SISTEMET E PËRGJITHSHME

TË FORCAVE DHE QIFTËVE

TË FORCAVE

FORCA SHKAKTON

LËVIZJEN E TRUPIT

MOMENTI I FORCËS PËR PIKËN

Lëvizja e trupit shkakton momentin e forcës

OM (F) F h.= ± ⋅r

Normalja h e tërhequr nga pika O normal në vijëdrejtimin e forcës quhet krahu i forcës.

Momenti i forcës për pikën është madhësia me të cilën forca

shkakton rrotullimin e trupit rreth pikës apo aksit.

Momenti i forcës për pikën është i barabartë me prodhimin e forcës dhe krahut.

Si caktohët Momenti i forcës për pikën?

Momenti i forcës varët nga intensiteti

i forcës dhe gjatësia e krahut të forcës.

Drejtimi momentit i forcës varët nga pozita e forcës.

Drejtimi mundë të caktohet me rregullën e gishtit

të madh të dorës së djathtë.

Momenti ka shënjën plus nese shkakton rrotullimin e trupit në kahje

të kundërt akrepave të orës, ndërsa shënjën minus e merr nese trupin

trupin e rrotullon në drejtim të akrepave të orës.

Momenti i forcës nuk ndërron nese forca levizë përgjatë vijëdrejtimit të sajë.

Momenti i forcës për pikën është i barabartë me zerro vetëm nese forca

është e barabartë me zerro, ose nese vijëdrejtimi i sajë kalon nëpër pikë,

gjegjësishtë nese krahu i forcës është i barabartë me zerro.

Karakteristikat e momentit janë:

Pierre Varignon (1654-1722)

Teorema e Varinjonit (Varignon)

Momenti i rezultantës së forcave

kongurente për çfarëdo pikë është

është i barabartë me shumën

algjebrike të momenteve të

komponenteve përë atë pikë.

O O iM (R) M (F ).= ∑r r

O 1M (F ) 2 sipërfaqja OAB OA A B ,′ ′= + ⋅ ∆ = ⋅r

O 2M (F ) 2 OAC OA A C ,′ ′= − ⋅ ∆ = − ⋅r

OM (R) 2 OAD OA A D .′ ′= + ⋅ ∆ = ⋅r

DBCA ′′=′′

O 1 O 2

O

M (F ) M (F ) OA (A B A C )

OA A D M (R),

′ ′ ′ ′+ = ⋅ −

′ ′= ⋅ =

r r

r

O O 1 O 2M (R) M (F ) M (F ).= +r r r

sipërfaqja

sipërfaqja

O 2 O 1 O 2M (R ) M (F ) M (F ), (a)= +r r r

O 3 O 2 O 3M (R ) M (R ) M (F ), (b)= +r r r

O O 3 O 4M (R) M (R ) M (F ). (c)= +r r r

O O 1 O 2 O 3 O 44

O O ii 1

M (R) M (F ) M (F ) M (F ) M (F )

M (R) M (F ).=

= + + +

= ∑

r r r r r

r r

n

O O ii 1

M (R) M (F ).=

= ∑r r

Teoremen e varinjonit po e ilustrojm duke analizuar

momentin e sistemit prej katër forcash kongurente.

( ),

,

n

ii 1

R F 0=

= =∑r r

n

ii 1

R F 0=

= ≠∑r r

Kur sistemi i forcave vijëveprimet e të cilave pritën në

një pikë është në ekuilibër

momenti i sistemit të forcave është i barabartë me zerro për qfqrëdo pikë.

Kur sistemi i forcave nuk është në ekuilibër

momenti i është i barabartë me zerro për të gjitha

pikat të cilat shtrihën në vijëdrejtimin e rezultantës.

( )O O x O yM (F) M (F ) M F ,= +r r r

O x

O y

M (F ) X y,

M (F ) Y x.

(b), (c) (a)

= − ⋅

= ⋅

→

r

r

OM (F) Y x X y.⇒ = ⋅ − ⋅r

Përcaktimi analitik i momentit të forcës për pikën

OM (F) F h 10 2 20kNm.= − ⋅ = − ⋅ = −r

OM (F) F h 5 0.5 2.5kNm.= − ⋅ = − ⋅ = −r

OM (F) F h 5 0.5 2.5kNm.= ⋅ = ⋅ =r

Shmbuj të momentit të forcës për pikën:

o ooM (R) 50 2 40(4 3cos30 ) 20(3sin 30 ) 333.8 Nm.= − ⋅ − + + = −

r

SISTEMI I FORCAVE PARALELE

DHE QIFTEVE NË RRAFSH

1 2R F F ,= +r r r

1 2R F F .= +

Përbërja e dy forcave paralele me kahje të njëjta

Rezultanta e dy forcave paralele me kahje të njëjta është paralele me

ato forca, intenziteti i sajë është i barabartë me shumën e intenziteteve

të forcave, ndërsa kahja është e njëjtë si kahja e atyre forcave.

