predavanje 5 mlti

Dr. eljko Juri: Matematika logika i teorija izraunljivosti Predavanje 5 Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehnikom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2014/15)

1

Predavanje 5

Elementi teorije skupova

Osnovni pojmovi teorije skupova

Teorija skupova je u veoma tijesnoj vezi sa logikom iskaza koju smo upravo obradili, iako to nije posve oigledno na prvi pogled. Ovu teoriju osnovao je u 19. vijeku G. Cantor . Znaaj pojmova i struktura koje je on uveo shvaen je tek mnogo kasnije. Teorija skupova je odluujue utjecala na gotovo sve oblasti matematike (za neke od njih predstavlja i sam preduvjet postojanja), pa je danas postala nezaobilazna alatka u matematici i njenim primjenama. Odreene oblasti ove teorije (mada ne sve) imaju veliku primjenu u raunarskim naukama, a naroito u teoriji relacionih baza podataka, s obzirom da se sve manipulacije sa relacijama koje tvore relacionu bazu podataka zasnivaju upravo na teoriji skupova. Pored toga, izvjesne grane matematike logike koje emo kasnije prouavati oslanjaju se intenzivno na pojmove teorije skupova. To je razlog zbog kojeg se i sama teorija skupova smatra kao jedna od grana matematike logike, te se, prije nego to nastavimo dalje prouavanje nekih naprednijih tema iz oblasti matematike logike, moramo upoznati sa elementima teorije skupova.

U teoriji skupova, skup je elementarni pojam koji se ne definira. Naime, mada je pojam skupa intuitivno jasan, pokazalo se da je praktino nemogue dati preciznu formalnu matematsku definiciju ovog pojma koja bi bila nedvosmislena, koja se ne bi vrtila u krug, itd. Ovdje imamo slinu situaciju poput situacije koja nastaje pri pokuaju definiranja pojma boja. Ovaj pojam je praktino svima poznat iz iskustva, a ipak ga je veoma teko tano definirati (bez pozivanja na, recimo, talasnu optiku). Stoga je bolje pojam skupa uope ne definirati, nego ga smatrati elementarnim pojmom koji ne trai definiciju.

Neformalno, skup je kolekcija odreenih, razliitih, stvarnih ili zamiljenih objekata, posmatrana kao cjelina (sam Cantor je skupove definirao kao objedinjenje izvjesnih elemenata u jednu cjelinu, ali strogo gledano, ta definicija ne znai ama ba nita). Za te objekte kaemo da su elementi tog skupa. Iskaze a je element skupa A odnosno a nije element skupa A zapisujemo kao a A odnosno a A. Dalje, skupovi mogu biti konani ili beskonani, u ovisnosti da li imaju konano ili beskonano mnogo elemenata (pojam beskonanosti emo kasnije formalno definirati). Pri tome je, kod beskonanih skupova, veliki doprinos G. Cantora u spoznavanju injenice da svi beskonani skupovi nisu jednako beskonani, ve da postoji itava hijerarhija razliito beskonanih beskonanosti, o emu emo uskoro govoriti. Isto tako, bez obzira na to to smo neformalno skup definirali koristei pojam kolekcija, treba odmah u startu ukazati da ma kakva kolekcija ma ega ne mora nuno biti skup, odnosno postoje kolekcije koje jednostavno ne mogu ispuniti svojstva koja bi trebala da ispunjavaju skupovi, bez ulazaka u paradoksalne situacije (npr. pokazaemo kasnije da kolekcija svih skupova ne moe i sama biti skup, odnosno ne postoji skup svih skupova). Takve kolekcije koje ne mogu biti skupovi su uvijek ogromne (nezamislive veliine), o emu emo takoer kasnije govoriti.

Neki skupovi koji se esto primjenjuju u raznim oblastima matematike imaju posebna imena i posebne oznake. Ovdje emo pretpostaviti da su pojmovi skupa prirodnih brojeva, skupa cijelih brojeva, skupa racionalnih brojeva, skupa realnih brojeva i skupa kompleksnih brojeva poznati od ranije. Za ove skupove usvajaju se oznake , , , i respektivno.

Mada teorija skupova na prvi pogled izgleda prilino jednostavno, ako ne i pomalo banalno, radi se zapravo o jednoj od najdelikatnijih i najkontraverznijih matematskih teorija, koja je sve samo ne banalna. Na prvom mjestu, neka sloenija razmatranja koja se tiu beskonanih skupova (poput teorije transfinitnih ordinalnih brojeva) veoma je teko intuitivno shvatiti, zbog tekog poimanja samog pojma beskonanosti. Dalje, u teoriji skupova sasvim je lako, polazei od nekih na prvi pogled oiglednih pretpostavki, kreirati beskonane kolekcije elemenata sa posve bizarnim svojstvima koji se protive intuiciji. Na primjer, relativno je lako kreirati takve skupine taaka na pravcu, u ravni ili prostoru kojima nije ni na kakav nain mogue pridruiti nikakvu mjeru veliine (ni konanu, ni beskonanu) poput duine, povrine ili zapremine, a koja ne bi bila u kontradikciji sa intuitivnim svojstvima koja bi takva mjera veliine morala posjedovati. Postojanje ovakvih tvorevina dalje dovodi do jo bizarnijih zakljuaka, o kojima e ukratko biti rijei kasnije.

Problem teorije skupova nije samo u tome to moe voditi do bizarnih i kontraintuitivnih zakljuaka. Mnogo vei problem je u tome to je sama teorija skupova, u obliku u kakvom ju je uveo


2

Cantor, a koja se naziva opisna ili naivna teorija skupova, protivrjena. Naime, ve je Cantor primijetio da preslobodno shvatanje skupa kao ma kakve kolekcije ma kakvih objekata lako moe dovesti do paradoksalnih zakljuaka, odnosno zakljuaka koji su u kontradikciji sa samim sobom (ovi paradoksi tipino nastaju pri pokuaju kreiranja izuzetno obuhvatnih skupova poput skupa koji predstavlja kolekciju svih skupova). Inae, ve smo napomenuli da paradoksi nisu nepoznata pojava u logici: lako je formirati paradoksalne reenice poput reenice Ja upravo laem (koja protivrjei sama sebi), ili paradoksalne definicije poput definicije Brija je ovjek koji brije one i samo one ljude koji se ne briju sami (paradoks nastaje kada pokuamo da utvrdimo brije li brija sam sebe). Meutim, teorija koja pretendira da bude jedna od fundamentalnih teorija matematike definitivno ne bi smjela biti kontradiktorna. To je dovelo do razvoja stroijih teorija skupova, poznatih pod nazivom aksiomatske teorije skupova, koje zabranjuju da se izvjesne enormno masivne kolekcije objekata smiju uope tretirati kao skupovi. Postoji vie razliitih aksiomatskih teorija skupova, koje nisu potpuno saglasne meusobno, ali su tvorevine kod kojih se uoava njihova razlika posve egzotine i ne spadaju u tematiku uobiajenih matematskih prouavanja. U veini izlaganja koja slijede, nema praktino nikakvih razlika da li se koristi naivna ili aksiomatska teorija skupova. O problemima naivne teorije skupova i nainima njihovog prevazilaenja bie ukratko rijei na kraju ovog poglavlja.

Skup koji ima elemente a1, a2, a3 itd. obiljeavamo sa * a1, a2, a3, ...+. Za tako opisane skupove kaemo da su zadani pobrojavanjem. Na primjer, skup {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47} zadan je pobrojavanjem. Jasno je da se pobrojavanjem mogu precizno zadati samo konani skupovi. Meutim, i kod konanih skupova dolazi do problema ukoliko skup ima veliki broj elemenata. Recimo, jasno je da je pobrojavanjem praktino nemogue zadati (konani) skup koji se sastoji od prvih 10100 prostih brojeva. Stoga se u praksi koriste i drugi naini zadavanja skupova, poput zadavanja specifikacijom. Ako je P(x) neki otvoreni iskaz (predikat), tada je {x | P(x)} skup svih elemenata x za koje je predikat P(x) taan. Na primjer, skup iz prvog primjera moe se zadati kao *x | (x je prost broj) (x < 50)}. Ukoliko elimo specifikacijom izdvojiti elemente iz nekog ve postojeeg skupa X pomou predikata P(x) definiranog nad elementima skupa X, to moemo zapisati kao *x X | P(x)}. Ovaj zapis je uglavnom ekvivalentan zapisu {x | x X P(x)+, samo to se ovakvim zapisom eksplicitno naznaava da nije nuno da predikat P(x) bude definiran za elemente koji ne pripadaju skupu X (za razliku od izraza poput {x | P(x)+ za koji je esto nejasno kakve sve vrijednosti moe x uzimati kao argument predikata P(x)). Pored toga, konvencija doputa i jo neke intuitivno jasne zapise, sa ciljem kompaktnije notacije. Recimo, konstrukcije poput { y | y = f (x) P(x)} gdje je f (x) neki izraz koji zavisi od promjenljive x moemo skraeno pisati kao * f (x) | P(x)}. Na primjer, skup kvadrata svih prirodnih brojeva moemo zapisati kao {x2 | x }.

Zadavanje skupova specifikacijom, bez obzira na njegovu neospornu praktinost, povezano je sa brojnim potekoama. Prvo, u mnogim sluajevima nije nimalo lako (a ponekad ak nije ni mogue) odrediti koji su zaista elementi skupa koji je zadan na takav nain, s obzirom da problem odreivanja vrijednosti x koje zadovoljavaju predikat P(x) moe biti veoma sloen. Posmatrajmo, na primjer, skup {x | 1512 x + x4 = 1235 + 278 x4}. Elementi ovog skupa su 19, 1, 5 i 13, mada je ovo daleko od oiglednog. Drugi je problem u tome to izvjesni skupovi posjeduju toliko nepravilnu strukturu elemenata da se ne moe uoiti da oni zadovoljavaju ikakvu jednostavnu zakonitost, tako da zadavanje specifikacijom nije praktino, ili nije uope ni mogue. Stoga se definira pojam skupa sa sluajnim elementima kao skupa za koji, neformalno reeno, ne postoji krai nain da opiemo njegove elemente nego da ih prosto pobrojimo (ova neformalna definicija moe se izrei na matematski precizan nain jezikom teorije informacija, ali sloenost takve definicije izlazi izvan okvira ovih materijala). Ako je sluajan skup jo pri tome i beskonaan, u velikim smo problemima, s obzirom da se beskonani skupovi ne mogu zadati pobrojavanjem (naalost, postoje beskonani skupovi sa sluajnim elementima).

Skupove moemo zadati i preko nekog efektivnog postupka (algoritma) kojim se generiraju njegovi elementi, jedan po jedan (sam pojam algoritma je isto teko precizno definirati, o emu emo detaljnije govoriti kada budemo prouavali teoriju izraunljivosti), ili pomou nekog efektivnog postupka kojim se za unaprijed izabran element utvruje da li pripada skupu ili ne. Za skupove za koje postoji efektivni postupak kojim se generiraju njegovi elementi kaemo da su rekurzivno nabrojivi (engl. recursively enumerable) dok za skupove za koje postoji efektivni postupak za utvrivanje pripadnosti kaemo da je rekurzivan (engl. recursive). Svi rekurzivni skupovi su i rekurzivno nabrojivi, ali obrnuto ne vrijedi, to emo kasnije i pokazati. Jasno je da su svi konani skupovi rekurzivni, jer ukoliko je elemenata konano mnogo, sve njegove elemente moemo prosto ugraditi u algoritam za testiranje da li neki element pripada skupu ili ne. to se beskonanih skupova tie, postoje beskonani skupovi koji su rekurzivno


3

nabrojivi, ali nisu rekurzivni, a postoje beskonani skupovi koji nisu ak ni rekurzivno nabrojivi. Zaudo, takve skupove ne treba traiti iskljuivo meu egzotinim skupovima postoje ak i (beskonani) podskupovi skupa prirodnih brojeva koji nisu rekurzivno nabrojivi. Ovi pojmovi su od velike vanosti u teoriji izraunljivosti, o emu emo govoriti kasnije.

Vano je naglasiti da elementi skupova mogu i sami biti skupovi. Bez takve pretpostavke se teorija skupova uope ne bi mogla razviti u upotrebljivu teoriju. Na primjer, skup *a, {a, b}, {{a}, {a, b}}} je skup sa tri elementa: prvi element je a, drugi element je skup {a, b+, odnosno skup iji su elementi a i b, dok je trei element **a}, {a, b++, odnosno skup iji su elementi skup iji je element a i skup iji su elementi a i b. Oni elementi skupova koji nisu i sami skupovi nazivaju se urelementi ili atomi. Napomenimo da postoje i tzv. iste teorije skupove po kojoj su svi objekti koji postoje skupovi, tako da je svaki element nekog skupa uvijek ponovo skup. Takva teorija je posebno popularna meu matematiarima. Razlog za to je to su takve teorije jednostavnije za formalizaciju od teorija koje poznaju i urelemente. Pored toga, nedostatak urelemenata nije za potrebe matematike veliko ogranienje, jer za mnoge matematike objekte koji prirodno nisu skupovi (kao to su npr. brojevi), postoje naini da se oni modeliraju tako da budu skupovi (npr. pokazaemo kasnije kako se prirodni brojevi mogu modelirati kao skupovi).

Kao to je potrebno praviti razliku izmeu nekog elementa a i skupa {a+ iji je element a, tako je vano uoiti razliku i izmeu skupova poput *a} i {{a}}. Naime, {a+ je skup iji je element a, dok je {{a}} skup iji je element *a+, odnosno skup iji je element drugi skup iji je element a. Isto tako, skupovi {1, 2, 3} i {{1}, {2}, {3}} predstavljaju dva sutinski razliita skupa: elementi prvog su brojevi 1, 2 i 3, dok su elementi drugog skupovi {1}, {2} i {3}. Nije rijetkost da pojedinci teko uoavaju razliku izmeu ovih pojmova. Meutim, svi oni kojima predstavlja problem praviti strogu razliku izmeu ovih pojmova, imae problema ne samo sa teorijom skupova, ve i openito sa razumijevanjem struktura podataka u raunarskim naukama (recimo, u teoriji relacionih baza podataka).

Za dva skupa A i B kaemo da su jednaki ili ekvivalentni i piemo A = B ako i samo ako sadre iste elemente, odnosno ukoliko je svaki element jednog od njih ujedno i element onog drugog. Odavde neposredno slijedi da poredak elemenata u skupu uope nije bitan, tako da su, na primjer, skupovi A = {3, 4, 1, 2} i B = {4, 3, 2, 1+ jednaki, s obzirom da sadre iste elemente (1, 2, 3 i 4), odnosno svaki element skupa A je ujedno i element skupa B i obratno. Dalje, slijedi da se sva viestruka pojavljivanja istog elementa u skupu mogu eliminirati, tako da su i skupovi A = {1, 2} i B = {1, 1, 1, 2, 2} jednaki, s obzirom da oba takoer sadre jednake elemente (1 i 2), odnosno i ovdje vrijedi da je svaki element skupa A ujedno i element skupa B i obratno. Kombinirajui ove zakljuke, zakljuujemo da su i skupovi A = {3, 1, 3, 7, 2} i B = {1, 7, 2, 3+ takoer jednaki. U nastavku emo pretpostaviti da u skupu ne postoje viestruka pojavljivanja istog elementa, s obzirom da se oni uvijek mogu eliminirati, a da skup ostane isti. Takoer emo pretpostaviti da kad god elemente nekih skupova obiljeavamo nekim openitim oznakama (poput a, b, c itd.), tada sve te oznake predstavljaju meusobno razliite objekte. U suprotnom bismo lako mogli upasti u probleme. Na primjer, ukoliko je a = b, tada su skupovi A = {a} i B = {b} jednaki, iako ih mi intuitivno doivljavamo kao razliite. Takoer, uz istu pretpostavku, skup A = {a, b, c} ima dva elementa (s obzirom da su a i b isti element), iako ga mi doivljavamo kao trolani skup. to je jo gore, uz takvu pretpostavku, skupovi A = {a, b, c} i B = {a, c+ su takoer jednaki. Da bismo izbjegli ove probleme, draemo se konvencije da dvije razliite ope oznake elemenata predstavljaju dva razliita elementa. Naravno, ova konvencija vrijedi samo u kontekstu obiljeavanja elemenata skupa (u drugim kontekstima, ne smijemo se nikada osloniti na pretpostavku da dva razliiva slova, recimo a i b, moraju oznaavati dvije razliite vrijednosti ili dva razliita objekta)

Strukture sline skupu, u kojima se doputa viestruko ponavljanje istog elementa (bez njegove eliminacije), nazivaju se multiskupovi. Multiskup u kojem se element a1 ponavlja n1 puta, element a2 ponavlja n2 puta itd. obino se obiljeava kao *n1 a1, n2 a2, ...+. Mada se uz pomo ureenih parova, koje emo uskoro upoznati, svaki multiskup moe modelirati kao obian skup ureenih parova oblika {(a1, n1), (a2, n2), ...+, pri emu prva komponenta ureenog para predstavlja sam element multiskupa, a druga komponenta broj njegovih pojavljivanja, u nekim primjenama je korisno multiskupove posmatrati kao openitije pojmove od samih skupova, koji uopavaju pojam skupa. Na primjer, vidjeemo kasnije da se neke operacije sa skupovima poput unije, presjeka itd. mogu prirodno uopiti na multiskupove na nain koji nije ekvivalentan sa onim to bismo dobili kada bismo te operacije prosto primijenili na skupove iji su elementi ureeni parovi.

Ako su svi elementi skupa A ujedno i elementi skupa B tada kaemo da je A podskup skupa B i

piemo A B. Skupovi A i B su jednaki ako i samo ako vrijedi A B i B A, to moemo iskazati u obliku


4

(A = B) (A B) (B A). Ukoliko vrijedi A B i A B, kaemo da je A pravi podskup od B, i piemo A B. Ako je A podskup od B, kaemo i da je B nadskup od A i moemo pisati B A. Analogno se definira i pravi nadskup u oznaci B A. Primijetimo da uvijek vrijedi A A, ali nikad ne vrijedi A A. Takoer, primijetimo da se moe desiti da za dva razliita skupa A i B ne vrijedi niti A B niti B A (odnosno A B).

Mada naivna teorija skupova nikada nije bila zamiljena kao formalna (aksiomatski zasnovana) teorija, moe se uoiti da se ona u osnovi oslanja na sljedee tri elementarne pretpostavke (aksioma), koje emo navesti iskazane u neformalnom obliku:

Aksiom obuhvatnosti (obimnosti): Dva skupa su jednaka ako i samo ako sadre iste elemente, odnosno ako je svaki element jednog ujedno i element drugog;

Aksiom specifikacije (apstrakcije): Za ma kakvo svojstvo (predikat) P(x), postoji skup {x | P(x)} iji su elementi oni i samo oni elementi x za koje je predikat P(x) taan (tj. koji zadovoljavaju to svojstvo);

Aksiom izbora: Za svaku kolekciju C nepraznih podskupova nekog skupa S mogue je formirati novi skup od po jednog elementa iz svakog elementa kolekcije C.

Bez obzira na prividnu oiglednost navedenih aksioma, posljednja dva aksioma su veoma sporna. Naime, kao to emo pokazati na kraju ovog poglavlja, preslobodna primjena aksioma specifikacije moe dovesti do paradoksa (tj. do zakljuaka koji protivrjee sami sebi), dok preslobodna primjena aksioma izbora omoguava kreiranje skupova sa bizarnim (mada ne i paradoksalnim) svojstvima.

