potenciaÇÃo.pdf

Diógenes Santos [email protected] 1

POTENCIAÇÃO

de expoente natural

Def: Potenciação é toda e qualquer

multiplicação onde os fatores são iguais.

1 :3 3 3 3Ex 2 :5 5 5 5 5 5Ex

3 :Ex x x x x x x 4 : ...n

Ex x x x x x x

Notação: ... ,n

n

b b b b b b b p

com n e 2.n

Onde:

b é a base

n é o expoente

p é a potência

Como se lê: nb ( b elevado a n ).

5

5 :3Ex (três elevado a cinco ou três elevado a

quinta). 10

6 :7Ex (sete elevado a dez ou sete elevado a

décima).

Se o expoente for 2 ou 3, podemos

chamar de quadrado ou cubo,

respectivamente. 2

7 :5Ex (cinco elevado a dois ou cinco ao

quadrado). 3

8 :Ex (onze elevado a três ou onze ao

cubo).

Potência é o resultado da

multiplicação dos fatores da potenciação. 3

9 :7 7 7 7 349.Ex

Onde:

7

3

349

é a base

é o expoente

é a potência

PROPRIEDADES

P1) Zero elevado a qualquer número

natural, maior que 1, é igual a zero.

4

10 : 0 0 0 0 0 0Ex

Generalizando:

11 :0 0 0 0 ... 0 0,n

n

Ex com 1.n

P2) Numa multiplicação de potenciações

de mesma base, repete-se a base e somam-se

os expoentes. 3 5 3 5 8

12 : 2 2 2 2Ex

3 5 7 4 3 5 7 4 19

13 :2 2 2 2 2 2Ex

Generalizando:

14 : m n m nEx b b b

15 : m n p q m n p qEx b b b b b

P3) Numa divisão de potenciações de

mesma base, repete-se a base e subtraem-se os

expoentes. 5

5 2 5 2 3

16 2

3: 3 3 3 33

Ex

12 5 3 2 12 5 3 2 2

17 :5 5 5 5 5 5Ex

Generalizando:

18 : ,m

m n m n

n

bEx b b b

b

com .m n

19 : ,m n p q m n p qEx b b b b b com

.m n p q

P4) Quando uma multiplicação (ou

divisão) estiver elevado a um expoente, basta

elevar cada fator da multiplicação (ou divisão)

ao expoente, individualmente. 3 3 3

20 : (2 3) 2 3Ex

5 5 5 5 5

21 : (2 3 5 7) 2 3 5 7Ex


3 3 3

22 : (9 3) 9 3Ex

5 5 5 5 5

23 : (7 5 3 2) 7 5 3 2Ex

Generalizando:

24 : ( )n n nEx a b a b

25 : ( )n n n n nEx a b c d a b c d

26 : ( )n n nEx a b a b

27 : ( )n n n n nEx a b c d a b c d

IMPORTANTE: 2 2 2( )a b a b

2 2 2( )a b a b

2 2 2( ) 2a b a ab b

2 2 2( ) 2a b a ab b

P5) Quando a base for uma potenciação

elevada a outra potenciação, basta multiplicar

os expoentes. 3 5 3 5 15

28 : (7 ) 7 7Ex

2

42 3 2 3 4 2 48

29 : (11 ) 11 11Ex

Generalizando:

30 : ( )m n m nEx b b

31 : ( )q

pm n m n p qEx b b

P6) Potência de ordem superior. É quando

o próprio expoente da potenciação está

elevado a outra potenciação. Veja o exemplo

abaixo. Note que a base b está elevada ao

expoente ,a que por sua vez está elevada ao

expoente ,c e assim sucessivamente.

...

zy

cap b

Para resolver esse tipo de problema, tiramos

as potências de cima para baixo: 2 932 2 512

32 :3 3 3Ex

12 22 2 42 2 2 162 2 2 2 655362

33 :5 5 5 5 5Ex

Note a diferença entre P5 e P6!!! 32 3 2 3 6 2 8(3 ) 3 3 729 3 3 6.561e

P7) Potências de 10. As potenciações do

tipo 10n para resolver, basta colocar o

algarismo 1 na frente acompanhado pelo

número de n “zeros” do expoente. 3

34 :10 1.000Ex

7

35 :10 10.000.000Ex

Generalizando:

36 :10 1000...0n

n

Ex

Na definição de potenciação, os

expoentes deveriam ser maiores, ou iguais a

2, neste caso, não estavam definidos

expoente zero e expoente um, mas por

convenção temos:

Todo número elevado ao expoente um

é igual a ele mesmo. 1

37 : 2 2Ex

1

38 :5 5Ex

Generalizando: 1

39 :Ex b b

Todo número, diferente de zero,

elevado ao expoente zero é igual a um. 0

40 :5 1Ex

0

41 : 7 1Ex

Generalizando: 0

42 : 1,Ex b se 0.b


Aumentando nosso conhecimento!!!

POTENCIAÇÃO

de expoente inteiro

Def: Dado um número ,b *b e um

número n natural, define-se a potência nb

pela relação: 1

.n

nb

b

Perceba que como

,n então .n Neste caso, teremos

expoentes negativos.

3

43 3

1 1 1: 2

2 2 2 2 8Ex

4

44 4

1 1 1:5

5 5 5 5 5 625Ex

4

45 4

2 1 1 625:

165 162

6255

Ex

3

46 3

2 1 1 27:

83 82

273

Ex

Generalizando:

47

1 1:

...

n

n

n

Ex bb b b b b

Como agora foi definida a potenciação

de expoente negativo, zero e um, então na

propriedade P3, onde se tem

,m

m n m n

n

bb b b

b

com ,m n não existe

mais essa obrigatoriedade, ou seja, m pode

ser menor que ,n ou ainda m pode ser igual a

,n desde que 0.b

POTENCIAÇÃO

de expoente racional

Def: Dado um número ,b *b e

outro número na forma ,p

q ( ,p

q e 2),q define-se potência de base b

e expoente p

q pela relação: .

pq pqb b

11 22

48 :16 16 16 4 4Ex 1

33 1 33349 :8 8 8 2 2Ex

23 2 3 2 2 3 23 33

50 : 64 64 (4 ) (4 ) 4 16Ex

Nota: As propriedades P1 até P6 são

válidas também para os expoentes inteiros e

os expoentes racionais.


EXERCÍCIOS DE POTENCIAÇÃO

1) Resolva as potenciações abaixo: 2 3 2

2 0 0

0 1 0

a) 2 ) 2 ) 2

) ( 2) ) 1) ) 3

) 3 ) )

b c

d e f

g h i


0 1 2

3 4

1 3 3) ) )

2 4 2

1 8 8) ) )

7 7 7

5 7)

4 5

a b c

d e f

g h)

52

)5

i


2 4 0

3 1 3

) 3 ) 2 ) 2

) ( 4) ) 5 ) 3

) 7 ) ) 7

a b c

d e f

g h i

4) Resolva as potenciações abaixo:

3 4 4

0 1 2

3 4

1 2 3) ) )

3 5 2

1 8 8) ) )

5 7 7

5 2) )

3 5

a b c

d e f

g h

53

)5

i

5) Resolva as potenciações abaixo: 21 3

3

5 1 3

6 2 2

2

3

) )16 ) 27

) 64 ) 64 )

9 27 1) ) )

4 125

a b c

d e f

g h i

1

3

21 1

32 2

25

64

) 0,04 ) 0,064 ) 0,25j l m

6) Resolva as operações abaixo: 5 0 0 3 2

3 2 2 2 4 4/ 2

2 0

0 3 2 1 2

) ( 3) ) ( 6) ) 7 1 3

) 2 4 2 ) (2 3 5) ) 2 2

1) ) 5 (3 3 ) 9 2

2

a b c

d e f

g h

Resolva as potenciações abaixo:

7) (Ufes1996) 3 48 é igual a:

