os desafios da escola pÚblica paranaense na … · operações básicas entre números racionais...
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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE
II
Ficha para identificação da Produção Didático-pedag ógica – Turma 2014
Título: Sistematização das quatro operações básicas entre números racionais, na forma fracionária, por meio da Resolução de Problemas
Autor: Zoneide Bonfim
Disciplina/Área: Matemática/ Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização:
Colégio Estadual Attílio Codato - Ensino Fundamental e Médio.
Município da escola: Cambé
Núcleo Regional de Educação: Londrina
Professor Orientador: Bruno Rodrigo Teixeira
Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Londrina - UEL
Relação Interdisciplinar: Não há
Resumo:
O objetivo geral desta produção didático-pedagógica consiste em possibilitar aos alunos, por meio da Resolução de Problemas, a compreensão das quatro operações básicas entre números racionais na representação fracionária. A presente proposta parte do pressuposto de que é preciso buscar metodologias de ensino que oportunizem a participação ativa do aluno na construção dos conhecimentos matemáticos, tendo sido escolhida a Resolução de Problemas, em que problemas geradores são utilizados visando à sistematização de conceitos matemáticos por meio de resoluções apresentadas pelos alunos, baseadas em conhecimentos que já possuem. A intervenção pedagógica será desenvolvida com alunos de sexto ano do Ensino Fundamental do Colégio Estadual “Attílio Codato” e constará de um trabalho a partir de problemas que permitam sistematizar as quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) com números racionais na representação fracionária.
Palavras-chave:
Tendências metodológicas em Educação Matemática; Resolução de Problemas; Operações com números racionais na representação fracionária.
Formato do Material Didático: Unidade Didática
Público:
Alunos de um 6º ano do ensino fundamental
Apresentação
A opção pelo referido conteúdo matemático resulta do fato de que, como
docente do sexto ano do Ensino Fundamental, observo uma situação frequente:
vários alunos apresentam dificuldades no domínio dos cálculos matemáticos que
envolvem as quatro operações básicas entre números racionais na representação
fracionária.
Diante disso, tenho percebido a necessidade da busca por metodologias de
ensino que possibilitem sistematizar esse conteúdo matemático junto aos alunos de
modo que possam compreendê-lo. Nesse sentido, uma metodologia de ensino
sugerida pelos educadores para trabalhar matemática em sala de aula é a
Resolução de Problemas (BRASIL, 1998; PARANÁ, 2008).
A Resolução de Problemas é uma metodologia de ensino da Matemática em
que problemas geradores1 são utilizados visando à sistematização de novos
conceitos através de resoluções apresentadas pelos alunos, baseadas em
conhecimentos que já possuem (ALLEVATO, ONUCHIC, 2009), e de sua
participação ativa nas aulas. Diante disso, a Resolução de Problemas será adotada
nesta produção como metodologia para sistematizar as quatro operações básicas
(adição, subtração, divisão e multiplicação) com números racionais na
representação fracionária, com alunos de um sexto ano do Ensino Fundamental.
1 “[...] o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula”. (ALLEVATO, ONUCHIC, 2009, p.8)
Orientações metodológicas
Para realizar um trabalho em sala de aula a partir desta produção didático-
pedagógica, utilizando a Resolução de Problemas, as tarefas serão desenvolvidas
com os alunos, a partir das nove etapas propostas pelas autoras Allevato e Onuchic
(2009):
1. Preparação do problema - Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. [...] 2. Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura. 3. Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos. • Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo-lhes o problema. • Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos, surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário. 4. Resolução do problema - De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. [...] 5. Observar e incentivar – Nessa etapa, o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles. • O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias, já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do trabalho. 6. Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam. 7. Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos, a fim de discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem. 8. Busca do consenso – Depois de sanadas as dúvidas, e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. 9. Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal” – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as
demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto. (p. 7-8, grifo nosso)
Para subsidiar o professor no desenvolvimento deste trabalho, a seguir serão
apresentados os enunciados dos problemas, possíveis resoluções e objetivos que
se pretende atingir com cada um deles, além de sugestões de encaminhamentos
para a sistematização (formalização) dos conteúdos matemáticos.
Sugere-se ainda que, caso os alunos sintam necessidade, o professor
disponibilize materiais manipuláveis para auxiliar nas representações necessárias.
Unidade didática
Problema 1
Para assistir ao jogo Brasil x Croácia, da Copa do Mundo de 2014, Tassiane
comprou uma torta que foi dividida em 24 pedaços iguais. Alguns pedaços, ela e sua
família comeram durante o jogo, conforme mostra a figura.
Fonte: Zoneide Bonfim
a) Quantos pedaços da torta eles comeram?
b) Que fração da torta eles comeram?
c) Que fração representa a torta toda?
d) Que fração da torta sobrou?
Objetivos:
• Reconhecer que frações podem indicar parte(s) de um inteiro (relação
parte/todo);
• Efetuar adição e subtração de frações com mesmo denominador.
Possíveis Resoluções:
a) Contando na própria figura: 8 pedaços
b) Podemos resolver esta questão apresentando como resposta a fração 24
8, em
que o número que representa o total de pedaços da torta (24) é o denominador,
indicando que o inteiro (torta) foi dividido em 24 pedaços (partes) iguais – cada uma
dessas partes em relação ao todo é representada por 24
1 (um vinte e quatro avos) –;
e o número de pedaços (8) que estão faltando na torta, o numerador, indica que 8
dessas partes iguais foram consumidas.
Outra possibilidade de resolução seria por meio da adição. Sabendo que o inteiro foi
dividido em 24 partes iguais, e que cada uma das partes é representada em relação
ao todo por 24
1, temos:
24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1=
24
8.
c) 24
24, pois a torta foi dividida em 24 pedaços iguais, e para representar o inteiro
tomamos todos os 24 pedaços.
d) Uma possibilidade de resolução seria contar os pedaços que restam e
representar em relação ao total pela fração 2416
, em que o numerador (16) indica a
quantidade de pedaços que restaram e o denominador (24) indica a quantidade total
de pedaços em que foi dividida a torta.
Outra possibilidade é por meio da subtração.
Subtraindo a fração referente ao que foi consumido da torta, 248
, da fração
correspondente ao inteiro, 2424
, temos:
24
16
24
8
24
24 ====−−−− .
Proposta de encaminhamento para a Sistematização
A partir dos itens b, c e d, o professor pode sistematizar um dos significados
que os números racionais, na forma fracionária, assumem: a relação parte/todo. “A
relação parte/todo se apresenta quando um todo (unidade) se divide em partes
equivalentes. A fração, por exemplo, indica a relação que existe entre um número de
partes e o total de partes [...]” (BRASIL, 1998, p. 102).
Por meio destes itens, o professor pode realizar também uma discussão a
respeito dos termos numerador e denominador.
Além disso, o professor pode questionar os alunos a respeito de como são
designadas as frações em relação ao denominador que apresentam. A partir de
suas respostas, pode fazer as intervenções necessárias para que os alunos
conheçam ou relembrem o modo de denominá-las, considerando as situações em
que o denominador corresponde a um número entre 2 e 9, ou aquelas em que o
denominador é 10, 100, 1000..., ou ainda aquelas em que o denominador é maior
que 10 e diferente de 100, 1000 etc. Isso pode contribuir para que se refiram
corretamente as frações apresentadas não apenas neste problema, mas ao longo de
todo o trabalho a ser desenvolvido a partir desta produção didático-pedagógica.
Com relação à adição de fração com mesmo denominador, o professor pode, a
partir do item b, relacionar as duas possíveis resoluções apresentadas do seguinte
modo: na segunda resolução, temos que o inteiro foi dividido em 24 partes iguais e
cada uma das partes é representada em relação ao todo por 24
1. Assim, tomando as
frações que representam cada uma das partes da torta que foram consumidas,
temos: 24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1.
Utilizando a resposta apresentada na primeira possibilidade de resolução 24
8,
podemos escrever:
24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1+
24
1=
24
8.
Deste modo, é possível sistematizar que quando em uma adição de frações os
denominadores são iguais, devemos adicionar os numeradores e manter o
denominador, para obter a soma.
