Piirteoreemid

Piirteoreemide koht tõenäosusteooriasTeoreeme, mis seovad massiliselt esinevate juhuslike nähtuste teoreetilisi ja eksperimentaalseid karakteristikuid, tuntakse tõenäosusteooria piirteoreemidena.

Piirteoreeme on kahte liiki:1. Suurte arvude seadus

Juhuslike nähtuste karakteristikute (näiteks keskväärtuse) omadus katsete arvu kasvades läheneda mingitele konstantidele - Tšebõševi teoreem - Bernoulli teoreem

2. Tsentraalne piirteoreem e. Ljapunovi teoreem Tingimused juhuslike suuruste jada koondumiseks normaaljaotuseks.

Tõenäosuse järgi koondumine

Täpsemalt väljendudes:

Öeldakse, et juhuslike suuruste jada X1, X2, ... koondub tõenäosuse järgi juhuslikuks suuruseks X, kui iga > 0 korral

.)(lim 1

XXP nn

Öeldakse, et juhuslike suuruste jada X1, X2, ... koondub tõenäosuse järgi juhuslikuks suuruseks X, kui iga > 0 ja > 0 korral leidub n = n(), millest alates kehtib võrratus

.)( 1XXP n

Tõenäosuse järgi koondumine tähendab seda, et tõenäosus juhuslike suuruste Xn ja X oluliseks erinemiseks läheneb nullile ehk seda esineb väga harva.

Juhuslike suuruste jada {Xn} piirväärtuseks võib olla ka triviaalne juhuslik suurus – konstant.

Tšebõševi suurte arvude seadus (1867)Küllalt suure arvu võrdsete keskväärtuste EX ja võrdsete dispersioonidega sõltumatute juhuslike suuruste X1, X2, ... , Xn puhul läheneb nende suuruste aritmeetiline keskmine tõenäosuse järgi keskväärtusele: iga > 0 korral

.1)1

(lim1

EXXn

Pn

ii

n

Selles teoreemis ei väideta absoluutse kindlusega, et , vaid tõenäosuse järgi. Ka suure

hulga juhuslike suuruste aritmeetiline keskmine võib oluliselt hälbida keskväärtusest, kuid seda juhtub väga harva, s.t. suurte hälvete tõenäosus läheneb nullile.

EXXni in 1

1 EXXni in 1

1

Tšebõševi suurte arvude seadus on kinnituseks sellele, et katseliselt määratava suuruse tõelise väärtuse parimaks lähendiks on katsetulemuste aritmeetiline keskmine ja viimane on seda usaldusväärsem, mida pikema katseseeria põhjal see on leitud.

Bernoulli suurte arvude seadus (1713)Korduvatel sõltumatutel katsetel koondub sündmuse suhteline sagedus katsete arvu n kasvamisel tõenäosuse järgi sündmuse tõenäosuseks:

kus m on sündmuse toimumiskordade arv katseseerias ja > 0 kuitahes väike positiivne arv.

,)(lim 1

pnm

Pn

Teisiti öeldes: sündmuse suhteline sagedus koondub tõenäosuse järgi selle sündmuse tõenäosuseks üksikkatsel.

Bernoulli suurte arvude seadus kinnitab, et suhteline sagedus küllalt pikas katseseerias e. nn. statistiline tõenäosus sobib sündmuse tõenäosuse hinnanguks.

Ljapunovi teoreem (tsentraalne piirteoreem)Olgu juhuslik suurus X küllalt suure hulga n sõltumatu juhusliku suuruse Xi (i = 1, ... , n) summa:

Osasuuruste Xi jaotusseadused võivad olla väga erinevad, kuid iga osasuuruse osatähtsus summaarse juhusliku suuruse X moodustamisel olgu väike. Siis läheneb summaarse juhusliku suuruse X jaotus normaaljaotusele liidetavate arvu n kasvamisel.

.

n

iiXX

1

Ljapunovi teoreem annab seletuse, miks rakendustes kasutatakse kõige sagedamini normaaljaotusega või sellele lähedase jaotusega suurusi.Nii näiteks allub juhuslik mõõtmisviga normaaljaotusele. Mõõtmisviga moodustub paljude juhuslike põhjuste koosmõjul, kus iga üksikpõhjus tingib summaarse vea seisukohalt tühise vea. Vea komponentide põhjustajate hulk on tavaliselt suur.

Näide

Moivre – Laplace‘i integraalne piirteoreemKui m on sündmuse A toimumiste arv n sõltumatu katse korral ja sündmuse A tõenäosus p on jääv, siis kehtib valem

(1)

kus q = 1 – p ja (x) on Laplace‘i funktsioon.

),()()(lim npq

npmP

n

Valem (1) on teisendatav praktikas sagedasemat kasutamist leidvale kujule:

),()()(lim 1221 npq

npknpq

npkkmkP

n

See valem võimaldab küllalt suure katsete arvu korral kasutada diskreetse binoomjaotuse asemel ligikaudse lähendina pidevat normaaljaotust parameetritega EX = np ja (X) = .npq

Moivre – Laplace‘i lokaalne piirteoreem

. kus ,211 2/2

, npqnpm

xenpq

P xnm

Seega küllalt suure katsete arvu korral võime sündmuse sageduse m tõenäosuse arvutamiseks kasutada Bernoulli valemi asemel ligikaudset valemit

Katsete arvu n tõkestamatul kasvamisel koondub binoomjaotus normaaljaotuseks parameetritega EX = np ja (X) = .npq

normeeritud normaaljaotuse tihedusfunktsioon

Valemi kasutamine on õigustatud kui

1) np > 5 või

2) nq > 5.

Binoomjaotuse koondumine normaaljaotuseks

X~B(6; 0,3)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 1 2 3 4 5 6 7

k

p

X~B(12; 0,3)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 2 4 6 8 10 12 14

k

p

X~B(24; 0,3)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

0 5 10 15 20 25 30

k

p

Binoomjaotuse koondumine normaaljaotuseks (II)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 5 10 15 20 25

N(6; 2,05) B(20; 0,3)

k, X

p

NäideNäideMünti visatakse 50 korda. Kui tõenäone on 1) vapi esinemine 20 korda; 2) vapi esinemissageduse asumine 20 ja 28 vahel?

Lahendus

Vapi tõenäosus üksikkatsel p = 0,5 ja ka q = 0,5. 536,3npqSeega np = 25 ja npq = 12,5, .

.42,1536,3

2520 npq

npmx1)

041,021

536,31 2/2)42,1(

20,50 eP

2) 7245,0)536,3

2520()

536,32528

()2820( kP