Prazan skup je skup koji ne sadri niti jedan element. Oznaava se sa { } ili simbolom . Egzistencija takvog skupa slijedi iz aksioma specifikacije. Zaista, moemo definirati = {x | x x}, Prazan skup je podskup svakog skupa, odnosno za ma kakav skup A uvijek vrijedi A. Za mnoge skupove zadane specifikacijom pokazuje se da su prazni, poput skupa {x | x2 + 1 = 0+. Problem utvrivanja da li je neki skup zadan specifikacijom prazan ili ne spada u najtee matematike probleme, jer ne postoji generalni metod utvrivanja postoji li ikakva vrijednost x za koju je neki predikat P(x) taan ili ne. Mnogi od poznatih tekih matematikih problema mogu se formulirati kao pitanje da li je neki skup zadan specifikacijom prazan ili ne. Na primjer, uvena velika Fermatova teorema, koja tvrdi da ne postoje prirodni brojevi x, y, z i n > 2 takvi da vrijedi xn + yn = zn i koja je bila nedokazana vie od 200 godina, zapravo tvrdi da je skup {(x, y, z, n) | (x ) (y ) (z ) (n ) (xn + yn = zn) (n > 2)} prazan. Ovaj primjer pokazuje kakve se sve tekoe mogu javiti prilikom zadavanja skupova pomou specifikacije.

Broj (razliitih) elemenata nekog konanog skupa A nazivamo njegov kardinalni broj i oznaavamo ga sa #A, a susreu se jo i oznake card A, (A), | A | kao i A (posljednja oznaka je historijski najstarija, jer potie jo od Cantora, ali se u moderno vrijeme sve manje koristi). Kardinalne brojeve definiramo i za beskonane skupove, pri emu razliiti beskonani skupovi takoer mogu imati razliite kardinalne brojeve. S obzirom da je pitanje definiranja kardinalnih brojeva u opem sluaju prilino teko pitanje, ostaviemo ga za kasnije, kad definiramo jo neke neophodne pojmove.

Skup svih podskupova nekog skupa A (ukljuujui i prazan skup, koji je podskup svakog skupa) nazivamo partitivni skup skupa A, i obiljeavamo ga sa (A). Drugim rijeima, (A) = {x | x A}. Na primjer, ukoliko je A = {a, b, c}, tada je (A) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c++. Za konane skupove uvijek vrijedi #(A) = 2#A. Stoga se partitivni skup skupa A ponekad obiljeava i sa 2A.

Vennovi i Eulerovi dijagrami

Za grafiku ilustraciju neke kolekcije skupova i odnosa meu njima mogu lijepo posluiti sheme nazvane Vennovi dijagrami i Eulerovi dijagrami. Vennov dijagram za jedan skup predstavlja zatvorenu liniju u ravni, za iju se unutranjost pretpostavlja da pripada tom skupu. Vennov dijagram za n skupova A1, A2, ..., An predstavlja kolekciju zatvorenih linija koje dijele ravan na 2n dijelova, tako da za svaku kombinaciju ovih skupova postoji dio ravni koji pripada izabranoj kombinaciji skupova, a ne pripada preostalim skupovima. Na sljedeoj slici prikazan je Vennov dijagram za tri skupa A, B i C:

A B

C


5

Vennovi dijagrami pretpostavljaju najopenitiji mogui odnos izmeu skupova, bez podrazumijevanja ikakvih posebnih odnosa izmeu njih, poput mogunosti da jedan skup bude podskup drugog, mogunost da skupovi nemaju zajednikih elemenata, itd. Srodna vrsta dijagrama, ali koja doputa i mogunost ilustracije posebnih odnosa izmeu skupova, npr. injenice da je jedan skup podskup drugog skupa, ili da dva skupa nemaju zajednikih elemenata, nazivaju se Eulerovi dijagrami (neki autori ne prave razliku izmeu Vennovih i Eulerovih dijagrama). Na primjer, sljedea slika prikazuje tri razliita Eulerova dijagrama za skupove A i B. U prvom sluaju, skupovi A i B nemaju zajednikih elemenata, u drugom sluaju ih imaju, ali niti jedan od skupova A i B nije sadran u drugom, dok u treem sluaju imamo A B.

Obino se smatra da su Vennovi dijagrami u algebri skupova analogon tablica istine za iskaznu

algebru. Meutim, istina je da su oni blii Veitchovim dijagramima odnosno Karnaughovim mapama, s obzirom da se svakom sektoru u ravni na koje Vennov dijagram dijeli ravan moe jednoznano pridruiti jedna minterma (npr. sektoru koji pripada skupovima A i C a ne pripada skupu B pridruuje se minterma ABC) takva da se dvije minterme mogu saimati ako i samo ako pripadaju susjednim sektorima (zapravo, Veitch je do svojih dijagrama doao kombinirajui Quine-McCluskyjev algoritam sa idejom Vennovih dijagrama). Meutim, nevolja je u tome to je veoma teko nacrtati (prave) Vennove dijagrame za vie od tri skupa. Na primjer, dijagram sa lijeve strane slike koja slijedi nije Vennov dijagram, jer dijeli ravan na svega 14 dijelova, tako da dvije zone nedostaju (zona koja pripada skupovima A i D, a ne pripada skupovima B i C, kao i zona koja pripada skupovima B i C, a ne pripada skupovima A i D). Jedna varijanta pravog Vennovog dijagrama za 4 skupa prikazana je na slici koja slijedi sa desne strane. Interesantno je da je Vennov dijagram za 4 skupa nemogue kreirati koristei samo krunice, ve su neophodne elipse (i to nakoene).

Jo je lake formirati Vennov dijagram za 4 skupa pomou 4 pravougaonika (probate konstruisati

sami ovakav dijagram). Mada se moe pokazati da je mogue formirati Vennove dijagrame za proizvoljan broj skupova, Vennov dijagram za 5 skupova u toj mjeri je nepregledan da ve gubi svaki smisao, dok se Vennovi dijagrami za jo vei broj skupova mogu nacrtati samo koristei vrlo nepravilne linije. U praksi se Vennovi dijagrami obino koriste samo za sluaj 2 ili 3 skupa.

Operacije sa skupovima

Postoje brojne operacije sa skupovima, pomou kojih se od postojeih skupova prave novi skupovi.

U najvanije takve operacije spadaju unija, presjek i razlika (diferencija) skupova. Unija skupova A i B, u oznaci A B, predstavlja skup koji sadri sve elemente iz skupa A i elemente iz skupa B (i nikoje druge elemente). Presjek skupova A i B, oznaci A B, predstavlja skup koji sadri samo elemente koji su zajedniki za skup A i skup B. Razlika skupova A i B, u oznaci A \ B, predstavlja skup koji sadri samo elemente skupa A koji nisu ujedno i elementi skupa B. Simboliki zapisano, imamo:

A B = {x | x A x B} A B = {x | x A x B} A \ B = {x | x A x B}

Sljedea slika ilustrira ove operacije pomou Vennovih dijagrama.

A B A B A B

A

B C

D

A B

C D

A B

A B

A B

A B

A B

A \ B


6

Za skupove koji nemaju zajednikih elemenata kaemo da su disjunktni. Za disjunktne skupove vrijedi A B = i A \ B = A.

Lako je uvidjeti da za kardinalne brojeve unije i razlike konanih skupova A i B vrijede formule #(A B) = #A + #B #(A B) i #(A \ B) = #A #(A B). Ukoliko su A i B disjunktni, tada je oigledno #(A B) = 0, tako da za taj vaan specijalni sluaj vrijedi #(A B) = #A + #B. Ukoliko je B A, tada oigledno vrijedi A B = B, tako da tada imamo #(A \ B) = #A #B.

Operacije unije i presjeka su, u izvjesnom smislu, analogne operacijama disjunkcije i konjunkcije iz logike iskaza, odakle se ve moe naslutiti izvjesna povezanost sa logilom iskaza. Zaista, ukoliko su skupovi A i B zadani pomou specifikacije kao A = {x | PA(x)} i B = {x | PB(x)}, tada vrijedi:

A B = {x | PA(x) PB(x)} A B = {x | PA(x) PB(x)} A \ B = {x | PA(x) P ( ) }

Ukoliko uoimo da vrijedi X Y = X Y , uviamo da je razlika skupova analogna negaciji implikacije. Primijetimo da je unija analogna disjunkciji (a ne konjunkciji), bez obzira to se u govornom jeziku unija esto iskazuje uz pomo veznika i (a ne ili). Upravo je ovo razlog to mnogi pogreno koriste veznik i na mjestu gdje bi se zapravo trebao koristiti veznik ili, o emu smo ranije ve govorili.

Operacije unije, presjeka i razlike se na prirodan nain mogu uopiti na multiskupove. Neka se neki element a pojavljuje n puta u multiskupu A, a m puta u multiskupu B (razmatranje koje slijedi ukljuuje i sluajeve kada se element a ne javlja u nekom od multiskupova A ili B dovoljno je uzeti da je n = 0 odnosno m = 0). Tada se element a u uniji A B javlja n + m puta, u presjeku A B element a se javlja min {m, n+ puta (pri emu min {m, n+ oznaava manji od brojeva m i n), dok se u razlici A \ B element a javlja n m puta ukoliko je n > m, a nijednom ukoliko je n m. Ponegdje se ovako definirana unija naziva sumom multiskupova (u oznaci A + B ili A B), dok se unija definira tako da se element a u uniji javlja max {m, n} puta. Mada su sve ovdje uvedene definicije posve u skladu sa intuicijom, treba napomenuti da one ne zadovoljavaju neke od osobina koje zadovoljavaju unija, presjek i razlika obinih skupova o kojima emo govoriti kasnije.

Korisno je definirati unarnu operaciju sa skupovima koja bi bila analogna operaciji negacije iz logike iskaza. Takva operacija naziva se komplement skupa i obiljeava se sa (A), A ili A. Komplement skupa A trebao bi da sadri one i samo one elemente koji se ne sadre u skupu A, odnosno trebalo bi da vrijedi (A) = {x | x A}. Ovako definirani komplement ponekad se naziva i apsolutni komplement. Meutim, ovakva definicija je preslobodna, jer bi apsolutni komplement ma kakvog skupa morao da sadri zaista svata, s obzirom da je pojam sve to se ne nalazi u skupu A strahovito opiran (tako bi, na primjer, apsolutni komplement praznog skupa morao biti skup svega). Kako upravo takvi preobimni skupovi uzrokuju paradokse teorije skupova, na ta emo ukazati kasnije, definicija komplementa se mora modificirati, odnosno apsolutni komplement se ne koristi u teoriji skupova.