Com relação à subtração de fração com mesmo denominador, o professor
pode, a partir do item d, relacionar as duas possíveis resoluções apresentadas do
seguinte modo: na segunda resolução a ideia é subtrair a fração referente ao que foi
consumido da torta, 248
, da fração correspondente ao inteiro, 2424
. Pela primeira
possibilidade de resolução, temos que sobrou 2416
da torta. Assim, podemos
escrever:
24
16
24
8
24
24 ====−−−−
Deste modo, é possível sistematizar que quando em uma subtração de frações
os denominadores são iguais, devemos realizar a subtração entre os numeradores e
manter o denominador, para obter o resultado.
Problema 2
Francisco dividiu 72 reais igualmente entre suas quatro sobrinhas (Manuela,
Josiane, Edna e Marcia), para comprarem refrigerante e pipoca para levarem na
casa da amiga Franciane, onde iriam assistir ao segundo jogo da seleção brasileira
na Copa do Mundo de 2014, Brasil x México. Da quantia que recebeu, Manuela
gastou 62
, Josiane 122
, Edna 246
e Marcia 8
2.
a) Com base nas frações apresentadas, é possível afirmar que duas sobrinhas
de Francisco gastaram o mesmo valor? Quais? Justifique sua resposta.
b) Quantos reais cada sobrinha de Francisco gastou?
Objetivos:
• Compreender o conceito de fração equivalente;
• Estabelecer parâmetros para comparação de frações.
Possíveis Resoluções:
a) Podemos resolver esta questão pela simplificação de fração, ou seja, dividimos o
numerador e o denominador pelo mesmo número, até obtermos frações irredutíveis,
e assim chegamos ao resultado.
Manuela:
3
1
6
2 ==== (numerador e denominador foram divididos por 2)
Josiane:
122
= 61
(numerador e denominador foram divididos por 2 )
Edna:
246
= 123
= 41
(numerador e denominador foram divididos por 2 e em seguida por 3)
Marcia:
82
= 41
(numerador e denominador foram divididos por 2)
Com base nestas respostas, podemos observar que Edna e Marcia gastaram
a mesma quantia.
Podemos também resolver esta questão por meio de uma representação
geométrica:
Manuela:
Fonte: Zoneide Bonfim
Josiane:
Fonte: Zoneide Bonfim
Edna:
Fonte: Zoneide Bonfim
Marcia
Fonte: Zoneide Bonfim
Por meio da representação geométrica, confirma-se que Edna e Marcia gastaram a
mesma quantia.
b) Para obter o valor que cada sobrinha gastou, dividimos o total de dinheiro, 72, por
quatro, pois foi dividido igualmente entre as quatro sobrinhas (72 : 4 = 18). Após
isso, tomamos o resultado obtido, dividimos pelo denominador e, por fim,
multiplicamos pelo numerador.
Assim, temos:
Manuela
62
de 18:
18 ÷÷÷÷ 6 = 3
3 x 2 = 6
Josiane
122
de 18:
18 ÷÷÷÷ 12 = 1,5
1,5 x 2 = 3
Edna
246
de 18 :
18 ÷÷÷÷ 24 = 0,75
0,75 x 6 = 4,5
Márcia
82
de 18 :
18 ÷÷÷÷ 8 = 2,25
2,25 x 2 = 4,5
Portanto, Manuela gastou R$ 6,00; Josiane gastou R$ 3,00; Edna gastou
R$ 4,50; Marcia gastou R$ 4,50.
Proposta de encaminhamento para Sistematização :
No item a, o professor poderá, a partir das resoluções obtidas, discutir o
conceito de frações equivalentes.
Partindo da resolução pela representação geométrica, notamos que na fração
24
6, a figura foi dividida em 24 partes iguais e consideradas 6, enquanto a figura
correspondente à fração 8
2, foi dividida em 8 partes, sendo consideradas 2 partes.
Por meio da observação, o professor pode questionar os alunos se as partes que
foram consideradas das duas figuras têm o mesmo tamanho em relação ao todo,
esperando que concluam que sim, porém foram divididas em quantidades diferentes.
Assim, poderá sistematizar que “duas ou mais frações que representam a mesma
parte da unidade são chamadas frações equivalentes” (GIOVANNI; GIOVANNI JR,
2010, p.184).
