NUMEROS COMPLEJOS C

Supongamos que se quiere resolver la ecuacion cuadrática

x2 � 2x � 5 � 0

a � 1, b � 2, c � 5

� � b2 � 4ac � 0

x1 ��b � �

2a, x2 �

�b � �2a

� � 22 � 4 � 1 � 5 � �16 � 0

Considerando como universo a IR, esta ecuación no tiene solución. Para poder darlesolución nos invenamos un nuevo numero no real que pueda satisfacer condicionescomo la anterior y la llamaremos unidad imaginaria

i, �j�

con la propiedad

i2 � �1

o equivalentemente

i � �1

si ahora intentemos resolver se tiene que

x1 ��2 � �16

2 � 1, x2 �

�2 � �162 � 1

x1 ��2 � �1�16�

2, x2 �

�2 � �1�16�2

x1 ��2 � 4 �1

2, x2 �

�2 � 4 �12

x1 � �2 � 4i2

, x2 � �2 � 4i2

x1 � �1 � 2i, x2 � �1 � 2i

a estos nuevos numeros los llamaremos numeros complejos, pues estan compuestospor dos partes una que tiene la unidad imaginaria y otra que no la tiene. Demos unadefinicion formal

Definicion Formal (Forma binomial):El conjunto de los numeros comlejos C es el definido por

C � a � bi / a � IR, b � IR

donde

a � Re�a � bi� : parte real

b � Im�a � bi� : parte imaginaria

Ejemplo:

z1 � �2 � 3i

Re�z1� � �2

Im�z1� � 3

z2 � 8

Re�z2� � 8

Im�z2� � 0

z2 � 8 � 0i

z3 � �5i

Re�z3� � 0

Im�z3� � �5

z3 � 0 � 5i

Representacion:Un numero complejo no se puede representar en la recta numerica pues tiene

dimension 2

z � a � bi � �a, b�

Ejemplo:

z � 4 � 3 i � 4, 3

Operatoria:En lo que sigue considere que

z1 � a1 � b1i

z2 � a2 � b2i

Suma:

z1 � z2 � a1 � b1i � a2 � b2i

z1 � z2 � �a1 � a2� � �b1 � b2�i

Ejemplo:

z1 � �5 � 4i

z2 � 7 � 6i

z1 � z2 � �5 � 4i � 7 � 6i

� ��5 � 7� � �4 � ��6��i

z1 � z2 � 2 � 2i

Multiplicacion:

z1 � z2 � �a1 � b1i��a2 � b2i�

� a1a2 � a1b2i � b1ia2 � b1ib2i

� a1a2 � a1b2i � b1a2i � b1b2i2

� a1a2 � a1b2i � b1a2i � b1b2

z1 � z2 � �a1a2 � b1b2� � �a1b2 � b1a2�i

Ejemplo:

z1 � �5 � 4i

z2 � 7 � 6i

z1 � z2 � ��5 � 4i��7 � 6i�

� �35 � 30i � 28i � 24i2

� �35 � 30i � 28i � 24

��5 � 4i��7 � 6i� � �11 � 58i

Definicion: Si z � a � bi, llamaremos complejo conjugado de z al numero complejo

z� � a � bi � a � bi

Ejemplo: Si z � �4 � 5i entonces

z� � �4 � 5i � �4 � 5i

Division:z1z2

� a1 � b1ia2 � b2i

� z2z2

� a1 � b1ia2 � b2i

� a2 � b2ia2 � b2i

� a1 � b1ia2 � b2i

� a2 � b2ia2 � b2i

��a1 � b1i��a2 � b2i�

�a2�2 � �b2i�2

��a1 � b1i��a2 � b2i�

a22 � b2

2

� a1a � a1b2i � b1a2i � b1b2i2

a22 � b2

2

� a1a2 � b1b2

a22 � b2

2 � b1a2 � a1b2

a22 � b2

2 i

Ejemplo:Calcula 3 � 2i4 � 5i

3 � 2i4 � 5i

� 3 � 2i4 � 5i

� 4 � 5i4 � 5i

� 3 � 2i4 � 5i

� 4 � 5i4 � 5i

��3 � 2i��4 � 5i�

42 � ��5�2

� 12 � 1016 � 25

� 15 � 816 � 25

i

3 � 2i4 � 5i

� 2241

� 741

i

Ejemplo:Divide

5 � 4i�2 � 7i

� 5 � 4i�2 � 7i

�2 � 7i�2 � 7i

� 5 � 4i�2 � 7i

�2 � 7i�2 � 7i

��5 � 4i���2 � 7i�

��2�2 � ��7�2

���10 � 28�

53�

��8 � 35�53

i

� 1853

� 4353

i

Ejemplo: Resuelve la ecuación3 � 2i

z � 1 � iz � 2i

� 1 � iz

3 � 2iz � 1 � i

z � 2i� 1 � i

z /z�z � 2i�

�3 � 2i��z � 2i� � �1 � i�z � �1 � i��z � 2i�

3z � 6i � 2iz � 4 � z � iz � z � 2i � iz � 2

3z � 2iz � z � iz � z � iz � �2i � 2 � 6i � 4

z � 2iz � �6 � 4i

z�1 � 2i� � �6 � 4i

z � �6 � 4i1 � 2i

� 1 � 2i1 � 2i

z ���6 � 4i��1 � 2i��1 � 2i��1 � 2i�

z � �6 � 12i � 4i � 81 � 4

z � 2 � 16i5

� 25

� 165

i

Definicion : Si z � a � bi, llamaremos norma o modulo de z a

�z� � z � z�

� �a � bi��a � bi�

� �a�2 � �bi�2

�z� � a2 � b2

Ejemplo: Si z � �3 � 4i

�z� � ��3�2 � 42

� 9 � 16

� 25

��3 � 4i� � 5

Si z � 16 � 33i

�z� � 162 � 332

� 256 � 1089

� 1345 � 36. 674. . .

�16 � 33i� � 1345

Potencias de i

Las potencias de i tienen un carecter cíclico de longitud 4

i0 � 1

i1 � i

i2 � �1

i3 � i2 � i � �1 � i � �i

i4 � i2 � i2 � ��1���1� � 1

i5 � i4 � i � 1 � i � i

i6 � i4 � i2 � 1 � ��1� � �1

�

i15 � i12�3 � i12 � i3 � �i4�3 � i3 � 13 � i3 � i3 � �i

�

i571 � i3 � �i, note que 571 �multiplo de 4

568 �potencia que se utiliza

3

i1347 �

para las potencias negativas

i�1 � 1i� �i�i

� �i�i2 � �i

���1�� �i

i�2 � �i�1�2 � ��i�2 � ��1 � i�2 � ��1�2 � i2 � 1 � ��1� � �1

i�3 � �i�1�3 � ��i�3 � ��1�3 � i3 � ��1���i� � i

i�4 � �i�1�4 � ��i�4 � ��1�4 � i4 � 1 � 1 � 1

�

i�397 � �i�1�397 � ��i�397 � ��1�397 � i397 � ��1� � i1 note que 397 �multiplo de 4

396 �1