Universidad de San Carlos de GuatemalaEscuela de Formación de Profesores de Enseñanza Media

Programa Académico Preparatorio

Curso: Matemática

TEOREMA DEL BINOMIO

PAP-MATEMÁTICA Lic. en Enseñanza de Matemática Fredy Sandoval

CONOCIMIENTOS PREVIOS

En las clases anteriores trabajamos

los productos notables:

( a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

( a + b) 3 = a 3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

Es posible escribir el binomio ( a + b) 4

SIGUIENDO LA INFORMACIÓN PROPORCIONADA ENLOS RESULTADOS ANTERIORES:1RO. El número de términos es uno más que elnúmero que indica el exponente.2do. El exponente del primer término (a), disminuyeen uno en cada término consecutivo.3ro. El exponente del segundo término (b), va enaumento en cada término consecutivo

Utilizando el Triángulo de Pascal el desarrollo binomial será:

( a + b) 4 = a4 +4a3b + 6a2b2 +4ab3+b4

LOS COEFICIENTES SE ENCUENTRAN EN LA FILA 5 DEL TRIÁNGULO DE PASCAL. ESTE SENCILLO Y EFECTIVO MÉTODO TIENE EL INCONVENIENTEDE QUE PARA ENCONTRAR LOS COEFICIENTES DE UNA POTENCIADE GRADO 10 HAY QUE CONSTRUIR UN TRIÁNGULO HASTA LA FILA NÚMERO 11.

FACTORIAL

• ES UN OPERADOR QUE ACTÚA SOBRE UN NÚMERO ENTERO NO NEGATIVO PARA TRANSFORMARLO EN OTRO. SE DEFINE COMO:

• n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…1

• 0! = 1 y se simboliza con !

EJEMPLOS:

• a) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120• b) 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720• c) 3! 2! = ( 3 x 2 x 1) ( 2 x 1 ) = 12

= = 6

EN GENERAL

• n! = n ( n – 1) !

• Donde “n” representa un entero no negativo.

Coeficiente Binomial

• Determina una relación entre los números naturales n y k, con k “menor o igual que n”

Se utiliza para determinar el coeficiente de unBinomio de potencia “n” En la posición k-1

Una expresión que permite calcular cualquier término del desarrollo binomial

¨n” representa el exponente del binomio“k” representa uno menos que el orden del término

( por ejemplo en el octavo término k vale 7)“a” representa el primer término del binomio“b” representa el segundo término del binomio

Ejemplos

( x + w ) 11 ?

Cuál es el desarrollo binomial de

n = 11, para el noveno término k = 8El término buscado es:

El noveno término de ( x + w ) 11 es: