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Sumário

1 INTRODUÇ ÃO 5

1.1 SISTEMAS DINÂMICOS DISCRETOS UNIDIMEN-SIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1 A ITERADA DE UMA FUNÇ ÃO REAL . . . . 61.1.2 CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS . . . . . 91.1.3 MODELAGEM INGÊNUA DO CRESCIMENTO

POPULACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4 O MODELO LOGÍSTICO DE CRESCIMENTO

POPULACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.5 CALCULANDO RAIZ QUADRADA . . . . . . 111.1.6 O MÉTODO DE NEWTON . . . . . . . . . . . . 12

1.2 SISTEMAS DINÂMICOS DISCRETOS NO PLANO . 131.2.1 A ITERADA DE UMA FUNÇ ÃO COMPLEXA

131.2.2 A ROTAÇ ÃO DO CÍRCULO . . . . . . . . . . . 151.2.3 O BILHAR NO CÍRCULO . . . . . . . . . . . . . 161.2.4 O BILHAR NA EĹIPSE . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 SISTEMAS DINÂMICOS CONTÍNUOS . . . . . . . . 201.3.1 O PROBLEMA DE SITNIKOV . . . . . . . . . . 20

1.4 EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 CONTINUIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS 28

2.1 ESPAÇOS MÉTRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 BOLAS E ESFERAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3 CONTINUIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS . . . . 342.4 EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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3 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 44

3.1 ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES . . . . . . . 443.2 EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 ÓRBITAS 524.1 ITERAÇ ÃO DE FUNÇ ÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 ÓRBITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 PONTOS FIXOS OU PERIÓDICOS . . . . . . . . . . . 544.4 EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5 HIPERBOLICIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5.1 PONTOS ATRATORES, REPULSORES OU NEU-TROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6 ÓRBITAS PERIÓDICAS ATRATORAS OU REPUL-SORAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.7 EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 BIFURCAÇ ÕES 745.1 DINÂMICA DA

APLICAÇ ÃO QUADRÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . 745.1.1 A BIFURCAÇ ÃO SELA-NÓ . . . . . . . . . . . . 74

5.2 O DIAGRAMA DE BIFURCAÇ ÃO . . . . . . . . . . . 785.3 A BIFURCAÇ ÃO DUPLICADORA DE PERÍODO . 79

5.4 A DERIVADA DE SCHWARZ . . . . . . . . . . . . . . . 885.4.1 PONTOS CRÍTICOS E BACÍAS DE ATRAÇ ÃO 92

6 A FAMÍLIA QUADRÁTICA 956.1 O CASO C = −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2 O CONJUNTO TERNÁRIO DE CANTOR . . . . . . . 966.3 O CASO C

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8 SISTEMAS DINÂMICOS CAÓTICOS 109

8.1 CARACTERIZAÇ ÃO DE UM SISTEMA CAÓTICO 1098.2 A APLICAÇ ÃO Qc É CAÓTICA EM Λ . . . . . . . . . 1128.3 A APLICAÇ ÃO Q−2 É CAÓTICA EM [−2, 2] . . . . . . 114

9 ALGUMAS PROVAS ANTIGAS 1189.1 SEGUNDA PROVA DE 2009.1 . . . . . . . . . . . . . . 1189.2 PROVA SUBSTITUTIVA DE 2009.1 . . . . . . . . . . 1239.3 SEGUNDA PROVA DE 2009.1 . . . . . . . . . . . . . . 1259.4 PRIMEIRA PROVA DE 2009.1 . . . . . . . . . . . . . . 1279.5 PRIMEIRA PROVA DE 2007.1 . . . . . . . . . . . . . . 1289.6 SEGUNDA PROVA DE 2007.1 . . . . . . . . . . . . . . 1309.7 TERCEIRA PROVA DE 2008.1 . . . . . . . . . . . . . . 131

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ÚLTIMA ATUALIZAÇ ÃO: 5/03/2012

ATÉ PÁGINA 7.

CAOS: UMA INTRODUÇ ÃO VIA

SISTEMAS DINÂMICOS

DISCRETOS

PROFESSOR OFERTANTE : Marcelo Domingos Marchesin

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0.5 0.75

x

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Caṕıtulo 1

INTRODUÇ ÃO

Na tentativa de definir formalmente o que vem a ser um Sistema Dinâmico,eu recorri a vários autores consagrados em textos de vários ńıveis diferentese contudo não encontrei algo que me satisfizesse. Muitos autores utilizamapenas a caracterizações dos sistemas com os quais vão trabalhar, outrostantos nem se importam em tentar definir. Cheguei a conclusão que talvezuma definição formal, nos termos que estamos acostumados na matemática,talvez não fosse mesmo um coisa fundamental. Talvez na tentativa de definirpudéssemos acabar restringindo desnecessariamente o conceito mais geral.Resolvi então tentar apresentar aqui uma ”idéia”do que hoje em dia se en-

tende por sistemas dinâmicos sem defini-lo formalmente. Vejamos: Minhaidéia é entender os termos envolvidos e assim, deixar o leitor a interpretaçãoda expressão toda. A palavra ”sistema ”em matemática tem um significadobastante abrangente mas que em ńıveis mais elementares poderia ser en-tendido como um problema mais geral que é formado por ”sub-problemas”.Na grande maioria dos casos tal ”problema”pode ser modelado através de”um conjunto de equações inter-relacionadas”. Já a palavra ” dinâmico”nosremete à idéia de ”transformação”, ou seja, algo que está se alterando com ”opassar do tempo”. Para podermos entender nossos exemplos seguintes nestecontexto é importante que entendamos ”tempo”em um sentido também dis-

creto, ou seja os diversos instantes em que algo ocorre. Por exemplo, seestamos interessados em estudar eclipses lunares então isto nos leva direta-mente a estudar algumas fases particulares da lua, por exempo a lua cheia.Assim, torna-se de nosso interesse o estudo dos instantes em que a lua seencontra nesta fase e os instantes passados entre uma lua cheia e outra,perdem interesse. Neste contexto é que falamos em variação discreta do

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tempo. Finalmente para entendermos corretamente a noção de ”sistema

dinâmico”precisamos voltar ao sentido de inter-dependência entre os sub-problemas do problema geral. Muitas vezes estaremos estudando o efeitode um dado “evento” sobre o “evento” imediatamente sub-sequente. Talvezum bom exemplo disso seria um estudo de comportamento da bolsa de val-ores onde o comportamento dos investidores hoje diretamente influenciará ocomportamento de amanhã de mesma forma que também sofrem influênciado comportamento de ontem. Ou seja, em um sistema dinâmico nós va-mos estar interessados em fazer previsões sobre eventos que vão ocorrer no”futuro”a partir da informação que temos sobre o sistema no tempo ”pre-sente”ou ”passado”; de forma que os eventos estão relacionados e sofrem

influência de eventos que ocorreram anteriormente.Bem, como foi dito inicialmente muitos autores nem se preocupam emtentar definir o que vem a ser um sistema dinâmico. Espero que os exemplosque vêm a seguir sejam mais esclarecedores.

Em termos bem gerais os sistemas dinâmicos de dividem em dois grandegrupos. O primeiro, que será o assunto prenominante neste curso, é conhecidocomo “Sistemas Dinâmicos Discretos” e pode ser entendido matemáticamentecomo oestudo da iteração de uma determinada função. O segundo é con-hecido como “Sistemas Dinâmicos Cont́ınuos” e trata basicamente do estudoqualitativo das equações diferencias e não será abordado neste curso, contudo,devido à sua enorme importância, um exemplo particular será apresentadona próxima secção.

1.1 SISTEMAS DINÂMICOS DISCRETOS

UNIDIMENSIONAIS

Nesta seção introduzireremos superficialmente alguns exemplos de sistemasdinâmicos discretos.

1.1.1 A ITERADA DE UMA FUNÇ ˜AO REAL

Embora aparentemente desprovido de aplicabilidade que lhe dê uma mo-tivação a esta altura, o exemplo a seguir basicamente guiar á todo o nossoestudo durante este curso. Por isso voltaremos à ele no capı́tulo 4.

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Considere uma função real qualquer f : R

→ R , e representemos sua

n-ésima iterada por f n(x) ou seja: f n(x) = f ◦ f ◦ ... ◦ f (x), n vezes. Nossoobjetivo é estudar o que acontece com um número real x a medida quepermitimos que se considere a n-ésima iterada da função f calculada nestex espećıfico. Em particular, uma primeira pergunta que deveŕıamos nosfazer é: Dada uma função real f , qualquer cujo domı́nio não seja o conjuntodos números reais todos; um número real x qualquer e uma quantidade deiteradas N qualquer, faz sentido falarmos em f N (x) ?. Veremos futuramenteque este é um cuidado importante. Por hora, nos fixemos em um exemplobem simples. Considere a função real de segundo grau dada por: f (x) = x2+conde c é um número real qualquer fixado. Neste caso bastante simples, dado

qualquer número real x e qualquer N sempre vai existir a N-ésima iterada def calculada em x. Em verdade podemos explicitá-la sem grandes problemas.Vejamos um exemplo bem particular. Tomemos c = 1, x = 0 e N = 3, entãoneste caso temos:

f 3(0) = f (f (f (0))) = f (f (02+1)) = f (f (1)) = f (12+1) = f (2) = 22+1 = 5

Dizemos que os pontos 0, f (0) = 1 , f 2(0) = 2 e f 3(0) = 5 são os 4primeiros elementos da órbita (órbita futura; pois caso a função seja inversı́veltambém faz sentido falar nas “iteradas negativas”, ou seja as iteradas da

função inversa que seriam chamadas de “órbitas passadas” ) do ponto x = 0,continuando o processo indefinidamente obtém-se a órbita (órbita futura)completa do ponto x. O estudo dos sistemas dinâmicos está interessado empoder fazer “previsões” sobre a órbita de um determinado ponto quandoa quantidade de iteradas se torna “imensamente grande”, ou seja quantopermitimos que “N vá para o infinito”, deixaremos tal conceito mais precisofuturamente . Embora tal exemplo a esta altura pareça totalmente artificiale abstrato, nada mais acrescentaremos sobre ele por enquanto para que nãose estrague as surpresas que ele nos reserva

A CONSTRUÇ ÃO DA TEIA DE ARANHA

Graficamente há um maneira bastante interessante de visualizarmos o com-portamento da órbita de um ponto pela iterada de uma função real. Supon-hamos que para um valor inicial x0 ∈ Domf , todas as iteradas subsequentesestejam definidas. Ou seja, f n(x0) ∈ Domf para todos os valores de n. A

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visualização da imagem de x0 pela f é facilmente visualizada através de um

segmento de reta vertical, paralelo ao eixo y começando no ponto (x0, 0) eterminando no ponto (x0, f (x0)), ou seja no ponto que pertence ao gráficode f .

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Para obtermos a próxima iterada precisamos calcular o valor de f (f (x0)).Assim se chamarmos de x1 = f (x0), encontraremos o ponto (x1, x1) traçandoa reta horizontal paralela ao eixo x que começa no ponto (x0, f (x0)) e terminano ponto (f (x0), f (x0)), ou seja no ponto pertencente ao gráfico da funçãoidentidade com ordenada x1 = f (x0).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

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Como esse ponto tem abcissa x1 = f (x0), para obtermos x2 = f (x1) =f (f (x0)) basta traçarmos um segmento de reta vertical, paralelo ao eixo ycomeçando no ponto (x1, x1) e terminando no ponto (x1, f (x1)), ou seja noponto que pertence ao gráfico de f de abcissa f (x1).

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Este processo pode ser repetido tantas vezes quanto se queira e a ob-servação do comportamento da sequência de pontos (xn, f (xn)) onde xn =f (xn−1) pode nos dizer muito sobre a dinâmica a ser estudada.

1.1.2 CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS

EXEMPLO 1.1.1 Suponhamos o problema de se calcular os lucros sobre um montante inicial D0 sujeito a rendimento anual segundo uma taxa de juros fixa de q %. Suponhamos que os rendimentos s˜ ao acrescidos ao mon-tante inicial sempre ao final de um ano e de uma ´ unica vez. Para fixarmos a idéia vamos trabalhar, inicialmente, com uma taxa de juros de 10% ao ano.Assim, ao final do primeiro ano se tem:

D1 = D0 + 0, 1D0 = (1, 1D0)

ao final do segundo ano se tem:

D2 = D1 + 0, 1D1 = (1, 1D0) + 0, 1(1, 1D0) = (1, 1)2D0

e assim sucessivamente é f´ acil perceber que ao final do n-ésimo ano o valor do montante inicial acrescido dos juros é de:

Dn = (1, 1)nD0

OBS: 1) ´ E claro que o valor obtido ap´ os n anos depende diretamente do valor inicial. Assim, para explicitarmos tal relaç˜ ao deverı́amos ter escrito Dn(D0)na equaç˜ ao acima.

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2) Também, considerando-se o caso geral de uma taxa de juros de q % teŕıamos Dn(D0) = (1 +

q100

)nD0.

O processo acima pode ser interpretado como um sistema dinˆ amico através da aplicaç˜ ao da funç˜ ao f (x) = 1, 1x repetidas vezes. Isto é: Dn(D0) =f ◦ f ◦ ... ◦ f (D0) , n vezes. Em matem´ aica, isto é o que chamamos de iteraç˜ ao da funç˜ ao n vezes.

1.1.3 MODELAGEM INGÊNUA DO CRESCIMENTOPOPULACIONAL

EXEMPLO 1.1.2 Neste modelo consideramos que o crescimento de uma populaç˜ ao é proporcional unicamente ao seu tamanho. Matematicamente se P n denota a populaç˜ ao na n-ésima geraç˜ ao e r a taxa de crescimento, entãoP n+1 = rP n. Este modelo é totalmente an´ alogo ao anterior e ent˜ ao é f́ acil perceber que o tamanho da populaç˜ ao ap´ os a n-ésima geraç˜ ao ser´ a de P n =rnP 0, onde P 0 é a populaç˜ ao inicial. Temos 3 casos a considerar dependendodo valor de r ser menor, igual ou maior que 1. Se r = 1, a populaç˜ aonunca se altera e fica constante e igual a P

0. Se r 1 a populaç˜ aocresce indefinidamente.

1.1.4 O MODELO LOGÍSTICO DE CRESCIMENTOPOPULACIONAL

EXEMPLO 1.1.3 O terceiro caso do exemplo anterior parece n˜ ao levar em conta alguns problemas facilmente previśıveis de uma populaç˜ ao que cresce além de certos limites. No modelo mais realista, que analisamos agora, lev-amos em conta o tamanho do habitat e a posśıvel escassez de alimento e espaço f́ısico para o crescimento populacional. Assim, supondo que saibamos que exista um limitante superior para o tamanho da populaç˜ ao, digamos P maxe denotando por P n a fraç˜ ao dessa populaç˜ ao m´ axima atingida na n-ésima geraç˜ ao, temos: P n+1 = λP n(1 − P n). A constante λ depende do problema a ser modelado e, para uso futuro, salientamos que ser´ a de muito interesse os

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casos em que 0 < λ

≤ 4. Note que se P n atinge os valores 0 ou 1 ent˜ ao a

populaç˜ ao se extingue como era de se esperar.Assim, para compreendermos completamente o crescimento ou decĺınio da

populaç˜ ao (ou seja, para compreendermos a ”dinˆ amica populacional”) deve-mos iterar a funç˜ ao logı́stica F λ = λx(1 − x). Salientamos que, ao contr´ ariodos exemplos anteriores, tal funç˜ ao é quadr ́atica e esta simples mudança de ”grau”leva à consequências surpreendentes na an´ alise de sua dinˆ amica, comoveremos mais adiante.

1.1.5 CALCULANDO RAIZ QUADRADA

EXEMPLO 1.1.4 Considere o problema de se encontrar um valor aproxi-mado para √ 2 (tal problema é equivalente ao de se encontrar uma raiz para a equaç˜ ao x2 − 2 = 0 e pode também ser analisado neste contexto utilizando-se o Método de Newton. Tal abordagem ser´ a apresentada mais adiante). Ve- jamos como um procedimento de aproximaç˜ oes sucessivas para o valor de

√ 2

pode ser interpretado como um sistema dinˆ amico: Vamos escolher um valor inicial positivo para

√ 2, digamos x0 ̸= 0. Como n˜ ao sabemos se tal valor é

maior ou menor que √

2 temos que fazer nossa an´ alise sempre considerandoas duas possibilidades: i) x0 <

√ 2. Neste caso temos que

√ 2x0 < 2. Ou

seja:

√ 2 < 2x0

ii) x0 >√

2. Neste caso temos que √

2x0 > 2.Ou seja:

√ 2 >

2

x0

Em qualquer dos casos temos que √

2 est´ a entre x0 e 2x0

embora n˜ ao saibamos qual desses n´ umeros é o maior. Assim, vamos melhorar nossa aproximaç˜ ao

inicial tomando a média aritmética entre essses dois valores. Vamos denotar esta nova aproximaç˜ ao por x1, ou seja: x1 = 12

(x0+ 2x0

). Este valor n˜ ao neces-

sariamente est´ a mais pr´ oximo do valor exato de √

2 do que nosso palpite ini-cial x0, (exerćıcio: Faça um desenho esboçando esta possibilidade). Contudo,se chamarmos de I n o intervalo cujos extremos s˜ ao xn e

2xn

, ent˜ ao√

2 ∈ I npara todo n, e ainda o comprimento destes intervalos tende a zero quando n

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tende ao infinito. Assim, procedendo de mesma forma sucessivamente vamos

nos aproximando arbitrariamente do valor exato de √ 2. Observe que 2x1 > x0(Exerćıcio: escrever os detalhes.)

1.1.6 O MÉTODO DE NEWTON

Um problema muito importante em matemática é poder encontrar umaraiz para uma determinada função. Suponha uma função real qualquer F ,então estamos interessados em resolver a equação F (x) = 0. Nem sempreé posśıvel resolver tal problema de forma algébrica. O método numérico

mais utilizado para tentar encontrar uma raiz desta equação é o métodoconhecido como Método de Newton-Raphson, que se baseia no seguinte al-gorı́tmo: escolha um número real qualquer x0. Se F (x0) = 0 seus problemasse acabaram. Caso contrário vamos usar este x0 para tentarmos encontrarum novo valor x1 que esperamos, esteja mais próximo da raiz procurada. Oprocesso para se encontrar x1 é o seguinte: 1) Encontre a reta tangente aográfico de F no ponto (x0, F (x0)). 2) Encontre o ponto onde esta reta cortao eixo x (caso exista!) 3) A abcissa deste novo ponto será nosso x1. 4) SeF (x1) = 0, nossos problemas acabaram. Caso contrário repita o processo.

Está na hora de nos fazermos algumas perguntas: 1) Tal processo podesempre ser repetido? 2) Este processo nos leva, de fato, a uma raiz de F ?Mantendo estas questões em mente, vamos tentar entender o algorı́tmo acimaem mais detalhes:

Vejamos: 1) Encontre a reta tangente ao gráfico de F no ponto (x0, F (x0)).Bem, Tal reta tem inclinação F ′(x0) e passa pelo ponto (x0, F (x0)), logo suaequação é y = F ′(x0)(x − x0) + F (x0). 2) Encontre o ponto onde estareta corta o eixo x (caso exista!): Para obtermos x1 devemos então tomary = 0 na equação da reta acima e isolarmos o valor de x obtendo assim:x1 = x0

− F (x0)F ′(x0)

. Obviamente isto só pode ser feito se F ′(x0)

̸= 0. Se

x1 não for a raiz procurada, então o processo se repete e obteremos assimx2 = x1 − F (x1)F ′(x1) , desde que F ′(x1) ̸= 0.

Acabamos de criar um sistemas dinâmico discreto que é simplesmente aiteração da função conhecida como “função de Iteração de Newton”, ou sejaN (x) = x − F (x)

F ′(x). Ainda precisamos verificar se a iteração de tal função

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nos aproxima arbitrariamente da raiz de F caso o processo possa ser iterado

indefinidamente.

Observe que, se F (x0) = 0 e F ′(x0) ̸= 0 então N (x0) = x0 e reciproca-

mente! Assim, na linguagem dos sistemas dinâmicos, nosso problema estásolucionado se nós encontrarmos um “ponto fixo” para nossa função N (x),ou seja, um ponto que satisfaça N (x) = x. Para garantirmos que o métodode Newton de fato funciona, precisamos então garantir que dado um pontoinicial qualquer x0, o processo de iteração da função N nos aproxime arbi-trariamente de um ponto fixo de N e que isto ocorre independente do valorescolhido para se inicar o processo, ou seja, independente da escolha de x0.

Bem, o exemplo abaixo nos mostra que isto nem sempre ocorrer á:

EXEMPLO 1.1.5 Considere F (x) = x3 − 5x, cuja funç˜ ao de iteraç˜ ao é N (x) = x − x3−5x

3x2−5 . Note que F (0) = 0 e F ′(0) = −5 .Se, por ventura,

tivermos a infelicidade de escolhermos x0 = 1, então teri ́amos: N (x0) = −1e N (−1) = 1 e estarı́amos presos em um ciclo de peŕıodo 2 ou como se costuma dizer: em um 2-ciclo e isto claramente n˜ ao nos levar´ a à raiz, 0, de F .

EXEMPLO 1.1.6 Considere F (x) = x2

+ 1, funç˜ ao que claramente nãopossui ráızes reais. Analise o que acontece quando se aplica o método de Newton a este exemplo

Então sob que condições o Método de Newton funciona? E como poder-emos usar as técnicas de Sistema Dinâmicos para nos ajudar? Voltaremos aestas questões mais futuramente.

1.2 SISTEMAS DINÂMICOS DISCRETOSNO PLANO

1.2.1 A ITERADA DE UMA FUNÇ ÃO COMPLEXA

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Começamos esta secção com uma rápida revisão sobre números com-

plexos: Um número complexo é um número que pode ser escrito na formaz = x+iy onde x e y são números reais e i tem a propriedade que seu quadradovale −1, ou seja (i)2 = −1. x é chamado de parte real do número complexo z e y sua parte complexa. O número real

√ x2 + y2 é chamado o módulo de z .

A soma de dois números complexos se dá somando-se respectivamente suaspartes reais e imaginárias. Para se multiplicar dois números complexos, nósprocedemos de forma natural lembrando-se que i2 = −1. Uma outra formade representação de um número complexo é o que chamamos de reprentaçãopolar, dada da seguinte forma: Se z = x + iy então a representção de z emsua forma polar será:

z = r(cosθ + isenθ)

onde r será justamente o módulo de z e θ o ângulo entre o semi-eixo positivox e o raio que une a origem ao ponto (x, y) do plano. Assim, z = x + iypode ser escrito em sua forma polar como z = rcosθ + irsenθ. Relembrandoa fórmula de Euler eiθ = cosθ + isenθ segue que z = reiθ é a representaçãopolar de z . Tal forma de representação nos permite visualizar a multiplicaçãode dois números complexos de uma forma muito elegante e bem geométrica.Dados z = r(cosθ + isenθ) e w = ρ(cosφ + isenφ) então o produto zw é dado

por:

zw = (r(cosθ + isenθ))(ρ(cosφ + isenφ)) = rρ(cos(θ + φ) + isen(θ + φ))

ou seja, a multiplicação de dois números complexos é feita multiplicando-seseus módulos e somando-se seus argumentos. Em particular para se elevar aoquadrado um número complexo, devemos elevar ao quadrado seu módulo eduplicar o seu argumento. Invertendo-se este racioćınio, segue de forma ime-diata que, para se extrair a raiz quadrada de um número complexo, devemos

extrair a raiz quadrada de seu módulo e dividir por dois o seu argumento.Note que isso nos fornece duas opções para a raiz de z = r(cosφ + isenφ), ouseja:

√ z = ±√ r(cos(φ/2) + isen(φ/2))

Bastante semelhante ao exemplo ( ), podemos também pensar no sistemadinâmico dado pela iterada de um função complexa. Ou seja uma função queatribui a um número complexo um outro número complexo. Considere uma

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função complexa qualquer f : C

→ C , e representemos sua n-ésima iterada

por f n(z ) ou seja: f n(z ) = f ◦ f ◦ ...◦ f (z ), n vezes. Nosso objetivo é estudaro que acontece com um número complexo z a medida que permitimos que seconsidere a n-ésima iterada de f calculada em um ponto z especı́fico.

Consideremos a função complexa de segundo grau dada por: f (z ) = z 2+C onde C é um número complexo qualquer fixado. Neste caso bastante simples,dado qualquer número complexo z e qualquer N sempre vai existir a N-ésimaiterada de f calculada em z . Em verdade podemos explicitá-la sem grandesproblemas. Vejamos um exemplo bem particular. Tomemos C = i =

√ −1,z = 0 e N = 3, então neste caso temos:

f 3(0) = f (f (f (0))) = f (f (i)) = f (i2 + i) = f (

−1 + i) =

−2i

Dizemos que os pontos 0, f (0) = i , f 2(0) = −1 + i e f 3(0) = −2i sãoos 4 primeiros elementos da órbita do ponto z = 0 continuando o processoindefinidamente obtém-se a órbita futura completa do ponto z . Observe queagora, diferentemente do que ocorreu no exemplo da função real, a órbitado ponto z = 0 é um conjunto de pontos do plano, se identificarmos o conjunto dos números complexos com o conjunto de pares ordenados (x, y) quecaracteriza o plano cartesiano.

A importância deste exemplo está diretamente ligada ao aparecimentodas figuras geométricas conhecidas como fractais.

1.2.2 A ROTAÇ ÃO DO CÍRCULO

Consideremos agora um caso mais interessante de sistema dinâmico discretono plano. Consideremos as funções lineares complexas dadas por Lα(z ) =αz ,onde α = ρeiθ é um número complexo não nulo. Consideremos algunselementos da órbita do ponto z 0 = re

iφ Assim temos:

z 1 = Lα(z 0) = αz 0 = ρeiθreiφ = ρrei(φ+θ)

z 2 = L2α(z 0) = Lα(z 1) = αz 1 = ρe

iθρrei(φ+θ) = ρ2rei(φ+2θ)

z 3 = L3α(z 0) = Lα(z 2) = αz 2 = ρ

3rei(φ+3θ)

.

.

.z n = L

nα(z 0) = Lα(z n) = αz n = (ρ)

nrei(φ+nθ)

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Note que

|ei(φ+nθ)

| = 1 e assim temos 3 casos bem distintos a considerar:

ρ 1. No primeiro caso temos que |z n| → 0 quando n → ∞e assim todas as órbitas de Lα tendem a zero. O oposto ocorre quando ρ > 1pois neste caso o módulo de z n cresce ilimitadamente. No primeiro casodiremos que a origem é um atrator e no segundo caso que é um repulsor.Também note que o ângulo polar φ + nθ cresce a medida que n cresce, seθ ̸= 0 o que significa que as órbitas espiralam em direção a ou afastando-seda origem, respectivamente.

O caso ρ = 1 é mais complicado, embora não pareça. Há, também aqui,dois casos bem distintos dependendo do valor do ângulo θ. Suponhamos que

possamos escrever θ = 2πτ . Nosso dois casos distintos dependem então dofato de tal τ ser ou não um número racional. Suponhamos inicialmente queτ = p/q onde p e q são inteiros. Ou seja τ é racional. Assim temos que

Lqα(reiφ) = ρqre(2πip/q)q+iφ = reiφ

Isto significa dizer que depois de q iteradas nós voltamos ao ponto inicial.Ou seja, todo ponto é periódico de peŕıodo q .

No segundo caso, ou seja τ é irracional, temos que isto nunca acontece (ex-ercı́cio!) e a órbita de um ponto qualquer percorre a circunferência unitáriasem nunca retornar ao ponto inicial.

1.2.3 O BILHAR NO CÍRCULO

Considere o disco unitário definido por D = {(x, y); x2 + y2 ≤ 1} e umapart́ıcula adimensional se movendo dentro de D com velocidade constante erefletindo na fronteira de D de acordo com a lei f́ısica que diz que o ângulode incidência é igual ao ângulo de reflexão. Denotemos por q t = (xt, yt)

e vt = (ut, wt) respectivamente seu vetor posição e vetor velocidade. As-sim, enquanto o movimento se dá livremente dentro do disco, sua posição evelocidade no instante t + s podem ser facilmente obtidos:

xt+s = xt + uts ut+s = ut

yt+s = yt + wts wt+s = wt

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Quando a part́ıcula colide com a fronteira, a sua velocidade v se reflete aolongo da reta tangente à circunferência no ponto de colisão. Pode-se mostrar(exerćıcio) que a velocidade após a colisão está relacionada à velocidade antesda colisão pela relação:

v = v0 − 2⟨v0, n⟩n

onde n = (x, y) é o versor normal à circunferência e ⟨v, n⟩ = ux + wy denotao produto escalar usual. Após a colisão a partı́cula re-assume seu movimentolivre dentro de D até uma nova colisão e o processo pode ser continuadoindefinidamente.

É fácil mostrar que obteŕıamos órbitas periódicas para a part́ıcula se es-colhessemos convenientemente o ângulo de sáıda de forma a termos a figurade um poĺıgono regular. No estudo dos Sistemas Dinâmicos nós estamosinteressados em poder descrever a evolução do sistema a longo prazo e po-dermos falar alguma coisa sobre o seu comportamento assintótico quandot → ∞. Vamos tentar analisar esta situação agora.

Primeiramente nós parametrizamos a circunferência unitária através doângulo polar θ ∈ [0, 2π] onde θ é considerado um parâmetro ćıclico atravésda identificação de 0 e 2π. Também, denotaremos φ ∈ [0, π] o ângulo dereflexão.

Para todo n ∈ N , se denotarmos θn a posição da n-ésima colisão e φn ocorrespondente ângulo de reflexão, então pode ser mostrado (exerćıcio) que:

θn+1 = θn + 2φn (mod2π)

φn+1 = φn

(1.1)

Nós observamos que: 1) Todas as distâncias entre colisões são iguais. 2)O ângulo de reflexão permanece inalterado (exerćıcio!) . Isto nos leva a:

COROLÁRIO 1.2.1 Sejam (θ0, φ0) as condiç˜ oes iniciais ent˜ ao:

θn = θ0 + 2nφ0 (mod2π)

φn = φ0

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Toda colisão está bem caracterizada por 2 números: θ e φ. O conjunto

de todas as posśıveis colisões, chamado de “espaço de colisões” e denotadopor M é, então, dado pelas coordenadas θ e φ. Devido à restrição de θ aointervalo [0, 2π], tal conjunto é um cilindro. A aplicação F : M → M queatribui uma colisão à colisão seguinte, é chamada de Aplicação de colisão epara o bilhar circular ela é dada por (1.1).

Observe que F deixa os ńıveis horizontais C φ = {φ = constante} invari-antes. Além disso a restrição de F a C φ é uma rotação do ćırculo C φ por umângulo 2φ. O ângulo de rotação varia continuamente de ćırculo para ćırculo,crescendo a partir do 0 em C 0 até 2π em C π. Ou seja, tanto o fundo quantoo topo do cilindro se mant́em fixos pela F . O cilindro M é “torcido” pela

aplicação F . Como j́a vimos na seção anterior temos novamente dois casosa considerar: 1) A razão φπ

é um número irracional e a rotação do ćırculo

nunca volta à posição inicial ou 2) φπ

= mn

, onde m e n são número naturais

e primos entre si, ou seja a razão φπ

é um número racional. Neste caso arotação do ćırculo é periódica com perı́odo fundamental n.

No exerćıcio (4) pedimos que você demonstre que cada segmento de tra- jetória da part́ıcula entre duas colisões consecutivas é tangente ao ćırculoS φ = {x2 + y2 = cos2φ}. Este cı́rculo interior tem uma interpretação f́ısicabastante interessante: Se a trajetória da part́ıcula fosse a trajetória de umraio laser e a fronteira da circunferência fosse um espelho perfeito então

o acúmulo de laser na fronteira do ćırculo interior iria deixá-lo bastante“quente”. Por esta razão os gregos chamavam tal ćırculo de “caustica” quesignifica “queimando” em grego. Um fenômeno semelhante poderá ser vistotambém no caso do bilhar eĺıptico que será apresentado a seguir.

1.2.4 O BILHAR NA ELÍPSE

Agora nós veremos mais um exemplo bastante simples de bilhar. O bilharna elipse. Consideremos a > b > 0 e a equação:

x2

a2 +

y2

b2 = 1

Historicamente este exemplo é muito importante pois foi exatamente esteo exemplo tratado por Birkhoff [4] no que podemos considerar o primeiroestudo de um bilhar em 1927. Geometricamente uma eĺıpse pode ser carac-terizada pelo conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois

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pontos fixados (chamado de focos e denotados aqui por F 1 e F 2 ) é constante.

Ou seja o conjunto dos pontos A ∈ IR2 que satifazem a equação:dist(A, F 1) + dist(A, F 2) = const.

Aqui usaremos a coordenada φ para representar o ângulo de reflexãocomo na secção anterior, e r o parâmetro comprimento de arco medido apartir do ponto r = 0 correspondente ao ponto (a, 0) e orientado no sentidoanti-horário. Note que 0 ≤ φ ≤ π e 0 ≤ r ≤ |∂D|, ou seja, novamente nossoespoço de colisão é um cilindro. Pode ser mostrado que existem três tipos detrajetórias: As trajetórias interiores que sempre passam entre os dois focosda elipse, as trajetórias exteriores que nunca passam entre os focos e aquelas

trajetórias que passam alternadamente por ambos os focos. O teorema aseguir é o resultado mais importante a respeito dos bilhares eĺıpticos:

TEOREMA 1.2.1 Para cada trajet´ oria exterior existe uma elipse com fo-cos F 1 e F 2 que é tangente a cada segmento desta trajet´ oria. De forma análoga, a cada trajet´ oria interior, existe uma hipérbole com focos F 1 e F 2que é tangente a cada segmento desta trajet´ oria (ou ao seu prolongamento) .

Na demonstração deste teorema precisaremos de um resultado conhecidocomo Teorema de Poncelet que diz que se A é um ponto na elı́pse e L a retatangente à esta eĺıpse passando por A, então os segmentos de reta que une osfocos F 1 e F 2 à A fazem o mesmo ângulo com L. Deixaremos a demonstraçãodeste resultado como exerćıcio. Vejamos agora a demonstração do teorema:

DEMONSTRAÇ ÃO: Provaremos apenas a primeira afirmação, a segundase obtém de forma similar. Consideremos dois segmentos consecutivos deuma mesma trajetória exterior: A1A e AA2. Obtenha os pontos B1 e B2refletindo, respectivamente os focos F 1 e F 2 sobre os segmentos A1A e AA2.Temos então 4 ângulos iguais: < B1AA1,< A1AF 1,< F 2AA2 e < A2AB2 Porconsequência os triângulos AB1F 2 e AB2F 1 são congruentes e em particulartemos que |B1F 2| = |B2F 1| e assim, segue diretamente que :

|F 1C 1| + |F 2C 1| = |F 1C 2| + |F 2C 2|onde C 1 e C 2 são os pontos de intersecção de AA1 com B1F 2 e A2A comB2F 1 respectivamente.Assim, os pontos C 1 e C 2 pertencem a mesma elipsecom focos F 1 e F 2 e os segmentos A1A e A2A são tangentes a esta elipse. Ouseja, cada uma destas elipses é uma “caustica” .

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1.3 SISTEMAS DINÂMICOS CONTÍNUOS

Nesta seção apresentaremos superficialmente um exemplo de um sistemadinâmicos cont́ınuo. O aluno não deve se assustar se não obtiver uma com-preensão global deste exemplo. O importante é entrar em contato com novasidéias e deixar o tempo amadurecê-las.Embora não faça parte do escopo deste curso, resolvemos apresentar um ex-emplo de um sistema dinâmico não-discreto. Vamos fazer isso por dois mo-tivos: Primeiro, simplesmente para situar o aluno em um contexto mais gerale segundo para mostrar a utilidade de algumas ferramentas provenientes desistemas dinâmicos discretos na análise de sistemas dinâmicos mais compli-

cados, ou seja, os cont́ınuos. A ferramenta a que me refiro aqui é a DinâmicaSimbólica que será objeto de nosso estudo neste curso.

1.3.1 O PROBLEMA DE SITNIKOV

EXEMPLO 1.3.1 A Mecˆ anica Celeste é uma sub-´ area dos Sistemas Di-nˆ amicos e fundamentalmente se baseia no estudo do sistema de equaç˜ oes diferenciais advindas da utilizaç˜ ao da segunda lei de Newton em consonˆ ancia com a lei de gravitaç˜ ao universal,isto é: F = ma, onde a força resultante considerada, F , é a força gravitacional existente entre dois corpos, o de-safio da Mecˆ anica Celeste é resolver o Problema dos N-Corpos, ou seja,ser capaz de descrever o comportamento que teriam N corpos de massas pontuais m1, m2,...,mN , sujeitos ´ unica e exclusivamente à m´ utua atraç˜ aogravitacional entre eles. Tal problema é complicad́ıssimo de ser resolvidoanaliticamente j´ a que ele se traduz em um sistema de equaç˜ oes diferenciais n˜ ao-lineares com 6N equaç˜ oes. Vejamos um exemplo para fixarmos as idéias.Vamos considerar o caso de N = 3. Ent˜ ao da Segunda Lei de Newton com força resultante dada pela força gravitacional, temos, em relaç˜ ao ao corpom1, (denotando o vetor posiç˜ ao de m1 por r1) que o vetor aceleraç˜ ao é dadopor sua velocidade segunda, aqui denotada por r̈1. Assim, se temos apenas 3corpos envolvidos, a força gravitacional que age sobre m1 é a soma das forças

gravitacionais proveniente dos outros dois corpos. Assim temos, agindo sobre m1:

F = m1a = m1r̈1

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onde F é a soma das forças gravitacionais proveniente dos outros dois corpos,

ou seja:

F = G

m1m2(r2 − r1)

|r2 − r1|3 + m1m3(r3 − r1)

|r3 − r1|3

onde G é a constante gravitacional universal. Assim temos, para m1:

m1r̈1 = G

m1m2(r2 − r1)

|r2

−r1

|3

+ m1m3(r3 − r1)

|r3

−r1

|3

dividindo ambos os lados por m1,e denominando v1 = ṙ1 obtemos o sistema:

v1 = ṙ1

v̇1 = G

m2(r2−r1)|r2−r1|3 +

m3(r3−r1)|r3−r1|3

Contudo o vetor posiç˜ ao r1 é um vetor de R

3 e portanto tem 3 componentes r1 = (x1, y1, z 1). Assim, nosso sistema acima é um sistema com 6 equaç˜ oes.Finalmente, tudo que aqui foi feito para a massa m1 deve também ser feitopara os demais corpos, de forma que cada corpo envolvido no problema da origem à 6 equaç˜ oes, no caso no nosso exemplo ent˜ ao, N = 3, teremos um sistema com 18 equaç˜ oes n˜ ao-lineares de primeira ordem!! O caso N = 2 foi totalmente resolvido por Newton, que mostrou que a soluç˜ aodo problema de 2-corpos é sempre uma cˆ onica (elipse, hipérbole uo par´ abola).Para N = 3 s´ o existem soluç˜ oes de problemas bem espećıficos. Dentre eles,os de mais f´ acil tratamento s˜ ao os conhecidos como Problemas Restritos. O Problema Restrito dos 3-Corpos consiste em se descrever o movimento de um corpo de massa infinitesimal sujeito a influência da atraç˜ aocao gravitacional

de outros dois corpos que descrevem uma soluç˜ ao do Problema dos 2-Corpos,ou seja, uma cˆ onica. Tradicionalmente estes dois corpos s˜ ao chamados de prim´ arios na literatura cl´ assica.

Dois tipos particulares do Problema Restrito dos 3-Corpos despertam enor-me interesse do ponto de vista matem´ atico. O Problema Eĺıptico de Sitnikov

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e o Problema Circular de Sitnikov. O problema de Sitnikov canˆ onico (o caso

eĺıptico) se caracteriza pela presençaa de dois corpos de massa positiva de-screvendo uma soluç˜ ao eĺıptica do Problema de 2-Corpos em um plano. Pelo foco comum das eĺıpses descritas pelos prim´ arios passa uma reta vertical per-pendicular ao plano do movimento destes. Sobre esta reta se encontra um terceiro corpo, µ, de massa despreźıvel. Devido à simetria da posiç˜ ao dos prim´ arios e à condiç˜ oes iniciais convenientemente tomadas o movimentodeste terceiro corpo fica confinado a este eixo vertical e o problema trata justamente de estudar as posśıveis ´ orbitas descritas por ele. No problema de Sitnikov circular, também conhecido como problema de MacMillan, a excen-tricidade das eĺıpses descritas pelos prim´ arios é nula, ou seja seus movimen-

tos s˜ ao circulares. Chazy ([5],[6],[7]) na década de 20 conjecturou sobre a existência de soluç˜ oes oscilatórias e também forneceu uma classificaç˜ ao da evoluç˜ ao final do Problema dos 3-Corpos. Em 1960 o pr´ oprio Sitnikov [18] conjecturou que o caso eĺıptico do problema que hoje leva seu nome, admitia a possibilidade de uma soluç˜ ao oscilat´ oria. Por soluç˜ oes oscilat́ oria entende-mos soluç˜ oes q (t) que satisfazem:

limt→∞

inf |q (t)| = 0 limt→∞

sup|q (t)| = ∞ .

Em 1969, Alekseev ([1],[2],[3]) usou o Problema Eĺıptico de Sitnikov para mostrar que todas as combinaç˜ oes de evoluç ̃oes finais propostas por Chazy de fato ocorriam. Ele utilizou dinâmica simb´ olica para mostrar a existência de soluç˜ oes oscilat´ orias no problema restrito dos três corpos. Em 1973 Moser [15], usando um ponto de vista geométrico, fornece um outro argumento para demonstrar o resultado de Alekseev. Desde então muito se tem pesquisadosobre os problemas de Sitnikov e s˜ ao dezenas os artigos publicados sobre oassunto nas revistas especializadas (ver também [20]).

Se tomamos condiç˜ oes iniciais para o corpo µ, de tal forma que ele inicie

o movimento no plano dos primários, r(0) = (x(0) = 0, 0, 0) com velocidade positiva na direç˜ ao da reta vertical: ṙ(0) = (v0 = v(0), 0, 0) podemos tirar algumas conclus˜ oes sobre as ´ orbitas soluç˜ oes do problema analisando a ve-locidade nos instantes em que o corpo µ passa pelo plano dos prim´ arios. Por exemplo, se olhamos para a sequência de instantes (tk)k∈N tais que x(tk) = 0e olhamos para a sequência de velocidades nestes instantes, isto é, (v(tk))k∈N,

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podemos concluir sobre a existência de ´ orbitas peri´ odicas se notarmos uma

configuraç˜ ao que repita a configuraç˜ ao inicial, isto é , mesma posiç˜ ao dos prim´ arios e mesma velocidade da massa µ, demonstrando que a partir daquele instante nós voltamos a mesma situaç˜ ao que no instante inicial o que nos leva a concluir sobre a repetiç˜ ao do movimento, ou seja, ´ orbita peri´ odica para µ.

Assim, um sistema dinˆ amico cont́ınuo é analisado fazendo-se uso de um sistema dinˆ amico discreto auxiliar, a saber, o comportamento da seqûencia das velocidades nos instantes de passagem pelo plano dos prim´ arios, e otempo gasto entre duas passagens consecutivas por tal plano. Esta idéia voltar´ a a ser estudada futuramente quando falarmos em dinˆ amica simb´ olica.

Podeŕıamos nos prolongar e citar vários outros exemplos do uso da dinˆ a-mica simb´ olica no estudo do problema de Sitnikov. De fato, a dinâmica neste problema é riquisśıma e a utilizaç˜ ao da dinˆ amica simb´ olica em seu estudo foi de uma criatividade ı́mpar e que abriu portas para sua utilizaç˜ ao em diversos outros problemas. Contudo, preferimos ficar apenas com o exemplodas ´ orbitas peri´ odicas e indicar aos estudantes mais curiosos uma vasta fonte de informaç˜ ao sobre o assunto.

1.4 EXERCÍCIOS

1. Chame de |I n| o comprimento dos intervalos do exemplo , 1.1.4 , cujosextremos são xn e

2xn

. Mostre que |I n| tende a 0.2. No exemplo da rotação do ćırculo, se τ é irracional, mostre que a órbita

de um ponto qualquer percorre a circunferência unitária sem nuncaretornar ao ponto inicial.

3. No exemplo da rotação do ćırculo, se τ é irracional. Fixe um númerocomplexo z ∗ de módulo 1. Dado um outro número complexo z 0 tambémde norma 1 e um número real positivo arbitrário ϵ, mostre que existeum iterada N tal que a distância entre LN α (z 0) e z

∗ é menor do que ϵ.

4. No exemplo do bilhar circular, mostre que cada segmento de trajetóriada partı́cula entre duas colisões sonsecutivas é tangente ao circulo S φ ={x2 + y2 = cos2φ}

5. No exemplo do bilhar circular, mostre que a velocidade após a colisãoestá relacionada à velocidade antes da colisão pela relação:

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v = v0 − 2⟨v0, n⟩n

6. No exemplo do bilhar circular, mostre que :

θn+1 = θn + 2φn (mod2π)

φn+1 = φn

7. É posśıvel haver uma trajetória densa em todo o disco D?

8. Mostre que ||vt|| é constante, o que justifica o fato de termos assumidoa velocidade da part́ıcula constante e unitária.

9. Seja A um ponto da elipse e L a reta tangente à elipse passando por AMostre que os segmentos e reta que unem A aos focos F 1 eF 2 respecti-vamente, fazem ângulos iguais com L.

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10. Considere a função f (x) =√

x

−1, então para todo x

∈ [1,

∞) existe

a última iteração posśıvel?

11. Dada uma função qualquer f : D → R tal que Im f ⊂ D, então ∀ x0 ∈D e para qualquer n ∈ N existe f n(x0) ?

12. Se D está estritamente contido em Im f então:

(a) Para todo x ∈ D existe a última iterada?(b) Se f não possui pontos fixo então para todo x ∈ D existe a última

iterada?

(c) Existe x0 ∈ D para o qual existe a última iterada?13. Considere a famı́lia de funções quadráticas dada por QC (x) = x

2 + C .

(a) Calcule os 5 primeiros elementos da órbita do 0 pela função Q−1.

(b) Encontre os valores do parâmetro C para os quais a respectivafunção QC admite 0, 1 ou 2 ráızes reais

(c) Nos casos onde QC admite ráızes reais encontre estas ráızes emfunção do parâmetro C .

(d) Encontre os valores do parâmetro C para os quais a respectiva

função QC admite 0, 1 ou 2 soluções reais para a equação QC (x) =x. Tais pontos são chamado de pontos fixos.

(e) Nos casos do ı́tem anterior, chame de p+ a maior e p− a menordas soluções da equação QC (x) = x (se só houver uma solução,denote-a por p) e calcule Q′C ( p+), Q

′C ( p−) e Q

′C ( p) em função do

parâmetro C .

(f) Em cada caso do ı́tem anterior, determine os valores do parâmetroC de forma a garantir que: a) |Q′C ( p+)| < 1 b) |Q′C ( p+)| > 1 e c)|Q′C ( p+)| = 1. E faça o mesmo para os pontos p e p−

14. Considere a famı́lia de funções quadráticas dada por P λ(x) = λx(1−x).

(a) Calcule os 5 primeiros elementos da órbita do 2 pela função P 2

(b) Encontre os valores do parâmetro λ para os quais a respectivafunção P λ admite 0, 1 ou 2 ráızes reais

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(c) Nos casos onde P λ admite ráızes reais encontre estas ráızes em

função do parâmetro λ.(d) Encontre os valores do parâmetro λ para os quais a respectiva

função P λ admite 0, 1 ou 2 soluções reais para a equação P λ(x) = x

(e) Nos casos do ı́tem anterior, chame de p+ a maior e p− a menordas soluções da equação P λ(x) = x (se só houver uma solução,denote-a por p) e calcule P ′λ( p+), P

′λ( p−) e P

′λ( p) em função do

parâmetro λ.

(f) Em cada caso do ı́tem anterior, determine os valores do parâmetroλ de forma a garantir que: a) |P ′λ( p+)| < 1 b) |P ′λ( p+)| > 1 e c)|P ′λ( p+)| = 1. E faça o mesmo para os pontos p e p−

15. (A Função duplicadora). O domı́nio e o contra-domı́nio desta funçãocoincidem com o intervalo semi-aberto [0, 1) e a lei da função é dadapor:

D(x) =

2x , se 0 ≤ x < 1

2

2x − 1 , se 12 ≤ x

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(d) Tente estimar a quantidade de pontos fixos de T n(x).

17. Dada a função f (x) = ax2 + bx + c, encontre condições sobre a, b ec para que tal função tenha respectivamente, zero, um ou dois pontosfixos.

18. Dada a função f (x) = ax +√

bx + c, encontre condições sobre a, b ec para que tal função tenha respectivamente, zero, um ou dois pontosfixos.

19. (A Aplicação de Gauss). O domı́nio e desta função é o intervalo fechado[0, 1] e sua lei da função é dada por:

G(x) =

1x − [ 1

x] , se 0 < x ≤ 1

0 , se x = 0

onde [x] representa o maior inteiro menor do que x. Por exemplo [3, 7] =3, [−2, 9] = −3.

(a) Esboce seu gráfico.

(b) Esboce os gráficos de G2(x) e de G3(x).

(c) Tente intuir como seria o gráfico de Gn(x).

(d) Calcule a quantidade de pontos fixos de G(x), G2(x), G3(x).

(e) Tente estimar a quantidade de pontos fixos de Gn(x).

(f) Calcule os 5 primeiros elementos da órbita de x0 = 1/2

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Caṕıtulo 2

CONTINUIDADE EM

ESPAÇOS MÉTRICOS

2.1 ESPAÇOS MÉTRICOS

Um dos conceitos mais importante em matemática é a noção de continuidade.Quando dizemos que uma função é cont́ınua, estamos querendo dizer que”pontos próximos”são levados em ”valores próximos”. Claramente esta noção

está bastante vaga colocada assim em poucas palavras, no entanto j á é ev-idente que a noção de continuidade deve ser precedida de uma noção de”proximidade”, ou seja de distância entre pontos de um determinado conjunto.Vamos tentar aprofundar um pouco mais nosso conceito. Para isso vamostrabalhar inicialmente com objetos que já nos são bastante familiares, ou sejafunções reais. Vejamos a definição matemática de continuidade neste caso:

DEFINIÇ ÃO: Considere uma função f : R → R. Dizemos que f é cont́ınuano ponto x0 se: Para qualquer ϵ, positivo, por menor que ele seja, sempreexiste um δ , positivo, que, em geral, depende do ϵ de modo que:

|x − x0| < δ ⇒ |f (x) − f (x0)| < ϵ .

Se pararmos para pensar um pouquinho, vamos perceber que |x| nos dizqual é a distância de x à origem. Um passo a mais em nosso racioćınio e

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percebemos que

|x

− y

| nos fornece a distância entre x e y. Assim, nossa

definição de continuidade para funções reais está simplesmente dizendo que”nós podemos encontrar pontos ,x, cuja imagem pela função f está arbi-trariamente próxima da imagem de x0 pela mesma f , bastando para issotomarmos tais x′s suficientemente próximos de x0”.

Isto significa que o conceito de continuidade de funções reais está di-retamente ligado à maneira como nós medimos distâncias entre númerosreais. Sendo o conceito de continuidade um dos conceitos fundamentais namatemática, é natural se esperar que tal conceito, quando generalizado, nostraga grandes e importantes resultados. Isto justifica que tentemos ”ex-pandir”a idéia de ”distância entre números reais”e ampliá-la para casos mais

gerais. Vamos então, definir o que deve ser entendido como uma ”funçãodistância”, aqui chamada de ”métrica”!!É natural que, se queremos definir uma função que vai medir a ”distância

entre dois pontos de um conjunto”ela deve ter propriedades que consideramosinerentes às ”distâncias geométricas”ou seja: 1) A distância entre dois pontosindepende de qual ponto você inicia a medição. 2) (Como em um triângulo) adistância entre quaisquer dois vértices deve ser menor ou igual que a soma dasdistâncias do terceiro vértice à qualquer um dos outros dois. 3) O resultadodeve ser um número não negativo. E o caso do resultado ser 0 deve ocorrerunicamente quando se está calculando a distância de um ponto a si mesmo.Em termos matemáticos estamos prontos para definir uma métrica em umconjunto não vazio, arbitrário E .

DEFINIÇ ÃO: Dado um conjunto não vazio E , chamaremos de d uma métrica definida em E ( e passaremos a chamar ao par (E, d) de EspaçoMétrico), uma função d : E x E → R+ que satisfaça às seguintes pro-priedades: Para quaisquer elementos x, y e z em E :

1. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) ≤ d(x, z ) + d(z, y)

3. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇔ x = yOBS: Quando temos um espaço métrico (E, d), por analogia ao espaço euclid-iano, chamaremos os elementos de E de pontos . Contudo, devemos ter emmente que o caráter geométrico desses elementos vem unicamente da noçãode distância introduzida e nada tem a ver com nossa intuição geométrica doque comumente chamamos de ”ponto”.

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EXEMPLOS:

1. Considere a função valor absoluto: | | : R → R+ e tome d(x, y) =|x − y|. Então d satisfaz as 3 propriedades acima.

2. O espaço euclidiano Rn. Este exemplo generaliza o anterior. Os pontosde Rn são as listas (também chamadas de n-uplas), x = (x1, x2,...,xn)onde cada xi é um número real. Há três métricas bastante usuais paramedir distância entre dois pontos de Rn. Dados x = (x1, x2,...,xn) ey = (y1, y2,...,yn) definimos as três métricas abaixo:

(a) d(x, y) = √ (x1 − y1)2 + ... + (xn − yn)2(b) d′(x, y) = |x1 − y1| + ... + |xn − yn|(c) d′′(x, y) = max{|x1 − y1|, ..., |xn − yn|}

OBS: Se n = 1 então d = d′ = d′′.

3. Um espaço de funções. Considere o conjunto de todas as funçõesf : [0, 1] → IR, cont́ınuas, denotado aqui por C ([0, 1],R). Claramentesomas, diferenças e produtos de funções em C ([0, 1],R) continuam neste

conjunto. Vamos definir uma métrica: Sejam f e g duas funções quais-quer em C ([0, 1],R), definamos a distânica entre elas, d(f, g), por:

d(f, g) = max{|f (x) − g(x)|; ∀x ∈ [0, 1]}

4. Toda norma, || ||, em um espaço vetorial normado, da origem à umamétrica pela seguinte relação: d(x, y) = ||x − y||.

5. Seja E um dicionário sem palavras repetidas. Defina uma métrica paraE .

6. Seja Σ O espaço de sequências em dois śımbolos 0′s ou 1′s ou seja oconjunto:

Σ = {(s0, s1, s2, ...)|s j ∈ {0, 1}}

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definimos uma métrica em Σ da seguinte maneira: Sejam s = (s0, s1, s2, ...)

e t = (t0, t1, t2, ...) dois pontos do nosso espaço Σ, definimos adistância entre eles por:

d(s, t) =∞∑

i=0

|si − ti|2i

(Σ, d) é um espaço métrico! Verifique!!!

Não se preocupe se este exemplo pareceu muito abstrato. Ele nos será muitoútil e por isso voltaremos a ele em breve.

2.2 BOLAS E ESFERAS

Fazendo uso da noção de distância introduzida na seção anterior, agora pode-mos generalizar nosso conceito geométrico de “bola” para um conjunto maisabstrato. No plano, nós definimos a circunferência centrada no ponto a e deraio r como sendo o conjunto de pontos do plano cuja distância ao centro a éexatamente o raio r. De forma totalmente natural e análoga, somos levados

às seguintes definições:DEFINIÇ ÃO: Considere um espaço métrico E = (E, d):

1. Definimos a ESFERA, S , centrada no ponto a ∈ E e de raio r > 0, comosendo o conjunto de pontos de E cuja distância (dada pela métrica d deE ) à a é exatamente r. Em linguagem matemática podemos escreverde forma mais curta: S = {x ∈ E ; d(x, a) = r}.

2. Definimos a BOLA ABERTA, B , centrada no ponto a ∈ E e de raio r > 0,como sendo o conjunto de pontos de E cuja distância (dada pela métricad de E ) à a é estritamente menor que r. Em linguagem matemáticapodemos escrever de forma mais curta: B = {x ∈ E ; d(x, a) < r}.

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3. Definimos a BOLA FECHADA, B, centrada no ponto a

∈ E e de raio

r > 0, como sendo o conjunto de pontos de E cuja distância (dada pelamétrica d de E ) à a é menor ou igual a r. Em linguagem matemáticapodemos escrever de forma mais curta: B = {x ∈ E ; d(x, a) ≤ r}.

Não devemos nos deixar enganar. A denominação acima é claramentemotivada pela nossa noção geométrica em R3. Embora seja convenientelembrar o exemplo de R3 como modelo geométrico para as situações abstratasque surgirão mais adiante, é bom notar, desde logo, que bolas e esferas àsvezes, adquirem aspectos inusitados. Vejamos alguns exemplos:

EXEMPLO 2.2.1 No plano (R2, d), a bola aberta B(a, r) é o interior de

um ćırculo de centro em a e raio r.

1.0 0.5 0.5 1 .0

1.0

0.5

0.5

1.0

EXEMPLO 2.2.2 No plano (R2, d′), a bola aberta B(a, r) é o interior de um quadrado de centro em a e lados de comprimento 2r e paralelos aos eixos.

EXEMPLO 2.2.3 No plano (R2, d′′), a bola aberta B(a, r) é o interior de

um quadrado de centro em a e diagonais paralela aos eixo e lados de compri-mento 2r.

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1.0 0.5 0.5 1 .0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1 .0

1.0

0.5

0.5

1.0

Depois dos exemplos acima, fica claro que certos resultados “evidentes”para a nossa noção de “bola” no R2 ou R3 com a geometria que estamos acos-tumados, devem ser demonstrados rigorosamente nos casos abstratos antesde serem aceitos. Veja o seguinte resultado abaixo, tão evidente para nós noR2 com a métrica euclidiana canônica.

TEOREMA 2.2.1 Dados dois pontos distintos a e b em um espaço métricoE = (E, d), sejam r > 0 e s > 0 tais que r + s ≤ d(a, b). Ent˜ ao as bolas abertas B(a, r) e B(b, s) s˜ ao disjuntas.

DEMONSTRAÇ ÃO: Suponhamos por absurdo que ∃x ∈ B(a, r)∩B(b, s)e então teŕıamos: d(a, x) < r e d(b, x) < s de onde segue que

d(a, b) < d(a, x) + d(x, b) < r + s ≤ d(a, b)o que é um absurdo

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2.3 CONTINUIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS

Vamos terminar esta secção justificando a existência deste capı́tulo. Porque precisamos de espaços métricos?A resposta a esta pergunta está diretamente relacionada à noção de con-tinuidade. Segue da nossa definição de função cont́ınua, que tal conceitoestá diretamente ligado ao fato de ”pontos próximos“ serem levados pelafunção em ”valores próximos”. Assim, o conceito de continuidade se estendede forma natural à espaços onde podemos falar em ”proximidade”, ou seja,aquilo que definimos como sendo ”espaços métricos”. Portanto, somos leva-

dos de forma bem natural à seguinte definição que generaliza nossa idéia decontinuidade de funções:

DEFINIÇ ÃO: Considere E e F espaços métricos, (ou seja, E = (E, d1)onde E é um conjunto não nulo qualquer e d1 é uma métrica definida em E e analogamente para F = (F, d2)). Seja f : E → F uma função qualquer.Dizemos que f é contı́nua no ponto x0 ∈ E se, ∀ ϵ > 0 existe um δ > 0tal que, se d1(x, x0) < δ então d2(f (x), f (x0)) < ϵ. Note que a definição decontinuidade tem caráter local. Ou seja, definimos uma função contı́nua emx0. Diremos que f é cont́ınua em E se f for cont́ınua em todo ponto de E .

Vejamos agora alguns exemplos:

EXEMPLO 2.3.1 Função Lipschitziana: Considere E e F espaços mé-tricos, (ou seja, E = (E, d1) onde E é um conjunto n˜ ao nulo qualquer e d1 é uma métrica definida em E e analogamente para F = (F, d2)). Seja f : E → F uma funç ̃ao qualquer. Dizemos que f é Lipschitziana em E se existe uma constante c > 0, (chamada de constante de Lipschitz), tal que, ∀x, y ∈ E temos d2(f (x), f (y)) ≤ cd1(x, y). Deixamos como exerćıciomostrar que toda funç˜ ao Lipschitziana é contı́nua.

Antes do próximo exemplo, vale a pena relembrarmos um importanteteorema do Cálculo I:

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TEOREMA 2.3.1 ( Teorema do Valor M´ edio) Seja f : [a, b]

→ R de-

riv´ avel em (a, b). Existe ξ ∈ (a, b) tal que |f (b) − f (a)| = f ′(ξ )|b − a|.EXEMPLO 2.3.2 Função Lipschitziana Real: No exemplo anterior se tomarmos E = F = R com a métrica canˆ onica, ent˜ ao dizemos que f é Lipschitziana com constante de Lipschitz c > 0, se |(f (x)−f (y)| ≤ c|x−y|.Isto acarreta que |(f (x)−f (y)||x−y| ≤ c o que equivale a dizer que a inclinaç˜ ao de qualquer reta secante ao gr´ afico de f é, em valor absoluto, menor que c. Se f é derivável e sua derivada é limitada, digamos |f ′(x)| ≤ c para todo x ∈ R,ent˜ ao pelo teorema do Valor Médio segue que tal funç˜ ao é Lipschitziana.

EXEMPLO 2.3.3 Contrações Fracas: Considere E = (E, d1) e F =(F, d2) espaços métricos. Seja f : E → F uma funç˜ ao qualquer. Dizemos que f é uma Contração Fraca em E se ∀ x, y ∈ E temos d2(f (x), f (y)) ≤d1(x, y). Ou seja, f é uma funç˜ ao Lipschitziana com constante de Lipschitz c = 1

EXEMPLO 2.3.4 Contrações: Considere E = (E, d1) e F = (F, d2)espaços métricos. Seja f : E → F uma funç˜ ao qualquer. Dizemos que f é uma Contração em E se ∃ c 0 tal que se |x − x0| < δ então |f (x) −f (x0)| < ϵ. Ou seja:

|x − x0| < δ ⇒ |x − x0||x + x0| = |x2 − x20| = |f (x) − f (x0)| < ϵ

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Como temos liberdade de escolha para o δ tomemos um δ < 1. Neste caso

teremos:

|x−x0| < δ ⇒ −δ < x−x0 < δ

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propriedade (exerćıcio). Neste caso dizemos que f é invert́ıvel (o dicionário

Aurélio não possui a palavra “inverśıvel”, contúdo, não é incomum encontraresta terminologia para f ).

Agora vejamos um exemplo que, a prinćıpio, poderia nos causar estran-heza. A função apresentada abaixo é contı́nua, invert́ıvel, porém sua inversanão é cont́ınua.

EXEMPLO 2.3.7 Seja S 1 = {(x, y) ∈ R; x2 + y2 = 1},o ćırculo unit´ ariono plano euclidiano. Considere a funç˜ ao f : [0, 2π) → S 1 definida por f (t) = (cost, sent),é claramente cont́ınua pois suas funç˜ oes coordenadas s˜ aocont́ınuas (exercı́cio). Aĺem disso, f é bijetiva, como se sabe da trigonome-tria. Intuitivamente, f consiste em “enrolar” o segmento aberto [0, 2π) sobre

o cı́rculo S 1, sem dobrar nem esticar, de modo que o ponto t = 0 caia sobre o ponto p = (1, 0) ∈ S 1. A aplicaç˜ ao inversa g = f −1 : S 1 → [0, 2π) é de-scontı́nua precisamente neste ponto p. Intuitivamente g consiste em“rasgar”o ćırculo no ponto p e desenrol´ a-lo sobre o segmento.

Já vimos como mostrarmos que uma função é contı́nua em um ponto x0,mas agora gostaŕıamos de aprender a mostrar quando exatamente o opostoocorre. Ou seja, dado um ponto x0 no domı́nio de f , gostaŕıamos de mostrarque f é descont́ınua em x0. Vamos relembrar a definição de continuidade:

DEFINIÇ ÃO 2.3.4 Considere E e F espaços métricos, munido das métricas d1 e d2 respectivamente.Dizemos que f : E → F é cont́ınua em x0 ∈ E se,∀ ϵ > 0 existe um δ > 0 tal que, se d1(x, x0) < δ ent˜ ao d2(f (x), f (x0)) < ϵ.

Então para mostrarmos que f é descont́ınua em x0 devemos “negar” a definiçãoacima. Matematicamente isto significa negar cada um dos quantificadoresque aparecem na definição acima. A negação de ∀ , “para todo” é ∃ , “ex-iste”, e vice-versa, a negação de ” 0 tal que ∀δ > 0 existe um x ∈ E , que depende do respectivo δ , tal que, se d1(x, x0) < δ e no entanto d2(f (x), f (x0)) ≥ ϵ.

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Vejamos agora como utilizar esta definição acima de uma forma mais tratável.Já que devemos exibir um ϵ onde a definição acima valha ∀δ > 0, tomemosvalores auxiliares da forma 1

n onde n é um número natural. Isto nos será

bastante útil quando trabalharmos com sequências e note que ∀δ > 0 sempreé possı́vel se encontrar um natural n talque 1

n < δ . Assim, podemos trabalhar

com números da forma 1n

no lugar dos δ ’s, a vantagem é que enquanto osδ ’s são totalmente arbitrário e portanto fazem parte de um conjunto nãoenumerável, os números na forma 1

n são enumeráveis. Assim sendo, vejamos

como as coisas funcionam: Denotemos o x correspondente ao δ = 1n

por xn.Assim para demonstrarmos a descontinuidade de f em x0 devemos exibir

um número real positivo ϵ e uma sequência de pontos xn ∈ E tais qued1(xn, x0) < 1n < δ e no entanto d2(f (xn), f (x0)) ≥ ϵ.

Vejamos como podemos aplicar isto para mostrar que a inversa da funçãodo exemplo anterior é não cont́ınua em todos os pontos de seu domı́nio:

Seja g a função inversa de f (t) = (cost, sent). Seja p = f (0) = (1, 0)Vamos mostrar que g é descont́ınua em p. Tomemos ϵ = π e ∀δ tomemosn o primeiro natural que satisfaça 1

n < δ . Denotemos por tn = 2π − 1n e

z n = f (tn) de forma que g(z n) = t + n = 2π − 1n . Logo, |z n − p| < 1n < δ e noentanto

|g(z n)

−g( p)

| =

|2π

− 1

n −0| =

|2π

− 1

n | > π = ϵ. E isso demonstra

que a função g é descontı́nua no ponto p.

Assim, somos levados naturalmente à seguinte definição:

DEFINIÇ ÃO 2.3.6 Homeomorfismo Considere f : E → F uma bijeç˜ aoentre espaços métricos. Dizemos que f é um homeomorfismo se f e sua inversa f −1 s˜ ao contı́nuas.

EXEMPLO 2.3.8 Vamos voltar ao nosso exemplo envolvendo seqûencia à dois śımbolos (0’s e 1’s), isto é nosso espaço Σ do exemplo 4:

Σ = {(s0, s1, s2, ...)|s j ∈ {0, 1}}munido da seguinte métrica:

d(s, t) =∞∑

i=0

|si − ti|2i

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A aplicaç˜ ao deslocamento para a esquerda, ou simplesmente ”desloca-mento”ou ainda, da terminologia em ingl̂es: shift σ : Σ → Σ é definida por: σ((s0, s1, s2,...)) = (s1, s2,...).

Vamos agora mostrar que a aplicação σ é contı́nua em todo ponto de Σ. Paratanto necessitaremos entender o significado de ”proximidade de dois pontosdeste espaço”. Isto nos é dado pelo seguinte teorema:

TEOREMA 2.3.2 O TEOREMA DA PROXIMIDADE Consider-emos duas sequências de Σ, s e t. Se si = ti para i = 0, 1, ...n entãod(s, t)

≤ 1

2n . Reciprocamente se d(s, t) <

1

2n ent˜ ao s

i = t

i ∀i ≤

n

DEMONSTRAÇ ÃO: Primeiramente vamos demonstrar a afirmação:Se si = ti para i = 0, 1, ...n ent˜ ao d(s, t) ≤ 12n . Vejamos:

d(s, t) =∞∑

i=0

|si − ti|2i

=∞∑

i=n+1

|si − ti|2i

≤∞∑

i=n+1

1

2i =

1

2n

agora vamos demonstrar a outra afirmação, ou seja: se d(s, t) < 12n

entãosi = ti ∀i ≤ n. Suponhamos por absurdo que exista n0 ≤ n tal que sn0 ̸= tn0.Então:

d(s, t) =∞∑

i=0

|si − ti|2i

= 1

2n0+

∞∑i=0, i̸=n0

|si − ti|2i

≥ 12n0

≥ 12n

TEOREMA 2.3.3 (A Aplicaç~ao σ é cont́ınua) A aplicaç˜ ao deslocamentoσ : Σ → Σ definida por: σ((s0, s1, s2,...)) = (s1, s2,...) é contı́nua em todos os pontos de seu domı́nio.

DEMONSTRAÇ ÃO: Vamos seguir aqui a abordagem feita em sala deaula. Embora este caminho não seja o mais ”elegante”creio que vale a penasegui-lo por ele ter sido fruto do raciocı́nio escolhido pelos alunos. Inicial-mente mostraremos a continuidade na origem 0 = (0, 0, 0,...)

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Vamos escrever o que queremos mostrar:

∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 / d1(x, 0) < δ ⇒ d2(σ(x), σ(0)) < ϵ

Vamos re-escrever a expressão acima numa forma mais palatável:Considere ϵ > 0 um número real fixado. Devemos exibir um número realpositivo δ , (que possivelmente dependerá do tal ϵ dado) de tal forma quepara qualquer x = (x1, x2,...) ∈ Σ que satisfaça d1(x, 0) < δ , a imagemdeste x pela σ, ou seja σ(x) deve satisfazer d2(σ(x), σ(0)) < ϵ. Porém,σ(0) = 0 e assim devemos encontrar δ > 0 tal que d2(σ(x), 0) < ϵ.

No nosso caso em particular temos que E = F e d1(s, t) = d2(s, t) =

d(s, t) =∞∑

i=0

|si − ti|2i

. Ou seja:

∞∑i=0

|xi − 0|2i

< δ ⇒∞∑

i=0

|xi+1|2i

< ϵ

ou seja:

x0 + x1

2 +

x222

+ x323

+ ... < δ ⇒ x1 + x22

+ x322

+ x423

+ ... < ϵ

x0 + 1

2(x1 +

x22

+ x322

+ ...) < δ ⇒ x1 + x22

+ x322

+ x423

< ϵ

Portanto basta tomarmos δ = x0 + ϵ2

e claramente a implicação se verifica.

OBS: É fácil de se perceber que o δ que satisfaz a definição de continuidadenão é único. Assim, se um δ verifica a implicação, qualquer δ ′ < δ tambémo faz. Assim, se tivéssemos escolhido δ = ϵ

2 também teŕıamos conseguido

demonstrar a continuidade de σ em 0. Tente fazer isso como exerćıcio!

Agora vamos verificar que σ é contı́nua em um ponto s qualquer de Σ. Aidéia que seguiremos será um pouco diferente do que foi feito acima pois ofato de termos escolhido inicialmente o ponto 0 simplificou demais nossoscálculos.

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Vamos escrever o que queremos mostrar:

∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 / d(x, s) < δ ⇒ d(σ(x), σ(s)) < ϵ

O truque aqui é fazermos uso do teorema da proximidade que diz que duassequências estão tão mais próximas quanto maior for a quantidade de en-tradas iniciais coincidentes. A dificuldade inicial é que tal noção nos remetea uma proximidade medida em termos de potências de 1/2.Isto pode ser con-tornado com o seguinte racioćınio: Fixado o ϵ > 0 encontre n ∈ N tal que(1/2)n < ϵ. Assim, basta encontrarmos δ > 0 tal que:

∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 / d(x, s) < δ ⇒ d(σ(x), σ(s)) < 12n

mas, do teorema da proximidade sabemos que a segunda desigualdade ocorrese as duas sequências: σ(x), σ(s) coincidirem até a n-ésima entrada. Istoacontecerá se as sequências originais, x e s coincidirem até a n + 1-ésimaentrada.O que por sua vez, significa que d(x, s) < 1

2n+1. Portanto tomando

δ = 12n+1

o resultado segue.

2.4 EXERCÍCIOS

1. Verifique que os exemplos desta seção são, de fato, espaços métricos.

2. Seja d : RxR → R+ , definida por d(x, y) = (x − y)2. Verifique se d éuma métrica.

3. Seja d : ExE → R+ definida por d(x, y) = 1 se x ̸= y e d(x, y) = 0 sex = y. Verifique se d é uma métrica.

4. Para cada uma das 4 condições que caracterizam uma métrica, obtenhauma função d : RxR → R que não a cumpre mas satisfaz as outras 3.