Pode-se ainda propor uma situação em que os alunos tenham que dividir
cada oitava parte da quarta figura novamente em partes iguais visando obter a
representação de 24
6, de modo a confirmar que
24
6 e
8
2 representam a mesma
parte da figura. Espera-se que eles dividam em 3 partes iguais.
Assim, o professor poderá questionar quantas vezes cada parte da figura
obtida após a nova divisão corresponde a cada parte da figura antes de ser dividida,
neste caso, 3. Então, pode explorar a representação fracionária de modo que
percebam que também obtemos frações equivalentes se multiplicarmos o
numerador e o denominador por um mesmo valor diferente de zero, neste caso o 3.
Além disso, pode retomar a primeira possível resolução apresentada para o item a e
discutir com os alunos que se for feita a multiplicação de numerador e denominador
pelo valor que elas foram simplificadas, elas voltam à sua representação inicial, que
é equivalente a que foi obtida após a simplificação.
Partindo da resolução do item b, o professor poderá propor uma discussão
para que os alunos percebam que uma das maneiras de se obter uma fração de
uma quantidade inteira é por meio da divisão do inteiro pelo denominador, com
posterior multiplicação do resultado obtido pelo numerador.
Ainda a partir da resolução deste problema, o professor poderá discutir sobre
comparação de frações, ressaltando que comparar consiste em analisar, por
exemplo, diferenças e semelhanças entre elas, destacar qual é maior ou menor que
uma determinada fração.
Então, o professor poderá questionar qual é a maior fração dentre as
apresentadas no enunciado do problema. Caso os alunos não respondam
corretamente, pode solicitar que observem as representações geométricas e as
relacionem com a escrita das frações.
Assim, é possível concluir, por exemplo, que quando dividimos o inteiro em 8
partes iguais, cada parte será menor do que se dividirmos em 6 partes iguais. Uma
vez obtida esta compreensão, o professor pode propor um questionamento para que
os alunos identifiquem quais irmãs receberam a mesma quantia, e quem recebeu
mais. Assim, pode-se conduzir o aluno a compreender que “quando duas frações
têm numeradores iguais, a menor delas é a que tem maior denominador” (IEZZI;
DOLCE; MACHADO, 2005, p.174). As frações apresentadas no problema 62
, 122
e
8
2 possuem numeradores iguais e, portanto, a menor delas é
122
que tem maior
denominador.
Para comparar duas frações com numeradores e denominadores diferentes,
devemos deixá-las com o mesmo denominador, ou seja, obter a fração equivalente a
uma delas que tenha o mesmo denominador da outra. No problema, por exemplo, as
frações 62
e 246
apresentam numeradores e denominadores diferentes, portanto,
para compará-las, podemos obter a fração equivalente a uma delas deixando-as
com o mesmo denominador. Ao multiplicarmos o numerador e o denominador da
fração 62
por 4 obtemos 248
, assim podemos então comparar 246
e 248
e concluirmos
que 246
é menor que 248
, pois como ambas têm denominadores iguais, a menor
delas é a que tem menor numerador. Assim, 246
é menor que 62
. Caso algum aluno
apresente dificuldade nesta conclusão final, a representação geométrica pode ser
utilizada para auxiliá-lo.
Problema 3
Para torcer pela seleção brasileira na Copa do Mundo 2014, as irmãs Tassiane e
Ana resolveram comprar kits de torcedores para seus familiares. Tassiane colaborou
com 10
3 do valor total necessário, enquanto Ana colaborou com
4
1. Pensando em
ajudá-las, seu irmão Marcos se propôs a colaborar caso faltasse dinheiro para
realizar a compra.
a) Qual fração do valor total representa a colaboração das irmãs Tassiane e Ana
na compra?
b) De acordo com a resposta do item a, o valor que as duas juntaram foi
suficiente para a compra dos kits? Justifique.
c) Marcos precisou colaborar? Caso tenha sido necessário, a colaboração
representa qual fração do valor total?
Objetivo:
• Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais na forma
fracionária (adição e subtração de frações com denominadores diferentes).
Possíveis Resoluções:
a) Para realizar adição entre frações com mesmo denominador, primeiramente
obtemos frações equivalentes:
...40
12
30
9
20
6
10
3 ============
...20
5
16
4
12
3
8
2
4
1 ================
Assim,
+103
4
1=
20
6+
205
= 20
11.
Obtemos, por este procedimento, a informação de que 20
11 é a fração do total que as
irmãs Tassiane e Ana colaboraram.
Outra maneira de encontrar frações equivalentes e realizar a adição entre 10
3 e
4
1 é
utilizando o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) dos denominadores.
Temos que M.M.C (10, 4) = 20. Dividimos o M.M.C obtido pelo denominador das
frações originais e multiplicamos o resultado pelo seu numerador. Em seguida,
realiza-se a adição de frações com mesmo denominador.
10
3 +
41
= 20
6 +
205
= 20
11
Outra possível resolução seria:
14
4
4
1
10
3 ====++++
Neste caso, a resolução estaria incorreta.
b) A resposta correta do item b é não. Para que fosse suficiente, elas precisariam ter
colaborado com a fração 20
20, ou seja, o total de dinheiro necessário para comprar os
kits desejados.
c) A resposta correta do item c é sim, pois Marcos precisou colaborar com as irmãs,
já que a quantidade que elas juntaram não foi suficiente para a compra. Para obter a
fração do total com que ele precisou colaborar, tomamos 20
11 e subtraímos da fração
20
20, que representa o total.
Assim:
20
20 -
20
11 =
20
9.
Portanto, Marcos precisou contribuir com 20
9 do total necessário para a compra dos
kits.
Proposta de encaminhamento para a Sistematização:
Na resolução do item a, o professor pode questionar aos alunos se é possível
escrever frações equivalentes às frações 10
3 e
41
que tenham o mesmo
denominador, para que possam utilizar a ideia de adição de frações com mesmo
denominador já sistematizada no problema 1.
Como estas frações são irredutíveis, a ideia será multiplicar os numeradores e
denominadores das frações por um mesmo número diferente de zero até que se
obtenham frações equivalentes a 10
3 e
41
que tenham o mesmo denominador.
Assim, multiplicando por 2, numerador e denominador da fração 10
3, obtemos
20
6.
Como o objetivo é encontrar frações equivalentes com o mesmo
denominador, pode-se discutir com os alunos que, se o denominador da fração
encontrada em relação à 10
3 foi 20, é preciso tentar encontrar um número que,
multiplicado pelo denominador da segunda fração (4), seja igual a 20. O número
procurado é 5. Deste modo, multiplicando numerador e denominador da fração 41
por 5, obtemos 20
5.
Em seguida, adicionamos as frações equivalentes encontradas:
20
6+
205
= 20
11.
Para isso, utilizamos a ideia de adição de frações com mesmo denominador
já sistematizada no problema 1.
Com isso, o professor poderá sistematizar com os alunos o seguinte: “Quanto
ao cálculo da adição e da subtração envolvendo frações com denominadores
diferentes, pode-se transformá-las em frações com o mesmo denominador (não
necessariamente o menor), aplicando as propriedades das frações equivalentes.”
(BRASIL, 1998, p. 104).
A partir da segunda possível resolução do item a, o professor pode discutir
com os alunos que outra maneira de encontrar frações equivalentes é utilizando o
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C).
Neste caso, o professor pode discutir com os alunos formas de se obter o
M.M.C., como pela fatoração, ou por meio do conjunto dos múltiplos de cada
número, ressaltando que o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é
considerado o menor múltiplo comum diferente de zero.
Partindo da terceira possível resolução, 14
4
4
1
10
3 ====++++ , o professor poderá
discutir com os alunos o motivo de estar incorreta. Como ressaltado anteriormente,
realizamos a adição entre as frações quando já estão com denominadores iguais,
neste caso os denominadores 10 e 4 são diferentes, seria então necessário achar
frações equivalentes a 41
e 103
para então fazermos a adição, em que somamos os
numeradores e conservamos o denominador.
A partir do item c, o professor também poderá propor a discussão da
subtração de frações com denominadores diferentes, a partir da subtração entre 20
20
e 10
3, por exemplo, e depois entre o resultado obtido e
41
, que consiste em outra
possibilidade de resolução para esse item.
Problema 4
No dia do jogo Brasil x Colômbia, Dona Maria fez esfirras de frango com catupiry
para seus netos comerem enquanto assistiam ao jogo. Para fazer as esfirras, ela
usou os seguintes ingredientes:
Considerando que com esses ingredientes o rendimento seja de 40 unidades,
escreva as quantidades necessárias de ingredientes para fazer o dobro dessa
quantidade.
Objetivo :
Efetuar cálculos que envolvam multiplicação de uma fração por um número natural.
Possíveis Resoluções :
Como queremos o dobro, ou seja, duas vezes a receita, e considerando que quando
adicionamos um valor a ele mesmo obtemos o dobro de seu valor, uma possível
resolução consiste na adição de duas parcelas iguais.
farinha de trigo: 5
8
5
4
5
4 ====++++
açúcar: 2 + 2 = 4
ovo: 1 + 1 = 2
catupiry: 5
2
5
1
5
1 ====++++
óleo ou azeite: 4
2
4
1
4
1 ====++++
sal: 21
+ 2
1 =
2
2= 1
água: 3
2
3
1
3
1 ====++++
fermento: 2+2= 4
bicarbonato de sódio: Adicionando-se os inteiros (2+2= 4) e depois as frações
========++++ 12
2
2
1
2
1, tem-se então a adição que resultará no dobro, 1+ 4 = 5.
leite: 5
2
5
1
5
1 ====++++
peito de frango desfiado: 4
6
4
3
4
3 ====++++
Assim, para obter 80 esfirras, o dobro da receita original, serão necessários:
5
8 de kg de farinha de trigo, 4 colheres de açúcar, 2 ovos ,
5
2 do kg de catupiry ,
4
2do litro de óleo ou azeite, 1 colher de sal,
3
2da xícara de água, 4 colheres de
fermento, 5 colheres (de chá) de bicarbonato de sódio, 5
2 do litro de leite,
4
6 de kg
de peito de frango desfiado.
Proposta de encaminhamento para a Sistematização
Caso os alunos realizem a adição para resolver o problema, o professor
poderá questioná-los por que realizaram esta operação. Espera-se que eles
cheguem à conclusão que, como o dobro representa duas vezes a mesma
quantidade, isso equivale a adicionar um valor a ele mesmo.
Para iniciar uma discussão, o professor poderá fazer questionamentos, como:
Qual é o dobro de dois? Qual é o dobro de um? Por meio das respostas dos alunos,
encaminhar a discussão de modo que o aluno possa perceber que como se pede o
dobro da receita, podemos multiplicar por 2 a quantidade de cada ingrediente.
Com isso, o professor poderá discutir com os alunos que, por exemplo, a
multiplicação 2
12. é equivalente à adição
2
1+
2
1, ou seja,
2
12
2
1
2
1.====++++
Assim, ele pode solicitar aos alunos que reescrevam deste modo, todos os valores
fracionários obtidos na possível resolução para o problema, e, além disso,
acrescentem ao final da igualdade os valores obtidos como resposta.
5
8
5
42
5
4
5
4 ========++++ .
5
2
5
12
5
1
5
1 ========++++ .
4
2
4
12
4
1
4
1 ========++++ .
21
+ 2
1 =
2
12. =
2
2= 1
3
2
3
12
3
1
3
1 ========++++ .
4
6
4
32
4
3
4
3 ========++++ .
Com este encaminhamento, a ideia é que o professor possa sistematizar que
“na multiplicação de um número natural por uma fração, o resultado tem como
numerador o produto de um número natural pelo numerador e tem como
denominador o mesmo denominador da fração”. (SOUZA; PATARO, 2012, p. 147).
A partir das frações apresentadas no enunciado do problema e que aparecem
no resultado, o professor também poderá discutir com os alunos sobre frações
próprias, impróprias, número misto e frações aparentes.
Problema 5
Os organizadores da Copa do Mundo de 2014 disponibilizaram ingressos com
metade do valor (meia-entrada) para estudantes, idosos ou beneficiários do
programa Bolsa Família. Suponha que para um dos jogos, 52
dos ingressos
vendidos foram classificados como meia-entrada, dos quais 31
eram para estudantes.
Que fração do total de ingressos vendidos para o jogo corresponde à parte que foi
vendida como meia-entrada para estudantes?
Objetivo:
• Efetuar multiplicação entre números racionais na forma fracionária.