Situacija postaje znatno laka ukoliko podrazumijevamo da su svi skupovi sa kojima baratamo u nekoj konkretnoj primjeni podskupovi nekog obuhvatnijeg skupa koji nazivamo univerzalni skup, koji obino obiljeavamo sa (na primjer, pri prouavanju geometrijskih figura u ravni kao skupova taaka u ravni, zgodno je za univerzalni skup uzeti skup svih taaka u ravni). Komplement skupa A u odnosu na univerzalni skup (pri emu se podrazumijeva da je A ), u oznaci (A), definira se prosto kao (A) = \ A, odnosno kao (A) = {x | x A x +, to se po konvenciji moe skraeno zapisati kao (A) = {x | x A+. Sljedea slika ilustrira komplement skupa pomou Vennovog dijagrama (pri emu se univerzalni skup na Vennovim dijagramima tipino predstavlja kao pravougaonik):

Ovako definirani komplement naziva se jo i relativni komplement (za razliku od maloas definiranog problematinog apsolutnog komplementa). Ukoliko je iz konteksta jasno ta je univerzalni skup, ili ukoliko je jasno da on u konkretnim razmatranjima postoji (ak i ako nije eksplicitno specificiran), njegovu oznaku moemo izostaviti i za komplement skupa A pisati samo (A), A ili A. Treba uoiti da se razlika skupova moe izraziti preko komplementa (kao elementarnije operacije) pomou formule A \ B = A (B).

(A)

A


7

Jo jedna interesantna operacija za rad sa skupovima je i simetrina razlika (diferencija), koja se jo naziva i diskrepancija ili razilaenje. Simetrina razlika skupova A i B, u oznaci A B, je skup elemenata koji se nalaze bilo u skupu A, bilo u skupu B, ali ne i u oba skupa, stoga je ona analogna operaciji ekskluzivne disjunkcije u iskaznoj algebri. Simboliki zapisano, za simetrinu razliku imamo A B = {x | x A x B+. Sljedea slika ilustrira ovu operaciju pomou Vennovog dijagrama:

Simetrina razlika se moe na vie naina izraziti preko osnovnih operacija sa skupovima, na primjer pomou formule A B = (A \ B) (B \ A), ili pomou formule A B = (A B) \ (A B). Specijalno, ukoliko je A B = , tada vrijedi A B = A B.

Zakoni algebre skupova

S obzirom na upadljive slinosti izmeu naina kako su definirane operacije sa skupovima i

operacije logike iskaza, nije iznenaujue da se oni podvrgavaju praktino istim zakonima. Zaista, sve zakone skupovne algebre moemo dobiti iz algebre iskaza prostom zamjenom operacija konjunkcije, disjunkcije i negacije sa presjekom, unijom i komplementom, kao i zamjenom logikih vrijednosti i sa univerzalnim skupom , odnosno praznim skupom :

Komutativnost: A B = B A, A B = B A Asocijativnost: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Distributivnost: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Komplementarnost: A (A) = A (A) = Neutralni element: A = A A = A Apsorbirajui element: A = A = Idempotentnost: A A ... A = A A A ... A = A Apsorpcija: A (A B) = A A (A B) = A De Morganova pravila: (A B) = (A) (B) (A B) = (A) (B) Dvojni komplement: ((A)) = A

Svi zakoni algebre skupova mogu se dokazati pozivanjem na odgovarajue zakone iskazne algebre. Na primjer, za osobinu distributivnosti moemo pisati:

A (B C) = {x | x A x B C} = { x | x A (x B x C)} =

= { x | (x A x B) (x A x C)} = { x | (x A B) (x A C)} = (A B) (A C)

Alternativno, i ovdje je mogue izvjestan skup pravila uzeti za aksiome, a ostala pravila izvoditi iz njih. Na primjer, pravilo apsorpcije moemo dokazati pozivajui se na pravilo o neutralnom elementu, pravilo distributivnosti, pravilo komutativnosti i pravilo o apsorbirajuem elementu:

A (A B) = (A ) (A B) = A ( B) = A (B ) = A = A

Inae, slino kao u iskaznoj algebri, za aksiome algebre skupova posve je dovoljno uzeti samo pravila o komutativnosti, asocijativnosti, distributivnosti, komplementarnosti i neutralnom elementu, dok su sva druga pravila izvodljiva iz njih. injenica da se zakoni algebre skupova dobijaju iz iskazne algebre prostom supstitucijom (, , , , ) (, , , , ) zapravo je posljedica injenice da se i iskazna algebra i algebra skupova mogu, uz prikladno preimenovanje simbolike, smatrati kao specijalni sluajevi jedne openitije algebre nazvane Booleova algebra, o emu emo kasnije detaljno govoriti. Posljedica toga je da praktino svi identiteti algebre iskaza imaju, uz prikladnu promjenu simbolike, svoje pandane u algebri skupova. Tako je npr. mogue napisati analogone pravila poput pravila apsorpcije ili saimanja za algebru skupova. Takoer, metodi poput Quine-McCluskyjevog algoritma ili Veitchovih dijagrama, sasvim se lijepo mogu primjenjivati za pojednostavljenje izraza algebre skupova.

Identiteti algebre skupova esto se ilustriraju, ali ne dokazuju uz pomo Vennovih dijagrama, mada se moe pokazati da su dokazi uz pomo Vennovih dijagrama sasvim valjani, pod uvjetom da se zaista koriste pravi Vennovi, a ne Eulerovi dijagrami (bez obzira to je interpretacija smisla Vennovih

A B

A B


8

dijagrama prilino problematina za veoma obimne skupove, konkretnije za one skupove koji su bogatiji od skupa taaka u ravni). Eulerovi dijagrami se mogu koristiti jedino ukoliko se kao sastavni dio pretpostavke koju treba dokazati nalaze neke apriorne pretpostavke o meusobnom odnosu skupova koji uestvuju u pravilu koje treba dokazati. Ipak, dokaze pomou Vennovih dijagrama treba izbjegavati, s jedne strane zbog nepreglednosti Vennovih dijagrama za sluaj etiri ili vie skupova, a s druge strane zbog toga to se na taj nain pravi bijeg od sutinske prirode skupovne algebre u isto geometrijsku interpretaciju. Donekle se smatra da su dokazi uz pomo Vennovih dijagrama pandan dokazima uz pomo tablica istine u iskaznoj algebri, mada su Vennovi dijagrami ipak neto moniji od tablica istine. Recimo, mogue je kreirati metod za minimizaciju izraza skupovne algebre zasnovan na Vennovim dijagramima, koji posjeduje prilinu slinost sa tehnikama zasnovanim na Veitchovim dijagramima, ali koji se ipak rijetko koristi, jer su Veitchovi dijagrami za tu svrhu mnogo pregledniji.

Ureene n-torke i Decartesov produkt skupova

Neformalno reeno, ureena n-torka ili lista elemenata a1, a2, ..., an, u oznaci (a1, a2, ..., an), razlikuje se od obinog skupa *a1, a2, ..., an+ po tome to je kod ureene n-torke poredak elemenata bitan, tako da je npr. (1, 2, 3) (1, 3, 2) i to ponavljanje identinih elemenata na razliitim pozicijama daje razliitu n-torku, tako da je npr. (1, 2, 3) (1, 2, 1, 3). Elementi a1, a2, ..., an nazivaju se respektivno prva, druga, ..., n-ta koordinata ureene n-torke (a1, a2, ..., an). Ureenu n-torku za n = 2 nazivamo ureeni par. Dvije ureene n-torke sa istim brojem koordinata su jednake ako i samo ako su im odgovarajue koordinate jednake. Na primjer, (a1, a2) = (b1, b2) ako i samo ako je a1 = b1 i a2 = b2.

Prema prethodnoj neformalnoj definiciji, izgleda da su ureene n-torke drugaiji objekti od samih skupova, tj. da one nisu skupovi. Mada je teoriju skupova mogue zasnovati i na takvoj pretpostavci, sama teorija skupova postaje mnogo jednostavnija ukoliko se ureene n-torke definiraju na neki formalni nain, ali tako da i one budu skupovi (teorija je jednostavnija to je manje osnovnih pojmova koji se ne mogu definirati preko drugih pojmova). Naravno, formalna definicija ureene n-torke mora biti takva da se sve to se moe intuitivno zakljuiti o ureenim n-torkama na osnovu neformalnog opisa moe strogo dokazati iz tako formirane formalne definicije koristei zakone teorije skupova, pa ak i ukoliko sama formalna definicija nije intuitivno jasna. Ovo je u skladu sa principom J. Rileya, koji je tvrdio Vidim li pticu koja hoda poput patke, pliva poput patke i kvae poput patke, ja u tu pticu zvati patkom, bila ona zaista patka ili ne (drugim rijeima, bitnije je da li se neki objekat ponaa u skladu sa oekivanjima nego da li je on zaista ono to se oekuje da jeste). Postoji vie takvih definicija, a sve se zasnivaju na tome da se pored informacije o tome koji elementi ine ureenu n-torku (koje se uvaju u skupu) pohrane i neke dodatne informacije o njihovom poretku (npr. koji je element prvi element, itd.) i da se tako skupljene informacije ponovo objedine u skup. Najvie koritena takva definicija je definicija koju je predloio Kuratowski . Po ovoj definiciji, prvo se definira ureeni par (a1, a2) pomou definicije

(a1, a2) = {{a1}, {a1, a2}}

a zatim se ureene trojke, etvorke, itd. definiraju pomou rekurzivnog pravila

(a1, a2, ..., an) = ((a1, a2, ..., an1), an)

Na primjer,

(a1, a2, a3) = ((a1, a2), a3) = {{{{a1}, { a1, a2}}}, {{{a1}, { a1, a2}}, a3}}

(a1, a2, a3, a4) = ((a1, a2, a3), a4) = {{{{{{a1}, {a1, a2}}}, {{{ a1}, {a1, a2}}, a3}}},

{{{{{a1}, {a1, a2}}}, {{{a1}, {a1, a2}}, a3}}, a4}}

itd. Na taj nain, ureene n-torke se ne moraju posmatrati kao neki posebni novi objekti razliiti od skupova, nego samo kao specijalni sluajevi skupova (tj. kao skupovi posebne strukture). Interesantno je primijetiti da je rekurzivna definicija (a1, a2, ..., an) = ((a1, a2, ..., an1), an) posluila kao inspiracija za nain kako se liste implementiraju na raunaru. Zapravo, raunarske implementacije se, iz praktinih razloga, obino zasnivaju na neznatno drugaijoj definiciji (a1, a2, ..., an) = (a1, (a2, ..., an)). Recimo, u teoriji algoritama se prvi element liste naziva glava (engl. head) liste, dok se lista koju ine svi elementi osim prvog naziv rep (engl. tail) liste. Tako je za listu (a, b, c, d) njena glava element a, a njen rep lista (b, c, d). S druge strane, sama lista se definira (rekurzivno) kao ureeni par, ija je prva koordinata glava, a druga koordinata rep liste. U skladu sa tom definicijom, lista (a, b, c, d) nije nita drugo nego


9

ureeni par ija je prva koordinata a, a druga lista (b, c, d), odnosno (a, b, c, d) = (a, (b, c, d)), to je tano u skladu sa prethodnom definicijom.

