physics for scientists & engineers 1optics.hanyang.ac.kr/~choh/degree/general_physics_20… ·...

4장

힘

March 10, 2012 Physics for Scientists&Engineers 1 1

4.1 힘의 종류

힘은 물체 사이의 상호작용을 기술하는 벡터양이다. • 힘과 운동 : 동력학 (dynamics)

우리가 경험하는 힘 • 접촉력 : 장력, 압축력, 수직력

• 마찰력

• 탄성력 : 용수철 힘

근본적인 힘 • 중력

• 전자기력

• 강력 (강한 핵력)

• 약력 (약한 핵력)


2012년 3월 10일 University Physics, Chapter 4 3

무게와 질량 (1)

물체에 작용하는 중력의 크기=무게

물체에 작용하는 중력, Fg, 는 항상 질량에 비례한다.

지표면 근처(고도 10km 이하): 물체의 질량과 중력가속도의 곱인 물체의 무게는 일정하다.

Fg mg

g 9.81 m/s2

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.

4.2 중력벡터, 무게와 질량

무게와 질량 (2)

예: • 물체의 질량 m = 5.00 kg

• 중력 F_g = mg = (5.00 kg)(9.81 m/s2) = 49.05 kg m/s2

힘의 단위

• 현대 역학의 아버지이며 가장 영향력이 큰 과학자인 영국의 물리학자

아이작 뉴턴 경을 기념하여 뉴턴이라고 부른다.

질량 m은 kg 단위로 측정하고,

무게(힘!) mg는 N의 단위로 측정한다.

2012년 3월 10일 University Physics, Chapter 4

4

N1kgm/s1 2

힘의 크기



6

4.3 알짜 힘

정의: 알짜 힘=물체에 작용하는 모든 힘벡터의 벡터합

알짜 힘의 직각좌표 성분:

1 2

1

...n

net i n

i

F F F F F

Fnet ,x Fi,xi1

n

F1,x F2,x ... Fn,x

Fnet ,y Fi,yi1

n

F1,y F2,y ... Fn,y

Fnet ,z Fi,zi1

n

F1,z F2,z ... Fn,z


랩톱컴퓨터

손이 컴퓨터에 작용하는 힘: N (수직력) • 수직력의 방향은 무게와 반대이고, 크기는 같다.

알짜 힘:

gN F

1

0

n

net i

i

g

F F

F N

N N


자유물체도표

첫 번째 관찰: 도표에 손을 그릴 필요가 없다. 전체 효과는 수직력을 나타내는 화살표로 표시할 수 있다.

두 번째 관찰 : 실제 모양을 고려할 필요 없이 한 점으로 표시해도 충분하다.

문자 그대로 물체로부터 자유로운 도표이다: 자유물체도표!


9

평형조건 (1)

정적 평형조건 1:

알짜 힘이 0인 평형조건을 이용하여 미지의 힘을 구할 수 있다.

• 예: 물체 1이 물체 2 위에 정지해 있으면 수직력 은 물체 1의 무게와

크기가 같으므로 물체 1에 작용하는 알짜 힘은 0이다. 만약에 수직력이 물체의 무게보다 크면 물체가 위로 상승하고, 작으면 물체 1이 물체 2 속으로 가라앉을 것이다.

물체에 작용하는 알짜 힘이 정확히 0이면

물체가 정지해 있다.

Fnet 0

N


평형조건 (2)

직각좌표계에서 벡터방정식은 독립된 세 방정식이다.

Fnet ,x Fi,xi1

n

F1,x F2,x ... Fn,x 0

Fnet ,y Fi,yi1

n

F1,y F2,y ... Fn,y 0

Fnet ,z Fi,zi1

n

F1,z F2,z ... Fn,z 0


두 물체의 서로 작용력

고립되어 정지한 두 물체에 알짜 힘이 작용하지 않으면

이다.

외력에 내력 (물체 1이 물체 2에 작용)와 (물체 2가 물체 1에 작용)을 더하면 알짜 힘은 다음과 같다.

알짜 힘도 외력도 0이므로 결국 다음을 얻는다.