Possível Resolução
Representando geometricamente 52
do total, temos:
Fonte: Zoneide Bonfim
Para obter 31
de 52
é preciso que cada parte que representa 5
1 esteja dividida em
três partes iguais. Fazendo esta divisão para a figura toda, temos:
Fonte: Zoneide Bonfim
Agora, tomamos 31
de 52
na figura:
Fonte: Zoneide Bonfim
Assim, 31
de 52
do total corresponde à 15
2 do total.
Proposta de encaminhamento para a Sistematização
A partir da possível resolução, o professor poderá discutir com os alunos que
“a compreensão da multiplicação com frações pode ser pensada como ‘parte de
partes do total’ ” (BRASIL, 1998, p. 104) e solicitar que, considerando que 31
de 52
pode ser obtido fazendo-se 31
x 52
, pensem em como a multiplicação poderia ser
realizada, considerando que 31
x 52
= 15
2, de acordo com a resposta da possível
resolução apresentada.
Espera-se que concluam que: “Na multiplicação de frações, o resultado tem
como numerador o produto dos numeradores e como denominador o produto dos
denominadores”. (SOUZA; PATARO, 2012, p.148).
Problema 6
No dia de um dos jogos da Copa do Mundo de 2014, a mãe de Tassiane serviu
biscoitos e suco de morango. O suco estava em uma jarra e foi distribuído em copos
para os seus convidados. A quantidade de suco de morango que havia, antes de os
convidados serem servidos, correspondia à 4
3 da capacidade da jarra.
Fonte: Zoneide Bonfim
Considerando que a capacidade de cada copo correspondia à 81
da capacidade da
jarra e que todo o suco que havia na jarra foi distribuído em copos que ficaram
totalmente cheios, quantos copos foram cheios com o suco que estava na jarra?
Objetivo:
• Efetuar divisão entre números racionais na forma fracionária.
Possível resolução
Podemos resolver esta questão por meio da divisão 43
: 81
. Para isso, podemos
recorrer à representação geométrica, utilizando a ideia de “partes que cabem em
partes”, então, podemos considerar quantas vezes 81
cabe em 43
.
43
{
81
Observamos que quando comparamos 81
com 43
concluímos que 81
cabe 6 vezes
em 43
.
Proposta de encaminhamento para a Sistematização
O professor poderá discutir com os alunos que a divisão 4
3:81
pode ser
resolvida, utilizando a multiplicação de frações, pois “uma forma de interpretar a
divisão é lançar mão da idéia do inverso multiplicativo de um racional diferente de
zero: dividir é multiplicar pelo inverso” (BRASIL, 1998, p. 105).
Para isso, será necessário discutir o conceito do inverso multiplicativo de um
número: “quando temos dois números racionais diferentes de zero, dizemos que um
é o inverso do outro se o produto entre eles for igual a 1”. (MORI; ONAGA, 2005,
p.230). A multiplicação 2
12. =
2
2= 1, discutida a partir do problema anterior, pode ser
problematizada como um exemplo.
Assim, utilizando a ideia de que dividir por um número equivale a multiplicar
pelo inverso deste número, e como a multiplicação entre frações já foi sistematizada
no problema anterior, temos:
4
3:81
=4
3x
18
= 4
24=
212
= 16
= 6.
Este resultado corresponde ao mesmo obtido na resolução por meio da
representação geométrica.
Assim, o professor poderá sistematizar com os alunos que o quociente de
uma divisão entre duas frações pode ser obtido por meio do produto da primeira pelo
inverso da segunda.
REFERÊNCIAS
ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM , n.55, 2009. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática - ensino de quinta à oitava série. Brasília: MEC/SEF, 1998. GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI JR, J. R. Matemática: pensar & descobrir. 6º ano. São Paulo: FTD, 2010. IEZZI, G.; DOLCE, O; A. MACHADO, A. Matemática e realidade : 5ª série. 5.ed. São Paulo: Atual, 2005. MORI, I; ONAGA, D. S. Matemática: Ideias e Desafios : 5ª série. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2005. PARANÁ. Secretaria da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica , Curitiba: SEED, 2008. SOUZA, J. R.; PATARO, P. R. M. Vontade de Saber matemática: 6º ano. 2.ed. São Paulo: FTD , 2012.