) ) ) ) )A B C D E

8) Unaerp1996-O valor da expressão: 3 13( ) ,a b c quando: 1,a 8b e

1/ 4c é:

) 1/ 2 ) ) ) )A B C D E

9) UFMG1994-A expressão 2

1 1

9 32

2

1,

a a

a a

com 0,a é

equivalente a:

9 9 95 5 7

9 97 7

) ) )

) )

A B C

D E

a a a

a a

10) Unaerp1996-Efetuando: 3( )( )( )a b a bx x x

obtemos: 2 2 2

2 2 2

3( ) 2 3 3( )

3 3

) ) )

) )

A B C

D E

a b a a b

a b b a

x x x

x x

11) Uelondrina1995-Calculando-se

( 1/ 243)K onde 2 / 5,K obtém-se:

) 81 ) )

) )

A B C

D E Um número não real


12) Calcule: 2 2

2 2

2 4

2 4

13) Seja

1

0 2

2

13 ( 2)

3,

1

2

A

o valor de

1A é:

)1 ) 2 ) 3 )A B C D

14) O valor da expressão 8

,ab

Ec

onde:

0 12 4 ,a 0 14 2b e

0 13 2c é:

)1 ) 2 ) 3 )A B C D

15) Sabendo-se que 2 65 ,a 3 75b e

4 85 ,c então temos que 9( )a b c vale:

21 44 189) 5 ) 5 ) 5 )A B C D

16) Calcule o valor de ,7

a ck

b

onde

0 12 2 ,a 1 03 3b e

1 12 3 .c

17) Calcule:

14 6 21 1

32 48 16 27

18) Simplificando a expressão 4 2 3 4

8 2 3

[( ) ]

[( ) ]

a b

b a

temos:

19) Se 2 699 ,a 3 799b e 4 899 ,c então

12( )a b c vale:

98 99 12 28) ) ) )A B C D

20) CN1997-Resolvendo-se a expressão

7,2

012/5

3

33 33 33 33 33 102

1,331 11

8 8 8 8 8 2

encontra-se:

) 4 ) ) ) )A B C D E

21) CN1986-Sendo 2 343,x 3 249y e

6 57 ,z o algarismo das unidades simples do

resultado de

24xy

z

é:

)1 ) ) ) )A B C D E

22) PUCMG2004-O resultado da expressão 3

9 2 32 : (2 2 )

2

é:

)1/ 5 ) ) )A B C D

23) CM-Fortaleza2007-Simplificando a

expressão 28 30

32 2

,10

obtemos:

8 9 8

39 57

) 2 ) 2 /5 ) 2

) 2 ) 2 /5

A B C

D E

24) EPCAr2004-O valor da expressão 1/ 2

2 1/ 4

2 1/3

(6,25 10 )

(6,4 10 )

é:

5 ) ) )A) B C D

25) EsSA1978-Calculando 7 3

8

8

2 2 2,

(16)

(8)

encontramos:

)16 ) ) )A B C D

26) EPCAr2002-A diferença 0,666... 0,58 9 é

igual a:

) 2 ) ) )A B C D

27) EsSA1995-Calculando

6 63 2

,2 30

obtemos:

) 0,0001 ) 0,00001

) 0,000001 ) 0,0000001 ) 0,00000001

A B

C D D


28) CM-RJ2009-Simplificando a expressão 2 9 6 11

9 4 3 5

10 3 5 6

é igual a:

6 1 1 2 5) ) ) ) )

5 9 25 3 6A B C D E

29) UFSC-O valor mais próximo da expressão 2 01/2

2 6,25

4 3

é:

)1,52 )1,97 )1,35 )1,03 )1,48A B C D E

30) Uelondrina1994-Simplificando-se a

expressão 3 2 1

2

3 3.3 9.3

9.3

n n n

n

para ,n

obtém-se 1

1 1

)1/ 6 )1/3 ) 6 3

)1 3 ) 3

A B C

D E

n

n n

31) FCC-A expressão 3 1

4

(2 2 2 7)

5 2

n n

n

é

igual a: 2 6) 40 ) 30 ) 5/8 ) 2 ) 2A B C D E

32) Cesgranrio1994-O número de algarismos

do produto 17 95 4 é igual a:

)17 )18 ) 26 ) 34 ) 35A B C D E

33) OBM1999-O quociente de 5050 por

2525

é igual a: 25 25 25

25 25

) 25 )10 )100

) 2 ) 2 25

A B C

D E

34) OBM1999-A metade do número 11 82 4 é

igual a: 5 4 5 8 10 8

15 5 9 7

) 2 4 ) 2 2 )1 2

) 2 4 ) 2 4

A B C

D E

35) CM-Brasília2005-A expressão 88 44

44 22

8 4

8 4

é

equivalente a: 88 44 88 22

44 88 88

1 2 ) 2 )8 4

) 2 ) 2 (2 1)

A) B C

D E

36) O valor numérico da expressão 2 1 2 4 1 2

2 2 1 3 1

( ) ( )

( )

ab a b abE

a b a b a b

para

310a e

210b é igual a:

) 100 ) 10 )1 )10 )100A B C D E

37) A metade do número 13 112 4 é igual a: 21 6 12 5 21 3

10 20 12 7

) 2 4 ) 2 4 ) 2 4

)1 2 ) 2 4

A B C

D E

38) O triplo do número 9 113 9 é igual a:

4 36 3 35 10 13

10 10 5 23

) 9 3 ) 3 ) 3 9

) 3 9 ) 9 3

A B C

D E

39) Simplificando-se a expressão 2 32 2

23 3 2

2 3 3 2 1

2 3 2 3

( ) [( ) ]

[( ) ]

a aE

a a

obtemos:

202 101 101) ) ) ) )A B C D Ea a a a

40) O valor de 20 19

4 2

(3 2 7 2 ) 52

(13 8 )

é igual a:

) )1/ 2 )1/ 4 )1/8 )1/16A B C D E

41) O valor do número 8 2 4 9

2 4 6 4

[( 12) ] 75 ( 4)

(25 ) 18 10N

é igual a:

) ) 10 ) 100

) 1000 ) 10000

A B C

D E


42) Se 3 4,a 4 5,b 5 6,c 6 7,d 7 8e

e 8 9,f o valor do produto abcdef é igual

a:

) 2 ) 6 ) 3 )10 / 3A) B C D E

43) Se 603 ,p 485 ,q 366r e

247s

então:

)

)

)

)

)

A

B

C

D

E

s r p q

q r p s

s p r q

q p r s

r s p q

44) Considere as afirmativas: 10 10 11 10 10 10

10 10 20 10 10 0

( ) 2 2 2 ( ) 2 2 0

( ) 2 2 2 ( ) 2 : 2 10

I II

III IV

O número de afirmativas verdadeiras é igual

a:

) 0 )1 ) 2 ) 3 ) 4A B C D E

45) Coloque ( )F falsa ou ( )V verdadeira nas

afirmações e assinale a opção correta.

( ) Se 2 4x então

6 64.x

( ) Se 6 64x então 2.x

( ) 32 3 2(2 ) 2

( ) Se 10 0,2x então 210 0,04.x

( ) 22 2 5 2 .n n n

)

)

)

)

)

A

B

C

D

E

F V V V F

V F V V V

V F V V F

V V F V V

V F V F V

46) A soma dos algarismos do número

989810 é igual a:

) 860 ) 862 ) 864 ) 866 ) 868A B C D E

47) Na expressão 0

(0,125)21 191,

8

b ab

a b

ba

a

a e b são

números inteiros e positivos, a b vale:

)15 )14 )13 )12 )11A B C D E

48) Colocando os números 603 ,a 484 ,b

367 ,c 2418d e

12300e em ordem

crescente obtemos:

)

)

)

)

)