두 물체는 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 서로 작용한다.

Fext 0

F1,2F2,1

1,2 2,1net extF F F F

1,2 2,1 1,2 2,10F F F F

뉴턴의 제3법칙


12

보기문제 4.3: 책상 위의 두 책

문제: 책상이 아래의 책에 작용하는 힘의 크기는 무엇인가?

답: • 먼저 위쪽 책의 자유물체도표를 그린다.

• 뉴턴의 제3법칙:

• 아래쪽 책의 자유물체도표를 그린다.

• 수직력 = 두 무게의 합

F2,1 N1 F1 m1g

F1,2 F2,1

1,2 2 2

2 1,2 2 1 2

2 1 2

0F N F

N F F F F

N g m m


13

연습문제 4.29: 빙산과 해양

얼음의 밀도는 0.917 g/cm3,이고, 바닷물의 밀도는 1.024 g/cm3.이기 때문에 빙산 부피의 10.4% 만 해수면 위로 올라오고, 89.6%는 아래에 있다.

문제: 해수면 위 빙산의 부피가 4164.5 m3,이면, 바닷물이 빙산에 작용하는 힘의 크기는 얼마인가?

답:

gVgmW 빙산얼음빙산빙산

104.0

m5.4164m5.4164104.0

33 빙산빙산 VV

N103.60)(9.8m/s0.104

4164.5m)kg/m917( 82

33

gVW 빙산얼음빙산

33 917kg/mg/cm917.0 얼음

알짜힘=빙산의 무게: 빙산의 전체 부피: 얼음의 밀도의 SI단위: 빙산에 작용하는 힘의 크기는 다음과 같다.


14

4.5 줄과 도르래 (1)

힘은 항상 줄의 길이방향으로 정확히 전달된다.

이 힘의 크기를 줄의 장력이라고 부른다.


15

줄과 도르래 (2)

장력은 줄의 모든 곳에서 같다.

도르래에 줄을 감으면 힘의 방향이 바뀌지만 , 힘의 크기는 변함이 없다.


16

보기문제: 세 무게(1)

한 점에 묶여 있는 세 줄이 그림처럼 원형 책상 위에 걸쳐 있다. 각 줄에는 세 질량이 달려 있으며, m1=3.9 kg, m2= 5.2 kg이다. 줄 1과 줄 2 사이의 각도는 α = 74.2도 이다.

문제: 세 줄이 평형에 있기 위한 질량 m3 는 얼마인가?


17

보기문제: 세 무게(2)

답:

단계 1: 좌표계를 선택한다. • 줄 1을 x축으로 잡는다.

단계 2: m1 과 m2에 의한 힘의 성분을 구한다.

단계 3: 평형조건을 이용한다.

F1,x m1g; F1,y 0

F2,x m2gcos; F2,y m2gsin

F1,x F2,x F3,x 0

F1,y F2,y F3,y 0


보기문제: 세 무게 (3)

단계 4: F3의 성분을 구한다.

단계 5: 아직 수치를 넣고 계산하지 마라. F3:의 절댓값을 먼저 구한다.

최종 답:

F3,x m1g m2gcos

F3,y m2gsin

F3 F3,x

2 F3,y

2

g (m1 m2 cos )2 (m2 sin )2

g(7.29 kg)

m3 7.29 kg

2012년 3월 10일 19

보기문제 4.2: 정지핚 링 (1)

질량 55 kg의 체조선수가 사진처럼 링에 정지해 있다.

문제 1: 각 줄에 걸리는 장력은 무엇인가?

University Physics, Chapter 4


보기문제 4.2: 정지핚 링 (2)

답 1: x방향으로는 힘이 작용하지 않고, y방향에서는 다음과 같다.

Fy,i T1 T2

i

mg 0

두 줄이 똑같이 체조선수를 지탱하므로 각각의 줄에 걸리는 장력은 같다.

T1 T2 T

T T mg 0

T 1

2mg

1

2(55 kg) (9.81 m/s2 )

270 N


보기문제 4.2: 정지핚 링 (3) 문제 2: 만일 두 줄이 그림처럼 천장과 의 각도로 매달려

있으면 장력은 어떻게 변하는가?