Treba primijetiti da ureene trojke, etvorke, itd. ne moemo definirati definicijama poput (a1, a2, a3) = {{a1}, {a1, a2}, {a1, a2, a3}}, itd. na koje bi nas mogla navesti analogija sa definicijom ureenog para po Kuratowskom. Naime, nije teko vidjeti da bi, prema takvoj definiciji, ureene n-torke poput (a, a), (a, a, a), (a, a, a, a) itd. bile meusobno jednake, a ne treba da budu.

Interesantno je da definicija ureene n-torke po Kuratowskom ne trai ak ni da se prethodno uvede pojam broja, to zahtijevaju mnoge druge definicije. Jedini nedostatak definicije po Kuratowskom je injenica da su, prema ovoj definiciji, sve ureene n-torke uvijek dvolani skupovi (a ne n-lani, kako bi intuitivno trebalo biti). Meutim, ovaj nedostatak je teko ukloniti a da se pri tome definicija bitno ne zakomplicira. Kako ovaj nedostatak u primjenama obino ne pravi smetnje, definicija po Kuratowskom se ipak najee koristi. Pored toga, radi saglasnosti sa rekurzivnim pravilom koje definira ureene n-torke u sluaju n = 2, zgodno je uvesti i da postoje ureene jednorke za koje vrijedi (a) = a. Zaista, tada je ((a1), a2) = (a1, a2).

Na prvi pogled izgleda da bi se ureeni parovi mogli neznatno jednostavnije definirati kao (a1, a2) = {a1, {a1, a2}} umjesto kao (a1, a2) = {{a1}, {a1, a2}}. Mada se moe pokazati da je upotrebljiva i ovakva pojednostavljena definicija, sa njom je znatno tee raditi. Na primjer, na osnovu takve definicije nije posve lako ak ni dokazati da iz (a1, a2) = (b1, b2) slijedi a1 = b1 i a2 = b2, dok se taj dokaz sasvim lako izvodi iz definicije po Kuratowskom. Nezgoda definicije (a1, a2) = {a1, {a1, a2++ je u tome to ona definira ureeni par preko skupa iji su elementi raznovrsni po prirodi. Recimo, ako ni a1 ni a2 nisu skupovi (nego urelementi), tada je jedan element skupa {a1, {a1, a2++ skup, a drugi nije, to komplicira rad, jer se elementi ovog skupa moraju tretirati na razliite naine.

Ve smo rekli da se multiskupovi mogu modelirati pomou obinih skupova tako to element a koji se ponavlja n puta modeliramo kao ureeni par (a, n). Meutim, na ovom mjestu moemo istai koji je nedostatak ove definicije. Neka se element a u multiskupu A ponavlja n puta, a u multiskupu B m puta. Uz ovakvo modeliranje multiskupova, unija A B e, na primjer, sadravati dva odvojena ureena para (a, n) i (a, m) umjesto jednog ureenog para (a, n + m) koji govori da se element a u multiskupu A B ponavlja n + m puta. Upravo ovo je razlog zbog kojeg se multiskupovi u nekim primjenama ne modeliraju kao skupovi, nego kao posebni objekti.

Pojam ureene n-torke omoguava da se uvede i pojam Descartesovog (odnosno Kartezijevog od Descartesovog latiniziranog prezimena koje glasi Cartesius) proizvoda (produkta) koji je od velikog znaaja u teoriji skupova. Descartesov produkt skupova A i B, u oznaci A B, predstavlja skup svih ureenih parova ije su prve koordinate elementi iz skupa A, a druge koordinate elementi iz skupa B, odnosno, simboliki napisano,

A B = {(x, y)| x A y B}

Na primjer, ukoliko je A = {a, b} i B = {a, c, d}, tada je

A B = {(a, a), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d)}

Zbog injenice da je u opem sluaju (x, y) (y, x) (osim kad je x = y), u opem sluaju takoer vrijedi i A B B A, odnosno Descartesov prozivod nije komutativan. Analogno definiramo Descartesov produkt vie skupova kao

A1 A2 ... An = {(a1, a2, ..., an)| xi Ai, i = 1 .. n}

Skupove A1, A2, ..., An nazivamo prva, druga, ..., n-ta projekcija skupa A1 A2 ... An. Iz definicije ureene n-torke (ukoliko prihvatimo rekurzivnu definiciju po Kuratowskom) direktno slijedi da je A1 A2 A3 = (A1 A2) A3. Meutim, zbog injenice da na osnovu definicije ureenog para uvijek vrijedi da je ((x, y), z) (x, (y, z)), slijedi da je (A1 A2) A3 A1 (A2 A3) za ma kakve skupove A1, A2 i A3, odnosno Descartesov proizvod nije ak ni asocijativan. Lako je provjeriti da za sluaj konanih skupova vrijedi #(A B) = #A #B, ili, openitije, #(A1 A2 ... An) = #A1 #A2 ... #An.

Na osnovu definicije Descartesovog proizvoda, definira se i Descartesov (ili Kartezijev) stepen skupa. Descartesov n-ti stepen skupa A, u oznaci An, definira se kao An = A A ... A pri emu se skup A


10

sa desne strane javlja n puta, odnosno pomou rekurzivnog pravila An = An1 A, pri emu je A1 = A. Nekada je korisno usvojiti da postoji i jedna jedinstvena ureena nulorka, koja se oznaava sa ( ) ili (razliita od praznog skupa ), pa se ponekad definira da je A0 = {} za proizvoljan skup A. Meutim, tada nee vrijediti da je A1 = A0 A, osim ukoliko prihvatimo da je (, a) = (a) za proizvoljan element a, to ne slijedi iz definicije ureenog para po Kuratowskom i definicije po kojoj je (a) = a. Mogue je formirati i teoriju u kojoj bi vrijedilo (, a) = (a), ali takva teorija zahtijevala bi sloenije definicije ureenog para od definicije po Kuratowskom i drugaiju definiciju ureene jednorke.

Skup svih ureenih n-torki za n = 0, 1, 2, 3 itd. koje se mogu obrazovati od elemenata skupa A naziva se iterirani skup skupa A i obiljeava sa A*. Na primjer, ukoliko je A = {0, 1}, tada je

A* = {, 0, 1, (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), ...}

Iz same definicije je jasno da vrijedi

A* = A0 A1 A2 A3 ...

Elemente iteriranog skupa A* nazivamo stringovima nad elementima alfabeta iz skupa A, a sama unarna operacija * kojom se iz nekog skupa pravi njegov iterirani skup naziva se Kleeneova zvijezda (engl. Kleene star). Ovi pojmovi igraju veliku ulogu u teoriji formalnih jezika i gramatika.

esto se, radi lakeg pisanja, ureena n-torka (a1, a2, ..., an) skraeno pie kao a1 a2 ... an kad god ne postoji opasnost da se ova notacija pogreno protumai kao produkt elemenata a1, a2, ..., an. Uz ovakvu notaciju, iterirani skup za skup A = {0, 1+ moemo pisati kao

A* = {, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, ...}

Elementi skupa A* iz posljednjeg primjera esto se nazivaju binarni stringovi ili stringovi bita.

Binarne relacije

Neformalno, relacije opisuju odnose izmeu elemenata jednog ili vie skupova. Formalno, n-arna relacija izmeu skupova A1, A2, ..., An jeste ma kakav podskup njihovog Descartesovog proizvoda, odnosno A1 A2 ... An. Kaemo jo i da je relacija na A1 A2 ... An. odnosno relacija izmeu skupova A1, A2, ... i An. Ako su svi skupovi Ai, i = 1 .. n jednaki skupu A, tj. ako je An, tada se naziva n-arna relacija u skupu A.

U praksi su naroito znaajne binarne relacije, odnosno relacije izmeu dva skupa. a posebno binarne relacije u nekom skupu (tj. relacije A2). Stoga emo prvo razmotriti upravo binarne relacije i njihova svojstva. Ukoliko je relacija definirana kao podskup od A B, za skup A se kae da je izvorni skup, a za B da je odredini skup te relacije. Umjesto (a, b) tipino se pie a b, i kaemo da su elementi a i b u relaciji (ili povezani relacijom ).

Relacije esto imaju neko intuitivno tumaenje (npr. a b moe znaiti recimo a je otac od b u nekom skupu ljudi), ali to nije nuno, jer relacije mogu biti zadane isto popisom elemenata koji su u toj relaciji, bez obzira to se ne vidi nikakav intuitivni smisao te relacije. Kao primjer, uzmimo da je A = {1, 3, 4, 9+. Dvije mogue binarne relacije u ovom skupu (od ukupno 216 = 65536 moguih relacija, jer toliko ima razliitih podskupova skupa A2) su relacije 1 = {(1, 3), (1, 4), (1, 9), (3, 4), (3, 9), (4, 9)} i 2 = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 9), (3, 3), (3, 9), (4, 4), (9, 9)}. Tako je, na primjer, 3 1 4 i 3 2 9. Zapravo, u relacijama 1 i 2 nije teko prepoznati odnose biti manji od i biti djelilac od. Tako, x 1 y neformalno znai x je manji od y, odnosno x < y, dok x 2 y neformalno znai x je djelilac od y, odnosno x | y. Stoga se 1 i 2 mogu shvatiti kao formalan opis ta zapravo simboli


11

ukoliko su elementi sa indeksima i i j u relaciji , a 0 ukoliko nisu. Radi lakeg snalaenja, elementi skupa A se obino upisuju ispred redova i kolona matrice, da se lake uoi na koje elemente skupa A se odnose odgovarajui elementi relacione matrice. Sljedea slika prikazuje primjer streliastog dijagrama i relacione matrice za relaciju 2 iz prethodnog primjera.

M 1 3 4 9 1 1 1 1 1 3 0 1 0 1 4 0 0 1 0 9 0 0 0 1 Inae, streliasti dijagrami spadaju u porodicu objekata koji se nazivaju grafovi i koji predstavljaju vaan predmet prouavanja diskretne matematike (postoji itava matematska teorija, nazvana teorija grafova, posveena samo njima).

Streliasti dijagrami su definirani samo za relacije zadane u nekom skupu (tj. kod kojih su izvorni i odredini skup isti). S druge strane, relacione matrice mogu se definirati za proizvoljne binarne relacije. U tom sluaju, elementima izvornog skupa odgovaraju redovi, a elementima odredinog skupa kolone relacione matrice. Znaenje elemenata takve matrice ostaje isto kao u ve opisanom sluaju.

Kako su relacije specijalne vrste skupova, sa relacijama se mogu vriti sve operacije koje su definirane za ma kakve skupove (unija, presjek, itd.). Meutim, postoje neke operacije koje su specifino definirane samo za binarne relacije, a ne i za obine skupove. Jedna od takvih operacija je proizvod (produkt) ili kompozicija relacija. Proizvod odnosno kompozicija relacija 1 A B i 2 B C, u oznaci 1 2 (ili ponekad samo 1 2), je relacija 1 2 A C takva da su a i c u relaciji 1 2 ako i samo ako postoji element b B (posrednik) takav da je a 1 b i b 2 c. Odnosno, simboliki zapisano,

1 2 = {(a, c) | postoji b B takav da vrijedi a 1 b b 2 c}

Demonstrirajmo ovu operaciju na jednom ilustrativnom primjeru. Neka su date relacije 1 i 2 u skupu svih ljudi, koje modeliraju respektivno odnose biti dijete od i biti roditelj od. Preciznije, neka je a 1 b ako i samo ako je osoba a dijete osobe b, a a 2 b ako i samo ako je osoba a roditelj osobe b. Razmotrimo ta je relacija 1 2. Neke osobe a i c su u relaciji 1 2 ako i samo ako postoji osoba b takva da je osoba a dijete osobe b, pri emu je osoba b roditelj osobe c. Ako malo raspletemo ove odnose, vidimo da je ovo mogue ako i samo ako je osoba c brat ili sestra osobe a, ili ako su a i c ista osoba (na ovu posljednju mogunost mnogi zaborave). Drugim rijeima, relacija 1 2 u ovom primjeru modelira odnos biti brat ili sestra od (uz dopunski zahtjev da je svaka osoba takoer u relaciji 1 2 sa samim sobom).

Za sluaj kada su relacije 1 i 2 zadane pobrojavanjem, za nalaenje relacije 1 2 mogu biti od koristi razne grafike sheme. Recimo, neka su dati skupovi A = {a, b, c, d, e}, B = {1, 2, 3} i C = {p, q, r, s}, kao i dvije binarne relacije 1 A B i 2 B C, formalno date kao 1 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 3), (d, 1), (d, 3), (e, 1), (e, 2)} i 2 = {(1, p), (1, r), (2, r), (3, p), (3, q), (3, s)}. Za nalaenje relacije 1 2 moemo se posluiti sljedeom shemom:

A:

B:

C:

Smisao ovog dijagrama je jasan: elementi skupova predstavljeni su kruiima, dok linije povezuju elemente skupova koji su meusobno u relaciji, pri emu je smjer odnosa uvijek odozgo na dolje (npr. d je u relaciji sa 1, a ne 1 sa d). Sada, dva elementa iz skupova A i C respektivno su u relaciji 1 2 ako i samo ako je od prvog od njih mogue doi do drugog kreui se nanie du linija (preko nekog posrednika iz skupa B). Tako, sa prethodnog dijagrama, oitavamo da je

1 2 = {(a, p), (a, r), (b, r), (c, p), (c, q), (c, s), (d, p), (d, q), (d, r), (d, s), (e, p), (e, r)}

1 3

4 9

p

a b c d e

1 2 3

q r s


12

Slian grafiki pristup moe se koristiti i ukoliko je neka ili obje od relacija 1 i/ili 2 relacija u nekom skupu (tj. ako je podskup od A2 gdje je A neki skup). U tom sluaju su izvorni i odredini skup te relacije isti skupovi, tako da se na oba sprata prikazanog grafikona (koji odgovaraju izvornom i odredinom skupu relacije) upisuju isti elementi (tj. elementi iz istog skupa).

Po analogiji se definiraju i stepeni relacija kao 2 = , 3 = i, openito, n = n1 uz 1 = . Na primjer, za relaciju 1 iz jednog od ranijih primjera koja modelira odnos biti manji od na skupu A = {1, 3, 4, 9} vrijedi 12 = {(1, 4), (1, 9), (3, 9)}. S obzirom na interpretaciju relacije 1 kao formalni zapis relacije


13

primjer, neka je = {(a, a), (a, d), (b, d), (c, c), (c, e), (d, b), (d, e), (e, b)} neka relacija definirana u skupu A = {a, b, c, d, e}. Za ovu relaciju imamo:

M =

(

1 0 0 1 00 0 0 1 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 0 0 0)

M =

(

1 1 0 1 10 1 0 0 10 1 1 0 10 1 0 1 00 0 0 1 0)

M =

(

1 1 0 1 10 1 0 1 00 1 1 1 10 1 0 1 10 1 0 0 1)

Odavde neposredno slijedi:

2 = {(a, a), (a, b), (a, d), (a, e), (b, b), (b, e), (c, b), (c, c), (c, e), (d, b), (d, d), (e, d)}

3 = {(a, a), (a, b), (a, d), (a, e), (b, b), (b, d), (c, b), (c, c), (c, d), (c, e), (d, b), (d, d), (d, e), (e, b), (e, e)}

Stepeni relacija imaju veliku primjenu u teoriji grafova. Naime, moe se pokazati da vrijedi a n b ako i samo ako u streliastom dijagramu koji odgovara relaciji postoji put koji spaja vorove koji odgovaraju elementima a i b, a koji prolazi kroz tano n strelica.

Za binarnu relaciju u skupu A kaemo da je:

Refleksivna, ako vrijedi x A (x, x) ; Antirefleksivna, ako vrijedi x A (x, x) ; Simetrina, ako vrijedi (x, y) (y, x) ; Antisimetrina, ako vrijedi (x, y) (y, x) x = y; Strogo antisimetrina, ako vrijedi (x, y) (y, x) ; Tranzitivna, ako vrijedi (x, y) ( y, z) (x, z) ; Linearna, ako vrijedi x A y A (x, y) ( y, x) x = y; Funkcijska, ako vrijedi (x, y) (x, z) y = z ;

Ova svojstva mogu se iskazati intuitivno. Relacija u nekom skupu A je refleksivna ako i samo ako je svaki element skupa A u relaciji sam sa sobom, a antirefleksivna ako i samo ako niti jedan element skupa A nije u relaciji sam sa sobom. Relacija je simetrina ako i samo ako kad god je neki element u relaciji s nekim drugim elementom, tad je i taj drugi element u relaciji sa onim prvim elementom. to se tie antisimetrije, ona se esto pogreno tumai. Relacija je antisimetrina ako i samo ako kad god je neki element u relaciji s nekim drugim elementom, tad taj drugi element nije u relaciji sa onim prvim elementom, osim eventualno ukoliko se radi o dva ista elementa (dakle, doputa se mogunost da neki elementi budu u relaciji sami sa sobom). Ukoliko pored toga insistiramo da kad god je neki element u relaciji s nekim drugim elementom, tad taj drugi element nije u relaciji sa onim prvim elementom, ak i ako se radi o istim elementima (to faktiki znai da dodatno zabranjujemo da element bude u relaciji sa samim sobom), tada govorimo o strogo antisimetrinoj relaciji (jasno je da je svaka strogo antisimetrina relacija ujedno i antisimetrina i antirefleksivna). Tranzitivnost znai da kad god je jedan element u relaciji s drugim, a drugi u relaciji sa treim, tada i prvi element mora biti u relaciji sa treim (ukljuujui i situacije u kojima su neki od ta tri elementa koji se spominju jedan te isti element). Relacija je linearna ako i samo ako za ma koji par elemenata iz skupa A uvijek vrijedi da je barem jedan od njih u relaciji sa onim drugim, osim eventualno ukoliko se radi o dva ista elementa. Drugim rijeima, za svaka dva razliita elementa iz skupa A, ili je prvi u relaciji sa drugim, ili je drugi u relaciji sa prvim, a moe vrijediti i oboje. Konano, relacija je funkcijska ako i samo ako je svaki element iz skupa A u relaciji sa najvie jednim elementom iz skupa A. Treba istai da je, za potrebe razumijevanja formalnih definicija, vrlo korisno analizirati kako ova izloena intuitivna objanjenja slijede iz gore navedenih formalnih definicija (za tu svrhu, treba dobro razumjeti ispravno tumaenje operacije implikacije).

Ovdje treba obratiti panju na jednu bitnu stvar. U svim gore definicijama koje imaju formu implikacije, misli se na to da kad god je hipoteza tana, zakljuak mora biti taan. Dakle, za testiranje recimo simetrije, nije dovoljno pronai neka dva para (x, y) i ( y, x) takva da je (x, y) i (y, x) , nego treba pokazati da kad god za neki par (x, y) vrijedi (x, y) , tada vrijedi i da (y, x) . Slino vrijedi i za sve ostale osobine. Ovo je analogno tome to kada tvrdimo recimo da za sabiranje vrijedi x + y = y + x, to ne znai da za neke vrijednosti x i y vrijedi navedena jednakost, nego ta jednakost vrijedi za ma kakve vrijednosti x i y. Inae, konvencija prema kojoj se izjava za koju se tvrdi da je istinita a u kojoj se javljaju promjenljive smatra da je istinita za sve mogue vrijednosti koje te promjenljive mogu uzeti u konkretnom kontekstu, naziva se implicitna univerzalna instantacija, o emu emo detaljnije govoriti kada budemo


14

prouavali predikatsku logiku (koja, izmeu ostalog, precizira tretman promjenljivih unutar iskaza). Tako, tvrdnja da vrijedi (x, y) (y, x) zapravo implicitno predstavlja ono to se u predikatskoj logici precizno zapisuje kao (x A)(y A) (x, y) (y, x) , o emu e biti govora kasnije. S druge strane, da bismo pokazali da relacija ne posjeduje neko od gore navedenih svojstava, dovoljno je pronai makar jedan primjer koji zadovoljava hipotezu a ne zadovoljava zakljuak. Recimo, da bismo pokazali da relacija nije simetrina, dovoljno je pronai makar jedan par (x, y) koji nema svoj simetrini par (y, x) takav da vrijedi (y, x) .

Treba primijetiti da ako relacija nije refleksivna, to ne mora znaiti da je antirefleksivna (odnosno antirefleksivna ne znai nije refleksivna), nego je mogue da ne bude niti refleksivna niti antirefleksivna (to e biti ukoliko neki elementi skupa A jesu, a neki nisu u relaciji sami sa sobom). Treba primijetiti da ako relacija nije refleksivna, to ne mora znaiti da je antirefleksivna (relacija nee biti niti simetrina niti antisimetrina ukoliko neki parovi (x, y) imaju svoj simetrini par (x, y) , a neki nemaju). Na primjer, relacija = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)} zadana na skupu A = {1, 2, 3} nije niti refleksivna, niti antirefleksivna, niti simetrina, niti antisimetrina. Refleksivna nije zbog odsustva parova (2, 2) i (3, 3), a antirefleksivna nije zbog prisustva para (1, 1). Simetrina nije jer par (3, 1) nema svoj simetrini par (1, 3) kao element relacije, a antisimetrina nije zbog prisustva parova (1, 2) i (2, 1). Zaista, antisimetrija doputa da parovi (x, y) i ( y, x) budu istovremeno u relaciji jedino ako je x = y, to ovdje oito nije sluaj, jer je 1 2. Mogue su i jo neke interesantne kombinacije. Tako je recimo mogue da neka relacija bude istovremeno i simetrina i antisimetrina (primjer takve relacije je identika relacija), pa ak i da bude istovremeno i simetrina i strogo antisimetrina (probajte sami nai primjer takve relacije). Ipak, nemogue je da relacija bude istovremeno i refleksivna i antirefleksivna, osim kad je skup A prazan. Zaista, ukoliko A nije prazan, makar e za neko x hipoteza A biti tana, a zakljuci (x, x) i (x, x) ne mogu istovremeno biti tani. S druge strane, ukoliko je A prazan skup, hipoteza x A ne moe nikada biti tana, pa su i uvjet za refleksivnost i uvjet za refleksivnost bezsadrajno tani.

Uvjeti pod kojima neka binarna relacija posjeduje neka od svojstava o kojima smo govorili mogu se iskazati i kompaktnije. Zaista, nije teko pokazati da je binarna relacija refleksivna ako i samo ako vrijedi , antirefleksivna ako i samo ako vrijedi = , simetrina ako i samo ako vrijedi 1 = , antisimetrina ako i samo ako vrijedi 1 , strogo antisimetrina ako i samo ako vrijedi 1 = , tranzitivna ukoliko vrijedi 2 i linearna ukoliko vrijedi 1 = A2 (ukoliko je pored toga relacija jo i refleksivna, tada vrijedi i 1 = ).

Formalne definicije svojstava kao to su refleksivnost, tranzitivnost, itd. naroito su bitne u nekim rubnim sluajevima u kojima intuitivno shvatanje ta ta svojstva znae zakazuje. Recimo, kako je relacija u skupu A ma kakav podskup od A2, jasno je da je i prazan skup takoer jedna relacija u A (to je tzv. prazna relacija u kojoj nita nije u relaciji ni sa im). Postavimo sada pitanje da li je prazna relacija recimo tranzitivna. Intuicija teko moe pomoi da se da odgovor na ovo pitanje. Meutim, pogledamo li formalnu definiciju traznitivnosti, primijetiemo da za praznu relaciju hipoteza (x, y) ( y, z) nikada ne moe biti ispunjena, tako da je uvjet tranzitivnosti bezsadrajno taan. Slijedi da prazna relacija jeste tranzitivna.

Kod relacija u konanim skupovima, opisana svojstva poput simetrije itd. mogu se lako oitati iz pridruenog streliastog dijagrama ili relacione matrice. Streliasti dijagram refleksivne relacije ima nad svakim vorom petlju (tj. strelicu koja se vraa u isti vor iz kojeg polazi), dok streliasti dijagram antirefleksivne relacije uope nema petlji. Relaciona matrica refleksivne relacije ima sve jedinice na glavnoj dijagonali, dok relaciona matrica antirefleksivne relacije ima na glavnoj dijagonali sve nule. Kod simetrine relacije, streliasti dijagram uvijek ima dvosmjerne veze (tj. ukoliko postoji veza izmeu vora i i j, tada mora postoji i veza izmeu vora j i i), dok streliasti dijagram antisimetrine relacije ne posjeduje niti jednu dvosmjernu vezu. Pored toga, streliasti dijagram strogo antisimetrine relacije ne sadri niti petlje. Relaciona matrica simetrine relacije je takoer simetrina, dok je relaciona matrica strogo antisimetrine relacije antisimetrina. Kod tranzitivne relacije, streliasti dijagram posjeduje osobinu da ako postoji veza izmeu vora i i vora j, kao i veza izmeu vora j i vora k, tada mora postojati i veza izmeu vora i i vora k. tavie, kod tranzitivne relacije ukoliko izmeu bilo koja dva vora i i j postoji ma kakav put (odnosno slijed strelica od kojih se poetak svake nastavlja na kraj prethodne), tada mora postojati i direktna grana (strelica) koja povezuje i i j. Kod linearne relacije, u streliastom dijagramu izmeu svaka dva vora postoji veza, bilo u jednom, bilo u drugom smjeru, dok kod funkcijske relacije iz svakog vora moe izlaziti najvie jedna strelica prema nekom drugom voru, dok njena relaciona matrica u svakom redu smije sadravati najvie jednu jedinicu.


15

Jo dvije vane unarne operacije sa relacijama su tranzitivno zatvorenje relacije , u oznaci +, odnosno tranzitivno-refleksivno zatvorenje relacije , u oznaci *. Relacije + i * predstavljaju najmanje mogue nadskupove relacije koji predstavljaju neku tranzitivnu odnosno tranzitivnu i refleksivnu relaciju. Ovi pojmovi su od velikog znaaja u praksi, a posebno u teoriji grafova. Naime, moe se pokazati da vrijedi a * b ako i samo ako je iz vora koji odgovara elementu a mogue stii u vor koji odgovara elementu b pratei strelice. Nije teko dokazati da vrijedi

+ = 2 3 ...

* = 2 3 ...

Isto tako, moe se dokazati da kod konanih relacija nad skupom sa n elemenata stepeni k za k > n ne unose nikakve nove elemente koji ve nisu uneseni stepenima k za k n, tako da se ovaj lanac unija kod konanih relacija uvijek svodi na konano mnogo unija (zakljuno sa n). Za relacione matrice M+ i M* koje odgovaraju tranzitivnom odnosno tranzitivno-refleksivnom zatvorenju relacije ija je relaciona matrica M imamo

M+ = M M M ... M

M* = I M M M ... M

Ovdje je I jedinina matrica formata n n, dok predstavlja tzv. disjunkciju relacionih matrica, koja ima vrijednost 1 na onim mjestima gdje makar jedna od relacionih matrica koje uestvuju u disjunkciji ima vrijednost 1, a na ostalim mjestima ima vrijednost 0 (slino se definira i konjunkcija relacionih matrica). Na primjer, za relaciju iz prethodnog primjera imamo

M* = I M M M M M =

(

1 1 0 1 10 1 0 1 10 1 1 1 10 1 0 1 10 1 0 1 1)

odakle slijedi da je

* = {(a, a), (a, b), (a, d), (a, e), (b, b), (b, d), (b, e), (c, b), (c, c), (c, d), (c, e),

(d, b), (d, d), (d, e), (e, b), (e, d), (e, e)}

U ovom primjeru, ve stepeni M i M ne unose nove jedinice u matricu M* koje ve nisu unijeli nii stepeni.