A

B

C

D

E

a b c d e

a b e d c

b a e c d

a b d e c

b a e d c

49) Definimos a b como .ba O valor de

2 (2 (2 2))

((2 2) 2) 2

é igual a:

1/ 256 )1/ 4 )1 ) 4 )A) B C D E

50) Simplifique 3 2

5 2 4

(100) (21) (27)

2(6) (15) (35)

)1/ 2 )15 ) 21 ) 27 )A B C D E

51) Se 0ax simplifique 1 1

1

[(3 ) (6 ) ](2 )

( )

x a a x

xa

1 1) ( ) ) 6 ) ) )A B C D Exa xa x a

52) Se 2 5naa a ache 24 aa

) 200 )100 ) 4 ) 75 ) 25A B C D E

53) Se 3na calcule

2 2

6

( ) (7 )

3 3 3 ... 3

n a an a n n n

n

a a

)1/ 7 ) ) 6 )1/ )1/A B C D Ean n a n


RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

1)

) ) )

) ) )

) ) )

a b c

d e f

g h i

2)

) ) )

) ) )

) ) )

a b c

d e f

g h i

3)

) ) )

) ) )

) ) )

a b c

d e f

g h i

4)

) ) )

) ) )

) ) )16

a b c

d e f

g h i

5)

) ) )

) ) )

) ) 9 / 25 )

)

a b c

d e f

g h i

j

) )l m

6)

) ) )

) ) )

) )

a b c

d e f

g h

7) A

8) E

9) C

10) B

11) C

12)

13) B

14) B

15) D

16) 1/ 4k

17)

18) 42 24a b

19) A

20) E

21) A

22) D

23) D

24) A

25) D

26) D

27) C

28) C

29) D

30) B

31) A

32) B

33) C

34) D

35) B

36) A

37) A

38) E

39) B

40) D

41) E

42) B

43) D

44) E

45) B

46) D

47) A

48) D

49) E

50) D

51) B

52) E

53) A


Bibliografia:

Asociación Fondo de Investigadores y

Editores . Compendio Académico de

Matemática - Álgebra. 3ª ed. Lima-Peru:

Lumbreras Editores, 2010.

BEZERRA, Manoel Jairo. Questões de

Matemática. São Paulo: Companhia Editora

Nacional. 303 p.

LACERDA, José Carlos Admo. Praticando a

Aritmética. Rio de Janeiro: Issonnarte

Editora, 2009. 588 p.

OLIVEIRA, Marcelo Rufino de; PINHEIRO,

Márcio Rodrigo da Rocha. Coleção

Elementos da Matemática. 3ª ed. Fortaleza:

Editora Vestseller, 2010. v. 1. 309 p.

SANTOS, Antonio Luiz (Gandhi).

Problemas Selecionados de Matemática.

Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna

Ltda., 2006.

SANTOS, Judson; SANTOS, Luciano.

Coleção de Matemática para Escola

Militares. Fortaleza: Gráfica LCR, 2010. 198

p. v. 1.

CURTO E SÁBIO

Conta-se que no século passado, um

turista americano foi à cidade do Cairo no

Egito, com o objetivo de visitar um famoso

sábio.

O turista ficou surpreso ao ver que o

sábio morava num quartinho muito simples e

cheio de livros.

As únicas peças de mobília eram uma

cama, uma mesa e um banco.

-Onde estão seus móveis? Perguntou o

turista.

-E o sábio, bem depressa olhou ao seu

redor e perguntou também:

-E onde estão os seus...?

-Os meus?! Surpreendeu-se o turista.

-Mas estou aqui só de passagem!

-Eu também... – conclui o sábio.

“A vida na Terra é somente uma

passagem...

No entanto, alguns vivem como se

fossem ficar aqui eternamente, e esquecem-se

de se felizes”

“NÃO SOMOS SERES HUMANOS

PASSANDO POR UMA EXPERIÊNCIA

ESPIRITUAL...

SOMOS SERES ESPIRITUAIS

PASSANDO POR UMA EXPERIÊNCIA

HUMANA”

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