평형조건:

두 식에서 다음을 얻는다:

각도가 작아질수록 T 가 커진다!

Fx,i T1 cos T2 cosi

0

T1 T2 T

Fy,i T1 sin T2 sini

mg 0

2T sin mg 0 T mg

2sin

x

y

90

답 2:


22

두 도르래 (1)

그림과 같이 매달린 질량 m 의 토막과 두 도르래


23

두 도르래 (2)

관찰 요점: 줄의 장력은 모든 곳에서 같다.

토막의 자유물체도표( y 방향)

토막 위 도르래 B의 자유물체도표(y방향)

Fg T3 0

T3 Fg mg

2T1 T3 0

T1 1

2T3


24

두 도르래 (3)

두 식을 결합하면 다음을 얻는다.

중요한 결과: 두 도르래를 이용하면 물체 무게의 절반의 힘만 작용해도 된다.

도르래 A 는 장력 T1 의 방향만 바꾼다.

T1 1

2T3

1

2mg

2T1 T2 0

T2 2T1


25

두 도르래 (4)

결론:

• 최종 결과

• 위쪽 도르래를 천장에 매단 줄에 토막의 전체 무게가 걸린다(초록색 원)

• 천장에 작용하는 전체 힘은 줄을 아래로 당기는 힘과 토막 무게의 합과 같다(오렌지색 타원).

T2 2T1 2(1

2T3) T3 Fg


26

힘 증배기

줄과 도르래로 힘을 몇 배로 증가시킬 수 있다.

• 예: 세 줄 도르래

• 위 방향의 여섯 힘은 줄의 장력 T 와 같다.

• 따라서 이 도르래로 6T의 무게를 감당할 수 있다.

n개 줄 도르래: T 1

2nmg


아이작 뉴턴

1643년 1월 4일 영국 잉글랜드 링커셔의 울즈소프 출생

1661년 6월 5일: 캠브리지대학교 트리니티 대학에 입학

1665년 4월: 학사학위 취득

1665년 여름~1667년:흑사병으로 대학교 폐쇄;

뉴턴의 전공=수학, 물리, 천문학

1666년:만유인력법칙

1669년:케임브리지대학교의 루카스 교수직 부임

1670년:빛의 입자이론

1671년:미적분학 출판

(후에 독일의 라이프니츠도 독립적으로 출판)

1687년:프린키피아 출판(뉴턴의 제3법칙)

1689년:하원의원으로 선출

1696년:왕립조폐국의 감사

1699년:왕립조폐국의 장관(부유해지다)

1703년:왕립협회 회장으로 선출

1705년:기사칭호 수여

1727년 3월 31일: 런던 교외의 켄징턴에서 사망

4.4 뉴턴의 법칙

2012년 3월 10일 Physics for Scientists&Engineers 1 28 웨스트민스터 사원에 있는 뉴턴의 묘


29

뉴턴의 세 법칙

뉴턴의 제1법칙: • 물체에 작용하는 알짜힘이 0이면 정지한 물체는 정지상태로 남고,

움직이는 물체는 등속도로 직선을 따라 운동한다.

뉴턴의 제2법칙: • 질량 m의 물체에 작용하는 알짜 외력 는 힘과 같은 방향의

가속도 를 다음과 같이 만든다.

뉴턴의 제3칙: • 서로 작용하는 두 물체 사이에는 크기가 같고 방향이 반대인

다음의 두 힘이 서로 작용한다.

Fnet

netF ma

a

1,2 2,1F F


30

질량

중력질량

• Fg = mg = 무게 = 중력

• 위 식의 질량 m 은 상호작용의 원천이다.

관성질량 • =운동의 변화, 즉 가속도에 대한 저항

뉴턴의 통찰력: 중력질량=관성질량

질량의 원천은 무엇인가? • 최신 견해: 힉스 입자와의 상호작용에 따라 기본입자의 질량이 결정

• -아직도 모른다.

• 힉스입자를 찾기 위해서 LHC(Large Hadron Collider, 강입자충돌기)가 가동 중이다.


제 1 법칙

물체에 작용하는 알짜힘이 0이면 정지한 물체는 정지상태로 남고, 움직이는 물체는 등속도로 직선을 따라 운동한다.

• 첫 번째 부분은 자명하다. 정적평형의 근거이다.

• 두 번째 부분은 자명하지 않다:

뉴턴 시대에 걸쳐서 이성의 도약이 일어났다.

• 아리스토텔레스 생각:

일정한 속력으로 움직이려면 일정한 힘이 필요하다.

• 예:

부엌에서 냉장고를 밀다가 멈추면 냉장고도 멈춘다.


32

가속도

익숙한 예: 중력가속도 • 절벽에서 뛰어내리면 쉽게 알 수 있다(추천 안함)=>점점 더 빨리

떨어진다.

자동차에서 경험하는 가속도 • 가속페달을 밟으면 자동차가 앞으로 가속된다.

• 브레이크를 밟으면 자동차가 정지한다(음의 가속도).

• 커브길을 달리면 옆으로 당기는 힘을 느낀다(다른 형태의 가속도로 원운동에서 설명하겠다).

가속도는 벡터이다. • 크기와 방향이 있다.

가속도의 단위: m/s2 • 때로는 g의 배수로 표기한다(예: 3g로 당긴다).


질량 의 물체에 작용하는 알짜외력 는 힘과 같은 방향의 가속도 를 만든다.

• 과학에서 매우 유명한 공식이다.

• 가속도의 크기와 방향은 일짜 힘에 비례한다.

• 힘이 커지면 가속도도 커진다.

• 주어진 외력에서 가속도의 크기는 질량에 역비례한다.

• 무거울수록 가속시키기 힘들다

가속도와 뉴턴의 제2법칙

Fnet

netF ma

am


34

제2법칙의 성분방정식

는 벡터방정식이다.

직각좌표계의 성분방정식:

제2법칙은 각 성분별로 독립적으로 성립한다.

Fx max

Fy may

Fz maz

netF ma


35

풀이문제 4.1: 경사면 운동 (1)

일정한 각도의 경사면 아래로 미끄러지는 운동

예: 스노보드 타기


36


• 단계 1: 경사면과 경사각을 그린다.

• 운동하는 물체에 작용하는 모든 힘을 그린다.

• 그림: 중력, 수직력

• 일반적으로 마찰력이 있다(여기서는 무시한다)

• 요점: 힘 벡터의 합은 0이 아니다!

N

Fg


37


N

Fg

mgcos

mgsin

x

y

• 단계 2: 편리한 좌표계를 선택한다

• 경사면 운동에서는 경사면을 따라 x축을 택한다. (물론 y축은 경사면에 수직이다.)

• 요점: 수직력은 y 성분만 있다.

• 물체의 무게를 성분으로 분해한다.



• 단계 3: 닮은꼴 삼각형을 찾는다. 각도 가 어디에 있는가?

• 삼각형 abc (중력성분)은 삼각형 ABC (경사면)과 닮은꼴이다.

• a 가 C 에 수직이므로 c 는 A에 수직이다. a 와 c 사이의 각도가 A 와 C 사이의 각도와 같다.

• 결과: 두 삼각형에 각도 가 있다

• 무게 벡터의 성분

Fg,x mgsin

Fg,y mgcos

A

BC a

b

c


39


• y방향 운동이 없다.=> y성분 알짜 힘이 없다.

• y방향 힘들의 합은 0이다. (잘 알려진 수식)

• 위 식에서 수직력을 구한다.

• 수직력은 몸무게의 y 성분과 같다.

, , 0

cos 0

cos

net y g yF F N

mg N

N mg

N

Fg

mgcos

mgsin

x

y



예: 스노보드 타기 -> x 방향 운동 • x 방향 힘을 알고 있다.

• 뉴턴의 제2법칙을 적용하여 가속도를 구한다.

• 위 식에서 질량이 상쇄된다. =>

모든 물체가 질량과 무관하게

같은 비율로 가속된다.

• 가속도 벡터방정식은 다음과 같다.

• 주의: 경사각이 0으로 감소하면 가속도도 0으로 감소한다.

, , sin

sin

net x x g x

x

F F mg ma

a g

a (gsin)x̂

N

Fg

mgcos

mgsin

x

y


줄로 연결핚 두 토막 (1)

상황: • 한 토막은 수평면 위에 놓여 있고,

• 줄로 연결된 다음 토막은 도르래를 지나 아래로 걸려 있다.

문제:

토막의 가속도는 무엇인가?

답:

첫 번째 관찰:

• 팽팽한 줄로 연결된

두 토막의 가속도는 같다


토막 1의 자유물체도표:

• F1 = m1g =중력

• 중력<=>수직력 N

• 남은 힘=>줄의 장력 T

뉴턴의 제2법칙 Fnet=ma 에서

x성분은 다음과 같다.

a 는 구하는 가속도이지만 T는 무엇일까?

답을 구하려면 두 번째 토막을 고려해야 한다…


m1a T


43

토막 2의 자유물체도표 • 수직운동뿐이다.

• F2 = m2g = 중력

• 뉴턴의 제2법칙, Fnet=ma에서

y 성분은 다음과 같다:

• 앞에서 구한 식과 결합하여 장력을 없애면 다음을 얻는다.

• 이것이 구하는 가속도이다.

• 두 식 중 하나에 가속도를 대입하면 장력 T를 구할 수 있다.


T m2g m2a

m1a T m2g m2a a gm2

m1 m2


애트우드 기계 (1)

애트우드 기계는 두 질량 (m1과 m2)이 한 줄로 도르래에 걸려있는

간단한 기계이다.

두 질량의 가속도를 구한다.

도르래가 고정되어 있고 , 모든 곳에서 마찰 없이 줄이 미끄러진다.

가정 : m1 > m2

가속도의 방향은 그림과 같다.



질량 과 의 자유물체도표를 그린다.

양의 y축을 위 방향으로 잡는다.

과 에 위로 작용하는 장력의 크기 T를 구한다.

그림의 좌표계와 가속도에서 의 가속도는 음의 축인 아래 방향이다.

1m2m

1m2m

1m



질량 m1

질량 m2

두 식의 장력 T 는 같다.

T m1g m1a

T m1g m1a m1 g a

T m2g m2a

T m2g m2a m2 g a

m1 g a m2 g a


47


가속도

가속도의 크기 a는

항상 중력가속도 g보다 작다.

두 질량이 같으면 예상한대로 가속도가 없다.

두 질량을 적절하게 조절하면

0과 g사이의 가속도를 얻을 수 있다.

(m1 m2 )g (m1 m2 )a a gm1 m2

m1 m2


48

4.7 마찰력

흔한 힘: 마찰력

실제 운동을 기술하려면 마찰을 고려해야 한다.

마찰의 기본 특성 • 물체가 정지해 있으면, 물체를 움직일 수 있는 특정 크기의 문턱마찰력이

있다.

• 정지한 물체를 움직이기 위한 힘은 문턱마찰력보다 크다.

• 마찰력의 크기는 수직력의 크기에 정비례한다.

• 마찰력은 물체와 표면 사이의 접촉면적과 무관하다.

• 마찰력은 표면의 거친 정도에 따라 다르다. 즉 일반적으로 거친 경계면보다 매끄러운 경계면에서 마찰력이 작다.


49

두 종류의 마찰력

두 종류의 마찰력이 있다. • 운동마찰

• 움직이는 물체에 작용한다.

• 정지마찰

• 정지한 물체에 작용하며, 정지마찰력이 최대이다.

둘 다 수직력에 정비례한다.

마찰계수는 1보다 크거나 같다.

운동마찰과 정지마찰의

마찰계수가 다르다.

f N


운동마찰

운동마찰은 움직이는 물체에 작용한다.

운동마찰력의 크기는 다음과 같다.

N =수직력의 크기

k =운동마찰계수

운동마찰력의 방향은 항상 물체의 운동과 반대 방향이다.

등속력으로 물체를 밀면 마찰력의 크기는 미는 힘의 크기와 같다. 왜 그럴까? • 두 힘만 작용한다.

