SISTEMI LINEARNIH SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINAJEDNAČINA

1. VEKTORSKE I MATRIČNE NORME1. VEKTORSKE I MATRIČNE NORME

X - linearan vektorski prostor

Definicija:Definicija: Prostor je normiran ako je definisana funkcija

koja ima osobine:

X RX:

yxyx

xx

xx

x

4

3

002

01

Neka je . Tada je RR inn xxxxX ,...,, 21

,1,/1

1

pxxpn

i

p

ip

norma na . nR

Specijalni slučajevi:

11

1/ 22

21

1

1: (apsolutna norma)

2 : (euklidska)

: max (unifomna)

n

ii

n

ii

ii n

p x x

p x x

p x x

T)2,1,1( xPrimer:

22,1,1max

6)2(1)1(

4211

222

2

1

x

x

x

Ako je normiran prostor, rastojanje između elemenata se definiše relacijom

X

yxyxd ),(

Xyx ,

A B

BAAB

BABA

AA

AA

A

5

4

3

002

01

Definicija:Definicija: Realna funkcija definisana na skupu kvadratnih matrica reda n je matrična norma ako su za proizvoljne matrice i i proizvoljan skalar zadovoljeni sledeći uslovi:

Primeri matričnih normi:

1 11

1/ 22

E, 1

11

max (apsolutna)

(Frobenijusova)

max (uniformna)

n

ijj n

i

n

iji j

n

iji n

j

A a

A a

A a

Primer:

115

130

121

A

77,4,4max

331...0241

63,6,6max

E

1

A

A

A

Definicija:Definicija: Norma matrice je saglasna datoj vektorskoj normi ako je

xAAx

A x

i,,

E1

za proizvoljnu kvadratnu matricu i proizvoljan vektor .

Može se pokazati da su matrične norme saglasne odgovarajućim vektorskim.

2. SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA2. SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA

11 1 12 2 1 1

1 1 2 2

11 1 1 1

1

...

...

ili

( 1 )

gde je

, , .

n n

n n nn n n

n

n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

Ax b

a a x b

A x b

a a x b

: sistem (1) ima jedinstveno rešenje.0)det( A

METODE:

1) direktne ( Gausova, metode faktorizacije, ...)

2) iterativne ( proste iteracije, Jakobijeva, Gaus-Zajdelova, ...)

METODA PROSTE ITERACIJE

Ideja: , ( - iteraciona matrica)Ax b x Mx B M

( 1) ( ) , ( 0,1, ...) ( 2)k kx Mx B k Iterativni proces:

Realizacija:

...),1,0(,

.,;

)(

)()1(

11

11

kBMxx

bNBPNMBMxx

bNPxNx

bPxNx

bxPN

PNA

kk

Teorema 1.:Teorema 1.: Neka je i neka postoji takvo da je PNA 0L .11 LPN

A

tx )(kx

.lim )( tk

kxx

.)0()( tktk xxLxx

0Ay0y

00)1(11 yyLyLyPNPyNy

Tada važi:

1) je nesingularna matrica.

2) Ako je tačno rešenje sistema (1), a niz definisan relacijom (2), onda je

3)

Dokaz:Dokaz:

1) Pretpostavimo da je A singularna matrica. Tada matrična jednačina ima netrivijalno rešenje: . ( Seti se homogenog sistema linearnih jednačina! ). Dalje je:

( kontradikcija )

2), 3):

.lim

je pa

,01

sledi )( i )( iz

)(1

1

,)1(

)(;

)(

)1()0()(

)1()0()0(

)1()0()0(

)0()1()0(

)1()1()0()1()1()0()0(

)0()2(2

)1()1()1()(

tk

k

ktk

t

t

t

ttt

tktk

tktktktk

xx

kxxL

Lxx

xxL

xx

xxxxL

xxLxx

xxxxxxxxxx

xxLxxM

xxMxxMbMxbMxxx

Ocena greške pomoću poslednje dve iteracije:

.1

)()1()(

)()()1(

)()()1()1()(

kktk

tkkk

tkkktktk

xxL

Lxx

xxLxxL

xxxxLxxLxx

nkk xkBMxx R )0()()1( );...,1,0(,

1)( M

Teorema 2.:Teorema 2.: Iterativni proces

konvergira ako i samo ako je , gde je

spektralni radijus matrice . MM matrice vrednost sopstvena je :max)( M

JAKOBIJEVA METODAJAKOBIJEVA METODA

bAx DULA

,...)1,0(,)(

)(

:)(,

1)(1)1(

11

kbDxULDx

bDxULDxbAx

PNAULPDN

kk

0

00

000

21

21

nn aa

aL

nna

a

a

D

00

00

00

22

11

000

00

0

2

112

n

n

a

aa

U

112

11 11

2211

22 22

1 2

0

0( )

0

n

n

J

n n

nn nn

aa

a a

aa

a aM D L U

a a

a a

(1)

Iteraciona matrica:

,...1,0;...,,1,1

1

)()1(

knia

bxa

ax

ii

in

ijj

kjij

ii

k

i

),...,1(,1

niaan

ijj

ijii

A

)(kx)0(xA

skalarno:

Teorema 1.(dovoljan uslov konvergencije):Teorema 1.(dovoljan uslov konvergencije): Ako je dijagonalno dominantna, tj ako je

onda je matrica regularna i niz konvergira rešenju sistema (1) za proizvoljno .

Dokaz:Dokaz: Iz dijagonalne dominantnosti sledi da je .1JM

nnnn

n

k

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

1

)(kxTeorema 2.(potreban i dovoljan uslov konvergencije):Teorema 2.(potreban i dovoljan uslov konvergencije): Potreban i dovoljan uslov da niz konvergira rešenju sistema (1) je da sva rešenja jednačine

zadovoljavaju uslov .

Dokaz:Dokaz:

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

DUL

21

22221

11211

BMxxbAx 21 MMM

0

00

000

21

211

nn mm

mM

11 12 1

22 22

0

0 0

n

n

nn

m m m

m mM

m

Međutim,

GAUS – ZAJDELOVA METODAGAUS – ZAJDELOVA METODA

Ideja:

,

),...;1,0(, )0()(2

)1(1

)1( nkkk xkBxMxMx R

Iterativni proces:

1 1

1

det det det

det det 0 det 0

JM I D L U I D L U D

D L U D L U D

,...1,0,1)(1)1( kbLDUxLDx kk

,N D L

1.GM D L U

A

11 12 1

21 22 2

1 2

0

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

1

UP

A

Specijalno, ako se uzme :

(1)

Iteraciona matrica:

Dovoljni uslovi konvergencije:

1) je simetrična i pozitivno definitna matrica

2) dijagonalna dominantnost matrice

Teorema (potreban i dovoljan uslov konvergencije):Teorema (potreban i dovoljan uslov konvergencije): Niz (1) konvergira rešenju sistema ako i samo ako svi koreni jednačine

zadovoljavaju uslov .

Dokaz:Dokaz:

Napomena:Napomena: Ako se Gaus – Zajdelova metoda primeni na Jakobijevu dobije se

varijanta Nekrasova.

0))(det(

0))(det()det())(det()det( 11

LDU

LDULDIULDIMG