5. Mostre que toda função Lipschtiziana é contı́nua.

6. Se f : R → R é derivável e sua derivada é limitada, então tal função éLipschitziana.

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7. Seja d : ExE

→ R+ uma métrica. Verifique que α(x, y) = √ d(x, y),β (x, y) = d(x,y)1+d(x,y) e γ (x, y) = min{1, d(x, y)} são métricas em E.

8. Métricas Equivalentes. Considere duas métricas, d1 e d2, definidassobre o mesmo conjunto ExE. Dizemos que ela são equivalentes seexistirem constantes c1 > 0 e c2 > 0 tais que c1d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤c2d1(x, y), ∀ (x, y) ∈ ExE. Mostre que as 3 métricas de Rn são equiv-alentes.

9. Mostre que a função f (x) = x2 é cont́ınua com qualquer uma dasmétricas acima.

10. Mostre que se d1 e d2, são métricas equivalentes em ExE, então f :(E, d1) → (E, d1) é contı́nua se e somente se f : (E, d2) → (E, d2) écont́ınua.

11. Mostre que δ = ϵ2

também serviria na para demonstrar a continuidadede σ.

12. Mostre que σ é um homeomorfismo.

13. Use o Teorema da Proximidade para explicitar um critério que permitadizer quando duas sequências dadas s e t, têm, entre si, uma distância

maior ou igual a 1

2n0 .14. Dada s = (0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0,...).

(a) Encontre, se existir, t ∈ Σ tal que 137

< d(s, t) < 17

.

(b) Quantas possibilidades distintas existem para t se exigirmos queσ6(t) = σ6(s)

15. Dada s = (0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0,...).

(a) Encontre uma sequência t

∈ Σ tal que 0, 001 < d(s, t) < 0, 01.

(b) Exiba todas as sequências que satisfaçam as condições do ı́temanterior.

(c) Identifique, dentre as sequências obtidas no ı́tem anterior, a maispróxima e a mais distante à s.

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16. Dada s = (0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0,...). Encontre, se existir, t

∈ Σ tal que

160 < d(s, t) < 137 . Caso contrário, justifique a sua não existência.

17. Considere t = (0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, , 1, 0,...) ∈ Σ. Dado ϵ =121

, encontre um ponto periódico s = (s0s1...sns0s1...sn), pela aplicaçãoσ, tal que d(s, t) < ϵ.

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Caṕıtulo 3

FUNDAMENTOS DE

ANÁLISE

3.1 ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES

Muitas vezes, quando estamos estudando uma função, as informações maisimportantes estão contidas no conjunto imagem desta função. Isto certa-mente é o caso das sequências (ou sucessões) reais:

DEFINIÇ ÃO 3.1.1 ( Sequ^ encia ) Uma sequência , (ou sucess˜ ao) real é uma funç˜ ao S : N → R.

1. EXEMPLO 3.1.1 S (n) = n2 + 1. Como salientado anteriormente,no caso das seqûencias reais estamos mesmo é interessados na im-agem dessa funç˜ ao e em seu comportamento quando n → ∞. Assim,para simplificar nosso entendimento de sequências, usaremos a seguinte notaç˜ ao: S (n) = sn e apresentaremos o conjunto imagem desta funç˜ ao

ordenando esses valores e colocando-os entre par̂enteses. Neste nossoexemplo ent˜ ao segue que: s1 = 2, s2 = 5, s3 = 10, etc. E diremos simplesmente que nossa sequência é S = (2, 5, 10, 17,...)

2. EXEMPLO 3.1.2 S (n) = 1n

. Ou simplesmente: S = (1, 1/2, 1/3, 1/4,...).Este exemplo nos leva naturalmente ao conceito de ”convergência de

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sequências”. Parece muito natural a seguinte afirmaç˜ ao ”Esta sequência

se aproxima indefinidamente do 0”, ou em outros termos: ”Esta sequência tende a 0”, ou ainda ”Esta sequência converge para 0”. Na tentativa de definirmos precisamente este conceito precisamos tentar responder à algumas perguntas: 1) O que entendemos por este ”se aproxima”? 2)O que significa ”indefinidamente”?

Depois da introdução de métrica na secção anterior, fica claro que onosso conceito de ”se aproximar”depende da métrica a ser adotada. Comoo conceito de proximidade em questão diz respeito aos termos da sequência(números reias, portanto) e o 0,(também um número real), então nosso con-

ceito de proximidade depende de uma métrica a ser escolhida para R

. Nocaso mais geral, poderia ser qualquer métrica em R (existem outras?), noentanto vamos preferir a métrica chamada de métrica euclidiana canônica ,isto é: d(x, y) = |x − y|.

OBS: Indefinidamente, ou arbitrariamente significa: ”tanto quanto se queira”,ou seja, se quisermos encontrar termos de nossa sequência cuja distância ao 0é menor que um bilionésimo; deveŕıamos ser capazes de consegúı-lo. Vamosformalizar isto matematicamente:

DEFINIÇ ÃO 3.1.2 ( Sequ^ encia convergente) Dada uma sequência real S n e um n´ umero real L, dizemos que S n converge a L se, para qualquer ϵ,positivo (por menor que ele seja), existe n0, uma posiç˜ ao na sequência, a partir da qual a distˆ ancia dos termos da sequência ao n´ umero L é menor que ϵ. Matematicamente, existe n0 tal que:

∀ n ≥ n0 ⇒ |xn − L| < ϵ .

Quando uma sequência xn converge para um valor x0, é comum utilizarmos

a seguinte notação:

xn → x0

ou ainda:

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limn→∞

xn = x0

EXEMPLOS: Voltando ao exemplo 2, se considerarmos ϵ = 0, 00000001então, para mostrarmos que nossa sequência converge à 0, devemos exibirum n0, ou seja uma ”posição”na sequência a partir da qual todos os ele-mentos da sequência estão a uma distância do 0 menor que ϵ = 0, 00000001.Vamos encontrar tal posição!

DEFINIÇ ÃO 3.1.3 (Sequência Limitada) Dado uma sequência (xn), dize-mos que ela é limitada se existe uma constante positiva M tal que |xn| < M para todo n ∈ N.

Sobre as sequência limitadas temos os seguintes resulta dos:

1. Toda sequência convergente é limitada.

2. Nem toda sequência limitada é convergente.

DEFINIÇ ÃO 3.1.4 (Sequência Mon ́otona Crescente/Decrescente) Dizemos

que uma sequência xn é crescente (respct. decrescente) se ∀ n ∈ N temos xn < xn+1(respectivamente xn > xn+1).

Ainda de forma análoga podemos definir “Sequência monotóna não cres-cente” e “Sequência monotóna não decrescente”

Um resultado importante ligando a noção de sequência limitada com anoção de sequência monótona é a seguinte:

TEOREMA 3.1.1 Toda sequência limitada e crescente (ou decrescente) é

convergente.

A noção de convergência formalizada acima nos diz que os valores dasequência se aproximam arbitrariamente de L. Como a noção de continuidadede funções está diretamente ligada a este conceito, podemos fornecer uma

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definição de continuidade baseada inteiramente no conceito de sequências.

Pode ser mostrado que tal definição é inteiramente equivalente à definição decontinuidade dada por ϵ′s e δ ′s mas isto está além dos objetivos deste curso(ver [9]).

TEOREMA 3.1.2 ( Continuidade) Considere f : R → R uma funç˜ ao real qualquer. Dizemos que f é cont́ınua no ponto x0 ∈ R se, para toda sequência real, (xn) tal que xn → x0 temos que a sequência das imagens, isto é (f (xn))converge para f (x0). Dizemos que f é cont́ınua em R se f for contı́nua em todo ponto de R.

Isto é o mesmo que dizer que se f é cont́ınua em x0 então

xn → x0 ⇒ f (xn) → f (x0)

ou ainda:

limn→∞

f (xn) = f ( limn→∞

(xn))

ou seja, como costumamos dizer: ”O limite pode ser passado para dentro dafunção”.

DEFINIÇ ÃO 3.1.5 ( Ponto Fixo) Considere f : R → R uma funç˜ ao real qualquer. Dizemos que f tem um ponto fixo em x = x0 se f (x0) = x0.

TEOREMA 3.1.3 ( Teorema do Valor Intermedi´ ario) Seja f : [a, b] →R cont́ınua e suponha que y0 seja um valor intermedi´ ario aos valores f (a) e f (b). Ent˜ ao y0 é a imagem de algum ponto x0 ∈ [a, b].

OBS: A demonstração deste teorema poderá ser encontrada em ([12]). Con-tudo, vale a pena salientar que tal resultado, fortemente intuitivo, tem umademonstração não trivial. Tal fato justifica um estudo mais aprofundado decertos temas mesmo por aqueles que pretendem se dedicar exclusivamente aensinar matemática no ensino médio.

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TEOREMA 3.1.4 ( Primeiro Teorema do Ponto Fixo:) Toda funç˜ ao cont́ınua

de um intervalo fechado nele mesmo, admite pelo menos um ponto fixo.

DEMONSTRAÇ ÃO: Considere a função H (x) = f (x) − x. Se [a, b] é ointervalo de definição da f então também o será para H . Claramente temosque:

H (a) = f (a) − a ≥ 0 H (b) = f (b) − b ≤ 0Segue então do teorema anterior que ∃ c ∈ [a, b] tal que H (c) = 0. E istoresolve nosso problema.

TEOREMA 3.1.5 ( Segundo Teorema do ponto fixo) Se f é uma funç˜ aocont́ınua e a sequência das iteradas por f , isto é : xn+1 = f (xn) é uma sequência convergente, ent˜ ao o limite desta sequência é um ponto fixo.

DEMONSTRAÇ ÃO: Definimos a sequência das iteradas: xn+1 = f (xn) eseja x0 = lim

x→∞xn. Devemos mostrar que x0 = f (x0). Vejamos

f (x0) = f ( limx

→∞

xn) = limx

→∞

f (xn) = limx

→∞

xn+1 = x0.

onde a segunda igualdade acima é válida devido à continuidade da função f .

DEFINIÇ ÃO 3.1.6 ( Sequ^ encia de Cauchy ) Uma sequência real S n é chamada de Sequência de Cauchy se para qualquer ϵ, positivo (por menor que ele seja), existe n0, uma posiç˜ ao na sequência, a partir da qual a distˆ ancia entre termos da sequência é menor que ϵ. Matematicamente, existe n0 tal que:

∀ n > m

≥ n0

⇒ |xn

−xm

| < ϵ .

TEOREMA 3.1.6 Toda sequência convergente é uma sequência de Cauchy.

DEMONSTRAÇ ÃO: : Dado ϵ > 0, qualquer, devemos exibir um n0 ∈ Ntal que

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∀ n > m�

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