Teorija deformacijaTeorija deformacijaTeorija deformacija Teorija deformacija

Sadrzaj predavanja

1. Deformacija i tok

2 Tenzor deformacije2. Tenzor deformacije

3. Invarijante tenzora deformacije

4. Brzina deformacije

5. Tenzor brzine deformacije

Kretanje materijalne cestice

Funkcionalna veza prostornih koordinata elemenata volumena (x, y i z) i vremena t:

Kretanje materijalne cestice

Komponente pomijeranja (m) za dvije tacke u vremenu:

Komponente brzine (m/s):

Kretanje materijalne cestice

Zakon kretanja cestica materijala u funkciji prostora i vremena:

Lagranzeve (materijalne) koordinate

1. Koordinate cvrsto odredjene – vrijeme t varijabilno   kretanje jedne cestice

2. Koordinate varijabilne – vrijeme cvrsto odredjeno raspodjela cestica deformiranog2. Koordinate varijabilne  vrijeme cvrsto odredjeno   raspodjela cestica deformiranog tijela za dati vremenski interval 

3. Koordinate i vrijeme varijabilni   zakon kretanja deformiranog tijela u cjelini

Ojlerove (prostorne) koordinate

‐ Fiksirana tacka u prostoru A(x,y,z)

‐ Protok vremena: t1, t2, t3, …

‐ Prolaz materijalni cestica deformiranog tijela M1, M2, M3, …

‐ Brizine materijalnih cestica v1, v2, v3, …

S ij l l jSpecijalan slucaj:

‐ Jednacine ne zavise o vremenu – (kvazi)stacionarno kretanje! 

Lagranzeve i Ojlerove koordinate

a) Varijable Lagrangea odredjuju zakoni promjene koordinata, brzina i ubrzanja svake individualne cestice kontinuuma,

b) Varijable Eulera odredjuju zakoni promjena ovih varijabli u svakoj tacno odredjenoj tacki prostora kroz koji ce sukcesivno u vremenu prolaziti materijalne cestice kontinuuma 

Deformacija i tok

u u u

Komponente vektora pomijeranja: Komponente vektora brzine:

, ,x y zv v v, ,x y zu u u , , x y zv v v

Pristupi  kod rješavanja problema teorije plastičnosti

TEORIJA PLASTIČNOG TEČENJA

brzina

DEFORMACIONA TEORIJA

• pomak brzina brzina deformacije (gradijenti brzine)

naprezanje = f(brzine deformacije)

• pomak• deformacije (gradijenti pomijeranja)• naprezanje = f(deformacije)

Sabijanje Ekstruzija

D f ij i ij jDeformacije i pomijeranja

u u u

Komponente vektora pomijeranja:

, ,x y zu u u

Komponente tenzora deformacije

, ,x y z

, ,

Normalne komponente tenzora deformacije

Tangencijalne komponente tenzora deformacije , , xy yz zx Tangencijalne komponente tenzora deformacije

G t ij k i t t ij d f ijGeometrijska interpretacija deformacija

1. Promjene rastojanja između tačaka tijela2. Promjene uglova među raznim pravcima

Deformacija infinitezimalnog elementa Konjugovanost tangencijalnih komponenti deformacije

xy yx

yz zy

zx xz

Komponente tenzora deformacije

Normalne komponente tenzora deformacije

Tangencijalne komponente tenzora deformacije

xx

ux

yxxy

uu

y

xu

xy

y

y xu u

y

y y

y z

yzu uz y

zz

u

xzzx

uu

y zx x z

Tenzor deformacije

1 1 1 12 2x xy xz

1 12 2yx y yzT

2 21 1

zx zy z 2 2zx zy z

Ukupno 6 nepoznatih komponenti tenzora deformacije

Tenzor deformacije Tenzor deformacije

R t lj j t d f ijRastavljanje tenzora deformacije

sT T D

1 12 2x m xy xz

0 0 2 2

1 12 2yx y m yzD

0 00 0m

s mT

2 2

1 12 2zx zy z m

0 0s m

m

2 2 Sferni tenzor

Devijator tenzora deformacijeDevijator tenzora deformacije

Invarijante tenzora deformacije 

k l j d čiSekularna jednačina

3 21 2 3( ) ( ) ( ) 0I T I T I T 1 2 3( ) ( ) ( ) 0I T I T I T

I (T )

Rješenja jednačine su tri invarijante:

I1(T)

I2(T)

I3(T)

I invarijanta tenzora deformacije

1 1x xy xz

2 21 12 2

x xy xz

yx y yzT

2 2

1 12 2

yx y yz

zx zy z

2 2 y

1 1 2 3( ) .x y zI T const

Srednja normalna deformacija karakterizira promjenu zapremine tijela

Uslov nestišljivosti

1 1 2 3( ) .x y zI T const 1 1 2 3( ) .x y zI T const

Elastična komponenta deformacije se zanemaruje.

d d fII invarijanta devijatora tenzora deformacije

2 2 2 2 2 22

1 3( )6 2x y y z z x xy yz zxI D

2

2 ( )6 2x y y z z x xy yz zx

. 22 ( )3ekv I D

Ekvivalentna deformacija:

2 2 2 2 2 22 3k . 3 2ekv x y y z z x xy yz zx

d č k b l d fJednačine kompatibilnosti deformacija

Brzina deformacije

Brzina deformacije

Brzina deformacijeodnos: brzina deformisanja / početna visina obratka

s‐1

Brzina deformacijeBrzina deformacije

a)a)

b) c)

B i d f ijBrzina deformacije

Brzina deformacije predstavlja odnos razlike brzina pomijeranja dvije tačke prema rastojanju tih tačakatačke prema rastojanju tih tačaka. 

B i d f ijBrzina deformacije

Ravnomjerna deformacijaRavnomjerna deformacija

B i d f ijBrzina deformacije

Lokalizacija deformacija

Brzina pomijeranja tačakaBrzina pomijeranja tačaka

Brzina pomijeranja tačka u pravcu x‐ose:

ux – pomak u pravcu x‐ose

B i d f ijBrzina deformacije

Brzina deformacije u pravcu x-ose:

x x xv ud

x xx dt x t

ux – pomak u pravcu x‐osevx – brzina u pravcu x‐oseεx – deformacija u pravcu x‐ose

Komponente tenzora brzine deformacijeKomponente tenzora brzine deformacije

Normalne komponente tenzora brzine deformacije

Tangencijalne komponente tenzora brzine deformacije

xx

vx

yxxy

vv

y

xv

xy

y

y xv v

y

y y

y z

yzv vz y

zz

v

xzzx

vv

y zx x z

fTenzor brzine deformacije

1 1x xy xz

2 2

1 1

x xy xz

T

2 21 1

yx y yzT 1 1

2 2zx zy z

Ukupno 6 nepoznatih komponenti tenzora brzine deformacije

fI invarijanta tenzora brzine deformacije

1 12 2x xy xz

1( ) 0x y zI T

2 21 12 2yx y yzT

1 12 2zx zy z

Jednačina kontinuiteta

0yx zvv v 0

x y z