2 - Fluidos, Osci-lações e Ondas, Calor, 2a Edição, Editora Edgard Blücher LTDA, São Paulo(1992).

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