• 뉴턴의 제1법칙: 등속도로 움직이므로 알짜 힘이 없다.

=> 마찰력은 미는 힘과 정확히 반대이다.

fk kN


정지마찰

정지한 물체를 움직이려면 특정한 크기의 힘이 필요하다.

문턱마찰력보다 작은 힘으로 밀면 물체는 움직이지 않는다.

충분히 큰 힘으로 밀면 물체가 움직이기 시작한다.

정지마찰력은 물체에 작용하는 힘과 크기가 같고 방향이 반대이다.

정지마찰력은 다음과 같다.

fs sN fs,max


52

운동마찰계수 구하기

물체를 수평면에서 등속력으로 밀면서 힘을 측정한다.

이때 물체의 무게=수직력도 함께 측정한다.

(N=mg)

운동마찰계수: k F

mg

F

Top view


정지마찰계수 구하기

경사면의 경사각을 변화시키면서 정지마찰계수를 구한다. • 물체를 경사면 위에 올려 놓고정지 천천히 경사각을 증가시킨다.

• 물체가 미끄러지기 시작하는 각도를 기록한다.

• 미끄러지기 직전에 가속도는 0이고, 정지마찰력은 최대로서 물체의 경사면 성분과 균형을 이룬다.

• 정지마찰계수

mgsin smgcos

sin s cos

s tan

, sin cos 0x i s

i

F mg mg


54

보기문제 4.7: 스노보드 타기 + 마찰

마찰력을 포함한다 ( 푸른색 화살표) • 방향: 운동과 정반대인

경사면 위 방향

• 크기: 스노보더가 움직이므로

운동마찰이다.

• 뉴턴의 제2법칙:x-성분:

• 가속도:

fk kN kmgcos

Fx,ii

mgsin kmgcos max

ax g(sin k cos)


55

마찰공학: 마찰을 연구하는 분야

무엇이 마찰을 일으킬까?

마찰에 대한 자세한 미시적 연구가 진행 중이다.

• AFM은 시료표면의 개별 원자

사이의 힘을 측정한다.

• 매우 뾰족한 탐침이 표면을 긁 으 면 서 역 학 적 저 항 을 측정한다.

• 측정하는 힘의 크기

10-11 N = 10 pN

2012년 3월 10일 Physics for Scientists&Engineers 1 56

알루미나

세포막

AFM 영상

사파이어 표면의 단일전자 계단

나노 선

컴퓨터 하드디스크


자유낙하 + 공기저항

빨리 낙하할 때는 공기저항을 무시할 수 없다.

항력은 공기에 대한 상대속도에 의존한다.

상수는 정해야 한다.

고속으로 움직이는 물체에서는 속도의 선형 항을 무시할 수 있다.

항력의 크기 (고속 물체)

항력의 방향: 운동과 반대방향


종단속력 (1)

자유낙하하는 물체는 중력의 영향으로 점점 빨리 낙하한다.

속도가 증가하면 항력도 증가한다.

항력이 중력과 같아지면 더 이상 가속되지 않고, 종단속도에 도달한다.

속도(사실은 속력)을 구하면 다음과 같다.


59

종단속력 (2)

상수 K의 값을 알아야 한다.

경험적으로 다음과 같다.

• A = 공기흐름에 노출된 단면적( m2)

• ρ = 공기밀도 (대략 1 kg/m3)

• cd = 항력계수, 0과 1 사이의 값

(표 4.1 참조)

결국 종단속력은 다음과 같다.


60

보기문제 4.8: 스카이다이빙

낙하산의 면적 = 42.7 m2, 항력계수 0.63, 공기밀도 = 1.15 kg/m3, 스카이다이버 + 장비의 총질량= 76.4 kg.

문제 1: 종단속력은 무엇인가?

답 1:

문제2: 종단속도에서

항력의 크기는 얼마인가?

답 2: F = mg = 76.4 kg · 9.81 m/s2 = 750 N (뉴턴의 제1법칙)

physics for scientists & engineers 1optics.hanyang.ac.kr/~choh/degree/general_physics_20… ·...

Documents