t6sistemastrifasicos

Escuela Técnica Superior de Ingenieros deCaminos, Canales y PuertosAsignatura: ELECTROTECNIA

© Saturnino Catalán Izquierdo. UPV -1-

e1(t)'Emáxcos(ωt) PE1'Ee jωt

e2(t)'Emáxcos(ωt& 2π3

) PE2'Eej(ωt& 2π

3)

e3(t)'Emáxcos(ωt& 4π3

) PE3'Eej(ωt& 4π

3)

Tema 6SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS

Índice:1.- Generación de un sistema trifásico: estrella, triángulo. Características. Nomenclatura.2.- Ventajas frente a los monofásicos.3.- Equivalentes estrella ]triángulo4.- Análisis: Estudio de una fase.5.- Caída de tensión en la línea.6.- Potencia.

1.- Generación de un sistema trifásico: estrella, triángulo. Característi-cas. Nomenclatura.

Un sistema trifásico está formado simplemente por un conjunto de trestensiones iguales cuyos fasores desfasan radianes, es decir, denominando E1, E2

2π3y E3 a las fuerzas electromotrices y tomando como origen de ángulos E1:

Este sistema puede obtenerse mediante tres generadoresiguales girando sincronizadamente con el desfase apropiado. Sinembargo, en aplicaciones de potencia, resulta mucho más sencilloobtenerlo mediante un único generador que disponga de tresbobinas iguales pero situadas formando radianes en el interior2π

3de las cuales gira un campo magnético. Los generadores depotencia son siempre trifásicos.

En cualquier caso, para que el sistema pueda denominarsetrifásico, es necesario que exista algún nudo común a las trestensiones. Las dos posibilidades básicas son:

S Conexión estrella: Conectando entre sí los bornes XYZde las fuentes se obtiene un generador trifásico conec-tado en estrella. A los bornes UVW se les denominafases, respectivamente, RST o ABC y al nudo XYZ se ledenomina neutro N.

S Conexión triángulo: Como la suma de las tres fuerzaselectromotrices es cero, los generadores tambiénpueden conectarse formando un lazo. A esta forma deconexión se denomina triángulo.



De igual forma, e independientemente de como se haya conectado el generador, los receptores puedenconectarse en estrella o en triángulo.

Nomenclatura:

� Receptor trifásico y receptor monofásico: Los sistemas eléctricos de potencia son siempretrifásicos, pero los receptores se denominan trifásicos si para su funcionamiento precisan,obligatoriamente, una alimentación trifásica (por ejemplo, como veremos, los motores trifásicos)y se denominan monofásicos si son como los elementos pasivos que hemos manejado hasta ahora,esto es, sólo necesitan conectarse a una fuente alterna.

� Sistema equilibrado: Los sistemas trifásicos se denominan equilibrados cuando las tensiones entodas las fases y las corrientes en todas las fases son iguales y forman radianes. Como, en2π

3condiciones normales, los generadores trifásicos entregan tensiones equilibradas (generadorequilibrado), para que el sistema sea equilibrado es suficiente que las impedancias en todas lasfases sean iguales (carga equilibrada).

� Línea: Es el conjunto de tres conductores (RST o ABC) que unen cada carga o generador trifásicoen el resto de la instalación. Se denomina corriente de línea al valor eficaz de la corriente quecircula por estos conductores y tensión de línea al valor eficaz de la diferencia de potencial entrecualquier pareja de estos conductores.

� Fase: Tiene un doble significado, por una parte se denomina fase R, fase S o fase T a cada uno delos conductores del sistema trifásico, por otra parte se denomina fase a cada uno de loscomponentes monofásicos de los generadores o de las cargas trifásicas (en los gráficos los hemosdenominado 1, 2 y 3).Con la primera acepción se indica, por ejemplo, la corriente en la fase R (para destacar aquello quees distinto de la fase S y de la fase T: el ángulo en sistema equilibrados o todo en sistemasdesequilibrados). Con la segunda acepción, se denomina corriente de fase al valor eficaz de lacorriente que circula por los componentes monofásicos y tensión de fase al valor eficaz de latensión de los componentes monofásicos.


(1) En las redes de alta tensión y en los sistemas de baja tensión que alimentan a receptores trifásicos es habitual que noexista el conductor neutro. En la alimentación a receptores monofásicos, incluso cuando el conjunto esté equilibrado,sí se incluye para permitir su funcionamiento en caso de que, por avería de un receptor u otra causa, deje de estarequilibrado.

(2) La simetría de los sistemas trifásicos permite, eligiendo un buen convenio de signos, que las ecuaciones presententambién un aspecto simétrico.

(3) La tensión de línea es 2@Ufase@sen60º' 3@Ufase


PIN'PIR%

PIS%PIT'0

PURS'PU1&

PU2PIR'

PI 1

PUST'PU2&

PU3PIS'

PI 2

PUTR'PU3&

PU1PIT'

PI3

Convenios de signos:

Completando los que hemos venido estableciendo, en los sistemas trifásicos se consideran lascorrientes en las líneas dirigiendose desde los generadores hacia las cargas por R, S y T y, si están en estrella,retornando por el conductor neutro.

Características de la conexión estrella equilibrada:

En la conexión estrella, cuando el sistema está equilibrado, las corrientes en las fases son iguales perodesfasadas radianes. Así, la corriente que circula por el conductor neutro es cero.2π

3

Esto implica que, incluso aunque la impedancia del conductor neutro sea muy grande, la diferenciade potencial entre el centro de estrella de la carga (CE) yel centro de estrella del generador (N) será siempre cero.La conclusión es que el sistema no cambia si se eliminapor completo el conductor neutro(1). En lo sucesivo, enlos sistemas trifásicos equilibrados, el conductor neutrolo representaremos a trazos para indicar que, existafísicamente o no, UCE,N = 0.

Observando el gráfico de las cargas en estrella, yde forma análoga para los generadores, se obtiene(2):

O de forma más compacta, refiriendonos a losvalores eficaces:

� Ulínea = %3 Ufase� Ilínea = Ifase

La primera expresión se obtiene rápidamente observando la representación gráfica de las ecuacionesde tensiones(3).


(1) En la línea monofásica existen dos conductores de resistencia recorridos por una corriente :R'ρ@ longitudsecciónI

I' SU

PPI'2@RI 2'2@ρ@ longitudsecciónI

@ SU

2

En la línea trifásica existen tres conductores y cada fase es de una potencia S/3, si está en estrella la tensión de fase es

Ufase = U/%3 así la corriente en cada conductor es . Se obtiene el mismo valor si se conecta en triángulo.I' S/3U/ 3

PPIII'3@RI 2'3@ρ@ longitudsecciónIII

@ S3@U

2

Para que la potencia perdida sea la misma: y teniendo el cuenta el número de conductores desecciónI'2@secciónIII

cada tipo de línea se obtiene volumenI'43

volumenIII


PIR%PIS%

PIT'0

PURS'PU1

PIR'PI 1&

PI3

PUST'PU2

PIS'PI 2&

PI1

PUTR'PU3

PIT'PI3&

PI 2

Características de la conexión triángulo equilibrado:

En la conexión triángulo, como no existe conductor neutro, incluso aunque el sistema estédesequilibrado la suma de corrientes de línea escero:

Observando el gráfico de las cargas entriángulo, y de forma análoga para los generadores,se obtiene:

O de forma más compacta, refiriendonos alos valores eficaces:

� Ulínea = Ufase� Ilínea = %3 Ifase

La segunda expresión se obtiene de forma análoga a como se obtuvieron las tensiones en estrella.

2.- Ventajas frente a los monofásicos.

S El volumen de conductor necesario para el transporte es menor:Si se compara, por ejemplo, una línea monofásica de tensión U con una línea trifásica con tensiónde línea Ulínea = U, para que las pérdidas de potencia en el transporte sean iguales (PpIII = PpI) elvolumen de conductor requerido por la línea monofásica es 4/3 del requerido por la líneatrifásica(1).


p1(t)'12

[U@I@e j(n)%U@I@e j(2ωt%n)%U@I@e &j(n)%U@I@e &j(2ωt%n)]

p2(t)'12

[U@I@e j(n)%U@I@ej(2ωt& 4π

3%n)%U@I@e &j(n)%U@I@e

&j(2ωt& 4π3%n)

]

p3(t)'12

[U@I@e j(n)%U@I@ej(2ωt% 4π

3%n)%U@I@e &j(n)%U@I@e

&j(2ωt% 4π3%n)

]

(1) Operando con la escritura exponencial de la potencia instantánea y tomando como origen de ángulos la corriente en lacomponente monofásica (1) la potencia instantánea en cada fase es:

Sumando, se obtiene el resultado indicado.


S La potencia instantánea es constante:

La potencia en un sistema monofásico presenta un cierto valor medio al que se suma una sinusoidedel doble de frecuencia que la corriente o la tensión. En un sistema trifásico la potencia es la sumade las potencias de los tres sistemas monofásicos que los componen. En los sistemas equilibradoslos valores medios en todas las fases son iguales y las componentes sinusoidales de las tres fasestambién, pero están desfasadas 120º por lo que su suma es cero. El resultado es que la potenciainstantánea en un sistema trifásico es: , siendo n= nu-ni en cualquiera de lasPIII(t)'3@U@I@cosnfases(1).

La consecuencia de esto es que las máquinas trifásicas (por ejemplo motores, que conviertenenergía eléctrica en mecánica, o generadores, que realizan la conversión opuesta) son notablemen-te más pequeñas que las monofásicas. En efecto, observando en el punto 5 del tema 5 la funciónp(t) de un receptor monofásico , por ejemplo resistivo puro, se comprueba que oscila entre losvalores p(t)=0 y p(t)=2 P (siendo P la potencia media o potencia activa), como las máquinas hande diseñarse, al menos mecánicamente, para que transmitan la potencia máxima que alcanzan, lapotencia de diseño de las máquinas monofásicas es del orden del doble que la de las máquinastrifásicas.

Estas ventajas también las presentan otros sistemas con mayor número de fases (por ejemplohexafásicos con seis fases iguales desfasadas 120º o dodecafásicos con doce fases iguales a 30º) pero elsistema más sencillo es el trifásico por esto es, casi exclusivamente, el único utilizado.

3.- Equivalentes estrella ]]]]triángulo

Impedancias equivalentes: Para que las parejas de valores {tensión, corriente} sean las mismas en losbornes RST de tres impedancias de valor ZY conectadas en estrella y en los bornes de tres impedanciasde valor Z∆ conectadas en triángulo es necesario que la impedancia en bornes sea la misma en amboscasos.


(1) La demostración es muy rápida: se obtiene el equivalente de Norton de cada fase del generador en estrella, elresultado son tres fuentes de corriente y tres impedancias en estrella, ahora se obtiene el equivalente en triángulo delas fuentes de corrientes y de las impedancias, finalmente se obtiene el equivalente de Thevenin de cada fase y elresultado es un generador equivalente en triángulo. El proceso inverso permite obtener la estrella equivalente a ungenerador en triángulo.


Comparando la impedancia que se observa en los bornes de ambos circuitos, debe cumplirse que. Simplificando esta expresión, se obtiene que .2@ZY'

11

Z∆%

12Z∆

3 PZY'PZ∆

Generadores ideales equivalentes: Si son de corriente, deben entregar la misma corriente en bornes,si son de tensión, la misma tensión en bornes. Aplicando esto, por ejemplo, a la equivalencia entrefuentes de tensión se observa que la tensión en bornes (tensión de línea) en estrella es: ,Ulínea' 3@EYmientras que en triángulo vale: . Luego para que sean equivalente debe cumplirse queUlínea'E∆

.3@EY'E∆

Generadores reales equivalentes: Un generador real puede representarse, por ejemplo, mediante suequivalente de Thevenin en cada fase. Si se encuentra conectado en estrella, su equivalente entriángulo se halla simplemente aplicando las relaciones que hemos obtenido para las impedancias ypara las fuentes ideales(1).

Debe observarse que los equivalentes en estrella de sistemas conectados en triángulo, se utilizan parafacilitar el análisis de los circuitos. Cosa distinta es que, en realidad, los generadores y los receptores trifásicospueden conectarse indistintamente en triángulo o en estrella. La forma finalmente elegida depende de latensión de la red en la que deban funcionar porque el valor que debe mantenerse invariable es la tensión defase (que es la tensión que se aplica a cada uno de los componentes monofásicos). Como en las placas decaracterísticas de las máquinas trifásicas se indican las tensiones y corrientes de línea, lo normal es quefiguren dos valores para cada magnitud (por ejemplo, 230/400 V significa que la tensión de línea es 230 Ven triángulo y 400 V en estrella, de esta forma la tensión de fase siempre es la misma: 230 V), el valor mayorde tensión de línea corresponde, obviamente, con la conexión estrella y el valor mayor de corriente de líneacon la conexión triángulo.



4.- Análisis: Estudio de una fase.

La simetría de las magnitudes en las tres fases de un sistema trifásico equilibrado (es decir: todos losvalores de tensiones y corrientes son iguales pero desfasados 120º) permite conocer la solución a cualquierproblema trifásico resolviendo únicamente una de las tres fases. Para que esto resulte sencillo es convenienteestablecer una sistemática, por ejemplo:

1º.- Se parte del circuito original con generadores y cargas conectadas unas en estrella y otras entriángulo.

2º.- Se obtiene el equivalente en estrella de todos los generadores y de todas las cargas que existanen el circuito. Si se conocen las fuerzas electromotrices de los generadores en triángulo y lasimpedancias de las cargas en triángulo se aplican las relaciones que hemos obtenidoanteriormente. Si se conocen las tensiones o corrientes de línea de los elementos que estén entriángulo se aplican las relaciones linea ø fase de la conexión estrella. Si lo que se conocees la potencia total de los elementos que estén en triángulo, la potencia de una fase, esté enestrella o en triángulo, es a de la total.

Es conveniente destacar que sólo se obtiene el equivalente en estrella de los generadores y lascargas que se encuentren en triángulo. Las restantes cargas y generadores en estrella, así comotodas las líneas que conectan unos elementos con otros permanecen invariables.

3º.- Se separa una de las fases del sistema equivalente en estrella y se analiza (por ejemplo la faseR). Fijémonos que, existiese o no conductor neutro en el circuito original, en el equivalenteen estrella podemos considerarlo y es necesario para poder analizar una fase.

4º.- En ocasiones, por ejemplo porque se deban obtener las corrientes y tensiones de fase deelementos en triángulo, deberemos deshacer las equivalencias estrellaø triángulo aplicandolas relaciones linea ø fase de la conexión triángulo.

5.- Caída de tensión en la línea.

Observando una fase del equivalente en estrella de un sistema trifásico equilibrado formado por ungenerador, una línea y unas cargas es inmediato comprobar que el circuito es idéntico al considerado en eltema anterior para analizar la caída de tensión en las líneas. Así pues, considerando valores de fase delequivalente en estrella, también en sistemas trifásicos:

∆U = |Uprincipio| !|Ufinal|

∆Ude fase del equivalente Y–Rlínea@I@cosnZ%Xlínea@I@sennZ

Siendo Rlínea y Xlínea la resistencia y reactancia de la línea en la fase que estamos analizando.

Si se consideran los valores de línea de las tensiones al principio y al final de las línea, como enestrella son , la caída de tensión es:Ulínea' 3@Ufase

∆Ude línea– 3@(Rlínea@I@cosnZ%Xlínea@I@sennZ)


(1) Recordando las características de ambas formas de conexión: Ulínea = %3 Ufase, Ilínea = Ifase en estrella y Ulínea = Ufase, Ilínea = %3 Ifase en triángulo.


P'3@Ufase@Ifase@cosn' 3@Ulínea@Ilínea@cosnQ'3@Ufase@Ifase@senn' 3@Ulínea@Ilínea@senn

PS'3@ PSfase' 3@Ulínea@Ilíneapn

Ciertamente, es engorroso tener que explicitar en cada momento si la caída de tensión se ha obtenidoen valores de línea o en valores de fase. Afortunadamente el valor relativo de ∆U respecto a una cierta tensiónde referencia (habitualmente la nominal) es el mismo en valores de línea y en valores de fase, por esto es elque se utiliza habitualmente.

u%'∆Ude fase del equivalente Y

Ude referencia de fase del equivalente Y

@100'∆Ude línea

Ude referencia de línea

@100

6.- Potencia.Ya hemos indicado que una característica de la potencia total de un generador o de una carga trifásica

equilibrada es que su valor instantáneo no es oscilante sinusoidalmente. Sin embargo, a efectos de análisisde los circuitos, los sistemas trifásicos son simplemente tres elementos monofásicos que consumen o generanla misma potencia aparente compleja, en consecuencia la aplicación del Teorema de Boucherot,independientemente de que esté conectado en estrella o en triángulo(1), es:

Donde, como ya sabemos, n= nUfase - nIfase que, para receptores, coincide con nZ

La potencia que aparece en la placa es habitualmente la potencia total del generador o del receptortrifásico.

Medida de potencia:

La forma más sencilla de medir la potencia en sistemas trifásicos es utilizando un conjunto de aparatosde medida por cada fase del sistema, por ejemplo: un vatímetro para medir P, un vármetro para medir Q, unvoltímetro y un amperímetro para obtener S, por fase. Como los aparatos de medida se conectan normalmenteen las líneas que unen los generadores con las cargas, para poder conectarlos es necesario disponer deconductor neutro y medir como si el sistema estuviese en estrella. A este sistema se le denomina medida acuatro hilos (por las tres fases y el neutro) y, obviamente, puede aplicarse tanto a sistemas equilibrados comodesequilibrados.

En sistemas equilibrados, como las indicaciones de todos los vatímetros, vármetros, etc. son idénticas,es posible medir en una sola fase y multiplicar el resultado por tres.

Cuando en el sistema trifásico no existe el conductorneutro no es necesario medir en todas las fases. Por ejemplo, lapotencia activa es P = MED [p(t)], como la potencia instantáneadel sistema trifásico es la suma de las potencias instantáneas desus tres componentes monofásicos, llamando uR, uS y uT a lastensiones u(t) de las fases respecto del neutro, llamando iR, iS e iTa las corrientes i(t) respectivas y recordando que, al no existirconductor neutro, iT = -iR - iS :



P'MED[uR@iR%uS@iS%uT@iT]'MED[(uR&uT)@iR%(uS&uT)@iS]'MED[uRT@iR]%MED[uST@iS]

W1'URT@IR@cos(30º&n)W2'UST@IS@cos(30º%n)

Es decir, la potencia activa total se puede obtener mediante dos vatímetros: P = W1 + W2 conectadospara que cada uno indique uno de los valores medios anteriores. A esta forma de medida se denomina métodoAron o de los dos vatímetros. Como en esta demostración no ha sido necesario imponer que se encuentreequilibrado, ni siquiera que sea sinusoidal, este método es válido para medir la potencia en cualquier sistemaalimentado a tres hilos.

Si además el sistema está equilibrado en régimenestacionario sinusoidal, las indicaciones de los vatímetrospueden escribirse:

Como las tensiones y las corrientes son iguales,, por lo que la potencia reactiva totalW1&W2'Ulínea@Ilínea@senn

puede obtenerse como: Q' 3@(W1&W2)

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