FCTP, SEMESTRUL 1

Examen partial la Algebra si geometrie

NUMARUL 2Numele si prenumele:Specializarea:Grupa:

Problema 1. (1 punct) Aratati ca un morfism de spatii vectoriale f : V W esteinjectiv daca si numai daca nucleul lui este vectorul nul al lui V .

Problema 2. (3 puncte) In R3, consideram multimile:

W1 ={x = (x1, x2, x3) R3 | x1 = x2

},

W2 ={x = (x1, x2, x3) R3 | x1 = x3, x2 = 0

}.

1. Aratati ca W1 si W2 S(R3).

2. Demonstrati ca W1 W2 = R3.

3. Descompuneti vectorul v = (2, 4, 10) sub forma v = v1 + v2, cu v1 W1 si v2 W2.

4. Se poate exprima vectorul v = (8,4, 7) n functie de coloanele matricei de la Pro-blema 4?

Problema 3. (2 puncte) Fie f : R3 R5[X] morfismul de spatii vectoriale dat prinf (1, 1, 1) = X2 + X4, f (1, 1, 0) = X + X3 + X5, f (1, 0, 0) = 1.

Calculati f (0, 0, 1).

Problema 4. (3 puncte) Se da matricea:

A =

0 1 11 0 11 1 0

.Calculati:

1. Polinomul caracteristic.

2. Valorile proprii.

3. Un vector propriu.

Nota: Timp de lucru: 1h si 50 min.

4 DECEMBRIE 2009