Za raunanje tranzitivno-refleksivnog zatvorenja, odnosno matrice M* postoje i mnogo bri postupci od gore navedenog postupka, po kojem se u najgorem sluaju za raunanje matrice M* mora izvriti oko n4 operacija. Jedan od najpoznatijih i najee koritenih postupaka za raunanje matrice M* je tzv. Warshallov algoritam, koji za istu svrhu u najgorem sluaju trai oko n3 operacija. Prema ovom algoritmu, matrica M* se prvo inicijalizira na vrijednost M I, a zatim se tako inicijalizirana vrijednost postupno popravlja u n iteracija. Pri tome, nakon k-te iteracije, element m*i,j u i-tom redu i j-toj koloni matrice M* sadri 1 ako i samo ako se iz i-tog vora moe stii u j-ti vor prolazei samo kroz vorove iji su redni brojevi manji ili jednaki od k. Stoga je jasno da e na kraju postupka matrica M* biti korektna. Slijedi taan prikaz Warshallovog algoritma, dat u formi koja je slina sintaksi koju koriste klasini proceduralni jezici, a koji je direktno zasnovan na gore opisanoj ideji:

M* M I for k = 1 .. n do

for i = 1 .. n do if m*i,k = 1 then for j = 1..n do if m*k,j = 1 then m*i,j 1

Prikazana implementacija Warshallovog algoritma zapravo je zasnovana na sljedeoj razradi izloene ideje: ako postoji nain da doemo iz vora i u vor k prolazei samo kroz vorove iji su redni brojevi manji od k i nain da doemo iz vora k u vor j, to znai da postoji nain da doemo iz vora i u vor j prolazei samo kroz vorove iji su redni brojevi manji ili jednaki od k.


16

Kao primjer, naimo ponovo tranzitivno-refleksivno zatvorenje relacije R iz prethodnog primjera pomou Warshallovog algoritma. Dolje je prikazano kako izgleda matrica M* na poetku i nakon svake od iteracija algoritma. Vidimo da se na kraju algoritma dobija korektan sadraj matrice M*:

Inicijalizacija: Iteracija 1: Iteracija 2:

(

1 0 0 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 1 0 1 10 1 0 0 1)

(

1 0 0 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 1 0 1 10 1 0 0 1)

(

1 0 0 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 1 0 1 10 1 0 1 1)

Iteracija 3: Iteracija 4: Iteracija 5:

(

1 0 0 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 1 0 1 10 1 0 1 1)

(

1 1 0 1 10 1 0 1 10 0 1 0 10 1 0 1 10 1 0 1 1)

(

1 1 0 1 10 1 0 1 10 1 1 1 10 1 0 1 10 1 0 1 1)

Jo jedan esto koriten nain za raunanje matrice M* je upotreba formule

M* = (I M)

Ukoliko se u ovoj formuli n-ti Booleov stepen rauna po definiciji, upotreba ove formule je sporija od Warshallovog algoritma. Meutim, ukoliko se n-ti Booleov stepen matrice rauna pomou nekog od specijalnih poznatih efikasnih algoritama razvijenih za tu svrhu (u iji opis neemo ulaziti), matrica M* se na ovaj nain moe izraunati efikasnije nego primjenom Warshallovog algoritma.

Relacije ekvivalencije

Za neku binarnu relaciju u skupu A koja ispunjava uvjete da je istovremeno refleksivna, simetrina i tranzitivna kaemo da je relacija ekvivalencije. Relacija ekivalencije u nekom skupu moe se smatrati uopenjem odnosa jednakosti, pri emu se zanemaruju nebitna svojstva samih elemenata skupa A, nego se ekvivalentnim smatraju oni elementi skupa A koji se ne razlikuju meusobno u odnosu na neko svojstvo bitno za razmatranje. Ukoliko su elementi a i b u relaciji ekvivalencije, umjesto a b konkretnije piemo a ~ b. Kada je iz konteksta jasno na koju se relaciju ekvivalencije misli, obino kaemo da su a i b ekvivalentni, i piemo samo a ~ b.

Postoji jako mnogo relacija ekvivalencije koje se koriste u praksi. Na primjer, relacija paralelnosti u skupu svih pravaca u ravni (odnos biti paralelan) i relacija slinosti u skupu svih likova u ravni (odnos biti slian) predstavljaju dva primjera relacija ekvivalencije u svijetu geometrije. U logici iskaza, relacija po kojoj su A i B u relaciji ukoliko je A B tautologija takoer je relacija ekvivalencije. Odnos jednakosti skupova predstavlja relaciju ekvivalencije u nekom skupu skupova (ne smijemo rei u skupu svih skupova, s obzirom da manipuliranje sa objektima poput skupa svih skupova vodi ka paradoksima; takoer ne smijemo koristiti niti skup svih iskaza za potrebe iskazne logike paradoksi mogu nastati ako uoimo da takav skup mora sadravati i iskaze koji govore o njemu samom). U skupu svih ureenih parova (p, q) 2 relacija koja tvrdi da su parovi (p1, q1) i (p2, q2) ekvivalentni ako i samo ako vrijedi p1 q2 = p2 q1 takoer je relacija ekvivalencije. To je upravo relacija koja formalno definira jednakost racionalnih brojeva, odnosno daje uvjete pod kojima je p1/ q1 = p2 / q2. U skupu ljudi, relacije poput biti istog pola ili biti iste visine takoer su relacije ekvivalencije, dok je relacija studirati na istom fakultetu relacija ekvivalencije u skupu svih studenata.

Veoma vana relacija ekvivalencije u skupu cijelih brojeva je relacija kongruencije po modulu m, po kojoj su cijeli brojevi p i q u relaciji ako i samo ako je razlika p q djeljiva sa m (ovdje je m neki unaprijed fiksirani cijeli broj). Za relaciju kongruencije uvodimo i posebnu oznaku p q (mod m) i kaemo da su p i q kongruentni po modulu m. Ova relacija inae ini temelj elementarne teorije brojeva, koja se tipino izuava u zasebnim kursevima, ili u kursevima diskretne matematike. Primjer pomalo neobine relacije ekvivalencije u skupu je Vitalijeva relacija , po kojoj je x ~ y ako i samo ako je razlika x y racionalan broj. Ova relacija moe posluiti za konstrukciju skupova sa izvjesnim bizarnim svojstvima. Lako je provjeriti da su sve navedene relacije relacije ekvivalencije.


17

Za svaku relaciju ekvivalencije u skupu A i svaki element a A definiramo klasu ekvivalencije za element a, u oznaci [a], kao skup svih elemenata koji su u relaciji sa elementom a, odnosno

[a] def

{b | b A a ~ b}

Drugim rijeima, klasa ekvivalencije objedinjuje sve elemente skupa A koji se meusobno ne razlikuju u odnosu na neko bitno svojstvo, koje opisuje relacija ekvivalencije. Na primjer, u skupu svih pravaca u ravni, skup svih pravaca koji su paralelni sa nekim zadanim pravcem ine klasu ekvivalencije za taj pravac u odnosu na relaciju biti paralelan sa. U skupu ljudi, skup svih mukaraca odnosno skup svih ena predstavljaju klase ekvivalencije u odnosu na relaciju biti istog pola, dok su skupovi svih studenata koji studiraju na jednom fakultetu klase ekvivalencije u odnosu na relaciju studirati na istom fakultetu.

Skup svih klasa ekvivalencije za sve elemente iz skupa A u odnosu na relaciju ekvivalencije , u oznaci A / ~ , nazivamo faktor-skup (kolinik-skup, kvocijentni skup) skupa A u odnosu na relaciju ekvivalencije :

A / ~ def

{[a] | a A}

Na primjer, faktor-skup skupa svih pravaca u ravni u odnosu na relaciju biti paralelan sa predstavlja skup iji su elementi skupovi svih pravaca koji su meusobno paralelni. Faktor-skup skupa svih ljudi u odnosu na relaciju biti istog pola je dvolani skup koji se sastoji od skupa svih mukaraca i skupa svih ena, dok je skup skupova svih studenata jednog fakulteta faktor-skup skupa svih studenata u odnosu na relaciju studirati na istom fakultetu.

Klase ekvivalencije posjeduju nekoliko interesantnih svojstava. Prvo, one nikada nisu prazne, odnosno za svaki element a imamo [a] , s obzirom da je svaki element ekvivalentan barem sa samim sobom. Dalje, na osnovu definicije klase ekvivalencije kao i osobina simetrinosti i refleksivnosti lako je pokazati da su klase ekvivalencije za dva razliita elementa ili identine, to vrijedi za sluaj kada su ta dva elementa u relaciji, ili disjunktne, u ostalim sluajevima. Dakle, vrijedi a ~ b [a] = [b] i (a ~ b) [a] [b] = . Konano, unija klasa ekvivalencije za sve elemente skupa A oigledno ini upravo skup A.

Za neki skup skupova Z iji su elementi podskupovi skupa A (tj. koji je podskup partitivnog skupa (A) skupa A) kaemo da je particija (podjela) skupa A ako unija svih elemenata iz Z tvori skup A, ako su svaka dva razliita elementa iz Z meusobno disjunktna i ako Z ne sadri prazan skup kao svoj element. Na primjer, skup {{3, 4, 6}, {2, 5}, {1, 8, 9, 10}, *7++ predstavlja jednu moguu particiju skupa {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Sami elementi particije Z nazivaju se blokovi te particije.

Iz prethodno izloenih injenica i definicije particije, neposredno slijedi da faktorski skup A / ~ uvijek predstavlja jednu particiju skupa A. Obrnuto, nije teko pokazati da svaka particija Z nekog skupa A definira jednu relaciju ekvivalencije ~Z pri emu vrijedi a ~Z b ako i samo ako a i b pripadaju istom elementu particije Z.

Primjer: Pronai sve relacije ekvivalencije koje se mogu napraviti u skupu A {a, b, c}.

Ovaj problem se lako rjeava ako uoimo da svaka mogua relacija ekvivalencije u ovom skupu odgovara jednoj moguoj particiji skupa A. Meutim, lako je formirati sve mogue particije skupa A, i to su redom Z1 = {{a}, {b}, {c}}, Z2 = {{a, b}, {c}}, Z3 = {{a, c}, {b}}, Z4 = {{b, c}, {a}} i Z5 = {{a, b, c}}. Svakoj od ovih particija Zi, i = 1 .. 5 odgovara po jedna relacija ekvivalencije i, i = 1 .. 5, i to su sve mogue relacije ekvivalencije u ovom skupu:

1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}

2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)}

3 = {(a, a), (a, c), (b, b), (c, a), (c, c)}

4 = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, b), (c, c)}

5 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}

Oigledno je 1 identika relacija, dok je 5 trivijalna relacija (svaki element je u relaciji sa svakim), jednaka itavmo skupu A2.

predavanje 5 mlti

Documents