1 1 1

1 1

AC A C F , (a)C O FOC

′= =

1 2 2

2 2

BC B C F . (b)C O FOC

′= =

1

1 2 2

2 1 1

2

FACF F FACOC . (c)F F FBC BCFOC

′

= = ⇒ =′

1 2R F F ,= −

1 2

BC AC AB .F F R

= =

Përbërja e dy forcave paralele me kahje të kundërta

Rezultanta e dy forcave paralele me kahje të kundërta është e barabartë

me ndryshimin e intenziteteve të tyre, është paralele me to dhe ka

kahjën e njëjtë me kahjen e forcës me intenzitet më të madh.

Qifti i forcave

Qifti i forcave është një sistem prej dy forcave paralele me intenzitet

të njëjtë, por me kahje të kundërt, të cilat veprojnë në trupin e ngurtë.

Sistemi forcave që formon qift, natyrisht se nuk gjëndët në ekuilibër.

Qifti i forcave nuk ka rezultantë.

Fd= ±M

Momenti i qifti të forcave

MFd

Momenti i qiftit të forcave

Forca e qiftit

Krahu i forcave të qiftit

Momenti i qiftit të forcave është i barabartë me prodhimin

e njërës forcë F me krahun d.

OM (F) F O ,= − ⋅r

a

OM (F ) F Ob.′ ′= ⋅r

Ob Oa d, i F F.′− = =

( )O OM (F) M F F O F Ob F(Ob O ) F d,′ ′+ = − ⋅ + ⋅ = − = ⋅r r

a a

F d,= ⋅M( )O OM (F) M F′= +

r rM

Teorema e mbledhjës së momentëve të qiftit të forcave

Shuma algjebrike e momenteve të sëcilës nga forcat e qiftit,

për qfarëdo pikë, nuk varët nga zgjedhja e asajë pike dhe

është e barabartë me momentin e qiftit të atyre forcave.

5 1 5kNm.= − ⋅ = −M

Shmbull i qiftit të forcave:

Ekuivalentiteti i qifteve të forcave

Ndikimi i qiftit në trup nuk ndryshon neqëftë se e

zavëndësojmë me qift tjetër, i cili shtrihët në rrafshin

e njëjtë dhe ka moment të njëjtë.

B 1 B B 2M (F ) M (F) M (F ),= +r r r

B 1 1 1M (F ) F d ,= ⋅ =r

M1 B 2 2 2 2M (F ) F d ,= ⋅ =r

M BM (F) 0,=r

2=M M1

.1

∑=

=n

iiMM

Përbërja e qifteve të cilët veprojnë në një rrafsh

Sistemi i qifteve të cilët veprojnë në rrafshin e njëjtë,

mundë të zëvëndësohen me një qift, i cili vepron në atë

rrafsh, momenti i të cilit është i barabartë me shumën

algjebrike të komponentëve të qifteve.

1 11 1 1 1

F dF d P d P ,d⋅

= ⋅ = ⋅ ⇒ =1M

2 22 2 2 2 2

F dF d P d P ,d⋅

= ⋅ = ⋅ ⇒ =M

3 33 3 3 3 3

F dF d P d P .d⋅

= ⋅ = ⋅ ⇒ =M

1 2 3R P P P ,′ ′ ′′ = + −

1 2 3R P P P .= + −

3

1 2 3 2 31

R d P d P d P d .=

= ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ = + + = ∑1 ii

M M M M M.

1∑=

=n

iiMM

1 1F d= ⋅1M

2 2 2F d= ⋅M

3 3 3F d= ⋅M

.01

∑=

==n

iiMM

Ekuilibri i qifteve

Që trupi të jetë në ekuilibër nga ndikimi sistemit të qifteve

në rrafsh nevoitët që qifti rzultues të jetë i barabartë me

zerro, kjo do të thotë që shuma algjebrike e momenteve

të qifteve të jetë i barabartë me zerro: