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ELEMENTOS DE MUESTREO

Material didctico elaborado por los profesores: Zhandra Flores Flix Ordaz ngel Ramrez

Ciudad Universitaria, 2008

1

INDICE

INDICE ............................................................................................................................. 1 INTRODUCCION ............................................................................................................. 2 1.- CONCEPTOS BSICOS ............................................................................................. 3 2.- CONVENIENCIA DEL MUESTREO ............................................................................ 6 4.- FASES DE UNA SOBREVISION POR MUESTREO .................................................. 7 5.- TIPOS DE MUESTREO .............................................................................................. 9 6.- CLASES DE MUESTREO PROBABILISTICO .......................................................... 10

6.1.- ALEATORIO SIMPLE ......................................................................................... 10 6.2.- ESTRATIFICADO ............................................................................................... 12

6.2.1.- AFIJACION .................................................................................................. 13 6.3.- SISTEMATICO ................................................................................................... 15 6.4.- POR CONGLOMERADOS O REAS ................................................................ 15 6.5.- CARACTERISTICAS DE LAS DIFERENTES TECNICAS .................................. 16

7.- ESTIMACION DEL TAMAO DE LA MUESTRA ...................................................... 17 8.- EJEMPLOS DE APLICACION .................................................................................. 18

8.1.- CASO I ............................................................................................................... 18 8.2.- CASO II .............................................................................................................. 19 8.3.- CASO III ............................................................................................................. 21 BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................... 213

2

INTRODUCCION

El objeto del muestreo es hacer inferencias de caractersticas cuantitativas sobre una

poblacin a partir de una muestra. Esto es posible si la muestra es como indican

algunos autores representativa de la poblacin. Ahora, como establecer esa

representatividad? Si precisamente existe un desconocimiento de la poblacin al

momento de tomar la muestra, como tomar aquellos elementos que sean

representativos?. En general siguiendo algunas reglas bsicas se pueden minimizar

estos problemas que son:

1. Cuando la estructura de la muestra no se corresponde con la de la poblacin,

esto sucede porque:

a. El marco no contiene todos los elementos de la poblacin.

b. No es posible acceder a todos los elementos de la poblacin.

c. No es posible lograr la participacin de todos los integrantes de la

muestra.

2. Los problemas de procedimiento, cuando el mtodo utilizado viola la

equiprobabilidad de seleccin.

3. Los problemas de respuesta, cuando ya localizados y abordados, los

seleccionados rechazan o no responden por ejemplo una encuesta. Lo que

produce un sesgo de la muestra.

Para lograr la representatividad de la muestra se deben considerar tres (3) elementos:

Marco y Diseo muestral correcto. Seleccin Aleatoria. Control del Procedimiento.

3

1.- CONCEPTOS BSICOS

1.1- Universo: Es un conjunto finito o infinito de animales, seres, cosas, etc. En trminos de esta definicin puede hablarse de un universo de individuo, animales,

vehculos, etc.

1.2- Poblacin: Son cada unas de las variables que se definen sobre un universo. Mediante esta definicin puede hacerse notar que puede existir ms de una poblacin

asociada a un mismo universo.

1.3- Unidades Estadsticas: Son requeridas por el diseador, por una parte para saber cul es la estrategia a seguir para la medicin y, por otra, pensar en la estructura del

marco de referencia de las unidades a ser estudiadas. Estas unidades son: la de

investigacin, anlisis, observacin y de muestreo.

1.3.1- Unidad de Investigacin: Esta se refiere a la que contiene las partes que se van a analizar. Algunos ejemplos aclaran este concepto. En la encuesta de hogares para el

estudio de la fuerza de trabajo que realiza el Instituto Nacional de Estadstica, el motivo

de la investigacin es el hogar el cual contiene las unidades a examinar, es decir las,

las personas. El estudio antropomtrico que realiza Fundacredesa la unidad a investigar

es el individuo, el cual contiene las partes del cuerpo que se van a analizar, mientras

que en estudios sobre el sector industrial, la unidad de investigacin esta dada por el

establecimiento.

1.3.2- Unidad de Anlisis: Comprende la unidad que se analiza, vale decir, de la que se busca la informacin y su naturaleza depende de los objetivos del estudio.

4

Esta unidad puede ser el hogar, las partes del cuerpo de las personas, la granja, el

establecimiento, etc. Las unidades de anlisis reciben frecuentemente el nombre de Elementos de la Poblacin

1.3.3- Unidad de Observacin: Se denomina con este nombre a la unidad a travs de la cual se obtiene la informacin, pudiendo o no coincidir con el elemento. Por ejemplo

cada uno de los miembros del hogar puede constituir un elemento de la poblacin y sin

embargo ser slo uno de ellos, por ejemplo, el jefe del hogar, quien proporcione la

informacin requerida. Este ltimo por tanto, constituir la unidad de observacin,

tambin llamada unidad respondiente.

1.3.4- Unidad de Muestreo: Ser un individuo o conjunto de individuos que se seleccionan en una nica extraccin. Como requisito se exige que el elemento o el

grupo de elementos que componen el estudio renan las caractersticas de la

poblacin.

1.4- Muestreo: El procedimiento mediante el cual obtenemos una o mas muestras recibe el nombre de muestreo. Obtener una muestra adecuada significa lograr una

versin simplificada de la poblacin, que reproduzca de algn modo sus rasgos bsicos

en trminos de variacin y localizacin.

1.5- Error de Muestreo: El error que se comete debido al hecho de que se obtienen conclusiones sobre cierta realidad a partir de la observacin de slo una parte de ella.

1.6- Marco del Muestreo: El conjunto de todas las unidades muestreadas consideradas.

5

1.7- Variables: Rasgos o magnitudes que varan de unos individuos a otros. Se refiere a las caractersticas particulares que podra presentarse en uno o varios elementos de

los que componen la poblacin estudiada.

1.8- Caractersticas Poblacionales (parmetros): Las ms habituales como la media poblacional, el total poblacional y la proporcin poblacional, entre otras caractersticas

de la poblacin se podran citar la varianza, la mediana, la moda, entre otros.

1.9- Estadsticos: Son funciones de los valores muestrales. Algunos de ellos se utilizan para estimar los parmetros (en general desconocidos), partiendo de los datos

recabados en una investigacin por muestreo

6

2.- CONVENIENCIA DEL MUESTREO1 Puesto que la inferencia supone un riesgo, es til resumir en qu casos conviene

obtener muestras, en lugar de censos o investigaciones exhaustivas de todos los

elementos de la poblacin.

Resulta mas econmica la muestra que una enumeracin completa. El tiempo para obtener los resultados a travs de una muestra es

sustancialmente mas pequeo que para obtenerlo por la va del censo, si el

tamao del universo es grande.

La calidad de la informacin muestral es superior, ya que se puede concentrar ms la atencin en los casos individuales de la muestra y ejercer mayor control

sobre ellos que una operacin censal.

Cuando el proceso de medida o examen de las caractersticas de cada elemento sea destructivo o disminuya su valor, por ejemplo, si se desea determinar la vida

til promedio de bombillos.

Cuando la poblacin sea considerada como infinita o tan grande que el tratamiento total exceda las posibilidades del investigador.

Cuando los elementos de la poblacin sean suficientemente homogneos. Un buen ejemplo de esto lo constituye un anlisis de sangre, ya que los

componentes de la sangre son los mismos en cualquier parte del cuerpo donde

se encuentre ubicada.

1 Seijas, Flix Investigacin por Muestreo

7

3.- LIMITACIONES DEL MUESTREO2

Las limitaciones ms importantes que hay que tomar en cuenta para decidir acerca de

las muestras son las siguientes:

Si se necesita informacin de todos los elementos que conforman el universo estadstico.

Si se requiere informacin para reas pequeas. Este hecho estima que se establezcan muestras desproporcionadamente grandes, pues la precisin de una

muestra depende fuertemente de su tamao

Cuando no existen los elementos tcnicos que garanticen un buen diseo muestral. Las muestras probabilsticas exigen, en comparacin con el censo,

menos cantidad de trabajo bruto, pero mayor refinamiento y preparacin.

4.- FASES DE UNA SOBREVISION POR MUESTREO3

El muestreo propiamente dicho consiste evidentemente en la obtencin efectiva de la

muestra, esto es, en la recoleccin de los elementos o datos que la constituyen. Existe,

sin embargo, cuestiones previas y posteriores a tal recoleccin, especialmente

importantes cuando se trata de extensos estudios por muestreo.

Podran establecerse las siguientes fases:

2 Seijas, Flix Investigacin por Muestreo 3 Azorin P., Francisco Curso de Muestreo y Aplicaciones.

8

Fase I. Indicacin de los fines del Estudio. Por lo menos deber darse una indicacin general de los objetivos y de cmo se espera

utilizar los resultados. Pero es conveniente no limitarse a una declaracin vaga de los

fines, sino establecer estos de modo muy concreto. En esta fase puede incluirse la

definicin de la poblacin que constituir el objetivo de estudio. Seria conveniente

expresar no solo cual es la informacin que se desea obtener, sino tambin el motivo

del muestreo, la forma en que van a utilizarse los resultados, as como el modo en que

habrn de influir en decisiones posteriores. Efectuar la especificacin previa de las caractersticas a estimar, las tabulaciones y los grados de confianza y precisin que se consideren adecuados. Deben justificarse, en caso de eliminacin de partes de

la poblacin ideal, que fundamento hay para considerar conveniente o admisible

prescindir de las mismas.

Fase II. Condiciones, recursos y limitaciones. Establecer los limites presupuestarios y temporales a que deber someterse la

investigacin teniendo presente asimismo la legislacin, restricciones administrativas,

oportunidad de las fechas elegidas y dems circunstancias que puedan influir en el plan

general de trabajo.

Habr que hacer acopio de la informacin cartogrfica, ficheros, listas, etc. que pueden

ser tiles, y cuidar de su posible mejoramiento al da para constituir el marco o

substrato, descripcin de la estructura de la poblacin en estudio y base para efectuar

la seleccin.

Fase III. Programa de Operaciones. En esta fase pueden incluirse el diseo o esquema lgico-matemtico del muestreo, la

decisin sobre los mtodos de estimacin, las medidas de precisin y confianza, la

redaccin de cuestionario, los mtodos de recoleccin y medicin, la organizacin del

trabajo de campo y de oficina, la preparacin y entrenamiento del personal y equipos.

9

Desde el punto de vista estadstico-matemtico claro es que la cuestin fundamental

consiste en establecer el diseo de muestreo. Para ello hay que pensar, entre otras

cuestiones, si la muestra va a formar parte de una sucesin o plan coordinado, y en tal

caso, si ser preferible espaciar muestras grandes o efectuar muestras pequeas con

mayor frecuencia.

Fase IV. Ejecucin del Programa y Recoleccin de Datos. Cuando no se disponga de experiencia sobre muestras anlogas a que se trata de

ejecutar, puede decirse que ser imprescindible la realizacin de una o mas muestras pilotos. Se pondr a prueba el cuestionario y constituir un ensayo general, proporcionara adems informacin relativa a la variabilidad de la poblacin en estudio,

de modo de obtener las estimaciones establecidas.

Fase V. Anlisis y Aprovechamiento de los Resultados. Esta ltima fase comprender el clculo de las estimaciones requeridas acompaadas

de sus errores de muestreo, de manera que la misma muestra proporcione la medida

de su fiabilidad y confianza. Los clculos unidos a las correspondientes tabulaciones,

representaciones graficas, etc., deben ir acompaados de comentarios e

interpretaciones.

5.- TIPOS DE MUESTREO Decimos que el muestreo es probabilstico cuando puede calcularse de antemano cual

es la probabilidad de obtener cada una de las muestras que sea posible seleccionar.

Para esto es necesario que la seleccin pueda considerarse como una prueba o

experimento aleatorio.

Existen otros dos tipos de muestreo que pueden denominarse muestreo intencional u

opinatico y muestreo sin norma, circunstancial o errtico. En el primero es la persona

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que selecciona la muestra la que procura que esta sea representativa; por consiguiente

la representatividad depende de su intencin u opinin, y la evaluacin de

representatividad es subjetiva. En este caso la composicin de la muestra puede estar

influida por la preferencia o tendencias del individuo que la obtiene.

En el muestreo sin norma se toma la muestra de cualquier manera, a la aventura, por

razones de comodidad o circunstancias y se obtiene as una parte o trozo de la

poblacin. Si esta es homognea, la representatividad de tal muestra puede ser

satisfactoria. A veces la uniformidad puede sustituirse por una buena mezcla antes de

tomar muestras como en el caso de los avisos agtese antes de usar o bien cuando se

barajan naipes o se hacen girar bolas dentro de un bombo.

En este curso nos ocuparemos del muestreo probabilstico.

6.- CLASES DE MUESTREO PROBABILISTICO

Aunque ms adelante se darn con ms detalle los diversos mtodos de muestreo

probabilstico, es conveniente mencionarlos a continuacin:

1. Aleatorio Simple.

2. Estratificado.

3. Sistemtico

4. Por Conglomerados o reas.

11

6.1.- ALEATORIO SIMPLE

Consiste en la seleccin de n elementos entre los N constituyen la poblacin, de modo

que todas las muestras posibles de tamao n (tantas como combinaciones de N

elementos de n en n ) tengan la misma probabilidad

nN1 de ser obtenidas.

Con este supuesto, por ser equiprobables todas las muestras de n elementos, la

probabilidad de que un elemento poblacional dado parte de la muestra se puede

calcular as:

=

N

nnN

nN 1

11

Podemos, pues, definir el muestreo aleatorio simple como seleccin de n elementos

cuando los N de la poblacin tienen la misma probabilidad de ser extrados.

Sus principales estimadores quedaran de la siguiente manera:

Tcnica Estimador Varianza

Aleatorio Simple

Media Poblacional

== nyyY i NnN

nSyV =

2

)(

Total Poblacional

yNY = NnN

nSNYV )()(

22 =

12

6.2.- ESTRATIFICADO Supongamos ahora que la poblacin se subdivide en L subpoblaciones o estratos, de

modo que la muestra est constituida por elementos de cada uno de ellos. Estas

subpoblaciones no se sobreponen y juntas forman la totalidad de la poblacin, por lo

que:

NNNNNL

hhL ==+++

=121 ...

Una vez que han sido determinados los estratos, se saca una muestra de cada uno, la

obtencin se realiza independientemente en estratos diferentes. Los tamaos de

muestra dentro de los estratos son representados por LNnn ...,, 21 respectivamente.

Si se toma una muestra simple aleatoria de cada estrato, el procedimiento completo es

conocido como muestreo estratificado aleatorio.

La ventaja principal que puede conseguirse estratificando es aumentar la precisin de

las estimaciones al agrupar elementos con caractersticas comunes. Adems de

procurar mediante la estratificacin muestras ms representativas, puede lograrse un

mejor aprovechamiento de la organizacin administrativa y en general de las

particularidades de diferentes grupos de elementos de la poblacin.

En particular, cuando nos interesan las estimaciones de cada estrato es muy

conveniente tener idea de la distribucin de la caracterstica estudiada o de alguna otra

correlacionada con ella. Conviene que los estratos sean tales que pueda conseguirse

un aumento sustancial de la precisin por agrupamiento de elementos de cierta

homogeneidad.

Adems de conocerse el tamao de la poblacin, N , como en el muestreo aleatorio

simple, habr que saber el tamao de cada estrato, y designaremos por hN el del

estrato h-esimo.

13

A veces se utiliza el smbolo NNW hh /= , que es el peso relativo del estrato. La media y el total pueden expresarse en funcin de las medias y totales subpoblacionales o de los

estratos, mediante las formulas:

Media:

=

= ===L

hhh

L

hhh

YWN

YN

NYY

1

1

Total:

==

==L

hhh

L

hh YNYY

11

6.2.1.- AFIJACION

Se da el nombre de afijacin al reparto o distribucin del tamao muestral n entre los

diferentes estratos. Esto es, a la determinacin de los valores hn que verifiquen:

nnnn L =+++ ...21 Pueden establecerse muchas afijaciones o maneras de repartir la muestra, pero las

mas importantes son: la afijacin igual en las que se toman todos los hn iguales a Ln ,

aumentando o disminuyendo este tamao en una unidad si n no fuese mltiplo de L .

La afijacin proporcional en el muestreo estratificado aleatorio, al reparto del tamao n

de la muestra entre los L estratos proporcionalmente a los tamaos de estos. Algunas

veces se le ha dado el nombre de afijacin de Bowley.

Habr pues, de verificarse: hh Nkn .=

Para determinar esta constante k , basta sumar ordenadamente las igualdades

anteriores para Lh ,...,2,1= con lo cual tenemos:

14

NnkNkn

L

hh

L

hh ==

==;

11

Por consiguiente, hh NNnn = , y tambin NNnn hh = . Esto es hh Ww = , si empleamos

estos smbolos para designar el peso relativo de cada estrato, en la muestra y en la

poblacin respectivamente.

La afijacin optima es aquella que para un tamao dado de n de la muestra produce

resultados mas precisos, esto es, menor error de muestreo. Tambin llamada afijacin

de Chupow-Neyman, el tamao de la muestra para cada estrato es proporcional al

producto del tamao de este estrato, hN , por su variabilidad, representada por la cuasi

desviacin estndar.

Los estimadores y sus respectivas varianzas del muestreo estratificado aleatorio lo

podemos resumir en la siguiente tabla:


Estratificado

Aleatorio

(proporcional)

Media Poblacional:

=

= ==L

hhh

L

hhh

st ywn

yny

1

1

=

=L

hhhst SWn

fyV1

21)(

Donde: N

nf = : fraccin de muestreo Total Poblacional:

styNY = 2)( hhst SNn

nNYV = Estratificado

Aleatorio

(Optimo

Neyman)

Media Poblacional:

=

= ==L

kk

L

hhh

st ywn

yny

1

1 = 21)()( hhhhst SWNn

SWyV

Total Poblacional:

styNY = = 22)(

)( hhhh

st SNnSW

YV

15

6.3.- SISTEMATICO

Consiste en tomar aleatoriamente un cierto nmero i de las primeras k unidades, que

designara en una lista o poblacin de N elementos al primero que va a formar parte de

la muestra. A continuacin, de manera rgida o sistemtica se va tomando el elemento

ki + que esta k lugares despus del i-esimo en la lista, el ki 2+ , que esta k2 lugares despus, y as sucesivamente hasta agotar los elementos disponibles de la lista o

poblacin, lo que ocurrir cuando se llegue al que ocupa el lugar kni )1( + .


Sistemtico

Media Poblacional:

nyyy

y knikiisy)1(... ++ +++=

22 )1(1)( wsysy SNnkS

NNyV =

Donde:

= =

=k

k

n

jiijwsy yynk

S1 1

22 )()1(

1

Es la varianza entre unidades

comprendidas dentro de la misma muestra

sistemtica.

Total Poblacional:

syyNY =

6.4.- POR CONGLOMERADOS O REAS

En las anteriores tcnicas de muestreo, se ha supuesto que las unidades de muestreo o

unidades a seleccionar eran las mismas que constituan el objeto de estudio. El caso

ms general, es que las unidades de muestreo comprenden dos o ms unidades de

estudio o unidades ltimas o fsicas. En este caso se dice que cada unidad de muestreo

constituye un conglomerado de unidades ltimas, y que el muestreo es por

conglomerados.

16

Ejemplos de muestreo por conglomerados serian: la seleccin aleatoria de familias de

una poblacin para efectuar un estudio de individuos; la seleccin de fincas en un

estado para una investigacin en que las unidades ultimas fuesen las cabezas de

ganado, etc.


Con

glom

erad

os

Media Poblacional:

= =

==

===n

i

M

j

n

iin

iiij n

YY

nMy

nMy

1 1

1

1

11

iY : Media por Conglomerado.

y : Media por unidades secundarias o ultimas.

M: Cantidad de unidades secundarias o ultimas.

nMS

NnN

nS

NnNyV bm

22

)( ==Donde:

( )

11

2

2

==N

YYS

N

ii

m

( )21

2

2

1 m

N

ii

b MSN

YYMS =

=

=

2mS : Varianza entre los elementos

dentro de la misma unidad. 2bS : Varianza entre conglomerados

(entre unidades grandes)

Total Poblacional:

=

==n

iiYn

NyNY1

( )

1)1()( 1

22

=

=N

YY

nfNYV

N

ii

6.5.- CARACTERISTICAS DE LAS DIFERENTES TECNICAS

En resumen podemos indicar las siguientes ventajas e inconvenientes que presenta

cada una de estas tcnicas:

17

7.- ESTIMACION DEL TAMAO DE LA MUESTRA

Establecida la caracterstica o caractersticas a estimar y el grado de confianza y de

precisin requeridos, hay que decidir cual va a ser el tamao de la muestra o numero de

elementos a seleccionar, de modo que los resultados no sean en exceso costosos o

imprecisos.

Para estimar la media de la poblacin (infinitas):

2

22

eZn =

Para estimar la media de la poblacin (finitas):

NZe

nx

x2

2

2

2

+

=

TECNICA VENTAJAS INCONVENIENTES

Aleatorio Simple 1. Sencillo y de fcil comprensin. 2. Clculo rpido de medias y varianzas. 1. Requiere que se posea de un listado completo de

toda la poblacin. 2. No es recomendable emplearla para poblaciones

muy grandes

Sistemtico 1. Fcil de aplicar. 2. No siempre es necesario tener un listado de toda la poblacin.

3. Cuando la poblacin est ordenada siguiendo una tendencia conocida, asegura una cobertura de unidades de todos los tipos.

1. Con la periodicidad constante k se puede introducir una homogeneidad que no se da en la poblacin.

Estratificado 1. Tiende a asegurar que la muestra represente adecuadamente a la poblacin en funcin de unas variables seleccionadas.

2. Se obtienen estimaciones ms precisa 3. Su objetivo es conseguir una muestra lo

mas semejante posible a la poblacin en lo que las variables estratificadoras se refiere.

1. Es preciso poseer conocimientos a detalle de la poblacin.

Conglomerados 1. Es muy eficiente cuando la poblacin es muy grande y dispersa. 2. No es preciso tener un listado de toda la

poblacin, slo de las unidades primarias de muestreo.

1. El error estndar es mayor que en el muestreo aleatorio simple o estratificado.

2. El clculo del error estndar es complejo. 3. Se torna complejo a medida que aumentan las

etapas de muestreo

18

El factor )1/()( NnN se llama factor de correccin de poblacin finita. En caso de que la muestra sea grande (5% ms) en relacin con la poblacin, el investigador

puede reducir en forma adecuada el tamao de la muestra necesaria:

1+= nNnNn Donde: :n tamao revisado.

n : tamao original.

8.- EJEMPLOS DE APLICACION

A continuacin se presentan una serie de ejemplos de aplicacin de las tcnicas

descritas anteriormente.

8.1.- CASO I

Para un muestreo estratificado un ejemplo numrico, sean tres estratos ( 3=L ), de tamaos respectivos:

000.31 =N , 000.22 =N , 000.53 =N ; y con: 10021 =S , 40022 =S , 90023 =S .

000.10321 =++= NNNN Para una muestra de tamao 100=n , los tamaos de las muestras correspondientes a cada estrato son:

30000.3*000.10

10011 === NN

nn

20000.2*000.10

10012 === NN

nn

50000.5*000.10

10013 === NN

nn

Se verifica, en efecto: 100502030321 =++=++ nnn . La varianza de la media es:

19

544,5)900105400

102100

103(

10001,01)( =++=styV

8.2.- CASO II

Comparacin de los estimadores de totales para muestreo simple aleatorio y

estratificado.

El numero total de habitantes del total de 64 ciudades de EEUU para 1930, va a ser

estimado de una muestra de 24 ciudades (estas ciudades se encuentran entre las 5ta. y

la 68ava mas grande en poblacin).

20

1. Con muestreo simple aleatorio:

453.594.56440

24)448.52()64()()(

222

=

==N

nNnSNYV

365.2=ee

ESTRATO

1 2

900 364 209 113

822 317 183 115

781 328 163 123

805 302 253 154

670 288 232 140

1238 291 260 119

573 253 201 130

634 291 147 127

578 308 292 100

487 272 164 107

442 284 143 114

451 255 169 111

459 270 139 163

464 214 170 116

400 195 150 122

366 260 143 134

070.10)( = hiy 498.9)( = hiy 843.5321 =S 581.522 =S

161 =N 482 =N 448.522 =S

21

2. Estratificado con afijacin proporcional, tenemos 616*6424

1 ==n , 1848*6424

1 ==n

[ ] 293.882.1)581.5)(48()843.53)(16(2440)( 2 =+== hhst SNn nNYV

372.1=ee

8.3.- CASO III

En un lote de frascos para medicina, con una poblacin de 8000 unidades, se desea

estimar la media de la capacidad en centmetros cbicos de los mismos.

A travs de un pre-muestreo de tamao 35 se ha estimado que la desviacin estndar

es de 2 centmetros cbicos. Si queremos tener una precisin 0.25 cms3, y un nivel de

significancia del 5%. De que tamao debe de ser la muestra?

239

80002

96,125,0

22

2

2

2

2

2

2

2

=+

=+

=NZ

en

x

x

Frascos.

22

BIBLIOGRAFIA

AZORIN, Francisco. Curso de Muestreo y Aplicaciones. Facultad de Economa. Caracas. 1970.

COCHRAN, William. Tcnicas de Muestreo. Editorial CECSA. Mxico 1971.

SEIJAS, Flix. Investigacin por Muestreo. Ediciones FACES. Caracas. 1993

ELEMENTOS DE MUESTREO portadaTECNICAS_DE_MUESTREO

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